كيفية العثور على الفرق في التقدم الحسابي. مفهوم التقدم الحسابي

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام يكون فيها كل رقم أكبر (أو أقل) من الرقم السابق بنفس المقدار.

غالبًا ما يبدو هذا الموضوع معقدًا وغير مفهوم. مؤشرات الحروف الفصل الدراسي التاسعالتقدم، اختلافات التقدم - كل هذا مربك إلى حد ما، نعم... دعونا نكتشف المعنى التقدم الحسابيوكل شيء سوف يتحسن على الفور.)

مفهوم التقدم الحسابي.

التقدم الحسابي هو مفهوم بسيط وواضح للغاية. هل لديك أي شكوك؟ عبثا.) انظر لنفسك.

سأكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

1, 2, 3, 4, 5, ...

هل يمكنك تمديد هذه السلسلة؟ ما الأرقام التي ستأتي بعد الخمسة؟ الجميع... أه... باختصار، الجميع سوف يدرك أن الأرقام 6، 7، 8، 9، إلخ ستأتي بعد ذلك.

دعونا تعقيد المهمة. أقدم لك سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

2, 5, 8, 11, 14, ...

ستكون قادرًا على التقاط النمط وتوسيع السلسلة والاسم السابعرقم الصف؟

إذا أدركت أن هذا الرقم هو 20، فتهانينا! لم تشعر فقط النقاط الرئيسيةالتقدم الحسابي,ولكن أيضًا استخدموها بنجاح في العمل! إذا لم تكن قد اكتشفت ذلك، واصل القراءة.

والآن دعونا نترجم النقاط الرئيسية من الأحاسيس إلى الرياضيات.)

النقطة الرئيسية الأولى.

التقدم الحسابي يتعامل مع سلسلة من الأرقام.هذا محير في البداية. لقد اعتدنا على حل المعادلات ورسم الرسوم البيانية وكل ذلك... ولكن هنا نمد المتسلسلة ونوجد رقم المتسلسلة...

لا بأس. إن الأمر مجرد أن التقدم هو أول التعرف على فرع جديد من الرياضيات. يُطلق على القسم اسم "السلسلة" ويعمل بشكل خاص مع سلسلة من الأرقام والتعبيرات. تعتاد على ذلك.)

النقطة الرئيسية الثانية.

في المتوالية الحسابية، أي رقم يختلف عن الرقم السابق بنفس المبلغ.

في المثال الأول، هذا الفرق هو واحد. ومهما كان الرقم الذي تأخذه، فهو يزيد بمقدار واحد عن الرقم السابق. في الثانية - ثلاثة. أي رقم يزيد بثلاثة عن الرقم السابق. في الواقع، هذه اللحظة هي التي تمنحنا الفرصة لفهم النمط وحساب الأرقام اللاحقة.

النقطة الرئيسية الثالثة.

هذه اللحظة ليست ملفتة للنظر، نعم... لكنها مهمة جدًا جدًا. ها هو: كل رقم التقدميقف في مكانه.هناك الرقم الأول، وهناك السابع، وهناك الخامس والأربعون، الخ. إذا قمت بخلطها بشكل عشوائي، فسوف يختفي النمط. سوف يختفي التقدم الحسابي أيضًا. ما تبقى هو مجرد سلسلة من الأرقام.

هذا هو بيت القصيد.

بالطبع في موضوع جديدتظهر مصطلحات وتسميات جديدة. أنت بحاجة إلى معرفتهم. وإلا فلن تفهم المهمة. على سبيل المثال، سيكون عليك أن تقرر شيئًا مثل:

اكتب الحدود الستة الأولى من المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 2 = 5، d = -2.5.

ملهمة؟) الحروف وبعض الفهارس... وبالمناسبة، المهمة لا يمكن أن تكون أسهل. تحتاج فقط إلى فهم معنى المصطلحات والتسميات. الآن سوف نتقن هذا الأمر ونعود إلى المهمة.

المصطلحات والتسميات.

التقدم الحسابيهي سلسلة من الأرقام يختلف كل رقم فيها عن الرقم الذي يسبقه بنفس المبلغ.

تسمى هذه الكمية . دعونا ننظر إلى هذا المفهوم بمزيد من التفصيل.

فرق التقدم الحسابي.

فرق التقدم الحسابيهو المبلغ الذي أي رقم التقدم أكثرالسابقة.

واحد نقطة مهمة. يرجى الانتباه إلى الكلمة "أكثر".رياضياً، هذا يعني أن كل رقم تقدم هو عن طريق الإضافةفرق التقدم الحسابي إلى الرقم السابق.

لحساب، دعنا نقول ثانيةأرقام السلسلة التي تحتاج إليها أولاًرقم يضيفهذا الاختلاف بالذات في التقدم الحسابي. للحساب الخامس- الاختلاف ضروري يضيفل الرابع،حسنًا ، إلخ.

فرق التقدم الحسابيربما إيجابي،عندها سيتبين أن كل رقم في السلسلة حقيقي أكثر من السابق.ويسمى هذا التقدم زيادة.على سبيل المثال:

8; 13; 18; 23; 28; .....

هنا يتم الحصول على كل رقم عن طريق الإضافةالرقم الموجب، +5 إلى الرقم السابق.

قد يكون الفرق سلبي،ثم سيكون كل رقم في السلسلة أقل من السابق.هذا التقدم يسمى (لن تصدقه!) متناقص.

على سبيل المثال:

8; 3; -2; -7; -12; .....

هنا يتم الحصول على كل رقم أيضًا عن طريق الإضافةإلى السابق، ولكن بالفعل رقم سلبي, -5.

بالمناسبة، عند العمل مع التقدم، من المفيد للغاية تحديد طبيعته على الفور - سواء كان يتزايد أو يتناقص. يساعد هذا كثيرًا في التنقل بين القرار واكتشاف أخطائك وتصحيحها قبل فوات الأوان.

فرق التقدم الحسابييشار إليها عادة بالحرف د.

كيف تجد د؟ بسيط جدا. من الضروري الطرح من أي رقم في السلسلة سابقرقم. طرح. بالمناسبة، نتيجة الطرح تسمى "الفرق".)

دعونا نحدد، على سبيل المثال، دلزيادة التقدم الحسابي:

2, 5, 8, 11, 14, ...

نأخذ أي عدد نريده في المتسلسلة، مثلا 11. ونطرح منه الرقم السابق, أولئك. 8:

هذه هي الإجابة الصحيحة. في هذه المتوالية الحسابية، الفرق هو ثلاثة.

يمكنك أن تأخذ ذلك أي رقم التقدم،لأن لتقدم معين د-دائما نفس الشيء.على الأقل في مكان ما في بداية الصف، على الأقل في المنتصف، على الأقل في أي مكان. لا يمكنك أخذ الرقم الأول فقط. ببساطة لأن الرقم الأول لا سابقة.)

بالمناسبة، مع العلم بذلك د = 3إن العثور على الرقم السابع من هذا التقدم أمر بسيط للغاية. أضف 3 إلى الرقم الخامس - نحصل على السادس، سيكون 17. أضف ثلاثة إلى الرقم السادس، نحصل على الرقم السابع - عشرين.

دعونا نحدد دللتقدم الحسابي التنازلي:

8; 3; -2; -7; -12; .....

أذكرك أنه بغض النظر عن العلامات، يجب تحديدها دمطلوب من اي رقم يسلب السابق.اختر أي رقم تقدم، على سبيل المثال -7. رقمه السابق هو -2. ثم:

د = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

يمكن أن يكون الفرق في التقدم الحسابي أي رقم: عدد صحيح، أو كسري، أو غير منطقي، أو أي رقم.

مصطلحات وتسميات أخرى.

كل رقم في السلسلة يسمى عضو في التقدم الحسابي.

كل عضو في التقدم لديه رقم خاص به.الأرقام مرتبة بدقة، دون أي حيل. الأول، الثاني، الثالث، الرابع، الخ. على سبيل المثال، في التسلسل 2، 5، 8، 11، 14، ... اثنان هو الحد الأول، وخمسة هو الحد الثاني، وأحد عشر هو الرابع، حسنًا، أنت تفهم...) يرجى الفهم بوضوح - الأرقام نفسهايمكن أن يكون أي شيء على الإطلاق، كليًا، كسريًا، سلبيًا، أيًا كان، ولكن ترقيم الأرقام- بدقة في النظام!

كيفية كتابة التقدم في منظر عام؟ لا شك! كل رقم في السلسلة مكتوب على شكل حرف. للدلالة على التقدم الحسابي، عادة ما يتم استخدام الرسالة أ. تتم الإشارة إلى رقم العضو بواسطة فهرس في أسفل اليمين. نكتب مصطلحات مفصولة بفواصل (أو فواصل منقوطة)، مثل هذا:

أ 1، أ 2، أ 3، أ 4، أ 5، .....

أ 1- وهذا هو الرقم الأول، أ 3- الثالث، الخ. لا شيء يتوهم. يمكن كتابة هذه السلسلة بإيجاز على النحو التالي: (ن).

التقدم يحدث محدود ولانهائي.

ذروةالتقدم له عدد محدود من الأعضاء. خمسة، ثمانية وثلاثون، أيا كان. لكنه عدد محدود.

لانهائيالتقدم - لديه عدد لا نهائيالأعضاء، كما قد تتخيل.)

اكتب تقدم محدوديمكنك الاطلاع على سلسلة كهذه، مع كل المصطلحات ونقطة في النهاية:

أ1، أ2، أ3، أ4، أ5.

أو هكذا إذا كان الأعضاء كثيرين:

أ1، أ2، ...14، أ15.

في الإدخال القصير، سيتعين عليك أيضًا الإشارة إلى عدد الأعضاء. على سبيل المثال (لعشرين عضواً) هكذا:

(أ ن)، ن = 20

يمكن التعرف على التقدم اللانهائي من خلال علامة الحذف الموجودة في نهاية الصف، كما في الأمثلة الموجودة في هذا الدرس.

الآن يمكنك حل المهام. المهام بسيطة، وهي مخصصة فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.

أمثلة على المهام على التقدم الحسابي.

دعونا نلقي نظرة على المهمة المذكورة أعلاه بالتفصيل:

1. اكتب الحدود الستة الأولى من المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 2 = 5، d = -2.5.

ننقل المهمة إلى لغة واضحة. يتم إعطاء تقدم حسابي لانهائي. والرقم الثاني من هذا التقدم معروف: أ 2 = 5.وفرق التقدم معروف: د = -2.5.علينا إيجاد الحدود الأول والثالث والرابع والخامس والسادس من هذا التقدم.

وللتوضيح سأكتب سلسلة حسب ظروف المشكلة. الحدود الستة الأولى، حيث الحد الثاني هو خمسة:

أ 1، 5، أ 3، أ 4، أ 5، أ 6، ....

أ 3 = أ 2 + د

استبدال في التعبير أ 2 = 5و د = -2.5. لا تنسى الطرح!

أ 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

وتبين أن الحد الثالث أصغر من الثاني. كل شيء منطقي. إذا كان العدد أكبر من الرقم السابق سلبيالقيمة، مما يعني أن الرقم نفسه سيكون أقل من الرقم السابق. التقدم آخذ في التناقص. حسنًا، لنأخذ ذلك بعين الاعتبار.) نعد الحد الرابع من المتسلسلة:

أ 4 = أ 3 + د

أ 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = أ 4 + د

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + د

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

إذن تم حساب الحدود من الثالث إلى السادس. والنتيجة هي السلسلة التالية:

أ 1، 5، 2.5، 0، -2.5، -5، ....

يبقى العثور على الفصل الأول أ 1بواسطة الثاني الشهير. هذه خطوة في الاتجاه الآخر، إلى اليسار.) إذن، فرق التقدم الحسابي دلا ينبغي أن تضاف إلى أ 2، أ يسلب:

أ 1 = أ 2 - د

أ 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

هذا كل شيء. إجابة الواجب:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

وبشكل عابر، أود أن أشير إلى أننا حللنا هذه المهمة متكررطريق. هذا كلمة مخيفةيعني ببساطة البحث عن عضو في التقدم حسب الرقم (المجاور) السابق.سننظر في طرق أخرى للعمل مع التقدم أدناه.

يمكن استخلاص استنتاج مهم من هذه المهمة البسيطة.

يتذكر:

إذا عرفنا حدًا واحدًا على الأقل وفرق المتتابعة الحسابية، فيمكننا إيجاد أي حد من هذه المتتابعة.

هل تذكر؟ هذا الاستنتاج البسيط يسمح لك بحل معظم المشاكل دورة المدرسةحول هذا الموضوع. جميع المهام تدور حولها ثلاثة رئيسيةحدود: عضو التقدم الحسابي، فرق التقدم، عدد أعضاء التقدم.الجميع.

بالطبع، لم يتم إلغاء جميع الجبر السابق.) ترتبط المتباينات والمعادلات وأشياء أخرى بالتقدم. لكن وفقا للتقدم نفسه- كل شيء يدور حول ثلاث عوامل.

على سبيل المثال، دعونا نلقي نظرة على بعض المهام الشائعة حول هذا الموضوع.

2. اكتب المتوالية الحسابية المحدودة في صورة متسلسلة إذا كان n=5، وd = 0.4، وa 1 = 3.6.

كل شيء بسيط هنا. لقد تم بالفعل إعطاء كل شيء. عليك أن تتذكر كيفية حساب أعضاء التقدم الحسابي، وعدهم، وكتابتهم. يُنصح بعدم تفويت الكلمات الموجودة في شروط المهمة: "نهائي" و " ن = 5". حتى لا تحسب حتى يصبح وجهك أزرقًا تمامًا.) لا يوجد سوى 5 (خمسة) أعضاء في هذا التقدم:

أ 2 = أ 1 + د = 3.6 + 0.4 = 4

أ 3 = أ 2 + د = 4 + 0.4 = 4.4

أ 4 = أ 3 + د = 4.4 + 0.4 = 4.8

5 = أ 4 + د = 4.8 + 0.4 = 5.2

يبقى أن أكتب الجواب:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

مهمة أخرى:

3. تحديد ما إذا كان الرقم 7 سيكون عضوا في المتوالية الحسابية (أ ن)، إذا أ 1 = 4.1؛ د = 1.2.

همم... من يدري؟ كيفية تحديد شيء ما؟

كيف كيف... اكتب التقدم في شكل سلسلة وانظر ما إذا كان سيكون هناك سبعة أم لا! نحن نحسب:

أ 2 = أ 1 + د = 4.1 + 1.2 = 5.3

أ 3 = أ 2 + د = 5.3 + 1.2 = 6.5

أ 4 = أ 3 + د = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

الآن أصبح من الواضح أننا في السابعة من عمرنا فقط تسللت من خلالبين 6.5 و7.7! سبعة لم يندرج في سلسلة أرقامنا، وبالتالي، سبعة لن يكون عضوًا في التقدم المحدد.

الجواب: لا.

وهنا مشكلة على أساس خيار حقيقيالجماعة الإسلامية المسلحة:

4. تمت كتابة عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي:

...; 15؛ العاشر؛ 9؛ 6؛ ...

إليكم سلسلة مكتوبة بلا نهاية ولا بداية. لا أرقام الأعضاء، لا فرق د. لا بأس. لحل المشكلة، يكفي أن نفهم معنى التقدم الحسابي. دعونا ننظر ونرى ما هو ممكن لتعرفمن هذه السلسلة؟ ما هي المعلمات الثلاثة الرئيسية؟

أرقام الأعضاء؟ لا يوجد رقم واحد هنا.

ولكن هناك ثلاثة أرقام و- انتبه! - كلمة "ثابت"في حالة. وهذا يعني أن الأرقام مرتبة بدقة، دون ثغرات. هل هناك اثنان في هذا الصف؟ المجاورة أرقام معروفة؟ نعم لقد! هذه هي 9 و 6. لذلك، يمكننا حساب الفرق في التقدم الحسابي! اطرح من ستة سابقالرقم، أي تسعة:

لم يتبق سوى تفاهات. ما هو الرقم الذي سيكون الرقم السابق لـ X؟ خمسة عشر. وهذا يعني أنه يمكن العثور على X بسهولة عن طريق الجمع البسيط. أضف فرق التقدم الحسابي إلى 15:

هذا كل شيء. إجابة: س = 12

نحن نحل المشاكل التالية بأنفسنا. ملاحظة: هذه المشاكل لا تعتمد على الصيغ. فقط لفهم معنى التقدم الحسابي.) نحن فقط نكتب سلسلة من الأرقام والحروف وننظر إليها ونكتشفها.

5. أوجد الحد الموجب الأول للتقدم الحسابي إذا كان 5 = -3؛ د = 1.1.

6. من المعروف أن العدد 5.5 هو عضو في المتتابعة الحسابية (أ ن) حيث أن 1 = 1.6؛ د = 1.3. تحديد عدد ن من هذا العضو.

7. من المعروف أنه في المتتابعة الحسابية أ 2 = 4؛ أ 5 = 15.1. العثور على 3 .

8. تمت كتابة عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي:

...; 15.6؛ العاشر؛ 3.4؛ ...

ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بالحرف x.

9. بدأ القطار بالتحرك من المحطة، وزادت سرعته بشكل منتظم بمقدار 30 مترًا في الدقيقة. كم ستكون سرعة القطار في خمس دقائق؟ اكتب إجابتك بالكيلومتر/الساعة.

10. من المعروف أنه في المتتابعة الحسابية أ 2 = 5؛ أ 6 = -5. العثور على 1.

الإجابات (في حالة من الفوضى): 7.7؛ 7.5؛ 9.5؛ 9؛ 0.3؛ 4.

هل نجح كل شيء؟ مدهش! يمكنك إتقان التقدم الحسابي على مستوى أعلى في الدروس التالية.

ألم ينجح كل شيء؟ لا مشكلة. في القسم الخاص 555، يتم حل كل هذه المشكلات قطعة قطعة.) وبالطبع، يتم وصف تقنية عملية بسيطة تسلط الضوء على الفور على حل هذه المهام بوضوح، بوضوح، في لمحة!

بالمناسبة، يوجد في لغز القطار مشكلتان غالبًا ما يتعثر الناس في حلهما. الأول يتعلق فقط بالتقدم، والثاني عام لأي مشاكل في الرياضيات، والفيزياء أيضًا. هذه هي ترجمة الأبعاد من واحد إلى آخر. ويبين كيفية حل هذه المشاكل.

في هذا الدرس نظرنا المعنى الابتدائيالتقدم الحسابي وأهم معالمه. وهذا يكفي لحل جميع المشاكل تقريبًا حول هذا الموضوع. يضيف دإلى الأرقام، اكتب سلسلة، سيتم حل كل شيء.

يعمل حل الإصبع بشكل جيد مع الأجزاء القصيرة جدًا من الصف، كما هو موضح في الأمثلة في هذا الدرس. إذا كانت السلسلة أطول، تصبح الحسابات أكثر تعقيدا. على سبيل المثال، إذا كان في المشكلة 9 في السؤال نستبدل "خمس دقائق"على "خمسة وثلاثون دقيقة"سوف تصبح المشكلة أسوأ بكثير.)

