“ALL-RUSSISK OLYMPIADE FOR SKOLEBØRN Plads til kode i SOCIALSTUDIE 2012/2013 KOMMUNALE SCENE. MOSKVA BY 10. KLASSE. 1. Vælg..."
ALL-RUSSISK OLYMPIAD FOR SKOLEBØRN Plads til kode
I SOCIALSTUDIE 2012/2013
KOMMUNAL SCENE. MOSKVA BY
1. Vælg flere rigtige svar i hver opgave og indtast de valgte svar
1.1. Find resultaterne af videnskabelige aktiviteter i den angivne liste og ring om tallene,
hvorunder de er angivet.
1) kendskab til de grundlæggende naturlove
2) videnskabelige laboratorier
3) samlinger af opgaver og øvelser til elever
4) afhandlingsforskning
5) lærebøger for gymnasier
6) rapporter på videnskabelige konferencer
1.2. Hvilke af de følgende udsagn er karakteristiske for den dannelsesmæssige tilgang til menneskehedens historie? Skriv de tal ned, som de er angivet under.
1) menneskeheden opstod som et resultat af guddommelig skabelse
2) drivkraften i den historiske udvikling er klassekampen
3) ethvert kulturelt og historisk samfund gennemgår en udviklingscyklus fra oprindelse til død
4) samfundsstrukturen er baseret på en eller anden metode til social produktion
5) i slutningen af det tyvende århundrede. overgangen til et postindustrielt samfund begyndte
6) et kompleks af moralske, juridiske, ideologiske relationer danner samfundets overbygning
1.3. Under udviklingen af foreningen af primitive stammer opstod en stat. Hvilket af følgende tegn kan indikere dette?
1) alle voksne mænd af alle stammer bærer våben
2) alle medlemmer af disse stammer betaler en vis regelmæssig tribut til deres hersker
3) alle stammefolk skiftede fra en nomadisk livsstil til en stillesiddende livsstil
4) hovedbeskæftigelsen for folk, der tilhørte stammeunionen, var landbrug
5) i hver stamme udføres den højeste domstol af en guvernør udsendt af herskeren
6) herskeren afviser regelmæssigt angreb fra stammer, der ikke er inkluderet i denne forening med hjælp fra hans hold 1.1. 1.2. 1.3.
2. Hvad forener de begreber, der danner hver af de præsenterede serier? Giv et kort svar.
2.1. Opfyldelse af de vigtigste sociale behov, tilstedeværelsen af bæredygtige former for fælles aktiviteter, der fungerer på grundlag af formelt definerede regler
2.2. Efter krigens afslutning blev demobiliseringen gennemført, i løbet af året blev lønningerne forhøjet tre gange for pædagoger, i 1920'erne - 1930'erne i USSR lærte en betydelig del af voksne bønder at læse og skrive som en del af læse- og skriveprogrammet _
3. Hvad er EKSTRA i den givne serie? FORKLAR, hvorfor du besluttede dig på denne måde. Skriv dit svar på de angivne linjer.
3.1. Forholdet mellem afdelingen for interne anliggender med borgere, forholdet mellem byens undervisningsafdeling med en ikke-statslig uddannelsesinstitution, kundens forhold til entreprenøren, forholdet mellem butiksdirektøren og repræsentanter for den sanitære og epidemiologiske tjeneste ________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
3.2. Indkomst, uddannelse, klasse, erhverv, mængde af magt.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
4. Her er et uddrag af en skoleopgave om politiske ideologier.
En række bestemmelser udtrykt i passagen rejste tvivl blandt klassekammerater under forsvaret af essayet. Disse bestemmelser er nummererede.
Bestem, om disse bestemmelser er sande eller falske ("JA" eller "NEJ"), og indtast svarene i tabellen:
Ungdomskultur er, som enhver kultur, et statisk system (1) ændringer, hvori ved hver ny tidsperiode, fastgjort i ydre manifestationer, afspejler dette systems evne på den ene side til at reagere i overensstemmelse hermed på ydre og interne processer, og på den anden side at tilpasse sig de skiftende ydre og indre betingelser for deres eksistens. Ungdomssubkultur er normalt politisk(2). Samtidig har udsving i politiske regeringsregimer og i overensstemmelse hermed situationen i samfundets grundkultur, som ungdomssubkulturen eksisterer i, indflydelse på ungdomssubkulturens dynamik. (3) Valget af bestemte værdier er oftest forbundet med individuelle stereotyper (4) af en ret rigid karakter - de, der er uenige, løber en høj risiko for at slutte sig til de udstødte. Gruppestereotyper og et prestigefyldt hierarki af værdier bestemmes af køn, uddannelsesniveau og til en vis grad gruppemedlemmernes placering og nationalitet. (5) Inden for ungdomssubkulturer er der som regel ingen afvisning af den nationale kultur, der er accepteret af flertallet, men der findes kun nogle afvigelser fra den (6) Folkekulturen (traditioner, skikke, folklore) opfattes aktivt af flertallet af de unge. (7)
5. Her er et sæt fragmenter fra forskellige litterære kilder. Disse fragmenter præsenterer forskellige typer af fænomener, der er betegnet med et samfundsvidenskabeligt udtryk.
5.1. Skriv ned, hvilket fænomen der diskuteres i alle de præsenterede fragmenter.
5.2. I tabellen, under bogstavbetegnelsen for hvert fragment, skal du indtaste et udtryk, der angiver en eller anden type fænomen, du har identificeret, afspejlet i dette fragment.
1. “Eksamenerne kommer. Gulya tog sit egern med til den grønne skov, fulgte med sin mor, der var rejst til Sochi, til stationen og vendte tilbage til den tomme lejlighed. Frosya blev hos hende.
Nå, Frosenka," sagde Gulya, "jeg vil ikke forlade dette sted, før jeg har gennemgået hele fysikken."
Og Gulya satte sig ved sit bord. Hun hvilede hovedet i hænderne og dykkede ned i bogen. Værelset var oversvømmet med sol. Et akacietræ blomstrede foran vinduet.
"Det er så godt på Dnepr nu! - tænkte Gulya trist. - Tag en kajak og flyd nedstrøms. Og så læg dig på det hvide sand og se på himlen!”
Men det er senere, efter eksamen. Og nu skal vi glemme alt i verden, undtagen fysik.
"Varme"... Som heldet ville have det, er vi nødt til at gentage denne uheldige "varme", når der ikke er nogen steder at undslippe varmen." (E. Ilyina) 2. “Jeg har skrevet næsten uafbrudt siden jeg var seks, men jeg har aldrig været så begejstret for en idé før. Jeg sad bare og tænkte i fire (med en togforsinkelse) timer, og alle detaljerne boblede op i min hjerne, og denne tynde, sorthårede dreng med briller, der ikke vidste, han var en troldmand, blev mere og mere virkelig for mig." (J. Rowling) 3. "Vi blev afskediget til sommerferien. Fedka og jeg lavede alle mulige planer for sommeren.
Der var meget arbejde forude.
For det første var det nødvendigt at bygge en tømmerflåde, sænke den ned i dammen ved siden af vores have, erklære os selv for havets herskere og give et søslag til den forenede flåde af Pantyushkins og Simakovs, som vogtede tilgangene til deres haver på den anden side.
Vi havde stadig en lille flåde - en havelåge søsat i vandet. Men med hensyn til kamp var den væsentligt ringere end fjendens styrker, som havde halvdelen af den gamle port, som erstattede en tung krydser, og en let destroyer, ombygget fra en bjælkeblok, hvori kvæg tidligere var blevet fodret. Kræfterne var tydeligvis ulige«. (A.P. Gaidar).
Knapheden har vristet sig - Her kagler eksplosioner den uvæsentlige våde komfort, spreder bjørnebander, arbejdere sidder i mørket, og minens dybder tygger vådt brød. hundrede hjørnet "Kæmpe".
Men hvisken er højere end sulten - Her vil byggepladser danne mure.
han dækker faldets dråber: Med bip, damp, sipi.
"Om fire år er vi en haveby i hundrede sole med åben ildovne! Lad os sætte ild til Sibirien (V.V. Mayakovsky).
5. “Jeg skulpturer af plasticine.
Plasticine er blødere end ler.
Jeg skulpturerer dukker, klovne og hunde af plasticine.
Hvis dukken bliver dårlig, vil jeg kalde den "durkha."
Hvis klovnen kommer dårligt ud, vil jeg kalde ham "fjol".
2 brødre kom hen til mig og sagde ret tørt:
Er det dukkens skyld? Er det klovnens skyld?
Du skulpturerer dem selv dårligt. Du er selv dum.
Du selv skulpturerer dem dårligt, og ingen kan bebrejdes.
Jeg skulpturer af plasticine.
Plasticine er blødere end ler.
Jeg skulpturerer dukker, klovne og hunde af plasticine.
Hvis dukken bliver dårlig, vil jeg kalde den "stakkels".
Hvis klovnen bliver dårlig, vil jeg kalde ham "stakkels mand". (N.N. Matveeva)
6. Til sidst besluttede Volka sig: han tog den første billet, han stødte på, langsomt, langsomt, forsøgte lykken, han åbnede den og var glad for at se, at han måtte svare om Indien. Han vidste meget om Indien. Han havde været interesseret i dette land i lang tid.
"Nå," sagde direktøren, "rapport."
Volka huskede endda begyndelsen af billetten ord for ord fra lærebogen. Han åbnede munden og ville sige, at Hindustan-halvøen ligner en trekant i sit omrids, at denne enorme trekant skylles af Det Indiske Ocean og dets dele: Det Arabiske Hav i vest og Den Bengalske Bugt i øst. denne halvø er der to store lande - Indien og Pakistan, som er beboet af venlige, fredselskende mennesker med en gammel og rig kultur. (L.
Lagin) 5.1. ________________________________________________________________________________
6. Identificer de manglende termer i teksten, angivet med serienumre.
Indtast de nødvendige indlæg under de tilsvarende tal i tabellen nedenfor.
Penge er en speciel slags produkt, der bruges i bytte ligesom _(1)_ alle andre varer.
Økonomer identificerer fem vigtigste _(2)_ penge.
1. Værdimål: penge måler værdien af varer gennem _(3)_ og sammenligner derved varer med kvalitativt forskellige forbrugeregenskaber. For at udføre denne funktion er det meget vigtigt, at pengene i sig selv har en stabil værdi. Ingen form for penge har dog permanent værdi. I papirpengenes æra blev _(4)_ (afskrivning af penge) generelt et næsten konstant fænomen.
2. Midler _(5)_ - penge spiller rollen som mellemmænd ved udveksling af varer. I stedet for direkte at bytte et produkt ud med et andet - det kaldes _(6)_ - modtager råvareproducenter penge for de varer, de sælger, hvormed de køber andre varer, de har brug for.
3. Betyder _(7)_ - ved hjælp af penge skabes en vis reserve af rigdom. Vi taler selvfølgelig ikke om piratskatte; for at købe en bil skal du for eksempel spare penge i en årrække, indtil det nødvendige beløb er akkumuleret. De der. penge er midlertidigt fjernet fra _(8)_ og er "i hånden"
fra købere.
4. Betyder _(9)_ - bevægelsen af penge er "løsrevet" fra bevægelsen af varer og halter bagefter. Dette sker under udviklingen af _(10)_. En køber kan således købe en bil på afbetaling, hvorved han straks bliver dens ejer, men fortsætter med at betale for den på afbetaling over en længere periode.
Denne kløft kommer især til udtryk i forholdet mellem borgere og staten: _(11)_ er i princippet betaling for "offentlige goder" leveret af staten (tjenester til beskyttelse af ejendomsrettigheder, militær beskyttelse, offentlige systemer uddannelse og sundhedspleje).
5. _(12)_ penge - fri bevægelighed for visse typer penge uden for deres nationale grænser. Indtil det 20. århundrede deres rolle blev spillet af pengesedler fra noble _(13)_: i dette tilfælde, som K. Marx skrev, "kaster penge af nationale uniformer." I dag udføres denne rolle af den mest pålidelige nationale _(14)_ (primært dollaren og euroen).
