سلسلة ومضلع توزيع متغير عشوائي منفصل. الموسوعة الكبرى للنفط والغاز

في قسم الدورة المخصص للمفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات، قدمنا بالفعل مفهومًا بالغ الأهمية للمتغير العشوائي. وسنقدم هنا مزيدًا من التطوير لهذا المفهوم ونشير إلى الطرق التي يمكن من خلالها وصف المتغيرات العشوائية وتمييزها.

كما ذكرنا سابقًا، فإن المتغير العشوائي هو الكمية التي، نتيجة للتجربة، يمكن أن تأخذ قيمة أو أخرى، ولكن من غير المعروف مسبقًا أي منها. اتفقنا أيضًا على التمييز بين المتغيرات العشوائية ذات الأنواع المتقطعة (المنفصلة) والمستمرة. يمكن إدراج القيم المحتملة للكميات المتقطعة مسبقًا. لا يمكن إدراج القيم المحتملة للكميات المستمرة مسبقًا وتسد فجوة معينة بشكل مستمر.

أمثلة على المتغيرات العشوائية المتقطعة:

1) عدد مرات ظهور شعار النبالة خلال ثلاث رميات للعملة المعدنية (القيم المحتملة 0، 1، 2، 3)؛

2) تكرار ظهور شعار النبالة في نفس التجربة (القيم المحتملة)؛

3) عدد العناصر الفاشلة في جهاز يتكون من خمسة عناصر (القيم المحتملة هي 0، 1، 2، 3، 4، 5)؛

4) عدد الضربات على الطائرة الكافية لتعطيلها (القيم المحتملة 1، 2، 3، ...، ن، ...)؛

5) عدد الطائرات التي تم إسقاطها في القتال الجوي (القيم المحتملة 0، 1، 2، ...، N، حيث إجمالي عدد الطائرات المشاركة في المعركة).

أمثلة على المتغيرات العشوائية المستمرة:

1) الإحداثي الإحداثي لنقطة التأثير عند إطلاق النار؛

2) المسافة من نقطة التأثير إلى مركز الهدف؛

3) خطأ في قياس الارتفاع؛

4) وقت التشغيل الخالي من الفشل لأنبوب الراديو.

ولنتفق فيما يلي على الإشارة إلى المتغيرات العشوائية بالأحرف الكبيرة، وقيمها المحتملة بالأحرف الصغيرة المقابلة لها. على سبيل المثال، - عدد الضربات بثلاث طلقات؛ القيم الممكنة: .

دعونا نفكر في متغير عشوائي متقطع مع القيم المحتملة. كل قيمة من هذه القيم ممكنة ولكنها غير مؤكدة، والقيمة X يمكن أن تأخذ كل واحدة منها مع بعض الاحتمال. ونتيجة التجربة فإن القيمة X ستأخذ إحدى هذه القيم، أي. سيحدث أحد المجموعة الكاملة من الأحداث غير المتوافقة:

دعونا نشير إلى احتمالات هذه الأحداث بالحروف p مع المؤشرات المقابلة:

وبما أن الأحداث غير المتوافقة (5.1.1) تشكل مجموعة كاملة، إذن

أولئك. مجموع احتمالات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي يساوي واحدًا. يتم توزيع هذا الاحتمال الإجمالي بطريقة ما بين القيم الفردية. سيتم وصف المتغير العشوائي بشكل كامل من وجهة نظر احتمالية إذا حددنا هذا التوزيع، أي. دعونا نشير بالضبط إلى احتمالية كل حدث (5.1.1). وبهذا سنؤسس ما يسمى بقانون توزيع المتغير العشوائي.

قانون توزيع المتغير العشوائي هو أي علاقة تنشئ علاقة بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها. سنقول عن المتغير العشوائي أنه يخضع لقانون توزيع معين.

دعونا نحدد الشكل الذي يمكن من خلاله تحديد قانون التوزيع لمتغير عشوائي متقطع. إن أبسط شكل لتحديد هذا القانون هو جدول يسرد القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها:

سوف نسمي هذا الجدول سلسلة توزيع لمتغير عشوائي.

في بعض الأحيان يكون ما يسمى بالتفسير "الميكانيكي" لسلسلة التوزيع مناسبًا. دعونا نتخيل أن كتلة معينة تساوي واحدًا يتم توزيعها على طول محور الإحداثي السيني بحيث تتركز الكتل في نقاط فردية، على التوالي. ثم يتم تفسير سلسلة التوزيع على أنها نظام من النقاط المادية مع وجود بعض الكتل على محور الإحداثي السيني.

دعونا نفكر في عدة أمثلة للمتغيرات العشوائية المتقطعة مع قوانين التوزيع الخاصة بها.

مثال 1. تم إجراء تجربة واحدة قد يظهر فيها الحدث أو لا يظهر. احتمال الحدث هو 0.3. يتم اعتبار المتغير العشوائي - عدد تكرارات حدث ما في تجربة معينة (أي متغير عشوائي مميز لحدث ما، يأخذ القيمة 1 إذا ظهر، و0 إذا لم يظهر). إنشاء سلسلة توزيع ومضلع توزيع الحجم.

حل. تحتوي الكمية على قيمتين فقط: 0 و1. سلسلة توزيع الكمية لها الشكل:

يظهر مضلع التوزيع في الشكل. 5.1.2.

مثال 2. يطلق مطلق النار ثلاث طلقات على الهدف. احتمال إصابة الهدف بكل طلقة هو 0.4. لكل ضربة يحصل مطلق النار على 5 نقاط. بناء سلسلة توزيع لعدد النقاط المسجلة.

حل. دعونا نشير إلى عدد النقاط المسجلة. القيم الممكنة: .

نجد احتمالية هذه القيم باستخدام نظرية تكرار التجارب:

سلسلة توزيع القيمة لها الشكل:

يظهر مضلع التوزيع في الشكل. 5.1.3.

مثال 3. احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة يساوي . يتم إجراء سلسلة من التجارب المستقلة، والتي تستمر حتى وقوع الحدث لأول مرة، وبعد ذلك يتم إيقاف التجارب. متغير عشوائي – عدد التجارب المنجزة. بناء سلسلة توزيع القيمة.

حل. القيم المحتملة: 1، 2، 3، ... (من الناحية النظرية ليست محدودة بأي شيء). لكي تأخذ الكمية القيمة 1، من الضروري أن يقع الحدث في التجربة الأولى؛ احتمال هذا متساوي. لكي تأخذ الكمية القيمة 2، من الضروري ألا يظهر الحدث في التجربة الأولى، بل يظهر في الثانية؛ احتمال ذلك يساوي ، أين ، إلخ. سلسلة توزيع القيمة لها الشكل:

تظهر الإحداثيات الخمسة الأولى لمضلع التوزيع للحالة في الشكل. 5.1.4.

مثال 4. يطلق مطلق النار النار على الهدف حتى الإصابة الأولى، بأربع طلقات من الذخيرة. احتمال ضرب كل طلقة هو 0.6. إنشاء سلسلة توزيع لكمية الذخيرة المتبقية غير المنفقة.

المتغيرات العشوائية: منفصلة ومستمرة.

عند إجراء تجربة عشوائية، يتم تشكيل مساحة من الأحداث الأولية - النتائج المحتملة لهذه التجربة. ويعتقد أن هذا الفضاء من الأحداث الأولية موجود قيمة عشوائية X، إذا تم تقديم قانون (قاعدة) يرتبط بموجبه كل حدث أولي برقم. وبذلك يمكن اعتبار المتغير العشوائي X دالة محددة على فضاء الأحداث الأولية.

■ متغير عشوائي- الكمية التي تأخذ، أثناء كل اختبار، قيمة عددية أو أخرى (لا يُعرف مسبقًا أي منها)، اعتمادًا على أسباب عشوائية لا يمكن أخذها في الاعتبار مسبقًا. يتم الإشارة إلى المتغيرات العشوائية بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية، ويتم الإشارة إلى القيم المحتملة للمتغير العشوائي بأحرف صغيرة. لذا، عند رمي حجر النرد، يحدث حدث مرتبط بالرقم x، حيث x هو عدد النقاط التي تم رميها. عدد النقاط هو متغير عشوائي، والأرقام 1، 2، 3، 4، 5، 6 هي القيم المحتملة لهذه القيمة. المسافة التي ستقطعها المقذوفة عند إطلاقها من مسدس هي أيضًا متغيرة عشوائية (اعتمادًا على تركيب المنظار وقوة واتجاه الريح ودرجة الحرارة وعوامل أخرى)، وتنتمي القيم المحتملة لهذه القيمة إلى فترة معينة (أ ؛ ب).

■ متغير عشوائي منفصل- متغير عشوائي يأخذ قيمًا محتملة منفصلة ومعزولة باحتمالات معينة. يمكن أن يكون عدد القيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل محدودًا أو لا نهائيًا.

■ المتغير العشوائي المستمر- متغير عشوائي يمكنه أخذ جميع القيم من فترة محدودة أو لا نهائية. عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر لا نهائي.

على سبيل المثال، عدد النقاط التي تم الحصول عليها عند رمي النرد، ودرجة الاختبار هي متغيرات عشوائية منفصلة؛ المسافة التي تطير بها المقذوفة عند إطلاق النار من مسدس، وخطأ قياس مؤشر الوقت لإتقان المواد التعليمية، وطول ووزن الشخص هي متغيرات عشوائية مستمرة.

قانون التوزيع للمتغير العشوائي- المراسلات بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي واحتمالاتها، أي ترتبط كل قيمة محتملة x i بالاحتمال p i الذي يمكن للمتغير العشوائي أن يأخذ هذه القيمة من خلاله. يمكن تحديد قانون توزيع المتغير العشوائي بشكل جدولي (في شكل جدول)، وتحليلياً (في شكل صيغة)، ورسمياً.

دع المتغير العشوائي المنفصل X يأخذ القيم x 1 , x 2 , …, x n مع الاحتمالات p 1 , p 2 , …, p n على التوالي، أي. P(X=x 1) = p 1، P(X=x 2) = p 2، …، P(X=x n) = p n. عند تحديد قانون توزيع هذه الكمية في جدول، يحتوي الصف الأول من الجدول على القيم المحتملة x 1 , x 2 , ..., x n ، والصف الثاني يحتوي على احتمالاتها

X	× 1	× 2	…	س ن
ص	ص 1	ص2	…	ص ن

نتيجة للاختبار، يأخذ المتغير العشوائي المنفصل X واحدة فقط من القيم المحتملة، وبالتالي فإن الأحداث X=x 1، X=x 2، ...، X=x n تشكل مجموعة كاملة من القيم الزوجية غير المتوافقة الأحداث، وبالتالي فإن مجموع احتمالات هذه الأحداث يساوي واحدًا، أي. ع 1 + ع 2 +… + ع ن =1.

قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل. مضلع التوزيع (المضلع).

كما تعلم، المتغير العشوائي هو متغير يمكن أن يأخذ قيمًا معينة حسب الحالة. يُشار إلى المتغيرات العشوائية بالأحرف الكبيرة من الأبجدية اللاتينية (X، Y، Z)، ويُشار إلى قيمها بالأحرف الصغيرة المقابلة (x، y، z). تنقسم المتغيرات العشوائية إلى متقطعة (منفصلة) ومستمرة.

المتغير العشوائي المنفصل هو متغير عشوائي يأخذ فقط مجموعة منتهية أو لا نهائية (قابلة للعد) من القيم مع احتمالات معينة غير الصفر.

قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصلهي دالة تربط قيم المتغير العشوائي بالاحتمالات المقابلة لها. يمكن تحديد قانون التوزيع بإحدى الطرق التالية.

1. يمكن إعطاء قانون التوزيع من خلال الجدول:

حيث 0>0، ك = 0، 1، 2، … .

ج) باستخدام دالة التوزيع F(x)، التي تحدد لكل قيمة x احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X قيمة أقل من x، أي. و(س) = ف(س< x).

خصائص الدالة F(x)

3. يمكن تحديد قانون التوزيع بيانياً - من خلال مضلع التوزيع (المضلع) (انظر المهمة 3).

لاحظ أنه لحل بعض المشاكل ليس من الضروري معرفة قانون التوزيع. وفي بعض الحالات، يكفي معرفة رقم واحد أو عدة أرقام تعكس أهم سمات قانون التوزيع. يمكن أن يكون هذا رقمًا يحمل معنى "متوسط القيمة" لمتغير عشوائي، أو رقم يوضح متوسط حجم انحراف متغير عشوائي عن قيمته المتوسطة. تسمى الأرقام من هذا النوع بالخصائص العددية للمتغير العشوائي.

الخصائص العددية الأساسية للمتغير العشوائي المنفصل:

التوقع الرياضي (القيمة المتوسطة) للمتغير العشوائي المنفصل M(X)=Σ x i p i .
بالنسبة للتوزيع ذي الحدين M(X)=np، بالنسبة لتوزيع بواسون M(X)=α
تشتت متغير عشوائي منفصل D(X)= M 2 أو D(X) = M(X 2)− 2. يسمى الفرق X – M (X) بانحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي.
للتوزيع ذي الحدين D(X)=npq، لتوزيع بواسون D(X)=α
متوسط الانحراف المربع (الانحراف المعياري) σ(X)=√D(X).

· لوضوح عرض سلسلة الاختلافات، فإن صورها الرسومية لها أهمية كبيرة. بيانياً، يمكن تصوير سلسلة التباين كمضلع، ورسم بياني وتراكمي.

· يسمى مضلع التوزيع (حرفياً مضلع التوزيع) بالخط المتقطع، والذي يتم إنشاؤه في نظام إحداثيات مستطيل. يتم رسم قيمة السمة على الإحداثي السيني، والترددات المقابلة (أو الترددات النسبية) - على الإحداثي. ترتبط النقاط (أو) بقطع خط مستقيم ويتم الحصول على مضلع التوزيع. في أغلب الأحيان، يتم استخدام المضلعات لتصوير سلسلة التباين المنفصلة، ولكن يمكن استخدامها أيضًا لسلسلة الفاصل الزمني. في هذه الحالة، يتم رسم النقاط المقابلة لمنتصف هذه الفترات على محور الإحداثي السيني.

المثال الذي تمت مناقشته أعلاه يتيح لنا أن نستنتج أن القيم المستخدمة للتحليل تعتمد على أسباب عشوائية، لذلك يتم استدعاء هذه المتغيرات عشوائي. وهي تنشأ في معظم الحالات نتيجة ملاحظات أو تجارب، يتم جدولتها في الصف الأول الذي تسجل فيه القيم المختلفة المرصودة للمتغير العشوائي X، وفي الثاني التكرارات المقابلة لها. ولهذا السبب يسمى هذا الجدول التوزيع التجريبي للمتغير العشوائي Xأو سلسلة الاختلاف. بالنسبة لسلسلة التباين وجدنا المتوسط والتشتت والانحراف المعياري.

مستمر، إذا كانت قيمها تملأ فاصلًا رقميًا معينًا بالكامل.

يسمى المتغير العشوائي منفصلة، إذا كان من الممكن ترقيم جميع قيمها (على وجه الخصوص، إذا كانت تأخذ عددًا محدودًا من القيم).

هناك شيئان يجب ملاحظتهما خصائص مميزةجداول توزيع المتغيرات العشوائية المنفصلة:

جميع الأرقام الموجودة في الصف الثاني من الجدول موجبة؛

مجموعهما يساوي واحدًا.

وفقا للبحث الذي تم إجراؤه، يمكن الافتراض أنه مع زيادة عدد الملاحظات، يقترب التوزيع التجريبي من التوزيع النظري، الوارد في شكل جدول.

من الخصائص المهمة للمتغير العشوائي المنفصل توقعه الرياضي.

التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل X، بأخذ القيم،، ...، مع الاحتمالات،، ...، يسمى الرقم:

وتسمى القيمة المتوقعة أيضًا بالمتوسط.

وتشمل الخصائص الهامة الأخرى للمتغير العشوائي التباين (8) والانحراف المعياري (9).

حيث: التوقع الرياضي للقيمة X.

. (9)

يعد التمثيل الرسومي للمعلومات أكثر وضوحًا من التمثيل الجدولي، لذلك يتم استخدام قدرة جداول بيانات MS Excel على تقديم البيانات الموجودة فيها في شكل مخططات ورسوم بيانية ورسوم بيانية مختلفة في كثير من الأحيان. لذلك، بالإضافة إلى الجدول، يتم أيضًا تصوير توزيع المتغير العشوائي باستخدام مضلع التوزيع. وللقيام بذلك، يتم إنشاء النقاط ذات الإحداثيات، ، ... على المستوى الإحداثي ويتم توصيلها بواسطة مقاطع مستقيمة.

للحصول على مستطيل التوزيع باستخدام MS Excel، يجب عليك:

1. حدد علامة التبويب "إدراج" ® "مخطط المنطقة" على شريط الأدوات.

2. قم بتنشيط منطقة المخطط التي تظهر على ورقة MS Excel باستخدام زر الفأرة الأيمن واستخدم أمر "تحديد البيانات" في قائمة السياق.

أرز. 6. اختيار مصدر البيانات

أولاً، دعونا نحدد نطاق البيانات للمخطط. للقيام بذلك، أدخل النطاق C6:I6 في المنطقة المناسبة من مربع الحوار "تحديد مصدر البيانات" (يعرض قيم التردد المسماة Series1، الشكل 7).

أرز. 7. إضافة الصف 1

لتغيير اسم السلسلة، يجب عليك تحديد الزر تغيير المنطقة "عناصر وسيلة الإيضاح (السلسلة)" (انظر الشكل 7) وتسميتها.

لإضافة تسمية المحور السيني، يجب عليك استخدام الزر "تحرير" في منطقة "تسميات المحور الأفقي (الفئات)".
(الشكل 8) وحدد قيم السلسلة (النطاق $C$6:$I$6).

أرز. 8. العرض النهائي لمربع الحوار "تحديد مصدر البيانات".

تحديد زر في مربع الحوار تحديد مصدر البيانات
(الشكل 8) سيسمح لنا بالحصول على المضلع المطلوب لتوزيع المتغير العشوائي (الشكل 9).

أرز. 9. مضلع التوزيع لمتغير عشوائي

لنجري بعض التغييرات على تصميم المعلومات الرسومية الناتجة:

دعونا نضيف تسمية للمحور X؛

دعونا نعدل تسمية المحور Y؛

- دعونا نضيف عنوانا للمخطط "مضلع التوزيع".

للقيام بذلك، حدد علامة التبويب "العمل مع المخططات" في منطقة شريط الأدوات، وعلامة التبويب "تخطيط" وفي شريط الأدوات الذي يظهر، الأزرار المقابلة: "عنوان المخطط"، "عناوين المحاور" (الشكل 10).

أرز. 10. المنظر النهائي لمضلع توزيع المتغير العشوائي

إجابة: النظر في متغير عشوائي متقطع Xمع القيم الممكنة كل من هذه القيم ممكنة، ولكن غير مؤكدة، وقيمتها Xيمكن قبول كل واحد منهم مع بعض الاحتمال. ونتيجة للتجربة، القيمة Xستأخذ إحدى هذه القيم، أي أنه سيحدث أحد المجموعة الكاملة للأحداث غير المتوافقة:

دعونا نشير إلى احتمالات هذه الأحداث بالحروف رمع المؤشرات المقابلة:

أي أنه يمكن تحديد التوزيع الاحتمالي للقيم المختلفة عن طريق جدول التوزيع، حيث تتم الإشارة في السطر العلوي إلى جميع القيم المأخوذة بواسطة متغير عشوائي منفصل معين، واحتمالات القيم المقابلة يشار إليها في الخلاصة. وبما أن الأحداث غير المتوافقة (3.1) تشكل مجموعة كاملة، فإن مجموع احتمالات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي يساوي واحدًا. لا يمكن عرض التوزيع الاحتمالي للمتغيرات العشوائية المستمرة على شكل جدول، حيث أن عدد قيم هذه المتغيرات العشوائية لا نهائي حتى في فترة زمنية محدودة. علاوة على ذلك، فإن احتمال الحصول على أي قيمة معينة هو صفر. سيتم وصف المتغير العشوائي بشكل كامل من وجهة نظر احتمالية إذا حددنا هذا التوزيع، أي أننا نشير بالضبط إلى احتمالية كل حدث. وبهذا سنؤسس ما يسمى بقانون توزيع المتغير العشوائي. قانون توزيع المتغير العشوائي هو أي علاقة تنشئ علاقة بين القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها. سنقول عن المتغير العشوائي أنه يخضع لقانون توزيع معين. دعونا نحدد الشكل الذي يمكن من خلاله تحديد قانون التوزيع لمتغير عشوائي متقطع X.إن أبسط شكل لتحديد هذا القانون هو جدول يسرد القيم المحتملة للمتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها:

× ط	س 1	س 2	× × ×	س ن
باي	ص 1	ص 2	× × ×	ص ن

سوف نسمي هذا الجدول سلسلة من توزيعات المتغير العشوائي X.

أرز. 3.1

لإعطاء سلسلة التوزيع مظهرًا أكثر وضوحًا، غالبًا ما يلجأون إلى تمثيلها الرسومي: يتم رسم القيم المحتملة للمتغير العشوائي على طول محور الإحداثي، ويتم رسم احتمالات هذه القيم على طول المحور الإحداثي. من أجل الوضوح، يتم توصيل النقاط الناتجة عن طريق قطاعات مستقيمة. يسمى هذا الشكل مضلع التوزيع (الشكل 3.1). يميز مضلع التوزيع، وكذلك سلسلة التوزيع، المتغير العشوائي بشكل كامل. إنه أحد أشكال قانون التوزيع. في بعض الأحيان يكون ما يسمى بالتفسير "الميكانيكي" لسلسلة التوزيع مناسبًا. دعونا نتخيل أن كتلة معينة تساوي الوحدة يتم توزيعها على طول محور الإحداثي السيني بحيث تكون في نوتتركز الجماهير في نقاط فردية، على التوالي . ثم يتم تفسير سلسلة التوزيع على أنها نظام من النقاط المادية مع وجود بعض الكتل على محور الإحداثي السيني.

التجربة هي أي تنفيذ لشروط وإجراءات معينة يتم في ظلها ملاحظة الظاهرة العشوائية التي تتم دراستها. يمكن وصف التجارب نوعيا وكميا. الكمية العشوائية هي الكمية التي، نتيجة للتجربة، يمكن أن تأخذ قيمة أو أخرى، ولا يعرف مقدما أي منها.

ويرمز للمتغيرات العشوائية عادة (X,Y,Z) والقيم المقابلة لها (x,y,z)

المنفصلة عبارة عن متغيرات عشوائية تأخذ قيمًا فردية معزولة عن بعضها البعض والتي يمكن المبالغة في تقديرها. الكميات المستمرة التي تملأ قيمها المحتملة نطاقًا معينًا بشكل مستمر. قانون توزيع المتغير العشوائي هو أي علاقة تقيم علاقة بين القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية والاحتمالات المقابلة لها. صف التوزيع والمضلع. أبسط شكل لقانون التوزيع لكمية منفصلة هو سلسلة التوزيع. التفسير الرسومي لسلسلة التوزيع هو مضلع التوزيع.

يمكنك أيضًا العثور على المعلومات التي تهمك في محرك البحث العلمي Otvety.Online. استخدم نموذج البحث:

سلسلة ومضلع توزيع متغير عشوائي منفصل. الموسوعة الكبرى للنفط والغاز

المزيد عن الموضوع 13. المتغير العشوائي المنفصل. مضلع التوزيع. العمليات مع المتغيرات العشوائية، على سبيل المثال: