For at løse problemer med komplekse tal skal du forstå de grundlæggende definitioner. Hovedformålet med denne oversigtsartikel er at forklare, hvad komplekse tal er og præsentere metoder til løsning af grundlæggende problemer med komplekse tal. Så et komplekst tal vil blive kaldt et tal af formen z = a + bi, Hvor a, b- reelle tal, som kaldes henholdsvis den reelle og imaginære del af et komplekst tal, og betegner a = Re(z), b=Im(z).
jeg kaldet den imaginære enhed. i2 = -1. Især kan ethvert reelt tal betragtes som komplekst: a = a + 0i, hvor a er ægte. Hvis a = 0 Og b ≠ 0, så kaldes tallet normalt rent imaginært.
Lad os nu introducere operationer på komplekse tal.
Overvej to komplekse tal z 1 = a 1 + b 1 i Og z2 = a2 + b2i.
Lad os overveje z = a + bi.
Mættet af komplekse tal udvider mængden af reelle tal, hvilket igen udvider mængden af rationelle tal osv. Denne kæde af investeringer kan ses på figuren: N – naturlige tal, Z – heltal, Q – rationel, R – reel, C – kompleks. 
Repræsentation af komplekse tal
Algebraisk notation.
Overvej et komplekst tal z = a + bi, kaldes denne form for at skrive et komplekst tal algebraisk. Vi har allerede diskuteret denne form for optagelse i detaljer i det foregående afsnit. Følgende visuelle tegning bruges ret ofte 
Trigonometrisk form.
Af figuren kan det ses, at tallet z = a + bi kan skrives anderledes. Det er indlysende a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, derfor z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
kaldes argumentet for et komplekst tal. Denne repræsentation af et komplekst tal kaldes trigonometrisk form. Den trigonometriske form for notation er nogle gange meget praktisk. For eksempel er det praktisk at bruge det til at hæve et komplekst tal til en heltalspotens, nemlig hvis z = rcos(φ) + rsin(φ)i, At z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, kaldes denne formel Moivres formel.
Demonstrativ form.
Lad os overveje z = rcos(φ) + rsin(φ)i- et komplekst tal i trigonometrisk form, skriv det på en anden form z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, den sidste lighed følger af Eulers formel, så vi har en ny form for at skrive et komplekst tal: z = re iφ, som kaldes vejledende. Denne form for notation er også meget praktisk til at hæve et komplekst tal til en potens: z n = r n e inφ, Her n ikke nødvendigvis et heltal, men kan være et vilkårligt reelt tal. Denne form for notation bruges ret ofte til at løse problemer.
Grundlæggende sætning for højere algebra
Lad os forestille os, at vi har en andengradsligning x 2 + x + 1 = 0. Det er klart, at diskriminanten i denne ligning er negativ, og den har ingen reelle rødder, men det viser sig, at denne ligning har to forskellige komplekse rødder. Så den grundlæggende sætning for højere algebra siger, at ethvert polynomium af grad n har mindst én kompleks rod. Det følger heraf, at ethvert polynomium af grad n har nøjagtig n komplekse rødder, under hensyntagen til deres mangfoldighed. Denne sætning er et meget vigtigt resultat i matematik og er meget brugt. En simpel konsekvens af denne sætning er, at der er nøjagtig n forskellige rødder af grad n af enhed.
Hovedtyper af opgaver
Dette afsnit vil se på hovedtyperne af simple problemer, der involverer komplekse tal. Konventionelt kan problemer, der involverer komplekse tal, opdeles i følgende kategorier.
- Udførelse af simple aritmetiske operationer på komplekse tal.
- Find rødderne af polynomier i komplekse tal.
- Hæve komplekse tal til potenser.
- Udtræk rødder fra komplekse tal.
- Brug af komplekse tal til at løse andre problemer.
Lad os nu se på generelle metoder til at løse disse problemer.
De enkleste aritmetiske operationer med komplekse tal udføres efter reglerne beskrevet i det første afsnit, men hvis komplekse tal præsenteres i trigonometriske eller eksponentielle former, så kan du i dette tilfælde konvertere dem til algebraisk form og udføre operationer efter kendte regler.
At finde rødderne til polynomier kommer normalt til at finde rødderne til en andengradsligning. Antag, at vi har en andengradsligning, hvis dens diskriminant er ikke-negativ, så vil dens rødder være reelle og kan findes i henhold til en velkendt formel. Hvis diskriminanten er negativ, dvs. D = -1∙a 2, Hvor -en er et vist tal, så kan diskriminanten repræsenteres som D = (ia) 2, derfor √D = i|a|, og så kan du bruge den allerede kendte formel for rødderne af en andengradsligning.
Eksempel. Lad os vende tilbage til andengradsligningen nævnt ovenfor x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminerende - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Nu kan vi nemt finde rødderne: 
At hæve komplekse tal til potenser kan gøres på flere måder. Hvis du skal hæve et komplekst tal på algebraisk form til en lille potens (2 eller 3), så kan du gøre dette ved direkte multiplikation, men hvis potensen er større (i opgaver er den ofte meget større), så skal du skriv dette tal i trigonometriske eller eksponentielle former og brug allerede kendte metoder.
Eksempel. Overvej z = 1 + i og hæv det til tiende potens.
Lad os skrive z i eksponentiel form: z = √2 e iπ/4.
Derefter z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Lad os vende tilbage til algebraisk form: z 10 = -32i.
At udtrække rødder fra komplekse tal er den omvendte operation af eksponentiering og udføres derfor på lignende måde. For at udtrække rødder bruges ofte den eksponentielle form for at skrive et tal.
Eksempel. Lad os finde alle rødder af grad 3 af enhed. For at gøre dette, vil vi finde alle rødderne af ligningen z 3 = 1, vi vil lede efter rødderne i eksponentiel form.
Lad os indsætte i ligningen: r 3 e 3iφ = 1 eller r 3 e 3iφ = e 0 .
Derfor: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, derfor φ = 2πk/3.
Forskellige rødder opnås ved φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Derfor er 1, e i2π/3, e i4π/3 rødder.
Eller i algebraisk form: 
Den sidste type problemer omfatter et stort udvalg af problemer, og der er ingen generelle metoder til at løse dem. Lad os give et simpelt eksempel på sådan en opgave:
Find beløbet sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Selvom formuleringen af dette problem ikke involverer komplekse tal, kan det let løses med deres hjælp. For at løse det bruges følgende repræsentationer: 
Hvis vi nu erstatter denne repræsentation i summen, så reduceres problemet til at summere den sædvanlige geometriske progression.
Konklusion
Komplekse tal er meget udbredt i matematik. Denne oversigtsartikel undersøgte de grundlæggende operationer på komplekse tal, beskrev flere typer standardproblemer og beskrev kortfattet generelle metoder til at løse dem for en mere detaljeret undersøgelse af komplekse tals muligheder; bruge speciallitteratur.
Litteratur
FORBUNDSORGAN FOR UDDANNELSE
STATSLIG UDDANNELSESINSTITUT
HØJERE PROFESSIONEL UDDANNELSE
"VORONEZH STATE PÆDAGOGISK UNIVERSITET"
AFDELING FOR AGLEBRA OG GEOMETRI
Komplekse tal
(udvalgte opgaver)
UDDANNENDE KVALIFICERENDE ARBEJDE
speciale 050201.65 matematik
(med yderligere speciale 050202.65 datalogi)
Udført af: 5. års studerende
fysisk og matematisk
fakultet
Videnskabelig rådgiver:
VORONEZH – 2008
1. Introduktion……………………………………………………...…………..…
2. Komplekse tal (udvalgte problemer)
2.1. Komplekse tal i algebraisk form….…………….….
2.2. Geometrisk fortolkning af komplekse tal…………..…
2.3. Trigonometrisk form af komplekse tal
2.4. Anvendelse af teorien om komplekse tal til løsning af ligninger af 3. og 4. grad…………………..……………………………………………………………………
2.5. Komplekse tal og parametre………………………………………………….
3. Konklusion……………………………………………………………………………………….
4. Liste over referencer……………………….………………………………………
1. Introduktion
I skolens matematikpensum introduceres talteori ved hjælp af eksempler på mængder af naturlige tal, heltal, rationaler, irrationaler, dvs. på sættet af reelle tal, hvis billeder fylder hele tallinjen. Men allerede i 8. klasse er der ikke nok udbud af reelle tal, der løser andengradsligninger med en negativ diskriminant. Derfor var det nødvendigt at genopbygge bestanden af reelle tal ved hjælp af komplekse tal, for hvilke kvadratroden af et negativt tal giver mening.
Valget af emnet ”Komplekse tal” som emne for mit afsluttende kvalifikationsarbejde er, at begrebet et komplekst tal udvider elevernes viden om talsystemer, om løsning af en bred klasse af problemer af både algebraisk og geometrisk indhold, om løsning af algebraisk ligninger af enhver grad og om at løse problemer med parametre.
Dette speciale undersøger løsningen på 82 problemer.
Den første del af hovedafsnittet "Komplekse tal" giver løsninger på problemer med komplekse tal i algebraisk form, definerer operationerne addition, subtraktion, multiplikation, division, konjugationsoperationen for komplekse tal i algebraisk form, styrken af en imaginær enhed , modulet af et komplekst tal, og angiver også reglen, der udtrækker kvadratroden af et komplekst tal.
I anden del løses problemer med geometrisk fortolkning af komplekse tal i form af punkter eller vektorer i det komplekse plan.
Den tredje del undersøger operationer på komplekse tal i trigonometrisk form. De anvendte formler er: Moivre og udtrækning af roden af et komplekst tal.
Fjerde del er afsat til at løse ligninger af 3. og 4. grad.
Ved løsning af opgaver i den sidste del, "Komplekse tal og parametre", bruges oplysningerne i de foregående dele og konsolideres. En række problemer i kapitlet er viet til at bestemme familier af linjer i det komplekse plan defineret af ligninger (uligheder) med en parameter. I en del af øvelserne skal du løse ligninger med en parameter (over felt C). Der er opgaver, hvor en kompleks variabel samtidig opfylder en række betingelser. Et særligt træk ved at løse problemer i dette afsnit er reduktionen af mange af dem til løsning af ligninger (uligheder, systemer) af anden grad, irrationelle, trigonometriske med en parameter.
Et træk ved præsentationen af materialet i hver del er den indledende introduktion af teoretiske grundlag og efterfølgende deres praktiske anvendelse til løsning af problemer.
Til sidst i specialet er der en liste over anvendte referencer. De fleste af dem præsenterer teoretisk materiale tilstrækkeligt detaljeret og på en tilgængelig måde, diskuterer løsninger på nogle problemer og giver praktiske opgaver til selvstændig løsning. Jeg vil gerne være særlig opmærksom på sådanne kilder som:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Komplekse tal og deres anvendelser: Lærebog. . Lærebogens materiale præsenteres i form af forelæsninger og praktiske øvelser.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Udvalgte problemer og sætninger i elementær matematik. Aritmetik og algebra. Bogen indeholder 320 opgaver relateret til algebra, aritmetik og talteori. Disse opgaver adskiller sig væsentligt fra almindelige skoleopgaver.
2. Komplekse tal (udvalgte problemer)
2.1. Komplekse tal i algebraisk form
Løsningen af mange problemer i matematik og fysik kommer ned til at løse algebraiske ligninger, dvs. formens ligninger
,hvor a0, a1, …, an er reelle tal. Derfor er studiet af algebraiske ligninger et af de vigtigste emner i matematik. For eksempel har en andengradsligning med en negativ diskriminant ingen reelle rødder. Den enkleste sådan ligning er ligningen
.For at denne ligning skal have en løsning, er det nødvendigt at udvide mængden af reelle tal ved at tilføje roden af ligningen
.Lad os betegne denne rod med
. Således, per definition, eller,derfor,
. kaldet den imaginære enhed. Med dens hjælp og ved hjælp af et par reelle tal opstilles et udtryk for formen.Det resulterende udtryk blev kaldt komplekse tal, fordi de indeholdt både reelle og imaginære dele.
Så komplekse tal er udtryk for formen
, og er reelle tal, og er et symbol, der opfylder betingelsen . Tallet kaldes den reelle del af et komplekst tal, og tallet er dets imaginære del. Symbolerne bruges til at angive dem.Formens komplekse tal
er reelle tal, og derfor indeholder mængden af komplekse tal mængden af reelle tal. Formens komplekse tal
kaldes rent imaginære. To komplekse tal af formen og siges at være ens, hvis deres reelle og imaginære dele er lige store, dvs. hvis ligestilling,.Algebraisk notation af komplekse tal tillader operationer på dem i henhold til de sædvanlige regler for algebra.
Brugen af ligninger er udbredt i vores liv. De bruges i mange beregninger, konstruktion af strukturer og endda sport. Mennesket brugte ligninger i oldtiden, og siden er deres brug kun steget. For klarhedens skyld, lad os løse følgende problem:
Beregn \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] hvis \
Lad os først og fremmest være opmærksomme på, at det ene tal præsenteres i algebraisk form, det andet i trigonometrisk form. Det skal forenkles og bringes til følgende form
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Udtrykket \ siger, at vi først og fremmest multiplicerer og hæver til 10. potens ved hjælp af Moivre-formlen. Denne formel er formuleret til den trigonometriske form af et komplekst tal. Vi får:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Efter reglerne for multiplikation af komplekse tal i trigonometrisk form, gør vi følgende:
I vores tilfælde:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Gør brøken \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] korrekt, kommer vi til den konklusion, at vi kan "dreje" 4 omgange \[(8\pi rad.): \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]
Svar: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Denne ligning kan løses på en anden måde, som går ud på at bringe det 2. tal i algebraisk form, derefter udføre multiplikationen på algebraisk form, konvertere resultatet til trigonometrisk form og anvende Moivres formel:
Hvor kan jeg løse et ligningssystem med komplekse tal online?
Du kan løse ligningssystemet på vores hjemmeside https://site. Den gratis online løser giver dig mulighed for at løse online ligninger af enhver kompleksitet i løbet af få sekunder. Alt du skal gøre er blot at indtaste dine data i solveren. Du kan også se videoinstruktioner og lære, hvordan du løser ligningen på vores hjemmeside. Og hvis du stadig har spørgsmål, kan du stille dem i vores VKontakte-gruppe http://vk.com/pocketteacher. Tilmeld dig vores gruppe, vi er altid glade for at hjælpe dig.
Udtryk, ligninger og ligningssystemer
med komplekse tal
I dag i klassen vil vi øve typiske operationer med komplekse tal, og også mestre teknikken til at løse udtryk, ligninger og ligningssystemer, der indeholder disse tal. Denne workshop er en fortsættelse af lektionen, og hvis du ikke er velbevandret i emnet, så følg venligst ovenstående link. Nå, for mere forberedte læsere foreslår jeg, at du varmer op med det samme:
Eksempel 1
Forenkle et udtryk 
, hvis. Fremstil resultatet i trigonometrisk form og plot det på det komplekse plan.
Løsning: så du skal erstatte den "forfærdelige" fraktion, udføre forenklinger og konvertere resultatet komplekst tal V trigonometrisk form. Plus en tegning.
Hvad er den bedste måde at formalisere beslutningen på? Det er mere rentabelt at håndtere et "sofistikeret" algebraisk udtryk trin for trin. For det første bliver opmærksomheden mindre distraheret, og for det andet, hvis opgaven ikke accepteres, vil det være meget nemmere at finde fejlen.
1) Lad os først forenkle tælleren. Lad os erstatte værdien i den, åbne beslagene og ordne frisuren:
...Ja, sådan en Quasimodo kom fra komplekse tal...
Lad mig minde dig om, at under transformationerne bruges helt simple ting - reglen om at multiplicere polynomier og den lighed, der allerede er blevet banal. Det vigtigste er at være forsigtig og ikke blive forvirret af skiltene.
2) Nu kommer nævneren. Hvis så:
Læg mærke til, hvilken usædvanlig fortolkning det bruges kvadratsumformel. Alternativt kan du udføre en omarrangering her 
underformel Resultaterne vil naturligvis være de samme.
3) Og endelig hele udtrykket. Hvis så:
For at slippe af med en brøk skal du gange tælleren og nævneren med det konjugerede udtryk for nævneren. Samtidig med henblik på anvendelse kvadratforskelle formler skal først (og allerede et must!) sæt den negative reelle del på 2. pladsen:
Og nu hovedreglen:
VI HAR INGEN HALT! Det er bedre at spille sikkert og tage et ekstra skridt.
I udtryk, ligninger og systemer med komplekse tal, formastelige verbale beregninger mere fyldt end nogensinde!
Der var en god reduktion i det sidste trin, og det er bare et godt tegn.
Bemærk : strengt taget forekom her divisionen af et komplekst tal med det komplekse tal 50 (husk det). Jeg har været tavs om denne nuance indtil nu, og vi vil tale om det lidt senere.
Lad os markere vores præstation med brevet
Lad os præsentere resultatet opnået i trigonometrisk form. Generelt kan du her undvære en tegning, men da det er påkrævet, er det noget mere rationelt at gøre det lige nu: 
Lad os beregne modulet af et komplekst tal:
Hvis du tegner på en skala på 1 enhed. = 1 cm (2 notesbogceller), så kan den opnåede værdi nemt kontrolleres ved hjælp af en almindelig lineal.
Lad os finde et argument. Da nummeret er placeret i 2. koordinatkvartal, så:
Vinklen kan nemt kontrolleres med en vinkelmåler. Dette er den utvivlsomme fordel ved tegningen.
Således: – det nødvendige tal i trigonometrisk form.
Lad os tjekke:
, hvilket var det, der skulle verificeres.
Det er praktisk at finde ukendte værdier for sinus og cosinus ved hjælp af trigonometrisk tabel.
Svar: 
Et lignende eksempel på en uafhængig løsning:
Eksempel 2
Forenkle et udtryk 
, Hvor . Tegn det resulterende tal på det komplekse plan og skriv det i eksponentiel form.
Prøv ikke at springe tutorials over. De kan virke simple, men uden træning er det ikke bare nemt at "komme i en vandpyt", men meget nemt. Derfor "får vi fingrene i det."
Ofte har et problem mere end én løsning:
Eksempel 3
Beregn om, 
Løsning: Lad os først og fremmest være opmærksomme på den oprindelige tilstand - et tal præsenteres i algebraisk, og det andet i trigonometrisk form og endda med grader. Lad os straks omskrive det i en mere velkendt form: 
.
I hvilken form skal beregningerne udføres? Udtrykket indebærer naturligvis første multiplikation og yderligere forhøjelse til 10. potens Moivres formel, som er formuleret til den trigonometriske form af et komplekst tal. Så det virker mere logisk at konvertere det første tal. Lad os finde dets modul og argument: 
Vi bruger reglen til at gange komplekse tal i trigonometrisk form:
hvis så
Når vi gør brøken korrekt, kommer vi til den konklusion, at vi kan "dreje" 4 omgange (glad.):
Anden løsning er at konvertere det 2. tal til algebraisk form 
, udfør multiplikationen på algebraisk form, konverter resultatet til trigonometrisk form og brug Moivres formel.
Som du kan se, er der en "ekstra" handling. De, der ønsker det, kan følge beslutningen og sikre sig, at resultaterne er de samme.
Betingelsen siger intet om formen af det endelige komplekse tal, så:
Svar: 
Men "for skønhed" eller på efterspørgsel er resultatet let at forestille sig i algebraisk form:
På egen hånd:
Eksempel 4
Forenkle et udtryk
Her skal vi huske handlinger med grader, selvom der ikke er én brugbar regel i manualen, er den her: .
Og endnu en vigtig bemærkning: eksemplet kan løses i to stilarter. Den første mulighed er at arbejde med to tal og være okay med brøker. Den anden mulighed er at repræsentere hvert tal som kvotient af to tal: 
Og slippe af med fire-etagers strukturen. Fra et formelt synspunkt er det lige meget, hvordan du beslutter dig, men der er en væsentlig forskel! Tænk nøje over:
er et komplekst tal;
er kvotienten af to komplekse tal ( og ), men afhængigt af konteksten kan du også sige dette: et tal repræsenteret som kvotienten af to komplekse tal.
En kort løsning og svar i slutningen af lektionen.
Udtryk er gode, men ligninger er bedre:
Ligninger med komplekse koefficienter
Hvordan adskiller de sig fra "almindelige" ligninger? Odds =)
I lyset af ovenstående kommentar, lad os starte med dette eksempel:
Eksempel 5
Løs ligningen 
Og en umiddelbar præambel "varmt i hælene": i første omgang højre side af ligningen er placeret som kvotienten af to komplekse tal ( og 13), og derfor ville det være dårligt at omskrive betingelsen med tallet (selvom dette ikke vil forårsage en fejl). Denne forskel er i øvrigt tydeligere synlig i brøken - hvis, relativt set, så forstås denne værdi primært som "fuld" kompleks rod af ligningen, og ikke som en divisor af et tal, og især ikke som en del af et tal!
Løsning, i princippet kan også gøres trin for trin, men i dette tilfælde er spillet ikke værd at stearinlys. Den indledende opgave er at forenkle alt, der ikke indeholder det ukendte "z", hvilket resulterer i, at ligningen reduceres til formen:
Vi forenkler trygt den midterste fraktion: 
Vi overfører resultatet til højre side og finder forskellen: 
Bemærk
: og igen gør jeg opmærksom på den meningsfulde pointe - her trak vi ikke et tal fra et tal, men bragte brøkerne til en fællesnævner! Det skal bemærkes, at det allerede i forløbet med at løse det ikke er forbudt at arbejde med tal: 
, men i det undersøgte eksempel er denne stil mere skadelig end nyttig =)
I henhold til proportionsreglen udtrykker vi "zet":
Nu kan du dividere og gange med konjugatet igen, men de mistænkeligt ens tal i tælleren og nævneren foreslår det næste træk: 
Svar:
For at kontrollere, lad os erstatte den resulterende værdi i venstre side af den oprindelige ligning og udføre forenklinger:
– højre side af den oprindelige ligning er opnået, således at roden findes korrekt.
...Nu, nu... Jeg finder noget mere interessant for dig... her skal du:
Eksempel 6
Løs ligningen 
Denne ligning reduceres til formen , hvilket betyder, at den er lineær. Jeg synes, tippet er klart - go for it!
Selvfølgelig... hvordan kan du leve uden ham:
Kvadratisk ligning med komplekse koefficienter
Ved lektionen Komplekse tal for dummies vi lærte, at en andengradsligning med reelle koefficienter kan have konjugerede komplekse rødder, hvorefter der opstår et logisk spørgsmål: hvorfor kan koefficienterne i sig selv ikke være komplekse? Lad mig formulere en generel case:
Kvadratisk ligning med vilkårlige komplekse koefficienter (1 eller 2 af dem eller alle tre kan især være gyldige) Det har to og kun to kompleks rod (muligvis den ene eller begge er gyldige). Samtidig rødderne (både ægte og med ikke-nul imaginær del) kan falde sammen (være multipler).
En andengradsligning med komplekse koefficienter løses ved hjælp af samme skema som "skole" ligning, med nogle forskelle i beregningsteknikker:
Eksempel 7
Find rødderne til en andengradsligning 
Løsning: den imaginære enhed kommer først, og i princippet kan du slippe af med den (multiplicerer begge sider med) der er dog ikke noget særligt behov herfor.
For nemheds skyld skriver vi koefficienterne ud:
Lad os ikke miste "minus" af et gratis medlem! ...Det er måske ikke klart for alle - jeg omskriver ligningen i standardform 
:
Lad os beregne diskriminanten:
Og her er den største hindring: 
Anvendelse af den generelle formel til udtrækning af roden (se sidste afsnit i artiklen Komplekse tal for dummies)
kompliceret af alvorlige vanskeligheder forbundet med det radikale komplekse tal-argument (se selv). Men der er en anden "algebraisk" måde! Vi vil lede efter roden i formen: 
Lad os firkante begge sider: 
To komplekse tal er ens, hvis deres reelle og imaginære dele er lige store. Således får vi følgende system: 
Systemet er nemmere at løse ved at vælge (en mere grundig måde er at udtrykke fra 2. ligning - skift ind i 1., få og løs en biquadratisk ligning). Forudsat at forfatteren til problemet ikke er et monster, fremsætter vi hypotesen om, at og er heltal. Af 1. ligning følger det, at "x" modulo mere end "Y". Derudover fortæller det positive produkt os, at de ukendte er af samme fortegn. Baseret på ovenstående, og med fokus på 2. ligning, skriver vi alle de par ned, der matcher den: 
Det er indlysende, at systemets 1. ligning er opfyldt af de sidste to par, således: 
Et mellemtjek ville ikke skade: 
hvilket var det der skulle tjekkes.
Du kan vælge som en "fungerende" rod nogen betyder. Det er klart, at det er bedre at tage versionen uden "ulemper":
Vi finder rødderne, forresten ikke at glemme, at: 
Svar: 
Lad os kontrollere, om de fundne rødder opfylder ligningen 
:
1) Lad os erstatte: 
ægte ligestilling.
2) Lad os erstatte: 
ægte ligestilling.
Dermed blev løsningen fundet korrekt.
Baseret på det problem, vi lige har diskuteret:
Eksempel 8
Find rødderne til ligningen
Det skal bemærkes, at kvadratroden af rent komplekst tal kan let udtrækkes ved hjælp af den generelle formel 
, Hvor 
, så begge metoder er vist i prøven. Den anden nyttige bemærkning vedrører det faktum, at foreløbig ekstraktion af roden af en konstant ikke forenkler løsningen overhovedet.
Nu kan du slappe af - i dette eksempel slipper du afsted med en let forskrækkelse :)
Eksempel 9
Løs ligningen og kontroller
Løsninger og svar i slutningen af lektionen.
Det sidste afsnit af artiklen er viet til
ligningssystem med komplekse tal
Lad os slappe af og... ikke spænde op =) Lad os overveje det enkleste tilfælde - et system af to lineære ligninger med to ukendte:
Eksempel 10
Løs et ligningssystem. Præsenter svaret i algebraiske og eksponentielle former, afbild rødderne i tegningen. 
Løsning: selve betingelsen antyder, at systemet har en unik løsning, det vil sige, at vi skal finde to tal, der opfylder til hver systemets ligning.
Systemet kan virkelig løses på en "barnlig" måde (udtrykke en variabel i form af en anden)
, men det er meget mere bekvemt at bruge Cramers formler. Lad os beregne hoveddeterminant systemer:
, hvilket betyder, at systemet har en unik løsning.
Jeg gentager, at det er bedre at tage sig god tid og skrive trinene så detaljeret som muligt:
Vi ganger tælleren og nævneren med en imaginær enhed og får 1. rod:
Ligeledes: 
De tilsvarende højre sider fås mv.
Lad os lave tegningen: 
Lad os repræsentere rødderne i eksponentiel form. For at gøre dette skal du finde deres moduler og argumenter:
1) – arctangensen af "to" beregnes "dårligt", så vi lader det være sådan her: 