Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.
Indsamling og brug af personlige oplysninger
Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.
Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.
Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.
Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:
- Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.
Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:
- De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig med unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
- Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
- Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
- Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.
Videregivelse af oplysninger til tredjemand
Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.
Undtagelser:
- Hvis det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige myndigheder i Den Russiske Føderations område - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
- I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.
Beskyttelse af personlige oplysninger
Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.
Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau
For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.
Løs systemet med to ubekendte - det betyder at finde alle par af variable værdier, der opfylder hver af de givne ligninger. Hvert sådant par kaldes systemløsning.
Eksempel:
Værdiparret \(x=3\);\(y=-1\) er en løsning på det første system, fordi når disse treere og minus-en indsættes i systemet i stedet for \(x\) og \ (y\), vil begge ligninger blive til de korrekte ligheder \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( tilfælde)\)
Men \(x=1\); \(y=-2\) - er ikke en løsning på det første system, for efter substitution "konvergerer den anden ligning ikke" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(cases)\)
Bemærk, at sådanne par ofte skrives kortere: i stedet for "\(x=3\); \(y=-1\)" skriver de således: \((3;-1)\).
Hvordan løser man et system af lineære ligninger?
Der er tre hovedmåder til at løse lineære ligningssystemer:
- Substitutionsmetode.
-
\(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)
I den anden ligning er hvert led lige, så vi forenkler ligningen ved at dividere den med \(2\).
\(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)
Dette system kan løses på en af følgende måder, men det forekommer mig, at substitutionsmetoden er den mest bekvemme her. Lad os udtrykke y fra den anden ligning.
\(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)
Lad os erstatte \(6x-13\) i stedet for \(y\) i den første ligning.
\(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)
Den første ligning blev til en almindelig. Lad os løse det.
Lad os først åbne parenteserne.
\(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)
Lad os flytte \(117\) til højre og præsentere lignende udtryk.
\(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)
Lad os dividere begge sider af den første ligning med \(67\).
\(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)
Hurra, vi fandt \(x\)! Lad os erstatte dens værdi i den anden ligning og finde \(y\).
\(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases) )\)
Lad os skrive svaret ned.
\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)
Erstat det resulterende udtryk i stedet for denne variabel med en anden ligning af systemet.
\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)
Lad os analysere to typer af løsninger til ligningssystemer:
1. Løsning af systemet ved hjælp af substitutionsmetoden.
2. Løsning af systemet ved led-for-led addition (subtraktion) af systemligningerne.
For at løse ligningssystemet efter substitutionsmetode du skal følge en simpel algoritme:
1. Ekspres. Fra enhver ligning udtrykker vi én variabel.
2. Stedfortræder. Vi erstatter den resulterende værdi i en anden ligning i stedet for den udtrykte variabel.
3. Løs den resulterende ligning med én variabel. Vi finder en løsning på systemet.
At løse system ved term-for-term addition (subtraktion) metode behøver:
1. Vælg en variabel, som vi vil lave identiske koefficienter for.
2. Vi adderer eller subtraherer ligninger, hvilket resulterer i en ligning med én variabel.
3. Løs den resulterende lineære ligning. Vi finder en løsning på systemet.
Løsningen på systemet er funktionsgrafernes skæringspunkter.
Lad os overveje detaljeret løsningen af systemer ved hjælp af eksempler.
Eksempel #1:
Lad os løse ved substitutionsmetoden
Løsning af et ligningssystem ved hjælp af substitutionsmetoden2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (2. ligning)
1. Ekspres
Det kan ses, at der i den anden ligning er en variabel x med koefficienten 1, hvilket betyder, at det er lettest at udtrykke variablen x fra den anden ligning.
x=3+10y
2.Når vi har udtrykt det, indsætter vi 3+10y i den første ligning i stedet for variablen x.
2(3+10y)+5y=1
3. Løs den resulterende ligning med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åbn parenteserne)
6+20år+5år=1
25 år=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Løsningen til ligningssystemet er grafernes skæringspunkter, derfor skal vi finde x og y, fordi skæringspunktet består af x og y. Lad os finde x, i det første punkt hvor vi udtrykte det erstatter vi y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Det er sædvanligt at skrive point i første omgang skriver vi variablen x, og for det andet variablen y.
Svar: (1; -0,2)
Eksempel #2:
Lad os løse ved hjælp af term-for-term addition (subtraktion) metoden.
Løsning af et ligningssystem ved hjælp af additionsmetoden3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (2. ligning)
1. Vi vælger en variabel, lad os sige, at vi vælger x. I den første ligning har variablen x en koefficient på 3, i den anden - 2. Vi skal lave koefficienterne ens, for dette har vi ret til at gange ligningerne eller dividere med et hvilket som helst tal. Vi ganger den første ligning med 2 og den anden med 3 og får en total koefficient på 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Træk den anden fra den første ligning for at slippe af med variablen x. Løs den lineære ligning.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Find x. Vi erstatter det fundne y i enhver af ligningerne, lad os sige i den første ligning.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Skæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)
Vil du forberede dig til eksamen gratis? Underviser online gratis. Det siger du ikke.
Med denne video begynder jeg en række lektioner dedikeret til ligningssystemer. I dag vil vi tale om løsning af systemer af lineære ligninger additionsmetode- Dette er en af de enkleste metoder, men samtidig en af de mest effektive.
Tilføjelsesmetoden består af tre enkle trin:
- Se på systemet og vælg en variabel, der har de samme (eller modsatte) koefficienter i hver ligning;
- Udfør algebraisk subtraktion (for modsatte tal - addition) af ligninger fra hinanden, og bring derefter lignende udtryk;
- Løs den nye ligning opnået efter andet trin.
Hvis alt er gjort korrekt, vil vi ved udgangen få en enkelt ligning med én variabel- det bliver ikke svært at løse det. Så er der kun tilbage at erstatte den fundne rod i det originale system og få det endelige svar.
Men i praksis er alt ikke så enkelt. Det er der flere grunde til:
- Løsning af ligninger ved hjælp af additionsmetoden indebærer, at alle linjer skal indeholde variable med lige store/modsatte koefficienter. Hvad skal man gøre, hvis dette krav ikke er opfyldt?
- Ikke altid, efter at have lagt til/fratrukket ligninger på den angivne måde, får vi en smuk konstruktion, der let kan løses. Er det muligt på en eller anden måde at forenkle beregningerne og fremskynde beregningerne?
For at få svaret på disse spørgsmål og samtidig forstå et par ekstra finesser, som mange elever fejler, kan du se min videolektion:
Med denne lektion begynder vi en række forelæsninger om ligningssystemer. Og vi vil tage udgangspunkt i den enkleste af dem, nemlig dem, der indeholder to ligninger og to variable. Hver af dem vil være lineære.
Systemer er 7. klasses materiale, men denne lektion vil også være nyttig for gymnasieelever, der ønsker at opfriske deres viden om dette emne.
Generelt er der to metoder til at løse sådanne systemer:
- Tilføjelsesmetode;
- En metode til at udtrykke en variabel i form af en anden.
I dag vil vi beskæftige os med den første metode - vi vil bruge metoden til subtraktion og addition. Men for at gøre dette skal du forstå følgende kendsgerning: Når du har to eller flere ligninger, kan du tage to af dem og tilføje dem til hinanden. De tilføjes medlem for medlem, dvs. "X'er" føjes til "X'er" og lignende angives, "Y'er" med "Y'er" ligner igen, og det, der er til højre for lighedstegnet, føjes også til hinanden, og lignende er også givet der .
Resultaterne af sådanne manipulationer vil være en ny ligning, som, hvis den har rødder, helt sikkert vil være blandt rødderne til den oprindelige ligning. Derfor er vores opgave at foretage subtraktionen eller additionen på en sådan måde, at enten $x$ eller $y$ forsvinder.
Hvordan man opnår dette, og hvilket værktøj der skal bruges til dette - vi taler om dette nu.
Løsning af nemme problemer ved hjælp af addition
Så vi lærer at bruge additionsmetoden ved at bruge eksemplet med to simple udtryk.
Opgave nr. 1
\[\venstre\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]
Bemærk, at $y$ har en koefficient på $-4$ i den første ligning og $+4$ i den anden. De er indbyrdes modsatte, så det er logisk at antage, at hvis vi lægger dem sammen, så vil "spillene" i den resulterende sum blive gensidigt ødelagt. Tilføj det og få:
Lad os løse den enkleste konstruktion:
Fantastisk, vi fandt "x". Hvad skal vi gøre med det nu? Vi har ret til at erstatte det i enhver af ligningerne. Lad os erstatte i det første:
\[-4y=12\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]
Svar: $\left(2;-3 \right)$.
Opgave nr. 2
\[\venstre\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
Situationen her er fuldstændig ens, kun med "X'er". Lad os lægge dem sammen:
Vi har den enkleste lineære ligning, lad os løse den:
Lad os nu finde $x$:
Svar: $\left(-3;3 \right)$.
Vigtige punkter
Så vi har netop løst to simple systemer af lineære ligninger ved hjælp af additionsmetoden. Nøglepunkter igen:
- Hvis der er modsatte koefficienter for en af variablerne, så er det nødvendigt at tilføje alle variablerne i ligningen. I dette tilfælde vil en af dem blive ødelagt.
- Vi erstatter den fundne variabel i en af systemligningerne for at finde den anden.
- Den endelige svarpost kan præsenteres på forskellige måder. For eksempel sådan - $x=...,y=...$, eller i form af koordinater af punkter - $\left(...;... \right)$. Den anden mulighed er at foretrække. Det vigtigste at huske er, at den første koordinat er $x$, og den anden er $y$.
- Reglen om at skrive svaret i form af punktkoordinater er ikke altid gældende. For eksempel kan den ikke bruges, når variablerne ikke er $x$ og $y$, men for eksempel $a$ og $b$.
I de følgende opgaver vil vi overveje subtraktionsteknikken, når koefficienterne ikke er modsatte.
Løsning af lette problemer ved hjælp af subtraktionsmetoden
Opgave nr. 1
\[\venstre\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
Bemærk, at der ikke er nogen modsatte koefficienter her, men der er identiske. Derfor trækker vi den anden fra den første ligning:
Nu erstatter vi værdien $x$ i en hvilken som helst af systemligningerne. Lad os gå først:
Svar: $\left(2;5\right)$.
Opgave nr. 2
\[\venstre\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]
Vi ser igen den samme koefficient på $5$ for $x$ i første og anden ligning. Derfor er det logisk at antage, at du skal trække den anden fra den første ligning:
Vi har beregnet én variabel. Lad os nu finde den anden, for eksempel ved at erstatte værdien $y$ i den anden konstruktion:
Svar: $\left(-3;-2 \right)$.
Nuancer af løsningen
Så hvad ser vi? Grundlæggende er ordningen ikke forskellig fra løsningen af tidligere systemer. Den eneste forskel er, at vi ikke tilføjer ligninger, men trækker dem fra. Vi laver algebraisk subtraktion.
Med andre ord, så snart du ser et system bestående af to ligninger i to ubekendte, er det første du skal se på koefficienterne. Hvis de er ens overalt, trækkes ligningerne fra, og hvis de er modsatte, bruges additionsmetoden. Dette gøres altid, så en af dem forsvinder, og i den endelige ligning, som bliver tilbage efter subtraktion, er der kun én variabel tilbage.
Det er selvfølgelig ikke alt. Nu vil vi overveje systemer, hvor ligningerne generelt er inkonsistente. De der. Der er ingen variable i dem, der enten er ens eller modsatte. I dette tilfælde, for at løse sådanne systemer, bruges en yderligere teknik, nemlig at multiplicere hver af ligningerne med en speciel koefficient. Hvordan man finder det, og hvordan man løser sådanne systemer generelt, vi vil tale om dette nu.
Løsning af problemer ved at gange med en koefficient
Eksempel #1
\[\venstre\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]
Vi ser, at hverken for $x$ eller for $y$ er koefficienterne ikke kun indbyrdes modsatte, men heller ikke på nogen måde korrelerede med den anden ligning. Disse koefficienter vil ikke forsvinde på nogen måde, selvom vi adderer eller trækker ligningerne fra hinanden. Derfor er det nødvendigt at anvende multiplikation. Lad os prøve at slippe af med variablen $y$. For at gøre dette multiplicerer vi den første ligning med koefficienten $y$ fra den anden ligning, og den anden ligning med koefficienten $y$ fra den første ligning uden at røre tegnet. Vi formerer os og får et nyt system:
\[\venstre\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]
Lad os se på det: ved $y$ er koefficienterne modsatte. I en sådan situation er det nødvendigt at bruge additionsmetoden. Lad os tilføje:
Nu skal vi finde $y$. For at gøre dette skal du erstatte $x$ i det første udtryk:
\[-9y=18\venstre| :\left(-9 \right) \right.\]
Svar: $\left(4;-2 \right)$.
Eksempel nr. 2
\[\venstre\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]
Igen er koefficienterne for ingen af variablerne konsistente. Lad os gange med koefficienterne for $y$:
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\venstre\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
Vores nye system svarer til det forrige, men koefficienterne for $y$ er indbyrdes modsatte, og derfor er det nemt at anvende additionsmetoden her:
Lad os nu finde $y$ ved at erstatte $x$ i den første ligning:
Svar: $\left(-2;1 \right)$.
Nuancer af løsningen
Nøglereglen her er følgende: vi multiplicerer altid kun med positive tal - dette vil spare dig for dumme og stødende fejl i forbindelse med at skifte skilte. Generelt er løsningsskemaet ret simpelt:
- Vi ser på systemet og analyserer hver ligning.
- Hvis vi ser, at hverken $y$ eller $x$ er koefficienterne konsistente, dvs. de er hverken ens eller modsatte, så gør vi følgende: vi vælger den variabel, som vi skal af med, og så ser vi på koefficienterne for disse ligninger. Hvis vi multiplicerer den første ligning med koefficienten fra den anden, og den anden tilsvarende gange med koefficienten fra den første, så får vi i sidste ende et system, der er fuldstændig ækvivalent med det foregående, og koefficienterne for $ y$ vil være konsekvent. Alle vores handlinger eller transformationer er kun rettet mod at få én variabel i én ligning.
- Vi finder én variabel.
- Vi erstatter den fundne variabel i en af systemets to ligninger og finder den anden.
- Vi skriver svaret i form af koordinater af punkter, hvis vi har variable $x$ og $y$.
Men selv en sådan simpel algoritme har sine egne finesser, for eksempel kan koefficienterne for $x$ eller $y$ være brøker og andre "grimme" tal. Vi vil nu overveje disse sager separat, for i dem kan du handle noget anderledes end efter standardalgoritmen.
Løsning af problemer med brøker
Eksempel #1
\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]
Læg først mærke til, at den anden ligning indeholder brøker. Men bemærk, at du kan dividere $4$ med $0,8$. Vi modtager $5$. Lad os gange den anden ligning med $5$:
\[\venstre\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]
Vi trækker ligningerne fra hinanden:
Vi fandt $n$, lad os nu tælle $m$:
Svar: $n=-4;m=5$
Eksempel nr. 2
\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ højre.\]
Her er der som i det tidligere system brøkkoefficienter, men for ingen af variablerne passer koefficienterne et helt antal gange ind i hinanden. Derfor bruger vi standardalgoritmen. Slip af med $p$:
\[\venstre\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]
Vi bruger subtraktionsmetoden:
Lad os finde $p$ ved at erstatte $k$ i den anden konstruktion:
Svar: $p=-4;k=-2$.
Nuancer af løsningen
Det er alt sammen optimering. I den første ligning gangede vi ikke med noget som helst, men gangede den anden ligning med $5$. Som et resultat modtog vi en konsistent og endda identisk ligning for den første variabel. I det andet system fulgte vi en standardalgoritme.
Men hvordan finder man de tal, man multiplicerer ligninger med? Når alt kommer til alt, hvis vi ganger med brøker, får vi nye brøker. Derfor skal brøkerne ganges med et tal, der ville give et nyt heltal, og derefter skal variablerne ganges med koefficienter, efter standardalgoritmen.
Afslutningsvis vil jeg gerne henlede din opmærksomhed på formatet for registrering af svaret. Som jeg allerede har sagt, da vi her ikke har $x$ og $y$, men andre værdier, bruger vi en ikke-standard notation af formen:
Løsning af komplekse ligningssystemer
Som en sidste bemærkning til dagens videotutorial, lad os se på et par virkelig komplekse systemer. Deres kompleksitet vil bestå i, at de vil have variabler til både venstre og højre. Derfor bliver vi nødt til at anvende forbehandling for at løse dem.
System nr. 1
\[\venstre\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]
Hver ligning har en vis kompleksitet. Lad os derfor behandle hvert udtryk som med en regulær lineær konstruktion.
I alt får vi det endelige system, som svarer til det originale:
\[\venstre\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Lad os se på koefficienterne for $y$: $3$ passer ind i $6$ to gange, så lad os gange den første ligning med $2$:
\[\venstre\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Koefficienterne for $y$ er nu ens, så vi trækker den anden fra den første ligning: $$
Lad os nu finde $y$:
Svar: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
System nr. 2
\[\venstre\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\venstre(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]
Lad os transformere det første udtryk:
Lad os beskæftige os med den anden:
\[-3\venstre(b-2a \højre)-12=2\venstre(a-5 \højre)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
I alt vil vores indledende system have følgende form:
\[\venstre\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Ser vi på koefficienterne for $a$, ser vi, at den første ligning skal ganges med $2$:
\[\venstre\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Træk den anden fra den første konstruktion:
Lad os nu finde $a$:
Svar: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.
Det er alt. Jeg håber, at denne videovejledning vil hjælpe dig med at forstå dette vanskelige emne, nemlig at løse systemer med simple lineære ligninger. Der vil være mange flere lektioner om dette emne i fremtiden: vi vil se på mere komplekse eksempler, hvor der vil være flere variabler, og ligningerne i sig selv vil være ikke-lineære. Vi ses!
Ligningssystemer er meget udbredt i den økonomiske sektor til matematisk modellering af forskellige processer. For eksempel ved løsning af problemer med produktionsstyring og planlægning, logistikruter (transportproblem) eller udstyrsplacering.
Ligningssystemer bruges ikke kun i matematik, men også i fysik, kemi og biologi, når man løser problemer med at finde befolkningsstørrelse.
Et system af lineære ligninger er to eller flere ligninger med flere variable, som det er nødvendigt at finde en fælles løsning til. Sådan en talfølge, hvor alle ligninger bliver sande ligheder eller beviser, at rækkefølgen ikke eksisterer.
Lineær ligning
Ligninger på formen ax+by=c kaldes lineære. Betegnelserne x, y er de ukendte, hvis værdi skal findes, b, a er koefficienterne for variablerne, c er ligningens frie led.
Løsning af en ligning ved at plotte den vil ligne en ret linje, hvor alle punkter er løsninger til polynomiet.
Typer af systemer af lineære ligninger
De enkleste eksempler anses for at være systemer af lineære ligninger med to variable X og Y.
F1(x, y) = 0 og F2(x, y) = 0, hvor F1,2 er funktioner og (x, y) er funktionsvariable.
Løs ligningssystem - dette betyder at finde værdier (x, y), hvor systemet bliver til en sand lighed eller at fastslå, at passende værdier af x og y ikke eksisterer.
Et par værdier (x, y), skrevet som koordinaterne for et punkt, kaldes en løsning til et system af lineære ligninger.
Hvis systemer har én fælles løsning eller ingen løsning findes, kaldes de ækvivalente.
Homogene systemer af lineære ligninger er systemer, hvis højre side er lig med nul. Hvis den højre del efter lighedstegnet har en værdi eller er udtrykt ved en funktion, er et sådant system heterogent.
Antallet af variable kan være meget mere end to, så skal vi tale om et eksempel på et system af lineære ligninger med tre eller flere variable.
Når de står over for systemer, antager skolebørn, at antallet af ligninger nødvendigvis må falde sammen med antallet af ukendte, men det er ikke tilfældet. Antallet af ligninger i systemet afhænger ikke af variablerne, der kan være så mange af dem som ønsket.
Simple og komplekse metoder til løsning af ligningssystemer
Der er ingen generel analysemetode til at løse sådanne systemer; alle metoder er baseret på numeriske løsninger. Skolens matematikkursus beskriver i detaljer metoder som permutation, algebraisk addition, substitution samt grafiske og matrixmetoder, løsning ved Gauss-metoden.
Hovedopgaven ved undervisning i løsningsmetoder er at lære at analysere systemet korrekt og finde den optimale løsningsalgoritme for hvert eksempel. Det vigtigste er ikke at huske et system af regler og handlinger for hver metode, men at forstå principperne for at bruge en bestemt metode
At løse eksempler på systemer med lineære ligninger i 7. klasses almindelige undervisningsplan er ret enkel og forklaret meget detaljeret. I enhver matematiklærebog får dette afsnit tilstrækkelig opmærksomhed. Løsning af eksempler på lineære ligningssystemer ved hjælp af Gauss og Cramer-metoden studeres mere detaljeret i de første år af videregående uddannelse.
Løsning af systemer ved hjælp af substitutionsmetoden
Substitutionsmetodens handlinger er rettet mod at udtrykke værdien af en variabel i form af den anden. Udtrykket substitueres i den resterende ligning, hvorefter det reduceres til en form med én variabel. Handlingen gentages afhængigt af antallet af ukendte i systemet
Lad os give en løsning på et eksempel på et system af lineære ligninger af klasse 7 ved hjælp af substitutionsmetoden:
Som det fremgår af eksemplet, blev variablen x udtrykt gennem F(X) = 7 + Y. Det resulterende udtryk, substitueret i systemets 2. ligning i stedet for X, hjalp med at opnå én variabel Y i 2. ligning . At løse dette eksempel er let og giver dig mulighed for at få Y-værdien. Det sidste trin er at kontrollere de opnåede værdier.
Det er ikke altid muligt at løse et eksempel på et system af lineære ligninger ved substitution. Ligningerne kan være komplekse, og at udtrykke variablen i form af den anden ukendte vil være for besværligt til yderligere beregninger. Når der er mere end 3 ubekendte i systemet, er løsning ved substitution også uhensigtsmæssig.
Løsning af et eksempel på et system af lineære inhomogene ligninger:
Løsning ved hjælp af algebraisk addition
Når man søger efter løsninger til systemer ved hjælp af additionsmetoden, tilføjes ligninger led for led og ganges med forskellige tal. Det ultimative mål for matematiske operationer er en ligning i én variabel.
Anvendelse af denne metode kræver øvelse og observation. Det er ikke let at løse et system af lineære ligninger ved hjælp af additionsmetoden, når der er 3 eller flere variable. Algebraisk addition er praktisk at bruge, når ligninger indeholder brøker og decimaler.
Løsningsalgoritme:
- Gang begge sider af ligningen med et bestemt tal. Som et resultat af den aritmetiske operation skal en af variablens koefficienter blive lig med 1.
- Tilføj det resulterende udtryk led for led og find en af de ukendte.
- Erstat den resulterende værdi i systemets 2. ligning for at finde den resterende variabel.
Løsningsmetode ved at indføre en ny variabel
En ny variabel kan indføres, hvis systemet kræver, at man finder en løsning for højst to ligninger; antallet af ukendte bør heller ikke være mere end to.
Metoden bruges til at simplificere en af ligningerne ved at indføre en ny variabel. Den nye ligning løses for den introducerede ukendte, og den resulterende værdi bruges til at bestemme den oprindelige variabel.
Eksemplet viser, at ved at indføre en ny variabel t, var det muligt at reducere systemets 1. ligning til et standard kvadratisk trinomium. Du kan løse et polynomium ved at finde diskriminanten.
Det er nødvendigt at finde værdien af diskriminanten ved hjælp af den velkendte formel: D = b2 - 4*a*c, hvor D er den ønskede diskriminant, b, a, c er faktorerne for polynomiet. I det givne eksempel er a=1, b=16, c=39, derfor D=100. Hvis diskriminanten er større end nul, så er der to løsninger: t = -b±√D / 2*a, hvis diskriminanten er mindre end nul, så er der én løsning: x = -b / 2*a.
Løsningen til de resulterende systemer findes ved additionsmetoden.
Visuel metode til løsning af systemer
Velegnet til 3 ligningssystemer. Metoden består i at konstruere grafer for hver ligning, der indgår i systemet, på koordinataksen. Koordinaterne for kurvernes skæringspunkter vil være systemets generelle løsning.
Den grafiske metode har en række nuancer. Lad os se på flere eksempler på at løse systemer af lineære ligninger på en visuel måde.
Som det kan ses af eksemplet, blev der konstrueret to punkter for hver linje, værdierne af variablen x blev valgt vilkårligt: 0 og 3. Baseret på værdierne af x blev værdierne for y fundet: 3 og 0. Punkter med koordinater (0, 3) og (3, 0) blev markeret på grafen og forbundet med en linje.
Trinene skal gentages for den anden ligning. Linjernes skæringspunkt er systemets løsning.
Følgende eksempel kræver, at man finder en grafisk løsning til et system af lineære ligninger: 0,5x-y+2=0 og 0,5x-y-1=0.
Som det fremgår af eksemplet, har systemet ingen løsning, fordi graferne er parallelle og ikke skærer i hele deres længde.
Systemerne fra eksempel 2 og 3 ligner hinanden, men når de er konstrueret, bliver det tydeligt, at deres løsninger er forskellige. Det skal huskes, at det ikke altid er muligt at sige, om et system har en løsning eller ej; det er altid nødvendigt at konstruere en graf.
Matrixen og dens varianter
Matricer bruges til kortfattet at skrive et system af lineære ligninger. En matrix er en speciel type tabel fyldt med tal. n*m har n - rækker og m - kolonner.
En matrix er kvadratisk, når antallet af kolonner og rækker er lige store. En matrix-vektor er en matrix af en kolonne med et uendeligt muligt antal rækker. En matrix med enere langs en af diagonalerne og andre nulelementer kaldes identitet.
En invers matrix er en matrix multipliceret med hvilken den oprindelige bliver til en enhedsmatrix; sådan en matrix eksisterer kun for den oprindelige kvadratiske.
Regler for konvertering af et ligningssystem til en matrix
I forhold til ligningssystemer skrives ligningernes koefficienter og frie led som matrixtal, en ligning er en række af matricen.
En matrixrække siges at være ikke-nul, hvis mindst et element i rækken ikke er nul. Derfor, hvis antallet af variable i nogen af ligningerne er forskelligt, så er det nødvendigt at indtaste nul i stedet for den manglende ukendte.
Matrixkolonnerne skal nøje svare til variablerne. Det betyder, at koefficienterne for variablen x kun kan skrives i én kolonne, for eksempel den første, koefficienten for den ukendte y - kun i den anden.
Når du multiplicerer en matrix, ganges alle elementer i matrixen sekventielt med et tal.
Muligheder for at finde den inverse matrix
Formlen til at finde den inverse matrix er ret simpel: K -1 = 1 / |K|, hvor K -1 er den inverse matrix, og |K| er matricens determinant. |K| ikke må være lig nul, så har systemet en løsning.
Determinanten beregnes let for en to-til-to matrix; du skal bare gange de diagonale elementer med hinanden. For "tre gange tre"-muligheden er der en formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Du kan bruge formlen, eller du kan huske, at du skal tage et element fra hver række og hver kolonne, så antallet af kolonner og rækker af elementer ikke gentages i arbejdet.
Løsning af eksempler på lineære ligningssystemer ved hjælp af matrixmetoden
Matrixmetoden til at finde en løsning giver dig mulighed for at reducere besværlige indtastninger, når du løser systemer med et stort antal variabler og ligninger.
I eksemplet er a nm ligningernes koefficienter, matrixen er en vektor x n er variable, og b n er frie led.
Løsning af systemer ved hjælp af Gauss-metoden
I højere matematik studeres Gauss-metoden sammen med Cramer-metoden, og processen med at finde løsninger på systemer kaldes Gauss-Cramer-løsningsmetoden. Disse metoder bruges til at finde variabler for systemer med et stort antal lineære ligninger.
Gauss-metoden minder meget om løsninger ved substitution og algebraisk addition, men er mere systematisk. I skoleforløbet bruges løsningen efter Gauss-metoden til systemer med 3 og 4 ligninger. Formålet med metoden er at reducere systemet til form af en omvendt trapez. Ved hjælp af algebraiske transformationer og substitutioner findes værdien af én variabel i en af systemets ligninger. Den anden ligning er et udtryk med 2 ubekendte, mens 3 og 4 er henholdsvis med 3 og 4 variable.
Efter at have bragt systemet til den beskrevne form, reduceres den yderligere løsning til den sekventielle substitution af kendte variable i systemets ligninger.
I skolebøger for 7. klasse beskrives et eksempel på en løsning ved Gauss-metoden som følger:
Som det kan ses af eksemplet, blev der i trin (3) opnået to ligninger: 3x 3 -2x 4 =11 og 3x 3 +2x 4 =7. Løsning af en af ligningerne vil give dig mulighed for at finde ud af en af variablerne x n.
Sætning 5, som er nævnt i teksten, siger, at hvis en af systemets ligninger erstattes af en ækvivalent, så vil det resulterende system også være ækvivalent med det oprindelige.
Gauss-metoden er svær at forstå for mellemskoleelever, men det er en af de mest interessante måder at udvikle opfindsomheden hos børn, der er tilmeldt avancerede læringsprogrammer i matematik- og fysikklasser.
For at lette optagelsen udføres beregninger normalt som følger:
Koefficienterne for ligningerne og frie led er skrevet i form af en matrix, hvor hver række i matricen svarer til en af systemets ligninger. adskiller venstre side af ligningen fra højre. Romertal angiver antallet af ligninger i systemet.
Skriv først den matrix ned, der skal arbejdes med, og derefter alle handlinger udført med en af rækkerne. Den resulterende matrix skrives efter "pil"-tegnet, og de nødvendige algebraiske operationer fortsættes, indtil resultatet er opnået.
Resultatet skal være en matrix, hvor en af diagonalerne er lig med 1, og alle andre koefficienter er lig med nul, det vil sige, at matrixen er reduceret til en enhedsform. Vi må ikke glemme at udføre beregninger med tal på begge sider af ligningen.
Denne optagemetode er mindre besværlig og giver dig mulighed for ikke at blive distraheret ved at opremse adskillige ubekendte.
Den gratis brug af enhver løsningsmetode kræver omhu og en vis erfaring. Ikke alle metoder er af anvendt karakter. Nogle metoder til at finde løsninger er mere at foretrække inden for et bestemt område af menneskelig aktivitet, mens andre findes til uddannelsesformål.