Дефинирахме събиране, умножение, изваждане и деление на цели числа. Тези действия (операции) имат редица характерни резултати, които се наричат свойства. В тази статия ще разгледаме основните свойства на събиране и умножение на цели числа, от които следват всички други свойства на тези действия, както и свойствата на изваждане и деление на цели числа.
Навигация в страницата.
Събирането на цели числа има няколко други много важни свойства.
Една от тях е свързана със съществуването на нула. Това свойство на събиране на цели числа гласи, че добавянето на нула към всяко цяло число не променя това число. Нека запишем това свойство на събиране с букви: a+0=a и 0+a=a (това равенство е вярно поради комутативното свойство на събирането), a е всяко цяло число. Освен това може да чуете, че цяло число нула се нарича неутрален елемент. Нека дадем няколко примера. Сумата от цялото число −78 и нулата е −78; Ако добавите положителното цяло число 999 към нула, резултатът е 999.
Сега ще дадем формулировка на друго свойство на събиране на цели числа, което е свързано със съществуването на противоположно число за всяко цяло число. Сборът на всяко цяло число с противоположното му число е нула. Нека да дадем буквалната форма на запис на това свойство: a+(−a)=0, където a и −a са противоположни цели числа. Например сумата 901+(−901) е нула; по същия начин сумата от противоположните цели числа −97 и 97 е нула.
Основни свойства на умножението на цели числа
Умножението на цели числа има всички свойства на умножението на естествени числа. Нека изброим основните от тези свойства.
Точно както нулата е неутрално цяло число по отношение на събирането, едно е неутрално цяло число по отношение на умножението с цяло число. т.е. умножаването на което и да е цяло число по едно не променя числото, което се умножава. Така че 1·a=a, където a е всяко цяло число. Последното равенство може да бъде пренаписано като a·1=a, което ни позволява да направим комутативното свойство на умножението. Нека дадем два примера. Произведението на цялото число 556 по 1 е 556; произведението на единица и цяло отрицателно число −78 е равно на −78.
Следващото свойство на умножението на цели числа е свързано с умножението по нула. Резултатът от умножаването на всяко цяло число a по нула е нула, тоест a·0=0 . Равенството 0·a=0 също е вярно поради комутативността на умножението на цели числа. В специалния случай, когато a=0, произведението от нула и нула е равно на нула.
За умножението на цели числа обратното свойство на предходното също е вярно. То твърди, че произведението на две цели числа е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула. В буквална форма това свойство може да бъде записано по следния начин: a·b=0, ако или a=0, или b=0, или и двете a и b са равни на нула едновременно.
Разпределително свойство на умножение на цели числа спрямо събиране
Съвместното събиране и умножение на цели числа ни позволява да разгледаме разпределителното свойство на умножението спрямо събирането, което свързва двете посочени действия. Използването на събиране и умножение заедно отваря допълнителни възможности, които бихме пропуснали, ако разглеждаме събирането отделно от умножението.
И така, разпределителното свойство на умножението спрямо събирането гласи, че произведението на цяло число a от сбора на две цели числа a и b е равно на сбора от продуктите a b и a c, т.е. a·(b+c)=a·b+a·c. Същото свойство може да бъде написано в друга форма: (a+b)c=ac+bc .
Разпределителното свойство на умножаването на цели числа спрямо събирането, заедно с комбинаторното свойство на събирането, ни позволява да определим умножението на цяло число по сумата от три или повече цели числа и след това умножението на сумата от цели числа по сумата.
Също така имайте предвид, че всички други свойства на събиране и умножение на цели числа могат да бъдат получени от свойствата, които посочихме, тоест те са следствия от свойствата, посочени по-горе.
Свойства на изваждане на цели числа
От полученото равенство, както и от свойствата на събиране и умножение на цели числа, следват следните свойства на изваждане на цели числа (a, b и c са произволни цели числа):
- Изваждането на цели числа като цяло НЯМА свойството комутативност: a−b≠b−a.
- Разликата на равни цели числа е нула: a−a=0 .
- Свойството за изваждане на сумата от две цели числа от дадено цяло число: a−(b+c)=(a−b)−c .
- Свойството за изваждане на цяло число от сумата на две цели числа: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
- Разпределително свойство на умножението спрямо изваждането: a·(b−c)=a·b−a·c и (a−b)·c=a·c−b·c.
- И всички други свойства на изваждане на цели числа.
Свойства на деленето на цели числа
Докато обсъждахме значението на деленето на цели числа, открихме, че деленето на цели числа е действие, обратно на умножението. Дадохме следната дефиниция: деление на цели числа означава намиране на неизвестен множител от известен продукт и известен множител. Тоест, ние наричаме цяло число c частното от деленето на цялото число a на цялото b, когато произведението c·b е равно на a.
Тази дефиниция, както и всички свойства на операциите с цели числа, обсъдени по-горе, позволяват да се установи валидността на следните свойства на разделяне на цели числа:
- Никое цяло число не може да бъде разделено на нула.
- Свойството за деление на нула на произволно цяло число a, различно от нула: 0:a=0.
- Свойство за деление на равни цели числа: a:a=1, където a е всяко цяло число, различно от нула.
- Свойството за деление на произволно цяло число a на едно: a:1=a.
- Като цяло, делението на цели числа НЕ притежава свойството комутативност: a:b≠b:a.
- Свойства на разделяне на сбора и разликата на две цели числа на цяло число: (a+b):c=a:c+b:c и (a−b):c=a:c−b:c, където a, b и c са цели числа, така че и a, и b се делят на c, а c е различно от нула.
- Свойството за деление на произведението на две цели числа a и b на цяло число c, различно от нула: (a·b):c=(a:c)·b, ако a се дели на c; (a·b):c=a·(b:c) , ако b се дели на c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) ако и a, и b се делят на c .
- Свойството за деление на цяло число a на произведението на две цели числа b и c (числата a , b и c са такива, че деленето на a на b c е възможно): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
- Всички други свойства на делението на цели числа.
Нека разгледаме пример, който потвърждава валидността на комутативното свойство на умножаването на две естествени числа. Започвайки от значението на умножението на две естествени числа, нека изчислим произведението на числата 2 и 6, както и произведението на числата 6 и 2 и да проверим равенството на резултатите от умножението. Произведението на числата 6 и 2 е равно на сбора 6+6, от таблицата за събиране намираме 6+6=12. А произведението на числата 2 и 6 е равно на сбора 2+2+2+2+2+2, който е равен на 12 (ако е необходимо, вижте статията за събиране на три или повече числа). Следователно, 6·2=2·6.
Ето картина, илюстрираща комутативното свойство на умножението на две естествени числа.
Комбинативно свойство на умножението на естествените числа.
Нека изразим комбинаторното свойство на умножаването на естествени числа: умножаването на дадено число по дадено произведение от две числа е същото като умножаването на дадено число по първия фактор и умножаването на получения резултат по втория фактор. т.е. a·(b·c)=(a·b)·c, където a, b и c могат да бъдат всякакви естествени числа (изразите, чиито стойности се изчисляват първи, са оградени в скоби).
Нека дадем пример, за да потвърдим асоциативното свойство на умножаването на естествени числа. Нека изчислим произведението 4·(3·2) . Според значението на умножението имаме 3·2=3+3=6, тогава 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24. Сега нека умножим (4·3)·2. Тъй като 4·3=4+4+4=12, тогава (4·3)·2=12·2=12+12=24. Така равенството 4·(3·2)=(4·3)·2 е вярно, което потвърждава валидността на въпросното свойство.
Нека покажем чертеж, илюстриращ асоциативното свойство на умножението на естествените числа.
В заключение на този параграф отбелязваме, че асоциативното свойство на умножението ни позволява еднозначно да определим умножението на три или повече естествени числа.
Разпределително свойство на умножението спрямо събирането.
Следното свойство свързва събирането и умножението. Формулира се по следния начин: умножаването на дадена сума от две числа по дадено число е същото като събирането на произведението от първия член и дадено число с произведението от втория член и дадено число. Това е така нареченото разпределително свойство на умножението спрямо събирането.
Използвайки букви, разпределителното свойство на умножението спрямо събирането се записва като (a+b)c=ac+bc(в израза a·c+b·c първо се извършва умножение, след което се извършва събиране, повече подробности за това са написани в статията), където a, b и c са произволни естествени числа. Обърнете внимание, че силата на комутативното свойство на умножението, разпределителното свойство на умножението може да бъде записана в следната форма: a·(b+c)=a·b+a·c.
Нека дадем пример, потвърждаващ разпределителното свойство на умножението на естествени числа. Нека проверим валидността на равенството (3+4)·2=3·2+4·2. Имаме (3+4) 2=7 2=7+7=14 и 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14, откъдето следва равенството ( 3+4 ) 2=3 2+4 2 е правилно.
Нека покажем фигура, съответстваща на разпределителното свойство на умножението спрямо събирането.
Разпределително свойство на умножението спрямо изваждането.
Ако се придържаме към значението на умножението, тогава произведението 0·n, където n е произволно естествено число, по-голямо от единица, е сумата от n члена, всеки от които е равен на нула. по този начин 
. Свойствата на събирането ни позволяват да кажем, че крайната сума е нула.
Така за всяко естествено число n е в сила равенството 0·n=0.
За да остане валидно комутативното свойство на умножението, приемаме и валидността на равенството n·0=0 за всяко естествено число n.
така че произведението на нула и естествено число е нула, т.е 0 n=0И n·0=0, където n е произволно естествено число. Последното твърдение е формулировка на свойството за умножение на естествено число и нула.
В заключение даваме няколко примера, свързани със свойството умножение, разгледано в този параграф. Произведението на числата 45 и 0 е равно на нула. Ако умножим 0 по 45 970, също получаваме нула.
Сега можете спокойно да започнете да изучавате правилата, по които се извършва умножаването на естествени числа.
Референции.
- Математика. Всякакви учебници за 1, 2, 3, 4 клас на общообразователните институции.
- Математика. Всякакви учебници за 5 клас на общообразователните институции.
(4 урока, № 113–135)
Урок 1 (113–118)
Цел– запознайте учениците с комбинацията от техните_
способността за умножение.
В първия урок е полезно да запомните какви свойства
аритметичните операции вече са познати на децата. За това
упражнения, по време на които учениците ще
използвайте това или онова имущество. Например можете
Възможно ли е да се твърди, че стойностите на изразите в дадена колона_
са еднакви:
875 + (78 + 284)
(875 + 78) + 284
875 + (284 + 78)
(875 + 284) + 78
Има смисъл да се предлагат изрази, чиито значения са
децата не могат да изчисляват, в този случай те ще бъдат_
трябва да се направи заключение въз основа на разсъждение.
Сравнявайки например първия и втория израз, те
отбелязват техните прилики и разлики; запомни matcher_
ново свойство на добавяне (два съседни члена могат да бъдат
заменете ги със сумата), което означава, че стойностите са изразени
браковете ще бъдат същите. Третият израз е подходящ
сравнете по различен начин с първия и с помощта на комутатив
свойство на добавяне, направете заключение. Четвърти израз
може да се сравни с втория.
– Какви свойства на събирането са приложими за изчисления?
промени значението на тези изрази? (Комутативен
и асоциативни.)
– Какви свойства има умножението?
Момчетата си спомнят, че знаят комутативното
свойство на умножението. (Отразено е на стр. 34 от учебника
псевдоним „Опитайте се да запомните!“)
- Днес в клас ще се срещнем с още един от нашите_
умножение!
На дъската е даден чертежътзадача 113 . Учител
плъхове по различни начини. Обсъдени предложения на деца_
са дадени. Ако възникнат затруднения, можете да се свържете
към анализа на методите, предложени от Миша и Маша.
(6 · 4) · 2: има 6 квадрата в един правоъгълник, smart_
Натискайки 6 на 4, Маша открива колко квадратчета съдържа
правоъгълници в един ред. Умножаване на полученото re_
Резултатът е 2, тя открива колко квадратчета съдържа
правоъгълници в два реда, т.е. колко малки има?
брой квадрати на снимката.
След това обсъждаме метода на Миша: 6 · (4 · 2). първо ти_
завършваме действието в скоби – 4 2, т.е. откриваме колко
общо правоъгълници в два реда. В един правоъгълник_
ник 6 квадрата. Умножавайки 6 по получения резултат,
Отговаряме на поставения въпрос. Така и двете
друг израз показва колко малки
квадратчета на снимката.
Това означава (6 · 4) · 2 = 6 · (4 · 2).
Подобна работа се извършва и сзадача 114 . поз_
След това децата се запознават с формулировката на асоциацията
свойства на умножението и го сравнете с формулировката
асоциативни свойства на добавянето.
Целзадачи 115–117 - разберете дали децата разбират
формулиране на асоциативното свойство на умножението.
При изпълнениезадачи 116 препоръчваме да използвате_
вземете калкулатор. Това ще позволи на учениците да повтарят добре_
измерване на трицифрени числа.
Задача 118По-добре е да решите в клас.
Ако на децата им е трудно да решават самостоятелно_
изследователски институтзадачи 118 , тогава учителят може да използва техниката на
преценки на готови решения или обяснения на изрази,
записан според условията на този проблем. Например:
10 5 8 10 8 5
(8 10) 5 8 (10 5)
(2_колона),както и задачи48, 54, 55 ТПО №1.
Урок 2 (119–125)
Цел
умножение при изчисления; изведете правилото за умножение
число с 10.
Работа съсзадача 119 организирани в съответствие с
указания в учебника:
а) децата използват комутативното свойство на умножението
ция, пренареждане на факторите в произведението 4 10 = 10 4,
намерете стойността на произведението 10 · 4 чрез събиране на десетиците.
В тетрадките се правят следните записи:
4 10 = 40;
6 10 = 60 и т.н.
б) децата действат по същия начин, както при изпълнение на задачата_
ниа а). Запишете в тетрадките онези равенства, които не съществуват
в задача а): 5 10 = 50; 7 10 = 70; 9 10 = 90;
в) анализира и сравнява написаните равенства,
направете заключение (когато умножавате число по 10, трябва да присвоите
към първия множител нула и запишете полученото число
резултат);
г) проверете формулираното правило с помощта на изчисления_
разкъсах.
Приложение на комбинаторното свойство на умножението и pr_
Умножаването по 10 позволява на учениците да умножават
"закръглете" десетките до едноцифрено число, като използвате on_
умения за таблично умножение (90 · 3, 70 · 4 и т.н.).
За целта се извършватзадачи 120, 121, 123, 124.
При изпълнениезадачи 120 деца първо подреждане_
начертайте скоби в учебник с молив и след това коментирайте
вашите действия. Например: (5 · 7) · 10 = 35 · 10 – произведени тук
поддържането на първия и втория фактор замени неговите стойности
четене. Полезно е веднага да разберете каква е стойността на pro_
производство 35 10; 5 · (7 · 10) = 5 · 70 – ето го произведението
вторият и третият фактор бяха заменени с неговата стойност.
При изчисляване на стойността на произведението 5 70 деца
може да разсъждава така: нека използваме комутатив
свойство на умножението - 5 · 70 = 70 · 5. Сега 7 дек. може
повторете 5 пъти, получаваме 35 дес.; това число е 350.
При обяснение на някои равенства взадача 121
ученици първо използват комутатива their_
умножение, а след това асоциативно. Например:
4 6 10 = 40 6
(4 10) 6 = 40 6
всяко равенство отляво и отдясно.
Чрез изчисляване на стойностите на изразите, написани отляво,
момчетата се обръщат към таблицата за умножение и след това отнемат_
изчислете резултата 10 пъти:
(4 6) 10 = 24 10
INзадача 123 Полезно е да се обмислят различни начини
би оправдал отговора. Например, можете във втория израз
можем да заменим продукта с неговата стойност и получаваме_
кой е първият израз:
4 (7 10) = 4 70
В третия израз, от който се нуждаете в този случай първо
Използвайте асоциативното свойство на умножението:
(4 7) 10 = 4 (7 10) и след това заменете произведението от него
значение.
Но можете да правите нещата по различен начин, без да се фокусирате върху
първият и вторият израз. В този случай числото 70 в per_
В този израз трябва да го представите като продукт:
4 70 = 4 (7 10)
И в третия израз използвайте за transform_
извикване чрез комбиниране на свойство:
(4 7) 10 = 4 (7 10)
Организиране на дискусия за различни варианти на действие
Vзадача 123 , учителят може да се съсредоточи върху диалога
Миша и Маша, която е въведеназадача 124 .
къде да посочите на диаграмата известни и неизвестни стойности_
редици. В резултат на това диаграмата изглежда така:
За изчислителни упражнения в клас препоръчваме
издухванезадача 125, и същозадачи 59, 60 от ТПО No1 .
Урок 3 (126–132)
Цел– научете се да използвате асоциативното свойство
умножение за изчисления, подобряване на уменията
решаване на проблеми.
Задача 126извършва се устно. Неговата цел е съвършенство
развитие на изчислителни умения и способност за прилагане
асоциативното свойство на умножението. Например сравняване
изрази а) 45 10 и 9 50, ученици причина: число
45 може да бъде представено като произведение на 9 5 и след това
заменете произведението на числата 5 10 с неговата стойност.
Задача 128важи и за компютрите
упражнения, които изискват активно използване
анализ и синтез, сравнение, обобщение. Формулиране на правото
При конструирането на всеки ред повечето деца използваха_
Те използват концепцията за „увеличаване с...“. Например: за ред – 6,
12, 18, ... – „всяко следващо число се увеличава с 6“;
за серията – 4, 8, 12, ... – „всяко следващо число се увеличава_
завършва на 4” и т.н.
Но е възможна и следната опция: „За получаване на заем_
първото число във всеки ред се увеличава
2 пъти, за да получите третото число в серията, първото
броят на редовете е увеличен 3 пъти, четвъртият - 4 пъти,
пети - 5 пъти и т.н.
Подреждайки се в редици според това правило, учениците всъщност_
Те буквално повтарят всички случаи на таблично умножение.
четене, учениците могат или да рисуват
схема или „съживете“ схемата, която учителят е подготвил предварително
ще го изобрази на дъската.
Децата сами ще записват решението на задачата в тетрадка.
При трудности при решаванетозадачи 129 reko_
Препоръчваме да използвате техниката за обсъждане на готови решения_
обяснения или обяснения на изрази, написани според условието
на тази задача:
10 · 3 3 · 4 10 · 4 (10 · 3) · 4 10 · (3 · 4)
Задача 133Също така е препоръчително да го обсъдите в клас.
(1) 14 + 7 = 21 (дни) 2) 21 2 = 42 (дни))
задачи 61, 62 ТПО №1.
Урок 4 (134–135)
Цел– проверка на владеенето на умения за работа с маса
знания и умения за решаване на проблеми.
134, 135 .
Целзадачи 134 – обобщете знанията на децата за масата
умножение, което може да се представи като таблица
Питагор. Следователно, след като задачата е изпълнена_
Не, полезно е да разберете:
а) В кои клетки от таблицата може да се вмъкне същото?
Какви числа и защо? (Тези клетки са в долния ред_
ke и в дясната колона, което се дължи на комутатив
свойството на умножението.)
б) Възможно ли е, без да се правят изчисления, да се каже
с колко е следващото число по-голямо от предходното във всеки
ред (колона) на таблицата? (На горния (първи) ред –
с 1, във втория - с 2, в третия - с 3 и т.н.) Това е условно_
дефиниран от определението: „умножението е събиране на едно
ков термини“.
Това също трябва да се напомни на учениците
цялата таблица съдържа 81 клетки. Това съответства на броя
който трябва да бъде написан в долната му дясна клетка.
За проверка на знанията, уменията и способностите на учениците
Шмирева Г.Г. Тестове. 3 клас. – Смоленск,
Сдружение XXI век, 2004г.
Нека начертаем правоъгълник със страни 5 см и 3 см върху лист хартия, разделен на квадрати със страни 1 см (фиг. 143). Нека преброим броя на клетките, разположени в правоъгълника. Това може да стане, например, така.
Броят на квадратите със страна 1 см е 5 * 3. Всеки такъв квадрат се състои от четири клетки. Следователно общият брой клетки е (5 * 3) * 4.
Същият проблем може да бъде решен по различен начин. Всяка от петте колони на правоъгълника се състои от три квадрата със страна 1 см. Следователно една колона съдържа 3 * 4 клетки. Следователно ще има общо 5 * (3 * 4) клетки.
Преброяването на клетките на фигура 143 илюстрира по два начина асоциативно свойство на умножениетоза числата 5, 3 и 4. Имаме: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).
За да умножите произведението на две числа по трето число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото число.
(ab)c = a(bc)
От комутативните и комбинаторните свойства на умножението следва, че при умножаване на няколко числа факторите могат да бъдат разменени и поставени в скоби, като по този начин се определя редът на изчисленията.
Например следните равенства са верни:
abc = cba,
17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).
На фигура 144 отсечката AB разделя правоъгълника, разгледан по-горе, на правоъгълник и квадрат.
Нека преброим броя на квадратите със страна 1 см по два начина.
От една страна, полученият квадрат съдържа 3 * 3 от тях, а правоъгълникът съдържа 3 * 2. Общо получаваме 3 * 3 + 3 * 2 квадрата. От друга страна, във всяка от трите линии на този правоъгълник има 3 + 2 квадрата. Тогава общият им брой е 3 * (3 + 2).
Равно на 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 илюстрира разпределително свойство на умножението спрямо събирането.
За да умножите число по сбора на две числа, можете да умножите това число по всяко събираемо и да добавите получените продукти.
В буквална форма това свойство се записва, както следва:
a(b + c) = ab + ac
От разпределителното свойство на умножението спрямо събирането следва, че
ab + ac = a(b + c).
Това равенство позволява формулата P = 2 a + 2 b да намери периметъра на правоъгълник, който трябва да бъде написан в следната форма:
P = 2 (a + b).
Обърнете внимание, че свойството за разпространение е валидно за три или повече срока. Например:
a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.
Разпределителното свойство на умножението спрямо изваждането също е вярно: ако b > c или b = c, тогава
a(b − c) = ab − ac
Пример 1 . Изчислете по удобен начин:
1 ) 25 * 867 * 4 ;
2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .
1) Използваме комутативните и след това асоциативните свойства на умножението:
25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .
2) Имаме:
329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .
Пример 2 . Опростете израза:
1) 4 a * 3 b;
2) 18 m − 13 m.
1) Използвайки комутативните и асоциативните свойства на умножението, получаваме:
4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.
2) Използвайки разпределителното свойство на умножението спрямо изваждането, получаваме:
18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.
Пример 3 . Запишете израза 5 (2 m + 7) така, че да не съдържа скоби.
Според разпределителното свойство на умножението спрямо събирането имаме:
5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.
Тази трансформация се нарича отваряне на скоби.
Пример 4 . Изчислете стойността на израза 125 * 24 * 283 по удобен начин.
Решение. Ние имаме:
125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .
Пример 5 . Извършете умножението: 3 дни 18 часа * 6.
Решение. Ние имаме:
3 дни 18 часа * 6 = 18 дни 108 часа = 22 дни 12 часа.
При решаването на примера е използвано разпределителното свойство на умножението спрямо събирането:
3 дни 18 часа * 6 = (3 дни + 18 часа) * 6 = 3 дни * 6 + 18 часа * 6 = 18 дни + 108 часа = 18 дни + 96 часа + 12 часа = 18 дни + 4 дни + 12 часа = 22 дни 12 часа.