Трептения във физич системи, описани от нелинейни системи от обикновени диференциални уравнения, където съдържа членове от най-малко 2-ра степен във векторните компоненти - векторна функция на времето - малък параметър (или и). Възможните обобщения са свързани с разглеждането на прекъснати системи, въздействия с прекъснати характеристики (например като хистерезис), закъснение и случайни въздействия, интегро-диференциални и диференциални операторни уравнения, осцилаторни системи с разпределени параметри, описани от частични диференциални уравнения, както и като използване на методи за оптимално управление на нелинейни колебателни системи. Основните общи задачи на N.K.: намиране на равновесни положения, стационарни режими, по-специално периодични. движения, собствени трептения и изследване на тяхната устойчивост, проблеми на синхронизацията и стабилизирането на Н. К. Всички физ. системите, строго погледнато, са нелинейни. Една от най-характерните особености на НК е нарушаването при тях на принципа на наслагване на трептенията: резултатът от всяко от въздействията при наличие на другото се оказва различен, отколкото при отсъствието на другото въздействие. Квазилинейни системи - системи (1) при. Основният метод на изследване е методът на малките параметри. На първо място, това е методът на Поанкаре-Линдщед за определяне на периодичността. решения на квазилинейни системи, аналитични в параметър за достатъчно малки стойности, или под формата на серия в правомощия (виж глава IX), или под формата на серия в правомощия на и - добавки към началните стойности на векторните компоненти (виж глава III). За по-нататъшно развитие на този метод вижте например в -. Друг метод с малък параметър е методът на осредняване. В същото време в изследването на квазилинейните системи навлязоха нови методи: асимптотични. методи (виж, ), методът на K-функциите (виж), базиран на фундаменталните резултати на А. М. Ляпунов - Н. Г. Четаев и др. По същество нелинейни системи, в които няма предварително зададен малък параметър. За системи на Ляпунов, където и сред собствените стойности на матрицата няма кратни на корена - аналитичен. векторна функция x, разширението започва с членове от поне 2-ри ред и има аналитичен първи интеграл от специална форма (виж § 42) предложи метод за намиране на периодични функции. решения под формата на редица по степени на произволна константа c (за която може да се вземе началната стойност на една от двете критични променливи). За системи, близки до системите на Ляпунов, където същата форма като в (2) е аналитична. векторна функция и малък параметър, непрекъснат и -периодичен по t, също е предложен метод за определяне на периодичността. решения (вж. глава VIII). Системи от тип Ляпунов (2), в които матрицата има l нулеви собствени стойности с прости елементарни делители, две - чисто въображаеми собствени стойности и няма собствени стойности, които са кратни - същото като в (2), могат да бъдат сведени до системи Ляпунов (виж IV.2). Н.К. също учи в системи Ляпунов и в т.нар. системи на Ляпунов с амортизиране и също така реши общия проблем с изпомпването на енергия в тях (виж глави I, III, IV). Нека една по същество нелинейна автономна система се редуцира до Йордановата форма на нейната линейна част, където векторът, по предположение, има поне един ненулев компонент; , са равни съответно на нула или единица при липса или наличие на сложни елементарни делители на матрицата на линейната част, - коефициенти; наборът от стойности на вектор с цяло число компоненти е както следва: Тогава има нормализираща трансформация: водеща (3) до нормалната форма на диференциални уравнения
и такива какво ако. По този начин нормалната форма (5) съдържа само резонансни членове, т.е. коефициентите могат да бъдат различни от нула само за тези, за които е изпълнено резонансното уравнение, което играе важна роля в теорията на трептенията. Конвергенцията и дивергенцията на нормализиращата трансформация (4) е изследвана (вижте част I, глави II, III); е дадено изчисляването на коефициентите (чрез тяхната симетризация) (виж § 5.3). В редица задачи върху нелинейната форма на по същество нелинейни автономни системи методът на нормалните форми се оказа ефективен (вижте глави VI-VIII). Сред другите методи за изучаване на по същество нелинейни системи се използва методът на точковото картографиране (виж), стробсконик. метод и функционално-аналитичен. методи. Качествени методи на нелинейни диференциални уравнения. Отправна точка тук е изследването на формата на интегралните криви на нелинейните обикновени диференциални уравнения, извършено от А. Поанкаре (N. Poincare, виж). За приложения към проблеми на N.K., описани от автономни системи от 2-ри ред, вижте. Изследвани са въпросите за съществуването на периодичност. решения и тяхната устойчивост в големи за многомерни системи; Разглеждат се приложенията на теорията на обикновените диференциални уравнения с малък параметър за някои производни към проблемите на релаксационните нелинейни уравнения. Важни аспекти на Н. к. и лит. вижте статиите Теория на смущенията, Теория на трептенията. Лит.: Поанкаре А., Избр. произведения, прев. от френски, т. 1, М., 1971; Андронов А. А., Вит А. А., Хайкин С. Е., Теория на трептенията, 2 изд., М., 1959; Булгаков Б.В., Трептения, М., 1954; Малкин И.Г., Някои проблеми на теорията на нелинейните трептения, М., 1956: Боголюбов Н.Н., Избр. съчинения, т. 1, К., 1969; [b] Боголюбов Н.Н., Митрополски Ю.А., Асимптотични методи в теорията на нелинейните трептения, 4 изд., М-, 1974; Каменков Г.В., Избр. съчинения, т. 1-2, М., 1971-72; Ляпунов А. М., Колекция. съч., т. 2, М.-Л., 195Б, с. 7-263; Старжински В.М., Приложни методи на нелинейни трептения, М., 1977; Бруно А.Д., "Тр. Московско математическо общество", 1971 г., том 25, стр. 119-262; 1972, том 26, с. 199-239; Неймарк Ю. И., Метод на точковите преобразувания в теорията на нелинейните трептения, М., 1972; Minorsky N., Въведение в нелинейната механика, Ann Arbor, 1947; Красноселски М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С., Нелинейни почти периодични колебания, М., 1970; Поанкаре А., За криви, определени от диференциални уравнения, прев. от френски, М. -Л., 1947; Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А., Въведение в теорията на нелинейните трептения, М., 1976; Plise V.A., Нелокални проблеми на теорията на трептенията, М. -Л., 1964; Мишченко Е. Ф., Розов Н. X., Диференциални уравнения с малък параметър и релаксационни трептения, М., 1975. В. М. Старжински.
Вижте стойността Нелинейни трептенияв други речници
Среден доход плюс колебания— ЕФЕКТИВНОСТ НА СРЕДНАТА ВАРИАНЦИЯ Модел за формиране на оптимален портфейл от ценни книжа за инвеститорите, базиран на заключението на Хари Марковиц, че
лице, инвестиращо
........
Икономически речник
Капиталова загуба, загуба на капитал поради колебания в процентите на печалба; Капиталова загуба поради— Сумата, с която печалбата от продажбата на капиталови активи е по-малка от разходите за тяхното придобиване. Преди Закона за данъчната реформа от 1986 г. $2.........
Икономически речник
трептения— MOVERРастеж или
намаление на цените на определен вид акции или цените на пазара като цяло в резултат на благоприятни или неблагоприятни условия, както и в резултат на........
Икономически речник
Колебания в пазарните условия— промени в икономическите параметри във времето, свързани с обективните реалности на пазарната икономика, включително сезонни промени.
Икономически речник
Колебания на обменния курс
Икономически речник
Колебания на обменните курсове (валути, ценни книжа)- промени в обменните цени на валути, стойност
хартия под влияние на пром
търсене,
оферти и други фактори.
Икономически речник
Максимално колебание на обменния курс- английски максимално колебание на цената е максималното колебание на курса на договора в една или друга посока по време на борсова сесия, определено от правилата на борсата.
Икономически речник
Колебания в пазарните условия— ПАЗАРНИ ЛЮЛКИ Вж. люлка; БИЗНЕС ЦИКЪЛ; СПЕКУЛАТИВЕН ЦИКЪЛ
Икономически речник
Сезонни колебания— СЕЗОННИ ИЗМЕНЕНИЯ Повече или по-малко регулярни
колебания в бизнес активността, причинени от сезонни фактори. например,
Обемът на отписаните пари от банкови сметки през декември обикновено е........
Икономически речник
Принцип на флуктуацията на курса— ФЛУКТУИРАЩ ПРИНЦИП Принципът за избор на ценни книжа (облигации или акции) въз основа на амплитудата на колебанията в техните пазарни курсове през целия икономически период. цикъл. Обхватът на такива колебания.........
Икономически речник
Сезонни вариации- повишение или
намаляване на нивото на икономическа активност, мащаба на икономическата активност поради смяната на сезоните.
Икономически речник
Сезонни колебания на цените- цените варират в зависимост от времето на годината (
цени на селскостопанските продукти), сезон (цени на облекло и обувки).
Икономически речник
Търговски колебания— Акции, към които се закръглят цените при сделки с ценни книжа.
Икономически речник
Флуктуации; трептения; нестабилност; промяна— (1) Промяна в цените или лихвените проценти в посока на увеличение или намаление. Терминът "флуктуация" може да се отнася както за малки, така и за големи промени в цената на акцията........
Икономически речник
Максимално колебание (колебания на цените/лимити за промяна)— Максималното дневно колебание на цената, разрешено на някои пазари. Виж: лимит (лимит/лимит).
Икономически речник
Пренареждане (механизъм за съвместно колебание на обменните курсове/преразглеждане на обменните курсове)— Процесът на обезценяване на една или повече валути, включени в Европейската валутна система. Обменният курс за всяка европейска валута се определя от обменния курс........
Икономически речник
Колебания на обменния курс— - промени в борсовите цени на валутите и ценните книжа под влияние на промени в търсенето, предлагането и други фактори.
Юридически речник
Сезонни вариации— - повишаване или намаляване на нивото на икономическа активност, мащаба на икономическата активност поради смяната на годишните сезони.
Юридически речник
Хармонични трептения— , периодично движение, като движението на МАХАЛО, атомни вибрации или трептения в електрическа верига. Тялото извършва незатихващи хармонични трептения, когато........
Научно-технически енциклопедичен речник
Принудени трептения- възникват в системата под въздействието на периодични външни въздействия (например принудени трептения на махало под въздействието на периодична сила, принудени трептения.......
Хармонични трептения- се характеризират с промяна на осцилираща величина x (например отклонение на махало от равновесно положение, напрежение във верига с променлив ток и др.) за време t по закона:....... .
Голям енциклопедичен речник
Затихващи трептения- собствени трептения, чиято амплитуда A намалява с времето t по експоненциалния закон A(t) = Аоexp (- ?t) (? - показател на затихване поради разсейване на енергия поради вискозни сили........
Голям енциклопедичен речник
трептения- движения (промени в състоянието) с различна степен на повторяемост. Най-често срещаните: 1) механични вибрации: вибрации на махало, мост, кораб........
Голям енциклопедичен речник
Вибрации на кристалната решетка- вибрации на атоми или йони, които изграждат кристал около равновесни позиции (възли на кристалната решетка). Амплитуда на топлинните вибрации на кристалната решетка........
Голям енциклопедичен речник
Свръхвисокочестотни трептения— (микровълнови) електромагнитни трептения с честота от 3108 до 31011 Hz; използва се във физиотерапията за локално повърхностно нагряване на телесните тъкани.
Голям медицински речник
Ултразвукови вибрации— виж Ултразвук.
Голям медицински речник
Нелинейни системи— осцилаторни системи, в които протичат процеси, които се описват с нелинейни диференциални уравнения. Свойствата и характеристиките на нелинейните системи зависят от тяхното състояние.
Голям енциклопедичен речник
Нормални трептения— собствени (свободни) хармонични трептения на линейни системи с постоянни параметри, при които няма загуба или приток на енергия отвън. Всеки е нормален.........
Голям енциклопедичен речник
Плазмени трептения— различни видове трептения, възбуждани и разпространяващи се в плазмата. Те включват бавни осцилации на тежки йони спрямо бързо осцилиращи електрони........
Голям енциклопедичен речник
Прекъснати трептения- релаксационни трептения, при които трептителният процес е последователност от бавни (в сравнение с периода на трептене) промени в състоянието......
Голям енциклопедичен речник
Теорията на нелинейните трептения започна активно да се използва и развива през последните 50 години. Основното значение в тази хипотеза, по-специално в концепцията за автоматичните вибрации, принадлежи на руския учен. М. Ляпунов и неговите поддръжници, чиято работа успя да докаже необходимостта от използване на нелинейни методи при решаването на сложни проблеми.
Бележка 1
Теорията на нелинейните трептения (или нелинейното механично движение на частиците на средата) е насочена към изучаване на нестабилни колебателни движения, описани във физиката под формата на диференциални уравнения.
Тази област на механиката осигурява по-точно разбиране на характеристиките на вибрационното движение на автоматичните системи. В резултат на това се получават линейни формули чрез опростяване на нелинейни. Следователно разглеждането на такива колебания позволява да се направят само определени изводи за свойствата на краткотрайните движения, които могат да бъдат само приблизителни. Въпреки това теорията на нелинейните вибрации включва важна информация за систематични решения, които изглеждат извън стабилността на стационарното състояние.
Начини за проявяване на нелинейни ефекти
Нелинейните процеси могат да бъдат генерирани чрез различни методи. Класически и ясен пример е нелинейна спирала, при която възстановяващата сила зависи пряко от първоначалното разтягане. В случай на паралелна нелинейност (един и същ резултат за напрежение и компресия), формулата за движението на частиците във всяко пространство приема формата:
$\chi + 2 \gamma \chi + \alpha \chi + \beta \chi^3 = f (t)$
Ако системата периодично се влияе от външна сила, тогава класическата хипотеза предполага, че крайната реакция също ще стане циклична. Резонансът на нелинейно явление при ниска честота на реакция се крие в съответствието му с плътността на концептуалните елементи. При постоянно движение на движещата сила възниква амплитуда на съответните честоти, при които са вероятни различни стойности на изместване на частиците.
Има и други сложни решения, като суперхармонични и субхармонични вибрации. Ако свързващата сила има холистичен вид, тогава другите колебания стават по-големи. Хипотезата за нелинейния резонанс се основава на предположението, че систематичното влияние включва създаването на периодичен отговор.
Самогенерираните трептения представляват друг важен клас нелинейни процеси. Това са вибрационни движения, които се формират в системи без циклични външни периодични сили или влияния.
Парадигма на хипотезата за нелинейни колебания
Теорията на нелинейните движения стана заместител на закона на Ван дер Пол за електрическите вибрации. Последното беше генетично свързано със създаването на принципите на хипотезата за радиотехническо устройство - тръбен разпределител. В такъв генератор, работещ с известно „триене” (т.е. неконсервативна концепция), постепенно се появяват незатихващи осцилаторни движения. Това означава, че системата включва източник на вътрешна енергия (или захранването систематично се подава към системата отвън). В този аспект обаче не говорим за принудителни вибрации. Устройството на лампата независимо генерира циклични самовъзбуждащи се трептения.
Такива процеси възникват и функционират поради универсалния дизайн на генератора, който включва в допълнение към осцилационен усилвател и верига, свързана към линия за обратна връзка с удар.
Оставяйки въпроса за парадигмата на споменатата хипотеза на Ван дер Пол неразрешен, е възможно грубо да се опише концепцията, която се наблюдава в трудовете на Манделщам, Андронов и техните последователи в края на 20-те години.
Бележка 2
Първият и основен елемент в трудовете на учените са „символни обобщения“ - математически уравнения, които определят и описват универсални научни закони. В съвременната физика това са предимно диференциални формули.
Ван дер Пол основно следва уравненията, които описват принципа на работа на обикновен тръбен разпределител:
$\frac (d^2x)(dt^2) - \mu (1 – 2x^2) \frac (dx)(dt) = x = 0$
Тук $x$ е общ параметър (в случай на генератор, сила на тока и енергия), $t$ е определен период от време, а нелинейният елемент $\frac(x)(dt)$ демонстрира работата на вакуумна тръба.
Значителна роля в историята на теорията на нелинейните вибрации изигра така нареченият метод на прилягане (по-късно наречен закон за структурно-линейно сближаване).
Всъщност в началото на 1927 г. Манделщам успя да анализира по-внимателно стабилността на осцилаторните движения, получени според този принцип. Методът на приспособяване все още се използва широко днес в хипотезата за нелинейни трептения.
Идеология на теорията на нелинейните процеси
Идеологията на разглежданата хипотеза, на първо място, характеризира характеристиките на собствените колебания.
Понятията за тези явления са въведени от L.V. Андронов в научни статии от 1928–1929 г. Всъщност Ван дер Пол също се занимава с механични вибрации, описвайки колебателните движения в тръбен генератор, но не може да си представи специален термин за тях.
В трудовете на Андронов „символното обобщение“ в крайна сметка се превърна в диференциално уравнение, по отношение на което формулата на Ван дер Пол е само частен случай. Нотацията за такава еквивалентност изглежда така:
$\frac (d^2x)(dt^2) + \frac ( 2dx)(dt + \omega^2 x) = f (\frac (x,dx)(dt))$
Идеологията се появява заедно с парадигмата, но се простира много по-далеч. Идеологическите процеси са изрази и думи, чиито значения се определят чрез аналогии, примери и илюстрации. Един от основните признаци на използването на термин в идеологията е известна ерозия на неговата същност. Концепцията условно надхвърля границите на собствения си обхват на приложение.
Министерство на образованието на Република Беларус
Учебно заведение
Брестски държавен университет на името на A.S. Пушкин
Физически факултет
Катедра Методика на обучението по физика и ОТД
КУРСОВА РАБОТА
НЕЛИНЕЙНИ ТРЕПТЕНИЯ И СИНХРОНИЗАЦИЯ НА ТРЕПТЕНИЯТА
Изпълнява студент от група FI-51
Пашкевич А.Я.
Научен ръководител:
д-р н.с., доц. Н.Н
Брест, 2012 г
Въведение
1.1 Линейни трептения при наличие на детерминирана външна сила
2. Свободни вибрации на консервативни системи с нелинейни възстановяващи сили
2.1 Свободни нелинейни трептения на системи с демпфираща и нелинейна възстановяваща сила
2.2 Различни типове функции0
3. Незатихващи и релаксационни трептения
3.1 Качествен анализ на уравнението на Ван дер Пол
3.2 Свързани нелинейни трептения, фазово заключен регенеративен приемник и принцип на синхронизация
3.3 Основни уравнения
3.4 Трептения с голяма разстройка
3.5 Комбинирани трептения с постоянна амплитуда
3.6 Електрически проблеми, водещи до уравнението на Хил
Заключение
Референции
Въведение
Не е изненадващо, че един физик трябва да може да намира решения на нелинейни проблеми, тъй като много явления, които се случват в света около него, се контролират от нелинейни зависимости. В процеса на развитие на математическите науки трудностите на нелинейния анализ попречиха на формулирането на идеи за нелинейни движения, които биха позволили по-задълбочено разбиране на такива явления.
Ако погледнем назад към историята на научните постижения, прави впечатление, че основните усилия на изследователите са съсредоточени само върху изучаването на линейни системи и линейни концепции. Ако в същото време погледнете света около нас, буквално на всяка крачка се натъквате на явления, които са нелинейни по природа. Линейните концепции осигуряват само повърхностно разбиране на голяма част от това, което се случва в природата. За да бъде анализът по-реалистичен, е необходимо да се постигне по-високо ниво и по-голяма лекота в разбирането и използването на нелинейни представяния.
През последните години се развиха методи за компютърен анализ и в много случаи се смяташе, че получените решения могат да осигурят по-добро разбиране на проявите на нелинейност. Най-общо казано, установено е, че простото търсене на числени решения води само до малко по-добро разбиране на нелинейните процеси, отколкото, например, наблюдението на самата природа, „смилането“ на решения на такъв специфичен нелинеен проблем като времето. Изглежда, че нашето разбиране не се основава на уравнения или техните решения, а по-скоро на фундаментални и добре научени концепции. Обикновено ние разбираме нашата среда само когато можем да я опишем от гледна точка на концепции, които са толкова прости, че могат да бъдат добре разбрани, и толкова общи, че можем да работим с тях, без да се позоваваме на конкретна ситуация. Списъкът с такива понятия е обширен и включва например термини като резонанс, хистерезис, вълни, обратна връзка, гранични слоеве, турбулентност, ударни вълни, деформация, атмосферни фронтове, имунитет, инфлация, депресия и др. Повечето от най-полезните процесите са нелинейни по природа и нашата неспособност да опишем с прецизен математически език такива ежедневни явления като потока на водата в канавката или вихъра на дим от цигара се крие отчасти в нашето нежелание преди това да се потопим в и да разберем нелинейната математика.
Феноменът на резонанса, както е известно, често се среща в живата материя. Следвайки Винер, Szent-Györgyi предлага значението на резонанса за структурата на мускулите. Оказва се, че веществата със силни резонансни свойства обикновено имат изключителна способност да съхраняват както енергия, така и информация, а такова натрупване несъмнено се извършва в мускула.
Нелинейните трептения, произволните нелинейни трептения и свързаните (фазово синхронизирани) нелинейни трептения съставляват самата същност на явленията в много области на науката и технологиите, като комуникации и енергия; протичат ритмични процеси в биологичните и физиологичните системи. Биофизик, метеоролог, геофизик, ядрен физик, сеизмолог - всички те се занимават с нелинейни трептения, често фазово заключени в една или друга форма. Например енергиен инженер се занимава с проблема за стабилността на синхронните машини, комуникационен инженер се занимава с нестабилността на времевия избор или синхронизация, физиолог се занимава с клонус, невролог се занимава с атаксия, метеоролог се занимава с честотата на флуктуациите в атмосферно налягане, кардиолог се занимава с колебания, причинени от работата на сърцето, биолог - с колебания, причинени от хода на биологичния часовник.
Основната цел на дисертацията е да разгледа редица проблеми в теорията на нелинейните трептения, свързани с такива фундаментални понятия като улавяне (или синхронизация), проследяване, демодулация и фазово-кохерентни комуникационни системи. Ще бъде направен опит да се направи преглед на нелинейни задачи от практически интерес, чиито решения са написани в достъпна форма. Прегледът не е изчерпателен, но включва примерни проблеми, които служат за илюстриране на основните концепции, необходими за разбиране на нелинейните свойства на фазово заключените системи. Въпросът за съществуването и уникалността на решенията е засегнат само повърхностно; основният фокус е върху методите за получаване на решения.
Разгледаният материал може да се групира в три основни теми. Първата тема включва представяне на резултатите от теорията на линейните трептения в системи с една степен на свобода и с постоянни параметри. Този материал се използва като справка и за сравнение с резултатите, получени от теорията на нелинейните трептения. Втората тема е посветена на лесно интегрирани нелинейни системи, които не се влияят от външни зависещи от времето сили. Тук с помощта на апарата за фазова равнина се изследват подробно свободните трептения на нелинейни системи. Дадено е кратко резюме на теорията на Поанкаре за особените точки на диференциалните уравнения от първи ред. Полезността на концепцията за особена точка се илюстрира чрез решаването на редица физически проблеми. И накрая, третата тема обхваща принудителни, самоподдържащи се трептения (самотрептения) и релаксационни нелинейни трептения. По-специално ще бъде обсъдено приложението на теорията на ван дер Пол към проблемите на синхронизацията и проследяването и главата ще завърши с обсъждане на уравнението на Хил.
1. Свободни вибрации в линейни системи
Изглежда ценно и интересно да се обобщят основните характеристики на линейните трептения. Тук има редица причини да направите това. Една от основните ни задачи е да сравним линейни и нелинейни методи за изследване на вибрации. Освен това стана практика да се прилага, доколкото е възможно, терминологията, използвана в линейните проблеми, към нелинейните. И накрая, полезно е да имате обобщение на основните идеи и формули на линейната теория за лесна справка.
Може би най-простият пример за проблем с линейни колебания се предоставя от проста електрическа верига, състояща се от индуктивност, свързана последователно с кондензатор и резистор (фиг. 1). Механичният аналог, показан на фиг. 1, се състои от тяло с маса, прикрепено към пружина, която развива сила (наречена възстановяваща сила), пропорционална на изместването на тялото. За тази електрическа система, използвайки закона на Кирхоф, имаме
Ако приемем, че тяло в механична система се движи в среда, която осигурява съпротивление, пропорционално на скоростта (вискозно триене), тогава уравнението на движението за вибрациите на механичната система се дава от връзката
По аналогия имаме това; ; и освен това е аналог на изместването.
ориз. 1.Линейни електрически и механични системи
Приемайки засега, че външната сила и въвеждаме обозначението
свеждаме (1.2) до формата
Тъй като трептенията, определени от това линейно хомогенно уравнение, се наричат свободни линейни трептения. Общото решение на линейно уравнение с постоянни коефициенти е линейна комбинация от две експоненциални функции:
където и са произволни константи, които се определят от началните условия, а и са корените на характеристичното уравнение
По този начин и са дадени от отношенията
Ако искаме да представим решението (1.5) в реална форма, разглеждаме три случая, когато количеството е: а) реално, б) нула, в) имагинерно. Лесно е да се покаже, че решенията приемат формата
къде и са реални; и са произволни константи, които се определят чрез задаване на стойностите на изместване (ток) и скорост в някакъв начален момент.
Най-често в практиката се среща уравнение (1.8 - а). Както е лесно да се види от (1.3), този случай възниква, ако коефициентът на затихване е малък в сравнение с. Уравнение (1.8 - а) в този случай описва такова осцилаторно движение, че всеки два последователни максимума и премествания удовлетворяват отношението
Нелинейниефектите могат да се проявят по много различни начини. Класически пример е нелинейна пружина, в която възстановяващата сила варира нелинейно с разтягане. В случай на симетрична нелинейност (еднаква реакция при натиск и опън), уравнението на движението приема формата
Ако няма затихване и , има периодични решения, при които собствената честота нараства с амплитуда. Този модел често се нарича уравнение Дъфингпо името на математика, който го е изучавал (Фигура 1.54).
Ако една система е подложена на периодична сила, тогава в класическата теория се смята, че отговорът също ще бъде периодичен. Резонансът на нелинейна пружина при честота на реакция, която съответства на честотата на силата, е показан на фигурата.
Фигура 1.54 - Класическа резонансна крива нелинейниосцилатор с твърда пружина в случай, че трептенията са периодични и имат същия период като движещата сила (a и b са определени в уравнението)
При постоянна амплитуда на движещата сила има диапазон от честоти на задвижване, в рамките на който са възможни три различни амплитуди на реакция. Може да се покаже, че пунктираната линия е нестабилна и когато честотата се увеличава и намалява, хистерезис.Това явление се нарича трансфер,и се наблюдава при експерименти с много механични и електрически системи.
Има и други периодични решения, като напр субхармоничени суперхармониченфлуктуации.
Ако движещата сила има формата ,
тогава субхармоничните трептения могат да имат формата 
плюс висши хармоници ( –цяло число).
Теорията за нелинейния резонанс се основава на предположението, че периодичен стимул предизвиква периодичен отговор. Но точно този постулат е оспорен от новата теория за хаотичните трептения.
Самовъзбуждащи се трептения -друг важен клас нелинейни явления. Това са колебателни движения, които възникват в системи без периодични външни влияния или периодични сили (Фигура 1.55).
Фигура 1.55 - Примери за самовъзбуждащи се трептения: А -сухо триене между масата и движещата се лента;
б –аероеластични сили, действащи върху тънко крило
В първия пример вибрациите се причиняват от триене, създадено от относителното движение на масата и движещата се лента.
Вторият пример илюстрира цял клас аероеластични вибрации, при които стационарните вибрации се причиняват от стационарен флуиден поток зад твърдо тяло върху еластично окачване.
В тези примери системата съдържа стационарен източник на енергия и източник на разсейване или нелинеен механизъм за затихване. Математическият модел на тази верига включва източника на енергия под формата на отрицателно съпротивление (уравнение на Ван дер Пол):
Енергията може да навлезе в системата при малки амплитуди, но с увеличаването на амплитудата нейният растеж е ограничен от нелинейно затихване.
Когато анализирате уравнението на Ван дер Пол, е удобно да преминете към безразмерни променливи, нормализирайки пространствената променлива до и времето до , така че уравнението да приеме формата
,
Когато се решава уравнение, то се представя като система от уравнения от първи ред
Осцилаторните движения на такива системи често се наричат гранични цикли.Фигура 1.56 показва траекториите на осцилатора на Ван дер Пол във фазовата равнина. Малките трептения се развиват в спирала, приближавайки се до затворена асимптотична траектория, а движенията с голяма амплитуда се свиват в спирала до същия граничен цикъл (където ) .
Фигура 1.56 - Решение за граничен цикъл за осцилатора на Ван дер Пол, изобразен на фазовата равнина
При изучаването на подобни проблеми често възникват два въпроса. Каква е амплитудата и честотата на трептенията при граничния цикъл? За какви стойности на параметрите съществуват стабилни гранични цикли?
За малък , граничният цикъл е окръжност с радиус 2 на фазовата равнина, т.е. където + ... означава хармоници от трети и по-висок ред.
Когато е голямо, движението приема формата релаксиращи вибрации,показано на фигура 1.57 с безразмерен период от около 1,61 at.
Фигура 1.57 Релаксационни трептения на осцилатора на Ван дер Пол
Проблемът с периодичната сила в системата на Ван дер Пол е по-сложен:
Тъй като системата е нелинейна, принципът на суперпозиция на свободни и принудени трептения е неприложим.Вместо това, полученото периодично движение заловенпри честотата на задвижване, когато е близо до честотата на граничния цикъл.
При слабо външно влияние има три периодични решения, но само едно от тях е стабилно (виж фигурата). За големи амплитуди на силата има само едно решение. Във всеки случай, с увеличаването на разстройката, уловеното периодично решение става нестабилно и други видове движение стават възможни.
При големи разлики между управляващите и естествените честоти в системата на Ван дер Пол се появява нов феномен - комбинирани вибрации,понякога наричани почти периодични или квазипериодични решения, на формата
Когато честотите и са несъизмерими, т.е. е ирационално число, решението се нарича квазипериодични.За уравнението на ван дер Пол , където е честотата на граничния цикъл на свободните трептения (Фигура 1.58).
Фигура 1.58 - Амплитудни криви за принуден
движения на осцилатора на Ван дер Пол
По-долу ще говорим повече за квазипериодичните трептения, но тъй като те не са периодични, те могат да бъдат объркани с хаотични решения, които не са. (За тях спектърът на Фурие на решението се състои от два пика при , )
Когато и са несъизмерими, фазовият портрет на решението е отворена траектория и се използва друг метод за графично представяне на квазипериодични функции.
Стробоскопското вземане на проби се извършва на интервали; нека поставим и обозначим , .
Тогава съотношението намалява до
пер. от английски Болдова Б. А. и Гусев Г. Г. Под редакцията на В. Е. Боголюбов. - М.: Мир, 1968. - 432 с.
УДК 534 (Механични вибрации. Акустика). Има текстов слой (т.е. текстът се копира лесно).
Монографията на известния японски учен Т. Хаяши е посветена на теорията на нелинейните колебателни процеси, протичащи в голямо разнообразие от физически системи.
Книгата е преработено и разширено издание на една от по-ранните работи на автора, позната на съветския читател от руския превод (Т. Хаяши, Принудени колебания в нелинейните системи, Ил., М., 1957 г.). След обработка и допълнения обаче резултатът всъщност беше нова книга.
Той се различава от предишния не само в нови раздели, но и в значително подобрен метод на представяне. Книгата представлява интерес както за физици и инженери от различни специалности, занимаващи се с теорията на нелинейните трептения и нейните приложения, така и за математици, занимаващи се с теория на диференциалните уравнения.
Съдържание.
Предговор към руското издание.
Предговор.
Въведение.
Част i. Основни методи за анализ на нелинейни трептения.
Глава i.
Аналитични методи.
Въведение.
Пертурбационен метод.
Итерационен метод.
Метод на осредняване.
Принципът на хармоничния баланс.
Числени примери за решаване на уравнението на Дъфинг.
Глава II.
Топологични методи и графични решения.
Въведение.
Интегрални криви и особени точки на равнината на състоянието.
Интегрални криви и особени точки в пространството на състоянията.
Изоклин метод.
Метод на Лиенард.
Делта метод.
Метод на наклонените линии.
Глава iii.
Устойчивост на нелинейни системи.
Определяне на устойчивостта по Ляпунов.
Критерий на Routh-Hurwitz за нелинейни системи.
Критерий за устойчивост на Ляпунов.
Устойчивост на периодичните трептения.
Уравнение на Матийо.
Уравнение на Хил.
Подобрена апроксимация на характеристичния показател за.
Уравнения на Хил.
Част II, Принудени трептения в стабилно състояние.
Глава iy.
Устойчивост на периодични трептения в системи от втори ред.
Въведение.
Условие за устойчивост на периодични решения.
Подобрени условия за стабилност.
Допълнителни бележки относно условията на стабилност.
Глава y.
Хармонични вибрации.
Хармонични трептения със симетрична нелинейна характеристика.
Хармонични трептения с несиметрична нелинейна характеристика.
Глава Yi.
Ултрахармонични вибрации.
Ултрахармонични вибрации c.
последователни резонансни вериги.
Експериментално изследване.
Ултрахармонични трептения в паралелни резонансни вериги.
Експериментално изследване.
Глава Yii.
Субхармонични вибрации.
Въведение.
Връзка между нелинейна характеристика и ред.
субхармонични вибрации.
характеристика, представена от кубична функция.
Субхармоничните трептения са от порядъка на 1/3 с нелинейни.
характеристика, представена от полином от пета степен.
Експериментално изследване.
характеристика, представена от полином от трета степен.
Субхармоничните трептения са от порядъка на 1/2, когато са нелинейни.
характеристика, представена от симетричен квадрат.
функция.
Експериментално изследване.
Част iii. Преходни процеси на принудени трептения.
Глава Yiii.
Хармонични вибрации.
Въведение.
Периодични разтвори и тяхната устойчивост.
Анализ на хармонични вибрации с помощта на интегрални.
извивки.
Анализ на хармоничните трептения във фазовата равнина.
Геометричен анализ на интегрални криви за консервативни системи.
Геометричен анализ на интегрални криви за дисипативни системи.
Експериментално изследване.
Глава ix.
Субхармонични вибрации.
Анализ на субхармонични вибрации с помощта на интегрални криви.
Анализ на субхармонични трептения от порядък 1/3 на фазовата равнина.
Експериментално изследване.
Субхармонични вибрации от порядъка на 1/5.
Субхармоничните вибрации са от порядъка на 1/2.
Анализ на субхармонични трептения от порядък 1/2 на фаза едно.
самолет.
Изследване на аналогов компютър.
Глава х.
Първоначални условия, водещи до различни видове.
периодични трептения.
Метод на анализ.
Симетрични системи.
флуктуациите са около 1/3.
Асиметрични системи.
Области на привличане на хармонични и субхармонични.
вибрации от порядъка на 1/2 и 1/3.
Експериментални изследвания.
Глава Xi.
Въведение.
Почти периодични трептения в резонансна верига с постояннотоково отклонение.
Съдържание.
Експериментално изследване.
Почти периодични трептения по параметричен начин.
възбудена верига.
Част iv. Автоколебателни системи при периодично въздействие на външна сила.
Глава XII.
Заключване на честотата.
Въведение.
Хармонично улавяне.
Ултрахармонично улавяне.
Субхармонично улавяне.
Зони за заключване на честотата.
Анализ с помощта на аналогов компютър.
Автоколебателна система с нелинейна възстановяваща сила.
Глава XIII.
Почти периодични трептения.
Уравнение на Ван дер Пол с форсиращ член.
хармонични вибрации.
Геометрично разглеждане на интегрални криви на.
границата на хармонично улавяне.
Почти периодични трептения, произтичащи от.
ултрахармонични вибрации.
Почти периодични трептения, произтичащи от.
субхармонични вибрации.
Самоосцилираща система с нелинейна възстановяваща сила.
Приложение i. Разширения на функции на Матийо.
Приложение ii. Нестабилни решения на уравнението на Хил.
Приложение iii. Нестабилни решения на обобщеното уравнение на Хил.
Приложение iv. Критерий за стабилност, получен с помощта на метода.
смущения.
Приложение v. Бележки относно интегрални криви и особени точки.
Приложение Vi. Електронен синхронен комутатор.
Задачи.
Литература.
показалец.
Т. Хаяши.
Нелинейни трептения във физически системи.
Редактор Н. Плужнакова Художник А. Шкловская.
Художествен редактор В. Шаповалов Технически редактор Н. Турсукова.
Пуснат в производство на 9/X 1967 г. Подписан за печат на 25/W 1968 г.
Хартия 60х90у1в-= 13,5 хартия. л. 27.0 бр. л.
Уч. -ред. л. 24,
0. Изд. No 1/3899.
Цена 1 rub. 91 к. Зак. 907.
Темплан 1968, издателство Мир, пор. № 38.
Издателство "Мир", Москва, 1-ви Рижски пер. , 2.
Ленинградска печатница № 2 на името на Евгения Соколова от Комитета на Главполиграфпром.
за печата към Министерския съвет на СССР. Измайловски пр., 29.
Вижте също
Андрианов И.В., Данишевски В.В., Иванков А.О. Асимптотични методи в теорията на трептенията на греди и плочи
- файлов формат: pdf
- размер: 5.53 MB
- добави: 25 септември 2011 г
Днепропетровск: Приднепровска държавна академия по строителство и архитектура, 2010, 217 с. В монографията се разглеждат асимптотични методи за решаване на задачи за вибрации на греди и плочи. Основно внимание е отделено на метода на хомотопичните смущения, който се основава на въвеждането на изкуствен малък параметър. Линейни вибрации на конструкции със смесени гранични условия, както и нелинейни вибрации на системи с разпределени...
Вибрации в техниката. Том 6. Защита от вибрации и удари
- файлов формат: djvu
- размер: 7.28 MB
- добавено: 27 октомври 2009 г
Фролов К.В., шестият том очертава методите за намаляване на вибрационната активност на източниците на вибрации и регулиране на динамичните гасители. Разгледани са въпросите за балансиране на въртящи се машинни части, балансиране на машини и механизми, избор на рационални закони за движение на работните части на машини, изолация на оборудване и основи, както и проблемът за защита на хората от вибрации. Справочникът е предназначен за инженерно-технически работници, занимаващи се с изчисления,...
Ганиев R.F., Кононенко V.O. Вибрации на твърди тела
- файлов формат: djvu
- размер: 8.89 MB
- добавено: 27 октомври 2011 г
М.: Наука, 1976, 432 с. Изследвани са нелинейните колебания в пространственото движение, по-специално условията за възникване на резонанси. Работата е уместна при създаване на амортизационни системи за авиационна и космическа техника. Ганиев Р.Ф РАН, Кононенко В. О. - академик. Академия на науките на Украйна. Еластичен амортисьор 39 Амортизиране на вибрации 145, 41, 7 Изолация на вибрации 145, 417 Кинематично възбуждане 134, 358 Двуосов жироскоп 343 Триаксиален жироскоп 353 Астатичен жироскоп...
Den-Gartog D.P. Механични вибрации
- файлов формат: djvu
- размер: 7.5 MB
- добавено: 25 май 2010 г
М. Физматгиз. 1960 г 574 стр. Кинематика на трептенията. Системи с една степен на свобода. Две степени на свобода. Системи с произволен брой степени на свобода. Многоцилиндрови двигатели. Въртящи се машинни части. Самотрептения. Квазихармонични и нелинейни трептения на системи.
Мигулин В.В. Основи на теорията на вибрациите
- файлов формат: djvu
- размер: 3.88 MB
- добавено: 10 януари 2010 г
Книгата запознава читателя с общите свойства на колебателните процеси, протичащи в радиотехническите, оптичните и други системи, както и с различни качествени и количествени методи за тяхното изследване. Значително внимание е отделено на разглеждането на параметрични, автоколебателни и други нелинейни колебателни системи. Изследването на описаните в книгата трептителни системи и процеси в тях е представено с добре познати методи на теорията на трептенията без подробности...
Обморшев А.Н. Въведение в теорията на трептенията
- файлов формат: pdf
- размер: 8.75 MB
- добавено: 23 февруари 2010 г