Fibonacci levede et langt liv, især for sin tid, som han viede til at løse en række matematiske problemer, idet han formulerede dem i det omfangsrige værk "The Book of Abacus" (begyndelsen af det 13. århundrede). Han var altid interesseret i tallenes mystik – han var nok ikke mindre genial end Arkimedes eller Euklid. Problemer relateret til andengradsligninger blev stillet og delvist løst tidligere, for eksempel af den berømte Omar Khayyam, en videnskabsmand og digter; Fibonacci formulerede imidlertid problemet med reproduktion af kaniner, hvorfra konklusionerne ikke tillod hans navn at gå tabt i århundrederne.
Kort fortalt er opgaven som følger. Et par kaniner blev placeret på et sted indhegnet på alle sider af en mur, og hvert par føder en anden hver måned, fra den anden måned af dets eksistens. Reproduktionen af kaniner i tid vil blive beskrevet af følgende serier: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 osv. Denne serie kaldes Fibonacci-sekvensen, også kaldet Fibonacci-formlen eller tallene. Fra et matematisk synspunkt viste sekvensen sig simpelthen at være unik, da den havde en række fremragende egenskaber:
summen af to på hinanden følgende tal er det næste tal i rækkefølgen
forholdet mellem hvert tal i sekvensen, startende fra det femte, til det foregående er 1,618
forskellen mellem kvadratet af et hvilket som helst tal og kvadratet af nummer to positioner til venstre vil være Fibonacci-tallet
summen af kvadraterne af tilstødende tal vil være Fibonacci-tallet, som er to positioner efter det største af de kvadrerede tal
Fibonacci Golden Ratio
Af disse resultater er den anden den mest interessante, fordi den bruger tallet 1.618, kendt som det "gyldne snit". Dette nummer var kendt af de gamle grækere, som brugte det under opførelsen af Parthenon (forresten, ifølge nogle kilder tjente det som centralbanken). Ikke mindre interessant er det, at tallet 1.618 kan findes i naturen på både mikro- og makroskalaer - fra spolerne på en snegleskal til de store spiraler af kosmiske galakser.
Pyramiderne i Giza, skabt af de gamle egyptere, indeholdt også flere parametre i Fibonacci-serien under konstruktionen. Et rektangel, hvis den ene side er 1.618 gange større end den anden, ser mest behagelig ud for øjet - dette forhold brugte Leonardo da Vinci til sine malerier, og i en mere hverdagsagtig forstand blev det intuitivt brugt, når man lavede vinduer eller døråbninger. Selv en bølge kan repræsenteres som en Fibonacci-spiral.
I den levende natur optræder Fibonacci-sekvensen ikke mindre ofte - den kan findes i kløer, tænder, solsikker, edderkoppespind og endda væksten af bakterier. Hvis det ønskes, findes konsistens i næsten alt, inklusive det menneskelige ansigt og krop. Og alligevel er mange af de påstande, der finder Fibonaccis gyldne snit i naturlige og historiske fænomener, klart falske - det er en almindelig myte, der viser sig at være en unøjagtig tilpasning til det ønskede resultat. Der er tegneserier, der indskriver Fibonacci-spiralen i skoliose eller frisurer af kendte personer.
Fibonacci-tal på de finansielle markeder
En af de første, der var tættest involveret i anvendelsen af Fibonacci-numre på det finansielle marked, var R. Elliot. Hans arbejde var ikke forgæves i den forstand, at markedsbeskrivelser ved hjælp af Fibonacci-serien ofte kaldes "Elliott-bølger". Grundlaget for hans søgen efter markedsmønstre var en model for menneskelig udvikling fra supercykler med tre skridt frem og to skridt tilbage. Nedenfor er et eksempel på, hvordan du kan prøve at bruge Fibonacci-niveauer:
At menneskeheden udvikler sig ikke-lineært er indlysende for enhver – for eksempel var Demokrits atomistiske lære fuldstændig tabt indtil slutningen af middelalderen, dvs. glemt i 2000 år. Men selvom vi accepterer teorien om trin og deres antal som sandhed, forbliver størrelsen af hvert trin uklar, hvilket gør Elliott-bølger sammenlignelige med den forudsigelige kraft af hoveder og haler. Udgangspunktet og den korrekte beregning af antallet af bølger var og bliver tilsyneladende teoriens største svaghed.
Ikke desto mindre havde teorien lokale succeser. Bob Pretcher, som kan betragtes som en elev af Elliott, forudsagde korrekt tyremarkedet i begyndelsen af 1980'erne og så 1987 som vendepunktet. Dette skete faktisk, hvorefter Bob åbenbart følte sig som et geni – i hvert fald i andres øjne blev han bestemt en investeringsguru. Den globale interesse for Fibonacci-niveauer er steget.
Abonnementer på Prechters Elliott Wave Theorist voksede til 20.000 det år, men faldt i begyndelsen af 1990'erne, da "doom and gloom"-forudsigelserne for det amerikanske marked blev sat i bero. Det virkede dog for det japanske marked, og en række tilhængere af teorien, som var "sen" der i en bølge, mistede enten deres kapital eller kapitalen i deres virksomheders kunder.
Elliott-bølger dækker en række handelsperioder - fra ugentligt, hvilket gør det ligner standard tekniske analysestrategier, til beregninger i årtier, dvs. kommer ind på de grundlæggende forudsigelsers territorium. Dette er muligt ved at variere antallet af bølger. Teoriens svagheder, som er nævnt ovenfor, tillader dens tilhængere ikke at tale om bølgernes inkonsekvens, men om deres egne fejlberegninger blandt dem og en forkert definition af startpositionen.
Det er som en labyrint – selvom du har det rigtige kort, kan du kun følge det, hvis du forstår præcis, hvor du er. Ellers er kortet ikke til nogen nytte. I tilfælde af Elliott-bølger er der ethvert tegn på at tvivle på ikke kun rigtigheden af din placering, men også nøjagtigheden af kortet som sådan.
konklusioner
Menneskehedens bølgeudvikling har et reelt grundlag - i middelalderen vekslede inflations- og deflationsbølger med hinanden, da krige gav plads til et relativt roligt fredeligt liv. Observationen af Fibonacci-sekvensen i naturen, i det mindste i nogle tilfælde, rejser heller ikke tvivl. Derfor har enhver ret til at give deres eget svar på spørgsmålet om, hvem Gud er: en matematiker eller en tilfældig talgenerator. Min personlige mening: Selvom hele menneskehedens historie og markeder kan repræsenteres i bølgekonceptet, kan højden og varigheden af hver bølge ikke forudsiges af nogen.
Fibonacci-tal er elementer i en talrække.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, hvor hvert efterfølgende tal er lig med summen af de to foregående tal. Navnet er opkaldt efter middelaldermatematikeren Leonardo af Pisa (eller Fibonacci), der boede og arbejdede som købmand og matematiker i den italienske by Pisa. Han er en af sin tids mest berømte europæiske videnskabsmænd. Blandt hans største bedrifter var indførelsen af arabiske tal, som erstattede romertal. Fn =Fn-1 + Fn-2
En matematisk serie asymptotisk (det vil sige nærmer sig langsommere og langsommere) har en tendens til et konstant forhold. Denne holdning er imidlertid irrationel; den har en endeløs, uforudsigelig sekvens af decimalværdier på linje efter sig. Det kan aldrig udtrykkes præcist. Hvis hvert tal, der er en del af en serie, divideres med sin forgænger (f.eks. 13-^8 eller 21 -IZ), udtrykkes resultatet af handlingen i et forhold, der svinger omkring det irrationelle tal 1,61803398875, lidt mere eller lidt mindre end seriens naboforhold. Forholdet vil aldrig i det uendelige være nøjagtigt ned til sidste ciffer (selv ved brug af de mest kraftfulde computere skabt i vores tid). For korthedens skyld vil vi bruge 1.618 som Fibonacci-forholdet og bede læserne om at være opmærksomme på denne fejl.
Fibonacci-tal er også vigtige, når man udfører analyse af den euklidiske algoritme for at bestemme den største fælles divisor af to tal. Fibonacci-tal kommer fra formlen for diagonalen i Pascals trekant (binomiale koefficienter).
