Problemet med at finde det ubestemte integral af en brøkmæssig rationel funktion kommer ned til at integrere simple brøker. Derfor anbefaler vi, at du først sætter dig ind i afsnittet i teorien om nedbrydning af brøker til det simpleste.

Eksempel.

Find det ubestemte integral.

Løsning.

Da graden af ​​tælleren for integranden er lig med graden af ​​nævneren, vælger vi først hele delen ved at dividere polynomiet med polynomiet med en kolonne:

Derfor, .

Dekomponeringen af ​​den resulterende egentlige rationelle fraktion til simplere fraktioner har formen . Derfor,

Det resulterende integral er integralet af den enkleste brøkdel af den tredje type. Ser vi lidt fremad, bemærker vi, at du kan tage det ved at indordne det under differentialtegnet.

Fordi , At . Derfor

Derfor,

Lad os nu gå videre til at beskrive metoder til at integrere simple fraktioner af hver af de fire typer.

Integration af simple brøker af den første type

Den direkte integrationsmetode er ideel til at løse dette problem:

Eksempel.

Find mængden af ​​antiderivater af en funktion

Løsning.

Lad os finde det ubestemte integral ved hjælp af egenskaberne for antiderivatet, tabellen over antiderivater og integrationsreglen.

Øverst på siden

Integration af simple fraktioner af den anden type

Den direkte integrationsmetode er også velegnet til at løse dette problem:

Eksempel.

Løsning.

Øverst på siden

Integration af simple fraktioner af den tredje type

Først præsenterer vi det ubestemte integral som en sum:

Vi tager det første integral ved at indsætte det under differentialtegnet:

Derfor,

Lad os transformere nævneren for det resulterende integral:

Derfor,

Formlen til integration af simple brøker af den tredje type har formen:

Eksempel.

Find det ubestemte integral .

Løsning.

Vi bruger den resulterende formel:

Hvis vi ikke havde denne formel, hvad ville vi så gøre:

Øverst på siden

Integration af simple brøker af den fjerde type

Det første skridt er at sætte det under differentialtegnet:

Det andet trin er at finde et integral af formen . Integraler af denne type findes ved hjælp af gentagelsesformler. (Se afsnittet om integration ved hjælp af gentagelsesformler.) Følgende tilbagevendende formel er velegnet til vores tilfælde:

Eksempel.

Find det ubestemte integral

Løsning.

Til denne type integrand bruger vi substitutionsmetoden. Lad os introducere en ny variabel (se afsnittet om integration af irrationelle funktioner):

Efter udskiftning har vi:

Vi kom til at finde integralet af en brøkdel af den fjerde type. I vores tilfælde har vi koefficienter M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 Og n=3. Vi anvender den tilbagevendende formel:

Efter omvendt udskiftning får vi resultatet:

Integrering af trigonometriske funktioner

1. Integraler af formularen beregnes ved at omdanne produktet af trigonometriske funktioner til en sum ved hjælp af formlerne: For eksempel 2. Formens integraler , Hvor m eller n– et ulige positivt tal, beregnet ved at subsumere det under differentialtegnet. For eksempel, 3. Integraler af formularen , Hvor m Og n–lige positive tal beregnes ved hjælp af formler til at reducere graden: F.eks. 4.Integraler hvor beregnes ved at ændre variablen: eller F.eks. 5. Formens integraler reduceres til integraler af rationelle brøker ved hjælp af en universel trigonometrisk substitution (da =[efter at have divideret tælleren og nævneren med ]= ; For eksempel, Det skal bemærkes, at brugen af ​​universel substitution ofte fører til besværlige beregninger.

§5. Integration af de simpleste irrationaliteter

Lad os overveje metoder til at integrere de enkleste typer irrationalitet. 1. Funktioner af denne type integreres på samme måde som de enkleste rationelle brøker af den 3. type: I nævneren isoleres et komplet kvadrat fra kvadrattrinomialet, og en ny variabel introduceres. Eksempel. 2. (under integraltegn – argumenters rationelle funktion). Integraler af denne type beregnes ved hjælp af substitution. Især i integraler af den form, vi betegner . Hvis integranden indeholder rødder af forskellige grader: , så angiv hvor n– mindste fælles multiplum af tal m,k. Eksempel 1. Eksempel 2. -ukorrekt rationel brøk, vælg hele delen: – – – 3. Integraler af formularen beregnes ved hjælp af trigonometriske substitutioner:

44

45 Bestemt integral

Bestemt integral- en additiv monoton normaliseret funktionel defineret på et sæt af par, hvoraf den første komponent er en integrerbar funktion eller funktionel, og den anden er et domæne i sættet til at specificere denne funktion (funktionel).

Definition

Lad det defineres på . Lad os opdele det i dele med flere vilkårlige punkter. Så siger de, at segmentet er blevet opdelt. Vælg derefter et vilkårligt punkt , ,

Et bestemt integral af en funktion på et interval er grænsen for integral-summer, da partitionens rang har en tendens til nul, hvis den eksisterer uafhængigt af partitionen og valg af punkter, dvs.

Hvis den angivne grænse eksisterer, siges funktionen at være Riemann-integrerbar.

Betegnelser

· - nedre grænse.

· - Øverste grænse.

· - integrand funktion.

· - længden af ​​delsegmentet.

· - integral sum af funktionen på den tilsvarende partition.

· - maksimal længde af et delsegment.

Ejendomme

Hvis en funktion er Riemann-integrerbar på , så er den afgrænset til den.

Geometrisk betydning

Bestemt integral som arealet af en figur

Det bestemte integral er numerisk lig med arealet af figuren begrænset af abscisseaksen, rette linjer og grafen for funktionen.

Newton-Leibniz sætning

[redigere]

(omdirigeret fra "Newton-Leibniz Formel")

Newton - Leibniz formel eller hovedsætning for analyse giver et forhold mellem to operationer: at tage et bestemt integral og beregne antiderivatet.

Bevis

Lad en integrerbar funktion gives på et interval. Lad os starte med at bemærke det

det vil sige, at det er lige meget hvilket bogstav (eller) der er under tegnet i det bestemte integral over segmentet.

Lad os indstille en vilkårlig værdi og definere en ny funktion . Det er defineret for alle værdier af , fordi vi ved, at hvis der er et integral af on , så er der også et integral af on , hvor . Lad os huske på, at vi betragter per definition

(1)

Læg mærke til det

Lad os vise, at det er kontinuerligt i intervallet. Faktisk lad ; Derefter

og hvis, så

Den er således kontinuerlig, uanset om den har eller ikke har diskontinuiteter; det er vigtigt, at det er integrerbart på .

Figuren viser en graf. Arealet af det variable tal er . Dens stigning er lig med arealet af figuren , som på grund af sin afgrænsning åbenbart har en tendens til nul ved, uanset om det er et kontinuitetspunkt eller diskontinuitetspunkt, for eksempel et punkt.

Lad nu funktionen ikke kun være integrerbar på, men kontinuerlig på punktet. Lad os bevise, at så er den afledte på dette tidspunkt lig med

(2)

Faktisk for det angivne punkt

(1) , (3)

Vi sætter , og da det er konstant i forhold til ,TO . Yderligere, på grund af kontinuitet på et punkt, for enhver kan specificere sådan, at for .

hvilket beviser, at venstre side af denne ulighed er o(1) for .

Overgang til grænsen i (3) ved viser eksistensen af ​​den afledte af ved punktet og gyldigheden af ​​lighed (2). Når vi her taler om henholdsvis højre og venstre derivater.

Hvis en funktion er kontinuerlig på , så, baseret på det, der blev bevist ovenfor, den tilsvarende funktion

(4)

har en afledt lig med . Derfor er funktionen et antiderivat for .

Denne konklusion kaldes undertiden variable øvre grænse integralsætning eller Barrows sætning.

Vi har bevist, at en vilkårlig funktion, der er kontinuert på et interval, har en antiderivativ på dette interval defineret af lighed (4). Dette beviser eksistensen af ​​et antiderivat for enhver funktion, der er kontinuert i et interval.

Lad nu der være en vilkårlig antiderivat af en funktion på . Vi ved det, hvor er en konstant. Forudsat i denne lighed og under hensyntagen til det opnår vi .

Dermed, . Men

Ukorrekt integral

[redigere]

Materiale fra Wikipedia - den frie encyklopædi

Bestemt integral hedder ikke din egen, hvis mindst én af følgende betingelser er opfyldt:

· Grænse a eller b (eller begge grænser) er uendelige;

· Funktionen f(x) har et eller flere brudpunkter inde i segmentet.

[rediger] Ukorrekte integraler af den første slags

. Derefter:

1. Hvis og integralet kaldes . I dette tilfælde kaldes konvergent.

, eller simpelthen divergerende.

Lad være defineret og kontinuerlig på settet fra og . Derefter:

1. Hvis , så bruges notationen og integralet kaldes ukorrekt Riemann-integral af den første slags. I dette tilfælde kaldes konvergent.

2. Hvis der ikke er nogen endelig ( eller ), så siges integralet at divergere til , eller simpelthen divergerende.

Hvis en funktion er defineret og kontinuerlig på hele tallinjen, kan der være et ukorrekt integral af denne funktion med to uendelige grænser for integration, defineret af formlen:

, hvor c er et vilkårligt tal.

