الأسطوانة (مأخوذة من اللغة اليونانية، من الكلمات "أسطوانة"، "أسطوانة") هي جسم هندسي محدود من الخارج بسطح يسمى أسطواني وطائرتين. تتقاطع هذه المستويات مع سطح الشكل وتكون موازية لبعضها البعض.
السطح الأسطواني هو السطح الذي يتكون من خط مستقيم في الفضاء. هذه الحركات تجعل النقطة المحددة لهذا الخط المستقيم تتحرك على طول منحنى نوع المستوى. ويسمى هذا الخط المستقيم بـ Generatrix، ويسمى الخط المنحني بالدليل.
تتكون الاسطوانة من زوج من القواعد وسطح أسطواني جانبي. هناك عدة أنواع من الاسطوانات:
1. اسطوانة دائرية مستقيمة. مثل هذه الاسطوانة لها قاعدة ودليل عمودي على خط التوليد، وهناك
2. اسطوانة مائلة. الزاوية بين خط التوليد والقاعدة ليست مستقيمة.
3. اسطوانة ذات شكل مختلف. الزائدي، الإهليلجي، القطع المكافئ وغيرها.
يتم إيجاد مساحة الأسطوانة وكذلك المساحة الإجمالية لأي أسطوانة عن طريق جمع مساحات قواعد هذا الشكل ومساحة السطح الجانبي.
صيغة حساب المساحة الإجمالية للأسطوانة لأسطوانة دائرية مستقيمة:
Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).
تبين أن مساحة السطح الجانبي أكثر تعقيدًا قليلًا من مساحة الأسطوانة بأكملها؛ ويتم حسابها عن طريق ضرب طول خط المولد في محيط القسم الذي يتكون من مستوى متعامد. إلى خط المولدات.
يتم التعرف على الأسطوانة المعطاة لأسطوانة دائرية مستقيمة من خلال تطوير هذا الكائن.
التطوير هو مستطيل يبلغ ارتفاعه h وطوله P، وهو ما يساوي محيط القاعدة.
ويترتب على ذلك أن المساحة الجانبية للأسطوانة تساوي مساحة المسح ويمكن حسابها باستخدام هذه الصيغة:
إذا أخذنا أسطوانة دائرية مستقيمة، فبالتالي:
P = 2p R، وSb = 2p Rh.
إذا كانت الأسطوانة مائلة، فإن مساحة السطح الجانبي يجب أن تكون مساوية لمنتج طول خط توليدها ومحيط القسم المتعامد مع خط التوليد هذا.
لسوء الحظ، لا توجد صيغة بسيطة للتعبير عن مساحة السطح الجانبية للأسطوانة المائلة من حيث ارتفاعها ومعلمات قاعدتها.
لحساب الأسطوانة، عليك أن تعرف بعض الحقائق. إذا كان هناك مقطع بمستواه يتقاطع مع القواعد، فإن هذا المقطع يكون دائمًا مستطيلاً. لكن هذه المستطيلات ستكون مختلفة حسب موضع القسم. أحد ضلعي القسم المحوري من الشكل المتعامد مع القاعدتين يساوي الارتفاع، والآخر يساوي قطر قاعدة الاسطوانة. ومساحة هذا القسم، على التوالي، تساوي منتج جانب واحد من المستطيل من الآخر، عمودي على الأول، أو منتج ارتفاع شكل معين وقطر قاعدته.
إذا كان المقطع عموديًا على قاعدتي الشكل، لكنه لا يمر بمحور الدوران، فإن مساحة هذا القسم ستكون مساوية لحاصل ضرب ارتفاع هذه الأسطوانة ووتر معين. للحصول على وتر، تحتاج إلى إنشاء دائرة عند قاعدة الأسطوانة، ورسم نصف قطر ورسم المسافة التي يقع عليها القسم. ومن هذه النقطة تحتاج إلى رسم خطوط عمودية على نصف القطر من التقاطع مع الدائرة. نقاط التقاطع متصلة بالمركز. وقاعدة المثلث هي المطلوبة، والتي يُراد بها أصوات مثل: «مجموع مربعي الساقين يساوي مربع الوتر»:
C2 = أ2 + ب2.
إذا كان المقطع لا يؤثر على قاعدة الأسطوانة، وكانت الأسطوانة نفسها دائرية ومستقيمة، فتوجد مساحة هذا القسم كمساحة الدائرة.
مساحة الدائرة هي :
البيئة S. = 2p R2.
للعثور على R، تحتاج إلى تقسيم طوله C على 2n:
R = C\2n، حيث n هو pi، وهو ثابت رياضي محسوب للعمل مع بيانات الدائرة ويساوي 3.14.
الأسطوانة (الأسطوانة الدائرية) هي جسم يتكون من دائرتين، متحدتين عن طريق ترجمة متوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه الدوائر. تسمى الدوائر قواعد الاسطوانة، والأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لمحيطات الدوائر تسمى مولدات الاسطوانة.
قاعدتا الأسطوانة متساويتان وتقعان في مستويات متوازية، ومولدات الأسطوانة متوازية ومتساوية. يتكون سطح الاسطوانة من القاعدة والسطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي من المولدات.
تسمى الأسطوانة مستقيمة إذا كانت مولداتها متعامدة مع مستويات القاعدة. يمكن اعتبار الأسطوانة جسمًا يتم الحصول عليه بتدوير مستطيل حول أحد جوانبه كمحور. هناك أنواع أخرى من الأسطوانات - إهليلجية، زائدية، مكافئة. يعتبر المنشور أيضًا نوعًا من الأسطوانة.
ويبين الشكل 2 اسطوانة مائلة. الدوائر التي مركزها O و O 1 هي قواعدها.
نصف قطر الاسطوانة هو نصف قطر قاعدتها. ارتفاع الاسطوانة هو المسافة بين مستويات القواعد. محور الاسطوانة هو خط مستقيم يمر بمراكز القواعد. إنه موازي للمولدات. يُطلق على المقطع العرضي للأسطوانة ذات المستوى الذي يمر عبر محور الأسطوانة مقطعًا محوريًا. المستوى الذي يمر عبر المولد لأسطوانة مستقيمة وعمودي على القسم المحوري المرسوم من خلال هذا المولد يسمى مستوى الظل للأسطوانة.
المستوى المتعامد مع محور الأسطوانة يتقاطع مع سطحه الجانبي على طول دائرة تساوي محيط القاعدة.
المنشور المدرج في الأسطوانة هو منشور قاعدتاه عبارة عن مضلعات متساوية منقوشة في قواعد الأسطوانة. وتشكل أضلاعها الجانبية الأسطوانة. يقال إن المنشور محصور حول أسطوانة إذا كانت قاعدتاه مضلعتان متساويتان محيطتان بقاعدتي الأسطوانة. تلامس مستويات وجوهها السطح الجانبي للأسطوانة.
يمكن حساب مساحة السطح الجانبية للأسطوانة عن طريق ضرب طول المولد في محيط قسم الأسطوانة بمستوى عمودي على المولد.
يمكن العثور على مساحة السطح الجانبية للأسطوانة المستقيمة من خلال تطورها. تطوير الاسطوانة عبارة عن مستطيل ارتفاعه h وطوله P، وهو ما يساوي محيط القاعدة. ولذلك فإن مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي مساحة تطورها ويتم حسابها بالصيغة:
على وجه الخصوص، بالنسبة للأسطوانة الدائرية اليمنى:
P = 2πR، وS b = 2πRh.
المساحة الكلية للأسطوانة تساوي مجموع مساحات سطحها الجانبي وقواعدها.
لأسطوانة دائرية مستقيمة:
S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)
هناك صيغتان لإيجاد حجم الأسطوانة المائلة.
يمكنك العثور على الحجم عن طريق ضرب طول المولد في مساحة المقطع العرضي للأسطوانة بمستوى عمودي على المولد.
حجم الأسطوانة المائلة يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع (المسافة بين المستويات التي تقع فيها القواعد):
V = Sh = S l sin α،
حيث l هو طول المولد، و α هي الزاوية بين المولد ومستوى القاعدة. لأسطوانة مستقيمة ح = ل.
صيغة إيجاد حجم الأسطوانة الدائرية هي كما يلي:
V = π R 2 ح = π (د 2 / 4)ح،
حيث d هو قطر القاعدة
blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.
مساحة كل قاعدة من الاسطوانة هي π ص 2، مساحة كلتا القاعدتين ستكون 2π ص 2 (الشكل).مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي مساحة المستطيل الذي قاعدته 2π صوالارتفاع يساوي ارتفاع الاسطوانة ح، أي 2π ر.
سيكون السطح الإجمالي للأسطوانة: 2π ص 2 + 2ط ر= 2π ص(ص+ ح).
تؤخذ مساحة السطح الجانبي للأسطوانة منطقة الاجتياحسطحه الجانبي.
ولذلك فإن مساحة السطح الجانبي للأسطوانة الدائرية القائمة تساوي مساحة المستطيل المقابل (الشكل) ويتم حسابها بالصيغة
ق.م. = 2πRH، (1)
وإذا أضفنا مساحة قاعدتيها إلى مساحة السطح الجانبي للأسطوانة نحصل على مساحة السطح الكلية للأسطوانة
س كامل =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).
حجم الاسطوانة المستقيمة
نظرية. حجم الأسطوانة المستقيمة يساوي حاصل ضرب مساحة قاعدتها وارتفاعها ، أي.حيث Q هي مساحة القاعدة، و H هو ارتفاع الاسطوانة.
بما أن مساحة قاعدة الاسطوانة هي Q، فهناك تسلسلات من المضلعات المقيدة والمنقوشة ذات المساحات Q نو س' نمثل هذا
\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) س ن= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) س’ ن= س.
دعونا نبني سلسلة من المنشورات التي قواعدها هي المضلعات الموصوفة والمنقوشة التي تمت مناقشتها أعلاه، والتي تكون حوافها الجانبية موازية للمولد الجيني للأسطوانة المحددة ولها طول H. هذه المنشورات مقيدة ومنقوشة للأسطوانة المحددة. تم العثور على أحجامها من خلال الصيغ
V ن= س نح و الخامس' ن= س' نح.
لذلك،
V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) س ن H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) س’ نح = الجودة.
عاقبة.
يتم حساب حجم الأسطوانة الدائرية القائمة بالصيغة
V = π R 2 H
حيث R هو نصف قطر القاعدة و H هو ارتفاع الاسطوانة.
بما أن قاعدة الأسطوانة الدائرية هي دائرة نصف قطرها R، فإن Q = π R 2، وبالتالي
القياس المجسم هو فرع من فروع الهندسة يتم فيه دراسة الأشكال الموجودة في الفضاء. الأشكال الرئيسية في الفضاء هي النقطة والخط المستقيم والمستوى. في القياس الفراغي، يظهر نوع جديد من الترتيب النسبي للخطوط: الخطوط المتقاطعة. يعد هذا أحد الاختلافات المهمة القليلة بين القياس المجسم وقياس التخطيط، لأنه في كثير من الحالات يتم حل مشاكل القياس المجسم من خلال النظر في مستويات مختلفة يتم فيها استيفاء قوانين القياس.
يوجد في الطبيعة من حولنا العديد من الأشياء التي تمثل نماذج فيزيائية لهذا الشكل. على سبيل المثال، العديد من أجزاء الآلة لها شكل أسطوانة أو هي مزيج منها، وتؤكد الأعمدة المهيبة للمعابد والكاتدرائيات، المصنوعة على شكل أسطوانات، على انسجامها وجمالها.
اليونانية - كيليندروس. مصطلح قديم. في الحياة اليومية - لفيفة من ورق البردي، بكرة، بكرة (فعل - تحريف، لف).
بالنسبة لإقليدس، يتم الحصول على الأسطوانة عن طريق تدوير المستطيل. في كافاليري - من خلال حركة المولد (مع دليل تعسفي - "الأسطوانة").
الغرض من هذا المقال هو النظر في جسم هندسي - أسطوانة.
ولتحقيق هذا الهدف لا بد من النظر في المهام التالية:
- إعطاء تعريفات للأسطوانة؛
- النظر في عناصر الاسطوانة.
- دراسة خصائص الاسطوانة.
- النظر في أنواع أقسام الاسطوانة؛
- اشتقاق صيغة مساحة الاسطوانة.
- اشتقاق صيغة حجم الاسطوانة؛
- حل المسائل باستخدام الاسطوانة.
1.1. تعريف الاسطوانة
دعونا نفكر في بعض الخطوط (المنحنية أو المكسورة أو المختلطة) l التي تقع في بعض المستويات α، وبعض الخطوط المستقيمة S التي تتقاطع مع هذا المستوى. من خلال جميع نقاط خط معين l نرسم خطوطًا مستقيمة موازية للخط المستقيم S؛ ويسمى السطح α المتكون من هذه الخطوط المستقيمة بالسطح الأسطواني. الخط l يسمى دليل هذا السطح، والخطوط s 1، s 2، s 3، ... هي مولداته.
إذا كان الدليل مكسورًا، فإن هذا السطح الأسطواني يتكون من عدد من الشرائط المسطحة المحصورة بين أزواج من الخطوط المستقيمة المتوازية، ويسمى السطح المنشوري. تسمى المولدات التي تمر عبر رؤوس الخط المكسور بحواف السطح المنشوري، والشرائط المسطحة بينهما هي وجوهه.
إذا قطعنا أي سطح أسطواني بمستوي اعتباطي غير موازي لمولداته، فسنحصل على خط يمكن أيضا أن يؤخذ كدليل لهذا السطح. من بين الأدلة، الدليل الذي يبرز هو الذي يتم الحصول عليه عن طريق قطع السطح بمستوى متعامد مع مولدات السطح. يسمى هذا القسم بالقسم العادي، ويسمى الدليل المقابل بالدليل العادي.
إذا كان الدليل عبارة عن خط مغلق (محدب) (مكسور أو منحني)، فإن السطح المقابل يسمى سطح منشوري أو أسطواني مغلق (محدب). أبسط الأسطح الأسطوانية لها دائرة كدليل عادي لها. دعونا نقوم بتشريح سطح منشوري محدب مغلق بطائرتين متوازيتين لبعضهما البعض، ولكن ليس موازية للمولدات.
في الأقسام نحصل على مضلعات محدبة. الآن جزء من السطح المنشوري المحصور بين المستويين α و α" واللوحتين المضلعتين الناتجتين في هذه المستويات يحدان من جسم يسمى الجسم المنشوري - المنشور.
الجسم الأسطواني - يتم تعريف الأسطوانة بشكل مشابه للمنشور:
الأسطوانة عبارة عن جسم يحده من الجوانب سطح أسطواني مغلق (محدب)، ومن الأطراف قاعدتان مسطحتان متوازيتان. قاعدتا الاسطوانة متساويتان، وجميع مكونات الاسطوانة متساوية أيضا، أي. شرائح من المولدات ذات سطح أسطواني بين مستويات القواعد.
الأسطوانة (بتعبير أدق، الأسطوانة الدائرية) هي جسم هندسي يتكون من دائرتين لا تقعان في نفس المستوى ويتم دمجهما عن طريق الترجمة المتوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه الدوائر (الشكل 1) .
تسمى الدوائر قواعد الاسطوانة، والأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لمحيطات الدوائر تسمى مولدات الاسطوانة.
بما أن النقل المتوازي هو حركة، فإن قاعدتي الأسطوانة متساويتان.
نظرًا لأنه أثناء النقل المتوازي، يتحول المستوى إلى مستوى متوازي (أو إلى نفسه)، فإن قواعد الأسطوانة تكمن في مستويات متوازية.
نظرًا لأنه أثناء النقل المتوازي، يتم إزاحة النقاط على طول الخطوط المتوازية (أو المتطابقة) بنفس المسافة، فإن مولدات الأسطوانة تكون متوازية ومتساوية.
يتكون سطح الاسطوانة من القاعدة والسطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي من المولدات.
تسمى الأسطوانة مستقيمة إذا كانت مولداتها متعامدة مع مستويات القواعد.
يمكن تصور الأسطوانة المستقيمة بصريًا كجسم هندسي يصف المستطيل عند تدويره حول جانبه كمحور (الشكل 2).
أرز. 2 - اسطوانة مستقيمة
فيما يلي، سنتناول فقط الأسطوانة المستقيمة، ونطلق عليها ببساطة اسم الأسطوانة للإيجاز.
نصف قطر الاسطوانة هو نصف قطر قاعدتها. ارتفاع الاسطوانة هو المسافة بين مستويات قاعدتيها. محور الاسطوانة هو خط مستقيم يمر بمراكز القواعد. إنه موازي للمولدات.
تسمى الأسطوانة متساوية الأضلاع إذا كان ارتفاعها يساوي قطر القاعدة.
إذا كانت قاعدتا الأسطوانة مسطحة (وبالتالي تكون المستويات التي تحتوي عليها متوازية)، يقال إن الأسطوانة تقف على مستوى. إذا كانت قاعدتا الأسطوانة الموجودة على مستوى متعامدة مع المولد، فإن الأسطوانة تسمى مستقيمة.
وعلى وجه الخصوص، إذا كانت قاعدة الأسطوانة الموجودة على المستوى عبارة عن دائرة، فإننا نتحدث عن أسطوانة دائرية (دائرية)؛ إذا كان شكلًا بيضاويًا، فهو بيضاوي الشكل.
1. 3. أقسام الاسطوانة
المقطع العرضي للأسطوانة ذات المستوى الموازي لمحورها هو مستطيل (الشكل 3، أ). وضلعاها هما مولدا الأسطوانة، والجانبان الآخران عبارة عن أوتار متوازية للقواعد.
أ) 
ب)
الخامس) ز)
أرز. 3- أقسام الاسطوانة
على وجه الخصوص، المستطيل هو القسم المحوري. هذا جزء من الأسطوانة مع مستوى يمر عبر محورها (الشكل 3، ب).
المقطع العرضي للأسطوانة ذات المستوى الموازي للقاعدة عبارة عن دائرة (الشكل 3، ج).
المقطع العرضي للأسطوانة ذات المستوى غير الموازي للقاعدة ومحورها بيضاوي (الشكل ثلاثي الأبعاد).
النظرية 1. المستوى الموازي لمستوى قاعدة الأسطوانة يتقاطع مع سطحه الجانبي على طول دائرة تساوي محيط القاعدة.
دليل. دع β يكون مستوى موازيًا لمستوى قاعدة الأسطوانة. الترجمة الموازية في اتجاه محور الأسطوانة، والتي تجمع بين المستوى β ومستوى قاعدة الأسطوانة، تجمع بين قسم السطح الجانبي بالمستوى β ومحيط القاعدة. لقد تم إثبات النظرية.
مساحة السطح الجانبية للأسطوانة.
تعتبر مساحة السطح الجانبي للأسطوانة هي الحد الذي تميل إليه مساحة السطح الجانبي لمنشور منتظم منقوش في الأسطوانة عندما يزداد عدد أضلاع قاعدة هذا المنشور إلى ما لا نهاية.
النظرية 2. مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي حاصل ضرب محيط قاعدتها وارتفاعها (S Side.c = 2πRH، حيث R هو نصف قطر قاعدة الاسطوانة، H هو ارتفاع الاسطوانة).
أ) 
ب) 
أرز. 4 - مساحة السطح الجانبية للأسطوانة
دليل.
دع P n و H هما محيط القاعدة وارتفاع المنشور ذو n-gonal المنتظم المدرج في الأسطوانة، على التوالي (الشكل 4، أ). ثم مساحة السطح الجانبي لهذا المنشور هي S Side.c − P n H. لنفترض أن عدد جوانب المضلع المدرج في القاعدة ينمو بلا حدود (الشكل 4، ب). ثم يميل المحيط P n إلى المحيط C = 2πR، حيث R هو نصف قطر قاعدة الأسطوانة، ولا يتغير الارتفاع H. وبالتالي فإن مساحة السطح الجانبي للمنشور تميل إلى حد 2πRH، أي أن مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي S Side.c = 2πRH. لقد تم إثبات النظرية.
المساحة الإجمالية للأسطوانة.
إجمالي مساحة سطح الأسطوانة هو مجموع مساحات السطح الجانبي والقاعدتين. مساحة كل قاعدة من قواعد الأسطوانة تساوي πR 2، لذلك يتم حساب مساحة السطح الإجمالي للأسطوانة S بالصيغة S Side.c = 2πRH+ 2πR 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
أرز. 5 – المساحة الكلية للأسطوانة
إذا تم قطع السطح الجانبي للأسطوانة على طول المولد FT (الشكل 5، أ) وتم نشره بحيث تكون جميع المولدات في نفس المستوى، فنتيجة لذلك نحصل على مستطيل FTT1F1، وهو ما يسمى تطوير السطح الجانبي للاسطوانة. الجانب FF1 من المستطيل هو تطوير دائرة قاعدة الأسطوانة، وبالتالي، FF1=2πR، وجانبها FT يساوي مولد الأسطوانة، أي FT = H (الشكل 5، ب). وبالتالي، فإن المساحة FT∙FF1=2πRH لتطوير الأسطوانة تساوي مساحة سطحها الجانبي.
1.5. حجم الاسطوانة
إذا كان الجسم الهندسي بسيطًا، أي يمكن تقسيمه إلى عدد منتهٍ من الأهرامات المثلثة، فإن حجمه يساوي مجموع أحجام هذه الأهرامات. بالنسبة لجسم تعسفي، يتم تحديد الحجم على النحو التالي.
جسم معين له حجم V إذا كانت هناك أجسام بسيطة تحتوي عليه وأجسام بسيطة تحتوي عليه بأحجام تختلف قليلاً عن V حسب الرغبة.
دعونا نطبق هذا التعريف لإيجاد حجم الأسطوانة التي نصف قطر قاعدتها R وارتفاعها H.
عند استخلاص صيغة مساحة الدائرة، تم إنشاء مضلعين n (أحدهما يحتوي على الدائرة، والآخر يحتوي على الدائرة) بحيث تقترب مساحتهما، مع زيادة غير محدودة في n، من مساحة الدائرة بلا حدود. دعونا نبني مثل هذه المضلعات للدائرة الموجودة في قاعدة الاسطوانة. دع P يكون مضلعًا يحتوي على دائرة، و P" يكون مضلعًا موجودًا في دائرة (الشكل 6).
أرز. 7 - اسطوانة ذات منشور موصوف ومكتوب فيها
دعونا نبني منشورين مستقيمين قاعدتيهما P وP" وارتفاعهما H يساوي ارتفاع الاسطوانة. المنشور الأول يحتوي على اسطوانة، والمنشور الثاني موجود في اسطوانة. وبما أنه مع زيادة غير محدودة في n، فإن مساحات قواعد المنشور تقترب بشكل غير محدود من مساحة قاعدة الاسطوانة S، ثم تقترب أحجامها من SH بشكل غير محدود حسب التعريف، حجم الاسطوانة
V = SH = πR 2 H.
إذن، حجم الأسطوانة يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.
المهمة 1.
الجزء المحوري للأسطوانة عبارة عن مربع مساحته Q.
أوجد مساحة قاعدة الاسطوانة.
بالنظر إلى: الأسطوانة، المربع - المقطع المحوري للأسطوانة، مربع S = Q.
البحث عن: الاسطوانة الرئيسية S
جانب الساحة هو . ويساوي قطر القاعدة. وبالتالي فإن مساحة القاعدة هي 
.
الجواب: S الاسطوانة الرئيسية.
=
المهمة 2.
منشور سداسي منتظم منقوش في أسطوانة. أوجد الزاوية المحصورة بين قطر وجهها الجانبي ومحور الأسطوانة إذا كان نصف قطر القاعدة يساوي ارتفاع الأسطوانة.
معطاة: الأسطوانة، المنشور السداسي المنتظم المنقوش في الأسطوانة، نصف قطر القاعدة = ارتفاع الأسطوانة.
الحل: الأوجه الجانبية للمنشور عبارة عن مربعات، حيث أن ضلع الشكل السداسي المنتظم المدرج في الدائرة يساوي نصف القطر.
حواف المنشور موازية لمحور الأسطوانة، وبالتالي فإن الزاوية بين قطري الوجه ومحور الأسطوانة تساوي الزاوية بين القطر والحافة الجانبية. وقياس هذه الزاوية 45 درجة، لأن الأوجه مربعة.
الجواب: الزاوية بين قطر وجهها الجانبي ومحور الاسطوانة = 45 درجة.
المهمة 3.
ارتفاع الاسطوانة 6 سم، ونصف قطر القاعدة 5 سم.
أوجد مساحة المقطع الموازي لمحور الأسطوانة على مسافة ٤ سم منه.
المعطى: الارتفاع = 6 سم، R = 5 سم، OE = 4 سم.
البحث عن: ثانية ثانية.
ثانية ثانية. = كم × كانساس،
OE = 4 سم، KS = 6 سم.
المثلث OKM - متساوي الساقين (OK = OM = R = 5 سم)،
المثلث OEK هو مثلث قائم الزاوية.
من المثلث OEK حسب نظرية فيثاغورس:
كم = 2EK = 2×3 = 6،
ثانية ثانية. = 6×6 = 36 سم2.
لقد تم تحقيق الغرض من هذا المقال؛ وقد تم النظر في الجسم الهندسي مثل الاسطوانة.
يتم النظر في المهام التالية:
- تعريف الاسطوانة؛
- يتم أخذ عناصر الاسطوانة بعين الاعتبار؛
- تمت دراسة خواص الاسطوانة .
- يتم أخذ أنواع أقسام الأسطوانة بعين الاعتبار؛
- تم اشتقاق صيغة مساحة الاسطوانة.
- تم اشتقاق صيغة حجم الأسطوانة؛
- حل المسائل باستخدام الاسطوانة.
1. بوجورلوف إيه في الهندسة: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 في المؤسسات التعليمية، 1995.
2. بيسكين إل.إن. القياس المجسم. دليل معلمي المدارس الثانوية، 1999.
3. Atanasyan L. S.، Butuzov V. F.، Kadomtsev S. B.، Kiseleva L. S.، Poznyak E. G. الهندسة: كتاب مدرسي للصفوف 10 - 11 للمؤسسات التعليمية، 2000.
4. ألكساندروف أ.د.، فيرنر أ.ل.، ريجيك في.آي. الهندسة: كتاب مدرسي للصفوف 10-11 في مؤسسات التعليم العام، 1998.
5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. الهندسة: القياس المجسم: الصفوف 10 – 11: الكتاب المدرسي وكتاب المشكلات، 2000.
الأسطوانة هي شكل مكاني متماثل، يتم أخذ خصائصه في الاعتبار في المدرسة الثانوية في سياق القياس المجسم. لوصفها، يتم استخدام الخصائص الخطية مثل الارتفاع ونصف قطر القاعدة. في هذه المقالة سننظر في الأسئلة المتعلقة بالقسم المحوري للأسطوانة وكيفية حساب معلماته من خلال الخصائص الخطية الأساسية للشكل.
الشكل الهندسي
أولاً، دعونا نحدد الشكل الذي سيتم مناقشته في المقالة. الأسطوانة عبارة عن سطح يتكون من حركة متوازية لقطعة ذات طول ثابت على طول منحنى معين. الشرط الرئيسي لهذه الحركة هو أن القطعة لا ينبغي أن تنتمي إلى مستوى المنحنى.
يوضح الشكل أدناه أسطوانة يكون منحنىها (الدليل) عبارة عن قطع ناقص.
هنا جزء من الطول h هو مولده وارتفاعه.
يمكن ملاحظة أن الأسطوانة تتكون من قاعدتين متماثلتين (الشكلان القطع الناقص في هذه الحالة)، تقعان في مستويين متوازيين، وسطح جانبي. هذا الأخير ينتمي إلى جميع نقاط خطوط التشكيل.
قبل الانتقال إلى النظر في القسم المحوري للأسطوانات، سنخبرك بأنواع هذه الأشكال الموجودة.
إذا كان خط المولد متعامدا مع قاعدتي الشكل، فإننا نتحدث عن أسطوانة مستقيمة. وإلا فإن الاسطوانة سوف تميل. إذا قمت بتوصيل النقاط المركزية لقاعدتين، فإن الخط المستقيم الناتج يسمى محور الشكل. يوضح الشكل أدناه الفرق بين الأسطوانات المستقيمة والمائلة.
يمكن ملاحظة أنه بالنسبة للشكل المستقيم، فإن طول مقطع التوليد يتزامن مع قيمة الارتفاع h. بالنسبة للأسطوانة المائلة، يكون الارتفاع، أي المسافة بين القواعد، دائمًا أقل من طول خط المولد.
المقطع المحوري لأسطوانة مستقيمة
المحوري هو أي جزء من الاسطوانة يحتوي على محورها. ويعني هذا التعريف أن القسم المحوري سيكون دائمًا موازيًا للمولد.
في الأسطوانة المستقيمة، يمر المحور بمركز الدائرة ويكون عموديًا على مستواها. وهذا يعني أن الدائرة قيد النظر سوف تتقاطع على طول قطرها. يوضح الشكل نصف الأسطوانة، وهو نتيجة تقاطع الشكل مع مستوى يمر بالمحور.
ليس من الصعب أن نفهم أن القسم المحوري لأسطوانة دائرية مستقيمة هو مستطيل. جوانبها هي القطر d للقاعدة والارتفاع h لهذا الشكل.
دعونا نكتب الصيغ الخاصة بمساحة المقطع العرضي المحوري للأسطوانة وطول قطرها h d:
المستطيل له قطران، لكن كلاهما متساويان. إذا كان نصف قطر القاعدة معروفا، فليس من الصعب إعادة كتابة هذه الصيغ من خلاله، نظرا لأنه نصف القطر.
المقطع المحوري لأسطوانة مائلة
الصورة أعلاه توضح أسطوانة مائلة مصنوعة من الورق. إذا قمت بإنشاء قسمها المحوري، فلن تحصل على مستطيل، بل متوازي الأضلاع. وجوانبها معروفة الكميات. أحدهما، كما في حالة المقطع العرضي للأسطوانة المستقيمة، يساوي قطر القاعدة d، والآخر هو طول قطعة التشكيل. دعونا نشير إلى ذلك ب.
لتحديد معلمات متوازي الأضلاع بشكل لا لبس فيه، لا يكفي معرفة أطوال أضلاعه. هناك حاجة إلى زاوية أخرى بينهما. لنفترض أن الزاوية الحادة بين الدليل والقاعدة هي α. وستكون هذه أيضًا هي الزاوية بين جانبي متوازي الأضلاع. ثم يمكن كتابة صيغة مساحة المقطع العرضي المحوري للأسطوانة المائلة على النحو التالي:
يصعب حساب أقطار القسم المحوري للأسطوانة المائلة إلى حد ما. متوازي الأضلاع له قطران بأطوال مختلفة. نقدم تعبيرات بدون اشتقاق تسمح لنا بحساب أقطار متوازي الأضلاع باستخدام الأضلاع المعلومة والزاوية الحادة بينهما:
ل 1 = √(د 2 + ب 2 - 2*ب*د*كوس(α));
ل 2 = √(د 2 + ب 2 + 2*ب*د*كوس(α))
هنا l 1 و l 2 هما طولا القطرين الصغير والكبير، على التوالي. يمكن الحصول على هذه الصيغ بشكل مستقل إذا اعتبرنا كل قطري كمتجه عن طريق إدخال نظام إحداثيات مستطيل على المستوى.
مشكلة الاسطوانة المستقيمة
سنوضح لك كيفية استخدام المعرفة المكتسبة لحل المشكلة التالية. دعونا نحصل على اسطوانة مستديرة مستقيمة. من المعروف أن المقطع العرضي المحوري للأسطوانة مربع. ما مساحة هذا القسم إذا كان الشكل بأكمله 100سم2؟
لحساب المساحة المطلوبة، تحتاج إلى العثور على نصف القطر أو قطر قاعدة الاسطوانة. للقيام بذلك، نستخدم صيغة المساحة الإجمالية S f من الشكل:
وبما أن المقطع المحوري مربع، فهذا يعني أن نصف قطر القاعدة r هو نصف الارتفاع h. وبأخذ ذلك بعين الاعتبار، يمكننا إعادة كتابة المساواة أعلاه على النحو التالي:
S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2
الآن يمكننا التعبير عن نصف القطر r، لدينا:
بما أن ضلع المقطع المربع يساوي قطر قاعدة الشكل، فإن الصيغة التالية ستكون صالحة لحساب مساحته S:
ق = (2*ص) 2 = 4*ص 2 = 2*س و / (3*بي)
نرى أن المساحة المطلوبة يتم تحديدها بشكل فريد من خلال مساحة سطح الأسطوانة. بتعويض البيانات بالتساوي نصل إلى الإجابة: S = 21.23 سم2.