جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة
هناك نوعان من إضافة الكسور:
- جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة
- جمع الكسور ذات المقامات المختلفة
أولًا، دعونا نتعلم جمع الكسور ذات المقامات المتشابهة. كل شيء بسيط هنا. لجمع كسور لها نفس المقامات، عليك جمع بسطيها وترك المقام دون تغيير. على سبيل المثال، دعونا نضيف الكسور و . أضف البسطين واترك المقام دون تغيير:
يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قمت بإضافة البيتزا إلى البيتزا، تحصل على البيتزا:
مثال 2.إضافة الكسور و.
تبين أن الجواب هو لا الكسر المناسب. عندما تأتي نهاية المهمة، فمن المعتاد التخلص من الكسور غير الصحيحة. للتخلص من الكسر غير الحقيقي، عليك تحديد الجزء بأكمله منه. في حالتنا الجزء كلهيبرز بسهولة - اثنان مقسومًا على اثنين يساوي واحدًا:
يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى قسمين. إذا قمت بإضافة المزيد من البيتزا إلى البيتزا، تحصل على بيتزا واحدة كاملة:
مثال 3. إضافة الكسور و.
مرة أخرى، نجمع البسطين ونترك المقام دون تغيير:
يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قمت بإضافة المزيد من البيتزا إلى البيتزا، تحصل على البيتزا:
مثال 4.أوجد قيمة التعبير 
تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل الأمثلة السابقة. يجب إضافة البسطين وترك المقام دون تغيير:
دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا قمت بإضافة البيتزا إلى البيتزا وأضفت المزيد من البيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة والمزيد من البيتزا.
كما ترون، لا يوجد شيء معقد في جمع الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي أن نفهم القواعد التالية:
- لإضافة كسور لها نفس المقام، تحتاج إلى إضافة بسطيها وترك المقام دون تغيير؛
جمع الكسور ذات المقامات المختلفة
الآن دعونا نتعلم كيفية جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. عند جمع الكسور، يجب أن تكون مقامات الكسور هي نفسها. لكنها ليست هي نفسها دائما.
على سبيل المثال، يمكن إضافة الكسور لأنها تحتوي على نفس القواسم.
لكن لا يمكن إضافة الكسور على الفور، لأن هذه الكسور قواسم مختلفة. في مثل هذه الحالات، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).
هناك عدة طرق لتقليل الكسور إلى نفس المقام. اليوم سوف ننظر إلى واحد منهم فقط، لأن الطرق الأخرى قد تبدو معقدة بالنسبة للمبتدئين.
جوهر هذه الطريقة هو أنه يتم أولاً البحث عن المضاعف المشترك الأصغر لمقامات كلا الكسرين. يتم بعد ذلك قسمة المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول للحصول على العامل الإضافي الأول. يفعلون نفس الشيء مع الكسر الثاني - يتم تقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي ثانٍ.
يتم بعد ذلك ضرب بسط ومقامات الكسور في عواملها الإضافية. ونتيجة لهذه الإجراءات، يتم تحويل الكسور التي لها مقامات مختلفة إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية إضافة هذه الكسور.
مثال 1. دعونا نضيف الكسور و
أولًا، علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 6
م م م (2 و 3) = 6
الآن دعونا نعود إلى الكسور و . أولاً، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول واحصل على العامل الإضافي الأول. LCM هو الرقم 6، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. بقسمة 6 على 3، نحصل على 2.
الرقم الناتج 2 هو أول مضاعف إضافي. نكتبه حتى الكسر الأول. للقيام بذلك، ارسم خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر واكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:
نحن نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ونحصل على العامل الإضافي الثاني. LCM هو الرقم 6، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 2. بقسمة 6 على 2، نحصل على 3.
الرقم الناتج 3 هو المضاعف الإضافي الثاني. نكتبه إلى الكسر الثاني. مرة أخرى، نرسم خطًا مائلًا صغيرًا فوق الكسر الثاني ونكتب العامل الإضافي الموجود فوقه:
الآن لدينا كل شيء جاهز للإضافة. يبقى ضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية:
انظر بعناية إلى ما وصلنا إليه. لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تتحول إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية إضافة هذه الكسور. لنأخذ هذا المثال إلى النهاية:
هذا يكمل المثال. اتضح أن تضيف .
دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا أضفت بيتزا إلى بيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة وسدس بيتزا آخر:
يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك) باستخدام صورة. بتقليل الكسور إلى قاسم مشترك، حصلنا على الكسور و . سيتم تمثيل هذين الكسرين بنفس قطع البيتزا. سيكون الاختلاف الوحيد هو أنه سيتم تقسيمهم هذه المرة إلى حصص متساوية (مخفضة إلى نفس المقام).
الرسم الأول يمثل كسرًا (أربع قطع من ستة)، والرسم الثاني يمثل كسرًا (ثلاث قطع من ستة). وبإضافة هذه القطع نحصل على (سبع قطع من أصل ستة). وهذا الكسر غير حقيقي، لذا سلطنا الضوء على الجزء بأكمله منه. ونتيجة لذلك، حصلنا على (بيتزا كاملة وبيتزا سادسة أخرى).
يرجى ملاحظة أننا وصفناها هذا المثالمفصلة للغاية. في المؤسسات التعليميةليس من المعتاد الكتابة بمثل هذه التفاصيل. يجب أن تكون قادرًا على العثور بسرعة على المضاعف المشترك الأصغر لكل من المقامات والعوامل الإضافية لها، بالإضافة إلى ضرب العوامل الإضافية التي تم العثور عليها بسرعة في البسط والمقامات. ولو كنا في المدرسة لوجب علينا أن نكتب هذا المثال على النحو التالي:
ولكن هناك أيضا الجانب العكسيميداليات. إذا لم تقم بتدوين ملاحظات تفصيلية في المراحل الأولى من دراسة الرياضيات، فإن أسئلة من هذا النوع تبدأ في الظهور. "من أين يأتي هذا الرقم؟"، "لماذا تتحول الكسور فجأة إلى كسور مختلفة تمامًا؟ «.
لتسهيل عملية جمع الكسور ذات المقامات المختلفة، يمكنك استخدام الإرشادات التالية خطوة بخطوة:
- أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور؛
- قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على عامل إضافي لكل كسر؛
- ضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية؛
- أضف الكسور التي لها نفس المقامات؛
- إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فاختر الجزء بأكمله؛
مثال 2.أوجد قيمة التعبير 
.
دعونا نستخدم التعليمات المذكورة أعلاه.
الخطوة 1. أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور
أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقامات الكسور هي الأرقام 2 و 3 و 4
الخطوة 2. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر واحصل على عامل إضافي لكل كسر
اقسم LCM على مقام الكسر الأول. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الأول هو الرقم 2. بقسمة 12 على 2، نحصل على 6. حصلنا على العامل الإضافي الأول 6. نكتبه فوق الكسر الأول:
الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. بقسمة 12 على 3، نحصل على 4. نحصل على العامل الإضافي الثاني 4. نكتبه فوق الكسر الثاني:
الآن نقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. LCM هو الرقم 12، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 4. بقسمة 12 على 4، نحصل على 3. نحصل على العامل الإضافي الثالث 3. نكتبه فوق الكسر الثالث:
الخطوة 3. اضرب بسط ومقامات الكسور بعواملها الإضافية
نضرب البسط والمقام بعواملها الإضافية:
الخطوة 4. أضف الكسور التي لها نفس المقامات
لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات (المشتركة). كل ما تبقى هو إضافة هذه الكسور. أضفه:
لم تتناسب عملية الإضافة مع سطر واحد، لذا قمنا بنقل التعبير المتبقي إلى السطر التالي. وهذا مسموح به في الرياضيات. عندما لا يتناسب التعبير مع سطر واحد، يتم نقله إلى السطر التالي، ومن الضروري وضع علامة المساواة (=) في نهاية السطر الأول وفي بداية السطر الجديد. تشير علامة المساواة الموجودة في السطر الثاني إلى أن هذا استمرار للتعبير الذي كان في السطر الأول.
الخطوة 5. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فقم بتظليل الجزء بأكمله منه
لقد حصلنا على كسر غير فعلي في إجابتنا. وعلينا أن نسلط الضوء على جزء كامل منه. نسلط الضوء على:
لقد تلقينا إجابة
طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة
هناك نوعان من طرح الكسور:
- طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة
- طرح الكسور ذات المقامات المختلفة
أولًا، دعونا نتعلم كيفية طرح الكسور ذات المقامات المتشابهة. كل شيء بسيط هنا. لطرح آخر من كسر واحد، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، ولكن اترك المقام كما هو.
على سبيل المثال، دعونا نجد قيمة التعبير. لحل هذا المثال، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وترك المقام دون تغيير. دعونا نفعل هذا:
يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى أربعة أجزاء. إذا قمت بقطع البيتزا من البيتزا، تحصل على البيتزا:
مثال 2.أوجد قيمة التعبير.
مرة أخرى، من بسط الكسر الأول، اطرح بسط الكسر الثاني، واترك المقام دون تغيير:
يمكن فهم هذا المثال بسهولة إذا تذكرنا البيتزا المقسمة إلى ثلاثة أجزاء. إذا قمت بقطع البيتزا من البيتزا، تحصل على البيتزا:
مثال 3.أوجد قيمة التعبير 
تم حل هذا المثال بنفس الطريقة تمامًا مثل الأمثلة السابقة. من بسط الكسر الأول تحتاج إلى طرح بسط الكسور المتبقية:
كما ترون، لا يوجد شيء معقد في طرح الكسور التي لها نفس المقامات. يكفي أن نفهم القواعد التالية:
- لطرح آخر من كسر واحد، تحتاج إلى طرح بسط الكسر الثاني من بسط الكسر الأول، وترك المقام دون تغيير؛
- إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بأكمله منه.
طرح الكسور ذات المقامات المختلفة
على سبيل المثال، يمكنك طرح كسر من كسر لأن الكسور لها نفس المقامات. لكن لا يمكنك طرح كسر من كسر، لأن هذه الكسور لها مقامات مختلفة. في مثل هذه الحالات، يجب اختزال الكسور إلى نفس المقام (المشترك).
يتم إيجاد المقام المشترك باستخدام نفس المبدأ الذي استخدمناه عند جمع الكسور ذات المقامات المختلفة. أولًا، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. ثم يتم تقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول ويتم الحصول على العامل الإضافي الأول الذي يكتب فوق الكسر الأول. وبالمثل، يتم تقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثاني ويتم الحصول على عامل إضافي ثانٍ، وهو مكتوب فوق الكسر الثاني.
ثم يتم ضرب الكسور بعواملها الإضافية. ونتيجة لهذه العمليات، يتم تحويل الكسور التي لها مقامات مختلفة إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور.
مثال 1.ابحث عن معنى العبارة:
هذه الكسور لها مقامات مختلفة، لذلك تحتاج إلى اختزالها إلى نفس المقام (المشترك).
أولًا، نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامي الكسرين. مقام الكسر الأول هو الرقم 3، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 12
المضاعف المشترك الأصغر (3 و 4) = 12
الآن دعونا نعود إلى الكسور و
لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. للقيام بذلك، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الأول. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12، ومقام الكسر الأول هو الرقم 3. بقسمة 12 على 3، نحصل على 4. اكتب أربعة فوق الكسر الأول:
نحن نفعل الشيء نفسه مع الكسر الثاني. اقسم LCM على مقام الكسر الثاني. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم 12، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 4. بقسمة 12 على 4، نحصل على 3. اكتب ثلاثة على الكسر الثاني:
الآن نحن جاهزون للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:
لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تتحول إلى كسور لها نفس المقامات. ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور. لنأخذ هذا المثال إلى النهاية:
لقد تلقينا إجابة
دعونا نحاول تصوير الحل الذي توصلنا إليه باستخدام الرسم. إذا قطعت بيتزا من بيتزا، فستحصل على بيتزا
هذا نسخة مفصلةالحلول. لو كنا في المدرسة، لكان علينا حل هذا المثال بشكل أقصر. سيبدو مثل هذا الحل كما يلي:
يمكن أيضًا تصوير اختزال الكسور إلى قاسم مشترك باستخدام صورة. بتقليل هذه الكسور إلى قاسم مشترك، حصلنا على الكسور و . سيتم تمثيل هذه الكسور بنفس شرائح البيتزا، ولكن هذه المرة سيتم تقسيمها إلى حصص متساوية (مخفضة إلى نفس المقام):
الصورة الأولى توضح كسرًا (ثمانية أجزاء من اثني عشر)، والصورة الثانية توضح كسرًا (ثلاثة أجزاء من اثني عشر). وبقطع ثلاث قطع من ثماني قطع، نحصل على خمس قطع من اثني عشر. يصف الكسر هذه القطع الخمس.
مثال 2.أوجد قيمة التعبير 
هذه الكسور لها مقامات مختلفة، لذا عليك أولًا اختزالها إلى نفس المقام (المشترك).
دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر لمقامات هذه الكسور.
مقامات الكسور هي الأرقام 10 و3 و5. والمضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو 30
المضاعف المشترك الأصغر(10، 3، 5) = 30
الآن نجد عوامل إضافية لكل كسر. للقيام بذلك، قم بتقسيم المضاعف المشترك الأصغر على مقام كل كسر.
لنجد عاملًا إضافيًا للكسر الأول. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الأول هو الرقم 10. بقسمة 30 على 10، نحصل على العامل الإضافي الأول 3. نكتبه فوق الكسر الأول:
والآن نجد عاملًا إضافيًا للكسر الثاني. اقسم LCM على مقام الكسر الثاني. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الثاني هو الرقم 3. بقسمة 30 على 3، نحصل على العامل الإضافي الثاني 10. نكتبه فوق الكسر الثاني:
والآن نجد عاملًا إضافيًا للكسر الثالث. اقسم المضاعف المشترك الأصغر على مقام الكسر الثالث. LCM هو الرقم 30، ومقام الكسر الثالث هو الرقم 5. بقسمة 30 على 5، نحصل على العامل الإضافي الثالث 6. نكتبه فوق الكسر الثالث:
الآن كل شيء جاهز للطرح. يبقى ضرب الكسور بعواملها الإضافية:
لقد توصلنا إلى استنتاج مفاده أن الكسور التي لها مقامات مختلفة تحولت إلى كسور لها نفس المقامات (المشتركة). ونحن نعرف بالفعل كيفية طرح هذه الكسور. دعونا ننتهي من هذا المثال.
لن يتناسب استمرار المثال مع سطر واحد، لذلك ننقل الاستمرار إلى السطر التالي. لا تنس علامة المساواة (=) على السطر الجديد:
تبين أن الإجابة عبارة عن كسر عادي، ويبدو أن كل شيء يناسبنا، لكنه مرهق وقبيح للغاية. ينبغي لنا أن نجعل الأمر أسهل. ما الذي يمكن عمله؟ يمكنك تقصير هذا الكسر.
لتبسيط الكسر، عليك قسمة بسطه ومقامه على (GCD) للرقمين 20 و30.
لذلك نجد gcd للأرقام 20 و 30:
نعود الآن إلى مثالنا ونقسم بسط ومقام الكسر على gcd الموجود، أي على 10
لقد تلقينا إجابة
ضرب الكسر بعدد
لضرب كسر في رقم، عليك ضرب بسط الكسر في هذا الرقم وترك المقام كما هو.
مثال 1. ضرب الكسر بالرقم 1.
اضرب بسط الكسر بالرقم 1
يمكن فهم التسجيل على أنه يستغرق نصف مرة واحدة. على سبيل المثال، إذا تناولت البيتزا مرة واحدة، فستحصل على البيتزا
نعلم من قوانين الضرب أنه إذا تم تبديل المضاعف والعامل، فلن يتغير الناتج. إذا تم كتابة التعبير كـ، فسيظل المنتج مساويًا لـ . مرة أخرى، تعمل قاعدة ضرب عدد صحيح وكسر:
يمكن فهم هذا الترميز على أنه أخذ نصف واحد. على سبيل المثال، إذا كان هناك بيتزا واحدة كاملة وأخذنا نصفها، فسيكون لدينا بيتزا:
مثال 2. أوجد قيمة التعبير
اضرب بسط الكسر في 4
وكانت الإجابة كسرًا غير لائق. دعونا نسلط الضوء على الجزء كله منه:
يمكن فهم التعبير على أنه أخذ ربعين 4 مرات. على سبيل المثال، إذا أخذت 4 بيتزا، فستحصل على بيتزا كاملة
وإذا قمنا بتبديل المضاعف والمضاعف نحصل على التعبير. سيكون أيضًا مساوٍ لـ 2. يمكن فهم هذا التعبير على أنه أخذ قطعتي بيتزا من أربع فطائر بيتزا كاملة:
ضرب الكسور
لضرب الكسور، عليك أن تضرب بسطها ومقامها. إذا تبين أن الإجابة عبارة عن كسر غير حقيقي، فأنت بحاجة إلى تحديد الجزء بأكمله منه.
مثال 1.أوجد قيمة التعبير.
لقد تلقينا إجابة. من المستحسن تقليل جزء معين. يمكن تقليل الكسر بمقدار 2. ثم القرار النهائيسوف تأخذ الشكل التالي :
يمكن فهم التعبير على أنه أخذ بيتزا من نصف بيتزا. لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:
فكيف تأخذ الثلثين من هذا النصف؟ تحتاج أولاً إلى تقسيم هذا النصف إلى ثلاثة أجزاء متساوية:
وخذ قطعتين من هذه القطع الثلاثة:
سنصنع البيتزا. تذكر كيف تبدو البيتزا عند تقسيمها إلى ثلاثة أجزاء:
قطعة واحدة من هذه البيتزا والقطعتين اللتين أخذناهما سيكون لهما نفس الأبعاد:
بعبارة أخرى، نحن نتحدث عنهنفس حجم البيتزا تقريبا وبالتالي فإن قيمة التعبير هي
مثال 2. أوجد قيمة التعبير
اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني، ومقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:
وكانت الإجابة كسرًا غير لائق. دعونا نسلط الضوء على الجزء كله منه:
مثال 3.أوجد قيمة التعبير
اضرب بسط الكسر الأول في بسط الكسر الثاني، ومقام الكسر الأول في مقام الكسر الثاني:
اتضح أن الإجابة عبارة عن كسر عادي، ولكن سيكون من الجيد تقصيرها. لتقليل هذا الكسر، تحتاج إلى تقسيم البسط والمقام لهذا الكسر على الأكبر القاسم المشترك(GCD) أرقام 105 و 450.
لذلك، دعونا نجد gcd للأرقام 105 و 450:
الآن نقسم البسط والمقام لإجابتنا على gcd الذي وجدناه الآن، أي على 15
تمثيل العدد الصحيح على شكل كسر
يمكن تمثيل أي عدد صحيح على شكل كسر. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الرقم 5 كـ . وهذا لن يغير معنى خمسة، لأن اللفظ يعني "العدد خمسة على واحد"، وهذا كما نعلم يساوي خمسة:
أرقام متبادلة
الآن سوف نتعرف على جدا موضوع مثير للاهتمامفي الرياضيات. يطلق عليه "الأرقام العكسية".
تعريف. عكس إلى الرقمأ هو الرقم الذي، عندما ضربأ يعطي واحدة.
دعونا نستبدل في هذا التعريف بدلا من المتغير أرقم 5 وحاول قراءة التعريف:
عكس إلى الرقم 5 هو الرقم الذي، عندما ضرب 5 يعطي واحدة.
هل من الممكن العثور على رقم إذا ضرب في 5 يعطي واحدا؟ اتضح أن هذا ممكن. دعونا نتخيل خمسة ككسر:
ثم اضرب هذا الكسر في نفسه، فقط قم بتبديل البسط والمقام. بمعنى آخر، دعونا نضرب الكسر في نفسه، فقط بالمقلوب:
ماذا سيحدث نتيجة لهذا؟ إذا واصلنا حل هذا المثال، نحصل على واحد:
هذا يعني أن معكوس الرقم 5 هو الرقم، لأنك عندما تضرب 5 في تحصل على واحد.
يمكن أيضًا العثور على مقلوب أي رقم لأي عدد صحيح آخر.
يمكنك أيضًا إيجاد مقلوب أي كسر آخر. للقيام بذلك، فقط اقلبها.
قسمة الكسر على عدد
لنفترض أن لدينا نصف بيتزا:
دعونا نقسمها بالتساوي بين اثنين. ما هي كمية البيتزا التي سيحصل عليها كل شخص؟
ويمكن ملاحظة أنه بعد تقسيم نصف البيتزا، تم الحصول على قطعتين متساويتين، كل منهما تشكل بيتزا. حتى يحصل الجميع على البيتزا.
يتم تقسيم الكسور باستخدام المقلوب. أرقام متبادلةتسمح لك باستبدال القسمة بالضرب.
لقسمة كسر على رقم، عليك ضرب الكسر في معكوس المقسوم عليه.
باستخدام هذه القاعدة، سنكتب تقسيم نصف البيتزا إلى قسمين.
لذلك، تحتاج إلى تقسيم الكسر على الرقم 2. هنا المقسوم هو الكسر والمقسوم عليه هو الرقم 2.
لتقسيم الكسر على الرقم 2، عليك ضرب هذا الكسر بمقلوب المقسوم عليه 2. ومقلوب المقسوم عليه 2 هو الكسر. لذلك عليك أن تتضاعف
القسم الأول: الأعداد الطبيعية والإجراءات بها. الأشكال الهندسية والكميات
§ 15. أمثلة ومسائل لجميع العمليات على الأعداد الطبيعية
عند حساب قيم التعبيرات الرقمية، يجب ألا تنسى ترتيب الإجراءات.
يتم تحديد ترتيب الإجراءات وفقًا للقواعد التالية:
1. في التعبيرات التي بين قوسين، يتم تقييم قيم التعبيرات الموجودة بين قوسين أولاً.
2. في العبارات التي لا تحتوي على أقواس، يتم إجراء الأس أولاً، ثم الضرب والقسمة، بالترتيب من اليسار إلى اليمين، ثم الجمع والطرح.
مثال 1. احسب: 8 ∙ (27 + 13) - 144: 2.
الحلول.
1) 27 + 13 = 40;
2) 8 ∙ 40 = 320;
3) 144: 2 = 72;
4) 320 - 72 = 248.
مثال 2. أوجد قيمة التعبير (x2 - y: 13) ∙ 145، إذا كانت x = 12، y = 91.
الحلول. إذا كانت x = 12، y = 91، إذن (x2 - y: 13) ∙ 145 = (122 - 91: 13) ∙ 145 = (144 - 7) ∙ 145 = 137 ∙ 145 = 19,865.
يمكن استخدام خصائص الإجراء عند الاقتضاء. على سبيل المثال، يمكن حساب قيمة التعبير 438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 كما يلي:
438 ∙ 39 - 338 ∙ 39 = (438 - 338) ∙ 39 = 100 ∙ 39 = 3900.
ما هي القواعد المستخدمة لتحديد ترتيب الإجراءات عند حساب التعبيرات الرقمية؟
مستوى الدخول
522. العد (شفهيا):
1) 42 + 38 - 7; 2) 24 ∙ 10: 2;
3) 27 - 30: 5; 4) 42: 6 + 35: 7;
5) 8 (23 - 19); 6) (12 + 18) : (12 - 7).
المستوى المتوسط
523. احسب:
1) 426 ∙ 205 - 57 816: 72;
2) (362 195 + 86 309) : 56;
3) 2001: 69 + 58 884: 84;
4) 42 275: (7005 - 6910).
524. احسب:
1) 535 ∙ 207 - 32 832: 76;
2) 1088: 68 + 57 442: 77;
3) (158 992 + 38 894) : 39;
4) 249 747: (4905 - 1896).
525. في 5 ساعات، قطعت السفينة مسافة 175 كيلومترًا، وقطع القطار 315 كيلومترًا في 3 ساعات. كم مرة تكون سرعة القطار أكبر من سرعة السفينة؟
526. في خمس ساعات، قطع قطار شحن مسافة 280 كيلومترًا، وسافر قطار سريع مسافة 255 كيلومترًا في ثلاث ساعات. ما مدى سرعة القطار السريع مقارنة بقطار الشحن؟
527. ابحث عن معنى التعبير:
1) 78 ∙ س + 3217، إذا كان س = 52؛
2) أ: 36 + أ: 39، إذا كان أ = 468؛
3) س ∙ 37 - ج: 25، إذا كانت س = 15، ص = 2525.
528. ابحث عن معنى التعبير:
1) 17392 + 15300: و إذاأ = 25، 36؛
2) م ∙ 155 - ر ∙ 113، إذا م = 17، ر = 22.
529. لـ 5 أقلام و 3 دفاتر عامةمدفوع
16 غريفنا 70 كوبيل ما هي تكلفة الكمبيوتر المحمول إذا كان القلم يكلف 2 غريفنا؟ 50 كوبيل؟
530. ثلاثة صناديق من التفاح وصندوقين من الموز تزن معًا 144 كجم. كم يبلغ وزن علبة التفاح إذا كان وزن علبة الموز 24 كجم؟
531. جمع الأخ الأكبر 12 سلة من الكرز، وجمع الأخ الأصغر 9 سلال. في المجموع قاموا بجمع 105 كجم من الكرز. ما عدد كيلوغرامات الكرز التي قطفها كل أخ إذا كانت جميع السلال ذات وزن واحد؟
532. تم تسليم 27 حزمة من دفاتر الملاحظات المربعة و25 حزمة من دفاتر الملاحظات المبطنة إلى المتجر - إجمالي 2600 قطعة. كم عدد الدفاتر التي تم إحضارها في القفص، وكم عدد الدفاتر الموجودة في الصف، إذا كان هناك نفس العدد من الدفاتر في جميع العبوات؟
533. تنتج إحدى الآلات التي يتم التحكم فيها بواسطة الكمبيوتر 12 جزءًا في الدقيقة، بينما تنتج الآلة الثانية 3 أجزاء إضافية. في كم دقيقة سينتج كلا الجهازين، عند تشغيلهما في الوقت نفسه، 945 قطعة؟
المستوى الكافي
534. تم جمع 830 كجم من التفاح. من هؤلاءأ أعطيت كيلوغراما ل روضة أطفالوتم تقسيم ما بقي بالتساوي إلى 30 قفة. كم كيلو جرامًا كان في كل سلة؟ المستودعات التعبير الحرفيواحسب قيمته إذاأ = 110.
535. احسب بطريقة مريحة:
1) 742 + 39 + 58; 2) 973 + 115 - 273;
3) 832 - 15 - 32; 4) 2 ∙ 115 ∙ 50;
5) 29 ∙ 19 + 71 ∙ 19; 6) 192 ∙ 37 – 92 ∙ 37.
536. خطط ورشة إصلاح أجهزة التلفزيون لإصلاح 180 جهاز تلفزيون في 12 يومًا، لكنه كان يقوم كل يوم بإصلاح 3 أجهزة تلفزيون أكثر مما كان مخططًا له. في كم يوم تم إنجاز المهمة؟
538. ابحث عن معنى التعبير:
1) (21 000 - 308 ∙ 29) : 4 + 14 147: 47;
2) 548 ∙ 307 - 8904: (33 ∙ 507 - 16 647);
3) (562 + 1833: 47) ∙ 56 - 46 ∙ 305;
4) 1789 ∙ (1677: 43 - 888: 24)∙500.
539. ابحث عن معنى التعبير:
1) (42 + 9095: 85) ∙ (7344: 36 - 154);
2) 637 ∙ 408 - 54 036: (44 ∙ 209 - 9117);
3) (830 - 17 466: 82) ∙ 65 + 57 ∙ 804;
4) 197 ∙ (588: 49 + 728: 56) ∙ 40.
تم تسليم 540.1506 كجم من الزبدة لثلاثة مخازن. بعد أن باع المتجر الأول 152 كجم، والثاني - 183 كجم، والثالث - 211 كجم، بقي لدى جميع المتاجر نفس الكمية من الزبدة. كم كيلو جرامًا من الزبدة تم إحضارها إلى كل متجر؟
541. من المدينتين أ و ب ، المسافة بينهما 110 كم، ركب راكبان دراجتان باتجاه بعضهما البعض في نفس الوقت. سرعة أحدهما 15 كم/ساعة والآخر أقل 3 كم/ساعة. هل سيجتمع راكبو الدراجات خلال 4 ساعات؟
542. عمل طلاب المدارس الثانوية إيفان وفاسيلي في المزرعة في الصيف. عمل إيفان 4 ساعات يوميًا لمدة 16 يومًا، وعمل فاسيلي 3 ساعات يوميًا لمدة 18 يومًا. حصل الرجال معًا على 944 غريفنا. اطرح أسئلة ذكية وأجب عنها.
543. عاملان، أحدهما عمل 12 يومًا، 8 ساعات يوميًا، والآخر - 8 أيام، 7 ساعات يوميًا، أنتجا معًا 1368 قطعة. أوجد إنتاجية العمل للعمال إذا كانت لديهم نفس الإنتاجية. كم عدد الأجزاء التي صنعها كل عامل؟
544. تكوين وحل مسألة تنطوي على العمليات الأربع ذات الأعداد الطبيعية.
مستوى عال
545. أوجد جذور المعادلات:
1) س - س = س ∙ س؛ 2) م: م = م ∙ م.
546. أوجد جذور المعادلات:
1) س: 8 = س ∙ 4؛ 2) ص: 9 = في: 11.
547. ما هو الرقم الذي يجب ضربه في 259 259 للحصول على منتج مكتوب بالأرقام 7 فقط؟
548. ما هو الرقم الذي يجب ضربه في 37037 للحصول على منتج مكتوب فقط بالأرقام 3؟
تمارين للتكرار
549. حل المعادلات:
1) 4س - 2س + 7 = 19؛ 2) 8س + 3س - 5 = 39.
550. للوصول إلى المدينة، سافر فلاح لمدة 3 ساعات بالحافلة التي تبلغ سرعتها كم/ساعة، وساعتين بالشاحنة التي تبلغ سرعتهاب كم/ساعة قطع رحلة العودة في 4 ساعات على دراجة نارية. أوجد سرعة الدراجة النارية. اكتب التعبير الحرفي واحسب قيمته إذا كان a = 40،ب = 32.
وعند حساب قيم التعبيرات، يتم تنفيذ الإجراءات بترتيب معين، بمعنى آخر، يجب مراعاته ترتيب الإجراءات.
في هذه المقالة سوف نتعرف على الإجراءات التي يجب تنفيذها أولاً، وأي الإجراءات بعدها. لنبدأ بالأكثر حالات بسيطة، عندما يحتوي التعبير فقط على أرقام أو متغيرات متصلة بعلامات الجمع والطرح والضرب والقسمة. بعد ذلك، سنشرح ترتيب الإجراءات الذي يجب اتباعه في التعبيرات التي بين قوسين. أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات في التعبيرات التي تحتوي على القوى والجذور والدوال الأخرى.
التنقل في الصفحة.
أولًا الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح
توفر المدرسة ما يلي قاعدة تحدد الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات في التعبيرات التي لا تحتوي على أقواس:
- يتم تنفيذ الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين ،
- علاوة على ذلك، يتم إجراء الضرب والقسمة أولاً، ومن ثم الجمع والطرح.
يُنظر إلى القاعدة المعلنة بشكل طبيعي تمامًا. يتم تفسير تنفيذ الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين من خلال حقيقة أنه من المعتاد بالنسبة لنا الاحتفاظ بالسجلات من اليسار إلى اليمين. وحقيقة أن الضرب والقسمة يتمان قبل الجمع والطرح يفسرها المعنى الذي تحمله هذه الأفعال.
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لكيفية تطبيق هذه القاعدة. على سبيل المثال سنأخذ أبسط التعبيرات الرقمية، حتى لا تشتت انتباهك بالحسابات، بل تركز بشكل خاص على ترتيب الإجراءات.
مثال.
اتبع الخطوات 7−3+6.
حل.
التعبير الأصلي لا يحتوي على أقواس، ولا يحتوي على ضرب أو قسمة. لذلك، يجب علينا تنفيذ جميع الإجراءات بالترتيب من اليسار إلى اليمين، أي أننا أولاً نطرح 3 من 7، نحصل على 4، وبعد ذلك نضيف 6 إلى الفرق الناتج وهو 4، نحصل على 10.
باختصار، يمكن كتابة الحل على النحو التالي: 7−3+6=4+6=10.
إجابة:
7−3+6=10 .
مثال.
وضح ترتيب الإجراءات في التعبير ٦:٢·٨:٣.
حل.
للإجابة على سؤال المشكلة، دعنا ننتقل إلى القاعدة التي تشير إلى ترتيب تنفيذ الإجراءات في التعبيرات التي لا تحتوي على أقواس. يحتوي التعبير الأصلي فقط على عمليات الضرب والقسمة، وبحسب القاعدة يجب إجراؤها بالترتيب من اليسار إلى اليمين.
إجابة:
في البداية نقسم 6 على 2، ونضرب هذا الناتج في 8، وفي النهاية نقسم النتيجة على 3.
مثال.
احسب قيمة التعبير 17−5·6:3−2+4:2.
حل.
أولاً، دعونا نحدد الترتيب الذي يجب تنفيذ الإجراءات في التعبير الأصلي. أنه يحتوي على كل من الضرب والقسمة والجمع والطرح. أولاً، من اليسار إلى اليمين، عليك إجراء الضرب والقسمة. لذلك نضرب 5 في 6، نحصل على 30، ونقسم هذا الرقم على 3، نحصل على 10. الآن نقسم 4 على 2، نحصل على 2. نستبدل القيمة التي تم العثور عليها 10 في التعبير الأصلي بدلاً من 5·6:3، وبدلاً من 4:2 - القيمة 2، لدينا 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.
لم يعد التعبير الناتج يحتوي على الضرب والقسمة، لذلك يبقى تنفيذ الإجراءات المتبقية بالترتيب من اليسار إلى اليمين: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .
إجابة:
17−5·6:3−2+4:2=7.
في البداية، من أجل عدم الخلط بين الترتيب الذي يتم تنفيذ الإجراءات عند حساب قيمة التعبير، من المناسب وضع أرقام فوق علامات الإجراء التي تتوافق مع الترتيب الذي يتم تنفيذه به. بالنسبة للمثال السابق سيبدو هكذا: .
يجب اتباع نفس ترتيب العمليات - أولًا الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح - عند التعامل مع تعبيرات الحروف.
إجراءات المرحلتين الأولى والثانية
يوجد تقسيم في بعض كتب الرياضيات المدرسية العمليات الحسابيةلأعمال المرحلتين الأولى والثانية. دعونا معرفة ذلك.
تعريف.
أعمال المرحلة الأولىتسمى الجمع والطرح، وتسمى الضرب والقسمة إجراءات المرحلة الثانية.
وفي هذه الشروط القاعدة من الفقرة السابقة، الذي يحدد الترتيب الذي يتم به تنفيذ الإجراءات، سيتم كتابته على النحو التالي: إذا كان التعبير لا يحتوي على أقواس، فبالترتيب من اليسار إلى اليمين، يتم تنفيذ إجراءات المرحلة الثانية (الضرب والقسمة) أولاً، ثم أعمال المرحلة الأولى (الجمع والطرح).
ترتيب العمليات الحسابية في التعبيرات بين قوسين
غالبًا ما تحتوي التعبيرات على أقواس للإشارة إلى الترتيب الذي يجب تنفيذ الإجراءات به. في هذه الحالة قاعدة تحدد ترتيب تنفيذ الإجراءات في التعبيرات بين قوسين، يتم صياغتها على النحو التالي: أولاً، يتم تنفيذ الإجراءات الموجودة بين القوسين، في حين يتم تنفيذ الضرب والقسمة أيضًا بالترتيب من اليسار إلى اليمين، ثم الجمع والطرح.
لذا فإن التعبيرات الموجودة بين القوسين تعتبر مكونات للتعبير الأصلي، وهي تحتفظ بترتيب الأفعال المعروف لدينا بالفعل. دعونا نلقي نظرة على حلول الأمثلة لمزيد من الوضوح.
مثال.
اتبع هذه الخطوات 5+(7−2·3)·(6−4):2.
حل.
يحتوي التعبير على أقواس، لذا فلنقم أولاً بتنفيذ الإجراءات الموجودة في التعبيرات الموجودة بين هذه الأقواس. لنبدأ بالتعبير 7−2·3. يجب عليك فيها إجراء الضرب أولاً، وبعدها فقط الطرح، لدينا 7−2·3=7−6=1. دعنا ننتقل إلى التعبير الثاني بين قوسين 6−4. هناك إجراء واحد فقط هنا - الطرح، نقوم به 6−4 = 2.
نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. في التعبير الناتج، نقوم أولاً بإجراء الضرب والقسمة من اليسار إلى اليمين، ثم الطرح، فنحصل على 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6. عند هذه النقطة، تكون جميع الإجراءات قد اكتملت، والتزمنا بالترتيب التالي لتنفيذها: 5+(7−2·3)·(6−4):2.
دعونا نكتبها حل قصير: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.
إجابة:
5+(7−2·3)·(6−4):2=6.
يحدث أن يحتوي التعبير على أقواس داخل قوسين. ليست هناك حاجة للخوف من هذا؛ ما عليك سوى تطبيق القاعدة المذكورة باستمرار لتنفيذ الإجراءات في التعبيرات ذات الأقواس. دعونا نعرض حل المثال.
مثال.
قم بإجراء العمليات في التعبير 4+(3+1+4·(2+3)) .
حل.
هذا تعبير بين قوسين، مما يعني أن تنفيذ الإجراءات يجب أن يبدأ بالتعبير الموجود بين قوسين، أي بـ 3+1+4·(2+3) . يحتوي هذا التعبير أيضًا على أقواس، لذا يجب عليك تنفيذ الإجراءات الموجودة فيها أولاً. لنفعل هذا: 2+3=5. بالتعويض بالقيمة التي وجدناها، نحصل على 3+1+4·5. في هذا التعبير، نقوم أولًا بعملية الضرب، ثم الجمع، لدينا 3+1+4·5=3+1+20=24. القيمة الأولية، بعد استبدال هذه القيمة، تأخذ النموذج 4+24، وكل ما تبقى هو إكمال الإجراءات: 4+24=28.
إجابة:
4+(3+1+4·(2+3))=28.
بشكل عام، عندما يحتوي التعبير على أقواس داخل أقواس، يكون من المناسب غالبًا تنفيذ إجراءات بدءًا من الأقواس الداخلية والانتقال إلى الأقواس الخارجية.
على سبيل المثال، لنفترض أننا بحاجة إلى تنفيذ الإجراءات في التعبير (4+(4+(4−6:2))−1)−1. أولاً، نقوم بتنفيذ الإجراءات الموجودة بين الأقواس الداخلية، حيث أن 4−6:2=4−3=1، ثم بعد ذلك سيأخذ التعبير الأصلي الشكل (4+(4+1)−1)−1. ننفذ الإجراء مرة أخرى بين الأقواس الداخلية، بما أن 4+1=5، نصل إلى التعبير التالي (4+5−1)−1. مرة أخرى نقوم بتنفيذ الإجراءات بين قوسين: 4+5−1=8، ونصل إلى الفرق 8−1، وهو ما يساوي 7.
113. 1) يوجد 84 كتابًا على رفين (الشكل 6)؛ إذا قمت بإزالة 12 كتابًا من رف واحد، فسيكون هناك عدد متساوٍ من الكتب على كلا الرفين. كم عدد الكتب التي كانت على كل رف؟
2) (شفهياً) مساحة الأرض 1800 متر مربع. م مقسمة بين مطورين بحيث حصل أحدهما على 100 متر مربع. م أقل من الآخر. تحديد مقدار الأرض التي حصل عليها كل مطور.
114. 1) أحد الأرقام أكبر من الآخر بـ 113 ومجموعهما 337. أوجد هذه الأرقام.
2) أحد الرقمين أقل من الآخر بـ 244 ومجموعهما 566. أوجد هذه الأرقام.
115. 1) مجموع رقمين هو 987 والفرق بينهما 333. أوجد هذه الأرقام.
2) عند جمع رقمين كانت النتيجة 824، وعند طرح الرقم الأصغر من الرقم الأكبر كانت النتيجة 198. أوجد هذه الأرقام.
باستخدام مثال المشكلة 113، قم بتصوير ظروف المشكلات بيانيًا 116 و 117 وحلها شفويا.
116. 1) يوجد 80 كتابًا على الرف الأول، و100 كتابًا على الرف الآخر، ما عدد الكتب التي يجب نقلها من الرف الثاني إلى الأول حتى تكون الأعداد متساوية على الرفين؟
2) فتاة واحدة لديها 90 حبة جوز، والأخرى لديها 60 حبة. ما عدد المكسرات التي يجب أن تعطيها الفتاة الأولى للثانية بحيث يكون لهما نفس العدد من المكسرات؟
117. 1) ولدان لديهما 300 علامة؛ إذا أعطى أحدهما للآخر 30 درجة، فسيحصل كلا الصبيان على نفس القدر من العلامات. كم عدد الطوابع التي يملكها كل ولد؟
2) ذهب 86 رائداً إلى المعسكر على متن حافلتين. بعد الصعود، كان علينا نقل شخصين من الحافلة الأولى إلى الثانية بحيث يكون عدد الركاب متساويًا في كل حافلة. كم عدد الأشخاص الذين كانوا في كل حافلة في البداية؟
118. 1) ما هو الوقت الآن إذا كان الجزء المنقضي من اليوم هو 3 ساعات و 30 دقيقة. أكثر من الباقي؟
2) ما هو الوقت الآن إذا كان الجزء الماضي من اليوم هو الساعة السادسة. 20 دقيقة. أقل من الباقي؟
119. 1) انطلقت سيارتان في وقت واحد باتجاه بعضهما البعض من مكانين المسافة بينهما 400 كيلومتر، والتقيتا بعد 4 ساعات. أوجد سرعة كل سيارة إذا كانت إحداهما تسير بسرعة أسرع من الأخرى بمقدار 12 كيلومترًا في الساعة.
2) قامت مركبتان بنقل 21 طناً من البضائع، بواقع 6 رحلات لكل منهما. تحديد القدرة الاستيعابية لكل مركبة إذا كانت الأولى تنقل 500 كجم أقل من الثانية في كل مرة.
120. 1) أثناء تحركه بقارب كاياك على طول مجرى النهر، قطع الرياضي مسافة 13 كيلومترًا 200 متر في ساعة واحدة، وفي عكس مجرى النهر قطع مسافة 8 كيلومترات 800 متر فقط في ساعة واحدة قوارب الكاياك في المياه الساكنة. (ارسم بيانيا.)
2) خرج اثنان من المتزلجين على مسافة 6 كيلومترات و 700 متر من بعضهما البعض في وقت واحد تجاه بعضهما البعض وبعد 20 دقيقة. التقى. عندما خرجوا في اتجاه واحد، ثم بعد 20 دقيقة. المتزلج الثاني يقع على مسافة 300 متر من الأول.
121. 1) قطعتين أرض متجاورتين شكل مستطيللهما نفس العرض 72 م، ومجموع أطوال القسمين 240 م، مساحة القسم الأول 28 و80 متراً مربعاً. م المزيد من المساحةثانية. ما هي مساحة كل قطعة أرض؟
2) قطعتان متجاورتان مستطيلتان لهما نفس العرض 56 م، ومجموع مساحات هذه القطعتين 140 أ. أوجد مساحة كل قطعة إذا كان طول إحداهما أكبر من طول الأخرى بـ 70 م.
122. 1) في لينينغراد يوم الانقلاب الصيفي (22 يونيو) الساعة 13:00. 40 دقيقة. أطول من الليل . حدد لحظة غروب الشمس إذا شروقت في هذا اليوم بساعتين و37 دقيقة.
2) في موسكو يوم الانقلاب الشتوي (23 ديسمبر) الساعة 10 صباحًا. أقصر من الليل . تحديد لحظة شروق الشمس إذا كانت تغرب الساعة 15:00. 58 دقيقة.
123. 1) في القرية العمالية تم بناء 1648 متراً مربعاً في ثلاث سنوات. م من مساحة المعيشة. وفي السنة الثانية تم بناء 136 مترا مربعا. م أكثر مما كانت عليه في الأول، وفي السنة الثالثة تم بناؤه بقدر ما تم بناؤه في العامين الأولين معًا. كم عدد متر مربعتم بناء مساحة المعيشة في كل عام؟
2) حرثت مزرعة الدولة في ثلاث سنوات 4850 هكتارًا من الأراضي البكر. في السنة الثانية، تم حرث 225 هكتارًا أكثر مما كانت عليه في السنة الأولى، وفي السنة الثالثة بقدر ما تم حرثه في السنتين الأولى والثانية معًا. ما هو عدد الهكتارات من الأراضي البكر التي يتم حرثها كل عام؟
124. 1) قطعت مجموعة من أطفال المدارس مسافة 228 كيلومتراً بالدراجات في ثلاثة أيام. وفي اليوم الثاني قطعوا نفس المسافة التي قطعوها في اليوم الأول، وفي اليوم الثالث قطعوا مسافة تزيد بمقدار 12 كيلومترًا عن اليوم الثاني. ما هي المسافة التي يقطعها تلاميذ المدارس كل يوم؟ أوجد سرعة حركتهم في كل يوم، إذا كانوا على الطريق لمدة 9 ساعات في اليوم الأول، و8 ساعات في اليوم الثاني. وفي الثالثة - الساعة 7 صباحا.
2) تم إحضار البطاطس والبنجر والجزر إلى غرفة الطعام - بإجمالي 3 أطنان 360 كجم. كانت هناك كميات متساوية من الجزر والبنجر، وكان هناك طن 200 كجم من البطاطس أكثر من الجزر. كم عدد البطاطس والجزر والبنجر التي أحضرتها إلى غرفة الطعام؟ كم يومًا سيستغرق استهلاك البطاطس والجزر والبنجر إذا تم استهلاك 128 كجم من البطاطس و36 كجم من البنجر و24 كجم من الجزر يوميًا؟
125. 1) جمعت ثلاث مدارس ما مجموعه 37 طناً 690 كجم من الحديد الخردة. جمعت المدرسة الأولى 1 طن 80 كجم أكثر من الثانية و 3 طن 920 كجم أكثر من الثالثة. ما هو مقدار الأموال التي ستحصل عليها كل مدرسة مقابل الخردة إذا تم تحديد متوسط السعر بـ 8 روبل. لمدة 1 ر؟
2) قامت ثلاث مفارز رائدة بجمع 5 طن 380 كجم من نفايات الورق. جمعت المفرزة الأولى أقل بـ 960 كجم من الثالثة، وجمعت المفرزة الثانية أقل بـ 530 كجم من الثالثة. ما هي كمية النفايات الورقية التي جمعتها كل فرقة إذا كان طن واحد منها يكلف 20 روبل؟
126. 1) علبتان تحتويان معًا على 270 دفترًا (شكل 7). كم عدد الدفاتر الموجودة في كل علبة إذا علمت أن إحداها تحتوي على 4 مرات أكثر من الأخرى؟
انظر إلى الصورة واستخدمها لحل المشكلة.
2) يتم ترتيب الكتب على ثلاثة أرفف بحيث يكون عدد الكتب في الرف الثاني ضعف عدد الكتب الموجودة في الأول، وفي الثالث ثلاثة أضعاف عدد الكتب الموجودة في الثاني. حدد عدد الكتب الموجودة على كل رف إذا علمت أن هناك 171 كتابًا على الرفوف الثلاثة. (ارسم حالة المشكلة بيانياً باتباع مثال المشكلة السابقة.)
127. 1) اللوحة ذات الإطار تكلف 19 روبل. 80 كوبيل، واللوحة أغلى بعشر مرات من الإطار. كم تكلفة اللوحة وكم تكلفة الإطار؟
2) الزجاج مع حامل زجاجي يكلف 2 روبل. 52 كوبيل، والزجاج أرخص 6 مرات من حامل الزجاج. كم تكلفة الزجاج وكم تكلفة السفينة؟
128. 1) أحد الحدين أكبر بـ 7 مرات من الآخر، ومجموعهما 144. أوجد كل حد.
2) مجموع رقمين هو 729 والحد الأول أقل من الثاني بـ 8 مرات. ابحث عن كل مصطلح.
129. 1) الطرح أكبر بأربع مرات من المطروح، والفرق هو 12,738.
2) المطروح أقل من المطروح بست مرات، والفرق هو 10,385.
130. 1) ما هو الوقت الآن إذا كان الجزء الماضي من اليوم أقل بثلاث مرات من الجزء المتبقي؟
2) ما هو الوقت الآن إذا كان الجزء المتبقي من اليوم أقل مرتين من الماضي؟
131. 1) أثناء قيامهم برحلة سيرًا على الأقدام لمسافة 100 كيلومتر، توقف الرواد بشكل كبير. بعد الاستراحة، مشوا مسافة 10 كيلومترات أخرى، وبعد ذلك كان عليهم أن يقطعوا مسافة 3 مرات أكثر مما قطعوه. على أي مسافة من بداية الرحلة تم التوقف الكبير؟
2) كان هناك 180 لتراً من الماء في البرميل. في البداية، قامت الفتيات بسقي الطماطم، ثم أنفقن 60 لترًا على سقي الخيار، وبعد ذلك كانت المياه المتبقية لبقية الخضروات أقل بثلاث مرات مما يتطلبه سقي الطماطم والخيار. ما هي كمية الماء اللازمة لسقي الطماطم؟
132. 1) رمى اللاعب الرمح 5 مرات، أو 48 مترًا، لمسافة أبعد مما دفع قذيفة المدفع. كم مترا طار الرمح وكم مترا طارت قذيفة المدفع؟ (ارسم حالة المشكلة بيانيا.)
2) تبين أن الوثب الطويل للرياضي يزيد بمقدار 450 سم أي 4 مرات عن الوثب العالي. تحديد حجم القفزات الطويلة والعالية.
133. 1) عرض القطعة المستطيلة التي يشغلها بستان المدرسة يقل عن طولها بـ 120م. قام تلاميذ المدارس بتطهير الأراضي القاحلة المجاورة للحديقة. وبعد ذلك زاد طول وعرض الحديقة بمقدار 40م لكل منهما، وأصبح الطول ضعف العرض. كم عدد الأشجار المثمرة التي كانت موجودة في الحديقة من قبل وكم زرعت مرة أخرى، إذا تم تخصيص 50 مترًا مربعًا لكل شجرة؟ م؟
2) طول المنطقة المستطيلة المحاذية للمستنقع أكبر من العرض بـ 70 م. وبعد أعمال الصرف تم زيادة الطول والعرض بمقدار 20 م، ومن ثم أصبح طول الموقع ضعف العرض. ابحث عن المساحة السابقة لقطعة الأرض واكتشف مقدار الزيادة.
134. 1) على جانبي المحطة كان هناك قطاران لسيارتين متطابقتين. كان أحد القطارين يضم 12 سيارة أكثر من الآخر. عندما تم فصل 6 عربات من كل قطار، تبين أن طول أحد القطارين أطول بأربع مرات من طول الآخر. كم عدد العربات الموجودة في كل قطار؟ (ارسم حالة المشكلة بيانيا.)
2) قطعة من السلك أطول من الأخرى بـ 54 م. وبعد قطع 12 مترًا من كل قطعة، تبين أن القطعة الثانية أقصر بأربع مرات من الأولى. أوجد طول كل قطعة من الأسلاك.
135. 1) عند زيارة المعرض تم شراء 78 تذكرة للأطفال و16 تذكرة للكبار، وتم دفع 12 روبل لكل شيء. 60 كوبيل تحديد سعر التذاكر إذا كانت تذكرة الطفل أرخص بثلاث مرات من تذكرة الشخص البالغ.
2) توجد في مكتب النقد بالمتجر تذاكر ائتمان بقيمة خمسة روبل وعشرة روبل، بإجمالي 1050 روبل. ما هو عدد الأوراق النقدية من كلا الفئتين الموجودة في ماكينة تسجيل النقد إذا كان عدد الأوراق النقدية من فئة العشرة روبل ضعف عدد الأوراق النقدية من فئة خمسة روبل؟
136. 1) الحفار الأول يزيل 60 متر مكعب في الساعة. أرض أكثر من الثانية. وقام الحفاران بإزالة 10,320 مترًا مكعبًا معًا. م من الأرض، وعمل الأول لمدة 20 ساعة، والثاني لمدة 18 ساعة. كم عدد متر مكعبيخرج كل حفارة في الساعة؟
2) 8 كيلو جرام من المكسرات المقشرة تحتوي على نفس كمية الدهون الموجودة في 6 كيلو جرام من الزبدة، و 1 كيلو جرام من الزبدة تحتوي على 200 جرام من الدهون أكثر من 1 كيلو جرام من المكسرات. ما هي كمية الدهون التي يحتوي عليها 1 كجم من الزبدة و 1 كجم من المكسرات؟
137 *. 1) ل رحلة سياحيةتم تنفيذه من قبل 46 من تلاميذ المدارس، وتم إعداد قوارب ذات ستة مقاعد وأربعة مقاعد. كم عدد هذه القوارب وغيرها كانت موجودة إذا تم إيواء جميع السياح في 10 قوارب و مقاعد مجانيةلا اليسار؟ (الشكل 8.)
2) في الورشة تم تصنيع 60 دفتراً من نوعين من 560 ورقة، بواقع 8 ورقات للدفاتر من نوع واحد، و12 ورقة للدفاتر من نوع آخر. كم عدد أجهزة الكمبيوتر المحمولة من كلا النوعين التي تم تصنيعها بشكل منفصل؟
138 *. 1) تم تقسيم حديقة جماعية بمساحة هكتارين ونصف إلى 70 قطعة بمساحة 250 متر مربع. م و 400 متر مربع. م. كم عدد هذه القطع وغيرها الموجودة في الحديقة الجماعية؟
2) (مشكلة صينية قديمة.) يوجد عدد غير معروف من طيور الدراج والأرانب في القفص. نحن نعلم فقط أن هناك 35 رأسًا و94 أرجلًا في القفص. معرفة عدد الدراجين وعدد الأرانب.
139 *. 1) باع مكتب التذاكر 400 تذكرة للعربات الناعمة والصلبة للسفر إلى نفس النقطة بسعر 10 روبل. 45 كوبيل و 7 فرك. 05 كوب. كم عدد هذه التذاكر وغيرها التي تم بيعها بشكل منفصل، إذا كانت جميع التذاكر الأربعمائة تكلف 3160 روبل؟
2) لدى أمين الصندوق 50 قطعة نقدية بقيمة 20 كوبيل لكل منها. و 15 كوبيل لكل منهما بإجمالي 9 روبل. حدد عدد العملات المعدنية من فئة 20 كوبيك التي كان يمتلكها أمين الصندوق. وكم لمدة 15 كوبيل.
140. 1) حساب القيم المفقودة للكميات المحددة:
2) يقطع أحد المشاة مسافة 4 كيلومترات في الساعة، ويقطع المتزلج مسافة 9 كيلومترات، ويقطع راكب الدراجة مسافة 12 كيلومترًا. إلى أي مدى يستطيع كل منهم المشي أو السفر خلال 4 ساعات؟ كم من الوقت سيستغرق كل منهم المشي أو القيادة لمسافة 180 كيلومترًا؟ (لا يؤخذ وقت الراحة في الاعتبار).
141. 1) مر قطار كهربائي مكون من تسع عربات أمام المراقب خلال 12 ثانية. ما سرعة القطار إذا كان طول كل عربة 16 مترًا؟
2) تؤدي الفجوة الموجودة في مفاصل القضبان إلى طرقع العجلات عندما يتحرك القطار. عدد الركاب 80 ضربة في الدقيقة الواحدة. ما سرعة القطار، معبرًا عنها بالكيلومترات في الساعة، إذا كان طول السكة 9 أمتار؟
142. 1) من طرفي نقيض من حلبة تزلج بطول 90 مترًا، يركض صبيان تجاه بعضهما البعض (الشكل 9، أ) بعد كم ثانية سيلتقيان إذا بدأا في الجري في نفس الوقت وإذا ركض الصبي الأول 9 م في الثانية والثانية 6 م؟
2) وفقًا لشروط المشكلة الأولى، اكتشف عدد الثواني التي سيستغرقها الصبي الأول ليتقدم على الثاني بمقدار 30 مترًا إذا ركضا في نفس الوقت من نفس المكان وفي نفس الاتجاه (الشكل 9، ب).
143. 1) لاحظ سائق قطار ركاب تبلغ سرعته 50 كيلومترًا في الساعة أن قطار شحن قادمًا يسير بسرعة 40 كيلومترًا في الساعة مر بجانبه خلال 10 ثوانٍ. تحديد طول قطار الشحن.
2) التقى راكبان من ركاب المترو، بدأا في نفس الوقت - أحدهما ينزل والآخر يصعد سلمًا متحركًا لمترو الأنفاق، بعد 30 ثانية. أوجد طول الجزء الخارجي من السلم إذا كانت سرعته ١ م في الثانية.
144. 1) أقلعت طائرتان في وقت واحد باتجاه بعضهما من مدينتين المسافة بينهما 2400 كيلومتر، والتقتا بعد 4 ساعات. أوجد سرعة الطائرة الثانية إذا كانت سرعة الأولى 350 كم في الساعة.
2) من رصيفين تبلغ المسافة بينهما 660 كم انطلقت باخرتان في وقت واحد باتجاه بعضهما البعض. سافرت الباخرة الأولى بمعدل 250 مترًا في الدقيقة. تحديد سرعة الباخرة الثانية إذا كانت بعد 8 ساعات. بعد بدء الحركة بقي 396 كم بين السفن.
145. 1) غادرت سيارتان موسكو وكالينين متجهتين إلى لينينغراد على نفس الطريق السريع في نفس الوقت. من موسكو - سيارات الركاب، ومن كالينين - البضائع. الشحن كان يتحرك من متوسط السرعة 40 كم في الساعة. تحديد سرعة سيارة الركاب إذا لحقت بالشاحنة بعد 8 ساعات، وكانت المسافة من موسكو إلى كالينين 168 كم.
اكتب الحل في صورة صيغة عددية.
2) من النقطتين أ و ب المسافة بينهما 8 كم غادر أحد المشاة في نفس الوقت وفي نفس الاتجاه بسرعة 5 كم في الساعة وغادرت الحافلة. تحديد سرعة الحافلة إذا كانت بعد 12 دقيقة. لقد لحق بالمشاة.
146. 1) الساعة الثامنة صباحاً. وفي الصباح انطلقت مجموعة من الرواد سيرا على الأقدام من المدينة إلى مزرعة الدولة لمسافة 4 كيلومترات (800 م) في الساعة، وفي الساعة 11 صباحا. وتبعتهم مجموعة من الرواد انطلقوا على دراجات هوائية بسرعة 12 كيلومترا في الساعة. حدد المسافة من المدينة إلى مزرعة الدولة إذا وصلت المجموعتان إلى مزرعة الدولة في نفس الوقت.
2) الساعة 9 صباحا. غادر قطار ركاب مدينة إلى أخرى بسرعة 40 كيلومترا في الساعة، وفي الساعة 11 صباحا. وخلفه جاء قطار سريع بسرعة 58 كيلومترا في الساعة. في أي وقت يجب أن يتوقف قطار الركاب للسماح للقطار السريع بالمرور، إذا كانت المسافة بين القطارات لا تقل عن 8 كيلومترات من أجل السلامة المرورية؟
147. 1) غادرت الحافلة النقطة A بسرعة 30 كم في الساعة وبعد 15 دقيقة. تم اللحاق بأحد المشاة الذي غادر النقطة B في نفس الوقت الذي غادرت فيه الحافلة النقطة A. كان المشاة يسير بسرعة 6 كم في الساعة. العثور على المسافة بين النقاط.
2) عند الظهر انطلقت الباخرة من الرصيف بسرعة 16 كم في الساعة. وبعد 3 ساعات، غادرت الباخرة من نفس الرصيف في نفس الاتجاه، أي بعد 12 ساعة. بعد المغادرة، لحقت بالباخرة الأولى. تحديد سرعة الباخرة الثانية،
148. 1) (مشكلة قديمة.) كلب يطارد أرنبًا على بعد 150 قدمًا. تقفز 9 أقدام في كل مرة يقفز فيها الأرنب 7 أقدام. كم عدد القفزات التي يجب على الكلب القيام بها للقبض على الأرنب؟
2) طارد الكلب ثعلبًا يقع على مسافة 120 مترًا منه، فكم من الوقت سيستغرق الكلب للحاق بالثعلب إذا كان الثعلب يركض بسرعة 320 مترًا في الدقيقة والكلب 350 مترًا؟
149. 1) عجلة محيطها 1 م 2 دسم تدور 900 مرة على مسافة معينة. كم مرة ستدور عجلة محيطها 8 dm على نفس المسافة؟ أكثر من الأول?
اكتب الحل في صورة صيغة عددية.
2) العجلة الأمامية على مسافة 720 م دارت 40 دورة أكثر من العجلة الخلفية. أوجد محيط العجلة الأمامية إذا كان محيط العجلة الخلفية 2 م.
150. 1) المسافة من المزرعة الجماعية إلى المحطة 6 كم، يسافر المشاة في ساعة، ويسافر راكب الدراجة في 30 دقيقة. على أي مسافة من المزرعة الجماعية وكم من الوقت بعد بدء الحركة سيلتقون إذا غادر راكب الدراجة المزرعة الجماعية وغادر أحد المشاة المحطة في نفس الوقت؟
2) غادر قطاران مدينتين في نفس الوقت باتجاه بعضهما البعض والتقيا بعد 18 ساعة. تحديد سرعات القطارات، علماً أن الفرق في سرعتها هو 10 كم في الساعة، والمسافة بين المدن 1620 كم.
151. 1) غادر قطاران في أوقات مختلفةتجاه بعضهما البعض من محطتين المسافة بينهما 794 كم. سار القطار الأول بسرعة 52 كيلومترًا في الساعة، والثاني بسرعة 42 كيلومترًا في الساعة. بعد أن قطع مسافة 416 كم، التقى القطار الأول بالثاني. كم ساعة غادر أحد القطارين قبل الآخر؟
2) غادر قطار المدينة A متجهاً نحو المدينة B بسرعة متوسطة 50 كيلومتراً في الساعة. في 12 ساعة. أقلعت طائرة من مطار المدينة نفسها، وحلقت في نفس الاتجاه بسرعة أكبر بـ 7 مرات من سرعة القطار، ولحقت بها في منتصف المسافة بالضبط من A إلى B. حدد المسافة من A إلى B .
152. يتحرك متزلجان سريعان على طول مسار رياضي دائري يبلغ طوله 720 مترًا. السرعة الأولى 10 م في الثانية، والثانية 8 م في الثانية. بدأوا التحرك في نفس الوقت ومن نفس المكان على المسار الرياضي. في أي فترات سيتفوق المتزلج الأول على الثاني إذا تحركا في نفس الاتجاه؟ في أي فترات زمنية سوف يجتمعون إذا انتقلوا؟ اتجاهات متعاكسة?
153. 1) تبدأ الدروس في المدرسة في الساعة 8 صباحا. 30 دقيقة. صباح. يستمر كل درس 45 دقيقة. التبديلات بين الدرسين الثاني والثالث وبين الدرسين الثالث والرابع مدتها 20 دقيقة لكل منهما، والباقي 10 دقائق لكل منهما. تحديد وقت البداية والنهاية لكل درس من الدروس الستة.
2) حل نفس المشكلة إذا بدأت الحصص الساعة 2 بعد الظهر.
154. 1) العام الدراسيفي المدارس يتم تقسيمها إلى أربعة أرباع: الربع الأول - من 1 سبتمبر إلى 6 نوفمبر شاملاً، الربع الثاني - من 9 نوفمبر إلى 29 ديسمبر، الربع الثالث - من 11 يناير إلى 24 مارس، الرابع - من 3 أبريل إلى 30 مايو. تحديد مدة كل ربع.
2) كم سنوات كاملة، مرت أشهر وأيام منذ ولادتك؟
155. 1) السوفييتي الأول قمر صناعيتم إطلاق الأرض في 4 أكتوبر 1957 وتوقفت عن الوجود في 3 يناير 1958. ما المدة التي استغرقها أول قمر صناعي سوفيتي للأرض في الطيران؟
2) تم إطلاق القمر الصناعي السوفييتي الاصطناعي الثاني للأرض في 3 نوفمبر 1957، وتوقف عن الوجود في 14 أبريل 1958. ما المدة التي استغرقها القمر الصناعي السوفييتي الاصطناعي الثاني للأرض في الرحلة؟
156. 1) في 7 مايو 1895، أظهر أ.س. بوبوف أول جهاز استقبال لاسلكي في العالم، قبل 332 عامًا و8 أيام، بدأ إيفان فيدوروف في طباعة الكتب الأولى في روسيا. متى بدأ إيفان فيدوروف في نشر الكتب؟
2) أولا رحلة حول العالم، والتي نفذها البحارة الروس كروزنشتيرن وليسيانسكي، بدأت في 7 أغسطس 1803. وكان البحارة في الرحلة لمدة 3 سنوات و14 يومًا. متى عادوا إلى المنزل؟
157. 1) ولد عالم الرياضيات الروسي العظيم إن.آي.لوباتشيفسكي في 20 نوفمبر 1792 وتوفي في 12 فبراير 1856. كم عاش ن.آي.
2) ولد عالم الرياضيات الروسي العظيم P. L. Chebyshev في 26 مايو 1821 وتوفي في 8 ديسمبر 1894. كم عاش II L. Chebyshev؟
158. 1) حظيرة متوازية الشكل مملوءة بالقش. طول الحظيرة 8 م، العرض 6 م، الارتفاع 6 م حدد وزن التبن في الحظيرة إذا كان 10 متر مكعب. م من القش يزن 6 ج.
2) كم عدد المركبات التي تبلغ حمولتها ثلاثة أطنان ستكون مطلوبة لنقل قطعة من الحطب يبلغ طولها 6 أمتار وعرضها 2 متر وارتفاعها 3 أمتار إذا كان 2 متر مكعب. م من الحطب تزن 1 طن؟
159. 1) الطول الفصول الدراسية 8 م، العرض 6 م، الارتفاع 3 م 50 سم أوجد الحجم (السعة المكعبة) للفصل الدراسي.
2) الطول نادي رياضي 25 م، العرض 16 م، الارتفاع 5 م 50 سم أوجد السعة المكعبة للصالة الرياضية.
160. 1) يبلغ طول السقف 11 م والعرض أقل من الطول بـ 5 م. ما عدد صفائح الجص الجاف اللازمة لتغطية السقف إذا كان عرض اللوح 1 م 5 دسم وطوله 2 م؟
2) غرفتان لهما نفس المساحة ولكن يختلفان في الطول والعرض. الغرفة الأولى طولها 12 م وعرضها 6 م حدد عرض الغرفة الثانية إذا كان طولها أقل من طول الغرفة الأولى بمقدار 3 م.
161. 1) قطعة أرض مستطيلة بعرض 18 م ومساحة 576 م2. يجب أن تكون مسيجة بالأسلاك في 6 صفوف. ما هي كمية الأسلاك المطلوبة؟
2) من لوح زجاج مستطيل طوله 24 سم وعرضه 22 سم، تحتاج إلى قطع ألواح مستطيلة مقاس 8 سم × 6 سم أكبر عددهل يمكنك الحصول على بعض السجلات؟ (ارسم الحل على الرسم، مع أخذ خلية واحدة في دفتر الملاحظات بقياس 1 سم.)
162. 1) في كل من الأمثلة الثلاثة المذكورة، احسب القيمة المفقودة للكمية المحددة:
2) يقرأ الطالب نصف الكتاب خلال 8 أيام، بواقع 12 صفحة يومياً. بعد ذلك، من أجل قراءة الكتاب في الوقت المحدد، بدأ في قراءة 4 صفحات إضافية كل يوم. ما هو عدد الأيام التي استلم فيها الطالب الكتاب؟
163. 1) المكتبة تحتاج إلى تجليد 1800 كتاب. تعهدت ثلاث ورش بإكمال الطلب بشكل مستقل: الأولى في 20 يومًا، والثانية في 30 يومًا، والثالثة في 60 يومًا. ومن أجل الانتهاء من تجليد الكتب في أسرع وقت ممكن، قررنا نقل الطلب إلى ورش العمل الثلاث في وقت واحد. في كم يومًا ستنتهي ورش العمل من عملها، وتعمل في وقت واحد؟
2) لضخ المياه من العنبر تم تركيب مضختين: الأولى تضخ 20 دلو في الدقيقة والثانية 30 دلو في الدقيقة. في البداية، عملت المضخة الأولى وحدها، وبعد 30 دقيقة. بدأت المضخة الثانية أيضًا في العمل، وبعد ذلك قامت المضختان بضخ كل الماء بعد ساعة و30 دقيقة. ما هي كمية المياه الموجودة في المخزن وما المدة التي سيستغرقها ضخ كل المياه إذا كانت المضختان تعملان منذ البداية؟
164. 1) خططت المنطقة لإصلاح ثلاثة طرق سريعة: الأول بطول 80 كم، والثاني بطول 98 كم، والثالث بطول 112 كم. حدد تكلفة إصلاح كل طريق إذا كانت تكلفة إصلاح كيلومتر واحد واحدة وتم تخصيص 2160 روبل لإصلاح الطريق الأول. أقل من تكلفة إصلاح الثاني.
2) قام مجموعة من الرواد بزراعة الأشجار في شوارع المدينة. في أحد الشوارع كان من الضروري حفر 20 حفرة متطابقة للأشجار، وفي 15 أخرى وفي الثالث 35. كم ساعة استغرق حفر جميع الثقوب إذا عمل الرواد في الشارع الأول لمدة ساعة و 30 دقيقة؟ أقل من الثالث؟
165. 1) في ست ساعات. عمل الطالب الأول 4 أجزاء أكثر من الثاني، والمعلم صنع 36 جزءًا أكثر من الطالب الأول وثلاث مرات أكثر من الثاني. ما عدد الدقائق التي قضاها المعلم وكل طالب في صنع جزء واحد؟
2) في 4 ساعات و 30 دقيقة. قام الطالب الأول بعمل أقل بثلاثة أجزاء من الثاني، وقام المعلم بعمل ثلاثة أجزاء أكثر من الطالب الأول و27 جزءًا أكثر من الثاني. ما عدد الدقائق التي قضاها المعلم وكل طالب في صنع جزء واحد؟
166. 1) عرض قطعة أرض مستطيلة يقل بمقدار 80 م عن طولها. تحديد مساحة قطعة الأرض إذا كان طول السور حولها 800م.
2) قطعة أرض مستطيلة مسيجة بسور طوله 200 م وطولها أكبر من عرضها بـ 20 م. تم تقسيم قطعة الأرض إلى قسمين أحدهما بمساحة 200 متر مربع. م أكثر من الآخر. أوجد مساحة كل جزء.
167. 1) تجاوز الفريق مهمة التحول في تعدين الخام بمقدار 4 مرات وأنتج 24 طنًا المزيد من المهام. ما هو عدد أطنان الخام التي أنتجها الفريق في كل نوبة عمل وما هي مهمة النوبة؟
2) يحتوي البرونز على 41 جزءًا من النحاس و8 أجزاء من القصدير وجزءًا واحدًا من الزنك. ما هو وزن قطعة البرونز التي تحتوي على 1 كجم 484 جم من الزنك أقل من القصدير؟
168. 1) قامت سيارتان بنقل 96 طناً من البضائع المتنوعة من مخزن إلى مخزن في يومين، وفي اليوم الأول تم نقل 12 طناً أكثر من اليوم الثاني، حدد القدرة الاستيعابية لكل سيارة إذا علم ذلك في الأول في اليوم قامت السيارة الأولى بـ 9 رحلات، والثانية بـ 12 رحلة؛ وفي اليوم الثاني قامت السيارة الأولى بـ 3 رحلات والثانية بـ 12 رحلة.
2) حصلت الورشة على قطعتين من القماش بقيمة 1980 روبل. سعر المادة في القطعة الأولى 39 روبل. لكل متر، وفي الثانية 40 روبل. لكل متر كم عدد أمتار المادة الموجودة في كل قطعة، إذا كانت القطعة الثانية تكلف 420 روبل. اغلى من الاول ؟
169. 1) كان على سائق الدراجة النارية أن يقطع مسافة 600 كم بين نقطتين بسرعة 30 كم في الساعة، ولكن كان عليه أن يتأخر لمدة 4 ساعات على الطريق. وللوصول إلى وجهته في الوقت المحدد، كان عليه مضاعفة سرعته بعد التوقف. في أي مسافة من بداية الحركة حدث التأخير؟
2) الرائد الذي حصل على مجلة أسبوعية تمكن من قراءتها حتى حصوله على العدد التالي. وخلال إقامته في القرية تراكمت لديه 6 أعداد، وعند عودته قرر أن يقرأ 3 أعداد في الأسبوع. في كم أسبوع سيتم قراءة جميع المجلات المستلمة؟
170. 1) الأب أكبر من ابنيلمدة 24 عاما. كم عمر الابن بعد 3 سنوات سيكون أصغر من والده بخمس مرات؟
2) يبلغ عمر الابن الآن 14 عامًا، وقبل خمس سنوات كان أصغر من والده بخمس مرات. كم في وقت معينكم عمر والدك؟
171. 1) أنفق المتنزهون 156 روبل في يومين. في اليوم الثاني، أنفقوا مرتين أكثر من الأول، و 6 روبل آخر. كم روبل أنفق السائحون يوميا؟
2) تم قطع قطعتين كبيرتين و 4 قطع صغيرة من شريط فولاذي بطول 350 ملم وبقيت بعد ذلك قطعة بطول 22 ملم. حدد أبعاد قطع العمل إذا كانت قطعة العمل الكبيرة أطول مرتين من القطعة الصغيرة.
172. 1) تحتوي القاعدة على 180 طناً من الخضار، تم توريدها إلى 20 مقصفاً. وبعد ثلاثة أسابيع، تم إلحاق 15 مقصفًا آخر بهذه القاعدة. ما هو عدد الأسابيع التي استغرقها استهلاك مخزون الخضروات إذا كان كل مقصف يستهلك في المتوسط 900 كجم من الخضروات أسبوعيًا؟
2) عند تغطية جدران بهو المترو بالرخام قام الفريق الأول بتركيب 14 متر مربع. م والثاني 12 متر مربع. م من الألواح لكل نوبة. أبعاد الردهة: 24 م × 8 م × 4 م. يوجد أربع ممرات في الجدران بقياس 2 م × 3 م. في كم يوم سيتم الانتهاء من العمل إذا بدأ الفريق الثاني العمل قبل يومين من الأول؟
173. 1) من مدينتين المسافة بينهما 484 كم، غادر راكب دراجة هوائية وسائق دراجة نارية في وقت واحد باتجاه بعضهما البعض. وبعد 4 ساعات أصبحت المسافة بينهما 292 كم. حدد سرعة راكب الدراجة النارية وراكب الدراجة النارية إذا كانت سرعة راكب الدراجة النارية تساوي 3 أضعاف سرعة راكب الدراجة.
2) تبعد المدينتان عن بعضهما البعض مسافة 900 كيلومتر. قطار غادر مدينة، وأقلعت طائرة من مدينة أخرى في نفس وقت القطار وفي نفس الاتجاه، وبعد 3 ساعات لحقت بالقطار. حدد سرعة القطار والطائرة إذا كانت سرعة القطار أقل بـ 7 مرات من سرعة الطائرة.
174. 1) ساهم العديد من الطلاب بمبلغ 50 كوبيل لشراء الكتب، ولكن تبين أن المبلغ الذي تم جمعه كان يساوي 1 روبل. 50 كوبيل أقل من تكلفة الكتب. عندما أضاف كل طالب 10 كوبيل، تجاوز إجمالي المبلغ المالي الذي تم جمعه تكلفة الكتب بمقدار 70 كوبيل. كم عدد الطلاب وكم تكلفة الكتب؟
2) لدفع ثمن الرحلة، ساهم كل سائح بـ 1 روبل. 20 كوبيل، ولكن اتضح أن 1 روبل مفقود. عندما ساهم كل مشارك بـ 10 كوبيل أخرى، اتضح أنه بقي روبل واحد إضافي. كم عدد الأشخاص الذين شاركوا في الرحلة وكم تكلفة الرحلة؟
175. 1) قامت الورشة بخياطة 8 معاطف متطابقة وعدة بدلات متطابقة، باستخدام 61 متر من القماش. تم إنفاق 3 م 25 سم من المادة لكل معطف ولكل بدلة 25 سم أكثر من المعطف. كم عدد البدلات التي صنعتها الورشة؟
2) تغيير حالة المشكلة: خذ بعين الاعتبار العدد الموجود من البدلات المعروفة، واترك جميع الأرقام الأخرى دون تغيير واكتشف عدد المعاطف التي قامت الورشة بخياطتها. تهيئة الظروف لمهمة جديدة.
3) يؤلف مهمة جديدة، على غرار الأولين، باستخدام كمية المواد المستهلكة لخياطة معطف وبدلة. تغيير الأرقام المتبقية.
176. يوضح الجدول معايير التغذية في الصيف والخريف والشتاء (بالجرام يوميًا) للأرانب.
احسب عدد الأعلاف المختلفة اللازمة لتربية 50 رأسًا من الحيوانات الصغيرة: في الصيف والخريف والشتاء. معرفة سعر العلف وحساب التكاليف.
177. 1) ارسم مخطط شريطي، حساب عدد درجات A وB وC والدرجات غير المرضية التي حصل عليها الطلاب في الفصل في الفصل الأخير عمل اختباريفي الحساب.
ملحوظة. عند إنشاء رسم تخطيطي، خذ خليتين بالعرض لقاعدة كل عمود، وخلية واحدة بالارتفاع لكل علامة يحصل عليها الطلاب.
2) كم عدد الطلاب في صفك؟ كم منهم من الرواد؟ ارسم رسمًا تخطيطيًا.
178. العمل المختبري"رسم خط مستقيم على الأرض."
ينقسم الفصل إلى وحدات يتكون كل منها من 3 أشخاص (الأول هو الأكبر، والثاني والثالث يحضران المعالم ويحددانها).
الأدوات المطلوبة: 6-8 معالم.
تقدم العمل: 1) وضع علامة مع المعالم نقاط النهايةأ و ب (الشكل 10)،
2) تثبيت معالم وسيطة بين المعالم A و B بحيث تشكل خطًا مستقيمًا واحدًا.