[redigere] Geometrisk betydning af et upassende integral af den første slags

Det ukorrekte integral udtrykker arealet af en uendelig lang buet trapez.

[redigere] Eksempler

[rediger] Ukorrekte integraler af den anden slags

Lad det være defineret på , lider en uendelig diskontinuitet i punktet x=a og . Derefter:

1. Hvis , så bruges notationen og integralet kaldes

kaldes divergent til , eller simpelthen divergerende.

Lad det være defineret på , lider en uendelig diskontinuitet ved x=b og . Derefter:

1. Hvis , så bruges notationen og integralet kaldes ukorrekt Riemann-integral af anden slags. I dette tilfælde kaldes integralet konvergent.

2. Hvis eller , så forbliver betegnelsen den samme, og kaldes divergent til , eller simpelthen divergerende.

Hvis funktionen lider af en diskontinuitet i et internt punkt i segmentet, bestemmes det ukorrekte integral af den anden slags af formlen:

[redigere] Geometrisk betydning af forkerte integraler af den anden slags

Det ukorrekte integral udtrykker arealet af en uendeligt høj buet trapez

[redigere] Eksempel

[rediger] Isoleret tilfælde

Lad funktionen være defineret på hele tallinjen og have en diskontinuitet i punkterne.

Så kan vi finde det forkerte integral

[rediger] Cauchy-kriterium

1. Lad det være defineret på et sæt fra og .

Derefter konvergerer

2. Lad være defineret på og .

Derefter konvergerer

[rediger]Absolut konvergens

Integral hedder absolut konvergent, hvis konvergerer.
Hvis integralet konvergerer absolut, så konvergerer det.

[rediger]Betinget konvergens

Integralet kaldes betinget konvergent, hvis det konvergerer, men divergerer.

48 12. Ukorrekte integraler.

Når vi overvejede bestemte integraler, antog vi, at integrationsdomænet er begrænset (mere specifikt er det segmentet [ -en ,b ]); For eksistensen af ​​et bestemt integral skal integranden være begrænset til [ -en ,b ]. Vi vil kalde bestemte integraler, for hvilke begge disse betingelser er opfyldt (begrænsning af både integrationsdomænet og integranden) egen; integraler, for hvilke disse krav er overtrådt (dvs. enten integranden eller integrationsdomænet er ubegrænset, eller begge dele) ikke din egen. I dette afsnit vil vi studere ukorrekte integraler.

• 12.1. Ukorrekte integraler over et ubegrænset interval (uegentlige integraler af den første slags).
• 12.1.1. Definition af et ukorrekt integral over et uendeligt interval. Eksempler.
• 12.1.2. Newton-Leibniz formel for et ukorrekt integral.
• 12.1.3. Sammenligningskriterier for ikke-negative funktioner.
• 12.1.3.1. Tegn på sammenligning.
• 12.1.3.2. Et tegn på sammenligning i sin ekstreme form.
• 12.1.4. Absolut konvergens af ukorrekte integraler over et uendeligt interval.
• 12.1.5. Test for konvergens mellem Abel og Dirichlet.
• 12.2. Ukorrekte integraler af ubegrænsede funktioner (ukorrekte integraler af anden slags).
• 12.2.1. Definition af et ukorrekt integral af en ubegrænset funktion.
• 12.2.1.1. Singulariteten er i venstre ende af integrationsintervallet.
• 12.2.1.2. Anvendelse af Newton-Leibniz formlen.
• 12.2.1.3. Singularitet i højre ende af integrationsintervallet.
• 12.2.1.4. Singularitet i det indre punkt af integrationsintervallet.
• 12.2.1.5. Flere funktioner på integrationsintervallet.
• 12.2.2. Sammenligningskriterier for ikke-negative funktioner.
• 12.2.2.1. Tegn på sammenligning.
• 12.2.2.2. Et tegn på sammenligning i sin ekstreme form.
• 12.2.3. Absolut og betinget konvergens af ukorrekte integraler af diskontinuerlige funktioner.
• 12.2.4. Test for konvergens mellem Abel og Dirichlet.

12.1. Ukorrekte integraler over et ubegrænset interval

(ukorrekte integraler af den første slags).

12.1.1. Definition af et ukorrekt integral over et uendeligt interval. Lad funktionen f (x ) er defineret på halvaksen og kan integreres over ethvert interval [ fra, hvilket i hvert af disse tilfælde antyder eksistensen og endeligheden af ​​de tilsvarende grænser. Nu ser løsningerne på eksemplerne enklere ud: .

12.1.3. Sammenligningskriterier for ikke-negative funktioner. I dette afsnit vil vi antage, at alle integrander er ikke-negative over hele definitionsdomænet. Indtil nu har vi bestemt konvergensen af ​​integralet ved at beregne det: hvis der er en endelig grænse for antiderivatet med den tilsvarende tendens ( eller ), så konvergerer integralet, ellers divergerer det. Når man løser praktiske problemer, er det dog vigtigt først at fastslå selve konvergensen og først derefter beregne integralet (desuden udtrykkes antiderivatet ofte ikke i form af elementære funktioner). Lad os formulere og bevise en række sætninger, der giver os mulighed for at etablere konvergensen og divergensen af ​​ukorrekte integraler af ikke-negative funktioner uden at beregne dem.
12.1.3.1. Sammenligningstegn. Lad funktionerne f (x ) Og g (x ) integral

Alt det ovenstående i de foregående afsnit giver os mulighed for at formulere de grundlæggende regler for integration af rationelle brøker.

1. Hvis en rationel brøk er uægte, så er den repræsenteret som summen af ​​et polynomium og en egentlig rationel brøk (se afsnit 2).

Dette reducerer integrationen af ​​en ukorrekt rationel brøk til integrationen af ​​et polynomium og en egentlig rationel brøk.

2. Faktorer nævneren for egenbrøken.

3. En egentlig rationel brøk dekomponeres i summen af ​​simple brøker. Dette reducerer integrationen af ​​en egentlig rationel brøk til integration af simple brøker.

Lad os se på eksempler.

Eksempel 1. Find .

Løsning. Under integralet er en upassende rationel brøk. At vælge hele delen, får vi

Derfor,

Bemærk at , lad os udvide den rigtige rationelle brøk

til simple brøker:

(se formel (18)). Derfor

Således har vi endelig

Eksempel 2. Find

Løsning. Under integralet er en egentlig rationel brøk.

Udvider det til enklere brøker (se formel (16)), får vi

Emne: Integration af rationelle brøker.

Opmærksomhed! Når man studerer en af ​​de grundlæggende metoder til integration: integration af rationelle brøker, er det nødvendigt at overveje polynomier i det komplekse domæne for at udføre strenge beviser. Derfor er det nødvendigt studere på forhånd nogle egenskaber ved komplekse tal og operationer på dem.

Integration af simple rationelle brøker.

Hvis P(z) Og Q(z) er polynomier i det komplekse domæne, så er de rationelle brøker. Det kaldes korrekt, hvis grad P(z) mindre grad Q(z) , Og forkert, hvis grad R ikke mindre end en grad Q.

Enhver uægte brøk kan repræsenteres som: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

-en R(z) – polynomium, hvis grad er mindre end graden Q(z).

Således kommer integrationen af ​​rationelle brøker ned til integrationen af ​​polynomier, det vil sige potensfunktioner og egenbrøker, da det er en egenbrøk.

Definition 5. De simpleste (eller elementære) brøker er følgende typer brøker:

1) , 2) , 3) , 4) .

Lad os finde ud af, hvordan de integreres.

3) (studeret tidligere).

Sætning 5. Hver egenbrøk kan repræsenteres som summen af ​​simple brøker (uden bevis).

Konsekvens 1. Hvis er en egentlig rationel brøk, og hvis der blandt polynomiets rødder kun er simple reelle rødder, så vil der ved nedbrydningen af ​​brøken til summen af ​​simple brøker kun være simple brøker af 1. type:

Eksempel 1.

Følge 2. Hvis er en egentlig rationel brøk, og hvis der blandt polynomiets rødder kun er flere reelle rødder, så vil der ved dekomponeringen af ​​brøken til summen af ​​simple brøker kun være simple brøker af 1. og 2. type :

Eksempel 2.

Konsekvens 3. Hvis er en egentlig rationel brøk, og hvis der blandt polynomiets rødder kun er simple komplekse konjugerede rødder, så vil der i nedbrydningen af ​​brøken til summen af ​​simple brøker kun være simple brøker af den 3. type:

Eksempel 3.

Konsekvens 4. Hvis er en egentlig rationel brøk, og hvis der blandt polynomiets rødder kun er flere komplekse konjugerede rødder, så vil der ved dekomponeringen af ​​brøken til summen af ​​simple brøker kun være simple brøker af 3. og 4. typer:

For at bestemme de ukendte koefficienter i de givne udvidelser, fortsæt som følger. Venstre og højre side af udvidelsen, der indeholder ukendte koefficienter, ganges med Ligheden af ​​to polynomier opnås. Fra det opnås ligninger for de nødvendige koefficienter ved hjælp af:

1. lighed gælder for alle værdier af X (delværdimetoden). I dette tilfælde opnås et hvilket som helst antal ligninger, hvoraf enhver m gør det muligt at finde de ukendte koefficienter.

2. koefficienterne falder sammen for de samme grader af X (metode for ubestemte koefficienter). I dette tilfælde fås et system af m - ligninger med m - ukendte, hvorfra de ukendte koefficienter findes.

3. kombineret metode.

Eksempel 5. Udvid en brøk til det enkleste.

Løsning:

Lad os finde koefficienterne A og B.

Metode 1 - privat værdi metode:

Metode 2 – metode for ubestemte koefficienter:

Svar:

Integrering af rationelle brøker.

Sætning 6. Det ubestemte integral af enhver rationel brøk på ethvert interval, hvor dens nævner ikke er lig med nul, eksisterer og udtrykkes gennem elementære funktioner, nemlig rationelle brøker, logaritmer og arctangents.

Bevis.

Lad os forestille os en rationel brøk i formen: . I dette tilfælde er det sidste led en egenbrøk, og ifølge sætning 5 kan det repræsenteres som en lineær kombination af simple brøker. Således er integrationen af ​​en rationel brøk reduceret til integrationen af ​​et polynomium S(x) og simple brøker, hvis antiderivater, som vist, har den i sætningen angivne form.

Kommentar. Den største vanskelighed i dette tilfælde er nedbrydningen af ​​nævneren i faktorer, det vil sige søgningen efter alle dens rødder.

Eksempel 1. Find integralet

Integranden er en egentlig rationel brøk. Udvidelsen af ​​nævneren til irreducerbare faktorer har formen Det betyder, at ekspansionen af ​​integranden til en sum af simple brøker har følgende form:

Lad os finde ekspansionskoefficienterne ved hjælp af en kombineret metode:

Dermed,

Eksempel 2. Find integralet

Integranden er en ukorrekt brøk, så vi isolerer hele delen:

Den første af integralerne er tabelform, og vi beregner den anden ved at dekomponere den rigtige brøk i simple:

Ved hjælp af metoden med ubestemte koefficienter har vi:

Dermed,

Integration af en brøk-rationel funktion.
Usikker koefficientmetode

Vi arbejder videre med at integrere brøker. Vi har allerede set på integraler af nogle typer brøker i lektionen, og denne lektion kan på en måde betragtes som en fortsættelse. For at forstå materialet med succes kræves grundlæggende integrationsfærdigheder, så hvis du lige er begyndt at studere integraler, det vil sige, du er nybegynder, så skal du starte med artiklen Ubestemt integral. Eksempler på løsninger.

Mærkeligt nok, nu vil vi ikke så meget beskæftige os med at finde integraler, men... med at løse systemer af lineære ligninger. I denne forbindelse hurtigst muligt Jeg anbefaler, at du deltager i lektionen. Du skal nemlig være velbevandret i substitutionsmetoder (“skolen”-metoden og metoden til term-for-term addition (subtraktion) af systemligninger).

Hvad er en rationel brøkfunktion? Med enkle ord er en brøk-rationel funktion en brøk, hvis tæller og nævner indeholder polynomier eller produkter af polynomier. Desuden er fraktionerne mere sofistikerede end dem, der er diskuteret i artiklen Integrering af nogle brøker.

Integrering af en korrekt fraktionel-rationel funktion

Umiddelbart et eksempel og en typisk algoritme til løsning af integralet af en brøk-rationel funktion.

Eksempel 1

Trin 1. Det første, vi ALTID gør, når vi løser et integral af en rationel brøkfunktion, er at afklare følgende spørgsmål: er brøken rigtig? Dette trin udføres verbalt, og nu vil jeg forklare hvordan:

Først ser vi på tælleren og finder ud af det senior grad polynomium:

Tællerens ledende potens er to.

Nu ser vi på nævneren og finder ud af det senior grad nævner. Den oplagte måde er at åbne parenteserne og bringe lignende udtryk, men du kan gøre det enklere, i hver finde den højeste grad i parentes

og gange mentalt: - således er den højeste grad af nævneren lig med tre. Det er helt åbenlyst, at hvis vi faktisk åbner beslagene, får vi ikke en grad større end tre.

Konklusion: Større grad af tæller STRENGT er mindre end den højeste potens af nævneren, hvilket betyder, at brøken er rigtig.

Hvis tælleren i dette eksempel indeholdt polynomiet 3, 4, 5 osv. grader, så ville brøken være forkert.

Nu vil vi kun overveje de korrekte rationelle brøkfunktioner. Tilfældet, hvor graden af ​​tælleren er større end eller lig med graden af ​​nævneren, vil blive diskuteret i slutningen af ​​lektionen.

Trin 2. Lad os faktorisere nævneren. Lad os se på vores nævner:

Generelt er dette allerede et produkt af faktorer, men ikke desto mindre spørger vi os selv: er det muligt at udvide noget andet? Genstanden for tortur vil uden tvivl være det firkantede trinomium. Løsning af andengradsligningen:

Diskriminanten er større end nul, hvilket betyder, at trinomialet virkelig kan faktoriseres:

Generel regel: ALT i nævneren KAN faktoriseres - faktoriseres

Lad os begynde at formulere en løsning:

Trin 3. Ved hjælp af metoden med ubestemte koefficienter udvider vi integranden til en sum af simple (elementære) brøker. Nu bliver det mere klart.

Lad os se på vores integrand-funktion:

Og du ved, på en eller anden måde dukker en intuitiv tanke op om, at det ville være rart at forvandle vores store fraktion til flere små. For eksempel sådan her:

Spørgsmålet opstår, er det overhovedet muligt at gøre dette? Lad os ånde lettet op, siger den tilsvarende sætning for matematisk analyse – DET ER MULIGT. En sådan nedbrydning eksisterer og er unik.

Der er kun én fangst, oddsene er Farvel Vi ved det ikke, deraf navnet - metoden med ubestemte koefficienter.

Som du gættede, er efterfølgende kropsbevægelser sådan, lad være med at kagle! vil være rettet mod netop at ANERKENDE dem – for at finde ud af, hvad de er lig med.

Vær forsigtig, jeg vil kun forklare detaljeret én gang!

Så lad os begynde at danse fra:

På venstre side reducerer vi udtrykket til en fællesnævner:

Nu kan vi trygt slippe af med nævnerne (da de er ens):

På venstre side åbner vi parenteserne, men rør ikke ved de ukendte koefficienter for nu:

Samtidig gentager vi skolereglen for multiplikation af polynomier. Da jeg var lærer, lærte jeg at udtale denne regel med et lige ansigt: For at gange et polynomium med et polynomium skal du gange hvert led i et polynomium med hvert led i det andet polynomium.

Ud fra en klar forklaring er det bedre at sætte koefficienterne i parentes (selvom jeg personligt aldrig gør dette for at spare tid):

Vi sammensætter et system af lineære ligninger.
Først kigger vi efter seniorgrader:

Og vi skriver de tilsvarende koefficienter ind i systemets første ligning:

Husk følgende punkt godt. Hvad ville der ske, hvis der slet ikke var nogen s på højre side? Lad os sige, ville det bare vise sig uden nogen firkant? I dette tilfælde ville det i systemets ligning være nødvendigt at sætte et nul til højre: . Hvorfor nul? Men fordi man på højre side altid kan tildele dette samme kvadrat med nul: Hvis der på højre side ikke er nogen variable og/eller et frit led, så sætter vi nuller på højre side af de tilsvarende ligninger i systemet.

Vi skriver de tilsvarende koefficienter ind i systemets anden ligning:

Og endelig mineralvand, vi udvælger gratis medlemmer.

Øh,...på en eller anden måde lavede jeg sjov. Spøg til side - matematik er en seriøs videnskab. I vores institutgruppe var der ingen, der grinede, da adjunkten sagde, at hun ville sprede termerne langs tallinjen og vælge de største. Lad os blive seriøse. Selvom... den, der lever for at se slutningen af ​​denne lektion, vil stadig smile stille.

Systemet er klar:

Vi løser systemet:

(1) Vi udtrykker fra den første ligning og erstatter den i systemets 2. og 3. ligning. Faktisk var det muligt at udtrykke (eller et andet bogstav) fra en anden ligning, men i dette tilfælde er det fordelagtigt at udtrykke det fra 1. ligning, da der de mindste odds.

(2) Vi præsenterer lignende udtryk i 2. og 3. ligning.

(3) Vi tilføjer 2. og 3. ligning led for led, og opnår ligheden , hvoraf det følger, at

(4) Vi substituerer ind i den anden (eller tredje) ligning, hvorfra vi finder det

(5) Substituer og ind i den første ligning, opnå .

Hvis du har problemer med metoderne til at løse systemet, så øv dem i klassen. Hvordan løser man et system af lineære ligninger?

Efter at have løst systemet, er det altid nyttigt at kontrollere - erstatte de fundne værdier hver systemets ligning, som et resultat burde alt "konvergere".

Er der næsten. Koefficienterne blev fundet, og:

Det færdige job skal se sådan ud:

Som du kan se, var opgavens største vanskelighed at komponere (korrekt!) og løse (korrekt!) et system af lineære ligninger. Og på den sidste fase er alt ikke så svært: vi bruger linearitetsegenskaberne for det ubestemte integral og integrerer. Bemærk venligst, at under hver af de tre integraler har vi en "gratis" kompleks funktion. Jeg talte om funktionerne ved dens integration i lektionen Variabel ændringsmetode i ubestemt integral.

Tjek: Differentier svaret:

Den oprindelige integrandfunktion er opnået, hvilket betyder, at integralet er fundet korrekt.
Under verifikationen var vi nødt til at reducere udtrykket til en fællesnævner, og det er ikke tilfældigt. Metoden med ubestemte koefficienter og reduktion af et udtryk til en fællesnævner er gensidigt omvendte handlinger.

Eksempel 2

Find det ubestemte integral.

Lad os vende tilbage til brøken fra det første eksempel: . Det er let at bemærke, at i nævneren er alle faktorerne FORSKELLIGE. Spørgsmålet opstår, hvad man skal gøre, hvis for eksempel følgende brøk er givet: ? Her har vi grader i nævneren, eller matematisk, multipla. Derudover er der et kvadratisk trinomium, der ikke kan faktoriseres (det er let at verificere, at ligningens diskriminant er negativ, så trinomiet kan ikke faktoriseres). Hvad skal man gøre? Udvidelsen til en sum af elementære brøker vil se nogenlunde sådan ud med ukendte koefficienter i toppen eller andet?

Eksempel 3

Introducer en funktion

Trin 1. Tjek om vi har en ordentlig brøkdel
Hovedtæller: 2
Højeste grad af nævner: 8
, hvilket betyder, at brøken er korrekt.

Trin 2. Er det muligt at indregne noget i nævneren? Åbenbart ikke, alt er allerede lagt ud. Det kvadratiske trinomium kan ikke udvides til et produkt af ovennævnte årsager. Hætte. Mindre arbejde.

Trin 3. Lad os forestille os en brøk-rationel funktion som en sum af elementære brøker.
I dette tilfælde har udvidelsen følgende form:

Lad os se på vores nævner:
Når man dekomponerer en brøk-rationel funktion til en sum af elementære brøker, kan der skelnes mellem tre grundlæggende punkter:

1) Hvis nævneren indeholder en "ensom" faktor til første potens (i vores tilfælde), så sætter vi en ubestemt koefficient øverst (i vores tilfælde). Eksempel nr. 1, 2 bestod kun af sådanne "ensomme" faktorer.

2) Hvis nævneren har mange multiplikator, så skal du dekomponere den sådan her:
- det vil sige, gå sekventielt gennem alle graderne af "X" fra første til n'te grad. I vores eksempel er der to flere faktorer: og , tag et kig på den udvidelse, jeg gav, og sørg for, at de er udvidet nøjagtigt i henhold til denne regel.

3) Hvis nævneren indeholder et uopløseligt polynomium af anden grad (i vores tilfælde), så skal du, når du dekomponerer i tælleren, skrive en lineær funktion med ubestemte koefficienter (i vores tilfælde med ubestemte koefficienter og ).

Faktisk er der endnu et 4. tilfælde, men det vil jeg tie om, da det i praksis er yderst sjældent.

Eksempel 4

Introducer en funktion som en sum af elementære brøker med ukendte koefficienter.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.
Følg algoritmen nøje!

Hvis du forstår de principper, som du skal bruge for at udvide en brøk-rationel funktion til en sum, kan du tygge dig igennem næsten ethvert integral af den type, der overvejes.

Eksempel 5

Find det ubestemte integral.

Trin 1. Brøken er åbenbart korrekt:

Trin 2. Er det muligt at indregne noget i nævneren? Kan. Her er summen af ​​terninger . Faktorer nævneren ved hjælp af den forkortede multiplikationsformel

Trin 3. Ved hjælp af metoden med ubestemte koefficienter udvider vi integranden til en sum af elementære brøker:

Bemærk venligst, at polynomiet ikke kan faktoriseres (tjek at diskriminanten er negativ), så øverst sætter vi en lineær funktion med ukendte koefficienter, og ikke kun et bogstav.

Vi bringer brøken til en fællesnævner:

Lad os sammensætte og løse systemet:

(1) Vi udtrykker fra den første ligning og erstatter den med systemets anden ligning (dette er den mest rationelle måde).

(2) Vi præsenterer lignende udtryk i den anden ligning.

(3) Vi tilføjer den anden og tredje ligning af systemet led for led.

Alle yderligere beregninger er i princippet mundtlige, da systemet er enkelt.

(1) Vi nedskriver summen af ​​brøker i overensstemmelse med de fundne koefficienter.

(2) Vi bruger linearitetsegenskaberne for det ubestemte integral. Hvad skete der i det andet integral? Du kan gøre dig bekendt med denne metode i lektionens sidste afsnit. Integrering af nogle brøker.

(3) Igen bruger vi linearitetens egenskaber. I det tredje integral begynder vi at isolere hele kvadratet (næstsidste afsnit i lektionen Integrering af nogle brøker).

(4) Vi tager det andet integral, i det tredje vælger vi det komplette kvadrat.

(5) Tag det tredje integral. Parat.

Eksempler på integration af rationelle funktioner (brøker) med detaljerede løsninger overvejes.

Indhold

Se også: Rødder af en andengradsligning

Her giver vi detaljerede løsninger på tre eksempler på integration af følgende rationelle fraktioner:
, , .

Eksempel 1

Beregn integralet:
.

Her er der under integraltegnet en rationel funktion, da integranden er en brøkdel af polynomier. Nævner polynomium grad ( 3 ) er mindre end graden af ​​tællerpolynomiet ( 4 ). Derfor skal du først vælge hele delen af ​​brøken.

1. Lad os vælge hele delen af ​​brøken. Divider x 4 af x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Herfra
.

2. Lad os faktorisere nævneren af ​​brøken. For at gøre dette skal du løse den kubiske ligning:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Lad os erstatte x = 1 :
.

1 . Divider med x - 1 :

Herfra
.
Løsning af en andengradsligning.
.
Ligningens rødder er: , .
Derefter
.

3. Lad os opdele brøken i dens enkleste form.

.

Så vi fandt:
.
Lad os integrere.

Eksempel 2

Beregn integralet:
.

Her er tælleren for brøken et polynomium af grad nul ( 1 = x 0). Nævneren er et polynomium af tredje grad. Fordi 0 < 3 , så er brøken korrekt. Lad os opdele det i simple brøker.

1. Lad os faktorisere nævneren af ​​brøken. For at gøre dette skal du løse tredjegradsligningen:
.
Lad os antage, at den har mindst én hel rod. Så er det en divisor af tallet 3 (medlem uden x). Det vil sige, at hele roden kan være et af tallene:
1, 3, -1, -3 .
Lad os erstatte x = 1 :
.

Så vi har fundet én rod x = 1 . Divider x 3 + 2 x - 3 på x - 1 :

Så,
.

Løsning af andengradsligningen:
x 2 + x + 3 = 0.
Find diskriminanten: D = 1 2 - 4 3 = -11. Siden D< 0 , så har ligningen ingen reelle rødder. Således opnåede vi faktoriseringen af ​​nævneren:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Lad os erstatte x = 1 . Så x - 1 = 0 ,
.

Lad os erstatte ind (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Lad os sidestille med (2.1) koefficienter for x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Lad os integrere.
(2.2) .
For at beregne det andet integral, isolerer vi den afledede af nævneren i tælleren og reducerer nævneren til summen af ​​kvadrater.

;
;
.

Beregn I 2 .


.
Siden ligningen x 2 + x + 3 = 0 har ingen rigtige rødder, så x 2 + x + 3 > 0. Derfor kan modultegnet udelades.

Vi leverer til (2.2) :
.

Eksempel 3

Beregn integralet:
.

Her under integraltegnet er der en brøkdel af polynomier. Derfor er integranden en rationel funktion. Graden af ​​polynomiet i tælleren er lig med 3 . Graden af ​​polynomiet af brøkens nævner er lig med 4 . Fordi 3 < 4 , så er brøken korrekt. Derfor kan det nedbrydes i simple fraktioner. Men for at gøre dette skal du faktorisere nævneren.

1. Lad os faktorisere nævneren af ​​brøken. For at gøre dette skal du løse fjerdegradsligningen:
.
Lad os antage, at den har mindst én hel rod. Så er det en divisor af tallet 2 (medlem uden x). Det vil sige, at hele roden kan være et af tallene:
1, 2, -1, -2 .
Lad os erstatte x = -1 :
.

Så vi har fundet én rod x = -1 . Divider med x - (-1) = x + 1:


Så,
.

Nu skal vi løse tredjegradsligningen:
.
Hvis vi antager, at denne ligning har en heltalsrod, så er den en divisor af tallet 2 (medlem uden x). Det vil sige, at hele roden kan være et af tallene:
1, 2, -1, -2 .
Lad os erstatte x = -1 :
.

Så vi fandt en anden rod x = -1 . Det ville være muligt, som i det foregående tilfælde, at dividere polynomiet med , men vi vil gruppere vilkårene:
.

Siden ligningen x 2 + 2 = 0 har ingen reelle rødder, så får vi faktoriseringen af ​​nævneren:
.

2. Lad os opdele brøken i dens enkleste form. Vi søger en udvidelse i form af:
.
Vi slipper for brøkens nævner, gange med (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Lad os erstatte x = -1 . Derefter x + 1 = 0 ,
.

Lad os skelne (3.1) :

;

.
Lad os erstatte x = -1 og tag højde for, at x + 1 = 0 :
;
; .

Lad os erstatte ind (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Lad os sidestille med (3.1) koefficienter for x 3 :
;
1 = B + C;
.

Så vi har fundet nedbrydningen i simple fraktioner:
.

3. Lad os integrere.


.

Se også: