Hvad er en egentlig brøk? Hvilke typer brøker findes der?

Almindelige brøker er opdelt i \textit (egen) og \textit (uegentlige) brøker. Denne opdeling er baseret på en sammenligning af tæller og nævner.

Egne brøker

Korrekt fraktion Der kaldes en almindelig brøk $\frac(m)(n)$, hvor tælleren er mindre end nævneren, dvs. $m

Eksempel 1

For eksempel er brøkerne $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ korrekte , så hvordan i hver af dem er tælleren mindre end nævneren, som opfylder definitionen af en egen brøk.

Der er en definition af en egen brøk, som er baseret på at sammenligne brøken med en.

korrekt, hvis det er mindre end én:

Eksempel 2

For eksempel er den fælles brøk $\frac(6)(13)$ korrekt fordi betingelse $\frac(6)(13) er opfyldt

Uægte brøker

Ukorrekt brøk Der kaldes en almindelig brøk $\frac(m)(n)$, hvor tælleren er større end eller lig med nævneren, dvs. $m\ge n$.

Eksempel 3

For eksempel er brøkerne $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ uregelmæssige , så hvordan i hver af dem er tælleren større end eller lig med nævneren, som opfylder definitionen af en uægte brøk.

Lad os give en definition af en uægte brøk, som er baseret på dens sammenligning med en.

Den fælles brøk $\frac(m)(n)$ er forkert, hvis den er lig med eller større end én:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Eksempel 4

For eksempel er den fælles brøk $\frac(21)(4)$ ukorrekt, fordi betingelsen $\frac(21)(4) >1$ er opfyldt;

fællesbrøken $\frac(8)(8)$ er ukorrekt, fordi betingelsen $\frac(8)(8)=1$ er opfyldt.

Lad os se nærmere på begrebet en uægte brøk.

Lad os tage den uægte brøk $\frac(7)(7)$ som eksempel. Betydningen af denne brøk er at tage syv andele af et objekt, der er opdelt i syv lige store andele. Ud fra de syv aktier, der er til rådighed, kan hele objektet således sammensættes. De der. den uægte brøk $\frac(7)(7)$ beskriver hele objektet og $\frac(7)(7)=1$. Så uægte brøker, hvor tælleren er lig med nævneren, beskriver et helt objekt, og en sådan brøk kan erstattes af det naturlige tal $1$.

$\frac(5)(2)$ -- det er helt indlysende, at fra disse fem sekunders dele kan du lave $2$ hele objekter (et helt objekt vil bestå af $2$ dele, og for at komponere to hele objekter har brug for $2+2=4$ andele), og en anden andel er tilbage. Det vil sige, at den uægte brøk $\frac(5)(2)$ beskriver $2$ af et objekt og $\frac(1)(2)$ andelen af dette objekt.

$\frac(21)(7)$ -- fra enogtyve-syvendedels dele kan du lave $3$ hele objekter ($3$ objekter med $7$ andele i hver). De der. brøken $\frac(21)(7)$ beskriver $3$ hele objekter.

Ud fra de betragtede eksempler kan vi drage følgende konklusion: en uegen brøk kan erstattes af et naturligt tal, hvis tælleren er delelig med nævneren (f.eks. $\frac(7)(7)=1$ og $\frac (21)(7)=3$) , eller summen af et naturligt tal og en egenbrøk, hvis tælleren ikke er fuldstændig delelig med nævneren (f.eks. $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Det er derfor, sådanne brøker kaldes forkert.

Definition 1

Processen med at repræsentere en uegen brøk som summen af et naturligt tal og en egen brøk (f.eks. kaldes $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) adskille hele delen fra en ukorrekt fraktion.

Når man arbejder med uægte brøker, er der en tæt sammenhæng mellem dem og blandede tal.

En uægte brøk skrives ofte som et blandet tal – et tal, der består af et helt tal og en brøkdel.

For at skrive en uægte brøk som et blandet tal, skal du dividere tælleren med nævneren med en rest. Kvotienten vil være heltalsdelen af det blandede tal, resten vil være tælleren for brøkdelen, og divisoren vil være nævneren af brøkdelen.

Eksempel 5

Skriv den uægte brøk $\frac(37)(12)$ som et blandet tal.

Løsning.

