Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.
Y = sin(x)
График функции y=sin(x).
Основные свойства:
3. Функция нечетная.
Y = cos(x)
График функции y=cos(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось.
2. Функция ограниченная. Множество значений - отрезок [-1;1].
3. Функция четная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.
Y = tg(x)
График функции y=tg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k - целое.
3. Функция нечетная.
Y = ctg(x)
График функции y=ctg(x).
Основные свойства:
1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k - целое.
2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.
3. Функция нечетная.
4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема:
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тема урока: “Функция у=cosx”
Урок №1
Цели урока: Ознакомить учащихся со свойствами функции
Задачи урока.
Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.
Ход урока
№ | Этап урока | Демонстрация слайдов | Время |
1 | Организационный момент. Приветствие | ||
2 | Объявление темы и цели урока | ||
3 | Актуализация опорных знаний
Выполнение устных упражнений. |
Фронтальный опрос |
|
4 | Изложение нового материала
Задача на построение графика у =cosx на отрезке Обсуждение свойств функции у =cosx на отрезке Задача на построение эскиза графика функции у = cosх Обсуждение свойств функции у = cosx |
Занесение свойств в таблицу |
|
5 | Решение задач по учебнику №708, №709 |
Решение проходит в сопровождении cлайда №4 | |
6 | Задача на построение графика
функции со сдвигом вдоль оси ординат и вдоль оси
абсцисс.
Обсуждение свойств функции |
||
7 | Самостоятельная работа по учебнику | №710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3) |
|
Подведение итогов.
Итоги урока. Выставление оценок. |
|||
9 | Домашнее задание | §40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4).
Построить графики функций у =cosx на и описать свойства этой
функции. Дополнительно №717 (1) |
Цель урока: Ознакомить учащихся со свойствами функцииу=cosx, обучение построению графика функции у=cosx, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.
2. Объявление темы и цели урока сопровождается слайдом №2
3. Актуализация опорных знаний
Выполнение устных упражнений.
- Повторить определение тригонометрических функций и знаки значений этих функций.
- Обратить внимание учащихся на то, что для любого действительного числа можно указать соответствующую точку на единичной окружности, а следовательно ее абсциссу и ординату, т.е. косинус и синус числа х: у = cosx и у = sinx, область определения которых – все действительные числа.
Затем учащиеся отвечают на вопросы:
- При каких значениях х функция у=cosx принимает значение, равное 0? 1? -1?
- Может ли функция у=cosx принимать значение больше 1, меньше -1?
- При каких значениях х функция у=cosx принимает наибольшее (наименьшее) значение?
- Каково множество значений функции у=cosx?
Ответы на эти и следующие вопросы сопровождаются иллюстрацией на единичной окружности.
Повторив знаки значений тригонометрических функций в каждой четверти координатной плоскости, учащимся предлагается показать несколько точек единичной окружности, соответствующих числам, косинус которых положительное (отрицательное) число. Затем ответить на вопросы:
1) Какой знак имеет значение функции у=cosx, если х=, х=,
0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?
2) Укажите несколько значений х, при которых значения функции у = cosx положительны, отрицательны.
3) Можно ли назвать все значения числа , косинус которых положителен, отрицателен?
4) Можно ли назвать все значения аргумента х, при которых значения функции у = cosx положительны, отрицательны?
5) Четная или нечетная функция у= cosx.
6) Чему равен период этой функции?
4. Изложение нового материала.
Обобщение и конкретизация знаний полученных ранее: исследование области определения, множества значений, четности, периодичности позволяет построить график сначала на отрезке, затем на отрезке , а затем на всей числовой прямой. Объяснение сопровождается слайдом №3.
Затем учащиеся учатся изображать эскиз графика функции у= cosx по точкам (0;1), (;0),
(:-1), (;0), (;1) и обобщают свойства функции, записывая их в таблицу.
Проверяем с помощью слайда №4.
(На этом этапе выдаются опорные конспекты (приложение 1))
5. Закрепление первичных знаний.
С помощью эскиза графика функции у=cosx учащиеся отвечают на вопросы №708, с помощью таблицы свойств функции у=cosх отвечают на вопросы №709
6. Задача на построение графика функции со сдвигом вдоль оси ординат и вдоль оси абсцисс.
1. Слайд №5, 6
В ходе беседы обсуждаются свойства этих функций.
7. Самостоятельная работа по учебнику
№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710
Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция у = cosx возрастала, а на другом убывала:
Убывает; - возрастает
Убывает; - возрастает
Используя свойство возрастания или убывания функции у = cosx, сравнить числа:
На отрезке функция у = cosx убывает; , следовательно, .
На отрезке функция у = cosx возрастает;
<, следовательно, cos < cos
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку :
1) cosx = х = ±+2n, n Z
Ответ: ; ; .
2) cosx = - х = ±
8. Подведение итогов.
Выставление оценок.
На уроке научились строить график функции у = cosx, читать свойства этого графика, строить эскиз графика, решать задачи связанные с использованием графика и свойств функции у = cosx.
9. Домашнее задание.
§40 №710(2;4), №711(2;4), №711(2;4). Построить графики функций у =cosx на и описать свойства этой функции.
Дополнительно №717(1).
Тема: “Функция у=cosx”
Урок №2
Цели урока: Повторить правила построения графика функцииу=cosx, научиться применять приемы преобразования графика, чтению этого графика, использование свойств и графика функции при решении уравнений и неравенств.
Задачи урока.
Образовательная – формирование функциональных представлений на наглядном материале, формирование умений построения графиков функции у=cosx при различных преобразованиях, формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике.
Развивающая – формирование способности анализировать, обобщать полученные знания. Формирование логического мышления.
Воспитательная – активизировать интерес к получению новых знаний, воспитание графической культуры, формирование точности и аккуратности при выполнении чертежей.
Оснащене: мультимедийный проектор, экран, операционная система Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, программа MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel.
Ход урока
№ | Этап урока | Демонстрация слайдов | Время |
1 | Организационный момент. Приветствие | 1 | |
2 | Объявление темы и цели урока | 2 | |
3 | Проверка домашнего задания | №717(1), Слайд №7 |
5 |
4 | Изложение нового материала
Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к оси ОХ Обсуждение свойств функции у =k·cosx при k>1 и
0 Задача на построение графика путем сжатия и
растяжения к ори ОУ Обсуждение свойств функции у = cos(k·x) при k>1 и
0 |
Слайд №8, 9 |
12 |
5 | Закрепление первичных знаний.
Решение
задач по учебнику №713(1;3), №715(1) №716(1) |
№717(2) учебник стр. 208. При решении №715(1), №716(1) использовать построенный график функции у = cos2x. Слайд №10 | 5 |
6 | Задача на построение графика
функции симметричного относительно оси абсцисс.
1. Организационный момент. Приветствие. 2. Объявление темы и цели урока сопровождается слайдом №2. 3. Проверка домашнего задания 4. Изложение нового материала 1. Задача на построение графика путем сжатия и растяжения к оси ОХ. Обсуждение свойств функции у =k·cosx при k>1 и
0 Слайд № 8 2. Задача на построение графика путем сжатия и
растяжения к оси ОУ. Обсуждение свойств функции у = cos(kx) при k>1 и
0 Слайд № 9 5. Закрепление первичных знаний Решение задач по учебнику №713(1;3), №715(1) №716(1) Задание №715(1) №716(1) проверяем с помощью слайда
№10 6. Задача на построение графика функции
симметричного относительно оси абсцисс Обсуждение свойств функции.
Слайд №11
(использовать опорный конспект (приложение
1)) 7. Самостоятельная работа Решение тестовых задач.
(Половина учащихся
решает тесты в XL (приложение 2), за
компьютерами,вторая половина на раздаточном
материале (приложение 3). Затем
учащиеся меняются местами.) 8. Итоги урока. В результате изучения темы учащиеся научились
строить график функции у = cosх, читать свойства
функции, строить графики функции используя
различные преобразования, читать свойства
графиков с преобразованиями, решать простейшие
задачи используя графики и свойства функции у =
cosх. Выставление оценок. 9. Домашнее задание. §40 №717(3), №713(4), №715(4), №716(2). Дополнительно №719(2)
(Проверка слайд №13) В начале следующего урока можно предложить
учащимся выполнить работу по построению
графиков на готовых раздаточных материалах ( |
Урок и презентация на тему: "Функция y=cos(x). Определение и график функции"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Определение.
2. График функции.
3. Свойства функции Y=cos(X).
4. Примеры.
Определение функции косинуса у=cos(x)
Ребята, мы уже познакомились с функцией Y=sin(X).
Давайте вспомним одну из формул привидения : sin(X + π/2) = cos(X).
Благодаря этой формуле, мы можем утверждать, что функции sin(X + π/2) и cos(X) тождественны, и их графики функций совпадают.
