احسب حجم دوران الجسم للشكل المتكون من الخطوط. حجم جسد الثورة

استخدام التكاملات لإيجاد أحجام الأجسام الدورانية

الفائدة العملية للرياضيات ترجع إلى حقيقة أنه بدونها

المعرفة الرياضية المحددة تجعل من الصعب فهم مبادئ الجهاز واستخدام التكنولوجيا الحديثة. يتعين على كل شخص في حياته إجراء حسابات معقدة للغاية، واستخدام المعدات شائعة الاستخدام، والعثور على الصيغ اللازمة في الكتب المرجعية، وإنشاء خوارزميات بسيطة لحل المشكلات. في المجتمع الحديث، ترتبط المزيد والمزيد من التخصصات التي تتطلب مستوى عال من التعليم بالتطبيق المباشر للرياضيات. وبالتالي، تصبح الرياضيات موضوعا مهما مهنيا للطالب. يعود الدور الرائد للرياضيات في تكوين التفكير الخوارزمي؛ فهي تطور القدرة على التصرف وفقًا لخوارزمية معينة وبناء خوارزميات جديدة.

أثناء دراسة موضوع استخدام التكامل لحساب أحجام الأجسام الدورانية، أقترح أن يأخذ الطلاب في الصفوف الاختيارية موضوع: "أحجام الأجسام الدورانية باستخدام التكاملات". فيما يلي توصيات منهجية للنظر في هذا الموضوع:

1. مساحة الشكل المسطح.

نعلم من مقرر الجبر أن المسائل ذات الطبيعة العملية أدت إلى مفهوم التكامل المحدد..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width = "127" height = "25 src = ">.

لإيجاد حجم جسم دوران يتكون من دوران شبه منحرف منحني الأضلاع حول محور الثور، ويحده خط متقطع y=f(x)، ومحور الثور، والخطين المستقيمين x=a وx=b، نحسب باستخدام الصيغة

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. حجم الاسطوانة.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width = "85" height = "51">..gif" width = "13" height = "25">..jpg" width='401' height='355'>يتم الحصول على المخروط عن طريق تدوير المثلث القائم ABC (C = 90) حول محور الثور الذي يقع عليه الساق AC.

يقع الجزء AB على الخط المستقيم y=kx+c، حيث https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

دع a=0، b=H (H هو ارتفاع المخروط)، ثم Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. حجم المخروط المقطوع.

يمكن الحصول على المخروط المقطوع عن طريق تدوير شبه منحرف ABCD (CDOx) حول محور الثور.

القطعة AB تقع على الخط المستقيم y=kx+c، حيث ، ج = ص.

بما أن الخط المستقيم يمر بالنقطة A (0;r).

وبالتالي، يبدو الخط المستقيم مثل https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

دع a=0، b=H (H هو ارتفاع المخروط المقطوع)، ثم https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width = "36" height = "17 src ="> = .

6. حجم الكرة.

يمكن الحصول على الكرة عن طريق تدوير دائرة مركزها (0;0) حول محور الثور. يتم إعطاء نصف الدائرة الموجود فوق محور الثور بالمعادلة

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

كيفية حساب حجم الجسم أثناء دورانه
باستخدام تكامل محدد؟

بشكل عام، هناك الكثير من التطبيقات المثيرة للاهتمام في حساب التفاضل والتكامل باستخدام تكامل محدد، يمكنك حساب مساحة الشكل، وحجم الجسم الدوران، وطول القوس، ومساحة السطح. التناوب وأكثر من ذلك بكثير. لذا سيكون الأمر ممتعًا، يرجى البقاء متفائلًا!

تخيل شكلًا مسطحًا على المستوى الإحداثي. قدَّم؟ ... وأتساءل من قدم ماذا... =))) لقد وجدنا مساحتها بالفعل. ولكن، بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تدوير هذا الشكل، وتدويره بطريقتين:

- حول محور الإحداثي السيني؛
- حول المحور الإحداثي.

هذه المقالة سوف تدرس كلتا الحالتين. الطريقة الثانية للدوران مثيرة للاهتمام بشكل خاص، فهي تسبب معظم الصعوبات، ولكن في الواقع الحل هو نفسه تقريبًا كما هو الحال في الدوران الأكثر شيوعًا حول المحور السيني. على سبيل المكافأة سأعود إلى مشكلة إيجاد مساحة الشكلوسأخبرك بكيفية العثور على المنطقة بالطريقة الثانية - على طول المحور. إنها ليست مكافأة بقدر ما تتناسب المادة جيدًا مع الموضوع.

لنبدأ بالنوع الأكثر شيوعًا من التناوب.

شكل مسطح حول محور

احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل محدد بخطوط حول محور.

حل: كما هو الحال في مشكلة العثور على المنطقة، يبدأ الحل برسم شكل مسطح. أي أنه من الضروري على المستوى بناء شكل يحده الخطوط، ولا تنس أن المعادلة تحدد المحور. كيفية إكمال الرسم بشكل أكثر كفاءة وسرعة يمكن العثور عليها على الصفحات الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائيةو . هذا تذكير صيني، ولن أطيل في الحديث عند هذه النقطة.

الرسم هنا بسيط للغاية:

الشكل المسطح المطلوب مظلل باللون الأزرق، وهو الذي يدور حول المحور، ونتيجة للدوران، تكون النتيجة طبقًا طائرًا بيضاويًا قليلًا ومتماثلًا حول المحور. في الواقع، الجسم له اسم رياضي، لكنني كسول جدًا لدرجة أنني لا أستطيع توضيح أي شيء في الكتاب المرجعي، لذلك نمضي قدمًا.

كيفية حساب حجم الجسم الدوراني؟

يمكن حساب حجم جسم الثورة باستخدام الصيغة:

في الصيغة، يجب أن يكون الرقم موجودًا قبل التكامل. لقد حدث أن كل ما يدور في الحياة مرتبط بهذا الثابت.

أعتقد أنه من السهل تخمين كيفية تعيين حدود التكامل "a" و"be" من الرسم المكتمل.

الوظيفة... ما هي هذه الوظيفة؟ دعونا نلقي نظرة على الرسم. الشكل المستوي محدد بالرسم البياني للقطع المكافئ في الأعلى. هذه هي الوظيفة المضمنة في الصيغة.

في المهام العملية، يمكن أحيانًا وضع الشكل المسطح أسفل المحور. هذا لا يغير شيئًا - يتم تربيع التكامل في الصيغة: وهكذا التكامل دائمًا غير سلبيوهو أمر منطقي للغاية.

دعونا نحسب حجم الجسم الثوري باستخدام هذه الصيغة:

كما لاحظت بالفعل، فإن التكامل دائمًا ما يكون بسيطًا، والشيء الرئيسي هو توخي الحذر.

إجابة:

في إجابتك يجب أن تشير إلى البعد - الوحدات المكعبة. أي أنه يوجد في جسم الدوران حوالي 3.35 "مكعبًا". لماذا مكعب وحدات؟ لأن الصيغة الأكثر عالمية. من الممكن أن يكون هناك سنتيمترات مكعبة، أو أمتار مكعبة، أو كيلومترات مكعبة، وما إلى ذلك، هذا هو عدد الرجال الخضر الذين يمكن لخيالك أن يضعهم في طبق طائر.

أوجد حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل محدد بالخطوط،،

هذا مثال عليك حله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

دعونا نفكر في مشكلتين أكثر تعقيدًا، والتي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.

احسب حجم الجسم الذي تم الحصول عليه بالتدوير حول محور الإحداثي السيني للشكل الذي يحده الخطوط و و

حل: لنرسم في الرسم شكلاً مسطحاً محاطاً بالخطوط , , , دون أن ننسى أن المعادلة تحدد المحور:

الشكل المطلوب مظلل باللون الأزرق. وعندما تدور حول محورها، فإنها تتحول إلى كعكة سريالية ذات أربع زوايا.

دعونا نحسب حجم جسم الثورة كما الفرق في أحجام الأجسام.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر. عندما يدور حول محور، يتم الحصول على مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى حجم هذا المخروط المقطوع بواسطة .

خذ بعين الاعتبار الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر. إذا قمت بتدوير هذا الشكل حول المحور، فستحصل أيضًا على مخروط مقطوع، أصغر قليلاً فقط. دعونا نشير إلى حجمه بواسطة .

ومن الواضح أن الاختلاف في الأحجام هو بالضبط حجم "الدونات" الخاصة بنا.

نستخدم الصيغة القياسية لإيجاد حجم الجسم الذي يدور:

1) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأحمر يحده من الأعلى خط مستقيم، وبالتالي:

2) الشكل المُحاط بدائرة باللون الأخضر محدد من الأعلى بخط مستقيم، وبالتالي:

3) حجم جسم الثورة المطلوب :

إجابة:

من الغريب أنه في هذه الحالة يمكن التحقق من الحل باستخدام الصيغة المدرسية لحساب حجم المخروط المقطوع.

غالبًا ما يُكتب القرار نفسه بشكل أقصر، مثل هذا:

والآن لنأخذ قسطًا من الراحة ونخبرك بالأوهام الهندسية.

غالبًا ما يكون لدى الناس أوهام مرتبطة بالمجلدات، وهو ما لاحظه بيرلمان (آخر) في الكتاب هندسة مسلية. انظر إلى الشكل المسطح في المسألة التي تم حلها - يبدو صغيرًا في المساحة، وحجم جسم الدوران يزيد قليلاً عن 50 وحدة مكعبة، وهو ما يبدو كبيرًا جدًا. وبالمناسبة، فإن الشخص العادي يشرب ما يعادل غرفة مساحتها 18 مترًا مربعًا من السوائل طوال حياته، وهو على العكس من ذلك يبدو حجمًا صغيرًا جدًا.

بعد الاستطراد الغنائي، من المناسب حل المهمة الإبداعية:

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل مسطح يحده الخطان , , حيث .

هذا مثال عليك حله بنفسك. يرجى ملاحظة أن جميع الحالات تحدث في النطاق، أي أن حدود التكامل الجاهزة معطاة بالفعل. ارسم الرسوم البيانية للدوال المثلثية بشكل صحيح، واسمحوا لي أن أذكركم بمادة الدرس حول التحولات الهندسية للرسوم البيانية: إذا تم تقسيم الوسيطة على اثنين:، فسيتم تمديد الرسوم البيانية مرتين على طول المحور. يُنصح بالعثور على 3-4 نقاط على الأقل وفقا للجداول المثلثيةلإكمال الرسم بشكل أكثر دقة. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس. بالمناسبة، يمكن حل المهمة بعقلانية وليس بعقلانية شديدة.

حساب حجم الجسم الناتج عن الدوران
شكل مسطح حول محور

ستكون الفقرة الثانية أكثر إثارة للاهتمام من الأولى. إن مهمة حساب حجم جسم دوراني حول المحور الإحداثي هي أيضًا ضيف شائع إلى حد ما في أعمال الاختبار. على طول الطريق سيتم النظر فيها مشكلة إيجاد مساحة الشكلالطريقة الثانية هي التكامل على طول المحور، وهذا لن يسمح لك بتحسين مهاراتك فحسب، بل سيعلمك أيضًا كيفية العثور على مسار الحل الأكثر ربحية. هناك أيضًا معنى للحياة العملية في هذا! كما تذكرت معلمتي في أساليب تدريس الرياضيات بابتسامة، شكرها العديد من الخريجين بالكلمات: "لقد ساعدنا موضوعك كثيرًا، والآن نحن مديرون فعالون وندير الموظفين على النحو الأمثل". وأغتنم هذه الفرصة، كما أعرب عن امتناني الكبير لها، خاصة وأنني أستخدم المعرفة المكتسبة للغرض المقصود =).

أوصي به للجميع، حتى الدمى الكاملة. علاوة على ذلك، فإن المواد المستفادة في الفقرة الثانية ستوفر مساعدة لا تقدر بثمن في حساب التكاملات المزدوجة.

نظرا لشكل مسطح تحده الخطوط , .

1) أوجد مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط.
2) أوجد حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح محدد بهذه الخطوط حول المحور.

انتباه!حتى لو كنت تريد قراءة النقطة الثانية فقط، تأكد من قراءة النقطة الأولى أولاً!

حل: المهمة تتكون من جزأين. لنبدأ بالمربع.

1) لنقم بالرسم:

من السهل أن نرى أن الدالة تحدد الفرع العلوي من القطع المكافئ، والدالة تحدد الفرع السفلي من القطع المكافئ. أمامنا قطع مكافئ تافه "يقع على جانبه".

الشكل المطلوب الذي سيتم العثور على مساحته مظلل باللون الأزرق.

كيفية العثور على مساحة الشكل؟ يمكن العثور عليها بالطريقة "العادية" التي تمت مناقشتها في الفصل تكامل محدد. كيفية حساب مساحة الشكل. علاوة على ذلك، يتم إيجاد مساحة الشكل كمجموع المساحات:
- على الجزء ;
- على الجزء.

لهذا السبب:

لماذا الحل المعتاد سيء في هذه الحالة؟ أولًا، حصلنا على تكاملين. ثانيا، التكاملات هي جذور، والجذور في التكاملات ليست هدية، وبالإضافة إلى ذلك، يمكنك الخلط بين استبدال حدود التكامل. في الواقع، التكاملات، بالطبع، ليست قاتلة، ولكن في الممارسة العملية، يمكن أن يكون كل شيء أكثر حزنًا، لقد اخترت للتو وظائف "أفضل" للمشكلة.

هناك حل أكثر عقلانية: يتكون من التبديل إلى الدوال العكسية والتكامل على طول المحور.

كيفية الوصول إلى وظائف عكسية؟ بشكل تقريبي، تحتاج إلى التعبير عن "x" من خلال "y". أولا، دعونا ننظر إلى القطع المكافئ:

هذا يكفي، ولكن دعونا نتأكد من إمكانية اشتقاق نفس الوظيفة من الفرع السفلي:

الأمر أسهل مع الخط المستقيم:

انظر الآن إلى المحور: من فضلك قم بإمالة رأسك بشكل دوري إلى اليمين بمقدار 90 درجة كما تشرح (هذه ليست مزحة!). الرقم الذي نحتاجه يقع على القطعة، والتي يشار إليها بالخط الأحمر المنقط. في هذه الحالة، يقع الخط المستقيم فوق القطع المكافئ، مما يعني أنه يجب العثور على مساحة الشكل باستخدام الصيغة المألوفة لك بالفعل: . ما الذي تغير في الصيغة؟ مجرد خطاب وليس أكثر.

! ملحوظة: يجب تحديد حدود التكامل على طول المحور بدقة من الأسفل إلى الأعلى!

إيجاد المنطقة:

على هذا الجزء، لذلك:

يرجى ملاحظة كيف قمت بالتكامل، فهذه هي الطريقة الأكثر عقلانية، وفي الفقرة التالية من المهمة سيكون السبب واضحًا.

للقراء الذين يشككون في صحة التكامل، سأجد المشتقات:

تم الحصول على دالة التكامل الأصلية، مما يعني أن التكامل قد تم بشكل صحيح.

إجابة:

2) دعونا نحسب حجم الجسم الذي يتكون من دوران هذا الشكل حول المحور.

سأعيد رسم الرسم بتصميم مختلف قليلاً:

إذن، الشكل المظلل باللون الأزرق يدور حول المحور. والنتيجة هي "فراشة تحوم" تدور حول محورها.

لإيجاد حجم جسم يدور، سنتكامل على طول المحور. أولا نحن بحاجة للذهاب إلى وظائف عكسية. وقد تم ذلك بالفعل ووصفه بالتفصيل في الفقرة السابقة.

الآن نميل رأسنا إلى اليمين مرة أخرى وندرس شكلنا. من الواضح أنه يجب إيجاد حجم الجسم الدوار بالفرق في الأحجام.

نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأحمر حول المحور، مما ينتج عنه مخروط مقطوع. دعونا نشير إلى هذا الحجم بواسطة .

نقوم بتدوير الشكل المحاط بدائرة باللون الأخضر حول المحور ونشير إليه بحجم جسم الثورة الناتج.

حجم الفراشة يساوي الفرق في الحجوم.

نستخدم الصيغة لإيجاد حجم الجسم الذي يدور:

ما هو الفرق من الصيغة في الفقرة السابقة؟ فقط في الرسالة.

لكن ميزة التكامل، التي تحدثت عنها مؤخرًا، من الأسهل العثور عليها ، بدلاً من رفع التكامل أولاً إلى القوة الرابعة.

إجابة:

لاحظ أنه إذا تم تدوير نفس الشكل المسطح حول المحور، فستحصل على جسم دوران مختلف تمامًا، بحجم مختلف، بشكل طبيعي.

إعطاء شكل مسطح يحده خطوط ومحور.

1) انتقل إلى الدوال العكسية وابحث عن مساحة الشكل المسطح الذي يحده هذه الخطوط عن طريق التكامل على المتغير.
2) احسب حجم الجسم الناتج عن تدوير شكل مسطح يحده هذه الخطوط حول المحور.

هذا مثال عليك حله بنفسك. يمكن للمهتمين أيضًا العثور على مساحة الشكل بالطريقة "المعتادة"، وبالتالي التحقق من النقطة 1). ولكن، أكرر، إذا قمت بتدوير شكل مسطح حول المحور، فستحصل على جسم دوران مختلف تمامًا بحجم مختلف، بالمناسبة، الإجابة الصحيحة (أيضًا لأولئك الذين يحبون حل المشكلات).

الحل الكامل للنقطتين المقترحتين للمهمة موجود في نهاية الدرس.

نعم، ولا تنس أن تميل رأسك إلى اليمين لتفهم أجسام الدوران وحدود التكامل!

كنت على وشك الانتهاء من المقالة، لكنهم قدموا اليوم مثالًا مثيرًا للاهتمام فقط لإيجاد حجم جسم دوراني حول المحور الإحداثي. طازج:

احسب حجم الجسم المتكون من الدوران حول محور شكل محدد بمنحنيات و .

حل: لنقم بالرسم:

على طول الطريق، نتعرف على الرسوم البيانية لبعض الوظائف الأخرى. هنا رسم بياني مثير للاهتمام لوظيفة زوجية ...

دع T يكون جسمًا دورانيًا يتكون من الدوران حول محور الإحداثي السيني لشبه منحرف منحني الأضلاع يقع في النصف العلوي من المستوى ويحده محور الإحداثي السيني والخطوط المستقيمة x=a وx=b والرسم البياني للدالة المستمرة y= و(خ) .

دعونا نثبت أن هذا هو جسم الثورة مكعب ويتم التعبير عن حجمه بالصيغة

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

أولاً، نثبت أن هذا الجسم الدوراني منتظم إذا اخترنا مستوى Oyz المتعامد على محور الدوران كـ \Pi. لاحظ أن القسم الواقع على مسافة x من المستوى Oyz عبارة عن دائرة نصف قطرها f(x) ومساحتها S(x) تساوي \pi f^2(x) (الشكل 46). ولذلك، فإن الدالة S(x) مستمرة بسبب استمرارية f(x). التالي إذا S(x_1)\leqslant S(x_2)، فهذا يعني ذلك. لكن إسقاطات المقاطع على مستوى أويز هي دوائر نصف قطرها f(x_1) وf(x_2) ومركزها O، ومن f(x_1)\leqslant f(x_2)ويترتب على ذلك وجود دائرة نصف قطرها f(x_1) في دائرة نصف قطرها f(x_2) .

إذن، جسد الثورة منتظم. لذلك، فهو مكعب ويتم حساب حجمه بواسطة الصيغة

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

إذا كان شبه منحرف منحني الأضلاع محددًا من الأسفل والأعلى بالمنحنيات y_1=f_1(x)، y_2=f_2(x)، إذن

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a) )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

يمكن أيضًا استخدام الصيغة (3) لحساب حجم جسم دوراني في الحالة التي يتم فيها تحديد حدود الشكل الدوار بواسطة معادلات بارامترية. في هذه الحالة، عليك استخدام تغيير المتغير تحت علامة التكامل المحددة.

في بعض الحالات، يكون من الملائم تحليل أجسام الدوران ليس إلى أسطوانات دائرية مستقيمة، بل إلى أشكال من نوع مختلف.

على سبيل المثال، دعونا نجد حجم الجسم الناتج عن تدوير شبه منحرف منحني حول المحور الإحداثي. أولاً، دعونا نوجد الحجم الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير مستطيل بارتفاع y#، والذي تقع في قاعدته القطعة. هذا الحجم يساوي الفرق في حجم أسطوانتين دائريتين مستقيمتين

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

لكن الآن أصبح من الواضح أن الحجم المطلوب يقدر من الأعلى ومن الأسفل كما يلي:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

ويتبع بسهولة من هنا صيغة لحجم جسم الثورة حول المحور الإحداثي:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

مثال 4.دعونا نوجد حجم الكرة التي نصف قطرها R.

حل.بدون فقدان العمومية، سننظر في دائرة نصف قطرها R ومركزها نقطة الأصل. هذه الدائرة، التي تدور حول محور الثور، تشكل كرة. معادلة الدائرة هي x^2+y^2=R^2، لذا y^2=R^2-x^2. مع الأخذ في الاعتبار تماثل الدائرة بالنسبة للمحور الإحداثي، نجد أولاً نصف الحجم المطلوب

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

ومن ثم، فإن حجم الكرة بأكملها يساوي \frac(4)(3)\pi R^3.

مثال 5.احسب حجم المخروط الذي ارتفاعه h ونصف قطر قاعدته r.

حل.دعونا نختار نظام إحداثيات بحيث يتطابق محور الثور مع الارتفاع h (الشكل 47)، ونأخذ قمة المخروط كأصل الإحداثيات. ثم سيتم كتابة معادلة الخط المستقيم OA بالصيغة y=\frac(r)(h)\,x.

وباستخدام الصيغة (3) نحصل على:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ فارك(\pi)(3)\,r^2h\,.

مثال 6.دعونا نوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول المحور السيني للكويكب \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(الشكل 48).

حل.دعونا نبني كويكبًا. دعونا نفكر في نصف الجزء العلوي من الكويكب، الموجود بشكل متناظر بالنسبة للمحور الإحداثي. وباستخدام الصيغة (3) وتغيير المتغير تحت إشارة التكامل المحددة نجد حدود التكامل للمتغير الجديد t.

إذا كان x=a\cos^3t=0 ، ثم t=\frac(\pi)(2) ، وإذا كان x=a\cos^3t=a ، ثم t=0 . مع الأخذ في الاعتبار أن y^2=a^2\sin^6t و dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt، نحن نحصل:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a) \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

سيكون حجم الجسم بأكمله الناتج عن دوران النجم \frac(32\pi)(105)\,a^3.

مثال 7.دعونا نوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول المحور الإحداثي لشبه منحرف منحني الأضلاع يحده المحور x والقوس الأول من الشكل الدائري \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

حل.لنستخدم الصيغة (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx، واستبدال المتغير تحت علامة التكامل، مع مراعاة أن القوس الأول للدويري يتكون عندما يتغير المتغير t من 0 إلى 2\pi. هكذا،

\begin(محاذاة)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\يمين)= 6\pi^3a^3. \end(محاذاة)

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!

الموضوع: "حساب أحجام الأجسام الدورانية باستخدام التكامل المحدد"

نوع الدرس:مجموع.

الغرض من الدرس:تعلم كيفية حساب أحجام أجسام الثورة باستخدام التكاملات.

مهام:

تعزيز القدرة على تحديد شبه المنحرف المنحني الأضلاع من خلال عدد من الأشكال الهندسية وتطوير مهارة حساب مساحات شبه المنحرف المنحني الأضلاع؛

التعرف على مفهوم الشكل ثلاثي الأبعاد؛

تعلم كيفية حساب أحجام الأجسام الدورانية؛

تعزيز تنمية التفكير المنطقي، والكلام الرياضي المختص، والدقة عند بناء الرسومات؛

لتنمية الاهتمام بالموضوع، والعمل بالمفاهيم والصور الرياضية، وتنمية الإرادة والاستقلال والمثابرة في تحقيق النتيجة النهائية.

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية.

تحية من المجموعة. توصيل أهداف الدرس للطلاب.

أود أن أبدأ درس اليوم بمثل. "في يوم من الأيام، عاش رجل حكيم يعرف كل شيء. أراد رجل أن يثبت أن الحكيم لا يعرف كل شيء. سأل وهو يحمل فراشة بين يديه: "أخبرني أيها الحكيم، أي فراشة في يدي: حية أم ميتة؟" فيفكر: “إذا قالت الحية أقتلها، وإذا قالت الميتة أطلقها”. فأجاب الحكيم بعد تفكير: "كل شيء في يديك".

لذلك، دعونا نعمل اليوم بشكل مثمر، ونكتسب مخزونًا جديدًا من المعرفة، وسنطبق المهارات والقدرات المكتسبة في الحياة المستقبلية وفي الأنشطة العملية "كل شيء بين يديك".

ثانيا. تكرار المواد التي سبق دراستها.

دعونا نتذكر النقاط الرئيسية للمادة التي تمت دراستها سابقا. للقيام بذلك، دعونا نكمل مهمة "حذف الكلمة الزائدة".

(يقول الطلاب كلمة إضافية.)

يمين "التفاضلي".حاول تسمية الكلمات المتبقية بكلمة واحدة مشتركة. (حساب التكامل.)

دعونا نتذكر المراحل والمفاهيم الرئيسية المرتبطة بحساب التفاضل والتكامل.

يمارس.استعادة الفجوات. (يخرج الطالب ويكتب الكلمات المطلوبة بقلم التحديد).

العمل في دفاتر الملاحظات.

تم اشتقاق صيغة نيوتن-لايبنتز من قبل الفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643-1727) والفيلسوف الألماني جوتفريد لايبنتز (1646-1716). وهذا ليس مستغربا، لأن الرياضيات هي اللغة التي تتحدث بها الطبيعة نفسها.

دعونا نفكر في كيفية استخدام هذه الصيغة لحل المشكلات العملية.

مثال 1: حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

حل:دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف على المستوى الإحداثي . دعونا نختار مساحة الشكل الذي يجب العثور عليه.

ثالثا. تعلم مواد جديدة.

انتبه إلى الشاشة. ما هو مبين في الصورة الأولى؟ (يوضح الشكل شكلًا مسطحًا.)

ماذا يظهر في الصورة الثانية؟ هل هذا الرقم مسطح؟ (يوضح الشكل شكلاً ثلاثي الأبعاد.)

في الفضاء وعلى الأرض وفي الحياة اليومية، لا نواجه أشكالًا مسطحة فحسب، بل نواجه أيضًا أشكالًا ثلاثية الأبعاد، ولكن كيف يمكننا حساب حجم هذه الأجسام؟ على سبيل المثال: حجم كوكب، مذنب، نيزك، إلخ.

يفكر الناس في الحجم عند بناء المنازل وعند صب الماء من وعاء إلى آخر. كان لا بد من ظهور قواعد وتقنيات لحساب الأحجام، ومدى دقتها وتبريرها، فهذه مسألة أخرى.

كان عام 1612 مثمرا للغاية بالنسبة لسكان مدينة لينز النمساوية، حيث عاش عالم الفلك الشهير يوهانس كيبلر، وخاصة بالنسبة للعنب. كان الناس يعدون براميل النبيذ ويريدون معرفة كيفية تحديد حجمها بشكل عملي.

وهكذا، كانت أعمال كيبلر المدروسة بمثابة بداية لسلسلة كاملة من الأبحاث التي بلغت ذروتها في الربع الأخير من القرن السابع عشر. التصميم في أعمال I. Newton و G.V. لايبنتز في حساب التفاضل والتكامل. ومنذ ذلك الوقت، أخذت رياضيات المتغيرات مكانة رائدة في نظام المعرفة الرياضية.

اليوم سوف ننخرط أنا وأنت في مثل هذه الأنشطة العملية، لذلك،

موضوع درسنا: "حساب أحجام الأجسام الدورانية باستخدام التكامل المحدد".

سوف تتعلم تعريف جسد الثورة من خلال إكمال المهمة التالية.

"متاهة".

يمارس.ابحث عن طريقة للخروج من الموقف المربك واكتب التعريف.

رابعاحساب الكميات.

باستخدام تكامل محدد، يمكنك حساب حجم جسم معين، على وجه الخصوص، جسم الدوران.

الجسم الدوراني هو الجسم الذي يتم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف منحني حول قاعدته (الشكل 1، 2)

يتم حساب حجم جسم الثورة باستخدام إحدى الصيغ:

1. حول محور الثور.

2. ، إذا كان دوران شبه منحرف منحني حول محور المرجع أمبير.

يكتب الطلاب الصيغ الأساسية في دفتر ملاحظات.

يشرح المعلم حلول الأمثلة الموجودة على السبورة.

1. أوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول المحور الإحداثي لشبه منحرف منحني الأضلاع يحده خطوط:س2 + ص2 = 64، ص = -5، ص = 5، س = 0.

حل.

الجواب: 1163 سم3.

2. أوجد حجم الجسم الذي تم الحصول عليه عن طريق تدوير شبه منحرف مكافئ حول المحور السينيص =، س = 4، ص = 0.

حل.

الخامس. محاكاة الرياضيات.

2. تسمى مجموعة جميع المشتقات العكسية لدالة معينة

أ) تكامل غير محدد،

ب) الوظيفة،

ب) التمايز.

7. أوجد حجم الجسم الناتج عن الدوران حول محور الإحداثي السيني لشبه منحرف منحني الأضلاع يحده خطوط:

د/ض. توحيد المواد الجديدة

احسب حجم الجسم الذي يتكون من دوران البتلة حول المحور السينيص = س2، ص2 = س.

دعونا نبني الرسوم البيانية للوظيفة. ص = س2، ص2 = س. دعونا نحول الرسم البياني y2 = x إلى الشكل y = .

لدينا V = V1 - V2 لنحسب حجم كل دالة:

خاتمة:

التكامل المحدد هو أساس معين لدراسة الرياضيات، والذي يقدم مساهمة لا غنى عنها في حل المشاكل العملية.

يوضح موضوع "التكامل" بوضوح العلاقة بين الرياضيات والفيزياء والبيولوجيا والاقتصاد والتكنولوجيا.

إن تطور العلم الحديث لا يمكن تصوره دون استخدام التكامل. وفي هذا الصدد لا بد من البدء بدراسته في إطار التعليم الثانوي التخصصي!

السادس. وضع العلامات.(مع التعليق.)

