Som du ved, når man multiplicerer udtryk med potenser, summeres deres eksponenter altid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske lov blev udledt af Archimedes, og senere, i det 8. århundrede, skabte matematikeren Virasen en tabel med heltalseksponenter. Det var dem, der tjente til den videre opdagelse af logaritmer. Eksempler på brug af denne funktion kan findes næsten overalt, hvor du skal forenkle besværlig multiplikation ved simpel addition. Hvis du bruger 10 minutter på at læse denne artikel, vil vi forklare dig, hvad logaritmer er, og hvordan du arbejder med dem. I et enkelt og tilgængeligt sprog.
Definition i matematik
En logaritme er et udtryk af følgende form: log a b=c, dvs. logaritmen af ethvert ikke-negativt tal (det vil sige ethvert positivt) "b" til dets grundtal "a" anses for at være potensen "c ”, hvortil grundtallet "a" skal hæves for i sidste ende at få værdien "b". Lad os analysere logaritmen ved hjælp af eksempler, lad os sige, at der er et udtryk log 2 8. Hvordan finder man svaret? Det er meget enkelt, du skal finde en potens, sådan at du fra 2 til den nødvendige effekt får 8. Efter at have lavet nogle beregninger i dit hoved, får vi tallet 3! Og det er sandt, fordi 2 i 3 potens giver svaret som 8.
Typer af logaritmer
For mange elever og studerende virker dette emne kompliceret og uforståeligt, men faktisk er logaritmer ikke så skræmmende, det vigtigste er at forstå deres generelle betydning og huske deres egenskaber og nogle regler. Der er tre separate typer logaritmiske udtryk:
- Naturlig logaritme ln a, hvor grundtallet er Euler-tallet (e = 2,7).
- Decimal a, hvor grundtallet er 10.
- Logaritme af ethvert tal b til grundtal a>1.
Hver af dem er løst på en standard måde, herunder forenkling, reduktion og efterfølgende reduktion til en enkelt logaritme ved hjælp af logaritmiske sætninger. For at opnå de korrekte værdier af logaritmer skal du huske deres egenskaber og rækkefølgen af handlinger, når du løser dem.
Regler og nogle begrænsninger
I matematik er der flere regler-begrænsninger, der accepteres som et aksiom, det vil sige, at de ikke er genstand for diskussion og er sandheden. For eksempel er det umuligt at dividere tal med nul, og det er også umuligt at udtrække den lige rod af negative tal. Logaritmer har også deres egne regler, hvorefter du nemt kan lære at arbejde selv med lange og rummelige logaritmiske udtryk:
- Grundtallet "a" skal altid være større end nul og ikke lig med 1, ellers vil udtrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i enhver grad altid er lig med deres værdier;
- hvis a > 0, så a b >0, viser det sig, at "c" også skal være større end nul.
Hvordan løser man logaritmer?
For eksempel gives opgaven at finde svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er meget nemt, du skal vælge en potens ved at hæve tallet ti, som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.
Lad os nu repræsentere dette udtryk i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Når man løser logaritmer, konvergerer alle handlinger praktisk talt for at finde den potens, som det er nødvendigt at indtaste logaritmen til for at få et givet tal.
For nøjagtigt at bestemme værdien af en ukendt grad, skal du lære at arbejde med en tabel med grader. Det ser sådan ud:
Som du kan se, kan nogle eksponenter gættes intuitivt, hvis du har et teknisk sind og viden om multiplikationstabellen. For større værdier skal du dog bruge et strømbord. Det kan bruges selv af dem, der slet ikke ved noget om komplekse matematiske emner. Den venstre kolonne indeholder tal (grundlag a), den øverste række af tal er værdien af potensen c, som tallet a er hævet til. I skæringspunktet indeholder cellerne de talværdier, der er svaret (a c =b). Lad os for eksempel tage den allerførste celle med tallet 10 og kvadrere det, vi får værdien 100, som er angivet i skæringspunktet mellem vores to celler. Alt er så enkelt og nemt, at selv den mest sande humanist vil forstå!
Ligninger og uligheder
Det viser sig, at eksponenten under visse betingelser er logaritmen. Derfor kan ethvert matematisk numerisk udtryk skrives som en logaritmisk lighed. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som basis 3-logaritmen af 81 lig med fire (log 3 81 = 4). For negative potenser er reglerne de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En af de mest fascinerende dele af matematik er emnet "logaritmer". Vi vil se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor, umiddelbart efter at have studeret deres egenskaber. Lad os nu se på, hvordan uligheder ser ud, og hvordan man skelner dem fra ligninger.
