Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус. Схема за единично деление

При решаване на система от уравнения

Най-простата версия на метода на Гаус води до големи грешки. Причината е появата на големи коефициенти, чието закръгляне води до голяма абсолютна грешка D ~ 0,5. На свой ред, големите коефициенти се получават след разделяне на малък водещ коефициент .

Заключение:За да намалите влиянието на грешките при закръгляване, трябва да изберете водещ елемент, който не просто е различен от 0, но и достатъчно голям.

Първа модификация на метода на Гаус– търсене по низове. В алгоритъма водещият елемент трябва да бъде избран от условието.

Липса на модификация. Да предположим, че x i е намерено с грешка от D. Тогава, когато се търси всеки x s, е необходимо, съгласно обратната формула, да се умножи . В този случай грешката D също ще бъде умножена по . Ако стойността е голяма, грешката ще се увеличи.

Заключение:необходимо е да се гарантира, че водещият елемент не е просто голям, а най-големият по модул в своята линия. Тогава при нормализиране на водещата линия всички останали коефициенти, съгласно формула (5), ще бъдат по-малки от 1 по абсолютна стойност, а грешките ще бъдат намаляване.

Втора модификация на метода на Гаус– търсене по колони. Това изискване може да бъде изпълнено, ако неизвестните x i се изключат в произволен ред и се търси водещата линия, като се доставя . Това ще бъде следващият водещ елемент. След като определите водещия елемент, разменете k-тия и r-тия колони.

внимание.При такава замяна се променя номерирането на неизвестните x i. За да се осигури такава замяна, е необходимо при програмирането да се въведе масив p 1 ,…p n с реалните числа на неизвестните. В началото на хода напред всички p i = i са обичайното номериране. След като намерите водещия елемент, разменете p k и p r . По време на обратния ход, преномерираните x i се изчисляват по формула (7). След като изчислим всички неизвестни, трябва да поставим y]:=x[i], и масив y[i]ще бъде окончателното решение на проблема.

Третата модификация на метода на Гаус– пълно търсене. Доставящият елемент е избран като водещ. В този случай k-та и r-та колони, p k и p r, както и m-ти и k-ти редове се разменят. Тази модификация осигурява максимална точност, но е и най-сложна.

Приложение на метода на Гаус за решаване на различни задачи от линейната алгебра

1. Инверсия на матрицата.Нека е необходимо да се изчисли обратната матрица на квадратната матрица A. Нека означим X = A –1. Както знаете, AX = I, където I е единичната матрица, в която 1s са разположени по диагонала, а останалите елементи са 0. С други думи, i-тата колона на матрицата I е равна на

(1 е на i-то място). Нека x (i) е i-тата колона на матрицата X. Тогава, по силата на правилото за умножение на матрицата (редът се умножава по колоната), имаме A x (i) = e (i). Това означава, че за да обърнем матрицата, трябва да решим псистеми от линейни уравнения с еднакви матрици и различни десни части:

о = д (1) ; о = д (2) ; …; о = д (п) . (2.1)

След като решихме тези системи, намираме, че намерените решения x (1), x (2), ..., x (n) са колони на матрицата A –1.

2. Изчисляване на детерминанти.В процеса на преобразуване на матрица A в триъгълна форма, използвайки метода на Гаус, извършихме следните действия с нея:

1) пренаредени редове или колони в зависимост от модификацията на метода;

2) разделяне на водещата линия с ненулев водещ елемент;

3) към редовете на матрицата беше добавен водещ ред, умножен по определено число.

Както е известно, по време на такива трансформации детерминантата на матрицата претърпява съответните промени:

1) променя знака;

2) се разделя на същия елемент;

3) не се променя.

След движението напред, матрица A ще бъде намалена до горна триъгълна форма с единици на главния диагонал. Детерминантата на такава матрица очевидно е равна на 1. Като се вземат предвид промените, които детерминантата на матрица А претърпя по време на процеса на трансформация, имаме следната формула:

det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n n,

където a j j са водещи елементи, s е броят на пермутациите на редове и/или колони при търсене на водещи елементи.

ТЕСТОВИ ВЪПРОСИ И ЗАДАЧИ

1. Ръчноприлага метода на Гаус (с търсене в редове, колони, в цялата матрица - в зависимост от варианта на задачата) за дадена система от уравнения

и изпълнете следните задачи

1) Решете тази система от уравнения

2) Изчислете детерминантата на матрицата на тази система ( Метод на Гаус– виж стр 2 ).

3) Обърнете матрицата на тази система ( Метод на Гаус– виж стр 1 ).

В бъдеще използвайте резултата от решаването на този проблем като тестов пример.

2. Създайте програма за решаване на линейна система по метода на Гаус (с търсене в редове, колони, в цялата матрица - в зависимост от версията на задачата) и извършете инверсия на матрицата с помощта на тази програма.

Продължаваме да разглеждаме системи от линейни уравнения. Този урок е трети по темата. Ако имате неясна представа какво е система от линейни уравнения като цяло, ако се чувствате като чайник, тогава препоръчвам да започнете с основите на страницата Следваща, полезно е да изучавате урока.

Методът на Гаус е лесен!защо Известният немски математик Йохан Карл Фридрих Гаус приживе получи признание за най-великия математик на всички времена, гений и дори прозвището „Кралят на математиката“. А всичко гениално, както знаете, е просто!Между другото, не само глупаците получават пари, но и гениите - портретът на Гаус беше на банкнотата от 10 германски марки (преди въвеждането на еврото), а Гаус все още се усмихва мистериозно на германците от обикновените пощенски марки.

Методът на Гаус е прост с това, че ЗНАНИЯТА НА ПЕТОКЛАСНИК СА ДОСТАТЪЧНИ за усвояването му. Трябва да знаете как да събирате и умножавате!Неслучайно учителите често разглеждат метода на последователно изключване на неизвестни в училищните избираеми предмети по математика. Парадоксално, но учениците намират метода на Гаус за най-труден. Нищо изненадващо - всичко е в методологията и ще се опитам да говоря за алгоритъма на метода в достъпна форма.

Първо, нека систематизираме малко знания за системите от линейни уравнения. Система от линейни уравнения може:

1) Имате уникално решение. 2) Имате безкрайно много решения. 3) Нямате решения (бъдете неставни).

Методът на Гаус е най-мощният и универсален инструмент за намиране на решение всякаквисистеми от линейни уравнения. Както си спомняме, Правило на Крамър и матричен методса неподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. И методът за последователно елиминиране на неизвестни Както и да еще ни доведе до отговора! В този урок отново ще разгледаме метода на Гаус за случай № 1 (единственото решение на системата), статия е посветена на ситуациите на точки № 2-3. Отбелязвам, че алгоритъмът на самия метод работи еднакво и в трите случая.

Да се върнем към най-простата система от урока Как се решава система от линейни уравнения?и го решете с помощта на метода на Гаус.

Първата стъпка е да запишете разширена системна матрица: . Мисля, че всеки може да види на какъв принцип са написани коефициентите. Вертикалната линия вътре в матрицата няма никакво математическо значение - тя е просто зачертана за по-лесно проектиране.

справка : Препоръчвам ви да запомните условия линейна алгебра. Системна матрица е матрица, съставена само от коефициенти за неизвестни, в този пример матрицата на системата: . Разширена системна матрица – това е същата матрица на системата плюс колона от безплатни условия, в този случай: . За краткост всяка от матриците може да се нарече просто матрица.

След като разширената системна матрица е написана, е необходимо да се извършат някои действия с нея, които също се наричат елементарни трансформации.

Съществуват следните елементарни трансформации:

1) струниматрици може пренареждамна някои места. Например в разглежданата матрица можете безболезнено да пренаредите първия и втория ред:

2) Ако има (или са се появили) пропорционални (като частен случай - еднакви) редове в матрицата, тогава трябва да изтрийВсички тези редове са от матрицата с изключение на един. Помислете например за матрицата . В тази матрица последните три реда са пропорционални, така че е достатъчно да оставите само един от тях: .

3) Ако по време на трансформациите в матрицата се появи нулев ред, това също трябва да бъде изтрий. Няма да рисувам, разбира се, нулевата линия е линията, в която всички нули.

4) Редът на матрицата може да бъде умножавам (делям)на произволен номер ненулев. Помислете например за матрицата. Тук е препоръчително да разделите първия ред на –3 и да умножите втория ред по 2: . Това действие е много полезно, защото опростява по-нататъшните трансформации на матрицата.

5) Тази трансформация причинява най-много трудности, но всъщност също няма нищо сложно. Към ред от матрица можете добавете друг низ, умножен по число, различен от нула. Нека да разгледаме нашата матрица от практически пример: . Първо ще опиша трансформацията много подробно. Умножете първия ред по –2: , И към втория ред добавяме първия ред, умножен по –2: . Сега първият ред може да бъде разделен „назад“ с –2: . Както можете да видите, редът, който е ДОБАВЕН LI – не се е променило. Винагиредът КЪМ СЕ ДОБАВЯ се променя UT.

На практика, разбира се, те не го описват толкова подробно, но го пишат накратко: Още веднъж: към втория ред добави първия ред, умножен по –2. Един ред обикновено се умножава устно или на чернова, като процесът на умствено изчисление протича по следния начин:

„Пренаписвам матрицата и пренаписвам първия ред: »

„Първа колона. На дъното трябва да получа нула. Затова умножавам горния по –2: и добавям първия към втория ред: 2 + (–2) = 0. Записвам резултата във втория ред: »

„Сега втората колона. Най-отгоре умножавам -1 по -2: . Добавям първото към втория ред: 1 + 2 = 3. Пиша резултата във втория ред: »

„И третата колона. Най-отгоре умножавам -5 по -2: . Добавям първото към втория ред: –7 + 10 = 3. Пиша резултата във втория ред: »

Моля, разберете внимателно този пример и разберете алгоритъма за последователно изчисление, ако разбирате това, тогава методът на Гаус е практически в джоба ви. Но, разбира се, ние ще продължим да работим върху тази трансформация.

Елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения

! ВНИМАНИЕ!: разгледани манипулации не може да се използва, ако ви бъде предложена задача, при която матриците са дадени „сами по себе си“. Например с „класически“ операции с матрициВ никакъв случай не пренареждайте нищо вътре в матриците! Да се върнем към нашата система. На практика е разбит на парчета.

Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я редуцираме до стъпаловиден изглед:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. И отново: защо умножаваме първия ред по –2? За да получите нула на дъното, което означава да се отървете от една променлива във втория ред.

(2) Разделете втория ред на 3.

Целта на елементарните трансформации – редуцирайте матрицата до поетапна форма: . В дизайна на задачата те просто маркират „стълбите“ с обикновен молив и също така кръгират числата, които се намират на „стъпалата“. Самият термин "стъпаловиден изглед" не е напълно теоретичен, в научната и образователна литература той често се нарича трапецовиден изгледили триъгълен изглед.

В резултат на елементарни трансформации получихме еквиваленторигинална система от уравнения:

Сега системата трябва да се „размотае“ в обратна посока - отдолу нагоре, този процес се нарича обратно на метода на Гаус.

В долното уравнение вече имаме готов резултат: .

Нека да разгледаме първото уравнение на системата и да заменим вече известната стойност на "y" в него:

Нека разгледаме най-често срещаната ситуация, когато методът на Гаус изисква решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.

Пример 1

Решете системата от уравнения по метода на Гаус:

Нека напишем разширената матрица на системата:

Сега веднага ще начертая резултата, до който ще стигнем по време на решението: И повтарям, нашата цел е да доведем матрицата до поетапна форма, използвайки елементарни трансформации. Откъде да започна?

Първо погледнете горния ляв номер: Почти винаги трябва да е тук единица. Най-общо казано, –1 (а понякога и други числа) ще свърши работа, но някак традиционно се е случило, че едно обикновено се поставя там. Как да организираме единица? Гледаме първата колона - имаме готова единица! Трансформация едно: разменете първия и третия ред:

Сега първият ред ще остане непроменен до края на решението. Вече е по-лесно.

Устройството в горния ляв ъгъл е организирано. Сега трябва да получите нули на тези места:

Получаваме нули чрез „трудна“ трансформация. Първо се занимаваме с втория ред (2, –1, 3, 13). Какво трябва да се направи, за да получите нула на първа позиция? Трябва да към втория ред добавете първия ред, умножен по –2. Мислено или на чернова умножете първия ред по –2: (–2, –4, 2, –18). И ние последователно извършваме (отново мислено или на чернова) добавяне, към втория ред добавяме първия ред, вече умножен по –2:

Записваме резултата във втория ред:

По същия начин се справяме с третия ред (3, 2, –5, –1). За да получите нула на първа позиция, трябва към третия ред добавете първия ред, умножен по –3. Мислено или на чернова умножете първия ред по –3: (–3, –6, 3, –27). И към третия ред добавяме първия ред, умножен по –3:

Записваме резултата в третия ред:

На практика тези действия обикновено се извършват устно и записват в една стъпка:

Няма нужда да броите всичко наведнъж и едновременно. Редът на изчисленията и „въвеждането“ на резултатите последователени обикновено е така: първо пренаписваме първия ред и бавно се издухваме - ПОСТОЯВАТЕЛНО и ВНИМАТЕЛНО:
И вече обсъдих умствения процес на самите изчисления по-горе.

В този пример това е лесно да се направи; ние разделяме втория ред на –5 (тъй като всички числа там се делят на 5 без остатък). В същото време разделяме третия ред на –2, защото колкото по-малки са числата, толкова по-просто е решението:

На последния етап от елементарните трансформации трябва да получите още една нула тук:

За това към третия ред добавете втория ред, умножен по –2:
Опитайте се сами да разберете това действие - мислено умножете втория ред по –2 и изпълнете добавянето.

Последното извършено действие е прическата на резултата, разделете третия ред на 3.

В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна система от линейни уравнения: Готино.

Сега влиза в действие обратният метод на Гаус. Уравненията се „развиват“ отдолу нагоре.

В третото уравнение вече имаме готов резултат:

Нека разгледаме второто уравнение: . Значението на "zet" вече е известно, така че:

И накрая, първото уравнение: . „Игрек“ и „зет“ са известни, въпросът е само на малки неща:

отговор:

Както вече беше отбелязано няколко пъти, за всяка система от уравнения е възможно и необходимо да се провери намереното решение, за щастие това е лесно и бързо.

Пример 2

Това е пример за самостоятелно решение, образец на окончателния дизайн и отговор в края на урока.

Трябва да се отбележи, че вашият напредък на решениетоможе да не съвпада с моя процес на вземане на решение, и това е характеристика на метода на Гаус. Но отговорите трябва да са едни и същи!

Пример 3

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Гледаме горната лява „стъпка“. Трябва да имаме един там. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма единици, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана чрез елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Направих това: (1) Към първия ред добавяме втория ред, умножен по –1. Тоест мислено умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво има „минус едно“, което ни подхожда доста добре. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително движение: умножете първия ред по –1 (променете знака му).

(2) Първият ред, умножен по 5, беше добавен към първия ред, умножен по 3, към третия ред.

(3) Първият ред беше умножен по –1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и той беше преместен на второ място, така че на второто „стъпало“ имахме необходимата единица.

(4) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 2.

(5) Третият ред беше разделен на 3.

Лош знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко печатна грешка), е „лош“ краен резултат. Тоест, ако получим нещо като , по-долу, и, съответно, , тогава с голяма степен на вероятност можем да кажем, че е допусната грешка по време на елементарни трансформации.

Ние таксуваме обратното, при проектирането на примери те често не пренаписват самата система, но уравненията са „взети директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи отдолу нагоре. Да, ето подарък:

отговор: .

Пример 4

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Това е пример, който трябва да решите сами, той е малко по-сложен. Няма проблем, ако някой се обърка. Пълно решение и примерен дизайн в края на урока. Вашето решение може да е различно от моето решение.

В последната част ще разгледаме някои характеристики на алгоритъма на Гаус. Първата особеност е, че понякога някои променливи липсват в системните уравнения, например: Как правилно да напишем разширената системна матрица? Вече говорих за тази точка в клас. Правилото на Крамър. Матричен метод. В разширената матрица на системата поставяме нули на мястото на липсващите променливи: Между другото, това е доста лесен пример, тъй като първата колона вече има една нула и има по-малко елементарни трансформации за извършване.

Втората особеност е тази. Във всички разгледани примери поставихме или –1, или +1 на „стъпалата“. Възможно ли е да има други номера там? В някои случаи могат. Помислете за системата: .

Тук на горната лява „стъпка“ имаме две. Но забелязваме факта, че всички числа в първата колона се делят на 2 без остатък – а другата е две и шест. И двата горе в ляво ще ни подхождат! В първата стъпка трябва да извършите следните трансформации: добавете първия ред, умножен по –1 към втория ред; към третия ред добавете първия ред, умножен по –3. Така ще получим необходимите нули в първата колона.

Или друг конвенционален пример: . Тук трите на втората „стъпка“ също ни подхождат, тъй като 12 (мястото, където трябва да получим нула) се дели на 3 без остатък. Необходимо е да се извърши следната трансформация: добавете втория ред към третия ред, умножен по –4, в резултат на което ще се получи нулата, от която се нуждаем.

Методът на Гаус е универсален, но има една особеност. Можете уверено да се научите да решавате системи, използвайки други методи (метод на Крамър, матричен метод) буквално за първи път - те имат много строг алгоритъм. Но за да се чувствате уверени в метода на Гаус, трябва да „хванете зъбите си“ и да решите поне 5-10 десет системи. Следователно в началото може да има объркване и грешки в изчисленията и в това няма нищо необичайно или трагично.

Дъждовно есенно време зад прозореца.... Затова за всички, които искат по-сложен пример за самостоятелно решаване:

Пример 5

Решете система от 4 линейни уравнения с четири неизвестни по метода на Гаус.

Подобна задача не е толкова рядка на практика. Мисля, че дори чайник, който е проучил подробно тази страница, ще разбере интуитивно алгоритъма за решаване на такава система. По същество всичко е същото - просто има повече действия.

В урока се разглеждат случаите, когато системата няма решения (непоследователна) или има безкрайно много решения. Несъвместими системи и системи с общо решение. Там можете да коригирате разглеждания алгоритъм на метода на Гаус.

желая ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение : Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма.
Извършени елементарни трансформации: (1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1. внимание! Тук може да се изкушите да извадите първия от третия ред; силно препоръчвам да не го изваждате - рискът от грешка значително се увеличава. Просто го сгънете! (2) Знакът на втория ред е променен (умножено по –1). Вторият и третият ред са разменени. Моля, обърнете внимание , че на “стъпалата” се задоволяваме не само с единица, но и с –1, което е още по-удобно. (3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 5. (4) Знакът на втория ред е променен (умножено по –1). Третият ред беше разделен на 14.

Реверс:

отговор : .

Пример 4: Решение : Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма:

Извършени реализации: (1) Към първия ред беше добавен втори ред. Така желаната единица е организирана в горната лява „стъпка“. (2) Първият ред, умножен по 7, беше добавен към първия ред, умножен по 6, към третия ред.

С втората „стъпка“ всичко се влошава , “кандидатите” за него са числата 17 и 23, като ни трябва или единица, или –1. Трансформациите (3) и (4) ще бъдат насочени към получаване на желаната единица (3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1. (4) Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по –3. Необходимият артикул на втората стъпка е получен . (5) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 6. (6) Вторият ред беше умножен по –1, третият ред беше разделен на –83.

Реверс:

отговор :

Пример 5: Решение : Нека напишем матрицата на системата и с помощта на елементарни трансформации я привеждаме в поетапна форма:

Извършени реализации: (1) Първият и вторият ред са разменени. (2) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по –3. (3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 4. Вторият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по –1. (4) Променен е знакът на втория ред. Четвъртият ред беше разделен на 3 и поставен на мястото на третия ред. (5) Третият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по –5.

Реверс:

отговор :

Метод на Гаусперфектен за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE). Той има редица предимства в сравнение с други методи:

първо, няма нужда първо да се изследва системата от уравнения за съгласуваност;
второ, методът на Гаус може да решава не само SLAE, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните променливи и основната матрица на системата е неособена, но също и системи от уравнения, в които броят на уравненията не съвпада с броят на неизвестните променливи или детерминантата на основната матрица е равен на нула;
трето, методът на Гаус води до резултати с относително малък брой изчислителни операции.

Кратък преглед на статията.

Първо даваме необходимите определения и въвеждаме обозначения.

След това ще опишем алгоритъма на метода на Гаус за най-простия случай, тоест за системи от линейни алгебрични уравнения, броят на уравненията, в които съвпада с броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е не е равно на нула. При решаването на такива системи от уравнения най-ясно се вижда същността на метода на Гаус, който е последователното елиминиране на неизвестни променливи. Следователно методът на Гаус се нарича още метод на последователно елиминиране на неизвестни. Ще покажем подробни решения на няколко примера.

В заключение ще разгледаме решението по метода на Гаус на системи от линейни алгебрични уравнения, чиято основна матрица е или правоъгълна, или сингулярна. Решението за такива системи има някои характеристики, които ще разгледаме подробно с примери.

Навигация в страницата.

Основни определения и означения.

Да разгледаме система от p линейни уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n):

Където са неизвестни променливи, са числа (реални или комплексни) и са свободни термини.

Ако , тогава системата от линейни алгебрични уравнения се нарича хомогенен, иначе – разнородни.

Нарича се набор от стойности на неизвестни променливи, за които всички уравнения на системата стават идентичности решение на СЛАУ.

Ако има поне едно решение на система от линейни алгебрични уравнения, то се нарича съвместно, иначе – неставни.

Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени. Ако има повече от едно решение, системата се извиква несигурен.

Казват, че системата е написана координатна форма, ако има формата
.

Тази система в матрична формазаписи има формата where - основната матрица на SLAE, - матрицата на колоната от неизвестни променливи, - матрицата на свободните членове.

Ако добавим матрица-колона от свободни членове към матрица А като (n+1)-та колона, получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни условия е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Квадратната матрица A се нарича изродени, ако неговият детерминант е нула. Ако , тогава се извиква матрица A неизродени.

Трябва да се отбележи следната точка.

Ако извършите следните действия със система от линейни алгебрични уравнения

разменете две уравнения,
умножете двете страни на всяко уравнение по произволно и ненулево реално (или комплексно) число k,
към двете страни на всяко уравнение добавете съответните части на друго уравнение, умножени по произволно число k,

тогава получавате еквивалентна система, която има същите решения (или, точно като оригиналната, няма решения).

За разширена матрица на система от линейни алгебрични уравнения тези действия ще означават извършване на елементарни трансформации с редовете:

размяна на два реда,
умножаване на всички елементи от който и да е ред на матрицата T с ненулево число k,
добавяне към елементите на произволен ред от матрица на съответните елементи от друг ред, умножени по произволно число k.

Сега можем да продължим с описанието на метода на Гаус.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните и основната матрица на системата е неособена, по метода на Гаус.

Какво бихме правили в училище, ако ни дадат задачата да намерим решение на система от уравнения? .

Някои биха го направили.

Имайте предвид, че като добавите лявата страна на първото към лявата страна на второто уравнение и дясната страна към дясната страна, можете да се отървете от неизвестните променливи x 2 и x 3 и веднага да намерите x 1:

Заместваме намерената стойност x 1 =1 в първото и третото уравнение на системата:

Ако умножим двете страни на третото уравнение на системата по -1 и ги добавим към съответните части на първото уравнение, ние се отърваваме от неизвестната променлива x 3 и можем да намерим x 2:

Заместваме получената стойност x 2 = 2 в третото уравнение и намираме останалата неизвестна променлива x 3:

Други биха постъпили по различен начин.

Нека разрешим първото уравнение на системата по отношение на неизвестната променлива x 1 и заместваме получения израз във второто и третото уравнение на системата, за да изключим тази променлива от тях:

Сега нека решим второто уравнение на системата за x 2 и заместим получения резултат в третото уравнение, за да елиминираме неизвестната променлива x 2 от него:

От третото уравнение на системата е ясно, че x 3 =3. От второто уравнение намираме , а от първото уравнение получаваме .

Познати решения, нали?

Най-интересното тук е, че вторият метод на решение е по същество методът на последователното елиминиране на неизвестните, тоест методът на Гаус. Когато изразихме неизвестните променливи (първо x 1, на следващия етап x 2) и ги заместихме в останалите уравнения на системата, по този начин ги изключихме. Извършихме елиминиране, докато в последното уравнение остана само една неизвестна променлива. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни се нарича директен метод на Гаус. След като завършим преместването напред, имаме възможност да изчислим неизвестната променлива в последното уравнение. С негова помощ намираме следващата неизвестна променлива от предпоследното уравнение и т.н. Процесът на последователно намиране на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение към първото се нарича обратно на метода на Гаус.

Трябва да се отбележи, че когато изразим x 1 чрез x 2 и x 3 в първото уравнение и след това заместим получения израз във второто и третото уравнения, следните действия водят до същия резултат:

Наистина, такава процедура също така позволява да се елиминира неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата:

Нюанси с елиминирането на неизвестни променливи с помощта на метода на Гаус възникват, когато уравненията на системата не съдържат някои променливи.

Например в SLAU в първото уравнение няма неизвестна променлива x 1 (с други думи, коефициентът пред нея е нула). Следователно не можем да решим първото уравнение на системата за x 1, за да елиминираме тази неизвестна променлива от останалите уравнения. Изходът от тази ситуация е да се разменят уравненията на системата. Тъй като разглеждаме системи от линейни уравнения, чиито детерминанти на главните матрици са различни от нула, винаги има уравнение, в което присъства променливата, от която се нуждаем, и можем да пренаредим това уравнение до позицията, от която се нуждаем. За нашия пример е достатъчно да разменим първото и второто уравнения на системата , тогава можете да разрешите първото уравнение за x 1 и да го изключите от останалите уравнения на системата (въпреки че x 1 вече не присъства във второто уравнение).

Надяваме се да схванете същината.

Нека опишем Алгоритъм на метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да решим система от n линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи от вида и нека детерминантата на основната му матрица е различна от нула.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Нека елиминираме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, като започнем от второто. За да направим това, към второто уравнение на системата добавяме първото, умножено по , към третото уравнение добавяме първото, умножено по , и така нататък, към n-то уравнение добавяме първото, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където , и .

Щяхме да стигнем до същия резултат, ако бяхме изразили x 1 по отношение на други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и бяхме заместили получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.

След това процедираме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направим това, към третото уравнение на системата добавяме второто, умножено по , към четвъртото уравнение добавяме второто, умножено по , и така нататък, към n-тото уравнение добавяме второто, умножено по . Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

където , и . Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминиране на неизвестното x 3, докато действаме по подобен начин с частта от системата, маркирана на фигурата

Така че ние продължаваме директното развитие на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратното на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност на x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение .

Нека да разгледаме алгоритъма с пример.

Пример.

Метод на Гаус.

Решение.

Коефициентът a 11 е различен от нула, така че нека преминем към директната прогресия на метода на Гаус, тоест към изключването на неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, с изключение на първото. За да направите това, към лявата и дясната страна на второто, третото и четвъртото уравнение добавете лявата и дясната страна на първото уравнение, умножени съответно по . И :

Неизвестната променлива x 1 е елиминирана, нека преминем към елиминирането на x 2 . Към лявата и дясната страна на третото и четвъртото уравнение на системата добавяме лявата и дясната страна на второто уравнение, умножени съответно по и :

За да завършим напредването на метода на Гаус, трябва да елиминираме неизвестната променлива x 3 от последното уравнение на системата. Нека добавим съответно към лявата и дясната страна на четвъртото уравнение лявата и дясната страна на третото уравнение, умножени по :

Можете да започнете обратното на метода на Гаус.

От последното уравнение, което имаме ,
от третото уравнение получаваме,
от втория,
от първия.

За да проверите, можете да замените получените стойности на неизвестните променливи в оригиналната система от уравнения. Всички уравнения се превръщат в идентичности, което показва, че решението по метода на Гаус е намерено правилно.

отговор:

Сега нека дадем решение на същия пример, използвайки метода на Гаус в матрична нотация.

Пример.

Намерете решението на системата от уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Разширената матрица на системата има формата . В горната част на всяка колона са неизвестните променливи, които съответстват на елементите на матрицата.

Директният подход на метода на Гаус тук включва намаляване на разширената матрица на системата до трапецовидна форма с помощта на елементарни трансформации. Този процес е подобен на елиминирането на неизвестни променливи, което направихме със системата в координатна форма. Сега ще видите това.

Нека трансформираме матрицата така, че всички елементи в първата колона, започвайки от втората, да станат нула. За да направите това, към елементите на втория, третия и четвъртия ред добавяме съответните елементи на първия ред, умножени по, и съответно:

След това трансформираме получената матрица, така че във втората колона всички елементи, започвайки от третата, да станат нула. Това би съответствало на елиминирането на неизвестната променлива x 2 . За да направите това, към елементите на третия и четвъртия ред добавяме съответните елементи на първия ред на матрицата, умножени съответно по и :

Остава да изключим неизвестната променлива x 3 от последното уравнение на системата. За да направите това, към елементите на последния ред на получената матрица добавяме съответните елементи на предпоследния ред, умножени по :

Трябва да се отбележи, че тази матрица съответства на система от линейни уравнения

който е получен по-рано след движение напред.

Време е да се върнем. В матричната нотация обратното на метода на Гаус включва трансформиране на получената матрица така, че матрицата, маркирана на фигурата

стана диагонал, тоест прие формата

къде са някои числа.

Тези трансформации са подобни на предните трансформации на метода на Гаус, но се извършват не от първия ред към последния, а от последния към първия.

Добавете към елементите на третия, втория и първия ред съответните елементи на последния ред, умножени по , нататък и нататък съответно:

Сега добавете към елементите на втория и първия ред съответните елементи на третия ред, умножени съответно по и по:

В последната стъпка на обратния метод на Гаус, към елементите на първия ред добавяме съответните елементи на втория ред, умножени по:

Получената матрица съответства на системата от уравнения , откъдето намираме неизвестните променливи.

отговор:

МОЛЯ, ОБЪРНЕТЕ ВНИМАНИЕ.

Когато използвате метода на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, трябва да се избягват приблизителни изчисления, тъй като това може да доведе до напълно неверни резултати. Препоръчваме да не закръглявате десетичните знаци. По-добре е да преминете от десетични дроби към обикновени дроби.

Пример.

Решете система от три уравнения по метода на Гаус .

Решение.

Обърнете внимание, че в този пример неизвестните променливи имат различно обозначение (не x 1, x 2, x 3, а x, y, z). Да преминем към обикновените дроби:

Нека изключим неизвестното x от второто и третото уравнение на системата:

В получената система неизвестната променлива y отсъства във второто уравнение, но y присъства в третото уравнение, следователно, нека разменим второто и третото уравнение:

Това завършва директната прогресия на метода на Гаус (няма нужда да изключвате y от третото уравнение, тъй като тази неизвестна променлива вече не съществува).

Да започнем обратното движение.

От последното уравнение намираме ,
от предпоследния

от първото уравнение, което имаме

отговор:

X = 10, y = 5, z = -20.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните или основната матрица на системата е единична, чрез метода на Гаус.

Системи от уравнения, чиято основна матрица е правоъгълна или квадратна сингулярна, може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкраен брой решения.

Сега ще разберем как методът на Гаус ни позволява да установим съвместимостта или несъответствието на система от линейни уравнения и в случай на нейната съвместимост да определим всички решения (или едно единствено решение).

По принцип процесът на елиминиране на неизвестни променливи в случай на такива SLAE остава същият. Струва си обаче да навлезете в подробности за някои ситуации, които могат да възникнат.

Да преминем към най-важния етап.

И така, нека приемем, че системата от линейни алгебрични уравнения, след завършване на напредването на метода на Гаус, приема формата и нито едно уравнение не беше сведено до (в този случай бихме заключили, че системата е несъвместима). Възниква логичен въпрос: „Какво да правя след това“?

Нека запишем неизвестните променливи, които са на първо място във всички уравнения на получената система:

В нашия пример това са x 1, x 4 и x 5. От лявата страна на уравненията на системата оставяме само онези членове, които съдържат написаните неизвестни променливи x 1, x 4 и x 5, останалите членове се прехвърлят в дясната страна на уравненията с обратен знак:

Нека дадем произволни стойности на неизвестните променливи, които са от дясната страна на уравненията, където - произволни числа:

След това десните страни на всички уравнения на нашия SLAE съдържат числа и можем да продължим към обратния метод на Гаус.

От последното уравнение на системата, което имаме, от предпоследното уравнение, което намираме, от първото уравнение получаваме

Решението на система от уравнения е набор от стойности на неизвестни променливи

Даване на числа различни стойности, ще получим различни решения на системата от уравнения. Тоест нашата система от уравнения има безкрайно много решения.

отговор:

Къде - произволни числа.

За да консолидираме материала, ще анализираме подробно решенията на още няколко примера.

Пример.

Решаване на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x от второто и третото уравнение на системата. За да направите това, към лявата и дясната страна на второто уравнение добавяме съответно лявата и дясната страна на първото уравнение, умножени по , а към лявата и дясната страна на третото уравнение добавяме лявата и дясната страна на първото уравнение, умножено по:

Сега нека изключим y от третото уравнение на получената система от уравнения:

Полученият SLAE е еквивалентен на системата .

Оставяме от лявата страна на уравненията на системата само членовете, съдържащи неизвестните променливи x и y, и преместваме членовете с неизвестната променлива z в дясната страна:

Методът на Гаус, наричан още метод на последователно елиминиране на неизвестни, е както следва. С помощта на елементарни трансформации система от линейни уравнения се привежда в такава форма, че нейната матрица от коефициенти се оказва трапецовидни (същите като триъгълни или стъпаловидни) или близо до трапец (директен ход на метода на Гаус, по-долу - просто прав ход). Пример за такава система и нейното решение е на фигурата по-горе.

В такава система последното уравнение съдържа само една променлива и нейната стойност може да бъде недвусмислено намерена. След това стойността на тази променлива се замества в предишното уравнение ( обратно на метода на Гаус , след това точно обратното), от която е намерена предишната променлива и т.н.

В трапецовидна (триъгълна) система, както виждаме, третото уравнение вече не съдържа променливи ги х, а второто уравнение е променливата х .

След като матрицата на системата придобие трапецовидна форма, вече не е трудно да се разбере въпросът за съвместимостта на системата, да се определи броят на решенията и да се намерят самите решения.

Предимства на метода:

при решаване на системи от линейни уравнения с повече от три уравнения и неизвестни, методът на Гаус не е толкова тромав, колкото метода на Крамер, тъй като решаването с метода на Гаус изисква по-малко изчисления;
методът на Гаус може да решава неопределени системи от линейни уравнения, тоест да има общо решение (и ние ще ги анализираме в този урок), а използвайки метода на Крамер, можем само да заявим, че системата е неопределена;
можете да решавате системи от линейни уравнения, в които броят на неизвестните не е равен на броя на уравненията (ние също ще ги анализираме в този урок);
Методът се основава на елементарни (училищни) методи - методът за заместване на неизвестни и методът за добавяне на уравнения, които засегнахме в съответната статия.

За да може всеки да разбере простотата, с която се решават трапецовидни (триъгълни, стъпаловидни) системи от линейни уравнения, ние представяме решение на такава система, използвайки обратно движение. Бързо решение на тази система беше показано на снимката в началото на урока.

Пример 1.Решете система от линейни уравнения, като използвате обратно:

Решение. В тази трапецовидна система променливата zможе да се намери еднозначно от третото уравнение. Заместваме стойността му във второто уравнение и получаваме стойността на променливата г:

Сега знаем стойностите на две променливи - zи г. Заместваме ги в първото уравнение и получаваме стойността на променливата х:

От предишните стъпки изписваме решението на системата от уравнения:

За да се получи такава трапецовидна система от линейни уравнения, която решихме много просто, е необходимо да се използва ход напред, свързан с елементарни трансформации на системата от линейни уравнения. Освен това не е много трудно.

Елементарни преобразувания на система от линейни уравнения

Повтаряйки училищния метод за алгебрично събиране на уравненията на система, открихме, че към едно от уравненията на системата можем да добавим друго уравнение на системата и всяко от уравненията може да бъде умножено по някои числа. В резултат на това получаваме система от линейни уравнения, еквивалентна на тази. В него едно уравнение вече съдържа само една променлива, замествайки стойността на която в други уравнения, стигаме до решение. Такова добавяне е един от видовете елементарни трансформации на системата. Когато използваме метода на Гаус, можем да използваме няколко вида трансформации.

Анимацията по-горе показва как системата от уравнения постепенно се превръща в трапецовидна. Тоест тази, която видяхте в първата анимация и се убедихте, че е лесно да намерите стойностите на всички неизвестни от нея. Как да извършите такава трансформация и, разбира се, примери ще бъдат обсъдени допълнително.

При решаване на системи от линейни уравнения с произволен брой уравнения и неизвестни в системата от уравнения и в разширената матрица на системата може:

пренареждане на редове (това беше споменато в самото начало на тази статия);
ако други трансформации водят до равни или пропорционални редове, те могат да бъдат изтрити, с изключение на един;
премахнете „нулевите“ редове, където всички коефициенти са равни на нула;
умножете или разделете произволен низ с определено число;
към всеки ред добавете друг ред, умножен по определено число.

В резултат на трансформациите получаваме система от линейни уравнения, еквивалентна на тази.

Алгоритъм и примери за решаване на система от линейни уравнения с квадратна матрица на системата по метода на Гаус

Нека първо разгледаме решаването на системи от линейни уравнения, в които броят на неизвестните е равен на броя на уравненията. Матрицата на такава система е квадратна, т.е. броят на редовете в нея е равен на броя на колоните.

Пример 2.Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Когато решавахме системи от линейни уравнения, използвайки училищни методи, умножихме едно от уравненията член по член, така че коефициентите на първата променлива в двете уравнения бяха противоположни числа. При добавяне на уравнения тази променлива се елиминира. Методът на Гаус работи по подобен начин.

За опростяване на външния вид на разтвора нека създадем разширена матрица на системата:

В тази матрица коефициентите на неизвестните са разположени вляво преди вертикалната линия, а свободните членове са разположени вдясно след вертикалната линия.

За удобство при разделяне на коефициенти за променливи (за получаване на деление на единица) Нека разменим първия и втория ред на системната матрица. Получаваме система, еквивалентна на тази, тъй като в система от линейни уравнения уравненията могат да се разменят:

Използване на новото първо уравнение елиминирайте променливата хот второто и всички следващи уравнения. За да направите това, към втория ред на матрицата добавяме първия ред, умножен по (в нашия случай по), към третия ред - първия ред, умножен по (в нашия случай по).

Това е възможно, защото

Ако имаше повече от три уравнения в нашата система, тогава ще трябва да добавим към всички следващи уравнения първия ред, умножен по съотношението на съответните коефициенти, взети със знак минус.

В резултат на това получаваме матрица, еквивалентна на тази система от нова система от уравнения, в която всички уравнения, започвайки от второто не съдържат променлива х :

За да опростим втория ред на получената система, ние го умножаваме по и отново получаваме матрицата на системата от уравнения, еквивалентна на тази система:

Сега, запазвайки първото уравнение на получената система непроменено, използвайки второто уравнение, елиминираме променливата г от всички следващи уравнения. За да направите това, към третия ред на системната матрица добавяме втория ред, умножен по (в нашия случай по).

Ако имаше повече от три уравнения в нашата система, тогава ще трябва да добавим втори ред към всички следващи уравнения, умножени по съотношението на съответните коефициенти, взети със знак минус.

В резултат на това отново получаваме матрицата на система, еквивалентна на тази система от линейни уравнения:

Получихме еквивалентна трапецовидна система от линейни уравнения:

Ако броят на уравненията и променливите е по-голям, отколкото в нашия пример, тогава процесът на последователно елиминиране на променливите продължава, докато системната матрица стане трапецовидна, както в нашия демонстрационен пример.

Ще намерим решението „от края“ - обратният ход. За това от последното уравнение определяме z:
.
Замествайки тази стойност в предишното уравнение, ще намерим г:

От първото уравнение ще намерим х:

Отговор: решението на тази система от уравнения е .

: в този случай ще бъде даден същият отговор, ако системата има уникално решение. Ако системата има безкраен брой решения, тогава това ще бъде отговорът и това е темата на петата част на този урок.

Решете сами система от линейни уравнения по метода на Гаус и след това вижте решението

Тук отново имаме пример за последователна и определена система от линейни уравнения, в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните. Разликата от нашия демо пример от алгоритъма е, че вече има четири уравнения и четири неизвестни.

Пример 4.Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус:

Сега трябва да използвате второто уравнение, за да елиминирате променливата от следващите уравнения. Нека да извършим подготвителната работа. За да бъде по-удобно съотношението на коефициентите, трябва да получите един във втората колона на втория ред. За да направите това, извадете третия от втория ред и умножете получения втори ред по -1.

Нека сега извършим действителното елиминиране на променливата от третото и четвъртото уравнения. За да направите това, добавете втория ред, умножен по , към третия ред и втория, умножен по , към четвъртия ред.

Сега, използвайки третото уравнение, елиминираме променливата от четвъртото уравнение. За да направите това, добавете третия ред към четвъртия ред, умножен по . Получаваме разширена трапецовидна матрица.

Получихме система от уравнения, на която дадената система е еквивалентна:

Следователно получената и дадена система са съвместими и определени. Намираме крайното решение „от края“. От четвъртото уравнение можем директно да изразим стойността на променливата "x-четири":

Заместваме тази стойност в третото уравнение на системата и получаваме

И накрая, заместване на стойността

Първото уравнение дава

къде намираме "x първо":

Отговор: тази система от уравнения има уникално решение .

Можете също да проверите решението на системата на калкулатор, като използвате метода на Крамер: в този случай ще бъде даден същият отговор, ако системата има уникално решение.

Решаване на приложни задачи по метода на Гаус по примера на задача върху сплави

Системите от линейни уравнения се използват за моделиране на реални обекти във физическия свят. Нека решим един от тези проблеми - сплавите. Подобни проблеми са задачи за смеси, цена или дял на отделни стоки в група стоки и други подобни.

Пример 5.Три парчета сплав имат обща маса 150 kg. Първата сплав съдържа 60% мед, втората - 30%, третата - 10%. Освен това във втората и третата сплав взети заедно има 28,4 kg по-малко мед, отколкото в първата сплав, а в третата сплав има 6,2 kg по-малко мед, отколкото във втората. Намерете масата на всяко парче от сплавта.

Решение. Съставяме система от линейни уравнения:

Умножаваме второто и третото уравнение по 10, получаваме еквивалентна система от линейни уравнения:

Създаваме разширена матрица на системата:

Внимание, право напред. Чрез добавяне (в нашия случай изваждане) на един ред, умножен по число (прилагаме го два пъти), се получават следните трансформации с разширената матрица на системата:

Директният ход приключи. Получихме разширена трапецовидна матрица.

Прилагаме обратния ход. Намираме решението от края. Виждаме това.

От второто уравнение намираме

От третото уравнение -

Простотата на метода на Гаус се доказва от факта, че на немския математик Карл Фридрих Гаус са му отнели само 15 минути, за да го изобрети. В допълнение към метода, наречен на негово име, от произведенията на Гаус е известна поговорката „Не трябва да бъркаме това, което ни се струва невероятно и неестествено с абсолютно невъзможното“ - нещо като кратка инструкция за правене на открития.

В много приложни задачи може да няма трето ограничение, тоест трето уравнение; тогава, използвайки метода на Гаус, трябва да се реши система от две уравнения с три неизвестни или, обратно, има по-малко неизвестни от уравненията. Сега ще започнем да решаваме такива системи от уравнения.

Използвайки метода на Гаус, можете да определите дали дадена система е съвместима или несъвместима плинейни уравнения с ппроменливи.

Метод на Гаус и системи от линейни уравнения с безкраен брой решения

Следващият пример е последователна, но неопределена система от линейни уравнения, която има безкраен брой решения.

След извършване на трансформации в разширената матрица на системата (пренареждане на редове, умножаване и деление на редове с определено число, добавяне на друг към един ред), могат да се появят редове от формата

Ако във всички уравнения, имащи формата

Свободните членове са равни на нула, това означава, че системата е неопределена, тоест има безкраен брой решения и уравненията от този тип са „излишни“ и ние ги изключваме от системата.

Пример 6.

Решение. Нека създадем разширена матрица на системата. След това, използвайки първото уравнение, елиминираме променливата от следващите уравнения. За да направите това, добавете към втория, третия и четвъртия ред първия, умножен по:

Сега нека добавим втория ред към третия и четвъртия.

В резултат на това стигаме до системата

Последните две уравнения се превърнаха в уравнения от вида. Тези уравнения са изпълнени за всяка стойност на неизвестните и могат да бъдат отхвърлени.

За да удовлетворим второто уравнение, можем да изберем произволни стойности за и , тогава стойността за ще бъде определена еднозначно: . От първото уравнение стойността за също се намира уникално: .

Както дадената, така и последната система са последователни, но несигурни и формулите

за произволни и ни дават всички решения на дадена система.

Метод на Гаус и системи линейни уравнения без решения

Следващият пример е непоследователна система от линейни уравнения, която няма решения. Отговорът на такива проблеми се формулира по следния начин: системата няма решения.

Както вече беше споменато във връзка с първия пример, след извършване на трансформации, редове от формуляра могат да се появят в разширената матрица на системата

съответстващ на уравнение от формата

Ако сред тях има поне едно уравнение с ненулев свободен член (т.е.), тогава тази система от уравнения е непоследователна, тоест няма решения и нейното решение е пълно.

Пример 7.Решете системата от линейни уравнения по метода на Гаус:

Решение. Съставяме разширена матрица на системата. Използвайки първото уравнение, ние изключваме променливата от следващите уравнения. За да направите това, добавете първия ред, умножен по към втория ред, първия ред, умножен по третия ред, и първия ред, умножен по четвъртия ред.

Сега трябва да използвате второто уравнение, за да елиминирате променливата от следващите уравнения. За да получим целочислени съотношения на коефициентите, разменяме втория и третия ред на разширената матрица на системата.

За да изключите третото и четвъртото уравнение, добавете второто, умножено по , към третия ред и второто, умножено по , към четвъртия ред.

Сега, използвайки третото уравнение, елиминираме променливата от четвъртото уравнение. За да направите това, добавете третия ред към четвъртия ред, умножен по .

Следователно дадената система е еквивалентна на следното:

Получената система е непоследователна, тъй като нейното последно уравнение не може да бъде удовлетворено от никакви стойности на неизвестните. Следователно тази система няма решения.

2. Модификации на метода на Гаус

Метод на Гаус с избор на основния елемент. Основното ограничение на метода на Гаус е предположението, че всички елементи, на които се извършва разделяне на всяка стъпка напред, не са равни на нула. Тези елементи се наричат главни елементи и са разположени на главния диагонал на матрицата А.

Ако на някаква стъпка от движението напред основният елемент = 0, тогава по-нататъшното решение на системата е невъзможно. Ако основният елемент има малка стойност, близка до нула, тогава е възможно силно увеличение на грешката поради рязко увеличаване на абсолютната стойност на коефициентите, получени в резултат на разделяне. В такива ситуации методът на Гаус става нестабилен.

Методът на Гаус с избора на основния елемент ни позволява да изключим появата на такива случаи.

Идеята на този метод е следната. При някоя k-та стъпка от движението напред, не следващата номерирана променлива x k се изключва от уравненията, а променливата, чийто коефициент е най-голям по абсолютна стойност. Това гарантира, че няма деление на нула и че методът остава стабилен.

Ако на k-та стъпка ¹ се избере като основен елемент, то в матрицата A¢ трябва да се разменят редовете с номера k и p и колоните с номера k и q.

Пренареждането на редовете не влияе на решението, тъй като съответства на обръщане на уравненията в системата, но пренареждането на колоните означава промяна на номерацията на променливите. Следователно информацията за всички пренаредени колони трябва да се запази, така че след приключване на обратното преместване да може да се възстанови първоначалното номериране на променливите.

Има две по-прости модификации на метода на Гаус:

С избор на основния елемент по колона;

С избор на основния елемент по линия.

В първия случай най-големият по абсолютна стойност елемент на k-тия ред (измежду елементите , i = ) се избира като основен елемент. Във втория - най-големият елемент по абсолютна стойност от k-тата колона (измежду елементите , i = ). Първият подход е най-разпространен, тъй като номерирането на променливите тук не се променя.

Трябва да се отбележи, че тези модификации се отнасят само за движението напред по метода на Гаус. Обратното преместване се извършва без промени, но след получаване на решение може да се наложи възстановяване на първоначалното номериране на променливите.

LU разлагане. В съвременния компютърен софтуер методът на Гаус се прилага с помощта на LU разлагане, което се разбира като представяне на коефициентната матрица A като произведение A = LU на две матрици L и U, където L е долната триъгълна матрица, U е горната триъгълна матрица

Ако се получи разширението на LU, тогава решението на оригиналната система от уравнения (2) се свежда до последователното решение на следните две системи от уравнения с триъгълни коефициентни матрици

линейно алгебрично уравнение числено

където Y = е вектор от спомагателни променливи.

Този подход ви позволява многократно да решавате системи от линейни уравнения с различни десни части B. В този случай най-трудоемката част (LU декомпозиция на матрицата A) се извършва само веднъж. Тази процедура съответства на напредването на метода на Гаус и има оценка на сложността O(n 3). По-нататъшното решение на системи от уравнения (6) и (7) може да се извърши многократно (за различни B), като решението на всяко от тях съответства на обратния метод на Гаус и има оценка на изчислителната сложност на O(n 2 ).

За да получите разлагане на LU, можете да използвате следния алгоритъм.

1. За първоначалната система (1) извършете напредването на метода на Гаус и получете система от триъгълни уравнения (5).

2. Определяне на елементите на матрицата U по правилото

u ij = C ij (i = ; j = )

3. Изчислете елементите на матрица L по правилата

Изчислителните формули за решаване на система (6) имат следния вид:

y 1 = b 1 / l 11;

Формули за изчисление за решаване на система (7)

(i = n - 1, n - 2, …, 1).

В същото време действителното намиране на обратната матрица е доста трудоемък процес и програмирането му едва ли може да се нарече елементарна задача. Ето защо в практиката по-често се използват числени методи за решаване на системи от линейни уравнения. Числените методи за решаване на системи от линейни уравнения включват следните: метод на Гаус, метод на Крамер, итеративни методи. В метода на Гаус например работят върху...

35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35455 x4=0.58557 5. Сравнителен анализ на различни методи за числено диференциране и интегриране ia 5.1 Методи за числено диференциране 5.1.1 Метод на описание Нека приемем, че в околност на точката xi функцията F (x) е диференцируема достатъчен брой пъти. ...

В Turbo Pascal 7.0 за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения чрез метода на проста итерация. 1.2 Математическа формулировка на задачата Нека A е неособена матрица и трябва да решим система, в която диагоналните елементи на матрица A са различни от нула. 1.3 Преглед на съществуващите числени методи за решаване на проблема Метод на Гаус В метода на Гаус матрицата SLAE, използваща еквивалентни...

Числа). След това, използвайки формули (2), xn-1, xn-2,..., x1 се намират последователно за i=n-1, n-2,...,1, съответно. По този начин решението на уравнения от тип (1) се описва чрез метод, наречен метод на почистване, който се свежда до изчисления с помощта на три прости формули: намиране на така наречените коефициенти на почистване δi, λi с помощта на формули (3) за i=1 ,2,…,n (директно почистване) и след това неизвестен xi по...