График функции sin(X + π/2) получается из графика функции sin(X) параллельным переносом на π/2 единиц влево. Это и будет график функции Y=cos(X).
График функции Y=cos(X) так же называют синусоидой.
Свойства функции cos(x)
-
Запишем свойства нашей функции:
- Область определения – множество действительных чисел.
- Функция четная. Давайте вспомним определение четной функции. Функция называется четной, если выполняется равенство y(-x)=y(x). Как мы помним из формул привидения: cos(-x)=-cos(x), определение выполнилось, тогда косинус – четная функция.
- Функция Y=cos(X) убывает на отрезке и возрастает на отрезке [π; 2π]. В этом мы можем убедиться на графике нашей функции.
- Функция Y=cos(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
-1 ≤ cos(X) ≤ 1 - Наименьшее значение функции равно -1 (при х = π + 2πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = 2πk).
- Функция Y=cos(X) является непрерывной функцией. Посмотрим на график и убедимся, что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
- Область значений отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика.
- Функция Y=cos(X) - периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения через некоторые промежутки.
Примеры с функцией cos(x)
1. Решить уравнение cos(X)=(x - 2π) 2 + 1
Решение: Построим 2 графика функции: y=cos(x) и y=(x - 2π) 2 + 1 (см. рисунок).
y=(x - 2π) 2 + 1 - это парабола, смещенная вправо на 2π и вверх на 1. Наши графики пересекаются в одной точке А(2π;1), это и есть ответ: x = 2π.
2. Построить график функции Y=cos(X) при х ≤ 0 и Y=sin(X) при x ≥ 0
Решение: Чтобы построить требуемый график, давайте построим два графика функции по "кусочкам". Первый кусочек: y=cos(x) при х ≤ 0. Второй кусочек: y=sin(x)
при x ≥ 0. Изобразим оба "кусочка" на одном
графике.
3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=cos(X) на отрезке [π; 7π/4]
Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π; 7π/4]. На графике видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка: в точках π и 7π/4 соответственно.
Ответ: cos(π) = -1 – наименьшее значение, cos(7π/4) = наибольшее значение.
4. Построить график функции y=cos(π/3 - x) + 1
Решение: cos(-x)= cos(x), тогда искомый график получится путем переноса графика функции y=cos(x) на π/3 единиц вправо и 1 единицу вверх.
Задачи для самостоятельного решения
1)Решить уравнение: cos(x)= x – π/2.2) Решить уравнение: cos(x)= - (x – π) 2 - 1.
3) Построить график функции y=cos(π/4 + x) - 2.
4) Построить график функции y=cos(-2π/3 + x) + 1.
5) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке .
6) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos(x) на отрезке [- π/6; 5π/4].
На этом уроке мы подробно рассмотрим функцию у = cos х, ее основные свойства и график.В начале урока дадим определение тригонометрической функции у = cost на координатной окружности и рассмотрим график функции на окружности и прямой. Покажем периодичность этой функции на графике и рассмотрим основные свойства функции. В конце урока решим несколько простейших задач с использованием графика функции и ее свойств.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Функция y=cost, её основные свойства и график
Функцией называется закон, по которому каждому значению независимого аргумента ставится в соответствие единственное значение функции.
Вспомним определение функции Пусть t - любое действительное число. Ему соответствует единственная точка M на числовой окружности. У точки M есть единственная абсцисса. Она и называется косинусом числа t. Каждому значению аргумента t соответствует только одно значение функции (рис. 1).
Центральный угол численно равен величине дуги в радианах, т.е. числу Поэтому аргументом может быть и действительное число, и угол в радианах.
Если мы умеем для каждого значения определить то можем построить график функции
Можно получить график функции и другим способом. По формулам приведения поэтому график косинуса - это синусоида, сдвинутая по оси x на влево (рис.2).
Свойства функции
1) Область определения:
2) Область значений:
3) Функция четная:
4) Наименьший положительный период:
5) Координаты точек пересечения с осью абсцисс:
6) Координаты точки пересечения с осью ординат:
7) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения:
8) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения:
9) Промежутки возрастания:
10) Промежутки убывания:
11) Точки минимума:
12) Минимум функции: .
13) Точки максимума:
14) Максимум функции:
Мы рассмотрели основные свойства и график функции Далее они будут использоваться при решении задач.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. -М.: Мнемозина, 2007.
№№ 16.6, 16.7, 16.9.
Дополнительные веб-ресурсы
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам ().