Løsning af rationelle brøkligninger med odz. Fraktionelle rationelle ligninger

Hele udtrykket er matematisk udtryk, sammensat af tal og alfabetiske variable ved hjælp af operationerne addition, subtraktion og multiplikation. Heltal inkluderer også udtryk, der involverer division med et hvilket som helst andet tal end nul.

Begrebet et fraktioneret rationelt udtryk

Et brøkudtryk er et matematisk udtryk, der udover operationerne addition, subtraktion og multiplikation udført med tal og bogstavvariable, samt division med et tal ikke lig med nul, også indeholder division i udtryk med bogstavvariable.

Rationelle udtryk er alle hele og brøkudtryk. Rationelle ligninger er ligninger, hvor venstre og højre side er rationelle udtryk. Hvis venstre og højre side i en rationel ligning er heltalsudtryk, så kaldes en sådan rationel ligning et heltal.

Hvis i en rationel ligning er venstre eller højre side brøkudtryk, så kaldes en sådan rationel ligning brøkdel.

Eksempler på rationelle brøkudtryk

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Skema til løsning af en rationel brøkligning

1. Find fællesnævneren for alle brøker, der indgår i ligningen.

2. Gang begge sider af ligningen med en fællesnævner.

3. Løs den resulterende hele ligning.

4. Tjek rødderne og udelad dem, der får fællesnævneren til at forsvinde.

Da vi løser rationelle brøkligninger, vil der være variable i brøkernes nævnere. Det betyder, at de bliver en fællesnævner. Og i det andet punkt i algoritmen multiplicerer vi med en fællesnævner, så kan der opstå uvedkommende rødder. Hvilken fællesnævner vil være lig med nul, hvilket betyder at gange med det vil være meningsløst. Derfor er det i slutningen nødvendigt at kontrollere de opnåede rødder.

Lad os se på et eksempel:

Løs den rationelle brøkligning: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Vi vil holde os til almindelig ordning: Lad os først finde fællesnævneren for alle brøker. Vi får x*(x-5).

Gang hver brøk med en fællesnævner og skriv den resulterende hele ligning.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Lad os forenkle den resulterende ligning. Vi får:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Vi får en simpel reduceret andengradsligning. Vi løser det med nogen af kendte metoder, får vi rødderne x=-2 og x=5.

Nu tjekker vi de opnåede løsninger:

Sæt tallene -2 og 5 ind i fællesnævneren. Ved x=-2 forsvinder fællesnævneren x*(x-5) ikke, -2*(-2-5)=14. Det betyder, at tallet -2 vil være roden til den oprindelige rationelle brøkligning.

Når x=5 bliver fællesnævneren x*(x-5). lig med nul. Derfor er dette tal ikke roden til den oprindelige rationelle brøkligning, da der vil være en division med nul.

Den laveste fællesnævner bruges til at forenkle givet ligning. Denne metode bruges, når du ikke kan skrive en given ligning med ét rationelt udtryk på hver side af ligningen (og bruge multiplikationsmetoden på kryds og tværs). Denne metode bruges, når du får en rationel ligning med 3 eller flere brøker (i tilfælde af to brøker er det bedre at bruge multiplikation på kryds og tværs).

  • Find den laveste fællesnævner af brøkerne (eller mindste fælles multiplum). NOZ er mindste antal, som er ligeligt deleligt med hver nævner.

    • Nogle gange er NPD et indlysende tal. Hvis f.eks. gives ligningen: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, så er det indlysende, at det mindste fælles multiplum af tallene 3, 2 og 6 er 6.
    • Hvis NCD ikke er indlysende, skriv multipla af den største nævner ned og find blandt dem en, der vil være et multiplum af de andre nævnere. Ofte kan NOD findes ved blot at gange to nævnere. For eksempel, hvis ligningen er givet x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, så er NOS = 8*9 = 72.
    • Hvis en eller flere nævnere indeholder en variabel, bliver processen noget mere kompliceret (men ikke umulig). I dette tilfælde er NOC et udtryk (indeholdende en variabel), der er divideret med hver nævner. For eksempel i ligningen 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), fordi dette udtryk er divideret med hver nævner: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

  • Multiplicer både tælleren og nævneren for hver brøk med et tal svarende til resultatet af at dividere NOC med den tilsvarende nævner for hver brøk. Da du multiplicerer både tælleren og nævneren med det samme tal, multiplicerer du faktisk brøken med 1 (for eksempel 2/2 = 1 eller 3/3 = 1).

    • Så i vores eksempel skal du gange x/3 med 2/2 for at få 2x/6, og 1/2 gange med 3/3 for at få 3/6 (brøken 3x +1/6 behøver ikke at blive ganget, fordi den nævneren er 6).
    • Fortsæt på samme måde, når variablen er i nævneren. I vores andet eksempel, NOZ = 3x(x-1), så gang 5/(x-1) med (3x)/(3x) for at få 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x ganget med 3(x-1)/3(x-1) og du får 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) ganget med (x-1)/(x-1), og du får 2(x-1)/3x(x-1).

  • Find x. Nu hvor du har reduceret brøkerne til fællesnævner, kan du slippe af med nævneren. For at gøre dette skal du gange hver side af ligningen med fællesnævneren. Løs derefter den resulterende ligning, det vil sige find "x". For at gøre dette skal du isolere variablen på den ene side af ligningen.

    • I vores eksempel: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Du kan tilføje 2 brøker med samme nævner, så skriv ligningen som: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Gang begge sider af ligningen med 6 og slip for nævnerne: 2x+3 = 3x +1. Løs og få x = 2.
    • I vores andet eksempel (med en variabel i nævneren) ser ligningen sådan ud (efter reduktion til en fællesnævner): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Ved at gange begge sider af ligningen med N3 slipper man for nævneren og får: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), eller 15x = 3x - 3 + 2x -2, eller 15x = x - 5 Løs og få: x = -5/14.

    • Smirnova Anastasia Yurievna

    Lektionstype: lektion om at lære nyt materiale.

    Organisationsform pædagogiske aktiviteter : frontal, individuel.

    Formål med lektionen: at introducere en ny type ligninger - rationelle brøkligninger, for at give en idé om algoritmen til løsning af brøkligninger rationelle ligninger.

    Lektionens mål.

    Uddannelsesmæssigt:

    • dannelse af begrebet en rationel brøkligning;
    • overveje en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger, herunder betingelsen om, at brøken er lig nul;
    • lære at løse rationelle brøkligninger ved hjælp af en algoritme.

    Udviklingsmæssigt:

    • skabe betingelser for at udvikle færdigheder i at anvende erhvervet viden;
    • fremme udvikling kognitiv interesse studerende til faget;
    • udvikle elevernes evne til at analysere, sammenligne og drage konklusioner;
    • udvikling af færdigheder til gensidig kontrol og selvkontrol, opmærksomhed, hukommelse, mundtlig og skrivning, uafhængighed.

    Uddannelse:

    • fremme kognitiv interesse for emnet;
    • fremme uafhængighed i beslutningstagningen pædagogiske opgaver;
    • pleje vilje og vedholdenhed for at opnå endelige resultater.

    Udstyr: lærebog, tavle, farveblyanter.

    Lærebog "Algebra 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, redigeret af S.A. Telyakovsky. Moskva "Oplysningstiden". 2010

    På dette emne der er afsat fem timer. Dette er den første lektion. Det vigtigste er at studere algoritmen til løsning af rationelle brøkligninger og øve denne algoritme i øvelser.

    Under timerne

    1. Organisatorisk øjeblik.

    Hej gutter! I dag vil jeg gerne starte vores lektion med et kvad:
    For at gøre livet lettere for alle,
    Hvad ville blive besluttet, hvad ville være muligt,
    Smil, held og lykke til alle,
    Så der er ingen problemer,
    Vi smilede til hinanden og skabte godt humør og begyndte at arbejde.

    Der er skrevet ligninger på tavlen, se nøje på dem. Kan du løse alle disse ligninger? Hvilke er ikke og hvorfor?

    Ligninger, hvor venstre og højre side er rationelle brøkudtryk, kaldes rationelle brøkligninger. Hvad tror du, vi skal læse i klassen i dag? Formuler emnet for lektionen. Så åbn dine notesbøger og skriv emnet ned i lektionen "Løsning af rationelle brøkligninger."

    2. Opdatering af viden. Frontal undersøgelse, mundtligt arbejde med klasse.

    Og nu vil vi gentage det vigtigste teoretiske materiale, som vi skal studere nyt emne. Svar venligst på følgende spørgsmål:

    1. Hvad er en ligning? ( Ligestilling med en variabel eller variable.)
    2. Hvad hedder ligning nummer 1? ( Lineær.) En metode til løsning af lineære ligninger. ( Overfør alt med det ukendte til venstre side ligninger, er alle tal til højre. At føre lignende vilkår. Find ukendt faktor).
    3. Hvad hedder ligning nummer 3? ( Firkant.) Metoder til løsning af andengradsligninger. (S om formler)
    4. Hvad er proportion? ( Ligestilling mellem to forhold.) Hovedegenskaben ved proportion. ( Hvis forholdet er korrekt, så er produktet af dets ekstreme led lig med produktet af mellemleddet.)
    5. Hvilke egenskaber bruges ved løsning af ligninger? ( 1. Hvis du flytter et led i en ligning fra en del til en anden, ændrer dets fortegn, får du en ligning svarende til den givne. 2. Hvis begge sider af ligningen ganges eller divideres med det samme ikke-nul tal, får du en ligning svarende til den givne.)
    6. Hvornår er en brøk lig med nul? ( En brøk er lig med nul, når tælleren er nul, og nævneren ikke er nul..)

    3. Forklaring af nyt materiale.

    Løs ligning nr. 2 i dine notesbøger og på tavlen.

    Svar: 10.

    Hvilken rationel brøkligning kan du prøve at løse ved hjælp af den grundlæggende egenskab proportional? (nr. 5).

    (x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

    x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

    x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

    Løs ligning nr. 4 i dine notesbøger og på tavlen.

    Svar: 1,5.

    Hvilken rationel brøkligning kan du prøve at løse ved at gange begge sider af ligningen med nævneren? (nr. 6).

    x 2 -7x+12 = 0

    D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

    Svar: 3;4.

    Vi vil se på løsning af ligninger som ligning nr. 7 i de følgende lektioner.

    Forklar hvorfor dette skete? Hvorfor er der tre rødder i det ene tilfælde og to i det andet? Hvilke tal er rødderne til denne rationelle brøkligning?

    Indtil nu har eleverne ikke mødt begrebet en uvedkommende rod, det er virkelig meget svært for dem at forstå, hvorfor dette skete. Hvis ingen i klassen kan give en klar forklaring på denne situation, så stiller læreren ledende spørgsmål.

    • Hvordan adskiller ligning nr. 2 og 4 sig fra ligning nr. 5 og 6? ( I ligning nr. 2 og 4 er der tal i nævneren, nr. 5-6 - udtryk med en variabel.)
    • Hvad er roden til en ligning? ( Værdien af ​​den variabel, ved hvilken ligningen bliver sand.)
    • Hvordan finder man ud af, om et tal er roden til en ligning? ( Lav et tjek.)

    Når de tester, bemærker nogle elever, at de skal dividere med nul. De konkluderer, at tallene 0 og 5 ikke er rødderne til denne ligning. Spørgsmålet opstår: er der en måde at løse rationelle brøkligninger på, der giver os mulighed for at eliminere denne fejl? Ja, denne metode er baseret på den betingelse, at brøken er lig nul.

    Lad os prøve at formulere en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger på denne måde. Børn formulerer selv algoritmen.

    Algoritme til løsning af rationelle brøkligninger:

    1. Flyt alt til venstre side.
    2. Reducer brøker til en fællesnævner.
    3. Opret et system: en brøk er lig med nul, når tælleren er lig med nul, og nævneren ikke er lig med nul.
    4. Løs ligningen.
    5. Tjek ulighed for at udelukke uvedkommende rødder.
    6. Skriv svaret ned.

    4. Indledende forståelse af nyt materiale.

    Arbejde i par. Eleverne vælger selv, hvordan de løser ligningen afhængigt af ligningstypen. Opgaver fra lærebogen “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr. 600(b,c); nr. 601(a,e). Læreren overvåger færdiggørelsen af ​​opgaven, besvarer eventuelle spørgsmål, der opstår, og yder assistance til dårligt præsterende elever. Selvtest: svar skrives på tavlen.

    b) 2 - uvedkommende rod. Svar: 3.

    c) 2 - uvedkommende rod. Svar: 1.5.

    a) Svar: -12.5.

    5. Opsætning af lektier.

    1. Læs afsnit 25 fra lærebogen, analyser eksempel 1-3.
    2. Lær en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger.
    3. Løs i notesbøger nr. 600 (d, d); nr. 601(g,h).

    6. Opsummering af lektionen.

    Så i dag i lektionen stiftede vi bekendtskab med rationelle brøkligninger, lærte at løse disse ligninger forskellige veje. Hvad skal du huske på, uanset hvordan du løser rationelle brøkligninger? Hvad er "udspekulationen" ved rationelle brøkligninger?

    Tak alle sammen, lektionen er slut.

    \(\bullet\) En rationel ligning er en ligning repræsenteret i formen \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] hvor \(P(x), \Q(x)\ ) - polynomier (summen af ​​"X'er" i forskellige potenser, ganget med forskellige tal).
    Udtrykket i venstre side af ligningen kaldes et rationelt udtryk.
    ODZ (region acceptable værdier) af en rationel ligning er alle værdier af \(x\), for hvilke nævneren IKKE forsvinder, det vil sige \(Q(x)\ne 0\) .
    \(\bullet\) For eksempel ligninger \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] er rationelle ligninger.
    I den første ligning er ODZ alle \(x\) således at \(x\ne 3\) (skriv \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); i den anden ligning – disse er alle \(x\) sådan at \(x\ne -1; x\ne 1\) (skriv \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); og i den tredje ligning er der ingen begrænsninger på ODZ, det vil sige, at ODZ er alle \(x\) (de skriver \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Sætning:
    1) Produktet af to faktorer er lig med nul, hvis og kun hvis en af ​​dem er lig med nul, og den anden ikke mister betydning, derfor ligningen \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) svarer til systemet \[\begin(cases) \venstre[ \begin(samlet)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(samlet) \right.\\ \ tekst(ODZ-ligninger)\end(cases)\] 2) En brøk er lig nul, hvis og kun hvis tælleren er lig nul, og nævneren ikke er lig med nul, derfor ligningen \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) svarer til et ligningssystem \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Lad os se på et par eksempler.

    1) Løs ligningen \(x+1=\dfrac 2x\) . Lad os finde ODZ af denne ligning - dette er \(x\ne 0\) (da \(x\) er i nævneren).
    Det betyder, at ODZ kan skrives som følger: .
    Lad os flytte alle termerne til én del og bringe dem til en fællesnævner: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( cases) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(cases)\] Løsningen til den første ligning i systemet vil være \(x=-2, x=1\) . Vi ser, at begge rødder er ikke-nul. Derfor er svaret: \(x\in \(-2;1\)\) .

    2) Løs ligningen \(\venstre(\dfrac4x - 2\højre)\cdot (x^2-x)=0\). Lad os finde ODZ af denne ligning. Vi ser, at den eneste værdi af \(x\), som venstre side ikke giver mening for, er \(x=0\) . Så ODZ kan skrives sådan: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
    Således svarer denne ligning til systemet:

    \[\begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(samlet) \right. \\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(justed) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet)\begin(aligned) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(justed) \end(samlet) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(samlet) \begin(aligned) &x=2\\ &x=1 \end(aligned) \end(samlet) \right.\] Faktisk, på trods af at \(x=0\) er roden til den anden faktor, hvis du erstatter \(x=0\) i den oprindelige ligning, vil det ikke give mening, fordi udtryk \(\dfrac 40\) er ikke defineret.
    Løsningen til denne ligning er således \(x\in \(1;2\)\) .

    3) Løs ligningen \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] I vores ligning \(4x^2-1\ne 0\) , hvorfra \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , det vil sige \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
    Lad os flytte alle udtryk til venstre og bringe dem til en fællesnævner:

    \(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftrightarrow\)

    \(\Leftrightarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(samlet) \begin( justeret) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(aligned)\end(samlet) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Venstre højrepil \quad x=-3\)

    Svar: \(x\in \(-3\)\) .

    Kommentar. Hvis svaret består af et begrænset sæt tal, så kan de skrives adskilt af semikolon i krøllede parenteser, som vist i de foregående eksempler.

    Problemer, der kræver løsning af rationelle ligninger, støder på hvert år i Unified State Examination i matematik, så når de forbereder sig på at bestå certificeringstesten, bør kandidater helt sikkert gentage teorien om dette emne på egen hånd. Kandidater tager både det grundlæggende og profilniveau eksamen. At have mestret teorien og beskæftiget sig med praktiske øvelser om emnet "Rationelle ligninger", vil eleverne være i stand til at løse problemer med et vilkårligt antal handlinger og regne med at modtage konkurrenceresultater baseret på resultaterne af at bestå Unified State Exam.

    Hvordan forbereder man sig til eksamen ved hjælp af Shkolkovo uddannelsesportal?

    Nogle gange kan du finde en kilde, der fuldt ud præsenterer den grundlæggende teori til løsning matematiske problemer viser sig at være ret svært. Lærebogen er måske simpelthen ikke lige ved hånden. Og find nødvendige formler nogle gange kan det være ret svært selv på internettet.

    Shkolkovo uddannelsesportal vil fritage dig for behovet for at søge det nødvendige materiale og vil hjælpe dig med at forberede dig godt til at bestå certificeringstesten.

    Alle nødvendig teori om emnet "Rationelle ligninger" forberedte og præsenterede vores specialister maksimalt tilgængelig form. Efter at have studeret den præsenterede information, vil eleverne være i stand til at udfylde huller i viden.

    Til vellykket forberedelse Til Unified State Examination for kandidater det er nødvendigt ikke kun at friske op på det grundlæggende teoretisk materiale om emnet "Rationelle ligninger", men at øve sig i at udføre opgaver på konkrete eksempler. Et stort udvalg af opgaver præsenteres i afsnittet "Katalog".

    For hver øvelse på siden har vores eksperter skrevet en løsningsalgoritme og angivet det rigtige svar. Eleverne kan øve sig i at løse problemer varierende grader vanskeligheder afhængigt af forberedelsesniveauet. Listen over opgaver i det tilsvarende afsnit suppleres og opdateres løbende.

    Studer teoretisk materiale og finpuds problemløsningsfærdigheder om emnet "Rationelle ligninger", svarende til dem, der er inkluderet i Unified State Exam tests, kan gøres online. Om nødvendigt kan enhver af de præsenterede opgaver føjes til sektionen "Favoritter". Gentager igen grundlæggende teori om emnet "Rationelle ligninger", vil en gymnasieelev være i stand til at vende tilbage til problemet i fremtiden for at diskutere fremskridtet med dets løsning med læreren i en algebra-lektion.

    Lad os stifte bekendtskab med rationelle og fraktionelle rationelle ligninger, give deres definition, give eksempler og også analysere de mest almindelige typer problemer.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Rationel ligning: definition og eksempler

    Bekendtskabet med rationelle udtryk begynder i 8. klasse i skolen. På dette tidspunkt begynder eleverne i algebratimerne i stigende grad at møde opgaver med ligninger, der indeholder rationelle udtryk i deres noter. Lad os genopfriske vores hukommelse om, hvad det er.

    Definition 1

    Rationel ligning er en ligning, hvor begge sider indeholder rationelle udtryk.

    I forskellige manualer kan du finde en anden formulering.

    Definition 2

    Rationel ligning er en ligning, hvis venstre side indeholder rationelt udtryk, og den højre er nul.

    De definitioner, vi gav for rationelle ligninger, er ækvivalente, da de taler om det samme. Rigtigheden af ​​vores ord bekræftes af det faktum, at for alle rationelle udtryk P Og Q ligninger P = Q Og P − Q = 0 vil være tilsvarende udtryk.

    Lad os nu se på eksemplerne.

    Eksempel 1

    Rationelle ligninger:

    x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

    Rationelle ligninger kan, ligesom ligninger af andre typer, indeholde et vilkårligt antal variable fra 1 til flere. Først vil vi se på simple eksempler, hvor ligningerne kun vil indeholde én variabel. Og så begynder vi gradvist at komplicere opgaven.

    Rationelle ligninger er opdelt i to store grupper: heltal og brøker. Lad os se, hvilke ligninger der gælder for hver af grupperne.

    Definition 3

    En rationel ligning vil være heltal, hvis dens venstre og højre side indeholder hele rationelle udtryk.

    Definition 4

    En rationel ligning vil være brøk, hvis den ene eller begge dele indeholder en brøk.

    Fraktionelle rationelle ligninger indeholder nødvendigvis division med en variabel, eller variablen er til stede i nævneren. Der er ingen sådan opdeling i skrivning af hele ligninger.

    Eksempel 2

    3 x + 2 = 0 Og (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– hele rationelle ligninger. Her er begge sider af ligningen repræsenteret ved heltalsudtryk.

    1 x - 1 = x 3 og x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 er brøkrationelle ligninger.

    Hele rationelle ligninger inkluderer lineære og andengradsligninger.

    Løsning af hele ligninger

    At løse sådanne ligninger kommer normalt til at konvertere dem til ækvivalente algebraiske ligninger. Dette kan opnås ved at udføre ækvivalente transformationer af ligninger i overensstemmelse med følgende algoritme:

    • først får vi nul på højre side af ligningen for at gøre dette, skal vi flytte det udtryk, der er på højre side af ligningen, til dets venstre side og ændre tegnet;
    • så transformerer vi udtrykket i venstre side af ligningen til et polynomium standard visning.

    Vi skal få en algebraisk ligning. Denne ligning vil svare til den oprindelige ligning. Lette tilfælde giver os mulighed for at reducere hele ligningen til en lineær eller kvadratisk for at løse problemet. Generelt løser vi en algebraisk gradsligning n.

    Eksempel 3

    Det er nødvendigt at finde rødderne til hele ligningen 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

    Løsning

    Lad os transformere det oprindelige udtryk for at opnå en ækvivalent algebraisk ligning. For at gøre dette overfører vi udtrykket indeholdt på højre side af ligningen til venstre side og erstatter tegnet med det modsatte. Som et resultat får vi: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

    Lad os nu omdanne det udtryk, der er på venstre side, til et polynomium af standardformen og producere nødvendige handlinger med dette polynomium:

    3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

    Det lykkedes os at reducere løsningen til den oprindelige ligning til løsningen andengradsligning venlig x 2 − 5 x − 6 = 0. Diskriminanten i denne ligning er positiv: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Det betyder, rigtige rødder der bliver to. Lad os finde dem ved hjælp af formlen for rødderne af en andengradsligning:

    x = - - 5 ± 49 2 1,

    x 1 = 5 + 7 2 eller x 2 = 5 - 7 2,

    x 1 = 6 eller x 2 = - 1

    Lad os kontrollere rigtigheden af ​​rødderne af ligningen, som vi fandt under løsningen. Til dette erstatter vi de tal, vi modtog, i den oprindelige ligning: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Og 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2​· (− 1) − 1) − 3. I det første tilfælde 63 = 63 , i den anden 0 = 0 . Rødder x=6 Og x = − 1 er faktisk rødderne til ligningen givet i eksempelbetingelsen.

    Svar: 6 , − 1 .

    Lad os se på, hvad "grad af en hel ligning" betyder. Vi vil ofte støde på dette udtryk i tilfælde, hvor vi skal repræsentere en hel ligning i algebraisk form. Lad os definere konceptet.

    Definition 5

    Grad af hele ligningen- dette er graden algebraisk ligning, svarende til den oprindelige heltalsligning.

    Hvis du ser på ligningerne fra eksemplet ovenfor, kan du fastslå: graden af ​​hele denne ligning er anden.

    Hvis vores kursus var begrænset til at løse ligninger af anden grad, så kunne diskussionen om emnet ende der. Men det er ikke så enkelt. At løse ligninger af tredje grad er fyldt med vanskeligheder. Og for ligninger højere end den fjerde grad er der ingen generelle formler rødder I denne henseende kræver løsning af hele ligninger af tredje, fjerde og andre grader, at vi bruger en række andre teknikker og metoder.

    Den mest almindeligt anvendte tilgang til løsning af hele rationelle ligninger er baseret på faktoriseringsmetoden. Algoritmen for handlinger i dette tilfælde er som følger:

    • vi flytter udtrykket fra højre side til venstre, så nul forbliver på højre side af posten;
    • Vi repræsenterer udtrykket på venstre side som et produkt af faktorer, og går derefter videre til et sæt af flere simplere ligninger.
    Eksempel 4

    Find løsningen til ligningen (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

    Løsning

    Vi flytter udtrykket fra højre side af pladen til venstre med modsat fortegn: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. At konvertere venstre side til et polynomium af standardformen er uhensigtsmæssigt på grund af det faktum, at dette vil give os en algebraisk ligning af fjerde grad: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Den lette konvertering retfærdiggør ikke alle vanskelighederne ved at løse en sådan ligning.

    Det er meget nemmere at gå den anden vej: Lad os tage det ud af parenteserne fælles multiplikator x 2 − 10 x + 13 . Så vi når frem til en formligning (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Nu erstatter vi den resulterende ligning med et sæt af to andengradsligninger x 2 − 10 x + 13 = 0 Og x 2 − 2 x − 1 = 0 og find deres rødder gennem diskriminanten: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

    Svar: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

    På samme måde kan vi bruge metoden til at indføre en ny variabel. Denne metode giver os mulighed for at flytte til ækvivalente ligninger med grader lavere end graderne i den oprindelige heltalsligning.

    Eksempel 5

    Har ligningen rødder? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

    Løsning

    Hvis vi nu forsøger at reducere en hel rationel ligning til en algebraisk, får vi en ligning på grad 4, som ikke har nogen rationelle rødder. Derfor bliver det nemmere for os at gå den anden vej: indfør en ny variabel y, som erstatter udtrykket i ligningen x 2 + 3 x.

    Nu vil vi arbejde med hele ligningen (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Lad os flytte højre side af ligningen til venstre med det modsatte fortegn og udføre nødvendige transformationer. Vi får: y 2 + 4 y + 3 = 0. Lad os finde rødderne til andengradsligningen: y = − 1 Og y = − 3.

    Lad os nu foretage den omvendte udskiftning. Vi får to ligninger x 2 + 3 x = − 1 Og x 2 + 3 · x = − 3 . Lad os omskrive dem som x 2 + 3 x + 1 = 0 og x 2 + 3 x + 3 = 0. Vi bruger formlen for rødderne af en andengradsligning for at finde rødderne til den første ligning fra de opnåede: - 3 ± 5 2. Diskriminanten i den anden ligning er negativ. Det betyder, at den anden ligning ikke har nogen reelle rødder.

    Svar:- 3 ± 5 2

    Hele ligninger høje grader støder på i opgaver ret ofte. Der er ingen grund til at være bange for dem. Du skal være klar til at ansøge ikke-standard metode deres løsninger, herunder en række kunstige transformationer.

    Løsning af rationelle brøkligninger

    Vi vil begynde vores overvejelse af dette underemne med en algoritme til løsning af brøkrationelle ligninger på formen p (x) q (x) = 0, hvor p(x) Og q(x)– hele rationelle udtryk. Løsningen af ​​andre fraktioneret rationelle ligninger kan altid reduceres til løsningen af ​​ligninger af den angivne type.

    Den mest brugte metode til at løse ligningerne p (x) q (x) = 0 er baseret på følgende udsagn: numerisk brøk u v, Hvor v- dette er et tal, der er forskelligt fra nul, kun lig med nul i de tilfælde, hvor brøkens tæller er lig med nul. Efter logikken i ovenstående udsagn kan vi hævde, at løsningen til ligningen p (x) q (x) = 0 kan reduceres til at opfylde to betingelser: p(x)=0 Og q(x) ≠ 0. Dette er grundlaget for at konstruere en algoritme til løsning af rationelle brøkligninger på formen p (x) q (x) = 0:

    • find løsningen på hele den rationelle ligning p(x)=0;
    • vi tjekker om betingelsen er opfyldt for rødderne fundet under opløsningen q(x) ≠ 0.

    Hvis denne betingelse er opfyldt, så er den fundne rod Hvis ikke, så er roden ikke en løsning på problemet.

    Eksempel 6

    Lad os finde rødderne til ligningen 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

    Løsning

    Vi har at gøre med en rationel brøkligning af formen p (x) q (x) = 0, hvor p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Lad os begynde at løse den lineære ligning 3 x − 2 = 0. Roden til denne ligning vil være x = 2 3.

    Lad os tjekke den fundne rod for at se, om den opfylder betingelsen 5 x 2 − 2 ≠ 0. For at gøre dette, lad os erstatte numerisk værdi til udtryk. Vi får: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

    Betingelsen er opfyldt. Det betyder at x = 2 3 er roden til den oprindelige ligning.

    Svar: 2 3 .

    Der er en anden mulighed for at løse rationelle brøkligninger p (x) q (x) = 0. Husk at denne ligning svarer til hele ligningen p(x)=0 på intervallet af tilladte værdier af variablen x i den oprindelige ligning. Dette giver os mulighed for at bruge følgende algoritme til at løse ligningerne p (x) q (x) = 0:

    • løse ligningen p(x)=0;
    • find intervallet af tilladte værdier for variablen x;
    • vi tager rødderne, der ligger i intervallet af tilladte værdier af variablen x, som de ønskede rødder af den oprindelige rationale fraktionelle ligning.
    Eksempel 7

    Løs ligningen x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

    Løsning

    Lad os først løse den andengradsligning x 2 − 2 x − 11 = 0. For at beregne dens rødder bruger vi røddernes formlen for den lige anden koefficient. Vi får D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 og x = 1 ± 23.

    Nu kan vi finde ODZ af variabel x for den oprindelige ligning. Det er alle de tal, som x 2 + 3 x ≠ 0. Det er det samme som x (x + 3) ≠ 0, hvorfra x ≠ 0, x ≠ − 3.

    Lad os nu kontrollere, om rødderne x = 1 ± 2 3 opnået i det første trin af løsningen er inden for intervallet af tilladte værdier for variablen x. Vi ser dem komme ind. Dette betyder, at den oprindelige rationelle brøkligning har to rødder x = 1 ± 2 3.

    Svar: x = 1 ± 2 3

    Den anden løsningsmetode beskrevet nemmere end den første i tilfælde, hvor intervallet af tilladte værdier for variablen x er let at finde, og rødderne af ligningen p(x)=0 irrationel. For eksempel 7 ± 4 · 26 9. Rødderne kan være rationelle, men med en stor tæller eller nævner. For eksempel, 127 1101 Og − 31 59 . Dette sparer tid på at kontrollere tilstanden q(x) ≠ 0: Det er meget lettere at udelukke rødder, der ikke er egnede i henhold til ODZ.

    I tilfælde hvor ligningens rødder p(x)=0 er heltal, er det mere hensigtsmæssigt at bruge den første af de beskrevne algoritmer til at løse ligninger af formen p (x) q (x) = 0. Find rødderne til en hel ligning hurtigere p(x)=0, og kontroller derefter, om betingelsen er opfyldt for dem q(x) ≠ 0, i stedet for at finde ODZ og derefter løse ligningen p(x)=0 på denne ODZ. Dette skyldes, at det i sådanne tilfælde normalt er nemmere at tjekke end at finde DZ.

    Eksempel 8

    Find ligningens rødder (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

    Løsning

    Lad os starte med at se på hele ligningen (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 og finde dens rødder. For at gøre dette anvender vi metoden til at løse ligninger gennem faktorisering. Det viser sig, at den oprindelige ligning svarer til et sæt af fire ligninger 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, hvoraf tre er lineære og den ene er kvadratisk. At finde rødder: fra den første ligning x = 12, fra den anden – x=6, fra den tredje – x = 7 , x = − 2 , fra den fjerde – x = − 1.

    Lad os tjekke de opnåede rødder. Bestem ADL i I dette tilfælde Det er svært for os, da vi for dette bliver nødt til at løse en algebraisk ligning af femte grad. Det vil være lettere at kontrollere den betingelse, hvorefter nævneren af ​​brøken, som er i venstre side af ligningen, ikke skal gå til nul.

    Lad os skiftes til at erstatte variablen x med rødderne i udtrykket x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 og beregn dens værdi:

    1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 322 + 1;

    6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0;

    7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0;

    (− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

    (− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

    Den udførte verifikation giver os mulighed for at fastslå, at rødderne til den oprindelige rationelle brøkligning er 1 2, 6 og − 2 .

    Svar: 1 2 , 6 , - 2

    Eksempel 9

    Find rødderne til den rationelle brøkligning 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

    Løsning

    Lad os begynde at arbejde med ligningen (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Lad os finde dens rødder. Det er lettere for os at forestille os denne ligning som en kombination af kvadratisk og lineære ligninger 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Og x − 2 = 0.

    Vi bruger formlen for rødderne til en andengradsligning til at finde rødderne. Vi får fra den første ligning to rødder x = 7 ± 69 10, og fra den anden x = 2.

    Det vil være ret svært for os at erstatte værdien af ​​rødderne i den oprindelige ligning for at kontrollere betingelserne. Det vil være lettere at bestemme ODZ for variablen x. I dette tilfælde er ODZ for variablen x alle tal undtagen dem, for hvilke betingelsen er opfyldt x 2 + 5 x − 14 = 0. Vi får: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

    Lad os nu kontrollere, om de rødder, vi fandt, tilhører rækken af ​​tilladte værdier for variablen x.

    Rødderne x = 7 ± 69 10 - hører til, derfor er de rødderne til den oprindelige ligning, og x = 2- hører ikke til, derfor er det en uvedkommende rod.

    Svar: x = 7 ± 69 10.

    Lad os særskilt undersøge de tilfælde, hvor tælleren for en rationel brøkligning på formen p (x) q (x) = 0 indeholder et tal. I sådanne tilfælde, hvis tælleren indeholder et andet tal end nul, vil ligningen ikke have nogen rødder. Hvis dette tal er lig med nul, vil roden af ​​ligningen være et hvilket som helst tal fra ODZ.

    Eksempel 10

    Løs den rationelle brøkligning - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

    Løsning

    Denne ligning vil ikke have rødder, da tælleren for brøken på venstre side af ligningen indeholder et tal, der ikke er nul. Det betyder, at ved ingen værdi af x vil værdien af ​​brøken givet i problemformuleringen være lig med nul.

    Svar: ingen rødder.

    Eksempel 11

    Løs ligningen 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

    Løsning

    Da brøkens tæller indeholder nul, vil løsningen til ligningen være en hvilken som helst værdi x fra ODZ af variablen x.

    Lad os nu definere ODZ. Det vil inkludere alle værdier af x for hvilke x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Løsninger til ligningen x 4 + 5 x 3 = 0 er 0 Og − 5 , da denne ligning svarer til ligningen x 3 (x + 5) = 0, og det svarer igen til kombinationen af ​​to ligninger x 3 = 0 og x + 5 = 0, hvor disse rødder er synlige. Vi kommer til den konklusion, at det ønskede interval af acceptable værdier er et hvilket som helst x undtagen x = 0 Og x = − 5.

    Det viser sig, at den rationelle brøkligning 0 x 4 + 5 x 3 = 0 har uendeligt sæt løsninger, som er alle tal undtagen nul og - 5.

    Svar: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

    Lad os nu tale om rationelle brøkligninger vilkårlig type og metoder til at løse dem. De kan skrives som r(x) = s(x), Hvor r(x) Og s(x)– rationelle udtryk, og mindst et af dem er fraktioneret. Løsning af sådanne ligninger reduceres til at løse ligninger på formen p (x) q (x) = 0.

    Vi ved allerede, hvad vi kan få tilsvarende ligning når man overfører et udtryk fra højre side af ligningen til venstre med det modsatte fortegn. Det betyder, at ligningen r(x) = s(x) svarer til ligningen r (x) − s (x) = 0. Vi har også allerede diskuteret måder at konvertere et rationelt udtryk til en rationel brøk. Takket være dette kan vi nemt transformere ligningen r (x) − s (x) = 0 til en identisk rationel brøkdel af formen p (x) q (x) .

    Så vi flytter fra den oprindelige rationelle brøkligning r(x) = s(x) til en ligning på formen p (x) q (x) = 0, som vi allerede har lært at løse.

    Det skal tages i betragtning, at når man laver overgange fra r (x) − s (x) = 0 til p(x)q(x) = 0 og derefter til p(x)=0 vi tager muligvis ikke højde for udvidelsen af ​​intervallet af tilladte værdier for variablen x.

    Det er meget muligt, at den oprindelige ligning r(x) = s(x) og ligning p(x)=0 som følge af transformationerne vil de ophøre med at være ækvivalente. Så løsningen til ligningen p(x)=0 kan give os rødder, som vil være fremmede for r(x) = s(x). I denne henseende er det i hvert tilfælde nødvendigt at udføre verifikation ved hjælp af en af ​​metoderne beskrevet ovenfor.

    For at gøre det lettere for dig at studere emnet, har vi opsummeret al information i en algoritme til løsning af en rationel brøkligning af formen r(x) = s(x):

    • vi overfører udtrykket fra højre side med det modsatte fortegn og får nul til højre;
    • transformere det oprindelige udtryk til en rationel brøk p (x) q (x) , sekventielt udføre operationer med brøker og polynomier;
    • løse ligningen p(x)=0;
    • Vi identificerer fremmede rødder ved at kontrollere deres tilhørsforhold til ODZ'en eller ved substitution i den oprindelige ligning.

    Visuelt vil kæden af ​​handlinger se sådan ud:

    r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminering EKSTERNE RØDDER

    Eksempel 12

    Løs den rationelle brøkligning x x + 1 = 1 x + 1.

    Løsning

    Lad os gå videre til ligningen x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Lad os omdanne det rationelle brøkudtryk i venstre side af ligningen til formen p (x) q (x) .

    For at gøre dette bliver vi nødt til at bringe rationelle brøker til en fællesnævner og forenkle udtrykket:

    x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

    For at finde rødderne af ligningen - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, skal vi løse ligningen − 2 x − 1 = 0. Vi får én rod x = - 1 2.

    Alt, hvad vi skal gøre, er at tjekke ved hjælp af en af ​​metoderne. Lad os se på dem begge.

    Lad os erstatte den resulterende værdi i den oprindelige ligning. Vi får - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Vi er kommet til den rigtige konklusion numerisk lighed − 1 = − 1 . Det betyder at x = − 1 2 er roden til den oprindelige ligning.

    Lad os nu tjekke gennem ODZ. Lad os bestemme rækkevidden af ​​tilladte værdier for variablen x. Dette vil være hele sættet af tal, med undtagelse af − 1 og 0 (ved x = − 1 og x = 0, forsvinder brøkernes nævnere). Roden vi fik x = − 1 2 tilhører ODZ. Det betyder, at det er roden til den oprindelige ligning.

    Svar: − 1 2 .

    Eksempel 13

    Find rødderne til ligningen x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

    Løsning

    Vi har at gøre med en rationel brøkligning. Derfor vil vi handle efter algoritmen.

    Lad os flytte udtrykket fra højre side til venstre med det modsatte fortegn: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

    Lad os udføre de nødvendige transformationer: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

    Vi når frem til ligningen x = 0. Roden af ​​denne ligning er nul.

    Lad os kontrollere, om denne rod er uvedkommende i forhold til den oprindelige ligning. Lad os erstatte værdien i den oprindelige ligning: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Som du kan se, giver den resulterende ligning ingen mening. Det betyder, at 0 er en uvedkommende rod, og den oprindelige rationelle brøkligning har ingen rødder.

    Svar: ingen rødder.

    Hvis vi ikke har inkluderet andre ækvivalente transformationer i algoritmen, betyder det ikke, at de ikke kan bruges. Algoritmen er universel, men den er designet til at hjælpe, ikke begrænse.

    Eksempel 14

    Løs ligningen 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

    Løsning

    Den nemmeste måde er at løse den givne rationelle brøkligning i henhold til algoritmen. Men der er en anden måde. Lad os overveje det.

    Træk 7 fra højre og venstre side, vi får: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

    Heraf kan vi slutte, at udtrykket i nævneren på venstre side skal være lig med tallet gensidigt nummer fra højre side, det vil sige 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

    Træk 3 fra begge sider: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Analogt er 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, hvorfra 1 5 - x 2 = 1 3, og derefter 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

    Lad os foretage en kontrol for at afgøre, om de fundne rødder er rødderne til den oprindelige ligning.

    Svar: x = ± 2

    Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter