Nakhchivan Autonome Republik. Måder at øge effektiviteten af statslige reguleringsprogrammer i landbrugssektoren i Republikken Armenien

ABA I. KLASSISKE OG SÆRLIGE PROBLEMUDSÆTNINGER

MED FRI GÆNSER.

I. Generelle karakteristika for problemer med masseoverførsel og diffusion med reaktion.

I. Indledende grænseværdiproblemer for plane overflader af koncentrationsfeltet. Kvalitative effekter af diffusionsprocesser ledsaget af adsorption og kemiske reaktioner.

I. Finite-time stabilisering til stationære, rumligt lokaliserede løsninger.

ABA II. UNDERSØGELSE AF IKKE-LINEÆRE OVERFØRSELSPROBLEMER OG

DIFFUSION AF PASSIVE URENHEDER I STRATIFICEREDE MILJØER.

En metode til at adskille variable i en kvasilineær parabolsk diffusions- og transportligning.

Nøjagtige løsninger på problemer med diffusion og overførsel fra koncentrerede, øjeblikkelige og permanent virkende kilder i et medium i hvile.

ABA III. MATEMATISKE MODELLER AF DIFFUSIONSPROCESSER

MED REAKTION.

Rothe-metoden og problemets integralligninger.

Problemer med frie grænser i problemet med forurening og selvrensning fra en punktkilde.

THERATURE.

Introduktion af afhandlingen (del af abstraktet) om emnet "Konstruktive metoder til løsning af grænseværdiproblemer med frie grænser for ikke-lineære ligninger af parabolsk type"

Når man studerer ikke-lineære grænseværdiproblemer, der beskriver processerne for forurening og rekreation af miljøet, afspejler, sammen med diffusion, adsorption og kemiske reaktioner, særlig interesse repræsenterer Stefan-type problemer med en fri grænse og kilder, der i det væsentlige afhænger af det ønskede koncentrationsfelt.

Ikke-lineære problemer med frie grænser i miljøproblemer tillade os at beskrive den faktisk observerede lokalisering af forureningsprocesser (rekreation) miljø. Ulineariteten her skyldes både afhængigheden af den turbulente diffusionstensor K og forureningsudløbene / af koncentrationen c. I det første tilfælde opnås rumlig lokalisering på grund af degeneration, når ved c = O og K = 0. Det forekommer dog kun i dette øjeblik tid g og ved g ja er fraværende.

Udviklingen af diffusionsprocesser med reaktionsstabilisering til det begrænsende stationære tilstande med klart defineret rumlig lokalisering, giver dig mulighed for at beskrive matematiske modeller med en særlig afhængighed af dræn /(er). Sidstnævnte modellerer forbruget af stof på grund af kemiske reaktioner af fraktioneret orden, når /(c) = . I dette tilfælde, uanset diffusionskoefficientens degeneration, er der en spatiotemporal lokalisering af diffusionsforstyrrelsen af mediet. På et hvilket som helst tidspunkt / optager den lokale diffusionsforstyrrelse et bestemt område 0(7), begrænset på forhånd af den tidligere ukendte frie overflade Г(7). Koncentrationsfeltet c(p, /) er i dette tilfælde en diffusionsbølge med en front Г(/), der forplanter sig gennem et uforstyrret medium, hvor c = O.

Det er helt naturligt, at disse kvalitative effekter kun kan opnås på basis af en ikke-lineær tilgang til modellering af reaktionsprocesser.

Denne tilgang er dog forbundet med betydelige matematiske vanskeligheder, når man studerer de ikke-lineære problemer med frie grænser, der opstår her, når et funktionspar skal bestemmes - koncentrationsfeltet c(p,t) og den frie grænse Г(/) = ( (p,t): c(p,t) = O). Sådanne problemer hører som allerede nævnt til mere komplekse, lidt undersøgte problemer matematisk fysik.

Der er forsket væsentligt mindre i grænseværdiproblemer med frie grænser på grund af deres kompleksitet, hvilket er forbundet både med deres ikke-linearitet og med, at de forudsætter en a priori specificering af de topologiske karakteristika for de felter, der søges. Blandt de værker, der overvejer løseligheden af sådanne problemer, er værkerne af A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy osv. Med nogle begrænsninger vedr specificerede funktioner i værker af A.A. Berezovsky, E.S. Sabinina beviste eksistens- og unikkesætninger til løsning af et grænseværdiproblem med en fri grænse for varmeligningen.

Intet mindre vigtig har udvikling effektive metoder omtrentlig løsning af problemer i denne klasse, hvilket vil give os mulighed for at etablere funktionelle afhængigheder af processens hovedparametre på inputdataene, hvilket gør det muligt at beregne og forudsige udviklingen af den undersøgte proces.

På grund af hurtig forbedring computerteknologi Alle større udvikling blive effektiv numeriske metoder løsninger på sådanne problemer. Disse inkluderer metoden med lige linjer, projektionsgittermetoden, udviklet i værker af G.I. Marchuk, V.I. Ogoshkov. I På det sidste Den faste feltmetode er med succes brugt, hvis hovedidé er, at en bevægelig grænse er fast, og en del af de kendte grænsebetingelser er specificeret på den, det resulterende grænseværdiproblem løses, og derefter ved hjælp af den resterende grænse betingelser og den resulterende løsning, findes en ny mere præcis placering af den frie grænse osv. Problemet med at finde den frie grænse reduceres til den efterfølgende løsning af en række klassiske grænseværdiproblemer for almindelige differentialligninger.

Da problemer med frie grænser ikke er blevet fuldt ud undersøgt, og deres løsning er forbundet med betydelige vanskeligheder, kræver deres undersøgelse og løsning inddragelse af nye ideer, brug af hele arsenalet konstruktive metoder ikke-lineær analyse, moderne præstationer matematisk fysik, beregningsmatematik og mulighederne i moderne computerteknologi. I teoretiske termer er der stadig for sådanne problemer aktuelle spørgsmål eksistens, unikhed, positivitet, stabilisering og spatiotemporal lokalisering af løsninger.

Afhandlingsarbejdet er viet til formulering af nye problemer med frie grænser, modellering af overførsels- og diffusionsprocesser med forurenende stoffers reaktion i miljøproblemer, deres kvalitativ forskning og hovedsageligt udvikling af konstruktive metoder til at konstruere omtrentlige løsninger på sådanne problemer.

Det første kapitel giver generelle karakteristika problemer med diffusion i aktive medier, det vil sige medier, hvor spildevand i væsentlig grad afhænger af koncentration. Fysisk baserede restriktioner på strømme er angivet, hvorunder problemet reduceres til følgende problem med frie grænser for en kvasilineær parabolsk ligning: с, = div(K(p, t, с) grad) - div(cu) - f ( с)+ w i Q (/) ,t> 0, c(p,0) = e0(p) i cm c)grad, n)+ac = accp på S(t), c)gradc,n) = 0 på Г if) , hvor K(p,t,c) er den turbulente diffusionstensor; ü er mediets hastighedsvektor, c(p,t) er mediets koncentration.

Der lægges stor vægt i det første kapitel på formuleringen af indledende grænseværdiproblemer for overflader af koncentrationsniveauet i tilfælde af rettede diffusionsprocesser, når der er en-til-en-overensstemmelse mellem koncentration og en af de rumlige koordinater. Den monotone afhængighed af c(x,y,z,t) af z tillader os at transformere differentialligning, problemets begyndelses- og randbetingelser for koncentrationsfeltet i differentialligningen og de tilsvarende yderligere betingelser for feltet af dets plane overflader - z = z(x,y,c,t). Dette opnås ved differentiering omvendte funktioner, løsning af ligningen for den kendte overflade S: Ф (x,y,z,t)=0->z=zs(x,y,t) og omvendt læsning af identiteten c(x,y,zs,t) =c(x, y, t). Differentialligning (1) for c transformeres derefter til en ligning for z- Az=zt-f (c)zc, hvor

2 ^ Az=vT (K*t*)-[K-b Vz = lzx + jz +k, VT = V-k-. zc dz

Når man flytter fra selvstændig variable x,y,z til uafhængige variable x>y,c fysisk domæne Q(i) transformeres til det ikke-fysiske domæne Qc(/), begrænset til en del plan c = 0, som den frie overflade Г går ind i, og fri ind almindelig sag ukendt overflade c=c(x,y,t), hvori den kendte overflade S(t) går.

I modsætning til operatøren divKgrad ■ af det direkte problem, operatør A omvendt problem i det væsentlige ikke-lineær. Specialet beviser positiviteten af den tilsvarende operatør A kvadratisk form e+rf+yf-latf-lßrt, og dermed er dens ellipticitet etableret, hvilket giver os mulighed for at overveje formuleringer af grænseværdiproblemer for den. Ved at integrere med dele fik vi en analog af Greens første formel for operatoren A c(x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n)iï- \\viyrv,VTz)dxdy

Vzf x,y,t) 0 c(x,y,t) - í *

Vi betragter et problem med en fri grænse for et koncentrationsfelt c = c(x,y,z,1), når Dirichlet-betingelsen div(Kgradc) - c, = /(c) - Re g c(P,0) = c0 er angivet på overfladen (P), ReShto), c = (p(p,0, ReB^), ¿>0, (2)

ReG(4 ¿>0. s = 0, K- = 0, dp

I dette tilfælde tillod overgangen i forhold til den plane overflade r = r(x,y,c^) os at slippe af med den frie overflade c=c(x,y,?), da den er fuldstændig bestemt af Dirichlet betingelse c(x,y^) = d >(x,y,rx(x,y^),O-Som et resultat vil følgende begyndelsesgrænseværdiproblem for en stærkt ikke-lineær parabolsk operator^ - - i en tid- varierende, men allerede kendt områdeС2с(0:<9/

Az = z(~zc, x,yED(t), 0 0, z(x,y,c,0) = z0(x,y,c), x,y,sePc(O), z(x, y,c,t) = zs (x, y, c, t), c = c(x, y, t), X, y G D(t), t > 0, zc(x,y,0,t )=-co, x,y&D(t), t> 0.

