Разделът съдържа задачи по геометрия (раздел планиметрия) за трапеци. Ако не сте намерили решение на проблем, пишете за него във форума. Курсът със сигурност ще бъде допълнен.
Трапец. Определение, формули и свойства
Трапецът (от старогръцки τραπέζιον - „маса“; τράπεζα - „маса, храна“) е четириъгълник с точно една двойка противоположни страни, успоредни.Трапецът е четириъгълник, чиято двойка противоположни страни са успоредни.
Забележка. В този случай успоредникът е частен случай на трапец.
Успоредните противоположни страни се наричат основи на трапеца, а другите две се наричат странични страни.
Трапеците са:
- универсален ;
- равнобедрен;
- правоъгълен
.Червените и кафявите цветове показват страните, зелените и сините показват основата на трапеца.
А - равнобедрен (равнобедрен, равнобедрен) трапец
B - правоъгълен трапец
C - скален трапец
Увеличеният трапец има всички страни с различна дължина и основите са успоредни.
Страните са равни, а основите са успоредни.
Основите са успоредни, едната страна е перпендикулярна на основите, а втората страна е наклонена към основите.
Свойства на трапец
- Средна линия на трапецуспоредни на основите и равни на тяхната полусума
- Отсечка, свързваща средните точки на диагоналите, е равно на половината от разликата на основите и лежи на средната линия. Дължината му
- Паралелни прави, пресичащи страните на произволен ъгъл на трапец, отрязват пропорционални сегменти от страните на ъгъла (виж теоремата на Талес)
- Пресечна точка на диагонали на трапец, пресечната точка на продълженията на неговите страни и средата на основите лежат на една и съща права линия (вижте също свойствата на четириъгълника)
- Триъгълници, лежащи върху основитрапеци, чиито върхове са пресечната точка на неговите диагонали, са подобни. Съотношението на площите на такива триъгълници е равно на квадрата на съотношението на основите на трапеца
- Триъгълници, разположени отстранитрапец, чиито върхове са пресечната точка на неговите диагонали, са равни по площ (равни по площ)
- В трапеца можете да впишете кръг, ако сборът от дължините на основите на трапец е равен на сбора от дължините на неговите страни. Средната линия в този случай е равна на сумата от страните, разделена на 2 (тъй като средната линия на трапец е равна на половината от сумата на основите)
- Отсечка, успоредна на основитеи преминавайки през точката на пресичане на диагоналите, се разделя на последния наполовина и е равен на удвоения продукт на основите, разделен на тяхната сума 2ab / (a + b) (формула на Бураков)
Ъгли на трапец
Ъгли на трапец има остри, прави и тъпи.Само два ъгъла са прави.
Правоъгълният трапец има два прави ъгъла, а другите две са остри и тъпи. Други видове трапец имат два остри ъгъла и два тъпи ъгъла.
Тъпите ъгли на трапец принадлежат към по-малкитепо дължината на основата и пикантни - повечебаза.
Всеки трапец може да се разглежда като пресечен триъгълник, чиято сечение е успоредна на основата на триъгълника.
важно. Моля, обърнете внимание, че по този начин (чрез допълнително конструиране на трапец до триъгълник) могат да се решат някои задачи за трапеци и да се докажат някои теореми.
Как да намерите страните и диагоналите на трапец
Намирането на страните и диагоналите на трапец се извършва с помощта на формулите, дадени по-долу:
В тези формули използваната нотация е както на фигурата.
a - по-малката от основите на трапеца
b - по-голямата от основите на трапеца
c,d - страни
h 1 h 2 - диагонали
Сумата от квадратите на диагоналите на трапец е равна на два пъти произведението на основите на трапеца плюс сумата от квадратите на страничните страни (Формула 2)
Има много начини да намерите площта на трапец. Обикновено учителят по математика знае няколко метода за изчисляването му, нека ги разгледаме по-подробно:
1) 
, където AD и BC са основите, а BH е височината на трапеца. Доказателство: начертайте диагонала BD и изразете площите на триъгълниците ABD и CDB чрез полупроизведението на техните основи и височини:
, където DP е външната височина в
Нека съберем тези равенства член по член и като вземем предвид, че височините BH и DP са равни, получаваме:
Нека го извадим от скоби
Q.E.D.
Следствие от формулата за площта на трапец:
Тъй като полусумата на основите е равна на MN - средната линия на трапеца, тогава
2) Приложение на общата формула за площта на четириъгълник.
Площта на четириъгълник е равна на половината от произведението на диагоналите, умножено по синуса на ъгъла между тях
За да го докажете, достатъчно е да разделите трапеца на 4 триъгълника, да изразите площта на всеки по отношение на „половината от продукта на диагоналите и синуса на ъгъла между тях“ (взет като ъгъл, добавете получения изрази, извадете ги от скобата и факторизирайте тази скоба, като използвате метода на групиране, за да получите равенството му с израза Следователно
3) Метод на диагонално изместване
това е името ми Учителят по математика няма да срещне такова заглавие в училищните учебници. Описание на техниката може да се намери само в допълнителни учебници като пример за решаване на проблем. Бих искал да отбележа, че повечето интересни и полезни факти за планиметрията се разкриват на учениците от преподаватели по математика в процеса на практическа работа. Това е изключително неоптимално, защото ученикът трябва да ги изолира в отделни теореми и да ги нарече „големи имена“. Едно от тях е "диагонално изместване". за какво говорим 
Нека начертаем права, успоредна на AC през върха B, докато се пресече с долната основа в точка E. В този случай четириъгълникът EBCA ще бъде успоредник (по дефиниция) и следователно BC=EA и EB=AC. Първото равенство е важно за нас сега. Ние имаме:
Имайте предвид, че триъгълникът BED, чиято площ е равна на площта на трапеца, има още няколко забележителни свойства:
1) Площта му е равна на площта на трапеца
2) Неговият равнобедрен се появява едновременно с равнобедрения на самия трапец
3) Горният му ъгъл при върха B е равен на ъгъла между диагоналите на трапеца (което много често се използва в задачи) 
4) Неговата медиана BK е равна на разстоянието QS между средите на основите на трапеца. Наскоро се сблъсках с използването на това свойство, когато подготвях студент за механика и математика в Московския държавен университет, използвайки учебника на Ткачук, версия от 1973 г. (проблемът е даден в долната част на страницата).
Специални техники за учител по математика.
Понякога предлагам задачи, използвайки много труден начин за намиране на площта на трапец. Класифицирам го като специална техника, защото на практика преподавателят ги използва изключително рядко. Ако имате нужда от подготовка за Единния държавен изпит по математика само в част Б, не е нужно да четете за тях. За други ще ви кажа по-нататък. Оказва се, че площта на трапец е два пъти по-голяма от площта на триъгълник с върхове в краищата на едната страна и средата на другата, т.е. ABS триъгълника на фигурата: 
Доказателство: начертайте височините SM и SN в триъгълници BCS и ADS и изразете сумата от площите на тези триъгълници:
Тъй като точката S е средата на CD, тогава (докажете го сами).
Тъй като тази сума се оказа равна на половината от площта на трапеца, тогава втората му половина. и т.н.
Бих включил в колекцията от специални техники на учителя формата за изчисляване на площта на равнобедрен трапец по неговите страни: където p е полупериметърът на трапеца. Няма да давам доказателства. Иначе твоят учител по математика ще остане без работа :). Ела в час!
Задачи върху областта на трапец:
Бележка на учителя по математика: Списъкът по-долу не е методическо съпътстване на темата, това е само малка селекция от интересни задачи, базирани на техниките, разгледани по-горе.
1) Долната основа на равнобедрен трапец е 13, а горната е 5. Намерете площта на трапеца, ако диагоналът му е перпендикулярен на страната.
2) Намерете лицето на трапец, ако основите му са 2 cm и 5 cm, а страните му са 2 cm и 3 cm.
3) В равнобедрен трапец по-голямата основа е 11, страната е 5, а диагоналът е Намерете площта на трапеца.
4) Диагоналът на равнобедрен трапец е 5, а средната линия е 4. Намерете лицето.
5) В равнобедрен трапец основите са 12 и 20, а диагоналите са взаимно перпендикулярни. Изчислете площта на трапец
6) Диагоналът на равнобедрен трапец сключва ъгъл с долната му основа. Намерете лицето на трапеца, ако височината му е 6 cm.
7) Площта на трапеца е 20, а едната му страна е 4 см. Намерете разстоянието до него от средата на срещуположната страна.
8) Диагоналът на равнобедрен трапец го разделя на триъгълници с повърхнини 6 и 14. Намерете височината, ако страничната страна е 4.
9) В трапец диагоналите са равни на 3 и 5, а сегментът, свързващ средните точки на основите, е равен на 2. Намерете площта на трапеца (Mekhmat MSU, 1970).
Избрах не най-трудните задачи (не се страхувайте от машиностроенето!) с очакването, че ще мога да ги реша самостоятелно. Решете за вашето здраве! Ако имате нужда от подготовка за Единния държавен изпит по математика, тогава без участието в този процес на формулата за площта на трапец, могат да възникнат сериозни проблеми дори с проблем B6 и още повече с C4. Не започвайте темата и при затруднения помолете за помощ. Учител по математика винаги се радва да ви помогне.
Колпаков А.Н.
Учител по математика в Москва, подготовка за Единния държавен изпит в Строгино.
Трапецсе нарича четириъгълник, чиято само двестраните са успоредни една на друга.
Те се наричат основи на фигурата, останалите се наричат страни. Паралелограмите се считат за специални случаи на фигурата. Има и извит трапец, който включва графиката на функция. Формулите за площта на трапец включват почти всички негови елементи и най-доброто решение се избира в зависимост от дадените стойности.
Основните роли в трапеца са отредени на височината и средната линия. Средна линия- Това е линия, свързваща средните точки на страните. ВисочинаТрапецът е начертан под прав ъгъл от горния ъгъл към основата.
Площта на трапец през неговата височина е равна на произведението на половината от сумата от дължините на основите, умножени по височината:
Ако средната линия е известна според условията, тогава тази формула е значително опростена, тъй като е равна на половината от сумата от дължините на основите:
Ако според условията са дадени дължините на всички страни, тогава можем да разгледаме пример за изчисляване на площта на трапец, използвайки тези данни: 
Да предположим, че ни е даден трапец с основи a = 3 cm, b = 7 cm и страни c = 5 cm, d = 4 cm. Да намерим площта на фигурата: 
Площ на равнобедрен трапец
Равнобедрен трапец или, както се нарича още, равнобедрен трапец, се счита за отделен случай.
Специален случай е намирането на площта на равнобедрен (равностранен) трапец. Формулата се извежда по различни начини - чрез диагонали, чрез ъгли, прилежащи към основата и радиуса на вписаната окръжност.
Ако дължината на диагоналите е зададена според условията и ъгълът между тях е известен, можете да използвате следната формула:
Не забравяйте, че диагоналите на равнобедрен трапец са равни един на друг!
Тоест, знаейки една от техните основи, страна и ъгъл, можете лесно да изчислите площта.
Площ на извит трапец
Специален случай е извит трапец. Той е разположен на координатната ос и е ограничен от графиката на непрекъсната положителна функция.
Основата му е разположена на оста X и е ограничена до две точки: 
Интегралите помагат да се изчисли площта на извит трапец.
Формулата е написана така:
Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на извит трапец. Формулата изисква определени познания за работа с определени интеграли. Първо, нека да разгледаме стойността на определения интеграл: 
Тук F(a) е стойността на антипроизводната функция f(x) в точка a, F(b) е стойността на същата функция f(x) в точка b. 
Сега нека решим проблема. Фигурата показва извит трапец, ограничен от функцията. функция 
Трябва да намерим площта на избраната фигура, която е криволинеен трапец, ограничен отгоре от графиката, отдясно от правата линия x =(-8), отляво от правата линия x =(- 10) и оста OX отдолу.
Ще изчислим площта на тази фигура по формулата: 
Условията на проблема ни дават функция. Използвайки го, ще намерим стойностите на антипроизводната във всяка от нашите точки:
Сега
отговор:Площта на даден извит трапец е 4.
Няма нищо сложно при изчисляването на тази стойност. Единственото важно нещо е изключително внимание при изчисленията.
Практиката на миналогодишния Единен държавен изпит и Държавен изпит показва, че проблемите с геометрията създават трудности за много ученици. Можете лесно да се справите с тях, ако запомните всички необходими формули и практикувате решаването на задачи.
В тази статия ще видите формули за намиране на площта на трапец, както и примери за задачи с решения. Можете да срещнете същите в KIM по време на сертификационни изпити или на олимпиади. Затова се отнасяйте към тях внимателно.
Какво трябва да знаете за трапеца?
Като начало нека си припомним това трапецсе нарича четириъгълник, в който две противоположни страни, наричани още основи, са успоредни, а другите две не са.
В трапец височината (перпендикулярна на основата) също може да бъде намалена. Начертана е средната линия - това е права линия, която е успоредна на основите и равна на половината от техния сбор. Както и диагонали, които могат да се пресичат, образувайки остри и тъпи ъгли. Или, в някои случаи, под прав ъгъл. Освен това, ако трапецът е равнобедрен, в него може да се впише окръжност. И опишете кръг около него.
Формули за площ на трапец
Първо, нека разгледаме стандартните формули за намиране на площта на трапец. Ще разгледаме начините за изчисляване на площта на равнобедрени и криволинейни трапеци по-долу.
И така, представете си, че имате трапец с основи a и b, в който височината h е спусната до по-голямата основа. Изчисляването на площта на фигура в този случай е толкова лесно, колкото беленето на круши. Просто трябва да разделите сумата от дължините на основите на две и да умножите резултата по височината: S = 1/2(a + b)*h.
Нека вземем друг случай: да предположим, че в трапец, освен височината, има средна линия m. Знаем формулата за намиране на дължината на средната линия: m = 1/2(a + b). Следователно можем с право да опростим формулата за площта на трапец до следната форма: S = m* h. С други думи, за да намерите площта на трапец, трябва да умножите централната линия по височината.
Нека разгледаме друг вариант: трапецът съдържа диагонали d 1 и d 2, които не се пресичат под прав ъгъл α. За да изчислите площта на такъв трапец, трябва да разделите произведението на диагоналите на две и да умножите резултата по греха на ъгъла между тях: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Сега разгледайте формулата за намиране на площта на трапец, ако нищо не се знае за него, освен дължините на всичките му страни: a, b, c и d. Това е тромава и сложна формула, но ще е полезно да я запомните за всеки случай: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Между другото, горните примери са валидни и за случая, когато имате нужда от формулата за площта на правоъгълен трапец. Това е трапец, чиято страна граничи с основите под прав ъгъл.
Равнобедрен трапец
Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен. Ще разгледаме няколко варианта за формулата за площта на равнобедрен трапец.
Първи вариант: за случая, когато окръжност с радиус r е вписана в равнобедрен трапец, а страната и по-голямата основа образуват остър ъгъл α. В трапец може да се впише окръжност, при условие че сборът от дължините на неговите основи е равен на сбора от дължините на страните.
Площта на равнобедрен трапец се изчислява по следния начин: умножете квадрата на радиуса на вписания кръг по четири и го разделете на sinα: S = 4r 2 /sinα. Друга формула за площ е специален случай за опцията, когато ъгълът между голямата основа и страната е 30 0: S = 8r2.
Втори вариант: този път вземаме равнобедрен трапец, в който допълнително са начертани диагоналите d 1 и d 2, както и височината h. Ако диагоналите на трапец са взаимно перпендикулярни, височината е половината от сбора на основите: h = 1/2(a + b). Знаейки това, лесно е да трансформирате формулата за площта на трапец, която вече ви е позната, в тази форма: S = h 2.
Формула за площта на извит трапец
Нека започнем, като разберем какво е извит трапец. Представете си координатна ос и графика на непрекъсната и неотрицателна функция f, която не променя знака в даден сегмент на оста x. Криволинеен трапец е образуван от графиката на функцията y = f(x) - отгоре, оста x е отдолу (отсечка), а отстрани - прави, прекарани между точки a и b и графиката на функцията.
Невъзможно е да се изчисли площта на такава нестандартна фигура, като се използват горните методи. Тук трябва да приложите математически анализ и да използвате интеграла. А именно: формулата на Нютон-Лайбниц - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). В тази формула F е първоизводната на нашата функция върху избрания сегмент. И площта на криволинейния трапец съответства на нарастването на антипроизводната на даден сегмент.
Примерни проблеми
За да направите всички тези формули по-лесни за разбиране в главата си, ето няколко примера за задачи за намиране на площта на трапец. Най-добре ще е първо да се опитате да решите задачите сами и едва след това да сравните получения отговор с готовото решение.
Задача №1:Даден е трапец. По-голямата му основа е 11 см, по-малката е 4 см. Трапецът има диагонали, единият с дължина 12 cm, вторият 9 cm.
Решение: Построете трапец AMRS. Прекарайте права РХ през върха P така, че да е успоредна на диагонала MC и да пресича правата AC в точка X. Ще получите триъгълник APХ.
Ще разгледаме две фигури, получени в резултат на тези манипулации: триъгълник APX и паралелограм CMRX.
Благодарение на успоредника научаваме, че PX = MC = 12 cm и CX = MR = 4 cm. Откъде можем да изчислим страната AX на триъгълника ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Можем също да докажем, че триъгълникът APX е правоъгълен (за да направите това, приложете Питагоровата теорема - AX 2 = AP 2 + PX 2). И изчислете неговата площ: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
След това ще трябва да докажете, че триъгълниците AMP и PCX са равни по площ. Основата ще бъде равенството на страните MR и CX (вече доказано по-горе). А също и височините, които спускаш от тези страни - те са равни на височината на AMRS трапеца.
Всичко това ще ви позволи да кажете, че S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Задача #2:Даден е трапецът KRMS. На страничните му страни има точки O и E, а OE и KS са успоредни. Известно е също, че площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5. RM = a и KS = b. Трябва да намерите OE.
Решение: Начертайте права, успоредна на RK, през точка M и означете нейната пресечна точка с OE като T. A е пресечната точка на права, прекарана през точка E, успоредна на RK, с основата KS.
Нека въведем още едно означение - OE = x. А също и височината h 1 за триъгълника TME и височината h 2 за триъгълника AEC (можете независимо да докажете сходството на тези триъгълници).
Ще приемем, че b > a. Площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5, което ни дава право да съставим следното уравнение: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Нека трансформираме и получаваме: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Тъй като триъгълниците TME и AEC са подобни, имаме h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Нека комбинираме двата записа и да получим: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Така OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Заключение
Геометрията не е от най-лесните науки, но със сигурност можете да се справите с изпитните въпроси. Достатъчно е да проявите малко постоянство в подготовката. И, разбира се, запомнете всички необходими формули.
Опитахме се да съберем всички формули за изчисляване на площта на трапец на едно място, за да можете да ги използвате, когато се подготвяте за изпити и повтаряте материала.
Не забравяйте да кажете на вашите съученици и приятели в социалните мрежи за тази статия. Нека има повече добри оценки за Единния държавен изпит и държавните изпити!
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
За да се чувствате уверени и успешно да решавате задачи в уроците по геометрия, не е достатъчно да научите формулите. Те първо трябва да бъдат разбрани. Да се страхуваш и още повече да мразиш формулите е непродуктивно. Тази статия ще анализира на достъпен език различни начини за намиране на площта на трапец. За да разберем по-добре съответните правила и теореми, ще обърнем малко внимание на неговите свойства. Това ще ви помогне да разберете как работят правилата и в какви случаи трябва да се прилагат определени формули.
Определяне на трапец
Каква фигура е това като цяло? Трапецът е многоъгълник с четири ъгъла и две успоредни страни. Другите две страни на трапеца могат да бъдат наклонени под различни ъгли. Неговите успоредни страни се наричат основи, а за неуспоредни страни се използва наименованието „страни” или „бедра”. Такива фигури са доста често срещани в ежедневието. Контурите на трапеца могат да се видят в силуетите на дрехи, предмети от интериора, мебели, съдове и много други. Има различни видове трапец: мащабен, равностранен и правоъгълен. Ще разгледаме техните видове и свойства по-подробно по-късно в статията.
Свойства на трапец
Нека се спрем накратко на свойствата на тази фигура. Сборът от ъглите, съседни на всяка страна, винаги е 180°. Трябва да се отбележи, че сумата от всички ъгли на трапеца е 360°. Трапецът има концепцията за средна линия. Ако свържете средните точки на страните със сегмент, това ще бъде средната линия. Означава се m. Средната линия има важни свойства: тя винаги е успоредна на основите (помним, че основите също са успоредни една на друга) и е равна на тяхната полусума:
Това определение трябва да се научи и разбере, защото то е ключът към решаването на много проблеми!
С трапец винаги можете да свалите височината до основата. Надморска височина е перпендикуляр, често означаван със символа h, който е изтеглен от всяка точка на една основа към друга основа или нейно продължение. Средната линия и височината ще ви помогнат да намерите площта на трапеца. Такива задачи са най-често срещаните в училищния курс по геометрия и редовно се появяват сред контролните и изпитните работи.
Най-простите формули за площта на трапец
Нека да разгледаме двете най-популярни и прости формули, използвани за намиране на площта на трапец. Достатъчно е да умножите височината по половината от сумата на основите, за да намерите лесно това, което търсите:
S = h*(a + b)/2.
В тази формула a, b означават основите на трапеца, h - височината. За по-лесно възприемане в тази статия знаците за умножение са маркирани със символ (*) във формулите, въпреки че в официалните справочници знакът за умножение обикновено се пропуска.
Нека разгледаме един пример.
Дадено е: трапец с две основи равни на 10 и 14 см, височината е 7 см. Каква е площта на трапеца?
Нека разгледаме решението на този проблем. Използвайки тази формула, първо трябва да намерите полусумата на основите: (10+14)/2 = 12. Така че полусумата е равна на 12 см. Сега умножаваме полусумата по височината: 12*7 = 84. Това, което търсим, е намерено. Отговор: Площта на трапеца е 84 квадратни метра. cm.
Втората добре позната формула гласи: площта на трапеца е равна на произведението на средната линия и височината на трапеца. Тоест всъщност следва от предишната концепция за средната линия: S=m*h.
Използване на диагонали за изчисления
Друг начин да намерите площта на трапец всъщност не е толкова сложен. Той е свързан с неговите диагонали. Използвайки тази формула, за да намерите площта, трябва да умножите полупродукта на нейните диагонали (d 1 d 2) по синуса на ъгъла между тях:
S = ½ d 1 d 2 sin а.
Нека разгледаме една задача, която показва приложението на този метод. Дадено е: трапец с дължина на диагоналите съответно 8 и 13 cm. Ъгълът a между диагоналите е 30°. Намерете площта на трапеца.
Решение. С помощта на горната формула е лесно да се изчисли какво е необходимо. Както знаете, sin 30° е 0,5. Следователно S = 8*13*0,5=52. Отговор: площта е 52 квадратни метра. cm.
Намиране на площта на равнобедрен трапец
Трапецът може да бъде равнобедрен (равнобедрен). Страните му са еднакви, а ъглите при основите са равни, което е добре илюстрирано от фигурата. Равнобедреният трапец има същите свойства като обикновения плюс редица специални. Около равнобедрен трапец може да бъде описан кръг и в него може да бъде вписан кръг.
Какви методи има за изчисляване на площта на такава фигура? Методът по-долу ще изисква много изчисления. За да го използвате, трябва да знаете стойностите на синуса (sin) и косинуса (cos) на ъгъла в основата на трапеца. За да ги изчислите, имате нужда или от таблици на Bradis, или от инженерен калкулатор. Ето формулата:
S= c*грях а*(а - c*cos а),
Къде с- странично бедро, а- ъгъл при долната основа.
Равностранен трапец има диагонали с еднаква дължина. Обратното също е вярно: ако трапецът има равни диагонали, тогава той е равнобедрен. Оттук и следната формула, която помага да се намери площта на трапец - полупродуктът на квадрата на диагоналите и синуса на ъгъла между тях: S = ½ d 2 sin а.
Намиране на площта на правоъгълен трапец
Известен е частен случай на правоъгълен трапец. Това е трапец, в който едната страна (бедрото) граничи с основите под прав ъгъл. Има свойствата на правилен трапец. Освен това има много интересна функция. Разликата в квадратите на диагоналите на такъв трапец е равна на разликата в квадратите на неговите основи. За него се използват всички описани по-горе методи за изчисляване на площта.
Използваме изобретателност
Има един трик, който може да ви помогне, ако забравите определени формули. Нека да разгледаме по-отблизо какво е трапец. Ако мислено го разделим на части, ще получим познати и разбираеми геометрични фигури: квадрат или правоъгълник и триъгълник (един или два). Ако височината и страните на трапеца са известни, можете да използвате формулите за площта на триъгълник и правоъгълник и след това да добавите всички получени стойности.
Нека илюстрираме това със следния пример. Даден е правоъгълен трапец. Ъгъл C = 45°, ъгли A, D са 90°. Горната основа на трапеца е 20 см, височината е 16 см. Трябва да изчислите площта на фигурата.
Тази фигура очевидно се състои от правоъгълник (ако два ъгъла са равни на 90°) и триъгълник. Тъй като трапецът е правоъгълен, следователно височината му е равна на неговата страна, тоест 16 см. Имаме правоъгълник със страни съответно 20 и 16 см. Сега разгледайте триъгълник, чийто ъгъл е 45°. Знаем, че едната му страна е 16 см. Тъй като тази страна е и височината на трапеца (и знаем, че височината се спуска към основата под прав ъгъл), следователно вторият ъгъл на триъгълника е 90°. Следователно оставащият ъгъл на триъгълника е 45°. Последствието от това е, че получаваме правоъгълен равнобедрен триъгълник, в който двете страни са еднакви. Това означава, че другата страна на триъгълника е равна на височината, тоест 16 см. Остава само да се изчисли площта на триъгълника и правоъгълника и да се съберат получените стойности.
Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на краката му: S = (16*16)/2 = 128. Площта на правоъгълник е равна на произведението на неговата ширина и дължина: S = 20*16 = 320. Намерихме необходимото: площ на трапеца S = 128 + 320 = 448 кв. вижте. Можете лесно да проверите сами, като използвате горните формули, отговорът ще бъде идентичен.
Използваме формулата Pick
И накрая, представяме друга оригинална формула, която помага да се намери площта на трапец. Нарича се формула на Pick. Удобно е да се използва, когато трапецът е начертан върху карирана хартия. Подобни проблеми често се срещат в материалите на GIA. Изглежда така:
S = M/2 + N - 1,
в тази формула М е броят на възлите, т.е. пресечни точки на линиите на фигурата с линиите на клетката на границите на трапеца (оранжеви точки на фигурата), N е броят на възлите във фигурата (сини точки). Най-удобно е да го използвате, когато намирате площта на неправилен многоъгълник. Въпреки това, колкото по-голям е арсеналът от използвани техники, толкова по-малко грешки и по-добри резултати.
Разбира се, предоставената информация не изчерпва видовете и свойствата на трапеца, както и методите за намиране на неговата площ. Тази статия предоставя преглед на най-важните му характеристики. Когато решавате геометрични задачи, е важно да действате постепенно, да започнете с лесни формули и задачи, последователно да консолидирате разбирането си и да преминете към друго ниво на сложност.
Събрани заедно, най-често срещаните формули ще помогнат на учениците да се ориентират в различните начини за изчисляване на площта на трапец и по-добре да се подготвят за тестове и задачи по тази тема.