ОБЩИНСКО УЧЕБНО ЗАВЕДЕНИЕ

ГИМНАЗИЯ №6

по темата „Класическа дефиниция на вероятността“.

Изпълнено от ученик от 8 "Б" клас

Климантова Александра.

Учител по математика: Виденкина В. А.

Воронеж, 2008 г

Много игри използват зарове. Кубът има 6 страни, като на всяка страна има отбелязан различен брой точки - от 1 до 6. Играчът хвърля зара и гледа колко точки има от падналата страна (от страната, която се намира отгоре) . Доста често точките на лицето на куба се заменят със съответното число и тогава се говори за хвърляне на 1, 2 или 6. Хвърлянето на зар може да се счита за експеримент, експеримент, тест, а полученият резултат е резултатът от тест или елементарно събитие. Хората се интересуват от отгатване на настъпването на това или онова събитие и прогнозиране на неговия резултат. Какви прогнози могат да направят, когато хвърлят заровете? Например тези:

1. събитие А — хвърля се числото 1, 2, 3, 4, 5 или 6;
2. събитие B – хвърля се числото 7, 8 или 9;
3. събитие C - появява се числото 1.

Събитие А, предвидено в първия случай, определено ще се случи. По принцип се нарича събитие, което със сигурност ще се случи в даден опит надеждно събитие.

Събитие Б, предвидено във втория случай, никога няма да се случи, просто е невъзможно. По принцип се нарича събитие, което не може да се случи в даден опит невъзможно събитие.

И ще се случи ли събитие C, предвидено в третия случай, или не? Не можем да отговорим на този въпрос с пълна сигурност, тъй като 1 може да падне или да не падне. Извиква се събитие, което може или не може да се случи в даден опит случайно събитие.

Когато мислим за настъпването на надеждно събитие, най-вероятно няма да използваме думата „вероятно“. Например, ако днес е сряда, а утре е четвъртък, това е надеждно събитие. В сряда няма да кажем: „Сигурно утре е четвъртък“, а ще кажем кратко и ясно: „Утре е четвъртък“. Вярно е, че ако сме склонни към красиви фрази, можем да кажем това: „Със стопроцентова вероятност казвам, че утре е четвъртък“. Напротив, ако днес е сряда, то настъпването на петък утре е невъзможно събитие. Оценявайки това събитие в сряда, можем да кажем следното: „Сигурен съм, че утре не е петък. Или това: „Невероятно е, че утре е петък.“ Е, ако сме склонни към красиви фрази, можем да кажем следното: „Вероятността утре да е петък е нула“. И така, надеждно събитие е събитие, което се случва при определени условия със сто процента вероятност(т.е. срещащи се в 10 от 10 случая, в 100 от 100 случая и т.н.). Невъзможно събитие е събитие, което никога не се случва при дадени условия, събитие с нулева вероятност.

Но, за съжаление (и може би за щастие), не всичко в живота е толкова ясно и точно: винаги ще бъде (определено събитие), никога няма да бъде (невъзможно събитие). Най-често се сблъскваме със случайни събития, някои от които са по-вероятни, други по-малко вероятни. Обикновено хората използват думите „по-вероятно“ или „по-малко вероятно“, както се казва, по прищявка, разчитайки на това, което се нарича здрав разум. Но много често подобни оценки се оказват недостатъчни, тъй като е важно да се знае за колко времепроцента вероятно случайно събитие или колко пътиедно случайно събитие е по-вероятно от друго. С други думи, имаме нужда от точни количественхарактеристики, трябва да можете да характеризирате вероятността с число.

Вече направихме първите стъпки в тази посока. Казахме, че вероятността за настъпване на определено събитие се характеризира като сто процента, а вероятността за възникване на невъзможно събитие е като нула. Като се има предвид, че 100% е равно на 1, хората се съгласиха със следното:

1. вероятността за надеждно събитие се счита за равна 1;
2. вероятността от невъзможно събитие се счита за равна 0.

Как да изчислим вероятността от случайно събитие? Все пак се случи случайно, което означава, че не се подчинява на закони, алгоритми или формули. Оказва се, че в света на случайността се прилагат определени закони, които позволяват да се изчисляват вероятностите. Това е клонът на математиката, който се нарича - теория на вероятностите.

Математиката се занимава с моделнякакво явление от заобикалящата ни действителност. От всички модели, използвани в теорията на вероятностите, ще се ограничим до най-простия.

Класическа вероятностна схема

За да намерите вероятността за събитие А, когато провеждате някакъв експеримент, трябва:

1) намерете броя N на всички възможни резултати от този експеримент;

2) приемете предположението за еднаква вероятност (равна възможност) за всички тези резултати;

3) намерете броя N(A) на онези експериментални резултати, при които възниква събитие А;

4) намерете частното ; тя ще бъде равна на вероятността за събитие А.

Обичайно е да се обозначава вероятността от събитие А: P(A). Обяснението за това обозначение е много просто: думата „вероятност“ на френски е вероятност, на английски - вероятност.Означението използва първата буква от думата.

Използвайки тази нотация, вероятността за събитие А според класическата схема може да се намери с помощта на формулата

P(A)=.

Често всички точки от горната класическа вероятностна схема се изразяват в една доста дълга фраза.

