Ligninger. For at sige det på en anden måde, så begynder løsningen af alle ligninger med disse transformationer. Ved løsning af lineære ligninger er den (løsningen) baseret på identitetstransformationer og ender med det endelige svar.
Tilfældet med en koefficient, der ikke er nul for en ukendt variabel.
ax+b=0, a ≠ 0
Vi flytter led med X til den ene side og tal til den anden side. Sørg for at huske, at når du flytter led til den modsatte side af ligningen, skal du ændre tegnet:
axe:(a)=-b:(a)
Lad os forkorte EN på x og vi får:
x=-b:(a)
Dette er svaret. Hvis du skal tjekke om et nummer er -b:(a) roden af vores ligning, så skal vi erstatte i den indledende ligning i stedet for x dette er nummeret:
a(-b:(a))+b=0 ( de der. 0=0)
Fordi denne ligestilling er altså korrekt -b:(a) og sandheden er roden til ligningen.
Svar: x=-b:(a), a ≠ 0.
Første eksempel:
5x+2=7x-6
Vi flytter medlemmer med til den ene side x, og på den anden side tallene:
5x-7x=-6-2
-2x:(-2)=-8:(-2)
For en ukendt faktor reducerede vi koefficienten og fik svaret:
Dette er svaret. Hvis du skal kontrollere, om tallet 4 virkelig er roden af vores ligning, erstatter vi dette tal i stedet for X i den oprindelige ligning:
5*4+2=7*4-6 ( de der. 22=22)
Fordi denne lighed er sand, så er 4 roden af ligningen.
Andet eksempel:
Løs ligningen:
5x+14=x-49
Ved at flytte de ukendte og tal i forskellige retninger fik vi:
Divider ligningens dele med koefficienten ved x(ved 4) og vi får:
Tredje eksempel:
Løs ligningen:
Først slipper vi af med irrationaliteten i koefficienten for det ukendte ved at gange alle led med:
Denne formular anses for at være forenklet, fordi tallet har roden af tallet i nævneren. Vi skal forenkle svaret ved at gange tælleren og nævneren med det samme tal, vi har dette:
Sagen om ingen løsninger.
Løs ligningen:
2x+3=2x+7
Foran alle x vores ligning bliver ikke en sand lighed. Det vil sige, at vores ligning ikke har nogen rødder.
Svar: Der er ingen løsninger.
Et specialtilfælde er et uendeligt antal løsninger.
Løs ligningen:
2x+3=2x+3
Hvis vi flytter x'erne og tallene i forskellige retninger og tilføjer lignende udtryk, får vi ligningen:
Her er det heller ikke muligt at dividere begge dele med 0, pga det er forbudt. Dog at sætte på plads x et hvilket som helst tal, får vi den korrekte lighed. Det vil sige, at hvert tal er en løsning på sådan en ligning. Der er således et uendeligt antal løsninger.
Svar: et uendeligt antal løsninger.
Sagen om lighed mellem to komplette formularer.
ax+b=cx+d
ax-cx=d-b
(a-c)x=d-b
x=(d-b):(a-c)
Svar: x=(d-b):(a-c), hvis d≠b og a≠c, ellers er der uendeligt mange løsninger, men hvis a=c, A d≠b, så er der ingen løsninger.
Lineære ligninger. Løsning, eksempler.
Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget..."
Og for dem, der "meget...")
Lineære ligninger.
Lineære ligninger er ikke det sværeste emne i skolematematik. Men der er nogle tricks der, der kan pusle selv en trænet elev. Lad os finde ud af det?)
Typisk er en lineær ligning defineret som en ligning af formen:
økse + b = 0 Hvor a og b– eventuelle tal.
2x + 7 = 0. Her a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 her a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Her a=12, b=1/2
Intet kompliceret, vel? Især hvis du ikke lægger mærke til ordene: "hvor a og b er et vilkårligt tal"... Og hvis du lægger mærke til det og skødesløst tænker over det?) Når alt kommer til alt, hvis a=0, b=0(er mulige tal?), så får vi et sjovt udtryk:
Men det er ikke alt! Hvis f.eks. a=0, EN b=5, Dette viser sig at være noget helt ud over det sædvanlige:
Hvilket er irriterende og underminerer tilliden til matematik, ja...) Især under eksamen. Men ud af disse mærkelige udtryk skal du også finde X! Som slet ikke eksisterer. Og overraskende nok er dette X meget nemt at finde. Vi vil lære at gøre dette. I denne lektion.
Hvordan genkender man en lineær ligning på dens udseende? Det afhænger af udseendet.) Tricket er, at lineære ligninger ikke kun er ligninger af formen økse + b = 0 , men også alle ligninger, der kan reduceres til denne form ved transformationer og forenklinger. Og hvem ved, om det falder eller ej?)
En lineær ligning kan tydeligt genkendes i nogle tilfælde. Lad os sige, hvis vi har en ligning, hvor der kun er ukendte i første grad og tal. Og i ligningen er der ingen brøker divideret med ukendt , det er vigtigt! Og division efter nummer, eller en numerisk brøk - det er velkomment! For eksempel:
Dette er en lineær ligning. Der er brøker her, men der er ingen x'er i kvadratet, terningen osv., og ingen x'er i nævnerne, dvs. Ingen division med x. Og her er ligningen
kan ikke kaldes lineær. Her er X'erne alle i første grad, men der er division efter udtryk med x. Efter forenklinger og transformationer kan du få en lineær ligning, en andengradsligning eller hvad du kan lide.
Det viser sig, at det er umuligt at genkende den lineære ligning i et eller andet kompliceret eksempel, før man næsten løser det. Det er foruroligende. Men i opgaver spørger de som regel ikke om formen på ligningen, vel? Opgaverne beder om ligninger beslutte. Det gør mig glad.)
Løsning af lineære ligninger. Eksempler.
Hele løsningen af lineære ligninger består af identiske transformationer af ligningerne. Disse transformationer (to af dem!) er i øvrigt grundlaget for løsningerne alle matematikkens ligninger. Med andre ord løsningen nogen ligningen begynder med netop disse transformationer. I tilfælde af lineære ligninger er den (løsningen) baseret på disse transformationer og ender med et fuldt svar. Det giver mening at følge linket, ikke?) Desuden er der også eksempler på løsning af lineære ligninger der.
Lad os først se på det enkleste eksempel. Uden faldgruber. Antag, at vi skal løse denne ligning.
x - 3 = 2 - 4x
Dette er en lineær ligning. X'erne er alle i første potens, der er ingen division med X'er. Men faktisk er det lige meget for os, hvilken slags ligning det er. Vi skal løse det. Ordningen her er enkel. Saml alt med X'er i venstre side af ligningen, alt uden X'er (tal) til højre.
For at gøre dette skal du overføre - 4x til venstre side, med et tegnskifte, selvfølgelig, og - 3 - til højre. Det er det forresten den første identiske transformation af ligninger. Overrasket? Det betyder, at du ikke fulgte linket, men forgæves...) Vi får:
x + 4x = 2 + 3
Her er lignende, vi overvejer:
Hvad har vi brug for for fuldstændig lykke? Ja, så der er et rent X til venstre! Fem er i vejen. At slippe af med de fem med hjælp den anden identiske transformation af ligninger. Vi dividerer nemlig begge sider af ligningen med 5. Vi får et klar svar:
Et elementært eksempel, selvfølgelig. Dette er til opvarmning.) Det er ikke særlig klart, hvorfor jeg huskede identiske transformationer her? OKAY. Lad os tage tyren ved hornene.) Lad os beslutte noget mere solidt.
For eksempel, her er ligningen:
Hvor skal vi starte? Med X'er - til venstre, uden X'er - til højre? Det kunne være sådan. Små skridt ad en lang vej. Eller du kan gøre det med det samme, på en universel og kraftfuld måde. Hvis du selvfølgelig har identiske transformationer af ligninger i dit arsenal.
Jeg stiller dig et nøglespørgsmål: Hvad kan du ikke lide mest ved denne ligning?
95 ud af 100 vil svare: brøker ! Svaret er korrekt. Så lad os slippe af med dem. Derfor starter vi straks med anden identitetstransformation. Hvad skal du gange brøken til venstre med, så nævneren reduceres fuldstændigt? Det er rigtigt, på 3. Og til højre? Med 4. Men matematik giver os mulighed for at gange begge sider med samme antal. Hvordan kan vi komme ud? Lad os gange begge sider med 12! De der. til en fællesnævner. Så bliver både de tre og de fire reduceret. Glem ikke, at du skal gange hver del helt. Sådan ser det første trin ud:
Udvidelse af beslag:
Bemærk! Tæller (x+2) Jeg har sat den i parentes! Dette skyldes, at når man multiplicerer brøker, ganges hele tælleren! Nu kan du reducere fraktioner:
Udvid de resterende parenteser:
Ikke et eksempel, men ren fornøjelse!) Lad os nu huske en besværgelse fra folkeskolen: med et X - til venstre, uden et X - til højre! Og anvend denne transformation:
Her er nogle lignende:
Og dividere begge dele med 25, dvs. anvend den anden transformation igen:
Det er alt. Svar: x=0,16
Bemærk venligst: for at bringe den originale forvirrende ligning i en god form, brugte vi to (kun to!) identitetstransformationer– oversættelse venstre-højre med ændring af fortegn og multiplikation-division af en ligning med det samme tal. Dette er en universel metode! Vi vil arbejde på denne måde med nogen ligninger! Absolut hvem som helst. Derfor gentager jeg kedeligt om disse identiske transformationer hele tiden.)
Som du kan se, er princippet om at løse lineære ligninger enkelt. Vi tager ligningen og forenkler den ved hjælp af identiske transformationer, indtil vi får svaret. Hovedproblemerne her er i beregningerne, ikke i princippet om løsningen.
Men... Der er sådanne overraskelser i processen med at løse de mest elementære lineære ligninger, at de kan drive dig ind i en stærk stupor...) Heldigvis kan der kun være to sådanne overraskelser. Lad os kalde dem særlige tilfælde.
Særlige tilfælde ved løsning af lineære ligninger.
Første overraskelse.
Antag, at du støder på en meget grundlæggende ligning, noget som:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Lidt kede af det flytter vi det med et X til venstre, uden et X - til højre... Med et fortegnsskifte er alt perfekt... Vi får:
2x-5x+3x=5-2-3
Vi tæller, og... ups!!! Vi får:
Denne ligestilling er i sig selv ikke kritisabel. Nul er virkelig nul. Men X mangler! Og vi skal skrive ned i svaret, hvad er x lig med? Ellers tæller løsningen ikke, vel...) Deadlock?
Berolige! I sådanne tvivlsomme tilfælde vil de mest generelle regler redde dig. Hvordan løser man ligninger? Hvad vil det sige at løse en ligning? Det betyder, find alle værdierne af x, der, når de erstattes i den oprindelige ligning, vil give os den korrekte lighed.
Men vi har ægte lighed allerede sket! 0=0, hvor meget mere nøjagtigt?! Det er tilbage at finde ud af, ved hvilke x'er dette sker. Hvilke værdier af X kan erstattes med original ligning hvis disse x'er vil de stadig blive reduceret til nul? Kom nu?)
Ja!!! X'er kan erstattes nogen! Hvilke vil du have? Mindst 5, mindst 0,05, mindst -220. De vil stadig krympe. Hvis du ikke tror mig, kan du tjekke det.) Erstat alle værdier af X i original ligning og udregn. Hele tiden vil du få den rene sandhed: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 og så videre.
Her er dit svar: x - et hvilket som helst tal.
Svaret kan skrives i forskellige matematiske symboler, essensen ændres ikke. Dette er et fuldstændig korrekt og fuldstændigt svar.
Anden overraskelse.
Lad os tage den samme elementære lineære ligning og ændre kun ét tal i den. Dette er, hvad vi vil beslutte:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Efter de samme identiske transformationer får vi noget spændende:
Sådan her. Vi løste en lineær ligning og fik en mærkelig lighed. I matematiske termer fik vi falsk ligestilling. Men i enkle vendinger er dette ikke sandt. Rave. Men ikke desto mindre er dette nonsens en meget god grund til den korrekte løsning af ligningen.)
Igen tænker vi ud fra generelle regler. Hvad x'er, når de erstattes i den oprindelige ligning, vil give os rigtigt lighed? Ja, ingen! Der er ingen sådanne X'er. Lige meget hvad du putter i, vil alt blive reduceret, kun nonsens vil blive tilbage.)
Her er dit svar: der er ingen løsninger.
Dette er også et fuldstændigt svar. I matematik findes sådanne svar ofte.
Sådan her. Nu håber jeg, at forsvinden af X'er i færd med at løse enhver (ikke kun lineær) ligning overhovedet ikke vil forvirre dig. Dette er allerede en velkendt sag.)
Nu hvor vi har behandlet alle faldgruberne i lineære ligninger, giver det mening at løse dem.
Hvis du kan lide denne side...
Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)
Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)
Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.
Først skal du forstå, hvad det er.
Der er en simpel definition lineær ligning, som er givet i en almindelig skole: "en ligning, hvor variablen kun forekommer i første potens." Men det er ikke helt korrekt: ligningen er ikke lineær, den reducerer ikke engang til det, den reducerer til kvadratisk.
En mere præcis definition er: lineær ligning er en ligning, der vha tilsvarende transformationer kan reduceres til formen , hvor title="a,b i bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}
Faktisk, for at forstå, om en ligning er lineær eller ej, skal den først forenkles, det vil sige bringes til en form, hvor dens klassificering vil være entydig. Husk, du kan gøre, hvad du vil med en ligning, så længe den ikke ændrer sine rødder - det er, hvad det er. tilsvarende konvertering. De enkleste ækvivalente transformationer omfatter:
- åbne parenteser
- bringe lignende
- gange og/eller dividere begge sider af en ligning med et tal, der ikke er nul
- tilføje og/eller trække fra begge sider af det samme tal eller udtryk*
*En særlig fortolkning af den sidste transformation er "overførsel" af termer fra en del til en anden med et fortegnsskifte.
Eksempel 1:
(lad os åbne parenteserne)
(læg til begge dele og subtraher/overfør ved at ændre tallets fortegn til venstre og variablerne til højre)
(lad os give lignende)
(divider begge sider af ligningen med 3)
Så vi får en ligning, der har samme rødder som den oprindelige. Lad os minde læseren om det "løs ligningen"- betyder at finde alle sine rødder og bevise, at der ikke er andre, og "roden til ligningen"- dette er et tal, der, når det erstattes af det ukendte, vil gøre ligningen til en ægte lighed. Nå, i den sidste ligning er det meget simpelt at finde et tal, der gør ligningen til en sand lighed - dette er tallet. Intet andet tal vil danne en identitet ud fra denne ligning. Svar:
Eksempel 2:
(multipér begge sider af ligningen med 
, efter at have sikret os, at vi ikke multiplicerer med : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(lad os åbne parenteserne)
(lad os flytte vilkårene)
(lad os give lignende)
(vi dividerer begge dele med )
Det er nogenlunde sådan alle lineære ligninger løses. For yngre læsere virkede denne forklaring højst sandsynligt kompliceret, så vi tilbyder en version "lineære ligninger for klasse 5"
En lineær ligning med én variabel har den generelle form
ax + b = 0.
Her er x en variabel, a og b er koefficienter. På en anden måde kaldes a "koefficienten for det ukendte", b er det "frie udtryk".
Koefficienter er en slags tal, og at løse en ligning betyder at finde den værdi af x, hvor udtrykket ax + b = 0 er sandt. For eksempel har vi den lineære ligning 3x – 6 = 0. At løse den betyder at finde, hvad x skal være lig, for at 3x – 6 er lig med 0. Ved at udføre transformationerne får vi:
3x = 6
x = 2
Således er udtrykket 3x – 6 = 0 sandt ved x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 er roden af denne ligning. Når du løser en ligning, finder du dens rødder.
Koefficienterne a og b kan være alle tal, men der er sådanne værdier, når roden af en lineær ligning med én variabel er mere end én.
Hvis a = 0, så bliver ax + b = 0 til b = 0. Her er x "ødelagt". Selve udtrykket b = 0 kan kun være sandt, hvis viden om b er 0. Det vil sige, at ligningen 0*x + 3 = 0 er falsk, fordi 3 = 0 er en falsk udsagn. Dog er 0*x + 0 = 0 det korrekte udtryk. Ud fra dette konkluderer vi, at hvis a = 0 og b ≠ 0, har en lineær ligning med én variabel slet ingen rødder, men hvis a = 0 og b = 0, så har ligningen et uendeligt antal rødder.
Hvis b = 0, og a ≠ 0, så vil ligningen have formen ax = 0. Det er klart, at hvis a ≠ 0, men resultatet af multiplikation er 0, så er x = 0. Det vil sige roden af dette ligningen er 0.
Hvis hverken a eller b er lig med nul, så transformeres ligningen ax + b = 0 til formen
x = –b/a.
Værdien af x i dette tilfælde vil afhænge af værdierne af a og b. Desuden vil det være den eneste. Det vil sige, at det er umuligt at opnå to eller flere forskellige værdier af x med de samme koefficienter. For eksempel,
–8,5x – 17 = 0
x = 17 / –8,5
x = –2
Intet andet tal end –2 kan opnås ved at dividere 17 med –8,5.
Der er ligninger, der ved første øjekast ikke ligner den generelle form for en lineær ligning med én variabel, men som let konverteres til den. For eksempel,
–4,8 + 1,3x = 1,5x + 12
Hvis du flytter alt til venstre side, forbliver 0 på højre side:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0
Nu er ligningen reduceret til standardform og kan løses:
x = 16,8 / 0,2
x = 84
En ligning med en ukendt, som, efter at have åbnet parenteserne og bragt lignende udtryk, antager formen
ax + b = 0, hvor a og b er vilkårlige tal, kaldes lineær ligning med en ukendt. I dag vil vi finde ud af, hvordan man løser disse lineære ligninger.
For eksempel alle ligninger:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineær.
Værdien af det ukendte, der gør ligningen til en sand lighed kaldes afgørelse eller roden af ligningen .
For eksempel, hvis vi i ligningen 3x + 7 = 13 i stedet for det ukendte x erstatter tallet 2, får vi den korrekte lighed 3 2 +7 = 13. Det betyder, at værdien x = 2 er løsningen eller roden af ligningen.
Og værdien x = 3 gør ikke ligningen 3x + 7 = 13 til en sand lighed, da 3 2 +7 ≠ 13. Det betyder, at værdien x = 3 ikke er en løsning eller en rod af ligningen.
Løsning af lineære ligninger reduceres til at løse formens ligninger
ax + b = 0.
Lad os flytte det frie led fra venstre side af ligningen til højre, ændre tegnet foran b til det modsatte, får vi
Hvis a ≠ 0, så er x = ‒ b/a .
Eksempel 1. Løs ligningen 3x + 2 =11.
Lad os flytte 2 fra venstre side af ligningen til højre, ændre tegnet foran 2 til det modsatte, får vi
3x = 11 – 2.
Lad os så trække fra
3x = 9.
For at finde x skal du dividere produktet med en kendt faktor, dvs
x = 9:3.
Det betyder, at værdien x = 3 er løsningen eller roden af ligningen.
Svar: x = 3.
Hvis a = 0 og b = 0, så får vi ligningen 0x = 0. Denne ligning har uendeligt mange løsninger, da når vi gange et hvilket som helst tal med 0 får vi 0, men b er også lig med 0. Løsningen til denne ligning er et hvilket som helst tal.
Eksempel 2. Løs ligningen 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Lad os udvide parenteserne:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Her er nogle lignende udtryk:
0x = 0.
Svar: x - et vilkårligt tal.
Hvis a = 0 og b ≠ 0, så får vi ligningen 0x = - b. Denne ligning har ingen løsninger, da når vi gange et hvilket som helst tal med 0, får vi 0, men b ≠ 0.
Eksempel 3. Løs ligningen x + 8 = x + 5.
Lad os gruppere termer, der indeholder ukendte på venstre side og frie termer på højre side:
x – x = 5 – 8.
Her er nogle lignende udtryk:
0х = ‒ 3.
Svar: ingen løsninger.
På figur 1 viser et diagram til løsning af en lineær ligning
Lad os udarbejde et generelt skema til løsning af ligninger med én variabel. Lad os overveje løsningen til eksempel 4.
Eksempel 4. Antag, at vi skal løse ligningen
1) Gang alle led i ligningen med det mindste fælles multiplum af nævnerne, lig med 12.
2) Efter reduktion får vi
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) For at adskille vilkår, der indeholder ukendte og gratis vilkår, skal du åbne parenteserne:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Lad os gruppere i den ene del termerne, der indeholder ukendte, og i den anden - frie termer:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Lad os præsentere lignende udtryk:
- 22x = - 154.
6) Divider med – 22, vi får
x = 7.
Som du kan se, er roden af ligningen syv.
Generelt sådan ligninger kan løses ved hjælp af følgende skema:
a) bringe ligningen til sin heltalsform;
b) åbne beslagene;
c) grupper de termer, der indeholder det ukendte i den ene del af ligningen, og de frie led i den anden;
d) medbringe lignende medlemmer;
e) løs en ligning med formen aх = b, som blev opnået efter at have bragt lignende led.
Dette skema er dog ikke nødvendigt for hver ligning. Når du løser mange enklere ligninger, skal du ikke starte fra den første, men fra den anden ( Eksempel. 2), tredje ( Eksempel. 13) og endda fra den femte fase, som i eksempel 5.
Eksempel 5. Løs ligningen 2x = 1/4.
Find det ukendte x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
Lad os se på at løse nogle lineære ligninger fundet i hovedtilstandseksamenen.
Eksempel 6. Løs ligning 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Svar: - 0,125
Eksempel 7. Løs ligningen – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Svar: 2.3
Eksempel 8. Løs ligningen
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Eksempel 9. Find f(6) hvis f (x + 2) = 3 7'ere
Løsning
Da vi skal finde f(6), og vi kender f (x + 2),
derefter x + 2 = 6.
Vi løser den lineære ligning x + 2 = 6,
vi får x = 6 – 2, x = 4.
Hvis x = 4 så
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Svar: 27.
Hvis du stadig har spørgsmål eller ønsker at forstå løsning af ligninger mere grundigt, så tilmeld dig mine lektioner i skemaet. Jeg vil med glæde hjælpe dig!
TutorOnline anbefaler også at se en ny videolektion fra vores tutor Olga Alexandrovna, som vil hjælpe dig med at forstå både lineære ligninger og andre.
hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.