Линейна зависимост и линейна независимост на векторите.
Основа на векторите. Афинна координатна система

В аулата има количка с шоколадови бонбони, а всеки посетител днес ще получи сладка двойка - аналитична геометрия с линейна алгебра. Тази статия ще засегне едновременно два раздела от висшата математика и ще видим как те съществуват съвместно в една обвивка. Направете си почивка, изяжте Twix! ...по дяволите, какви глупости. Въпреки че, добре, няма да вкарам, в крайна сметка трябва да имате положително отношение към ученето.

Линейна зависимост на векторите, линейна векторна независимост, векторна основаи други термини имат не само геометрично тълкуване, но преди всичко алгебрично значение. Самото понятие „вектор“ от гледна точка на линейната алгебра не винаги е „обикновеният“ вектор, който можем да изобразим на равнина или в пространството. Не е нужно да търсите далеч за доказателство, опитайте се да начертаете вектор от петизмерно пространство . Или векторът на времето, за който току-що отидох в Gismeteo: съответно температура и атмосферно налягане. Примерът, разбира се, е неправилен от гледна точка на свойствата на векторното пространство, но въпреки това никой не забранява формализиране на тези параметри като вектор. Полъх на есен...

Не, няма да ви отегчавам с теория, линейни векторни пространства, задачата е да разбирамопределения и теореми. Новите термини (линейна зависимост, независимост, линейна комбинация, базис и т.н.) се отнасят за всички вектори от алгебрична гледна точка, но ще бъдат дадени геометрични примери. Така всичко е просто, достъпно и ясно. В допълнение към задачите от аналитичната геометрия ще разгледаме и някои типични задачи от алгебрата. За да овладеете материала, препоръчително е да се запознаете с уроците Вектори за манекениИ Как да изчислим детерминантата?

Линейна зависимост и независимост на равнинните вектори.
Равнинна основа и афинна координатна система

Нека разгледаме равнината на вашето компютърно бюро (само маса, нощно шкафче, под, таван, каквото искате). Задачата ще се състои от следните действия:

1) Изберете равнинна основа. Грубо казано, плотът има дължина и ширина, така че е интуитивно, че ще са необходими два вектора за изграждане на основата. Един вектор явно не е достатъчен, три вектора са твърде много.

2) Въз основа на избраната основа зададена координатна система(координатна мрежа), за да зададете координати на всички обекти на масата.

Не се учудвайте, в началото обясненията ще са на пръсти. Освен това на вашия. Моля поставете левия показалецна ръба на плота, така че да гледа към монитора. Това ще бъде вектор. Сега място десен малък пръстна ръба на масата по същия начин - така че да е насочен към екрана на монитора. Това ще бъде вектор. Усмихни се, изглеждаш страхотно! Какво можем да кажем за векторите? Вектори на данни колинеарен, което означава линеенизразени един чрез друг:
, добре, или обратното: , където е някакво число, различно от нула.

Можете да видите снимка на това действие в клас. Вектори за манекени, където обясних правилото за умножение на вектор по число.

Пръстите ви ще поставят ли основата върху равнината на компютърното бюро? Очевидно не. Колинеарните вектори пътуват напред и назад напречно сампосока, а равнината има дължина и ширина.

Такива вектори се наричат линейно зависими.

Справка: Думите "линеен", "линеен" означават факта, че в математическите уравнения и изрази няма квадрати, кубове, други степени, логаритми, синуси и др. Има само линейни (1-ва степен) изрази и зависимости.

Два равнинни вектора линейно зависимиако и само ако са колинеарни.

Скръстете пръсти на масата, така че да има ъгъл между тях, различен от 0 или 180 градуса. Два равнинни векторалинеен независими тогава и само ако не са колинеарни. И така, основата е получена. Няма нужда да се притеснявате, че основата се оказа „изкривена“ с неперпендикулярни вектори с различна дължина. Съвсем скоро ще видим, че не само ъгъл от 90 градуса е подходящ за построяването му, а не само единични вектори с еднаква дължина

Всякаквиравнинен вектор единственият начинсе разширява според основата:
, където са реални числа. Извикват се номерата векторни координатив тази основа.

Също така се казва, че векторпредставен като линейна комбинациябазисни вектори. Тоест изразът се нарича векторно разлаганепо основаили линейна комбинациябазисни вектори.

Например, можем да кажем, че векторът е разложен по ортонормална основа на равнината, или можем да кажем, че е представен като линейна комбинация от вектори.

Да формулираме определение за основаформално: Основата на самолетасе нарича двойка линейно независими (неколинеарни) вектори, , докато всякаквиплоският вектор е линейна комбинация от базисни вектори.

Съществен момент от дефиницията е фактът, че векторите са взети в определен ред. Бази – това са две напълно различни бази! Както се казва, не можете да замените малкия пръст на лявата си ръка вместо малкия пръст на дясната си ръка.

Разбрахме основата, но не е достатъчно да зададем координатна мрежа и да зададем координати на всеки елемент на компютърното бюро. Защо не е достатъчно? Векторите са свободни и се скитат из цялата равнина. И така, как да зададете координати на онези малки мръсни петна по масата, останали от един див уикенд? Необходима е отправна точка. И такава забележителност е точка, позната на всички - произходът на координатите. Нека разберем координатната система:

Ще започна с „училищната“ система. Още във встъпителния урок Вектори за манекениПодчертах някои разлики между правоъгълната координатна система и ортонормалната основа. Ето стандартната снимка:

Когато говорят за правоъгълна координатна система, тогава най-често те означават началото, координатните оси и мащаба по осите. Опитайте да напишете „правоъгълна координатна система“ в търсачката и ще видите, че много източници ще ви разкажат за познатите от 5-6 клас координатни оси и как да начертаете точки върху равнина.

От друга страна, изглежда, че една правоъгълна координатна система може да бъде дефинирана от гледна точка на ортонормална основа. И това е почти вярно. Формулировката е следната:

произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна равнинна координатна система . Тоест правоъгълната координатна система определеносе определя от една точка и два единични ортогонални вектора. Ето защо виждате чертежа, който дадох по-горе - в геометричните задачи често (но не винаги) се чертаят както вектори, така и координатни оси.

Мисля, че всеки разбира това с помощта на точка (начало) и ортонормална основа ВСЯКА ТОЧКА от равнината и ВСЕКИ ВЕКТОР от равнинатамогат да се задават координати. Образно казано, „всичко в самолета може да бъде номерирано“.

Изисква ли се координатните вектори да бъдат единици? Не, те могат да имат произволна ненулева дължина. Да разгледаме точка и два ортогонални вектора с произволна ненулева дължина:

Такава основа се нарича ортогонален. Началото на координатите с вектори се определя от координатна мрежа и всяка точка от равнината, всеки вектор има своите координати в дадена основа. Например, или. Очевидното неудобство е, че координатните вектори в общ случайимат различни дължини, различни от единица. Ако дължините са равни на единица, тогава се получава обичайната ортонормална основа.

! Забележка : в ортогоналната основа, както и по-долу в афинните основи на равнината и пространството, се разглеждат единици по осите УСЛОВНО. Например, една единица по оста x съдържа 4 см, една единица по ординатната ос съдържа 2 см. Тази информация е достатъчна, за да преобразувате „нестандартните“ координати в „нашите обичайни сантиметри“.

И вторият въпрос, на който всъщност вече беше отговорено, е дали ъгълът между базисните вектори трябва да е равен на 90 градуса? не! Както гласи дефиницията, базисните вектори трябва да бъдат само неколинеарни. Съответно ъгълът може да бъде всичко освен 0 и 180 градуса.

Точка на равнината, наречена произход, И неколинеарнивектори, , комплект афинна равнинна координатна система :

Понякога се нарича такава координатна система кососистема. Като примери чертежът показва точки и вектори:

Както разбирате, афинната координатна система е още по-малко удобна; формулите за дължините на векторите и сегментите, които обсъдихме във втората част на урока, не работят в нея Вектори за манекени, много вкусни формули, свързани с скаларно произведение на вектори. Но правилата за добавяне на вектори и умножаване на вектор по число, формулите за разделяне на отсечка в това отношение, както и някои други видове задачи, които скоро ще разгледаме, са валидни.

И изводът е, че най-удобният частен случай на афинна координатна система е декартовата правоъгълна система. Ето защо най-често трябва да я виждаш, скъпа моя. ...Всичко в този живот обаче е относително - има много ситуации, в които косият ъгъл (или някой друг напр. полярен) координатна система. И хуманоидите може да харесат такива системи =)

Да преминем към практическата част. Всички задачи в този урок са валидни както за правоъгълната координатна система, така и за общия афинен случай. Тук няма нищо сложно, целият материал е достъпен дори за ученик.

Как да определим колинеарност на равнинни вектори?

Типично нещо. За два равнинни вектора са били колинеарни, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционалниПо същество това е детайлизиране на очевидната връзка координата по координата.

Пример 1

а) Проверете дали векторите са колинеарни .
б) Векторите образуват ли база? ?

Решение:
а) Нека разберем дали има за вектори коефициент на пропорционалност, така че да са изпълнени равенствата:

Определено ще ви разкажа за „шампанския“ вариант на прилагане на това правило, който работи доста добре на практика. Идеята е веднага да съставите пропорцията и да видите дали е правилна:

Нека направим пропорция от съотношенията на съответните координати на векторите:

Нека съкратим:
, следователно съответните координати са пропорционални, следователно,

Връзката може да бъде направена обратното, това е еквивалентен вариант:

За самопроверка можете да използвате факта, че колинеарните вектори са линейно изразени един през друг. В този случай равенствата са налице . Тяхната валидност може лесно да се провери чрез елементарни операции с вектори:

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Изследваме векторите за колинеарност . Нека създадем система:

От първото уравнение следва, че , от второто уравнение следва, че , Което означава системата е непоследователна(няма решения). Следователно съответните координати на векторите не са пропорционални.

Заключение: векторите са линейно независими и образуват базис.

Опростена версия на решението изглежда така:

Нека направим пропорция от съответните координати на векторите :
, което означава, че тези вектори са линейно независими и образуват базис.

Обикновено тази опция не се отхвърля от проверяващите, но възниква проблем в случаите, когато някои координати са равни на нула. като това: . Или така: . Или така: . Как да работим с пропорцията тук? (наистина не можете да разделите на нула). Поради тази причина нарекох опростеното решение „шампанско“.

отговор:а), б) форма.

Малък творчески пример за вашето собствено решение:

Пример 2

При каква стойност на параметъра са векторите колинеарни ли ще са?

В примерния разтвор параметърът се намира чрез пропорцията.

Има елегантен алгебричен начин за проверка на векторите за колинеарност. Нека систематизираме знанията си и ги добавим като пета точка:

За два равнинни вектора следните твърдения са еквивалентни:

2) векторите образуват базис;
3) векторите не са колинеарни;

+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

съответно следните противоположни твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно зависими;
2) векторите не образуват базис;
3) векторите са колинеарни;
4) векторите могат да бъдат линейно изразени един през друг;
+ 5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е равна на нула.

Наистина, наистина се надявам, че вече сте разбрали всички термини и твърдения, които сте срещали.

Нека разгледаме по-отблизо новата, пета точка: два равнинни вектора са колинеарни тогава и само тогава, когато детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула:. За да приложите тази функция, разбира се, трябва да можете намерете детерминанти.

Нека решимПример 1 по втория начин:

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите :
, което означава, че тези вектори са колинеарни.

б) Два равнинни вектора образуват базис, ако не са колинеарни (линейно независими). Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати :
, което означава, че векторите са линейно независими и образуват базис.

отговор:а), б) форма.

Изглежда много по-компактно и по-красиво от решение с пропорции.

С помощта на разглеждания материал е възможно да се установи не само колинеарността на векторите, но и да се докаже паралелността на сегменти и прави линии. Нека разгледаме няколко задачи с конкретни геометрични фигури.

Пример 3

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е успоредник.

