ثلاثي الحدود مربعيُطلق عليه ثلاثية الحدود من الشكل a*x 2 +b*x+c، حيث a,b,c هي بعض الأرقام الحقيقية العشوائية، وx متغير. علاوة على ذلك، فإن الرقم "أ" لا ينبغي أن يساوي الصفر.
تسمى الأرقام أ، ب، ج المعاملات. الرقم a يسمى المعامل الرئيسي، والرقم b هو معامل x، والرقم c يسمى الحد الحر.
جذر ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية a*x 2 +b*x+c هي أي قيمة للمتغير x بحيث تختفي ثلاثية الحدود a*x 2 +b*x+c.
للعثور على جذور ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية، من الضروري حلها معادلة من الدرجة الثانيةمن النموذج أ*س 2 +ب*س+ج=0.
كيفية العثور على جذور ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية
لحل هذه المشكلة، يمكنك استخدام إحدى الطرق المعروفة.
- 1 الطريق.
إيجاد جذور ثلاثية الحدود المربعة باستخدام الصيغة.
1. أوجد قيمة المميز باستخدام الصيغة D =b 2 -4*a*c.
2. اعتمادًا على قيمة المميز، احسب الجذور باستخدام الصيغ:
إذا د> 0،إذن فإن ثلاثية الحدود المربعة لها جذرين.
س = -ب±√د / 2*أ
إذا د< 0, إذن فإن ثلاثي الحدود المربع له جذر واحد.
إذا كان المميز سالبًا، فإن ثلاثية الحدود التربيعية ليس لها جذور.
- الطريقة 2.
إيجاد جذور ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية عن طريق العزل مربع كامل. دعونا نلقي نظرة على مثال ثلاثية الحدود التربيعية المعطاة. معادلة تربيعية مختزلة معاملها الرئيسي يساوي واحدًا.
دعونا نجد جذور ثلاثية الحدود التربيعية x 2 +2*x-3. للقيام بذلك، نحل المعادلة التربيعية التالية: x 2 +2*x-3=0;
دعونا نحول هذه المعادلة:
على الجانب الأيسر من المعادلة يوجد كثيرة الحدود x 2 +2*x، لكي نمثلها كمربع المجموع نحتاج إلى أن يكون هناك معامل آخر يساوي 1. أضف وطرح 1 من هذا التعبير، نحصل على :
(س 2 +2*س+1) -1=3
ما يمكن تمثيله بين قوسين كمربع ذات الحدين
تنقسم هذه المعادلة إلى حالتين: إما x+1=2 أو x+1=-2.
في الحالة الأولى نحصل على الإجابة x=1، وفي الحالة الثانية x=-3.
الإجابة: س=1، س=-3.
نتيجة للتحولات، نحتاج إلى الحصول على مربع ذات الحدين على الجانب الأيسر، وعدد معين على الجانب الأيمن. يجب ألا يحتوي الجانب الأيمن على متغير.
دراسة مثل هذا الكائن التحليل الرياضيكوظيفة عظيمة معنىوفي مجالات العلوم الأخرى. على سبيل المثال، في تحليل إقتصاديمطلوب تقييم السلوك باستمرار المهامالربح، أي تحديد أعظمه معنىووضع استراتيجية لتحقيق ذلك.
تعليمات
يجب أن تبدأ دراسة أي سلوك دائمًا بالبحث عن مجال التعريف. عادة حسب الحالة مهمة محددةفمن الضروري تحديد أعظم معنى المهامإما على هذه المنطقة بأكملها، أو على فترة محددة منها بحدود مفتوحة أو مغلقة.
على أساس أن الأكبر هو معنى المهام y(x0)، حيث يوجد عدم المساواة لأي نقطة في مجال التعريف y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). بيانياً، ستكون هذه النقطة هي الأعلى إذا تم وضع قيم الوسيطة على طول محور الإحداثي، والدالة نفسها على طول المحور الإحداثي.
لتحديد أعظم معنى المهام، اتبع الخوارزمية المكونة من ثلاث خطوات. يرجى ملاحظة أنه يجب أن تكون قادرًا على العمل مع المشتق من جانب واحد وكذلك حساب المشتق. لذا، دع بعض الوظائف y(x) تعطى وتحتاج إلى العثور على أعظمها معنىعلى فترة زمنية معينة مع القيم الحدودية A و B.
اكتشف ما إذا كانت هذه الفترة ضمن نطاق التعريف المهام. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور عليه من خلال النظر في جميع القيود الممكنة: وجود كسر في التعبير، الجذر التربيعيإلخ. مجال التعريف هو مجموعة قيم الوسيطات التي تكون الوظيفة منطقية لها. تحديد ما إذا كان الفاصل الزمني المحددمجموعتها الفرعية. إذا كانت الإجابة بنعم، فانتقل إلى المرحلة القادمة.
أوجد المشتقة المهاموحل المعادلة الناتجة بمساواة المشتقة بالصفر. بهذه الطريقة سوف تحصل على قيم ما يسمى بالنقاط الثابتة. قم بتقييم ما إذا كان واحد منهم على الأقل ينتمي إلى المجال A، B.
في المرحلة الثالثة، خذ بعين الاعتبار هذه النقاط واستبدل قيمها في الدالة. اعتمادًا على نوع الفاصل الزمني، قم بتنفيذ الخطوات الإضافية التالية. إذا كان هناك مقطع من النموذج [A، B]، يتم تضمين نقاط الحدود في الفاصل الزمني؛ تتم الإشارة إلى ذلك بين قوسين. حساب القيم المهاملـ x = A وx = B. إذا كان الفاصل الزمني مفتوحًا (A، B)، يتم ثقب القيم الحدودية، أي. لا يتم تضمينها في ذلك. حل الحدود من جانب واحد لـ x→A وx→B. فترة مجمعة من الشكل [A، B) أو (A، B)، ينتمي أحد حدودها إليها، ولا ينتمي إليها الطرف الآخر. أوجد النهاية من جانب واحد حيث أن x تميل إلى القيمة المثقوبة، واستبدل الآخر في الدالة: فاصل لا نهائي من جانبين (-∞، +∞) أو فترات لا نهائية من جانب واحد بالشكل: , (-∞, B).بالنسبة للحدود الحقيقية A وB، تابع وفقًا للمبادئ الموصوفة بالفعل، ومن أجل تلك التي لا نهاية لها، ابحث عن حدود x→-∞ وx→+∞، على التوالي.
المهمة في هذه المرحلة
من الناحية العملية، الفائدة الأكبر هي استخدام المشتق للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة. ما علاقة هذا؟ تعظيم الأرباح وتقليل التكاليف وتحديد الحمل الأمثل للمعدات... بمعنى آخر، يتعين علينا في العديد من مجالات الحياة حل مشكلات تحسين بعض المعلمات. وهذه هي مهام إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة.
تجدر الإشارة إلى أنه عادة ما يتم البحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة في فترة معينة X، وهي إما مجال الدالة بالكامل أو جزء من مجال التعريف. الفاصل الزمني X نفسه يمكن أن يكون قطعة، فاصل زمني مفتوح 
، فاصل لا نهائي.
سنتحدث في هذه المقالة عن إيجاد القيم الأكبر والأصغر بشكل صريح وظيفة معينةمتغير واحد y=f(x) .
التنقل في الصفحة.
أكبر وأصغر قيمة للدالة - التعريفات والرسوم التوضيحية.
دعونا نلقي نظرة سريعة على التعاريف الرئيسية.
أكبر قيمة للدالة 
ذلك لأي شخص 
عدم المساواة صحيح.
أصغر قيمة للدالة y=f(x) على الفاصل الزمني X تسمى هذه القيمة 
ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.
هذه التعريفات بديهية: القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة هي أكبر (أصغر) قيمة مقبولة في الفترة قيد النظر عند الإحداثي السيني.
نقاط ثابتة– هذه هي قيم الوسيطة التي يصبح عندها مشتق الدالة صفراً.
لماذا نحتاج إلى نقاط ثابتة عند إيجاد القيم الأكبر والأصغر؟ الجواب على هذا السؤال يأتي من نظرية فيرما. ويترتب على هذه النظرية أنه إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل لها حد أقصى (حد أدنى محلي أو حد أقصى محلي) في مرحلة ما، فإن هذه النقطة تكون ثابتة. وبالتالي، فإن الدالة غالبًا ما تأخذ أكبر (أصغر) قيمة لها على الفاصل الزمني X عند إحدى النقاط الثابتة من هذا الفاصل الزمني.
كما أن الدالة يمكن أن تأخذ قيمها الأكبر والأصغر في كثير من الأحيان عند نقاط لا يوجد فيها المشتق الأول لهذه الدالة، ويتم تعريف الدالة نفسها.
دعنا نجيب على الفور على أحد الأسئلة الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع: "هل من الممكن دائمًا تحديد القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة"؟ لا، ليس دائما. في بعض الأحيان تتطابق حدود الفاصل الزمني X مع حدود مجال تعريف الدالة، أو يكون الفاصل الزمني X لانهائيًا. وبعض الدوال عند اللانهاية وعند حدود مجال التعريف يمكن أن تأخذ قيمًا كبيرة بلا حدود وقيمًا صغيرة بلا حدود. في هذه الحالات، لا يمكن قول أي شيء عن القيمة الأكبر والأصغر للدالة.
من أجل الوضوح، سنقدم رسما توضيحيا. انظر إلى الصور وسيصبح الكثير أكثر وضوحًا.
على الجزء
في الشكل الأول، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل المقطع [-6;6].
النظر في الحالة المبينة في الشكل الثاني. دعونا نغير المقطع إلى . في هذا المثال، يتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عند نقطة ثابتةوالأكبر - عند النقطة التي تتوافق مع الحد الأيمن للفاصل الزمني.
في الشكل 3، النقاط الحدودية للمقطع [-3;2] هي حدود النقاط المقابلة لأكبر وأصغر قيمة للدالة.
على فترة مفتوحة
في الشكل الرابع، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند النقاط الثابتة الموجودة بالداخل الفاصل الزمني المفتوح (-6;6) .
في الفترة، لا يمكن استخلاص أي استنتاجات حول القيمة الأكبر.
في اللانهاية
وفي المثال الموضح في الشكل السابع تأخذ الدالة أعلى قيمة(max y) عند نقطة ثابتة مع الإحداثي السيني x=1، ويتم تحقيق أصغر قيمة (min y) على الحد الأيمن للفاصل الزمني. عند علامة ناقص اللانهاية، تقترب قيم الدالة بشكل مقارب من y=3.
خلال الفترة، لا تصل الدالة إلى القيمة الأصغر أو الأكبر. مع اقتراب x=2 من اليمين، تميل قيم الدالة إلى ناقص ما لا نهاية (الخط المستقيم x=2 هو الخط المقارب الرأسي) ، وبما أن الإحداثي السيني يميل إلى ما لا نهاية، فإن قيم الدالة تقترب بشكل مقارب من y=3. يظهر الرسم التوضيحي لهذا المثال في الشكل 8.
خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة على القطعة.
دعونا نكتب خوارزمية تسمح لنا بالعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.
- نجد مجال تعريف الوظيفة ونتحقق مما إذا كانت تحتوي على المقطع بأكمله.
- نجد جميع النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول والموجودة في المقطع (عادةً ما توجد هذه النقاط في الدوال ذات الوسيطة تحت علامة المعامل وفي وظائف الطاقةمع الأس الكسرى). إذا لم تكن هناك مثل هذه النقاط، فانتقل إلى النقطة التالية.
- نحدد جميع النقاط الثابتة التي تقع ضمن المقطع. للقيام بذلك، نساويه بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة ونختار الجذور المناسبة. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لم يقع أي منها في المقطع، فانتقل إلى النقطة التالية.
- نحسب قيم الدالة عند نقاط ثابتة محددة (إن وجدت)، عند النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول (إن وجد)، وكذلك عند x=a وx=b.
- من قيم الوظيفة التي تم الحصول عليها، نختار الأكبر والأصغر - ستكون القيم الأكبر والأصغر المطلوبة للوظيفة، على التوالي.
دعونا نحلل الخوارزمية لحل مثال للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.
مثال.
أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة
- على المقطع؛
- على المقطع [-4;-1] .
حل.
مجال الدالة هو المجموعة بأكملها أرقام حقيقية، باستثناء الصفر، أي. كلا القطاعين يقعان ضمن مجال التعريف.
أوجد مشتقة الدالة بالنسبة إلى: 
من الواضح أن مشتق الدالة موجود في جميع نقاط القطع و [-4;-1].
نحدد النقاط الثابتة من المعادلة. الوحيد الجذر الحقيقيهو س=2 . تقع هذه النقطة الثابتة في الجزء الأول.
في الحالة الأولى، نحسب قيم الدالة عند نهايات المقطع وعند النقطة الثابتة، أي بالنسبة لـ x=1 وx=2 وx=4: 
وبالتالي فإن القيمة الأكبر للدالة 
يتم تحقيقه عند x=1، وأصغر قيمة 
– عند س=2.
في الحالة الثانية، نحسب قيم الدالة فقط في نهايات المقطع [-4;-1] (نظرًا لأنه لا يحتوي على نقطة ثابتة واحدة): 
صفحة 1
الحقائق النظرية:
ثلاثي الحدود المربع = ax2+ bx + c له قيمة متطرفة يستغرقها
هذه القيمة هي الأصغر إذا كانت a > 0، والأكبر إذا كانت a< 0. Если существует y(макс), то y(мин) не существует, и наоборот.
رقم 1. قم بتوسيع هذا رقم موجب، عدد إيجابيوإلى فترتين حتى يكون منتجهم أعظم.
حل. دعونا نشير إلى أحد المصطلحات المطلوبة بواسطة x. ثم الحد الثاني سيكون مساويا لـ A - x وحاصل ضربهما 
أو. 
وهكذا أدى السؤال إلى إيجاد قيمة x التي عندها تحصل هذه الثلاثية التربيعية على القيمة الأكبر. وفقًا للنظرية 4، فإن مثل هذه القيمة موجودة بالتأكيد (حيث أن المعامل الرئيسي هنا يساوي - 1، أي سلبي) ويساوي في هذه الحالة، وبالتالي، يجب أن يكون كلا المصطلحين مساويين لبعضهما البعض.
على سبيل المثال، الرقم 30 يسمح بالتوسعات التالية:
جميع المنتجات الواردة أقل من
رقم 2. يوجد سلك بطول L. تحتاج إلى ثنيه حتى تحصل على مستطيل يحد أكبر مساحة ممكنة.
حل. دعونا نشير (الشكل 1) إلى أحد جوانب المستطيل بـ x. ومن الواضح أن جانبها الآخر سيكون منطقة 
أو 
. تأخذ هذه الدالة أقصى قيمة لها وهي القيمة المطلوبة لأحد جوانب المستطيل. ثم سيكون الجانب الآخر، أي أن مستطيلنا يتحول إلى مربع. يمكن تلخيص الحل الناتج للمشكلة في شكل النظرية التالية.
من بين جميع المستطيلات التي لها نفس المحيط، يكون للمربع أكبر مساحة.
تعليق.
يمكن أيضًا حل مشكلتنا بسهولة باستخدام النتيجة التي تم الحصول عليها عند حل المشكلة 1.
في الواقع، نرى أن مساحة المستطيل الذي يهمنا هو بمعنى آخر، يوجد حاصل ضرب عاملين x و لكن مجموع هذه العوامل هو 
، ت. أي رقم لا يعتمد على اختيار x. وهذا يعني أن الأمر يتلخص في تحليل العدد إلى حدين بحيث يكون حاصل ضربهما أكبر. وكما نعلم فإن هذا الضرب سيكون أعظم عندما يكون كلا الحدين متساويين، أي.
رقم 3. من الألواح الموجودة يمكنك بناء سياج بطول 200 متر ويلزم تطويق ساحة مستطيلة بهذا السياج أكبر مساحةباستخدام جدار المصنع لجانب واحد من الفناء.
دالة مشتقة نظرية ثلاثية الحدود
حل. دعونا نشير (الشكل 2) إلى أحد جوانب الفناء بالرمز x. فيكون ضلعه الآخر متساويا وتكون مساحته
وفقا للنظرية، يتم تحقيق أكبر قيمة لهذه الوظيفة عندما
لذا فإن ضلع الفناء المتعامد مع جدار المصنع يجب أن يساوي 50 مترًا، ومن هنا تكون قيمة الضلع الموازي للجدار 100 متر، أي يجب أن يكون للفناء شكل نصف مربع.