العظيم عمر الخيام - عالم رياضيات، شاعر، فيلسوف. إنه يشجعنا على أن نكون أسياد مصيرنا. فلنستمع إلى مقتطف من عمله:

أنت تقول، هذه الحياة هي لحظة واحدة.
نقدر ذلك، نستمد الإلهام منه.
كما تنفقه، فسوف يمر.
لا تنس: إنها خلقتك.

التعريف 3. الجسم الدوراني هو الجسم الذي يتم الحصول عليه عن طريق تدوير شكل مسطح حول محور لا يتقاطع مع الشكل ويقع في نفس المستوى معه.

قد يتقاطع محور الدوران مع الشكل إذا كان هو محور تماثل الشكل.

النظرية 2.
، المحور
والقطاعات المستقيمة
و

يدور حول محور
. ثم يمكن حساب حجم جسم الدوران الناتج باستخدام الصيغة

(2)

دليل. لمثل هذا الجسم، المقطع العرضي مع الإحداثي السيني هي دائرة نصف قطرها
، وسائل
والصيغة (1) تعطي النتيجة المطلوبة.

إذا كان الرقم محدودًا بالرسوم البيانية لوظيفتين متواصلتين
و
، وقطاعات الخط
و
، و
و
، ثم عند الدوران حول المحور السيني نحصل على جسم حجمه

مثال 3. احسب حجم الطارة الناتجة عن تدوير دائرة تحدها دائرة

حول محور الإحداثي.

ر قرار. الدائرة المشار إليها محدودة أدناه بالرسم البياني للوظيفة
، ومن فوق -
. الفرق بين مربعات هذه الوظائف:

الحجم المطلوب

(الرسم البياني للتكامل هو نصف الدائرة العلوي، وبالتالي فإن التكامل المكتوب أعلاه هو مساحة نصف الدائرة).

مثال 4. قطعة مكافئة مع القاعدة
، والارتفاع ، يدور حول القاعدة. احسب حجم الجسم الناتج ("الليمون" بقلم كافاليري).

ر قرار. ضع القطع المكافئ كما هو موضح في الشكل. ثم معادلتها
، و
. دعونا نجد قيمة المعلمة :
. إذن الحجم المطلوب:

النظرية 3. دع شبه منحرف منحني الأضلاع يحده الرسم البياني لوظيفة مستمرة غير سلبية
، المحور
والقطاعات المستقيمة
و
، و
، يدور حول محور
. ومن ثم يمكن إيجاد حجم جسم الثورة الناتج بالصيغة

(3)

فكرة الإثبات. نحن تقسيم الجزء
النقاط

، إلى أجزاء ورسم خطوط مستقيمة
. سيتم تقسيم شبه المنحرف بأكمله إلى شرائح، والتي يمكن اعتبارها مستطيلات تقريبًا ذات قاعدة
والارتفاع
.

لقد قطعنا الأسطوانة الناتجة عن طريق تدوير هذا المستطيل على طول مولده وفتحه. نحصل على متوازي "تقريبًا" مع الأبعاد:
,
و
. حجمها
. لذا، بالنسبة لحجم جسم الثورة سيكون لدينا المساواة التقريبية

للحصول على المساواة الدقيقة، يجب على المرء أن يذهب إلى الحد الأقصى في
. المجموع المكتوب أعلاه هو مجموع التكامل للدالة
لذلك في النهاية نحصل على التكامل من الصيغة (3). لقد تم إثبات النظرية.

ملاحظة 1. في النظريات 2 و 3 الشرط
يمكن حذفها: الصيغة (2) غير حساسة بشكل عام للعلامة
وفي الصيغة (3) يكفي
وحل محله
.

مثال 5. القطعة المكافئة (القاعدة
، ارتفاع ) يدور حول الارتفاع. أوجد حجم الجسم الناتج.

حل. لنضع القطع المكافئ كما هو موضح في الشكل. وعلى الرغم من أن محور الدوران يتقاطع مع الشكل، إلا أنه - المحور - هو محور التماثل. لذلك، نحن بحاجة إلى النظر فقط في النصف الأيمن من القطعة. معادلة القطع المكافئ
، و
، وسائل
. لدينا للحجم:

ملاحظة 2. إذا كانت الحدود المنحنية لشبه منحرف منحني الأضلاع تعطى بمعادلات بارامترية
,
,
و
,
ثم يمكنك استخدام الصيغتين (2) و (3) مع الاستبدال على
و
على
عندما يتغير رمن
قبل .