دعونا نرسم بشكل منفصل قاعدة المنشور، أي المثلث ABC (الشكل 307، أ)، ونبنيه على شكل مستطيل، حيث نرسم خطًا مستقيمًا KM عبر الرأس B || AC ومن النقطتين A وC نقوم بإنزال العمودين AF وCE على هذا الخط. نحصل على المستطيل ACEF. برسم الارتفاع ВD للمثلث ABC، نرى أن المستطيل ACEF مقسم إلى 4 مثلثات قائمة. علاوة على ذلك، \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD و \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. وهذا يعني أن مساحة المستطيل ACEF تضاعفت المزيد من المساحةالمثلث ABC، أي يساوي 2S.
إلى هذا المنشور ذو القاعدة ABC سنعلق المنشورات ذات القاعدتين ALL وBAF والارتفاع ح(الشكل 307، ب). نحصل على متوازي مستطيل مع قاعدة ACEF.
إذا قمنا بتشريح متوازي السطوح هذا بمستوى يمر عبر الخطوط المستقيمة BD وBB'، فسنرى أن متوازي السطوح المستطيل يتكون من 4 منشورات ذات قواعد BCD وALL وBAD وBAF.
يمكن دمج المنشورات ذات القواعد BCD وALL، نظرًا لأن قواعدها متساوية (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) ومتساوية أيضًا الأضلاع الجانبية، والتي تكون متعامدة على مستوى واحد. وهذا يعني أن أحجام هذه المنشورات متساوية. أحجام المنشورات ذات القاعدتين BAD وBAF متساوية أيضًا.
ومن ثم يتبين أن حجم المنشور الثلاثي المعطى الذي قاعدته ABC يساوي نصف الحجم متوازي مستطيلمع قاعدة ACEF.
نحن نعلم أن حجم متوازي السطوح مستطيل يساوي المنتجمساحة قاعدته بالارتفاع، أي في في هذه الحالةيساوي 2S ح. ومن ثم فإن حجم هذا المنشور الثلاثي القائم يساوي S ح.
حجم المنشور الثلاثي القائم يساوي حاصل ضرب مساحة قاعدته وارتفاعه.
2. حجم المنشور المضلع الأيمن.
للعثور على حجم الخط المنشور المضلع، على سبيل المثال، شكل خماسي، بمساحة القاعدة S والارتفاع ح، نقسمها إلى منشورات ثلاثية (الشكل 308).
بالإشارة إلى المساحات الأساسية للمنشور الثلاثي بواسطة S 1 و S 2 و S 3 وحجم المنشور المضلع المحدد بواسطة V، نحصل على:
الخامس = س 1 ح+ س 2 ح+ س 3 ح، أو
الخامس = (س1 + ق2 + ق3) ح.
وأخيرًا: V = S ح.
وبنفس الطريقة، يتم اشتقاق صيغة حجم المنشور المستقيم الذي يوجد في قاعدته أي مضلع.
وسائل، حجم أي منشور قائم يساوي حاصل ضرب مساحة قاعدته وارتفاعه.
حجم المنشور
نظرية. حجم المنشور يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع.
أولاً نثبت هذه النظرية لمنشور ثلاثي، ومن ثم لمنشور متعدد الأضلاع.
1) نرسم (الشكل 95) من خلال الحافة AA 1 للمنشور الثلاثي ABCA 1 B 1 C 1 مستوى موازيًا للوجه BB 1 C 1 C، ومن خلال الحافة CC 1 مستوى موازيًا للوجه AA 1 B 1 B ; ثم نواصل مستويات قاعدتي المنشور حتى تتقاطع مع المستويات المرسومة.
