Den enkleste mulighed for eksponentialligninger 1. Eksponentialligninger

Løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er der sket eksponentiel ligning? Dette er en ligning, hvor de ukendte (x'er) og udtryk med dem er med indikatorer nogle grader. Og kun der! Det er vigtigt.

Der er du eksempler på eksponentialligninger:

3 x 2 x = 8 x+3

Bemærk! I basis af grader (nedenfor) - kun tal. I indikatorer grader (over) - en bred vifte af udtryk med et X. Hvis der pludselig dukker et X op i ligningen et andet sted end en indikator, for eksempel:

dette vil allerede være en ligning af blandet type. Sådanne ligninger har ikke klare regler for løsning af dem. Vi vil ikke overveje dem lige nu. Her vil vi beskæftige os med løsning af eksponentialligninger i sin reneste form.

Faktisk løses selv rene eksponentielle ligninger ikke altid klart. Men der er visse typer eksponentielle ligninger, der kan og bør løses. Det er disse typer, vi vil overveje.

Løsning af simple eksponentialligninger.

Lad os først løse noget meget grundlæggende. For eksempel:

Selv uden nogen teorier, ved simpel udvælgelse er det klart, at x = 2. Intet andet, vel!? Ingen anden værdi af X virker. Lad os nu se på løsningen på denne vanskelige eksponentielle ligning:

Hvad har vi gjort? Vi smed faktisk simpelthen de samme baser ud (tripler). Fuldstændig smidt ud. Og den gode nyhed er, at vi rammer sømmet på hovedet!

Faktisk, hvis der i en eksponentiel ligning er venstre og højre det samme tal i enhver potens, kan disse tal fjernes, og eksponenterne kan udlignes. Matematik tillader. Det er tilbage at løse en meget enklere ligning. Fantastisk, ikke?)

Men lad os huske bestemt: Du kan kun fjerne baser, når basistallene til venstre og højre er i glimrende isolation! Uden nogen naboer og koefficienter. Lad os sige i ligningerne:

2 x +2 x+1 = 2 3, eller

toer kan ikke fjernes!

Nå, vi har mestret det vigtigste. Hvordan man bevæger sig fra onde eksponentielle udtryk til enklere ligninger.

"Det er tiderne!" - du siger. "Hvem ville give sådan en primitiv lektion om prøver og eksamener!?"

Jeg må være enig. Ingen vil. Men nu ved du, hvor du skal sigte, når du skal løse vanskelige eksempler. Det skal bringes til den form, hvor det samme grundtal er til venstre og højre. Så bliver alt nemmere. Faktisk er dette en klassiker inden for matematik. Vi tager det originale eksempel og transformerer det til det ønskede os sind. Efter matematikkens regler, selvfølgelig.

Lad os se på eksempler, der kræver en ekstra indsats for at reducere dem til de enkleste. Lad os ringe til dem simple eksponentialligninger.

Løsning af simple eksponentialligninger. Eksempler.

Ved løsning af eksponentialligninger er hovedreglerne handlinger med grader. Uden viden om disse handlinger vil intet fungere.

Til handlinger med grader skal man tilføje personlig iagttagelse og opfindsomhed. Har vi brug for de samme grundtal? Så vi leder efter dem i eksemplet i eksplicit eller krypteret form.

Lad os se, hvordan dette gøres i praksis?

Lad os få et eksempel:

2 2x - 8 x+1 = 0

Det første skarpe blik er kl grunde. De... De er forskellige! To og otte. Men det er for tidligt at blive modløs. Det er tid til at huske det

To og otte er slægtninge i grad.) Det er sagtens muligt at skrive:

8 x+1 = (2 3) x+1

Hvis vi husker formlen fra operationer med grader:

(a n) m = a nm ,

dette fungerer godt:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Det oprindelige eksempel begyndte at se sådan ud:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Vi overfører 2 3 (x+1) til højre (ingen har annulleret matematikkens elementære operationer!), får vi:

2 2x = 2 3(x+1)

Det er praktisk talt alt. Fjernelse af baserne:

Vi løser dette monster og får

Dette er det rigtige svar.

I dette eksempel hjalp det os at kende tos kræfter. Vi identificeret i otte er der en krypteret to. Denne teknik (kodning af fælles baser under forskellige tal) er en meget populær teknik i eksponentialligninger! Ja, og også i logaritmer. Du skal kunne genkende potenser af andre tal i tal. Dette er ekstremt vigtigt for at løse eksponentielle ligninger.

Faktum er, at det ikke er et problem at hæve et hvilket som helst tal til enhver magt. Multiplicer, selv på papiret, og det er det. For eksempel kan enhver hæve 3 til femte potens. 243 vil fungere, hvis du kender multiplikationstabellen.) Men i eksponentialligninger er det meget oftere ikke nødvendigt at hæve til en potens, men omvendt... Find ud af hvilket tal i hvilken grad er gemt bag tallet 243, eller f.eks. 343... Ingen lommeregner vil hjælpe dig her.

Du skal kende nogle tals kræfter ved synet, ikke sandt... Lad os øve os?

Bestem hvilke potenser og hvilke tal tallene er:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Svar (i et rod, selvfølgelig!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Hvis man ser godt efter, kan man se et mærkeligt faktum. Der er markant flere svar end opgaver! Nå, det sker... For eksempel 2 6, 4 3, 8 2 - det er alle 64.

Lad os antage, at du har noteret dig informationen om kendskab til tal.) Lad mig også minde dig om, at vi bruger til at løse eksponentialligninger alle lager af matematisk viden. Inklusiv dem fra junior- og middelklassen. Du gik ikke direkte i gymnasiet, vel?)

For eksempel, når man løser eksponentialligninger, hjælper det ofte at sætte den fælles faktor ud af parentes (hej til 7. klasse!). Lad os se på et eksempel:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Og igen, det første blik er på fundamentet! Grundlaget for graderne er forskellige... Tre og ni. Men vi ønsker, at de skal være de samme. Nå, i dette tilfælde er ønsket fuldstændig opfyldt!) Fordi:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Brug de samme regler for håndtering af grader:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Det er fantastisk, du kan skrive det ned:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Vi gav et eksempel af samme årsager. Så hvad er det næste!? Du kan ikke smide treere ud... blindgyde?

Slet ikke. Husk den mest universelle og magtfulde beslutningsregel alle sammen matematiske opgaver:

Hvis du ikke ved, hvad du har brug for, så gør hvad du kan!

Se, alt ordner sig).

Hvad er der i denne eksponentielle ligning Kan gøre? Ja, i venstre side beder den bare om at blive taget ud af beslag! Den samlede multiplikator på 3 2x antyder tydeligt dette. Lad os prøve, og så får vi se:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Eksemplet bliver ved med at blive bedre og bedre!

Vi husker, at for at eliminere grunde har vi brug for en ren grad, uden nogen koefficienter. Tallet 70 generer os. Så vi dividerer begge sider af ligningen med 70, får vi:

Ups! Alt blev bedre!

Dette er det endelige svar.

Det sker dog, at taxa på samme grundlag opnås, men deres eliminering er ikke mulig. Dette sker i andre typer eksponentialligninger. Lad os mestre denne type.

Udskiftning af en variabel ved løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Lad os løse ligningen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Først - som sædvanligt. Lad os gå videre til én base. Til en toer.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Vi får ligningen:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Og det er her, vi hænger. De tidligere teknikker vil ikke virke, uanset hvordan du ser på det. Vi bliver nødt til at trække en anden kraftfuld og universel metode ud af vores arsenal. Det hedder variabel udskiftning.

Essensen af metoden er overraskende enkel. I stedet for et komplekst ikon (i vores tilfælde - 2 x) skriver vi et andet, enklere (for eksempel - t). Sådan en tilsyneladende meningsløs erstatning fører til fantastiske resultater!) Alt bliver bare klart og forståeligt!

Så lad

Så 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

I vores ligning erstatter vi alle potenser med x'er med t:

Nå, går det op for dig?) Har du glemt andengradsligningerne endnu? Løser vi gennem diskriminanten, får vi:

Det vigtigste her er ikke at stoppe, som det sker... Dette er ikke svaret endnu, vi skal bruge x, ikke t. Lad os vende tilbage til X'erne, dvs. vi foretager en omvendt udskiftning. Først for t 1:

Det er,

En rod blev fundet. Vi leder efter den anden fra t 2:

Hm... 2 x til venstre, 1 til højre... Problem? Slet ikke! Det er nok at huske (fra operationer med beføjelser, ja...), at en enhed er nogen tal til nul potens. Nogen. Uanset hvad der er nødvendigt, installerer vi det. Vi skal bruge en toer. Midler:

Det er det nu. Vi har 2 rødder:

Dette er svaret.

På løsning af eksponentialligninger til sidst ender man nogle gange med en form for akavet udtryk. Type:

Syv kan ikke konverteres til to gennem en simpel magt. De er ikke pårørende... Hvordan kan vi være det? Nogen kan være forvirret... Men den person, der læste på dette websted emnet "Hvad er en logaritme?" , smiler bare sparsomt og skriver med fast hånd det helt rigtige svar ned:

Der kan ikke være et sådant svar i opgave "B" på Unified State Examination. Der kræves et bestemt nummer. Men i opgave "C" er det nemt.

Denne lektion giver eksempler på løsning af de mest almindelige eksponentialligninger. Lad os fremhæve hovedpunkterne.

Praktiske tips:

1. Først og fremmest ser vi på grunde grader. Vi spekulerer på, om det er muligt at lave dem identisk. Lad os prøve at gøre dette ved aktivt at bruge handlinger med grader. Glem ikke, at tal uden x'er også kan konverteres til potenser!

2. Vi forsøger at bringe eksponentialligningen til formen, når der til venstre og højre er det samme tal i enhver potens. Vi bruger handlinger med grader Og faktorisering. Hvad der kan tælles i tal, tæller vi.

3. Hvis det andet tip ikke virker, så prøv at bruge variabel erstatning. Resultatet kan være en ligning, der let kan løses. Oftest - firkantet. Eller fraktioneret, som også reduceres til kvadratisk.

4. For at kunne løse eksponentialligninger skal du kende potenserne af nogle tal ved synet.

Som sædvanlig bliver du i slutningen af lektionen inviteret til at bestemme lidt.) På egen hånd. Fra simpelt til komplekst.

Løs eksponentialligninger:

Sværere:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Find produktet af rødder:

2 3'ere + 2 x = 9

sket?

Nå, så et meget komplekst eksempel (selvom det kan løses i sindet...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Hvad er mere interessant? Så er her et dårligt eksempel til dig. Ret fristende for øget sværhedsgrad. Lad mig antyde, at i dette eksempel er det, der redder dig, opfindsomhed og den mest universelle regel for at løse alle matematiske problemer.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Et enklere eksempel til afslapning):

9 2 x - 4 3 x = 0

Og til dessert. Find summen af ligningens rødder:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja Ja! Dette er en ligning af blandet type! Hvilket vi ikke overvejede i denne lektion. Hvorfor overveje dem, de skal løses!) Denne lektion er ganske nok til at løse ligningen. Nå, du har brug for opfindsomhed... Og må syvende klasse hjælpe dig (dette er et tip!).

Svar (i uorden, adskilt af semikolon):

1; 2; 3; 4; der er ingen løsninger; 2; -2; -5; 4; 0.

Er alt vellykket? Store.

Der er et problem? Intet problem! Special Section 555 løser alle disse eksponentialligninger med detaljerede forklaringer. Hvad, hvorfor og hvorfor. Og selvfølgelig er der yderligere værdifuld information om at arbejde med alle mulige eksponentielle ligninger. Ikke kun disse.)

Et sidste sjovt spørgsmål at overveje. I denne lektion arbejdede vi med eksponentialligninger. Hvorfor sagde jeg ikke et ord om ODZ her? I ligninger er dette i øvrigt en meget vigtig ting...

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

I denne lektion vil vi se på løsning af mere komplekse eksponentialligninger og genkalde os de grundlæggende teoretiske principper vedrørende eksponentialfunktionen.

1. Eksponentialfunktionens definition og egenskaber, metoder til løsning af de simpleste eksponentialligninger

Lad os huske eksponentialfunktionens definition og grundlæggende egenskaber. Løsningen af alle eksponentielle ligninger og uligheder er baseret på disse egenskaber.

Eksponentiel funktion er en funktion af formen , hvor grundtallet er graden og her x er den uafhængige variabel, argument; y er den afhængige variabel funktion.

Ris. 1. Graf over eksponentiel funktion

Grafen viser stigende og faldende eksponenter, der illustrerer eksponentialfunktionen med henholdsvis en grundtal større end én og mindre end én, men større end nul.

Begge kurver går gennem punktet (0;1)

Egenskaber for den eksponentielle funktion:

Domæne: ;

Område af værdier: ;

Funktionen er monoton, stiger med, aftager med.

En monoton funktion tager hver af dens værdier givet en enkelt argumentværdi.

Når argumentet stiger fra minus til plus uendeligt, øges funktionen fra nul inklusive til plus uendeligt. Tværtimod, når argumentet stiger fra minus til plus uendeligt, falder funktionen fra uendelig til nul, ikke inklusive.

2. Løsning af standardeksponentialligninger

Lad os minde dig om, hvordan du løser de enkleste eksponentialligninger. Deres løsning er baseret på monotoniteten af den eksponentielle funktion. Næsten alle komplekse eksponentialligninger kan reduceres til sådanne ligninger.

Ligheden af eksponenter med lige baser skyldes eksponentialfunktionens egenskab, nemlig dens monotoni.

Løsningsmetode:

Udlign grundlængderne for grader;

Sæt lighedstegn mellem eksponenterne.

Lad os gå videre til at overveje mere komplekse eksponentielle ligninger, vores mål er at reducere hver af dem til den enkleste.

Lad os slippe af med roden på venstre side og bringe graderne til samme base:

For at reducere en kompleks eksponentielligning til dens enkleste, anvendes substitution af variable ofte.

Lad os bruge magtegenskaben:

Vi introducerer en erstatning. Lad det være så. Med en sådan udskiftning er det indlysende, at y påtager sig strengt positive værdier. Vi får:

Lad os gange den resulterende ligning med to og flytte alle led til venstre side:

Den første rod opfylder ikke området for y-værdier, så vi kasserer den. Vi får:

Lad os reducere graderne til den samme indikator:

Lad os introducere en erstatning:

Lad det være så . Med en sådan udskiftning er det indlysende, at y påtager sig strengt positive værdier. Vi får:

Vi ved, hvordan man løser sådanne andengradsligninger, vi kan skrive svaret ned:

For at sikre dig, at rødderne findes korrekt, kan du kontrollere ved hjælp af Vietas sætning, dvs. finde summen af rødderne og deres produkt og sammenligne dem med de tilsvarende koefficienter i ligningen.

Vi får:

3. Metode til løsning af homogene eksponentialligninger af anden grad

Lad os studere følgende vigtige type eksponentialligninger:

Ligninger af denne type kaldes homogene af anden grad med hensyn til funktionerne f og g. På dens venstre side er der et kvadratisk trinomium med hensyn til f med parameteren g eller et kvadratisk trinomium med hensyn til g med parameteren f.

Løsningsmetode:

Denne ligning kan løses som en andengradsligning, men det er nemmere at gøre det anderledes. Der er to sager at overveje:

I det første tilfælde får vi

I det andet tilfælde har vi ret til at dividere med højeste grad og få:

Det er nødvendigt at indføre en ændring af variable, vi får en andengradsligning for y:

Lad os bemærke, at funktionerne f og g kan være hvilke som helst, men vi er interesserede i tilfældet, når disse er eksponentielle funktioner.

4. Eksempler på løsning af homogene ligninger

Lad os flytte alle led til venstre side af ligningen:

Da eksponentielle funktioner opnår strengt positive værdier, har vi ret til straks at dividere ligningen med , uden at overveje tilfældet, når:

Vi får:

Lad os introducere en erstatning: (ifølge eksponentialfunktionens egenskaber)

Vi har en andengradsligning:

Vi bestemmer rødderne ved hjælp af Vietas sætning:

Den første rod opfylder ikke rækken af værdier for y, vi kasserer den, vi får:

Lad os bruge egenskaberne for grader og reducere alle grader til simple baser:

Det er let at bemærke funktionerne f og g:

Da eksponentielle funktioner erhverver strengt positive værdier, har vi ret til straks at dividere ligningen med , uden at overveje tilfældet, når .

Løsning af eksponentialligninger. Eksempler.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")

Hvad er der sket eksponentiel ligning? Dette er en ligning, hvor de ukendte (x'er) og udtryk med dem er med indikatorer nogle grader. Og kun der! Det er vigtigt.

Der er du eksempler på eksponentialligninger:

3 x 2 x = 8 x+3

Faktisk løses selv rene eksponentielle ligninger ikke altid klart. Men der er visse typer eksponentielle ligninger, der kan og bør løses. Det er disse typer, vi vil overveje.

Løsning af simple eksponentialligninger.

Lad os først løse noget meget grundlæggende. For eksempel:

Selv uden nogen teorier, ved simpel udvælgelse er det klart, at x = 2. Intet andet, vel!? Ingen anden værdi af X virker. Lad os nu se på løsningen på denne vanskelige eksponentielle ligning:

Hvad har vi gjort? Vi smed faktisk simpelthen de samme baser ud (tripler). Fuldstændig smidt ud. Og den gode nyhed er, at vi rammer sømmet på hovedet!

Men lad os huske bestemt: Du kan kun fjerne baser, når basistallene til venstre og højre er i glimrende isolation! Uden nogen naboer og koefficienter. Lad os sige i ligningerne:

2 x +2 x+1 = 2 3, eller

toer kan ikke fjernes!

Nå, vi har mestret det vigtigste. Hvordan man bevæger sig fra onde eksponentielle udtryk til enklere ligninger.

"Det er tiderne!" - du siger. "Hvem ville give sådan en primitiv lektion om prøver og eksamener!?"

Lad os se på eksempler, der kræver en ekstra indsats for at reducere dem til de enkleste. Lad os ringe til dem simple eksponentialligninger.

Første niveau

Eksponentialligninger. The Ultimate Guide (2019)

Hej! I dag vil vi diskutere med dig, hvordan man løser ligninger, der enten kan være elementære (og jeg håber, at efter at have læst denne artikel, vil næsten alle være det for dig), og dem, der normalt gives "til påfyldning". Tilsyneladende for endelig at falde i søvn. Men jeg vil forsøge at gøre alt muligt, så du nu ikke kommer i problemer, når du står over for denne type ligninger. Jeg vil ikke slå om busken længere, men jeg vil fortælle dig en lille hemmelighed med det samme: i dag skal vi studere eksponentielle ligninger.

Før jeg går videre til at analysere måder at løse dem på, vil jeg straks skitsere dig en række spørgsmål (ganske små), som du bør gentage, før du skynder dig at angribe dette emne. Så for de bedste resultater, tak gentage:

Ejendomme og
Løsning og ligninger

Gentaget? Fantastiske! Så vil det ikke være svært for dig at bemærke, at roden af ligningen er et tal. Forstår du præcis, hvordan jeg gjorde det? Er det sandt? Så lad os fortsætte. Svar nu på mit spørgsmål, hvad er lig med tredje potens? Du har helt ret: . Hvilken potens af to er otte? Det er rigtigt - den tredje! Fordi. Nå, lad os nu prøve at løse følgende problem: Lad mig gange tallet med sig selv én gang og få resultatet. Spørgsmålet er, hvor mange gange jeg gangede med mig selv? Du kan selvfølgelig tjekke dette direkte:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( justere)

Så kan du konkludere, at jeg gangede med mig selv gange. Hvordan kan du ellers tjekke dette? Sådan gør du: direkte efter definition af grad: . Men, du må indrømme, at hvis jeg spurgte, hvor mange gange to skal ganges med sig selv for at få, siger du, ville du sige til mig: Jeg vil ikke narre mig selv og formere mig selv, før jeg er blå i ansigtet. Og han ville have fuldstændig ret. For hvordan kan du skriv kort ned alle trinene(og korthed er talentets søster)

hvor - det er de samme "gange", når du formerer med sig selv.

Jeg tror, at du ved (og hvis du ikke ved, omgående, meget presserende gentag graderne!), at så vil mit problem blive skrevet i formen:

Hvordan kan du med rimelighed konkludere, at:

Så ubemærket skrev jeg det enkleste ned eksponentiel ligning:

Og jeg fandt ham endda rod. Synes du ikke, at alt er fuldstændig trivielt? Jeg tænker præcis det samme. Her er endnu et eksempel til dig:

Men hvad skal man gøre? Det kan jo ikke skrives som en potens af et (rimeligt) tal. Lad os ikke fortvivle og bemærke, at begge disse tal er perfekt udtrykt gennem kraften af det samme tal. Hvilken en? Højre: . Derefter transformeres den oprindelige ligning til formen:

Hvor, som du allerede har forstået, . Lad os ikke udsætte længere og skrive det ned definition:

I vores tilfælde:.

Disse ligninger løses ved at reducere dem til formen:

efterfulgt af løsning af ligningen

Faktisk gjorde vi netop det i det forrige eksempel: vi fik følgende: Og vi løste den enkleste ligning.

Det ser ikke ud til at være noget kompliceret, vel? Lad os først øve os på de enkleste eksempler:

Vi ser igen, at højre og venstre side af ligningen skal repræsenteres som potenser af ét tal. Sandt nok, til venstre er dette allerede blevet gjort, men til højre er der et nummer. Men det er okay, for min ligning vil mirakuløst forvandle sig til dette:

Hvad skulle jeg bruge her? Hvilken regel? Reglen om "grader inden for grader" som lyder:

Hvad hvis:

Inden vi besvarer dette spørgsmål, lad os udfylde følgende tabel:

Det er let for os at bemærke, at jo mindre, jo mindre er værdien, men ikke desto mindre er alle disse værdier større end nul. OG DET VIL ALTID VÆRE!!! Den samme egenskab gælder FOR ENHVER GRUNDLAG MED ENHVER INDIKATOR!! (for enhver og). Hvad kan vi så konkludere om ligningen? Her er hvad det er: det har ingen rødder! Ligesom enhver ligning ikke har nogen rødder. Lad os nu øve os og Lad os løse simple eksempler:

Lad os tjekke:

1. Her vil der ikke blive krævet noget af dig, undtagen viden om gradernes egenskaber (som jeg i øvrigt bad dig om at gentage!) Som regel fører alt til den mindste base: , . Så vil den oprindelige ligning svare til følgende: Alt jeg behøver er at bruge egenskaberne for potenser: Når man multiplicerer tal med samme grundtal, lægges potenserne sammen, og når man dividerer, trækkes de fra. Så får jeg: Nå, nu vil jeg med god samvittighed gå fra eksponentialligningen til den lineære: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(align)

2. I det andet eksempel skal vi være mere forsigtige: Problemet er, at vi på venstre side umuligt kan repræsentere det samme tal som en potens. I dette tilfælde er det nogle gange nyttigt repræsentere tal som et produkt af potenser med forskellige baser, men de samme eksponenter:

Venstre side af ligningen vil se sådan ud: Hvad gav dette os? Her er hvad: Tal med forskellige grundtal men de samme eksponenter kan ganges.I dette tilfælde multipliceres baserne, men indikatoren ændres ikke:

I min situation vil dette give:

\begin(align)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(align)

Ikke dårligt, vel?

3. Jeg kan ikke lide det, når jeg unødigt har to led på den ene side af ligningen og ingen på den anden (nogle gange er det selvfølgelig berettiget, men nu er det ikke sådan). Jeg flytter minusleddet til højre:

Nu, som før, vil jeg skrive alt i form af trepotenser:

Jeg tilføjer graderne til venstre og får en ækvivalent ligning

Du kan nemt finde dens rod:

4. Som i eksempel tre har minusleddet en plads i højre side!

På min venstre side er næsten alt fint, undtagen hvad? Ja, den "forkerte grad" af de to generer mig. Men det kan jeg sagtens ordne ved at skrive:. Eureka - til venstre er alle baserne forskellige, men alle graderne er ens! Lad os formere med det samme!

Her er alt klart igen: (hvis du ikke forstår, hvordan jeg på magisk vis fik den sidste ligestilling, så tag en pause i et minut, træk vejret og læs gradens egenskaber igen meget omhyggeligt. Hvem sagde, at du kan springe en grad med en negativ eksponent Nå, her er jeg omtrent det samme som ingen). Nu får jeg:

\begin(align)
& ((2)^(4\venstre((x) -9 \højre)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(align)

Her er nogle problemer for dig at øve dig på, som jeg kun vil give svarene på (men i en "blandet" form). Løs dem, tjek dem, og du og jeg fortsætter vores forskning!

Parat? Svar som disse:

ethvert nummer

Okay, okay, jeg lavede sjov! Her er nogle skitser af løsninger (nogle meget korte!)

Tror du ikke, at det ikke er tilfældigt, at den ene brøkdel til venstre er den anden "omvendt"? Det ville være synd ikke at udnytte dette:

Denne regel bruges meget ofte, når man løser eksponentialligninger, husk det godt!

Så bliver den oprindelige ligning sådan:

Ved at løse denne andengradsligning får du følgende rødder:

2. En anden løsning: at dividere begge sider af ligningen med udtrykket til venstre (eller højre). Divider med hvad der er til højre, så får jeg:

Hvor (hvorfor?!)

3. Jeg vil ikke engang gentage mig selv, alt er allerede blevet "tygget" så meget.

4. svarende til en andengradsligning, rødder

5. Du skal bruge formlen givet i den første opgave, så får du det:

Ligningen er blevet til en triviel identitet, der er sand for enhver. Så er svaret et hvilket som helst reelt tal.

Nå, nu har du øvet dig i at løse simple eksponentialligninger. Nu vil jeg give dig et par livseksempler, der vil hjælpe dig med at forstå, hvorfor de er nødvendige i princippet. Her vil jeg give to eksempler. En af dem er ret hverdagsagtig, men den anden er mere tilbøjelig til at være af videnskabelig snarere end praktisk interesse.

Eksempel 1 (merkantil) Lad dig have rubler, men du vil gøre det til rubler. Banken tilbyder dig at tage disse penge fra dig til en årlig kurs med månedlig kapitalisering af renter (månedlig periodisering). Spørgsmålet er, hvor mange måneder skal du åbne et depositum i for at nå det krævede endelige beløb? En ganske banal opgave, er det ikke? Ikke desto mindre er dens løsning forbundet med konstruktionen af den tilsvarende eksponentielle ligning: Lad - det oprindelige beløb, - det endelige beløb, - renten for perioden, - antallet af perioder. Derefter:

I vores tilfælde (hvis satsen er årlig, så beregnes den pr. måned). Hvorfor er det divideret med? Hvis du ikke kender svaret på dette spørgsmål, så husk emnet ""! Så får vi denne ligning:

Denne eksponentielle ligning kan allerede løses kun ved hjælp af en lommeregner (dens udseende antyder dette, og dette kræver kendskab til logaritmer, som vi vil stifte bekendtskab med lidt senere), hvilket er hvad jeg vil gøre: ... Således , for at få en million, skal vi give et bidrag i en måned (ikke særlig hurtigt, vel?).

Eksempel 2 (temmelig videnskabeligt). På trods af hans visse "isolation" anbefaler jeg, at du er opmærksom på ham: han "glider regelmæssigt ind i Unified State Examination!! (problemet er taget fra den "rigtige" version) Under henfaldet af en radioaktiv isotop falder dens masse ifølge loven, hvor (mg) er isotopens begyndelsesmasse, (min.) er den tid, der er gået fra indledende øjeblik, (min.) er halveringstiden. I det indledende tidspunkt er isotopens masse mg. Dens halveringstid er min. Efter hvor mange minutter vil massen af isotopen være lig med mg? Det er okay: vi tager bare og erstatter alle data i den formel, der er foreslået os:

Lad os dividere begge dele med "i håbet om, at vi til venstre får noget fordøjeligt:

Nå, vi er meget heldige! Det er til venstre, så lad os gå videre til den tilsvarende ligning:

Hvor er min.

Som du kan se, har eksponentielle ligninger meget reelle anvendelser i praksis. Nu vil jeg vise dig en anden (simpel) måde at løse eksponentialligninger på, som er baseret på at tage den fælles faktor ud af parentes og derefter gruppere termerne. Bliv ikke bange for mine ord, du stødte allerede på denne metode i 7. klasse, da du studerede polynomier. For eksempel, hvis du havde brug for at faktorisere udtrykket:

Lad os gruppere: det første og tredje led, såvel som det andet og fjerde. Det er klart, at den første og den tredje er forskellen mellem kvadrater:

og den anden og fjerde har en fælles faktor på tre:

Så svarer det oprindelige udtryk til dette:

Hvor man kan udlede den fælles faktor er ikke længere svært:

Derfor,

Dette er nogenlunde, hvad vi vil gøre, når vi løser eksponentielle ligninger: kig efter "fællesskab" blandt begreberne og tag det ud af parentes, og så - hvad som helst, jeg tror på, at vi vil være heldige =)) For eksempel:

Til højre er langt fra at være en potens af syv (jeg tjekkede!) Og til venstre - det er lidt bedre, du kan selvfølgelig "hakke" faktoren a fra den anden fra første termin, og derefter behandle med hvad du har, men lad os være mere forsigtige med dig. Jeg vil ikke beskæftige mig med de brøker, der uundgåeligt dannes, når man "vælger", så burde jeg ikke hellere tage det ud? Så vil jeg ikke have nogen fraktioner: som man siger, ulvene bliver fodret og fårene er sikre:

Beregn udtrykket i parentes. Magisk, magisk viser det sig at (overraskende, selvom hvad skulle vi ellers forvente?).

Så reducerer vi begge sider af ligningen med denne faktor. Vi får: , fra.

Her er et mere kompliceret eksempel (egentlig en smule):

Hvilket problem! Vi har ikke ét fælles fodslag her! Det er ikke helt klart, hvad man skal gøre nu. Lad os gøre, hvad vi kan: Flyt først "firerne" til den ene side og "femrene" til den anden:

Lad os nu tage "generelle" ud til venstre og højre:

Så hvad nu? Hvad er fordelen ved sådan en dum gruppe? Ved første øjekast er det slet ikke synligt, men lad os se dybere:

Nå, nu sørger vi for, at vi til venstre kun har udtrykket c, og til højre - alt andet. Hvordan gør vi dette? Sådan gør du: Divider begge sider af ligningen først med (så vi slipper af med eksponenten til højre), og divider derefter begge sider med (så vi slipper af med den numeriske faktor til venstre). Endelig får vi:

Utrolig! Til venstre har vi et udtryk, og til højre har vi et simpelt udtryk. Så konkluderer vi med det samme

Her er endnu et eksempel, som du kan forstærke:

Jeg vil give hans korte løsning (uden at genere mig selv meget med forklaringer), prøv selv at forstå alle "finesser" af løsningen.

Nu til den endelige konsolidering af det dækkede materiale. Prøv selv at løse følgende problemer. Jeg vil blot give korte anbefalinger og tips til at løse dem:

Lad os tage den fælles faktor ud af parentes: Hvor:
Lad os præsentere det første udtryk i formen: , divider begge sider med og få det
, så transformeres den oprindelige ligning til formen: Nå, nu et tip - se efter, hvor du og jeg allerede har løst denne ligning!
Forestil dig hvordan, hvordan, ah, ja, så divider begge sider med, så du får den enkleste eksponentielle ligning.
Tag det ud af beslagene.
Tag det ud af beslagene.

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. GENNEMSNIVEAU

Jeg antager, at efter at have læst den første artikel, som talte om hvad er eksponentialligninger og hvordan man løser dem, har du mestret den nødvendige minimumsviden, der er nødvendig for at løse de enkleste eksempler.

Nu vil jeg se på en anden metode til at løse eksponentialligninger, det er

"metode til at introducere en ny variabel" (eller erstatning). Han løser de fleste af de "svære" problemer om emnet eksponentielle ligninger (og ikke kun ligninger). Denne metode er en af de mest anvendte i praksis. Først anbefaler jeg, at du sætter dig ind i emnet.

Som du allerede har forstået fra navnet, er essensen af denne metode at indføre en sådan ændring af variabel, at din eksponentielle ligning mirakuløst vil forvandle sig til en, som du nemt kan løse. Alt, der er tilbage for dig efter at have løst denne meget "forenklede ligning" er at lave en "omvendt erstatning": det vil sige, vende tilbage fra den erstattede til den erstattede. Lad os illustrere, hvad vi lige sagde med et meget simpelt eksempel:

Eksempel 1:

Denne ligning løses ved hjælp af en "simpel substitution", som matematikere nedsættende kalder det. Faktisk er erstatningen her den mest oplagte. Det skal man bare se

Så bliver den oprindelige ligning til dette:

Hvis vi derudover forestiller os hvordan, så er det helt klart, hvad der skal udskiftes: selvfølgelig. Hvad bliver så den oprindelige ligning? Her er hvad:

Du kan nemt finde dens rødder på egen hånd: . Hvad skal vi gøre nu? Det er tid til at vende tilbage til den oprindelige variabel. Hvad har jeg glemt at nævne? Nemlig: ved udskiftning af en vis grad med en ny variabel (det vil sige ved udskiftning af en type), vil jeg være interesseret i kun positive rødder! Du kan nemt svare på hvorfor. Således er du og jeg ikke interesseret, men den anden rod er ret egnet til os:

Så hvor fra.

Svar:

Som du kan se, i det foregående eksempel, bad en erstatning bare om vores hænder. Det er desværre ikke altid tilfældet. Lad os dog ikke gå direkte til de triste ting, men lad os øve os med endnu et eksempel med en ret simpel erstatning

Eksempel 2.

Det er klart, at vi højst sandsynligt bliver nødt til at lave en erstatning (dette er den mindste af de potenser, der er inkluderet i vores ligning), men før vi introducerer en erstatning, skal vores ligning være "forberedt" til det, nemlig: , . Så kan du erstatte, som et resultat får jeg følgende udtryk:

Åh, rædsel: en kubisk ligning med helt forfærdelige formler for dens løsning (nå, i generelle vendinger). Men lad os ikke fortvivle med det samme, men lad os tænke over, hvad vi skal gøre. Jeg vil foreslå snyd: vi ved, at for at få et "smukt" svar, skal vi få det i form af en eller anden potens af tre (hvorfor skulle det være, ikke?). Lad os prøve at gætte mindst én rod af vores ligning (jeg begynder at gætte med tre potenser).

Første gæt. Ikke en rod. Ak og åh...

.
Venstre side er lige.
Højre del:!
Spise! Gættede den første rod. Nu bliver tingene nemmere!

Kender du til "hjørne"-delingsordningen? Selvfølgelig gør du det, du bruger det når du dividerer et tal med et andet. Men de færreste ved, at det samme kan gøres med polynomier. Der er en vidunderlig sætning:

Anvendes til min situation, fortæller dette mig, at det er deleligt uden rest med. Hvordan foregår opdelingen? Sådan:

Jeg ser på hvilket monom jeg skal gange med for at få Clearly, så:

Jeg trækker det resulterende udtryk fra, får jeg:

Hvad skal jeg gange med for at få? Det er klart, at på, så får jeg:

og træk igen det resulterende udtryk fra det resterende:

Nå, det sidste trin er at gange med og trække fra det resterende udtryk:

Hurra, division er forbi! Hvad har vi akkumuleret privat? I sig selv:.

Så fik vi følgende udvidelse af det oprindelige polynomium:

Lad os løse den anden ligning:

Det har rødder:

Så den oprindelige ligning:

har tre rødder:

Vi vil selvfølgelig kassere den sidste rod, da den er mindre end nul. Og de første to efter omvendt udskiftning vil give os to rødder:

Svar: ..

Med dette eksempel ville jeg slet ikke skræmme dig, men mit mål var at vise, at selvom vi havde en ret simpel erstatning, førte det alligevel til en ret kompleks ligning, hvis løsning krævede nogle specielle færdigheder fra os. Nå, ingen er immune over for dette. Men erstatningen i dette tilfælde var ret åbenlys.

Her er et eksempel med en lidt mindre indlysende erstatning:

Det er slet ikke klart, hvad vi skal gøre: Problemet er, at i vores ligning er der to forskellige baser, og den ene base kan ikke opnås fra den anden ved at hæve den til nogen (rimelig, naturligt) magt. Men hvad ser vi? Begge baser adskiller sig kun i fortegn, og deres produkt er forskellen mellem kvadrater lig med én:

Definition:

Således er de tal, der er baserne i vores eksempel, konjugerede.

I dette tilfælde ville det smarte skridt være gange begge sider af ligningen med det konjugerede tal.

For eksempel, på, så vil venstre side af ligningen blive lig med, og højre. Hvis vi laver en substitution, vil vores oprindelige ligning blive sådan her:

dens rødder, og husker vi det, så får vi det.

Svar: , .

Som regel er erstatningsmetoden tilstrækkelig til at løse de fleste "skole" eksponentialligninger. Følgende opgaver er taget fra Unified State Examination C1 (øget sværhedsgrad). Du er allerede dygtig nok til at løse disse eksempler på egen hånd. Jeg vil kun give den nødvendige erstatning.

Løs ligningen:
Find rødderne til ligningen:
Løs ligningen:. Find alle rødderne til denne ligning, der hører til segmentet:

Og nu nogle korte forklaringer og svar:

Her er det nok for os at bemærke, at... Så vil den oprindelige ligning svare til dette: Denne ligning kan løses ved at erstatte Lav selv de videre beregninger. I sidste ende vil din opgave blive reduceret til at løse simple trigonometriske problemer (afhængig af sinus eller cosinus). Vi vil se på løsninger på lignende eksempler i andre afsnit.
Her kan du endda undvære substitution: Flyt blot subtrahenden til højre og repræsentere begge baser gennem to potenser: , og gå derefter direkte til andengradsligningen.
Den tredje ligning er også løst ganske standard: lad os forestille os hvordan. Så, i stedet for, får vi en andengradsligning: derefter,
Du ved allerede, hvad en logaritme er, ikke? Ingen? Så læs emnet hurtigt!

Den første rod hører åbenbart ikke til segmentet, men den anden er uklar! Men det finder vi ud af meget snart! Siden da (dette er en egenskab ved logaritmen!) Lad os sammenligne:

Træk fra begge sider, så får vi:

Venstre side kan repræsenteres som:

gange begge sider med:

kan så ganges med

Sammenlign derefter:

siden da:

Så hører den anden rod til det nødvendige interval

Svar:

Som du kan se, udvælgelse af rødder til eksponentialligninger kræver et ret dybt kendskab til logaritmers egenskaber, så jeg råder dig til at være så forsigtig som muligt, når du løser eksponentialligninger. Som du forstår, hænger alt sammen i matematik! Som min matematiklærer sagde: "matematik kan ligesom historie ikke læses fra den ene dag til den anden."

Som regel alle Vanskeligheden ved at løse opgaver C1 er netop udvælgelsen af ligningens rødder. Lad os øve os med endnu et eksempel:

Det er klart, at selve ligningen er løst ganske enkelt. Ved at lave en substitution reducerer vi vores oprindelige ligning til følgende:

Lad os først se på den første rod. Lad os sammenligne og: siden da. (egenskab for en logaritmisk funktion, at). Så er det klart, at den første rod ikke hører til vores interval. Nu den anden rod:. Det er tydeligt (da funktionen på er stigende). Det er tilbage at sammenligne og...

siden da på samme tid. På denne måde kan jeg "drive en pind" mellem og. Denne pind er et nummer. Det første udtryk er mindre, og det andet er større. Så er det andet udtryk større end det første, og roden hører til intervallet.

Svar: .

Lad os endelig se på et andet eksempel på en ligning, hvor substitutionen er ret ikke-standard:

Lad os starte med det samme med, hvad der kan gøres, og hvad - i princippet kan gøres, men det er bedre ikke at gøre det. Du kan forestille dig alt gennem magten tre, to og seks. Hvor fører det hen? Det vil ikke føre til noget: et virvar af grader, hvoraf nogle vil være ret svære at slippe af med. Hvad skal der så til? Lad os bemærke, at a Og hvad vil det give os? Og det faktum, at vi kan reducere løsningen af dette eksempel til løsningen af en ret simpel eksponentialligning! Lad os først omskrive vores ligning som:

Lad os nu dividere begge sider af den resulterende ligning med:

Eureka! Nu kan vi erstatte, vi får:

Nå, nu er det din tur til at løse demonstrationsproblemer, og jeg vil kun give korte kommentarer til dem, så du ikke kommer på afveje! Held og lykke!

1. Det sværeste! Det er så svært at se en erstatning her! Men ikke desto mindre kan dette eksempel løses fuldstændigt vha fremhæver en komplet firkant. For at løse det er det nok at bemærke, at:

Så her er din erstatning:

(Bemærk venligst, at her under vores udskiftning kan vi ikke kassere den negative rod!!! Hvorfor tror du?)

For at løse eksemplet skal du kun løse to ligninger:

Begge kan løses ved en "standardudskiftning" (men den anden i ét eksempel!)

2. Læg mærke til det, og lav en erstatning.

3. Dekomponér tallet i coprime-faktorer og forenkle det resulterende udtryk.

4. Divider brøkens tæller og nævner med (eller, hvis du foretrækker det) og foretag substitutionen eller.

5. Bemærk, at tallene og er konjugeret.

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. AVANCERET NIVEAU

Derudover, lad os se på en anden måde - løse eksponentialligninger ved hjælp af logaritmemetoden. Jeg kan ikke sige, at løsning af eksponentielle ligninger ved hjælp af denne metode er meget populær, men i nogle tilfælde kan det kun føre os til den korrekte løsning af vores ligning. Det bruges især ofte til at løse de såkaldte " blandede ligninger": det vil sige dem, hvor funktioner af forskellige typer forekommer.

For eksempel en ligning af formen:

i det generelle tilfælde kan det kun løses ved at tage logaritmer på begge sider (for eksempel til basen), hvor den oprindelige ligning bliver til følgende:

Lad os se på følgende eksempel:

Det er klart, at ifølge ODZ af den logaritmiske funktion er vi kun interesserede. Dette følger dog ikke kun af ODZ af logaritmen, men af endnu en grund. Jeg tror ikke, det vil være svært for dig at gætte, hvilken det er.

Lad os tage logaritmen af begge sider af vores ligning til basen:

Som du kan se, førte logaritmen af vores oprindelige ligning os hurtigt til det rigtige (og smukke!) svar. Lad os øve os med endnu et eksempel:

Der er heller ikke noget galt her: lad os tage logaritmen af begge sider af ligningen til basen, så får vi:

Lad os lave en erstatning:

Vi gik dog glip af noget! Lagde du mærke til, hvor jeg lavede en fejl? Når alt kommer til alt, så:

som ikke opfylder kravet (tænk hvor det kom fra!)

Svar:

Prøv at nedskrive løsningen til eksponentialligningerne nedenfor:

Sammenlign nu din beslutning med dette:

1. Lad os logaritme begge sider til basen under hensyntagen til, at:

(den anden rod er ikke egnet til os på grund af udskiftning)

2. Logaritme til basen:

Lad os transformere det resulterende udtryk til følgende form:

EKSPONENTÆRE LIGNINGER. KORT BESKRIVELSE OG GRUNDLÆGGENDE FORMLER

Eksponentiel ligning

Formens ligning:

hedder den enkleste eksponentialligning.

Egenskaber for grader

Tilgange til løsning

Reduktion til samme grundlag
Reduktion til samme eksponent
Variabel udskiftning
Forenkling af udtrykket og anvendelse af et af ovenstående.