Доказателство: Няма нужда да се изгражда чертеж в задачата, тъй като решението ще бъде чисто аналитично. Нека си припомним дефиницията на успоредник:
Успоредник Нарича се четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две.

Следователно е необходимо да се докаже:
1) успоредност на противоположните страни и;
2) паралелизъм на противоположните страни и.

Доказваме:

1) Намерете векторите:

2) Намерете векторите:

Резултатът е един и същ вектор („според училището” – равни вектори). Колинеарността е доста очевидна, но е по-добре решението да се формализира ясно, с подреждане. Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:
, което означава, че тези вектори са колинеарни и .

Заключение: Противоположните страни на четириъгълник са успоредни по двойки, което означава, че той е успоредник по дефиниция. Q.E.D.

Още добри и различни фигури:

Пример 4

Дадени са върховете на четириъгълник. Докажете, че четириъгълникът е трапец.

За по-строга формулировка на доказателството е по-добре, разбира се, да получите дефиницията на трапец, но е достатъчно просто да си спомните как изглежда.

Това е задача, която трябва да решите сами. Пълно решение в края на урока.

И сега е време бавно да се преместим от самолета в космоса:

Как да определим колинеарността на космическите вектори?

Правилото е много подобно. За да бъдат колинеарни два пространствени вектора, е необходимо и достатъчно съответните им координати да са пропорционални.

Пример 5

Разберете дали следните пространствени вектори са колинеарни:

А) ;
б)
V)

Решение:
а) Да проверим дали има коефициент на пропорционалност за съответните координати на векторите:

Системата няма решение, което означава, че векторите не са колинеарни.

„Опростено“ се формализира чрез проверка на пропорцията. В този случай:
– съответните координати не са пропорционални, което означава, че векторите не са колинеарни.

отговор:векторите не са колинеарни.

b-c) Това са точки за независимо решение. Опитайте го по два начина.

Съществува метод за проверка на пространствени вектори за колинеарност чрез детерминанта от трети ред; този метод е разгледан в статията Векторно произведение на вектори.

Подобно на равнинния случай, разглежданите инструменти могат да се използват за изследване на паралелността на пространствени сегменти и прави линии.

Добре дошли във втория раздел:

Линейна зависимост и независимост на векторите в тримерното пространство.
Пространствен базис и афинна координатна система

Много от моделите, които изследвахме в самолета, ще бъдат валидни и за космоса. Опитах се да минимизирам теоретичните бележки, тъй като лъвският дял от информацията вече е сдъвкан. Все пак препоръчвам да прочетете внимателно уводната част, тъй като ще се появят нови термини и понятия.

Сега, вместо равнината на компютърното бюро, ние изследваме триизмерното пространство. Първо, нека създадем неговата основа. Някой сега е на закрито, някой е на открито, но във всеки случай не можем да избягаме от три измерения: ширина, дължина и височина. Следователно, за да се изгради основа, ще са необходими три пространствени вектора. Един или два вектора не са достатъчни, четвъртият е излишен.

И отново загряваме на пръстите си. Моля, вдигнете ръката си нагоре и я разтворете в различни посоки палец, показалец и среден пръст. Това ще бъдат вектори, те гледат в различни посоки, имат различни дължини и имат различни ъгли помежду си. Поздравления, основата на триизмерното пространство е готова! Между другото, няма нужда да демонстрирате това на учителите, колкото и да въртите пръстите си, но няма бягство от определения =)

След това нека си зададем един важен въпрос: три вектора формират ли основата на триизмерното пространство? Моля, натиснете здраво с три пръста горната част на компютърното бюро. какво стана Три вектора са разположени в една равнина и, грубо казано, сме загубили едно от измеренията - височината. Такива вектори са компланарени съвсем очевидно е, че основата на триизмерното пространство не е създадена.

Трябва да се отбележи, че копланарните вектори не трябва да лежат в една и съща равнина, те могат да бъдат в успоредни равнини (просто не правете това с пръсти, само Салвадор Дали е правил това =)).

Определение: вектори се наричат компланарен, ако има равнина, на която са успоредни. Тук е логично да добавим, че ако такава равнина не съществува, то векторите няма да са копланарни.

Три копланарни вектора винаги са линейно зависими, тоест те са линейно изразени един през друг. За простота, нека отново си представим, че те лежат в една и съща равнина. Първо, векторите не само са копланарни, те могат да бъдат и колинеарни, тогава всеки вектор може да бъде изразен чрез всеки вектор. Във втория случай, ако например векторите не са колинеарни, тогава третият вектор се изразява чрез тях по уникален начин: (а защо е лесно да се досетите от материалите в предишния раздел).

Обратното също е вярно: три некомпланарни вектора винаги са линейно независими, тоест те по никакъв начин не се изразяват един през друг. И очевидно само такива вектори могат да формират основата на триизмерното пространство.

Определение: Основата на триизмерното пространствосе нарича тройка от линейно независими (некомпланарни) вектори, взети в определен реди всеки вектор на пространството единственият начинсе разлага върху даден базис, където са координатите на вектора в този базис

Нека ви напомня, че можем също да кажем, че векторът е представен във формата линейна комбинациябазисни вектори.

Концепцията за координатна система се въвежда по абсолютно същия начин, както за равнинния случай и са достатъчни всякакви три линейно независими вектора:

произход, И некомпланарнивектори, взети в определен ред, комплект афинна координатна система на тримерното пространство :

Разбира се, координатната мрежа е „наклонена“ и неудобна, но въпреки това изградената координатна система ни позволява определеноопределяне на координатите на всеки вектор и координатите на всяка точка в пространството. Подобно на равнината, някои формули, които вече споменах, няма да работят в афинната координатна система на пространството.

Най-познатият и удобен специален случай на афинна координатна система, както всички предполагат, е правоъгълна пространствена координатна система:

Точка в пространството, наречена произход, И ортонормалнаосновата е поставена Декартова правоъгълна пространствена координатна система . Позната снимка:

Преди да преминем към практически задачи, нека отново систематизираме информацията:

За три пространствени вектора следните твърдения са еквивалентни:
1) векторите са линейно независими;
2) векторите образуват базис;
3) векторите не са компланарни;
4) векторите не могат да бъдат линейно изразени един през друг;
5) детерминантата, съставена от координатите на тези вектори, е различна от нула.

Мисля, че противоположните твърдения са разбираеми.

Линейната зависимост/независимост на пространствените вектори традиционно се проверява с помощта на детерминанта (точка 5). Останалите практически задачи ще бъдат с подчертано алгебричен характер. Време е да окачите геометричната пръчка и да размахате бейзболната бухалка на линейната алгебра:

Три вектора на пространствотоса компланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на дадените вектори, е равна на нула: .

Бих искал да насоча вниманието ви към малък технически нюанс: координатите на векторите могат да бъдат записани не само в колони, но и в редове (стойността на детерминантата няма да се промени поради това - вижте свойствата на детерминантите). Но е много по-добре в колони, тъй като е по-полезно за решаване на някои практически проблеми.

За онези читатели, които малко са забравили методите за изчисляване на детерминантите или може би изобщо не ги разбират, препоръчвам един от най-старите ми уроци: Как да изчислим детерминантата?

Пример 6

Проверете дали следните вектори формират основата на триизмерното пространство:

Решение: Всъщност цялото решение се свежда до изчисляване на детерминантата.

а) Нека изчислим детерминантата, съставена от координатите на векторите (детерминантата се разкрива в първия ред):

, което означава, че векторите са линейно независими (не копланарни) и формират основата на триизмерното пространство.

отговор: тези вектори формират основа

б) Това е точка за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Има и творчески задачи:

Пример 7

При каква стойност на параметъра векторите ще бъдат копланарни?

Решение: Векторите са копланарни тогава и само ако детерминантата, съставена от координатите на тези вектори е равна на нула:

По същество трябва да решите уравнение с детерминанта. Ние се спускаме върху нули като хвърчила върху тушканчета - най-добре е да отворите детерминанта във втория ред и веднага да се отървете от минусите:

Извършваме допълнителни опростявания и свеждаме въпроса до най-простото линейно уравнение:

отговор: при

Тук е лесно да проверите; трябва да замените получената стойност в оригиналната детерминанта и да се уверите, че , отваряйки го отново.

В заключение, нека разгледаме друг типичен проблем, който е по-алгебричен по природа и традиционно се включва в курса по линейна алгебра. Толкова често срещано, че заслужава отделна тема:

Докажете, че 3 вектора формират основата на триизмерното пространство
и намерете координатите на 4-ия вектор в тази основа

Пример 8

Дадени са вектори. Покажете, че векторите образуват базис в тримерното пространство и намерете координатите на вектора в този базис.

Решение: Първо, нека се справим с условието. По условие са дадени четири вектора и, както виждате, те вече имат координати в някакъв базис. Каква е тази база, не ни интересува. Интересно е следното: три вектора може да образуват нова основа. И първият етап напълно съвпада с решението на пример 6, необходимо е да се провери дали векторите са наистина линейно независими;

Нека изчислим детерминантата, съставена от векторни координати:

, което означава, че векторите са линейно независими и формират основата на триизмерното пространство.

! важно : векторни координати Задължителнозапишете в колонидетерминанта, а не в низове. В противен случай ще има объркване в по-нататъшния алгоритъм за решение.

В тази статия ще разгледаме:

• какво представляват колинеарните вектори;
• какви са условията за колинеарност на векторите;
• какви свойства съществуват на колинеарните вектори;
• каква е линейната зависимост на колинеарните вектори.

Определение 1

Колинеарните вектори са вектори, които са успоредни на една права или лежат на една права.

Пример 1

Условия за колинеарност на вектори

Два вектора са колинеарни, ако някое от следните условия е вярно:

• състояние 1 . Векторите a и b са колинеарни, ако има число λ такова, че a = λ b;
• условие 2 . Векторите a и b са колинеарни с еднакви координатни съотношения:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• състояние 3 . Векторите a и b са колинеарни, при условие че кръстосаното произведение и нулевият вектор са равни:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Бележка 1

Условие 2 не е приложимо, ако една от векторните координати е нула.

Бележка 2

Условие 3 се отнася само за онези вектори, които са посочени в пространството.

Примери за задачи за изследване на колинеарността на вектори

Пример 1

Проверяваме векторите a = (1; 3) и b = (2; 1) за колинеарност.

Как да решим?

В този случай е необходимо да се използва второто условие за колинеарност. За дадени вектори изглежда така:

Равенството е невярно. От това можем да заключим, че векторите a и b не са колинеарни.

отговор : a | | b

Пример 2

Каква стойност m на вектора a = (1; 2) и b = (- 1; m) е необходима, за да бъдат векторите колинеарни?

Как да решим?

Използвайки второто условие за колинеарност, векторите ще бъдат колинеарни, ако техните координати са пропорционални:

Това показва, че m = - 2.

отговор: m = - 2 .

Критерии за линейна зависимост и линейна независимост на векторни системи

Теорема

Система от вектори във векторно пространство е линейно зависима само ако един от векторите на системата може да бъде изразен чрез останалите вектори на тази система.

Доказателство

Нека системата e 1 , e 2 , . . . , e n е линейно зависим. Нека запишем линейна комбинация от тази система, равна на нулевия вектор:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

при което поне един от комбинираните коефициенти не е равен на нула.

Нека a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , н.

Разделяме двете страни на равенството на ненулев коефициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Да обозначим:

A k - 1 a m , където m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В този случай:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

От това следва, че един от векторите на системата се изразява чрез всички останали вектори на системата. Което трябваше да се докаже (и т.н.).

Адекватност

Нека един от векторите е линейно изразен през всички останали вектори на системата:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Преместваме вектора e k в дясната страна на това равенство:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Тъй като коефициентът на вектора e k е равен на - 1 ≠ 0, получаваме нетривиално представяне на нула чрез система от вектори e 1, e 2, . . . , e n , а това от своя страна означава, че тази система от вектори е линейно зависима. Което трябваше да се докаже (и т.н.).

Последица:

• Система от вектори е линейно независима, когато никой от нейните вектори не може да бъде изразен чрез всички други вектори на системата.
• Система от вектори, която съдържа нулев вектор или два равни вектора, е линейно зависима.

Свойства на линейно зависимите вектори

1. За 2- и 3-мерни вектори е изпълнено следното условие: два линейно зависими вектора са колинеарни. Два колинеарни вектора са линейно зависими.
2. За тримерните вектори е изпълнено следното условие: три линейно зависими вектора са компланарни. (3 копланарни вектора са линейно зависими).
3. За n-мерните вектори е изпълнено следното условие: n + 1 вектора са винаги линейно зависими.

Примери за решаване на задачи, включващи линейна зависимост или линейна независимост на вектори

Пример 3

Нека проверим векторите a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 за линейна независимост.

Решение. Векторите са линейно зависими, тъй като размерът на векторите е по-малък от броя на векторите.

Пример 4

Нека проверим векторите a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 за линейна независимост.

Решение. Намираме стойностите на коефициентите, при които линейната комбинация ще бъде равна на нулевия вектор:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записваме векторното уравнение в линейна форма:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ние решаваме тази система, използвайки метода на Гаус:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

От 2-ри ред изваждаме 1-ви, от 3-ти - 1-ви:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

От 1-ви ред изваждаме 2-ри, към 3-ти добавяме 2-ри:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

От решението следва, че системата има много решения. Това означава, че има ненулева комбинация от стойности на такива числа x 1, x 2, x 3, за които линейната комбинация от a, b, c е равна на нулевия вектор. Следователно векторите a, b, c са линейно зависими. ​​​​​​​

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Определение 1. Линейна комбинация от вектори е сумата от произведенията на тези вектори и скалари
:

Определение 2. Векторна система
се нарича линейно зависима система, ако тяхната линейна комбинация (2.8) е нула:

и сред числата
има поне един, който е различен от нула.

Определение 3. Вектори
се наричат ​​линейно независими, ако тяхната линейна комбинация (2.8) изчезва само в случай, че всички числа.

От тези дефиниции могат да се получат следните заключения.

Следствие 1. В линейно зависима система от вектори поне един вектор може да бъде изразен като линейна комбинация от останалите.

Доказателство. Нека (2.9) е изпълнено и за определеност нека коеф
. Тогава имаме:
. Имайте предвид, че обратното също е вярно.

Следствие 2.Ако системата от вектори
съдържа нулев вектор, тогава тази система е (по необходимост) линейно зависима - доказателството е очевидно.

Следствие 3. Ако сред пвектори
всякакви к(
) векторите са линейно зависими, тогава това е всичко пвекторите са линейно зависими (ще пропуснем доказателството).

2 0 . Линейни комбинации от два, три и четири вектора. Нека разгледаме въпросите за линейната зависимост и независимостта на векторите върху права линия, равнина и в пространството. Нека представим съответните теореми.

Теорема 1. За да са линейно зависими два вектора е необходимо и достатъчно те да са колинеарни.

Необходимост. Нека векторите И линейно зависими. Това означава, че тяхната линейна комбинация
=0 и (за по-голяма яснота)
. Това предполага равенството
, и (по дефиниция на умножаване на вектор по число) вектори И колинеарен.

Адекватност. Нека векторите И колинеарен ( ║) (приемаме, че са различни от нулевия вектор; в противен случай линейната им зависимост е очевидна).

По теорема (2.7) (виж §2.1, т. 2 0) тогава
такова, че
, или
– линейната комбинация е равна на нула, а коефициентът при е равно на 1 – вектори И линейно зависими.

От тази теорема следва следното следствие.

Последица. Ако векторите И не са колинеарни, тогава те са линейно независими.

Теорема 2. За да бъдат линейно зависими три вектора е необходимо и достатъчно те да са копланарни.

Необходимост. Нека векторите ,И линейно зависими. Нека покажем, че те са компланарни.

От определението за линейна зависимост на векторите следва съществуването на числа
И така че линейната комбинация
, и в същото време (за да бъдем конкретни)
. Тогава от това равенство можем да изразим вектора :=
, тоест векторът равен на диагонала на успоредник, построен върху векторите от дясната страна на това равенство (фиг. 2.6). Това означава, че векторите ,И лежат в една и съща равнина.

Адекватност. Нека векторите ,И компланарен. Нека покажем, че те са линейно зависими.

Нека изключим случая на колинеарност на която и да е двойка вектори (защото тогава тази двойка е линейно зависима и съгласно следствие 3 (виж параграф 1 0) и трите вектора са линейно зависими). Имайте предвид, че това предположение също така изключва съществуването на нулев вектор сред тези три.

Нека преместим три компланарни вектора в една равнина и да ги доведем до общ начален пункт. През края на вектора начертайте линии, успоредни на векторите И ; получаваме векторите И (фиг. 2.7) – съществуването им се осигурява от факта, че векторите И вектори, които не са колинеарни по предположение. От това следва, че векторът =+. Пренаписвайки това равенство във формата (–1) ++=0, заключаваме, че векторите ,И линейно зависими.

Две следствия следват от доказаната теорема.

Следствие 1. Нека И неколинеарни вектори, вектор – произволни, лежащи в равнината, определена от векторите И , вектор. След това има числа И такова, че

=+. (2.10)

Следствие 2. Ако векторите ,И не са компланарни, тогава те са линейно независими.

Теорема 3. Всеки четири вектора са линейно зависими.

Ще пропуснем доказателството; с някои модификации тя копира доказателството на теорема 2. Нека дадем следствие от тази теорема.

Последица. За всякакви некомпланарни вектори ,,и всеки вектор
И такова, че

. (2.11)

Коментирайте. За вектори в (триизмерно) пространство понятията за линейна зависимост и независимост имат, както следва от теореми 1-3 по-горе, просто геометрично значение.

Нека има два линейно зависими вектора И . В този случай единият от тях е линейна комбинация от втория, тоест той просто се различава от него с числов фактор (например,
). Геометрично това означава, че и двата вектора са на една права; те могат да имат еднакви или противоположни посоки (фиг. 2.8 xx).

Ако два вектора са разположени под ъгъл един спрямо друг (фиг. 2.9 xx), тогава в този случай единият от тях не може да бъде получен чрез умножаване на другия по число - такива вектори са линейно независими. Следователно линейната независимост на два вектора И означава, че тези вектори не могат да бъдат положени на една права линия.

Нека разберем геометричния смисъл на линейната зависимост и независимост на три вектора.

Нека векторите ,И са линейно зависими и нека (за да бъдем конкретни) вектора е линейна комбинация от вектори И , тоест разположени в равнината, съдържаща векторите И . Това означава, че векторите ,И лежат в една и съща равнина. Обратното също е вярно: ако векторите ,И лежат в една равнина, то те са линейно зависими.

По този начин векторите ,И са линейно независими тогава и само ако не лежат в една и съща равнина.

3 0 . Понятието основа. Едно от най-важните понятия в линейната и векторна алгебра е понятието базис. Нека въведем някои определения.

Определение 1. Двойка вектори се нарича подредена, ако е посочено кой вектор от тази двойка се счита за първи и кой за втори.

Определение 2.Поръчан чифт ,неколинеарни вектори се нарича базис върху равнината, определена от дадените вектори.

Теорема 1. Всеки вектор на равнината може да се представи като линейна комбинация от базисната система от вектори ,:

(2.12)

и това представяне е единственото.

Доказателство. Нека векторите И образуват основа. След това всеки вектор могат да бъдат представени във формата
.

За да докажете уникалност, приемете, че има още едно разлагане
. Тогава имаме = 0 и поне една от разликите е различна от нула. Последното означава, че векторите И линейно зависими, тоест колинеарни; това противоречи на твърдението, че те формират основа.

Но тогава има само разлагане.

Определение 3. Тройка от вектори се нарича подредена, ако е посочено кой вектор се счита за първи, кой е втори и кой е трети.

Определение 4. Подредена тройка от некомпланарни вектори се нарича базис в пространството.

Теоремата за разлагане и уникалност също е в сила тук.

Теорема 2. Всеки вектор може да се представи като линейна комбинация от базисната векторна система ,,:

(2.13)

и това представяне е уникално (ще пропуснем доказателството на теоремата).

В разширения (2.12) и (2.13) количествата се наричат ​​векторни координати в даден базис (по-точно по афинни координати).

С фиксирана основа
И
можете да пишете
.

Например, ако е дадена основата
и се дава това
, тогава това означава, че има представяне (разлагане)
.

4 0 . Линейни операции върху вектори в координатна форма. Въвеждането на базис позволява линейните операции върху вектори да бъдат заменени с обикновени линейни операции върху числа - координатите на тези вектори.

Нека се даде някаква основа
. Очевидно уточняването на векторните координати в тази база напълно определя самия вектор. Прилагат се следните предложения:

а) два вектора
И
са равни тогава и само ако съответните им координати са равни:

б) при умножаване на вектор
на брой неговите координати се умножават по това число:

; (2.15)

в) при добавяне на вектори се добавят съответните им координати:

Ние ще пропуснем доказателствата за тези свойства; Нека докажем свойство b) само като пример. Имаме

==

Коментирайте. В космоса (в самолета) можете да избирате безкрайно много бази.

Нека дадем пример за преход от една база към друга и да установим връзки между векторните координати в различни бази.

Пример 1. В основната система
дадени са три вектора:
,
И
. В основата ,,вектор има разлагане. Намерете векторни координати в основата
.

Решение. Имаме разширения:
,
,
; следователно,
=
+2
+
= =
, т.е
в основата
.

Пример 2. Пуснете някаква основа
четири вектора са дадени чрез техните координати:
,
,
И
.

Разберете дали векторите се образуват
основа; ако отговорът е положителен, намерете разлагането на вектора в тази основа.

Решение. 1) векторите образуват основа, ако са линейно независими. Нека направим линейна комбинация от вектори
(
) и разберете при какво
И отива на нула:
=0. Ние имаме:

=
+
+
=

Като дефинираме равенството на векторите в координатна форма, получаваме следната система от (линейни хомогенни алгебрични) уравнения:
;
;
, чийто определител
=1
, тоест системата има (само) тривиално решение
. Това означава линейна независимост на векторите
и следователно те формират основа.

2) разширете вектора в тази основа. Ние имаме: =
или в координатна форма.

Преминавайки към равенството на векторите в координатна форма, получаваме система от линейни нехомогенни алгебрични уравнения:
;
;
. Решавайки го (например, използвайки правилото на Cramer), получаваме:
,
,
и (
)
. Имаме векторно разлагане в основата
:=.

5 0 . Проекция на вектор върху ос. Свойства на проекциите.Нека има някаква ос л, тоест права линия с избрана посока върху нея и нека е даден вектор Нека дефинираме понятието векторна проекция на ос л.

Определение. Векторна проекция на ос лпроизведението на модула на този вектор и косинуса на ъгъла между оста се нарича ли вектор (фиг. 2.10):

. (2.17)

Следствие от това определение е твърдението, че равните вектори имат равни проекции (на една и съща ос).

Нека отбележим свойствата на проекциите.

1) проекция на сумата от вектори върху някаква ос лравна на сумата от проекциите на членовете на векторите върху една и съща ос:

2) проекцията на произведението на скалар от вектор е равна на произведението на този скалар чрез проекцията на вектора върху същата ос:

=
. (2.19)

Последица. Проекцията на линейна комбинация от вектори върху оста е равна на линейната комбинация от техните проекции:

Ще пропуснем доказателствата за свойствата.

6 0 . Правоъгълна декартова координатна система в пространството.Разлагане на вектор в единични вектори на осите.Нека за основа са избрани три взаимно перпендикулярни единични вектора; въвеждаме специални означения за тях
. Като постави началото им в точка О, ще насочим по тях (в съответствие с орт
) координатни оси вол,ОйиО z(ос с положителна посока, начало и избрана върху нея единица за дължина се нарича координатна ос).

Определение. Подредена система от три взаимно перпендикулярни координатни оси с общо начало и обща единица за дължина се нарича правоъгълна декартова координатна система в пространството.

ос вол наречена абсцисната ос, Ой– ординатната ос uO z – апликатор за оси.

Нека се заемем с разширяването на произволен вектор в базис
. От теоремата (вижте §2.2, параграф 3 0, (2.13)) следва, че
може да бъде уникално разширен върху основата
(тук вместо посочване на координати
използване
):

. (2.21)

Б (2,21)
есенция (декартови правоъгълни) векторни координати . Значението на декартовите координати се установява от следната теорема.

Теорема. Декартови правоъгълни координати
вектор са проекции на този вектор съответно върху оста вол,ОйиО z.

Доказателство.Нека поставим вектора до началото на координатната система – точка О. Тогава краят му ще съвпадне с някаква точка
.

Нека начертаем през точката
три равнини, успоредни на координатните равнини Ойз,OxzИ Окси(Фиг. 2.11 xx). Тогава получаваме:

. (2.22)

В (2.22) векторите
И
се наричат ​​векторни компоненти
по осите вол,ОйиО z.

Пропуснете
И ъглите, образувани от вектора, са посочени съответно с орт
. Тогава за компонентите получаваме следните формули:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

От (2.21), (2.22) (2.23) намираме:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

– координати
вектор има проекции на този вектор върху координатните оси вол,ОйиО zсъответно.

Коментирайте. Числа
се наричат ​​насочващи косинуси на вектора .

Векторен модул (диагонал на правоъгълен паралелепипед) се изчислява по формулата:

. (2.24)

От формули (2.23) и (2.24) следва, че косинусите на посоката могат да бъдат изчислени по формулите:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Повдигайки двете страни на всяко от равенствата в (2.25) и добавяйки лявата и дясната страна на получените равенства член по член, стигаме до формулата:

– не каквито и да е три ъгъла образуват определена посока в пространството, а само тези, чиито косинуси са свързани с отношение (2.26).

7 0 . Радиус вектор и координати на точка.Определяне на вектор по началото и края му. Нека въведем определение.

Определение. Радиус векторът (обозначен ) е векторът, свързващ началото Ос тази точка (фиг. 2.12 xx):

. (2.27)

Всяка точка в пространството съответства на определен радиус вектор (и обратно). По този начин точките в пространството са представени във векторната алгебра чрез техните радиус вектори.

Очевидно координатите
точки Мса проекции на неговия радиус вектор
по координатни оси:

(2.28’)

и по този начин

(2.28)

– радиус вектор на точка е вектор, чиито проекции върху координатните оси са равни на координатите на тази точка. Това води до два записа:
И
.

Получаваме формули за изчисляване на векторни проекции
по координатите на началото му – т.т
и край - точка
.

Нека начертаем радиус векторите
и вектор
(фиг. 2.13). Разбираме това

=
=(2.29)

– проекциите на вектора върху координатните единични вектори са равни на разликите между съответните координати на края и началото на вектора.

8 0 . Някои проблеми, свързани с декартови координати.

1) условия за колинеарност на векторите . От теоремата (виж §2.1, параграф 2 0, формула (2.7)) следва, че за колинеарност на вектори И е необходимо и достатъчно да се изпълни следната връзка: =. От това векторно равенство получаваме три равенства в координатна форма:, което предполага условието за колинеарност на векторите в координатна форма:

(2.30)

– за колинеарност на вектори И необходимо и достатъчно е съответните им координати да бъдат пропорционални.

2) разстояние между точките . От представянето (2.29) следва, че разстоянието
между точките
И
се определя по формулата

=
=. (2.31)

3) деление на сегмент в дадено съотношение . Нека се дават точки
И
и отношение
. Трябва да се намери
– координати на точки М (фиг. 2.14).

От условието за колинеарност на векторите имаме:
, където
И

. (2.32)

От (2.32) получаваме в координатна форма:

От формули (2.32’) можем да получим формули за изчисляване на координатите на средата на сегмента
, ако приемем
:

Коментирайте. Ще преброим сегментите
И
положителни или отрицателни в зависимост от това дали посоката им съвпада с посоката от началото
сегмент до края
, или не съвпада. След това, използвайки формули (2.32) – (2.32”), можете да намерите координатите на точката, разделяща сегмента
външно, тоест по такъв начин, че точката на разделяне Ме в продължението на сегмента
, а не вътре в него. В същото време, разбира се,
.

4) уравнение на сферичната повърхност . Нека създадем уравнение за сферична повърхност - геометричното място на точките
, равноотдалечени на разстояние от някакъв фиксиран център - точка
. Очевидно е, че в случая
и като се вземе предвид формула (2.31)

Уравнение (2.33) е уравнението на желаната сферична повърхност.

Задача 1.Разберете дали системата от вектори е линейно независима. Системата от вектори ще бъде определена от матрицата на системата, чиито колони се състоят от координатите на векторите.

.

Решение.Нека линейната комбинация равно на нула. Записвайки това равенство в координати, получаваме следната система от уравнения:

.

Такава система от уравнения се нарича триъгълна. Тя има само едно решение . Следователно векторите линейно независими.

Задача 2.Разберете дали системата от вектори е линейно независима.

.

Решение.Вектори линейно независими (вижте задача 1). Нека докажем, че векторът е линейна комбинация от вектори . Коефициенти на векторно разширение се определят от системата от уравнения

.

Тази система, подобно на триъгълната, има уникално решение.

Следователно системата от вектори линейно зависими.

Коментирайте. Извикват се матрици от същия тип като в задача 1 триъгълна , а в задача 2 – стъпаловидно триъгълно . Въпросът за линейната зависимост на система от вектори се решава лесно, ако матрицата, съставена от координатите на тези вектори, е стъпаловидно триъгълна. Ако матрицата няма специална форма, тогава използвайте елементарни преобразувания на низове , запазвайки линейните връзки между колоните, тя може да бъде намалена до стъпаловидна триъгълна форма.

Елементарни преобразувания на низовематрици (EPS) следните операции върху матрица се наричат:

1) пренареждане на низове;

2) умножаване на низ с различно от нула число;

3) добавяне на друг низ към низ, умножен по произволно число.

Задача 3.Намерете максималната линейно независима подсистема и изчислете ранга на системата от вектори

.

Решение.Нека намалим матрицата на системата, използваща EPS, до стъпаловидна триъгълна форма. За да обясним процедурата, обозначаваме реда с номера на матрицата, която трябва да се преобразува, със символа . Колоната след стрелката показва действията върху редовете на преобразуваната матрица, които трябва да бъдат извършени, за да се получат редовете на новата матрица.

.

Очевидно първите две колони на получената матрица са линейно независими, третата колона е тяхната линейна комбинация, а четвъртата не зависи от първите две. Вектори се наричат ​​основни. Те образуват максимална линейно независима подсистема на системата , а рангът на системата е три.

Основа, координати

Задача 4.Намерете основата и координатите на векторите в тази основа върху набора от геометрични вектори, чиито координати отговарят на условието .

Решение. Множеството е равнина, минаваща през началото. Произволен базис на равнина се състои от два неколинеарни вектора. Координатите на векторите в избрания базис се определят чрез решаване на съответната система от линейни уравнения.

Има друг начин за решаване на този проблем, когато можете да намерите основата с помощта на координатите.

Координати пространствата не са координати в равнината, тъй като са свързани с релацията , тоест не са независими. Независимите променливи и (те се наричат ​​свободни) уникално дефинират вектор в равнината и следователно могат да бъдат избрани като координати в . След това основата се състои от вектори, лежащи в и съответстващи на набори от свободни променливи И , тоест .

Задача 5.Намерете основата и координатите на векторите в тази база върху множеството от всички вектори в пространството, чиито нечетни координати са равни една на друга.

Решение. Нека изберем, както в предишната задача, координати в пространството.

защото , след това безплатни променливи еднозначно определят вектора от и следователно са координати. Съответният базис се състои от вектори.

Задача 6.Намерете основата и координатите на векторите в тази основа върху множеството от всички матрици на формата , Къде – произволни числа.

Решение. Всяка матрица от е уникално представима във формата:

Тази връзка е разширение на вектора от по отношение на основата
с координати .

Задача 7.Намерете размерността и основата на линейната обвивка на система от вектори

.

Решение.Използвайки EPS, трансформираме матрицата от координатите на системните вектори в стъпаловидна триъгълна форма.

.

Колони последните матрици са линейно независими, а колоните линейно изразено чрез тях. Следователно векторите образуват основа , И .

Коментирайте. Основа в е избран двусмислено. Например вектори също формират основа .

Изразяване на формата наречен линейна комбинация от вектори A 1 , A 2 ,...,A nс коефициенти λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Определяне на линейна зависимост на система от вектори

Векторна система A 1 , A 2 ,...,A nнаречен линейно зависими, ако има ненулев набор от числа λ 1, λ 2 ,...,λ n, в която линейната комбинация от вектори λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nравен на нулевия вектор, тоест системата от уравнения: има ненулево решение.
Набор от числа λ 1, λ 2 ,...,λ n е различно от нула, ако поне едно от числата λ 1, λ 2 ,...,λ n различен от нула.

Определяне на линейна независимост на система от вектори

Векторна система A 1 , A 2 ,...,A nнаречен линейно независими, ако линейната комбинация от тези вектори λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nравен на нулевия вектор само за нулев набор от числа λ 1, λ 2 ,...,λ n , тоест системата от уравнения: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θима уникално нулево решение.

Пример 29.1

Проверете дали дадена система от вектори е линейно зависима

Решение:

1. Съставяме система от уравнения:

2. Решаваме го по метода на Гаус. Трансформациите на Джорданано на системата са дадени в таблица 29.1. При пресмятането десните части на системата не се записват, тъй като са равни на нула и не се променят при трансформациите на Йордан.

3. От последните три реда на таблицата запишете разрешена система, еквивалентна на оригиналнатасистема:

4. Получаваме общото решение на системата:

5. След като зададете стойността на свободната променлива x 3 =1 по ваша преценка, получаваме определено ненулево решение X=(-3,2,1).

Отговор: По този начин, за ненулев набор от числа (-3,2,1), линейната комбинация от вектори е равна на нулевия вектор -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. следователно векторна система линейно зависима.

Свойства на векторните системи

Имот (1)
Ако една система от вектори е линейно зависима, тогава поне един от векторите е разширен по отношение на останалите и, обратно, ако поне един от векторите на системата е разширен по отношение на останалите, тогава системата от вектори е линейно зависим.

Имот (2)
Ако някоя подсистема от вектори е линейно зависима, тогава цялата система е линейно зависима.

Имот (3)
Ако една система от вектори е линейно независима, то всяка нейна подсистема е линейно независима.

Имот (4)
Всяка система от вектори, съдържаща нулев вектор, е линейно зависима.

Имот (5)
Система от m-измерни вектори винаги е линейно зависима, ако броят на векторите n е по-голям от тяхната размерност (n>m)

Основа на векторната система

Основата на векторната система A 1 , A 2 ,..., A n такава подсистема B 1 , B 2 ,...,B r се нарича(всеки от векторите B 1,B 2,...,B r е един от векторите A 1, A 2,..., A n), който отговаря на следните условия:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rлинейно независима система от вектори;
2. всеки вектор A j система A 1 , A 2 ,..., A n се изразява линейно чрез векторите B 1 , B 2 ,..., B r

r— броя на векторите, включени в основата.

Теорема 29.1 За единичния базис на система от вектори.

Ако система от m-мерни вектори съдържа m различни единични вектора E 1 E 2 ,..., E m , тогава те формират основата на системата.

Алгоритъм за намиране на базис на система от вектори

За да се намери основата на системата от вектори A 1 ,A 2 ,...,A n е необходимо:

• Създайте хомогенна система от уравнения, съответстваща на системата от вектори A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Донесете тази система