2. أساسيات نظرية الاحتمالات
القيمة المتوقعة
النظر في متغير عشوائي مع القيم العددية. غالبًا ما يكون من المفيد ربط رقم بهذه الوظيفة - "القيمة المتوسطة" أو، كما يقولون، "القيمة المتوسطة"، "مؤشر الاتجاه المركزي". لعدد من الأسباب، بعضها سوف يتضح لاحقا، عادة ما يستخدم التوقع الرياضي باعتباره "القيمة المتوسطة".
التعريف 3.التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Xاتصل بالرقم
أولئك. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو مجموع مرجح لقيم المتغير العشوائي بأوزان تساوي احتمالات الأحداث الأولية المقابلة.
مثال 6.دعونا نحسب التوقع الرياضي للرقم الذي يظهر على الوجه العلوي للنرد. ويترتب على ذلك مباشرة من التعريف 3 ذلك
البيان 2.دع المتغير العشوائي Xيأخذ القيم × 1، × 2،…، ×م. ثم المساواة صحيحة
(5)
أولئك. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو مجموع مرجح لقيم المتغير العشوائي بأوزان تساوي احتمالات أن يأخذ المتغير العشوائي قيما معينة.
على عكس (4)، حيث يتم تنفيذ الجمع مباشرة على الأحداث الأولية، يمكن أن يتكون الحدث العشوائي من عدة أحداث أولية.
في بعض الأحيان يتم اعتبار العلاقة (5) بمثابة تعريف للتوقع الرياضي. ومع ذلك، باستخدام التعريف 3، كما هو موضح أدناه، فمن الأسهل تحديد خصائص التوقع الرياضي اللازم لبناء نماذج احتمالية للظواهر الحقيقية من استخدام العلاقة (5).
ولإثبات العلاقة (5)، قمنا بتجميع (4) مصطلحات ذات قيم متماثلة للمتغير العشوائي:
وبما أن العامل الثابت يمكن إخراجه من إشارة المجموع، إذن
من خلال تحديد احتمال وقوع حدث ما
وباستخدام العلاقتين الأخيرتين نحصل على المطلوب:
يتوافق مفهوم التوقع الرياضي في النظرية الاحتمالية الإحصائية مع مفهوم مركز الثقل في الميكانيكا. دعونا نضعها في نقاط × 1، × 2،…، ×معلى محور العدد الكتلي ص(X= س 1 ), ص(X= س 2 ),…, ص(X= س م) على التوالى. ومن ثم فإن المساواة (5) تبين أن مركز ثقل هذا النظام من النقاط المادية يتطابق مع التوقع الرياضي، مما يدل على طبيعية التعريف 3.
البيان 3.يترك X- قيمة عشوائية، م (س)- توقعاتها الرياضية، أ– عدد معين . ثم
1) م(أ)=أ؛ 2) م(X-M(X))=0; 3M[(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 .
لإثبات ذلك، دعونا ننظر أولا في متغير عشوائي ثابت، أي. تقوم الوظيفة بتعيين مساحة الأحداث الأولية إلى نقطة واحدة أ. بما أن المضاعف الثابت يمكن أخذه خارج علامة المجموع، إذن
وإذا انقسم كل عضو من مجموع إلى حدين، فإن المجموع كله ينقسم إلى مجموعين، يتكون الأول منهما من الحد الأول، والثاني يتكون من الثاني. ولذلك، فإن التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين س+ص، المحددة في نفس مساحة الأحداث الأولية، تساوي مجموع التوقعات الرياضية م (س)و م (ش)هذه المتغيرات العشوائية:
م(س+ص) = م(س) + م(ص).
وبالتالي م(X-M(X)) = م(س) - م(م(س)).كما هو مبين أعلاه، م(م(س)) = م (س).لذلك، م(X-M(X)) = م(X) - م(X) = 0.
بسبب ال (س - أ) 2 = ((X – م(X)) + (م(X) - أ)} 2 = (X - م(X)) 2 + 2(X - م(X))(م(X) - أ) + (م(X) – أ) 2 ، الذي - التي م[(س - أ) 2 ] =م(X - م(X)) 2 + م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} + م[(م(X) – أ) 2 ]. دعونا نبسط المساواة الأخيرة. كما هو موضح في بداية إثبات العبارة 3، فإن التوقع الرياضي للثابت هو الثابت نفسه، وبالتالي م[(م(X) – أ) 2 ] = (م(X) – أ) 2 . بما أن المضاعف الثابت يمكن أخذه خارج علامة المجموع، إذن م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} = 2(م(X) - أ)م(X - م(X)). الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة هو 0 لأنه، كما هو موضح أعلاه، م(X-M(X))=0.لذلك، م[(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 ، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.
ويترتب على ما سبق ذلك م[(X- أ) 2 ] يصل إلى الحد الأدنى أ، متساوي م[(X- م(X)) 2 ], في أ = م(س)،حيث أن الحد الثاني في المساواة 3) دائمًا غير سالب ويساوي 0 فقط للقيمة المحددة أ.