Følgende udtryk er givet: log 2 (x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulighed, da den ukendte værdi "x" er under det logaritmiske fortegn. Og også i udtrykket sammenlignes to størrelser: logaritmen af det ønskede tal til base to er større end tallet tre.
Den vigtigste forskel mellem logaritmiske ligninger og uligheder er, at ligninger med logaritmer (f.eks. logaritmen 2 x = √9) indebærer en eller flere specifikke numeriske værdier i svaret, mens man ved løsning af en ulighed både er intervallet for acceptable værdier og punkterne bestemmes ved at bryde denne funktion. Som en konsekvens er svaret ikke et simpelt sæt af individuelle tal, som i svaret på en ligning, men en kontinuerlig række eller sæt af tal.
Grundsætninger om logaritmer
Når du løser primitive opgaver med at finde værdierne af logaritmen, er dens egenskaber muligvis ikke kendt. Men når det kommer til logaritmiske ligninger eller uligheder, er det først og fremmest nødvendigt at forstå og anvende alle logaritmers grundlæggende egenskaber i praksis. Vi vil se på eksempler på ligninger senere, lad os først se nærmere på hver egenskab.
- Hovedidentiteten ser således ud: a logaB =B. Det gælder kun, når a er større end 0, ikke lig med en, og B er større end nul.
- Produktets logaritme kan repræsenteres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfælde er den obligatoriske betingelse: d, s 1 og s 2 > 0; a≠1. Du kan give et bevis for denne logaritmiske formel med eksempler og løsning. Lad log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi opnår, at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskaber ved grader ), og så per definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, hvilket er det, der skulle bevises.
- Logaritmen for kvotienten ser således ud: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Sætningen i form af en formel har følgende form: log a q b n = n/q log a b.
Denne formel kaldes "egenskaben for graden af logaritme." Det ligner egenskaberne ved almindelige grader, og det er ikke overraskende, for al matematik er baseret på naturlige postulater. Lad os se på beviset.
Lad log a b = t, det viser sig a t =b. Hvis vi hæver begge dele til potensen m: a tn = b n ;
men da a tn = (a q) nt/q = b n, derfor log a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Sætningen er blevet bevist.
Eksempler på problemer og uligheder
De mest almindelige typer problemer på logaritmer er eksempler på ligninger og uligheder. De findes i næsten alle opgavebøger og er også en obligatorisk del af matematikeksamener. For at komme ind på et universitet eller bestå optagelsesprøver i matematik skal du vide, hvordan du løser sådanne opgaver korrekt.
Desværre er der ingen enkelt plan eller skema til at løse og bestemme den ukendte værdi af logaritmen, men visse regler kan anvendes på hver matematisk ulighed eller logaritmisk ligning. Først og fremmest bør du finde ud af, om udtrykket kan forenkles eller reduceres til en generel form. Du kan forenkle lange logaritmiske udtryk, hvis du bruger deres egenskaber korrekt. Lad os lære dem hurtigt at kende.
Når vi løser logaritmiske ligninger, skal vi bestemme, hvilken type logaritme vi har: et eksempeludtryk kan indeholde en naturlig logaritme eller en decimal.
Her er eksempler på ln100, ln1026. Deres løsning bunder i, at de skal bestemme den effekt, som basen 10 vil være lig med henholdsvis 100 og 1026. For at løse naturlige logaritmer skal du anvende logaritmiske identiteter eller deres egenskaber. Lad os se på eksempler på løsning af logaritmiske problemer af forskellige typer.
Sådan bruges logaritmeformler: med eksempler og løsninger
Så lad os se på eksempler på brug af de grundlæggende sætninger om logaritmer.
- Egenskaben for et produkts logaritme kan bruges i opgaver, hvor det er nødvendigt at dekomponere en stor værdi af tallet b i enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, lykkedes det ved hjælp af den fjerde egenskab af logaritmepotensen at løse et tilsyneladende komplekst og uløseligt udtryk. Du skal blot faktorisere basen og derefter tage eksponentværdierne ud af logaritmens fortegn.
Opgaver fra Unified State-eksamenen
Logaritmer findes ofte i optagelsesprøver, især mange logaritmiske problemer i Unified State Exam (statseksamen for alle skolekandidater). Disse opgaver er typisk ikke kun til stede i del A (den nemmeste testdel af eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrige opgaver). Eksamen kræver nøjagtig og perfekt viden om emnet "Naturlige logaritmer".
Eksempler og løsninger på problemer er taget fra de officielle versioner af Unified State Exam. Lad os se, hvordan sådanne opgaver løses.
Givet log 2 (2x-1) = 4. Løsning:
lad os omskrive udtrykket og simplificere det lidt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definitionen af logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.
- Det er bedst at reducere alle logaritmer til samme base, så løsningen ikke bliver besværlig og forvirrende.
- Alle udtryk under logaritmetegnet er angivet som positive, og derfor, når eksponenten af et udtryk, der er under logaritmetegnet og som dets base, tages ud som en multiplikator, skal det udtryk, der er tilbage under logaritmen, være positivt.
Logaritmiske udtryk, løsningseksempler. I denne artikel vil vi se på problemer relateret til løsning af logaritmer. Opgaverne stiller spørgsmålet om at finde meningen med et udtryk. Det skal bemærkes, at begrebet logaritme bruges i mange opgaver, og at forstå dets betydning er ekstremt vigtigt. Hvad angår Unified State Exam, bruges logaritmen ved løsning af ligninger, i anvendte problemer og også i opgaver relateret til undersøgelse af funktioner.
Lad os give eksempler for at forstå selve betydningen af logaritmen:
Grundlæggende logaritmisk identitet:
Egenskaber for logaritmer, der altid skal huskes:
*Produktets logaritme er lig med summen af faktorernes logaritmer.
* * *
*Logaritmen af en kvotient (brøk) er lig med forskellen mellem faktorernes logaritmer.
* * *
*Logaritmen af en eksponent er lig med produktet af eksponenten og logaritmen af dens base.
* * *
*Overgang til ny fond
* * *
Flere egenskaber:
* * *
Beregningen af logaritmer er tæt forbundet med brugen af egenskaber ved eksponenter.
Lad os liste nogle af dem:
Essensen af denne egenskab er, at når tælleren overføres til nævneren og omvendt, ændres eksponentens fortegn til det modsatte. For eksempel:
En konsekvens af denne ejendom:
* * *
Når man hæver en potens til en potens, forbliver basen den samme, men eksponenterne ganges.
* * *
Som du har set, er begrebet logaritme i sig selv enkelt. Det vigtigste er, at du har brug for god øvelse, som giver dig en vis færdighed. Der kræves naturligvis kendskab til formler. Hvis færdigheden i at konvertere elementære logaritmer ikke er blevet udviklet, kan du nemt lave en fejl, når du løser simple opgaver.
Øv dig, løs først de enkleste eksempler fra matematikkurset, og gå derefter videre til mere komplekse. I fremtiden vil jeg helt sikkert vise, hvordan "skræmmende" logaritmer er løst, de vil ikke vises på Unified State Examination, men de er af interesse, gå ikke glip af dem!
Det er alt! Held og lykke!
Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh
P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.
Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.
Indsamling og brug af personlige oplysninger
Personlige oplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.
Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.
Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.
Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:
- Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, e-mailadresse mv.
Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:
- De personlige oplysninger, vi indsamler, giver os mulighed for at kontakte dig med unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
- Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
- Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
- Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.
Videregivelse af oplysninger til tredjemand
Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.
Undtagelser:
- Hvis det er nødvendigt - i overensstemmelse med loven, retsproceduren, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra statslige myndigheder i Den Russiske Føderations område - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
- I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.
Beskyttelse af personlige oplysninger
Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.
Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau
For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.
Hvad er en logaritme?
Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i Særligt afsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")
Hvad er en logaritme? Hvordan løser man logaritmer? Disse spørgsmål forvirrer mange kandidater. Traditionelt betragtes emnet logaritmer som komplekst, uforståeligt og skræmmende. Især - ligninger med logaritmer.
Dette er absolut ikke sandt. Absolut! Tror du mig ikke? Bøde. Nu, på kun 10 - 20 minutter:
1. Du vil forstå hvad er en logaritme.
2. Lær at løse en hel klasse af eksponentialligninger. Også selvom du ikke har hørt noget om dem.
3. Lær at beregne simple logaritmer.
Desuden behøver du kun at kende multiplikationstabellen og hvordan man hæver et tal til en potens...
Jeg føler, at du er i tvivl... Nå, okay, sæt tiden af! Gå!
Løs først denne ligning i dit hoved:
Hvis du kan lide denne side...
Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)
Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)
Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.