ثم نحصل على متوازي السطوح BD 1، والذي ينقسم بواسطة المستوى القطري AA 1 C 1 C إلى منشورين مثلثيين (أحدهما هو هذا). دعونا نثبت أن هذين المنشورين متساويان في الحجم. للقيام بذلك، نرسم مقطعًا عموديًا ا ب ت ث. سينتج المقطع العرضي متوازي الأضلاع الذي قطره تيار مترددقابل للقسمة على اثنين مثلث متساوي. هذا المنشور يساوي في الحجم منشورًا مستقيمًا قاعدته \(\دلتا\) اي بي سيوالارتفاع هو الحافة AA 1. منشور ثلاثي آخر يساوي في مساحته خطًا مستقيمًا قاعدته \(\دلتا\) أدكوالارتفاع هو الحافة AA 1. لكن منشورين مستقيمين لهما قاعدتان متساويتان و ارتفاعات متساويةمتساويان (لأنهما متداخلان معًا)، مما يعني أن المنشورين ABCA 1 B 1 C 1 و ADCA 1 D 1 C 1 متساويان في الحجم. ويترتب على ذلك أن حجم هذا المنشور هو نصف حجم موازي السطوح BD 1؛ لذلك، نرمز إلى ارتفاع المنشور بـ H، فنحصل على:
$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABCD)\cdot H $$
2) دعونا نرسم الطائرات القطرية AA 1 C 1 C و AA 1 D 1 D من خلال الحافة AA 1 للمنشور متعدد الأضلاع (الشكل 96).
ثم سيتم قطع هذا المنشور إلى عدة منشورات ثلاثية. مجموع أحجام هذه المنشورات يشكل الحجم المطلوب. إذا قمنا بالإشارة إلى مناطق قواعدهم بواسطة ب 1 , ب 2 , ب 3، والارتفاع الكلي حتى H، نحصل على:
حجم المنشور متعدد الأضلاع = بساعة+ ب 2 ساعة+ ب 3 ح =( ب 1 + ب 2 + ب 3) ح =
= (المساحة ABCDE) H.
عاقبة.
إذا كانت V و B و H أرقامًا تعبر بالوحدات المقابلة عن حجم المنشور ومساحة القاعدة وارتفاعه، فيمكننا، وفقًا لما تم إثباته، أن نكتب:مواد اخرى فيالمنهج المدرسي دراسة بالطبع القياس المجسمالأرقام الحجمية يبدأ عادةً بجسم هندسي بسيط - منشور متعدد السطوح. يتم تنفيذ دور قواعدها بواسطة 2مضلع متساوي ، الكذب فيطائرات متوازية . حالة خاصة هي المنشور الرباعي المنتظم. قاعدتاه عبارة عن شكلين رباعيين منتظمين متطابقين، ومتعامدين عليهماعلى شكل متوازيات الأضلاع (أو مستطيلات إذا كان المنشور غير مائل).
كيف يبدو المنشور؟
المنشور الرباعي المنتظم هو شكل سداسي قاعدته مربعان و وجوه جانبيةممثلة بالمستطيلات. اسم آخر لهذا الشكل الهندسي- متوازي مستقيم.
يظهر أدناه رسم يوضح المنشور الرباعي الزوايا.
يمكنك أيضا أن ترى في الصورة العناصر الأساسية، والتي تتكون منها جسم هندسي . وتشمل هذه:
في بعض الأحيان، في المسائل الهندسية، يمكنك أن تصادف مفهوم القسم. سيبدو التعريف كالتالي: القسم هو كل النقاط الجسم الحجمي، تابعة لطائرة القطع. يمكن أن يكون القسم متعامدًا (يتقاطع مع حواف الشكل بزاوية 90 درجة). بالنسبة للمنشور المستطيل، يؤخذ في الاعتبار أيضًا مقطع قطري ( الحد الأقصى للمبلغالأقسام التي يمكن إنشاؤها - 2)، مروراً بحافتين وأقطار القاعدة.
إذا تم رسم المقطع بطريقة لا يكون فيها مستوى القطع موازيًا للقواعد أو للأوجه الجانبية، فإن النتيجة هي منشور مقطوع.
للعثور على العناصر المنشورية المختزلة، يتم استخدام العلاقات والصيغ المختلفة. بعضها معروف من خلال دورة قياس المساحة (على سبيل المثال، للعثور على مساحة قاعدة المنشور، يكفي أن نتذكر صيغة مساحة المربع).
المساحة السطحية والحجم
لتحديد حجم المنشور باستخدام الصيغة، عليك معرفة مساحة قاعدته وارتفاعه:
V = سباس ح
بما أن قاعدة المنشور الرباعي المنتظم هي مربع ذو ضلع أ،يمكنك كتابة الصيغة بشكل أكثر تفصيلاً:
الخامس = أ²·ح
إذا كنا نتحدث عن مكعب - منشور عادي به يساوي طولوالعرض والارتفاع، ويتم حساب الحجم على النحو التالي:
لفهم كيفية العثور على مساحة السطح الجانبية للمنشور، عليك أن تتخيل تطورها.
يتضح من الرسم أن السطح الجانبي مكون من 4 مستطيلات متساوية. يتم حساب مساحتها كمنتج محيط القاعدة وارتفاع الشكل:
الجانب = بوزن ح
مع الأخذ في الاعتبار أن محيط المربع يساوي ف = 4 أ،الصيغة تأخذ الشكل:
الجانب = 4 أ ح
للمكعب:
الجانب = 4 أ²
لحساب مساحة السطح الإجمالي للمنشور، تحتاج إلى إضافة منطقتين أساسيتين إلى المساحة الجانبية:
كامل = الجانب + 2Smain
بالنسبة للمنشور المنتظم رباعي الزوايا، تبدو الصيغة كما يلي:
الإجمالي = 4 أ ح + 2 أ²
بالنسبة لمساحة سطح المكعب:
سفول = 6 أ²
بمعرفة الحجم أو مساحة السطح، يمكنك حساب العناصر الفردية لجسم هندسي.
العثور على عناصر المنشور
غالبا ما تكون هناك مشاكل يتم فيها إعطاء الحجم أو معرفة قيمة مساحة السطح الجانبية، حيث من الضروري تحديد طول جانب القاعدة أو الارتفاع. في مثل هذه الحالات، يمكن اشتقاق الصيغ:
- طول الجانب الأساسي: أ = الجانب / 4س = √(الخامس / ح)؛
- الارتفاع أو طول الضلع الجانبي: ح = الجانب / 4أ = الخامس / أ²؛
- منطقة قاعدة: سباس = الخامس / ح؛
- منطقة الوجه الجانبية: جانب غرام = الجانب / 4.
لتحديد مقدار مساحة القسم القطري، عليك معرفة طول القطر وارتفاع الشكل. لمربع د = أ√2.لذلك:
سديج = اه√2
لحساب قطر المنشور، استخدم الصيغة:
dprize = √(2a² + h²)
لفهم كيفية تطبيق العلاقات المعطاة، يمكنك التدرب على عدة مهام بسيطة وحلها.
أمثلة على المشاكل مع الحلول
فيما يلي بعض المهام الموجودة في الامتحانات النهائية للدولة في الرياضيات.
التمرين 1.
يُسكب الرمل في صندوق على شكل منشور رباعي الزوايا منتظم. ارتفاع مستواها 10 سم، فماذا سيكون مستوى الرمل إذا نقلتها إلى وعاء من نفس الشكل، ولكن بقاعدة يبلغ طولها ضعف ذلك؟
ينبغي للمرء أن السبب بالطريقة الآتية. ولم تتغير كمية الرمل في الوعاءين الأول والثاني، أي أن حجمه فيهما واحد. يمكنك الإشارة إلى طول القاعدة بواسطة أ. في هذه الحالة، بالنسبة للمربع الأول سيكون حجم المادة:
V₁ = هكتار² = 10أ²
بالنسبة للمربع الثاني، طول القاعدة هو 2 ألكن ارتفاع مستوى الرمال غير معروف:
V₂ = ح (2أ)² = 4 هكتار²
بسبب ال V₁ = V₂، يمكننا مساواة التعبيرات:
10 أ² = 4 هكتار²
وبعد تخفيض طرفي المعادلة بمقدار a² نحصل على:
نتيجة ل مستوى جديدسوف يكون الرمال ح = 10 / 4 = 2.5سم.
المهمة 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ هو المنشور الصحيح. ومن المعروف أن BD = AB₁ = 6√2. أوجد المساحة السطحية الكلية للجسم.
لتسهيل فهم العناصر المعروفة، يمكنك رسم الشكل.
بما أننا نتحدث عن منشور منتظم، يمكننا أن نستنتج أنه عند القاعدة يوجد مربع قطره 6√2. قطري الوجه الجانبي له نفس الحجم، وبالتالي فإن الوجه الجانبي له أيضًا شكل مربع، يساوي القاعدة. وتبين أن الأبعاد الثلاثة - الطول والعرض والارتفاع - متساوية. يمكننا أن نستنتج أن ABCDA₁B₁C₁D₁ هو مكعب.
يتم تحديد طول أي حافة من خلال قطري معروف:
أ = د / √2 = 6√2 / √2 = 6
تم العثور على إجمالي مساحة السطح باستخدام صيغة المكعب:
كامل = 6 أ² = 6 6² = 216
المهمة 3.
الغرفة قيد التجديد. ومن المعروف أن أرضيته على شكل مربع بمساحة 9 متر مربع. ارتفاع الغرفة 2.5 متر ما هي أقل تكلفة لورق الجدران للغرفة إذا كان 1 متر مربع يكلف 50 روبل؟
حيث أن الأرضية والسقف مربعان، أي رباعيان منتظمان، وجدرانه متعامدة الأسطح الأفقيةيمكننا أن نستنتج أنه منشور صحيح. من الضروري تحديد مساحة سطحه الجانبي.
طول الغرفة هو أ = √9 = 3م.
سيتم تغطية المنطقة بورق الجدران الجانب = 4 3 2.5 = 30 م².
ستكون أقل تكلفة لورق الحائط لهذه الغرفة 50·30 = 1500روبل
وبالتالي حل المشاكل على منشور مستطيل الشكليكفي أن تكون قادرًا على حساب مساحة ومحيط المربع والمستطيل، وكذلك معرفة صيغ إيجاد الحجم ومساحة السطح.
كيفية العثور على مساحة المكعب
حجم المنشور. حل المشاكل
الهندسة هي أقوى وسيلة لصقل قدراتنا العقلية وتمكيننا من التفكير والاستدلال بشكل صحيح.
جي جاليليو
الغرض من الدرس:
- تعليم حل المشكلات المتعلقة بحساب حجم المنشور، وتلخيص وتنظيم المعلومات التي لدى الطلاب حول المنشور وعناصره، وتطوير القدرة على حل المشكلات ذات التعقيد المتزايد؛
- يطور التفكير المنطقي، القدرة على العمل بشكل مستقل، ومهارات السيطرة المتبادلة وضبط النفس، والقدرة على التحدث والاستماع؛
- تطوير عادة الاستخدام المستمر في بعض الأنشطة المفيدة، وتعزيز الاستجابة والعمل الجاد والدقة.
نوع الدرس: درس في تطبيق المعرفة والمهارات والقدرات.
المعدات: بطاقات التحكم، جهاز عرض الوسائط، العرض التقديمي “الدرس. حجم المنشور "، أجهزة الكمبيوتر.
خلال الفصول الدراسية
- الأضلاع الجانبية للمنشور (الشكل 2).
- السطح الجانبيالمنشور (الشكل 2، الشكل 5).
- ارتفاع المنشور (الشكل 3، الشكل 4).
- المنشور المستقيم (الشكل 2،3،4).
- منشور مائل (الشكل 5).
- المنشور الصحيح (الشكل 2، الشكل 3).
- قسم قطريالمنشور (الشكل 2).
- قطري المنشور (الشكل 2).
- قسم عموديالمنشور (pi3، الشكل 4).
- مساحة السطح الجانبية للمنشور.
- إجمالي مساحة سطح المنشور.
- حجم المنشور.
- التحقق من الواجب المنزلي (8 دقائق)
- تعاونالمعلمين مع الفصل (2-3 دقائق).
- الدقيقة البدنية (3 دقائق)
- حل المشكلات (10 دقائق)
- عمل مستقلالطلاب الذين يعملون في اختبار على الكمبيوتر
تبادل دفاتر الملاحظات والتحقق من الحل على الشرائح ووضع علامة عليه (ضع علامة 10 إذا تم تجميع المشكلة)
قم بتكوين مشكلة بناءً على الصورة وحلها. يدافع الطالب عن المشكلة التي قام بتجميعها على السبورة. الشكل 6 والشكل 7.
الفصل 2،§3
مشكلة.2. أطوال جميع حواف المنشور الثلاثي المنتظم متساوية مع بعضها البعض. احسب حجم المنشور إذا كانت مساحة سطحه سم 2 (الشكل 8)
الفصل 2،§3
المشكلة 5. قاعدة المنشور المستقيم ABCA 1B 1C1 هي مثلث قائم ABC (الزاوية ABC = 90 درجة)، AB = 4 سم. احسب حجم المنشور إذا كان نصف قطر الدائرة محددًا به المثلث ABC، 2.5 سم، وارتفاع المنشور 10 سم. (الشكل 9).
الفصل 2، §3
المسألة 29. طول جانب القاعدة منتظم المنشور الرباعييساوي 3 سم. يشكل قطر المنشور زاوية مقدارها 30 درجة مع مستوى الوجه الجانبي. حساب حجم المنشور (الشكل 10).
الغرض: تلخيص الإحماء النظري (يعطي الطلاب علامات بعضها البعض) ، دراسة طرق حل المشكلات حول موضوع ما.
على في هذه المرحلةينظم المعلم العمل الأمامي على طرق التكرار لحل المشكلات المستوية والصيغ المستوية. ينقسم الفصل إلى مجموعتين، بعضهم يحل المشكلات، والبعض الآخر يعمل على الكمبيوتر. ثم يتغيرون. يُطلب من الطلاب حل المسألة رقم 8 (شفهيًا) والرقم 9 (شفهيًا). ثم ينقسمون إلى مجموعات ويشرعون في حل المسائل رقم 14 ورقم 30 ورقم 32.
الفصل الثاني، §3، الصفحات 66-67
المشكلة 8. جميع حواف المنشور الثلاثي المنتظم متساوية مع بعضها البعض. أوجد حجم المنشور إذا كانت مساحة المقطع العرضي للمستوى الذي يمر عبر حافة القاعدة السفلية ووسط جانب القاعدة العلوية تساوي سم (الشكل 11).
الفصل الثاني، الفقرة 3، الصفحات 66-67
المسألة 9. قاعدة المنشور المستقيم مربعة وحوافها الجانبية مزدوجة المزيد من الجوانبأسباب. احسب حجم المنشور إذا كان نصف قطر الدائرة الموصوفة بالقرب من قسم المنشور بواسطة مستوى يمر بجانب القاعدة ومنتصف الحافة الجانبية المقابلة يساوي سم (الشكل 12)
الفصل الثاني، الفقرة 3، الصفحات 66-67
المشكلة 14قاعدة المنشور المستقيم عبارة عن مُعيَّن، أحد أقطاره يساوي ضلعه. احسب محيط المقطع الذي يمر عبره مستوى قطري كبيرالقاعدة السفلية إذا كان حجم المنشور متساويا وجميع الوجوه الجانبية مربعة (الشكل 13).
الفصل الثاني، الفقرة 3، الصفحات 66-67
مشكلة 30 ABCA 1 B 1 C 1 هو منشور ثلاثي منتظم، جميع أحرفه متساوية مع بعضها البعض، النقطة هي منتصف الحافة BB 1. احسب نصف قطر الدائرة المدرج في قسم المنشور بواسطة مستوى AOS، إذا كان حجم المنشور يساوي (الشكل 14).
الفصل الثاني، الفقرة 3، الصفحات 66-67
المشكلة 32في المنشور الرباعي المنتظم يكون مجموع مساحات قواعده يساوي مساحة السطح الجانبي. احسب حجم المنشور إذا كان قطر الدائرة الموصوفة بالقرب من المقطع العرضي للمنشور بمستوى يمر عبر رأسي القاعدة السفلية والرأس المقابل للقاعدة العلوية هو 6 سم (الشكل 15).
أثناء حل المشكلات، يقوم الطلاب بمقارنة إجاباتهم مع تلك التي يعرضها المعلم. هذا نموذج لحل المشكلة مع التعليقات التفصيلية... العمل الفرديمعلمون مع طلاب "أقوياء" (10 دقائق).
1. ضلع قاعدة المنشور الثلاثي المنتظم يساوي 5، وارتفاعه 5. أوجد حجم المنشور.
1) 152) 45 3) 104) 125) 18
2. اختر العبارة الصحيحة.
1) حجم المنشور القائم الذي قاعدته مثلث قائم الزاوية يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.
2) يتم حساب حجم المنشور الثلاثي المنتظم بالصيغة V = 0.25a 2 h - حيث a هو جانب القاعدة، h هو ارتفاع المنشور.
3) حجم المنشور المستقيم يساوي النصفحاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.
4) يتم حساب حجم المنشور الرباعي المنتظم بالصيغة V = a 2 h- حيث a هو جانب القاعدة، h هو ارتفاع المنشور.
5) الحجم صحيح المنشور السداسييتم حسابه بواسطة الصيغة V = 1.5a 2 h، حيث a هو جانب القاعدة، h هو ارتفاع المنشور.
3. ضلع قاعدة المنشور الثلاثي المنتظم يساوي . من خلال جانب القاعدة السفلية و الرأس المعاكسيُرسم مستوى من القاعدة العلوية، ويمر بالقاعدة بزاوية مقدارها 45 درجة. أوجد حجم المنشور.
1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125
4. قاعدة المنشور القائم هي معين طول ضلعه 13 وقطر أحد قطريه 24. أوجد حجم المنشور إذا كان قطر الوجه الجانبي يساوي ١٤.
تتضمن دورة الفيديو "Get a A" جميع المواضيع التي تحتاج إليها اكتمال موفقامتحان الدولة الموحد في الرياضيات من 60 إلى 65 نقطة. تماما جميع المشاكل 1-13 امتحان الدولة الموحدة للملف الشخصيالرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز امتحان الدولة الموحدة الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز امتحان الدولة الموحدة برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!
دورة تحضيرية لامتحان الدولة الموحدة للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، ولا يستطيع طالب 100 نقطة ولا طالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.
الجميع النظرية الضرورية. طرق سريعةحلول ومزالق وأسرار امتحان الدولة الموحدة. تم تحليل جميع المهام الحالية للجزء الأول من بنك مهام FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات امتحان الدولة الموحدة 2018.
الدورة تحتوي على 5 مواضيع كبيرة، 2.5 ساعة لكل منهما. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.
المئات من مهام امتحان الدولة الموحدة. مشاكل الكلماتونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. نظرية، المواد المرجعية، تحليل جميع أنواع مهام امتحان الدولة الموحدة. القياس المجسم. حلول صعبة، أوراق غش مفيدة، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلا من الحشر. شرح مرئي مفاهيم معقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أساس الحل المهام المعقدة 2 أجزاء من امتحان الدولة الموحدة.
المنشور المباشر. سطح وحجم المنشور المباشر.
§ 68. حجم المنشور المباشر.
1. حجم المنشور الثلاثي القائم.
لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حجم المنشور الثلاثي القائم، مساحة قاعدته تساوي S، وارتفاعه يساوي ح= AA" = = BB" = SS" (الرسم 306).
دعونا نرسم بشكل منفصل قاعدة المنشور، أي المثلث ABC (الشكل 307، أ)، ونبنيه على شكل مستطيل، حيث نرسم خطًا مستقيمًا KM عبر الرأس B || AC ومن النقطتين A وC نقوم بإنزال العمودين AF وCE على هذا الخط. نحصل على المستطيل ACEF. برسم الارتفاع ВD للمثلث ABC، نرى أن المستطيل ACEF مقسم إلى 4 مثلثات قائمة. علاوة على ذلك /\ الكل = /\ بي سي دي و /\ فاف = /\ مساعدة القيمة المضافة. وهذا يعني أن مساحة المستطيل ACEF هي ضعف مساحة المثلث ABC، أي يساوي 2S.
إلى هذا المنشور ذو القاعدة ABC سنعلق المنشورات ذات القاعدتين ALL وBAF والارتفاع ح(الشكل 307، ب). نحصل على متوازي مستطيل بقاعدة
ACEF.
وإذا قمنا بتشريح هذا الموازي بمستوى يمر عبر الخطوط المستقيمة BD وBB"، فسنرى أن متوازي السطوح المستطيل يتكون من 4 منشورات لها قواعد
BCD، ALL، BAD وBAF.
يمكن دمج المنشورات ذات القواعد BCD وVSE، لأن قواعدها متساوية ( /\ في سي دي= /\ BSE) وحوافهم الجانبية متساوية أيضًا، وهي متعامدة مع نفس المستوى. وهذا يعني أن أحجام هذه المنشورات متساوية. أحجام المنشورات ذات القاعدتين BAD وBAF متساوية أيضًا.
وهكذا يتبين أن حجم المنشور الثلاثي المعطى له قاعدة
ABC هو نصف حجم متوازي مستطيلات قاعدته ACEF.
نحن نعلم أن حجم متوازي السطوح المستطيل يساوي حاصل ضرب مساحة قاعدته وارتفاعه، أي أنه في هذه الحالة يساوي 2S ح. ومن ثم فإن حجم هذا المنشور الثلاثي القائم يساوي S ح.
حجم المنشور الثلاثي القائم يساوي حاصل ضرب مساحة قاعدته وارتفاعه.
2. حجم المنشور المضلع الأيمن.
للعثور على حجم المنشور متعدد الأضلاع القائم، على سبيل المثال، المنشور الخماسي بمساحة القاعدة S والارتفاع ح، نقسمها إلى منشورات ثلاثية (الشكل 308).
بالإشارة إلى المساحات الأساسية للمنشور الثلاثي بواسطة S 1 و S 2 و S 3 وحجم المنشور المضلع المحدد بواسطة V، نحصل على:
الخامس = س 1 ح+ س 2 ح+ س 3 ح، أو
الخامس = (س1 + ق2 + ق3) ح.
وأخيرًا: V = S ح.
وبنفس الطريقة، يتم اشتقاق صيغة حجم المنشور المستقيم الذي يوجد في قاعدته أي مضلع.
وسائل، حجم أي منشور قائم يساوي حاصل ضرب مساحة قاعدته وارتفاعه.
تمارين.
1. احسب حجم المنشور المستقيم الذي عند قاعدته متوازي الأضلاع باستخدام البيانات التالية:
2. احسب حجم المنشور المستقيم الذي يوجد في قاعدته مثلث باستخدام البيانات التالية:
3. احسب حجم المنشور المستقيم ذي القاعدة مثلث متساوي الاضلاعمع جانب 12 سم (32 سم، 40 سم). ارتفاع المنشور 60 سم.
4. احسب حجم المنشور المستقيم الذي عند قاعدته مثلث قائم الزاوية وأطوال أرجله 12 سم و8 سم (16 سم و7 سم؛ 9 م و6 م). ارتفاع المنشور 0.3 م.
5. احسب حجم المنشور المستقيم الذي يوجد في قاعدته شبه منحرف جوانب متوازية 18 سم و 14 سم وارتفاعه 7.5 سم وارتفاع المنشور 40 سم.
6. احسب حجم الخاص بك قاعة الدراسة(صالة الألعاب الرياضية، غرفتك).
7. سطح كاملالمكعب يساوي 150 سم2 (294 سم2، 864 سم2). احسب حجم هذا المكعب.
8. طول لبنة البناء 25.0 سم، وعرضها 12.0 سم، وسمكها 6.5 سم أ) احسب حجمها، ب) أوجد وزنها إذا كان 1 سنتيمتر مكعبيزن الطوب 1.6 جرام.
9. ما عدد قطع طوب البناء اللازمة لبناء جدار من الطوب الصلب على شكل مستطيل متوازي السطوح يبلغ طوله 12 مترًا وعرضه 0.6 مترًا وارتفاعه 10 أمتار؟ (أبعاد الطوب من التمرين 8.)
10. يبلغ طول اللوح المقطوع بشكل نظيف 4.5 م، والعرض 35 سم، والسمك 6 سم أ) احسب الحجم ب) حدد وزنه إذا كان الديسيمتر المكعب من اللوح يزن 0.6 كجم.
11. كم طنًا من التبن يمكن تكديسه في دور علوي مغطى بسقف الجملون (الشكل 309) إذا كان طول الدور العلوي 12 مترًا وعرضه 8 أمتار وارتفاعه 3.5 مترًا وارتفاعه حافة السقف 1.5 م؟ ( جاذبية معينةخذ التبن كـ 0.2.)
12. يشترط حفر خندق بطول 0.8 كم. في القسم، يجب أن يكون للخندق شكل شبه منحرف بقواعد 0.9 م و 0.4 م، ويجب أن يكون عمق الخندق 0.5 م (الرسم 310). كم متر مكعب من الأرض يجب إزالتها؟