Divider tælleren med nævneren med en rest:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (resten\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Svar.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

For at skrive et blandet tal som en uægte brøk, skal du gange nævneren med hele tallet, tilføje tælleren for brøkdelen til det resulterende produkt og skrive det resulterende beløb i brøkens tæller. Nævneren af den uægte brøk vil være lig med nævneren af brøkdelen af det blandede tal.

Eksempel 6

Skriv det blandede tal $5\frac(3)(7)$ som en uægte brøk.

Løsning.

Svar.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Tilføjelse af blandede tal og egenbrøker

Blandet Nummertilsætning$a\frac(b)(c)$ og rigtig fraktion$\frac(d)(e)$ udføres ved at lægge brøkdelen af et givet blandet tal til en given brøk:

Eksempel 7

Tilføj den rigtige brøk $\frac(4)(15)$ og det blandede tal $3\frac(2)(5)$.

Løsning.

Lad os bruge formlen til at tilføje et blandet tal og en egen brøk:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\venstre(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ venstre(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Ved at dividere med tallet \textit(5) kan vi bestemme, at brøken $\frac(10)(15)$ kan reduceres. Lad os udføre reduktionen og finde resultatet af tilføjelsen:

Så resultatet af at tilføje den rigtige brøk $\frac(4)(15)$ og det blandede tal $3\frac(2)(5)$ er $3\frac(2)(3)$.

Svar:$3\frac(2)(3)$

Tilføjelse af blandede tal og uægte brøker

Tilføjelse af uægte brøker og blandede tal reducerer til tilføjelsen af to blandede tal, for hvilke det er nok at isolere hele delen fra den ukorrekte fraktion.

Eksempel 8

Beregn summen af det blandede tal $6\frac(2)(15)$ og den uægte brøk $\frac(13)(5)$.

Løsning.

Lad os først udtrække hele delen fra den ukorrekte brøk $\frac(13)(5)$:

Svar:$8\frac(11)(15)$.

Ordet "brøker" giver mange mennesker gåsehud. For jeg husker skolen og de opgaver, der blev løst i matematik. Dette var en pligt, der skulle opfyldes. Hvad hvis du behandlede problemer, der involverede rigtige og ukorrekte brøker som et puslespil? Mange voksne løser jo digitale og japanske krydsord. Vi fandt ud af reglerne, og det er det. Det er det samme her. Man skal blot dykke ned i teorien - og alt falder på plads. Og eksemplerne bliver til en måde at træne din hjerne på.

Hvilke typer brøker findes der?

Lad os starte med, hvad det er. En brøk er et tal, der har en del af en. Det kan skrives i to former. Den første kaldes almindelig. Det vil sige en, der har en vandret eller skrå linje. Det svarer til divisionstegnet.

I denne notation kaldes tallet over linjen for tælleren, og tallet under det kaldes nævneren.

Blandt almindelige brøker skelnes egen- og uægte brøker. For førstnævnte er tællerens absolutte værdi altid mindre end nævneren. De forkerte kaldes det, fordi de har alt omvendt. Værdien af en egentlig brøk er altid mindre end én. Mens den forkerte altid er større end dette tal.

Der er også blandede tal, det vil sige dem, der har et heltal og en brøkdel.

Den anden type notation er en decimalbrøk. Der er en separat samtale om hende.

Hvordan adskiller uægte brøker sig fra blandede tal?

I bund og grund intet. Det er bare forskellige optagelser af samme nummer. Uægte brøker bliver let blandede tal efter enkle trin. Og omvendt.

Det hele afhænger af den specifikke situation. Nogle gange er det mere bekvemt at bruge en ukorrekt brøkdel i opgaver. Og nogle gange er det nødvendigt at konvertere det til et blandet tal, og så vil eksemplet blive løst meget nemt. Derfor, hvad man skal bruge: ukorrekte brøker, blandede tal, afhænger af observationsevnerne hos den person, der løser problemet.

Det blandede tal sammenlignes også med summen af heltalsdelen og brøkdelen. Desuden er den anden altid mindre end én.

Hvordan repræsenterer man et blandet tal som en uægte brøk?

Hvis du skal udføre en handling med flere tal, der er skrevet i forskellige former, skal du gøre dem ens. En metode er at repræsentere tal som uægte brøker.

Til dette formål skal du udføre følgende algoritme:

gange nævneren med hele delen;
tilføje tællerværdien til resultatet;
skriv svaret over linjen;
lad nævneren være den samme.

Her er eksempler på, hvordan man skriver uægte brøker fra blandede tal:

17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
39 ½ = (39 x 2 + 1): 2 = 79/2.

Hvordan skriver man en uægte brøk som et blandet tal?

Den næste teknik er den modsatte af den, der er diskuteret ovenfor. Det vil sige, når alle blandede tal erstattes af uægte brøker. Algoritmen for handlinger vil være som følger:

divider tælleren med nævneren for at få resten;
skriv kvotienten i stedet for hele delen af den blandede;
resten skal placeres over stregen;
divisor vil være nævneren.

Eksempler på en sådan transformation:

76/14; 76:14 = 5 med resten 6; svaret vil være 5 hele og 6/14; brøkdelen i dette eksempel skal reduceres med 2, hvilket resulterer i 3/7; det endelige svar er 5 point 3/7.

108/54; efter division opnås kvotienten 2 uden rest; dette betyder, at ikke alle uægte brøker kan repræsenteres som et blandet tal; svaret vil være et heltal - 2.

Hvordan gør man et helt tal til en uægte brøk?

Der er situationer, hvor en sådan handling er nødvendig. For at opnå uægte brøker med en kendt nævner, skal du udføre følgende algoritme:

gange et helt tal med den ønskede nævner;
skriv denne værdi over linjen;
placer nævneren under den.

Den enkleste mulighed er, når nævneren er lig med én. Så behøver du ikke gange noget. Det er nok blot at skrive det heltal, der er givet i eksemplet, og placere et under linjen.

Eksempel: Gør 5 til en uegen brøk med nævneren 3. Gang 5 med 3 giver 15. Dette tal vil være nævneren. Svaret på opgaven er en brøkdel: 15/3.

To tilgange til at løse problemer med forskellige tal

Eksemplet kræver beregning af summen og forskellen samt produktet og kvotienten af to tal: 2 heltal 3/5 og 14/11.

I den første tilgang det blandede tal vil blive repræsenteret som en uægte brøk.

Efter at have udført trinene beskrevet ovenfor, vil du få følgende værdi: 13/5.

For at finde ud af summen skal du reducere brøkerne til samme nævner. 13/5 efter at have ganget med 11 bliver 143/55. Og 14/11 efter at have ganget med 5 vil se sådan ud: 70/55. For at beregne summen skal du kun lægge tællerne sammen: 143 og 70, og derefter skrive svaret ned med én nævner. 213/55 - denne ukorrekte brøk er svaret på problemet.

Når man finder forskellen, trækkes de samme tal fra: 143 - 70 = 73. Svaret bliver en brøk: 73/55.

Når du multiplicerer 13/5 og 14/11, behøver du ikke reducere dem til en fællesnævner. Det er nok at gange tællere og nævnere i par. Svaret bliver: 182/55.

Det samme gælder for division. For at løse korrekt, skal du erstatte division med multiplikation og invertere divisor: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

I den anden tilgang en uægte brøk bliver til et blandet tal.

Efter at have udført handlingerne i algoritmen, vil 14/11 blive til et blandet tal med en heltal del af 1 og en del af 3/11.

Når du beregner summen, skal du tilføje hele og brøkdele separat. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Det endelige svar er 3 point 48/55. I den første tilgang var fraktionen 213/55. Du kan kontrollere dets rigtighed ved at konvertere det til et blandet tal. Efter at have divideret 213 med 55 er kvotienten 3, og resten er 48. Det er let at se, at svaret er korrekt.

Ved subtrahering erstattes "+" tegnet med "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. For at kontrollere, skal svaret fra den tidligere tilgang konverteres til et blandet tal: 73 er divideret med 55 og kvotienten er 1 og resten er 18.

For at finde produkt og kvotient er det ubelejligt at bruge blandede tal. Det anbefales altid at gå videre til uægte brøker her.

Simple matematiske regler og teknikker, hvis de ikke bruges konstant, glemmes hurtigst. Begreber forsvinder endnu hurtigere fra hukommelsen.

En af disse simple handlinger er at konvertere en uægte brøk til en egentlig eller med andre ord en blandet brøk.

Ukorrekt brøk

En uegen brøk er en, hvor tælleren (tallet over linjen) er større end eller lig med nævneren (tallet under linjen). Denne brøk fås ved at tilføje brøker eller gange en brøk med et helt tal. Ifølge matematikkens regler skal en sådan brøk omregnes til en egentlig.

Korrekt fraktion

Det er logisk at antage, at alle andre brøker kaldes egentlige. En streng definition er, at en brøk, hvis tæller er mindre end dens nævner, kaldes egentlig. En brøk, der har en heltalsdel, kaldes nogle gange en blandet brøk.

Konvertering af en uægte brøk til en egentlig brøk

Første tilfælde: tæller og nævner er lig med hinanden. Resultatet af at konvertere en sådan brøk er én. Det er lige meget, om det er tre tredjedele eller et hundrede og femogtyve et hundrede og femogtyvende. I det væsentlige betegner en sådan brøk handlingen ved at dividere et tal med sig selv.

Andet tilfælde: tælleren er større end nævneren. Her skal du huske metoden til at dividere tal med en rest.
For at gøre dette skal du finde det tal, der er tættest på tællerværdien, som er deleligt med nævneren uden en rest. For eksempel har du brøkdelen nitten tredjedele. Det nærmeste tal, der kan divideres med tre, er atten. Det er seks. Træk nu det resulterende tal fra tælleren. Vi får en. Dette er resten. Skriv resultatet af konverteringen ned: seks hele og en tredjedel.

Men før du kan reducere en brøk til dens korrekte form, skal du kontrollere, om den kan reduceres.
Du kan reducere en brøk, hvis tæller og nævner har en fælles faktor. Det vil sige et tal, som begge er delelige med uden en rest. Hvis der er flere sådanne divisorer, skal du finde den største.
For eksempel har alle lige tal sådan en fælles divisor - to. Og brøkdelen seksten-tolvtedele har en fælles divisor mere - fire. Dette er den største divisor. Divider tæller og nævner med fire. Resultat af reduktion: fire tredjedele. Nu, som en praksis, konverter denne brøk til en rigtig.

Korrekt fraktion

Kvarter

Ordenhed. -en Og b der er en regel, der giver dig mulighed for unikt at identificere en og kun en af tre forhold mellem dem: "< », « >" eller " = ". Denne regel kaldes bestillingsregel og er formuleret som følger: to ikke-negative tal og er relateret af samme relation som to heltal og ; to ikke-positive tal -en Og b er forbundet med samme forhold som to ikke-negative tal og ; hvis pludselig -en ikke-negativ, men b- negativ altså -en > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
Tilføjelse af brøker
Tilføjelsesoperation. For alle rationelle tal -en Og b der er en såkaldt summeringsregel c. Samtidig med selve nummeret c hedder beløb tal -en Og b og er betegnet med , og processen med at finde et sådant nummer kaldes summering. Summeringsreglen har følgende form: .
Multiplikationsoperation. For alle rationelle tal -en Og b der er en såkaldt multiplikationsreglen, som tildeler dem et eller andet rationelt tal c. Samtidig med selve nummeret c hedder arbejde tal -en Og b og er betegnet med , og processen med at finde et sådant nummer kaldes også multiplikation. Multiplikationsreglen ser således ud: .
Transitivitet af ordrerelationen. For enhver tredobbelt af rationelle tal -en , b Og c Hvis -en mindre b Og b mindre c, At -en mindre c, og hvis -en lige med b Og b lige med c, At -en lige med c. 6435">Kommutativitet af addition. Ændring af placeringen af rationelle udtryk ændrer ikke summen.
Associativitet af addition. Rækkefølgen, hvori tre rationale tal tilføjes, påvirker ikke resultatet.
Tilstedeværelse af nul. Der er et rationelt tal 0, der bevarer hvert andet rationelt tal, når det tilføjes.
Tilstedeværelsen af modsatte tal. Ethvert rationelt tal har et modsat rationelt tal, som når det lægges til giver 0.
Kommutativitet af multiplikation.Ændring af steder for rationelle faktorer ændrer ikke produktet.
Associativitet af multiplikation. Den rækkefølge, hvori tre rationelle tal ganges, påvirker ikke resultatet.
Enhedens tilgængelighed. Der er et rationelt tal 1, der bevarer hvert andet rationelt tal, når det ganges.
Tilstedeværelse af gensidige tal. Ethvert rationelt tal har et omvendt rationelt tal, som når ganget med giver 1.
Fordeling af multiplikation i forhold til addition. Multiplikationsoperationen koordineres med additionsoperationen gennem fordelingsloven:
Forbindelse af ordrerelationen med driften af addition. Det samme rationelle tal kan tilføjes til venstre og højre side af en rationel ulighed. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
Arkimedes aksiom. Uanset det rationelle tal -en, kan du tage så mange enheder, at deres sum overstiger -en. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Yderligere ejendomme

Alle andre egenskaber, der er iboende i rationelle tal, skelnes ikke som grundlæggende, fordi de generelt set ikke længere er baseret direkte på egenskaberne af heltal, men kan bevises baseret på de givne grundlæggende egenskaber eller direkte ved definitionen af et matematisk objekt . Der er mange sådanne yderligere egenskaber. Det giver mening kun at nævne nogle få af dem her.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Tællelighed af et sæt

Nummerering af rationelle tal

For at estimere antallet af rationelle tal skal du finde kardinaliteten af deres sæt. Det er let at bevise, at mængden af rationelle tal kan tælles. For at gøre dette er det nok at give en algoritme, der opregner rationelle tal, dvs. etablerer en bijektion mellem sættene af rationelle og naturlige tal.

Den enkleste af disse algoritmer ser sådan ud. En endeløs tabel med almindelige brøker er kompileret på hver jeg-th linje i hver j den søjle, hvoraf fraktionen er placeret. For nøjagtighedens skyld antages det, at rækkerne og kolonnerne i denne tabel er nummereret fra én. Tabelceller er angivet med , hvor jeg- nummeret på tabelrækken, hvori cellen er placeret, og j- kolonnenummer.

Den resulterende tabel gennemløbes ved hjælp af en "slange" i henhold til følgende formelle algoritme.

Disse regler søges fra top til bund, og den næste position vælges baseret på det første match.

I processen med en sådan traversering er hvert nyt rationelt tal forbundet med et andet naturligt tal. Det vil sige, at brøken 1/1 tildeles tallet 1, brøken 2/1 til tallet 2 osv. Det skal bemærkes, at kun irreducerbare brøker er nummereret. Et formelt tegn på irreducerbarhed er, at den største fælles divisor af brøkens tæller og nævner er lig med en.

Ved at følge denne algoritme kan vi opregne alle positive rationelle tal. Dette betyder, at sættet af positive rationale tal kan tælles. Det er let at etablere en bijektion mellem sættene af positive og negative rationelle tal ved blot at tildele hvert rationelle tal dets modsætning. At. sættet af negative rationale tal kan også tælles. Deres forening kan også tælles ved egenskaben af tællelige sæt. Sættet af rationelle tal kan også tælles som foreningen af et tælleligt sæt med et endeligt.

Udsagnet om tælleligheden af mængden af rationelle tal kan forårsage en vis forvirring, da det ved første øjekast ser ud til, at det er meget mere omfattende end mængden af naturlige tal. Faktisk er dette ikke tilfældet, og der er nok naturlige tal til at opregne alle rationelle.

Mangel på rationelle tal

Hypotenusen af en sådan trekant kan ikke udtrykkes med noget rationelt tal

Rationale tal på formen 1 / n i det store hele n vilkårligt små mængder kan måles. Dette faktum skaber det misvisende indtryk, at rationelle tal kan bruges til at måle alle geometriske afstande. Det er let at vise, at det ikke er sandt.

Fra Pythagoras sætning ved vi, at hypotenusen af en retvinklet trekant er udtrykt som kvadratroden af summen af kvadraterne af dens ben. At. længden af hypotenusen i en ligebenet retvinklet trekant med et enhedsben er lig med , dvs. det tal, hvis kvadrat er 2.

Hvis vi antager, at et tal kan repræsenteres af et eller andet rationelt tal, så er der et sådant heltal m og sådan et naturligt tal n, at , og brøken er irreducerbar, altså tal m Og n- gensidigt enkelt.

Hvis så , dvs. m 2 = 2n 2. Derfor er antallet m 2 er lige, men produktet af to ulige tal er ulige, hvilket betyder, at selve tallet m også endda. Så der er et naturligt tal k, sådan at antallet m kan repræsenteres i formen m = 2k. Talkvadrat m I denne forstand m 2 = 4k 2, men på den anden side m 2 = 2n 2 betyder 4 k 2 = 2n 2, eller n 2 = 2k 2. Som vist tidligere for nummeret m, betyder det, at tallet n- selvom m. Men så er de ikke relativt prime, da begge er opdelt. Den resulterende modsigelse beviser, at det ikke er et rationelt tal.