Kapitel 8 undersøgte sådanne typer af objekter af ikke-numerisk karakter som fuzzy og tilfældige sæt. Formålet med denne ansøgning er at studere mere dybtgående egenskaberne af fuzzy sæt og at vise, at teorien om fuzzy sæt i en vis forstand reduceres til teorien om tilfældige mængder. For at nå dette mål formuleres og bevises en kæde af teoremer.

I det følgende antages det, at alle fuzzy-sæt, der er under overvejelse, er delmængder af samme sæt Y.

P2-1. De Morgans love for fuzzy sæt

Som det er kendt, kaldes de følgende identiteter af algebraen af ​​mængder Morgans love

Sætning 1.For fuzzy sæt gælder følgende identiteter:

(3)

Beviset for sætning 1 består i direkte at kontrollere gyldigheden af ​​relationer (2) og (3) ved at beregne værdierne af medlemsfunktionerne for de fuzzy sæt, der er involveret i disse relationer, baseret på definitionerne givet i kapitel 8.

Lad os kalde identiteter (2) og (3) De Morgans love for fuzzy sæt. I modsætning til det klassiske tilfælde af relationer (1) består de af fire identiteter, hvoraf det ene par relaterer sig til operationerne af forening og skæring, og det andet til operationerne af produkt og sum. Ligesom relation (1) i mængdealgebra tillader de Morgans love i fuzzy-mængdealgebra en at transformere udtryk og formler, der inkluderer negationsoperationer.

P2-2. Distributiv lov for fuzzy sæt

Nogle egenskaber ved sætoperationer gælder ikke for fuzzy sæt. Ja, undtagen hvornår EN- et "sprødt" sæt (dvs. medlemsfunktionen tager kun værdierne 0 og 1).

Er distributionsloven sand for fuzzy sæt? Litteraturen siger nogle gange vagt, at "ikke altid." Lad os være helt klare.

Sætning 2.Til alle fuzzy sæt A, B og C

Samtidig ligestilling

fair hvis og kun hvis, for alle

Bevis. Ret et vilkårligt element. For at forkorte notationen betegner vi For at bevise identitet (4) er det nødvendigt at vise det

Overvej forskellige rækkefølger af tre numre a, b, c. Lad først Så er venstre side af relation (6) og højre side, dvs. lighed (6) er sandt.

Lad Så i forhold (6) til venstre er a til højre, dvs. forhold (6) er igen en ligestilling.

Hvis så i forhold (6) til venstre er og til højre, dvs. begge dele matcher igen.

Tre resterende nummerbestillinger a, b, c der er ingen grund til at skille ad, da i forhold (6) tallene b Og c indtaste symmetrisk. Identitet (4) er bevist.

Den anden sætning i sætning 2 følger af det faktum, at i overensstemmelse med definitionerne af operationer på fuzzy-sæt (se kapitel 8)

Disse to udtryk falder sammen, hvis og kun hvis, hvornår, hvad der skulle bevises.

Definition 1.Bæreren af ​​et fuzzy sæt A er sættet af alle punkter , for hvilket

Konsekvens af sætning 2.Hvis bærerne af fuzzy-sættene B og C falder sammen med Y, så gælder lighed (5), hvis og kun hvis A er et "sprødt" (dvs. almindeligt, klassisk, ikke fuzzy) sæt.

Bevis. Efter betingelse foran alle. Så af sætning 2 følger det de der. eller , hvilket betyder det EN- klart sæt.

P2-3. Fuzzy sæt som projektioner af tilfældige sæt

Allerede fra begyndelsen af ​​moderne fuzzy teori i 1960'erne begyndte diskussioner om dens forhold til sandsynlighedsteori. Faktum er, at medlemskabsfunktionen af ​​et fuzzy sæt ligner en sandsynlighedsfordeling. Den eneste forskel er, at summen af ​​sandsynligheder over alle mulige værdier af en tilfældig variabel (eller integralet, hvis sættet af mulige værdier er utælleligt) altid er lig med 1, og summen S værdier for medlemskabsfunktionen (i det kontinuerlige tilfælde - integralet af medlemskabsfunktionen) kan være et hvilket som helst ikke-negativt tal. Der er en fristelse til at normalisere medlemsfunktionen, dvs. dividere alle dens værdier med S(på S 0) for at reducere det til en sandsynlighedsfordeling (eller sandsynlighedstæthed). Fuzziness-specialister protesterer dog med rette mod en sådan "primitiv" reduktion, da den udføres separat for hver fuzziness (fuzzy set), og definitionerne af almindelige operationer på fuzzy-sæt ikke kan stemme overens med den. Den sidste erklæring betyder følgende. Lad medlemskabsfunktionerne for fuzzy sæt blive transformeret på den angivne måde EN Og I. Hvordan transformeres medlemsfunktionerne? Installer dette umuligt i princippet. Det sidste udsagn bliver helt klart efter at have overvejet flere eksempler på par fuzzy sæt med de samme værdisummer for medlemsfunktioner, men forskellige resultater af mængdeteoretiske operationer på dem og værdisummerne for de tilsvarende medlemsfunktioner for disse resultater af mængdeteoretiske operationer, for eksempel, for skæringspunkter af mængder er også forskellige.

I værker om fuzzy sets står det ret ofte, at teorien om fuzzyness er en selvstændig gren af ​​anvendt matematik og ikke er relateret til sandsynlighedsteori (se f.eks. en gennemgang af litteraturen i monografier). Forfattere, der sammenlignede fuzzy teori og sandsynlighedsteori, understregede normalt forskellen mellem disse områder af teoretisk og anvendt forskning. Normalt sammenlignes aksiomatik, og anvendelsesområder sammenlignes. Det skal straks bemærkes, at argumenterne for den anden type sammenligninger ikke har beviskraft, da der er forskellige meninger om grænserne for anvendeligheden af ​​selv et så veletableret videnskabeligt område som probabilistiske statistiske metoder. Lad os huske på, at resultatet af ræsonnementet fra en af ​​de mest berømte franske matematikere, Henri Lebesgue, angående grænserne for aritmetikkens anvendelighed er som følger: "Aritmetik er anvendeligt, når det er anvendeligt" (se hans monografi).

Når man sammenligner forskellige aksiomatikker for fuzzy teori og sandsynlighedsteori, er det let at se, at listerne over aksiomer er forskellige. Heraf følger det dog slet ikke, at der ikke kan etableres en sammenhæng mellem disse teorier, såsom den velkendte reduktion af euklidisk geometri på planet til aritmetik (mere præcist til teorien om talsystemet - se bl.a. for eksempel monografien). Lad os huske på, at disse to aksiomatikker - euklidisk geometri og aritmetik - ved første øjekast er meget forskellige.

Man kan forstå ønsket fra entusiaster af den nye retning om at understrege den grundlæggende nyhed i deres videnskabelige apparat. Det er dog lige så vigtigt at etablere forbindelser mellem den nye tilgang og tidligere kendte.

Som det viser sig, er teorien om fuzzy mængder tæt forbundet med teorien om tilfældige mængder. Tilbage i 1974 blev det vist i værket, at fuzzy sets naturligvis kan betragtes som "projektioner" af tilfældige sæt. Lad os overveje denne metode til at reducere teorien om fuzzy sæt til teorien om tilfældige mængder.

Definition 2.Lade - en tilfældig delmængde af en endelig mængde Y. Et fuzzy sæt B defineret på Y kaldes en projektion A og betegnes Proj A, hvis

(7)

foran alle

Det er klart, hvert tilfældigt sæt EN kan korreleres ved hjælp af formel (7) med et fuzzy sæt B = Projekt A. Det viser sig, at det modsatte også er sandt.

Sætning 3. For enhver fuzzy delmængde B af en endelig mængde Y er der en tilfældig delmængde A af Y, således at B = Proj A.

Bevis. Det er nok at indstille fordelingen af ​​det tilfældige sæt EN. Lade U 1- transportør I(se definition 1 ovenfor). Uden tab af almenhed kan vi antage det hos nogle m og elementer U 1 nummereret i en sådan rækkefølge, at

Lad os introducere sæt

For alle andre undersæt x sæt U lad os sætte P(A=X)=0. Siden elementet y t inkluderet i sættet Y(1), Y(2),..., Y(t) og indgår ikke i sæt Y(t+1),…, Y(m), At Af ovenstående formler følger det Hvis så, selvfølgelig, sætning 3 er bevist.

Fordelingen af ​​et tilfældigt sæt med uafhængige elementer, som følger af overvejelserne i kapitel 8, er fuldstændig bestemt af dets fremskrivning. For et endeligt tilfældigt sæt af generel form er dette ikke tilfældet. For at præcisere ovenstående har vi brug for følgende sætning.

Sætning 4. For en tilfældig delmængde A af en mængde Y fra en endelig antal elementer sæt af tal Og kommer til udtryk gennem hinanden.

Bevis. Det andet sæt er udtrykt som det første som følger:

Elementerne i det første sæt kan udtrykkes gennem det andet ved hjælp af formlen for indeslutninger og udelukkelser fra formel logik, ifølge hvilken

I denne formel i den første sum på løber gennem alle sættets elementer Y\X, i den anden sum summeringsvariablerne ved 1 Og kl 2 ikke falder sammen og løber også igennem dette sæt osv. En henvisning til inklusions- og eksklusionsformlen fuldender beviset for sætning 4.

I overensstemmelse med sætning 4 kan et tilfældigt sæt A karakteriseres ikke kun ved en fordeling, men også ved et sæt tal Der er ingen andre relationer af ligestillingstypen i dette sæt. Dette sæt inkluderer tal; derfor svarer det at fikse projektionen af ​​et tilfældigt sæt til at fikse k = Kort(Y) parametre fra (2k-1) parametre, der definerer fordelingen af ​​et tilfældigt sæt EN generelt.

Følgende sætning vil være nyttig.

Sætning 5. Hvis Projekt A = B, At

For at bevise det er det nok at bruge identiteten fra teorien om tilfældige mængder, formlen for dækningssandsynligheden fra kapitel 8, definitionen af ​​negationen af ​​en fuzzy mængde og det faktum, at summen af ​​alle P(A= X) er lig med 1.

P2-4. Skæringspunkter og produkter af fuzzy og tilfældige sæt

Lad os finde ud af, hvordan operationer på tilfældige sæt relaterer sig til operationer på deres projektioner. I kraft af De Morgans love (sætning 1) og sætning 5 er det tilstrækkeligt at overveje operationen af ​​skæringspunktet mellem tilfældige mængder.

Sætning 6. Hvis tilfældige delmængder A 1 og A 2 af en endelig mængde y er uafhængige, så det fuzzy sæt er et værk fuzzy sæt Proj A 1 og Proj A 2 .

Bevis. Det skal vises, at for evt

Ifølge formlen for sandsynligheden for at dække et punkt med et tilfældigt sæt (kapitel 8)

Som det er kendt, kan fordelingen af ​​skæringspunktet mellem tilfældige sæt udtrykkes i form af deres fælles fordeling som følger:

Af relationer (9) og (10) følger det, at dækningssandsynligheden for skæringen af ​​tilfældige mængder kan repræsenteres som en dobbeltsum

Bemærk nu, at højre side af formel (11) kan omskrives som følger:

(12)

Faktisk adskiller formel (11) sig kun fra formel (12) ved, at den grupperer termer, hvor skæringspunktet mellem summeringsvariablerne har en konstant værdi. Ved at bruge definitionen af ​​uafhængighed af tilfældige mængder og reglen for multiplikation af summer, får vi, at fra (11) og (12) følger ligheden

For at fuldende beviset for sætning 6 er det nok endnu en gang at henvise til formlen for sandsynligheden for at dække et punkt med en tilfældig mængde (kapitel 8).

Definition 3. Understøttelsen af ​​et tilfældigt sæt C er samlingen af ​​alle disse elementer for hvilket

Sætning 7.Lighed

sandt, hvis og kun hvis skæringspunktet mellem de tilfældige sæts understøtninger Og tom.

Bevis. Det er nødvendigt at finde ud af, under hvilke betingelser

Så reduceres lighed (13) til betingelsen

Det er klart, at relation (14) er opfyldt hvis og kun hvis p 2 p 3=0 for alle dvs. der er ikke et enkelt element sådan på samme tid Og , og dette svarer til tomheden af ​​skæringspunktet mellem understøtningerne af tilfældige sæt og . Sætning 7 er bevist.