وهناك أيضًا مهام بسيطة في جوهرها ولكنها سخيفة من حيث الحسابات، على سبيل المثال:

يتم إعطاء التقدم الحسابي (ن). أوجد 121 إذا كان 1 = 3 و d = 1/6.

إذن ماذا، هل سنضيف 1/6 عدة مرات؟! هل تستطيع أن تقتل نفسك!؟

يمكنك ذلك.) إذا كنت لا تعرف صيغة بسيطةالتي من خلالها تقرر مهام مماثلةممكن في دقيقة واحدة. هذه الصيغة ستكون في الدرس القادم ويتم حل هذه المشكلة هناك. في دقيقة.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

نعم نعم: التقدم الحسابي ليس لعبة بالنسبة لك :)

حسنًا، أيها الأصدقاء، إذا كنتم تقرأون هذا النص، فإن الحد الأقصى للأدلة الداخلية يخبرني أنك لا تعرف بعد ما هو التقدم الحسابي، لكنك حقًا (لا، مثل هذا: SOOOOO!) تريد أن تعرف. لذلك، لن أعذبك بمقدمات طويلة وسأدخل في صلب الموضوع مباشرة.

أولا، بضعة أمثلة. دعونا نلقي نظرة على عدة مجموعات من الأرقام:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ما هو القاسم المشترك بين كل هذه المجموعات؟ للوهلة الأولى، لا شيء. ولكن في الواقع هناك شيء ما. وهي: كل العنصر التالييختلف عن السابق بنفس الرقم.

القاضي لنفسك. المجموعة الأولى هي ببساطة أرقام متتالية، وكل رقم تالٍ هو أكثر من الرقم السابق بواحد. وفي الحالة الثانية الفرق بين السلسلة أرقام دائمةيساوي بالفعل خمسة، لكن هذا الفرق لا يزال ثابتًا. وفي الحالة الثالثة، هناك جذور تماما. ومع ذلك، $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$، و$3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$، أي. وفي هذه الحالة، كل عنصر تالٍ يزيد بمقدار $\sqrt(2)$ (ولا تخف من أن هذا الرقم غير منطقي).

لذلك: تسمى كل هذه التسلسلات بالتقدم الحسابي. دعونا نعطي تعريفا صارما:

تعريف. تسمى سلسلة الأرقام التي يختلف فيها كل رقم تالٍ عن الرقم السابق بنفس المقدار تمامًا بالتقدم الحسابي. يُطلق على المقدار الذي تختلف به الأرقام اسم فرق التقدم ويُشار إليه غالبًا بالحرف $d$.

تدوين: $\left(((a)_(n)) \right)$ هو التقدم نفسه، $d$ هو الفرق بينه.

وبعض الملاحظات المهمة فقط. أولاً، يتم أخذ التقدم بعين الاعتبار فقط أمرتسلسل الأرقام: يُسمح بقراءتها بدقة بالترتيب الذي كتبت به - ولا شيء غير ذلك. لا يمكن إعادة ترتيب الأرقام أو تبديلها.

ثانيًا، يمكن أن يكون التسلسل نفسه إما منتهيًا أو لا نهائيًا. على سبيل المثال، المجموعة (1، 2، 3) من الواضح أنها متتابعة حسابية منتهية. ولكن إذا كتبت شيئًا بالروح (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) - فهذا بالفعل تقدم لا نهاية له. يبدو أن علامة القطع بعد الرقم أربعة تشير إلى أن هناك عددًا لا بأس به من الأرقام القادمة. كثيرة لا حصر لها، على سبيل المثال:)

أود أيضًا أن أشير إلى أن التقدم يمكن أن يتزايد أو يتناقص. لقد رأينا بالفعل عددًا متزايدًا - نفس المجموعة (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). فيما يلي أمثلة على التقدم المتناقص:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

حسنًا، حسنًا: المثال الأخيرقد يبدو معقدا للغاية. لكن الباقي، أعتقد أنك تفهمه. ولذلك نقدم تعريفات جديدة:

تعريف. تسمى المتوالية الحسابية :

تزداد إذا كان كل عنصر تالٍ أكبر من العنصر السابق؛

يتناقص إذا كان، على العكس من ذلك، كل عنصر لاحق أقل من العنصر السابق.

بالإضافة إلى ذلك، هناك ما يسمى بالتسلسلات "الثابتة" - وهي تتكون من نفس الرقم المتكرر. على سبيل المثال، (3؛ 3؛ 3؛ ...).

يبقى سؤال واحد فقط: كيف نميز التقدم المتزايد عن التقدم المتناقص؟ لحسن الحظ، كل شيء هنا يعتمد فقط على علامة الرقم $d$، أي. اختلافات التقدم:

إذا كان $d \gt 0$، فسيزداد التقدم؛
إذا كان $d \lt 0$، فمن الواضح أن التقدم يتناقص؛
أخيرًا، هناك الحالة $d=0$ - في هذه الحالة يتم تقليل التقدم بأكمله إلى تسلسل ثابت من الأرقام المتطابقة: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...)، إلخ.

دعونا نحاول حساب الفرق $d$ للتقدمات المتناقصة الثلاثة المذكورة أعلاه. للقيام بذلك، يكفي أن تأخذ أي عنصرين متجاورين (على سبيل المثال، الأول والثاني) وطرح الرقم الموجود على اليسار من الرقم الموجود على اليمين. سوف يبدو مثل هذا:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

وكما نرى، تبين أن الفرق في الحالات الثلاث كان سلبيًا. والآن بعد أن اكتشفنا التعاريف بشكل أو بآخر، فقد حان الوقت لمعرفة كيفية وصف التقدمات وما هي خصائصها.

شروط التقدم وصيغة التكرار

نظرًا لأنه لا يمكن تبديل عناصر تسلسلاتنا، فيمكن ترقيمها:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) ))،... \يمين$\]

تسمى العناصر الفردية لهذه المجموعة بأعضاء التقدم. ويشار إليهم برقم: العضو الأول، العضو الثاني، وما إلى ذلك.

بالإضافة إلى ذلك، كما نعلم بالفعل، ترتبط المصطلحات المجاورة للتقدم بالصيغة:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

باختصار، للعثور على الحد $n$th للتقدم، تحتاج إلى معرفة الحد $n-1$th والفرق $d$. تسمى هذه الصيغة متكررة، لأنه بمساعدتها يمكنك العثور على أي رقم فقط من خلال معرفة الرقم السابق (وفي الواقع، كل الأرقام السابقة). هذا غير مريح للغاية، لذلك هناك صيغة أكثر دقة تقلل أي حسابات إلى الحد الأول والفرق:

\[((أ)_(ن))=((أ)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

ربما تكون قد صادفت هذه الصيغة بالفعل. إنهم يحبون تقديمها في جميع أنواع الكتب المرجعية وكتب الحلول. وفي أي كتاب مدرسي معقول للرياضيات، فهو من أوائل الكتب.

ومع ذلك، أقترح عليك ممارسة قليلا.

المهمة رقم 1. اكتب الحدود الثلاثة الأولى للتقدم الحسابي $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

حل. لذلك، نحن نعرف الحد الأول $((a)_(1))=8$ والفرق في التقدم $d=-5$. لنستخدم الصيغة المعطاة للتو ونستبدل $n=1$ و$n=2$ و$n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3؛ \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \النهاية(محاذاة)\]

الجواب: (8؛ 3؛ −2)

هذا كل شيء! يرجى ملاحظة: تقدمنا آخذ في التناقص.

بالطبع، $n=1$ لا يمكن استبداله - فالحد الأول معروف لنا بالفعل. ومع ذلك، بالتعويض بالوحدة، أصبحنا مقتنعين بأن الصيغة تعمل حتى في الحد الأول. في حالات أخرى، جاء كل شيء إلى حساب عادي.

المهمة رقم 2. اكتب الحدود الثلاثة الأولى للمتوالية الحسابية إذا كان حدها السابع يساوي −40 وحدها السابع عشر يساوي −50.

حل. دعونا نكتب حالة المشكلة بعبارات مألوفة:

\[((أ)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \يمين.\]

لقد وضعت علامة النظام لأنه يجب تلبية هذه المتطلبات في وقت واحد. الآن دعونا نلاحظ أنه إذا طرحنا الأولى من المعادلة الثانية (لدينا الحق في القيام بذلك، حيث أن لدينا نظام)، نحصل على هذا:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((أ)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&د=-1. \\ \النهاية(محاذاة)\]

هذا هو مدى سهولة العثور على فرق التقدم! كل ما تبقى هو استبدال الرقم الموجود في أي من معادلات النظام. على سبيل المثال، في الأول:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((أ)_(1))=-40+6=-34. \\ \النهاية(مصفوفة)\]

والآن بعد معرفة الحد الأول والفرق، يبقى إيجاد الحدين الثاني والثالث:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((أ)_(3))=((أ)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \النهاية(محاذاة)\]

مستعد! تم حل المشكلة.

الإجابة: (−34؛ −35؛ −36)

لاحظ خاصية التقدم المثيرة للاهتمام التي اكتشفناها: إذا أخذنا الحدين $n$th و $m$th وطرحناهما من بعضهما البعض، فسنحصل على فرق التقدم مضروبًا في الرقم $n-m$:

\[((أ)_(ن))-((أ)_(م))=d\cdot \left(n-m \right)\]

خاصية بسيطة ولكنها مفيدة للغاية تحتاج بالتأكيد إلى معرفتها - بمساعدتها يمكنك تسريع حل العديد من مشكلات التقدم بشكل كبير. هنا مشرق ذلكمثال:

المهمة رقم 3. الحد الخامس من المتتابعة الحسابية هو 8.4، والحد العاشر هو 14.4. أوجد الحد الخامس عشر من هذا التقدم.

حل. بما أن $((a)_(5))=8.4$، $((a)_(10))=14.4$، وعلينا إيجاد $((a)_(15))$، نلاحظ ما يلي:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((أ)_(10))-((أ)_(5))=5د. \\ \النهاية(محاذاة)\]

لكن حسب الشرط $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$، وبالتالي $5d=6$، ومنه لدينا:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((أ)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \النهاية(محاذاة)\]

الجواب: 20.4

هذا كل شيء! لم نكن بحاجة إلى إنشاء أي أنظمة من المعادلات وحساب الحد الأول والفرق، فقد تم حل كل شيء في سطرين فقط.

الآن دعونا نلقي نظرة على نوع آخر من المشاكل - البحث عن المصطلحات السلبية والإيجابية للتقدم. ولا يخفى على أحد أنه إذا زاد التقدم، وكان حده الأول سلبيا، فسوف تظهر فيه شروط إيجابية عاجلا أم آجلا. والعكس صحيح: شروط التقدم المتناقص ستصبح سلبية عاجلاً أم آجلاً.

في الوقت نفسه، ليس من الممكن دائمًا العثور على هذه اللحظة "وجهاً لوجه" من خلال المرور عبر العناصر بالتسلسل. في كثير من الأحيان، تتم كتابة المسائل بطريقة تجعل الحسابات تستغرق عدة أوراق من دون معرفة الصيغ، مما يؤدي ببساطة إلى النوم بينما نجد الإجابة. لذلك، دعونا نحاول حل هذه المشاكل بطريقة أسرع.

المهمة رقم 4. كم عدد الحدود السلبية الموجودة في التقدم الحسابي −38.5؛ -35.8؛ ...؟

حل. لذا، $((a)_(1))=-38.5$، $((a)_(2))=-35.8$، حيث نجد الفرق على الفور:

لاحظ أن الفرق إيجابي، وبالتالي يزداد التقدم. الحد الأول سالب، لذا في مرحلة ما سنعثر على أرقام موجبة. والسؤال الوحيد هو متى سيحدث هذا.

دعنا نحاول معرفة المدة التي تظل فيها سلبية المصطلحات (أي حتى الرقم الطبيعي $n$):

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \صحيح. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412؛ \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \النهاية(محاذاة)\]

السطر الأخير يحتاج إلى بعض التوضيح. لذلك نحن نعلم أن $n \lt 15\frac(7)(27)$. من ناحية أخرى، نحن راضون فقط عن القيم الصحيحة للرقم (علاوة على ذلك: $n\in \mathbb(N)$)، لذا فإن أكبر عدد مسموح به هو بالضبط $n=15$، وليس 16 بأي حال من الأحوال .

المهمة رقم 5. في التقدم الحسابي $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. العثور على رقم واحد مصطلح إيجابيهذا التقدم.

ستكون هذه هي نفس المشكلة تمامًا مثل المشكلة السابقة، لكننا لا نعرف $((a)_(1))$. لكن المصطلحين المجاورين معروفان: $((a)_(5))$ و$((a)_(6))$، لذلك يمكننا بسهولة العثور على الفرق بين التقدم:

بالإضافة إلى ذلك، دعونا نحاول التعبير عن الحد الخامس من خلال الأول والفرق باستخدام الصيغة القياسية:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((أ)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((أ)_(1))=-150-12=-162. \\ \النهاية(محاذاة)\]

الآن ننتقل إلى القياس مع المهمة السابقة. دعنا نكتشف عند أي نقطة في تسلسلنا ستظهر الأرقام الإيجابية:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \النهاية(محاذاة)\]

الحد الأدنى حل عدد صحيحمن هذه المتباينة هو الرقم 56.

يرجى ملاحظة: في المهمة الأخيرةكل ذلك جاء إلى عدم المساواة الصارمةلذا فإن الخيار $n=55$ لن يناسبنا.

الآن بعد أن تعلمنا كيفية حل المشكلات البسيطة، فلننتقل إلى المشكلات الأكثر تعقيدًا. ولكن أولا، دعونا ندرس خاصية أخرى مفيدة للغاية للتقدم الحسابي، والتي ستوفر لنا الكثير من الوقت والخلايا غير المتكافئة في المستقبل :).

المتوسط الحسابي والمسافات البادئة المتساوية

دعونا نفكر في عدة حدود متتالية للتقدم الحسابي المتزايد $\left(((a)_(n)) \right)$. دعونا نحاول وضع علامة عليها على خط الأعداد:

شروط التقدم الحسابي على خط الأعداد

لقد حددت على وجه التحديد المصطلحات التعسفية $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$، وليس بعض $((a)_(1)) ,\ ((أ)_(2))،\ ((أ)_(3))$، إلخ. لأن القاعدة التي سأخبرك بها الآن تعمل بنفس الطريقة مع أي "قطاعات".

والقاعدة بسيطة جدا. دعونا نتذكر صيغة التكرارواكتبها لجميع الأعضاء المحددين:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \النهاية(محاذاة)\]

ومع ذلك، يمكن إعادة كتابة هذه المساواة بشكل مختلف:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((أ)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((أ)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \النهاية(محاذاة)\]

وماذا في ذلك؟ وحقيقة أن الحدين $((a)_(n-1))$ و $((a)_(n+1))$ يقعان على نفس المسافة من $((a)_(n)) $ . وهذه المسافة تساوي $d$. يمكن قول الشيء نفسه عن المصطلحين $((a)_(n-2))$ و$((a)_(n+2))$ - تمت إزالتهما أيضًا من $((a)_(n) )$ على نفس المسافة تساوي $2d$. يمكننا أن نستمر إلى ما لا نهاية، ولكن المعنى موضح بشكل جيد من خلال الصورة

تقع شروط التقدم على نفس المسافة من المركز

ماذا يعني هذا بالنسبة لنا؟ هذا يعني أنه يمكن العثور على $((a)_(n))$ إذا كانت الأرقام المجاورة معروفة:

\[((أ)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

لقد استنتجنا عبارة ممتازة: كل حد من المتتابعة الحسابية يساوي الوسط الحسابي للحد المجاور له! علاوة على ذلك: يمكننا التراجع عن $((a)_(n))$ إلى اليسار واليمين ليس بخطوة واحدة، ولكن بخطوات $k$ - وستظل الصيغة صحيحة:

\[((أ)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

أولئك. يمكننا بسهولة العثور على بعض $((a)_(150))$ إذا كنا نعرف $((a)_(100))$ و$((a)_(200))$، لأن $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. للوهلة الأولى، قد يبدو أن هذه الحقيقة لا تعطينا أي شيء مفيد. ومع ذلك، في الممارسة العملية، يتم تصميم العديد من المسائل خصيصًا لاستخدام الوسط الحسابي. ألق نظرة:

المهمة رقم 6. ابحث عن جميع قيم $x$ التي تكون الأرقام $-6((x)^(2))$ و$x+1$ و$14+4((x)^(2))$ عبارة عن حدود متتالية تقدم حسابي (بالترتيب المشار إليه).

حل. منذ أرقام محددةأعضاء في تقدم، يكون شرط المتوسط الحسابي مستوفى لهم: يمكن التعبير عن العنصر المركزي $x+1$ بدلالة العناصر المجاورة:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2))))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \النهاية(محاذاة)\]

اتضح الكلاسيكية معادلة تربيعية. جذورها: $x=2$ و $x=-3$ هي الإجابات.

الجواب: −3؛ 2.

المهمة رقم 7. ابحث عن قيم $$ التي تشكل الأرقام $-1;4-3;(()^(2))+1$ تقدمًا حسابيًا (بهذا الترتيب).

حل. دعونا نعرب مرة أخرى عضو متوسطمن خلال الوسط الحسابي للمصطلحات المجاورة:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \يمين.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \النهاية(محاذاة)\]

المعادلة التربيعية مرة أخرى. ومرة أخرى هناك جذرين: $x=6$ و $x=1$.

الجواب: 1؛ 6.

إذا توصلت أثناء حل المشكلة إلى بعض الأرقام الوحشية، أو لم تكن متأكدًا تمامًا من صحة الإجابات التي تم العثور عليها، فهناك تقنية رائعة تسمح لك بالتحقق: هل قمنا بحل المشكلة بشكل صحيح؟

لنفترض أننا تلقينا في المشكلة رقم 6 الإجابات −3 و2. كيف نتأكد من صحة هذه الإجابات؟ دعونا فقط نوصلهم بالحالة الأصلية ونرى ما سيحدث. اسمحوا لي أن أذكرك أن لدينا ثلاثة أرقام ($-6(()^(2))$ و$+1$ و$14+4(()^(2))$)، والتي يجب أن تشكل تقدمًا حسابيًا. لنستبدل $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(محاذاة)\]

لقد حصلنا على الأرقام −54؛ -2؛ 50 التي تختلف بمقدار 52 هي بلا شك تقدم حسابي. يحدث نفس الشيء لـ $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(محاذاة)\]

مرة أخرى تقدم ولكن بفارق 27. وهكذا تم حل المشكلة بشكل صحيح. يمكن لأولئك الذين يرغبون التحقق من المشكلة الثانية بأنفسهم، لكنني سأقول على الفور: كل شيء على ما يرام هناك أيضًا.

بشكل عام، أثناء حل المشكلات الأخيرة، صادفنا مشكلة أخرى حقيقة مثيرة للاهتمام، والذي يجب أن نتذكره أيضًا:

إذا كانت ثلاثة أرقام بحيث يكون الثاني هو الأوسط الحسابية أولاوأخيرًا، تشكل هذه الأرقام تقدمًا حسابيًا.

في المستقبل، فهم هذا البيان سيسمح لنا "بالتصميم" حرفيًا التطورات اللازمة، بناء على ظروف المشكلة. ولكن قبل أن ننخرط في مثل هذا "البناء"، يجب أن ننتبه إلى حقيقة أخرى، والتي تتبع مباشرة مما تمت مناقشته بالفعل.

تجميع العناصر وجمعها

دعنا نعود إلى محور الأعداد مرة أخرى. دعونا نلاحظ هناك العديد من أعضاء التقدم، بينهم، ربما. يستحق الكثير من الأعضاء الآخرين:

هناك 6 عناصر محددة على خط الأعداد

دعونا نحاول التعبير عن "الذيل الأيسر" من خلال $((a)_(n))$ و$d$، و"الذيل الأيمن" من خلال $((a)_(k))$ و$d$. الأمر بسيط جدًا:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((أ)_(ك-1))=((أ)_(ك))-د; \\ & ((أ)_(ك-2))=((أ)_(ك))-2د. \\ \النهاية(محاذاة)\]

لاحظ الآن أن المبالغ التالية متساوية:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((أ)_(ن+1))+((أ)_(ك-1))=((أ)_(ن))+د+((أ)_(ك))-د= س؛ \\ & ((أ)_(ن+2))+((أ)_(ك-2))=((أ)_(ن))+2d+((أ)_(ك))-2d= س. \end(محاذاة)\]

ببساطة، إذا أخذنا في الاعتبار عنصرين من عناصر التقدم، وهما في المجمل يساويان بعض الأرقام $S$، ثم نبدأ في الانتقال من هذه العناصر إلى الجانبين المتقابلين(تجاه بعضهم البعض أو العكس للابتعاد)، ثم مجموع العناصر التي سنعثر عليها ستكون متساوية أيضًا$س$. ويمكن تمثيل ذلك بشكل واضح بيانيا:

المسافات البادئة المتساوية تعطي كميات متساوية

فهم هذه الحقيقةسوف تسمح لنا بحل المشاكل بشكل جذري أكثر مستوى عالالصعوبات من تلك التي ذكرناها أعلاه. على سبيل المثال، هذه:

المهمة رقم 8. أوجد الفرق في متوالية حسابية يكون فيها الحد الأول 66، وحاصل ضرب الحدين الثاني والثاني عشر هو أصغر ما يمكن.

حل. دعونا نكتب كل ما نعرفه:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&د=؟ \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(محاذاة)\]

لذلك، نحن لا نعرف فرق التقدم $d$. في الواقع، سيتم بناء الحل بأكمله حول الفرق، حيث يمكن إعادة كتابة المنتج $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ كما يلي:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(محاذاة)\]

لمن كان في الدبابة: أخرجته المضاعف المشترك 11 من القوس الثاني. وبالتالي، فإن المنتج المطلوب هو دالة تربيعية بالنسبة للمتغير $d$. لذلك، فكر في الدالة $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - سيكون رسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى، لأن إذا قمنا بفك الأقواس نحصل على:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( د)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

كما ترون، معامل الحد الأعلى هو 11 - هذا هو رقم إيجابي، إذن نحن نتعامل حقًا مع قطع مكافئ له فروع للأعلى:

جدول دالة تربيعية- القطع المكافئ
يرجى الملاحظة: الحد الأدنى للقيمةيأخذ هذا القطع المكافئ $((d)_(0))$ عند رأسه مع الإحداثي السيني. بالطبع، يمكننا حساب هذا الإحداثي المحوري باستخدام المخطط القياسي (توجد الصيغة $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$)، ولكن سيكون من المعقول أكثر ملاحظة ذلك أن الرأس المطلوب يقع على تماثل محور القطع المكافئ، وبالتالي فإن النقطة $((d)_(0))$ تكون على مسافة متساوية من جذور المعادلة $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((د)_(1))=-66;\quad ((د)_(2))=-6. \\ \النهاية(محاذاة)\]

لهذا السبب لم أكن في عجلة من أمري لفتح الأقواس: في شكلها الأصلي، كان من السهل جدًا العثور على الجذور. وبالتالي فإن الإحداثي يساوي المتوسط الأرقام الحسابية−66 و −6:

\[((د)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

ماذا يعطينا الرقم المكتشف؟ مع ذلك، يأخذ المنتج المطلوب أصغر قيمة(بالمناسبة، لم نحسب أبدًا $((y)_(\min ))$ - هذا ليس مطلوبًا منا). وفي الوقت نفسه، هذا الرقم هو الفرق من التقدم الأصلي، أي. وجدنا الجواب :)

الجواب: -36

المهمة رقم 9. بين الأرقام $-\frac(1)(2)$ و$-\frac(1)(6)$، أدخل ثلاثة أرقام بحيث تشكل مع هذه الأرقام تقدمًا حسابيًا.

حل. في الأساس، نحتاج إلى إنشاء سلسلة من خمسة أرقام، مع معرفة الرقم الأول والأخير بالفعل. دعنا نشير إلى الأرقام المفقودة بالمتغيرات $x$ و $y$ و $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

لاحظ أن الرقم $y$ هو "الوسط" في تسلسلنا - فهو على مسافة متساوية من الأرقام $x$ و$z$، ومن الأرقام $-\frac(1)(2)$ و$-\frac (1)(6)$. وإذا كان من الأرقام $x$ و $z$ التي نحن فيها في اللحظةلا يمكننا الحصول على $y$، فالوضع مختلف مع نهايات التقدم. لنتذكر الوسط الحسابي:

الآن، بعد أن عرفنا $y$، سنجد الأعداد المتبقية. لاحظ أن $x$ يقع بين الأرقام $-\frac(1)(2)$ و$y=-\frac(1)(3)$ التي وجدناها للتو. لهذا السبب

وباستخدام المنطق نفسه نجد العدد المتبقي:

مستعد! لقد وجدنا جميع الأرقام الثلاثة. لنكتبها في الإجابة بالترتيب الذي يجب إدراجها به بين الأرقام الأصلية.