البيان 4.دع المتغير العشوائي Xيأخذ القيم × 1، × 2،…، ×مو f هي إحدى وظائف الوسيطة العددية. ثم
ولإثبات ذلك، دعونا نجمع على الجانب الأيمن من المساواة (4)، التي تحدد التوقع الرياضي، مصطلحات لها نفس القيم:
باستخدام حقيقة أنه يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المجموع، وتعريف احتمال وقوع حدث عشوائي (2)، نحصل على
Q.E.D.
البيان 5.يترك Xو ش- المتغيرات العشوائية المحددة في نفس مساحة الأحداث الأولية، أو ب- بعض الأرقام. ثم م(فأس+ بواسطة)= أكون(X)+ بي ام(ي).
وباستخدام تعريف التوقع الرياضي وخصائص رمز الجمع نحصل على سلسلة من المتساويات:
وقد ثبت المطلوب.
ما سبق يوضح كيف يعتمد التوقع الرياضي على الانتقال إلى نقطة مرجعية أخرى وإلى وحدة قياس أخرى (الانتقال ي=فأس+ب)، وكذلك وظائف المتغيرات العشوائية. تُستخدم النتائج التي يتم الحصول عليها باستمرار في التحليل الفني والاقتصادي، وفي تقييم الأنشطة المالية والاقتصادية للمؤسسة، أثناء الانتقال من عملة إلى أخرى في الحسابات الاقتصادية الأجنبية، وفي الوثائق التنظيمية والفنية، وما إلى ذلك. وتسمح النتائج قيد النظر استخدام نفس الصيغ الحسابية لمختلف المعلمات والتحول.
| سابق |
نظرية الاحتمالات هي فرع خاص من الرياضيات يدرسه فقط طلاب مؤسسات التعليم العالي. هل تحب الحسابات والصيغ؟ ألا تخاف من احتمالات التعرف على التوزيع الطبيعي، والانتروبيا الجماعية، والتوقعات الرياضية وتشتت متغير عشوائي منفصل؟ ثم سيكون هذا الموضوع مثيرًا للاهتمام بالنسبة لك. دعونا نتعرف على العديد من أهم المفاهيم الأساسية لهذا الفرع من العلوم.
دعونا نتذكر الأساسيات
وحتى لو كنت تتذكر أبسط مفاهيم نظرية الاحتمالات، فلا تهمل الفقرات الأولى من المقال. النقطة المهمة هي أنه بدون فهم واضح للأساسيات، لن تتمكن من العمل مع الصيغ التي تمت مناقشتها أدناه.
لذلك، تحدث بعض الأحداث العشوائية، وبعض التجارب. نتيجة للإجراءات التي نتخذها، يمكننا الحصول على العديد من النتائج - بعضها يحدث في كثير من الأحيان، والبعض الآخر أقل في كثير من الأحيان. احتمالية الحدث هي نسبة عدد النتائج التي تم الحصول عليها بالفعل من نوع واحد إلى إجمالي عدد النتائج المحتملة. فقط معرفة التعريف الكلاسيكي لهذا المفهوم يمكنك البدء في دراسة التوقع الرياضي وتشتت المتغيرات العشوائية المستمرة.
متوسط
عندما كنت في المدرسة، أثناء دروس الرياضيات، بدأت العمل بالوسط الحسابي. يستخدم هذا المفهوم على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات، وبالتالي لا يمكن تجاهله. الشيء الرئيسي بالنسبة لنا في الوقت الحالي هو أننا سنواجهه في صيغ التوقع الرياضي وتشتت المتغير العشوائي.
لدينا سلسلة من الأرقام ونريد إيجاد الوسط الحسابي لها. كل ما هو مطلوب منا هو تلخيص كل ما هو متاح وتقسيمه على عدد العناصر في التسلسل. لنحصل على أرقام من 1 إلى 9. مجموع العناصر سيكون 45، وسنقسم هذه القيمة على 9. الإجابة: - 5.
تشتت
من الناحية العلمية، التشتت هو متوسط مربع انحرافات القيم التي تم الحصول عليها للخاصية من الوسط الحسابي. يُشار إليه بحرف لاتيني كبير D. ما هو المطلوب لحسابه؟ لكل عنصر من عناصر المتتابعة، نحسب الفرق بين الرقم الموجود والوسط الحسابي ونقوم بتربيعه. سيكون هناك بالضبط العديد من القيم التي يمكن أن تكون هناك نتائج للحدث الذي نفكر فيه. بعد ذلك، نلخص كل ما تم الحصول عليه ونقسمه على عدد العناصر في التسلسل. إذا كان لدينا خمس نتائج محتملة، نقسم على خمسة.
يحتوي التشتت أيضًا على خصائص يجب تذكرها لاستخدامها عند حل المشكلات. على سبيل المثال، عند زيادة متغير عشوائي بمقدار X مرة، فإن التباين يزيد بمقدار X مربع مرة (أي X*X). وهي لا تقل أبداً عن الصفر ولا تعتمد على إزاحة القيم لأعلى أو لأسفل بمقادير متساوية. بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للتجارب المستقلة، يكون تباين المجموع مساويًا لمجموع التباينات.
الآن نحن بالتأكيد بحاجة إلى النظر في أمثلة على تباين المتغير العشوائي المنفصل والتوقع الرياضي.
لنفترض أننا أجرينا 21 تجربة وحصلنا على 7 نتائج مختلفة. وقد لاحظنا كل واحد منهم 1، 2، 2، 3، 4، 4 و5 مرات على التوالي. ماذا سيكون التباين؟
أولاً، دعونا نحسب الوسط الحسابي: مجموع العناصر، بالطبع، هو 21. اقسمه على 7، لتحصل على 3. الآن اطرح 3 من كل رقم في التسلسل الأصلي، وقم بتربيع كل قيمة، ثم أضف النتائج معًا. والنتيجة هي 12. والآن كل ما علينا فعله هو قسمة العدد على عدد العناصر، ويبدو أن هذا كل شيء. ولكن هناك صيد! دعونا نناقش ذلك.
الاعتماد على عدد التجارب
اتضح أنه عند حساب التباين، يمكن أن يحتوي المقام على أحد الرقمين: إما N أو N-1. هنا N هو عدد التجارب التي تم إجراؤها أو عدد العناصر في التسلسل (وهو نفس الشيء في الأساس). على ماذا يعتمد هذا؟
إذا كان عدد الاختبارات مقيسًا بالمئات، فيجب أن نضع N في المقام، وإذا كان بالوحدات، فـ N-1. قرر العلماء رسم الحدود بشكل رمزي تمامًا: اليوم يمر عبر الرقم 30. إذا أجرينا أقل من 30 تجربة، فسنقسم المبلغ على N-1، وإذا كان أكثر، ثم على N.
مهمة
لنعد إلى مثالنا لحل مشكلة التباين والتوقع الرياضي. لقد حصلنا على الرقم الوسيط 12، والذي يجب قسمته على N أو N-1. وبما أننا أجرينا 21 تجربة، أي أقل من 30، فسنختار الخيار الثاني. فالجواب هو: التباين هو 12 / 2 = 2.
القيمة المتوقعة
دعنا ننتقل إلى المفهوم الثاني الذي يجب أن نتناوله في هذا المقال. التوقع الرياضي هو نتيجة جمع كل النتائج الممكنة مضروبة في الاحتمالات المقابلة لها. من المهم أن نفهم أن القيمة التي تم الحصول عليها، وكذلك نتيجة حساب التباين، يتم الحصول عليها مرة واحدة فقط للمشكلة بأكملها، بغض النظر عن عدد النتائج التي يتم أخذها في الاعتبار فيها.
إن صيغة التوقع الرياضي بسيطة للغاية: نحن نأخذ النتيجة، ونضربها في احتمالها، ونضيف نفس الشيء للنتيجة الثانية والثالثة، وما إلى ذلك. ليس من الصعب حساب كل ما يتعلق بهذا المفهوم. على سبيل المثال، مجموع القيم المتوقعة يساوي القيمة المتوقعة للمجموع. وينطبق الشيء نفسه على العمل. ليست كل كمية في نظرية الاحتمالات تسمح لك بإجراء مثل هذه العمليات البسيطة. لنأخذ المشكلة ونحسب معنى المفهومين اللذين درسناهما في وقت واحد. بالإضافة إلى ذلك، لقد تشتت انتباهنا بالنظرية - فقد حان وقت الممارسة.
مثال آخر
أجرينا 50 تجربة وحصلنا على 10 أنواع من النتائج - أرقام من 0 إلى 9 - تظهر بنسب مئوية مختلفة. وهي على التوالي: 2%، 10%، 4%، 14%، 2%، 18%، 6%، 16%، 10%، 18%. تذكر أنه للحصول على الاحتمالات، تحتاج إلى تقسيم قيم النسبة المئوية على 100. وهكذا نحصل على 0.02؛ 0.1 الخ دعونا نقدم مثالاً لحل مشكلة تباين المتغير العشوائي والتوقع الرياضي.
نحسب الوسط الحسابي باستخدام الصيغة التي نتذكرها من المدرسة الابتدائية: 50/10 = 5.
والآن دعونا نحول الاحتمالات إلى عدد النتائج "بالأجزاء" لتسهيل العد. نحصل على 1، 5، 2، 7، 1، 9، 3، 8، 5 و 9. من كل قيمة تم الحصول عليها، نطرح الوسط الحسابي، وبعد ذلك نقوم بتربيع كل النتائج التي تم الحصول عليها. تعرف على كيفية القيام بذلك باستخدام العنصر الأول كمثال: 1 - 5 = (-4). التالي: (-4) * (-4) = 16. بالنسبة للقيم الأخرى، قم بإجراء هذه العمليات بنفسك. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح، فبعد جمعهم جميعًا، ستحصل على 90.
لنواصل حساب التباين والقيمة المتوقعة بقسمة 90 على N. لماذا نختار N بدلاً من N-1؟ صحيح، لأن عدد التجارب التي تم إجراؤها يتجاوز 30. إذن: 90/10 = 9. لقد حصلنا على التباين. إذا حصلت على رقم مختلف، فلا تيأس. على الأرجح، لقد ارتكبت خطأً بسيطًا في الحسابات. تحقق جيدًا مما كتبته، ومن المحتمل أن يكون كل شيء في مكانه الصحيح.
وأخيرا، تذكر صيغة التوقع الرياضي. لن نقوم بإجراء جميع الحسابات، سنكتب فقط إجابة يمكنك التحقق منها بعد استكمال جميع الإجراءات المطلوبة. وستكون القيمة المتوقعة 5.48. دعونا فقط نتذكر كيفية تنفيذ العمليات، باستخدام العناصر الأولى كمثال: 0*0.02 + 1*0.1... وهكذا. كما ترون، نحن ببساطة نضرب قيمة النتيجة باحتمالها.
انحراف
هناك مفهوم آخر يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالتشتت والتوقع الرياضي وهو الانحراف المعياري. يُشار إليه إما بالأحرف اللاتينية sd، أو بالحرف اليوناني الصغير "sigma". يوضح هذا المفهوم مدى انحراف القيم في المتوسط عن الميزة المركزية. للعثور على قيمته، تحتاج إلى حساب الجذر التربيعي للتباين.
إذا قمت برسم رسم بياني للتوزيع الطبيعي وأردت رؤية الانحراف التربيعي عليه مباشرة، فيمكن القيام بذلك على عدة مراحل. خذ نصف الصورة إلى يسار أو يمين الوضع (القيمة المركزية)، وارسم عموديًا على المحور الأفقي بحيث تكون مساحات الأشكال الناتجة متساوية. حجم المقطع بين منتصف التوزيع والإسقاط الناتج على المحور الأفقي سيمثل الانحراف المعياري.
برمجة
كما يتبين من أوصاف الصيغ والأمثلة المقدمة، فإن حساب التباين والتوقع الرياضي ليس أبسط إجراء من وجهة نظر حسابية. وحتى لا نضيع الوقت، فمن المنطقي استخدام البرنامج المستخدم في مؤسسات التعليم العالي - ويسمى "R". يحتوي على وظائف تسمح لك بحساب القيم للعديد من المفاهيم من الإحصاء ونظرية الاحتمالات.
على سبيل المثال، يمكنك تحديد متجه للقيم. ويتم ذلك على النحو التالي: ناقلات<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
أخيراً
التشتت والتوقع الرياضي هما من العناصر التي بدونها يصعب حساب أي شيء في المستقبل. في الدورة الرئيسية للمحاضرات في الجامعات، يتم مناقشتها بالفعل في الأشهر الأولى من دراسة الموضوع. وبسبب عدم فهم هذه المفاهيم البسيطة وعدم القدرة على حسابها على وجه التحديد، يبدأ العديد من الطلاب على الفور في التخلف عن البرنامج ثم يحصلون لاحقًا على درجات سيئة في نهاية الجلسة، مما يحرمهم من المنح الدراسية.
تدرب لمدة أسبوع على الأقل، نصف ساعة يوميًا، على حل المهام المشابهة لتلك المقدمة في هذه المقالة. بعد ذلك، في أي اختبار في نظرية الاحتمالات، ستكون قادرًا على التعامل مع الأمثلة دون نصائح وأوراق غش غريبة.
الخاصية الأكثر اكتمالا للمتغير العشوائي هي قانون التوزيع الخاص به. ومع ذلك، لا يكون الأمر معروفًا دائمًا، وفي هذه الحالات يجب على المرء أن يكتفي بمعلومات أقل. قد تتضمن هذه المعلومات: مدى تغير المتغير العشوائي، وقيمته الأكبر (الأصغر)، وبعض الخصائص الأخرى التي تصف المتغير العشوائي بطريقة ملخصة. وتسمى كل هذه الكميات الخصائص العدديةمتغير عشوائي. عادة ما تكون هذه بعض غير عشوائيالأرقام التي تميز بطريقة أو بأخرى متغير عشوائي. الغرض الرئيسي من الخصائص العددية هو التعبير بشكل موجز عن أهم السمات لتوزيع معين.
أبسط خاصية عددية للمتغير العشوائي Xناداها القيمة المتوقعة:
M(X)=x 1 ص 1 +x 2 ص 2 +…+x n p n. (1.3.1)
هنا × 1, × 2, …, س ن– القيم الممكنة للمتغير العشوائي X، أ ص 1, ص 2, …, ص ن- احتمالاتهم.
مثال 1.أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي إذا كان قانون توزيعه معروفا:
حل. م(X)=2×0.3+3×0.1+5×0.6=3.9.
مثال 2. أوجد التوقع الرياضي لعدد مرات حدوث حدث ما أفي تجربة واحدة، إذا كان احتمال هذا الحدث متساويا ر.
حل. لو X- عدد مرات حدوث الحدث أفي أحد الاختبارات، من الواضح أن قانون التوزيع Xلديه النموذج:
ثم M(X)=0×(1–ص)+1×ص=ر.
إذن: التوقع الرياضي لعدد تكرارات الحدث في تجربة واحدة يساوي احتماله.
المعنى الاحتمالي للتوقع الرياضي
دعها تنتج نالاختبارات التي فيها المتغير العشوائي Xقبلت م 1قيمة المرات × 1, م 2قيمة المرات × 2, …, م كقيمة المرات س ك. ثم مجموع كل القيم في نالاختبارات تساوي:
س 1 م 1 + س 2 م 2 +…+ س ك م ك.
لنجد الوسط الحسابي لجميع القيم المأخوذة بواسطة المتغير العشوائي:
القيم – التكرارات النسبية لحدوث القيم س ط (ط=1، …، ك). لو نكبيرة بما يكفي (ن®¥)، فإن هذه الترددات تساوي تقريبًا الاحتمالات: . ولكن بعد ذلك
=x 1 ع 1 +x 2 ع 2 +…+x ك ف ك =M(X).
وبذلك فإن التوقع الرياضي يساوي تقريباً (كلما زادت الدقة كلما زاد عدد الاختبارات) الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي. هذا هو المعنى الاحتمالي للتوقع الرياضي.
خصائص التوقع الرياضي
1. التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه.
م(ج)=ج×1=ج.
2. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي
م(CX)=C×M(X).
دليل. دع قانون التوزيع Xالمعطاة بالجدول:
ثم المتغير العشوائي تجربة العملاءيأخذ القيم سي اكس 1, سي اكس 2, …, Ин مع نفس الاحتمالات، أي. قانون التوزيع تجربة العملاءلديه النموذج:
M(СХ)=СО 1 ×Р 1 +СО 2 ×Р 2 +…+СИ n ×p n =
=C(x 1 ع 1 +x 2 ص 2 +…+x n p n)=CM(X).
3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية:
م (س ص) = م (س) × م (ص).
تم تقديم هذه العبارة بدون دليل (يعتمد الدليل على تعريف التوقع الرياضي).
عاقبة. إن التوقع الرياضي لمنتج عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض يساوي منتج توقعاتها الرياضية.
على وجه الخصوص، لثلاثة متغيرات عشوائية مستقلة
M(XYZ)=M(X)×M(Y)×M(Z).
مثال. أوجد التوقع الرياضي لحاصل ضرب عدد النقاط التي يمكن أن تظهر عند رمي حجري نرد.
حل. يترك شي- عدد النقاط لكل أناالعظام. يمكن أن تكون أرقام 1 , 2 , …, 6 مع الاحتمالات. ثم
M(X i)=1× +2× +…+6× = (1+2+…+6)= × ×6= .
يترك س=س 1 ×س 2. ثم
م(X)=م(X 1)×M(X 2)= =12.25.
4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين (مستقل أو تابع) يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات:
م(س+ص)=م(س)+م(ص).
يتم تعميم هذه الخاصية على حالة وجود عدد تعسفي من المصطلحات.
مثال. تم إطلاق 3 طلقات مع احتمالات إصابة الهدف تساوي ع 1 =0.4, ع 2 =0.3و ع 3 =0.6. أوجد التوقع الرياضي لإجمالي عدد الزيارات.
حل. يترك شي- عدد الزيارات في أنا-الطلقة. ثم
M(Х i)=1×p i +0×(1–p i)=p i.
هكذا،
م(X 1 +X 2 +X 3)= =0.4+0.3+0.6=1.3.
خصائص DSV وخصائصها. التوقع، التباين، الانحراف المعياري
يصف قانون التوزيع المتغير العشوائي بشكل كامل. ومع ذلك، عندما يكون من المستحيل العثور على قانون التوزيع، أو أن ذلك غير مطلوب، يمكنك الاكتفاء بإيجاد قيم تسمى الخصائص العددية للمتغير العشوائي. وتحدد هذه القيم بعض القيمة المتوسطة التي تتجمع حولها قيم المتغير العشوائي، ودرجة تشتتها حول هذه القيمة المتوسطة.
التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي واحتمالاتها.
يوجد التوقع الرياضي إذا كانت المتسلسلة الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة متقاربة بشكل مطلق.
ومن وجهة نظر الاحتمالية يمكننا القول أن التوقع الرياضي يساوي تقريباً الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي.
مثال. قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل معروف. أوجد التوقع الرياضي.
| X | ||||
| ص | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
حل:
9.2 خصائص التوقع الرياضي
1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه.
2. يمكن إخراج العامل الثابت كعلامة على التوقع الرياضي.
3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.
تنطبق هذه الخاصية على عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.
4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.
تنطبق هذه الخاصية أيضًا على عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.
دعونا نجري تجارب مستقلة، فإن احتمال وقوع الحدث A يساوي p.
نظرية.التوقع الرياضي M(X) لعدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة يساوي حاصل ضرب عدد التجارب واحتمال وقوع الحدث في كل تجربة.
مثال. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
حل:
9.3 تشتت المتغير العشوائي المنفصل
ومع ذلك، لا يمكن للتوقع الرياضي أن يصف العملية العشوائية بشكل كامل. بالإضافة إلى التوقع الرياضي، من الضروري إدخال قيمة تميز انحراف قيم المتغير العشوائي عن التوقع الرياضي.
وهذا الانحراف يساوي الفرق بين المتغير العشوائي وتوقعه الرياضي. وفي هذه الحالة، يكون التوقع الرياضي للانحراف صفرًا. ويفسر ذلك حقيقة أن بعض الانحرافات المحتملة تكون إيجابية، والبعض الآخر سلبي، ونتيجة لإلغائها المتبادل يتم الحصول على الصفر.
التشتت (التشتت)للمتغير العشوائي المنفصل هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي.
من الناحية العملية، هذه الطريقة لحساب التباين غير مريحة، لأن يؤدي إلى حسابات مرهقة لعدد كبير من قيم المتغيرات العشوائية.
ولذلك، يتم استخدام طريقة أخرى.
نظرية. التباين يساوي الفرق بين مربع التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X ومربع توقعه الرياضي.
دليل. مع الأخذ في الاعتبار أن التوقع الرياضي M(X) ومربع التوقع الرياضي M2(X) هما كميتان ثابتتان، يمكننا أن نكتب:
مثال. أوجد تباين متغير عشوائي متقطع معطى في قانون التوزيع.
| X | ||||
| × 2 | ||||
| ر | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
حل: .
9.4 خصائص التشتت
1. تباين القيمة الثابتة هو صفر. .
2. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بتربيعها. .
3. إن تباين مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .
4. إن تباين الفرق بين متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .
نظرية. إن تباين عدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة، التي يكون احتمال p لحدوث الحدث فيها ثابتًا، يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات في احتمالات الحدوث وعدم حدوثه. وقوع الحدث في كل تجربة.
9.5 الانحراف المعياري للمتغير العشوائي المنفصل
الانحراف المعيارييسمى المتغير العشوائي X بالجذر التربيعي للتباين.
نظرية. الانحراف المعياري لمجموع عدد محدود من المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات الانحرافات المعيارية لهذه المتغيرات.
ضخامة
الخصائص العددية الأساسية للعشوائية
يميز قانون توزيع الكثافة متغيرًا عشوائيًا. لكن في كثير من الأحيان يكون الأمر غير معروف، ويتعين على المرء أن يقتصر على معلومات أقل. في بعض الأحيان يكون من المربح أكثر استخدام الأرقام التي تصف متغيرًا عشوائيًا في المجمل. تسمى هذه الأرقام الخصائص العدديةمتغير عشوائي. دعونا ننظر إلى أهمها.
تعريف:التوقع الرياضي M(X) لمتغير عشوائي متقطع هو مجموع منتجات جميع القيم الممكنة لهذه الكمية واحتمالاتها:
إذا كان متغير عشوائي منفصل Xيأخذ عددًا لا يحصى من القيم الممكنة، إذن
علاوة على ذلك، فإن التوقع الرياضي موجود إذا كانت هذه المتسلسلة متقاربة تقاربا مطلقا.
ويترتب على ذلك من التعريف م (س)المتغير العشوائي المنفصل هو متغير غير عشوائي (ثابت).
مثال:يترك X- عدد مرات حدوث الحدث أفي اختبار واحد، ف(أ) = ص. نحن بحاجة إلى العثور على التوقع الرياضي X.
حل:لنقم بإنشاء قانون التوزيع الجدولي X:
| X | 0 | 1 |
| ص | 1 - ص | ص |
لنجد التوقع الرياضي:
هكذا، التوقع الرياضي لعدد تكرارات حدث ما في تجربة واحدة يساوي احتمال هذا الحدث.
أصل المصطلح القيمة المتوقعةالمرتبطة بالفترة الأولية لظهور نظرية الاحتمالات (القرنين السادس عشر والسابع عشر)، عندما كان نطاق تطبيقها يقتصر على القمار. كان اللاعب مهتمًا بمتوسط قيمة الفوز المتوقع، أي. التوقع الرياضي للفوز.
دعونا نفكر المعنى الاحتمالي للتوقع الرياضي.
دعها تنتج نالاختبارات التي فيها المتغير العشوائي Xقبلت م 1قيمة المرات × 1, م 2قيمة المرات × 2، وهكذا، وفي النهاية قبلت م كقيمة المرات س ك، و م 1 + م 2 +…+ + م ك = ن.
ثم مجموع كل القيم التي يأخذها المتغير العشوائي X، متساوي × 1 م1+س2 م2+…+س ك م ك.
الوسط الحسابي لجميع القيم المأخوذة بواسطة متغير عشوائي X، يساوي:
بما أن التكرار النسبي لقيمة ما هو أي قيمة ط = 1، …، ك.
وكما هو معروف، إذا كان عدد الاختبارات نإذا كان كبيرًا بدرجة كافية، فإن التكرار النسبي يساوي تقريبًا احتمال وقوع الحدث، وبالتالي،
هكذا، .
خاتمة:إن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل يساوي تقريبًا (كلما زاد عدد الاختبارات بشكل أكثر دقة) للوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي.
دعونا ننظر في الخصائص الأساسية للتوقع الرياضي.
الخاصية 1:التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي القيمة الثابتة نفسها:
م(ج) = ج.
دليل:ثابت معيمكن اعتباره، والذي له معنى واحد محتمل معويقبلها بالاحتمال ع = 1.لذلك، م(ج) = ج 1= س.
دعونا نحدد منتج المتغير الثابت C والمتغير العشوائي المنفصل Xكمتغير عشوائي منفصل تجربة العملاء، والقيم المحتملة لها تساوي منتجات الثابت معإلى القيم الممكنة X تجربة العملاءيساوي احتمالات القيم الممكنة المقابلة X:
| تجربة العملاء | ج | ج | … | ج |
| X | … | |||
| ر | … |
الخاصية 2:يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي:
م (CX) = سم (X).
دليل:دع المتغير العشوائي Xيتم إعطاؤه بواسطة قانون التوزيع الاحتمالي:
| X | … | |||
| ص | … |
لنكتب قانون التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي تجربة العملاء:
| تجربة العملاء | ج | ج | … | ج |
| ص | … |
م (كس) = ج +ج =ج + ) = ج م (س).
تعريف:يسمى متغيران عشوائيان مستقلين إذا كان قانون توزيع أحدهما لا يعتمد على القيم المحتملة التي يأخذها المتغير الآخر. وبخلاف ذلك، فإن المتغيرات العشوائية تعتمد.
تعريف:يقال إن عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض إذا كانت قوانين التوزيع لأي عدد منها لا تعتمد على القيم المحتملة التي اتخذتها المتغيرات المتبقية.
دعونا نحدد نتاج المتغيرات العشوائية المنفصلة المستقلة X و Yكمتغير عشوائي منفصل س ص، والتي تكون قيمها المحتملة مساوية لحاصل كل قيمة ممكنة Xلكل قيمة ممكنة ي. احتمالات القيم الممكنة س صتساوي حاصل ضرب احتمالات القيم المحتملة للعوامل.
دع توزيعات المتغيرات العشوائية تعطى Xو ص:
| X | … | |||
| ص | … |
| ي | … | |||
| ز | … |
ثم توزيع المتغير العشوائي س صلديه النموذج:
| س ص | … | |||
| ص | … |
قد تكون بعض الأعمال متساوية. في هذه الحالة، احتمال القيمة المحتملة للمنتج يساوي مجموع الاحتمالات المقابلة. على سبيل المثال، إذا كان =، فإن احتمال القيمة هو
الخاصية 3:التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية:
م(س ص) = م(س) لي).
دليل:دع المتغيرات العشوائية المستقلة Xو ييتم تحديدها بواسطة قوانين التوزيع الاحتمالية الخاصة بها:
| X | ||
| ص |
| ي | ||
| ز |
لتبسيط الحسابات، سنقتصر على عدد صغير من القيم المحتملة. وفي الحالة العامة الدليل مشابه.
دعونا ننشئ قانون توزيع للمتغير العشوائي س ص:
| س ص | ||||
| ص |
م(س ص) =
م (س) لي).
عاقبة:إن التوقع الرياضي لمنتج عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض يساوي منتج توقعاتها الرياضية.
دليل:دعونا نثبت وجود ثلاثة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض X,ي,ز. المتغيرات العشوائية س صو زمستقلة فنحصل على :
م(XYZ) = م(XY ض) = م (س ص) م(ض) = م(س) لي) م (ض).
بالنسبة لعدد تعسفي من المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل، يتم إجراء الإثبات بواسطة طريقة الاستقراء الرياضي.
مثال:المتغيرات العشوائية المستقلة Xو ي
| X | 5 | 2 | |
| ص | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| ي | 7 | 9 |
| ز | 0,8 | 0,2 |
تحتاج لتجد م (س ص).
حل:منذ المتغيرات العشوائية Xو يمستقلة إذن م(س ص)=م(س) م(ص)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
دعونا نحدد مجموع المتغيرات العشوائية المنفصلة X و Yكمتغير عشوائي منفصل س+ص، والتي تكون قيمها المحتملة مساوية لمجموع كل قيمة محتملة Xبكل قيمة ممكنة ي. احتمالات القيم الممكنة س+صللمتغيرات العشوائية المستقلة Xو يتساوي منتجات احتمالات الحدود، وبالنسبة للمتغيرات العشوائية التابعة - منتجات احتمالية أحد المصطلحات بالاحتمال الشرطي للثاني.
إذا كانت = واحتمالات هذه القيم متساوية على التوالي، فإن الاحتمال (مثل ) يساوي .
الخاصية 4:التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين (تابع أو مستقل) يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات:
م(س+ص) = م(س) + م(ص).
دليل:دع متغيرين عشوائيين Xو ييتم منحها بواسطة قوانين التوزيع التالية:
| X | ||
| ص |
| ي | ||
| ز |
لتبسيط الاستنتاج، سنقتصر على قيمتين محتملتين لكل كمية. وفي الحالة العامة الدليل مشابه.
دعونا نؤلف جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي س+ص(نفترض، من أجل التبسيط، أن هذه القيم مختلفة، وإذا لم يكن الأمر كذلك، فالدليل متشابه):
| س+ص | ||||
| ص |
دعونا نجد التوقع الرياضي لهذه القيمة.
م(س+ص) = + + + +
دعونا نثبت أن + = .
حدث س = (احتمالها ف(س = ) يستلزم حدث المتغير العشوائي س+صسوف تأخذ القيمة أو (احتمال هذا الحدث حسب نظرية الجمع يساوي ) والعكس صحيح. ثم = .
تم إثبات المساواة = = = بطريقة مماثلة
باستبدال الأطراف اليمنى لهذه المساواة في الصيغة الناتجة للتوقع الرياضي، نحصل على:
م(س + ص) = + ) = م(س) + م(ص).
عاقبة:التوقع الرياضي لمجموع عدة متغيرات عشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.
دليل:دعونا نثبت لثلاثة متغيرات عشوائية X,ي,ز. دعونا نجد التوقع الرياضي للمتغيرات العشوائية س+صو ز:
م(X+Y+Z)=M((X+Y ض)=م(س+ص) م(ض)=م(س)+م(ص)+م(ض)
بالنسبة لعدد تعسفي من المتغيرات العشوائية، يتم إجراء الإثبات بواسطة طريقة الاستقراء الرياضي.
مثال:أوجد القيمة المتوسطة لمجموع عدد النقاط التي يمكن أن تظهر عند رمي حجري نرد.
حل:يترك X- عدد النقاط التي يمكن أن تظهر عند النرد الأول، ي- في الثاني. ومن الواضح أن المتغيرات العشوائية Xو يلها نفس التوزيعات دعونا نكتب بيانات التوزيع Xو يفي جدول واحد:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ي | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ص | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
م(س) = م(ص) (1+2+3+4+5+6) = =
م(س + ص) = 7.
لذا فإن متوسط قيمة مجموع عدد النقاط التي يمكن أن تظهر عند رمي حجري النرد هو 7 .
نظرية:التوقع الرياضي M(X) لعدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة يساوي حاصل ضرب عدد التجارب واحتمال وقوع الحدث في كل تجربة: M(X) = np.
دليل:يترك X- عدد مرات حدوث الحدث أالخامس ناختبارات مستقلة. ومن الواضح أن العدد الإجمالي Xحدوث الحدث أفي هذه التجارب هو مجموع عدد تكرارات الحدث في التجارب الفردية. ومن ثم، إذا كان عدد تكرارات حدث ما في التجربة الأولى، وفي الثانية، وهكذا، في النهاية، هو عدد تكرارات الحدث في ن-الاختبار الرابع، ثم يتم حساب العدد الإجمالي لتكرارات الحدث بالصيغة:
بواسطة الخاصية 4 للتوقع الرياضيلدينا:
م(س) = م( ) + … + م( ).
وبما أن التوقع الرياضي لعدد تكرارات حدث ما في تجربة واحدة يساوي احتمال وقوع الحدث، إذن
م( ) = م( )= … = م( ) = ص.
لذلك، م(س) = نب.
مثال:احتمال إصابة الهدف عند إطلاق النار من مسدس هو ع = 0.6. ابحث عن متوسط عدد الزيارات إذا تم إجراؤها 10 لقطات.
حل:لا تعتمد إصابة كل طلقة على نتائج الرميات الأخرى، وبالتالي فإن الأحداث قيد النظر مستقلة، وبالتالي فإن التوقع الرياضي المطلوب يساوي:
م(س) = نب = 10 0,6 = 6.
وبالتالي فإن متوسط عدد الزيارات هو 6.
الآن فكر في التوقع الرياضي لمتغير عشوائي مستمر.
تعريف:التوقع الرياضي لمتغير عشوائي مستمر X، تنتمي قيمه المحتملة إلى المجال,يسمى التكامل المحدد :
حيث f(x) هي كثافة التوزيع الاحتمالي.
إذا كانت القيم المحتملة للمتغير العشوائي المستمر X تنتمي إلى محور الثور بأكمله، إذن
ومن المفترض أن هذا التكامل غير الصحيح يتقارب بشكل مطلق، أي. التكامل يتقارب إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط، فإن قيمة التكامل ستعتمد على المعدل الذي يميل فيه الحد الأدنى (بشكل منفصل) إلى -∞، ويميل الحد الأعلى إلى +∞.
يمكن إثبات ذلك يتم الاحتفاظ بجميع خصائص التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل للمتغير العشوائي المستمر. ويستند الإثبات على خصائص التكاملات المحددة وغير الصحيحة.
ومن الواضح أن التوقع الرياضي م (س)أكبر من أصغر وأقل من أكبر قيمة ممكنة للمتغير العشوائي X. أولئك. على محور الأعداد، توجد القيم المحتملة للمتغير العشوائي على يسار ويمين توقعه الرياضي. وبهذا المعنى، فإن التوقع الرياضي م (س)يميز موقع التوزيع ولذلك يطلق عليه غالبًا مركز توزيع.