P2-5. Reduktion af rækkefølgen af ​​operationer på fuzzy sæt

til en sekvens af operationer på tilfældige sæt

Ovenfor fik vi nogle forbindelser mellem fuzzy og tilfældige sæt. Det er værd at bemærke, at studiet af disse sammenhænge i arbejdet (dette arbejde blev udført i 1974 og rapporteret på seminaret "Multidimensional statistisk analyse og probabilistisk modellering af reelle processer" den 18. december 1974 - se) begyndte med introduktionen af tilfældige sæt med henblik på udvikling og generaliseringsapparat af fuzzy sæt L. Zadeh. Faktum er, at det matematiske apparat af fuzzy sæt ikke tillader en tilstrækkeligt at tage højde for forskellige muligheder for afhængigheden mellem begreber (objekter), der er modelleret med dens hjælp; det er ikke fleksibelt nok. For at beskrive den "fælles del" af to fuzzy sæt er der kun to operationer - produkt og kryds. Hvis den første af dem anvendes, så antages det faktisk, at mængderne opfører sig som projektioner af uafhængige tilfældige mængder (se sætning 6 ovenfor). Operationen af ​​skæringspunktet pålægger også veldefinerede begrænsninger for typen af ​​afhængighed mellem mængder (se sætning 7 ovenfor), og i dette tilfælde er der fundet nødvendige og tilstrækkelige betingelser. Det er ønskeligt at have bredere muligheder for at modellere afhængigheder mellem sæt (koncepter, objekter). Brugen af ​​det matematiske apparat af tilfældige mængder giver sådanne muligheder.

Formålet med at reducere fuzzy mængder til tilfældige er at se bag enhver konstruktion af fuzzy mængder en konstruktion af tilfældige mængder, der bestemmer egenskaberne for den første, på samme måde som vi ser en stokastisk variabel med en sandsynlighedsfordelingstæthed. I dette afsnit præsenterer vi resultater om reduktion af algebraen for fuzzy mængder til algebraen af ​​tilfældige mængder.

Definition 4.Sandsynlighedsrum { W, G, P)vi kalder det deleligt hvis for ethvert målbart sæt X G og ethvert positivt tal, mindre end P(X), kan vi angive et målbart sæt, således at

Eksempel. Lad være enhedsterningen af ​​et finitdimensionelt lineært rum, G er sigma-algebraen for Borel-sæt, og P- Lebesgue-mål. Derefter { W, G, P)- delbart sandsynlighedsrum.

Delbart sandsynlighedsrum er således ikke eksotisk. En almindelig terning er et eksempel på et sådant rum.

Beviset for udsagnet formuleret i eksemplet udføres ved hjælp af standard matematiske teknikker, baseret på det faktum, at et målbart sæt kan tilnærmes så nøjagtigt som ønsket af åbne mængder, hvor sidstnævnte er repræsenteret som en sum af ikke mere end et tælleligt tal af åbne bolde, og for bolde kontrolleres deleligheden direkte (fra en bold X et volumenlegeme adskilt af et tilsvarende plan).

Sætning 8.Lad et tilfældigt sæt A være givet på et deleligt sandsynlighedsrum (W, G, P) med værdier i mængden af ​​alle delmængder af mængden Y fra et endeligt antal elementer, og et fuzzy sæt D på Y. Så er der tilfældige mængder C 1, C 2, C 3, C 4 på samme sandsynlighedsrum sådan, at

hvor B = Proj A.

Bevis. På grund af gyldigheden af ​​De Morgans love for fuzzy (se sætning 1 ovenfor) og for tilfældige mængder, samt sætning 5 ovenfor (om negationer), er det tilstrækkeligt at bevise eksistensen af ​​tilfældige mængder C 1 Og C 2 .

Overvej sandsynlighedsfordelingen i mængden af ​​alle delmængder af mængden U, svarende til det tilfældige sæt MED sådan at Projekt C = D(det eksisterer i kraft af sætning 3). Lad os bygge et tilfældigt sæt C 2 Vi udelukker kun elementet for af samme sæt Y sådan, at

og desuden er resultaterne af mængdeteoretiske operationer forbundet med lignende relationer

hvor tegnet betyder, at der på det pågældende sted er et symbol på skæringspunktet mellem tilfældige mængder, hvis der i definitionen af ​​B m er et skæringssymbol eller et symbol på produktet af fuzzy sæt, og følgelig et symbol på foreningen af ​​tilfældige mængder, hvis der i B m er et foreningssymbol eller et symbol på summen af ​​fuzzy mængder.

De overvejede operationer på mængder er underlagt visse love, der ligner talalgebraens velkendte elementære love. Dette bestemmer navnet sæt algebra, som ofte kaldes boolsk algebra af mængder, som er forbundet med navnet på den engelske matematiker John Boole, som baserede sin logiske forskning på ideen om en analogi mellem algebra og logik.

For vilkårlige sæt A, B og C er følgende identiteter gyldige (tabel 3.1):

Tabel 3.1

1. Lov om identitet
2. Fagforeningens kommutativitet	2'. Kommutativitet af kryds
3. Foreningsassociativitet	3'. Skæringsassociativitet
4. Fordeling af en fagforening med hensyn til kryds	4'. Fordeling af kryds i forhold til forening
5. Love for handling med tom og universelle sæt (loven om den udelukkede midterste)	5'. Handlingslove med tomme og universelle sæt (modsigelseslov)
6. Lov om fagforenings idempotens	6'. Lov om Idempotens af skæringspunkt
7. De Morgans lov	7'. De Morgans lov
8. Lov om eliminering (absorption)	8'. Loven om eliminering (absorption)
9. Lov om limning	9'. Lov om binding
10. Poretskys lov	10'. Poretskys lov
11. Involutionslov (dobbelt komplement)

Lovene for mængdealgebra i forhold til operationerne af kryds () og forening () er underlagt princippet om dualitet: hvis i en lov er alle skæringstegn erstattet af foreningstegn, og alle foreningstegn erstattes af skæringstegn , erstattes universtegnet (U) af det tomme sæt-tegn (Ø), og det tommes fortegn er universets tegn, så opnår vi igen den korrekte identitet. Eksempelvis (i kraft af dette princip) følger det mv.

3.1. Bekræftelse af sandheden af ​​identiteter ved hjælp af Euler-Venn-diagrammer

Alle love for mængdealgebra kan repræsenteres visuelt og bevises ved hjælp af Euler-Venn-diagrammer. For at gøre dette skal du bruge:

Tegn det tilsvarende diagram og skygge alle sætene på venstre side af ligheden.

Tegn et andet diagram og gør det samme for højre side af ligningen.

Denne identitet er sand, hvis og kun hvis det samme område er skraveret i begge diagrammer.

Bemærkning 3.1. To krydsende cirkler deler hele det universelle sæt i fire områder (se fig. 3.1)

Bemærkning 3.2. Tre krydsende cirkler deler hele det universelle sæt i otte områder (se fig. 3.2):

Bemærkning 3.2. Når man skriver betingelserne for forskellige eksempler, bruges følgende notation ofte:

 - af... følger det...;

 - hvis og kun hvis... .

Opgave 3.1 . Forenkle sæt algebraudtryk:

Løsning.

Opgave 3 .2 . Bevis identiteter:

(AB)\B = A\B;

A(BC) = A\(A\B)(A\C).

Løsning.

Opgave 3.3 . Bevis følgende sammenhænge på to måder: ved hjælp af diagrammer og ved hjælp af definitionen af ​​lighed af mængder.

Løsning.

2. Bevis ved hjælp af definitionen af ​​lighed af mængder.

Per definition er mængderne X og Y ens, hvis følgende relationer samtidig er opfyldt: XY og YX.

Først viser vi det
. Lade x– et vilkårligt element i sættet
, det er x
. Det betyder at xU og x
. Det følger heraf, at xA eller xB. Hvis x Åh, så xĀ, hvilket betyder
. Hvis xB altså
, hvilket betyder
. Således hvert element i sættet.
. er også en del af sættet
Det er

Nu vil vi bevise det modsatte, altså det
. Lade
. Hvis xĀ altså xU og xOg det betyder xAB. Den følger det
. Hvis
, At xU og xB. Midler, xAB, altså
. Det følger, at hvert element i sættet
er også en del af sættet
, det er
.

Midler,
, hvilket var det, der skulle bevises.

A(BC) = (AB)(AC);

1. Bevis ved hjælp af et diagram:

Lade xA(BC). Derefter xA og xBC. Hvis xB altså xAB, hvilket ikke modsiger, hvad der blev sagt, hvilket betyder x(AB)(AC). Hvis xС altså xAC. Derfor, x(AB)(AC). Så det er blevet bevist, at A(BC)  (AB)(AC.

Lad det nu x (AB)(AC). Hvis xAB altså xA og xB. Den følger det xA og xВС, altså xA(BC). Hvis xАС, altså xA og xS. Det følger heraf, at xA og xВС, altså xA(BC). Således (AB)(AC) A(BC). Derfor er A(BC) = (AB)(AC). Q.E.D.

Da vi beviste tilstrækkeligheden, fandt vi, at AB=. Det er indlysende, at С, så forholdet er bevist. I beviset blev det mest generelle tilfælde taget i betragtning. Men nogle andre muligheder er mulige, når du konstruerer diagrammer. For eksempel tilfældet med lighed AB=C eller
, tilfælde af tomme sæt og så videre. Det kan naturligvis være svært at tage højde for alle mulige muligheder. Derfor menes det, at det ikke altid er korrekt at bevise sammenhænge ved hjælp af diagrammer.

2. Bevis ved hjælp af definitionen af ​​lighed af mængder.

Nødvendighed. Lad ABC og element xA. Lad os vise, at i dette tilfælde vil et element i mængden A også være et element i mængden
.

Lad os overveje to tilfælde: xB eller
.

Hvis xB altså xABC, altså xC, og som en konsekvens af dette,
.

Hvis
, derefter
. Behovet er bevist.

Lad det nu
Og xAB. Lad os vise, at elementet x vil også være et element i sættet C.

Hvis xAB altså xA og xB. Fordi
, Midler xS. Tilstrækkelighed er blevet bevist.

1. Bevis ved hjælp af et diagram:

2. Bevis ved hjælp af definitionen af ​​lighed af mængder.

Lad AB. Overvej elementet xB (eller
). Ligeledes: xA (eller xĀ). Det vil sige hvert element i sættet er også et element i sættet Â. Og dette kan være tilfældet, hvis
. Q.E.D.

Opgave 3.4. Udtryk de angivne områder symbolsk og forenkle de resulterende udtryk.

Løsning.

Det ønskede område består af to isolerede dele. Lad os kalde dem top og bund. Det sæt, de repræsenterer, kan beskrives som følger:

M = ( x xA og xI og xC eller xC og xA og xB).

Fra definitionen af ​​operationer på sæt får vi:

M = ((AB)\C)(C\A\B).

Lad os skrive dette udtryk ved at bruge de grundlæggende operationer - addition, forening og skæring:

Det er umuligt at forenkle dette udtryk, da vi har én forekomst af hver karakter. Dette er den enkleste form for denne formel.

Dette område kan betragtes som en forening af sættene A\B\C og ABC. Per definition M = ( x xA og xB og xC eller xA og xI og xC). Lad os forenkle:

Problemer til selvstændig løsning.

1. Forenkle:

2. Bevis ved hjælp af diagrammer, lovene for mængdealgebra og definitionen af ​​lighed mellem mængder:

(AB)\B = A\B;

A(BC) = A\(A\B)(A\C);

AB = AB  A=B;

A\B =   AB = A.

3. Find ud af, om der er et sæt X, der opfylder ligheden for ethvert A:

AX = A; (svar );

De Morgans love er logiske regler etableret af den skotske matematiker Augustus de Morgan, der forbinder par af logiske operationer ved hjælp af logisk negation.

Augustus de Morgan bemærkede, at i klassisk logik er følgende relationer gyldige:

ikke (A og B) = (ikke A) eller (ikke B)

ikke (A eller B) = (ikke A) og (ikke B)

I en mere velkendt form for os, kan disse relationer skrives i følgende form:



De Morgans love kan formuleres som følger:

I de Morgans lov: Negationen af ​​adskillelsen af ​​to simple udsagn svarer til konjunktionen af ​​negationerne af disse udsagn.

II de Morgans lov: Negationen af ​​konjunktionen af ​​to simple udsagn svarer til disjunktionen af ​​negationerne af disse udsagn.

Lad os overveje anvendelsen af ​​De Morgans love ved at bruge specifikke eksempler.

Eksempel 1. Transformer formlen, så der ikke er nogen negationer af komplekse udsagn.

Lad os bruge De Morgans første lov og få:

Vi anvender De Morgans anden lov på negationen af ​​konjunktionen af ​​simple udsagn B og C, og vi opnår:

,

Dermed:

.

Som et resultat modtog vi et tilsvarende udsagn, hvor der ikke er nogen negationer af sammensatte udsagn, og alle negationer vedrører kun simple udsagn.

Du kan kontrollere gyldigheden af ​​løsningen ved hjælp af sandhedstabeller. For at gøre dette vil vi kompilere sandhedstabeller for den oprindelige erklæring:

og for erklæringen opnået som et resultat af transformationer udført ved hjælp af De Morgans love:

.

Tabel 1.

			B/\C	A\/B/\C



Som vi kan se i tabellerne, er den oprindelige logiske sætning og den logiske erklæring opnået ved hjælp af De Morgans love ækvivalente. Dette bevises af, at vi i sandhedstabellerne modtog identiske værdisæt.

Formler og logiske love

Under den indledende lektion vedr grundlæggende matematisk logik, stiftede vi bekendtskab med de grundlæggende begreber i denne gren af ​​matematikken, og nu får emnet en naturlig fortsættelse. Udover nyt teoretisk, eller rettere ikke engang teoretisk - men generelt undervisningsmateriale, venter der os praktiske opgaver, og derfor er du kommet til denne side fra en søgemaskine og/eller er dårligt bevandret i materialet, så følg venligst ovenstående link og start fra den forrige artikel. Derudover skal vi bruge 5 til praksis sandhedstabeller logiske operationer som jeg Stærkt anbefale omskrive i hånden.

HUSK IKKE, print det IKKE ud, men begribe det hellere igen og skriv det om på papir med din egen hånd - så de er foran dine øjne:

– tabel IKKE;
– tabel I;
– ELLER tabel;
– implikationstabel;
– ækvivalens tabel.

Det er meget vigtigt. I princippet ville det være praktisk at nummerere dem "Tabel 1", "Tabel 2" osv., men jeg har gentagne gange understreget fejlen ved denne tilgang - som de siger, i en kilde vil tabellen være først, og i en anden - hundrede og første. Derfor vil vi bruge "naturlige" navne. Lad os fortsætte:

Faktisk er du allerede bekendt med begrebet en logisk formel. Jeg vil give dig en standard, men ret vittig definition: formler propositionalgebraer kaldes:

1) alle elementære (simple) udsagn;

2) hvis og er formler, så er formler også udtryk for formen
.

Der er ingen andre formler.

Især en formel er enhver logisk operation, såsom logisk multiplikation. Vær opmærksom på det andet punkt - det tillader det rekursiv måde at "skabe" en vilkårligt lang formel. Fordi - formler, så - også en formel; da og er formler, altså – også en formel osv. Enhver elementær erklæring (igen ifølge definition) kan indgå i formlen mere end én gang.

Formel Ikke er for eksempel en notation - og her er der en åbenlys analogi med "algebraisk skrald", hvoraf det ikke fremgår, om tal skal lægges til eller ganges.

Den logiske formel kan opfattes som logisk funktion. Lad os skrive den samme konjunktion i funktionel form:


Elementære udsagn i dette tilfælde spiller også rollen som argumenter (uafhængige variabler), som i klassisk logik kan antage 2 betydninger: rigtigt eller ligge. Nedenfor vil jeg for nemheds skyld nogle gange kalde simple udsagn variabler.

En tabel, der beskriver en logisk formel (funktion), kaldes, som det allerede er blevet sagt, sandhedstabel. Venligst - et kendt billede:

Princippet om at danne en sandhedstabel er som følger: "ved input" skal du liste alle mulige kombinationer sandheder og løgne, som kan tage elementære udsagn (argumenter). I dette tilfælde indeholder formlen to udsagn, og det er let at finde ud af, at der er fire sådanne kombinationer. "Ved udgangen" får vi de tilsvarende logiske værdier af hele formlen (funktionen).

Det skal siges, at "udgangen" her viste sig at være "i ét trin", men i det generelle tilfælde er den logiske formel mere kompleks. Og i sådanne "vanskelige tilfælde" skal du overholde rækkefølge for udførelse af logiske operationer:

– negation udføres først;
– for det andet – konjunktion;
– derefter – disjunktion;
– derefter implikation;
– og endelig har ækvivalens den laveste prioritet.

Så for eksempel indebærer indtastningen, at du først skal udføre logisk multiplikation og derefter logisk addition: . Ligesom i "almindelig" algebra - "først multiplicerer vi, og så adderer vi."

Rækkefølgen af ​​handlinger kan ændres på sædvanlig måde - med parenteser:
– her udføres først disjunktionen og først derefter en "stærkere" operation.

Det forstår sikkert alle, men for en sikkerheds skyld, brandmand: og dette to forskellige formler! (både formelt og indholdsmæssigt)

Lad os lave en sandhedstabel for formlen. Denne formel indeholder to elementære udsagn, og "ved inputtet" skal vi liste alle mulige kombinationer af enere og nuller. For at undgå forvirring og uoverensstemmelser er vi enige om at liste kombinationerne strengt taget i nævnte rækkefølge (som jeg faktisk de facto bruger helt fra starten):

Formlen inkluderer to logiske operationer, og i henhold til deres prioritet skal du først og fremmest udføre negation udsagn. Nå, lad os benægte "pe"-kolonnen - vi gør et til nuller og nuller til et:

I andet trin ser vi på kolonnerne og anvender dem ELLER operation. Ser jeg lidt fremad, vil jeg sige, at disjunktionen er kommutativ (og er det samme), og derfor kan kolonnerne analyseres i sædvanlig rækkefølge - fra venstre mod højre. Når du udfører logisk tilføjelse, er det praktisk at bruge følgende anvendte ræsonnement: "Hvis der er to nuller, sætter vi et nul, hvis der er mindst et, sætter vi et.":

Sandhedstabellen er blevet konstrueret. Lad os nu huske den gode gamle implikation:

...omhyggeligt, omhyggeligt... ser på de samlede kolonner.... I propositionalgebra kaldes sådanne formler tilsvarende eller identisk:

(tre vandrette linjer er et identitetsikon)

I 1. del af lektionen lovede jeg at udtrykke implikationen gennem grundlæggende logiske operationer, og opfyldelsen af ​​løftet lod ikke vente på sig! De, der ønsker det, kan lægge meningsfuld mening i implikationen (f.eks. "Hvis det regner, er det fugtigt udenfor") og selvstændigt analysere det tilsvarende udsagn.

Lad os formulere generel definition: de to formler kaldes tilsvarende (identisk), hvis de tager de samme værdier for ethvert sæt værdier, der er inkluderet i disse variable formler (elementære udsagn). Det siges også "formler er ækvivalente, hvis deres sandhedstabeller falder sammen", men jeg kan ikke rigtig lide denne sætning.

Øvelse 1

Opret en sandhedstabel for formlen, og sørg for, at den identitet, du kender, er korrekt.

Lad os gentage rækkefølgen for at løse problemet igen:

1) Da formlen indeholder to variable, vil der være i alt 4 mulige sæt nuller og ettaller. Vi skriver dem ned i den ovenfor angivne rækkefølge.

2) Implikationer er "svagere" end konjunktioner, men de er sat i parentes. Vi udfylder kolonnen, og det er praktisk at bruge følgende anvendte ræsonnement: "hvis et nul følger af en, så sætter vi nul, i alle andre tilfælde - en". Dernæst udfylder vi kolonnen for implikation, og samtidig, opmærksomhed!– kolonner skal analyseres "fra højre mod venstre"!

3) Og på den sidste fase, udfyld den sidste kolonne. Og her er det praktisk at tænke sådan her: "hvis der er to enheder i kolonnerne, så sætter vi en, i alle andre tilfælde - nul".

Og til sidst tjekker vi sandhedstabellen ækvivalens .

Grundlæggende ækvivalenser af propositionalgebra

Vi har lige mødt to af dem, men sagen er selvfølgelig ikke begrænset til dem. Der er en del identiteter, og jeg vil liste de vigtigste og mest berømte af dem:

Kommutativitet af konjunktion og kommutativitet af disjunktion

Kommutativitet- dette er omskiftelighed:


Regler kendt fra 1. klasse: "Produktet (summen) ændres ikke ved at omarrangere faktorerne (tilføjer)". Men på trods af den tilsyneladende elementære karakter af denne egenskab, er den ikke altid sand; især er den ikke-kommutativ matrix multiplikation (generelt kan de ikke omarrangeres), A vektorprodukt af vektorer– antikommutativ (omlejring af vektorer medfører en ændring af fortegn).

Og desuden vil jeg her igen understrege den matematiske logiks formalisme. Altså f.eks. sætningerne "Eleven bestod eksamen og drak" Og "Eleven drak og bestod eksamen" forskellig fra et indholdsmæssigt synspunkt, men ude af skel fra den formelle sandhedssynspunkt. ...hver af os kender sådanne elever, og af etiske årsager vil vi ikke udtale specifikke navne =)

Associativitet af logisk multiplikation og addition

Eller, hvis "i skolestil" - en koordinerende egenskab:


Fordelingsegenskaber

Bemærk venligst, at det i 2. tilfælde vil være forkert at tale om at "åbne parenteserne"; i en vis forstand er dette en "fiktion" - trods alt kan de fjernes helt: , fordi multiplikation er en stærkere operation.

Og igen er disse tilsyneladende "banale" egenskaber ikke opfyldt i alle algebraiske systemer og kræver desuden bevis (som vi vil tale om meget snart). I øvrigt er den anden fordelingslov ikke gyldig selv i vores "almindelige" algebra. Og faktisk:

Idempotensloven

Hvad skal man gøre, latin...


Bare et eller andet princip for en sund psyke: "Jeg og jeg er mig", "Jeg eller jeg er også mig" =)

Og her er flere lignende identiteter:


...hmm, jeg sidder lidt fast... så jeg vågner måske op med en ph.d. i morgen =)

Lov om dobbelt negation

Nå, her antyder et eksempel med det russiske sprog sig selv - alle ved udmærket, at to partikler "ikke" betyder "ja". Og for at forstærke den følelsesmæssige konnotation af benægtelse, bruges tre "ikke" ofte:
– selv med et lille stykke bevis virkede det!

Absorptionslovene

- "Var der en dreng?" =)

I den rigtige identitet kan parenteserne udelades.

De Morgans love

Lad os antage, at den strenge lærer (hvis navn du også kender :)) aflægger eksamen, hvis - Eleven besvarede 1. spørgsmål Og – Eleven besvarede 2. spørgsmål. Så en erklæring, der siger det Studerende Ikke bestået eksamen, vil svare til erklæringen – Studerende Ikke besvarede 1. spørgsmål eller til 2. spørgsmål.

Som nævnt ovenfor er ækvivalenser underlagt bevis, som normalt udføres ved hjælp af sandhedstabeller. Faktisk har vi allerede bevist ækvivalenserne, der udtrykker implikation og ækvivalens, og nu er det tid til at konsolidere teknikken til at løse dette problem.

Lad os bevise identiteten. Da den indeholder en enkelt sætning, er der kun to mulige muligheder ved input: en eller nul. Dernæst tildeler vi en enkelt kolonne og anvender dem regel I:

Som et resultat er outputtet en formel, hvis sandhed falder sammen med udsagnets sandhed. Ækvivalens er blevet bevist.

Ja, dette bevis er primitivt (og nogle vil sige "dum"), men en typisk matematiklærer vil ryste sin sjæl for ham. Derfor bør selv sådanne simple ting ikke behandles med foragt.

Lad os nu kontrollere, for eksempel, gyldigheden af ​​de Morgans lov.

Lad os først oprette en sandhedstabel til venstre side. Da disjunktionen er i parentes, udfører vi den først, hvorefter vi negerer kolonnen:

Lad os derefter oprette en sandhedstabel til højre side. Også her er alt gennemsigtigt - først og fremmest udfører vi "stærkere" negationer og anvender dem derefter på kolonnerne regel I:

Resultaterne faldt sammen, og dermed blev identiteten bevist.

Enhver ækvivalens kan repræsenteres i formularen identisk med den sande formel. Det betyder at FOR ETHVERT indledende sæt af nuller og enere"Outputtet" er strengt taget ét. Og der er en meget simpel forklaring på dette: da sandhedstabellerne falder sammen, så er de selvfølgelig ækvivalente. Lad os for eksempel forbinde venstre og højre side af den netop beviste de Morgan-identitet ved ækvivalens:

Eller mere kompakt:

Opgave 2

Bevis følgende ækvivalenser:

b)

En kort løsning i slutningen af ​​lektionen. Lad os ikke være dovne! Prøv ikke kun at skabe sandhedstabeller, men også klart formulere konklusioner. Som jeg for nylig bemærkede, kan det være meget, meget dyrt at forsømme simple ting!

Vi fortsætter med at stifte bekendtskab med logikkens love!

Ja, det er helt rigtigt – vi arbejder allerede hårdt med dem:

Rigtigt på , hedder identisk med den sande formel eller logikkens lov.

På grund af den tidligere begrundede overgang fra ækvivalens til en identisk sand formel repræsenterer alle de ovenfor anførte identiteter logiske love.

Formel, der tager værdi Ligge på ethvert sæt værdier af variablerne inkluderet i det, hedder identisk falsk formel eller modsigelse.

Et signatureksempel på en modsigelse fra de gamle grækere:
- intet udsagn kan være sandt og falsk på samme tid.

Beviset er trivielt:

"Outputtet" indeholder kun nuller, derfor er formlen virkelig identisk falsk.

Men enhver modsigelse er også en logisk lov, især:

Det er umuligt at dække et så stort emne i en enkelt artikel, og derfor vil jeg begrænse mig til nogle få flere love:

Loven om den udelukkede midterste

– i klassisk logik er ethvert udsagn sandt eller falsk, og der er ingen tredje mulighed. "To be or not to be" - det er spørgsmålet.

Lav selv et sandhedstegn, og sørg for, at det er det identisk sandt formel.

Lov om modsætning

Denne lov blev aktivt diskuteret, da vi diskuterede essensen nødvendig betingelse, vi husker: "Hvis det er fugtigt udenfor, når det regner, så følger det, at hvis det er tørt udenfor, så har det bestemt ikke regnet.".

Det følger også af denne lov, at hvis fair er lige teorem, så udsagnet, som nogle gange kaldes modsat teorem.

Hvis sandt baglæns sætning, så er sætningen i kraft af modsætningsloven også gyldig, det modsatte af det omvendte:

Og lad os igen vende tilbage til vores meningsfulde eksempler: for udsagn – tallet er deleligt med 4, – tallet er deleligt med 2 retfærdig lige Og modsat teoremer, men falske baglæns Og det modsatte af det omvendte teoremer. For den "voksne" formulering af Pythagoras sætning er alle 4 "retninger" sande.

Lov om syllogisme

Også en klassiker i genren: "Alle ege er træer, alle træer er planter, derfor er alle ege planter.".

Nå, her vil jeg gerne igen bemærke den matematiske logiks formalisme: hvis vores strenge lærer tror, ​​at en bestemt elev er et egetræ, så er denne elev fra et formelt synspunkt bestemt en plante =) ... selvom, hvis tænker du over det, så måske også fra en uformel synsvinkel = )

Lad os oprette en sandhedstabel for formlen. I overensstemmelse med prioriteringen af ​​logiske operationer overholder vi følgende algoritme:

1) vi udfører implikationerne og . Generelt kan du med det samme udføre den 3. implikation, men det er mere bekvemt (og acceptabelt!) finde ud af det lidt senere;

2) gælder for kolonner regel I;

3) nu udfører vi;

4) og på det sidste trin anvender vi implikationen på kolonnerne Og .

Du er velkommen til at styre processen med din pege- og langfinger :))


Fra den sidste spalte tror jeg, at alt er klart uden kommentarer:
, hvilket var det, der skulle bevises.

Opgave 3

Find ud af, om følgende formel er en logisk lov:


En kort løsning i slutningen af ​​lektionen. Åh, og jeg glemte næsten - lad os blive enige om at liste de originale sæt af nuller og ener i nøjagtig samme rækkefølge, som når vi beviser loven om syllogisme. Linjerne kan selvfølgelig omarrangeres, men det vil gøre det meget svært at sammenligne med min løsning.

Konvertering af logiske formler

Ud over deres "logiske" formål bruges ækvivalenser i vid udstrækning til at transformere og forenkle formler. Groft sagt kan en del af identiteten byttes ud med en anden. Så hvis du for eksempel i en logisk formel støder på et fragment, så kan (og bør) du ifølge loven om idempotens i stedet for det skrive simpelthen . Hvis du ser, så i henhold til loven om absorption, forenkle notationen til. Og så videre.

Derudover er der en mere vigtig ting: identiteterne er gyldige ikke kun for elementære udsagn, men også for vilkårlige formler. For eksempel:



, hvor – evt (så komplekst som du vil) formler.

Lad os for eksempel transformere den komplekse implikation (1. identitet):


Dernæst anvender vi den "komplekse" de Morgans lov på parentesen, og på grund af prioriteringen af ​​operationer er det loven, hvor :


Parenteserne kan fjernes, pga indeni er der en "stærkere" konjunktion:


Nå, med kommutativitet generelt er alt simpelt - du behøver ikke engang at udpege noget ... noget om loven om syllogisme er sunket ind i min sjæl :))


Således kan loven omskrives i en mere indviklet form:


Sig højt den logiske kæde "med en eg, et træ, en plante", og du vil forstå, at den materielle betydning af loven slet ikke har ændret sig ved at omarrangere implikationerne. Bortset fra at formuleringen er blevet mere original.

Lad os som træning forenkle formlen.

Hvor skal man begynde? Først og fremmest skal du forstå rækkefølgen af ​​handlinger: Her anvendes negationen på en hel parentes, som er "fastgjort" til udsagnet med en "lidt svagere" konjunktion. I det væsentlige har vi foran os det logiske produkt af to faktorer: . Af de to resterende operationer har implikation den laveste prioritet, og derfor har hele formlen følgende struktur: .

Typisk er det første skridt at slippe af med ækvivalens og implikation (hvis de er) og reducere formlen til tre grundlæggende logiske operationer. Hvad kan jeg sige... Logisk.

(1) Vi bruger identiteten . Og i vores tilfælde.

Dette efterfølges normalt af "showdowns" med parenteser. Først hele løsningen, så kommentarerne. For at undgå "smør og smør" vil jeg bruge "almindelige" lighedssymboler:


(2) Vi anvender De Morgans lov på de ydre parenteser, hvor .

Absorptionssætning skrevet i to former - disjunktiv og

konjunktiv, henholdsvis:

A + AB = A (16)

A(A + B)=A (17)

Lad os bevise den første sætning. Lad os tage bogstavet A ud af parentes:

EN + AB= A(1 + B)

Ifølge sætning (3) 1 + B = 1, derfor

A(1 + B) = A 1 = A

For at bevise den anden sætning, lad os åbne parenteserne:

A(A + B) = A A + AB = A + AB

Resultatet er et udtryk, der netop er blevet bevist.

Lad os overveje flere eksempler på anvendelsen af ​​absorptionssætningen for

forenkling af booleske formler.

Limsætning har også to former - disjunktiv og

konjunktiv:

Lad os bevise den første sætning:

da ifølge sætninger (5) og (4)



For at bevise den anden sætning, lad os åbne parenteserne:



Ifølge sætning (6) følger det:

Ifølge absorptionssætningen (16) A+AB = A

Absorptionssætningen bruges ligesom limsætningen ved simplificering

booleske formler, for eksempel:



De Morgans sætning forbinder alle tre grundlæggende operationer i boolsk algebra

Disjunktion, konjunktion og inversion:

Den første sætning lyder således: Inversionen af ​​en konjunktion er en disjunktion

inversioner. For det andet: inversionen af ​​en disjunktion er en konjunktion af inversioner. Morgans sætninger kan bevises ved hjælp af sandhedstabeller for venstre og højre side.

De Morgans sætning gælder for flere variable:

Foredrag 5

Invertering af komplekse udtryk

De Morgans teorem gælder ikke kun for individuelle konjunktioner

eller disjunktioner, men også til mere komplekse udtryk.

Lad os finde inversionen af ​​udtrykket AB + CD , præsenteret som en disjunktion af ledsætninger. Vi vil betragte inversion som komplet, hvis negative fortegn kun vises over variablerne. Lad os introducere følgende notation: AB = X;

CD = Y, Derefter

Lad os finde og erstatte i udtryk (22):



Dermed:

Overvej udtrykket præsenteret i konjunktiv form:

(A + B)(C + D)

Lad os finde dens inversion i formen



Lad os introducere følgende notation: A + B = X; C + D =Y, Derefter

Lad os finde og erstatte dem i udtrykket

Dermed:

Når du inverterer komplekse udtryk, kan du bruge følgende regel. For at finde inversionen er det nødvendigt at erstatte konjunktionstegnene med disjunktionstegn og disjunktionstegnene med konjunktionstegn og sætte inversioner over hver variabel:

Konceptet med en boolesk funktion

I generelt funktion (lat. functio - udførelse, compliance,

mapping) er en bestemt regel (lov), ifølge hvilken hvert element i sættet X, repræsenterer rækken af ​​værdier for den uafhængige variabel X, et specifikt element i sættet er tildelt F,

som refererer til rækken af ​​værdier for den afhængige variabel f . I tilfælde af booleske funktioner X = F = (0,1). Den regel, som en funktion angives efter, kan være en hvilken som helst boolsk formel, for eksempel:



Symbol f her betegner en funktion, der ligesom argumenterne for A, B, C, binær variabel.

Argumenter er uafhængige variable, de kan have enhver værdi - enten 0 eller 1. Funktionen f - afhængig variabel. Dens betydning er fuldstændig bestemt af værdierne af variablerne og de logiske forbindelser mellem dem.

Hovedtræk ved en funktion: for at bestemme dens værdi er det generelt nødvendigt at kende værdierne af alle de argumenter, som den afhænger af. For eksempel afhænger ovenstående funktion af tre argumenter A, V, S. Hvis vi tager A = 1, får vi



dvs. der opnås et nyt udtryk, der hverken er lig med nul eller

enhed. Lad det nu I= 1. Derefter



dvs. i dette tilfælde vides det ikke, hvad funktionen er lig med, nul eller en.

Lad os endelig acceptere MED= 0. Så får vi: f = 0. Hvis vi i det oprindelige udtryk tager A = 1, I= 1, MED = 0, så vil funktionen tage nulværdien: f = 0.

Lad os overveje begrebet et sæt af variable værdier .

Hvis alle de argumenter, som en funktion afhænger af, tildeles nogle værdier, så taler vi om et sæt argumentværdier, der kan

kald det bare et sæt. Et sæt argumentværdier er en sekvens af nuller og ettaller, for eksempel 110, hvor det første ciffer svarer til det første argument, det andet til det andet og det tredje til det tredje. Det er klart, at det er nødvendigt på forhånd at blive enige om, hvad det første, andet eller f.eks. femte argument er. For at gøre dette er det praktisk at bruge det alfabetiske arrangement af bogstaver.

For eksempel hvis

så ifølge det latinske alfabet er det første argumentet R, anden -

Q, tredje - X, fjerde - U. Så, baseret på sættet af argumentværdier, er det nemt

find værdien af ​​funktionen. Lad for eksempel få sættet 1001. Ifølge det

poster dvs. på sæt 1001 er den givne funktion lig med én.

Bemærk igen, at sættet af argumentværdier er en samling

nuller og etaller. Binære tal er også sæt af nuller og enere.

Dette rejser spørgsmålet: kan sæt ikke betragtes som binære?

tal? Det er muligt, og i mange tilfælde er det meget praktisk, især hvis det binære

Konverter tallet til decimalsystemet. For eksempel hvis

A = 0, B = 1, C = 1, D = 0,

0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6

dvs. det givne sæt er nummer 6 i decimalsystemet.

Hvis du har brug for at finde værdierne af argumenterne ved hjælp af decimaltallet, så

Vi fortsætter i omvendt rækkefølge: først konverterer vi decimaltallet til binært, derefter tilføjer vi så mange nuller til venstre, så det samlede antal cifre er lig med antallet af argumenter, hvorefter vi finder værdierne af argumenterne.

Lad dig for eksempel finde værdierne af argumenterne A, B, C, D, E, F ved at ringe med nummer 23. Vi konverterer tallet 23 til det binære system ved hjælp af metoden

dividere med to:

Som et resultat får vi 23 10 = 10111 2. Dette tal er på fem cifre, men i alt

Der er seks argumenter, derfor skal du skrive et nul til venstre:

23 10 = 010111 2. Herfra finder vi:

A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.

Hvor mange sæt er der i alt, hvis antallet er kendt? P argumenter? Det er klart, at der er lige så mange n-bit binære tal, som der er, dvs. 2 n

Foredrag 6

Angivelse af en boolesk funktion

Vi kender allerede én vej. Det er analytisk, det vil sige i form af et matematisk udtryk ved hjælp af binære variable og logiske operationer. Ud over dette er der andre metoder, hvoraf den vigtigste er den tabelformede. Tabellen viser alle mulige sæt af argumentværdier og specificerer værdien af ​​funktionen for hvert sæt. Sådan en tabel kaldes en korrespondance-(sandheds-) tabel.

Bruger funktionen som eksempel



Lad os finde ud af, hvordan man bygger en korrespondancetabel til det.

Funktionen afhænger af tre argumenter A, B, C. Derfor i tabellen

Vi giver tre kolonner til argumenterne A, B, C og en kolonne for værdierne af funktion f. Til venstre for kolonne A er det nyttigt at placere en anden kolonne. I den vil vi nedskrive decimaltal, der svarer til mængder, hvis de betragtes som trecifrede binære tal. Denne decimal

kolonnen er introduceret for at gøre det nemmere at arbejde med bordet, derfor i princippet

det kan negligeres.



Lad os udfylde tabellen. I linjen med LLC-nummeret står der:

A = B = C = 0.

Lad os bestemme værdien af ​​funktionen på dette sæt:

I kolonne f skriver vi nul i linjen med skiven 000.

Næste sæt: 001, dvs. e. A = B = 0, C = 1. Find værdien af ​​funktionen

på dette sæt:

På sæt 001 er funktionen 1, derfor i kolonne f i række c

Nummer 001 bruges til at skrive en.

På samme måde beregner vi værdierne af funktionerne på alle andre sæt og

udfylde hele tabellen.