Funktioner af en kompleks variabel.
Differentiering af funktioner af en kompleks variabel.

Denne artikel åbner en række lektioner, hvor jeg vil overveje typiske problemer relateret til teorien om funktioner af en kompleks variabel. For at kunne mestre eksemplerne skal du have grundlæggende viden om komplekse tal. For at konsolidere og gentage materialet skal du blot besøge siden. Du skal også have færdigheder til at finde anden ordens partielle derivater. Her er de, disse partielle derivater... selv nu var jeg lidt overrasket over, hvor ofte de forekommer...

Emnet, som vi begynder at undersøge, giver ingen særlige vanskeligheder, og i funktionerne af en kompleks variabel er alt i princippet klart og tilgængeligt. Det vigtigste er at overholde den grundlæggende regel, som jeg udledte eksperimentelt. Læs videre!

Begrebet en funktion af en kompleks variabel

Lad os først genopfriske vores viden om en variabels skolefunktion:

Enkelt variabel funktion er en regel, ifølge hvilken hver værdi af den uafhængige variabel (fra definitionsdomænet) svarer til én og kun én værdi af funktionen. Naturligvis er "x" og "y" reelle tal.

I det komplekse tilfælde er den funktionelle afhængighed specificeret på samme måde:

Enkeltværdi-funktion af en kompleks variabel- dette er reglen, som alle omfattende værdien af ​​den uafhængige variabel (fra definitionsdomænet) svarer til én og kun én omfattende funktionsværdi. Teorien overvejer også multi-værdi og nogle andre typer funktioner, men for nemheds skyld vil jeg fokusere på én definition.

Hvad er forskellen mellem en kompleks variabel funktion?

Den største forskel: komplekse tal. Jeg er ikke ironisk. Sådanne spørgsmål efterlader ofte folk i stupor i slutningen af ​​artiklen vil jeg fortælle dig en sjov historie. Ved lektionen Komplekse tal for dummies vi betragtede et komplekst tal i formen . Siden nu er bogstavet "z" blevet til variabel, så vil vi betegne det som følger: , mens "x" og "y" kan tage forskellige gyldig betydninger. Groft sagt afhænger funktionen af ​​en kompleks variabel af variablerne og , som antager "almindelige" værdier. Følgende punkt følger logisk af denne kendsgerning:

Funktionen af ​​en kompleks variabel kan skrives som:
, hvor og er to funktioner af to gyldig variabler.

Funktionen kaldes reelle del funktioner
Funktionen kaldes imaginære del funktioner

Det vil sige, at funktionen af ​​en kompleks variabel afhænger af to reelle funktioner og . For endelig at afklare alt, lad os se på praktiske eksempler:

Eksempel 1

Løsning: Den uafhængige variabel "zet", som du husker, er skrevet i formen, derfor:

(1) Vi erstattede .

(2) For det første led blev den forkortede multiplikationsformel brugt. I termen er parenteserne åbnet.

(3) Omhyggeligt firkantet, ikke at forglemme det

(4) Omarrangering af termer: først omskriver vi termerne , hvor der ikke er nogen imaginær enhed(første gruppe), derefter termerne, hvor der er (anden gruppe). Det skal bemærkes, at det ikke er nødvendigt at blande vilkårene, og dette trin kan springes over (ved faktisk at gøre det mundtligt).

(5) For den anden gruppe tager vi den ud af parentes.

Som et resultat viste vores funktion sig at være repræsenteret i formularen

Svar:
– reel del af funktionen.
– imaginær del af funktionen.

Hvilken slags funktioner viste disse sig at være? De mest almindelige funktioner af to variabler, hvorfra du kan finde så populære partielle derivater. Uden nåde vil vi finde det. Men lidt senere.

Kort fortalt kan algoritmen for det løste problem skrives som følger: vi erstatter , i den oprindelige funktion, udfører forenklinger og deler alle udtryk i to grupper - uden en imaginær enhed (reel del) og med en imaginær enhed (imaginær del) .

Eksempel 2

Find den reelle og imaginære del af funktionen

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Inden du skynder dig i kamp på det komplekse plan med dine brikker trukket, så lad mig give dig de vigtigste råd om emnet:

VÆR FORSIGTIG! Du skal selvfølgelig være forsigtig overalt, men i komplekse tal bør du være mere forsigtig end nogensinde! Husk, at forsigtigt åbne beslagene, ikke miste noget. Ifølge mine observationer er den mest almindelige fejl tabet af et tegn. Du skal ikke skynde dig!

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen.

Nu kuben. Ved hjælp af den forkortede multiplikationsformel udleder vi:
.

Formler er meget praktiske at bruge i praksis, da de fremskynder løsningsprocessen betydeligt.

Differentiering af funktioner af en kompleks variabel.

Jeg har to nyheder: gode og dårlige. Jeg starter med den gode. For en funktion af en kompleks variabel er reglerne for differentiering og tabellen over afledte af elementære funktioner gyldige. Således tages den afledte på nøjagtig samme måde som ved en funktion af en reel variabel.

Den dårlige nyhed er, at for mange komplekse variable funktioner er der slet ingen afledte, og du skal finde ud af det er det differentierbart en eller anden funktion. Og "at finde ud af", hvordan dit hjerte har det, er forbundet med yderligere problemer.

Lad os overveje funktionen af ​​en kompleks variabel. For at denne funktion kan differentieres er det nødvendigt og tilstrækkeligt:

1) Således at førsteordens partielle derivater eksisterer. Glem alt om disse notationer med det samme, da i teorien om funktioner af en kompleks variabel bruges en anden notation traditionelt: .

2) At opfylde den såkaldte Cauchy-Riemann forhold:

Kun i dette tilfælde vil derivatet eksistere!

Eksempel 3

Løsning er opdelt i tre på hinanden følgende faser:

1) Lad os finde de reelle og imaginære dele af funktionen. Denne opgave blev diskuteret i tidligere eksempler, så jeg vil skrive den ned uden kommentarer:

Siden da:

Dermed:

– imaginær del af funktionen.

Lad mig komme ind på endnu et teknisk punkt: i hvilken rækkefølge skrive vilkårene i de reelle og imaginære dele? Ja, i princippet er det lige meget. For eksempel kan den rigtige del skrives sådan: , og den imaginære – sådan her: .

2) Lad os kontrollere opfyldelsen af ​​Cauchy-Riemann-betingelserne. Der er to af dem.

Lad os starte med at tjekke tilstanden. Vi finder partielle derivater:

Dermed er betingelsen opfyldt.

Selvfølgelig er den gode nyhed, at partielle derivater næsten altid er meget enkle.

Vi kontrollerer opfyldelsen af ​​den anden betingelse:

Resultatet er det samme, men med modsatte fortegn, det vil sige, at betingelsen også er opfyldt.

Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt, derfor er funktionen differentierbar.

3) Lad os finde den afledede af funktionen. Den afledte er også meget enkel og findes efter de sædvanlige regler:

Den imaginære enhed betragtes som en konstant under differentiering.

Svar: - ægte del, – imaginær del.
Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt, .

Der er yderligere to måder at finde den afledede på, de bruges selvfølgelig sjældnere, men informationen vil være nyttig til at forstå den anden lektion - Hvordan finder man en funktion af en kompleks variabel?

Den afledte kan findes ved hjælp af formlen:

I dette tilfælde:

Dermed

Vi er nødt til at løse det omvendte problem - i det resulterende udtryk skal vi isolere. For at gøre dette er det nødvendigt i vilkårene og uden for parentes:

Den omvendte handling er, som mange har bemærket, noget sværere at kontrollere, det er altid bedre at tage udtrykket på et udkast eller mundtligt åbne parentesen tilbage, og sikre sig, at resultatet er nøjagtigt;

Spejlformel til at finde den afledede:

I dette tilfælde: , Derfor:

Eksempel 4

Bestem de reelle og imaginære dele af en funktion . Kontroller, at Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt. Hvis Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt, skal du finde den afledede af funktionen.

En kort løsning og en omtrentlig prøve af det endelige design i slutningen af ​​lektionen.

Er Cauchy-Riemann-betingelserne altid opfyldt? Teoretisk set opfyldes de ikke oftere, end de er opfyldt. Men i praktiske eksempler husker jeg ikke et tilfælde, hvor de ikke blev opfyldt =) Så hvis dine partielle derivater "ikke konvergerer", så kan du med meget stor sandsynlighed sige, at du har lavet en fejl et sted.

Lad os komplicere vores funktioner:

Eksempel 5

Bestem de reelle og imaginære dele af en funktion . Kontroller, at Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt. Beregn

Løsning: Løsningsalgoritmen er fuldstændig bevaret, men til sidst tilføjes et nyt punkt: at finde den afledede i et punkt. For kuben er den nødvendige formel allerede blevet udledt:

Lad os definere de reelle og imaginære dele af denne funktion:

Opmærksomhed og atter opmærksomhed!

Siden da:


Dermed:
– reel del af funktionen;
– imaginær del af funktionen.

Kontrol af den anden betingelse:

Resultatet er det samme, men med modsatte fortegn, det vil sige, at betingelsen også er opfyldt.

Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt, derfor er funktionen differentierbar:

Lad os beregne værdien af ​​derivatet på det krævede punkt:

Svar:, , Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt,

Funktioner med terninger er almindelige, så her er et eksempel til at forstærke:

Eksempel 6

Bestem de reelle og imaginære dele af en funktion . Kontroller, at Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt. Beregn.

Løsning og eksempel på afslutning i slutningen af ​​lektionen.

I teorien om kompleks analyse er andre funktioner af et komplekst argument også defineret: eksponent, sinus, cosinus osv. Disse funktioner har usædvanlige og endda bizarre egenskaber - og det er virkelig interessant! Jeg vil virkelig gerne fortælle dig, men her er, som det sker, ikke en opslagsbog eller lærebog, men en løsningsbog, så jeg vil overveje det samme problem med nogle almindelige funktioner.

Først om den såkaldte Eulers formler:

For enhver gyldig tal, er følgende formler gyldige:

Du kan også kopiere det til din notesbog som referencemateriale.

Strengt taget er der kun én formel, men normalt skriver de for nemheds skyld også et specialtilfælde med minus i eksponenten. Parameteren behøver ikke at være et enkelt bogstav, det kan være et komplekst udtryk eller en funktion, det er kun vigtigt, at de accepterer kun gyldig betydninger. Faktisk vil vi se dette lige nu:

Eksempel 7

Find den afledede.

Løsning: Partiets generelle linje forbliver urokkelig - det er nødvendigt at skelne de reelle og imaginære dele af funktionen. Jeg vil give en detaljeret løsning og kommentere hvert trin nedenfor:

Siden da:

(1) Erstat "z" i stedet for.

(2) Efter substitution skal du vælge de rigtige og imaginære dele først i indikatoren udstillere. For at gøre dette skal du åbne beslagene.

(3) Vi grupperer den imaginære del af indikatoren og placerer den imaginære enhed uden for parentes.

(4) Vi bruger skolehandlingen med grader.

(5) Til multiplikatoren bruger vi Eulers formel og .

(6) Åbn beslagene, hvilket resulterer i:

– reel del af funktionen;
– imaginær del af funktionen.

Yderligere handlinger er standard, lad os kontrollere opfyldelsen af ​​Cauchy-Riemann-betingelserne:

Eksempel 9

Bestem de reelle og imaginære dele af en funktion . Kontroller, at Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt. Så det må være, vi finder ikke derivatet.

Løsning: Løsningsalgoritmen minder meget om de to foregående eksempler, men der er meget vigtige punkter, så jeg vil igen kommentere den indledende fase trin for trin:

Siden da:

1) Erstat "z" i stedet for.

(2) Først udvælger vi de reelle og imaginære dele inde i sinus. Til disse formål åbner vi beslagene.

(3) Vi bruger formlen og .

(4) Brug paritet af hyperbolsk cosinus: Og mærkværdighed af hyperbolsk sinus: . Hyperboler, selvom de ikke er af denne verden, minder på mange måder om lignende trigonometriske funktioner.

Til sidst:
– reel del af funktionen;
– imaginær del af funktionen.

Opmærksomhed! Minustegnet refererer til den imaginære del, og vi må under ingen omstændigheder miste den! For en tydelig illustration kan ovenstående resultat omskrives som følger:

Lad os kontrollere opfyldelsen af ​​Cauchy-Riemann-betingelserne:

Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt.

Svar:, , Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt.

Mine damer og herrer, lad os finde ud af det på egen hånd:

Eksempel 10

Bestem de reelle og imaginære dele af funktionen. Kontroller, at Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt.

Jeg valgte bevidst mere vanskelige eksempler, fordi alle ser ud til at kunne klare noget, som afskallede jordnødder. Samtidig træner du din opmærksomhed! Nøddeknækker i slutningen af ​​lektionen.

Afslutningsvis vil jeg se på et andet interessant eksempel, når et komplekst argument er i nævneren. Det er sket et par gange i praksis, lad os se på noget simpelt. Øh, jeg er ved at blive gammel...

Eksempel 11

Bestem de reelle og imaginære dele af funktionen. Kontroller, at Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt.

Løsning: Igen er det nødvendigt at skelne de reelle og imaginære dele af funktionen.
Hvis så

Spørgsmålet opstår, hvad man skal gøre, når "Z" er i nævneren?

Alt er enkelt - standarden hjælper metode til at gange tæller og nævner med det konjugerede udtryk, er det allerede blevet brugt i lektionens eksempler Komplekse tal for dummies. Lad os huske skoleformlen. Vi har allerede i nævneren, hvilket betyder, at det konjugerede udtryk vil være . Derfor skal du gange tælleren og nævneren med: