Matematisk forventning er definitionen
Skakmat venter er et af de vigtigste begreber i matematisk statistik og sandsynlighedsteori, der karakteriserer fordelingen af værdier eller sandsynligheder tilfældig variabel. Typisk udtrykt som et vægtet gennemsnit af alle mulige parametre for en stokastisk variabel. Udbredt i teknisk analyse, studiet af talserier og studiet af kontinuerlige og tidskrævende processer. Det er vigtigt ved vurdering af risici, forudsigelse af prisindikatorer ved handel på finansielle markeder og bruges til at udvikle strategier og metoder til spiltaktik i gambling teorier.
Skakmat venter- Det her middelværdi af en stokastisk variabel, fordeling sandsynligheder stokastisk variabel betragtes i sandsynlighedsteori.
Skakmat venter er et mål for gennemsnitsværdien af en stokastisk variabel i sandsynlighedsteori. Skakmat forventningen til en tilfældig variabel x betegnet med M(x).
Matematisk forventning (befolkningsmiddelværdi) er
Skakmat venter er
Skakmat venter er i sandsynlighedsteori, et vægtet gennemsnit af alle mulige værdier, som en stokastisk variabel kan tage.
Skakmat venter er summen af produkterne af alle mulige værdier af en stokastisk variabel og sandsynligheden for disse værdier.
Matematisk forventning (befolkningsmiddelværdi) er
Skakmat venter er det gennemsnitlige udbytte af en bestemt beslutning, forudsat at en sådan beslutning kan betragtes inden for rammerne af teorien om store tal og langdistance.
Skakmat venter er i gambling teori, mængden af gevinster, som en spekulant kan tjene eller tabe i gennemsnit på hvert væddemål. På gambling sprog spekulanter dette kaldes nogle gange "fordel" spekulant" (hvis den er positiv for spekulanten) eller "huskanten" (hvis den er negativ for spekulanten).
Matematisk forventning (befolkningsmiddelværdi) er
Som det allerede er kendt, karakteriserer fordelingsloven fuldstændig en stokastisk variabel. Ofte er distributionsloven dog ukendt, og man må begrænse sig til mindre information. Nogle gange er det endnu mere rentabelt at bruge tal, der beskriver den stokastiske variabel i alt; sådanne numre kaldes numeriske karakteristika for en stokastisk variabel.
En af de vigtige numeriske karakteristika er den matematiske forventning.
Den matematiske forventning er omtrent lig med gennemsnitsværdien af den stokastiske variabel.
Matematisk forventning om en diskret stokastisk variabel er summen af produkterne af alle dets mulige værdier og deres sandsynligheder.
Hvis en stokastisk variabel er karakteriseret ved en endelig fordelingsrække:
| x | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | p 1 | s 2 | s 3 | … | r p |
derefter den matematiske forventning M(X) bestemt af formlen:
Den matematiske forventning til en kontinuert stokastisk variabel bestemmes af ligheden:
hvor er sandsynlighedstætheden af den stokastiske variabel x.
Eksempel 4.7. Find den matematiske forventning til antallet af point, der vises, når du kaster en terning.
Løsning:
Tilfældig værdi x tager værdierne 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lad os skabe loven for dens fordeling:
| x | ||||||
| R |
Så er den matematiske forventning:
Egenskaber ved matematisk forventning:
1. Den matematiske forventning om en konstant værdi er lig med selve konstanten:
M (S) = S.
2. Den konstante faktor kan tages ud af det matematiske forventningstegn:
M (CX) = CM (X).
3. Den matematiske forventning af produktet af to uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres matematiske forventninger:
M(XY) = M(X)M(Y).
Eksempel 4.8. Uafhængige tilfældige variable x Og Y er givet af følgende distributionslove:
| x | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Find den matematiske forventning til den stokastiske variabel XY.
Løsning.
Lad os finde de matematiske forventninger til hver af disse størrelser:
Tilfældige variable x Og Y uafhængig, derfor er den nødvendige matematiske forventning:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Følge. Den matematiske forventning til produktet af flere indbyrdes uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres matematiske forventninger.
4. Den matematiske forventning af summen af to tilfældige variable er lig med summen af de matematiske forventninger til vilkårene:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Følge. Den matematiske forventning til summen af flere stokastiske variable er lig med summen af termernes matematiske forventninger.
Eksempel 4.9. Der affyres 3 skud med sandsynlighed for at ramme målet lig p 1 = 0,4; s2= 0,3 og s 3= 0,6. Find den matematiske forventning til det samlede antal hits.
Løsning.
Antallet af hits på det første skud er en tilfældig variabel X 1, som kun kan tage to værdier: 1 (hit) med sandsynlighed p 1= 0,4 og 0 (miss) med sandsynlighed q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Den matematiske forventning til antallet af hits på det første skud er lig med sandsynligheden for et hit:
På samme måde finder vi de matematiske forventninger til antallet af hits for andet og tredje skud:
M(X 2)= 0,3 og M(X 3)= 0,6.
Det samlede antal hits er også en tilfældig variabel, der består af summen af hits i hvert af de tre skud:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Den nødvendige matematiske forventning x Vi finder det ved hjælp af sætningen om den matematiske forventning til summen.
1. Den matematiske forventning om en konstant værdi er lig med konstanten selv M(S)=C
.
2. Konstantfaktoren kan tages ud af det matematiske forventningstegnet: M(CX)=CM(X)
3. Den matematiske forventning af produktet af to uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres matematiske forventninger: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Den matematiske forventning af summen af to stokastiske variable er lig med summen af de matematiske forventninger til vilkårene: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Sætning. Den matematiske forventning M(x) af antallet af forekomster af begivenheder A i n uafhængige forsøg er lig med produktet af disse forsøg med sandsynligheden for forekomst af begivenheder i hvert forsøg: M(x) = np.
Lade x - tilfældig variabel og M(X) – dens matematiske forventning. Lad os betragte forskellen som en ny tilfældig variabel X - M(X).
Afvigelse er forskellen mellem en tilfældig variabel og dens matematiske forventning.
Afvigelsen har følgende fordelingslov:
Løsning: Lad os finde den matematiske forventning:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Lad os skrive fordelingsloven for den kvadrerede afvigelse:
Løsning: Lad os finde den matematiske forventning til M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Lad os skrive fordelingsloven for den stokastiske variabel X 2
| X 2 | |||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Lad os finde den matematiske forventning M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Den påkrævede varians er D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05
Dispersionsegenskaber:
1. Varians af en konstant værdi MED
lig med nul: D(C)=0
2. Konstantfaktoren kan tages ud af spredningstegnet ved at kvadrere det. D(Cx)=C2D(x)
3. Variansen af summen af uafhængige stokastiske variable er lig med summen af disse variables varians. D(X 1 + X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Variansen af den binomiale fordeling er lig med produktet af antallet af forsøg og sandsynligheden for forekomst og ikke-forekomst af en begivenhed i et forsøg D(X)=npq
For at estimere spredningen af mulige værdier af en tilfældig variabel omkring dens middelværdi, ud over spredning, bruges nogle andre karakteristika også. Disse inkluderer standardafvigelsen.
Standardafvigelse for en stokastisk variabel x kaldes kvadratroden af variansen:
σ(X) = √D(X) (4)
Eksempel. Den stokastiske variabel X er givet af fordelingsloven
| x | |||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Find standardafvigelsen σ(x)
Løsning: Lad os finde den matematiske forventning til X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Lad os finde den matematiske forventning til X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Lad os finde variansen: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Den påkrævede standardafvigelse σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61
Sætning. Standardafvigelsen af summen af et endeligt antal af indbyrdes uafhængige stokastiske variable er lig med kvadratroden af summen af kvadraterne af standardafvigelserne for disse variable:
Eksempel. På en hylde med 6 bøger, 3 bøger om matematik og 3 om fysik. Tre bøger er udvalgt tilfældigt. Find loven om fordeling af antallet af bøger om matematik blandt de udvalgte bøger. Find den matematiske forventning og varians for denne tilfældige variabel.
D(X)= M(X 2) - M(X)2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45
Forventning er sandsynlighedsfordelingen af en stokastisk variabel
Matematisk forventning, definition, matematisk forventning af diskrete og kontinuerte stokastiske variable, stikprøve, betinget forventning, beregning, egenskaber, problemer, estimering af forventning, spredning, fordelingsfunktion, formler, regneeksempler
Udvid indholdet
Skjul indholdet
Matematisk forventning er definitionen
Et af de vigtigste begreber i matematisk statistik og sandsynlighedsteori, der karakteriserer fordelingen af værdier eller sandsynligheder for en tilfældig variabel. Typisk udtrykt som et vægtet gennemsnit af alle mulige parametre for en stokastisk variabel. Udbredt i teknisk analyse, studiet af talserier og studiet af kontinuerlige og tidskrævende processer. Det er vigtigt ved vurdering af risici, forudsigelse af prisindikatorer ved handel på finansielle markeder og bruges til at udvikle strategier og metoder til spiltaktik i teorien om spil.
Matematisk forventning er gennemsnitsværdien af en stokastisk variabel, er sandsynlighedsfordelingen af en stokastisk variabel betragtet i sandsynlighedsteorien.
Matematisk forventning er et mål for gennemsnitsværdien af en stokastisk variabel i sandsynlighedsteori. Forventning af en tilfældig variabel x betegnet med M(x).
Matematisk forventning er
Matematisk forventning er i sandsynlighedsteori, et vægtet gennemsnit af alle mulige værdier, som en stokastisk variabel kan tage.
Matematisk forventning er summen af produkterne af alle mulige værdier af en stokastisk variabel og sandsynligheden for disse værdier.
Matematisk forventning er det gennemsnitlige udbytte af en bestemt beslutning, forudsat at en sådan beslutning kan betragtes inden for rammerne af teorien om store tal og langdistance.
Matematisk forventning er i gambling teori, mængden af gevinster en spiller kan tjene eller tabe i gennemsnit for hvert væddemål. I gambling sprogbrug kaldes dette nogle gange "spillerens kant" (hvis den er positiv for spilleren) eller "huskanten" (hvis den er negativ for spilleren).
Matematisk forventning er procentdelen af fortjeneste pr. gevinst ganget med den gennemsnitlige fortjeneste, minus sandsynligheden for tab ganget med det gennemsnitlige tab.
Matematisk forventning om en stokastisk variabel i matematisk teori
En af de vigtige numeriske egenskaber ved en tilfældig variabel er dens matematiske forventning. Lad os introducere begrebet et system af stokastiske variable. Lad os overveje et sæt af tilfældige variable, der er resultaterne af det samme tilfældige eksperiment. Hvis det er en af systemets mulige værdier, svarer begivenheden til en vis sandsynlighed, der opfylder Kolmogorovs aksiomer. En funktion defineret for alle mulige værdier af stokastiske variable kaldes en fælles distributionslov. Denne funktion giver dig mulighed for at beregne sandsynligheden for enhver hændelse fra. Især den fælles distributionslov for stokastiske variable og, som tager værdier fra mængden og, er givet af sandsynligheder.
Udtrykket "matematisk forventning" blev introduceret af Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) og kommer fra begrebet "forventet værdi af gevinster", som først dukkede op i det 17. århundrede i teorien om gambling i Blaise Pascal og Christiaans værker. Huygens. Imidlertid blev den første fuldstændige teoretiske forståelse og vurdering af dette koncept givet af Pafnuty Lvovich Chebyshev (midten af det 19. århundrede).
Fordelingsloven for tilfældige numeriske variable (fordelingsfunktion og fordelingsrækker eller sandsynlighedstæthed) beskriver fuldstændig adfærden af en stokastisk variabel. Men i en række problemer er det nok at kende nogle numeriske karakteristika for den mængde, der undersøges (for eksempel dens gennemsnitlige værdi og mulige afvigelse fra den) for at besvare det stillede spørgsmål. De vigtigste numeriske karakteristika ved tilfældige variable er den matematiske forventning, varians, tilstand og median.
Den matematiske forventning til en diskret tilfældig variabel er summen af produkterne af dens mulige værdier og deres tilsvarende sandsynligheder. Nogle gange kaldes den matematiske forventning et vægtet gennemsnit, da det er omtrent lig med det aritmetiske gennemsnit af de observerede værdier af en tilfældig variabel over et stort antal eksperimenter. Af definitionen af matematisk forventning følger det, at dens værdi ikke er mindre end den mindst mulige værdi af en tilfældig variabel og ikke mere end den største. Den matematiske forventning til en tilfældig variabel er en ikke-tilfældig (konstant) variabel.
Den matematiske forventning har en simpel fysisk betydning: hvis du placerer en enhedsmasse på en lige linje, placerer en bestemt masse på nogle punkter (for en diskret fordeling) eller "smører" den med en vis tæthed (for en absolut kontinuerlig fordeling) , så vil punktet svarende til den matematiske forventning være koordinaten "tyngdepunkt" er lige.
Gennemsnitsværdien af en tilfældig variabel er et vist tal, der så at sige er dens "repræsentative" og erstatter det i nogenlunde tilnærmede beregninger. Når vi siger: "den gennemsnitlige lampedriftstid er 100 timer" eller "det gennemsnitlige anslagspunkt er forskudt i forhold til målet med 2 m til højre", angiver vi en vis numerisk karakteristik af en tilfældig variabel, der beskriver dens placering på den numeriske akse, dvs. "positionskarakteristika".
Af karakteristikaene ved en position i sandsynlighedsteorien spilles den vigtigste rolle af den matematiske forventning om en tilfældig variabel, som nogle gange blot kaldes gennemsnitsværdien af en tilfældig variabel.
Overvej den tilfældige variabel x, der har mulige værdier x1, x2, …, xn med sandsynligheder p1, p2, …, pn. Vi skal karakterisere med et eller andet tal placeringen af værdierne af en tilfældig variabel på x-aksen under hensyntagen til, at disse værdier har forskellige sandsynligheder. Til dette formål er det naturligt at bruge det såkaldte ”vægtede gennemsnit” af værdierne xi, og hver værdi xi under gennemsnitsberegning bør tages i betragtning med en "vægt" proportional med sandsynligheden for denne værdi. Således vil vi beregne gennemsnittet af den stokastiske variabel x, som vi betegner M |X|:
Dette vægtede gennemsnit kaldes den matematiske forventning til den stokastiske variabel. Således introducerede vi et af de vigtigste begreber inden for sandsynlighedsteori - begrebet matematisk forventning. Den matematiske forventning til en tilfældig variabel er summen af produkterne af alle mulige værdier af en tilfældig variabel og sandsynligheden for disse værdier.
x er forbundet med en ejendommelig afhængighed med det aritmetiske middelværdi af de observerede værdier af den stokastiske variabel over et stort antal eksperimenter. Denne afhængighed er af samme type som afhængigheden mellem frekvens og sandsynlighed, nemlig: med et stort antal eksperimenter nærmer det aritmetiske middelværdi af de observerede værdier af en tilfældig variabel sig (konvergerer i sandsynlighed) til dens matematiske forventning. Ud fra tilstedeværelsen af en sammenhæng mellem frekvens og sandsynlighed kan man som konsekvens udlede tilstedeværelsen af en lignende sammenhæng mellem det aritmetiske middelværdi og den matematiske forventning. Overvej faktisk den tilfældige variabel x, kendetegnet ved en distributionsserie:
Lad det produceres N uafhængige forsøg, i hver af hvilke værdien x får en vis værdi. Lad os antage, at værdien x1 dukkede op m1 gange, værdi x2 dukkede op m2 gange, generel betydning xi dukket op mi gange. Lad os beregne det aritmetiske middelværdi af de observerede værdier af værdien X, som i modsætning til den matematiske forventning M|X| vi betegner M*|X|:
Med stigende antal eksperimenter N frekvenser pi vil nærme sig (konvergere i sandsynlighed) de tilsvarende sandsynligheder. Følgelig er det aritmetiske middelværdi af de observerede værdier af den stokastiske variabel M|X| med en stigning i antallet af eksperimenter vil den nærme sig (konvergere i sandsynlighed) til dens matematiske forventning. Sammenhængen mellem det aritmetiske middelværdi og den matematiske forventning formuleret ovenfor udgør indholdet af en af formerne for loven om store tal.
Vi ved allerede, at alle former for loven om store tal angiver, at nogle gennemsnit er stabile over et stort antal eksperimenter. Her taler vi om stabiliteten af det aritmetiske middelværdi fra en række observationer af samme størrelse. Med et lille antal eksperimenter er det aritmetiske gennemsnit af deres resultater tilfældigt; med en tilstrækkelig stigning i antallet af eksperimenter bliver det "næsten ikke-tilfældigt" og, stabiliserende, nærmer det sig en konstant værdi - den matematiske forventning.
Stabiliteten af gennemsnit over et stort antal eksperimenter kan let verificeres eksperimentelt. For eksempel når vi vejer en krop i et laboratorium på præcise vægte, får vi som følge af vejningen en ny værdi hver gang; For at reducere observationsfejlen vejer vi kroppen flere gange og bruger det aritmetiske middelværdi af de opnåede værdier. Det er let at se, at med en yderligere stigning i antallet af forsøg (vejninger), reagerer det aritmetiske middelværdi mindre og mindre på denne stigning og ved et tilstrækkeligt stort antal forsøg praktisk talt ophører med at ændre sig.
Det skal bemærkes, at den vigtigste egenskab ved positionen af en stokastisk variabel - den matematiske forventning - ikke eksisterer for alle stokastiske variable. Det er muligt at sammensætte eksempler på sådanne stokastiske variable, for hvilke den matematiske forventning ikke eksisterer, da den tilsvarende sum eller integral divergerer. Sådanne sager er dog ikke af væsentlig interesse for praksis. Typisk har de tilfældige variabler, vi beskæftiger os med, et begrænset udvalg af mulige værdier og har selvfølgelig en matematisk forventning.
Ud over de vigtigste egenskaber ved positionen af en stokastisk variabel - den matematiske forventning - bruges i praksis andre karakteristika for positionen, især tilstanden og medianen for den stokastiske variabel.
En tilfældig variabels tilstand er dens mest sandsynlige værdi. Udtrykket "mest sandsynlige værdi" gælder strengt taget kun for diskontinuerlige mængder; for en kontinuerlig størrelse er tilstanden den værdi, hvor sandsynlighedstætheden er maksimal. Figurerne viser tilstanden for henholdsvis diskontinuerlige og kontinuerte stokastiske variable.
Hvis fordelingspolygonen (fordelingskurven) har mere end et maksimum, kaldes fordelingen "multimodal".
Nogle gange er der distributioner, der har et minimum i midten frem for et maksimum. Sådanne fordelinger kaldes "anti-modale".
I det generelle tilfælde er tilstanden og den matematiske forventning for en stokastisk variabel ikke sammenfaldende. I det særlige tilfælde, når fordelingen er symmetrisk og modal (dvs. har en tilstand), og der er en matematisk forventning, så falder den sammen med fordelingens tilstand og symmetricenter.
En anden positionskarakteristik bruges ofte - den såkaldte median af en stokastisk variabel. Denne karakteristik bruges normalt kun til kontinuerte tilfældige variable, selvom den formelt kan defineres for en diskontinuerlig variabel. Geometrisk er medianen abscissen af det punkt, hvor arealet omgivet af fordelingskurven er delt i to.
I tilfælde af en symmetrisk modal fordeling falder medianen sammen med den matematiske forventning og mode.
Den matematiske forventning er gennemsnitsværdien af en stokastisk variabel - en numerisk karakteristik af sandsynlighedsfordelingen af en stokastisk variabel. På den mest generelle måde, den matematiske forventning til en stokastisk variabel X(w) er defineret som Lebesgue-integralet med hensyn til sandsynlighedsmålet R i det oprindelige sandsynlighedsrum:
Den matematiske forventning kan også beregnes som Lebesgue-integralet af x efter sandsynlighedsfordeling px mængder x:
Begrebet en stokastisk variabel med uendelig matematisk forventning kan defineres på en naturlig måde. Et typisk eksempel er returtider for nogle tilfældige gåture.
Ved hjælp af den matematiske forventning bestemmes mange numeriske og funktionelle karakteristika for en fordeling (som den matematiske forventning af de tilsvarende funktioner af en tilfældig variabel), for eksempel den genererende funktion, karakteristiske funktion, momenter af enhver rækkefølge, især spredning, kovarians .
Den matematiske forventning er en karakteristik af placeringen af værdierne af en tilfældig variabel (gennemsnitsværdien af dens fordeling). I denne egenskab tjener den matematiske forventning som en eller anden "typisk" fordelingsparameter, og dens rolle svarer til rollen for det statiske moment - koordinaten for massefordelingens tyngdepunkt - i mekanikken. Fra andre karakteristika ved lokaliteten, ved hjælp af hvilke fordelingen beskrives i generelle vendinger - adskiller medianer, tilstande, matematisk forventning sig i den større værdi, den og den tilsvarende spredningskarakteristik - spredning - har i sandsynlighedslærens grænsesætninger. Betydningen af matematisk forventning afsløres bedst af loven om store tal (Chebyshevs ulighed) og den styrkede lov om store tal.
Forventning af en diskret stokastisk variabel
Lad der være en tilfældig variabel, der kan tage en af flere numeriske værdier (for eksempel kan antallet af point, når du kaster en terning være 1, 2, 3, 4, 5 eller 6). Ofte i praksis, for en sådan værdi, opstår spørgsmålet: hvilken værdi tager det "i gennemsnit" med et stort antal test? Hvad bliver vores gennemsnitlige indkomst (eller tab) fra hver af de risikable transaktioner?
Lad os sige, at der er en form for lotteri. Vi ønsker at forstå, om det er rentabelt eller ej at deltage i det (eller endda deltage gentagne gange, regelmæssigt). Lad os sige, at hver fjerde billet er en vinder, præmien vil være 300 rubler, og prisen på enhver billet vil være 100 rubler. Med et uendeligt stort antal deltagelser er det, hvad der sker. I tre fjerdedele af tilfældene vil vi tabe, hvert tredje tab vil koste 300 rubler. I hvert fjerde tilfælde vinder vi 200 rubler. (præmie minus omkostninger), det vil sige, for fire deltagelser taber vi i gennemsnit 100 rubler, for en - i gennemsnit 25 rubler. I alt vil den gennemsnitlige sats for vores ruin være 25 rubler per billet.
Vi kaster terningerne. Hvis det ikke er snyd (uden at flytte tyngdepunktet osv.), hvor mange point har vi så i gennemsnit ad gangen? Da hver mulighed er lige sandsynlig, tager vi blot det aritmetiske gennemsnit og får 3,5. Da dette er AVERAGE, er der ingen grund til at være indigneret over, at intet specifikt kast vil give 3,5 point - ja, denne terning har ikke et ansigt med sådan et tal!
Lad os nu opsummere vores eksempler:
Lad os se på billedet lige givet. Til venstre er en tabel over fordelingen af en stokastisk variabel. Værdien X kan have en af n mulige værdier (vist i den øverste linje). Der kan ikke være andre betydninger. Under hver mulig værdi er dens sandsynlighed skrevet nedenfor. Til højre ses formlen, hvor M(X) kaldes den matematiske forventning. Betydningen af denne værdi er, at med et stort antal tests (med en stor stikprøve), vil gennemsnitsværdien tendere til den samme matematiske forventning.
Lad os vende tilbage til den samme spilleterning. Den matematiske forventning til antallet af point ved kast er 3,5 (beregn det selv ved hjælp af formlen, hvis du ikke tror mig). Lad os sige, at du smed den et par gange. Resultaterne var 4 og 6. Gennemsnittet var 5, hvilket er langt fra 3,5. De smed den en gang mere, de fik 3, altså i gennemsnit (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... På en eller anden måde langt fra den matematiske forventning. Lav nu et vanvittigt eksperiment - rul terningen 1000 gange! Og selvom gennemsnittet ikke lige er 3,5, så vil det være tæt på det.
Lad os beregne den matematiske forventning til lotteriet beskrevet ovenfor. Pladen vil se sådan ud:
Så vil den matematiske forventning være, som vi har fastslået ovenfor:
En anden ting er, at det ville være svært at gøre det "på fingrene", uden en formel, hvis der var flere muligheder. Tja, lad os sige, at der ville være 75 % tabte billetter, 20 % vinderbilletter og 5 % især vindende.
Nu nogle egenskaber ved matematisk forventning.
Det er nemt at bevise:
Den konstante faktor kan tages ud som et tegn på den matematiske forventning, det vil sige:
Dette er et særligt tilfælde af linearitetsegenskaben for den matematiske forventning.
En anden konsekvens af lineariteten af den matematiske forventning:
det vil sige, at den matematiske forventning til summen af stokastiske variable er lig med summen af de matematiske forventninger til stokastiske variable.
Lad X, Y være uafhængige stokastiske variable, Derefter:
Dette er også nemt at bevise) Arbejde XY i sig selv er en tilfældig variabel, og hvis startværdierne kunne tage n Og m værdier i overensstemmelse hermed XY kan tage nm-værdier. Sandsynligheden for hver værdi beregnes ud fra det faktum, at sandsynligheden for uafhængige hændelser ganges. Som et resultat får vi dette:
Forventning af en kontinuert stokastisk variabel
Kontinuerlige tilfældige variable har en sådan karakteristik som fordelingstæthed (sandsynlighedstæthed). Det karakteriserer i det væsentlige situationen, at en tilfældig variabel tager nogle værdier fra sættet af reelle tal oftere og nogle sjældnere. Overvej for eksempel denne graf:
Her x- faktisk tilfældig variabel, f(x)- fordelingstæthed. At dømme efter denne graf, under eksperimenter værdien x vil ofte være et tal tæt på nul. Chancerne er overskredet 3 eller være mindre -3 snarere rent teoretisk.
Lad for eksempel være en ensartet fordeling:
Dette er helt i overensstemmelse med intuitiv forståelse. Lad os sige, hvis vi modtager mange tilfældige reelle tal med en ensartet fordeling, hver af segmenterne |0; 1| , så skal det aritmetiske gennemsnit være omkring 0,5.
Egenskaberne for matematisk forventning - linearitet osv., der gælder for diskrete stokastiske variable, er også anvendelige her.
Sammenhæng mellem matematisk forventning og andre statistiske indikatorer
I statistisk analyse er der sammen med den matematiske forventning et system af indbyrdes afhængige indikatorer, der afspejler fænomenernes homogenitet og processernes stabilitet. Variationsindikatorer har ofte ingen selvstændig betydning og bruges til yderligere dataanalyse. Undtagelsen er variationskoefficienten, som karakteriserer homogeniteten af dataene, som er en værdifuld statistisk egenskab.
Graden af variabilitet eller stabilitet af processer i statistisk videnskab kan måles ved hjælp af flere indikatorer.
Den vigtigste indikator, der karakteriserer variabiliteten af en tilfældig variabel er Spredning, som er tættest og direkte relateret til den matematiske forventning. Denne parameter bruges aktivt i andre typer statistiske analyser (hypotesetestning, analyse af årsag-virkningssammenhænge osv.). Ligesom den gennemsnitlige lineære afvigelse afspejler variansen også omfanget af spredningen af data omkring middelværdien.
Det er nyttigt at oversætte tegnsproget til ordsproget. Det viser sig, at spredningen er den gennemsnitlige kvadrat af afvigelserne. Det vil sige, at gennemsnitsværdien først beregnes, derefter tages forskellen mellem hver original- og gennemsnitsværdi, kvadreres, tilføjes og derefter divideres med antallet af værdier i populationen. Forskellen mellem en individuel værdi og gennemsnittet afspejler målet for afvigelsen. Den er kvadreret, så alle afvigelser udelukkende bliver positive tal og for at undgå gensidig ødelæggelse af positive og negative afvigelser, når de summeres. Så, givet de kvadrerede afvigelser, beregner vi blot det aritmetiske middelværdi. Gennemsnit - kvadratisk - afvigelser. Afvigelserne kvadreres, og gennemsnittet beregnes. Svaret på det magiske ord "spredning" ligger i blot tre ord.
Men i sin rene form, såsom det aritmetiske middelværdi eller indeks, bruges spredning ikke. Det er snarere en hjælpe- og mellemindikator, der bruges til andre typer statistiske analyser. Den har ikke engang en normal måleenhed. At dømme efter formlen er dette kvadratet på måleenheden for de oprindelige data.
Lad os måle en tilfældig variabel N gange måler vi for eksempel vindhastigheden ti gange og ønsker at finde gennemsnitsværdien. Hvordan er gennemsnitsværdien relateret til fordelingsfunktionen?
Eller vi kaster terningerne et stort antal gange. Antallet af point, der vises på terningerne ved hvert kast, er en tilfældig variabel og kan tage en hvilken som helst naturlig værdi fra 1 til 6. Det aritmetiske gennemsnit af de tabte point beregnet for alle terningkast er også en tilfældig variabel, men for store N det har tendens til et meget specifikt tal - matematisk forventning Mx. I dette tilfælde Mx = 3,5.
Hvordan fik du denne værdi? Lukke ind N tests n1 når du får 1 point, n2 en gang - 2 point og så videre. Så antallet af udfald, hvor ét point faldt:
Tilsvarende for udfald, når der kastes 2, 3, 4, 5 og 6 point.
Lad os nu antage, at vi kender fordelingsloven for den stokastiske variabel x, det vil sige, at vi ved, at den stokastiske variabel x kan tage værdier x1, x2, ..., xk med sandsynligheder p1, p2, ..., pk.
Den matematiske forventning Mx for en stokastisk variabel x er lig med:
Den matematiske forventning er ikke altid et rimeligt estimat af en eller anden tilfældig variabel. For at estimere gennemsnitslønnen er det således mere rimeligt at bruge begrebet median, det vil sige en sådan værdi, at antallet af personer, der modtager en lavere løn end medianen og en større, er sammenfaldende.
Sandsynligheden p1 for, at den stokastiske variabel x vil være mindre end x1/2, og sandsynligheden p2 for, at den stokastiske variabel x vil være større end x1/2, er den samme og lig med 1/2. Medianen er ikke bestemt entydigt for alle distributioner.
Standard eller standardafvigelse i statistik kaldes graden af afvigelse af observationsdata eller -sæt fra AVERAGE værdien. Betegnes med bogstaverne s eller s. En lille standardafvigelse indikerer, at dataene klynger sig omkring middelværdien, mens en stor standardafvigelse indikerer, at de oprindelige data er placeret langt fra det. Standardafvigelsen er lig med kvadratroden af en størrelse kaldet varians. Det er gennemsnittet af summen af de kvadrerede forskelle af de indledende data, der afviger fra gennemsnitsværdien. Standardafvigelsen for en tilfældig variabel er kvadratroden af variansen:
Eksempel. Under testforhold, når du skyder mod et mål, beregnes spredningen og standardafvigelsen af den tilfældige variabel:
Variation- fluktuation, foranderlighed af værdien af en egenskab blandt enheder af befolkningen. Individuelle numeriske værdier af en egenskab, der findes i den undersøgte population, kaldes varianter af værdier. Utilstrækkeligheden af gennemsnitsværdien til fuldt ud at karakterisere befolkningen tvinger os til at supplere gennemsnitsværdierne med indikatorer, der giver os mulighed for at vurdere typiskheden af disse gennemsnit ved at måle variabiliteten (variationen) af den karakteristik, der undersøges. Variationskoefficienten beregnes ved hjælp af formlen:
Variationsområde(R) repræsenterer forskellen mellem maksimum- og minimumværdierne for attributten i den population, der undersøges. Denne indikator giver den mest generelle idé om variabiliteten af den karakteristik, der undersøges, da den kun viser forskellen mellem de maksimale værdier af mulighederne. Afhængighed af de ekstreme værdier af en karakteristik giver variationsomfanget en ustabil, tilfældig karakter.
Gennemsnitlig lineær afvigelse repræsenterer det aritmetiske gennemsnit af de absolutte (modulo) afvigelser af alle værdier af den analyserede population fra deres gennemsnitsværdi:
Matematisk forventning i gambling teori
Matematisk forventning er Det gennemsnitlige beløb, en gambler kan vinde eller tabe på en given indsats. Dette er et meget vigtigt koncept for spilleren, fordi det er grundlæggende for vurderingen af de fleste spilsituationer. Matematisk forventning er også det optimale værktøj til at analysere grundlæggende kortlayouts og spilsituationer.
Lad os sige, at du spiller et møntspil med en ven og satser lige meget $1 hver gang, uanset hvad der dukker op. Haler betyder, at du vinder, hoveder betyder, at du taber. Oddsene er 1 til 1 for, at det kommer op, så du satser $1 til $1. Din matematiske forventning er således nul, fordi Fra et matematisk synspunkt kan du ikke vide, om du fører eller taber efter to kast eller efter 200.
Din timegevinst er nul. Timegevinster er det beløb, du forventer at vinde på en time. Du kan kaste en mønt 500 gange på en time, men du vil ikke vinde eller tabe, fordi... dine chancer er hverken positive eller negative. Hvis du ser på det, fra en seriøs spillers synspunkt, er dette væddemålssystem ikke dårligt. Men dette er simpelthen spild af tid.
Men lad os sige, at nogen vil satse $2 mod dine $1 på det samme spil. Så har du med det samme en positiv forventning på 50 øre fra hver indsats. Hvorfor 50 cents? I gennemsnit vinder du et væddemål og taber det andet. Sats den første dollar, og du vil tabe $1, sats den anden, og du vil vinde $2. Du satser $1 to gange og er foran med $1. Så hver af dine væddemål på én dollar gav dig 50 cent.
Hvis en mønt dukker op 500 gange på en time, vil dine timegevinster allerede være $250, fordi... I gennemsnit tabte du en dollar 250 gange og vandt to dollars 250 gange. $500 minus $250 er lig med $250, som er den samlede gevinst. Bemærk venligst, at den forventede værdi, som er det gennemsnitlige beløb, du vinder pr. indsats, er 50 cent. Du vandt $250 ved at satse en dollar 500 gange, hvilket svarer til 50 cents pr. indsats.
Matematisk forventning har intet at gøre med kortsigtede resultater. Din modstander, som besluttede at satse $2 mod dig, kunne slå dig på de første ti kast i træk, men du, som har en fordel på 2 til 1, alt andet lige, vil tjene 50 cent på hver $1 indsats i enhver omstændigheder. Det gør ingen forskel, om du vinder eller taber et væddemål eller flere væddemål, så længe du har penge nok til komfortabelt at dække omkostningerne. Hvis du fortsætter med at satse på samme måde, så vil dine gevinster over en længere periode nærme sig summen af forventningerne i individuelle kast.
Hver gang du laver et bedste væddemål (et væddemål, der kan vise sig at være rentabelt i det lange løb), når oddsene er til din fordel, er du forpligtet til at vinde noget på det, uanset om du taber det eller ej. givet hånd. Omvendt, hvis du laver et underdog bet (et væddemål, der er urentabelt i det lange løb), når oddsene er imod dig, taber du noget, uanset om du vinder eller taber hånden.
Du placerer et væddemål med det bedste resultat, hvis din forventning er positiv, og det er positivt, hvis oddsene er på din side. Når du placerer et væddemål med det værste resultat, har du en negativ forventning, som sker, når oddsene er imod dig. Seriøse spillere satser kun på det bedste resultat; hvis det værste sker, folder de. Hvad betyder oddsene til din fordel? Du kan ende med at vinde mere end de rigtige odds giver. De reelle odds for at lande hoveder er 1 til 1, men du får 2 til 1 på grund af odds-forholdet. I dette tilfælde er oddsene til din fordel. Du får helt sikkert det bedste resultat med en positiv forventning på 50 cents pr. indsats.
Her er et mere komplekst eksempel på matematisk forventning. En ven skriver tal fra et til fem ned og satser $5 mod din $1, at du ikke vil gætte tallet. Skal du gå med til sådan et væddemål? Hvad er forventningen her?
I gennemsnit tager du fejl fire gange. Baseret på dette er oddsene mod, at du gætter tallet, 4 til 1. Oddsene mod, at du taber en dollar på et forsøg. Du vinder dog 5 til 1, med mulighed for at tabe 4 til 1. Så oddsene er i din favør, du kan tage væddemålet og håbe på det bedste resultat. Hvis du laver denne indsats fem gange, vil du i gennemsnit tabe $1 fire gange og vinde $5 én gang. Baseret på dette vil du for alle fem forsøg tjene $1 med en positiv matematisk forventning på 20 cents pr. indsats.
En spiller, der vil vinde mere, end han satser, som i eksemplet ovenfor, tager chancer. Tværtimod ødelægger han sine chancer, når han forventer at vinde mindre, end han satser. En spiller kan have enten en positiv eller en negativ forventning, som afhænger af, om han vinder eller ødelægger oddsene.
Hvis du satser $50 for at vinde $10 med en 4 til 1 chance for at vinde, vil du få en negativ forventning på $2, fordi I gennemsnit vil du vinde $10 fire gange og tabe $50 én gang, hvilket viser, at tabet pr. indsats vil være $10. Men hvis du satser $30 for at vinde $10, med samme odds for at vinde 4 til 1, så har du i dette tilfælde en positiv forventning på $2, fordi du vinder igen $10 fire gange og taber $30 én gang, med en fortjeneste på $10. Disse eksempler viser, at den første indsats er dårlig, og den anden er god.
Matematisk forventning er centrum for enhver spilsituation. Når en bookmaker opfordrer fodboldfans til at satse $11 for at vinde $10, har han en positiv forventning på 50 cent for hver $10. Hvis casinoet betaler lige penge fra pass line i craps, så vil casinoets positive forventning være cirka $1,40 for hver $100, fordi Dette spil er opbygget således, at enhver, der satser på denne linje, taber 50,7 % i gennemsnit og vinder 49,3 % af den samlede tid. Det er utvivlsomt denne tilsyneladende minimale positive forventning, der bringer enorme overskud til casinoejere rundt om i verden. Som Vegas World kasinoejer Bob Stupak bemærkede, "en tusindedel af én procent negativ sandsynlighed over en lang nok afstand vil ødelægge den rigeste mand i verden."
Forventning, når du spiller poker
Pokerspillet er det mest illustrative og illustrative eksempel ud fra et synspunkt om at bruge teorien og egenskaberne for matematiske forventninger.
Forventet værdi i poker er den gennemsnitlige fordel ved en bestemt beslutning, forudsat at en sådan beslutning kan betragtes inden for rammerne af teorien om store tal og langdistance. Et succesfuldt pokerspil er altid at acceptere træk med positiv forventet værdi.
Den matematiske betydning af den matematiske forventning, når man spiller poker, er, at vi ofte støder på tilfældige variabler, når vi træffer beslutninger (vi ved ikke, hvilke kort modstanderen har på hænderne, hvilke kort der kommer i de efterfølgende indsatsrunder). Vi skal betragte hver af løsningerne ud fra et stort talteoris synspunkt, som siger, at med en tilstrækkelig stor stikprøve, vil gennemsnitsværdien af en stokastisk variabel have en tendens til dens matematiske forventning.
Blandt de særlige formler til beregning af den matematiske forventning er følgende mest anvendelige i poker:
Når du spiller poker, kan den forventede værdi beregnes for både bets og calls. I det første tilfælde skal fold equity tages i betragtning, i det andet, bankens egne odds. Når du vurderer den matematiske forventning til et bestemt træk, skal du huske, at en fold altid har en nul forventning. At kassere kort vil således altid være en mere profitabel beslutning end ethvert negativt træk.
Forventning fortæller dig, hvad du kan forvente (fortjeneste eller tab) for hver dollar, du risikerer. Kasinoer tjener penge, fordi den matematiske forventning til alle spil, der spilles i dem, er til fordel for casinoet. Med en lang nok serie af spil kan du forvente, at klienten vil miste sine penge, da "oddsene" er til fordel for casinoet. Professionelle casinospillere begrænser dog deres spil til korte perioder og stabler derved oddsene til deres fordel. Det samme gælder for investering. Hvis din forventning er positiv, kan du tjene flere penge ved at lave mange handler på kort tid. Forventning er din procentdel af fortjeneste pr. gevinst ganget med din gennemsnitlige fortjeneste, minus din sandsynlighed for tab ganget med dit gennemsnitlige tab.
Poker kan også betragtes ud fra et synspunkt om matematisk forventning. Du kan antage, at et bestemt træk er rentabelt, men i nogle tilfælde er det måske ikke det bedste, fordi et andet træk er mere rentabelt. Lad os sige, at du rammer et fuldt hus i poker med fem kort. Din modstander laver et væddemål. Du ved, at hvis du hæver indsatsen, vil han svare. Derfor ser det ud til at hæve den bedste taktik. Men hvis du hæver indsatsen, vil de resterende to spillere helt sikkert folde. Men hvis du kalder, har du fuld tillid til, at de to andre spillere bag dig vil gøre det samme. Når du hæver dit bet, får du en enhed, og når du bare kalder, får du to. Således giver calling dig en højere positiv forventet værdi og vil være den bedste taktik.
Den matematiske forventning kan også give en idé om, hvilke pokertaktik der er mindre rentable, og hvilke der er mere profitable. For eksempel, hvis du spiller en bestemt hånd, og du tror, at dit tab i gennemsnit vil være 75 cent inklusive ante, så bør du spille den hånd, fordi dette er bedre end at folde, når ante er $1.
En anden vigtig grund til at forstå begrebet forventet værdi er, at det giver dig en følelse af ro i sindet, uanset om du vinder væddemålet eller ej: hvis du lavede et godt væddemål eller foldede på det rigtige tidspunkt, vil du vide, at du har tjent eller sparet en vis sum penge, som den svage spiller ikke kunne spare. Det er meget sværere at folde, hvis du er ked af det, fordi din modstander tegnede en stærkere hånd. Med alt dette lægges de penge, du sparer ved ikke at spille i stedet for at satse, til dine gevinster for natten eller måneden.
Bare husk, at hvis du skiftede hænder, ville din modstander have kaldt dig, og som du vil se i artiklen om Fundamental Theorem of Poker, er dette blot en af dine fordele. Du skal være glad, når dette sker. Du kan endda lære at nyde at miste en hånd, fordi du ved, at andre spillere i din position ville have tabt meget mere.
Som nævnt i eksemplet med møntspil i begyndelsen, er timelønnen for profit forbundet med den matematiske forventning, og dette koncept er især vigtigt for professionelle spillere. Når du går til poker, bør du mentalt vurdere, hvor meget du kan vinde på en times spil. I de fleste tilfælde bliver du nødt til at stole på din intuition og erfaring, men du kan også bruge noget matematik. For eksempel spiller du draw lowball, og du ser tre spillere satse $10 og derefter bytte to kort, hvilket er en meget dårlig taktik, du kan regne ud, at hver gang de satser $10, taber de omkring $2. Hver af dem gør dette otte gange i timen, hvilket betyder, at de alle tre taber cirka $48 i timen. Du er en af de resterende fire spillere, der er nogenlunde lige store, så disse fire spillere (og du blandt dem) skal dele $48, hver med en fortjeneste på $12 i timen. Dine timeodds i dette tilfælde er simpelthen lig med din andel af pengebeløbet tabt af tre dårlige spillere på en time.
Over en lang periode er spillerens samlede gevinster summen af hans matematiske forventninger i individuelle hænder. Jo flere hænder du spiller med positiv forventning, jo mere vinder du, og omvendt, jo flere hænder du spiller med negativ forventning, jo mere taber du. Som et resultat bør du vælge et spil, der kan maksimere din positive forventning eller ophæve din negative forventning, så du kan maksimere dine timegevinster.
Positive matematiske forventninger i spilstrategi
Hvis du ved, hvordan man tæller kort, kan du have en fordel i forhold til casinoet, så længe de ikke opdager det og smider dig ud. Kasinoer elsker fulde spillere og tolererer ikke spillere, der tæller kort. En fordel vil give dig mulighed for at vinde flere gange, end du taber over tid. God pengestyring ved hjælp af beregninger af forventet værdi kan hjælpe dig med at udvinde mere overskud fra din fordel og reducere dine tab. Uden en fordel er det bedre at give pengene til velgørenhed. I spillet på børsen er fordelen givet af spilsystemet, som skaber større overskud end tab, prisforskelle og kommissioner. Ingen pengestyring kan redde et dårligt spilsystem.
En positiv forventning defineres som en værdi større end nul. Jo større dette tal er, jo stærkere er den statistiske forventning. Hvis værdien er mindre end nul, så vil den matematiske forventning også være negativ. Jo større modulet af den negative værdi er, jo værre er situationen. Hvis resultatet er nul, er ventetiden break-even. Du kan kun vinde, når du har en positiv matematisk forventning og et fornuftigt spillesystem. At spille efter intuition fører til katastrofe.
Matematisk forventning og aktiehandel
Matematisk forventning er en ret udbredt og populær statistisk indikator, når man udfører børshandel på finansielle markeder. Først og fremmest bruges denne parameter til at analysere succesen med handel. Det er ikke svært at gætte, at jo højere denne værdi er, desto flere grunde til at betragte den handel, der studeres, for vellykket. Selvfølgelig kan analyse af en erhvervsdrivendes arbejde ikke udføres ved hjælp af denne parameter alene. Imidlertid kan den beregnede værdi i kombination med andre metoder til at vurdere kvaliteten af arbejdet øge analysens nøjagtighed betydeligt.
Den matematiske forventning beregnes ofte i handelskontoovervågningstjenester, som giver dig mulighed for hurtigt at evaluere det udførte arbejde på indbetalingen. Undtagelserne omfatter strategier, der bruger "sidder ude" urentable handler. En erhvervsdrivende kan være heldig i nogen tid, og derfor kan der slet ikke være nogen tab i hans arbejde. I dette tilfælde vil det ikke være muligt kun at blive styret af den matematiske forventning, fordi de risici, der bruges i arbejdet, ikke vil blive taget i betragtning.
I markedshandel bruges den matematiske forventning oftest, når man forudsiger rentabiliteten af enhver handelsstrategi, eller når man forudsiger en erhvervsdrivendes indkomst baseret på statistiske data fra hans tidligere handel.
Med hensyn til pengestyring er det meget vigtigt at forstå, at når man handler med negative forventninger, er der ingen pengestyringsordning, der helt sikkert kan give høj fortjeneste. Hvis du fortsætter med at spille på aktiemarkedet under disse forhold, så vil du, uanset hvordan du forvalter dine penge, miste hele din konto, uanset hvor stor den var til at begynde med.
Dette aksiom gælder ikke kun for spil eller handler med negative forventninger, det gælder også for spil med lige chancer. Derfor er den eneste gang, du har en chance for at profitere på lang sigt, hvis du tager handler med positiv forventet værdi.
Forskellen mellem negativ forventning og positiv forventning er forskellen mellem liv og død. Det er lige meget, hvor positiv eller negativ forventningen er; Det afgørende er, om det er positivt eller negativt. Derfor, før du overvejer pengestyring, bør du finde et spil med positive forventninger.
Hvis du ikke har det spil, vil al pengeforvaltningen i verden ikke redde dig. På den anden side, hvis du har en positiv forventning, kan du gennem ordentlig pengestyring gøre det til en eksponentiel vækstfunktion. Det er lige meget, hvor lille den positive forventning er! Med andre ord er det ligegyldigt, hvor rentabelt et handelssystem er baseret på en enkelt kontrakt. Hvis du har et system, der vinder $10 pr. kontrakt pr. handel (efter provision og slip), kan du bruge pengestyringsteknikker til at gøre det mere rentabelt end et system, der i gennemsnit har $1.000 pr. handel (efter fradrag af provisioner og slip).
Det afgørende er ikke, hvor rentabelt systemet var, men hvor sikkert systemet kan siges at vise i det mindste minimal profit i fremtiden. Derfor er den vigtigste forberedelse, en erhvervsdrivende kan gøre, at sikre, at systemet vil vise en positiv forventet værdi i fremtiden.
For at have en positiv forventet værdi i fremtiden er det meget vigtigt ikke at begrænse dit systems frihedsgrader. Dette opnås ikke kun ved at eliminere eller reducere antallet af parametre, der skal optimeres, men også ved at reducere så mange systemregler som muligt. Hver parameter du tilføjer, hver regel du laver, hver lille ændring du foretager i systemet reducerer antallet af frihedsgrader. Ideelt set skal du bygge et ret primitivt og enkelt system, der konsekvent vil generere små overskud på næsten ethvert marked. Igen er det vigtigt for dig at forstå, at det er lige meget, hvor rentabelt systemet er, så længe det er rentabelt. De penge, du tjener i handel, vil blive tjent gennem effektiv pengestyring.
Et handelssystem er simpelthen et værktøj, der giver dig en positiv forventet værdi, så du kan bruge pengestyring. Systemer, der fungerer (viser mindst minimal fortjeneste) på kun et eller få markeder, eller har forskellige regler eller parametre for forskellige markeder, vil højst sandsynligt ikke fungere i realtid længe nok. Problemet med de fleste teknisk orienterede handlende er, at de bruger for meget tid og kræfter på at optimere handelssystemets forskellige regler og parameterværdier. Dette giver helt modsatte resultater. I stedet for at spilde energi og computertid på at øge handelssystemets overskud, skal du rette din energi mod at øge pålidelighedsniveauet for at opnå et minimumsoverskud.
Ved at vide, at pengestyring kun er et talspil, der kræver brug af positive forventninger, kan en erhvervsdrivende stoppe med at søge efter aktiehandelens "hellige gral". I stedet kan han begynde at teste sin handelsmetode, finde ud af hvor logisk denne metode er, og om den giver positive forventninger. Korrekte pengestyringsmetoder, anvendt på alle, selv meget middelmådige handelsmetoder, vil klare resten af arbejdet selv.
For at enhver erhvervsdrivende skal få succes med sit arbejde, skal han løse tre vigtigste opgaver: . For at sikre, at antallet af vellykkede transaktioner overstiger de uundgåelige fejl og fejlberegninger; Indstil dit handelssystem, så du har mulighed for at tjene penge så ofte som muligt; Opnå stabile positive resultater fra dine operationer.
Og her, for os arbejdende handlende, kan matematisk forventning være til stor hjælp. Dette udtryk er et af de vigtigste inden for sandsynlighedsteori. Med dens hjælp kan du give et gennemsnitligt skøn over en eller anden tilfældig værdi. Den matematiske forventning til en stokastisk variabel svarer til tyngdepunktet, hvis man forestiller sig alle mulige sandsynligheder som punkter med forskellig masse.
I forhold til en handelsstrategi bruges den matematiske forventning om profit (eller tab) oftest til at evaluere dens effektivitet. Denne parameter er defineret som summen af produkterne af givne niveauer af fortjeneste og tab og sandsynligheden for deres forekomst. For eksempel antager den udviklede handelsstrategi, at 37% af alle transaktioner vil give overskud, og den resterende del - 63% - vil være urentabel. Samtidig vil den gennemsnitlige indkomst fra en vellykket transaktion være $7, og det gennemsnitlige tab vil være $1,4. Lad os beregne den matematiske forventning til handel ved hjælp af dette system:
Hvad betyder dette tal? Den siger, at efter reglerne i dette system vil vi i gennemsnit modtage $1.708 fra hver afsluttet transaktion. Da den resulterende effektivitetsvurdering er større end nul, kan et sådant system bruges til rigtigt arbejde. Hvis den matematiske forventning som følge af beregningen viser sig at være negativ, indikerer dette allerede et gennemsnitligt tab, og en sådan handel vil føre til ruin.
Mængden af fortjeneste pr. transaktion kan også udtrykkes som en relativ værdi i form af %. For eksempel:
– procentdel af indkomst pr. 1 transaktion - 5%;
– procentdel af vellykkede handelsoperationer - 62%;
– procentdel af tab pr. 1 transaktion - 3%;
– procentdel af mislykkede transaktioner - 38%;
Det vil sige, at den gennemsnitlige handel vil bringe 1,96%.
Det er muligt at udvikle et system, der på trods af overvægten af urentable handler vil give et positivt resultat, da dets MO>0.
Det er dog ikke nok at vente alene. Det er svært at tjene penge, hvis systemet giver meget få handelssignaler. I dette tilfælde vil dens rentabilitet være sammenlignelig med bankrenter. Lad hver operation i gennemsnit kun producere 0,5 dollars, men hvad nu hvis systemet involverer 1000 operationer om året? Det vil være et meget betydeligt beløb på relativt kort tid. Det følger logisk heraf, at et andet karakteristisk træk ved et godt handelssystem kan betragtes som en kort periode med at holde positioner.
Kilder og links
dic.academic.ru – akademisk onlineordbog
mathematics.ru – undervisningswebsted i matematik
nsu.ru – uddannelsessted for Novosibirsk State University
webmath.ru er en uddannelsesportal for studerende, ansøgere og skolebørn.
exponenta.ru pædagogisk matematisk hjemmeside
ru.tradimo.com – gratis online handelsskole
crypto.hut2.ru – tværfaglig informationsressource
poker-wiki.ru – gratis encyklopædi af poker
sernam.ru – Videnskabeligt bibliotek med udvalgte naturvidenskabelige publikationer
reshim.su – hjemmeside VI LØSER testkursusproblemer
unfx.ru – Forex på UNFX: træning, handelssignaler, tillidsstyring
slovopedia.com – Big Encyclopedic Dictionary Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – Din guide i pokerens verden
statanaliz.info – informationsblog "Statistisk dataanalyse"
forex-trader.rf – Forex-Trader-portal
megafx.ru - aktuelle Forex-analyser
fx-by.com – alt for en erhvervsdrivende
Fordelingsloven karakteriserer den stokastiske variabel fuldt ud. Ofte er distributionsloven dog ukendt, og man må begrænse sig til mindre information. Nogle gange er det endnu mere rentabelt at bruge tal, der beskriver en tilfældig variabel i alt; sådanne tal kaldes numeriske karakteristika tilfældig variabel. En af de vigtige numeriske karakteristika er den matematiske forventning.
Den matematiske forventning, som det vil blive vist nedenfor, er omtrent lig med gennemsnitsværdien af den stokastiske variabel. For at løse mange problemer er det nok at kende den matematiske forventning. For eksempel, hvis det vides, at den matematiske forventning om antallet af point, som den første skytte scorer, er større end den anden skytte, så scorer den første skytte i gennemsnit flere point end den anden, og skyder derfor bedre end den anden.
Definition 4.1: Matematisk forventning En diskret tilfældig variabel er summen af produkterne af alle dens mulige værdier og deres sandsynligheder.
Lad den tilfældige variabel x kan kun tage værdier x 1, x 2, … x n, hvis sandsynligheder er henholdsvis lige store s 1, s 2, … p n. Så den matematiske forventning M(X) tilfældig variabel x er bestemt af lighed
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n.
Hvis en diskret tilfældig variabel x tager et tælleligt sæt af mulige værdier, så
,
Desuden eksisterer den matematiske forventning, hvis rækken på højre side af ligheden konvergerer absolut.
Eksempel. Find den matematiske forventning til antallet af forekomster af en begivenhed EN i et forsøg, hvis sandsynligheden for hændelsen EN svarende til s.
Løsning: Tilfældig værdi x– antallet af hændelser EN har en Bernoulli distribution, så
Dermed, den matematiske forventning om antallet af forekomster af en begivenhed i et forsøg er lig med sandsynligheden for denne begivenhed.
Probabilistisk betydning af matematisk forventning
Lad det produceres n test, hvor den stokastiske variabel x accepteret m 1 gange værdi x 1, m 2 gange værdi x 2 ,…, m k gange værdi x k, og m 1 + m 2 + …+ m k = n. Så summen af alle værdier taget x, er lige x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
Det aritmetiske middelværdi af alle værdier taget af den tilfældige variabel vil være
Holdning m i/n- relativ hyppighed W i værdier x i omtrent lig med sandsynligheden for, at hændelsen indtræffer p i, Hvor , Derfor
Den probabilistiske betydning af det opnåede resultat er som følger: den matematiske forventning er omtrent lig(jo mere nøjagtigt, jo større antal tests) aritmetisk middelværdi af observerede værdier af en tilfældig variabel.
Egenskaber for matematisk forventning
Ejendom 1:Den matematiske forventning om en konstant værdi er lig med konstanten selv
Ejendom 2:Den konstante faktor kan tages ud over tegnet på den matematiske forventning
Definition 4.2: To tilfældige variable hedder uafhængig, hvis distributionsloven for en af dem ikke afhænger af, hvilke mulige værdier den anden mængde tog. Ellers tilfældige variable er afhængige.
Definition 4.3: Flere tilfældige variable hedder gensidigt uafhængige, hvis lovene for fordeling af et hvilket som helst antal af dem ikke afhænger af, hvilke mulige værdier de andre mængder tog.
Ejendom 3:Den matematiske forventning af produktet af to uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres matematiske forventninger.
Følge:Den matematiske forventning til produktet af flere indbyrdes uafhængige stokastiske variable er lig med produktet af deres matematiske forventninger.
Ejendom 4:Den matematiske forventning af summen af to stokastiske variable er lig med summen af deres matematiske forventninger.
Følge:Den matematiske forventning af summen af flere stokastiske variable er lig med summen af deres matematiske forventninger.
Eksempel. Lad os beregne den matematiske forventning til en binomial stokastisk variabel X - dato for begivenhedens indtræden EN V n eksperimenter.
Løsning: Samlet antal x begivenhedens hændelser EN i disse forsøg er summen af antallet af forekomster af hændelsen i individuelle forsøg. Lad os introducere tilfældige variable X i– antal forekomster af begivenheden i jeg th test, som er Bernoulli stokastiske variable med matematisk forventning, hvor . Ved egenskaben af matematisk forventning har vi
Dermed, den matematiske forventning til en binomialfordeling med parametre n og p er lig med produktet np.
Eksempel. Sandsynlighed for at ramme målet, når du affyrer en pistol p = 0,6. Find den matematiske forventning til det samlede antal træf, hvis der affyres 10 skud.
Løsning: Træffet for hvert skud afhænger ikke af udfaldet af andre skud, derfor er de begivenheder, der overvejes, uafhængige og følgelig den ønskede matematiske forventning