Класическа дефиниция на вероятността

Вероятността за събитие А по време на определен тест е съотношението на броя на резултатите, в резултат на които възниква събитие А, към общия брой на всички еднакво възможни резултати от този тест.

Пример 1. Намерете вероятността с едно хвърляне на зар резултатът да бъде: а) 4; б) 5; в) четен брой точки; г) брой точки по-голям от 4; д) брой точки, неделим на три.

Решение. Общо има N=6 възможни изхода: изпадане от лице на куб с брой точки, равен на 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Вярваме, че нито един от тях няма предимства пред останалите, т.е. приемат предположението, че еднаквата вероятност на тези резултати.

а) В точно един от резултатите събитието, което ни интересува, ще се случи - ще се появи числото 4. Това означава, че N(A)=1 и

П(А)= =.

б) Решението и отговорът са същите като в предходния параграф.

в) Събитието B, което ни интересува, ще се случи точно в три случая, когато броят на точките е 2, 4 или 6. Това означава

Н(Б)=3 иП(Б)==.

d) Събитието C, което ни интересува, ще се случи точно в два случая, когато броят на точките е 5 или 6. Това означава

Н(В) =2 и Р(С)=.

д) От шестте възможни изтеглени числа четири (1, 2, 4 и 5) не са кратни на три, а останалите две (3 и 6) се делят на три. Това означава, че събитието, което ни интересува, се случва точно в четири от шест възможни и еднакво вероятни и еднакво вероятни изхода от експеримента. Следователно отговорът се оказва .

Отговор: а) ; б) ; V) ; G) ; г).

Истинският зар може да се различава от идеален (моделен) куб, следователно, за да се опише поведението му, е необходим по-точен и подробен модел, като се вземат предвид предимствата на едно лице пред друго, възможното наличие на магнити и т.н. Но „дяволът е в детайлите“ и по-голямата точност води до по-голяма сложност и получаването на отговор се превръща в проблем. Ограничаваме се до разглеждането на най-простия вероятностен модел, където всички възможни резултати са еднакво вероятни.

Бележка 1. Нека да разгледаме друг пример. Беше зададен въпросът: „Каква е вероятността да получите три при едно хвърляне на зара?“ Студентът отговори: „Вероятността е 0,5.“ И обясни отговора си: „Три или ще излязат, или не. Това означава, че има общо два резултата и точно в един от тях се случва събитието, което ни интересува. Използвайки класическата вероятностна схема, получаваме отговора 0,5. Има ли грешка в това разсъждение? На пръв поглед не. Въпреки това, той все още съществува и то по фундаментален начин. Да, наистина, тройка или ще се появи, или не, т.е. при тази дефиниция на резултата от хвърлянето N=2. Вярно е също, че N(A) = 1 и, разбира се, вярно е, че =0,5, т.е. три точки от вероятностната схема са взети предвид, но изпълнението на точка 2) е под съмнение. Разбира се, от чисто правна гледна точка, имаме право да вярваме, че хвърлянето на тройка е еднакво вероятно и да не отпадне. Но можем ли да мислим така, без да нарушаваме собствените си естествени предположения за „еднаквостта“ на ръбовете? Разбира се, че не! Тук имаме работа с правилно разсъждение в рамките на определен модел. Но самият този модел е „грешен“, не отговаря на реалното явление.

Бележка 2. Когато обсъждате вероятността, не изпускайте от поглед следното важно обстоятелство. Ако кажем, че при хвърляне на зар вероятността да получите една точка е равна на пъти, ще получите една точка точно три пъти и т.н. Думата вероятно е спекулативна. Предполагаме какво е най-вероятно да се случи. Вероятно, ако хвърлим зара 600 пъти, една точка ще се появи 100 пъти, или около 100.

Теорията на вероятността възниква през 17 век, когато се анализират различни хазартни игри. Следователно не е изненадващо, че първите примери са със закачлив характер. От примери със зарове, нека преминем към произволно изтегляне на карти за игра от тесте.

Пример 2. От тесте от 36 карти, 3 карти се изтеглят на случаен принцип едновременно. Каква е вероятността сред тях да няма дама пика?

Решение. Разполагаме с комплект от 36 елемента. Избираме три елемента, чийто ред не е важен. Това означава, че е възможно да се получат N=C резултати. Ще действаме според класическата вероятностна схема, т.е. ще приемем, че всички тези резултати са еднакво вероятни.

Остава да се изчисли търсената вероятност, като се използва класическата дефиниция:

Каква е вероятността сред избраните три карти да има дама пика? Броят на всички такива резултати не е труден за изчисляване; просто трябва да извадите от всички резултати N всички онези резултати, в които няма дама пика, т.е. да извадите числото N(A), намерено в пример 3. След това, в съответствие с класическата вероятностна схема, тази разлика N-N(A) трябва да се раздели на N. Ето какво получаваме:

Виждаме, че има известна връзка между вероятностите за две събития. Ако събитие A е липсата на дама пика, а събитие B е нейното присъствие сред избраните три карти, тогава

P(B)= 1—P(A),

P(A)+P(B)=1.

За съжаление в равенството P(A)+P(B)=1 няма информация за връзката между събития A и B; трябва да имаме предвид тази връзка. Би било по-удобно предварително да се даде име и обозначение на събитие B, което ясно да показва връзката му с A.

Определение 1. Събитие Бнаречен противоположно на събитие Аи означете B=Ā, ако събитие B настъпи тогава и само ако събитие A не настъпи.

ТТеорема 1. За да намерите вероятността за противоположното събитие, извадете вероятността за самото събитие от единица: P(Ā)= 1—P(A). всъщност

На практика те изчисляват какво е по-лесно за намиране: или P(A), или P(Ā). След това използвайте формулата от теоремата и намерете съответно или P(Ā) = 1 - P(A), или P(A) = 1 - P(Ā).

Методът за решаване на конкретен проблем често се използва чрез „изброяване на случаи“, когато условията на проблема са разделени на взаимно изключващи се случаи, всеки от които се разглежда отделно. Например, „ако тръгнеш надясно, ще загубиш коня си, ако тръгнеш направо, ще решиш задача по теория на вероятностите, ако тръгнеш наляво, ....“ Или когато конструирате графика на функцията y=│x+1│—│2x—5│разгледайте случаите x

Пример 3. От 50 точки 17 са оцветени в синьо и 13 са оцветени в оранжево. Намерете вероятността произволно избрана точка да бъде защрихована.

Решение. Общо 30 точки от 50 са защриховани. Това означава, че вероятността е = 0,6.

Отговор: 0,6.

Нека обаче разгледаме този прост пример по-отблизо. Нека събитие A е, че избраната точка е синя, а събитие B е, че избраната точка е оранжева. По условие събития A и B не могат да се случат едновременно.

Нека обозначим събитието, което ни интересува, с буквата C. Събитие C възниква, ако и само ако се случва поне едно от събитията А или Б. Ясно е, че N(C)= N(A)+N(B).

Нека разделим двете страни на това равенство на N – броя на всички възможни резултати от този експеримент; получаваме

Използвайки прост пример, анализирахме важна и често срещана ситуация. Има специално име за него.

Определение 2. Събития A и B се извикват несъвместими, ако не могат да се появят едновременно.

Теорема 2. Вероятността за настъпване на поне едно от две несъвместими събития е равна на сумата от техните вероятности.

Когато се превежда тази теорема на математически език, има нужда по някакъв начин да се назове и обозначи събитие, състоящо се от появата на поне едно от две дадени събития A и B. Такова събитие се нарича сума от събития A и B и се обозначава А + Б.

Ако A и B са несъвместими, тогава P(A+B)= P(A)+P(B).

всъщност

Удобно е несъвместимостта на събития А и Б да се илюстрира с чертеж. Ако всички резултати от експеримента са определен набор от точки на фигурата, тогава събития A и B са някои подмножества на дадено множество. Несъвместимостта на A и B означава, че тези две подмножества не се пресичат. Типичен пример за несъвместими събития е всяко събитие A и противоположното му събитие Ā.

Разбира се, тази теорема е вярна за три, четири и всеки краен брой двойки несъвместими събития. Вероятността за сумата от произволен брой по двойки несъвместими събития е равна на сумата от вероятностите за тези събития.Това важно твърдение точно съответства на метода „случай по случай“ за решаване на проблеми.

Възможно е да има някакви връзки, зависимости, връзки и т.н. между събития, възникващи в резултат на някакъв опит, и между вероятностите за тези събития. Например, събитията могат да бъдат „добавени“ и вероятността за сумата от несъвместими събития е равна до сумата от техните вероятности.

В заключение, нека обсъдим следния основен въпрос: възможно ли е доказвамче вероятността да получите глави при едно хвърляне на монета е

Отговорът е не. Най-общо казано, самият въпрос не е правилен; точното значение на думата „доказвам“ е неясно. Все пак винаги доказваме нещо в рамките на едни модели, в който правилата, законите, аксиомите, формулите, теоремите и т.н. са вече известни. Ако говорим за въображаема, „идеална“ монета, тогава тя се счита за идеална, защото по дефиниция, вероятността да получите „опашки“ е равна на вероятността да получите „глави“. И по принцип можем да разгледаме модел, в който вероятността да паднат „опашки“ е два пъти по-голяма от вероятността да паднат „глави“ или три пъти по-малко и т.н. Тогава възниква въпросът: по каква причина избираме от различни възможни модели на хвърляне на монета, при които и двата резултата от хвърлянето са еднакво вероятни?

Много ясният отговор е: „Но така е по-лесно, по-ясно и по-естествено за нас!“ Но има и по-съществени аргументи. Идват от практиката. Преобладаващото мнозинство от учебниците по теория на вероятностите дават примери за френския натуралист Дж. Бюфон (18 век) и английския математик и статистик К. Пиърсън (края на 19 век), които хвърлят монета съответно 4040 и 24 000 пъти и преброяват брой появили се глави " или "опашки". Те се приземиха съответно 1992 и 11998 пъти. Ако броите честота на загубата“опашки”, тогава се оказва = = 0,493069... за Буфон и = 0,4995 за Пиърсън. Естествено възниква предположение, че с неограничено увеличаване на броя на хвърлянията на монети, честотата на изпадане на „опашки“, както и честотата на изпадане на „глави“, все повече ще се доближава до 0,5. Това предположение, базирано на практически данни, е основата за избор на модел с еднакво вероятни резултати.

Сега можем да обобщим. Основна концепция - вероятност за случайно събитие, което се изчислява в рамките на най-простия модел— класическа вероятностна схема. Концепцията е важна както на теория, така и на практика противоположно събитиеи формулата P(Ā)= 1—P(A), за да се намери вероятността от такова събитие.

Най-накрая се срещнахме несъвместими събитияи с формули.

P(A+B)=P(A)+P(B),

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C),

което ви позволява да намерите вероятности сумитакива събития.

Референции

1.Събития. Вероятности. Статистическа обработка на данните: Доп. параграфи за курса по алгебра 7-9 клас. учебни заведения / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов - М.: Мнемосина, 2006. - 112 с.: ил.

2.Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк „Алгебра. Елементи на статистиката и теорията на вероятностите.” – Москва, “Просвещение”, 2006 г.

Класическа дефиниция на вероятността.

Както споменахме по-горе, с голям брой п тестова честота P*(A)=m/ пнастъпване на събитие А е стабилен и дава приблизителна стойност на вероятността за събитие А , т.е. .

Това обстоятелство ни позволява експериментално да намерим приблизителната вероятност за събитие. На практика този метод за намиране на вероятността от събитие не винаги е удобен. В края на краищата трябва да знаем предварително вероятността за някакво събитие, дори преди експеримента. Това е евристична, предсказваща роля на науката. В редица случаи вероятността от дадено събитие може да се определи преди експеримента, като се използва концепцията за равновероятност на събития (или равновъзможност).

Двете събития се наричат еднакво вероятно (или еднакво възможно ), ако няма обективни причини да се смята, че едно от тях може да се появи по-често от другото.

Така например появата на герб или надпис при хвърляне на монета са еднакво вероятни събития.

Нека да разгледаме друг пример. Нека хвърлят заровете. Поради симетрията на куба можем да предположим, че появата на някое от числата 1, 2, 3, 4, 5 или 6 еднакво възможно (еднакво вероятно).

събития в този експеримент те формират пълна група , ако поне един от тях възникне в резултат на експеримента. И така, в последния пример пълната група от събития се състои от шест събития - появата на числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Очевидно всяко събитие А и противоположното му събитие образуват пълна група.

Събитие Б наречен благоприятен събитие А , ако настъпването на събитие Б води до настъпване на събитие А . Така че, ако А - появата на четен брой точки при хвърляне на зар, след това появата на числото 4 представлява събитие в полза на събитие А.

Нека събития в този експеримент образуват пълна група от еднакво вероятни и по двойки несъвместими събития. Да им се обадим резултати тестове. Да приемем, че събитието А благоприятстват резултатите от процеса. Тогава вероятността от събитието А в този експеримент се нарича отношение. Така стигаме до следното определение.

Вероятността P(A) за събитие в даден експеримент е съотношението на броя на експерименталните резултати, благоприятни за събитие А, към общия брой възможни експериментални резултати, които образуват пълна група от еднакво вероятни по двойки несъвместими събития: .

Това определение на вероятността често се нарича класически. Може да се покаже, че класическата дефиниция удовлетворява аксиомите на вероятността.

Пример 1.1.Партида от 1000 лагери. Попаднах в тази група случайно 30 лагери, които не отговарят на стандарта. Определете вероятността P(A) че произволно взет лагер ще се окаже стандартен.

Решение:Броят на стандартните лагери е 1000-30=970 . Ще приемем, че всеки лагер има еднаква вероятност да бъде избран. Тогава пълната група от събития се състои от еднакво вероятни резултати, от които събитието А благоприятни резултати. Ето защо .

Пример 1.2.В урната 10 топки: 3 бяло и 7 черен. Две топки се вземат от урната наведнъж. Каква е вероятността r че и двете топки се оказват бели?

Решение:Броят на всички еднакво вероятни резултати от теста е равен на броя на начините, по които 10 извадете две топки, т.е. броя на комбинациите от 10 елементи от 2 (пълна група събития):

Броят на благоприятните резултати (от колко начина може да се избира 3 изберете топки 2) : . Следователно, необходимата вероятност .

Гледайки напред, този проблем може да бъде решен по друг начин.

Решение:Вероятността при първия опит (изваждане на топка) да бъде изтеглена бяла топка е равна на (общо топки 10 , от които 3 бяло). Вероятността по време на втория опит бялата топка да бъде изтеглена отново е равна на (общият брой топки сега е 9, защото извадиха едното, стана бяло 2, защото Извадиха бялото). Следователно вероятността за комбиниране на събития е равна на произведението на техните вероятности, т.е. .

Пример 1.3.В урната 2 зелено, 7 червено, 5 кафяво и 10 бели топки. Каква е вероятността да се появи цветна топка?

Решение: Намираме съответно вероятностите за появата на зелени, червени и кафяви топки: ; ; . Тъй като разглежданите събития са очевидно несъвместими, тогава, използвайки аксиомата за добавяне, намираме вероятността за появата на цветна топка:

Или по друг начин. Вероятността да се появи бяла топка е . Тогава вероятността за появата на небяла топка (т.е. цветна), т.е. вероятността от обратното събитие е равна на .

Геометрично определение на вероятността. За да се преодолее недостатъкът на класическата дефиниция на вероятността (тя не е приложима за тестове с безкраен брой резултати), се въвежда геометрична дефиниция на вероятността - вероятността точка да попадне в област (сегмент, част от равнина, и т.н.).

Нека сегментът е част от сегмента. Точка се поставя на случаен принцип върху сегмент, което означава, че са изпълнени следните допускания: поставената точка може да бъде във всяка точка на сегмента, вероятността точка да попадне върху сегмента е пропорционална на дължината на този сегмент и не зависи от местоположението му спрямо сегмента. При тези предположения вероятността точка да попадне върху сегмент се определя от равенството

Класическа и статистическа дефиниция на вероятността

За практически дейности е необходимо да можете да сравнявате събитията според степента на вероятността от тяхното възникване. Нека разгледаме един класически случай. В урната има 10 топки, 8 от които са бели, 2 са черни. Очевидно е, че събитието „от урната ще бъде изтеглена бяла топка“ и събитието „от урната ще бъде изтеглена черна топка“ имат различна степен на вероятност за възникване. Следователно, за да се сравнят събитията, е необходима определена количествена мярка.

Количествена мярка за възможността за възникване на събитие е вероятност . Най-широко използваните определения за вероятността от дадено събитие са класическите и статистическите.

Класическо определениевероятността се свързва с концепцията за благоприятен изход. Нека разгледаме това по-подробно.

Нека резултатите от някакъв тест образуват пълна група от събития и са еднакво възможни, т.е. уникално възможни, несъвместими и еднакво възможни. Такива резултати се наричат елементарни резултати, или случаи. Казват, че тестът се свежда до схема на случаяили " урнова схема“, защото Всяка вероятностна задача за такъв тест може да бъде заменена с еквивалентна задача с урни и топки с различни цветове.

Резултатът се нарича благоприятенсъбитие А, ако настъпването на този случай води до настъпване на събитието А.

Според класическото определение вероятност за събитие А е равно на отношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой резултати, т.е.

,

(1.1)

Къде P(A)– вероятност за събитие А; м– брой случаи, благоприятни за събитието А; п– общ брой случаи.

Пример 1.1.При хвърляне на зарове има шест възможни изхода: 1, 2, 3, 4, 5, 6 точки. Каква е вероятността да получите четен брой точки?

Решение. Всички п= 6 изхода образуват пълна група от събития и са еднакво възможни, т.е. уникално възможни, несъвместими и еднакво възможни. Събитие А - "поява на четен брой точки" - се благоприятства от 3 изхода (случая) - загуба на 2, 4 или 6 точки. Използвайки класическата формула за вероятността от събитие, получаваме

P(A) = = . ◄

Въз основа на класическата дефиниция на вероятността от събитие, отбелязваме неговите свойства:

1. Вероятността за всяко събитие е между нула и едно, т.е.

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

2. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.

3. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Както беше казано по-рано, класическата дефиниция на вероятността е приложима само за онези събития, които могат да възникнат в резултат на тестове, които имат симетрия на възможните резултати, т.е. свеждащи се до модел от случаи. Съществува обаче голям клас събития, чиито вероятности не могат да бъдат изчислени с помощта на класическата дефиниция.

Например, ако приемем, че монетата е сплескана, тогава е очевидно, че събитията „поява на герб“ и „поява на глави“ не могат да се считат за еднакво възможни. Следователно формулата за определяне на вероятността по класическата схема не е приложима в този случай.

Съществува обаче друг подход за оценка на вероятността от събития, въз основа на това колко често дадено събитие ще се случи в извършените опити. В този случай се използва статистическата дефиниция на вероятността.

Статистическа вероятностсъбитие А е относителната честота (честота) на поява на това събитие в n извършени изпитвания, т.е.

,

(1.2)

Къде P*(A)– статистическа вероятност за събитие А; w(A)– относителна честота на събитието А; м– брой опити, в които е настъпило събитието А; п– общ брой тестове.

За разлика от математическата вероятност P(A), разглеждана в класическата дефиниция, статистическа вероятност P*(A)е характеристика опитен, експериментален. С други думи, статистическата вероятност за събитие Ае числото, около което се стабилизира (задава) относителната честота w(A)с неограничено увеличаване на броя на тестовете, проведени при същия набор от условия.

Например, когато казват за стрелец, че той уцелва целта с вероятност 0,95, това означава, че от стотици изстрели, изстреляни от него при определени условия (една и съща мишена на същото разстояние, същата пушка и т.н.). ), средно има около 95 успешни. Естествено, не всяка стотина ще има 95 успешни изстрела, понякога ще бъдат по-малко, понякога повече, но средно, когато стрелбата се повтаря много пъти при едни и същи условия, този процент попадения ще остане непроменен. Цифрата от 0,95, която служи като индикатор за умението на стрелеца, обикновено е много стабилен, т.е. процентът на попаденията в повечето стрелби ще бъде почти еднакъв за даден стрелец, само в редки случаи се отклонява значително от средната си стойност.

Друг недостатък на класическата дефиниция на вероятността ( 1.1 ) ограничаването на употребата му е, че той предполага краен брой възможни резултати от теста. В някои случаи този недостатък може да бъде преодолян чрез използване на геометрична дефиниция на вероятността, т.е. намиране на вероятността точка да попадне в определена област (сегмент, част от равнина и т.н.).

Нека плоската фигура жпредставлява част от плоска фигура Ж(фиг. 1.1). Fit Жпроизволно се хвърля точка. Това означава, че всички точки в региона Ж„равни права“ по отношение на това дали хвърлена произволна точка я уцелва. Ако приемем, че вероятността от събитие А– хвърлената точка удря фигурата ж– е пропорционална на площта на тази фигура и не зависи от местоположението й спрямо Ж, нито от формата ж, ще намерим

Задачи за класическото определяне на вероятността.
Примери за решения

В третия урок ще разгледаме различни проблеми, свързани с директното приложение на класическата дефиниция на вероятността. За ефективно изучаване на материалите в тази статия ви препоръчвам да се запознаете с основните понятия теория на вероятноститеи основи на комбинаториката. Задачата за класическо определяне на вероятността с вероятност, клоняща към единица, ще присъства във вашата самостоятелна/контролна работа върху terver, така че нека се подготвим за сериозна работа. Може да попитате какво толкова сериозно има в това? ...само една примитивна формула. Предупреждавам ви за несериозност - тематичните задачи са доста разнообразни и много от тях лесно могат да ви объркат. В тази връзка, в допълнение към работата по основния урок, опитайте се да изучите допълнителни задачи по темата, които са в касичката готови решения за висша математика. Техниките за решаване са си техники за решаване, но „приятелите“ все пак „трябва да се познават от поглед“, защото дори богатото въображение е ограничено и има достатъчно стандартни задачи. Е, ще се опитам да сортирам възможно най-много от тях с добро качество.

Нека си спомним класиката на жанра:

Вероятността за възникване на събитие в определен тест е равна на съотношението , където:

– общ брой на всички еднакво възможно, елементаренрезултатите от този тест, които формират пълна група от събития;

- количество елементаренрезултати, благоприятни за събитието.

И веднага незабавно спиране в бокса. Разбирате ли подчертаните термини? Това означава ясно, а не интуитивно разбиране. Ако не, тогава все още е по-добре да се върнете към 1-ва статия теория на вероятноститеи едва след това продължете напред.

Моля, не пропускайте първите примери - в тях ще повторя една фундаментално важна точка и също така ще ви кажа как правилно да форматирате решение и по какви начини може да се направи това:

Проблем 1

Една урна съдържа 15 бели, 5 червени и 10 черни топки. На случаен принцип е изтеглена 1 топка, намерете вероятността тя да бъде: а) бяла, б) червена, в) черна.

Решение: Най-важната предпоставка за използване на класическата дефиниция на вероятността е способност за преброяване на общия брой резултати.

В урната има общо 15 + 5 + 10 = 30 топки и очевидно следните факти са верни:

– извличането на всяка топка е еднакво възможно (равни възможностирезултати), докато резултатите елементарен и форма пълна група от събития (т.е. в резултат на теста една от 30-те топки определено ще бъде премахната).

Така общият брой резултати:

Помислете за събитието: – бяла топка ще бъде изтеглена от урната. Това събитие е предпочитано елементаренрезултати, следователно, според класическата дефиниция:
– вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната.

Колкото и да е странно, дори в толкова проста задача може да се допусне сериозна неточност, на която вече обърнах внимание в първата статия за теория на вероятностите. Къде е клопката тук? Тук е некоректно да се твърди, че „тъй като половината топки са бели, тогава вероятността да изтеглите бяла топка» . Класическата дефиниция на вероятността се отнася до ЕЛЕМЕНТАРНОрезултати, а частта трябва да бъде записана!

С други точки, по подобен начин, разгледайте следните събития:

– от урната ще бъде изтеглена червена топка;
– от урната ще бъде изтеглена черна топка.

Едно събитие се предпочита от 5 елементарни резултата, а едно събитие се предпочита от 10 елементарни резултата. Така че съответните вероятности са:

Типична проверка на много сървърни задачи се извършва с помощта на теореми за сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група. В нашия случай събитията образуват пълна група, което означава, че сумата от съответните вероятности задължително трябва да бъде равна на единица: .

Нека да проверим дали това е вярно: това е, което исках да се уверя.

отговор:

По принцип отговорът може да се запише по-подробно, но лично аз съм свикнал да поставям само цифри там - поради причината, че когато започнете да „избивате“ проблеми със стотици и хиляди, се опитвате да намалите писането на решението, доколкото е възможно. Между другото, относно краткостта: на практика опцията за „високоскоростен“ дизайн е често срещана решения:

Общо: 15 + 5 + 10 = 30 топки в урната. Според класическото определение:
– вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната;
– вероятността червена топка да бъде изтеглена от урната;
– вероятността черна топка да бъде изтеглена от урната.

отговор:

Ако обаче има няколко точки в условието, тогава често е по-удобно решението да се формулира по първия начин, което отнема малко повече време, но в същото време „подрежда всичко на рафтовете“ и го улеснява за навигация в проблема.

Да загреем:

Проблем 2

Магазинът получи 30 хладилника, пет от които са с производствен дефект. На случаен принцип се избира един хладилник. Каква е вероятността да е без дефект?

Изберете подходящата опция за дизайн и проверете примера в долната част на страницата.

В най-простите примери броят на обичайните и броят на благоприятните резултати лежат на повърхността, но в повечето случаи трябва сами да изкопаете картофите. Канонична поредица от проблеми за забравил абонат:

Проблем 3

При набиране на телефонен номер абонатът забравя последните две цифри, но помни, че едната от тях е нула, а другата е нечетна. Намерете вероятността той да набере правилния номер.

Забележка : нулата е четно число (делимо на 2 без остатък)

Решение: Първо намираме общия брой резултати. По условие абонатът помни, че една от цифрите е нула, а другата е нечетна. Тук е по-рационално да не се затруднявате с комбинаториката и използването метод на директно изброяване на резултатите . Тоест, когато правим решение, ние просто записваме всички комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

И ние ги броим - общо: 10 резултата.

Има само един благоприятен резултат: правилното число.

Според класическото определение:
– вероятността абонатът да набере правилния номер

отговор: 0,1

Десетичните дроби изглеждат доста подходящи в теорията на вероятностите, но можете също да се придържате към традиционния стил на Вишматов, работейки само с обикновени дроби.

Разширена задача за самостоятелно решение:

Проблем 4

Абонатът е забравил ПИН кода на SIM картата си, но помни, че тя съдържа три „петици“, като едно от числата е или „седем“, или „осмица“. Каква е вероятността за успешна авторизация при първия опит?

Тук можете също да развиете идеята за вероятността абонатът да получи наказание под формата на puk код, но, за съжаление, разсъжденията ще надхвърлят обхвата на този урок

Решението и отговорът са по-долу.

Понякога изброяването на комбинации се оказва много старателна задача. По-специално това е случаят в следващата, не по-малко популярна група задачи, където се хвърлят 2 зара (по-рядко - по-големи количества):

Проблем 5

Намерете вероятността при хвърляне на два зара общият брой да бъде:

а) пет точки;
б) не повече от четири точки;
в) от 3 до 9 точки включително.

Решение: намерете общия брой резултати:

Начини, по които страната на първия зар може да изпадне ипо различни начини страната на 2-ро кубче може да изпадне; от правило за умножаване на комбинации, общо: възможни комбинации. С други думи, всекилицето на 1-ви куб може да бъде поръчандвойка с всекиръба на 2-ри куб. Нека се съгласим да запишем такава двойка във формата , където е числото, което се появява на 1-вия зар, и е числото, което се появява на 2-рия зар. Например:

– първият зар отбеляза 3 точки, вторият зар отбеляза 5 точки, общо точки: 3 + 5 = 8;
– първият зар отбеляза 6 точки, вторият зар отбеляза 1 точка, общо точки: 6 + 1 = 7;
– 2 хвърлени точки на двата зара, сума: 2 + 2 = 4.

Очевидно най-малката сума се дава от двойка, а най-голямата от две „шестици“.

а) Разгледайте събитието: – при хвърляне на два зара ще се появят 5 точки. Нека запишем и преброим броя на резултатите, които благоприятстват това събитие:

Общо: 4 благоприятни изхода. Според класическото определение:
– желаната вероятност.

b) Обмислете събитието: – няма да бъдат хвърлени повече от 4 точки. Тоест или 2, или 3, или 4 точки. Отново изброяваме и броим благоприятните комбинации, вляво ще напиша общия брой точки, а след двоеточието - подходящите двойки:

Общо: 6 благоприятни комбинации. Така:
– вероятността да бъдат хвърлени не повече от 4 точки.

в) Обмислете събитието: – Ще се хвърлят от 3 до 9 точки включително. Тук можете да поемете по правия път, но... по някаква причина не искате. Да, някои двойки вече са изброени в предишните параграфи, но има още много работа за вършене.

Какъв е най-добрият начин да продължите? В такива случаи обиколният път се оказва рационален. Нека помислим противоположно събитие: – Ще бъдат хвърлени 2 или 10 или 11 или 12 точки.

какъв е смисълът Обратното събитие се предпочита от значително по-малък брой двойки:

Общо: 7 благоприятни изхода.

Според класическото определение:
– вероятността да хвърлите по-малко от три или повече от 9 точки.

В допълнение към директното изброяване и преброяване на резултатите, различни комбинаторни формули. И отново епичен проблем с асансьора:

Проблем 7

3-ма души са влезли в асансьора на 20-етажна сграда на първия етаж. И да тръгваме. Намерете вероятността, че:

а) ще излязат на различни етажи
б) двама ще излязат на един етаж;
в) всички ще слязат на един етаж.

Нашият вълнуващ урок приключи и накрая, още веднъж горещо препоръчвам ако не да решите, то поне да разберете допълнителни проблеми за класическото определяне на вероятността. Както вече отбелязах, „подплатата на ръцете“ също има значение!

По-нататък по курса - Геометрично определение на вероятносттаи Теореми за събиране и умножение на вероятностии... късмет в най-важното!

Решения и отговори:

Задача 2: Решение: 30 – 5 = 25 хладилника нямат дефект.

– вероятността произволно избран хладилник да няма дефект.
отговор :

Задача 4: Решение: намерете общия брой резултати:
начини, по които можете да изберете мястото, където се намира съмнителният номер и на всекиОт тези 4 места могат да бъдат локализирани 2 цифри (седем или осем). Съгласно правилото за умножение на комбинации, общият брой резултати: .
Като алтернатива, решението може просто да изброи всички резултати (за щастие има малко от тях):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Има само един благоприятен изход (правилен пин код).
Така според класическата дефиниция:
– вероятността абонатът да влезе при първия опит
отговор :

Задача 6: Решение: намерете общия брой резултати:
числата на 2 зара могат да се появят по различни начини.

а) Разгледайте събитието: – при хвърляне на два зара произведението от точките ще бъде равно на седем. Няма благоприятни изходи за дадено събитие, според класическата дефиниция на вероятността:
, т.е. това събитие е невъзможно.

b) Разгледайте събитието: – при хвърляне на два зара произведението от точките ще бъде най-малко 20. Следните резултати са благоприятни за това събитие:

Общо: 8
Според класическото определение:
– желаната вероятност.

в) Разгледайте противоположните събития:
– произведението на точките ще бъде четно;
– произведението на точките ще бъде нечетно.
Нека изброим всички резултати, благоприятни за събитието:

Общо: 9 благоприятни изхода.
Според класическата дефиниция на вероятността:
Противоположните събития образуват пълна група, следователно:
– желаната вероятност.

отговор :

Проблем 8: Решение: нека изчислим общия брой резултати: 10 монети могат да паднат по различни начини.
Друг начин: начините, по които първата монета може да падне иначини, по които 2-рата монета може да падне и … иначини, по които може да падне 10-та монета. Според правилото за умножаване на комбинации могат да паднат 10 монети начини.
a) Помислете за събитието: – главите ще се появят на всички монети. Това събитие е облагодетелствано от един резултат, според класическата дефиниция на вероятността: .
б) Помислете за събитието: – 9 монети ще паднат с глави, а една монета ще падне с опашки.
Има монети, които могат да паднат върху глави. Според класическата дефиниция на вероятността: .
в) Помислете за събитието: – главите ще се появят на половината от монетите.
Съществува уникални комбинации от пет монети, които могат да приземят глави. Според класическата дефиниция на вероятността:
отговор :

Вероятността за събитие се разбира като определена числена характеристика на възможността за настъпване на това събитие. Има няколко подхода за определяне на вероятността.

Вероятност за събитието Ае отношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати, които формират пълната група. И така, вероятността от събитието Асе определя по формулата

Къде м– броят на елементарните благоприятни резултати А, п– броят на всички възможни резултати от елементарни тестове.

Пример 3.1.В експеримент, включващ хвърляне на зар, броят на всички резултати пе равно на 6 и всички те са еднакво възможни. Нека събитието Аозначава появата на четно число. Тогава за това събитие благоприятните резултати ще бъдат появата на числата 2, 4, 6. Техният брой е 3. Следователно вероятността от събитието Аравно на

Пример 3.2.Каква е вероятността произволно избрано двуцифрено число да има еднакви цифри?

Двуцифрените числа са числата от 10 до 99, има общо 90 такива числа с еднакви цифри (това са числата 11, 22, ..., 99). Тъй като в този случай м=9, п=90 тогава

Къде А– събитие, „число с еднакви цифри.“

Пример 3.3.В партида от 10 части, 7 са стандартни. Намерете вероятността от шест части, взети на случаен принцип, 4 да са стандартни.

Общият брой възможни елементарни резултати от теста е равен на броя на начините, по които 6 части могат да бъдат извлечени от 10, т.е. броят на комбинациите от 10 елемента от по 6 елемента всяка. Нека определим броя на резултатите, благоприятни за събитието, което ни интересува А(сред шестте взети части има 4 стандартни). Четири стандартни части могат да бъдат взети от седем стандартни части по различни начини; в същото време останалите 6-4=2 части трябва да са нестандартни, но можете да вземете две нестандартни части от 10-7=3 нестандартни части по различни начини. Следователно броят на благоприятните резултати е равен на .

Тогава търсената вероятност е равна на

Следните свойства следват от определението за вероятност:

1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.

Наистина, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста е в полза на събитието. Следователно в този случай m=n

2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Наистина, ако дадено събитие е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от теста не благоприятства събитието. В случая означава

3. Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.

Наистина, само част от общия брой елементарни резултати на теста се благоприятства от случайно събитие. В този случай< м< n, означава 0 < m/n < 1, тоест 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Изграждането на логически пълна теория на вероятността се основава на аксиоматичното определение на случайно събитие и неговата вероятност. В системата от аксиоми, предложена от А. Н. Колмогоров, недефинираните понятия са елементарно събитие и вероятност. Ето аксиомите, които определят вероятността:

1. Всяко събитие Априсвоено неотрицателно реално число P(A). Това число се нарича вероятност на събитието А.

2. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица.

3. Вероятността за настъпване на поне едно от двойно несъвместимите събития е равна на сумата от вероятностите на тези събития.

Въз основа на тези аксиоми свойствата на вероятностите и зависимостите между тях се извеждат като теореми.

Въпроси за самопроверка

1. Как се нарича числената характеристика на възможността за настъпване на събитие?

2. Каква е вероятността за събитие?

3. Каква е вероятността за надеждно събитие?

4. Каква е вероятността за невъзможно събитие?

5. Какви са границите на вероятността от случайно събитие?

6. Какви са границите на вероятността за всяко събитие?

7. Каква дефиниция на вероятността се нарича класическа?