في تاريخ الرياضيات، يمكننا أن نميز تقريبًا بين فترتين رئيسيتين: الرياضيات الابتدائية والحديثة. كان المعلم الرئيسي الذي من المعتاد حساب عصر الرياضيات الجديدة (التي تسمى أحيانًا الرياضيات العليا) هو القرن السابع عشر - قرن ظهور التحليل الرياضي. بحلول نهاية القرن السابع عشر. I. Newton، G. Leibniz وأسلافهم أنشأوا جهاز حساب التفاضل والتكامل الجديد وحساب التفاضل والتكامل، والذي يشكل أساس التحليل الرياضي وحتى، ربما، الأساس الرياضي لجميع العلوم الطبيعية الحديثة.
التحليل الرياضي هو مجال واسع من الرياضيات مع موضوع مميز للدراسة (الكمية المتغيرة)، وطريقة بحث فريدة (التحليل عن طريق المتناهيات في الصغر أو عن طريق الممرات إلى الحدود)، ونظام معين من المفاهيم الأساسية (الدالة، النهاية، المشتقة ، التفاضلية، التكاملية، المتسلسلة) وجهاز يتحسن باستمرار ويتطور، أساسه حساب التفاضل والتكامل.
دعونا نحاول إعطاء فكرة عن نوع الثورة الرياضية التي حدثت في القرن السابع عشر، وما الذي يميز الانتقال المرتبط بولادة التحليل الرياضي من الرياضيات الأولية إلى ما أصبح الآن موضوع البحث في التحليل الرياضي، وما الذي يفسره دور أساسي في النظام الحديث بأكمله للمعرفة النظرية والتطبيقية.
تخيل أن أمامك صورة ملونة تم تنفيذها بشكل جميل لموجة محيط عاصفة تندفع نحو الشاطئ: ظهر منحني قوي، وصدر شديد الانحدار ولكنه غائر قليلاً، ورأس مائل بالفعل إلى الأمام ومستعد للسقوط مع عرف رمادي يعذبه الماء. رياح. لقد توقفت في اللحظة، وتمكنت من اللحاق بالموجة، ويمكنك الآن دراستها بعناية بكل تفاصيلها دون تسرع. يمكن قياس الموجة، وباستخدام أدوات الرياضيات الأولية، يمكنك استخلاص العديد من الاستنتاجات المهمة حول هذه الموجة، وبالتالي جميع أخواتها في المحيطات. لكن بإيقاف الموجة حرمتها من الحركة والحياة. أصلها، تطورها، تشغيلها، القوة التي تضرب بها الشاطئ - كل هذا تبين أنه خارج مجال رؤيتك، لأنه ليس لديك حتى الآن لغة أو جهاز رياضي مناسب للوصف والدراسة غير الثابتة، ولكن النامية والعمليات الديناميكية والمتغيرات وعلاقاتها.
"التحليل الرياضي ليس أقل شمولا من الطبيعة نفسها: فهو يحدد جميع العلاقات الملموسة، ويقيس الأزمنة، والمساحات، والقوى، ودرجات الحرارة." جي فورييه
الحركة والمتغيرات وعلاقاتها تحيط بنا في كل مكان. تشكل الأنواع المختلفة من الحركة وأنماطها الموضوع الرئيسي لدراسة علوم محددة: الفيزياء، والجيولوجيا، وعلم الأحياء، وعلم الاجتماع، وما إلى ذلك. لذلك، تبين أن اللغة الدقيقة والأساليب الرياضية المقابلة لوصف ودراسة الكميات المتغيرة ضرورية في جميع مجالات العلوم. المعرفة بنفس القدر تقريبًا مثل الأرقام والحساب ضرورية عند وصف العلاقات الكمية. لذلك يشكل التحليل الرياضي أساس اللغة والأساليب الرياضية لوصف المتغيرات والعلاقات بينها. في الوقت الحاضر، بدون تحليل رياضي، من المستحيل ليس فقط حساب المسارات الفضائية، وتشغيل المفاعلات النووية، وحركة أمواج المحيطات وأنماط تطور الأعاصير، ولكن أيضًا إدارة الإنتاج وتوزيع الموارد وتنظيم العمليات التكنولوجية اقتصاديًا، والتنبؤ بالمناخ. مسار التفاعلات الكيميائية أو التغيرات في عدد الأنواع المختلفة المترابطة في طبيعة الحيوانات والنباتات، لأن كل هذه العمليات هي عمليات ديناميكية.
كانت الرياضيات الابتدائية هي في الأساس رياضيات الكميات الثابتة، وكانت تدرس بشكل أساسي العلاقات بين عناصر الأشكال الهندسية، والخصائص الحسابية للأعداد، والمعادلات الجبرية. يمكن مقارنة موقفه من الواقع إلى حد ما بدراسة متأنية، بل وشاملة، وكاملة لكل إطار ثابت من الفيلم الذي يصور العالم الحي المتغير والمتطور في حركته، والذي، مع ذلك، غير مرئي في إطار منفصل و والتي لا يمكن ملاحظتها إلا من خلال النظر إلى الشريط ككل. ولكن مثلما لا يمكن تصور السينما بدون التصوير الفوتوغرافي، فإن الرياضيات الحديثة مستحيلة دون ذلك الجزء الذي نسميه تقليديا الابتدائية، دون أفكار وإنجازات العديد من العلماء البارزين، مفصولة أحيانا بعشرات القرون.
الرياضيات متحدة، والجزء "الأعلى" منها مرتبط بالجزء "الابتدائي" بنفس الطريقة التي يرتبط بها الطابق التالي من منزل قيد الإنشاء بالطابق السابق، واتساع الآفاق التي تفتحها الرياضيات بالنسبة لنا في العالم من حولنا يعتمد على أي طابق من هذا المبنى تمكنا من الوصول إليه. ولد في القرن السابع عشر. لقد فتح التحليل الرياضي الفرص أمامنا للوصف العلمي والدراسة الكمية والنوعية للمتغيرات والحركة بالمعنى الواسع للكلمة.
ما هي شروط ظهور التحليل الرياضي؟
بحلول نهاية القرن السابع عشر. لقد نشأت الحالة التالية. أولاً، في إطار الرياضيات نفسها، تراكمت على مدى سنوات عديدة بعض الفئات المهمة من المسائل من نفس النوع (على سبيل المثال، مشاكل قياس مساحات وأحجام الأشكال غير القياسية، ومشاكل رسم مماسات المنحنيات) وطرق حلها. وقد ظهر حلها في مختلف الحالات الخاصة. ثانيًا، اتضح أن هذه المشكلات ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمشاكل وصف الحركة الميكانيكية التعسفية (ليست بالضرورة موحدة)، وخاصة مع حساب خصائصها اللحظية (السرعة، والتسارع في أي وقت)، وكذلك مع إيجاد المسافة المقطوعة للحركة التي تحدث بسرعة متغيرة معينة. كان حل هذه المشاكل ضروريًا لتطوير الفيزياء وعلم الفلك والتكنولوجيا.
وأخيرا، ثالثا، بحلول منتصف القرن السابع عشر. وضعت أعمال R. Descartes و P. Fermat أسس الطريقة التحليلية للإحداثيات (ما يسمى بالهندسة التحليلية)، والتي مكنت من صياغة مشاكل هندسية وفيزيائية ذات أصل غير متجانس في لغة الأرقام العامة (التحليلية) والتبعيات العددية، أو كما نقول الآن، الدوال العددية.
|
نيكولاي نيكولايفيتش لوزين
لوزين - عالم رياضيات سوفيتي، مؤسس المدرسة السوفيتية لنظرية الوظيفة، أكاديمي (1929). ولد لوزين في تومسك ودرس في صالة تومسك للألعاب الرياضية. أدت شكليات دورة الرياضيات في صالة الألعاب الرياضية إلى نفور الشاب الموهوب، ولم يتمكن سوى مدرس قادر من أن يكشف له جمال وعظمة العلوم الرياضية. في عام 1901، دخل لوزين قسم الرياضيات بكلية الفيزياء والرياضيات بجامعة موسكو. منذ السنوات الأولى من دراسته، دخلت القضايا المتعلقة باللانهاية في دائرة اهتماماته. في نهاية القرن التاسع عشر. ابتكر العالم الألماني ج. كانتور النظرية العامة للمجموعات اللانهائية، والتي تلقت تطبيقات عديدة في دراسة الدوال المتقطعة. بدأ لوزين في دراسة هذه النظرية، لكن دراسته توقفت في عام 1905. واضطر الطالب الذي شارك في الأنشطة الثورية إلى المغادرة إلى فرنسا لفترة. وهناك استمع إلى محاضرات أبرز علماء الرياضيات الفرنسيين في ذلك الوقت. عند العودة إلى روسيا، تخرج لوزين من الجامعة وترك للتحضير للأستاذية. وسرعان ما غادر مرة أخرى إلى باريس، ثم إلى غوتنغن، حيث أصبح قريبا من العديد من العلماء وكتب أعماله العلمية الأولى. كانت المشكلة الرئيسية التي أثارت اهتمام العالم هي مسألة ما إذا كان من الممكن وجود مجموعات تحتوي على عناصر أكثر من مجموعة الأعداد الطبيعية، ولكن أقل من مجموعة النقاط على القطعة (مشكلة الاستمرارية). بالنسبة لأي مجموعة لا نهائية يمكن الحصول عليها من الأجزاء باستخدام عمليتي الاتحاد والتقاطع لمجموعات معدودة من المجموعات، فقد تم استيفاء هذه الفرضية، ومن أجل حل المشكلة، كان من الضروري معرفة الطرق الأخرى الموجودة لبناء المجموعات . في الوقت نفسه، درس لوزين مسألة ما إذا كان من الممكن تمثيل أي دالة دورية، حتى لو كانت ذات نقاط انقطاع لا حصر لها، كمجموع لسلسلة مثلثية، أي. مجموع عدد لا نهائي من الاهتزازات التوافقية. حصل لوزين على عدد من النتائج المهمة حول هذه القضايا، وفي عام 1915 دافع عن أطروحته بعنوان "المتسلسلات التكاملية والمثلثية"، والتي حصل على الفور على درجة الدكتوراه الأكاديمية في الرياضيات البحتة، متجاوزًا درجة الماجستير المتوسطة التي كانت موجودة في ذلك الوقت. في عام 1917، أصبح لوزين أستاذًا في جامعة موسكو. مدرس موهوب، اجتذب الطلاب الأكثر قدرة وعلماء الرياضيات الشباب. وصلت مدرسة لوزين إلى ذروتها في السنوات الأولى بعد الثورة. شكل طلاب لوزين فريقًا إبداعيًا، أطلقوا عليه مازحين اسم "لوسيتانيا". حصل العديد منهم على نتائج علمية من الدرجة الأولى بينما كانوا لا يزالون طلابًا. على سبيل المثال، اكتشف P. S. Aleksandrov و M. Ya. Suslin (1894-1919) طريقة جديدة لبناء المجموعات، والتي كانت بمثابة بداية تطوير اتجاه جديد - نظرية المجموعة الوصفية. أظهرت الأبحاث التي أجراها لوزين وطلابه في هذا المجال أن الأساليب المعتادة لنظرية المجموعات ليست كافية لحل العديد من المشكلات التي تنشأ فيها. تم تأكيد تنبؤات لوزين العلمية بالكامل في الستينيات. القرن العشرين أصبح العديد من طلاب N. N. Luzin فيما بعد أكاديميين وأعضاء مناظرين في أكاديمية العلوم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية. من بينهم P. S. Alexandrov. أ.ن.كولموغوروف. M. A. Lavrentiev، L. A. Lyusternik، D. E. Menshov، P. S. Novikov. L. G. شنيرلمان وآخرون. يقوم علماء الرياضيات السوفييت والأجانب المعاصرون في أعمالهم بتطوير أفكار N. N. Luzin. |
أدى التقاء هذه الظروف إلى حقيقة أنه في نهاية القرن السابع عشر. نجح عالمان - نيوتن وج. لايبنتز - بشكل مستقل عن بعضهما البعض في إنشاء جهاز رياضي لحل هذه المشكلات، وتلخيص وتعميم النتائج الفردية لأسلافهما، بما في ذلك العالم القديم أرخميدس ومعاصري نيوتن ولايبنتز - ب. كافاليري، ب. باسكال، د. غريغوري، آي. بارو. شكل هذا الجهاز أساس التحليل الرياضي - وهو فرع جديد من الرياضيات يدرس عمليات التطوير المختلفة، أي. العلاقات بين المتغيرات، والتي تسمى في الرياضيات بالتبعيات الوظيفية، أو بمعنى آخر، الوظائف. بالمناسبة، كان مصطلح "الوظيفة" نفسه مطلوبًا ونشأ بشكل طبيعي في القرن السابع عشر، والآن اكتسب ليس فقط أهمية رياضية عامة، ولكن أيضًا أهمية علمية عامة.
المعلومات الأولية حول المفاهيم الأساسية والأجهزة الرياضية للتحليل ترد في المقالات "حساب التفاضل والتكامل" و"حساب التكامل".
في الختام، أود أن أتطرق إلى مبدأ واحد فقط من مبادئ التجريد الرياضي، وهو مشترك بين جميع الرياضيات وخاصية التحليل، وفي هذا الصدد أشرح الشكل الذي يدرس به التحليل الرياضي المتغيرات وما هو سر هذه العالمية لأساليبه في الدراسة جميع أنواع عمليات التطوير المحددة والعلاقات المتبادلة بينها.
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة التوضيحية والقياسات.
في بعض الأحيان لم نعد ندرك أن، على سبيل المثال، علاقة رياضية مكتوبة ليس للتفاح أو الكراسي أو الفيلة، ولكن في شكل مجرد مجردة من أشياء محددة، هي إنجاز علمي متميز. وهذا قانون رياضي، كما تظهر التجربة، ينطبق على أشياء محددة مختلفة. وهذا يعني أنه من خلال دراسة الخصائص العامة للأرقام المجردة والمجردة في الرياضيات، فإننا ندرس العلاقات الكمية في العالم الحقيقي.
على سبيل المثال، من دورة الرياضيات المدرسية، من المعروف أنه في موقف معين يمكنك أن تقول: "إذا لم يعطوني شاحنتين قلابتين سعة ستة أطنان لنقل 12 طنًا من التربة، فيمكنني أن أطلب لثلاث شاحنات قلابة سعة أربعة أطنان وسيتم إنجاز العمل، وإذا أعطوني شاحنة قلابة واحدة فقط سعة أربعة أطنان، فسيتعين عليها القيام بثلاث رحلات جوية. وبالتالي، فإن الأرقام المجردة والأنماط العددية المألوفة لنا الآن ترتبط بمظاهرها وتطبيقاتها المحددة.
ترتبط قوانين التغيير في متغيرات محددة وعمليات الطبيعة النامية بنفس الطريقة تقريبًا بالوظيفة الشكلية المجردة التي تظهر فيها ويتم دراستها في التحليل الرياضي.
على سبيل المثال، قد تعكس النسبة المجردة اعتماد شباك التذاكر في السينما على عدد التذاكر المباعة، إذا كان 20 هو 20 كوبيل - سعر تذكرة واحدة. ولكن إذا كنا نركب دراجة هوائية على طريق سريع، ونسير بسرعة 20 كيلومترًا في الساعة، فيمكن تفسير هذه النسبة نفسها على أنها العلاقة بين الوقت (الساعات) الذي قطعناه في رحلة ركوب الدراجات والمسافة المقطوعة خلال هذا الوقت (الكيلومترات). قل دائمًا، على سبيل المثال، أن التغيير عدة مرات يؤدي إلى تغيير تناسبي (أي نفس عدد المرات) في قيمة، وإذا كان، فإن الاستنتاج المعاكس صحيح أيضًا. وهذا يعني، على وجه الخصوص، لمضاعفة شباك التذاكر لمسرح السينما، سيتعين عليك جذب ضعف عدد المتفرجين، ومن أجل السفر ضعف المسافة بالدراجة بنفس السرعة، سيتعين عليك ركوب ضعف المدة .
تدرس الرياضيات كلاً من أبسط التبعيات وغيرها من التبعيات الأكثر تعقيدًا في شكل عام مجرد، مستخرج من تفسير معين. خصائص الوظيفة أو طرق دراسة هذه الخصائص المحددة في مثل هذه الدراسة ستكون ذات طبيعة تقنيات واستنتاجات وقوانين واستنتاجات رياضية عامة تنطبق على كل ظاهرة محددة تحدث فيها الوظيفة المدروسة بشكل مجرد، بغض النظر عن المجال من المعرفة تنتمي هذه الظاهرة .
لذلك، تم تشكيل التحليل الرياضي كفرع من الرياضيات في نهاية القرن السابع عشر. إن موضوع الدراسة في التحليل الرياضي (كما يظهر من المواقف الحديثة) هو الدوال، أو بمعنى آخر التبعيات بين الكميات المتغيرة.
مع ظهور التحليل الرياضي، أصبحت الرياضيات متاحة لدراسة وانعكاس العمليات النامية في العالم الحقيقي؛ الرياضيات شملت المتغيرات والحركة.
ونظرًا لعالميته، يُستخدم البحث الرياضي في مجالات بعيدة جدًا عن الرياضيات. ويفسر ذلك أن أي حكم أو قاعدة أو قانون مكتوب باللغة الرياضية يصبح أداة للتنبؤ (التنبؤ)، وهي المهمة الأهم في كل بحث علمي.
أساس الرياضيات التقليدية (الكلاسيكية) هو نظام من البديهيات، والتي يتم الحصول على النتائج منها عن طريق الاستنباط، والتي يتم تقديمها في شكل ليمات، ونظريات، وما إلى ذلك. الحلول التحليلية التي تم الحصول عليها على أساسها دقيقة في الحد الأقصى. في إطار هذه الأساليب، تتم دراسة المسائل المتعلقة بوجود الحلول، وتفردها، وكذلك الاستقرار والتقارب مع حلول دقيقة تمامًا مع زيادة غير محدودة في عددها.
ويساهم تطوير مثل هذه الأساليب في تطوير الرياضيات نفسها (ظهور فروع واتجاهات جديدة). ومع ذلك، لحل العديد من المهام التطبيقية، فقد تبين أنها غير فعالة، حيث أن استخدامها من الضروري تقديم الكثير من الافتراضات، مما يؤدي إلى حقيقة أن النموذج الرياضي للعملية قيد الدراسة يختلف بشكل كبير عن النموذج الحقيقي العملية الجسدية.
وفي هذا الصدد نشأ فرع في الرياضيات يسمى الرياضيات التطبيقية.الفرق الرئيسي بينه وبين التقليدي هو أننا هنا لا نجد حلاً دقيقًا، بل تقريبيًا بدقة كافية للتطبيقات الهندسية، ولكن دون مراعاة الافتراضات التي يتم إجراؤها في إطار الرياضيات الكلاسيكية. يتم تقييم دقة الحلول التي تم الحصول عليها من خلال مقارنتها بالحلول الدقيقة لأي مشاكل اختبارية أو بنتائج الدراسات التجريبية.
تشمل طرق الرياضيات التطبيقية الطرق التغايرية (ريتز، تريفتز، كانتوروفيتش، وما إلى ذلك)، والأساليب المتعامدة للبقايا الموزونة (بوبنوف-جاليركين، كانتوروفيتش)، والتجميعات، والعزوم، والمربعات الصغرى، وما إلى ذلك؛ طرق الاختلاف التبايني (العناصر المحدودة، العناصر الحدودية، الطريقة الطيفية، إلخ) - تنتمي جميعها إلى مجموعة ما يسمى طرق مباشرة- هذه طرق تحليلية تقريبية لحل مشاكل الفيزياء الرياضية التي تقلل من حل المعادلات التفاضلية والتكاملية إلى حل أنظمة المعادلات الخطية الجبرية. دعونا نلقي نظرة سريعة على التسلسل الزمني لتطور هذه الأساليب وجوهرها المادي.
في عام 1662، صاغ عالم الرياضيات الفرنسي ب. فيرما قانون انكسار الضوء عند حدود وسطين على النحو التالي: لجميع المسارات الممكنة للضوء من نقطة ما أأن نشير فييتم تنفيذ الذي يصل فيه وقت الحركة إلى الحد الأدنى. كانت هذه إحدى الصيغ الأولى لمبدأ التباين.
في عام 1696، صاغ آي. برنولي مشكلة إيجاد طول المسار (المسار) الذي تتحرك عبره نقطة مادية من نقطة ما أوتحت تأثير الجاذبية وحدها يصل إلى النقطة في أقصر وقت في.العثور على مثل هذا المنحنى يسمى منحني الزمن الاصغر(منحنى الهبوط الأكثر انحدارًا)، يقلل من تحديد الحد الأدنى من الوظائف
في ظل ظروف الحدود في (0) = 0; ص (أ) = ص أ،وهي إحداثيات نقاط البداية والنهاية للحركة.
هنا ت -وقت الهبوط الحاد. ز-تسارع الجاذبية.
مقدمة من الوظائف (أ)يمثل بداية ظهور حساب التفاضل والتكامل من الاختلافات. تتم كتابة هذه الوظائف بشكل عام على النحو التالي:
في ظل ظروف الحدود ص (أ) = أ =مقدار ثابت، ص(ب) = ب= ثابت.
عادة في مسائل الفيزياء الرياضية يتم العثور على الحدود القصوى لبعض الوظائف في = ص(س).تكمن أهمية حساب التفاضل والتكامل في حقيقة أنه يتم هنا تحديد الحدود القصوى للكميات الأكثر تعقيدًا من الوظائف - الحدود القصوى للوظائف J = J من الوظائف ص(س).وفي هذا الصدد، فتحت الفرص لدراسة الأشياء المادية الجديدة وتطوير اتجاهات رياضية جديدة.
في عام 1774، أظهر L. Euler أنه إذا كانت الوظيفة ص (خ)يسلم الحد الأدنى للتكامل الخطي ي = ي[ص(خ)،ثم يجب أن تحقق بعض المعادلات التفاضلية، والتي تسمى فيما بعد معادلات أويلر.وكان اكتشاف هذه الحقيقة إنجازا هاما في النمذجة الرياضية (بناء النماذج الرياضية). أصبح من الواضح أنه يمكن تمثيل نفس النموذج الرياضي في شكلين متكافئين: في شكل دالة أو في شكل معادلة أويلر التفاضلية (نظام المعادلات التفاضلية). في هذا الصدد، يسمى استبدال المعادلة التفاضلية بالدالة المسألة العكسية لحساب التفاضل والتكامل للتغيرات.وبالتالي، يمكن اعتبار حل مشكلة الحد الأقصى للدالة بنفس طريقة حل معادلة أويلر التفاضلية المقابلة لهذه الدالة. وبالتالي، يمكن تقديم الصيغة الرياضية لنفس المشكلة الفيزيائية إما في شكل دالة مع الشروط الحدودية المقابلة (يوفر الحد الأقصى لهذه الدالة حلاً للمشكلة الفيزيائية)، أو في شكل معادلة أويلر التفاضلية المقابلة لهذه الدالة بنفس الشروط الحدودية (تكامل هذه المعادلة يوفر حلاً للمشكلة).
تم تسهيل الانتشار الواسع النطاق للطرق المتباينة في العلوم التطبيقية من خلال ظهور منشور من تأليف دبليو ريتز في عام 1908، مرتبطًا بطريقة تقليل الوظائف، والتي سُميت فيما بعد طريقة ريتز.تعتبر هذه الطريقة الطريقة التباينية الكلاسيكية. فكرتها الرئيسية هي أن الوظيفة المطلوبة ص = ذ(س) ذتسليم الوظيفة (أ ) معشروط الحدود ص (أ) = أ، ص (ب) = فيالحد الأدنى للقيمة، تم البحث عنها كسلسلة
أين سي جيه (ط = 0، yy) - معاملات غير معروفة؛ (ص/(د) (ص = 0، ف) -وظائف الإحداثيات (السليلة الجبرية أو المثلثية).
تم العثور على وظائف الإحداثيات في شكل يفي تمامًا بالشروط الحدودية للمشكلة.
استبدال (ج) في (أ) بعد تحديد مشتقات الدالة جمن المجهولات C، (r = 0، r) فيما يتعلق بالأخير، يتم الحصول على نظام من المعادلات الخطية الجبرية. وبعد تحديد المعاملات C يتم إيجاد حل المشكلة في الصورة المغلقة من (ج).
عند استخدام عدد كبير من مصطلحات السلسلة (ج) (ص- 5 ؟ °о) من حيث المبدأ من الممكن الحصول على حل بالدقة المطلوبة. ومع ذلك، كيف إظهار حسابات مشاكل محددة، مصفوفة المعاملات ج، (ز = 0, ف)عبارة عن مصفوفة مربعة مملوءة مع انتشار كبير للمعاملات في القيمة المطلقة. مثل هذه المصفوفات تكون قريبة من المفرد، وعادة ما تكون غير مشروطة. وذلك لأنها لا تستوفي أيًا من الشروط التي يمكن بموجبها أن تكون المصفوفات مكيفة جيدًا. دعونا نلقي نظرة على بعض هذه الشروط.
- 1. التحديد الإيجابي للمصفوفة (المصطلحات الموجودة على القطر الرئيسي يجب أن تكون موجبة وأقصى).
- 2. عرض الشريط للمصفوفة نسبة إلى القطر الرئيسي مع الحد الأدنى لعرض الشريط (معاملات المصفوفة الموجودة خارج الشريط تساوي الصفر).
- 3. تماثل المصفوفة بالنسبة للقطري الرئيسي.
في هذا الصدد، مع زيادة التقريبات في طريقة ريتز، يميل رقم حالة المصفوفة، الذي يتم تحديده بنسبة الحد الأقصى إلى الحد الأدنى من القيمة الذاتية، إلى قيمة كبيرة بلا حدود. ودقة الحل الناتج، بسبب التراكم السريع لأخطاء التقريب عند حل أنظمة كبيرة من المعادلات الخطية الجبرية، قد لا تتحسن، بل تتفاقم.
جنبا إلى جنب مع طريقة ريتز، تم تطوير طريقة جاليركين ذات الصلة. في عام 1913، أثبت آي جي بوبنوف أن المعادلات الخطية الجبرية فيما يتعلق بالمجاهول C، (/ = 0، ص) من (ج) يمكن الحصول عليها دون استخدام دالة من النموذج (أ). تتضمن الصياغة الرياضية للمشكلة في هذه الحالة معادلة تفاضلية ذات شروط حدودية مناسبة. ويصنع الحل كما في طريقة ريتز على الصورة (ج). بفضل التصميم الخاص للوظائف الإحداثية φ,(x)، فإن الحل (ج) يفي تمامًا بالشروط الحدودية للمشكلة. لتحديد المعاملات غير المعروفة C، (ز = 0, ف)يتم تجميع تناقض المعادلة التفاضلية ويجب أن يكون التناقض متعامدًا مع جميع وظائف الإحداثيات φ 7 Cr) (/ = أنا = 0, ف).تحديد المتلقين هناك تكاملات بالنسبة للمعاملات المجهولة C، (ز= 0، r) نحصل على نظام من المعادلات الخطية الجبرية يتطابق تمامًا مع نظام المعادلات المماثلة لطريقة ريتز. وبالتالي، عند حل نفس المشكلات باستخدام نفس أنظمة الوظائف الإحداثية، تؤدي طرق ريتز وبوبنوف-جاليركين إلى نفس النتائج.
على الرغم من هوية النتائج التي تم الحصول عليها، إلا أن الميزة المهمة لطريقة بوبنوف-جاليركين مقارنة بطريقة ريتز هي أنها لا تتطلب بناء تماثل تغيري (وظيفي) للمعادلة التفاضلية. لاحظ أنه لا يمكن دائمًا بناء مثل هذا التناظري. فيما يتعلق بطريقة Bubnov-Galerkin، يمكن حل المشكلات التي لا تنطبق عليها الطرق التغايرية الكلاسيكية.
طريقة أخرى تنتمي إلى المجموعة المتغيرة هي طريقة كانتوروفيتش. وميزتها المميزة هي أن المعاملات المجهولة في المجموعات الخطية من النوع (ج) ليست ثوابت، بل دوال تعتمد على أحد المتغيرات المستقلة للمشكلة (على سبيل المثال، الوقت). هنا، كما هو الحال في طريقة Bubnov-Galerkin، يتم تجميع التناقض في المعادلة التفاضلية ويشترط أن يكون التناقض متعامدًا مع جميع الدوال الإحداثية (ru(дг) (ي = ط = 0, ف).بعد تحديد التكاملات فيما يتعلق بالوظائف غير المعروفة إف جي (خ)سيكون لدينا نظام من المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى. تم تطوير طرق حل هذه الأنظمة بشكل جيد (تتوفر برامج كمبيوتر قياسية).
أحد الاتجاهات في حل مشاكل القيمة الحدودية هو الاستخدام المشترك للطرق التحليلية الدقيقة (فورييه، التحويلات التكاملية، وما إلى ذلك) والتقريبية (المتغيرة، والمتبقية الموزونة، والتجميعات، وما إلى ذلك). مثل هذا النهج المتكامل يجعل من الممكن تحقيق أقصى استفادة من الجوانب الإيجابية لهذين الجهازين الأكثر أهمية في الرياضيات التطبيقية، لأنه يصبح من الممكن، دون إجراء حسابات رياضية دقيقة ومرهقة، الحصول على تعبيرات في شكل بسيط مكافئ إلى الجزء الرئيسي من الحل الدقيق، الذي يتكون من سلسلة وظيفية لا حصر لها. بالنسبة للحسابات العملية، كقاعدة عامة، يتم استخدام هذا المبلغ الجزئي لعدة مصطلحات. عند استخدام مثل هذه الطرق، للحصول على نتائج أكثر دقة في القسم الأولي من الإحداثيات المكافئة، من الضروري إجراء عدد كبير من التقديرات التقريبية. ومع ذلك، مع كبيرة صتؤدي الدوال الإحداثية مع المؤشرات المجاورة إلى معادلات جبرية مرتبطة بعلاقة خطية تقريبًا. مصفوفة المعاملات في هذه الحالة، كونها مصفوفة مربعة مملوءة، قريبة من المفرد وتبين، كقاعدة عامة، أنها غير مشروطة. وعندما ص- 3؟ °° قد لا يتقارب الحل التقريبي حتى مع حل ضعيف الدقة. يمثل حل أنظمة المعادلات الخطية الجبرية باستخدام مصفوفات غير مشروطة صعوبات فنية كبيرة بسبب التراكم السريع لأخطاء التقريب. لذلك، يجب حل أنظمة المعادلات هذه بدقة عالية للحسابات المتوسطة.
مكانة خاصة بين الطرق التحليلية التقريبية التي تتيح الحصول على حلول تحليلية في القسم الأولي من إحداثيات الزمن (القطع المكافئ) تحتلها الطرق التي تستخدم المفهوم أمام اضطراب درجة الحرارة.وفقًا لهذه الطرق، يتم تقسيم عملية تسخين أو تبريد الأجسام برمتها رسميًا إلى مرحلتين. يتميز الأول منهما بانتشار اضطراب درجة الحرارة الأمامي تدريجيًا من سطح الجسم إلى مركزه، والثاني بتغير درجة الحرارة في كامل حجم الجسم حتى بداية حالة الثبات. يسمح هذا التقسيم للعملية الحرارية إلى مرحلتين زمنياً بحل مشاكل التوصيل الحراري غير الثابت خطوة بخطوة ولكل مرحلة على حدة، كقاعدة عامة، في التقريب الأول، يتم العثور على صيغ حسابية مرضية من حيث الدقة، وبسيط جدًا ومريح في التطبيقات الهندسية. تحتوي هذه الطرق أيضًا على عيب كبير، وهو الحاجة إلى اختيار مسبق لاعتماد الإحداثيات لوظيفة درجة الحرارة المطلوبة. عادةً ما يتم قبول القطع المكافئ التربيعي أو المكعب. يؤدي هذا الغموض في الحل إلى ظهور مشكلة الدقة، لأنه بافتراض ملف تعريف أو آخر لمجال درجة الحرارة مسبقًا، سنحصل في كل مرة على نتائج نهائية مختلفة.
ومن بين الطرق التي تستخدم فكرة السرعة المحدودة لحركة الجزء الأمامي من اضطراب درجة الحرارة، فإن الأكثر انتشارا هي طريقة التوازن الحراري التكاملي. بمساعدتها، يمكن اختزال المعادلة التفاضلية الجزئية إلى معادلة تفاضلية عادية بشروط أولية معينة، والتي يمكن غالبًا الحصول على حلها في شكل تحليلي مغلق. على سبيل المثال، يمكن استخدام الطريقة المتكاملة لحل المشكلات تقريبًا عندما لا تكون الخواص الفيزيائية الحرارية ثابتة، ولكن يتم تحديدها من خلال الاعتماد الوظيفي المعقد، والمشكلات التي يجب أيضًا أن يؤخذ فيها الحمل الحراري في الاعتبار، إلى جانب التوصيل الحراري. تتميز الطريقة المتكاملة أيضًا بالعيب المذكور أعلاه - وهو الاختيار المسبق لملف تعريف درجة الحرارة، مما يؤدي إلى ظهور مشكلة تفرد الحل ويؤدي إلى انخفاض دقته.
تم تقديم أمثلة عديدة لتطبيق الطريقة المتكاملة لحل مشاكل التوصيل الحراري في عمل T. Goodman. في هذا العمل، بالإضافة إلى توضيح الإمكانيات العظيمة، تظهر حدوده أيضًا. وبالتالي، على الرغم من إمكانية حل العديد من المشكلات بنجاح باستخدام الطريقة المتكاملة، إلا أن هناك فئة كاملة من المشكلات التي لا تنطبق عليها هذه الطريقة عمليًا. هذه، على سبيل المثال، مشاكل تتعلق بالتغييرات النبضية في وظائف الإدخال. والسبب هو أن ملف درجة الحرارة في شكل القطع المكافئ التربيعي أو المكعب لا يتوافق مع ملف درجة الحرارة الحقيقي لمثل هذه المشاكل. ولذلك، إذا كان التوزيع الحقيقي لدرجة الحرارة في الجسم قيد الدراسة يأخذ شكل وظيفة غير رتيبة، فمن المستحيل الحصول على حل مرض يتوافق مع المعنى الفيزيائي للمشكلة تحت أي ظرف من الظروف.
إحدى الطرق الواضحة لتحسين دقة الطريقة التكاملية هي استخدام دوال درجة الحرارة متعددة الحدود ذات الترتيب الأعلى. وفي هذه الحالة، فإن شروط الحدود الرئيسية وشروط السلاسة في مقدمة اضطراب درجة الحرارة ليست كافية لتحديد معاملات مثل هذه كثيرات الحدود. في هذا الصدد، هناك حاجة للبحث عن الظروف الحدودية المفقودة، والتي، إلى جانب الظروف المعطاة، من شأنها أن تسمح لنا بتحديد معاملات ملف درجة الحرارة الأمثل لترتيب أعلى، مع الأخذ في الاعتبار جميع الميزات الفيزيائية للكوكب. مشكلة قيد الدراسة يمكن الحصول على مثل هذه الشروط الحدودية الإضافية من شروط الحدود الرئيسية والمعادلة التفاضلية الأصلية عن طريق التمييز بينها عند النقاط الحدودية في الإحداثيات المكانية والزمنية.
عند دراسة مشاكل انتقال الحرارة المختلفة، من المفترض أن الخواص الفيزيائية الحرارية لا تعتمد على درجة الحرارة، ويتم أخذ الظروف الخطية كشروط حدودية. ومع ذلك، إذا تغيرت درجة حرارة الجسم على نطاق واسع، فنتيجة لاعتماد الخواص الفيزيائية الحرارية على درجة الحرارة، تصبح معادلة التوصيل الحراري غير خطية. يصبح حلها أكثر تعقيدا، والطرق التحليلية الدقيقة المعروفة غير فعالة. تسمح طريقة التوازن الحراري المتكامل بالتغلب على بعض الصعوبات المرتبطة بعدم خطية المشكلة. على سبيل المثال، فهو يقلل من معادلة تفاضلية جزئية ذات شروط حدودية غير خطية إلى معادلة تفاضلية عادية ذات شروط أولية معينة، والتي غالبًا ما يمكن الحصول على حلها في شكل تحليلي مغلق.
من المعروف أنه يتم حاليًا الحصول على حلول تحليلية دقيقة فقط للمشكلات في صيغة رياضية مبسطة، عندما لا يتم أخذ العديد من الخصائص المهمة للعمليات في الاعتبار (اللاخطية، وتباين الخصائص والشروط الحدودية، وما إلى ذلك). كل هذا يؤدي إلى انحراف كبير في النماذج الرياضية عن العمليات الفيزيائية الحقيقية التي تحدث في محطات توليد طاقة معينة. بالإضافة إلى ذلك، يتم التعبير عن الحلول الدقيقة من خلال سلسلة وظيفية معقدة لا حصر لها، والتي تتقارب ببطء بالقرب من النقاط الحدودية والقيم الصغيرة لإحداثيات الوقت. مثل هذه الحلول قليلة الفائدة للتطبيقات الهندسية، وخاصة في الحالات التي يكون فيها حل مشكلة درجة الحرارة مرحلة وسطية في حل بعض المشاكل الأخرى (مشاكل المرونة الحرارية، المشاكل العكسية، مشاكل التحكم، الخ). وفي هذا الصدد، فإن طرق الرياضيات التطبيقية المذكورة أعلاه تحظى باهتمام كبير، مما يجعل من الممكن الحصول على حلول، وإن كانت تقريبية، في شكل تحليلي، بدقة كافية في كثير من الحالات للتطبيقات الهندسية. تتيح هذه الأساليب توسيع نطاق المشكلات بشكل كبير والتي يمكن الحصول على حلول تحليلية لها مقارنةً بالطرق الكلاسيكية.
أصبحت طريقة المشروع، التي لديها إمكانات هائلة لتشكيل إجراءات تعليمية عالمية، منتشرة بشكل متزايد في نظام التعليم المدرسي، ولكن من الصعب جدًا "ملاءمة" طريقة المشروع في نظام الفصل الدراسي. أقوم بتضمين دراسات مصغرة في الدرس العادي. يفتح هذا النوع من العمل فرصا كبيرة لتشكيل النشاط المعرفي ويضمن مراعاة الخصائص الفردية للطلاب، مما يمهد الطريق لتنمية المهارات في المشاريع الكبيرة.
تحميل:
معاينة:
"إذا لم يتعلم الطالب في المدرسة إنشاء أي شيء بنفسه، فلن يقوم إلا بالتقليد والنسخ في الحياة، نظرًا لوجود عدد قليل من الأشخاص الذين، بعد أن تعلموا النسخ، سيكونون قادرين على تطبيق هذه المعلومات بشكل مستقل." إل.ن.تولستوي.
من السمات المميزة للتعليم الحديث الزيادة الحادة في كمية المعلومات التي يحتاج الطلاب إلى تعلمها. يتم قياس وتقييم درجة تطور الطالب من خلال قدرته على اكتساب المعرفة الجديدة بشكل مستقل واستخدامها في الأنشطة التعليمية والعملية. تتطلب العملية التربوية الحديثة استخدام التقنيات المبتكرة في التدريس.
يتطلب الجيل الجديد من المعايير التعليمية الحكومية الفيدرالية استخدام تقنيات نوع النشاط في العملية التعليمية ويتم تحديد أساليب التصميم وأنشطة البحث كأحد شروط تنفيذ البرنامج التعليمي الرئيسي.
يتم إعطاء دور خاص لمثل هذه الأنشطة في دروس الرياضيات، وهذا ليس من قبيل الصدفة. الرياضيات هي المفتاح لفهم العالم، وأساس التقدم العلمي والتكنولوجي وعنصر مهم في التنمية الشخصية. وهو مصمم لتنمية قدرة الشخص على فهم معنى المهمة الموكلة إليه، والقدرة على التفكير المنطقي، واكتساب مهارات التفكير الخوارزمي.
من الصعب جدًا ملاءمة طريقة المشروع مع نظام الفصل الدراسي. أحاول الجمع بين الأنظمة التقليدية والأنظمة التي تركز على المتعلم بحكمة من خلال دمج عناصر الاستقصاء في الدرس العادي. سأعطي عددا من الأمثلة.
لذلك، عند دراسة موضوع "الدائرة"، نقوم بإجراء البحث التالي مع الطلاب.
دراسة رياضية "الدائرة".
- فكر في كيفية بناء دائرة، ما هي الأدوات اللازمة لذلك. رمز الدائرة.
- من أجل تحديد دائرة، دعونا ننظر إلى خصائص هذا الشكل الهندسي. قم بتوصيل مركز الدائرة بنقطة تابعة للدائرة. دعونا نقيس طول هذا الجزء. دعونا نكرر التجربة ثلاث مرات. دعونا نستنتج.
- الجزء الذي يربط مركز الدائرة بأي نقطة عليها يسمى نصف قطر الدائرة. هذا هو تعريف نصف القطر. تعيين الشعاع. باستخدام هذا التعريف، قم ببناء دائرة نصف قطرها 2 سم 5 مم.
- بناء دائرة نصف قطرها التعسفي. بناء نصف قطر وقياسه. سجل قياساتك. قم ببناء ثلاثة أنصاف أقطار مختلفة. كم نصف قطر يمكن رسمه في الدائرة؟
- دعونا نحاول معرفة خاصية نقاط الدائرة، وإعطاء تعريفها.
- بناء دائرة نصف قطرها التعسفي. قم بتوصيل نقطتين على الدائرة بحيث يمر هذا الجزء بمركز الدائرة. هذا الجزء يسمى القطر. دعونا نحدد القطر. تسمية القطر. بناء ثلاثة أقطار أخرى. كم عدد أقطار الدائرة؟
- بناء دائرة نصف قطرها التعسفي. قياس القطر ونصف القطر. قارنهم. كرر التجربة ثلاث مرات أخرى مع دوائر مختلفة. استخلاص النتائج.
- قم بتوصيل أي نقطتين على الدائرة. الجزء الناتج يسمى الوتر. دعونا نحدد الوتر. بناء ثلاثة أوتار أخرى. كم عدد الأوتار التي تحتوي عليها الدائرة؟
- هل نصف القطر وتر؟ اثبت ذلك.
- هل القطر وتر؟ اثبت ذلك.
قد تكون الأعمال البحثية ذات طبيعة تمهيدية. بعد فحص الدائرة، يمكنك التفكير في عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام التي يمكن للطلاب صياغتها على مستوى الفرضية، ثم إثبات هذه الفرضية. على سبيل المثال الدراسة التالية:
"البحث الرياضي"
- أنشئ دائرة نصف قطرها 3 سم وارسم قطرها. قم بتوصيل طرفي القطر بنقطة عشوائية على الدائرة وقياس الزاوية التي تشكلها الحبال. قم بتنفيذ نفس الإنشاءات لدائرتين أخريين. ماذا تلاحظ؟
- كرر التجربة لدائرة ذات نصف قطر عشوائي وقم بصياغة فرضية. هل يمكن اعتباره مثبتًا باستخدام الإنشاءات والقياسات التي تم إجراؤها؟
عند دراسة موضوع "الموضع النسبي للخطوط على المستوى"، يتم إجراء البحث الرياضي في مجموعات.
مهام للمجموعات:
- مجموعة.
1. في نظام إحداثي واحد، قم بإنشاء رسوم بيانية للدالة
ص = 2س، ص = 2س+7، ص = 2س+3، ص = 2س-4، ص = 2س-6.
2. أجب عن الأسئلة من خلال ملء الجدول:
مقدمة. أبحاث عمليات الانضباط وماذا تفعل
يعود تاريخ نشأة بحوث العمليات كفرع مستقل من الرياضيات التطبيقية إلى الأربعينيات والخمسينيات. تميز العقد ونصف العقد التاليين بالتطبيق الواسع النطاق للنتائج النظرية الأساسية التي تم الحصول عليها على مختلف المشكلات العملية وما يرتبط بها من إعادة التفكير في القدرات المحتملة للنظرية. ونتيجة لذلك، اكتسبت بحوث العمليات سمات النظام العلمي الكلاسيكي، والتي بدونها لا يمكن تصور التعليم الاقتصادي الأساسي.
بالانتقال إلى المهام والمشكلات التي تشكل موضوع بحوث العمليات، لا يسع المرء إلا أن يتذكر المساهمة التي قدمها ممثلو المدرسة العلمية المحلية في حلها، ومن بينهم إل. في. كانتوروفيتش، الذي أصبح في عام 1975 حائزًا على جائزة نوبل لعمله على الاستخدام الأمثل للموارد في الاقتصاد.
ترتبط بداية تطور بحوث العمليات كعلم تقليديًا بأربعينيات القرن العشرين. من بين الدراسات الأولى في هذا الاتجاه، يمكن تسمية عمل L. V. Kantorovich "الطرق الرياضية لتنظيم وتخطيط الإنتاج"، المنشور عام 1939. في الأدب الأجنبي، عادة ما تعتبر نقطة البداية هي عمل J. Dantzig، المنشور في 1947 مكرس لحل المهام الخطية المتطرفة.
تجدر الإشارة إلى أنه لا يوجد تعريف صارم وراسخ ومقبول بشكل عام لموضوع بحوث العمليات. في كثير من الأحيان عند الإجابة على هذا السؤال يقال أن " بحوث العمليات هي مجموعة من الأساليب العلمية لحل مشاكل الإدارة الفعالة للأنظمة التنظيمية."
التعريف الثاني: بحوث العمليات - هذا هو الإعداد العلمي للقرار الذي يتم اتخاذه - وهو عبارة عن مجموعة من الأساليب المقترحة لإعداد وإيجاد الحلول الأكثر فعالية أو الأكثر اقتصادا.
يمكن أن تكون طبيعة الأنظمة التي تظهر في التعريف أعلاه تحت اسم "التنظيمية" مختلفة تمامًا، وتستخدم نماذجها الرياضية العامة ليس فقط في حل المشكلات الإنتاجية والاقتصادية، ولكن أيضًا في علم الأحياء والبحث الاجتماعي والمجالات العملية الأخرى. بالمناسبة، يرتبط اسم الانضباط ذاته باستخدام الأساليب الرياضية للتحكم في العمليات العسكرية.
على الرغم من تنوع مشاكل الإدارة التنظيمية، عند حلها، من الممكن تحديد تسلسل عام معين من المراحل التي يمر بها أي بحث تشغيلي. عادة هذا هو:
1. بيان المشكلة.
2. بناء نموذج (لفظي) ذو معنى للكائن (العملية) قيد النظر. في هذه المرحلة، يتم إضفاء الطابع الرسمي على هدف إدارة الكائن، ويتم تحديد إجراءات التحكم المحتملة التي تؤثر على تحقيق الهدف المصاغ، بالإضافة إلى وصف نظام القيود المفروضة على إجراءات التحكم.
3. بناء نموذج رياضي، أي ترجمة النموذج اللفظي المبني إلى شكل يمكن من خلاله استخدام الأجهزة الرياضية لدراسته.
4. حل المسائل المصاغة على أساس النموذج الرياضي المبني.
5. التحقق من مدى ملائمة النتائج التي تم الحصول عليها لطبيعة النظام قيد الدراسة، بما في ذلك دراسة تأثير ما يسمى بعوامل النموذج الإضافي، وإمكانية تعديل النموذج الأصلي.
6. تنفيذ الحل الذي تم الحصول عليه عمليا.
يتم إعطاء المكان المركزي في هذه الدورة للقضايا المتعلقة بالنقطة الرابعة من الرسم البياني أعلاه. لا يتم ذلك لأنها الأكثر أهمية أو تعقيدًا أو إثارة للاهتمام، ولكن لأن النقاط المتبقية تعتمد بشكل كبير على الطبيعة المحددة للنظام قيد الدراسة، وبالتالي لا يمكن صياغة توصيات عالمية وذات مغزى للإجراءات التي ينبغي تنفيذها. في إطارهم.
في مجالات النشاط البشري الأكثر تنوعًا، تحدث مهام مماثلة: تنظيم الإنتاج، وتشغيل النقل، والعمليات القتالية، وتعيين الموظفين، والاتصالات الهاتفية، وما إلى ذلك. المشاكل التي تنشأ في هذه المجالات متشابهة في الصياغة، ولها عدد من السمات المشتركة ويتم حلها بطرق مماثلة.
مثال :
يتم تنظيم نوع من الحدث الهادف (نظام الإجراءات)، والذي يمكن تنظيمه بطريقة أو بأخرى. من الضروري اختيار حل محدد من بين عدد من الخيارات الممكنة. ولكل خيار مزاياه وعيوبه، وليس من الواضح على الفور ما هو الأفضل. من أجل توضيح الوضع ومقارنة الخيارات المختلفة مع بعضها البعض بناء على عدد من الخصائص، يتم تنظيم سلسلة من الحسابات الرياضية. تظهر نتائج الحساب الخيار الذي يجب اختياره.
نمذجة الرياضياتفي بحوث العمليات، من ناحية، عملية مهمة ومعقدة للغاية، ومن ناحية أخرى، عملية غير قابلة عمليا لإضفاء الطابع الرسمي العلمي. لاحظ أن المحاولات المتكررة لتحديد المبادئ العامة لإنشاء نماذج رياضية أدت إما إلى إعلان توصيات ذات طبيعة عامة للغاية، يصعب تطبيقها لحل مشاكل محددة، أو على العكس من ذلك، إلى ظهور وصفات لا تنطبق فعليًا إلا على نطاق ضيق من المشاكل. ولذلك، يبدو من المفيد التعرف على تقنية النمذجة الرياضية باستخدام أمثلة محددة.
1) خطة توريد المؤسسة.
هناك عدد من المؤسسات التي تستخدم أنواعًا مختلفة من المواد الخام؛ هناك عدد من قواعد المواد الخام. وترتبط القواعد بالمؤسسات عن طريق وسائل الاتصال المختلفة (السكك الحديدية، النقل بالسيارات، النقل المائي، النقل الجوي). كل وسيلة نقل لها تعريفاتها الخاصة. من الضروري تطوير مثل هذه الخطة لتزويد المؤسسات بالمواد الخام بحيث يتم تلبية الاحتياجات من المواد الخام بأقل تكاليف النقل.
2) إنشاء جزء من الطريق السريع.
يجري الآن إنشاء جزء من خط السكة الحديد. لدينا قدر معين من الموارد تحت تصرفنا: الأشخاص والمعدات وما إلى ذلك. من الضروري تعيين تسلسل العمل وتوزيع الأشخاص والمعدات على طول أقسام المسار بحيث يتم إكمال البناء في أقصر وقت ممكن.
يتم إنتاج نوع معين من المنتجات. لضمان منتجات عالية الجودة، من الضروري تنظيم نظام مراقبة أخذ العينات: تحديد حجم دفعة التحكم، ومجموعة الاختبارات، وقواعد الرفض، وما إلى ذلك. من الضروري ضمان مستوى معين من جودة المنتج بأقل تكاليف تحكم.
4) الأعمال العسكرية.
الهدف في هذه الحالة هو تدمير كائن العدو.
تحدث مشاكل مماثلة بشكل متكرر في الممارسة العملية. لديهم ميزات مشتركة. كل مهمة لها هدف محدد - هذه الأهداف متشابهة؛ تم تحديد شروط معينة - ضمن هذه الشروط يجب اتخاذ القرار بأن يكون هذا الحدث هو الأكثر ربحية. ووفقا لهذه السمات العامة، يتم تطبيق الأساليب العامة.
1. مفاهيم عامة
1.1. الغرض والمفاهيم الأساسية في بحوث العمليات
عملية -هذا هو أي نظام عمل (أحداث) توحده خطة واحدة ويهدف إلى تحقيق هدف ما. هذا حدث يتم التحكم فيه، أي أنه يعتمد علينا في كيفية اختيار بعض المعلمات التي تميز تنظيمه.
يتم استدعاء كل اختيار محدد للمعلمات التي تعتمد علينا قرار.
أهداف بحوث العملياتهو مبرر كمي أولي للحلول المثلى.
تسمى تلك المعلمات، التي يشكل الجمع بينها حلاً عناصر الحل.يمكن أن تكون عناصر الحل عبارة عن أرقام ومتجهات ووظائف وميزات فيزيائية مختلفة وما إلى ذلك.
مثال : نقل البضائع المتجانسة.
هناك نقاط انطلاق: أ 1 , أ 2 , أ 3 ,…, أ م .
الوجهات المتاحة: في 1 , في 2 , في 3 ,…, في ن .
عناصر الحل هنا ستكون أرقام س اي جاي , يوضح مقدار البضائع التي سيتم إرسالها من نقطة المغادرة رقم i إلى يالوجهة.
الجمع بين هذه الأرقام: س 11 , س 12 , س 13 ,…, س 1 م ,…, س ن 1 , س ن 2 ,…, س نانومتر يشكل الحل.
لمقارنة الخيارات المختلفة، يجب أن يكون لديك نوع من المعيار الكمي - مؤشر الكفاءة ( دبليو). ويسمى هذا المؤشر وظيفة الهدف.
تم اختيار هذا المؤشر بحيث يعكس الاتجاه المستهدف للعملية. عند اختيار الحل، نسعى جاهدين للتأكد من أن هذا المؤشر يميل إلى الحد الأقصى أو الأدنى. إذا كان W هو الدخل، فإن W max؛ وإذا كان W هو معدل التدفق، فإن W min.
إذا كان الاختيار يعتمد على عوامل عشوائية (الطقس، فشل المعدات، تقلبات العرض والطلب)، فسيتم اختيار القيمة المتوسطة - التوقع الرياضي - كمؤشر للكفاءة.
يتم أحيانًا اختيار احتمالية تحقيق الهدف كمؤشر للفعالية. هنا يكون الغرض من العملية مصحوبًا بعوامل عشوائية ويعمل وفقًا لمخطط نعم-لا.
لتوضيح مبادئ اختيار مؤشر الأداء، دعونا نعود إلى الأمثلة التي سبق أن تناولناها:
1) خطة توريد المؤسسة.
مؤشر الأداء مرئي في المرمى. ر– الرقم – تكلفة النقل . وفي هذه الحالة يجب استيفاء كافة القيود.
2) إنشاء جزء من الطريق السريع.
تلعب العوامل العشوائية دورًا كبيرًا في المشكلة. يتم اختيار متوسط وقت الانتهاء المتوقع من البناء كمؤشر على الكفاءة.
3) مراقبة عينة من المنتجات.
المؤشر الطبيعي للكفاءة، الذي تقترحه صياغة المشكلة، هو متوسط تكلفة التحكم المتوقعة لكل وحدة زمنية، بشرط أن يتحكم النظام في توفير مستوى معين من الجودة.
مصحوبة جسديا أو رياضيالنمذجة. النمذجة المادية... للتخطيطات وكثيفة العمالة يذاكر. رياضييتم تنفيذ النمذجة باستخدام... للنمذجة من الضروري القيام بما يلي عمليات: 1. أدخل القائمة ...
يذاكردمج وتمييز مكبرات الصوت على أساس المضخم التشغيلي
العمل المعملي >> الاتصالات والاتصالالعمل تجريبي يذاكرالخصائص والخصائص... وهذا هو واحد من أهمها رياضي عملياتوتنفيذها الكهربائي... مخططات الذبذبات DB لجهود الخرج عند بحثفي وضع النبض: دمج مكبر الصوت...
رياضيأساليب في التحليل الاقتصادي
اختبار >> النمذجة الاقتصادية والرياضيةبعض الأساليب رياضيالبرمجة والأساليب بحث عمليات، لتقريب التحسين - جزء من الأساليب رياضيبرمجة، بحث عمليات، اقتصادي...
رياضيالألعاب كوسيلة لتنمية التفكير المنطقي
الأطروحة >> أصول التدريستنمية التفكير المنطقي. غرض بحث: رياضيألعاب بمساعدة... الإجراءات باستخدام المنطق عمليات. تشكل الأفعال العقلية... مكونات عملية للعمل. معقد عملياتالتفكير المجرد متداخل مع...
والهندسة. السمة المميزة الرئيسية للتحليل مقارنة بالمجالات الأخرى هي وجود وظائف المتغيرات كموضوع للبحث. في الوقت نفسه، إذا كانت أقسام التحليل الأولية في البرامج والمواد التعليمية غالبًا ما يتم دمجها مع الجبر الأولي (على سبيل المثال، هناك العديد من الكتب المدرسية والدورات التي تحمل عنوان "الجبر وبدايات التحليل")، فإن التحليل الحديث يستخدم إلى حد كبير طرق المقاطع الهندسية الحديثة، وفي المقام الأول الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا.
قصة
فروع منفصلة عن "تحليل المتناهيات الصغر"، مثل نظرية المعادلات التفاضلية العادية (أويلر، يوهان برنولي، دالمبرت)، حساب التفاضل والتكامل للتغيرات (أويلر، لاغرانج)، نظرية الدوال التحليلية (لاغرانج، كوشي، ريمان لاحقًا) )، بدأ الانفصال أكثر في الثامن عشر - النصف الأول من القرن التاسع عشر. ومع ذلك، فإن بداية تشكيل التحليل كقسم حديث مستقل تعتبر أعمال منتصف القرن التاسع عشر حول إضفاء الطابع الرسمي على المفاهيم الأساسية للتحليل الكلاسيكي - العدد الحقيقي، والوظيفة، والحد، والتكامل، في المقام الأول في الأعمال كوشي وبولزانو، والتي اكتسبت شكلاً مكتملاً بحلول سبعينيات وثمانينيات القرن التاسع عشر في أعمال فايرستراس وديدكايند وكانتور. في هذا الصدد، تم تشكيل نظرية وظائف المتغير الحقيقي، وفي تطوير طرق العمل مع الوظائف التحليلية، نظرية وظائف المتغير المعقد. أعطت نظرية المجموعة الساذجة التي أنشأها كانتور في نهاية القرن التاسع عشر زخمًا لظهور مفاهيم الفضاء المتري والطوبولوجي، والتي غيرت بشكل كبير مجموعة أدوات التحليل بأكملها، مما أدى إلى زيادة مستوى تجريد الأشياء قيد الدراسة وتحريك التركيز من الأعداد الحقيقية إلى المفاهيم غير الرقمية.
في بداية القرن العشرين، وخاصة من خلال جهود المدرسة الرياضية الفرنسية (الأردن، بوريل، ليبيغ، باير)، تم إنشاء نظرية القياس، والتي بفضلها تم تعميم مفهوم التكامل، ونظرية الوظائف تم بناء متغير حقيقي. أيضًا في بداية القرن العشرين، بدأ التحليل الوظيفي في التبلور كقسم فرعي مستقل من التحليل الحديث، يدرس الفضاءات المتجهة الطوبولوجية وخرائطها. تم تقديم مصطلح "التحليل الوظيفي" بواسطة هادامارد، للإشارة إلى فرع من حساب التفاضل والتكامل للتغيرات الذي تم تطويره في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين من قبل مجموعة من علماء الرياضيات الإيطاليين والفرنسيين (بما في ذلك فولتيرا وأرسيلا). في عام 1900، نشر فريدهولم مقالًا عن المعادلات التكاملية، والذي أعطى كلاهما زخمًا لتطوير نظرية المعادلات التكاملية، وتطوير النظرية العامة للتكامل (Lebesgue)، وتشكيل التحليل الوظيفي. في عام 1906، حدد عمل هيلبرت النظرية الطيفية، وفي نفس العام تم نشر عمل فريشيه، حيث تم إدخال المساحات المترية المجردة في التحليل لأول مرة. في العقد الأول من القرن العشرين وحتى العشرينيات من القرن العشرين، تم توضيح مفاهيم قابلية الانفصال وتم تطبيق الأساليب الطوبولوجية العامة للتحليل لأول مرة (هاوسدورف)، وتم إتقان الفضاءات الوظيفية وبدأ تشكيل نظرية عامة للفضاءات المعيارية (هيلبرت، ريس، باناخ، هان). وفي الفترة 1929-1932 تم تشكيل النظرية البديهية لفضاءات هيلبرت (جون فون نيومان، مارشال ستون، ريس). في عام 1936، صاغ سوبوليف مفهوم الوظيفة المعممة (في وقت لاحق من الأربعينيات، وبشكل مستقل عنه، توصل لوران شوارتز إلى مفهوم مماثل)، والذي انتشر على نطاق واسع في العديد من مجالات التحليل ووجد تطبيقًا واسعًا في التطبيقات (على سبيل المثال، دالة معممة الوظيفة هي δ (\displaystyle \delta )-وظيفة ديراك). في ثلاثينيات وخمسينيات القرن العشرين، تم الحصول على نتائج مهمة في التحليل الوظيفي من خلال استخدام الأدوات الجبرية العامة (الشبكات المتجهة، جبر العوامل، جبر باناخ).
بحلول منتصف القرن العشرين، تلقت مجالات مثل نظرية الأنظمة الديناميكية ونظرية الإرغوديك (جورج بيركوف، كولموجوروف، فون نيومان) تطورًا مستقلاً، وتم تعميم نتائج التحليل التوافقي بشكل كبير من خلال استخدام الوسائل الجبرية العامة - المجموعات الطوبولوجية والتمثيلات (ويل، نفذ، بونترياجين). منذ الأربعينيات والخمسينيات من القرن العشرين، وجدت طرق التحليل الوظيفي تطبيقًا في المجالات التطبيقية، على وجه الخصوص، في أعمال كانتوروفيتش في الثلاثينيات والأربعينيات من القرن العشرين، تم استخدام أدوات التحليل الوظيفي في الرياضيات الحسابية والاقتصاد (البرمجة الخطية). في الخمسينيات من القرن الماضي، في أعمال بونترياجين وطلابه، تم إنشاء نظرية التحكم الأمثل في تطوير طرق حساب التفاضل والتكامل للتغيرات.
بدءًا من النصف الثاني من القرن العشرين، ومع تطور الطوبولوجيا التفاضلية، انضم اتجاه جديد إلى التحليل - التحليل على المتشعبات، المسمى "التحليل الشامل"، والذي بدأ فعليًا في التبلور في وقت سابق، في عشرينيات القرن العشرين، في إطار نظرية مورس النظرية كتعميم لحساب التفاضل والتكامل للتغيرات (يسمى "التباين" بواسطة حساب التفاضل والتكامل مورس بشكل عام، حساب التفاضل والتكامل الإنجليزي بشكل عام). ويشمل هذا الاتجاه اتجاهات مثل نظرية التفردات (ويتني)، ونظرية الكوارث (توم، و مازر،) والتي تم تطويرها في السبعينيات في أعمال زيمان وأرنولد.
التحليل الرياضي الكلاسيكي
التحليل الرياضي الكلاسيكي - القسم الذي يتوافق تمامًا مع "التحليل التاريخي للمتناهيات في الصغر" يتكون من عنصرين رئيسيين: حساب التفاضل والتكامل. المفاهيم الأساسية - نهاية الدالة، التفاضلية، المشتقة، التكاملية، النتائج الرئيسية - صيغة نيوتن-لايبنتز التي تربط تكاملًا محددًا ومشتقًا عكسيًا وسلسلة تايلور - توسيع سلسلة لدالة قابلة للتفاضل بشكل لا نهائي في جوار نقطة ما.
ويشير مصطلح “التحليل الرياضي” عادة إلى هذا القسم الكلاسيكي، ويستخدم بشكل رئيسي في البرامج والمواد التعليمية. وفي الوقت نفسه، يتم تضمين دراسة أساسيات التحليل في معظم برامج التعليم الثانوي، ويتم تضمين دراسة كاملة إلى حد ما للموضوع في برامج السنوات الأولى من التعليم العالي لمجموعة واسعة من التخصصات، بما في ذلك كثيرة في العلوم الإنسانية. في التقليد التعليمي الأنجلو أمريكي، يُستخدم مصطلح "حساب التفاضل والتكامل" للدلالة على التحليل الرياضي الكلاسيكي.
نظرية وظائف المتغير الحقيقي(يُسمى أحيانًا باختصار - نظرية الوظيفة) نشأت نتيجة لإضفاء الطابع الرسمي على مفاهيم العدد الحقيقي والوظيفة: إذا تم النظر في الأقسام الكلاسيكية للتحليل فقط الوظائف التي تنشأ في مشاكل محددة بطريقة طبيعية، فإن الوظائف نفسها تصبح في نظرية الوظائف ويتم دراسة موضوع الدراسة وسلوكهم والعلاقات بين خصائصهم. إحدى النتائج التي توضح خصوصية نظرية دوال المتغير الحقيقي هي حقيقة أن الدالة المستمرة قد لا يكون لها مشتق في أي نقطة (علاوة على ذلك، وفقًا للأفكار السابقة للتحليل الرياضي الكلاسيكي، كان التفاضل بين جميع الدوال المستمرة هو لم يتم استجوابه).
الاتجاهات الرئيسية لنظرية وظائف المتغير الحقيقي:
نظرية وظائف المتغير المعقد
موضوع دراسة نظرية دوال المتغير المركب هو الدوال العددية المحددة على المستوى المركب ج 1 (\displaystyle \mathbb (C) ^(1))أو الفضاء الإقليدي المعقد C n (\displaystyle \mathbb (C) ^(n))، في حين أن الوظائف التحليلية التي تمت دراستها بشكل شامل تلعب دورًا مهمًا في جميع فروع التحليل الرياضي تقريبًا. على وجه الخصوص، يتم تعميم مفهوم الوظيفة التحليلية على مساحات باناخ التعسفية، وبالتالي فقد وجدت العديد من النتائج من نظرية وظائف المتغير المعقد تعميمًا في التحليل الوظيفي.
تحليل وظيفي
يتميز التحليل الوظيفي كقسم بوجود فضاءات المتجهات الطوبولوجية كموضوع للدراسة وتخطيطاتها مع مختلف الشروط الجبرية والطوبولوجية المفروضة عليها. تلعب المساحات الوظيفية دورًا مركزيًا في التحليل الوظيفي، والمثال الكلاسيكي هو مساحات جميع الوظائف القابلة للقياس، والتي ص (\displaystyle p)-الدرجة الرابعة قابلة للتكامل؛ في نفس الوقت بالفعل ل 2 (\displaystyle L^(2))- الفضاء اللانهائي الأبعاد (فضاء هيلبرت)، والفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية متأصلة في التحليل الوظيفي لدرجة أنه في بعض الأحيان يتم تعريف القسم بأكمله على أنه جزء من الرياضيات التي تدرس الفضاءات اللانهائية الأبعاد وخرائطها. أهم شكل من أشكال الفضاءات في الأقسام الكلاسيكية للتحليل الوظيفي هي فضاءات باناخ - فضاءات متجهة معيارية، مكتملة في القياس المتولد عن القاعدة: هناك نسبة كبيرة من الفضاءات المثيرة للاهتمام في الممارسة العملية، من بينها جميع فضاءات هيلبرت، المساحات ل ع (\displaystyle L^(p))، مساحات هاردي، مساحات سوبوليف. تلعب الهياكل الجبرية دورًا مهمًا في التحليل الوظيفي وهي مساحات باناخ - شبكات باناخ وجبر باناخ (بما في ذلك - ج ∗ (\displaystyle C^(*))-الجبر، جبر فون نيومان).
يقوم التحليل التوافقي المجرد بتعميم الأساليب الكلاسيكية على الهياكل المجردة باستخدام مفاهيم مثل مقياس هار وتمثيلات المجموعة. إن النتيجة الأكثر أهمية للتحليل التوافقي التبادلي هي نظرية ازدواجية بونترياجين، والتي بفضلها يتم وصف جميع النتائج الكلاسيكية للتحليل التوافقي تقريبًا بوسائل جبرية عامة بسيطة نسبيًا. التطوير الإضافي للنظرية هو التحليل التوافقي غير التبادلي، والذي له تطبيقات مهمة في ميكانيكا الكم.
المعادلات التفاضلية والتكاملية
في نظرية المعادلات التكاملية، بالإضافة إلى طرق الحل الكلاسيكية، هناك اتجاهات مثل نظرية فريدهولم، والتي كان لها تأثير ملحوظ على تشكيل التحليل الوظيفي كقسم مستقل، وعلى وجه الخصوص، المساهمة في تشكيل مفهوم هيلبرت فضاء.
نظرية النظم الديناميكية ونظرية ergodic
من الاتجاهات الرئيسية في دراسة المعادلات التفاضلية، ظهرت نظرية الأنظمة الديناميكية، التي تدرس التطور الزمني للأنظمة الميكانيكية، ونظرية الإرغوديك، التي تهدف إلى إثبات الفيزياء الإحصائية، كأقسام مستقلة. على الرغم من الطبيعة التطبيقية للمسائل، إلا أن هذه الأقسام تشمل مجموعة واسعة من المفاهيم والأساليب ذات الأهمية الرياضية العامة، على وجه الخصوص، مثل مفاهيم الاستقرار والقدرة على التحمل.
التحليل العالمي
التحليل العالمي- فرع من فروع التحليل يدرس الدوال والمعادلات التفاضلية على المتشعبات وحزم المتجهات؛ في بعض الأحيان يشار إلى هذا الاتجاه باسم "التحليل على المتشعبات".
إحدى الاتجاهات الأولى للتحليل العالمي هي نظرية مورس وتطبيقها على مشاكل الجيوديسيا على المتشعبات الريمانية؛ وكان الاتجاه يسمى "حساب التفاضل والتكامل للتغيرات بشكل عام". النتائج الرئيسية هي ليما مورس، الذي يصف سلوك الوظائف الملساء على المتشعبات الملساء عند نقاط مفردة غير متحللة، ومثل هذا التماثل المتماثل الثابت مثل فئة ليوستيرنيك-شنيرلمان. يتم تعميم العديد من الإنشاءات والعبارات على حالة المتشعبات ذات الأبعاد اللانهائية ( أصناف هيلبرت *, أصناف باناخ). وقد وجدت النتائج التي تم الحصول عليها في إطار التحليل العالمي للنقاط الفردية تطبيقًا واسعًا لحل المشكلات الطوبولوجية البحتة، مثل، على سبيل المثال، نظرية دورية بوت، والتي كانت إلى حد كبير بمثابة الأساس لفرع مستقل من الرياضيات - ك (\displaystyle K)-النظريات، وكذلك نظرية حول ح (\displaystyle h)-الكوردودية، والنتيجة هي تحقيق حدسية بوانكاريه للأبعاد الأكبر من 4.
كتلة كبيرة أخرى من مجالات التحليل العالمي، المستخدمة على نطاق واسع في الفيزياء والاقتصاد، هي نظرية التفردات، ونظرية التشعبات، ونظرية الكوارث؛ الاتجاه الرئيسي للبحث في هذه الكتلة هو تصنيف سلوك المعادلات التفاضلية أو الوظائف بالقرب من النقاط الحرجة وتحديد السمات المميزة للفئات المقابلة.
تحليل غير قياسي
التحليل غير القياسي هو إضفاء الطابع الرسمي على المفاهيم الأساسية للتحليل عن طريق المنطق الرياضي، والفكرة الرئيسية هي التحقيق الرسمي للكميات الكبيرة والصغيرة بلا حدود، وإضفاء الطابع الرسمي المنطقي على التلاعب بها. في الوقت نفسه، تبين أن أدوات التحليل غير القياسية مريحة للغاية: فقد حصلت على نتائج لم يتم العثور عليها من قبل بواسطة الأدوات الكلاسيكية بسبب عدم الوضوح