Populær sandsynlighedsteori for dummies. Klassisk definition af sandsynlighed

Mor vaskede stellet

I slutningen af ​​den lange sommerferie er det tid til langsomt at vende tilbage til højere matematik og højtideligt åbne den tomme Verdov-fil for at begynde at oprette en ny sektion - . Jeg indrømmer, at de første linjer ikke er lette, men det første skridt er halvvejs, så jeg foreslår, at alle omhyggeligt studerer den indledende artikel, hvorefter det vil være 2 gange nemmere at mestre emnet! Jeg overdriver overhovedet ikke. … På tærsklen til den næste 1. september husker jeg første klasse og primeren…. Bogstaver danner stavelser, stavelser danner ord, ord danner korte sætninger - Mor vaskede rammen. At mestre turver- og matematikstatistikker er lige så nemt som at lære at læse! Men til dette skal du kende nøgleudtryk, begreber og betegnelser samt nogle specifikke regler, som er emnet for denne lektion.

Men først, accepter venligst mine lykønskninger med begyndelsen (fortsættelse, afslutning, marker som passende) af skoleåret og modtag gaven. Den bedste gave er en bog, og til selvstændigt arbejde anbefaler jeg følgende litteratur:

1) Gmurman V.E. Sandsynlighedsteori og matematisk statistik

En legendarisk lærebog, der har gennemgået mere end ti genoptryk. Den udmærker sig ved sin forståelighed og ekstremt enkle præsentation af stoffet, og de første kapitler er fuldstændig tilgængelige, synes jeg, allerede for elever i 6.-7.

2) Gmurman V.E. Vejledning til løsning af problemer i sandsynlighedsteori og matematisk statistik

En løsningsbog af samme Vladimir Efimovich med detaljerede eksempler og problemer.

NØDVENDIG download begge bøger fra internettet eller få deres papiroriginaler! Udgaven fra 60'erne og 70'erne vil også fungere, hvilket er endnu bedre for dummies. Selvom udtrykket "sandsynlighedsteori for dummies" lyder ret latterligt, da næsten alt er begrænset til elementære aritmetiske operationer. De springer dog nogle steder derivater Og integraler, men det er kun nogle steder.

Jeg vil forsøge at opnå samme klarhed i præsentationen, men jeg må advare om, at mit kursus er rettet mod problemløsning og teoretiske beregninger holdes på et minimum. Så hvis du har brug for en detaljeret teori, beviser for sætninger (sætninger-sætninger!), henvises til lærebogen. Nå, hvem vil lære at løse problemer i sandsynlighedsteori og matematisk statistik på kortest mulig tid, Følg mig!

Det er nok til en start =)

Når du læser artiklerne, er det tilrådeligt at stifte bekendtskab (i hvert fald kortvarigt) med yderligere opgaver af den type, der overvejes. På siden Færdige løsninger til højere matematik De tilsvarende pdf'er med eksempler på løsninger vil blive offentliggjort. Der vil også blive ydet betydelig bistand IDZ 18.1 Ryabushko(enklere) og løst IDZ ifølge Chudesenkos kollektion(sværere).

1) Beløb to begivenheder, og begivenheden kaldes, hvilket er, at det vil ske eller begivenhed eller begivenhed eller begge arrangementer på samme tid. I tilfælde af at begivenheder uforenelig, den sidste mulighed forsvinder, det vil sige, at den kan forekomme eller begivenhed eller begivenhed .

Reglen gælder også for et større antal termer, for eksempel arrangementet er, hvad der vil ske mindst en fra begivenheder , A hvis begivenheder er uforenelige – så én ting og kun én ting begivenhed fra dette beløb: eller begivenhed , eller begivenhed , eller begivenhed , eller begivenhed , eller begivenhed .

Der er masser af eksempler:

Begivenheder (når du kaster en terning, vises 5 point ikke) er det, der vises eller 1, eller 2, eller 3, eller 4, eller 6 point.

Begivenhed (vil falde ikke mere to punkter) er, at 1 vises eller 2point.

Begivenhed (der vil være et lige antal point) er det, der vises eller 2 eller 4 eller 6 point.

Begivenheden er, at et rødt kort (hjerte) vil blive trukket fra bunken eller tamburin), og begivenheden – at "billedet" vil blive udtrukket (jack eller dame eller konge eller es).

Lidt mere interessant er tilfældet med fælles arrangementer:

Arrangementet er, at en kølle vil blive trukket fra dækket eller syv eller syv af klubber Ifølge definitionen ovenfor, i det mindste noget- eller enhver klub eller en hvilken som helst syv eller deres "krydsningspunkt" - syv af klubber. Det er let at beregne, at denne begivenhed svarer til 12 elementære udfald (9 klubkort + 3 resterende syvere).

Arrangementet er, at i morgen klokken 12.00 kommer MINDST EN af de sammenfattende fælles begivenheder, nemlig:

– eller der kommer kun regn / kun tordenvejr / kun sol;
– eller kun nogle par begivenheder vil forekomme (regn + tordenvejr / regn + sol / tordenvejr + sol);
– eller alle tre begivenheder vises samtidigt.

Det vil sige, at begivenheden omfatter 7 mulige udfald.

Den anden søjle i begivenhedernes algebra:

2) Arbejdet to hændelser og kalder en hændelse, der består i den fælles forekomst af disse hændelser, med andre ord betyder multiplikation, at der under nogle omstændigheder vil være Og begivenhed , Og begivenhed . Et lignende udsagn gælder for et større antal begivenheder, for eksempel indebærer et værk, at det under visse betingelser vil ske Og begivenhed , Og begivenhed , Og begivenhed , …, Og begivenhed .

Overvej en test, hvor to mønter bliver kastet og følgende begivenheder:

– hoveder vises på den 1. mønt;
– den første mønt vil lande hoveder;
– hoveder vises på den 2. mønt;
– den 2. mønt vil lande hoveder.

Derefter:
Og den 2.) vises hoveder;
– begivenheden er, at på begge mønter (den 1 Og den 2.) vil det være hoveder;
– begivenheden er, at den 1. mønt vil lande hoveder Og den 2. mønt er haler;
– begivenheden er, at den 1. mønt vil lande hoveder Og på 2. mønt er der en ørn.

Det er nemt at se begivenhederne uforenelig (fordi det f.eks. ikke kan være 2 hoveder og 2 haler på samme tid) og form fuld gruppe (siden taget i betragtning Alle mulige resultater af at kaste to mønter). Lad os opsummere disse begivenheder: . Hvordan tolker man denne post? Meget simpelt - multiplikation betyder en logisk forbindelse OG, og tilføjelse – ELLER. Beløbet er således let at læse i forståeligt menneskeligt sprog: ”to hoveder vil dukke op eller to hoveder eller den 1. mønt vil lande hoveder Og på 2. haler eller den 1. mønt vil lande hoveder Og på den 2. mønt er der en ørn"

Dette var et eksempel på hvornår i én test flere genstande er involveret, i dette tilfælde to mønter. En anden almindelig ordning i praktiske problemer er gentestning , når den samme terning for eksempel slås 3 gange i træk. Overvej følgende begivenheder som en demonstration:

– i 1. kast får du 4 point;
– i 2. kast får du 5 point;
– i 3. kast får du 6 point.

Så begivenheden er, at du i 1. kast får 4 point Og i 2. kast får du 5 point Og på 3. kast får du 6 point. Det er klart, at i tilfælde af en terning vil der være betydeligt flere kombinationer (udfald), end hvis vi kastede en mønt.

...Jeg forstår, at de eksempler, der analyseres, måske ikke er særlig interessante, men det er ting, man ofte støder på i problemer, og man kan ikke undslippe dem. Ud over en mønt, en terning og et spil kort, venter dig urner med flerfarvede bolde, flere anonyme mennesker, der skyder på et mål, og en utrættelig arbejder, der konstant sliber nogle detaljer =)

Sandsynlighed for hændelse

Sandsynlighed for hændelse er det centrale begreb for sandsynlighedsteori. ...En dræber logisk ting, men vi var nødt til at starte et sted =) Der er flere tilgange til dens definition:

;
Geometrisk definition af sandsynlighed ;
Statistisk definition af sandsynlighed .

I denne artikel vil jeg fokusere på den klassiske definition af sandsynlighed, som er mest brugt i pædagogiske opgaver.

Betegnelser. Sandsynligheden for en bestemt begivenhed er angivet med et stort latinsk bogstav, og selve begivenheden er taget i parentes og fungerer som en slags argument. For eksempel:

Også det lille bogstav er meget brugt til at betegne sandsynlighed. Især kan du opgive de besværlige betegnelser for begivenheder og deres sandsynligheder til fordel for følgende stil::

– sandsynligheden for, at et møntkast vil resultere i hoveder;
– sandsynligheden for, at et terningkast vil resultere i 5 point;
– sandsynligheden for, at et kort i klubfarven trækkes fra bunken.

Denne mulighed er populær, når du løser praktiske problemer, da den giver dig mulighed for betydeligt at reducere optagelsen af ​​løsningen. Som i det første tilfælde er det praktisk at bruge "talende" sænkede/superskripter her.

Alle har længe gættet tallene, som jeg lige skrev ned ovenfor, og nu vil vi finde ud af, hvordan de blev:

Klassisk definition af sandsynlighed:

Sandsynligheden for, at en begivenhed finder sted i en bestemt test kaldes forholdet, hvor:

– det samlede antal af alle lige så muligt, elementære resultater af denne test, som danner hele gruppen af ​​arrangementer;

- antal elementære resultater, gunstige begivenhed.

Når du kaster en mønt, kan enten hoveder eller haler falde ud - disse begivenheder dannes fuld gruppe, altså det samlede antal udfald; på samme tid, hver af dem elementære Og lige så muligt. Begivenheden favoriseres af resultatet (hoveder). Ifølge den klassiske definition af sandsynlighed: .

På samme måde, som et resultat af at kaste en terning, kan elementære lige mulige udfald dukke op, der danner en komplet gruppe, og begivenheden favoriseres af et enkelt udfald (kastning af fem). Derfor: DETTE ER IKKE ACCEPTERET AT GØRE (selvom det ikke er forbudt at estimere procenter i dit hoved).

Det er sædvanligt at bruge brøkdele af en enhed, og sandsynligheden kan naturligvis variere inden for . Desuden, hvis , så er begivenheden umulig, hvis - pålidelig, og hvis , så taler vi om tilfældig begivenhed.

! Hvis du, mens du løser et problem, får en anden sandsynlighedsværdi, så se efter fejlen!

I den klassiske tilgang til at bestemme sandsynlighed opnås ekstreme værdier (nul og en) gennem nøjagtig samme ræsonnement. Lad 1 kugle trækkes tilfældigt fra en bestemt urne indeholdende 10 røde kugler. Overvej følgende begivenheder:

i et enkelt forsøg vil en hændelse med lav mulighed ikke forekomme.

Dette er grunden til, at du ikke vil ramme jackpotten i lotteriet, hvis sandsynligheden for denne begivenhed for eksempel er 0,00000001. Ja, ja, det er dig - med den eneste billet i et bestemt oplag. Et større antal billetter og et større antal tegninger vil dog ikke hjælpe dig meget. ...Når jeg fortæller andre om dette, hører jeg næsten altid som svar: "men nogen vinder." Okay, så lad os lave følgende eksperiment: køb venligst en billet til ethvert lotteri i dag eller i morgen (udsæt ikke!). Og hvis du vinder... ja, i hvert fald mere end 10 kilorubler, så sørg for at tilmelde dig - jeg vil forklare, hvorfor det skete. For en procentdel, selvfølgelig =) =)

Men der er ingen grund til at være ked af det, for der er et modsat princip: hvis sandsynligheden for en begivenhed er meget tæt på en, så vil den i en enkelt retssag næsten sikker vil ske. Derfor, før du hopper med faldskærm, er der ingen grund til at være bange, tværtimod, smil! Der skal trods alt opstå helt utænkelige og fantastiske omstændigheder for at begge faldskærme fejler.

Selvom alt dette er lyrik, da afhængigt af indholdet af begivenheden, kan det første princip vise sig at være muntert, og det andet - trist; eller endda begge er parallelle.

Måske er det nok for nu, i klassen Klassiske sandsynlighedsproblemer vi får mest muligt ud af formlen. I den sidste del af denne artikel vil vi overveje en vigtig sætning:

Summen af ​​sandsynligheden for begivenheder, der danner en komplet gruppe, er lig med én. Groft sagt, hvis begivenheder udgør en komplet gruppe, så vil en af ​​dem med 100 % sandsynlighed ske. I det enkleste tilfælde dannes en komplet gruppe af modsatte begivenheder, for eksempel:

– som et resultat af et møntkast, vil hoveder dukke op;
– resultatet af et møntkast bliver hoveder.

Ifølge teoremet:

Det er helt klart, at disse begivenheder er lige mulige, og deres sandsynligheder er de samme .

På grund af ligheden af ​​sandsynligheder kaldes lige så mulige hændelser ofte lige så sandsynligt . Og her er en tongue twister til at bestemme graden af ​​forgiftning =)

Eksempel med en terning: begivenheder er derfor modsatte .

Sætningen under overvejelse er praktisk, fordi den giver dig mulighed for hurtigt at finde sandsynligheden for den modsatte begivenhed. Så hvis sandsynligheden for, at en femmer bliver kastet, er kendt, er det let at beregne sandsynligheden for, at den ikke bliver kastet:

Dette er meget enklere end at opsummere sandsynligheden for fem elementære udfald. For elementære udfald er denne sætning i øvrigt også sand:
. For eksempel, hvis er sandsynligheden for, at skytten rammer målet, så er sandsynligheden for, at han vil misse.

! I sandsynlighedsteori er det uønsket at bruge bogstaver til andre formål.

Til ære for Vidensdagen vil jeg ikke tildele lektier =), men det er meget vigtigt, at du kan svare på følgende spørgsmål:

– Hvilke typer arrangementer findes der?
– Hvad er tilfældigheder og lige muligheder for en begivenhed?
– Hvordan forstår du begreberne kompatibilitet/inkompatibilitet af begivenheder?
– Hvad er en komplet gruppe af begivenheder, modsatte begivenheder?
– Hvad betyder addition og multiplikation af begivenheder?
– Hvad er essensen af ​​den klassiske definition af sandsynlighed?
– Hvorfor er sætningen til at tilføje sandsynligheden for begivenheder, der danner en komplet gruppe, nyttig?

Nej, du behøver ikke proppe noget, det er blot det grundlæggende i sandsynlighedslære - en slags primer, der hurtigt vil passe ind i dit hoved. Og for at dette kan ske så hurtigt som muligt, foreslår jeg, at du gør dig bekendt med lektionerne

Sandsynlighedsteori er en gren af ​​matematikken, der studerer mønstrene for tilfældige fænomener: tilfældige hændelser, tilfældige variable, deres egenskaber og operationer på dem.

I lang tid havde sandsynlighedsteorien ikke en klar definition. Det blev først formuleret i 1929. Fremkomsten af ​​sandsynlighedsteori som en videnskab går tilbage til middelalderen og de første forsøg på matematisk analyse af gambling (flake, terninger, roulette). Franske matematikere fra det 17. århundrede, Blaise Pascal og Pierre Fermat, opdagede, mens de studerede forudsigelsen af ​​gevinster i gambling, de første probabilistiske mønstre, der opstår, når de kaster terninger.

Sandsynlighedsteori opstod som en videnskab fra troen på, at tilfældige massehændelser er baseret på bestemte mønstre. Sandsynlighedsteori studerer disse mønstre.

Sandsynlighedsteori beskæftiger sig med studiet af begivenheder, hvis forekomst ikke er kendt med sikkerhed. Det giver dig mulighed for at bedømme graden af ​​sandsynlighed for forekomsten af ​​nogle begivenheder sammenlignet med andre.

For eksempel: det er umuligt entydigt at bestemme resultatet af "hoveder" eller "haler" som følge af at kaste en mønt, men ved gentagne kast fremkommer omtrent det samme antal "hoveder" og "haler", hvilket betyder, at sandsynligheden for, at "hoveder" eller "haler" falder ", er lig med 50%.

Prøve i dette tilfælde kaldes implementeringen af ​​et bestemt sæt betingelser, det vil sige i dette tilfælde kastet af en mønt. Udfordringen kan spilles et ubegrænset antal gange. I dette tilfælde inkluderer sættet af betingelser tilfældige faktorer.

Testresultatet er begivenhed. Arrangementet sker:

1. Pålidelig (opstår altid som et resultat af test).
2. Umuligt (skeder aldrig).
3. Tilfældig (kan eller ikke forekomme som et resultat af testen).

For eksempel, når man kaster en mønt, en umulig begivenhed - mønten vil lande på kanten, en tilfældig begivenhed - udseendet af "hoveder" eller "haler". Det specifikke testresultat kaldes elementær begivenhed. Som et resultat af testen forekommer kun elementære hændelser. Sættet af alle mulige, forskellige, specifikke testresultater kaldes rum af elementære begivenheder.

Grundlæggende begreber i teorien

Sandsynlighed- graden af ​​mulighed for, at en begivenhed indtræffer. Når årsagerne til, at en eventuel hændelse faktisk opstår, opvejer de modsatte årsager, kaldes denne hændelse sandsynlig, ellers - usandsynlig eller usandsynlig.

Tilfældig værdi- det er en mængde, der som følge af test kan tage en eller anden værdi, og det vides ikke på forhånd hvilken. Eksempelvis: antal pr. brandstation pr. dag, antal hits med 10 skud osv.

Tilfældige variable kan opdeles i to kategorier.

1. Diskret tilfældig variabel er en størrelse, der, som et resultat af test, kan antage bestemte værdier med en vis sandsynlighed og danne et tælleligt sæt (et sæt, hvis elementer kan nummereres). Dette sæt kan enten være endeligt eller uendeligt. For eksempel er antallet af skud før det første hit på målet en diskret tilfældig variabel, fordi denne mængde kan antage et uendeligt, omend tælleligt antal værdier.
2. Kontinuerlig tilfældig variabel er en størrelse, der kan tage en hvilken som helst værdi fra et endeligt eller uendeligt interval. Det er klart, at antallet af mulige værdier af en kontinuerlig tilfældig variabel er uendelig.

Sandsynlighedsrum- koncept introduceret af A.N. Kolmogorov i 30'erne af det 20. århundrede for at formalisere begrebet sandsynlighed, hvilket gav anledning til den hurtige udvikling af sandsynlighedsteori som en streng matematisk disciplin.

Et sandsynlighedsrum er et tredobbelt (nogle gange omgivet af vinkelparenteser: , hvor

Dette er et vilkårligt sæt, hvis elementer kaldes elementære begivenheder, udfald eller point;
- sigma algebra af delmængder kaldet (tilfældige) hændelser;
- sandsynlighedsmål eller sandsynlighed, dvs. sigma-additivt endeligt mål sådan, at .

De Moivre-Laplace sætning- en af ​​sandsynlighedsteoriens grænsesætninger, etableret af Laplace i 1812. Den angiver, at antallet af succeser ved gentagelse af det samme tilfældige eksperiment igen og igen med to mulige udfald er tilnærmelsesvis normalfordelt. Det giver dig mulighed for at finde en omtrentlig sandsynlighedsværdi.

Hvis sandsynligheden for forekomsten af ​​en tilfældig hændelse for hvert af de uafhængige forsøg er lig med () og er antallet af forsøg, hvori den faktisk forekommer, så er sandsynligheden for, at uligheden er sand, tæt på (for store værdier) værdien af ​​Laplace-integralet.

Fordelingsfunktion i sandsynlighedsteori- en funktion, der karakteriserer fordelingen af ​​en tilfældig variabel eller tilfældig vektor; sandsynligheden for, at en stokastisk variabel X vil tage en værdi mindre end eller lig med x, hvor x er et vilkårligt reelt tal. Hvis kendte betingelser er opfyldt, bestemmer den fuldstændigt den stokastiske variabel.

Forventet værdi- gennemsnitsværdien af ​​en stokastisk variabel (dette er sandsynlighedsfordelingen af ​​en stokastisk variabel, betragtet i sandsynlighedsteorien). I engelsksproget litteratur er det betegnet med , på russisk - . I statistik bruges notationen ofte.

Lad et sandsynlighedsrum og en stokastisk variabel defineret på det være givet. Det er per definition en målbar funktion. Så, hvis der er et Lebesgue-integral af overrum, så kaldes det den matematiske forventning eller middelværdien og betegnes .

Varians af en tilfældig variabel- et mål for spredningen af ​​en given stokastisk variabel, dvs. dens afvigelse fra den matematiske forventning. Det er udpeget i russisk og udenlandsk litteratur. I statistik bruges ofte notationen eller. Kvadratroden af ​​variansen kaldes standardafvigelsen, standardafvigelsen eller standardspredningen.

Lade være en tilfældig variabel defineret på et sandsynlighedsrum. Derefter

hvor symbolet angiver den matematiske forventning.

I sandsynlighedsteori kaldes to tilfældige hændelser uafhængig, hvis forekomsten af ​​en af ​​dem ikke ændrer sandsynligheden for forekomsten af ​​den anden. På samme måde kaldes to stokastiske variable afhængig, hvis værdien af ​​en af ​​dem påvirker sandsynligheden for værdierne af den anden.

Den enkleste form for loven om store tal er Bernoullis sætning, som siger, at hvis sandsynligheden for en begivenhed er den samme i alle forsøg, så når antallet af forsøg stiger, tenderer frekvensen af ​​begivenheden til sandsynligheden for begivenheden og ophører med at være tilfældig.

Loven om store tal i sandsynlighedsteori siger, at det aritmetiske middelværdi af en endelig stikprøve fra en fast fordeling er tæt på det teoretiske gennemsnit af denne fordeling. Afhængigt af typen af ​​konvergens skelnes der mellem den svage lov for store tal, når konvergens opstår efter sandsynlighed, og den stærke lov for store tal, når konvergens er næsten sikker.

Den generelle betydning af loven om store tal er, at den fælles handling af et stort antal identiske og uafhængige tilfældige faktorer fører til et resultat, der i grænsen ikke afhænger af tilfældigheder.

Metoder til at estimere sandsynlighed baseret på endelig prøveanalyse er baseret på denne egenskab. Et tydeligt eksempel er prognosen for valgresultater baseret på en undersøgelse af et udvalg af vælgere.

Centrale grænsesætninger- en klasse af sætninger i sandsynlighedsteorien, der siger, at summen af ​​et tilstrækkeligt stort antal svagt afhængige stokastiske variable, der har nogenlunde samme skala (ingen af ​​ledene dominerer eller giver et afgørende bidrag til summen) har en fordeling tæt på normalen.

Da mange tilfældige variable i applikationer dannes under indflydelse af flere svagt afhængige tilfældige faktorer, anses deres fordeling for normal. I dette tilfælde skal betingelsen være opfyldt, at ingen af ​​faktorerne er dominerende. Centrale grænsesætninger i disse tilfælde retfærdiggør brugen af ​​normalfordelingen.

"Ulykker er ikke tilfældige"... Det lyder som noget, en filosof sagde, men faktisk er det at studere tilfældigheder skæbnen for den store videnskab om matematik. I matematik håndteres tilfældigheder af sandsynlighedsteori. Formler og eksempler på opgaver samt de vigtigste definitioner af denne videnskab vil blive præsenteret i artiklen.

Hvad er sandsynlighedsteori?

Sandsynlighedsteori er en af ​​de matematiske discipliner, der studerer tilfældige hændelser.

For at gøre det lidt tydeligere, lad os give et lille eksempel: Hvis du kaster en mønt op, kan den lande på hoveder eller haler. Mens mønten er i luften, er begge disse sandsynligheder mulige. Det vil sige, at sandsynligheden for mulige konsekvenser er 1:1. Hvis man trækkes fra et spil med 36 kort, vil sandsynligheden blive angivet som 1:36. Det ser ud til, at der ikke er noget at udforske og forudsige her, især ved hjælp af matematiske formler. Men hvis du gentager en bestemt handling mange gange, kan du identificere et bestemt mønster og ud fra det forudsige udfaldet af begivenheder under andre forhold.

For at opsummere alt ovenstående studerer sandsynlighedsteori i klassisk forstand muligheden for forekomsten af ​​en af ​​de mulige begivenheder i en numerisk værdi.

Fra historiens sider

Sandsynlighedsteorien, formler og eksempler på de første opgaver dukkede op i den fjerne middelalder, da der først opstod forsøg på at forudsige udfaldet af kortspil.

I starten havde sandsynlighedsteori intet med matematik at gøre. Det var begrundet med empiriske fakta eller egenskaber ved en begivenhed, der kunne gengives i praksis. De første værker på dette område som en matematisk disciplin dukkede op i det 17. århundrede. Grundlæggerne var Blaise Pascal og Pierre Fermat. De studerede gambling i lang tid og så visse mønstre, som de besluttede at fortælle offentligheden om.

Den samme teknik blev opfundet af Christiaan Huygens, selvom han ikke var bekendt med resultaterne af Pascals og Fermats forskning. Begrebet "sandsynlighedsteori", formler og eksempler, som betragtes som de første i disciplinens historie, blev introduceret af ham.

Jacob Bernoullis værker, Laplaces og Poissons sætninger er også af ikke ringe betydning. De gjorde sandsynlighedsteori mere som en matematisk disciplin. Sandsynlighedsteori, formler og eksempler på grundlæggende opgaver fik deres nuværende form takket være Kolmogorovs aksiomer. Som et resultat af alle ændringerne blev sandsynlighedsteorien en af ​​de matematiske grene.

Grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori. Begivenheder

Hovedkonceptet for denne disciplin er "begivenhed". Der er tre typer begivenheder:

• Pålidelig. Dem, der vil ske alligevel (mønten vil falde).
• Umulig. Begivenheder, der under ingen omstændigheder vil ske (mønten forbliver hængende i luften).
• Tilfældig. Dem der vil ske eller ikke vil ske. De kan påvirkes af forskellige faktorer, som er meget svære at forudsige. Hvis vi taler om en mønt, så er der tilfældige faktorer, der kan påvirke resultatet: møntens fysiske egenskaber, dens form, dens oprindelige position, kastekraften osv.

Alle begivenheder i eksemplerne er angivet med store latinske bogstaver, med undtagelse af P, som har en anden rolle. For eksempel:

• A = "studerende kom til forelæsning."
• Ā = "studerende kom ikke til forelæsningen."

I praktiske opgaver skrives begivenheder som regel ned i ord.

Et af de vigtigste kendetegn ved begivenheder er deres lige muligheder. Det vil sige, at hvis du kaster en mønt, er alle varianter af det indledende fald mulige, indtil den falder. Men begivenheder er heller ikke lige mulige. Dette sker, når nogen bevidst påvirker et resultat. For eksempel "markerede" spillekort eller terninger, hvor tyngdepunktet forskydes.

Begivenheder kan også være kompatible og uforenelige. Kompatible begivenheder udelukker ikke hinandens forekomst. For eksempel:

• A = "den studerende kom til forelæsningen."
• B = "den studerende kom til forelæsningen."

Disse begivenheder er uafhængige af hinanden, og forekomsten af ​​en af ​​dem påvirker ikke forekomsten af ​​den anden. Inkompatible hændelser er defineret ved, at forekomsten af ​​en udelukker forekomsten af ​​en anden. Hvis vi taler om den samme mønt, gør tabet af "haler" det umuligt for udseendet af "hoveder" i det samme eksperiment.

Handlinger på begivenheder

Begivenheder kan multipliceres og tilføjes i overensstemmelse hermed, logiske forbindelser "AND" og "OR" introduceres i disciplinen.

Beløbet bestemmes af, at enten begivenhed A eller B, eller to, kan forekomme samtidigt. Hvis de er inkompatible, er den sidste mulighed umulig, enten A eller B vil blive rullet.

Multiplikation af begivenheder består i udseendet af A og B på samme tid.

Nu kan vi give flere eksempler for bedre at huske det grundlæggende, sandsynlighedsteori og formler. Eksempler på problemløsning nedenfor.

Øvelse 1: Virksomheden deltager i en konkurrence om at modtage kontrakter på tre typer arbejde. Mulige hændelser, der kan forekomme:

• A = "firmaet vil modtage den første kontrakt."
• A 1 = "firmaet vil ikke modtage den første kontrakt."
• B = "virksomheden vil modtage en anden kontrakt."
• B 1 = "virksomheden vil ikke modtage en anden kontrakt"
• C = "virksomheden vil modtage en tredje kontrakt."
• C 1 = "virksomheden vil ikke modtage en tredje kontrakt."

Ved at bruge handlinger på begivenheder vil vi forsøge at udtrykke følgende situationer:

• K = "virksomheden vil modtage alle kontrakter."

På matematisk form vil ligningen have følgende form: K = ABC.

• M = "virksomheden vil ikke modtage en eneste kontrakt."

M = A 1 B 1 C 1.

Lad os komplicere opgaven: H = "virksomheden vil modtage én kontrakt." Da det ikke vides, hvilken kontrakt virksomheden vil modtage (første, anden eller tredje), er det nødvendigt at registrere hele rækken af ​​mulige begivenheder:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Og 1 BC 1 er en række begivenheder, hvor firmaet ikke modtager den første og tredje kontrakt, men modtager den anden. Andre mulige hændelser blev registreret ved hjælp af den passende metode. Symbolet υ i disciplinen betegner det bindende "ELLER". Hvis vi oversætter ovenstående eksempel til et menneskeligt sprog, modtager virksomheden enten den tredje kontrakt, den anden eller den første. På lignende måde kan du nedskrive andre forhold i disciplinen ”Sandsynlighedsteori”. Formlerne og eksemplerne på problemløsning præsenteret ovenfor vil hjælpe dig med at gøre dette selv.

Faktisk sandsynligheden

Måske i denne matematiske disciplin er sandsynligheden for en begivenhed det centrale begreb. Der er 3 definitioner af sandsynlighed:

• klassisk;
• statistisk;
• geometriske.

Hver har sin plads i studiet af sandsynlighed. Sandsynlighedsteori, formler og eksempler (9. klasse) bruger hovedsageligt den klassiske definition, som lyder således:

• Sandsynligheden for situation A er lig med forholdet mellem antallet af udfald, der favoriserer dets forekomst, og antallet af alle mulige udfald.

Formlen ser således ud: P(A)=m/n.

A er faktisk en begivenhed. Hvis der vises et tilfælde modsat A, kan det skrives som  eller A 1 .

m er antallet af mulige gunstige tilfælde.

n - alle begivenheder, der kan ske.

For eksempel, A = "træk et kort af hjertefarven." Der er 36 kort i et standardspil, 9 af dem er af hjerter. Følgelig vil formlen til løsning af problemet se ud som:

P(A)=9/36=0,25.

Som et resultat vil sandsynligheden for, at et kort i hjertefarven trækkes fra bunken være 0,25.

Mod højere matematik

Nu er det blevet lidt kendt, hvad sandsynlighedsteorien er, formler og eksempler på løsning af problemer, der støder på i skolens læreplan. Sandsynlighedsteori findes dog også i højere matematik, som undervises på universiteterne. Oftest arbejder de med geometriske og statistiske definitioner af teorien og komplekse formler.

Sandsynlighedsteorien er meget interessant. Det er bedre at begynde at studere formler og eksempler (højere matematik) i det små - med den statistiske (eller frekvens) definition af sandsynlighed.

Den statistiske tilgang modsiger ikke den klassiske, men udvider den lidt. Hvis det i det første tilfælde var nødvendigt at bestemme med hvilken sandsynlighed en begivenhed vil forekomme, så er det i denne metode nødvendigt at angive, hvor ofte det vil forekomme. Her introduceres et nyt begreb "relativ frekvens", som kan betegnes med W n (A). Formlen adskiller sig ikke fra den klassiske:

Hvis den klassiske formel beregnes til forudsigelse, så beregnes den statistiske i henhold til eksperimentets resultater. Lad os tage en lille opgave for eksempel.

Den teknologiske kontrolafdeling kontrollerer produkter for kvalitet. Blandt 100 produkter blev 3 fundet at være af dårlig kvalitet. Hvordan finder man frekvenssandsynligheden for et kvalitetsprodukt?

A = "udseendet af et kvalitetsprodukt."

Wn(A)=97/100=0,97

Således er frekvensen af ​​et kvalitetsprodukt 0,97. Hvor har du 97 fra? Ud af 100 produkter, der blev kontrolleret, blev 3 fundet at være af dårlig kvalitet. Vi trækker 3 fra 100 og får 97, dette er mængden af ​​kvalitetsvarer.

Lidt om kombinatorik

En anden metode til sandsynlighedsteori kaldes kombinatorik. Dens grundlæggende princip er, at hvis et bestemt valg A kan foretages på m forskellige måder, og et valg B kan foretages på n forskellige måder, så kan valget af A og B foretages ved multiplikation.

For eksempel er der 5 veje, der fører fra by A til by B. Der er 4 stier fra by B til by C. På hvor mange måder kan du komme fra by A til by C?

Det er enkelt: 5x4=20, det vil sige på tyve forskellige måder kan du komme fra punkt A til punkt C.

Lad os komplicere opgaven. Hvor mange måder er der til at lægge kort i kabale? Der er 36 kort i bunken - dette er udgangspunktet. For at finde ud af antallet af måder, skal du "trække" et kort ad gangen fra startpunktet og gange.

Det vil sige, 36x35x34x33x32...x2x1= resultatet passer ikke på lommeregnerens skærm, så det kan blot betegnes 36!. Skilt "!" ved siden af ​​tallet angiver, at hele rækken af ​​tal er ganget sammen.

I kombinatorik er der sådanne begreber som permutation, placering og kombination. Hver af dem har sin egen formel.

Et ordnet sæt af elementer i et sæt kaldes et arrangement. Placeringer kan gentages, det vil sige, at et element kan bruges flere gange. Og uden gentagelse, når elementer ikke gentages. n er alle elementer, m er elementer, der deltager i placeringen. Formlen for placering uden gentagelse vil se sådan ud:

A n m =n!/(n-m)!

Forbindelser af n elementer, der kun adskiller sig i rækkefølgen af ​​placering, kaldes permutationer. I matematik ser det sådan ud: P n = n!

Kombinationer af n elementer af m er de forbindelser, hvor det er vigtigt, hvilke grundstoffer de var, og hvad deres samlede antal er. Formlen vil se sådan ud:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernoullis formel

I sandsynlighedsteori, som i enhver disciplin, er der værker af fremragende forskere inden for deres felt, der har taget det til et nyt niveau. Et af disse værker er Bernoulli-formlen, som giver dig mulighed for at bestemme sandsynligheden for, at en bestemt begivenhed finder sted under uafhængige forhold. Dette tyder på, at forekomsten af ​​A i et eksperiment ikke afhænger af forekomsten eller ikke-forekomsten af ​​den samme hændelse i tidligere eller efterfølgende forsøg.

Bernoullis ligning:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Sandsynligheden (p) for forekomsten af ​​hændelsen (A) er konstant for hvert forsøg. Sandsynligheden for, at situationen vil opstå præcis m gange i n antal eksperimenter, vil blive beregnet ved hjælp af formlen præsenteret ovenfor. Derfor opstår spørgsmålet om, hvordan man finder ud af tallet q.

Hvis hændelse A forekommer p antal gange, vil den muligvis ikke forekomme. Enhed er et tal, der bruges til at udpege alle udfald af en situation i en disciplin. Derfor er q et tal, der angiver muligheden for, at en begivenhed ikke indtræffer.

Nu kender du Bernoullis formel (sandsynlighedsteori). Vi vil overveje eksempler på problemløsning (første niveau) nedenfor.

Opgave 2: En butiksbesøgende vil foretage et køb med sandsynlighed 0,2. 6 besøgende kom selvstændigt ind i butikken. Hvad er sandsynligheden for, at en besøgende vil foretage et køb?

Løsning: Da det er uvist, hvor mange besøgende der skal foretage et køb, en eller alle seks, er det nødvendigt at beregne alle mulige sandsynligheder ved hjælp af Bernoulli-formlen.

A = "den besøgende vil foretage et køb."

I dette tilfælde: p = 0,2 (som angivet i opgaven). Følgelig er q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (da der er 6 kunder i butikken). Tallet m vil variere fra 0 (ikke en enkelt kunde vil foretage et køb) til 6 (alle besøgende i butikken vil købe noget). Som et resultat får vi løsningen:

P6(0) = C06xp0xq6 =q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Ingen af ​​køberne vil foretage et køb med sandsynlighed 0,2621.

Hvordan bruges Bernoullis formel (sandsynlighedsteori) ellers? Eksempler på problemløsning (andet niveau) nedenfor.

Efter ovenstående eksempel opstår der spørgsmål om, hvor C og r gik hen. I forhold til p vil et tal i potensen 0 være lig med én. Hvad angår C, kan det findes ved formlen:

C n m = n! /m!(n-m)!

Da i det første eksempel henholdsvis m = 0 er C = 1, hvilket i princippet ikke påvirker resultatet. Lad os ved hjælp af den nye formel prøve at finde ud af, hvad der er sandsynligheden for, at to besøgende køber varer.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Sandsynlighedsteorien er ikke så kompliceret. Bernoullis formel, som eksempler er præsenteret ovenfor, er et direkte bevis på dette.

Poissons formel

Poissons ligning bruges til at beregne tilfældige situationer med lav sandsynlighed.

Grundformel:

Pn(m)=λm/m! x e (-λ).

I dette tilfælde λ = n x p. Her er en simpel Poisson-formel (sandsynlighedsteori). Vi vil overveje eksempler på problemløsning nedenfor.

Opgave 3: Fabrikken producerede 100.000 dele. Forekomst af en defekt del = 0,0001. Hvad er sandsynligheden for, at der vil være 5 defekte dele i en batch?

Som du kan se, er ægteskab en usandsynlig begivenhed, og derfor bruges Poisson-formlen (sandsynlighedsteori) til beregning. Eksempler på løsning af problemer af denne art adskiller sig ikke fra andre opgaver i disciplinen. Vi erstatter de nødvendige data i den givne formel:

A = "en tilfældigt valgt del vil være defekt."

p = 0,0001 (ifølge opgavebetingelserne).

n = 100000 (antal dele).

m = 5 (defekte dele). Vi erstatter dataene i formlen og får:

R 100.000 (5) = 10 5 /5! Xe-10 = 0,0375.

Ligesom Bernoulli-formlen (sandsynlighedsteori), eksempler på løsninger, der er skrevet ovenfor, har Poisson-ligningen en ukendt e. Faktisk kan den findes ved formlen:

e -λ = lim n -> ∞ (1-λ/n) n .

Der er dog specielle tabeller, der indeholder næsten alle værdier af f.

De Moivre-Laplace sætning

Hvis antallet af forsøg i Bernoulli-skemaet er tilstrækkeligt stort, og sandsynligheden for forekomst af begivenhed A i alle skemaer er den samme, så kan sandsynligheden for forekomst af begivenhed A et vist antal gange i en række tests findes ved at Laplaces formel:

R n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

For bedre at huske Laplaces formel (sandsynlighedsteori), er eksempler på problemer nedenfor for at hjælpe.

Lad os først finde X m, erstatte dataene (de er alle anført ovenfor) i formlen og få 0,025. Ved hjælp af tabeller finder vi tallet ϕ(0,025), hvis værdi er 0,3988. Nu kan du erstatte alle data i formlen:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Således er sandsynligheden for, at flyeren virker præcis 267 gange, 0,03.

Bayes formel

Bayes-formlen (sandsynlighedsteori), eksempler på løsning af problemer ved hjælp af hvilken vil blive givet nedenfor, er en ligning, der beskriver sandsynligheden for en begivenhed baseret på de omstændigheder, der kunne være forbundet med den. Grundformlen er som følger:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A og B er bestemte begivenheder.

P(A|B) er en betinget sandsynlighed, dvs. begivenhed A kan forekomme, forudsat at begivenhed B er sand.

P (B|A) - betinget sandsynlighed for begivenhed B.

Så den sidste del af det korte kursus "Sandsynlighedsteori" er Bayes-formlen, eksempler på løsninger på problemer med som er nedenfor.

Opgave 5: Telefoner fra tre firmaer blev bragt til lageret. Samtidig er andelen af ​​telefoner, der fremstilles på den første fabrik, 25%, på den anden - 60%, på den tredje - 15%. Det er også kendt, at den gennemsnitlige procentdel af defekte produkter på den første fabrik er 2%, på den anden - 4% og på den tredje - 1%. Du skal finde sandsynligheden for, at en tilfældigt udvalgt telefon vil være defekt.

A = "tilfældigt valgt telefon."

B 1 - telefonen som den første fabrik producerede. Følgelig vil indledende B 2 og B 3 fremkomme (for anden og tredje fabrik).

Som et resultat får vi:

P (B1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - dermed fandt vi sandsynligheden for hver mulighed.

Nu skal du finde de betingede sandsynligheder for den ønskede begivenhed, det vil sige sandsynligheden for defekte produkter i virksomheder:

P (A/B1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B3) = 0,01.

Lad os nu erstatte dataene i Bayes-formlen og få:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artiklen præsenterer sandsynlighedsteori, formler og eksempler på problemløsning, men dette er kun toppen af ​​isbjerget af en stor disciplin. Og efter alt, hvad der er skrevet, vil det være logisk at stille spørgsmålet om, hvorvidt sandsynlighedsteorien er nødvendig i livet. Det er svært for en almindelig person at svare på, det er bedre at spørge nogen, der har brugt det til at vinde jackpotten mere end én gang.

INTRODUKTION

Mange ting er uforståelige for os, ikke fordi vores begreber er svage;
men fordi disse ting ikke er inkluderet i rækken af ​​vores koncepter.
Kozma Prutkov

Hovedmålet med at studere matematik i sekundære specialiserede uddannelsesinstitutioner er at give eleverne et sæt matematisk viden og færdigheder, der er nødvendige for at studere andre uddannelsesdiscipliner, der bruger matematik i en eller anden grad, for evnen til at udføre praktiske beregninger, for dannelse og udvikling af logisk tænkning.

I dette arbejde er alle de grundlæggende begreber i sektionen af ​​matematik "Fundamentals of Probability Theory and Mathematical Statistics", fastsat af programmet og statens uddannelsesstandarder for sekundær erhvervsuddannelse (Undervisningsministeriet i Den Russiske Føderation. M., 2002 ), er konsekvent introduceret, er hovedsætningerne formuleret, hvoraf de fleste ikke er bevist . De vigtigste problemer og metoder til at løse dem og teknologier til at anvende disse metoder til at løse praktiske problemer overvejes. Præsentationen er ledsaget af detaljerede kommentarer og talrige eksempler.

Metodiske instruktioner kan bruges til indledende fortrolighed med det materiale, der studeres, når der tages noter til forelæsninger, til forberedelse til praktiske timer, for at konsolidere erhvervet viden, færdigheder og evner. Derudover vil manualen også være nyttig for bachelorstuderende som et referenceværktøj, så de hurtigt kan huske, hvad der tidligere blev studeret.

I slutningen af ​​arbejdet er der eksempler og opgaver, som eleverne kan udføre i selvkontroltilstand.

Retningslinjerne er beregnet til deltids- og fuldtidsstuderende.

BASALE KONCEPTER

Sandsynlighedsteori studerer de objektive mønstre af tilfældige massehændelser. Det er det teoretiske grundlag for matematisk statistik, som omhandler udvikling af metoder til indsamling, beskrivelse og bearbejdning af observationsresultater. Gennem observationer (test, eksperimenter), dvs. erfaring i ordets brede forstand opstår viden om den virkelige verdens fænomener.

I vores praktiske aktiviteter støder vi ofte på fænomener, hvis udfald ikke kan forudsiges, og hvis udfald afhænger af tilfældigheder.

Et tilfældigt fænomen kan karakteriseres ved forholdet mellem antallet af dets forekomster og antallet af forsøg, i hvert af hvilke det, under de samme betingelser for alle forsøg, kunne forekomme eller ikke forekomme.

Sandsynlighedsteori er en gren af ​​matematikken, hvor tilfældige fænomener (begivenheder) studeres og mønstre identificeres, når de gentages i massevis.

Matematisk statistik er en gren af ​​matematikken, der beskæftiger sig med undersøgelse af metoder til at indsamle, systematisere, bearbejde og bruge statistiske data til at opnå videnskabeligt baserede konklusioner og træffe beslutninger.

I dette tilfælde forstås statistiske data som et sæt tal, der repræsenterer de kvantitative karakteristika af karakteristikaene for de undersøgte objekter, der interesserer os. Statistiske data opnås som resultat af specialdesignede eksperimenter og observationer.

Statistiske data afhænger af deres essens af mange tilfældige faktorer, derfor er matematisk statistik tæt forbundet med sandsynlighedsteori, som er dens teoretiske grundlag.

I. SANDSYNLIGHED. SÆTNINGER OM ADDITION OG MULTIPLIKATION AF SANDsynligheder

1.1. Grundlæggende begreber i kombinatorik

I grenen af ​​matematik, som kaldes kombinatorik, løses nogle problemer i forbindelse med hensyntagen til mængder og sammensætningen af ​​forskellige kombinationer af elementer i disse mængder. Hvis vi for eksempel tager 10 forskellige tal 0, 1, 2, 3,: , 9 og laver kombinationer af dem, får vi forskellige tal, for eksempel 143, 431, 5671, 1207, 43 osv.

Vi ser, at nogle af disse kombinationer kun adskiller sig i rækkefølgen af ​​cifrene (for eksempel 143 og 431), andre - i cifrene inkluderet i dem (for eksempel 5671 og 1207), og andre adskiller sig også i antallet af cifre (f.eks. 143 og 43).

Således opfylder de resulterende kombinationer forskellige betingelser.

Afhængigt af reglerne for sammensætning kan der skelnes mellem tre typer kombinationer: permutationer, placeringer, kombinationer.

Lad os først stifte bekendtskab med konceptet faktorielle.

Produktet af alle naturlige tal fra 1 til og med n kaldes n-faktor og skrive.

Beregn: a) ; b); V).

Løsning. A).

b) Siden , så kan vi sætte det ud af parentes

Så får vi

V) .

Omarrangeringer.

En kombination af n elementer, der kun adskiller sig fra hinanden i rækkefølgen af ​​elementerne, kaldes en permutation.

Permutationer er angivet med symbolet P n , hvor n er antallet af elementer inkluderet i hver permutation. ( R- første bogstav i et fransk ord permutation- omarrangering).

Antallet af permutationer kan beregnes ved hjælp af formlen

eller ved at bruge factorial:

Lad os huske det 0!=1 og 1!=1.

Eksempel 2. På hvor mange måder kan seks forskellige bøger placeres på én hylde?

Løsning. Det nødvendige antal måder er lig med antallet af permutationer af 6 elementer, dvs.

Placeringer.

Opslag fra m elementer i n i hver kaldes sådanne forbindelser, der adskiller sig fra hinanden enten ved selve grundstofferne (mindst én) eller ved rækkefølgen af ​​deres arrangement.

Placeringer er angivet med symbolet, hvor m- antallet af alle tilgængelige elementer, n- antallet af elementer i hver kombination. ( EN- første bogstav i et fransk ord arrangement, som betyder "placering, at sætte i orden").

Samtidig mener man det nm.

Antallet af placeringer kan beregnes ved hjælp af formlen

,

de der. antal af alle mulige placeringer fra m elementer af n er lig med produktet n på hinanden følgende heltal, hvoraf det største er m.

Lad os skrive denne formel i faktoriel form:

Eksempel 3. Hvor mange muligheder for at uddele tre værdibeviser til sanatorier med forskellige profiler kan der udarbejdes for fem ansøgere?

Løsning. Det nødvendige antal muligheder er lig med antallet af placeringer af 5 elementer af 3 elementer, dvs.

.

Kombinationer.

Kombinationer er alle mulige kombinationer af m elementer af n, som adskiller sig fra hinanden med mindst ét ​​element (her m Og n- naturlige tal, og n m).

Antal kombinationer af m elementer af n er betegnet med ( MED-det første bogstav i et fransk ord kombination- kombination).

Generelt er antallet af m elementer af n lig med antallet af placeringer fra m elementer af n, divideret med antallet af permutationer fra n elementer:

Ved at bruge faktorielle formler for antallet af placeringer og permutationer får vi:

Eksempel 4. I et team på 25 personer skal du afsætte fire til at arbejde i et bestemt område. På hvor mange måder kan dette gøres?

Løsning. Da rækkefølgen af ​​de fire valgte personer ikke betyder noget, er der måder at gøre dette på.

Vi finder ved hjælp af den første formel

.

Derudover bruges følgende formler, når man løser problemer, der udtrykker de grundlæggende egenskaber ved kombinationer:

(per definition antager de og);

.

1.2. Løsning af kombinatoriske problemer

Opgave 1. Der studeres 16 fag på fakultetet. Du skal sætte 3 emner på din tidsplan for mandag. På hvor mange måder kan dette gøres?

Løsning. Der er lige så mange måder at planlægge tre elementer ud af 16 på, som du kan arrangere placeringer af 16 elementer med 3.

Opgave 2. Ud af 15 objekter skal du vælge 10 objekter. På hvor mange måder kan dette gøres?

Opgave 3. Fire hold deltog i konkurrencen. Hvor mange muligheder for at fordele pladser mellem dem er mulige?

.

Opgave 4. På hvor mange måder kan der dannes en patrulje på tre soldater og en officer, hvis der er 80 soldater og 3 officerer?

Løsning. Du kan vælge en soldat på patrulje

måder, og officerer på måder. Da enhver officer kan gå med hvert hold af soldater, er der kun så mange måder.

Opgave 5. Find , hvis det vides at .

Siden får vi

,

,

Ved definition af en kombination følger det, at . At. .

1.3. Konceptet med en tilfældig begivenhed. Typer af begivenheder. Sandsynlighed for hændelse

Enhver handling, fænomen, observation med flere forskellige udfald, realiseret under et givet sæt betingelser, vil blive kaldt prøve.

Resultatet af denne handling eller observation kaldes begivenhed .

Hvis en begivenhed under givne forhold kan ske eller ikke ske, så kaldes den tilfældig . Når en begivenhed med sikkerhed vil ske, kaldes den pålidelig , og i det tilfælde, hvor det åbenbart ikke kan ske, - umulig.

Begivenhederne kaldes uforenelig , hvis kun én af dem er mulig at dukke op hver gang.

Begivenhederne kaldes samling , hvis forekomsten af ​​en af ​​disse hændelser under givne forhold ikke udelukker forekomsten af ​​en anden under samme test.

Begivenhederne kaldes modsat , hvis de under testbetingelserne, som de eneste resultater, er uforenelige.

Begivenheder er normalt angivet med store bogstaver i det latinske alfabet: A, B, C, D, : .

Et komplet system af hændelser A 1 , A 2 , A 3 , : , A n er et sæt af uforenelige hændelser, hvoraf mindst én er obligatorisk under en given test.

Hvis et komplet system består af to uforenelige hændelser, kaldes sådanne hændelser modsatte og betegnes A og .

Eksempel. Æsken indeholder 30 nummererede bolde. Bestem, hvilke af følgende hændelser der er umulige, pålidelige eller modsatte:

tog en nummereret bold frem (EN);

fik en bold med et lige tal (I);

fik en bold med et ulige tal (MED);

fik en bold uden nummer (D).

Hvem af dem udgør en komplet gruppe?

Løsning . EN- pålidelig begivenhed; D- umulig begivenhed;

I og MED- modsatte begivenheder.

Den komplette gruppe af arrangementer består af EN Og D, V Og MED.

Sandsynligheden for en begivenhed betragtes som et mål for den objektive mulighed for forekomsten af ​​en tilfældig begivenhed.

1.4. Klassisk definition af sandsynlighed

Et tal, der udtrykker målet for den objektive mulighed for, at en begivenhed indtræffer kaldes sandsynlighed denne hændelse og er angivet med symbolet R(A).

Definition. Sandsynlighed for hændelsen EN er forholdet mellem antallet af udfald m, der favoriserer forekomsten af ​​en given begivenhed EN, til nummeret n alle udfald (inkonsekvente, kun mulige og lige mulige), dvs. .

For at finde sandsynligheden for en hændelse er det derfor nødvendigt, efter at have overvejet forskellige udfald af testen, at beregne alle mulige inkonsistente udfald n, vælg antallet af udfald m vi er interesserede i og beregn forholdet m Til n.

Følgende egenskaber følger af denne definition:

Sandsynligheden for enhver test er et ikke-negativt tal, der ikke overstiger én.

Faktisk er antallet m af de påkrævede hændelser inden for . Opdeling af begge dele i n, vi får

2. Sandsynligheden for en pålidelig hændelse er lig med én, fordi .

3. Sandsynligheden for en umulig begivenhed er nul, da .

Opgave 1. I et lotteri på 1000 lodder er der 200 vindende. Én billet udtages tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at denne billet er en vinder?

Løsning. Det samlede antal forskellige udfald er n=1000. Antallet af udfald, der er gunstige for at vinde, er m=200. Ifølge formlen får vi

.

Opgave 2. I et parti med 18 dele er der 4 defekte. 5 dele udvælges tilfældigt. Find sandsynligheden for, at to af disse 5 dele vil være defekte.

Løsning. Antallet af alle lige mulige uafhængige udfald n lig med antallet af kombinationer af 18 gange 5 dvs.

Lad os tælle tallet m, der favoriserer begivenhed A. Blandt 5 dele, der tages tilfældigt, skal der være 3 gode og 2 defekte. Antallet af måder at vælge to defekte dele på fra 4 eksisterende defekte er lig med antallet af kombinationer af 4 gange 2:

Antallet af måder at vælge tre kvalitetsdele fra 14 tilgængelige kvalitetsdele er lig med

.

Enhver gruppe af gode dele kan kombineres med enhver gruppe af defekte dele, så det samlede antal kombinationer m beløber sig til

Den krævede sandsynlighed for begivenhed A er lig med forholdet mellem antallet af udfald m, der er gunstige for denne begivenhed, og antallet n af alle lige mulige uafhængige udfald:

.

Summen af ​​et begrænset antal begivenheder er en begivenhed, der består af forekomsten af ​​mindst én af dem.

Summen af ​​to hændelser er angivet med symbolet A+B og summen n hændelser med symbolet A 1 +A 2 + : +A n.

Sandsynlighedsadditionssætning.

Sandsynligheden for summen af ​​to uforenelige hændelser er lig med summen af ​​sandsynligheden for disse hændelser.

Konsekvens 1. Hvis hændelsen A 1, A 2, :,A n danner et komplet system, så er summen af ​​sandsynligheden for disse hændelser lig med én.

Konsekvens 2. Summen af ​​sandsynligheden for modsatte hændelser og er lig med én.

.

Opgave 1. Der er 100 lottokuponer. Det er kendt, at 5 billetter vinder 20.000 rubler, 10 billetter vinder 15.000 rubler, 15 billetter vinder 10.000 rubler, 25 billetter vinder 2.000 rubler. og intet til resten. Find sandsynligheden for, at den købte billet vil modtage en gevinst på mindst 10.000 rubler.

Løsning. Lad A, B og C være begivenheder, der består i, at den købte billet modtager en gevinst svarende til henholdsvis 20.000, 15.000 og 10.000 rubler. da begivenhederne A, B og C er uforenelige

Opgave 2. En teknisk skoles korrespondanceafdeling modtager prøver i matematik fra byer A, B Og MED. Sandsynlighed for at modtage en test fra byen EN lig med 0,6, fra byen I- 0,1. Find sandsynligheden for, at den næste test kommer fra byen MED.

Nogle programmører, efter at have arbejdet inden for udvikling af almindelige kommercielle applikationer, tænker på at mestre maskinlæring og blive dataanalytiker. De forstår ofte ikke, hvorfor visse metoder virker, og de fleste maskinlæringsmetoder virker som magi. Faktisk er maskinlæring baseret på matematisk statistik, som igen er baseret på sandsynlighedsteori. Derfor vil vi i denne artikel være opmærksomme på de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori: vi vil berøre definitionerne af sandsynlighed, fordeling og analysere flere enkle eksempler.

Du ved måske, at sandsynlighedsteori konventionelt er opdelt i 2 dele. Diskret sandsynlighedsteori studerer fænomener, der kan beskrives ved en fordeling med et begrænset (eller tælleligt) antal mulige adfærdsmuligheder (kastning af terninger, mønter). Kontinuerlig sandsynlighedsteori studerer fænomener fordelt over et tæt sæt, for eksempel på et segment eller i en cirkel.

Vi kan overveje emnet sandsynlighedsteori ved hjælp af et simpelt eksempel. Forestil dig dig selv som en skydeudvikler. En integreret del af udviklingen af ​​spil i denne genre er skydemekanikken. Det er klart, at et skydespil, hvor alle våben skyder helt præcist, vil være af ringe interesse for spillerne. Derfor er det bydende nødvendigt at tilføje spredning til dit våben. Men blot at randomisere våbenslagpunkter vil ikke give mulighed for finjustering, så det vil være svært at justere spilbalancen. Samtidig kan ved hjælp af tilfældige variable og deres fordelinger analysere, hvordan et våben vil klare sig med en given spredning og hjælpe med at foretage de nødvendige justeringer.

Rum af elementære resultater

Lad os sige, at fra et tilfældigt eksperiment, som vi kan gentage mange gange (for eksempel at kaste en mønt), kan vi udtrække nogle formaliserede oplysninger (det kom op i hoveder eller hale). Denne information kaldes et elementært udfald, og det er nyttigt at overveje sættet af alle elementære udfald, ofte betegnet med bogstavet Ω (Omega).

Strukturen af ​​dette rum afhænger helt af eksperimentets art. For eksempel, hvis vi overvejer at skyde på et tilstrækkeligt stort cirkulært mål, vil rummet af elementære udfald for nemheds skyld være en cirkel, placeret med centrum på nul, og resultatet vil være et punkt i denne cirkel.

Derudover overvejes sæt af elementære udfald - begivenheder (for eksempel at ramme top ti er en koncentrisk cirkel med lille radius med et mål). I det diskrete tilfælde er alt ganske enkelt: vi kan få enhver begivenhed, inklusive eller udelukke elementære udfald på en begrænset tid. I det kontinuerlige tilfælde er alt meget mere kompliceret: vi har brug for en ret god familie af sæt at overveje, kaldet algebra i analogi med simple reelle tal, der kan lægges til, subtraheres, divideres og ganges. Mængder i algebra kan krydses og kombineres, og resultatet af operationen vil være i algebraen. Dette er en meget vigtig egenskab for den matematik, der ligger bag alle disse begreber. En minimal familie består kun af to sæt - det tomme sæt og rummet af elementære resultater.

Mål og sandsynlighed

Sandsynlighed er en måde at drage slutninger om adfærden af ​​meget komplekse objekter uden at forstå, hvordan de fungerer. Således er sandsynlighed defineret som en funktion af en begivenhed (fra den meget gode familie af mængder), der returnerer et tal - noget karakteristisk for, hvor ofte en sådan begivenhed kan forekomme i virkeligheden. For at være sikker var matematikere enige om, at dette tal skulle ligge mellem nul og én. Derudover har denne funktion krav: sandsynligheden for en umulig hændelse er nul, sandsynligheden for hele sæt af udfald er enhed, og sandsynligheden for at kombinere to uafhængige hændelser (disjunkte sæt) er lig med summen af ​​sandsynligheden. Et andet navn for sandsynlighed er et sandsynlighedsmål. Oftest bruges Lebesgue-mål, som generaliserer begreberne længde, areal, volumen til alle dimensioner (n-dimensionelt volumen), og dermed er det anvendeligt til en bred klasse af sæt.

Sammen kaldes samlingen af ​​et sæt af elementære udfald, en familie af sæt og et sandsynlighedsmål sandsynlighedsrum. Lad os overveje, hvordan vi kan konstruere et sandsynlighedsrum for eksemplet med at skyde mod et mål.

Overvej at skyde mod et stort rundt mål med radius R, som er umuligt at gå glip af. Ved et sæt af elementære begivenheder sætter vi en cirkel med et centrum ved begyndelsen af ​​koordinaterne med radius R. Da vi skal bruge areal (Lebesgue-målet for todimensionelle mængder) til at beskrive sandsynligheden for en hændelse, vil vi bruge en familie af målbare (hvor dette mål findes) sæt.

Bemærk Faktisk er dette et teknisk punkt, og i simple problemer spiller processen med at bestemme et mål og en familie af sæt ikke en særlig rolle. Men det er nødvendigt at forstå, at disse to objekter eksisterer, for i mange bøger om sandsynlighedsteori begynder sætningerne med ordene: " Lad (Ω,Σ,P) være et sandsynlighedsrum...».

Som nævnt ovenfor skal sandsynligheden for hele rummet af elementære udfald være lig med én. Arealet (todimensionelt Lebesgue-mål, som vi betegner λ 2 (A), hvor A er en begivenhed) af en cirkel, ifølge en velkendt formel fra skolen, er lig med π *R 2. Så kan vi introducere sandsynligheden P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2), og denne værdi vil allerede ligge mellem 0 og 1 for enhver begivenhed A.

Hvis vi antager, at det er lige så sandsynligt at ramme et punkt på målet, kommer søgningen efter sandsynligheden for, at en skytte rammer et område af målet, ned til at finde området af dette sæt (herfra kan vi konkludere, at sandsynligheden at ramme et bestemt punkt er nul, fordi arealet af punktet er nul).

For eksempel vil vi finde ud af, hvad der er sandsynligheden for, at skytten rammer top ti (begivenhed A - skytten rammer det ønskede sæt). I vores model er "ti" repræsenteret af en cirkel med centrum ved nul og radius r. Så er sandsynligheden for at komme ind i denne cirkel P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2.

Dette er en af ​​de simpleste typer af "geometrisk sandsynlighed"-problemer - de fleste af disse problemer kræver, at man finder et område.

Tilfældige variable

En stokastisk variabel er en funktion, der konverterer elementære udfald til reelle tal. For eksempel kan vi i det betragtede problem introducere en tilfældig variabel ρ(ω) - afstanden fra anslagspunktet til midten af ​​målet. Enkelheden af ​​vores model giver os mulighed for eksplicit at definere rummet af elementære udfald: Ω = (ω = (x,y) sådanne tal, at x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Så er den stokastiske variabel ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Midler til abstraktion fra probabilistisk rum. Fordelingsfunktion og tæthed

Det er godt, når rummets struktur er velkendt, men i virkeligheden er det ikke altid tilfældet. Selvom strukturen af ​​et rum er kendt, kan det være komplekst. For at beskrive tilfældige variable, hvis deres udtryk er ukendt, er der begrebet en fordelingsfunktion, som er betegnet med F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Fordelingsfunktionen har flere egenskaber:

1. For det første er den mellem 0 og 1.
2. For det andet falder den ikke, når dens argument x stiger.
3. For det tredje, når tallet -x er meget stort, er fordelingsfunktionen tæt på 0, og når x selv er stor, er fordelingsfunktionen tæt på 1.

Sandsynligvis er betydningen af ​​denne konstruktion ikke særlig klar ved første læsning. En nyttig egenskab er, at fordelingsfunktionen giver dig mulighed for at se efter sandsynligheden for, at en størrelse tager en værdi fra et interval. Så P (den stokastiske variabel ξ tager værdier fra intervallet) = F ξ (b)-F ξ (a). Ud fra denne lighed kan vi studere, hvordan denne værdi ændrer sig, hvis grænserne a og b for intervallet er tætte.

Lad d = b-a, så b = a+d. Og derfor F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . For små værdier af d er ovenstående forskel også lille (hvis fordelingen er kontinuerlig). Det giver mening at overveje forholdet p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d. Hvis dette forhold for tilstrækkeligt små værdier af d afviger lidt fra en konstant p ξ (a), uafhængigt af d, så har den stokastiske variabel på dette tidspunkt en tæthed lig med p ξ (a).

Bemærk Læsere, der tidligere har stødt på begrebet afledet, kan bemærke, at p ξ (a) er den afledede af funktionen F ξ (x) i punkt a. Under alle omstændigheder kan du studere begrebet et derivat i en artikel om dette emne på Mathprofi-webstedet.

Nu kan betydningen af ​​fordelingsfunktionen defineres som følger: dens afledede (densitet p ξ, som vi definerede ovenfor) i punkt a beskriver, hvor ofte en stokastisk variabel vil falde ind i et lille interval centreret i punkt a (naboskabet af punkt a ) sammenlignet med andre punkters kvarterer. Med andre ord, jo hurtigere fordelingsfunktionen vokser, jo mere sandsynligt er det, at en sådan værdi vil optræde i et tilfældigt eksperiment.

Lad os gå tilbage til eksemplet. Vi kan beregne fordelingsfunktionen for den stokastiske variabel, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2, som angiver afstanden fra centrum til det tilfældige hitpunkt på målet. Per definition er F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Vi kan finde tætheden p ρ af denne stokastiske variabel. Lad os straks bemærke, at uden for intervallet er det nul, fordi fordelingsfunktionen over dette interval er uændret. Ved slutningen af ​​dette interval bestemmes tætheden ikke. Inde i intervallet kan det findes ved hjælp af en tabel med afledte værdier (for eksempel fra Mathprofi-webstedet) og elementære regler for differentiering. Derivatet af t2/R2 er lig med 2t/R2. Det betyder, at vi fandt tætheden på hele aksen af ​​reelle tal.

En anden nyttig egenskab ved tæthed er sandsynligheden for, at en funktion tager en værdi fra et interval, beregnet ved hjælp af integralet af tætheden over dette interval (du kan finde ud af, hvad dette er i artiklerne om rigtige, ukorrekte og ubestemte integraler på Mathprofi internet side).

Ved første læsning kan integralet over et interval af funktionen f(x) opfattes som arealet af en buet trapez. Dens sider er et fragment af Ox-aksen, et mellemrum (vandret koordinatakse), lodrette segmenter, der forbinder punkter (a,f(a)), (b,f(b)) på kurven med punkter (a,0), (b,0 ) på Ox-aksen. Den sidste side er et fragment af grafen for funktionen f fra (a,f(a)) til (b,f(b)) . Vi kan tale om integralet over intervallet (-∞; b], når for tilstrækkeligt store negative værdier, a, vil værdien af ​​integralet over intervallet ændre sig ubetydeligt sammenlignet med ændringen i tallet a. Integralet over intervaller er defineret på lignende måde)