Fibonacci-tal viste sig at være relateret til det "gyldne snit".
Det gyldne snit var kendt tilbage i det gamle Egypten og Babylon, i Indien og Kina. Hvad er det "gyldne snit"? Svaret er stadig ukendt. Fibonacci-tal er virkelig relevante for teorien om praksis i vores tid. Stigningen i betydning fandt sted i det 20. århundrede og fortsætter den dag i dag. Brugen af Fibonacci-tal i økonomi og datalogi tiltrak masser af mennesker til deres studie.
Metodikken i min forskning bestod i at studere specialiseret litteratur og opsummere den modtagne information, samt at udføre min egen forskning og identificere egenskaberne ved tal og omfanget af deres anvendelse.
I løbet af videnskabelig forskning definerede hun selve begreberne Fibonacci-tal og deres egenskaber. Jeg fandt også ud af interessante mønstre i levende natur, direkte i strukturen af solsikkefrø.
På en solsikke er frøene arrangeret i spiraler, og antallet af spiraler, der går i den anden retning, er forskellige - de er successive Fibonacci-numre.
Denne solsikke har 34 og 55.
Det samme ses på ananasfrugter, hvor der er 8 og 14 spiraler.Majsblade er forbundet med den unikke egenskab ved Fibonacci-tal.
Fraktioner af formen a/b, svarende til det spiralformede arrangement af bladene på plantestammens ben, er ofte forhold mellem successive Fibonacci-tal. For hassel er dette forhold 2/3, for eg 3/5, for poppel 5/8, for pil 8/13 osv.
Når du ser på arrangementet af blade på en plantestængel, kan du bemærke, at mellem hvert par blade (A og C) er det tredje placeret på stedet for det gyldne snit (B)
En anden interessant egenskab ved Fibonacci-tallet er, at produktet og kvotienten af to forskellige Fibonacci-tal bortset fra ét aldrig er et Fibonacci-tal.
Som et resultat af forskningen kom jeg til følgende konklusioner: Fibonacci-tal er en unik aritmetisk progression, der dukkede op i det 13. århundrede e.Kr. Denne progression mister ikke sin relevans, hvilket blev bekræftet under min forskning. Fibonacci-numre findes også i programmering og økonomiske prognoser, i maleri, arkitektur og musik. Malerier af så berømte kunstnere som Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raphael og Botticelli skjuler magien ved det gyldne snit. Selv I. I. Shishkin brugte det gyldne snit i sit maleri "Pine Grove".
Det er svært at tro, men det gyldne snit findes også i musikværker af så store komponister som Mozart, Beethoven, Chopin osv.
Fibonacci-tal findes også i arkitektur. For eksempel blev det gyldne snit brugt i konstruktionen af Parthenon og Notre Dame-katedralen
Jeg opdagede, at Fibonacci-numre også bruges i vores område. For eksempel husbeklædning, frontoner.
Har du nogensinde hørt, at matematik kaldes "dronningen af alle videnskaber"? Er du enig i dette udsagn? Så længe matematik for dig er et sæt kedelige problemer i en lærebog, kan du næsten ikke opleve skønheden, alsidigheden og endda humoren i denne videnskab.
Men der er emner i matematik, som hjælper med at gøre interessante observationer om ting og fænomener, der er fælles for os. Og prøv endda at trænge ind i mysteriets slør for skabelsen af vores univers. Der er interessante mønstre i verden, som kan beskrives ved hjælp af matematik.
Introduktion til Fibonacci-tal
Fibonacci-tal navngiv elementerne i en talrække. I den fås hvert næste tal i en række ved at summere de to foregående tal.
Eksempelsekvens: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...
Du kan skrive det sådan her:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2
Du kan starte en række Fibonacci-tal med negative værdier n. Desuden er sekvensen i dette tilfælde to-vejs (det vil sige, den dækker negative og positive tal) og har en tendens til uendelig i begge retninger.
Et eksempel på en sådan sekvens: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.
Formlen i dette tilfælde ser sådan ud:
Fn = Fn+1 - Fn+2 ellers kan du gøre dette: F -n = (-1) n+1 Fn.
Hvad vi nu kender som "Fibonacci-tal" var kendt af gamle indiske matematikere længe før de begyndte at blive brugt i Europa. Og dette navn er generelt en kontinuerlig historisk anekdote. Lad os starte med det faktum, at Fibonacci selv aldrig kaldte sig Fibonacci i løbet af sin levetid - dette navn begyndte at blive anvendt på Leonardo af Pisa kun flere århundreder efter hans død. Men lad os tale om alt i rækkefølge.
Leonardo af Pisa, alias Fibonacci
Søn af en købmand, der blev matematiker, og efterfølgende fik anerkendelse fra eftertiden som den første store matematiker i Europa i middelalderen. Ikke mindst takket være Fibonacci-numrene (som, lad os huske, ikke hed det endnu). Hvilket han beskrev i begyndelsen af det 13. århundrede i sit værk "Liber abaci" ("Bog om Abacus", 1202).
Jeg rejste med min far til østen, Leonardo studerede matematik med arabiske lærere (og i de dage var de blandt de bedste specialister i denne sag og i mange andre videnskaber). Han læste værker af matematikere fra antikken og det gamle Indien i arabiske oversættelser.
Efter at have grundigt forstået alt, hvad han havde læst og brugt sit eget nysgerrige sind, skrev Fibonacci adskillige videnskabelige afhandlinger om matematik, herunder den ovennævnte "Bog om Abacus." Udover dette har jeg lavet:
- "Practica geometriae" ("Practica of Geometry", 1220);
- "Flos" ("Blomst", 1225 - en undersøgelse af kubiske ligninger);
- "Liber quadratorum" ("Book of Squares", 1225 - problemer med ubestemte andengradsligninger).
Han var en stor fan af matematiske turneringer, så i sine afhandlinger var han meget opmærksom på analysen af forskellige matematiske problemer.
Der er meget lidt biografisk information tilbage om Leonardos liv. Hvad angår navnet Fibonacci, under hvilket han kom ind i matematikkens historie, blev det først tildelt ham i det 19. århundrede.
Fibonacci og hans problemer
Efter Fibonacci var der stadig et stort antal problemer, der var meget populære blandt matematikere i de efterfølgende århundreder. Vi vil se på kaninproblemet, som løses ved hjælp af Fibonacci-tal.
Kaniner er ikke kun værdifuld pels
Fibonacci stiller følgende betingelser: der er et par nyfødte kaniner (han og hun) af en så interessant race, at de regelmæssigt (startende fra den anden måned) producerer afkom - altid et nyt par kaniner. Også, som du måske kan gætte, en han og en hun.
Disse betingede kaniner placeres i et begrænset rum og yngler med entusiasme. Det er også fastsat, at ikke en eneste kanin dør af en eller anden mystisk kaninsygdom.
Vi skal beregne, hvor mange kaniner vi får på et år.
- I starten af 1 måned har vi 1 par kaniner. I slutningen af måneden parrer de sig.
- Den anden måned - vi har allerede 2 par kaniner (et par har forældre + 1 par er deres afkom).
- Tredje måned: Det første par føder et nyt par, det andet par parrer sig. I alt - 3 par kaniner.
- Fjerde måned: Det første par føder et nyt par, det andet par spilder ikke tid og føder også et nyt par, det tredje par parrer sig stadig kun. I alt - 5 par kaniner.
Antal kaniner i n måned = antal kaninpar fra den foregående måned + antal nyfødte par (der er det samme antal kaninpar, som der var kaninpar 2 måneder før nu). Og alt dette er beskrevet af formlen, som vi allerede har givet ovenfor: Fn = Fn-1 + Fn-2.
Således får vi en tilbagevendende (forklaring vedr rekursion– nedenfor) nummerrækkefølge. Hvor hvert næste tal er lig med summen af de to foregående:
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3
- 3 + 2 = 5
- 5 + 3 = 8
- 8 + 5 = 13
- 13 + 8 = 21
- 21 + 13 = 34
- 34 + 21 = 55
- 55 + 34 = 89
- 89 + 55 = 144
- 144 + 89 = 233
- 233+ 144 = 377 <…>
Du kan fortsætte sekvensen i lang tid: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Men da vi har fastsat en bestemt periode - et år, er vi interesserede i resultatet opnået på den 12. "flytning". De der. 13. medlem af sekvensen: 377.
Svaret på problemet: Der opnås 377 kaniner, hvis alle angivne betingelser er opfyldt.
En af egenskaberne ved Fibonacci-talrækken er meget interessant. Hvis du tager to på hinanden følgende par fra en serie og dividerer det største tal med det mindre tal, vil resultatet gradvist nærme sig gyldne snit(du kan læse mere om det senere i artiklen).
I matematiske termer, "grænsen for relationer a n+1 Til en n lig med det gyldne snit".
Flere talteoretiske problemer
- Find et tal, der kan divideres med 7. Hvis du også dividerer det med 2, 3, 4, 5, 6, vil resten være én.
- Find kvadrattallet. Man ved om det, at hvis man lægger 5 til eller trækker 5 fra, får man igen et kvadrattal.
Vi foreslår, at du selv søger efter svar på disse problemer. Du kan give os dine muligheder i kommentarerne til denne artikel. Og så vil vi fortælle dig, om dine beregninger var korrekte.
Forklaring af rekursion
Rekursion– definition, beskrivelse, billede af et objekt eller en proces, der indeholder selve dette objekt eller denne proces. Det vil sige, at et objekt eller en proces i bund og grund er en del af sig selv.
Rekursion er meget brugt i matematik og datalogi, og endda i kunst og populærkultur.
Fibonacci-tal bestemmes ved hjælp af en gentagelsesrelation. For nummer n>2 n- e tal er lig (n – 1) + (n – 2).
Forklaring af det gyldne snit
Gyldent snit- opdeling af en helhed (for eksempel et segment) i dele, der er relateret efter følgende princip: den største del er relateret til den mindre på samme måde som hele værdien (for eksempel summen af to segmenter) er til den større del.
Den første omtale af det gyldne snit kan findes hos Euklid i hans afhandling "Elementer" (ca. 300 f.Kr.). I forbindelse med at konstruere et regulært rektangel.
Det for os kendte udtryk blev introduceret i omløb i 1835 af den tyske matematiker Martin Ohm.
Hvis vi beskriver det gyldne snit cirka, repræsenterer det en proportional opdeling i to ulige dele: cirka 62% og 38%. I numeriske termer er det gyldne snit tallet 1,6180339887 .
Det gyldne snit finder praktisk anvendelse i billedkunst (malerier af Leonardo da Vinci og andre renæssancemalere), arkitektur, biograf ("Slagskibet Potemkin" af S. Esenstein) og andre områder. I lang tid troede man, at det gyldne snit er den mest æstetiske andel. Denne udtalelse er stadig populær i dag. Selvom de fleste visuelt ifølge forskningsresultater ikke opfatter denne andel som den mest succesrige mulighed og anser den for langstrakt (uforholdsmæssig).
- Sektionslængde Med = 1, EN = 0,618, b = 0,382.
- Holdning Med Til EN = 1, 618.
- Holdning Med Til b = 2,618
Lad os nu vende tilbage til Fibonacci-tallene. Lad os tage to på hinanden følgende led fra dens rækkefølge. Divider det største tal med det mindre tal og få cirka 1,618. Og nu bruger vi det samme større tal og det næste medlem af serien (dvs. et endnu større tal) - deres forhold er tidligt 0,618.
Her er et eksempel: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 og 233/377 = 0,618
Forresten, hvis du prøver at lave det samme eksperiment med tal fra begyndelsen af sekvensen (for eksempel 2, 3, 5), vil intet fungere. Næsten. Reglen for det gyldne snit følges næppe i begyndelsen af sekvensen. Men efterhånden som du bevæger dig langs serien, og antallet stiger, fungerer det fantastisk.
Og for at beregne hele rækken af Fibonacci-tal er det nok at kende tre led i rækkefølgen, der kommer efter hinanden. Det kan du selv se!
Gyldent rektangel og Fibonacci-spiral
En anden interessant parallel mellem Fibonacci-tallene og det gyldne snit er det såkaldte "gyldne rektangel": dets sider er i forholdet 1,618 til 1. Men vi ved allerede, hvad tallet 1,618 er, ikke?
Lad os for eksempel tage to på hinanden følgende led af Fibonacci-serien - 8 og 13 - og konstruere et rektangel med følgende parametre: bredde = 8, længde = 13.
Og så vil vi dele det store rektangel op i mindre. Obligatorisk betingelse: længderne af rektanglernes sider skal svare til Fibonacci-tallene. De der. Sidelængden af det større rektangel skal være lig med summen af siderne af de to mindre rektangler.
Den måde, det gøres på i denne figur (for nemheds skyld er tallene underskrevet med latinske bogstaver).
Forresten kan du bygge rektangler i omvendt rækkefølge. De der. begynd at bygge med firkanter med siden 1. Hvortil, styret af princippet angivet ovenfor, færdiggøres figurer med sider svarende til Fibonacci-tallene. Teoretisk set kan dette fortsættes i det uendelige – Fibonacci-serien er trods alt formelt uendelig.
Hvis vi forbinder hjørnerne af rektanglerne opnået i figuren med en glat linje, får vi en logaritmisk spiral. Eller rettere, dets specielle tilfælde er Fibonacci-spiralen. Den er især kendetegnet ved, at den ikke har nogen grænser og ikke ændrer form.
En lignende spiral findes ofte i naturen. Muslingeskaller er et af de mest slående eksempler. Desuden har nogle galakser, der kan ses fra Jorden, en spiralform. Hvis du er opmærksom på vejrudsigter på TV, har du måske bemærket, at cykloner har en lignende spiralform, når de fotograferes fra satellitter.
Det er mærkeligt, at DNA-spiralen også adlyder reglen om det gyldne snit - det tilsvarende mønster kan ses i intervallerne af dets bøjninger.
Sådanne fantastiske "tilfældigheder" kan ikke andet end at ophidse sind og give anledning til at tale om en enkelt algoritme, som alle fænomener i universets liv adlyder. Forstår du nu, hvorfor denne artikel hedder på denne måde? Og hvilken slags fantastiske verdener kan matematik åbne for dig?
Fibonacci-tal i naturen
Forbindelsen mellem Fibonacci-tal og det gyldne snit antyder interessante mønstre. Så nysgerrig, at det er fristende at forsøge at finde sekvenser, der ligner Fibonacci-numre i naturen og endda under historiske begivenheder. Og naturen giver virkelig anledning til sådanne antagelser. Men kan alt i vores liv forklares og beskrives ved hjælp af matematik?
Eksempler på levende ting, der kan beskrives ved hjælp af Fibonacci-sekvensen:
- arrangementet af blade (og grene) i planter - afstandene mellem dem er korreleret med Fibonacci-tal (phyllotaxis);
- arrangement af solsikkefrø (frøene er arrangeret i to rækker af spiraler snoet i forskellige retninger: en række med uret, den anden mod uret);
- arrangement af fyrretræsskæl;
- blomsterblade;
- ananas celler;
- forholdet mellem længderne af fingrenes phalanges på den menneskelige hånd (ca.) osv.
Kombinatoriske problemer
Fibonacci-tal er meget brugt til at løse kombinatoriske problemer.
Kombinatorik er en gren af matematikken, der studerer udvælgelsen af et bestemt antal elementer fra et udpeget sæt, opregning osv.
Lad os se på eksempler på kombinatoriske problemer designet til gymnasieniveau (kilde - http://www.problems.ru/).
Opgave #1:
Lesha går op ad en trappe på 10 trin. På et tidspunkt hopper han enten et eller to trin op. På hvor mange måder kan Lesha klatre op ad trapperne?
Antallet af måder, hvorpå Lesha kan klatre op ad trappen fra n trin, lad os betegne og n. Den følger det en 1 = 1, en 2= 2 (Lesha hopper trods alt enten et eller to trin).
Det er også aftalt, at Lesha hopper op ad trappen fra n> 2 trin. Lad os sige, at han sprang to skridt første gang. Det betyder, i henhold til betingelserne for problemet, at han skal springe en anden n – 2 trin. Derefter beskrives antallet af måder at gennemføre stigningen som a n-2. Og hvis vi antager, at Lesha første gang kun hoppede et skridt, så beskriver vi antallet af måder at afslutte stigningen på som en n-1.
Herfra får vi følgende ligestilling: a n = a n–1 + a n–2(ser bekendt ud, gør det ikke?).
Siden vi ved en 1 Og en 2 og husk, at der i henhold til problemets betingelser er 10 trin, beregn alt i rækkefølge og n: en 3 = 3, en 4 = 5, en 5 = 8, en 6 = 13, en 7 = 21, en 8 = 34, en 9 = 55, en 10 = 89.
Svar: 89 måder.
Opgave #2:
Du skal finde antallet af ord på 10 bogstaver, der kun består af bogstaverne "a" og "b" og ikke må indeholde to bogstaver "b" i træk.
Lad os betegne med en n antal ords længde n bogstaver, der kun består af bogstaverne "a" og "b" og ikke indeholder to bogstaver "b" i træk. Midler, en 1= 2, en 2= 3.
I rækkefølge en 1, en 2, <…>, en n vi vil udtrykke hvert af dets næste medlemmer gennem de foregående. Derfor er antallet af ord af længde n bogstaver, der heller ikke indeholder et dobbelt bogstav "b" og begynder med bogstavet "a" er en n-1. Og hvis ordet er langt n bogstaver begynder med bogstavet "b", det er logisk, at det næste bogstav i et sådant ord er "a" (der kan trods alt ikke være to "b" i henhold til problemets betingelser). Derfor er antallet af ord af længde n i dette tilfælde betegner vi bogstaverne som a n-2. I både det første og det andet tilfælde kan ethvert ord (længde på n – 1 Og n – 2 henholdsvis bogstaver) uden dobbelt "b".
Vi var i stand til at begrunde hvorfor a n = a n–1 + a n–2.
Lad os nu beregne en 3= en 2+ en 1= 3 + 2 = 5, en 4= en 3+ en 2= 5 + 3 = 8, <…>, en 10= en 9+ en 8= 144. Og vi får den velkendte Fibonacci-sekvens.
Svar: 144.
Opgave #3:
Forestil dig, at der er et bånd opdelt i celler. Den går til højre og varer på ubestemt tid. Placer en græshoppe på den første firkant af båndet. Uanset hvilken celle på båndet han er på, kan han kun flytte til højre: enten en celle eller to. Hvor mange måder er der, hvorpå en græshoppe kan hoppe fra begyndelsen af båndet til n-te celler?
Lad os angive antallet af måder at flytte en græshoppe langs bæltet til n-th celler som en n. I dette tilfælde en 1 = en 2= 1. Også i n+1 Græshoppen kan komme ind i den -th celle enten fra n celle, eller ved at hoppe over den. Herfra a n + 1 = a n – 1 + en n. Hvor en n = Fn – 1.
Svar: Fn – 1.
Du kan selv lave lignende problemer og prøve at løse dem i matematiktimerne med dine klassekammerater.
Fibonacci-numre i populærkulturen
Selvfølgelig kan et så usædvanligt fænomen som Fibonacci-numre ikke andet end at tiltrække opmærksomhed. Der er stadig noget attraktivt og endda mystisk i dette strengt verificerede mønster. Det er ikke overraskende, at Fibonacci-sekvensen på en eller anden måde har "lyst op" i mange værker af moderne populærkultur af forskellige genrer.
Vi vil fortælle dig om nogle af dem. Og du prøver at søge efter dig selv igen. Hvis du finder det, så del det med os i kommentarerne - vi er også nysgerrige!
- Fibonacci-numre er nævnt i Dan Browns bestseller Da Vinci-koden: Fibonacci-sekvensen fungerer som den kode, som bogens hovedpersoner bruger til at åbne et pengeskab.
- I den amerikanske film Mr. Nobody fra 2009 er adressen på et hus i en episode en del af Fibonacci-sekvensen - 12358. Derudover skal hovedpersonen i en anden episode ringe til et telefonnummer, som i det væsentlige er det samme, men lidt forvrænget (ekstra ciffer efter nummer 5) rækkefølge: 123-581-1321.
- I 2012-serien "Connection" er hovedpersonen, en dreng, der lider af autisme, i stand til at skelne mønstre i begivenheder, der finder sted i verden. Herunder gennem Fibonacci-numre. Og styr også disse begivenheder gennem tal.
- Udviklerne af java-spillet til mobiltelefoner Doom RPG placerede en hemmelig dør på et af banerne. Koden, der åbner den, er Fibonacci-sekvensen.
- I 2012 udgav det russiske rockband Splin konceptalbummet "Optical Deception". Det ottende nummer hedder "Fibonacci". Versene fra gruppelederen Alexander Vasiliev spiller på rækkefølgen af Fibonacci-numre. For hver af de ni på hinanden følgende led er der et tilsvarende antal linjer (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):
0 Toget satte af
1 Den ene led knækkede
1 Det ene ærme rystede
2 Det er det, få tingene
Det er det, få tingene
3 Anmodning om kogende vand
Toget går til floden
Toget kører gennem taigaen<…>.
- En limerick (et kort digt af en bestemt form - normalt fem linjer, med et specifikt rimskema, humoristisk i indholdet, hvor første og sidste linje gentages eller delvist duplikerer hinanden) af James Lyndon bruger også en reference til Fibonacci sekvens som et humoristisk motiv:
Fibonaccis koners tætte mad
Det var kun til deres fordel, intet andet.
Konerne vejede ifølge rygtet,
Hver af dem er som de to foregående.
Lad os opsummere det
Vi håber, at vi var i stand til at fortælle dig en masse interessante og nyttige ting i dag. For eksempel kan du nu lede efter Fibonacci-spiralen i naturen omkring dig. Måske vil du være den, der vil være i stand til at opklare "livets hemmelighed, universet og generelt."
Brug formlen for Fibonacci-tal, når du løser kombinatoriske problemer. Du kan stole på eksemplerne beskrevet i denne artikel.
hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.
Leonardo af Pisa (lat. Leonardus Pisanus, italiensk. Leonardo Pisano, omkring 1170, Pisa - omkring 1250, ibid.) - den første store matematiker i middelalderens Europa. Han er bedst kendt under sit kaldenavn Fibonacci.
Flere detaljer her: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%E8%E1%EE%ED%E0%F7%F7%E8
Fibonacci-sekvensen, kendt af alle fra filmen "Da Vinci-koden", er en række tal beskrevet i form af en gåde af den italienske matematiker Leonardo af Pisa, bedre kendt som Fibonacci, i det 13. århundrede. Kort essensen af gåden:
Nogen placerede et par kaniner i et bestemt lukket rum for at finde ud af, hvor mange par kaniner der ville blive født i løbet af året, hvis kaninernes natur er sådan, at et par kaniner hver måned føder et andet par, og de bliver i stand til at få afkom, når de når to måneders alderen.
Fibonacci-sekvens og kaniner
Resultatet er følgende række af tal: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, hvor antallet af kaninpar i hver af de tolv måneder er vist adskilt med kommaer. Det kan fortsættes i det uendelige. Dens essens er, at hvert næste tal er summen af de to foregående.
Denne serie har adskillige matematiske funktioner, som bestemt skal berøres. Det asymptotisk (nærmer sig mere og langsommere) har en tendens til et konstant forhold. Dette forhold er dog irrationelt, det vil sige, at det er et tal med en uendelig, uforudsigelig rækkefølge af decimalcifre i brøkdelen. Det er umuligt at udtrykke det præcist.
Forholdet mellem ethvert medlem af serien og det forudgående svinger således omkring tallet 1,618, nogle gange overskrider det, nogle gange når det ikke. Forholdet til den næste nærmer sig tilsvarende tallet 0,618, som er omvendt proportional med 1,618. Hvis vi deler elementerne gennem et, får vi tallene 2,618 og 0,382, som også er omvendt proportionale. Det er de såkaldte Fibonacci-forhold.
Hvad er alt dette til for?
Sådan nærmer vi os et af de mest mystiske naturfænomener. Den kyndige Leonardo opdagede i det væsentlige ikke noget nyt; han mindede simpelthen verden om et sådant fænomen som det gyldne snit, som ikke er ringere i betydning for Pythagoras sætning.
Vi skelner alle genstande omkring os ved deres form. Vi kan lide nogle mere, nogle mindre, nogle er fuldstændig afskrækkende. Nogle gange kan interesse dikteres af livssituationen, og nogle gange af skønheden i det observerede objekt. Den symmetriske og proportionelle form fremmer den bedste visuelle opfattelse og fremkalder en følelse af skønhed og harmoni. Et komplet billede består altid af dele af forskellig størrelse, der står i et bestemt forhold til hinanden og helheden. Det gyldne snit er den højeste manifestation af fuldkommenheden af helheden og dens dele i videnskab, kunst og natur.
For at bruge et simpelt eksempel, er det gyldne forhold opdelingen af et segment i to dele i et sådan forhold, at den største del er relateret til den mindre, da deres sum (hele segmentet) er til den større.
Golden Ratio - Segment
Hvis vi tager hele segmentet c som 1, så vil segment a være lig med 0,618, segment b - 0,382, kun på denne måde vil betingelsen for det gyldne snit blive opfyldt (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618) . Forholdet mellem c og a er 1,618, og c til b er 2,618. Det er de samme Fibonacci-forhold, som vi allerede kender.
Selvfølgelig er der et gyldent rektangel, en gylden trekant og endda en gylden terning. Den menneskelige krops proportioner er i mange henseender tæt på det gyldne snit.
Det gyldne snit og den menneskelige krop 
Billede: marcus-frings.de
Fibonacci Sequence - Animation 
Men det sjove begynder, når vi kombinerer den viden, vi har fået. Figuren viser tydeligt forholdet mellem Fibonacci-sekvensen og det gyldne snit. Vi starter med to firkanter af den første størrelse. Tilføj en firkant af den anden størrelse ovenpå. Tegn en firkant ved siden af med en side svarende til summen af siderne af de to foregående, tredje størrelse. I analogi fremkommer et kvadrat med størrelse fem. Og så videre, indtil du bliver træt, det vigtigste er, at længden af siden af hver næste firkant er lig med summen af længderne af siderne af de to foregående. Vi ser en række rektangler, hvis sidelængder er Fibonacci-tal, og mærkeligt nok kaldes de Fibonacci-rektangler.
Hvis vi tegner glatte linjer gennem hjørnerne af vores firkanter, får vi intet andet end en Archimedes-spiral, hvis stigning altid er ensartet.
Fibonacci spiral 
Minder du dig ikke om noget?
Foto: ethanhein på Flickr
Og ikke kun i skallen på et bløddyr kan du finde Archimedes' spiraler, men i mange blomster og planter er de bare ikke så tydelige.
Aloe multifolia: 
Foto: brygbøger på Flickr
Broccoli Romanesco: 
Foto: beart.org.uk
Solsikke: 
Foto: esdrascalderan på Flickr
Grankogle: 
Foto: mandj98 på Flickr
Og nu er det tid til at huske det gyldne snit! Er nogle af de smukkeste og mest harmoniske naturskabelser afbildet på disse fotografier? Og det er ikke alt. Hvis du ser godt efter, kan du finde lignende mønstre i mange former.
Udsagnet om, at alle disse fænomener er baseret på Fibonacci-sekvensen, lyder selvfølgelig for højt, men tendensen er åbenlys. Og desuden er hun selv langt fra perfekt, som alt i denne verden.
Der er en antagelse om, at Fibonacci-serien er et forsøg fra naturens side på at tilpasse sig en mere fundamental og perfekt logaritmisk sekvens med det gyldne snit, som er næsten den samme, kun den starter fra ingen steder og går til ingen steder. Naturen har absolut brug for en slags hel begyndelse, som den kan starte fra; den kan ikke skabe noget ud af ingenting. Forholdet mellem de første led i Fibonacci-sekvensen er langt fra det gyldne snit. Men jo længere vi bevæger os hen ad den, jo mere udjævnes disse afvigelser. For at definere en serie er det nok at kende dens tre led, der kommer efter hinanden. Men ikke for den gyldne rækkefølge, to er nok til det, det er en geometrisk og aritmetisk progression på samme tid. Man kan tro, at det er grundlaget for alle andre sekvenser.
Hvert led i den gyldne logaritmiske sekvens er en potens af den gyldne proportion (z). En del af serien ser sådan ud: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Hvis vi afrunder værdien af det gyldne forhold til tre cifre, får vi z = 1,618, så ser serien således ud: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11.090 ... Hvert næste led kan opnås ikke kun ved at gange det foregående med 1,618, men også ved at lægge de to foregående sammen. Således opnås eksponentiel vækst ved blot at tilføje to tilstødende elementer. Det er en serie uden begyndelse eller slutning, og det er sådan Fibonacci-sekvensen forsøger at være. Med en meget bestemt begyndelse stræber hun efter idealet og opnår det aldrig. Sådan er livet.
Og alligevel, i forbindelse med alt, hvad vi har set og læst, opstår der ganske logiske spørgsmål:
Hvor kom disse tal fra? Hvem er denne arkitekt af universet, der forsøgte at gøre det ideelt? Var alt nogensinde, som han ville? Og hvis ja, hvorfor gik det galt? Mutationer? Frit valg? Hvad bliver det næste? Er spiralen krøllet eller afviklet?
Når du har fundet svaret på et spørgsmål, får du det næste. Hvis du løser det, får du to nye. Når du har behandlet dem, vil tre mere dukke op. Når du også har løst dem, vil du have fem uløste. Så otte, så tretten, 21, 34, 55...
Kanalieva Dana
I dette arbejde studerede og analyserede vi manifestationen af Fibonacci-sekvensnumrene i virkeligheden omkring os. Vi opdagede et fantastisk matematisk forhold mellem antallet af spiraler i planter, antallet af grene i et hvilket som helst vandret plan og Fibonacci-sekvensnumrene. Vi så også streng matematik i den menneskelige struktur. Det menneskelige DNA-molekyle, hvori hele udviklingsprogrammet for et menneske er krypteret, åndedrætssystemet, ørets struktur - alt adlyder visse numeriske forhold.
Vi er overbeviste om, at naturen har sine egne love, udtrykt ved hjælp af matematik.
Og matematik er meget vigtigt erkendelsesredskab naturens hemmeligheder.
Hent:
Eksempel:
MBOU "Pervomaiskaya Secondary School"
Orenburg-distriktet, Orenburg-regionen
FORSKNING
"Talls mysterium"
Fibonacci"
Færdiggjort af: Kanalieva Dana
6. klasses elev
Videnskabelig rådgiver:
Gazizova Valeria Valerievna
Matematiklærer af højeste kategori
n. Eksperimentel
2012
Forklarende note……………………………………………………………………………………………… 3.
Introduktion. Historien om Fibonacci-tal.………………………………………………………………… 4.
Kapitel 1. Fibonacci-tal i den levende natur........... …………………………………... 5.
Kapitel 2. Fibonacci-spiral......................................... ....... .......................................................... 9.
Kapitel 3. Fibonacci-tal i menneskelige opfindelser.............................................................. 13
Kapitel 4. Vores forskning………………………………………………………………………....... 16.
Kapitel 5. Konklusion, konklusioner……………………………………………………………………………………… 19.
Liste over brugt litteratur og internetsider…………………………………………………21.
Studieobjekt:
Mennesket, matematiske abstraktioner skabt af mennesket, menneskelige opfindelser, den omgivende flora og fauna.
Undersøgelsens emne:
form og struktur af de objekter og fænomener, der undersøges.
Formålet med undersøgelsen:
studere manifestationen af Fibonacci-tal og den tilhørende lov om det gyldne snit i strukturen af levende og ikke-levende objekter,
find eksempler på brug af Fibonacci-tal.
Jobmål:
Beskriv en metode til at konstruere Fibonacci-serien og Fibonacci-spiralen.
Se matematiske mønstre i strukturen af mennesker, flora og livløs natur ud fra fænomenet Golden Ratio.
Forskningens nyhed:
Opdagelse af Fibonacci-numre i virkeligheden omkring os.
Praktisk betydning:
Brug af erhvervet viden og forskningsfærdigheder, når du studerer andre skolefag.
Færdigheder og evner:
Organisering og gennemførelse af eksperimentet.
Brug af speciallitteratur.
Erhvervelse af evnen til at gennemgå indsamlet materiale (rapport, præsentation)
Design af arbejde med tegninger, diagrammer, fotografier.
Aktiv deltagelse i diskussioner om dit arbejde.
Forskningsmetoder:
empirisk (observation, eksperiment, måling).
teoretisk (logisk erkendelsesstadie).
Forklarende note.
"Tal styrer verden! Tal er den magt, der hersker over guder og dødelige!" - sådan sagde de gamle pythagoræere. Er dette grundlag for Pythagoras' undervisning stadig relevant i dag? Når vi studerer videnskaben om tal i skolen, ønsker vi at sikre os, at hele universets fænomener faktisk er underlagt visse numeriske sammenhænge, for at finde denne usynlige forbindelse mellem matematik og livet!
Er det virkelig i hver blomst,
Både i molekylet og i galaksen,
Numeriske mønstre
Denne strenge "tørre" matematik?
Vi henvendte os til en moderne kilde til information - internettet og læste om Fibonacci-tal, om magiske tal, der er fyldt med et stort mysterium. Det viser sig, at disse tal kan findes i solsikker og fyrrekogler, i guldsmedevinger og søstjerner, i det menneskelige hjertes rytmer og i musikalske rytmer...
Hvorfor er denne talrække så almindelig i vores verden?
Vi ønskede at vide om hemmelighederne bag Fibonacci-tal. Dette forskningsarbejde var resultatet af vores aktiviteter.
Hypotese:
i virkeligheden omkring os er alt bygget efter utroligt harmoniske love med matematisk præcision.
Alt i verden er gennemtænkt og beregnet af vores vigtigste designer - Naturen!
Introduktion. Historien om Fibonacci-serien.
Fantastiske tal blev opdaget af den italienske middelaldermatematiker Leonardo af Pisa, bedre kendt som Fibonacci. Rejste rundt i Østen, blev han bekendt med resultaterne af arabisk matematik og bidrog til deres overførsel til Vesten. I et af sine værker, med titlen "Beregningernes bog", introducerede han Europa til en af de største opdagelser nogensinde - decimaltalsystemet.
En dag var han i gang med at løse et matematisk problem. Han forsøgte at skabe en formel til at beskrive avlssekvensen for kaniner.
Løsningen var en talserie, hvor hvert efterfølgende tal er summen af de to foregående:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...
Tallene, der danner denne sekvens, kaldes "Fibonacci-numre", og selve sekvensen kaldes Fibonacci-sekvensen.
"Og hvad så?" - du siger: "Kan vi virkelig selv finde på lignende talserier, som stiger i henhold til en given progression?" Faktisk, da Fibonacci-serien dukkede op, havde ingen, inklusive ham selv, nogen idé om, hvor tæt han formåede at komme på at løse et af universets største mysterier!
Fibonacci førte en tilbagetrukket livsstil, tilbragte meget tid i naturen, og mens han gik i skoven, bemærkede han, at disse tal bogstaveligt talt begyndte at forfølge ham. Overalt i naturen stødte han på disse tal igen og igen. For eksempel passer planters kronblade og blade strengt ind i en given nummerserie.
Der er et interessant træk i Fibonacci-tal: kvotienten for at dividere det næste Fibonacci-tal med det forrige, når tallene selv vokser, har en tendens til 1,618. Det var dette konstante divisionstal, der blev kaldt den guddommelige proportion i middelalderen, og som nu omtales som det gyldne snit eller den gyldne proportion.
I algebra er dette tal angivet med det græske bogstav phi (Ф)
Så φ = 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
Uanset hvor mange gange vi dividerer det ene med det andet, tallet ved siden af det, vil vi altid få 1,618. Og hvis vi gør det modsatte, det vil sige dividere det mindre tal med det større, får vi 0,618, dette er invers af 1.618 også kaldet det gyldne snit.
Fibonacci-serien kunne kun være forblevet en matematisk hændelse, hvis ikke for det faktum, at alle forskere af den gyldne division i plante- og dyreverdenen, for ikke at nævne kunst, uvægerligt kom til denne serie som et aritmetisk udtryk for loven om det gyldne division.
Forskere, der analyserede den videre anvendelse af denne talserie på naturlige fænomener og processer, opdagede, at disse tal er indeholdt i bogstaveligt talt alle objekter af levende natur, i planter, dyr og mennesker.
Det fantastiske matematiske legetøj viste sig at være en unik kode indlejret i alle naturlige objekter af universets skaber selv.
Lad os se på eksempler, hvor Fibonacci-tal forekommer i levende og livløs natur.
Fibonacci-tal i den levende natur.
Hvis du kigger på planterne og træerne omkring os, kan du se, hvor mange blade der er på hver af dem. På afstand ser det ud til, at grenene og bladene på planterne er placeret tilfældigt, i ingen bestemt rækkefølge. Men i alle planter, på en mirakuløs, matematisk præcis måde, hvilken gren vil vokse hvorfra, hvordan grenene og bladene vil være placeret nær stilken eller stammen. Fra den første dag af dets udseende følger planten nøjagtigt disse love i sin udvikling, det vil sige, at ikke et enkelt blad, ikke en enkelt blomst dukker op tilfældigt. Allerede før dens fremkomst er planten allerede præcist programmeret. Hvor mange grene vil der være på det kommende træ, hvor vil grenene vokse, hvor mange blade vil der være på hver gren, og hvordan og i hvilken rækkefølge bladene bliver arrangeret. Botanikeres og matematikeres fælles arbejde har kastet lys over disse fantastiske naturfænomener. Det viste sig, at Fibonacci-serien manifesterer sig i arrangementet af blade på en gren (phylotaxis), i antallet af omdrejninger på stilken, i antallet af blade i en cyklus, og derfor manifesterer loven om det gyldne snit sig også sig selv.
Hvis man sætter sig for at finde numeriske mønstre i den levende natur, vil man bemærke, at disse tal ofte findes i forskellige spiralformer, som er så rige i planteverdenen. For eksempel er bladstiklinger ved siden af stilken i en spiral, der løber imellemto tilstødende blade:fuld rotation - ved hasseltræet,- ved egetræet, - ved poppel- og pæretræerne,- ved pilen.
Frøene af solsikke, Echinacea purpurea og mange andre planter er arrangeret i spiraler, og antallet af spiraler i hver retning er Fibonacci-tallet.
Solsikke, 21 og 34 spiraler. Echinacea, 34 og 55 spiraler.
Den klare, symmetriske form af blomster er også underlagt en streng lov.
For mange blomster er antallet af kronblade netop tallene fra Fibonacci-serien. For eksempel:
iris, 3p. ranunkel, 5 lep. gylden blomst, 8 lep. delphinium,
13 lep.
cikorie, 21 lep. aster, 34 lep. tusindfryd, 55 lep.
Fibonacci-serien kendetegner den strukturelle organisering af mange levende systemer.
Vi har allerede sagt, at forholdet mellem nabotal i Fibonacci-serien er tallet φ = 1,618. Det viser sig, at mennesket selv simpelthen er et lagerhus af phi-tal.
Proportionerne af de forskellige dele af vores krop er et tal meget tæt på det gyldne snit. Hvis disse proportioner falder sammen med formlen for det gyldne snit, anses personens udseende eller krop for at være ideelt proportioneret. Princippet om at beregne guldmålet på den menneskelige krop kan afbildes i form af et diagram.
M/m = 1,618
Det første eksempel på det gyldne snit i menneskekroppens struktur:
Hvis vi tager navlepunktet som centrum af den menneskelige krop og afstanden mellem en persons fod og navlepunktet som en måleenhed, så svarer en persons højde til tallet 1,618.
Menneskelig hånd
Det er nok bare at bringe din håndflade tættere på dig og se omhyggeligt på din pegefinger, og du vil straks finde formlen for det gyldne snit i den. Hver finger på vores hånd består af tre phalanges.
Summen af de to første phalanges af fingeren i forhold til hele længden af fingeren giver nummeret på det gyldne snit (med undtagelse af tommelfingeren).
Derudover er forholdet mellem langfingeren og lillefingeren også lig med det gyldne snit.
En person har 2 hænder, fingrene på hver hånd består af 3 phalanges (bortset fra tommelfingeren). Der er 5 fingre på hver hånd, det vil sige 10 i alt, men med undtagelse af to to-phalanx tommelfingre er der kun skabt 8 fingre efter princippet om det gyldne snit. Hvorimod alle disse tal 2, 3, 5 og 8 er tallene i Fibonacci-sekvensen.
Det gyldne snit i menneskets lungers struktur
Den amerikanske fysiker B.D. West og Dr. A.L. Goldberger, under fysiske og anatomiske undersøgelser, fastslået, at det gyldne snit også eksisterer i strukturen af de menneskelige lunger.
Det særlige ved bronkierne, der udgør de menneskelige lunger, ligger i deres asymmetri. Bronkierne består af to hovedluftveje, hvoraf den ene (den venstre) er længere og den anden (den højre) er kortere.
Man fandt ud af, at denne asymmetri fortsætter i bronkiernes grene, i alle de mindre luftveje. Desuden er forholdet mellem længderne af korte og lange bronkier også det gyldne forhold og er lig med 1:1,618.
Kunstnere, videnskabsmænd, modedesignere, designere laver deres beregninger, tegninger eller skitser baseret på forholdet mellem det gyldne snit. De bruger målinger fra menneskekroppen, som også er skabt efter princippet om det gyldne snit. Før de skabte deres mesterværker, tog Leonardo Da Vinci og Le Corbusier parametrene for den menneskelige krop, skabt i henhold til loven om den gyldne proportion.
Der er en anden, mere prosaisk anvendelse af den menneskelige krops proportioner. Ved at bruge disse relationer bruger kriminalanalytikere og arkæologer for eksempel fragmenter af dele af den menneskelige krop til at rekonstruere helhedens udseende.
Gyldne proportioner i DNA-molekylets struktur.
Al information om levende væseners fysiologiske karakteristika, det være sig en plante, et dyr eller en person, er lagret i et mikroskopisk DNA-molekyle, hvis struktur også indeholder loven om den gyldne proportion. DNA-molekylet består af to lodret sammenflettede helixer. Længden af hver af disse spiraler er 34 ångstrøm, og bredden er 21 ångstrøm. (1 ångstrøm er en hundrede milliontedel af en centimeter).
Så 21 og 34 er tal, der følger hinanden i rækkefølgen af Fibonacci-tal, det vil sige, at forholdet mellem længden og bredden af den logaritmiske spiral af DNA-molekylet bærer formlen for det gyldne snit 1:1,618.
Ikke kun oprejste vandrere, men også alle svømmende, kravlende, flyvende og hoppende væsner undslap ikke skæbnen at være underlagt tallet phi. Den menneskelige hjertemuskel trækker sig sammen til 0,618 af dens volumen. Strukturen af en snegleskal svarer til Fibonacci-proportionerne. Og sådanne eksempler kan findes i overflod - hvis der var et ønske om at udforske naturlige genstande og processer. Verden er så gennemsyret af Fibonacci-tal, at det nogle gange ser ud til, at universet kun kan forklares af dem.
Fibonacci spiral.
Der er ingen anden form i matematikken, der har de samme unikke egenskaber som spiralen, pga
Spiralens struktur er baseret på reglen om det gyldne snit!
For at forstå den matematiske konstruktion af en spiral, lad os gentage, hvad det gyldne snit er.
Det gyldne snit er sådan en proportional opdeling af et segment i ulige dele, hvor hele segmentet er relateret til den største del, da den større del selv er relateret til det mindre, eller med andre ord, det mindre segment er relateret til den større, som den større er for helheden.
Det vil sige (a+b) /a = a /b
Et rektangel med præcis dette billedformat kom til at blive kaldt det gyldne rektangel. Dens lange sider er i forhold til dens korte sider i forholdet 1,168:1.
Det gyldne rektangel har mange usædvanlige egenskaber. At skære en firkant fra et gyldent rektangel, hvis side er lig med den mindste side af rektanglet,
vi får igen et mindre gyldent rektangel.
Denne proces kan fortsættes i det uendelige. Efterhånden som vi fortsætter med at skære firkanter af, vil vi ende med mindre og mindre gyldne rektangler. Desuden vil de være placeret i en logaritmisk spiral, hvilket er vigtigt i matematiske modeller af naturlige objekter.
For eksempel kan spiralformen ses i arrangementet af solsikkefrø, i ananas, kaktusser, strukturen af rosenblade og så videre.
Vi er overraskede og glade for skallernes spiralstruktur.
Hos de fleste snegle, der har skaller, vokser skallen i en spiralform. Der er dog ingen tvivl om, at disse urimelige skabninger ikke blot ikke har nogen idé om spiralen, men ikke engang har den enkleste matematiske viden til at skabe en spiralformet skal til sig selv.
Men hvordan var disse urimelige skabninger så i stand til at bestemme og selv vælge den ideelle form for vækst og eksistens i form af en spiralskal? Kunne disse levende væsner, som den videnskabelige verden kalder primitive livsformer, beregne, at spiralformen af en skal ville være ideel til deres eksistens?
At forsøge at forklare oprindelsen af en sådan selv den mest primitive livsform med en tilfældig kombination af visse naturlige omstændigheder er mildest talt absurd. Det er tydeligt, at dette projekt er en bevidst skabelse.
Spiraler findes også hos mennesker. Ved hjælp af spiraler hører vi:
Også i det menneskelige indre øre er der et organ kaldet Cochlea ("Snegl"), som udfører funktionen til at overføre lydvibrationer. Denne knoglestruktur er fyldt med væske og skabt i form af en snegl med gyldne proportioner.
Der er spiraler på vores håndflader og fingre:
I dyreriget kan vi også finde mange eksempler på spiraler.
Dyrenes horn og stødtænder udvikler sig i en spiralform, løvernes kløer og papegøjernes næb er logaritmiske former og ligner formen på en akse, der har en tendens til at blive til en spiral.
Det er interessant, at en orkan og en cyklons skyer snoer sig som en spiral, og dette er tydeligt synligt fra rummet:
I hav- og havbølger kan spiralen være matematisk repræsenteret på en graf med punkterne 1,1,2,3,5,8,13,21,34 og 55.
Alle vil også genkende sådan en "hverdags" og "prosaisk" spiral.
Når alt kommer til alt, slipper vandet ud af badeværelset i en spiral:
Ja, og vi lever i en spiral, for galaksen er en spiral, der svarer til formlen for Det Gyldne Forhold!
Så vi fandt ud af, at hvis vi tager det gyldne rektangel og deler det op i mindre rektangleri den nøjagtige Fibonacci-sekvens, og derefter opdele hver af dem i sådanne proportioner igen og igen, får du et system kaldet Fibonacci-spiralen.
Vi opdagede denne spiral i de mest uventede objekter og fænomener. Nu er det klart, hvorfor spiralen også kaldes "livets kurve."
Spiralen er blevet et symbol på evolution, fordi alt udvikler sig i en spiral.
Fibonacci-tal i menneskelige opfindelser.
Efter at have observeret en lov i naturen udtrykt ved sekvensen af Fibonacci-tal, forsøger videnskabsmænd og kunstnere at efterligne den og legemliggøre denne lov i deres kreationer.
Phi-forholdet giver dig mulighed for at skabe mesterværker af maleri og tilpasse arkitektoniske strukturer korrekt i rummet.
Ikke kun videnskabsmænd, men også arkitekter, designere og kunstnere er forbløffet over denne perfekte spiral af nautilus-skallen,
optager mindst plads og giver mindst varmetab. Amerikanske og thailandske arkitekter, inspireret af eksemplet med "chamber nautilus" i spørgsmålet om at placere det maksimale på minimumspladsen, har travlt med at udvikle tilsvarende projekter.
Siden umindelige tider er det gyldne forhold blevet betragtet som den højeste andel af perfektion, harmoni og endda guddommelighed. Det gyldne snit kan findes i skulpturer og endda i musik. Et eksempel er Mozarts musikværker. Selv børskurser og det hebraiske alfabet indeholder et gyldent snit.
Men vi vil fokusere på et unikt eksempel på at skabe en effektiv solcelleinstallation. En amerikansk skoledreng fra New York, Aidan Dwyer, sammensatte sin viden om træer og opdagede, at effektiviteten af solenergianlæg kan øges ved at bruge matematik. Mens han var på en vintervandring, undrede Dwyer sig over, hvorfor træer havde brug for sådan et "mønster" af grene og blade. Han vidste, at grene på træer er arrangeret efter Fibonacci-sekvensen, og blade udfører fotosyntese.
På et tidspunkt besluttede den smarte dreng at tjekke, om denne position af grenene hjælper med at indsamle mere sollys. Aidan byggede et pilotanlæg i sin baghave ved hjælp af små solpaneler i stedet for blade og testede det i aktion. Det viste sig, at sammenlignet med et konventionelt fladt solpanel, samler dets "træ" 20 % mere energi og fungerer effektivt i 2,5 timer længere.
Dwyer solar træmodel og grafer lavet af en studerende.
"Denne installation fylder også mindre end en fladskærm, opsamler 50 % mere sol om vinteren, selv hvor den ikke vender mod syd, og den akkumulerer ikke så meget sne. Derudover er et træformet design meget mere velegnet til bylandskabet,” konstaterer den unge opfinder.
Aidan blev genkendt en af de bedste unge naturforskere i 2011. Young Naturalist-konkurrencen 2011 var vært for New York Museum of Natural History. Aidan har indgivet en foreløbig patentansøgning for sin opfindelse.
Forskere fortsætter aktivt med at udvikle teorien om Fibonacci-tal og det gyldne snit.
Yu. Matiyasevich løser Hilberts 10. problem ved hjælp af Fibonacci-tal.
Elegante metoder dukker op til at løse en række kybernetiske problemer (søgeteori, spil, programmering) ved hjælp af Fibonacci-tal og det gyldne snit.
I USA oprettes endda Mathematical Fibonacci Association, som siden 1963 har udgivet et specialtidsskrift.
Så vi ser, at omfanget af Fibonacci-talrækken er meget mangefacetteret:
Ved at observere de fænomener, der opstår i naturen, har videnskabsmænd draget slående konklusioner, at hele sekvensen af begivenheder, der finder sted i livet, revolutioner, nedbrud, konkurser, perioder med velstand, love og bølger af udvikling på aktie- og valutamarkederne, familielivets cyklusser, og så videre, er organiseret på en tidsskala i form af cyklusser og bølger. Disse cyklusser og bølger er også fordelt efter Fibonacci-nummerserien!
Baseret på denne viden vil en person lære at forudsige og styre forskellige begivenheder i fremtiden.
4. Vores forskning.
Vi fortsatte vores observationer og studerede strukturen
grankogle
røllike
myg
person
Og vi blev overbevist om, at i disse objekter, så forskellige ved første øjekast, var de samme numre af Fibonacci-sekvensen usynligt til stede.
Så trin 1.
Lad os tage en grankogle:
Lad os se nærmere på det:
Vi bemærker to serier af Fibonacci-spiraler: den ene - med uret, den anden - mod uret, deres antal 8 og 13.
Trin 2.
Lad os tage røllike:
Lad os nøje overveje strukturen af stilkene og blomsterne:
Bemærk, at hver ny gren af rølliken vokser fra aksen, og nye grene vokser fra den nye gren. Ved at sammenlægge de gamle og nye grene fandt vi Fibonacci-tallet i hvert vandret plan.
Trin 3.
Optræder Fibonacci-tal i forskellige organismers morfologi? Overvej den velkendte myg:
Vi ser: 3 par ben, hoved 5 antenner, er underlivet opdelt i 8 segmenter.
Konklusion:
I vores forskning så vi, at i planterne omkring os, levende organismer og endda i den menneskelige struktur, manifesterer tal fra Fibonacci-sekvensen sig, hvilket afspejler harmonien i deres struktur.
Fyrrekoglen, rølliken, myggen og mennesket er arrangeret med matematisk præcision.
Vi ledte efter et svar på spørgsmålet: hvordan manifesterer Fibonacci-serien sig i virkeligheden omkring os? Men da vi besvarede det, modtog vi flere og flere spørgsmål.
Hvor kom disse tal fra? Hvem er denne arkitekt af universet, der forsøgte at gøre det ideelt? Er spiralen krøllet eller afviklet?
Hvor er det fantastisk for en person at opleve denne verden!!!
Efter at have fundet svaret på det ene spørgsmål, får han det næste. Løser han det, får han to nye. Når han har behandlet dem, vil tre mere dukke op. Når han også har løst dem, vil han have fem uløste. Så otte, så tretten, 21, 34, 55...
Genkender du?
Konklusion.
af skaberen selv ind i alle objekter
Der gives en unik kode
Og den, der er venlig med matematik,
Han vil vide og forstå!
Vi har studeret og analyseret manifestationen af Fibonacci-sekvensnumrene i virkeligheden omkring os. Vi lærte også, at mønstrene i denne talserie, inklusive mønstrene for "Gylden" symmetri, er manifesteret i energiovergangene af elementarpartikler, i planetariske og kosmiske systemer, i genstrukturer af levende organismer.
Vi opdagede et overraskende matematisk forhold mellem antallet af spiraler i planter, antallet af grene i et hvilket som helst vandret plan og tallene i Fibonacci-sekvensen. Vi så, hvordan forskellige organismers morfologi også adlyder denne mystiske lov. Vi så også streng matematik i den menneskelige struktur. Det menneskelige DNA-molekyle, hvori hele udviklingsprogrammet for et menneske er krypteret, åndedrætssystemet, ørets struktur - alt adlyder visse numeriske forhold.
Vi lærte, at fyrrekogler, sneglehuse, havbølger, dyrehorn, cyklonskyer og galakser alle danner logaritmiske spiraler. Selv den menneskelige finger, som er sammensat af tre phalanges i det gyldne forhold i forhold til hinanden, antager en spiralform, når den klemmes.
En evighed af tid og lysår af rum adskiller fyrrekeglen og spiralgalaksen, men strukturen forbliver den samme: koefficient 1,618 ! Måske er dette den primære lov, der styrer naturfænomener.
Således bekræftes vores hypotese om eksistensen af særlige numeriske mønstre, der er ansvarlige for harmoni.
Faktisk er alt i verden gennemtænkt og beregnet af vores vigtigste designer - naturen!
Vi er overbeviste om, at naturen har sine egne love, udtrykt vha matematik. Og matematik er et meget vigtigt redskab
at lære naturens hemmeligheder.
Liste over litteratur og internetsider:
1.
Vorobiev N. N. Fibonacci-numre. - M., Nauka, 1984.
2. Ghika M. Æstetik af proportioner i natur og kunst. - M., 1936.
3. Dmitriev A. Kaos, fraktaler og information. // Science and Life, nr. 5, 2001.
4. Kashnitsky S. E. Harmoni vævet af paradokser // Kultur og
Liv. - 1982.- Nr. 10.
5. Malayisk G. Harmony - paradoksernes identitet // MN. - 1982.- Nr. 19.
6. Sokolov A. Secrets of the Golden Section // Ungdomsteknologi. - 1978.- Nr. 5.
7. Stakhov A.P. Koder for den gyldne proportion. - M., 1984.
8. Urmantsev Yu. A. Naturens symmetri og symmetriens natur. - M., 1974.
9. Urmantsev Yu. A. Gyldne snit // Natur. - 1968.- Nr. 11.
10. Shevelev I.Sh., Marutaev M.A., Shmelev I.P. Golden Ratio/Tre
Et kig på harmoniens natur.-M., 1990.
11. Shubnikov A. V., Koptsik V. A. Symmetri i videnskab og kunst. -M.: