Approksimation af eksperimentelle data er en metode baseret på at erstatte eksperimentelt opnåede data med en analytisk funktion, der tættest passerer eller falder sammen på knudepunkter med de oprindelige værdier (data opnået under et eksperiment eller eksperiment). I øjeblikket er der to måder at definere en analytisk funktion på:
Ved at konstruere et n-graders interpolationspolynomium, der passerer direkte gennem alle punkter et givet dataarray. I dette tilfælde præsenteres den approksimerende funktion i form af: et interpolationspolynomium på lagrangeform eller et interpolationspolynomium på newtonform.
Ved at konstruere et n-graders tilnærmet polynomium, der passerer i umiddelbar nærhed af punkter fra et givet dataarray. Således udjævner den tilnærmede funktion al tilfældig støj (eller fejl), der kan opstå under eksperimentet: de målte værdier under eksperimentet afhænger af tilfældige faktorer, der svinger i henhold til deres egne tilfældige love (måle- eller instrumentfejl, unøjagtighed eller eksperimentel fejl). I dette tilfælde bestemmes den approksimerende funktion ved hjælp af mindste kvadraters metode.
Mindste kvadratisk metode(i den engelsksprogede litteratur Ordinary Least Squares, OLS) er en matematisk metode baseret på bestemmelse af den approksimerende funktion, som er konstrueret i den nærmeste tilknytning til punkter fra en given række eksperimentelle data. Nærheden af de oprindelige og approksimerende funktioner F(x) bestemmes af et numerisk mål, nemlig: summen af kvadratiske afvigelser af eksperimentelle data fra den tilnærmelseskurve F(x) skal være den mindste.
Tilnærmelseskurve konstrueret ved hjælp af mindste kvadraters metode
Mindste kvadraters metode bruges:
At løse overbestemte ligningssystemer, når antallet af ligninger overstiger antallet af ukendte;
At finde en løsning i tilfælde af almindelige (ikke overbestemte) ikke-lineære ligningssystemer;
At tilnærme punktværdier med en eller anden tilnærmelsesfunktion.
Den tilnærmelsesfunktion, der anvender mindste kvadraters metode, bestemmes ud fra betingelsen for minimumsummen af kvadrerede afvigelser af den beregnede tilnærmelsesfunktion fra en given række eksperimentelle data. Dette kriterium for mindste kvadraters metode er skrevet som følgende udtryk:
Værdierne af den beregnede tilnærmelsesfunktion ved knudepunkterne,
En given række af eksperimentelle data ved knudepunkter.
Det kvadratiske kriterium har en række "gode" egenskaber, såsom differentiabilitet, hvilket giver en unik løsning på tilnærmelsesproblemet med polynomiske tilnærmelsesfunktioner.
Afhængig af problemets betingelser er den approksimerende funktion et polynomium af grad m
Graden af den approksimerende funktion afhænger ikke af antallet af knudepunkter, men dens dimension skal altid være mindre end dimensionen (antal punkter) af en given eksperimentel dataarray.
∙ Hvis graden af den approksimerende funktion er m=1, så tilnærmer vi tabelfunktionen med en ret linje (lineær regression).
∙ Hvis graden af den approksimerende funktion er m=2, så tilnærmer vi tabelfunktionen med en andengradsparabel (kvadratisk tilnærmelse).
∙ Hvis graden af tilnærmelsesfunktionen er m=3, så tilnærmer vi tabelfunktionen med en kubisk parabel (kubisk tilnærmelse).
I det generelle tilfælde, når det er nødvendigt at konstruere et tilnærmende polynomium af grad m for givne tabelværdier, omskrives betingelsen for minimum af summen af kvadrerede afvigelser over alle knudepunkter i følgende form:
- ukendte koefficienter for det approksimerende polynomium af grad m;
Antallet af tabelværdier angivet.
En nødvendig betingelse for eksistensen af et minimum af en funktion er lighed med nul af dens partielle afledte med hensyn til ukendte variable . Som et resultat får vi følgende ligningssystem:
Lad os transformere det resulterende lineære system af ligninger: Åbn parenteserne og flyt de frie led til højre side af udtrykket. Som et resultat vil det resulterende system af lineære algebraiske udtryk blive skrevet i følgende form:
Dette system af lineære algebraiske udtryk kan omskrives i matrixform:
Som et resultat blev der opnået et system af lineære ligninger med dimension m+1, som består af m+1 ubekendte. Dette system kan løses ved hjælp af en hvilken som helst metode til løsning af lineære algebraiske ligninger (for eksempel Gauss-metoden). Som et resultat af løsningen vil der blive fundet ukendte parametre for den approksimerende funktion, der giver minimumsummen af kvadratiske afvigelser af den tilnærmende funktion fra de oprindelige data, dvs. bedst mulig kvadratisk tilnærmelse. Det skal huskes, at hvis selv en værdi af kildedataene ændres, vil alle koefficienter ændre deres værdier, da de er fuldstændigt bestemt af kildedataene.
Approksimation af kildedata ved lineær afhængighed
(lineær regression)
Lad os som et eksempel overveje teknikken til at bestemme den approksimerende funktion, som er specificeret i form af en lineær afhængighed. I overensstemmelse med mindste kvadraters metode skrives betingelsen for minimum af summen af kvadratiske afvigelser i følgende form:
Koordinater af tabel noder;
Ukendte koefficienter for den approksimerende funktion, som er angivet som en lineær afhængighed.
En nødvendig betingelse for eksistensen af et minimum af en funktion er lighed med nul af dens partielle afledte med hensyn til ukendte variable. Som et resultat får vi følgende ligningssystem:
Lad os transformere det resulterende lineære system af ligninger.
Vi løser det resulterende system af lineære ligninger. Koefficienterne for den approksimerende funktion i analytisk form bestemmes som følger (Cramers metode):
Disse koefficienter sikrer konstruktionen af en lineær approksimerende funktion i overensstemmelse med kriteriet om at minimere summen af kvadrater af den approksimerende funktion fra de givne tabelværdier (eksperimentelle data).
Algoritme til implementering af mindste kvadraters metode
1. Indledende data:
En række eksperimentelle data med antallet af målinger N er specificeret
Graden af det approksimerende polynomium (m) er angivet
2. Beregningsalgoritme:
2.1. Koefficienterne er bestemt til at konstruere et ligningssystem med dimensioner
Koefficienter for ligningssystemet (venstre side af ligningen)
- indeks for kolonnenummeret i kvadratmatricen af ligningssystemet
Frie led i et system af lineære ligninger (højre side af ligningen)
- indeks for rækkenummeret i kvadratmatrixen af ligningssystemet
2.2. Dannelse af et system af lineære ligninger med dimension .
2.3. Løsning af et system af lineære ligninger for at bestemme de ukendte koefficienter for et tilnærmet polynomium af grad m.
2.4 Bestemmelse af summen af kvadrerede afvigelser af det tilnærmede polynomium fra de oprindelige værdier ved alle knudepunkter.
Den fundne værdi af summen af kvadrerede afvigelser er den mindst mulige.
Approksimation ved hjælp af andre funktioner
Det skal bemærkes, at når man tilnærmer de originale data i overensstemmelse med mindste kvadraters metode, bruges den logaritmiske funktion, eksponentialfunktionen og potensfunktionen nogle gange som den tilnærmende funktion.
Logaritmisk tilnærmelse
Lad os overveje tilfældet, når den approksimerende funktion er givet af en logaritmisk funktion af formen:
Som de foregående ses denne lektion med lignende tekst bedst på et Excel-ark (se Approximation lessons.xls, Sheet1)
Tilnærmelse i Excel opnås nemmest ved hjælp af et trendprogram. For at præcisere funktionerne i tilnærmelse, lad os tage et specifikt eksempel. For eksempel entalpien af mættet damp ifølge bogen af S.L. Rivkin og A.A. I kolonne P placerer vi trykværdierne i kgf/cm2, i kolonne i" - entalpien af damp på mætningslinjen i kcal/kg og bygger en graf ved hjælp af "Chart Wizard"-indstillingen eller -knappen.
Lad os højreklikke på linjen i figuren, derefter venstreklikke på indstillingen "Tilføj trendlinje" og se, hvilke tjenester der tilbydes os af denne mulighed med hensyn til implementering af tilnærmelse i Excel.
Vi tilbydes et valg af fem typer tilnærmelse: lineær, potens, logaritmisk, eksponentiel og polynomiel. Hvad er de gode for, og hvordan kan de hjælpe os? - Tryk på F1-knappen, klik derefter på "Svar-guiden" og indtast ordet "tilnærmelse", vi har brug for, i det vindue, der vises, og klik derefter på "Find"-knappen. På listen, der vises, skal du vælge sektionen "Formler til konstruktion af trendlinjer".
Vi modtager følgende information let ændret af os
redaktører:
Lineær:
hvor b er hældningsvinklen og a er koordinaten for abscisseaksens skæringspunkt (frit led).
Strøm:
Bruges til at tilpasse data ved hjælp af mindste kvadraters metode i henhold til ligningen:
hvor c og b er konstanter.
Logaritmisk:
Bruges til at tilpasse data ved hjælp af mindste kvadraters metode i henhold til ligningen:
hvor a og b er konstanter.
Eksponentiel:
Bruges til at tilpasse data ved hjælp af mindste kvadraters metode i henhold til ligningen:
hvor b og k er konstanter.
Polynomium:
Bruges til at tilpasse data ved hjælp af mindste kvadraters metode i henhold til ligningen:
y=a+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...b6*x^6
hvor a, b1, b2, b3,... b6 er konstanter.
Klik på tegnelinjen igen, derefter på indstillingen "Tilføj trendlinje", derefter på indstillingen "Parameter" og marker boksene til venstre for indtastningerne: "vis ligningen på diagrammet" og "placer den tilnærmede konfidensværdi R^2 på diagrammet, og klik derefter på OK-knappen. Vi prøver alle tilnærmelsesmulighederne i rækkefølge.
Lineær tilnærmelse giver os R^2=0,9291 - dette er lav pålidelighed og et dårligt resultat.
For at skifte til tilnærmelse af magtloven skal du højreklikke på trendlinjen, derefter venstreklikke på indstillingen "Trendlinjeformat", og derefter klikke på indstillingerne "Type" og "Power". Denne gang fik vi R^2=0,999.
Lad os skrive trendlinjeligningen i en form, der er egnet til beregninger på et Excel-ark:
y=634,16*x^0,012
Som et resultat har vi:
Den maksimale tilnærmelsesfejl blev fundet til at være 0,23 kcal/kg. For tilnærmelse af eksperimentelle data ville dette være et vidunderligt resultat, men for tilnærmelse af en opslagstabel er det ikke et særlig godt resultat. Lad os derfor prøve at tjekke andre tilnærmelsesmuligheder i Excel ved hjælp af et trendbyggeprogram.
Den logaritmiske tilnærmelse giver os R^2=0,9907 - noget dårligere end powerversionen. Det eksponentielle i den version, der tilbydes af trendbygningsprogrammet, passede slet ikke - R^2=0,927.
Polynomisk tilnærmelse med grad 2 (dette er y=a+b1*x+b2*x^2) forudsat R^2=0,9896. Ved grad 3 opnåede vi R^2=0,999, men med en klar forvrængning af den tilnærmede kurve, især ved P>0,07 kgf/cm2. Endelig giver den femte potens os R^2=1 - dette siges at være den tætteste forbindelse mellem de originale data og deres tilnærmelse.
Lad os omskrive polynomialligningen i en form, der er egnet til beregninger på et Excel-ark:
y=1E+07*x^5-4E+06*x^4+469613*x^3-27728*x^2+1020,8*x+592,44
og sammenlign det tilnærmede resultat med den originale tabel:
Det viste sig, at R^2=1 i dette tilfælde bare er en genial løgn. Faktisk blev det bedste resultat af polynomiel tilnærmelse givet af det enkleste polynomium på formen y=a+b1*x+b2*x^2. Men dets resultat er værre end i power-lov approksimationsversionen y=634,16*x^0,012, hvor den maksimale tilnærmelsesfejl var på niveauet 0,23 kcal/kg. Det er alt, hvad vi kan få ud af trendprogrammet. Lad os se, hvad vi kan presse ud af den lineære funktion. Til det vil vi prøve muligheden for tilnærmelse af magtlovgivningen.
Bemærk. Den detekterede defekt er relateret til driften af trendprogrammet, men ikke til mindste kvadraters metode.
6.7.3. Teknologi til løsning af problemer med funktionstilnærmelse ved hjælp af matematiske pakker
6.7.3.1. Teknologi til løsning af tilnærmelsesproblemer ved hjælp af MathCad
6.7.3.2. Teknologi til løsning af funktionstilnærmelsesproblemer i MatLab-miljøet
6.7.4. Testopgaver om emnet "Tilnærmelse af funktioner"
Redegørelse for tilnærmelsesproblemet
Opgaven med at tilnærme en funktion er at erstatte en eller anden funktion y=f(x) med en anden funktion g(x, a 0 , a 1 , ..., a n), således at afvigelsen
g(x, a0, a1, ..., an) fra f(x) opfyldte en bestemt betingelse i et bestemt område (på mængden X). Hvis mængden X er diskret (består af individuelle punkter), så kaldes tilnærmelsen punktvis, men hvis X er et segment, så kaldes tilnærmelsen integral.
Hvis funktionen f(x) er givet i en tabel, så er den tilnærmede funktion
g(x, a 0, a 1, ..., a n) skal opfylde et bestemt kriterium for overensstemmelsen mellem dets værdier og tabeldata.
Udvælgelsen af empiriske formler består af to faser - valg af formlens type og bestemmelse af koefficienterne indeholdt i den.
Hvis typen af approksimerende afhængighed er ukendt, så vælges en af de kendte typer af funktioner normalt som en empirisk formel: et algebraisk polynomium, eksponentiel, logaritmisk eller anden funktion, afhængigt af egenskaberne for den funktion, der tilnærmes. Da den empirisk opnåede approksimationsfunktion som regel er genstand for transformationer i efterfølgende undersøgelser, forsøger de at vælge den enkleste formel, der opfylder nøjagtighedskravene. Ofte vælges en afhængighed beskrevet af et algebraisk polynomium af lav orden som en empirisk formel.
Den mest almindelige måde at vælge en funktion i form af et polynomium på er:
hvor φ(x,a 0,a 1,...,a n)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m (x), og
φ 0 (x), φ 1 (x), ..., φ m (x) – basisfunktioner (m-grad af det approksimerende polynomium).
En af de mulige baser er potensloven: φ 0 (x)=1, φ 1 (x)=x, ..., φ m (x)=x m.
Normalt graden af det approksimerende polynomium m<
e i = φ(xi, a 0, a 1, ..., a m) – y i, i = 0,1,2,...,n.
Metoder til bestemmelse af koefficienterne for den valgte empiriske funktion adskiller sig i kriteriet for minimering af afvigelser.
Mindste kvadratisk metode
En af måderne til at bestemme parametrene for en empirisk formel er mindste kvadraters metode. I denne metode bestemmes parametrene a 0 , a 1 , ..., a n ud fra betingelsen for minimumsummen af kvadrerede afvigelser af den approksimerende funktion fra de tabulerede data.
Vektoren af koefficienter a T bestemmes ud fra minimeringsbetingelsen
hvor (n+1) er antallet af knudepunkter.
Betingelsen for minimum af funktionen E fører til et system af lineære ligninger for parametrene a 0, a 1, ..., a m. Dette system kaldes et system af normale ligninger, dets matrix er Gram matrix. Elementer Gram matricer er summen af skalarprodukter af basisfunktioner
For at opnå de nødvendige parameterværdier bør man komponere og løse et system af (m+1) ligninger
Lad den lineære afhængighed y= a 0 +a 1 x vælges som tilnærmelsesfunktion. Derefter
Minimumsbetingelser:
Så har den første ligning formen
Åbner vi parenteserne og dividerer med en konstant koefficient, får vi
.
Den første ligning har følgende endelige form:
.
For at opnå den anden ligning, sidestiller vi den partielle afledte med hensyn til a1 til nul:
.
.
System af lineære ligninger til at finde koefficienterne for et polynomium 
(lineær tilnærmelse):
Lad os introducere følgende notation 
- gennemsnitsværdier af de oprindelige data. I den indførte notation er systemets løsninger
.
I tilfælde af at bruge mindste kvadraters metode til at bestemme koefficienterne for det approksimerende polynomium af anden grad y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2, har minimeringskriteriet formen
.
Fra tilstanden 
vi får følgende ligningssystem:
Løsning af dette ligningssystem for a 0, a 1, a 2 giver os mulighed for at finde koefficienterne for den empiriske formel 
- tilnærmende polynomium af 2. orden. Numeriske metoder kan bruges til at løse et system af lineære ligninger.
I tilfælde af et potensgrundlag (graden af det approksimerende polynomium er lig med m), har grammatricen for normalligningssystemet G og kolonnen med højre side af normalligningssystemet formen
G = 
I matrixform vil systemet af normalligninger have formen:
Løsning af et system af normalligninger
findes ud fra udtrykket
Som et mål for afvigelsen af de givne værdier af funktionen y 0, y 1, ..., y n fra et polynomium med graden m - φ(x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m(x),
accepteret værdi
(n+1)– antal noder, m – graden af det approksimerende polynomium, n+1>=m.
Figur 6.7.2-1 viser et forstørret diagram af mindste kvadraters metodealgoritme.
Ris. 6.7.2-1. Forstørret diagram af mindste kvadraters metodealgoritme
Dette diagram af mindste kvadraters metodealgoritme er forstørret og afspejler hovedprocesserne i metoden, hvor n+1 er antallet af punkter, hvor værdierne х i, y i er kendte; i=0,1,…, n .
Blokken til beregning af koefficienter involverer beregning af koefficienter for ukendte c 0, c 1, ..., c m og frie led af et system af m+1 lineære ligninger.
Den næste blok - blokken til løsning af et ligningssystem - involverer at beregne koefficienterne for den tilnærmede funktion med 0, med 1, ..., med m.
Eksempel 6.7.2-1. Tilpas følgende data til et polynomium af grad to ved hjælp af mindste kvadraters metode.
| x | 0.78 | 1.56 | 2.34 | 3.12 | 3.81 |
| y | 2.50 | 1.20 | 1.12 | 2.25 | 4.28 |
Lad os skrive elementerne i Gram-matricen og kolonnen med frie udtryk i følgende tabel:
| jeg | x | x 2 | x 3 | x 4 | y | xy | x 2 år |
| 0.78 | 0.608 | 0.475 | 0.370 | 2.50 | 1.950 | 1.520 | |
| 1.56 | 2.434 | 3.796 | 5.922 | 1.20 | 1.872 | 2.920 | |
| 2.34 | 5.476 | 12.813 | 29.982 | 1.12 | 2.621 | 6.133 | |
| 3.12 | 9.734 | 30.371 | 94.759 | 2.25 | 7.020 | 21.902 | |
| 3.81 | 14.516 | 55.306 | 210.72 | 4.28 | 16.307 | 62.129 | |
| ∑ | 11.61 | 32.768 | 102.76 | 341.75 | 11.35 | 29.770 | 94.604 |
Normalligningssystemet ser sådan ud
Løsningen på dette system er:
aO = 5,022; al = -4,014; a2=1,002.
Den nødvendige tilnærmelsesfunktion
Lad os sammenligne startværdierne af y med værdierne af det tilnærmede polynomium beregnet ved de samme punkter:
Lad os beregne standardafvigelsen (rest)
.
Eksempel 6.7.3-1. Få tilnærmende polynomier af første og anden grad ved hjælp af mindste kvadraters metode for en funktion specificeret i en tabel.
 |
Eksempel 6.7.3-2. Tilnærme en tabelspecificeret funktion med et polynomium af 1., 2. og 3. grad.
Dette eksempel overvejer brugen af funktionen linfit(x,y,f), hvor x,y er vektorerne for henholdsvis argumentværdier og funktioner, og f er en symbolsk vektor af basisfunktioner. Ved at bruge denne funktion kan du bestemme vektoren af tilnærmelseskoefficienter ved hjælp af mindste kvadraters metode og derefter uoverensstemmelsen - rod-middel-kvadrat-fejlen i tilnærmelsen af de indledende punkter til den tilnærmelsesfunktion (сko). Graden af det approksimerende polynomium specificeres, når den symbolske vektor f beskrives. Eksemplet viser tilnærmelsen af en tabelspecificeret funktion ved et polynomium af 1., 2. og 3. grad. Vektoren s er et sæt af tilnærmelseskoefficienter, som gør det muligt at opnå den tilnærmende funktion i eksplicit form.
 |
I Mathcad Der er også en lang række indbyggede funktioner designet til at opnå et analytisk udtryk for regressionsfunktionen. Men i dette tilfælde er det nødvendigt at kende formen for det analytiske udtryk. Nedenfor er indbyggede funktioner, der adskiller sig i typen af regression, hvilket gør det muligt (med givne indledende tilnærmelser) at bestemme den analytiske afhængighed af funktionen, det vil sige at returnere et sæt tilnærmende koefficienter:
expfit(X,Y,g) Løsning af en 2. ordens ODE af formen y”=F(x, y, z), hvor z=y’ også kan opnås ved 4. ordens Runge-Kutta metoden. Nedenfor er formlerne til løsning af ODE:
I disse funktioner: x er en vektor af argumenter, hvis elementer er arrangeret i stigende rækkefølge; y – vektor af funktionsværdier; g – vektor af initiale tilnærmelser af koefficienterne a, b og c; t - værdien af det argument, hvor funktionen er defineret.
I eksemplerne nedenfor beregnes korrelationskoefficienten corr() for at evaluere forholdet mellem datasæt og værdierne af den tilnærmede funktion. Hvis tabeldataene er godt tilnærmet af en form for regression, så er korrelationskoefficienten tæt på én. Jo mindre koefficienten er, jo dårligere er forholdet mellem værdierne af disse funktioner.
Eksempel 6.7.3-3. Find tilnærmende polynomier af første, anden, tredje og fjerde grad og beregn korrelationskoefficienterne.
   |
Ud over at beregne funktionsværdier inden for et datainterval kan alle tidligere omtalte funktioner udføre ekstrapolering(forudsigelse af adfærden af en funktion uden for intervallet af givne punkter) ved hjælp af en afhængighed baseret på analysen af placeringen af flere indledende punkter på grænsen af dataintervallet. I Mathcad der er også en speciel fungere forudsigelser forudsige(Y, m, n), hvor Y er en vektor af givne funktionsværdier, nødvendigvis taget ved lige argumentintervaller, og m er antallet af på hinanden følgende Y-værdier, baseret på hvilke forudsigelsesfunktionen returnerer n Y-værdier.
Der kræves ingen argumentværdier for dataene, da funktionen per definition opererer på data, der følger hinanden i samme trin. Funktionen bruger en lineær forudsigelsesalgoritme, som er nøjagtig, når den ekstrapolerede funktion er jævn. Funktionen kan være nyttig, når du skal ekstrapolere data over korte afstande. Langt fra de originale data er resultatet oftest utilfredsstillende.
Eksempel 6.7.3-4. Tilnærme funktionen givet i tabellen ved et polynomium ved hjælp af mindste kvadraters metode.
Dette eksempel overvejer brugen af funktionen p=polyfit(x,y,n), hvor x,y er vektorerne for henholdsvis argument- og funktionsværdier, n er rækkefølgen af det approksimerende polynomium, og p er den resulterende vektor af koefficienter for det tilnærmede polynomium af længden n+1.
>>x=; >> x x = 1,2000 1,4000 1,6000 1,8000 2,0000 >> y=[-1,15,-0,506,0,236,0,88,1,256]; >> y y = -1,1500 -0,5060 0,2360 0,8800 1,2560 >> % >> % >> p1=polyfit(x,y,1); >> p1 p1 = 3,0990 -4,8152 >> y1 = polyval(pl,x); >> y1 y1 = -1,0964 -0,4766 0,1432 0,7630 1,3828 >> cko1=sqrt(1/5*sum((y-y1).^2)); >> cko1 cko1 = 0,0918 >> plot(x,y,"ko",x,y1,"r-")  >> p2=polyfit(x,y,2); >> p2 p2 = -1,1321 6,7219 -7,6229 >> y2=polyval(p2,x); >> y2 y2 = -1,1870 -0,4313 0,2338 0,8083 1,2922 >> cko2=sqrt(1/5*sum((y-y2).^2)); >> cko2 cko2 = 0,0518 >> plot(x,y,"ko",x,y2,"r-")  |
Eksempel 6.7.3-5. Tilnærme funktionen givet i tabellen ved et polynomium ved hjælp af mindste kvadraters metode.
 |
Eksempel 6.7.3-5. Tilnærme en funktion givet i en tabel af polynomier af forskellige grader ved hjælp af mindste kvadrater.
6.7.4. Testopgaver om emnet
"Funktionstilnærmelse"
Tilnærmelse er
1) opnåelse af en funktion af en enklere form, der beskriver den oprindelige med en tilstrækkelig grad af nøjagtighed
2) særligt tilfælde af interpolation
3) at erstatte den oprindelige funktion med en funktion af en anden type
4) der er ikke noget rigtigt svar på listen
Emne 6.7. Funktionstilnærmelse
6.7.1. Redegørelse for tilnærmelsesproblemet
6.7.2. Mindste kvadratisk metode
Lad y være en funktion af argumentet x. Det betyder, at enhver værdi x fra definitionsdomænet er knyttet til en værdi x. I praksis er det nogle gange umuligt at nedskrive afhængigheden y(x) eksplicit. Samtidig er denne afhængighed ofte angivet i tabelform. Dette betyder, at et diskret sæt værdier (xi) er forbundet med et sæt værdier (yi), 0< i < m. Эти значения — либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.
Det er ofte nødvendigt at finde en eller anden analytisk funktion, der tilnærmelsesvis beskriver en given tabelafhængighed. Derudover er det nogle gange nødvendigt at bestemme værdierne af en funktion på andre punkter end noder. Dette mål er tjent med tilnærmelsesproblemet ( tilnærmelser). I dette tilfælde skal du finde en funktion f(x), så dens afvigelse fra den givne tabelfunktion er minimal. Funktionen f(x) kaldes tilnærmelse.
Type tilnærmelsesfunktion
afhænger væsentligt af den oprindelige tabelfunktion. I forskellige tilfælde vælges funktionen f(x) i form af eksponentiel, logaritmisk, potens, sinusformet osv. I hvert enkelt tilfælde vælges de passende parametre på en sådan måde, at der opnås maksimal nærhed mellem tilnærmelses- og tabelfunktionerne. Oftest er funktionen dog repræsenteret som et polynomium i potenser af x. Lad os nedskrive den generelle form for n. grads polynomium:
Koefficienterne aj er valgt på en sådan måde, at der opnås den mindste afvigelse af polynomiet fra den givne funktion.
Dermed, tilnærmelse er udskiftning af en funktion med en anden, tæt på den første og ganske enkelt beregnet.
Den matematiske model for en størrelses afhængighed af en anden er funktionsbegrebet y=f(x). Tilnærmelse kaldes at opnå en bestemt funktion, der tilnærmelsesvis beskriver en vis funktionel afhængighed f(x), angivet af en værditabel eller angivet i en form, der er ubekvem for beregninger. I dette tilfælde er denne funktion valgt, så den er så praktisk som muligt for efterfølgende beregninger. Grundlæggende tilgang løsningen på dette problem er, at funktionen fi (x) vælges afhængigt af flere ledige parametre c1, c2, …, cn, hvis værdier er valgt fra en eller anden nærhedstilstand f(x) og fi (x). Begrundelse af metoder til at finde en vellykket type funktionel afhængighed og valg af parametre er opgaven funktionstilnærmelsesteori. Afhængigt af metoden til at vælge parametre, forskellige tilnærmelsesmetoder, blandt hvilke de mest udbredte er interpolation Og rodmiddelkvadrattilnærmelse. Den enkleste er lineær tilnærmelse, hvor der vælges en funktion lineært afhængig af parametrene, altså i form af et generaliseret polynomium:. Interpolationspolynomium kaldes et algebraisk gradspolynomium n-1, der falder sammen med den tilnærmede funktion i n udvalgte punkter. Approksimationsfejl funktioner f(x) interpolationspolynomium af grad n-1, bygget iht n point, kan estimeres, hvis det er afledt af orden n. Essensen rodmiddelkvadrattilnærmelse er, at parametrene for funktionen er valgt således, at der sikres en minimum kvadratisk afstand mellem funktionerne f(x) ogfi(x, c). Mindste kvadratisk metode er et specialtilfælde af middelkvadrattilnærmelsen. Når du bruger mindste kvadraters metode, svarer det til interpolationsproblemet i værdiområdet x, der repræsenterer et eller andet interval [ a, b], hvor er funktionerne f(x) og fi (x) skal være tæt på, vælg et system af forskellige punkter (knudepunkter) x1, ..., x m, hvis antal er større end antallet af nødvendige parametre. Dernæst kræver de, at summen af kvadrerede residualer ved alle noder er minimal.
Generel interpolation
Det skal bemærkes, at Newton- og Lagrangepolynomierne på grund af deres besværlige natur er ringere i beregningseffektivitet end et generelt polynomium. Derfor, når det er nødvendigt at udføre flere beregninger af et polynomium konstrueret ud fra én tabel, viser det sig at være fordelagtigt først at finde koefficienterne c én gang. Koefficienterne findes ved direkte at løse systemet c, hvorefter dets værdier beregnes ved hjælp af Horner-algoritmen. Ulempen ved denne type tilnærmelse er behovet for at løse et system af lineære algebraiske ligninger.
Lagrange interpolationspolynomium
Lagrange foreslog sin egen form for at skrive det generelle interpolations algebraiske polynomium i en form, der ikke kræver løsning af et system af lineære algebraiske ligninger. Det skal bemærkes, at Newton- og Lagrange-polynomier på grund af deres besværlige natur er ringere i beregningseffektivitet end et generelt polynomium.
Newtons interpolationspolynomium
Newton foreslog en form for at skrive et algebraisk algebraisk polynomium med almen interpolation i en form, der ikke kræver løsning af et system af lineære algebraiske ligninger. Det skal bemærkes, at Newton- og Lagrange-polynomierne på grund af deres besværlige natur er ringere i beregningseffektivitet end et generelt polynomium.