Hvad er enhedsvektoren for en vektor. Hvordan finder man forskydningsmodulet i fysik (Måske er der en universel formel?)

Endelig fik jeg fingrene i dette store og længe ventede emne. analytisk geometri. Først lidt om dette afsnit af højere matematik... Sikkert husker du nu et skolegeometrikursus med talrige sætninger, deres beviser, tegninger osv. Hvad skal man skjule, et uelsket og ofte obskurt emne for en betydelig del af eleverne. Analytisk geometri kan mærkeligt nok virke mere interessant og tilgængelig. Hvad betyder adjektivet "analytisk"? To klichéagtige matematiske sætninger dukker straks op: "grafisk løsningsmetode" og "analytisk løsningsmetode." Grafisk metode er naturligvis forbundet med konstruktion af grafer og tegninger. Analytisk samme metode involverer løsning af problemer hovedsagelig gennem algebraiske operationer. I denne henseende er algoritmen til at løse næsten alle problemer med analytisk geometri enkel og gennemsigtig, ofte er det nok at omhyggeligt anvende de nødvendige formler - og svaret er klar! Nej, selvfølgelig vil vi slet ikke være i stand til at gøre dette uden tegninger, og udover det, for en bedre forståelse af materialet, vil jeg forsøge at citere dem ud over nødvendigheden.

Det nyåbnede undervisningsforløb om geometri foregiver ikke at være teoretisk komplet, det er fokuseret på at løse praktiske problemer. Jeg vil i mine forelæsninger kun medtage det, der fra mit synspunkt er vigtigt rent praktisk. Hvis du har brug for mere komplet hjælp til et underafsnit, anbefaler jeg følgende ganske tilgængelige litteratur:

1) En ting, som flere generationer uden spøg er bekendt med: Skole lærebog i geometri, forfattere - L.S. Atanasyan og Company. Denne skole-omklædningsbøjle har allerede gennemgået 20 (!) genoptryk, hvilket selvfølgelig ikke er grænsen.

2) Geometri i 2 bind. Forfattere L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Dette er litteratur til gymnasiet, du skal bruge første bind. Sjældent stødte opgaver kan falde ud af mit syn, og selvstudiet vil være til uvurderlig hjælp.

Begge bøger kan downloades gratis online. Derudover kan du bruge mit arkiv med færdige løsninger, som kan findes på siden Download eksempler i højere matematik.

Blandt værktøjerne foreslår jeg igen min egen udvikling - softwarepakke i analytisk geometri, hvilket i høj grad vil forenkle livet og spare en masse tid.

Det forudsættes, at læseren er bekendt med grundlæggende geometriske begreber og figurer: punkt, linje, plan, trekant, parallelogram, parallelepipedum, terning mv. Det er tilrådeligt at huske nogle sætninger, i det mindste Pythagoras sætning, hej til gengangere)

Og nu vil vi overveje sekventielt: konceptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Jeg anbefaler at læse videre den vigtigste artikel Punktprodukt af vektorer, og også Vektor og blandet produkt af vektorer. En lokal opgave - Opdeling af et segment i denne henseende - vil heller ikke være overflødig. Baseret på ovenstående information kan du mestre ligning af en linje i et plan Med enkleste eksempler på løsninger, hvilket vil tillade lære at løse geometriske problemer. Følgende artikler er også nyttige: Ligning af et plan i rummet, Ligninger for en linje i rummet, Grundlæggende problemer på en ret linje og et plan, andre sektioner af analytisk geometri. Standardopgaver vil naturligvis blive overvejet undervejs.

Vektor koncept. Gratis vektor

Lad os først gentage skolens definition af en vektor. Vektor hedder instrueret et segment, for hvilket dets begyndelse og slutning er angivet:

I dette tilfælde er begyndelsen af ​​segmentet punktet, slutningen af ​​segmentet er punktet. Selve vektoren er angivet med . Retning er afgørende, hvis du flytter pilen til den anden ende af segmentet, får du en vektor, og det er det allerede helt anden vektor. Det er praktisk at identificere begrebet vektor med bevægelsen af ​​en fysisk krop: du skal være enig, at gå ind af dørene til et institut eller forlade dørene til et institut er helt forskellige ting.

Det er praktisk at overveje individuelle punkter i et fly eller rum som den såkaldte nul vektor. For en sådan vektor falder slutningen og begyndelsen sammen.

!!! Bemærk: Her og videre kan man antage, at vektorerne ligger i samme plan, eller man kan antage, at de er placeret i rummet - essensen af ​​det præsenterede materiale er gældende for både planet og rummet.

Betegnelser: Mange lagde straks mærke til pinden uden en pil i betegnelsen og sagde, der er også en pil øverst! Sandt nok kan du skrive det med en pil: , men det er også muligt den post, som jeg vil bruge i fremtiden. Hvorfor? Tilsyneladende udviklede denne vane sig af praktiske årsager, mine skytter på skolen og universitetet viste sig at være for forskellige i størrelse og pjuskede. I pædagogisk litteratur gider de nogle gange slet ikke kileskriftsskrivning, men fremhæver bogstaverne med fed skrift: , og antyder derved, at dette er en vektor.

Det var stilistik, og nu om måder at skrive vektorer på:

1) Vektorer kan skrives med to store latinske bogstaver:
og så videre. I dette tilfælde det første bogstav Nødvendigvis angiver vektorens begyndelsespunkt, og det andet bogstav angiver vektorens slutpunkt.

2) Vektorer er også skrevet med små latinske bogstaver:
Især kan vores vektor omdesignes for kortheds skyld med et lille latinsk bogstav.

Længde eller modul en ikke-nul vektor kaldes længden af ​​segmentet. Længden af ​​nulvektoren er nul. Logisk.

Længden af ​​vektoren er angivet med modultegnet: ,

Vi lærer, hvordan man finder længden af ​​en vektor (eller vi gentager den, afhængigt af hvem) lidt senere.

Dette var grundlæggende information om vektorer, som alle skolebørn kender. I analytisk geometri, den såkaldte gratis vektor.

For at sige det enkelt - vektoren kan plottes fra ethvert punkt:

Vi er vant til at kalde sådanne vektorer lige (definitionen af ​​lige vektorer vil blive givet nedenfor), men fra et rent matematisk synspunkt er de den SAMME VEKTOR eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi i løbet af løsningen af ​​problemer, kan du "vedhæfte" denne eller hin "skole" vektor til ethvert punkt i flyet eller rummet, du har brug for. Dette er en meget fed funktion! Forestil dig et rettet segment af vilkårlig længde og retning - det kan "klones" et uendeligt antal gange og på et hvilket som helst tidspunkt i rummet, faktisk eksisterer det OVERALT. Der er en studerende, der siger: Enhver underviser giver sgu på vektoren. Det er trods alt ikke bare et vittigt rim, alt er næsten korrekt - der kan også tilføjes et instrueret segment. Men skynd dig ikke at glæde dig, det er eleverne selv, der ofte lider =)

Så, gratis vektor- Det her en masse identiske rettede segmenter. Skolens definition af en vektor, givet i begyndelsen af ​​afsnittet: "Et rettet segment kaldes en vektor..." indebærer bestemt et rettet segment taget fra et givet sæt, som er bundet til et bestemt punkt i planet eller rummet.

Det skal bemærkes, at fra et fysiksynspunkt er begrebet en fri vektor generelt ukorrekt, og anvendelsespunktet har betydning. Faktisk medfører et direkte slag af samme kraft på næsen eller panden, nok til at udvikle mit dumme eksempel, forskellige konsekvenser. Imidlertid, ufri vektorer findes også i løbet af vyshmat (gå ikke derhen :)).

Handlinger med vektorer. Kollinearitet af vektorer

Et skolegeometrikursus dækker en række handlinger og regler med vektorer: addition efter trekantsreglen, addition efter parallelogramreglen, vektordifferensregel, multiplikation af en vektor med et tal, skalarprodukt af vektorer osv. Lad os som udgangspunkt gentage to regler, der er særligt relevante for at løse problemer med analytisk geometri.

Reglen for at tilføje vektorer ved hjælp af trekantsreglen

Overvej to vilkårlige ikke-nul vektorer og:

Du skal finde summen af ​​disse vektorer. På grund af det faktum, at alle vektorer betragtes som frie, vil vi afsætte vektoren fra ende vektor:

Summen af ​​vektorer er vektoren. For en bedre forståelse af reglen er det tilrådeligt at lægge en fysisk betydning ind i den: lad noget krop rejse langs vektoren og derefter langs vektoren. Så er summen af ​​vektorer vektoren af ​​den resulterende sti med begyndelsen ved afgangspunktet og slutningen ved ankomstpunktet. En lignende regel er formuleret for summen af ​​et hvilket som helst antal vektorer. Som de siger, kan kroppen gå sin vej meget magert langs en zigzag, eller måske på autopilot - langs den resulterende vektor af summen.

Forresten, hvis vektoren er udskudt fra startede vektor, så får vi det tilsvarende parallelogram regel tilføjelse af vektorer.

Først om vektorers kollinearitet. De to vektorer kaldes collineær, hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. Groft sagt taler vi om parallelle vektorer. Men i forhold til dem bruges adjektivet "collinear" altid.

Forestil dig to kollineære vektorer. Hvis pilene på disse vektorer er rettet i samme retning, kaldes sådanne vektorer co-instrueret. Hvis pilene peger i forskellige retninger, så vil vektorerne være det modsatte retninger.

Betegnelser: kollinearitet af vektorer skrives med det sædvanlige parallelitetssymbol: , mens detaljering er mulig: (vektorer er co-dirigeret) eller (vektorer er modsat rettet).

Arbejdet en ikke-nul vektor på et tal er en vektor, hvis længde er lig med , og vektorerne og er co-rettet mod og modsat rettet mod.

Reglen for at gange en vektor med et tal er lettere at forstå ved hjælp af et billede:

Lad os se på det mere detaljeret:

1) Retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så er vektoren skifter retning til det modsatte.

2) Længde. Hvis multiplikatoren er indeholdt i eller , så længden af ​​vektoren falder. Så længden af ​​vektoren er halvdelen af ​​længden af ​​vektoren. Hvis multiplikatorens modul er større end én, så længden af ​​vektoren stiger i tide.

3) Bemærk venligst at alle vektorer er kollineære, mens en vektor udtrykkes gennem en anden, f.eks. Det omvendte er også sandt: hvis en vektor kan udtrykkes gennem en anden, så er sådanne vektorer nødvendigvis kollineære. Dermed: hvis vi gange en vektor med et tal, får vi collinear(i forhold til originalen) vektor.

4) Vektorerne er co-dirigeret. Vektorer og er også co-directed. Enhver vektor i den første gruppe er modsat rettet i forhold til enhver vektor i den anden gruppe.

Hvilke vektorer er lige store?

To vektorer er ens, hvis de er i samme retning og har samme længde. Bemærk, at codirectionality indebærer collinearitet af vektorer. Definitionen ville være unøjagtig (overflødig), hvis vi sagde: "To vektorer er ens, hvis de er collineære, codirectional og har samme længde."

Fra synspunktet om begrebet en fri vektor er lige vektorer den samme vektor, som diskuteret i det foregående afsnit.

Vektorkoordinater på flyet og i rummet

Det første punkt er at overveje vektorer på planet. Lad os afbilde et kartesisk rektangulært koordinatsystem og plotte det fra koordinaternes oprindelse enkelt vektorer og:

Vektorer og ortogonal. Ortogonal = vinkelret. Jeg anbefaler, at du langsomt vænner dig til begreberne: i stedet for parallelitet og vinkelrethed bruger vi ordene hhv. kolinearitet Og ortogonalitet.

Betegnelse: Ortogonaliteten af ​​vektorer skrives med det sædvanlige vinkelret symbol, for eksempel: .

Vektorerne under overvejelse kaldes koordinatvektorer eller orts. Disse vektorer dannes basis på overfladen. Hvad et grundlag er, tror jeg, er intuitivt klart for mange mere detaljerede oplysninger kan findes i artiklen Lineær (ikke) afhængighed af vektorer. Grundlag for vektorer Med enkle ord definerer grundlaget og oprindelsen af ​​koordinater hele systemet - dette er en slags fundament, hvorpå et fuldt og rigt geometrisk liv koger.

Nogle gange kaldes det konstruerede grundlag ortonormale basis af planet: "ortho" - fordi koordinatvektorerne er ortogonale, betyder adjektivet "normaliseret" enhed, dvs. længderne af basisvektorerne er lig med én.

Betegnelse: grundlaget er normalt skrevet i parentes, inden for hvilke i streng rækkefølge basisvektorer er angivet, for eksempel: . Koordinatvektorer det er forbudt omarrangere.

Nogen plan vektor den eneste måde udtrykt som:
, Hvor - tal som kaldes vektor koordinater på dette grundlag. Og selve udtrykket hedder vektor nedbrydningpå grundlag .

Middag serveret:

Lad os starte med det første bogstav i alfabetet: . Tegningen viser tydeligt, at når en vektor dekomponeres til en basis, bruges de netop omtalte:
1) reglen for at gange en vektor med et tal: og ;
2) addition af vektorer efter trekantsreglen:.

Plot nu vektoren mentalt fra et hvilket som helst andet punkt på flyet. Det er helt indlysende, at hans forfald vil "følge ham ubønhørligt." Her er det, vektorens frihed - vektoren "bærer alt med sig selv." Denne egenskab er selvfølgelig sand for enhver vektor. Det er sjovt, at selve basis (frie) vektorer ikke skal tegnes ud fra oprindelsen, den ene kan for eksempel tegnes nederst til venstre og den anden øverst til højre, og intet vil ændre sig! Sandt nok, du behøver ikke at gøre dette, da læreren også vil vise originalitet og trække dig en "kredit" på et uventet sted.

Vektorer illustrerer nøjagtigt reglen for at gange en vektor med et tal, vektoren er co-rettet med basisvektoren, vektoren er rettet modsat grundvektoren. For disse vektorer er en af ​​koordinaterne lig nul, du kan omhyggeligt skrive det sådan her:


Og basisvektorerne er i øvrigt sådan her: (faktisk udtrykkes de gennem sig selv).

Og endelig: , . Forresten, hvad er vektorsubtraktion, og hvorfor talte jeg ikke om subtraktionsreglen? Et sted i lineær algebra, jeg kan ikke huske hvor, bemærkede jeg, at subtraktion er et særligt tilfælde af addition. Udvidelserne af vektorerne "de" og "e" skrives således let som en sum: , . Følg tegningen for at se, hvor tydeligt den gode gamle addition af vektorer ifølge trekantsreglen fungerer i disse situationer.

Den overvejede nedbrydning af formen nogle gange kaldet vektornedbrydning i ort-systemet(dvs. i et system af enhedsvektorer). Men dette er ikke den eneste måde at skrive en vektor på.

Eller med et lighedstegn:

Selve basisvektorerne er skrevet som følger: og

Det vil sige, at vektorens koordinater er angivet i parentes. I praktiske problemer bruges alle tre notationsmuligheder.

Jeg tvivlede på, om jeg skulle tale, men jeg siger det alligevel: vektorkoordinater kan ikke omarrangeres. Strengt på førstepladsen vi skriver den koordinat ned, der svarer til enhedsvektoren, strengt taget på andenpladsen vi skriver den koordinat ned, der svarer til enhedsvektoren. Faktisk, og er to forskellige vektorer.

Vi fandt ud af koordinaterne på flyet. Lad os nu se på vektorer i tredimensionelt rum, næsten alt er det samme her! Det vil blot tilføje en koordinat mere. Det er svært at lave tredimensionelle tegninger, så jeg vil begrænse mig til én vektor, som jeg for nemheds skyld sætter til side fra oprindelsen:

Nogen 3D rum vektor den eneste måde ekspandere på ortonormal basis:
, hvor er koordinaterne for vektoren (tallet) i denne basis.

Eksempel fra billedet: . Lad os se, hvordan vektorreglerne fungerer her. Først skal du gange vektoren med et tal: (rød pil), (grøn pil) og (hindbærpil). For det andet er her et eksempel på tilføjelse af flere, i dette tilfælde tre, vektorer: . Sumvektoren begynder ved det indledende udgangspunkt (begyndelsen af ​​vektoren) og slutter ved det endelige ankomstpunkt (enden af ​​vektoren).

Alle vektorer af tredimensionelt rum er naturligvis også frie for mentalt at tilsidesætte vektoren fra ethvert andet punkt, og du vil forstå, at dens nedbrydning "vil forblive med den."

Svarende til den flade sag, foruden at skrive versioner med beslag er meget brugt: enten .

Hvis der mangler en (eller to) koordinatvektorer i udvidelsen, sættes nuller i stedet for. Eksempler:
vektor (omhyggeligt ) – lad os skrive ;
vektor (omhyggeligt) – skriv ned;
vektor (omhyggeligt ) – lad os skrive .

Basisvektorerne er skrevet som følger:

Dette er måske al den minimale teoretiske viden, der er nødvendig for at løse problemer med analytisk geometri. Der kan være mange udtryk og definitioner, så jeg anbefaler, at tekander genlæser og forstår denne information igen. Og det vil være nyttigt for enhver læser at henvise til den grundlæggende lektion fra tid til anden for bedre at assimilere materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal basis, vektornedbrydning - disse og andre begreber vil ofte blive brugt i fremtiden. Jeg bemærker, at materialerne på webstedet ikke er nok til at bestå den teoretiske prøve eller kollokvium om geometri, da jeg omhyggeligt krypterer alle teoremer (og uden beviser) - til skade for den videnskabelige præsentationsstil, men et plus for din forståelse af emnet. For at modtage detaljeret teoretisk information, skal du bøje dig for professor Atanasyan.

Og vi går videre til den praktiske del:

De simpleste problemer med analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Det er stærkt tilrådeligt at lære at løse de opgaver, der vil blive overvejet fuldautomatisk, og formlerne lære udenad, du behøver ikke engang at huske det med vilje, de husker det selv =) Dette er meget vigtigt, da andre problemer med analytisk geometri er baseret på de enkleste elementære eksempler, og det vil være irriterende at bruge ekstra tid på at spise bønder . Der er ingen grund til at fastgøre de øverste knapper på din skjorte mange ting, du kender fra skolen.

Præsentationen af ​​materialet vil følge et parallelt forløb - både for flyet og for rummet. Af den grund, at alle formlerne... vil du selv se.

Hvordan finder man en vektor fra to punkter?

Hvis to punkter i planet og er givet, så har vektoren følgende koordinater:

Hvis der er givet to punkter i rummet, har vektoren følgende koordinater:

Det er, fra koordinaterne for enden af ​​vektoren du skal trække de tilsvarende koordinater fra begyndelsen af ​​vektoren.

Dyrke motion: For de samme punkter skal du nedskrive formlerne for at finde vektorens koordinater. Formler i slutningen af ​​lektionen.

Eksempel 1

Givet to punkter af flyet og . Find vektorkoordinater

Løsning: efter den passende formel:

Alternativt kan følgende indgang bruges:

Æsteter vil afgøre dette:

Personligt er jeg vant til den første version af optagelsen.

Svar:

Ifølge betingelsen var det ikke nødvendigt at konstruere en tegning (som er typisk for problemer med analytisk geometri), men for at præcisere nogle punkter for dummies, vil jeg ikke være doven:

Du skal helt sikkert forstå forskel mellem punktkoordinater og vektorkoordinater:

Punktkoordinater– det er almindelige koordinater i et rektangulært koordinatsystem. Jeg tror, ​​at alle ved, hvordan man plotter punkter på et koordinatplan fra 5.-6. klasse. Hvert punkt har en streng plads på flyet, og de kan ikke flyttes nogen steder.

Koordinaterne for vektoren– dette er dens udvidelse i henhold til grundlaget, i dette tilfælde. Enhver vektor er gratis, så hvis det ønskes eller er nødvendigt, kan vi nemt flytte den væk fra et andet punkt på flyet. Det er interessant, at du for vektorer slet ikke behøver at bygge akser eller et rektangulært koordinatsystem, du behøver kun en basis, i dette tilfælde en ortonormal basis af planet.

Registreringerne af koordinater for punkter og koordinater af vektorer ser ud til at være ens: , og betydning af koordinater absolut forskellige, og du bør være udmærket klar over denne forskel. Denne forskel gælder naturligvis også for rummet.

Mine damer og herrer, lad os fylde vores hænder:

Eksempel 2

a) Point og gives. Find vektorer og .
b) Der gives point Og . Find vektorer og .
c) Point og gives. Find vektorer og .
d) Der gives point. Find vektorer .

Måske er det nok. Dette er eksempler for dig at bestemme på egen hånd, prøv ikke at forsømme dem, det vil betale sig ;-). Der er ingen grund til at lave tegninger. Løsninger og svar i slutningen af ​​lektionen.

Hvad er vigtigt, når man løser analytiske geometriproblemer? Det er vigtigt at være EKSTREMT FORSIGTIG for at undgå at begå den mesterlige "to plus to er lig nul" fejl. Jeg undskylder med det samme, hvis jeg har lavet en fejl et sted =)

Hvordan finder man længden af ​​et segment?

Længden er som allerede nævnt angivet med modultegnet.

Hvis to punkter i planet er givet og , så kan længden af ​​segmentet beregnes ved hjælp af formlen

Hvis to punkter i rummet og er givet, så kan længden af ​​segmentet beregnes ved hjælp af formlen

Bemærk: Formlerne forbliver korrekte, hvis de tilsvarende koordinater byttes om: og , men den første mulighed er mere standard

Eksempel 3

Løsning: efter den passende formel:

Svar:

For klarhedens skyld vil jeg lave en tegning

Linjestykke - dette er ikke en vektor, og du kan selvfølgelig ikke flytte den nogen steder. Hvis du derudover tegner i målestok: 1 enhed. = 1 cm (to notesbogceller), så kan det resulterende svar kontrolleres med en almindelig lineal ved direkte at måle længden af ​​segmentet.

Ja, løsningen er kort, men der er et par vigtigere punkter i den, som jeg gerne vil præcisere:

For det første sætter vi i svaret dimensionen: "enheder". Tilstanden siger ikke HVAD det er, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor ville en matematisk korrekt løsning være den generelle formulering: "enheder" - forkortet som "enheder."

For det andet, lad os gentage skolematerialet, som ikke kun er nyttigt til den overvejede opgave:

Vær opmærksom på vigtig teknik – fjerner multiplikatoren fra under roden. Som et resultat af beregningerne har vi et resultat, og god matematisk stil involverer at fjerne faktoren fra under roden (hvis det er muligt). Mere detaljeret ser processen sådan ud: . Det ville selvfølgelig ikke være en fejl at lade svaret være som det er – men det ville bestemt være en mangel og et tungtvejende argument for at skændes fra lærerens side.

Her er andre almindelige tilfælde:

Ofte producerer roden et ret stort antal, f.eks. Hvad skal man gøre i sådanne tilfælde? Ved hjælp af lommeregneren tjekker vi, om tallet er deleligt med 4: . Ja, det var helt opdelt, således: . Eller måske kan tallet divideres med 4 igen? . Dermed: . Det sidste ciffer i tallet er ulige, så at dividere med 4 for tredje gang vil naturligvis ikke fungere. Lad os prøve at dividere med ni: . Som resultat:
Parat.

Konklusion: hvis vi under roden får et tal, der ikke kan udtrækkes som en helhed, så forsøger vi at fjerne faktoren fra under roden - ved hjælp af en lommeregner tjekker vi om tallet er deleligt med: 4, 9, 16, 25, 36, 49 osv.

Når man løser forskellige problemer, støder man ofte på rødder, forsøg altid at udtrække faktorer under roden for at undgå en lavere karakter og unødvendige problemer med at færdiggøre sine løsninger baseret på lærerens kommentarer.

Lad os også gentage kvadratrødder og andre kræfter:

Reglerne for at arbejde med beføjelser i generel form kan findes i en skolealgebra-lærebog, men jeg tror, ​​ud fra de angivne eksempler, alt eller næsten alt allerede er klart.

Opgave til selvstændig løsning med et segment i rummet:

Eksempel 4

Point og gives. Find længden af ​​segmentet.

Løsningen og svaret er i slutningen af ​​lektionen.

Hvordan finder man længden af ​​en vektor?

Hvis en plan vektor er givet, beregnes dens længde ved formlen.

Hvis der er givet en rumvektor, beregnes dens længde ved formlen .

Ændringen i koordinaterne x2 - x1 er normalt angivet med symbolet Δx12 (læs "delta x en, to"). Denne indtastning betyder, at i tidsrummet fra moment t1 til moment t2 er ændringen i kroppens koordinater Δx12 = x2 - x1. Således, hvis kroppen bevægede sig i den positive retning af X-aksen i det valgte koordinatsystem (x2 > x1), så Δx12 >

I fig. 45 viser et punktlegeme B, som bevæger sig i X-aksens negative retning I tidsrummet fra t1 til t2, bevæger det sig fra et punkt med en større koordinat x1 til et punkt med en mindre koordinat x2. Som et resultat er ændringen i koordinaten for punkt B over den betragtede tidsperiode Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m. Forskydningsvektoren vil i dette tilfælde blive rettet i den negative retning af X-aksen og dens modul |Δx12| lig med 3 m Ud fra de betragtede eksempler kan følgende konklusioner drages.

I de betragtede eksempler (se fig. 44 og 45) bevægede kroppen sig altid i én retning.

Hvordan finder man forskydningsmodulet i fysik (Måske er der en universel formel?)

Derfor er stien tilbagelagt af den lig med ændringsmodulet i kroppens koordinater og forskydningsmodulet: s12 = |Δx12|.

Lad os bestemme ændringen i koordinater og forskydning af kroppen over tidsintervallet fra t0 = 0 til t2 = 7 s. I overensstemmelse med definitionen ændres koordinat Δx02 = x2 - x0 = 2 m >

Lad os nu bestemme den vej, som kroppen har tilbagelagt i samme tidsrum fra t0 = 0 til t2 = 7 s. Først rejste kroppen 8 m i én retning (hvilket svarer til modulus for koordinatændring Δx01), og derefter 6 m i den modsatte retning (denne værdi svarer til modul for koordinatændring Δx12). Det betyder, at hele kroppen rejste 8 + 6 = 14 (m). Ved definition af stien tilbagelagde kroppen i tidsintervallet fra t0 til t2 en afstand s02 = 14 m.

Resultater

Bevægelsen af ​​et punkt over en periode er et rettet segment af en ret linje, hvis begyndelse falder sammen med punktets begyndelsesposition og slutningen med punktets endelige position.

Spørgsmål

Øvelser

Vektorer, handlinger med vektorer

Pythagoras sætning cosinussætning

Vi vil betegne længden af ​​vektoren med . Modulet af et tal har en lignende notation, og længden af ​​en vektor kaldes ofte modulet af en vektor.

, hvor .

Dermed, .

Lad os se på et eksempel.

:

.

Dermed, vektor længde .

Beregn vektorlængde

, derfor,

Øverst på siden

Lad os se på løsningerne til eksemplerne.

.

Bevæger sig

:

:

.

.

Øverst på siden

Dermed, .

eller ,
eller ,

Ingen tid til at finde ud af det?
Bestil en løsning

Øverst på siden

Indtil nu har vi kun overvejet retlinet ensartet bevægelse. I dette tilfælde bevægede punktlegemerne sig i det valgte referencesystem enten i positiv eller negativ retning af X-koordinataksen. Vi fandt det afhængigt af kroppens bevægelsesretning, for eksempel i tidsrummet fra tidspunkt t1 til moment t2 kan ændringen i kroppens koordinat (x2 - x1 ) være positiv, negativ eller lig med nul (hvis x2 = x1).

Ændringen i koordinaterne x2 - x1 er normalt angivet med symbolet Δx12 (læs "delta x en, to"). Denne indtastning betyder, at i tidsrummet fra moment t1 til moment t2 er ændringen i kroppens koordinater Δx12 = x2 - x1. Således, hvis kroppen bevægede sig i den positive retning af X-aksen i det valgte koordinatsystem (x2 > x1), så Δx12 > 0. Hvis bevægelsen skete i den negative retning af X-aksen (x21), så Δx12

Det er praktisk at bestemme resultatet af bevægelsen ved hjælp af en vektormængde. En sådan vektormængde er forskydning.

Bevægelsen af ​​et punkt over en periode er et rettet segment af en ret linje, hvis begyndelse falder sammen med punktets begyndelsesposition og slutningen med punktets endelige position.

Som enhver vektormængde er forskydning karakteriseret ved modul og retning.

Vi vil registrere bevægelsesvektoren for et punkt over tidsperioden fra t1 til t2 på følgende måde: Δx12.

Lad os forklare dette med et eksempel. Lad et punkt A (punktlegeme) bevæge sig i den positive retning af X-aksen og over en periode fra t1 til t2 bevæge sig fra et punkt med koordinat x1 til et punkt med en større koordinat x2 (fig. 44). I dette tilfælde er forskydningsvektoren rettet i den positive retning af X-aksen, og dens størrelse er lig med ændringen i koordinat over det betragtede tidsrum: Δx12 = x2 - x1 = (5 - 2) m = 3 m.

I fig. 45 viser et punktlegeme B, som bevæger sig i negativ retning af X-aksen.

I løbet af tidsperioden fra t1 til t2 bevæger den sig fra et punkt med en større koordinat x1 til et punkt med en mindre koordinat x2. Som et resultat er ændringen i koordinaten for punkt B over den betragtede tidsperiode Δx12 = x2 - x1 = (2 - 5) m = -3 m. Forskydningsvektoren vil i dette tilfælde blive rettet i den negative retning af X-aksen og dens modul |Δx12| lig med 3 m Ud fra de betragtede eksempler kan følgende konklusioner drages.

Bevægelsesretningen under retlinet bevægelse i én retning falder sammen med bevægelsesretningen.

Forskydningsvektorens modul er lig med modulet for ændringen i kroppens koordinater over den betragtede tidsperiode.

I hverdagen bruges begrebet "sti" til at beskrive det endelige resultat af bevægelse. Normalt er stien angivet med symbolet S.

Stien er hele den afstand, som et punktlegeme har tilbagelagt i det pågældende tidsrum.

Som enhver afstand er stien en ikke-negativ størrelse. For eksempel er stien tilbagelagt af punkt A i det betragtede eksempel (se fig. 44) lig med tre meter. Afstanden tilbagelagt af punkt B er også tre meter.

I de betragtede eksempler (se fig. 44 og 45) bevægede kroppen sig altid i én retning. Derfor er stien tilbagelagt af den lig med ændringsmodulet i kroppens koordinater og forskydningsmodulet: s12 = |Δx12|.

Hvis kroppen bevægede sig hele tiden i én retning, så er den vej, den tilbagelagt, lig med forskydningsmodulet og koordinatændringsmodulet.

Situationen vil ændre sig, hvis kroppen ændrer bevægelsesretning i løbet af den pågældende periode.

I fig. 46 viser, hvordan et punktlegeme bevægede sig fra tidspunktet t0 = 0 til tidspunktet t2 = 7 s. Indtil tidspunktet t1 = 4 s, skete bevægelsen ensartet i den positive retning af X-aksen kroppen begyndte at bevæge sig i negativ retning af X-aksen indtil tidspunktet t2 = 7 s. I dette tilfælde er ændringen i dens koordinater Δx12 = x2 - x1 = (5 - 11) m = -6 m. Grafen for denne bevægelse er vist i fig. 47.

Lad os bestemme ændringen i koordinater og forskydning af kroppen over tidsintervallet fra t0 = 0 til t2 = 7 s. I overensstemmelse med definitionen er ændringen i koordinat Δx02 = x2 - x0 = 2 m > 0. Derfor er forskydningen Δx02 rettet i den positive retning af X-aksen, og dens modul er lig med 2 m.

Lad os nu bestemme den vej, som kroppen har tilbagelagt i samme tidsrum fra t0 = 0 til t2 = 7 s. Først rejste kroppen 8 m i én retning (hvilket svarer til modulus for koordinatændring Δx01), og derefter 6 m i den modsatte retning (denne værdi svarer til modul for koordinatændring Δx12).

Bane

Det betyder, at hele kroppen rejste 8 + 6 = 14 (m). Ved definition af stien tilbagelagde kroppen i tidsintervallet fra t0 til t2 en afstand s02 = 14 m.

Det analyserede eksempel giver os mulighed for at konkludere:

I det tilfælde, hvor et legeme ændrer retningen af ​​sin bevægelse i løbet af det betragtede tidsrum, er banen (hele afstanden tilbagelagt af kroppen) større end både kroppens bevægelsesmodul og ændringsmodulet i koordinaterne for kroppen.

Forestil dig nu, at kroppen efter tiden t2 = 7 s fortsatte sin bevægelse i X-aksens negative retning indtil t3 = 8 s i overensstemmelse med loven vist i fig. 47 stiplede linje. Som et resultat, i tidspunktet t3 = 8 s, blev kroppens koordinat lig med x3 = 3 m. Det er let at bestemme, at i dette tilfælde kroppens bevægelse i tidsrummet fra t0 til t3 s er lig med Δx13 = 0.

Det er klart, at hvis vi kun kender forskydningen af ​​en krop under dens bevægelse, så kan vi ikke sige, hvordan kroppen bevægede sig i denne tid. For eksempel, hvis det kun var kendt om et legeme, at dets indledende og endelige koordinater er ens, så ville vi sige, at under bevægelsen er forskydningen af ​​dette legeme nul. Det ville være umuligt at sige noget mere specifikt om arten af ​​denne krops bevægelse. Under sådanne forhold kunne kroppen generelt stå stille i hele tiden.

Bevægelsen af ​​en krop over en vis periode afhænger kun af kroppens indledende og endelige koordinater og afhænger ikke af, hvordan kroppen bevægede sig i denne periode.

Resultater

Bevægelsen af ​​et punkt over en periode er et rettet segment af en ret linje, hvis begyndelse falder sammen med punktets begyndelsesposition og slutningen med punktets endelige position.

Bevægelsen af ​​et punktlegeme bestemmes kun af kroppens endelige og indledende koordinater og afhænger ikke af, hvordan kroppen bevægede sig i det betragtede tidsrum.

Sti er hele den afstand, som et punktlegeme har tilbagelagt i den pågældende periode.

Hvis kroppen ikke ændrede bevægelsesretningen under bevægelsen, så er den vej, som denne krop rejste, lig med modulet for dens forskydning.

Hvis kroppen ændrede retningen af ​​sin bevægelse i løbet af det betragtede tidsrum, er banen større end både kroppens forskydningsmodul og ændringsmodulet i kroppens koordinater.

Stien er altid en ikke-negativ størrelse. Det er kun lig nul, hvis kroppen i hele den betragtede periode var i hvile (stående stille).

Spørgsmål

1. Hvad er bevægelse? Hvad afhænger det af?
2. Hvad er en sti? Hvad afhænger det af?
3. Hvordan adskiller en sti sig fra at bevæge sig og ændre koordinater over den samme tidsperiode, hvor kroppen bevægede sig i en lige linje uden at ændre bevægelsesretningen?

Øvelser

1. Ved at bruge bevægelsesloven i grafisk form, præsenteret i fig. 47, beskrive arten af ​​kroppens bevægelse (retning, hastighed) i forskellige tidsintervaller: fra t0 til t1, fra t1 til t2, fra t2 til t3.
2. Hunden Proton løb ud af huset på tidspunktet t0 = 0, og derefter skyndte hun sig tilbage på befaling af sin ejer, på tidspunktet t4 = 4 s. At vide, at Proton hele tiden kørte i en lige linje og dens hastighedsstørrelse |v| = 4 m/s, bestemme grafisk: a) ændringen i protonens koordinater og vej over tidsperioden fra t0 = 0 til t6 = 6 s; b) protonens vej over tidsintervallet fra t2 = 2 s til t5 = 5 s.

Vektorer, handlinger med vektorer

Finde længden af ​​en vektor, eksempler og løsninger.

Per definition er en vektor et rettet segment, og længden af ​​dette segment på en given skala er længden af ​​vektoren. Således er opgaven med at finde længden af ​​en vektor på planet og i rummet reduceret til at finde længden af ​​det tilsvarende segment. For at løse dette problem har vi alle midlerne til geometri til rådighed, selvom det i de fleste tilfælde er tilstrækkeligt Pythagoras sætning. Med dens hjælp kan du få en formel til at beregne længden af ​​en vektor ud fra dens koordinater i et rektangulært koordinatsystem, samt en formel til at finde længden af ​​en vektor ud fra koordinaterne for dens start- og slutpunkter. Når vektoren er en side af en trekant, kan dens længde findes ved cosinussætning, hvis længden af ​​de to andre sider og vinklen mellem dem er kendt.

Finde længden af ​​en vektor ud fra koordinater.

Vi vil betegne længden af ​​vektoren med .

fysisk ordbog (kinematik)

Modulet af et tal har en lignende notation, og længden af ​​en vektor kaldes ofte modulet af en vektor.

Lad os starte med at finde længden af ​​en vektor på et plan ved hjælp af koordinater.

Lad os introducere et rektangulært kartesisk koordinatsystem Oxy på planet. Lad en vektor angives i den og have koordinater. Vi får en formel, der giver os mulighed for at finde længden af ​​en vektor gennem koordinaterne og .

Lad os plotte vektoren fra origo (fra punkt O). Lad os betegne projektionerne af punkt A på koordinatakserne som henholdsvis og og betragte et rektangel med diagonal OA.

I kraft af Pythagoras sætning, ligheden , hvor . Ud fra definitionen af ​​vektorkoordinater i et rektangulært koordinatsystem kan vi angive, at og , og ved konstruktion er længden OA lig med længden af ​​vektoren, derfor, .

Dermed, formel til at finde længden af ​​en vektor ifølge sine koordinater på flyet har formen .

Hvis vektoren er repræsenteret som en dekomponering i koordinatvektorer , så beregnes dens længde ved hjælp af den samme formel , da koefficienterne og i dette tilfælde er vektorens koordinater i et givet koordinatsystem.

Lad os se på et eksempel.

Find længden af ​​vektoren givet i det kartesiske koordinatsystem.

Vi anvender straks formlen for at finde vektorens længde ud fra koordinaterne :

Nu får vi formlen til at finde længden af ​​vektoren ifølge dets koordinater i det rektangulære Oxyz-koordinatsystem i rummet.

Lad os plotte vektoren fra oprindelsen og betegne projektionerne af punkt A på koordinatakserne som og . Så kan vi bygge et rektangulært parallelepipedum på siderne, hvor OA vil være diagonalen.

I dette tilfælde (da OA er diagonalen af ​​et rektangulært parallelepipedum), hvorfra . Bestemmelse af vektorens koordinater giver os mulighed for at skrive ligheder , og længden OA er lig med den ønskede længde af vektoren, derfor, .

Dermed, vektor længde i rummet er lig med kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af dets koordinater, altså fundet af formlen .

Beregn vektorlængde , hvor er enhedsvektorerne for det rektangulære koordinatsystem.

Vi får en vektornedbrydning til koordinatvektorer af formen , derfor, . Så ved at bruge formlen til at finde længden af ​​en vektor ud fra koordinater, har vi .

Øverst på siden

Længden af ​​en vektor gennem koordinaterne for dens start- og slutpunkter.

Hvordan finder man længden af ​​en vektor, hvis koordinaterne for dens begyndelses- og slutpunkter er givet?

I det foregående afsnit fik vi formler til at finde længden af ​​en vektor ud fra dens koordinater på et plan og i tredimensionelt rum. Så kan vi bruge dem, hvis vi finder vektorens koordinater ud fra koordinaterne for punkterne i dens begyndelse og slutning.

Således, hvis punkter og er givet på planet, så har vektoren koordinater og dens længde beregnes af formlen , og formlen for at finde længden af ​​en vektor ud fra punkternes koordinater og tredimensionelt rum har formen .

Lad os se på løsningerne til eksemplerne.

Find længden af ​​vektoren i et rektangulært kartesisk koordinatsystem .

Du kan straks anvende formlen til at finde længden af ​​en vektor ud fra koordinaterne for start- og slutpunkterne på planet :

Den anden løsning er at bestemme vektorens koordinater gennem punkternes koordinater og anvende formlen :

.

Bestem ved hvilke værdier længden af ​​vektoren er lig hvis .

Længden af ​​vektoren fra start- og slutpunkternes koordinater kan findes som

Ved at sidestille den resulterende værdi af vektorlængden til , beregner vi de nødvendige:

Øverst på siden

Find længden af ​​en vektor ved hjælp af cosinussætningen.

De fleste problemer, der involverer at finde længden af ​​en vektor, løses i koordinater. Men når vektorens koordinater ikke er kendt, må vi lede efter andre løsninger.

Lad længden af ​​to vektorer og vinklen mellem dem (eller cosinus af vinklen) være kendt, og du skal finde længden af ​​vektoren eller . I dette tilfælde kan du ved hjælp af cosinussætningen i trekant ABC beregne længden af ​​siden BC, som er lig med den ønskede længde af vektoren.

Lad os analysere løsningen af ​​eksemplet for at tydeliggøre, hvad der er blevet sagt.

Længderne af vektorerne og er lig med henholdsvis 3 og 7, og vinklen mellem dem er lig med . Beregn længden af ​​vektoren.

Længden af ​​vektoren er lig med længden af ​​siden BC i trekant ABC. Fra betingelsen kender vi længderne af siderne AB og AC i denne trekant (de er lig med længderne af de tilsvarende vektorer), samt vinklen mellem dem, så vi har nok data til at anvende cosinussætningen:

Dermed, .

Så for at finde længden af ​​en vektor ud fra koordinater bruger vi formlerne
eller ,
i henhold til koordinaterne for vektorens start- og slutpunkter -
eller ,
i nogle tilfælde fører cosinussætningen til resultatet.

Ingen tid til at finde ud af det?
Bestil en løsning

Øverst på siden

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Højere matematik. Bind et: elementer af lineær algebra og analytisk geometri.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. 7. – 9. klassetrin: lærebog for almene uddannelsesinstitutioner.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Lærebog for 10-11 klassetrin i gymnasiet.

Søg foredrag

Skalær firkantet vektor

Hvad sker der, hvis en vektor ganges med sig selv?

Nummeret ringes op skalær firkant vektor, og er betegnet som .

Dermed, skalær kvadratisk vektorlig med kvadratet af længden af ​​en given vektor:

Eller enhedsvektoren (enhedsvektor af et normaliseret vektorrum) er en vektor, hvis norm (længde) er lig med én. Enhedsvektor ... Wikipedia

- (ort) vektor, hvis længde er lig med enheden for den valgte skala... Stor encyklopædisk ordbog

- (ort), en vektor, hvis længde er lig med enheden for den valgte skala. * * * UNIT VECTOR UNIT VECTOR (ort), en vektor, hvis længde er lig med enheden for den valgte skala... encyklopædisk ordbog

Ort, en vektor, hvis længde er lig med enheden af ​​den valgte skala. Enhver vektor a kan fås fra en eller anden E.v. e ved at gange med tallet (skalar) λ, altså a = λe. Se også vektorregning... Store sovjetiske encyklopædi

- (ort), vektor, hvis længde er lig med enheden for den valgte skala... Naturvidenskab. encyklopædisk ordbog

Orth: Wiktionary har en artikel "orth" Orth, eller Orth den tohovedede hund, afkom af Typhon og Echidna, bror til Cerberus. Ort ... Wikipedia

EN; m. [tysk] Ort] 1. Horn. En vandret underjordisk mineåbning, der ikke har direkte adgang til overfladen. 2. Matematik. En vektor, hvis længde er lig med én. * * * enhedsvektor I (fra det græske orthós straight), det samme som enhedsvektoren. II (tysk... ... encyklopædisk ordbog

Enhedsvektor- Det her vektor, hvis absolutte værdi (modul) er lig med enhed. For at betegne en enhedsvektor vil vi bruge sænket e. Så hvis en vektor er givet EN, så vil dens enhedsvektor være vektoren EN e. Denne enhedsvektor er rettet i samme retning som selve vektoren EN, og dets modul er lig med én, det vil sige a e = 1.

Naturligvis, EN= a EN e (a - vektor modul EN). Dette følger af reglen, hvorved operationen med at gange en skalar med en vektor udføres.

Enhedsvektorer ofte forbundet med koordinatakserne i et koordinatsystem (især med akserne i et kartesisk koordinatsystem). Retningslinjerne for disse vektorer falder sammen med retningerne af de tilsvarende akser, og deres oprindelse er ofte kombineret med oprindelsen af ​​koordinatsystemet.

Lad mig minde dig om det Kartesisk koordinatsystem i rummet kaldes traditionelt en trio af indbyrdes vinkelrette akser, der skærer hinanden i et punkt kaldet koordinaternes oprindelse. Koordinatakser er normalt betegnet med bogstaverne X, Y, Z og kaldes henholdsvis abscisseaksen, ordinataksen og applikataksen. Descartes selv brugte kun én akse, hvorpå abscisser blev plottet. Fortjeneste ved brug systemerøkser tilhører hans elever. Derfor sætningen Kartesisk koordinatsystem historisk forkert. Det er bedre at tale rektangulær koordinatsystem eller ortogonalt koordinatsystem. Vi vil dog ikke ændre traditioner og i fremtiden vil vi antage, at kartesiske og rektangulære (ortogonale) koordinatsystemer er et og det samme.

Enhedsvektor, rettet langs X-aksen, er angivet jeg, enhedsvektor, rettet langs Y-aksen, er angivet j, A enhedsvektor, rettet langs Z-aksen, er angivet k. Vektorer jeg, j, k hedder orts(Fig. 12, venstre), de har enkelte moduler, dvs
i = 1, j = 1, k = 1.

økser og enhedsvektorer rektangulært koordinatsystem i nogle tilfælde har de forskellige navne og betegnelser. Abscisseaksen X kan således kaldes tangentaksen, og dens enhedsvektor betegnes τ (græsk lille bogstav tau), ordinataksen er normalaksen, dens enhedsvektor er angivet n, den anvendte akse er den binormale akse, dens enhedsvektor er angivet b. Hvorfor ændre navne, hvis essensen forbliver den samme?

Faktum er, at for eksempel i mekanik, når man studerer kroppens bevægelse, bruges det rektangulære koordinatsystem meget ofte. Så hvis selve koordinatsystemet er stationært, og ændringen i koordinaterne for et bevægende objekt spores i dette stationære system, så er akserne normalt betegnet X, Y, Z og deres enhedsvektorer henholdsvis jeg, j, k.

Men ofte, når et objekt bevæger sig langs en form for krum bane (for eksempel i en cirkel), er det mere bekvemt at overveje mekaniske processer i koordinatsystemet, der bevæger sig med dette objekt. Det er for et sådant bevægeligt koordinatsystem, at andre navne på akser og deres enhedsvektorer bruges. Det er bare sådan det er. I dette tilfælde er X-aksen rettet tangentielt til banen på det punkt, hvor dette objekt aktuelt er placeret. Og så kaldes denne akse ikke længere X-aksen, men tangentaksen, og dens enhedsvektor er ikke længere betegnet jeg, A τ . Y-aksen er rettet langs kurvens krumningsradius (i tilfælde af bevægelse i en cirkel - til midten af ​​cirklen). Og da radius er vinkelret på tangenten, kaldes aksen normalaksen (vinkelret og normal er det samme). Enhedsvektoren for denne akse er ikke længere angivet j, A n. Den tredje akse (tidligere Z) er vinkelret på de to foregående. Dette er en binormal med en ort b(Fig. 12, højre). Af den måde, i dette tilfælde sådan rektangulært koordinatsystem ofte omtalt som "naturlig" eller naturlig.

I geometri er en vektor et rettet segment eller et ordnet par af punkter i det euklidiske rum. Ortom vektor er enhedsvektoren for et normaliseret vektorrum eller en vektor, hvis norm (længde) er lig med én.

Du får brug for

• Kendskab til geometri.

Instruktioner

Først skal du beregne længden vektor. Som det er kendt, længde (modul) vektor lig med kvadratroden af ​​summen af ​​kvadraterne af koordinaterne. Lad en vektor med koordinater: a(3, 4) være givet. Så er dens længde |a| = (9 + 16)^1/2 eller |a|=5.

For at finde ort vektor a, du skal dividere hver enkelt med dens længde. Resultatet vil være en vektor kaldet en ort- eller enhedsvektor. Til vektor a(3, 4) ort vil være vektoren a(3/5, 4/5). Vektor a` vil være enhed for vektor EN.

For at kontrollere, om orten er fundet korrekt, kan du gøre følgende: finde længden af ​​den resulterende ort, hvis den er lig med én, så er alt fundet korrekt, hvis ikke, så har der sneget sig en fejl ind i beregningerne. Lad os kontrollere, om ort a` er fundet korrekt. Længde vektor a` er lig med: a` = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Så længden vektor a` er lig med én, hvilket betyder, at enhedsvektoren blev fundet korrekt.