Opgave 7. Løs juridisk opgaver
7.1. Registreringskontoret registrerede et ægteskab mellem den 16-årige Elena N. og Grigory P. Et år senere gik parret fra hinanden og indgav en officiel skilsmisse. Elena besluttede at sælge huset, som hun arvede fra sin bedstefar. Notaren nægtede at registrere køb og salg af huset med henvisning til, at Elena var under 18 år og ikke var i et registreret ægteskab, og derfor havde hun ikke tilstrækkelig juridisk kapacitet til at gennemføre en sådan transaktion.
Har notaren ret? Begrund dit svar.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
7.2. Bydumaen i byen N vedtog en beslutning om at etablere en ejendomsskat for organisationer, der beskæftiger sig med aktiviteter, der resulterer i forurening af miljøet. Byens anklager fremsatte et indlæg om ulovligheden af den beslutning, der blev truffet af bydumaen. Har anklageren ret? Begrund dit svar.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Opgave 8. Løs det samfundsvidenskabelige krydsord.
I de fremhævede celler vil der være et udtryk, der bruges inden for humaniora
Åh. Skriv dens definition i linjerne under krydsordet.
1. Statens forbud mod import til sit land eller eksport til ethvert andet land af varer, tjenesteydelser, valuta og andre værdigenstande
2. Social adfærd, der afviger fra det accepterede, socialt acceptable i et bestemt samfund.
3. Aktiviteter rettet mod at sikre popularitet blandt masserne på bekostning af ubegrundede løfter og demagogiske slogans.
4. En samfundstilstand, hvor der sker nedbrydning og opløsning af det system af værdier og normer, der garanterer den offentlige orden.
6. Individers og sociale gruppers aktiviteter forbundet med relationer vedrørende erobring, fastholdelse og brug af magt for at realisere deres interesser.
7. Ekstrem nationalisme, udtrykt i den ublu ophøjelse af ens nation, prædikende dens nationale eksklusivitet, i politikken med at sætte denne nation op mod andre
8. Samhørighed, forening af politiske, økonomiske, statslige og offentlige strukturer inden for regionen, landet, verden.
9. Arbejdsløshed for en del af den erhvervsaktive befolkning i økonomiske aktiviteter
10. Økonomisk teori, ifølge hvilken mængden af penge i omløb tjener som en bestemmende faktor i det økonomiske liv.
Definition _______________________________________________________________________
– – –
ÆNDRINGER I MÆND OG KVINDERS BESKÆFTIGELSE EFTER ERHVERV,
1992-1998 En ny civilisation er ved at opstå i vores liv, og de, der ikke er i stand til at se den, forsøger at undertrykke den. Denne nye civilisation bringer nye familieforhold med sig; forskellige måder at arbejde, elske og leve på; ny økonomi; nye politiske konflikter, og oven i alt dette en ændret bevidsthed. Stykker af den nye civilisation findes allerede. Millioner af mennesker tilpasser allerede deres liv i overensstemmelse med morgendagens rytmer. Andre mennesker, der er bange for fremtiden, løber ind i den håbløse, ubrugelige fortid; de forsøger at genoprette den døende verden, hvori de blev født.Begyndelsen på denne nye civilisation er den mest eksplosive kendsgerning i den tid, vi lever i.
Dette er den centrale begivenhed, nøglen til at forstå tiden efter nutiden. Dette er et fænomen lige så dybtgående som den første bølge af forandring, der blev fremkaldt af introduktionen af landbruget for 10.000 år siden, eller den forbløffende anden bølge af forandring forbundet med den industrielle revolution.
Vi er børn af den efterfølgende transformation...
Vi søger efter ord til at beskrive kraften og omfanget af disse ekstraordinære ændringer.
Kilde: E. Toffler. Den tredje bølge I modsætning til tidligere år er verdensøkonomien ikke længere grundlæggende hverken landbrugs- eller industriel. Tværtimod er det i stigende grad domineret af "vægtløse" og immaterielle aktiviteter. Det, som denne vægtløse økonomi producerer, består af information – som det er tilfældet med software, medie- og underholdningsprodukter og tjenester leveret over internettet. Denne nye økonomiske kontekst er normalt beskrevet af begrebet "vidensøkonomi". Kilde: E. Giddens. Sociologi Efterhånden som uddannelsessystemerne blev universelle, blev flere og flere mennesker undervist i abstrakte videnskaber (studiet af emner som matematik, naturvidenskab, historie, litteratur osv.) frem for praktisk overførsel af konkrete færdigheder. I det moderne samfund skal mennesker have basale færdigheder som at læse, skrive, tælle og generelt kendskab til verden omkring dem. Men det er også meget vigtigt, at de forstår at lære og kan mestre nye, ofte meget specifikke former for information.
Et udviklet samfund har også brug for ren forskning og indsigt, der ikke giver umiddelbar praktisk fordel, men skubber grænserne for menneskelig viden.
...I dag er uddannelse og kvalifikationer blevet en vigtig betingelse for at få et job og karrierevækst. Skoler og universiteter udvider ikke kun folks mentale horisont og deres perspektiver, men de forventes at forberede nye generationer af borgere til at deltage i det økonomiske liv. Kilde E. Giddens.
Sociologi
9.1. Analyser statistiske data. Hvilke åbenlyse tendenser kan ses i deres analyse (mindst to)? Hvilken social orden (samfundstype) er de typiske for?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
9.2. Angiv tegnene på denne samfundsorden (samfundstype) ud fra teksten og viden om det samfundsvidenskabelige kursus.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
9.3. Find i teksterne to sociale institutioner tilknyttet en given samfundsorden (samfundstype). Definer dem.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
9.4. Hvilken betydning lægger E. Toffler i begreberne "Første" og "Anden" bølge. Angiv mindst to karakteristiske træk ved hver af disse bølger.
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Opgave 10. Kære deltagere! Her er udtalelser fra berømte indenlandske og udenlandske politiske skikkelser, tænkere og forfattere. Vælg en, der vil blive emnet for dit essay. Din opgave er at formulere din egen holdning til det problem, der rejses i denne udtalelse, og begrunde det med de argumenter, som du synes er mest betydningsfulde.
Dit arbejde vil blive vurderet af en jury ud fra følgende kriterier:
2. Præsentere dit eget synspunkt, når du diskuterer et emne.
3. Intern semantisk enhed, konsistens af centrale teser og udsagn, konsistens af personlige vurderinger.
Resumé Artiklen afslører den institutionelle karakter af interne kriser forbundet med komplikationen af t...” købere! Tillykke med dit vellykkede køb. Du har købt en moderne simulator, som vi håber, med...” Kort information om resultaterne af den nationale undersøgelse af uddannelseskvaliteten (NIQE) i folkeskoler og gymnasier Generel information National Research of the Quality of Education (NIQE) ) udføres af Federal Service for Supervision in Education. ...”
2017 www.site - "Gratis elektronisk bibliotek - elektroniske materialer"
Materialerne på dette websted er kun udgivet til informationsformål, alle rettigheder tilhører deres forfattere.
Hvis du ikke er enig i, at dit materiale er lagt ud på denne side, bedes du skrive til os, vi fjerner det inden for 1-2 hverdage.
Olympiade i Matematik Kommunal scene 2013–2014 akademisk år. d. Problemer med instruktioner og løsninger, grad 7. To tilstødende sider af et rektangel er i forholdet 3:7. Hvad er arealet af et rektangel, hvis dets omkreds er 40 cm? Svar. 84 cm2. Bemærk. Ud fra problemets betingelser er den mindre side af rektanglet 3x, og den større side er 7x for nogle x. Så er omkredsen 2(3 x 7 x) 40, hvoraf x =2. Område 7.1. rektangel er 3x 7 x 21x2 84. Petya fortalte Vasya: "Jeg tænkte på et tocifret tal. Hvis du omarrangerer dets cifre, vil du få et tal, der, når det lægges til det tilsigtede tal, vil give 143. Gæt det tilsigtede tal, hvis du ved, at det er primtal.” Hvilket tal havde Petya i tankerne? Svar. 67. Instruktion. Lad a, b være cifrene i det tilsigtede tal. Så ud fra betingelserne for opgaven 10a b 10b a 143, hvorfra a + b = 13. I betragtning af at a, b er tal, får vi seks mulige muligheder for det tilsigtede tal: 94, 85, 76, 67 , 58, 49. Af disse muligheder er kun 67 et primtal. 7.2. Givet et 300-cifret tal 22…21…100…0, der indeholder 100 toere, 100 enere og 100 nuller. Er det muligt at omarrangere cifrene i dette tal, så kvadratet af et naturligt tal opnås? Svar. Det er forbudt. Bemærk. Summen af cifrene i et givet tal er 2100 + 1100 = 300. Af fortegnene for delelighed med 3 og 9 følger, at dette tal er deleligt med 3, men ikke deleligt med 9. Når man omarrangerer cifrene, summen af cifrene ændres ikke, og derfor vil du efter omarrangeringen ikke få et nøjagtigt kvadrat (da tallet der skal kvadreres skal være deleligt med 3, og dets kvadrat skal være deleligt med 9). 7.3. Der er skrevet 10 tal på tavlen: 1, 2, ..., 10. I én operation kan du slette to vilkårlige tal a, b fra tavlen og skrive tallene a + 2b og b + 2a i stedet for. . Kan det ske, at der som følge af flere operationer bliver skrevet 10 ens numre på tavlen? Svar. Kan ikke. Bemærk. Antag modsigende, at efter et vist antal operationer er alle tallene på tavlen ens. Bemærk, at for enhver operation ændres tallenes paritet ikke (da a + 2b har samme paritet som a, og på samme måde har b + 2a samme paritet som b). I begyndelsen var der 5 lige og 5 ulige tal, så til sidst skulle der være 5 lige og 5 ulige tal, men vi endte med alle 10 tal af samme paritet). Den resulterende modsigelse beviser redegørelsen af problemet. 7.4. Der er 30 personer i klasse 7a. Måske har hver elev præcis tre svar. Måske. Bemærk. Se diagrammet over segmenter, der forbinder vennepar. 7.5. 3 2 14 er det muligt at have en ven i klassen? (graf), hvorpå 15 16 1 17 30 8. klasse 18 29 8.1. Petya fortalte Vasya: "Jeg tænkte på et tocifret tal. Hvis du omarrangerer dets cifre, vil du få et tal, der, når det lægges til det tilsigtede tal, vil give 143. Gæt det tilsigtede tal, hvis du ved, at det er primtal.” Hvilket tal havde Petya i tankerne? Svar. 67. Instruktion. Se opgave 7.2. 8.2. Givet hundrede tal: 1, 22, 32,..., 1002. Lad os beregne 98 forskelle: a1 3 2 1, a 2 4 2 2 2,..., a98 100 2 98. Hvad er summen af alle disse forskelle? Svar. 19796. Angivelse. a1 a2 ... a98 (3 12) (4 22) 2 2 (52 32) (62 42)... (992 992 992 ) ). Ved beregning af summen ~ udgår de understregede udtryk med de tilsvarende led, der har det modsatte fortegn. De "uødelagte" tal forbliver: 1002 992 12 22 19796. Givet et 300-cifret tal 22…21…100…0, der indeholder 100 toere, 100 enere og 100 nuller. Er det muligt at omarrangere cifrene i dette tal, så kvadratet af et naturligt tal opnås? Svar. Det er forbudt. Bemærk. Se opgave 7.3. 8.3. 8.4. Er der en ligebenet trapez, hvis midterlinje er lig med dens diagonal? Svar. Eksisterer ikke. Bemærk. Lad ABCD være en ligebenet trapez med siderne AB og CD. Lad os sænke højden CM fra punkt C til basen. Så er segmentet AM lig med midtlinjen, fordi midterlinjen er 1 BC AD 1 BC BC 2MD BC MD AM . 2 2 I en retvinklet trekant ASM er hypotenusen AC større end benet AM, og derfor er diagonalen altid større end midtlinjen af den ligebenede trapez. Der er skrevet 10 tal på tavlen: 1, 2, ..., 10. I én operation kan du slette to vilkårlige tal a, b fra tavlen og skrive tallene 2a + 3b og 2b + 3a i stedet for . Kan det ske, at der som følge af flere operationer bliver skrevet 10 ens numre på tavlen? Svar. Kan ikke. Bemærk. Bemærk, at tallet 2a + 3b har samme paritet som b, og tallet 2b + 3a har samme paritet som a. Derfor skal der efter hver operation være 5 lige og 5 ulige tal tilbage på brættet (da der i begyndelsen var 5 lige og 5 ulige). Det betyder, at alle 10 tal ikke kan have samme paritet. 8.5. 9.1. Karakter 9 Givet hundrede tal: 1, 2, 3,..., 100. Lad os beregne 98 forskelle: a1 3 2 1 , a 2 4 2 2 2 , …, 2 2 2 a98 100 2 98 2 . Hvad er summen af alle disse forskelle? Svar. 19796. Angivelse. Se opgave 8.2. 9.2. Er der en ligebenet trapez, hvis midterlinje er lig med dens diagonal? Svar. Eksisterer ikke. Bemærk. Se opgave 8.4. 9.3. Givet positive tal a b. Er det muligt at sige, at a 4 b b 4 a ? Svar. Det er forbudt. Bemærk. Efter kvadrering får vi en ækvivalent ulighed: a b, derefter givet a b 4 a 4 b (4 a 4 b) (4 a 4 b) (a b) 4 a 4 b . Fordi uligheden svarer til følgende: (4 a 4 b) (a b) 1 . For lille a, b (for eksempel for a 10 4, b 10 8) er den sidste ulighed åbenbart falsk. 9.4. På siderne AB, BC og AC i trekanten ABC tages henholdsvis punkterne C1, A1 og B1, således at C1A1 || AC. Bevis at S A1B1C1 1 S ABC . 4 Bemærk. Fra tilstand C1A1 || AC følger det, at trekanter BC1 A1 og BAC ligner hinanden. Lad x C1 A1 / AC være lighedskoefficienten. Så er højden i trekanten BC1A1, sænket fra punkt B til C1A1, lig med xh, hvor h er højden af trekanten BCA fra punkt B. Det betyder, at højden i trekanten er h xh (1 x) h . B1C1A1 fra punkt B1 til C1A1 er lig med Således er 1 (x AC) (1 x)h x(1 x) S ABC . Maksimum af den kvadratiske funktion y (x) x(1 x) 2 1 1 opnås i punktet x0 (abscissen af parablens toppunkt) og er lig, hvilket indebærer resultatet. 2 4 S A1 B1C1 Der er skrevet 10 tal på tavlen: 1, 2, …, 10. I én operation kan du slette to vilkårlige tal a, b fra tavlen og skrive tallene a3 + 6b og b3 + 6a i stedet for. Kan det ske, at som følge af flere operationer a) vil alle 10 ens numre blive skrevet på tavlen? b) mindst tre ens numre? Svar. a) kan ikke, b) kan ikke. Bemærk. a) Resultatet af punkt a) (det samme som i opgave 7.4 og 8.5) følger af, at der efter hver operation opnås tal med samme paritet. b) Lad os bemærke et stærkere faktum, nemlig at tallene efter hver operation giver de samme rester, når de divideres med 6 som før operationen. Faktisk er a3 + 6b a (a 1)a(a 1) 6b , og produktet af tre på hinanden følgende heltal (a 1)a(a 1) deleligt med både 3 og 2, t . e. er divideret med 6. Det betyder, at som et resultat af alle operationer bør det samme sæt rester (når de divideres med 6) opnås som i begyndelsen. Men i begyndelsen var der ikke mere end to tal for hver af de resterende 0, 1, 2, 3, 4, 5 (mere præcist, et tal hver med en resterende 0 og 5 - det er tallene 6 og 5 -, og to numre hver med de resterende rester). Således kunne der i slutningen ikke være tre numre med de samme rester. 9.5. 10. klasse 10.1. Givet positive tal a b. Er det muligt at sige, at Svaret. Det er forbudt. Bemærk. Se opgave 9.3. 10.2. a 4 b b 4 a ? Der er skrevet 10 tal på tavlen: 12, 22, …, 102. I én operation kan du slette to vilkårlige tal a, b fra tavlen og skrive tallene ab og 2 ab i stedet for. Er det muligt, at alle de tal, der er skrevet på tavlen, som følge af flere operationer vil være større end 40? Svar. Kan ikke. Bemærk. Da ab ab for positiv a, b, kan summen af tallene på brættet som følge af 2 hver operation ikke stige. Oprindeligt var summen af tallene 1 2 2 ... 10 2 10 11 21 n (n 1)(2n 1) 385 (her brugte vi formlen for summen af 6 først n kvadrater, men i denne opgave kan vi beregne denne sum direkte), og i sidste ende vil summen af tallene være større end 4010=400, hvis vi antager det modsatte. Den resulterende modsigelse viser, at denne antagelse er forkert. 10.3. Find alle værdier af parameteren a således, at ligningen x 2 4ax 5a 0 har to reelle rødder, hvis sum af kvadrater er 6. 3 a . Bemærk. Af betingelserne for opgaven følger det, at betingelsen 8 2 D 4(4a 5a) 0 og ligheden x12 x22 (x1 x2) 2 2 x1 x2 (4a) 2 1 6 (her brugte vi 5 11 Vietas sætning). Løser vi den sidste ligning for a, får vi en . 16 3 Roden a 2 af denne ligning opfylder uligheden 4a 2 5a 0, men roden a1=1 gør det ikke. 8 Svar. 10.4. En cirkel med centrum O er indskrevet i trekant ABC Punkterne M og N er tangenspunkterne for den indskrevne cirkel med henholdsvis siderne AB og AC. Find A, hvis det vides, at AO = 2 MN. Svar. 30 eller 150. Bemærk. Lad K være skæringspunktet mellem AO og MN. Ved incircle-egenskaben MK KN, AK MN og AMO 90. Lad os betegne MAO. Derefter MK AM sin (AO cos ) sin , og som betingelse, AO cos sin 1 1 AO sin 2 2 e 2 eller 3 . e 15 eller 75). 4 2 Bevis, at ligningen y 2 x 4 2013x5 har et uendeligt antal løsninger i naturlige tal x, y. Bemærk. Lad os omskrive ligningen i formen y 2 x 4 (2013x 1) . Opløseligheden af denne ligning i naturlige tal svarer til, at parentesen 2013x + 1 er et nøjagtigt kvadrat: 2013 x 1 t 2 (t 1) (t 1) 2013 x . For t er det nok at tage tal af formen t 2013k 1, hvor k er et hvilket som helst naturligt tal. Derefter 2013k (2013k 2) 2013x x k (2013k 2) . Derfor y x 2t k 2 (2013k 2)2 (2013k 1) . Da k er et hvilket som helst naturligt tal, er udsagnet bevist. 10.5. 11. klasse 11.1. Løs ligningen cos 2 (2 x) sin 2 2 x 1. Svar. x = 0. Bemærk. Den venstre side af ligningen overstiger ikke én, og den kan kun være lig med én, hvis to ligheder er opfyldt samtidigt: cos 2 (2 x) 1 og sin 2 x 0. Derfor 2 x n og 2 x k , k, n Z . Så er der nogle heltal n, k. Da n k , dvs. 2n 2k for 2 2 2 er et irrationelt tal, så af den sidste lighed følger at k skal være lig nul. Det betyder k = n = 0 og x = 0. 11.2. Find alle værdier af parameteren a, således at ligningen x 2 4ax 5a 0 har to reelle rødder, hvis sum af kvadrater er 6. Svar. a = 2. Bemærk. Se opgave 10.3. 11.3. Givet funktionen f (x) x 2 2 x . Find domænet for funktionen f(f(x)). Svar. x (, 5 1] (0) (2) )