Her studerer vi også spørgsmålet om det unikke i løsningen af problemet (3). Baseret på den opnåede analog af Greens første formel for operatoren A, under hensyntagen til randbetingelserne efter elementære, men ret besværlige transformationer ved brug af Youngs ulighed, etableres monotoniteten af operatoren A på løsningerne zx og z2 af problemet

Lg2 - Ar1)(r2-)(bcc1us1c< 0 . (4)

På den anden side, ved hjælp af en differentialligning, grænse og starttilstand vist, at

Den resulterende modsigelse beviser unikhedssætningen for løsningen af Dirichlet-problemet for koncentrationsniveauoverflader c(x,y,t)

Sætning 1. Hvis kildefunktionen w er const, stiger sinkfunktionen f(c) monotont og /(0) = 0, så er løsningen på Dirichlet-problemet (2) for plane flader positiv og unik.

Det tredje afsnit i det første kapitel diskuterer de kvalitative effekter af diffusionsprocesser ledsaget af adsorption og kemiske reaktioner. Disse effekter kan ikke beskrives ud fra lineær teori. Hvis i seneste hastighed udbredelsen er uendelig, og der er således ingen rumlig lokalisering, så de betragtede ikke-lineære diffusionsmodeller med reaktion ved de værdier, der er etableret i arbejdet funktionelle afhængigheder turbulent diffusionskoefficient K og spildevandsdensitet (kinetik kemiske reaktioner) / fra koncentration c giver os mulighed for at beskrive de faktisk observerede effekter endelig hastighed fordeling, rumlig lokalisering og stabilisering over en begrænset tid (rekreation) af forurenende stoffer. Arbejdet fastslog, at de anførte effekter kan beskrives ved hjælp af de foreslåede modeller, hvis der er ukorrekt integral med w 1

K(w)dzdt = -\Q(t)dt, t>0;

00 dc с(сс^) = 0,К(с)- = 0, z = oo,t>0. dz

Den stationære opgave i koordinatfri form har formen div(K(c)grade) = f(c) i Q\P (0< с < оо},

K(cgradc,n)) + ac = 0 på 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) karakter,п) = 0 på Г s (с = 0) = dQ. P D,

JJJ/(c)dv + cd'er = q. som

I et semi-kvarter med eQ af punktet Pe Г gjorde overgangen til den semi-koordinatform for notation det muligt at opnå Cauchy-problemet drj

K(c) dc dt] divT (K(c)gradTc) = f(c) i co rj<0

8) dc c = 0, K(c)~ = 0,77 = 0,

OT] hvor m] er koordinaten målt langs normalen til Γ i punktet P, og de to andre kartesiske koordinater m1, m2 ligger i tangentplanet til Γ i punktet P. Da vi i co kan antage, at c(m1, m2 , g/) afhænger svagt af de tangentielle koordinater, dvs. c(tx, t2,1]) = c(t]), for derefter at bestemme c(t]) ud fra (8) Cauchy-problemet drj drj f(c) ), følger TJ< О, dc c = 0, K(c) - = 0,77 = 0. drj

Der er opnået en nøjagtig løsning på problemet (9)

77(s)= gentag 2 s [ o s1m?< 00 (10) и доказана следующая теорема

Sætning 2. En nødvendig betingelse for eksistensen af en rumligt lokaliseret løsning på de ikke-lokale problemer med frie grænser under overvejelse er eksistensen af et ukorrekt integral (b).

Derudover er det bevist, at betingelse (6) er nødvendig og tilstrækkelig 1 for eksistensen af en rumligt lokaliseret løsning på følgende endimensionelle stationære problem med en fri grænse r(c), 0

00 O tsk = ^- si) o 2 c1c c(oo) = 0, K(c)- = 0, g = oo, c1g det vil sige, det finder sted

Sætning 3. Hvis funktionen /(c) opfylder betingelserne f(c) = c ^ , ^< // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 positiv beslutning ikke-lokalt grænseværdiproblem (11) eksisterer og er unikt.

Her overvejer vi også spørgsmål om miljømæssig rekreation i en begrænset tid, som er meget vigtige for praksis. I værkerne af V.V. Kalashnikov og A.A. Samarsky, ved hjælp af sammenligningsteoremer, er dette problem reduceret til at løse den differentielle ulighed -< -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не зависящие от коей1 ординаты) решение.

Samtidig er for rekreationstid skønnet w

T<]. ск х)

I modsætning til disse tilgange gjorde afhandlingen et forsøg på at opnå mere nøjagtige estimater, der ville tage højde for den indledende fordeling af koncentrationen co(x) og dens bærer "(0). Til dette formål blev der ved hjælp af a priori-estimat opnået i arbejdet fundet en differentiel ulighed for den kvadrerede norm for løsningen Ж

13) hvoraf et mere nøjagtigt skøn for T t følger<

1+ /?>(())] hvor c er roden af ligningen

Уг^-Р)/ с /1 =(р, = КМГ > = ^-Ш+Р)^1 ■

Det andet kapitel er viet til spørgsmålene om modellering af processerne for overførsel og diffusion af passive urenheder i lagdelte medier. Udgangspunktet her er problem (1) med /(c) = 0 og Dirichlet-grænsebetingelsen eller den ikke-lokale betingelse c, = (I\(K(p,G,c)%gais)-0 c(p,0) = c0(p) i 0(0),

C(P>*) = φ(р,0 på eller = ()((), с(р, Г) = 0, (К(р^, с)%?аес,н) = 0 på Г(Г) ).

Endimensionelle problemer med turbulent diffusion tages i betragtning under hensyntagen til diffusionskoefficientens afhængighed af skala, tid og koncentration. De repræsenterer lokale og ikke-lokale problemer for den kvasilineære ds-ligning

1 d dt g"-1 dg p-\

K(r,t,c) ds dg p = 1,2,3,

16) hvor K(r,t,c) = K0(p(t)rmck; Birkhoff i formen c(r,t) = f(t)B(T1), tj = r7t P>0,

17) hvor funktionerne og parameteren p bestemmes i processen med at adskille variable i (16). Som et resultat opnåede vi en almindelig differentialligning for B(t]) at] og repræsentationen

Оn+m+p-2)/pBk £® drj

C.B-ij-dtl, åh

For to værdier af en vilkårlig konstant C( - C, = og

С1 = ^Ур ligning (18) indrømmer præcise løsninger, afhængig af en vilkårlig konstant. Sidstnævnte kan bestemmes ved at tilfredsstille en eller anden yderligere betingelser. I tilfælde af Dirichlet-grænsebetingelsen c(0,0 = B0[f^)]"p/p (20), opnås en nøjagtig rumlig lokaliseret løsning i tilfældet k > 0, m< 2:

2-t Gf\h;

L/k 0<г <гф(/),

Vd^0(2-m\ p = pk + 2-m, og den nøjagtige ikke-lokaliserede løsning i tilfælde af k<0, т <2:

1/k 0< г < 00.

22) = [k^2 - t)/?/^1 p = 2-t- p\k\.

Her er f(1) = \(p(r)yt; gf (/) = [^(O]^ o

For k -» 0 følger fra de opnåede løsninger løsningen af det lineære problem c(r,0 = VySht-t) exp[- /(1 - m)2k0f(1)\, som for f(1) = 1 og m = 0, omdannes til diffusionsligningens fundamentale løsning.

Nøjagtige løsninger blev også opnået i tilfælde af øjeblikkelige eller permanent virkende koncentrerede kilder, når en yderligere ikke-lokal grænsebetingelse af formen

23) hvor o)n er arealet af enhedssfæren (co1 = 2, a>2 = 2i, a>3 = 4z).

De nøjagtige løsninger fundet for k >0 af formen (21) repræsenterer en diffusionsbølge, der udbreder sig gennem et uforstyrret medium med en endelig hastighed. Ved k< О такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

Problemer med diffusion fra konstant virkende punkt og lineære kilder i et bevægende medium tages i betragtning, når en kvasi-lineær ligning bruges til at bestemme koncentrationen

Vdivc = -^S(r),

24) hvor K(g,x,s) = K0k(x)gtsk, 8(g) er Dirac delta-funktionen, O er kildens potens. Fortolkningen af koordinaten x som tid/ gjorde det også muligt at opnå nøjagtige delløsninger på et ikke-lokalt problem af formen (21) r 2/(2+2 k) 2 o, 1

2С2 (2 + 2к)К0 к

Løsning (25) gør det i princippet muligt at beskrive den rumlige lokalisering af en diffusionsforstyrrelse. I dette tilfælde bestemmes fronten af den diffuserende bølge, der adskiller regionerne med nul og ikke-nul koncentrationer. For k -» 0 følger kendt løsning Roberts, hvilket dog ikke tillader, at man kan beskrive rumlig lokalisering.

Afhandlingens tredje kapitel er helliget forskning specifikke opgaver diffusion med reaktion i lagdelt luftmiljø, som er følgende endimensionelle problem med en fri grænse uxx-ut = / (u), 0< х < s(t), t>O, u(x,0) = Uq(X), 0< х < 5(0), (26) ux-hu = -h(p, х = 0, t >0, u = 0, deres = 0, x = s(t), t > 0.

Der blev gennemført en numerisk-analytisk implementering af opgave (26) baseret på Rothe-metoden, som gjorde det muligt at opnå følgende syvcifrede tilnærmelse af problemet i form af et system af grænseværdiproblemer for almindelige differentialligninger med i forhold til den omtrentlige værdi u(x) = u(x,1k), og 5 =) V u(x)-u(x^k1): V u"-m~xy = y - m~1 u, 0< х < 5, и"-ки = х = 0, (27) ф) = 0 |ф) = 0.

Løsning (27) reduceres til ikke-lineær integralligninger som Vol-terra og ikke-lineær ligning ved x = 0 5 u(x) ~ 4t [i/g-^--* s/g + k^tek -¿g p V l/g l/g

0 < X < 5, к(р.

For numeriske beregninger reduceres løsningssystem (28) ved hjælp af finitdimensional approksimation til at finde løsninger til et system med ikke-lineær algebraiske ligninger i forhold til nodalværdierne og. = u(x)) og i-.

Problemer med frie grænser i problemet med forurening og selvrensning af atmosfæren ved punktkilder tages også i betragtning her. I mangel af en adsorberende overflade 5(0 (ti&3 = 0) i tilfælde af flade, cylindriske eller punktformige forureningskilder, når koncentrationen afhænger af en rumlige koordinater- afstand til kilde og tid, det enkleste endimensionelle ikke-lokale problem med en fri grænse opnås

-- = /(s), 00, dt gp~x 8g \ 8g, f,0) = 0, 00; ah

1 I bg + /(c) Г~1£/г=- (30) о о ^ ; ^

Konstruktionen af en løsning på problem (29), (30) blev udført ved hjælp af Rothe-metoden i kombination med metoden med ikke-lineære integralligninger.

Ved at transformere afhængige og uafhængige variable, et ikke-lokalt problem med en fri grænse omkring punktkilde reduceret til kanonisk form d2i di 1. d L, h l g---= x rir, 0

5l:2 8t u(x,0) = 0, 0< л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0,

Pmg + = d(r), m > 0, der kun indeholder én funktion, der definerer funktionen d(r).

I særlige tilfælde opnås nøjagtige løsninger af de tilsvarende ikke-lokale stationære problemer med en fri grænse for Emden-Fowler-ligningen med 12 og 1 i l.

2=х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о

Især hvornår /? = 0 m(l:) = (1/6)(25 + x)(5-x)2, hvor* = (Зз)1/3.

Sammen med Rothe-metoden, i kombination med metoden med ikke-lineære integralligninger, er løsningen på det ikke-stationære problem (32) konstrueret ved metoden med ækvivalent linearisering. Denne metode bruger i det væsentlige konstruktionen af en løsning på et stationært problem. Som følge heraf reduceres problemet til Cauchy-problemet for en almindelig differentialligning, hvis løsning kan opnås ved en af de omtrentlige metoder, for eksempel Runge-Kutta-metoden.

Følgende resultater indsendes til forsvar:

Undersøgelse af kvalitative effekter af spatiotemporal lokalisering;

Etablering af nødvendige betingelser for rumlig lokalisering til begrænsende stationære tilstande;

Sætning om det unikke ved løsningen af et problem med en fri grænse i tilfælde af Dirichlet-forhold på en kendt overflade;

Ved hjælp af metoden til separation af variable opnås nøjagtige rumligt lokaliserede familier af partielle løsninger af degenererede kvasilineære parabolske ligninger;

Udvikling af effektive metoder til omtrentlig løsning af endimensionelle ikke-stationære lokale og ikke-lokale problemer med frie grænser baseret på anvendelsen af Rothe-metoden i kombination med metoden med integralligninger;

At opnå nøjagtige rumligt lokaliserede løsninger på stationære diffusionsproblemer med reaktion.

Afslutning af afhandlingen om emnet "Matematisk fysik", Doguchaeva, Svetlana Magomedovna

Hovedresultaterne af afhandlingsarbejdet kan formuleres som følger.

1. Kvalitativt nye effekter af spatio-temporal lokalisering er blevet undersøgt.

2. De nødvendige betingelser for rumlig lokalisering og stabilisering til begrænsende stationære tilstande er etableret.

3. En sætning om det unikke i løsningen af problemet med en fri grænse ved Dirichlet-forhold på en kendt overflade er bevist.

4. Ved hjælp af metoden til adskillelse af variable blev der opnået nøjagtige rumligt lokaliserede familier af partielle opløsninger af degenererede kvasilineære parabolske ligninger.

5. Der er udviklet effektive metoder til den omtrentlige løsning af endimensionelle stationære problemer med frie grænser baseret på anvendelsen af Rothe-metoden i kombination med metoden med ikke-lineære integralligninger.

6. Der blev opnået nøjagtige rumligt lokaliserede løsninger på stationære problemer med diffusion med reaktion.

Baseret på variationsmetoden i kombination med Rothe-metoden, metoden for ikke-lineære integralligninger, er der udviklet effektive løsningsmetoder med udvikling af algoritmer og programmer til numeriske beregninger på en computer, og tilnærmede løsninger af endimensionelle ikke-stationære lokale og ikke-lokale problemer med frie grænser er opnået, så man kan beskrive rumlig lokalisering i forureningsproblemer og selvrensning af lagdelte vand- og luftmiljøer.

Resultaterne af afhandlingsarbejdet kan bruges til at formulere og løse forskellige problemer inden for moderne naturvidenskab, især metallurgi og kryomedicin.

KONKLUSION

Liste over referencer til afhandlingsforskning Kandidat for fysiske og matematiske videnskaber Doguchaeva, Svetlana Magomedovna, 2000

1. Arsenin V.Ya. Grænseværdiproblemer for matematisk fysik og specielle funktioner. -M.: NaukaD 984.-384s.

2. Akhromeeva T. S., Kurdyumov S.P., Malinetsky G. G., Samarsky A.A. To-komponent dissipative systemer i nærheden af bifurkationspunktet // Matematisk modellering. Processer i ikke-lineære medier. -M.: Nauka, 1986. -S. 7-60.

3. Bazaliy B.V. Om et bevis på, at der findes en løsning på Stefan-problemet i to faser // Matematisk analyse og sandsynlighedsteori. -Kiev: Institut for Matematik ved det ukrainske SSR Videnskabsakademi, 1978.-P. 7-11.

4. Bazaliy B.V., Shelepov V.Yu Variationsmetoder i det blandede problem med termisk ligevægt med en fri grænse //Grænseværdiproblemer i matematisk fysik. -Kiev: Institut for Matematik ved Akademiet for Videnskaber i den ukrainske SSR, 1978. S. 39-58.

5. Barenblat G.I., Entov V.M., Ryzhik V.M. Teori om ikke-stationær filtrering af væske og gas. M.: Nauka, 1972.-277 s.

6. Belyaev V.I. Om forbindelsen mellem fordelingen af svovlbrinte i Sortehavet og den vertikale transport af dets farvande/Yukeanalogiya.-1980.-14, Issue Z.-S. 34-38.

7. Berezoeska L.M., Doguchaeva S.M. Problemet med en lusegrænse for koncentrationsfeltets overfladeniveau i problemer! væk fra hjemmet//Crajov1 opgaver! for livagtige p!barnepiger.-Vip. 1(17).-Kshv: 1n-t matematik HAH Ukrash, 1998. S. 38-43.

8. Berezovka L.M., Doguchaeva S.M. D1r1khle problem for overfladen af koncentrationsfeltet // Matematiske metoder i videnskabelige og tekniske fremskridt. -Kshv: 1n-t Matematik HAH Ukrash, 1996. S. 9-14.

9. Berezovskaya JI. M., Dokuchaeva S.M. Rumlig lokalisering og stabilisering i diffusionsprocesser med reaktion //Dopovts HAH Dekoration.-1998.-Nr. 2.-S. 7-10.

10. Yu Berezovsky A.A. Forelæsninger om ulineære grænseværdiproblemer i matematisk fysik. V. 2 dele - Kiev: Naukova Duma, 1976.- Del 1. 252s.

11. M. Berezovsky A.A. Ikke-lineære integralligninger af ledende og strålingsvarmeoverførsel i tynde cylindriske skaller//Differentialligninger med partielle afledte i anvendte problemer. Kiev, 1982. - S. 3-14.

12. Berezovsky A.A. Klassiske og specielle formuleringer af Stefan-problemer // Ikke-stationære Stefan-problemer. Kiev, 1988. - S. 3-20. - (Prepr. / Academy of Sciences of the Ukrainian SSR. Institute of Mathematics; 88.49).

13. Berezovsky A.A., Boguslavsky S.G. Problemer med hydrologi i Sortehavet //Omfattende oceanografiske undersøgelser af Sortehavet. Kiev: Naukova Dumka, 1980. - S. 136-162.

14. Berezovsky A.A., Boguslavsky S./"Problemer med varme- og masseoverførsel ved løsning af nuværende problemer i Sortehavet. Kyiv, 1984. - 56 s. (Forrige /AS fra det ukrainske SSR. Institut for Matematik; 84.49).

15. Berezovsky M.A., Doguchaeva S.M. En matematisk model af den forurenede selvrensning af den fremmede midte //Vyunik Kshvskogo Ushversitetu. -Vip 1.- 1998.-S. 13-16.

16. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asymptotiske metoder i teorien om ikke-lineære svingninger. M.: Nauka, 1974. - 501 s.

17. N.L. Call, Spredning af urenheder i atmosfærens grænselag. L.: Gidrometeoizdat, 1974. - 192 s. 21. Budok B.M., Samarsky A.A., Tikhonov A.N. Samling af problemer i matematisk fysik. M.: Nauka, 1972. - 687 s.

18. Vainberg M. M. Variationsmetode og monotonoperatorernes metode. M.: Nauka, 1972.-415 s.

19. Vladimirov V.S. Matematisk fysiks ligninger. M.: Nauka, 1976. 512 s.

20. Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P., Samarsky A.A. Lokalisering af varme i ikke-lineære medier // Diff. Ligninger. 1981. - Udgave. 42. -S. 138-145.31 Danilyuk I.I. Om Stefans problem//Uspekhi Mat. Sci. 1985. - 10. - Udgave. 5(245)-S. 133-185.

21. Danilyuk I., Kashkakha V.E. Om et ikke-lineært Ritz-system. //Dok. Videnskabsakademiet i den ukrainske SSR. Svovl. 1973. - nr. 40. - s. 870-873.

22. KommersantDoguchaeva S.M. Frie grænseproblemer i miljøproblemer // Ikke-lineære grænseværdiproblemer Matematik. fysik og deres anvendelser. Kiev: Institut for Matematik HAH i Ukraine, 1995. - s. 87-91.

23. Doguchaeva Svetlana M. Berezovsky Arnold A. Matematiske modeller for spredning, nedbrydning og sorption af gas, røg og andre former for forurening i en turbulent atmosfære //Internat. Konf. Ikke-lineære differens/ligninger? Kiev, 21.-27. august, 1995, s. 187.

24. KommersantDoguchaeva S.M. Rumlig lokalisering af løsninger på grænseværdiproblemer for en degenereret parabolligning i et miljøproblem // Ikke-lineære grænseværdiproblemer Matematik. fysik og deres anvendelser. -Kiev: Institut for Matematik HAH i Ukraine, 1996. S. 100-104.

25. BbDoguchaeva S.M. Etdimensionelt Cauchy-problem for plane overflader af koncentrationsfeltet //Problemer med frie grænser og ikke-lokale problemer for ikke-lineære parabolske ligninger. Kiev: Institut for Matematik HAH i Ukraine, 1996. - s. 27-30.

26. Kommersant.Doguchaeva S.M. Rumlig lokalisering af løsninger på grænseværdiproblemer for en degenereret parabolligning i et miljøproblem // Ikke-lineære grænseværdiproblemer Matematik. fysik og deres anvendelser. -Kiev: Institut for Matematik HAH i Ukraine, 1996. S. 100-104.

27. Doguchaeva S. M. Problemer med frie grænser for en degenereret parabolsk ligning i miljøproblemet // Dopovda HAH Dekoration. 1997. - Nr. 12. - s. 21-24.

28. Kalashnikov A. S. Om arten af udbredelsen af forstyrrelser i problemer med ikke-lineær varmeledning med absorption // Mat. noter. 1974. - 14, nr. 4. - s. 891-905. (56)

29. Kalashnikov A.S. Nogle spørgsmål om den kvalitative teori om ikke-lineære degenererede parabolske ligninger af anden orden // Uspekhi Mat. Sci. 1987. - 42, hæfte 2 (254). - s. 135-164.

30. Kalashnikov A. S. Om klassen af systemer af typen "reaktion-diffusion" // Proceedings of the Seminar opkaldt efter. I.G. Petrovsky. 1989. - Udgave. 11. - s. 78-88.

31. Kalashnikov A.S. Om betingelser for øjeblikkelig komprimering af understøtninger af løsninger af semilineære parabolske ligninger og systemer // Mat. noter. 1990. - 47, nr. 1. - s. 74-78.

32. Ab. Kalashnikov A. S. Om spredning af blandinger i nærværelse af langdistancevirkning // Journal. Comput. matematik og matematik fysik. M., 1991. - 31, nr. 4. - S. 424436.

33. Kamenomostskaya S. L. Om Stefans problem // Mat. kollektion. 1961. -53, nr. 4, -S. 488-514.

34. Kamke E. Håndbog i almindelige differentialligninger - M.: Nauka, 1976. 576 s.

35. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Uraltseva N.N. Lineære og kvasilineære ligninger af parabolsk type. M.: Nauka, 1967. - 736 s. (78)

36. Ladyzhenskaya O.A., Uraltseva N.N. Lineære og kvasilineære ligninger af elliptisk type. M.: Nauka, 1964. - 736 s.

37. Lykov A.B. Teori om termisk ledningsevne. M.: Højere. skole, 1967. 599 s.

38. Martinson L.K. Om den endelige udbredelseshastighed af termiske forstyrrelser i medier med konstante varmeledningskoefficienter // Journal. Comput. matematik. og mat. fysik. M., 1976. - 16, nr. 6. - s. 1233-1241.

39. Marchuk G.M., Agoshkov V.I. Introduktion til projektion mesh metoder. -M.: Nauka, 1981. -416 s.

40. Mitropolsky Yu.A., Berezovsky A.A. Stefan problemer med en begrænsende stationær tilstand i speciel elektrometallurgi, kryokirurgi og marin fysik // Mat. fysik og nonlin. Mekanik. 1987. - Udgave. 7. - s. 50-60.

41. Mitropolsky Yu.A., Berezovsky A.A., Shkhanukov M.H. Spatio-temporal lokalisering i problemer med frie grænser for en andenordens ikke-lineær ligning //Ukr. måtte. magasin 1996. - 48, nr. 2 - S. 202211.

42. Mitropolsky Yu. A., Shkhanukov M.Kh., Berezovsky A.A. Om et ikke-lokalt problem for en parabolsk ligning //Ukr. måtte. magasin 1995. -47, nr. 11.- S. 790-800.

43. Ozmidov R.V. Horisontal turbulens og turbulent udveksling i havet. M.: Nauka, 1968. - 196 s.

44. Ozmidov R.V. Nogle resultater af en undersøgelse af diffusionen af urenheder i havet // Oceanologi. 1969. - 9. - Nr. 1. - P. 82-86.66 .Okubo A.A. Gennemgang af teoretiske modeller for turbulent diffusion i havet. -Oceanogr. Soc. Japan, 1962, s. 38-44.

45. Oleinik O.A. Om én metode til at løse det generelle Stefan-problem // Dokl. USSR's Videnskabsakademi. Ser. A. 1960. - Nr. 5. - s. 1054-1058.

46. Oleinik O.A. Om Stefans problem //First Summer Mathematical School. T.2. Kiev: Nauk, Dumka, 1964. - S. 183-203.

47. Roberts O. F. Den teoretiske spredning af røg i en turbulent atmosfære. Proc. Roy., London, Ser. A., v. 104.1923. - P.640-654.

48. Yu.Sabinina E.S. På en klasse af ikke-lineære degenererede parabolske ligninger // Dokl. ÀH USSR. 1962. - 143, nr. 4. - s. 494-797.

49. Kh.Sabinina E.S. På en klasse af kvasilineære parabolske ligninger, der ikke er løselige med hensyn til tidsafledte //Sibirsk. måtte. magasin 1965. - 6, nr. 5. - s. 1074-1100.

50. Samara A.A. Lokalisering af varme i ikke-lineære medier // Uspekhi Mat. Sci. 1982. - 37, nr. 4 - s. 1084-1088.

51. Samara A.A. Introduktion til numeriske metoder. M.: Nauka, 1986. - 288 s.

52. A. Samarsky A.A., Kurdyumov S.P., Galaktionov V.A. Matematisk modellering. Processer i nonlin. miljøer M.: Nauka, 1986. - 309 s.

53. Sansone G. Almindelige differentialligninger. M.:IL, 1954.-416 s.

54. Stefan J. Uber dietheorie der veisbildung, insbesondere über die eisbildung im polarmere //Sitzber. Wien. Akad. Nat. naturw., Bd. 98, IIa, 1889. S. 965-983

55. Sutton O.G. Mikrometeorologi. Ny. York-Toronto-London. 1953. 333s.1% Friedman A. Partielle differentialligninger af parabolsk type. -M.: Mir, 1968.-427 s.

56. Friedman A. Variationsprincipper i problemer med frie grænser. M.: Nauka, 1990. -536 s.

Bemærk venligst, at de videnskabelige tekster, der præsenteres ovenfor, kun er udgivet til informationsformål og er opnået gennem original afhandlingstekstgenkendelse (OCR). Derfor kan de indeholde fejl forbundet med ufuldkomne genkendelsesalgoritmer. Der er ingen sådanne fejl i PDF-filerne af afhandlinger og abstracts, som vi leverer.

Introduktion til arbejdet

Emnets relevans. Når man studerer ikke-lineære grænseværdiproblemer, der beskriver processerne for forurening og rekreation af miljøet, og som afspejler, sammen med diffusion, adsorption og kemiske reaktioner, er Stefan-type problemer med en fri grænse og kilder, der væsentligt afhænger af det ønskede koncentrationsfelt, af særlige interesse. I teoretiske termer forbliver spørgsmålene om eksistens, unikhed, stabilisering og rumlig lokalisering af løsninger relevante for sådanne problemer. Rent praktisk synes udviklingen af effektive numeriske og analytiske metoder til at løse dem særligt vigtig.

Udviklingen af effektive metoder til omtrentlig løsning af problemer i denne klasse gør det muligt at etablere funktionelle afhængigheder af processens hovedparametre på inputdataene, hvilket gør det muligt at beregne og forudsige udviklingen af den pågældende proces.

Blandt de værker, der overvejer løseligheden af Stefan-type problemer med en fri grænse, er bemærkelsesværdige værker af A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, L.I. Rubenstein og andre.

Målet med arbejdet. Formålet med denne afhandling er at studere problemer med frie grænser i en ny formulering, der modellerer overførsels- og diffusionsprocesserne under hensyntagen til forurenende stoffers reaktion i miljøproblemer; deres kvalitative forskning og især udviklingen af konstruktive metoder til at konstruere omtrentlige løsninger på de stillede problemer.

Generelle forskningsmetoder. Resultaterne af arbejdet blev opnået ved brug af Birkhoff-metoden til separation af variable, metoden med ikke-lineære integralligninger, Rothe-metoden samt den ækvivalente lineariseringsmetode

Videnskabelig nyhed og praktisk værdi. Udsagn om problemer som Stefan-problemet, der er undersøgt i afhandlingen, behandles for første gang. For denne klasse af problemer blev følgende hovedresultater opnået til forsvar:

Kvalitativt nye effekter af spatio-temporal lokalisering er blevet undersøgt

De nødvendige betingelser for rumlig lokalisering og stabilisering til begrænsende stationære tilstande er blevet etableret,

En sætning om det unikke i løsningen af problemet med en fri grænse i tilfælde af Dirichlet-forhold på en kendt overflade er bevist.

Ved hjælp af metoden til adskillelse af variable opnås nøjagtige rumligt lokaliserede familier af partielle løsninger af degenererede kvasilineære parabolske ligninger.

Der er udviklet effektive metoder til den omtrentlige løsning af endimensionelle stationære problemer med frie grænser baseret på anvendelsen af Rothe-metoden i kombination med metoden med ikke-lineære integralligninger.

Der opnås nøjagtige rumligt lokaliserede løsninger på stationære diffusionsproblemer med reaktion.

Resultaterne af afhandlingsarbejdet kan bruges til at formulere og løse forskellige problemer inden for moderne naturvidenskab, især metallurgi og kryomedicin, og synes at være meget effektive metoder til at forudsige f.eks. luftmiljøet.

Godkendelse af arbejde. Hovedresultaterne af afhandlingen blev rapporteret og diskuteret på seminaret for Institut for Matematisk Fysik og Teori om ikke-lineære svingninger ved Institut for Matematik ved National Academy of Sciences i Ukraine og Institut for Matematisk Fysik ved Taras Shevchenko University of Kiev, ved den internationale konference "Nonlinear Problems of Differential Equations and Mathematical Physics" (august 1997, Nalchik), ved seminar på det matematiske fakultet ved Kabardino-Balkarian State University om matematisk fysik og beregningsmatematik.

Arbejdets struktur og omfang. Afhandlingsarbejdet består af en introduktion, tre kapitler, en konklusion og en liste over citeret litteratur indeholdende 82 titler. Arbejdets omfang:

Doguchaeva, Svetlana Magomedovna FORFATTER

kandidat for fysiske og matematiske videnskaber AKADEMISK GRAD

Nalchik BESKYTTELSESSTED

2000 BESKYTTELSESÅR

01.01.03 RF Higher Attestation Commission KODE

RGB Lach

hænders rettigheder

Doguchaeva Svetlana Magomedovna

Konstruktive metoder til løsning af grænseværdiproblemer med frie grænser for ikke-lineære ligninger af parabolsk type

Speciale 01.01.03 - Matematisk fysik

afhandling for graden af kandidat i fysiske og matematiske videnskaber

Nalchik -

Arbejdet blev udført på Kabardino-Balkarian State University opkaldt efter. HM. Berbekov og Institut for Matematik HAH i Ukraine.

Videnskabelig vejleder: Doktor i fysik og matematik

Videnskaber, professor Berezovsky A.A.

Officielle modstandere: Doktor i fysik og matematik

Videnskaber, professor Shogenov V.Kh. Kandidat for fysiske og matematiske videnskaber, lektor Bechelova A.R.

Ledende organisation: Forskningsinstituttet

Anvendt matematik og automatisering KBSC RAS

Forsvaret finder sted den 28. december 2000. kl. 10.22 på et møde i det specialiserede råd K063.88.06 på Kabardino-Balkarian State University på adressen:

360004, Nalchik, st. Chernyshevsky, 173.

Afhandlingen kan findes på KBSU-biblioteket.

Videnskabelig sekretær DS K063.88.06 Ph.D. Kaygermazov A.A.

generel beskrivelse af arbejdet

Emnets relevans. Når man studerer ikke-lineære grænseværdiproblemer, der beskriver processerne for forurening og rekreation af miljøet, og som afspejler, sammen med diffusion, adsorption og kemiske reaktioner, er Stefan-type problemer med en fri grænse og kilder, der væsentligt afhænger af det ønskede koncentrationsfelt, af særlige interesse. I teoretiske termer forbliver spørgsmålene om eksistens, unikhed, stabilisering og rumlig lokalisering af løsninger relevante for sådanne problemer. Rent praktisk synes udviklingen af effektive numeriske og analytiske metoder til at løse dem særligt vigtig.

Målet med arbejdet. Formålet med denne afhandling er at studere problemer med frie grænser i en ny formulering, der modellerer overførsels- og diffusionsprocesserne under hensyntagen til forurenende stoffers reaktion i miljøproblemer; deres kvalitative forskning og især udviklingen af konstruktive metoder til at konstruere omtrentlige løsninger på de stillede problemer.

Generelle forskningsmetoder. Resultaterne af arbejdet blev opnået ved brug af Birkhoff-metoden til separation af variable, metoden med ikke-lineære integralligninger, Rothe-metoden samt den ækvivalente lineariseringsmetode

Videnskabelig nyhed og praktisk værdi. Udsagn om problemer som Stefan-problemet, der er undersøgt i afhandlingen, behandles for første gang. For denne klasse af problemer blev følgende hovedresultater opnået til forsvar:

1. Kvalitativt nye effekter af spatio-temporal lokalisering er blevet undersøgt

2. De nødvendige betingelser for rumlig lokalisering og stabilisering til begrænsende stationære tilstande er etableret,

Godkendelse af arbejde. Hovedresultaterne af afhandlingen blev rapporteret og diskuteret på seminaret for Institut for Matematisk Fysik og Teori for ikke-lineære svingninger ved Institut for Matematik ved HAH i Ukraine og Institut for Matematisk Fysik ved Taras Shevchenko Universitetet i Kiev, ved International Konference "Ikke-lineære problemer med differentialligninger og matematisk fysik" (august 1997, Nalchik), på seminar på det matematiske fakultet ved Kabardino-Balkarian State University om matematisk fysik og beregningsmatematik.

Arbejdets struktur og omfang. Afhandlingsarbejdet består af en introduktion, tre kapitler, en konklusion og en liste over citeret litteratur indeholdende 82 titler. Arbejdets omfang:

Det er 96 sider skrevet i Microsoft Office 97-miljø (Times Roman-stil).

Indledningen underbygger emnets relevans, formulerer formålet med forskningen, giver et kort overblik og analyse af den aktuelle tilstand af de problemstillinger, der undersøges i afhandlingen, og giver en anmærkning af de opnåede resultater.

с, = div(K(p,t,c)gradc)~ div(cu)- f(c) + w i Q(i), t > 0, сИ = с0ИвП(0)

(K(p,t,c)-grad(c,n))+ac - accp på S(t), (1)

c(p,t) = 0, (K(p,t,c) grad(c,n)) = 0 på T(i),

hvor K(p,t,c) er den turbulente diffusionstensor; og er mediets hastighedsvektor, c(p,t) er mediets koncentration.

Der lægges stor vægt i det første kapitel på formuleringen af indledende grænseværdiproblemer for overflader af koncentrationsniveauet i tilfælde af rettede diffusionsprocesser, når der er en-til-en-overensstemmelse mellem koncentration og en af de rumlige koordinater. Den monotone afhængighed c = c(x,y, z,t) af z giver os mulighed for at transformere differentialligningen, begyndelses- og randbetingelserne for problemet for koncentrationsfeltet til en differentialligning og de tilsvarende yderligere betingelser for feltet af dens plane overflader z = z(x,y,c ,t). Dette opnås ved at differentiere inverse funktioner, der løser ligningen for en kendt overflade S:<$>(x,y,z,t) = 0 funktioner, opløsning af ligningen for den kendte overflade S: y, z, t) = 0 -» z = zs (x, y, t) og omvendt pro-

læsning af identiteten c(x,y,r5^)=c(x,y^). Differentialligning (1) for C transformeres derefter til en ligning for r - Ar - r, - /(c)rc,

hvor Ar = Ym(K-Ugg)-

Yr = rx1 + r y] + k,

Når man går fra uafhængige variable x, y, z til uafhængige variable x, y, c, transformeres det fysiske område til et ikke-fysisk område begrænset af del

planet c=O, som den frie overflade Г går ind i, og den generelt frie ukendte overflade c=c(x,y,1), som den kendte overflade 5(1) går ind i.

I modsætning til operatoren cYu^ac1c for det direkte problem, er operatoren A for det inverse problem i det væsentlige ikke-lineær. Specialet beviser positiviteten af den andengradsligning svarende til operator A

form +m]2 +y£2 -2a^ - 2/3m]^ og dermed er dens ellipticitet etableret, hvilket giver os mulighed for at overveje problemer for den i denne formulering. Ved at integrere i dele fik vi en analog af Greens første formel for operatoren A

c(x,y,1) c(0

jjdxdy |og Azdc-

Vi betragter et problem med en fri grænse for et koncentrationsfelt c = c(x, y, 1,1), når Dirichlet-betingelsen er angivet på overfladen £(£)

diviK.grayc) - c, = /(c) - c>, Re * > O c(P,0) = co(P), ReI(0),

c =

с = 0, K- = 0, PeY(t), t> О ôn

I dette tilfælde tillod overgangen i forhold til den plane overflade z = z(x,y,c,о) os at slippe af med den frie overflade c = c(x, y,t), da den er fuldstændig bestemt af Dirichlet betingelse c(x,y,0 =

kendt område: Qc(i):

Az = z, - (/(с) -w(z)]zc x,yeD(t), 0<с O, z(x,y,c,0) = Zq (x,y,c), x,ye D(t), (3)

z(x,y,c,t) = zs(x,y,c,t), c = c(x,y,t), x,y e D(t), t> 0, zc(x,y ,0,0 = -°°, x,yeD(t), t> 0,

Her undersøger vi også spørgsmålet om det unikke i løsningen af problemet (3).

Følgende sætning gælder

Sætning 1. Hvis kildefunktionen W = COïlSt, stiger synkefunktionen f(c) monotont og /(o) = 0, så er løsningen på Dirichlet-problemet (2) for plane flader positiv og unik.

Det tredje afsnit i det første kapitel diskuterer de kvalitative effekter af diffusionsprocesser ledsaget af adsorption og kemiske reaktioner. Disse effekter kan ikke beskrives ud fra lineær teori. Hvis udbredelseshastigheden i sidstnævnte er uendelig, og der således ikke er nogen rumlig lokalisering, så er de ikke-lineære diffusionsmodeller med reaktion under overvejelse, med de funktionelle afhængigheder af den turbulente diffusionskoefficient K og effluentdensiteten (kinetikken af en kemisk reaktion) f på koncentrationen c etableret i arbejdet, gøre det muligt at beskrive de faktisk observerede effekter af samreaktion.

begrænset spredningshastighed, rumlig lokalisering og stabilisering over en begrænset tid (rekreation) af forurenende stoffer. Arbejdet fastslog, at de anførte effekter kan beskrives ved hjælp af de foreslåede modeller, hvis der er et ukorrekt integral

¡K(w)~2dw< оо (4)

Vi betragter det tilsvarende (1) ikke-lokale indledende grænseværdiproblem med d - O

ffed^ 1 Ac), o o,

oz\ oz) ved c(z,0) = 0, 0< z < то, /00 / \\\ct+f{c)\lzdt = -\Q{t)dt, t>0; 00 0 dc

c( ,t) = 0, K(c)- = 0, z =°o>0. dz

Den stationære opgave i koordinatfri form har formen: div(K(c) grad) = f(c) i Q \ P (0< с < да},

(.K(c)grad(c,n))+ac = 0 på S = dQf)dD, (5) c = 0, (K(c)grad(c,n)) = 0 på Г=(с = 0) = aoP£>, jff/(c)dv + afj cds = Q.

I et semi-kvarter af punktet P e G gjorde overgangen til den semi-koordinatform for notation det muligt at opnå Cauchy-problemet

Divx(K(c)gradTc) = /(c) i (O (^<0),(6)

c = 0, K(c)- = 0,7 = 0,07

hvor 17 er koordinaten målt langs normalen R til Γ i punktet P, og de to andre kartesiske koordinater r, ligger r2 i tangentplanet til Γ i punktet P. Da vi i o kan antage, at c(r, r2 μ) svagt afhænger af tangentielle koordinater, dvs

c(r,m2 Г]) = c(t]), så for at bestemme c(//) ud fra (6) følger Cauchy-problemet

Ad- =/(c), r|<0,

c = o, ad-=0,7 = 0.

En nøjagtig løsning på problem (7) opnås.

77(s) = |l:(i>) 21 K(y)/(y)<ь (8)

o |_ 0 og følgende sætning er bevist

Sætning 2. En nødvendig betingelse for eksistensen af en rumlig lokaliseret løsning på de betragtede ikke-lokale problemer med frie grænser er eksistensen af et ukorrekt integral (4).

Derudover er det blevet bevist, at betingelse (4) er nødvendig og tilstrækkelig for eksistensen af en rumligt lokaliseret løsning på følgende ikke-lokale stationære problem med en fri grænse:

0 < г < оо,

c(oo) = 0, DG(c)-= 0, g

det vil sige, at det finder sted

Sætning 3. Hvis funktionen f(c) opfylder betingelserne f(c) = c2/M, V2 0, og K(c) er en kontinuerlig positiv funktion, så eksisterer der for enhver Q> O en positiv løsning på det ikke-lokale grænseværdiproblem (9), som er unik.

Her overvejer vi også spørgsmål om miljømæssig rekreation i en begrænset tid, som er meget vigtige for praksis. I værker af V.V. Kalashnikov (1974) og A.A. Samarsky (1982) ved hjælp af sammenligningsteoremer reduceres dette problem til at løse den differentielle ulighed

- < -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не завися-dt

afhængig af koordinat) løsning. Samtidig blev der indhentet et skøn for rekreationstid

I modsætning til disse tilgange gjorde afhandlingen et forsøg på at opnå mere præcise estimater, der ville tage højde for den indledende fordeling af koncentrationen af CD (x) og dens bærer 5(0).

Til dette formål blev der ved hjælp af a priori-estimat opnået i arbejdet fundet en differentiel ulighed for den kvadrerede norm for løsningen

hvorfra følger et mere nøjagtigt skøn for T

T< ,(1+/?жо)

hvor c er roden af ligningen

"(1 -ru2lUg

2_0-/у с /2 =<р,

y(t) HkMI2, s(0) = ~-p(l + /))c

Det andet kapitel er viet til spørgsmålene om modellering af processerne for overførsel og diffusion af passive urenheder i lagdelte medier. Udgangspunktet her er problem (1) med /(c) 3 O og Dirichlet-grænsebetingelsen eller den ikke-lokale betingelse ct = div(K(p,t,c)gradc) - div(cü) + с i Q(t) ), t> OM

с(р,0) = со(р) i OD,

c(p,t) = q>(p,t) på S(t) eller jc(p,t)dv = Q(t), (13)

c(p,t) = O, (K(p,t,c)grad(c,n)) = 0 på Г(0) Endimensionelle problemer med turbulent diffusion overvejes under hensyntagen til diffusionskoefficientens afhængighed på skala, tid og koncentration De repræsenterer lokale og ikke-lokale problemer for den kvasilineære ligning

hvor K(g,(,c) =KO<р(()гтс1!; <р^) - произвольная функция;

K0, m og k er nogle konstanter. Særlige løsninger af denne ligning søges ved hjælp af metoden til adskillelse af variabler i formen

c(r,t) = f(t)B(rj), р>О,

hvor funktionerne /(/),5(r]),φ(/) og parameteren p bestemmes i processen med at adskille variable i (14). Som et resultat blev der opnået en almindelig differentialligning for B(t]).

og præsentationer

c(r,t)^(t)f B(rj), =

betyder

vilkårlig

konstant

C, - Cx og Cx = (t ^/ligning (16) giver mulighed for nøjagtig

nye løsninger afhængig af én vilkårlig konstant. Sidstnævnte kan bestemmes ved at opfylde visse yderligere betingelser. Ved Dirichlet-grænsebetingelsen

с(0,0 = В0[ф(0]У* (18)

en nøjagtig rumlig lokaliseret løsning blev opnået i tilfældet k>0,m<2:

t)0 = [v*K0(2 - t)p/k]P"(2~t\p = pk + 2-t.

og den nøjagtige ikke-lokaliserede løsning i tilfælde af<0, т<2:

0<г<гф(0 , гД0<г<со

s(r,1)=«Ш-п

OM< Г < 00. (20)

u = [k0(2-t)r/vU1|4"(2_t)5 R = 2-t-p\k[

Her= |f(t)s1t; gf (/) = . Når k 0 fra modtaget-

af de følgende løsninger følger løsningen af det lineære problem

cM = vM) G/(1"t) exp[- g2- /(1 - t)gK^)\

som, når φ(() = 1 og m - 0, omdannes til diffusionsligningens fundamentale løsning.

Nøjagtige løsninger blev også opnået i tilfælde af øjeblikkelige eller permanent virkende koncentrerede kilder, når en yderligere ikke-lokal grænsebetingelse af formen

Q =

hvor søn er arealet af en enhedssfære (i>1 = 2, eog = 27u, o)b = 4l").

De fundne eksakte løsninger for k > O af formen (19) repræsenterer en diffusionsbølge, der udbreder sig gennem et uforstyrret medium med en endelig hastighed. Ved k< 0 такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

hvor K(r,x,c) = KcK(x)gtsk, ô(r)~ Dirac delta funktion; Q-kilde strøm. Fortolkningen af koordinaten X som tid / gjorde det også muligt at opnå nøjagtige delløsninger for (22)

0<г <гф(х), Гф(х)<Г< 00,

" 2Скг(2 + 2к)Кь ko

lky(2 + 2ku

Løsning (23) gør det i princippet muligt at beskrive den rumlige lokalisering af en diffusionsforstyrrelse. I dette tilfælde bestemmes fronten af den diffuserende bølge, der adskiller regionerne med nul og ikke-nul koncentrationer. For k -> 0 indebærer det den velkendte Roberts-løsning, som dog ikke tillader, at man kan beskrive rumlig lokalisering.

Afhandlingens tredje kapitel er helliget undersøgelsen af specifikke problemer med diffusion med reaktion i et lagdelt luftmiljø, som er følgende endimensionelle problem med en fri grænse.

deresx~u1=/(u)> 0< лт < £(/), />0,

u(x,0) = u0(x), 0<х< 5(0), (24)

deres -II = ~)r<р, х = 0, ¿>0,

u- 0, deres= 0, x = ¿>0.

Der blev gennemført en numerisk og analytisk implementering af opgave (24) baseret på Rothe-metoden, som gjorde det muligt at opnå følgende tilnærmelse af problemet i form af et system af grænseværdiproblemer for almindelige differentialligninger mhp. omtrentlig værdi u(x) = u(x^k), og

u(x) = u(x,1k_)):

u"-t~1u = ir - r"1u, 0< дг <

u"-Ui = -bср, x = 0, (25)

n(l) = 0 n"O) = 0.

Løsningen på problem (25) er reduceret til de ikke-lineære Volterra-integralligninger

u(x) - l/t ¡зИ-^

For numeriske beregninger reduceres løsning af (26), (27) ved hjælp af finit-dimensional approksimation til at finde løsninger til et system af ikke-lineære algebraiske ligninger med hensyn til nodalværdierne u] = u(x]) a sj.

Problemer med frie grænser i problemet med forurening og selvrensning af atmosfæren ved punktkilder tages også i betragtning her.

af præcisionsfolk. I mangel af en adsorberende overflade S(t) (mesS = 0) i tilfælde af flade, cylindriske eller punktforureningskilder, når koncentrationen afhænger af én rumlig koordinat - afstand til kilden og tid, den enkleste endimensionelle ikke-lokalt problem med en fri grænse opnås

-^=/(s),0<г<гф(0,">0,

1 d f „_, 8 sek

g""1 dg( dgu

c(r,0) = 0,0< г < (0) (28)

с(r,0 = 0, - = 0, r = gf(0, t> 0;

2--- = xx~rir, 0<л 0,

I 1 T + - \QiDdt (29)

Løsningen på problem (28), (29) blev konstrueret ved hjælp af Rothe-metoden i kombination med metoden med ikke-lineære integralligninger.

Ved at transformere de afhængige og uafhængige variable reduceres det ikke-lokale problem med en fri grænse omkring en punktkilde til kanonisk form

u(x,0) = 0,0<л; <5(0), (5(0) = 0), (30)

m(5(g),g) = m;s(5(g),g) = 0, g>0

I særlige tilfælde opnås nøjagtige løsninger af de tilsvarende ikke-lokale stationære problemer med en fri grænse for Emden-Fowler-ligningen

■ xx~ßuß, 0

u(s) = ux($) = 0, Jjf2 pußdx = q

] = (1/6)(2 s + x)(s -x)r, hvor

Sammen med Rothe-metoden i kombination med metoden med integralligninger, er løsningen på det ikke-stationære problem (31) konstrueret ved metoden med ækvivalent linearisering. Denne metode bruger i det væsentlige konstruktionen af en løsning på et stationært problem. Som følge heraf reduceres problemet til Cauchy-problemet for en almindelig differentialligning, hvis løsning kan opnås ved en af de omtrentlige metoder, for eksempel Runge-Kutta-metoden.

1. Berezovsky A.A., Doguchaeva S.M. Rumlig lokalisering og stabilisering i diffusionsprocesser med reaktion //Dopovda HAH Dekoration. -1998. -Nr. 2. -MED. 1-5.

2. Berezovsky N.A., Doguchaeva S.M. Stefans problemer i problemet med forurening og selvrensning af miljøet ved punktkilder // Ikke-lineære grænseværdiproblemer i matematisk fysik og deres anvendelser. - Kiev: Institut for Matematik HAH i Ukraine, 1995. -

3. Berezovska JI.M., Doguchaeva S.M. D1r1hle problem for the top r1vrya of the koncentrationsfeltet // Matematiske metoder i videnskabelige og tekniske fremskridt - Kshv: Institute of Mathematics HAH Ukrashi, 1996.-P.9-14.

4. Berezovsky A.A., Doguchaeva S.M. Matematisk model for obstruktion og selvrensning af otuchuny-midten punkt for punkt dzherel //Problemer med frie grænser og ikke-lokale problemer for ikke-lineære parabolske ligninger. - Kiev: Institut for Matematik HAH i Ukraine, 1996. S.13-16.

5. Doguchaeva S.M. Frie grænseproblemer i miljøproblemer // Ikke-lineære grænseværdiproblemer Matematik. fysik og deres anvendelser - Kyiv: Inst. Matematik HAH i Ukraine, 1995.-

6. Doguchaeva Svetlana M., Berezovsky Arnold A. Matematiske modeller for spredning, nedbrydning og sorption af gas, røg og andre former for forurening i en turbulent atmosfære // International Conference Nonlinear Differential Eguations, Kiev, August 21-27, 1995, s. . 187.

7. Doguchaeva S.M. Rumlig lokalisering af løsninger på grænseværdiproblemer for en degenereret parabolligning i et miljøproblem // Ikke-lineære grænseværdiproblemer Matematik. Fysikere og deres applikationer.-Kiev: Institut for Matematik HAH i Ukraine,

1996.-S. 100-104.

8. Doguchaeva S.M. Endimensionelt Cauchy-problem for plane overflader af koncentrationsfeltet //Problemer med frie grænser og ikke-lokale problemer for ikke-lineære parabolske ligninger. -Kiev: Institut for Matematik HAH i Ukraine, 1996 - S. 27-30.

9. Doguchaeva S.M. Kvalitative effekter af diffusions- og masseoverførselsprocesser, ledsaget af adsorption og kemiske reaktioner // Ikke-lineære problemer med differentialligninger og matematisk fysik. -Kiev: Institut for Matematik,

1997,-S. 103-106.

10. Doguchaeva S.M. Problemer med frie grænser for en degenereret parabolsk ligning i miljøproblemet //Dopovts HAH Decorations. - 1999. - Nr. 12 - S.28-29.

ABA I. KLASSISKE OG SÆRLIGE PROBLEMUDSÆTNINGER

MED FRI GÆNSER.

I. Generelle karakteristika for problemer med masseoverførsel og diffusion med reaktion.

I. Indledende grænseværdiproblemer for plane overflader af koncentrationsfeltet. Kvalitative effekter af diffusionsprocesser ledsaget af adsorption og kemiske reaktioner.

I. Finite-time stabilisering til stationære, rumligt lokaliserede løsninger.

ABA II. UNDERSØGELSE AF IKKE-LINEÆRE OVERFØRSELSPROBLEMER OG

DIFFUSION AF PASSIVE URENHEDER I STRATIFICEREDE MILJØER.

En metode til at adskille variable i en kvasilineær parabolsk diffusions- og transportligning.

Nøjagtige løsninger på problemer med diffusion og overførsel fra koncentrerede, øjeblikkelige og permanent virkende kilder i et medium i hvile.

ABA III. MATEMATISKE MODELLER AF DIFFUSIONSPROCESSER

MED REAKTION.

Rothe-metoden og problemets integralligninger.

Problemer med frie grænser i problemet med forurening og selvrensning fra en punktkilde.

THERATURE.

Introduktion afhandling i matematik, om emnet "Konstruktive metoder til løsning af grænseværdiproblemer med frie grænser for ikke-lineære ligninger af parabolsk type"

Når man studerer ikke-lineære grænseværdiproblemer, der beskriver processerne for forurening og rekreation af miljøet, og som afspejler, sammen med diffusion, adsorption og kemiske reaktioner, er Stefan-type problemer med en fri grænse og kilder, der væsentligt afhænger af det ønskede koncentrationsfelt, af særlige interesse.

Ikke-lineære problemer med frie grænser i miljøproblemer gør det muligt at beskrive den faktisk observerede lokalisering af miljøforurenings- (rekreations)processer. Ulineariteten her skyldes både afhængigheden af den turbulente diffusionstensor K og forureningsudløbene / af koncentrationen c. I det første tilfælde opnås rumlig lokalisering på grund af degeneration, når ved c = O og K = 0. Den forekommer dog kun på et givet tidspunkt r og er fraværende ved z.

Udviklingen af diffusionsprocesser med reaktion, stabiliserende til begrænsende stationære tilstande med klart defineret rumlig lokalisering, kan beskrives ved matematiske modeller med en særlig afhængighed af dræn /(c). Sidstnævnte modellerer forbruget af stof på grund af kemiske reaktioner af fraktioneret orden, når /(c) = . I dette tilfælde, uanset diffusionskoefficientens degeneration, er der en spatiotemporal lokalisering af diffusionsforstyrrelsen af mediet. På et hvilket som helst tidspunkt / optager den lokale diffusionsforstyrrelse et bestemt område 0(7), begrænset på forhånd af den tidligere ukendte frie overflade Г(7). Koncentrationsfeltet c(p, /) er i dette tilfælde en diffusionsbølge med en front Г(/), der forplanter sig gennem et uforstyrret medium, hvor c = O.

Det er helt naturligt, at disse kvalitative effekter kun kan opnås på basis af en ikke-lineær tilgang til modellering af reaktionsprocesser.

Der er forsket væsentligt mindre i grænseværdiproblemer med frie grænser på grund af deres kompleksitet, hvilket er forbundet både med deres ikke-linearitet og med, at de forudsætter en a priori specificering af de topologiske karakteristika for de felter, der søges. Blandt de værker, der overvejer løseligheden af sådanne problemer, er værkerne af A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy osv. Med nogle begrænsninger på givne funktioner i værkerne af A.A. Berezovsky, E.S. Sabinina beviste eksistens- og unikkesætninger til løsning af et grænseværdiproblem med en fri grænse for varmeligningen.

Lige så vigtigt er udviklingen af effektive metoder til omtrentlig løsning af problemer i denne klasse, som vil gøre det muligt at etablere funktionelle afhængigheder af processens hovedparametre på inputdataene, hvilket gør det muligt at beregne og forudsige processens udvikling under overvejelse.

På grund af den hurtige forbedring af computerteknologi udvikles der i stigende grad effektive numeriske metoder til at løse sådanne problemer. Disse inkluderer metoden med lige linjer, projektionsgittermetoden, udviklet i værker af G.I. Marchuk, V.I. Ogoshkov. For nylig er metoden med faste felter blevet brugt med succes, hvis hovedidé er, at en bevægelig grænse er fikseret og en del af de kendte grænsebetingelser er sat på den, det resulterende grænseværdiproblem løses, og derefter vha. de resterende randbetingelser og den resulterende løsning, en ny mere nøjagtig position findes fri grænse osv. Problemet med at finde den frie grænse reduceres til den efterfølgende løsning af en række klassiske grænseværdiproblemer for almindelige differentialligninger.

Da problemer med frie grænser ikke er blevet fuldt ud undersøgt, og deres løsning er forbundet med betydelige vanskeligheder, kræver deres forskning og løsning inddragelse af nye ideer, brug af hele arsenalet af konstruktive metoder til ikke-lineær analyse, moderne præstationer af matematisk fysik, beregningsmatematik og mulighederne i moderne computerteknologi. I teoretiske termer forbliver spørgsmålene om eksistens, unikhed, positivitet, stabilisering og spatiotemporal lokalisering af løsninger relevante for sådanne problemer.

Afhandlingsarbejdet er helliget formuleringen af nye problemer med frie grænser, der modellerer transport- og diffusionsprocesserne med forurenende stoffers reaktion i miljøproblemer, deres kvalitative undersøgelse og hovedsageligt udvikling af konstruktive metoder til at konstruere omtrentlige løsninger på sådanne. problemer.

Det første kapitel giver en generel beskrivelse af diffusionsproblemer i aktive medier, det vil sige medier, hvor spildevand i væsentlig grad afhænger af koncentration. Fysisk baserede restriktioner på strømme er angivet, hvorunder problemet reduceres til følgende problem med frie grænser for en kvasilineær parabolsk ligning: с, = div(K(p, t, с) grad) - div(cu) - f ( с)+ w i Q (/) ,t> 0, c(p,0) = e0(p) i cm c)grad, n)+ac = accp på S(t), c)gradc,n) = 0 på Г if) , hvor K(p,t,c) er den turbulente diffusionstensor; ü er mediets hastighedsvektor, c(p,t) er mediets koncentration.

Der lægges stor vægt i det første kapitel på formuleringen af indledende grænseværdiproblemer for overflader af koncentrationsniveauet i tilfælde af rettede diffusionsprocesser, når der er en-til-en-overensstemmelse mellem koncentration og en af de rumlige koordinater. Den monotone afhængighed af c(x,y,z,t) af z giver os mulighed for at transformere differentialligningen, begyndelses- og randbetingelserne for problemet for koncentrationsfeltet til en differentialligning og de tilsvarende yderligere betingelser for feltet af dets plane overflader - z = z(x,y,c, t). Dette opnås ved at differentiere de inverse funktioner, løse ligningen for den kendte overflade S: Ф (x,y,z,t)=0->z=zs(x,y,t) og læse identiteten tilbage med(x) ,y,zs,t)=c(x,y,t). Differentialligning (1) for c transformeres derefter til en ligning for z- Az=zt-f (c)zc, hvor

2 ^ Az=vT (K*t*)-[K-b Vz = lzx + jz +k, VT = V-k-. zc dz

Ved overgang fra uafhængige variable x, y, z til uafhængige variable x>y, c, transformeres det fysiske område Q(i) til det ikke-fysiske område Qc(/), begrænset af delen af planet c = 0, hvori den frie flade Г passerer, og fri i i det generelle tilfælde en ukendt flade c=c(x,y,t), hvori den kendte flade S(t) går.

I modsætning til operatoren divKgrad ■ for det direkte problem, er operator A for det inverse problem i det væsentlige ikke-lineær. Specialet beviser positiviteten af den kvadratiske form e+rf+yf-latf-lßrt svarende til operator A, og etablerer derved dens elliptiske, hvilket giver os mulighed for at overveje formuleringer af grænseværdiproblemer for den. Ved at integrere med dele fik vi en analog af Greens første formel for operatoren A c(x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n)iï- \\viyrv,VTz)dxdy

Vzf x,y,t) 0 c(x,y,t) - í *

ReG(4 ¿>0. s = 0, K- = 0, dp

I dette tilfælde tillod overgangen i forhold til den plane overflade r = r(x,y,c^) os at slippe af med den frie overflade c=c(x,y,?), da den er fuldstændig bestemt af Dirichlet betingelse c(x,y^) = d >(x,y,rx(x,y^),O- Som et resultat vil følgende begyndelsesgrænseværdiproblem for en stærkt ikke-lineær parabolsk operator^ - - i en tid- varierende, men allerede kendt domæne C2c(0:<9/

Az = z(~zc, x,yED(t), 0 0, z(x,y,c,0) = z0(x,y,c), x,y,sePc(O), z(x,y,c,t) = zs (x,y,c, t), c = c(x, y, t), X, y G D(t), t > 0, zc(x,y,0,t)=-co, x,y&D(t), t> 0 .

Lg2 - Ar1)(r2-)(bcc1us1c< 0 . (4)

På den anden side, ved hjælp af differentialligningen, grænse og begyndelsesbetingelser er det vist, at

Den resulterende modsigelse beviser unikhedssætningen for løsningen af Dirichlet-problemet for koncentrationsniveauoverflader c(x,y,t)

Sætning 1. Hvis kildefunktionen w er const, stiger sinkfunktionen f(c) monotont og /(0) = 0, så er løsningen på Dirichlet-problemet (2) for plane flader positiv og unik.

Det tredje afsnit i det første kapitel diskuterer de kvalitative effekter af diffusionsprocesser ledsaget af adsorption og kemiske reaktioner. Disse effekter kan ikke beskrives ud fra lineær teori. Hvis udbredelseshastigheden i sidstnævnte er uendelig, og der således ikke er nogen rumlig lokalisering, så er de ikke-lineære modeller af diffusion med reaktion under overvejelse, med de funktionelle afhængigheder af den turbulente diffusionskoefficient K og udløbsdensiteten (kinetik af kemiske reaktioner) / på koncentration c etableret i arbejdet, gør det muligt at beskrive de faktisk observerede effekter af en begrænset udbredelseshastighed , rumlig lokalisering og stabilisering over en begrænset tid (genskabelse) af forurenende stoffer. Arbejdet fastslog, at de anførte effekter kan beskrives ved hjælp af de foreslåede modeller, hvis der er et ukorrekt integral med w 1

K(w)dzdt = -\Q(t)dt, t>0;

00 dc с(сс^) = 0,К(с)- = 0, z = oo,t>0. dz

Den stationære opgave i koordinatfri form har formen div(K(c)grade) = f(c) i Q\P (0< с < оо},

K(cgradc,n)) + ac = 0 på 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) karakter,п) = 0 på Г s (с = 0) = dQ. P D,

JJJ/(c)dv + cd'er = q. som

I et semi-kvarter med eQ af punktet Pe Г gjorde overgangen til den semi-koordinatform for notation det muligt at opnå Cauchy-problemet drj

K(c) dc dt] divT (K(c)gradTc) = f(c) i co rj<0

8) dc c = 0, K(c)~ = 0,77 = 0,

Der er opnået en nøjagtig løsning på problemet (9)

77(s)= gentag 2 s [ o s1m?< 00 (10) и доказана следующая теорема

Sætning 2. En nødvendig betingelse for eksistensen af en rumligt lokaliseret løsning på de ikke-lokale problemer med frie grænser under overvejelse er eksistensen af et ukorrekt integral (b).

00 O tsk = ^- si) o 2 c1c c(oo) = 0, K(c)- = 0, g = oo, c1g det vil sige, det finder sted

Sætning 3. Hvis funktionen /(c) opfylder betingelserne f(c) = c ^ , ^< // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 findes en positiv løsning på det ikke-lokale grænseværdiproblem (11) og er unik.

Samtidig er for rekreationstid skønnet w

T<]. ск х)

13) hvoraf et mere nøjagtigt skøn for T t følger<

1+ /?>(())] hvor c er roden af ligningen

Уг^-Р)/ с /1 =(р, = КМГ > = ^-Ш+Р)^1 ■

C(P>*) = φ(р,0 på eller = ()((), с(р, Г) = 0, (К(р^, с)%?аес,н) = 0 på Г(Г) ).

1 d dt g"-1 dg p-\

K(r,t,c) ds dg p = 1,2,3,

16) hvor K(r,t,c) = KO(p(t)rmck;

17) hvor funktionerne og parameteren p bestemmes i processen med at adskille variable i (16). Som et resultat opnåede vi en almindelig differentialligning for B(t]) at] og repræsentationen

Оn+m+p-2)/pBk £® drj

C.B-ij-dtl, åh

For to værdier af en vilkårlig konstant C( - C, = og

С1 = ^Ур ligning (18) tillader nøjagtige løsninger afhængigt af en vilkårlig konstant. Sidstnævnte kan bestemmes ved at opfylde visse yderligere betingelser. I tilfælde af Dirichlet-grænsebetingelsen c(0,0 = B0[f^)]"p/p (20), opnås en nøjagtig rumlig lokaliseret løsning i tilfældet k > 0, m< 2:

2-t Gf\h;

L/k 0<г <гф(/),

Åh, gf(/)<г< оо,

Vd^0(2-m\ p = pk + 2-m, og den nøjagtige ikke-lokaliserede løsning i tilfælde af k<0, т <2:

1/k 0< г < 00.

22) = [k^2 - t)/?/^1 p = 2-t- p\k\.

Her er f(1) = \(p(r)yt; gf (/) = [^(O]^ o

Nøjagtige løsninger blev også opnået i tilfælde af øjeblikkelige eller permanent virkende koncentrerede kilder, når en yderligere ikke-lokal grænsebetingelse af formen

23) hvor o)n er arealet af enhedssfæren (co1 = 2, a>2 = 2i, a>3 = 4z).

Problemer med diffusion fra konstant virkende punkt og lineære kilder i et bevægende medium tages i betragtning, når en kvasi-lineær ligning bruges til at bestemme koncentrationen

Vdivc = -^S(r),

Gf(x)<Г<СС,

Mk 0<г<гф (х), Ф

2С2 (2 + 2к)К0 к

Løsning (25) gør det i princippet muligt at beskrive den rumlige lokalisering af en diffusionsforstyrrelse. I dette tilfælde bestemmes fronten af den diffuserende bølge, der adskiller regionerne med nul og ikke-nul koncentrationer. For k -» 0 indebærer det den velkendte Roberts-løsning, som dog ikke tillader, at man kan beskrive rumlig lokalisering.

Afhandlingens tredje kapitel er viet til studiet af specifikke problemer med diffusion med reaktion i et lagdelt luftmiljø, som er følgende endimensionelle problem med en fri grænse uxx-ut = / (u), 0< х < s(t), t>O, u(x,0) = Uq(X), 0< х < 5(0), (26) ux-hu = -h(p, х = 0, t >0, u = 0, deres = 0, x = s(t), t > 0.

Løsning (27) reduceres til ikke-lineære integralligninger af Volterra-typen og en ikke-lineær ligning for x = 0 5 u(x) ~ 4m [i/r-^--* s/r + k^tek -¿r n V l / g l/g

0 < X < 5, к(р.

For numeriske beregninger reduceres løsningssystem (28) ved hjælp af finit-dimensional approksimation til at finde løsninger til et system af ikke-lineære algebraiske ligninger med hensyn til nodalværdierne og. = u(x)) og i-.

Problemer med frie grænser i problemet med forurening og selvrensning af atmosfæren ved punktkilder tages også i betragtning her. I mangel af en adsorberende overflade 5(0 (tie&3 = 0) i tilfælde af flade, cylindriske eller punktforureningskilder, når koncentrationen afhænger af én rumlig koordinat - afstanden til kilden og tiden, den enkleste endimensionelle ikke-lokalt problem med en fri grænse opnås

-- = /(s), 0<г<гф(О,/>0, dt gp~x 8g \ 8g, f,0) = 0, 0<г<гф (0) (29) 5с с(г,0 = 0, - = 0, г = гф(0, ^>0; ah

1 I bg + /(c) Г~1£/г=- (30) о о ^ ; ^

Konstruktionen af en løsning på problem (29), (30) blev udført ved hjælp af Rothe-metoden i kombination med metoden med ikke-lineære integralligninger.

Ved at transformere de afhængige og uafhængige variable reduceres det ikke-lokale problem med en fri grænse omkring en punktkilde til den kanoniske form<х<^(г), г>0,

5l:2 8t u(x,0) = 0, 0< л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0,

Pmg + = d(r), m > 0, der kun indeholder én funktion, der definerer funktionen d(r).

I særlige tilfælde opnås nøjagtige løsninger af de tilsvarende ikke-lokale stationære problemer med en fri grænse for Emden-Fowler-ligningen med 12 og 1 i l.

2=х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о

Især hvornår /? = 0 m(l:) = (1/6)(25 + x)(5-x)2, hvor* = (Зз)1/3.

Følgende resultater indsendes til forsvar:

Undersøgelse af kvalitative effekter af spatiotemporal lokalisering;

Etablering af nødvendige betingelser for rumlig lokalisering til begrænsende stationære tilstande;

Sætning om det unikke ved løsningen af et problem med en fri grænse i tilfælde af Dirichlet-forhold på en kendt overflade;

Ved hjælp af metoden til separation af variable opnås nøjagtige rumligt lokaliserede familier af partielle løsninger af degenererede kvasilineære parabolske ligninger;

At opnå nøjagtige rumligt lokaliserede løsninger på stationære diffusionsproblemer med reaktion.

Afslutning af afhandlingen om emnet "Matematisk fysik"

Hovedresultaterne af afhandlingsarbejdet kan formuleres som følger.

1. Kvalitativt nye effekter af spatio-temporal lokalisering er blevet undersøgt.

2. De nødvendige betingelser for rumlig lokalisering og stabilisering til begrænsende stationære tilstande er etableret.

3. En sætning om det unikke i løsningen af problemet med en fri grænse ved Dirichlet-forhold på en kendt overflade er bevist.

4. Ved hjælp af metoden til adskillelse af variable blev der opnået nøjagtige rumligt lokaliserede familier af partielle opløsninger af degenererede kvasilineære parabolske ligninger.

6. Der blev opnået nøjagtige rumligt lokaliserede løsninger på stationære problemer med diffusion med reaktion.

Resultaterne af afhandlingsarbejdet kan bruges til at formulere og løse forskellige problemer inden for moderne naturvidenskab, især metallurgi og kryomedicin.

KONKLUSION

Liste over kilder afhandling og abstrakt i matematik, kandidat for fysiske og matematiske videnskaber, Doguchaeva, Svetlana Magomedovna, Nalchik