الإجابة: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

المهمة رقم 10. بين الرقمين 2 و42، أدخل عدة أرقام تشكل مع هذه الأرقام تقدمًا حسابيًا، إذا كنت تعلم أن مجموع الأرقام الأولى والثانية والأخيرة من الأرقام المدرجة هو 56.

حل. أكثر من ذلك مهمة صعبة، والتي يتم حلها وفقًا لنفس المخطط السابق - من خلال الوسط الحسابي. المشكلة هي أننا لا نعرف بالضبط عدد الأرقام التي يجب إدخالها. لذلك، لنفترض على وجه اليقين أنه بعد إدخال كل شيء سيكون هناك بالضبط أرقام $n$، أولها 2، وآخرها 42. في هذه الحالة، يمكن تمثيل التقدم الحسابي المطلوب بالشكل:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( أ)_(ن-1));42 \يمين$\]

\[((أ)_(2))+((أ)_(3))+((أ)_(n-1))=56\]

ومع ذلك، لاحظ أن الأرقام $((a)_(2))$ و$((a)_(n-1))$ يتم الحصول عليها من الرقمين 2 و42 عند الحواف بخطوة واحدة تجاه بعضها البعض، أي. . إلى وسط التسلسل. وهذا يعني ذلك

\[((أ)_(2))+((أ)_(n-1))=2+42=44\]

ولكن بعد ذلك يمكن إعادة كتابة التعبير المكتوب أعلاه على النحو التالي:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((أ)_(3))=56; \\ & ((أ)_(3))=56-44=12. \\ \النهاية(محاذاة)\]

بمعرفة $((a)_(3))$ و$((a)_(1))$، يمكننا بسهولة العثور على الفرق بين التقدم:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow د=5. \\ \النهاية(محاذاة)\]

كل ما تبقى هو العثور على المصطلحات المتبقية:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((أ)_(2))=2+5=7; \\ & ((أ)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \النهاية(محاذاة)\]

وبالتالي، في الخطوة التاسعة، سنصل إلى الطرف الأيسر من التسلسل - الرقم 42. في المجموع، كان لا بد من إدراج 7 أرقام فقط: 7؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37.

الجواب: 7؛ 12؛ 17؛ 22؛ 27؛ 32؛ 37

مشاكل كلامية مع التقدم

في الختام، أود أن أعتبر بضعة نسبيا مهام بسيطة. حسنًا، بهذه البساطة: بالنسبة لمعظم الطلاب الذين يدرسون الرياضيات في المدرسة ولم يقرؤوا ما هو مكتوب أعلاه، قد تبدو هذه المشكلات صعبة. ومع ذلك، هذه هي أنواع المشاكل التي تظهر في OGE وامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، لذلك أوصي بالتعرف عليها.

المهمة رقم 11. أنتج الفريق 62 جزءًا في يناير، وفي كل شهر لاحق أنتجوا 14 جزءًا أكثر مما أنتجوه في الشهر السابق. كم عدد الأجزاء التي أنتجها الفريق في نوفمبر؟

حل. من الواضح أن عدد الأجزاء المدرجة حسب الشهر سيمثل تقدمًا حسابيًا متزايدًا. علاوة على ذلك:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

نوفمبر هو الشهر الحادي عشر من العام، لذا علينا إيجاد $((a)_(11))$:

\[((أ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ولذلك، سيتم إنتاج 202 قطعة في نوفمبر.

المهمة رقم 12. قامت ورشة تجليد الكتب بتجليد 216 كتابًا في يناير، وفي كل شهر لاحق قامت بتجليد 4 كتب أكثر من الشهر السابق. كم عدد الكتب التي قامت الورشة بتجليدها في شهر ديسمبر؟

حل. كل شيء هو نفسه:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ديسمبر هو الشهر الثاني عشر الأخير من العام، لذلك نبحث عن $((a)_(12))$:

\[((أ)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

هذا هو الجواب: سيتم مجلدة 260 كتابًا في ديسمبر.

حسنًا، إذا كنت قد قرأت هذا حتى الآن، فأنا أسارع إلى تهنئتك: لقد أكملت بنجاح "دورة المقاتل الشاب" في التقدم الحسابي. يمكنك الانتقال بأمان إلى الدرس التالي، حيث سندرس صيغة مجموع التقدم، وكذلك مهمة جدًا عواقب مفيدةمنها.

مفهوم تسلسل رقمييعني ضمنا مراسلات كل عدد طبيعي لبعض القيمة الفعلية. يمكن أن تكون هذه السلسلة من الأرقام تعسفية أو بها خصائص معينة- التقدم. في الحالة الأخيرةيمكن حساب كل عنصر (عضو) لاحق في التسلسل باستخدام العنصر السابق.

التقدم الحسابي - التسلسل القيم العدديةوالتي يختلف فيها الأعضاء المجاورون لها عن بعضهم البعض نفس العدد (خاصية مماثلةجميع عناصر السلسلة، بدءًا من الثاني، لها). هذا الرقم– الفرق بين الحد السابق واللاحق ثابت ويسمى فرق التقدم.

فرق التقدم: التعريف

خذ بعين الاعتبار تسلسلًا يتكون من قيم j A = a(1)، a(2)، a(3)، a(4) ... a(j)، j ينتمي إلى المجموعة الأعداد الطبيعيةن. التقدم الحسابي حسب تعريفه هو تسلسل فيه a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) - أ(ي-1) = د. القيمة d هي الفرق المطلوب لهذا التقدم.

د = أ(ي) – أ(ي-1).

تسليط الضوء على:

تقدم متزايد، وفي هذه الحالة d > 0. مثال: 4، 8، 12، 16، 20، ...
انخفاض التقدم، ثم د< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

تطور الفرق وعناصره التعسفية

إذا كان هناك حدين تعسفيين للتقدم معروفين (i-th، k-th)، فيمكن تحديد الفرق في تسلسل معين بناءً على العلاقة:

أ(i) = أ(ك) + (i – ك)*د، وهو ما يعني د = (أ(i) – أ(ك))/(ط-ك).

اختلاف التقدم ومدته الأولى

سيساعد هذا التعبير في تحديد قيمة غير معروفة فقط في الحالات التي يكون فيها رقم عنصر التسلسل معروفًا.

فرق التقدم ومجموعه

مجموع التقدم هو مجموع شروطه. لحساب القيمة الإجماليةمن عناصره j الأولى، استخدم الصيغة المناسبة:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j، ولكن منذ ذلك الحين a(j) = a(1) + d(j – 1)، ثم S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2أ(1) + د(- 1))/2)*ي.