اكتب قاعدة التفاضل u v. ابحث عن المشتق: الخوارزمية وأمثلة الحلول

تتضمن دورة الفيديو "احصل على A" جميع المواضيع الضرورية للنجاح اجتياز امتحان الدولة الموحدةفي الرياضيات 60-65 نقطة. تماما جميع المشاكل 1-13 امتحان الدولة الموحدة للملف الشخصيالرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز امتحان الدولة الموحدة الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز امتحان الدولة الموحدة برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الدولة الموحدة للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، ولا يستطيع طالب 100 نقطة ولا طالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.

الجميع النظرية الضرورية. طرق سريعةحلول ومزالق وأسرار امتحان الدولة الموحدة. تم تحليل جميع المهام الحالية للجزء الأول من بنك مهام FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات امتحان الدولة الموحدة 2018.

الدورة تحتوي على 5 مواضيع كبيرة، 2.5 ساعة لكل منهما. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.

المئات من مهام امتحان الدولة الموحدة. مشاكل الكلماتونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. نظرية، المواد المرجعية، تحليل جميع أنواع مهام امتحان الدولة الموحدة. القياس المجسم. حلول صعبة، أوراق غش مفيدة، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلا من الحشر. شرح مرئي مفاهيم معقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أساس الحل المهام المعقدة 2 أجزاء من امتحان الدولة الموحدة.

التمايز هو حساب المشتق.

1. صيغ التمايز.

صيغ التمايز الرئيسية موجودة في الجدول. ليس من الضروري حفظها. بعد أن فهمت بعض الأنماط، ستتمكن من استخلاص أنماط أخرى بشكل مستقل من بعض الصيغ.

1) لنبدأ بالصيغة (ك س+ م)′ = ك.
حالاتها الخاصة هي الصيغ س′ = 1 و C′ = 0.

في أي دالة على الصورة y = kx + m، يكون المشتق يساوي الميل k.

على سبيل المثال، بالنظر إلى الدالة y = 2 X+ 4. مشتقتها عند أي نقطة تساوي 2:

(2 س + 4)' = 2 .

مشتق من وظيفة في = 9 X+ 5 في أي نقطة يساوي 9 . إلخ.

لنجد مشتقة الدالة y = 5 X. للقيام بذلك، دعونا نتخيل 5 Xفي الشكل (5 X+ 0). لقد تلقينا تعبيرًا مشابهًا للتعبير السابق. وسائل:

(5X)' = (5 X+ 0)′ = 5.

وأخيرا، دعونا معرفة ما يساوي س′.
دعونا نطبق التقنية من المثال السابق: تخيل Xكما 1 X+ 0. ثم نحصل على:

س′ = (1 X+ 0)′ = 1.

وبالتالي، قمنا بشكل مستقل باشتقاق الصيغة من الجدول:

(0 · س+ م)′ = 0.

ولكن بعد ذلك يتبين أن m′ تساوي أيضًا 0. دع m = C، حيث C ثابت اعتباطي. ثم نصل إلى حقيقة أخرى: مشتقة الثابت تساوي صفرًا. أي أننا نحصل على صيغة أخرى من الجدول.

جدول المشتقات وظائف أولية

التعريف 1

يسمى الحساب المشتق التفاضل.

قم بالإشارة إلى المشتق $y"$ أو $\frac(dy)(dx)$.

ملاحظة 1

للعثور على مشتق دالة، وفقا للقواعد الأساسية للتمايز، يتم تحويلها إلى دالة أخرى.

دعونا نلقي نظرة على جدول المشتقات. ولننتبه إلى أن الدوال بعد إيجاد مشتقاتها تتحول إلى دوال أخرى.

الاستثناء الوحيد هو $y=e^x$، الذي يتحول إلى نفسه.

قواعد التمايز بين المشتقات

في أغلب الأحيان، عند العثور على مشتق، لا تحتاج فقط إلى إلقاء نظرة على جدول المشتقات، ولكن عليك أولاً تطبيق قواعد التمايز وإثبات مشتق المنتج، وعندها فقط استخدم جدول مشتقات الوظائف الأولية.

1. يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة

$C$ هو ثابت.

مثال 1

اشتقاق الدالة $y=7x^4$.

حل.

ابحث عن $y"=(7x^4)"$. بإخراج الرقم $7$ من علامة المشتقة، نحصل على:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

باستخدام الجدول، عليك إيجاد قيمة مشتقة دالة القدرة:

$=7 \cdot 4x^3=$

لنحول النتيجة إلى الشكل المقبول في الرياضيات:

إجابة: 28×^3$.

2. مشتق المجموع (الفرق) يساوي مجموع (الفرق) المشتقات:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

مثال 2

اشتقاق الدالة $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.

حل.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

نطبق قاعدة التمييز بين مجموع المشتقات والفرق:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\سرير x)"=$

لاحظ أنه عند التفاضل، يجب تحويل جميع القوى والجذور إلى الشكل $x^(\frac(a)(b))$;

لنأخذ جميع الثوابت من علامة المشتقة:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\سرير x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

بعد فهم قواعد التمايز، يتم تطبيق بعضها (على سبيل المثال، مثل الأخيرين) في وقت واحد لتجنب إعادة كتابة تعبير طويل؛

لقد حصلنا على تعبير من الدوال الأولية تحت علامة المشتقة؛ لنستخدم جدول المشتقات:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

فلنحوله إلى الشكل المقبول في الرياضيات:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 س)$

يرجى ملاحظة أنه عند العثور على النتيجة، فإن الشروط مع القوى الكسريةتحويل إلى جذور، ومع السلبية - إلى الكسور.

إجابة: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.

3. صيغة مشتق منتج الوظائف:

$(uv)"=u" v+uv"$.

مثال 3

اشتقاق الدالة $y=x^(11) \ln x$.

حل.

أولاً، نطبق قاعدة حساب مشتقة حاصل ضرب الدوال، ثم نستخدم جدول المشتقات:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnтx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11\lnx-1)$.

إجابة: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. صيغة مشتقة دالة جزئية:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

مثال 4

اشتقاق الدالة $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.

حل.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

وفقا لقواعد الأولوية عمليات رياضيةنقوم أولاً بإجراء القسمة، ثم الجمع والطرح، لذلك نطبق أولاً قاعدة حساب مشتق خارج القسمة:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

دعونا نطبق قواعد مشتقات المجموع والفرق، ونفتح الأقواس ونبسط التعبير:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

إجابة:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

مثال 5

دعونا نفرق بين الدالة $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.

حل.

الدالة y هي حاصل قسمة دالتين، لذا يمكنك تطبيق قاعدة حساب مشتق حاصل القسمة، لكن في هذه الحالة ستحصل على دالة مرهقة. لتبسيط هذه الدالة، يمكنك قسمة البسط على المقام حدًا تلو الآخر:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

دعونا نطبق قاعدة التمييز بين مجموع الدوال والفرق بينها وبين دالة مبسطة:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

إجابة: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.

دع الدالة y = f(x) محددة في الفاصل الزمني X. المشتقالدالة y = f(x) عند النقطة x o تسمى الحد

إذا كان هذا الحد محدود،ثم يتم استدعاء الدالة f(x). قابل للتفاضلعند هذه النقطة س س; علاوة على ذلك، فإنه يتبين أنه مستمر بالضرورة في هذه المرحلة.

إذا كانت النهاية قيد النظر تساوي ¥ (أو - ¥)، بشرط أن تكون الدالة عند هذه النقطة س سمتصلة، سنقول أن الدالة f(x) موجودة عند هذه النقطة x o مشتق لا نهائي.

يتم الإشارة إلى المشتق بالرموز

ذ ¢، و ¢ (س س)، ، .

إيجاد المشتق يسمى التفاضلالمهام. معنى هندسيالمشتقهو أن المشتق هو ميلمماس للمنحنى y=f(x) عند نقطة معينة س س; المعنى الجسدي - هو أن مشتق المسار بالنسبة للوقت هو سرعة لحظيةنقطة التحرك عند حركة مستقيمة s = s(t) في الوقت المناسب ل o .

لو مع - رقم ثابتو u = u(x)، v = v(x) هي بعض الدوال القابلة للتمييز القواعد التاليةالتفاضل:

1) (ج) " = 0، (cu) " = cu"؛

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) إذا y = f(u)، u = j(x)، أي. ص = و(ي(خ)) - وظيفة معقدةأو تراكب، تتألف من وظائف قابلة للتمييز j و f، ثم، أو

6) إذا كانت هناك دالة y = f(x) دالة عكسية قابلة للتفاضل x = g(y)، و¹ 0، إذن.

استنادا إلى تعريف المشتق وقواعد التمايز، من الممكن تجميع قائمة المشتقات الجدولية للوظائف الأولية الرئيسية.

1. (ش م)" = م ش م - 1 ش" (م О ر).

2. (أ ش)" = أ ش لنا × ش".

3. (ه ش)" = ه ش ش".

4. (سجل a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (الخطيئة ش)" = كوس ش× ش".

7. (cos u)" = - sin u× u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u× u".

9. (ctg u)" = - u" / الخطيئة 2 u.

10.(arcsin u)" = u" / .

11.(arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

دعونا نحسب مشتقة التعبير الأسي
y=u v , (u>0), أين شو الخامسجوهر الوظيفة من X، وجود مشتقات عند نقطة معينة ش",الخامس".

بأخذ لوغاريتمات المساواة y=u v نحصل على ln y = v ln u.

معادلة المشتقات فيما يتعلق Xمن طرفي المساواة الناتجة باستخدام القواعد 3، 5 وصيغة المشتقة وظيفة لوغاريتمية، سوف نحصل على:

y"/y = vu"/u +v" ln u، حيث y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u)، u > 0.

على سبيل المثال، إذا كانت y = x sin x، فإن y" = x sin x (sin x/x + cos x× ln x).

إذا كانت الدالة y = f(x) قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة س، أي. لديه مشتق محدود في هذه المرحلة ذ"، ثم = y"+a، حيث a®0 عند Dx® 0؛ وبالتالي D y = y" Dx + a x.

الجزء الرئيسييتم استدعاء زيادة الدالة الخطية بالنسبة إلى Dx وظيفة تفاضليةويشار إليه بـ dy: dy = y" Dx. إذا وضعنا y=x في هذه الصيغة، نحصل على dx = x"Dx = 1×Dx = Dx، وبالتالي dy=y"dx، أي الرمز الذي يشير إلى المشتق يمكن اعتباره ككسر.

زيادة الدالة د ذهي زيادة إحداثي المنحنى، والتفاضل د ذهي الزيادة الإحداثية للظل.

دعونا نجد للدالة y=f(x) مشتقتها y ¢= f ¢(x). ويسمى مشتق هذا المشتق مشتق من الدرجة الثانيةوظائف و(خ)، أو المشتق الثاني،ويتم تعيينه.

يتم تعريف وتعيين ما يلي بنفس الطريقة:

مشتق من الدرجة الثالثة - ,

مشتق من الدرجة الرابعة -

وبشكل عام مشتق من الدرجة n - .

مثال 15.احسب مشتقة الدالة y=(3x 3 -2x+1)×sin x.

حل.حسب القاعدة 3، y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.

مثال 16. أوجد y"، y = tan x + .

حل.باستخدام قواعد التمييز بين المجموع والحاصل، نحصل على: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

مثال 17.أوجد المشتقة وظيفة معقدةص=،
ش=س 4 +1.

حل.وفقًا لقاعدة اشتقاق دالة معقدة، نحصل على: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. وبما أن u=x 4 +1، إذن
(2 × 4 +2+ .

مثال 18.

حل.لنتخيل الدالة y= كتراكب لوظيفتين: y = e u و u = x 2 . لدينا: y" x =y " u u" x = (e u)" u (x 2)" x = e u ×2x. × 2بدلاً من ش، نحصل على y=2x .

مثال 19.أوجد مشتقة الدالة y=ln sin x.

حل.دعونا نشير إلى u=sin x، ثم يتم حساب مشتق الدالة المعقدة y=ln u بواسطة الصيغة y" = (ln u)" u (sin x)" x = .

مثال 20.أوجد مشتقة الدالة y=.

حل.تم استنفاد حالة الدالة المعقدة الناتجة عن عدة تراكبات تطبيق متسقالقواعد 5:

مثال 21. احسب المشتقة y=ln.

حل.وبأخذ اللوغاريتمات واستخدام خصائص اللوغاريتمات نحصل على:

ص=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

بتفاضل طرفي المساواة الأخيرة نحصل على:

2.2. التحليل الهامشي في الاقتصاد. وظيفة المرونة

في البحوث الاقتصاديةغالبًا ما تستخدم مصطلحات محددة للإشارة إلى المشتقات. على سبيل المثال، إذا و (خ)هنالك وظيفة إنتاجللتعبير عن اعتماد ناتج أي منتج على تكلفة العامل س، الذي - التي و "(خ)مُسَمًّى منتج هامشي; لو ز (خ)هناك دالة تكلفة، أي دالة ز (خ)يعبر عن اعتماد التكاليف الإجمالية على حجم الإنتاج س، الذي - التي ز"(خ)مُسَمًّى التكلفة الحدية .

التحليل الهامشي في الاقتصاد- مجموعة من التقنيات لدراسة القيم المتغيرة للتكاليف أو النتائج عندما تتغير أحجام الإنتاج والاستهلاك وما إلى ذلك. بناء على تحليل قيمها الحدية. بالنسبة للجزء الاكبريتم إجراء الحسابات المخططة بناءً على البيانات الإحصائية العادية في النموذج إجمالي المؤشرات. في هذه الحالة، يتكون التحليل بشكل أساسي من حساب القيم المتوسطة. ومع ذلك، في بعض الحالات يتبين أنه من الضروري إجراء دراسة أكثر تفصيلاً مع مراعاة القيم الحدية. على سبيل المثال، عند تحديد تكاليف إنتاج الحبوب في منطقة ما للمستقبل، يؤخذ في الاعتبار أن التكاليف قد تختلف اعتمادًا على، من بين أمور أخرى، ظروف متساوية، من الكميات المتوقعة لجمع الحبوب، منذ أن شاركوا حديثا في المعالجة أسوأ الأراضيوستكون تكاليف الإنتاج أعلى من المتوسط الإقليمي.

إذا كانت العلاقة بين مؤشرين الخامسو سيتم تقديمه تحليليًا: v = f(x) - إذن متوسط القيمة يمثل العلاقة الخامس / س، أ ذروة- مشتق.

العثور على إنتاجية العمل.دع الوظيفة معروفة
u = u(t)، معبرًا عن كمية المنتجات المنتجة شأثناء العمل ر. دعونا نحسب كمية المنتجات المنتجة مع مرور الوقت
Dt = t 1 - t 0: Du = u(t 1) - u(t 0) = u(t 0 +Dt) - u(t 0). متوسط إنتاجية العملتسمى نسبة كمية المنتجات المنتجة إلى الوقت المستغرق، أي. z av.= دو/Dt.

إنتاجية العامل z(t 0) في الوقت الحالي t 0 هو الحد الذي يميل إليه متوسط z. عند Dt®0: . ومن ثم فإن حساب إنتاجية العمل يتلخص في حساب المشتق: z(t 0) = u"(t 0).

تكاليف الإنتاج K للمنتجات المتجانسة هي دالة على كمية المنتجات س. لذلك يمكننا أن نكتب K = K(x). لنفترض أن كمية الإنتاج تزيد بمقدار D X. كمية الإنتاج x+Dx تتوافق مع تكاليف الإنتاج K(x + Dx). وبالتالي فإن زيادة كمية الإنتاج د Xيتوافق مع الزيادة في تكاليف الإنتاج DK = K(x + Dx) - K(x).

متوسط الزيادة في تكاليف الإنتاج هو DK/Dx. وهي زيادة في تكاليف الإنتاج لكل وحدة زيادة في كمية الإنتاج.

الحد يسمى التكلفة الحدية للإنتاج.

إذا نشير بـ ش(خ)العائدات من البيع ستسمى وحدات البضائع هامش الربح.

باستخدام المشتق، يمكنك حساب زيادة الدالة المقابلة لزيادة الوسيطة. في العديد من المسائل، يكون من المناسب أكثر حساب النسبة المئوية للزيادة (الزيادة النسبية) للمتغير التابع المقابلة للنسبة المئوية للزيادة في المتغير المستقل. وهذا يقودنا إلى مفهوم مرونة الوظيفة (التي تسمى أحيانًا مشتق نسبي). لذلك، دع الدالة y = f(x) تعطى والتي يوجد لها مشتق y ¢ = f ¢(x). وظيفة المرونة y = f(x) بالنسبة للمتغير سدعا الحد

يتم الإشارة إليه بواسطة E x (y) = x/y f ¢ (x) = .

المرونة النسبية سهي نسبة مئوية تقريبية للزيادة في دالة (زيادة أو نقصان)، تقابل زيادة في المتغير المستقل بنسبة 1%. يقيس الاقتصاديون درجة استجابة المستهلكين أو حساسيتهم للتغيرات في سعر المنتج باستخدام مفهوم مرونة السعر. ويتميز الطلب على بعض المنتجات بالحساسية النسبية لدى المستهلكين لتغيرات الأسعار؛ فالتغيرات الصغيرة في السعر تؤدي إلى تغيرات كبيرة في الكمية المشتراة. عادة ما يسمى الطلب على مثل هذه المنتجات مرنة نسبياأو مجرد مرونة. أما بالنسبة للمنتجات الأخرى، فإن المستهلكين غير حساسين نسبيا للتغيرات في الأسعار بالنسبة لهم، أي أن التغير الكبير في السعر يؤدي فقط إلى تغير بسيطفي عدد المشتريات. في مثل هذه الحالات الطلب غير مرنة نسبياأو ببساطة غير مرنة. شرط غير مرن تماماالطلب يعني الحالة القصوى التي لا يؤدي فيها التغير في السعر إلى أي تغيير في الكمية المطلوبة. ومن الأمثلة على ذلك طلب مرضى السكري الحاد على الأنسولين أو طلب مدمني المخدرات على الهيروين. والعكس صحيح، عندما يقوم المشترون، مع أقل انخفاض في السعر، بزيادة المشتريات إلى الحد الأقصى لقدراتهم - فإننا نقول أن الطلب هو مرنة تماما.

الحد الأقصى للوظيفة

يتم استدعاء الدالة y=f(x). في ازدياد (متناقص) في فترة زمنية معينة، إذا كان لـ x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >و (× 2)).

إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل y = f(x) تزيد (تتناقص) على فترة زمنية، فإن مشتقتها على هذه الفترة f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

نقطة س سمُسَمًّى النقطة القصوى المحلية (الحد الأدنى) الدالة f(x)، إذا كان هناك حي للنقطة س س، لجميع النقاط التي يكون فيها عدم المساواة f(x) £ f(x о) (f(x) ³ f(x о)) صحيحًا.

يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط النقاط القصوى، وقيم الدالة عند هذه النقاط هي التطرف.

الشروط اللازمةأقصى. إذا كانت النقطة س سهي النقطة القصوى للدالة f(x)، فإما f ¢(x о) = 0، أو f ¢(x о) غير موجود. تسمى هذه النقاط شديد الأهمية،ويتم تعريف الوظيفة نفسها عند النقطة الحرجة. ينبغي البحث عن الحدود القصوى للدالة من بين نقاطها الحرجة.

الشرط الأول الكافي.يترك س س- نقطة حرجة. إذا f ¢ (x) عند المرور عبر النقطة س سيغير علامة الجمع إلى ناقص، ثم عند هذه النقطة س سالدالة لديها الحد الأقصى خلاف ذلك- الحد الأدنى. إذا عند المرور نقطة حرجةالمشتق لا يغير الإشارة، ثم عند هذه النقطة س سلا يوجد تطرف.

الشرط الثاني الكافيدع الدالة f(x) لها مشتقة
f ¢ (x) بالقرب من النقطة س سوالمشتق الثاني عند النقطة نفسها س س. إذا و ¢(س о) = 0، >0 (<0), то точка س سهي النقطة الدنيا (القصوى) المحلية للدالة f(x). إذا كان =0، فأنت بحاجة إما إلى استخدام الشرط الكافي الأول أو استخدام مشتقات أعلى.

في المقطع، يمكن أن تصل الدالة y = f(x) إلى الحد الأدنى أو الحد الأقصى لقيمتها إما عند النقاط الحرجة أو في نهايات المقطع.

مثال 22.أوجد الحدود القصوى للدالة f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

حل.بما أن f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3)، فإن النقاط الحرجة للدالة x 1 = 2 وx 2 = 3. يمكن أن تكون النقاط القصوى عند فقط هذه النقاط. نظرًا لأنه عند المرور بالنقطة x 1 = 2 فإن التغييرات المشتقة تشير من الموجب إلى الناقص، عند هذه النقطة يكون للدالة قيمة عظمى. عند المرور بالنقطة x 2 = 3، يغير المشتق علامته من ناقص إلى زائد، لذلك عند النقطة x 2 = 3 يكون للدالة حد أدنى. بعد حساب قيم الدالة عند النقاط
x 1 = 2 و x 2 = 3، نجد الحدود القصوى للدالة: الحد الأقصى f(2) = 14 والحد الأدنى f(3) = 13.

مثال 23.من الضروري بناء منطقة مستطيلة بالقرب من الجدار الحجري بحيث تكون مسيجة من ثلاث جهات بشبكة سلكية، والجانب الرابع مجاور للجدار. لهذا هناك أمتر خطي من الشبكة. في أي نسبة عرض إلى ارتفاع سيكون للموقع أكبر مساحة؟

حل.دعونا نشير إلى جوانب المنصة بواسطة سو ذ. مساحة الموقع S = xy. يترك ذ- هذا هو طول الضلع المجاور للجدار. ثم، بشرط، يجب أن تكون المساواة 2x + y = a. لذلك y = a - 2x وS = x(a - 2x)، حيث 0 £ x £ a/2 (لا يمكن أن يكون طول وعرض اللوحة سالبًا). S ¢ = أ - 4س، أ - 4س = 0 عند س = أ/4، من أين
ص = أ - 2×أ/4 =أ/2. بما أن x = a/4 هي النقطة الحرجة الوحيدة، فلنتحقق مما إذا كانت إشارة المشتقة تتغير عند المرور بهذه النقطة. في العاشر< a/4 S ¢ >0، و ل x >a/4 S ¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

بما أن S مستمرة وقيمها عند النهايات S(0) وS(a/2) تساوي الصفر، فإن القيمة التي تم العثور عليها ستكون أكبر قيمة للدالة. وبالتالي، فإن نسبة العرض إلى الارتفاع الأكثر ملائمة للموقع في ظل الظروف المحددة للمشكلة هي y = 2x.

مثال 24.ويلزم تصنيع خزان أسطواني مغلق بسعة V=16p » 50 م3 . ما هي أبعاد الخزان (نصف القطر R والارتفاع H) بحيث يتم استخدام أقل كمية من المواد في تصنيعه؟

حل.المساحة الإجمالية للأسطوانة هي S = 2pR(R+H). نحن نعرف حجم الاسطوانة V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . وهذا يعني S(R) = 2p(R 2 +16/R). نجد مشتقة هذه الدالة:
S ¢(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S ¢(R) = 0 عند R 3 = 8، وبالتالي،
ص = 2، ح = 16/4 = 4.

2. القواعد الأساسية للتمايز

لو معهو رقم ثابت، وu = u(x)، v = v(x) هي بعض الدوال القابلة للتفاضل، وبالتالي فإن قواعد التمايز التالية صالحة:

1) (ج) " = 0، (cu) " = cu"؛

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

مثال 1.أوجد مشتقة الدالة

حل. وبتطبيق القاعدتين (5) و (8) والصيغة (4) لاشتقاق دالة القدرة، نحصل على ذلك

مثال 2.أوجد مشتقة الدالة

حل. دعونا نطبق القاعدة (7) لاشتقاق حاصل الضرب، ثم نوجد مشتقات العوامل بنفس الطريقة كما في المثال 4. ثم نحصل على

مثال 3.أوجد مشتقة الدالة y =

حل. دعونا نطبق القاعدة (10) للتمييز بين خارج القسمة:

بعد ذلك، كما هو مذكور أعلاه، نحسب المشتقات في البسط. لدينا

نص المهمة:

الخيار 1

1. أوجد مشتقة الدالة .

2. أوجد مشتقة الدالة .

عند الإحداثي السيني , .

الخيار 2

1. أوجد مشتقة الدالة .

2. أوجد مشتقة الدالة .

3. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند الإحداثي السيني , .

4. النقطة المادية تتحرك وفق القانون . أوجد السرعة والتسارع في اللحظة الزمنية ر= 5 ثانية. (يتم قياس الإزاحة بالأمتار.)

الخيار 3

1. أوجد مشتقة الدالة .

2. أوجد مشتقة الدالة .

3. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند الإحداثي السيني , .

الخيار 4

1. أوجد مشتقة الدالة .

2. أوجد مشتقة الدالة .

3. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند الإحداثي السيني , .

الخيار 5

1. أوجد مشتقة الدالة .

2. أوجد مشتقة الدالة .

3. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند الإحداثي السيني , .

الخيار 6

1. أوجد مشتقة الدالة .

2. أوجد مشتقة الدالة .

3. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند الإحداثي السيني , .

العمل العملي رقم 16

موضوع: تطبيق المشتق لدراسة الوظائف والرسوم البيانية

الهدف من العمل: تعزيز معارف ومهارات الطلاب في إتقان الموضوع، وتطوير المهارات في الاستخدام التطبيقي للأجهزة المشتقة.

الخلفية النظرية:

مخطط لدراسة وظيفة وبناء الرسم البياني لها

I. ابحث عن مجال تعريف الوظيفة.
ثانيا. أوجد نقاط تقاطع الرسم البياني للدالة مع محاور الإحداثيات.
ثالثا. ابحث عن الخطوط المقاربة.
رابعا. العثور على النقاط القصوى المحتملة.
خامسا: البحث عن النقاط الحرجة.
السادس. باستخدام الشكل المساعد، اكتشف إشارة المشتقة الأولى. تحديد مجالات الدالة المتزايدة والمتناقصة، والنقاط القصوى.
سابعا. قم بإنشاء رسم بياني، مع مراعاة البحث الذي تم إجراؤه في الفقرات 1-6.