Lad os først overveje tilfældet med en funktion af to variable. Det betingede ekstremum af en funktion $z=f(x,y)$ i punktet $M_0(x_0;y_0)$ er ekstremummet for denne funktion, opnået under den betingelse, at variablerne $x$ og $y$ i nærhed af dette punkt opfylder forbindelsesligningen $\ varphi (x,y)=0$.

Navnet "betinget" ekstremum skyldes, at der pålægges variablerne en ekstra betingelse $\varphi(x,y)=0$. Hvis en variabel kan udtrykkes fra forbindelsesligningen gennem en anden, så reduceres problemet med at bestemme det betingede ekstremum til problemet med at bestemme det sædvanlige ekstremum af en funktion af en variabel. For eksempel, hvis forbindelsesligningen antyder $y=\psi(x)$, og derefter erstatte $y=\psi(x)$ i $z=f(x,y)$, får vi en funktion af én variabel $z =f\venstre (x,\psi(x)\højre)$. I det generelle tilfælde er denne metode dog af ringe nytte, så indførelsen af ​​en ny algoritme er påkrævet.

Lagrange multiplikatormetode for funktioner af to variable.

Lagrange-multiplikatormetoden består i at konstruere en Lagrange-funktion for at finde et betinget ekstremum: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameteren $\lambda$ kaldes Lagrange-multiplikatoren). De nødvendige betingelser for ekstremumet er specificeret af et system af ligninger, hvorfra de stationære punkter bestemmes:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(justed) \right.

En tilstrækkelig betingelse, hvorfra man kan bestemme ekstremumets natur, er tegnet $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Hvis ved et stationært punkt $d^2F > 0$, så har funktionen $z=f(x,y)$ et betinget minimum på dette tidspunkt, men hvis $d^2F< 0$, то условный максимум.

Der er en anden måde at bestemme arten af ​​ekstremum. Fra koblingsligningen får vi: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, derfor har vi på ethvert stationært punkt:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(åå)^("")\venstre(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\højre)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$

Den anden faktor (placeret i parentes) kan repræsenteres i denne form:

Elementerne i determinanten $\left| er fremhævet med rødt. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, som er hessian for Lagrange-funktionen. Hvis $H > 0$, så $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, dvs. vi har et betinget minimum af funktionen $z=f(x,y)$.

En note vedrørende notationen af ​​determinanten $H$. vis\skjul

$$ H=-\venstre|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ ende(matrix) \right| $$

I denne situation vil reglen formuleret ovenfor ændre sig som følger: hvis $H > 0$, så har funktionen et betinget minimum, og hvis $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritme til undersøgelse af en funktion af to variable for et betinget ekstremum

1. Komponer Lagrange-funktionen $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Løs systemet $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(aligned) \right.$
3. Bestem arten af ​​ekstremum ved hvert af de stationære punkter fundet i det foregående afsnit. For at gøre dette skal du bruge en af ​​følgende metoder:
   • Komponer determinanten af ​​$H$ og find ud af dens fortegn
   • Beregn fortegnet for $d^2F$ under hensyntagen til koblingsligningen

Lagrange multiplikatormetode for funktioner af n variable

Lad os sige, at vi har en funktion af $n$ variable $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ og $m$ koblingsligninger ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Ved at angive Lagrange-multiplikatorerne som $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, sammensætter vi Lagrange-funktionen:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

De nødvendige betingelser for tilstedeværelsen af ​​et betinget ekstremum er givet af et system af ligninger, hvorfra koordinaterne for stationære punkter og værdierne af Lagrange-multiplikatorerne findes:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Du kan finde ud af, om en funktion har et betinget minimum eller et betinget maksimum på det fundne punkt, som før, ved at bruge tegnet $d^2F$. Hvis ved det fundne punkt $d^2F > 0$, så har funktionen et betinget minimum, men hvis $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinant for matricen $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, fremhævet med rødt i matricen $L$, er Lagrange-funktionens hessian. Vi bruger følgende regel:

• Hvis tegnene for de kantede mindreårige $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matricer $L$ falder sammen med tegnet for $(-1)^m$, så er det undersøgte stationære punkt det betingede minimumspunkt for funktionen $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Hvis tegnene for de kantede mindreårige $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ veksler, og fortegnet for minor $H_(2m+1)$ falder sammen med tegnet for tallet $(-1)^(m+1 )$, så er det stationære punkt det betingede maksimumpunkt for funktionen $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Eksempel nr. 1

Find det betingede ekstremum for funktionen $z(x,y)=x+3y$ under betingelsen $x^2+y^2=10$.

Den geometriske fortolkning af dette problem er som følger: det er nødvendigt at finde de største og mindste værdier af applikationen af ​​planet $z=x+3y$ for punkterne i dets skæringspunkt med cylinderen $x^2+y ^2=10$.

Det er lidt svært at udtrykke en variabel gennem en anden fra koblingsligningen og erstatte den med funktionen $z(x,y)=x+3y$, så vi vil bruge Lagrange-metoden.

Ved at angive $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, sammensætter vi Lagrange-funktionen:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\delvis x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Lad os skrive et ligningssystem for at bestemme de stationære punkter for Lagrange-funktionen:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (justeret)\right.$$

Hvis vi antager $\lambda=0$, så bliver den første ligning: $1=0$. Den resulterende modsigelse indikerer, at $\lambda\neq 0$. Under betingelsen $\lambda\neq 0$, fra den første og anden ligning har vi: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Ved at erstatte de opnåede værdier i den tredje ligning får vi:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \venstre[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Så systemet har to løsninger: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ og $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Lad os finde ud af arten af ​​ekstremum ved hvert stationært punkt: $M_1(1;3)$ og $M_2(-1;-3)$. For at gøre dette beregner vi determinanten af ​​$H$ ved hvert punkt.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(åå)^("")=2\lambda.\\ H=\venstre| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \venstre| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Ved punkt $M_1(1;3)$ får vi: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, så ved punkt $M_1(1;3)$-funktionen $z(x,y)=x+3y$ har et betinget maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

På samme måde finder vi i punktet $M_2(-1,-3)$: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Siden $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Jeg bemærker, at i stedet for at beregne værdien af ​​determinanten $H$ på hvert punkt, er det meget mere bekvemt at udvide den i generel form. For ikke at fylde teksten med detaljer, vil jeg skjule denne metode under en note.

Skrivning af determinanten $H$ i generel form. vis\skjul

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\venstre(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\højre) =-8\lambda\cdot\venstre(y^2+x^2\højre). $$

I princippet er det allerede indlysende, hvilket tegn $H$ har. Da ingen af ​​punkterne $M_1$ eller $M_2$ falder sammen med oprindelsen, så $y^2+x^2>0$. Derfor er tegnet for $H$ modsat tegnet for $\lambda$. Du kan gennemføre beregningerne:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\venstre((-3)^2+(-1)^2\højre)=-40. \end(justeret) $$

Spørgsmålet om ekstremumets karakter ved de stationære punkter $M_1(1;3)$ og $M_2(-1;-3)$ kan løses uden at bruge determinanten $H$. Lad os finde tegnet på $d^2F$ ved hvert stationært punkt:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Lad mig bemærke, at notationen $dx^2$ betyder nøjagtigt $dx$ hævet til anden potens, dvs. $\left(dx \right)^2$. Derfor har vi: $dx^2+dy^2>0$, derfor får vi med $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Svar: ved punkt $(-1;-3)$ har funktionen et betinget minimum, $z_(\min)=-10$. Ved punkt $(1;3)$ har funktionen et betinget maksimum, $z_(\max)=10$

Eksempel nr. 2

Find det betingede ekstremum for funktionen $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ under betingelsen $x+y=0$.

Første metode (Lagrange multiplikatormetode)

Med betegnelsen $\varphi(x,y)=x+y$ sammensætter vi Lagrange-funktionen: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \venstre \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0 \end(justeret) \right.

Efter at have løst systemet får vi: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ og $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Vi har to stationære punkter: $M_1(0;0)$ og $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Lad os finde ud af arten af ​​ekstremum ved hvert stationært punkt ved hjælp af determinanten $H$.

$$H=\venstre| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \venstre| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Ved punktet $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, derfor har funktionen på dette tidspunkt et betinget maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Vi undersøger arten af ​​ekstremum på hvert punkt ved hjælp af en anden metode, baseret på tegnet $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Fra forbindelsesligningen $x+y=0$ har vi: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Da $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, så er $M_1(0;0)$ det betingede minimumspunkt for funktionen $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. På samme måde, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Anden vej

Fra forbindelsesligningen $x+y=0$ får vi: $y=-x$. Ved at erstatte $y=-x$ i funktionen $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, får vi en funktion af variablen $x$. Lad os betegne denne funktion som $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Således reducerede vi problemet med at finde det betingede ekstremum af en funktion af to variable til problemet med at bestemme ekstremum af en funktion af en variabel.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

Vi fik point $M_1(0;0)$ og $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Yderligere forskning er kendt fra forløbet af differentialregning af funktioner af en variabel. Ved at undersøge fortegnet for $u_(xx)^("")$ ved hvert stationært punkt eller kontrollere ændringen i fortegnet for $u_(x)^(")$ ved de fundne punkter, får vi de samme konklusioner, som når løser den første metode For eksempel vil vi kontrollere tegnet $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10,$$

Da $u_(xx)^("")(M_1)>0$, så er $M_1$ minimumpunktet for funktionen $u(x)$, og $u_(\min)=u(0)=0 $ . Siden $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Værdierne af funktionen $u(x)$ for en given forbindelsesbetingelse falder sammen med værdierne for funktionen $z(x,y)$, dvs. de fundne ekstrema for funktionen $u(x)$ er de søgte betingede ekstrema for funktionen $z(x,y)$.

Svar: ved punktet $(0;0)$ har funktionen et betinget minimum, $z_(\min)=0$. I punktet $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ har funktionen et betinget maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243) )$.

Lad os overveje et andet eksempel, hvor vi vil afklare ekstremumets natur ved at bestemme tegnet for $d^2F$.

Eksempel nr. 3

Find de største og mindste værdier af funktionen $z=5xy-4$, hvis variablerne $x$ og $y$ er positive og opfylder koblingsligningen $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Lad os sammensætte Lagrange-funktionen: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Lad os finde de stationære punkter i Lagrange-funktionen:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \venstre \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; y > 0. \end(justeret) \right.

Alle yderligere transformationer udføres under hensyntagen til $x > 0; \; y > 0$ (dette er angivet i problemformuleringen). Fra den anden ligning udtrykker vi $\lambda=-\frac(5x)(y)$ og erstatter den fundne værdi i den første ligning: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4) )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Ved at indsætte $x=2y$ i den tredje ligning får vi: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Siden $y=1$, derefter $x=2$, $\lambda=-10$. Vi bestemmer ekstremumets natur i punktet $(2;1)$ baseret på tegnet for $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(åå)^("")=\lambda. $$

Siden $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, så:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\venstre(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

I princippet kan du her straks erstatte koordinaterne for det stationære punkt $x=2$, $y=1$ og parameteren $\lambda=-10$, hvilket opnår:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Men i andre problemer på et betinget ekstremum kan der være flere stationære punkter. I sådanne tilfælde er det bedre at repræsentere $d^2F$ i generel form og derefter erstatte koordinaterne for hvert af de fundne stationære punkter i det resulterende udtryk:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\venstre(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Ved at erstatte $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ får vi:

$$ d^2 F=\venstre(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Siden $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Svar: ved punkt $(2;1)$ har funktionen et betinget maksimum, $z_(\max)=6$.

I den næste del vil vi overveje anvendelsen af ​​Lagrange-metoden til funktioner af et større antal variable.

• Tutorial

God eftermiddag alle sammen. I denne artikel vil jeg vise en af ​​de grafiske metoder til at konstruere matematiske modeller for dynamiske systemer, som kaldes obligationsgraf("binding" - forbindelser, "graf" - graf). I russisk litteratur fandt jeg kun beskrivelser af denne metode i lærebogen fra Tomsk Polytechnic University, A.V. Voronin “MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS” 2008 Vis også den klassiske metode gennem Lagrange-ligningen af ​​2. slags.

Lagrange metode

Jeg vil ikke beskrive teorien, jeg vil vise stadierne af beregninger med et par kommentarer. Personligt er det nemmere for mig at lære af eksempler end at læse teori 10 gange. Det forekom mig, at i russisk litteratur er forklaringen af ​​denne metode, og faktisk matematik eller fysik generelt, meget rig på komplekse formler, som derfor kræver en seriøs matematisk baggrund. Mens jeg studerede Lagrange-metoden (jeg studerer ved det polytekniske universitet i Torino, Italien), studerede jeg russisk litteratur for at sammenligne beregningsmetoder, og det var svært for mig at følge fremskridtene med at løse denne metode. Selv ved at huske modelleringskurserne på Kharkov Aviation Institute var udledningen af ​​sådanne metoder meget besværlig, og ingen generede sig selv i at forsøge at forstå dette problem. Dette er, hvad jeg besluttede at skrive, en manual til at konstruere matematiske modeller i henhold til Lagrange, da det viste sig, at det slet ikke er svært, det er nok at vide, hvordan man beregner derivater med hensyn til tid og partielle derivater. For mere komplekse modeller tilføjes også rotationsmatricer, men der er heller ikke noget kompliceret i dem.

Funktioner ved modelleringsmetoder:

• Newton-Euler: vektorligninger baseret på dynamisk ligevægt kraft Og øjeblikke
• Lagrange: skalære ligninger baseret på tilstandsfunktioner forbundet med kinetik og potentiale energier
• Obligationstælling: flow baseret metode strøm mellem systemelementer

Lad os starte med et simpelt eksempel. Masse med fjeder og dæmper. Vi ignorerer tyngdekraften.

Fig 1. Masse med fjeder og dæmper

Først og fremmest udpeger vi:

• indledende koordinatsystem(NSK) eller fast sk R0(i0,j0,k0). Hvor? Du kan pege fingeren mod himlen, men ved at rykke i spidserne af neuronerne i hjernen, går ideen igennem om at placere NSC på M1-kroppens bevægelseslinje.
• koordinatsystemer for hver krop med masse(vi har M1 R1(i1,j1,k1)), orienteringen kan være vilkårlig, men hvorfor komplicere dit liv, sæt det med minimal forskel fra NSC
• generaliserede koordinater q_i(det mindste antal variabler, der kan beskrive bevægelsen), i dette eksempel er der én generaliseret koordinat, kun bevægelse langs j-aksen

Fig 2. Vi nedlægger koordinatsystemer og generaliserede koordinater

Fig 3. Kroppens position og hastighed M1

Så finder vi de kinetiske (C) og potentielle (P) energier og den dissipative funktion (D) for dæmperen ved hjælp af formlerne:

Fig 4. Komplet formel for kinetisk energi

I vores eksempel er der ingen rotation, den anden komponent er 0.

Fig 5. Beregning af kinetisk, potentiel energi og dissipativ funktion

Lagrange-ligningen har følgende form:

Fig 6. Lagrange-ligning og Lagrangian

Delta W_i Dette er virtuelt arbejde udført af påførte kræfter og momenter. Lad os finde hende:

Fig 7. Beregning af virtuelt arbejde

Hvor delta q_1 virtuel bevægelse.

Vi erstatter alt i Lagrange-ligningen:

Fig 8. Den resulterende massemodel med fjeder og dæmper

Her sluttede Lagranges metode. Som du kan se, er det ikke så kompliceret, men det er stadig et meget simpelt eksempel, hvor Newton-Euler-metoden højst sandsynligt ville være endnu enklere. For mere komplekse systemer, hvor der vil være flere kroppe roteret i forhold til hinanden i forskellige vinkler, vil Lagrange-metoden være lettere.

Bond graf metode

Jeg viser dig med det samme, hvordan modellen ser ud i bond-graf for et eksempel med en masse, en fjeder og en dæmper:

Fig 9. Bond-grafmasser med fjeder og dæmper

Her bliver du nødt til at fortælle lidt teori, som vil være nok til at bygge simple modeller. Hvis nogen er interesseret, kan du læse bogen ( Bond Graph Metodologi) eller ( Voronin A.V. Modellering af mekatroniske systemer: en tutorial. – Tomsk: Tomsk Polytechnic University Publishing House, 2008).

Lad os først definere, at komplekse systemer består af flere domæner. For eksempel består en elektrisk motor af elektriske og mekaniske dele eller domæner.

obligationsgraf baseret på udveksling af magt mellem disse domæner, subsystemer. Bemærk, at magtudveksling, uanset form, altid bestemmes af to variable ( variabel effekt) ved hjælp af hvilken vi kan studere interaktionen mellem forskellige delsystemer i et dynamisk system (se tabel).

Som det fremgår af tabellen, er magtudtrykket næsten det samme overalt. Sammenfattende, Strøm- Dette arbejde " flow - f" på " indsats - e».

En indsats(Engelsk) indsats) i det elektriske domæne er dette spænding (e), i det mekaniske domæne er det kraft (F) eller moment (T), i hydraulik er det tryk (p).

Flyde(Engelsk) flyde) i det elektriske domæne er det strøm (i), i det mekaniske domæne er det hastighed (v) eller vinkelhastighed (omega), i hydraulik er det flow eller flowhastighed af væske (Q).

Ved at tage disse notationer får vi et udtryk for magt:

Fig 10. Potensformel gennem potensvariable

I bond-graph-sproget er forbindelsen mellem to undersystemer, der udveksler magt, repræsenteret af en obligation. bånd). Det er derfor, denne metode kaldes obligations-graf eller g raf-forbindelser, forbundet graf. Lad os overveje blokdiagram forbindelser i en model med en elektrisk motor (dette er endnu ikke en bond-graf):

Fig 11. Blokdiagram over strømflow mellem domæner

Hvis vi har en spændingskilde, så genererer den spænding og overfører den til motoren til vikling (det er grunden til, at pilen er rettet mod motoren), afhængigt af viklingens modstand, vises en strøm i henhold til Ohms lov (rettet fra motoren til kilden). Følgelig er en variabel et input til delsystemet, og den anden skal være det Afslut fra delsystemet. Her er spændingen ( indsats) – input, strøm ( flyde) - Afslut.

Hvis du bruger en aktuel kilde, hvordan vil diagrammet så ændre sig? Højre. Strømmen vil blive rettet til motoren, og spændingen til kilden. Derefter den nuværende ( flyde) - indgangsspænding ( indsats) - Afslut.

Lad os se på et eksempel inden for mekanik. Kraft, der virker på en masse.

Fig 12. Kraft påført masse

Blokdiagrammet bliver som følger:

Fig 13. Blokdiagram

I dette eksempel, Styrke ( indsats) – inputvariabel for masse. (Kraft påført masse)
Ifølge Newtons anden lov:

Masse reagerer med hastighed:

I dette eksempel, hvis en variabel ( kraft - indsats) er indgang ind i det mekaniske domæne, derefter en anden effektvariabel ( fart - flyde) – bliver automatisk Afslut.

For at skelne hvor input er og hvor output er, bruges en lodret linje for enden af ​​pilen (forbindelse) mellem elementerne, denne linje kaldes tegn på kausalitet eller årsagssammenhæng (kausalitet). Det viser sig: påført kraft er årsagen, og hastighed er virkningen. Dette tegn er meget vigtigt for den korrekte konstruktion af en systemmodel, da kausalitet er en konsekvens af to delsystemers fysiske adfærd og magtudveksling, derfor kan valget af placering af kausalitetstegnet ikke være vilkårligt.

Fig 14. Betegnelse på kausalitet

Denne lodrette linje viser hvilket delsystem der modtager kraften ( indsats) og som et resultat producere et flow ( flyde). I eksemplet med masse ville det være sådan:

Fig 14. Årsagssammenhæng for den kraft, der virker på massen

Det fremgår tydeligt af pilen, at input for masse er - kraft, og outputtet er fart. Dette gøres for ikke at rode diagrammet med pile og systematisere opbygningen af ​​modellen.

Næste vigtige punkt. Generaliseret impuls(mængde af bevægelse) og bevæger sig(energivariabler).

Tabel over effekt- og energivariabler i forskellige domæner

Tabellen ovenfor introducerer to yderligere fysiske mængder, der anvendes i obligationsgrafmetoden. De bliver kaldt generaliseret impuls (R) Og generaliseret bevægelse (q) eller energivariable, og de kan opnås ved at integrere effektvariabler over tid:

Fig 15. Sammenhæng mellem effekt- og energivariable

I det elektriske domæne :

Baseret på Faradays lov, spænding ved enderne af lederen er lig med afledten af ​​den magnetiske flux gennem denne leder.

EN Nuværende styrke- en fysisk størrelse svarende til forholdet mellem mængden af ​​ladning Q, der passerer gennem lederens tværsnit i en vis tid t, og værdien af ​​denne tidsperiode.

Mekanisk domæne:

Fra Newtons 2. lov, Kraft– tidsafledt af impuls

Og tilsvarende, fart- tidsafledt af forskydning:

Lad os opsummere:

Grundlæggende elementer

Alle elementer i dynamiske systemer kan opdeles i to-polede og fire-polede komponenter.
Lad os overveje bipolære komponenter:

Kilder
Der er kilder til både indsats og flow. Analogi i det elektriske domæne: kilde til indsats – spændingskilde, stream kilde – nuværende kilde. Årsagstegn for kilder bør kun være sådan.

Fig 16. Årsagssammenhænge og betegnelse af kilder

Komponent R – dissipativt element

Komponent I – inertielement

Komponent C – kapacitivt element

Som det kan ses af figurerne, er forskellige elementer af samme type R, C, I beskrevet med de samme ligninger. KUN der er forskel på elektrisk kapacitans, du skal bare huske det!

Quadrupol komponenter:

Lad os se på to komponenter: en transformer og en gyrator.

De sidste vigtige komponenter i bond-graph-metoden er forbindelserne. Der er to typer noder:

Det er det med komponenterne.

De vigtigste trin til etablering af årsagssammenhænge efter konstruktion af en bindingsgraf:

1. Giv kausale sammenhænge til alle kilder
2. Gå alle knudepunkterne igennem og nedskriv årsagssammenhænge efter punkt 1
3. Til komponenter I tildele en input-årsagssammenhæng (indsats er inkluderet i denne komponent), for komponenter C tildel output-kausalitet (den indsats kommer ud af denne komponent)
4. Gentag punkt 2
5. Indsæt årsagssammenhænge for R komponenter

Hermed afsluttes minikurset om teori. Nu har vi alt, hvad vi skal bruge til at bygge modeller.
Lad os løse et par eksempler. Lad os starte med et elektrisk kredsløb, det er bedre at forstå analogien ved at konstruere en bindingsgraf.

Eksempel 1

Lad os begynde at bygge en bond-graf med en spændingskilde. Bare skriv Se og sæt en pil.

Se, alt er enkelt! Lad os se videre, R og L er forbundet i serie, hvilket betyder, at den samme strøm løber i dem, hvis vi taler i effektvariable - samme flow. Hvilken node har samme flow? Det rigtige svar er 1-node. Vi forbinder kilden, modstand (komponent - R) og induktans (komponent - I) til 1-knuden.

Dernæst har vi kapacitans og modstand parallelt, hvilket betyder, at de har samme spænding eller kraft. 0-node er egnet som ingen anden. Vi forbinder kapacitansen (komponent C) og modstanden (komponent R) til 0-noden.

Vi forbinder også knudepunkter 1 og 0 til hinanden. Pilenes retning vælges vilkårligt. Forbindelsens retning påvirker kun tegnet i ligningerne.

Du får følgende forbindelsesgraf:

Nu skal vi etablere årsagssammenhænge. Følg instruktionerne for rækkefølgen af ​​deres placering, lad os starte med kilden.

1. Vi har en spændingskilde (indsats), en sådan kilde har kun en variant af kausalitet - output. Lad os sige det.
2. Dernæst er der komponent I, lad os se, hvad de anbefaler. Vi putter
3. Vi lægger det ned til 1-node. Spise
4. En 0-node skal have én indgang og alle udgangsårsagsforbindelser. Vi har en fridag indtil videre. Vi leder efter komponenter C eller I. Vi fandt det. Vi putter
5. Lad os liste, hvad der er tilbage

Det er alt. Obligationsgraf er bygget. Hurra, kammerater!

Tilbage er blot at skrive de ligninger, der beskriver vores system. For at gøre dette skal du oprette en tabel med 3 kolonner. Den første vil indeholde alle systemets komponenter, den anden vil indeholde inputvariablen for hvert element, og den tredje vil indeholde outputvariablen for den samme komponent. Vi har allerede defineret input og output ved kausale sammenhænge. Så der burde ikke være nogen problemer.

Lad os nummerere hver forbindelse for at lette registreringen af ​​niveauerne. Vi tager ligningerne for hvert element fra listen over komponenter C, R, I.

Efter at have kompileret en tabel definerer vi tilstandsvariablerne, i dette eksempel er der 2 af dem, p3 og q5. Dernæst skal du skrive tilstandsligningerne ned:

Det er det, modellen er klar.

Eksempel 2. Jeg vil gerne straks undskylde for kvaliteten af ​​billedet, det vigtigste er at du kan læse

Lad os løse et andet eksempel for et mekanisk system, det samme som vi løste ved hjælp af Lagrange-metoden. Jeg vil vise løsningen uden kommentarer. Lad os tjekke, hvilken af ​​disse metoder der er enklere og nemmere.

I Matbala blev begge matematiske modeller med de samme parametre kompileret, opnået ved Lagrange-metoden og bond-graph. Resultatet er nedenfor: Tilføj tags

Lagrange multiplikator metode.

Lagrange multiplikatormetoden er en af ​​de metoder, der giver dig mulighed for at løse ikke-lineære programmeringsproblemer.

Ikke-lineær programmering er en gren af ​​matematisk programmering, der studerer metoder til løsning af ekstreme problemer med en ikke-lineær objektiv funktion og en region af gennemførlige løsninger defineret af ikke-lineære begrænsninger. I økonomi svarer dette til, at resultater (effektivitet) stiger eller falder uforholdsmæssigt i forhold til ændringer i omfanget af ressourceanvendelse (eller hvad der er det samme, produktionens omfang): f.eks. på grund af opdelingen af ​​produktionsomkostninger i virksomheder i variable og semi-faste; på grund af mætning af efterspørgsel efter varer, når hver efterfølgende enhed er sværere at sælge end den foregående osv.

Det ikke-lineære programmeringsproblem stilles som problemet med at finde det optimale af en bestemt objektiv funktion

F(x 1,…x n), F (x) → max

når betingelserne er opfyldt

g j (x 1,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

Hvor x-vektor af de nødvendige variabler;

F (x) -objektiv funktion;

g (x) - begrænsningsfunktion (kontinuerlig differentierbar);

b - vektor af begrænsningskonstanter.

Løsningen på et ikke-lineært programmeringsproblem (globalt maksimum eller minimum) kan enten tilhøre grænsen eller til det indre af det tilladte sæt.

I modsætning til et lineært programmeringsproblem ligger det optimale i et ikke-lineært programmeringsproblem ikke nødvendigvis på grænsen af ​​det område, der er defineret af begrænsningerne. Med andre ord er opgaven at vælge sådanne ikke-negative værdier af variabler, underlagt et system af restriktioner i form af uligheder, under hvilket maksimum (eller minimum) af en given funktion opnås. I dette tilfælde er formerne for hverken den objektive funktion eller ulighederne specificeret. Der kan være forskellige tilfælde: den objektive funktion er ikke-lineær, men begrænsningerne er lineære; objektivfunktionen er lineær, og begrænsningerne (mindst en af ​​dem) er ikke-lineære; både den objektive funktion og begrænsningerne er ikke-lineære.

Det ikke-lineære programmeringsproblem findes inden for naturvidenskab, teknik, økonomi, matematik, forretningsforbindelser og regering.

Ikke-lineær programmering er for eksempel relateret til et grundlæggende økonomisk problem. I problemet med at allokere begrænsede ressourcer er enten effektivitet eller, hvis forbrugeren undersøges, forbruget maksimeret i nærvær af restriktioner, der udtrykker betingelserne for ressourceknaphed. I en sådan generel formulering kan den matematiske formulering af problemet være umulig, men i specifikke applikationer kan den kvantitative form af alle funktioner bestemmes direkte. For eksempel producerer en industrivirksomhed plastprodukter. Produktionseffektivitet her måles ved profit, og begrænsninger fortolkes som tilgængelig arbejdskraft, produktionsplads, udstyrsproduktivitet osv.

Omkostningseffektivitetsmetoden passer også ind i det ikke-lineære programmeringsskema. Denne metode er udviklet til brug i beslutningstagning i regeringen. En fælles funktion af effektivitet er velfærd. Her opstår to ikke-lineære programmeringsproblemer: det første er at maksimere effekten til begrænsede omkostninger, det andet er at minimere omkostningerne, forudsat at effekten er over et vist minimumsniveau. Dette problem er normalt godt modelleret ved hjælp af ikke-lineær programmering.

Resultaterne af at løse et ikke-lineært programmeringsproblem er nyttige til at træffe regeringsbeslutninger. Den resulterende løsning anbefales naturligvis, så det er nødvendigt at undersøge antagelserne og nøjagtigheden af ​​det ikke-lineære programmeringsproblem, før der træffes en endelig beslutning.

Ikke-lineære problemer er komplekse, de forenkles ofte ved at føre til lineære. For at gøre dette antages det konventionelt, at objektivfunktionen i et bestemt område øges eller falder i forhold til ændringen i de uafhængige variable. Denne tilgang kaldes metoden med stykkevise lineære tilnærmelser, men den er kun anvendelig på visse typer ikke-lineære problemer.

Ikke-lineære problemer under visse forhold løses ved hjælp af Lagrange-funktionen: ved at finde dens sadelpunkt, findes løsningen på problemet derved. Blandt beregningsalgoritmer til videnskabelig forskning indtager gradientmetoder en stor plads. Der er ingen universel metode til ikke-lineære problemer, og det er der tilsyneladende ikke, da de er ekstremt forskellige. Multiekstremale problemer er især vanskelige at løse.

En af de metoder, der giver dig mulighed for at reducere et ikke-lineært programmeringsproblem til at løse et ligningssystem, er Lagrange-metoden med ubestemte multiplikatorer.

Ved at bruge Lagrange-multiplikatormetoden etableres de nødvendige betingelser for at tillade identifikation af optimale punkter i optimeringsproblemer med lighedsbegrænsninger. I dette tilfælde transformeres det begrænsede problem til et tilsvarende ubetinget optimeringsproblem, som involverer nogle ukendte parametre kaldet Lagrange-multiplikatorer.

Lagrange multiplikatormetoden består i at reducere problemer på et betinget ekstremum til problemer på det ubetingede ekstremum af en hjælpefunktion - den såkaldte. Lagrange funktioner.

For problemet med ekstremum af en funktion f(x 1, x 2,..., x n) under betingelserne (begrænsningsligninger) φ jeg(x 1, x 2, ..., x n) = 0, jeg= 1, 2,..., m, har Lagrange-funktionen formen

L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Multiplikatorer λ1, λ2, ..., λm hedder Lagrange multiplikatorer.

Hvis værdierne x 1, x 2, ..., x n, λ 1, λ 2, ..., λm essensen af ​​løsningerne til de ligninger, der bestemmer de stationære punkter i Lagrange-funktionen, nemlig for differentiable funktioner er løsninger til ligningssystemet

så giver x 1 , x 2 , ..., x n under ret generelle antagelser et ekstremum for funktionen f.

Overvej problemet med at minimere en funktion af n variabler underlagt en begrænsning i form af lighed:

Minimer f(x 1, x 2… x n) (1)

under restriktioner h 1 (x 1, x 2... x n)=0 (2)

Ifølge Lagrange-multiplikatormetoden transformeres dette problem til følgende ubegrænsede optimeringsproblem:

minimer L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

hvor funktionen L(x;λ) kaldes Lagrange-funktionen,

λ er en ukendt konstant, som kaldes Lagrange-multiplikatoren. Der er ingen krav til tegnet λ.

Lad, for en given værdi λ=λ 0, det ubetingede minimum af funktionen L(x,λ) med hensyn til x opnås ved punktet x=x 0 og x 0 opfylder ligningen h 1 (x 0)=0 . Så, som det er let at se, minimerer x 0 (1) under hensyntagen til (2), da for alle værdier af x, der opfylder (2), h 1 (x)=0 og L(x,λ)=min f(x).

Det er selvfølgelig nødvendigt at vælge værdien λ=λ 0, så koordinaten for det ubetingede minimumspunkt x 0 opfylder lighed (2). Dette kan gøres, hvis man betragter λ som en variabel, finder det ubetingede minimum af funktion (3) i form af en funktion λ, og derefter vælger værdien af ​​λ, hvor lighed (2) er opfyldt. Lad os illustrere dette med et specifikt eksempel.

Minimer f(x)=x 1 2 + x 2 2 =0

under begrænsningen h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Det tilsvarende ubegrænsede optimeringsproblem er skrevet som følger:

minimer L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Løsning. Ved at sidestille de to komponenter af gradienten L med nul, får vi

→ x 10 =λ

→ x 20 = λ/2

For at kontrollere, om det stationære punkt x° svarer til minimum, beregner vi elementerne i den hessiske matrix af funktionen L(x;u), betragtet som en funktion af x,

hvilket viser sig at være positivt bestemt.

Det betyder, at L(x,u) er en konveks funktion af x. Følgelig bestemmer koordinaterne x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 det globale minimumspunkt. Den optimale værdi af λ findes ved at substituere værdierne x 1 0 og x 2 0 i ligningen 2x 1 + x 2 =2, hvorfra 2λ+λ/2=2 eller λ 0 =4/5. Således opnås det betingede minimum ved x 1 0 =4/5 og x 2 0 =2/5 og er lig med min f(x) = 4/5.

Ved løsning af eksempelproblemet betragtede vi L(x;λ) som en funktion af to variable x 1 og x 2 og forudsatte desuden, at værdien af ​​parameteren λ var valgt, så begrænsningen blev opfyldt. Hvis systemets løsning

J=1,2,3,…,n

λ kan ikke opnås i form af eksplicitte funktioner, så findes værdierne af x og λ ved at løse følgende system bestående af n+1 ligninger med n+1 ubekendte:

J=1,2,3,…,n., h1(x)=0

For at finde alle mulige løsninger på et givent system kan man bruge numeriske søgemetoder (f.eks. Newtons metode). For hver af løsningerne () skal vi beregne elementerne i den hessiske matrix af funktionen L, betragtet som en funktion af x, og finde ud af, om denne matrix er positiv bestemt (lokalt minimum) eller negativ bestemt (lokalt maksimum). ).

Lagrange multiplikatormetoden kan udvides til det tilfælde, hvor problemet har flere begrænsninger i form af ligheder. Overvej et generelt problem, der kræver

Minimer f(x)

under restriktioner h k =0, k=1, 2, ..., K.

Lagrange-funktionen har følgende form:

Her λ1, λ2, ..., λk-Lagrange multiplikatorer, dvs. ukendte parametre, hvis værdier skal bestemmes. Ved at sidestille de partielle afledte af L med hensyn til x til nul, får vi følgende system af n ligninger med n ukendte:

Hvis det viser sig at være svært at finde en løsning på ovenstående system i form af funktioner af vektoren λ, så kan man udvide systemet ved at medtage restriktioner i form af ligheder

Løsningen af ​​det udvidede system, bestående af n + K ligninger med n + K ukendte, bestemmer det stationære punkt for funktionen L. Derefter implementeres en procedure til kontrol af minimum eller maksimum, som udføres på basis af beregninger elementerne i den hessiske matrix af funktionen L, betragtet som en funktion af x, svarende til det, der blev gjort i tilfælde af et problem med én begrænsning. For nogle problemer har et udvidet system af n+K-ligninger med n+K ukendte muligvis ingen løsninger, og Lagrange-multiplikatormetoden viser sig at være uanvendelig. Det skal dog bemærkes, at sådanne opgaver er ret sjældne i praksis.

Lad os overveje et særligt tilfælde af det generelle problem med ikke-lineær programmering, idet vi antager, at systemet af begrænsninger kun indeholder ligninger, er der ingen betingelser for variablernes ikke-negativitet og og er kontinuerlige funktioner sammen med deres partielle afledte. Derfor får vi ved at løse ligningssystemet (7) alle punkter, hvor funktion (6) kan have ekstreme værdier.

Algoritme for Lagrange multiplikatormetoden

1. Sammensæt Lagrange-funktionen.

2. Find de partielle afledte af Lagrange-funktionen med hensyn til variablerne x J ,λ i og lig dem med nul.

3. Vi løser ligningssystemet (7), finder de punkter, hvor problemets objektive funktion kan have et ekstremum.

4. Blandt de punkter, der er mistænkelige for et ekstremum, finder vi dem, hvor ekstremum er nået, og beregner værdierne for funktion (6) ved disse punkter.

Eksempel.

Indledende data: Ifølge produktionsplanen skal virksomheden producere 180 produkter. Disse produkter kan fremstilles på to teknologiske måder. Ved fremstilling af x 1 produkter ved hjælp af 1. metode er omkostningerne 4x 1 +x 1 2 rubler, og ved produktion af x 2 produkter ved hjælp af 2. metode er de 8x 2 +x 2 2 rubler. Bestem, hvor mange produkter der skal produceres ved hjælp af hver metode, så produktionsomkostningerne er minimale.

Den objektive funktion for det angivne problem har formen
® min under betingelserne x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Sammensæt Lagrange-funktionen
.
2. Vi beregner de partielle afledte med hensyn til x 1, x 2, λ og sidestiller dem til nul:

3. Ved at løse det resulterende ligningssystem finder vi x 1 =91,x 2 =89

4. Efter at have lavet en erstatning i objektivfunktionen x 2 =180-x 1, får vi en funktion af én variabel, nemlig f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1) ) 2

Vi beregner eller 4x 1 -364=0 ,

hvorfra vi har x 1 * =91, x 2 * =89.

Svar: Antallet af produkter fremstillet ved den første metode er x 1 =91, ved den anden metode x 2 =89, mens værdien af ​​den objektive funktion er lig med 17.278 rubler.

Et punkt M kaldes internt i en bestemt mængde G, hvis det hører til dette sæt sammen med noget af dets naboskab. Et punkt N kaldes et grænsepunkt for en mængde G, hvis der i et fuldstændigt område af det er punkter, der både hører til G og ikke hører til det.

Mængden af ​​alle grænsepunkter for et sæt G kaldes grænsen for G.

Et sæt G vil blive kaldt et område, hvis alle dets punkter er interne (åbent sæt). Et sæt G med en tilhørende grænse Г kaldes et lukket område. Et område kaldes afgrænset, hvis det helt er indeholdt inden for en cirkel med tilstrækkelig stor radius.

De mindste og største værdier af en funktion i et givet område kaldes det absolutte ekstreme af funktionen i dette område.

Weierstrass' sætning: en funktion, der er kontinuerlig i et afgrænset og lukket område, når sine minimums- og maksimumværdier i dette område.

Følge. Det absolutte ekstremum af en funktion i en given region opnås enten ved det kritiske punkt af funktionen, der hører til denne region, eller ved For at finde de største og mindste værdier af en funktion i et lukket område G, er det nødvendigt at finde alle dens kritiske punkter i denne region, beregn værdierne af funktionen ved disse punkter (inklusive grænsepunkter), og ved at sammenligne de opnåede tal, vælg den største og mindste af dem.

Eksempel 4.1. Find det absolutte ekstremum af funktionen (største og mindste værdier)
i et trekantet område D med hjørner
,
,
(Fig. 1).

;
,

det vil sige punkt O(0, 0) er et kritisk punkt, der hører til området D. z(0,0)=0.

Lad os udforske grænsen:

a) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

b) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

c) AB: ;
,

Eksempel 4.2. Find de største og mindste værdier af en funktion i et lukket område afgrænset af koordinatakserne og den rette linje
.

1) Find de kritiske punkter, der ligger i regionen:

,
,

.

Lad os udforske grænsen. Fordi grænsen består af et segment OA af Ox-aksen, et segment OB af Oy-aksen og et segment AB, så bestemmer vi de største og mindste værdier af funktionen z på hvert af disse segmenter.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

Blandt alle de fundne værdier skal du vælge z max =z(4, 0)=13; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Betinget ekstremum. Lagrange multiplikator metode

Lad os overveje et problem, der er specifikt for funktioner af flere variable, når dets ekstremum ikke søges over hele definitionsdomænet, men over et sæt, der opfylder en bestemt betingelse.

Lad os overveje funktionen
, argumenter Og som opfylder betingelsen
, kaldet koblingsligningen.

Prik
kaldes et betinget maksimum (minimum) punkt, hvis der er en sådan naboskab til dette punkt, at for alle punkter
fra dette kvarter, der opfylder betingelsen
, holder uligheden
eller
.

Figur 2 viser det betingede maksimumpunkt
. Det er naturligvis ikke det ubetingede yderpunkt for funktionen
(i fig. 2 er dette pointen
).

Den enkleste måde at finde det betingede ekstremum af en funktion af to variable er at reducere problemet til at finde ekstremum af en funktion af en variabel. Lad os antage forbindelsesligningen
formået at løse med hensyn til en af ​​variablerne, for eksempel at udtrykke igennem :
. Ved at erstatte det resulterende udtryk i en funktion af to variable får vi

de der. funktion af en variabel. Dens ekstremum vil være funktionens betingede ekstremum
.

Eksempel 5.1. Find maksimum og minimum point for en funktion
givet det
.

Løsning. Lad os udtrykke fra ligningen
variabel via variabel og erstatte det resulterende udtryk
ind i en funktion . Vi får
eller
. Denne funktion har et unikt minimum kl
. Tilsvarende funktionsværdi
. Dermed,
– punkt for betinget ekstremum (minimum).

I det betragtede eksempel er koblingsligningen
viste sig at være lineær, så det var let at løse med hensyn til en af ​​variablerne. I mere komplekse sager kan dette dog ikke lade sig gøre.

For at finde et betinget ekstremum i det generelle tilfælde bruges Lagrange-multiplikatormetoden. Overvej en funktion af tre variable. Denne funktion kaldes Lagrange-funktionen, og – Lagrange multiplikator. Følgende sætning er sand.

Sætning. Hvis pointen
er funktionens betingede ekstremumpunkt
givet det
, så er der en værdi sådan det punkt
er funktionens yderpunkt
.

Således at finde det betingede ekstremum af funktionen
givet det
skal finde en løsning på systemet

P den sidste af disse ligninger falder sammen med koblingsligningen. Systemets to første ligninger kan omskrives i formen, dvs. ved det betingede ekstremum punkt funktionsgradienterne
Og
collineær. I fig. Figur 3 viser den geometriske betydning af Lagranges forhold. Linje
stiplet, plan linje
funktioner
solid. Fra Fig. det følger, at ved det betingede ekstremum punkt funktionsniveaulinjen
rører stregen
.

Eksempel 5.2. Find yderpunkterne for funktionen
givet det
, ved hjælp af Lagrange-multiplikatormetoden.

Løsning. Vi sammensætter Lagrange-funktionen. Ved at sidestille dens partielle afledte til nul, får vi et ligningssystem:

Hendes eneste løsning. Det betingede ekstremumpunkt kan således kun være punkt (3; 1). Det er nemt at verificere, at funktionen på dette tidspunkt
har et betinget minimum. Hvis antallet af variable er mere end to, kan flere koblingsligninger overvejes. Følgelig vil der i dette tilfælde være flere Lagrange-multiplikatorer.

Problemet med at finde et betinget ekstremum bruges til at løse sådanne økonomiske problemer som at finde den optimale allokering af ressourcer, vælge en optimal portefølje af værdipapirer osv.

Beskrivelse af metoden

Hvor .

Begrundelse

Den følgende begrundelse for Lagrange-multiplikatormetoden er ikke et strengt bevis på det. Den indeholder heuristiske overvejelser, der er med til at forstå den geometriske betydning af metoden.

Todimensionel sag

Niveaulinjer og kurve.

Lad det være påkrævet at finde ekstremumet af en eller anden funktion af to variable under den betingelse, der er angivet af ligningen . Vi vil antage, at alle funktioner er kontinuerligt differentiable, og denne ligning definerer en glat kurve S på overfladen. Derefter reduceres problemet til at finde funktionens yderpunkt f på kurven S. Det vil vi også antage S går ikke gennem punkter, hvor gradienten f bliver til 0.

Lad os tegne funktionsniveaulinjer på planet f(det vil sige kurver). Ud fra geometriske betragtninger er det klart, at funktionens yderpunkt f på kurven S der kan kun være punkter, hvor der tangerer til S og den tilsvarende niveaulinje falder sammen. Faktisk, hvis kurven S krydser niveaulinjen f i et punkt på tværs (det vil sige i en vinkel, der ikke er nul), og bevæger sig derefter langs kurven S fra et punkt kan vi komme til niveaulinjerne svarende til en større værdi f, og mindre. Derfor kan et sådant punkt ikke være et ekstremum.

En nødvendig betingelse for et ekstremum i vores tilfælde vil således være sammenfaldet af tangenterne. For at skrive det i analytisk form skal du bemærke, at det svarer til paralleliteten af ​​funktionernes gradienter f og ψ i et givet punkt, da gradientvektoren er vinkelret på tangenten til niveaulinjen. Denne betingelse er udtrykt i følgende form:

hvor λ er et ikke-nul tal, der er en Lagrange multiplikator.

Lad os nu overveje Lagrange funktion, afhængig af og λ:

En nødvendig betingelse for dets ekstremum er, at gradienten er lig nul. I overensstemmelse med reglerne om differentiering skrives det i skemaet

Vi har fået et system, hvis første to ligninger svarer til den nødvendige betingelse for et lokalt ekstremum (1), og den tredje er ækvivalent med ligningen . Du kan finde det fra den. Desuden, da ellers gradienten af ​​funktionen f forsvinder på punktet , hvilket modsiger vores antagelser. Det skal bemærkes, at de punkter, der findes på denne måde, muligvis ikke er de ønskede punkter i det betingede ekstremum - den betragtede betingelse er nødvendig, men ikke tilstrækkelig. At finde et betinget ekstremum ved hjælp af en hjælpefunktion L og danner grundlaget for Lagrange-multiplikatormetoden, anvendt her for det enkleste tilfælde af to variable. Det viser sig, at ovenstående ræsonnement kan generaliseres til tilfældet med et vilkårligt antal variabler og ligninger, der specificerer betingelserne.

Baseret på Lagrange-multiplikatormetoden er det muligt at bevise nogle tilstrækkelige betingelser for et betinget ekstremum, som kræver analyse af de anden afledede af Lagrange-funktionen.

Ansøgning

• Lagrange-multiplikatormetoden bruges til at løse ikke-lineære programmeringsproblemer, der opstår på mange områder (f.eks. inden for økonomi).
• Den vigtigste metode til at løse problemet med at optimere kvaliteten af ​​kodning af lyd- og videodata ved en given gennemsnitlig bitrate (forvrængningsoptimering - engelsk. Rate-Distortion optimering).

se også

Links

• Zorich V.A. Matematisk analyse. Del 1. - udg. 2. rev. og yderligere - M.: FAZIS, 1997.

Wikimedia Foundation. 2010.

Se, hvad "Lagrange Multipliers" er i andre ordbøger:

Lagrange multiplikatorer- Yderligere faktorer, der transformerer den objektive funktion af et ekstremt problem med konveks programmering (især lineær programmering), når det løses ved hjælp af en af ​​de klassiske metoder, metoden til at løse multiplikatorer ... ... Økonomisk-matematisk ordbog

Lagrange multiplikatorer- Yderligere faktorer, der transformerer den objektive funktion af et ekstremt konveks programmeringsproblem (især lineær programmering), når det løses ved hjælp af en af ​​de klassiske metoder, metoden til at løse multiplikatorer (Lagrange-metoden).... ... Teknisk oversættervejledning

Mekanik. 1) Lagrangeligninger af 1. slags, differentialligninger for mekanisk bevægelse. systemer, som er givet i projektioner på rektangulære koordinatakser og indeholder de såkaldte. Lagrange multiplikatorer. Opnået af J. Lagrange i 1788. For et holonomisk system, ... ... Fysisk encyklopædi

Mekanik almindelige differentialligninger af 2. orden, der beskriver bevægelser af mekaniske. systemer under påvirkning af kræfter, der påføres dem. L.u. etableret af J. Lag-række i to former: L. u. 1. slags, eller ligninger i kartesiske koordinater med... ... Matematisk encyklopædi

1) i hydromekanik, ligningen for væske (gas) bevægelse i Lagrange-variabler, som er mediets koordinater. Modtog fransk videnskabsmand J. Lagrange (ca. 1780). Fra L. u. mediets bevægelseslov bestemmes i form af afhængigheder... ... Fysisk encyklopædi

Lagrange multiplikatormetode, en metode til at finde det betingede ekstremum af funktionen f(x), hvor i forhold til m begrænsninger varierer fra en til m. Indhold 1 Beskrivelse af metoden ... Wikipedia

En funktion, der bruges til at løse problemer på det betingede ekstremum af funktioner af mange variabler og funktionaler. Med hjælp fra L. f. de nødvendige betingelser for optimalitet i problemer på et betinget ekstremum nedskrives. I dette tilfælde er det ikke nødvendigt kun at udtrykke variabler... Matematisk encyklopædi

Metode til at løse problemer på Conditional extremum; L.M.M. består i at reducere disse problemer til problemer på det ubetingede yderpunkt af en hjælpefunktion, den såkaldte. Lagrange funktioner. For problemet med ekstremum af funktionen f (x1, x2,..., xn) for... ...

Variabler, ved hjælp af hvilke Lagrange-funktionen er konstrueret, når man studerer problemer på et betinget ekstremum. Brugen af ​​lineære metoder og Lagrange-funktionen giver os mulighed for at opnå de nødvendige optimalitetsbetingelser i problemer, der involverer et betinget ekstremum på en ensartet måde... Matematisk encyklopædi

1) i hydromekanik, bevægelsesligningerne for et flydende medium, skrevet i Lagrange-variabler, som er koordinaterne for mediets partikler. Fra L. u. loven om bevægelse af mediets partikler bestemmes i form af afhængighed af koordinater på tid, og ud fra dem... ... Store sovjetiske encyklopædi