في هذا الدرس سيتمكن الجميع من دراسة موضوع "متوازي السطوح المستطيل". في بداية الدرس، سنكرر ما هي متوازيات السطوح التعسفية والمستقيمة، ونتذكر خصائص وجوهها المقابلة وأقطار متوازي السطوح. ثم سننظر إلى ماهية المكعب ونناقش خصائصه الأساسية.
الموضوع: عمودي الخطوط والمستويات
الدرس: مكعبة
يسمى السطح المكون من متوازيي أضلاع متساويين ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 وأربعة متوازيات أضلاع ABV 1 A 1، BCC 1 B 1، CDD 1 C 1، DAA 1 D 1 متوازي السطوح(رسم بياني 1).
أرز. 1 متوازي الأضلاع
أي: لدينا متوازيا أضلاع متساويان ABCD و A 1 B 1 C 1 D 1 (القواعد)، ويقعان في طائرات متوازيةلذا الأضلاع الجانبية AA 1، BB 1، DD 1، CC 1 متوازيان. وهكذا يسمى السطح المكون من متوازيات الأضلاع متوازي السطوح.
وبالتالي، فإن سطح متوازي السطوح هو مجموع جميع متوازيات الأضلاع التي تشكل متوازي السطوح.
1. الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.
(الأشكال متساوية، أي يمكن دمجها بالتداخل)
على سبيل المثال:
ABCD = أ 1 ب 1 ج 1 د 1 ( متوازيات الأضلاع متساويةأ-بريوري)،
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (نظرًا لأن AA 1 B 1 B و DD 1 C 1 C وجهان متقابلان لمتوازي السطوح)،
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (نظرًا لأن AA 1 D 1 D و BB 1 C 1 C وجهان متقابلان لمتوازي السطوح).
2. تتقاطع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسم عند هذه النقطة.
تتقاطع أقطار المتوازي AC 1، B 1 D، A 1 C، D 1 B عند نقطة واحدة O، ويتم تقسيم كل قطري إلى نصفين بهذه النقطة (الشكل 2).
أرز. 2- قطرا متوازي السطوح يتقاطعان وينقسمان إلى نصفين بنقطة التقاطع.
3. هناك ثلاثة رباعيات ذات حواف متساوية ومتوازية لمتوازي السطوح: 1 - أ ب، أ 1 ب 1، د 1 ج 1، دس، 2 - أ، أ 1 د 1، ب 1 ج 1، ق، 3 - أأ 1، ب ب 1، سي سي 1، د 1.
تعريف. يسمى متوازي السطوح مستقيماً إذا كانت حوافه الجانبية متعامدة مع القواعد.
دع الحافة الجانبية AA 1 تكون متعامدة مع القاعدة (الشكل 3). هذا يعني أن الخط المستقيم AA 1 متعامد مع الخطين المستقيمين AD وAB الواقعين في مستوى القاعدة. وهذا يعني أن الوجوه الجانبية تحتوي على مستطيلات. وتحتوي القواعد على متوازيات أضلاع عشوائية. دعونا نشير إلى ∠BAD = φ، الزاوية φ يمكن أن تكون أي شيء.
أرز. 3 متوازي السطوح الأيمن
إذن، متوازي السطوح الأيمن هو متوازي السطوح الذي تكون حوافه الجانبية متعامدة مع قاعدتي متوازي السطوح.
تعريف. المتوازي يسمى مستطيلإذا كانت حوافها الجانبية متعامدة مع القاعدة. القواعد مستطيلة.
يكون ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 متوازي السطوح مستطيلًا (الشكل 4)، إذا:
1. AA 1 ⊥ ABCD (الحافة الجانبية المتعامدة مع مستوى القاعدة، أي متوازي السطوح المستقيم).
2. ∠BAD = 90°، أي أن القاعدة مستطيلة.
أرز. 4 متوازي مستطيلات
يحتوي متوازي السطوح المستطيل على جميع خصائص متوازي السطوح التعسفي.ولكن هناك خصائص إضافية، وهي مشتقة من التعريف متوازي مستطيل.
لذا، مكعباني شبيه بالمكعبهو متوازي السطوح تكون حوافه الجانبية متعامدة مع القاعدة. قاعدة المكعب مستطيلة.
1. في متوازي السطوح المستطيل، تكون جميع الوجوه الستة مستطيلة.
ABCD وA 1 B 1 C 1 D 1 مستطيلان حسب التعريف.
2. الأضلاع الجانبية متعامدة مع القاعدة. هذا كل شيء وجوه جانبيةمتوازي مستطيلات - مستطيلات.
3. الجميع زوايا ثنائي السطوحخطوط مستقيمة متوازية مستطيلة.
دعونا نفكر، على سبيل المثال، في زاوية ثنائي السطوح لمتوازي سطوح مستطيل ذو حافة AB، أي زاوية ثنائي السطوح بين المستويين ABC 1 وABC.
AB هي حافة، والنقطة A 1 تقع في مستوى واحد - في المستوى ABB 1، والنقطة D في المستوى الآخر - في المستوى A 1 B 1 C 1 D 1. ثم يمكن أيضًا الإشارة إلى زاوية ثنائي السطوح قيد النظر بالطريقة الآتية: ∠أ 1 عبد.
لنأخذ النقطة A على الحافة AB. AA 1 - عمودي على الحافة AB في المستوى АВВ-1، AD عمودي على الحافة AB في طائرة اي بي سي. إذن، ∠ أ ١ م - زاوية خطيةنظرا للزاوية ثنائي السطوح. ∠A 1 AD = 90°، مما يعني أن الزاوية ثنائية السطوح عند الحافة AB هي 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
وبالمثل، فقد ثبت أن أي زوايا ثنائية السطوح في متوازي السطوح المستطيل صحيحة.
مربع قطري من مكعبة يساوي المبلغمربعات بأبعادها الثلاثة.
ملحوظة. أطوال الحواف الثلاثة المنبثقة من أحد رؤوس المكعب هي قياسات المكعب. يطلق عليهم أحيانًا الطول والعرض والارتفاع.
المعطى: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - متوازي مستطيلات (الشكل 5).
يثبت: .
أرز. 5 متوازي مستطيلات
دليل:
الخط المستقيم CC 1 عمودي على المستوى ABC، وبالتالي على الخط المستقيم AC. وهذا يعني أن المثلث CC 1 A قائم الزاوية. وفقا لنظرية فيثاغورس:
النظر في المثلث الأيمن ABC. وفقا لنظرية فيثاغورس:
لكن قبل الميلاد وميلادي - الأطراف المقابلةمستطيل. إذن قبل الميلاد = م. ثم:
لأن ، أ ، الذي - التي. وبما أن CC 1 = AA 1، فهذا هو ما يجب إثباته.
أقطار متوازي الأضلاع المستطيلة متساوية.
دعونا نشير إلى أبعاد ABC المتوازية كـ a، b، c (انظر الشكل 6)، ثم AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
تعريف
متعدد السطوحسنسميه سطحًا مغلقًا يتكون من مضلعات ويحد جزءًا معينًا من الفضاء.
تسمى الأجزاء التي تمثل جوانب هذه المضلعات ضلوعمتعدد السطوح، والمضلعات نفسها حواف. تسمى رؤوس المضلعات رؤوس متعددة السطوح.
سوف ننظر فقط متعددات الوجوه محدبة(هذا هو متعدد السطوح يقع على جانب واحد من كل مستوى يحتوي على وجهه).
المضلعات التي تشكل متعدد السطوح تشكل سطحه. يُطلق على الجزء من الفضاء الذي يحده متعدد السطوح اسم الجزء الداخلي منه.
التعريف: المنشور
دعونا نفكر في اثنين مضلع متساوي\(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) يقعان في مستويات متوازية بحيث تكون المقاطع \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)موازي. متعدد الوجوه مكون من المضلعات \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) بالإضافة إلى متوازيات الأضلاع \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)، يسمى (\(n\)-gonal) نشور زجاجي.
المضلعات \(A_1A_2A_3...A_n\) و \(B_1B_2B_3...B_n\) تسمى قواعد المنشور، متوازيات الأضلاع \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- الوجوه الجانبية والقطاعات \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- الأضلاع الجانبية.
وبذلك تكون الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية مع بعضها البعض.
دعونا نلقي نظرة على مثال - المنشور \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\)، في قاعدتها يوجد خماسي محدب.
ارتفاعالمنشور هو سقوط عمودي من أي نقطة من قاعدة واحدة إلى مستوى قاعدة أخرى.
إذا لم تكن الحواف الجانبية متعامدة مع القاعدة، فسيتم استدعاء هذا المنشور يميل(الشكل 1)، في خلاف ذلك – مستقيم. في المنشور المستقيم، تكون الحواف الجانبية ارتفاعات، والأوجه الجانبية مستطيلات متساوية.
إذا كانت قاعدة المنشور المستقيم تقع مضلع منتظم، ثم يتم استدعاء المنشور صحيح.
التعريف: مفهوم الحجم
وحدة قياس الحجم هي مكعب وحدة (مكعب يقيس \(1\times1\times1\) وحدات\(^3\)، حيث الوحدة هي وحدة قياس معينة).
يمكننا القول إن حجم متعدد السطوح هو مقدار المساحة التي يحدها هذا متعدد السطوح. وإلا: فهذه هي الكمية قيمة عدديةمما يوضح عدد المرات التي يتناسب فيها مكعب الوحدة وأجزائه مع متعدد السطوح المحدد.
الحجم له نفس خصائص المساحة:
1. المجلدات أرقام متساويةمتساوون.
2. إذا كان متعدد الوجوه يتكون من عدة متعددات وجوه غير متقاطعة، فإن حجمه يساوي مجموع أحجام هذه متعددات الوجوه.
3. الحجم كمية غير سالبة.
4. يتم قياس الحجم بـ cm\(^3\) ( سنتيمترات مكعبه) ، م\(^3\) ( متر مكعب) إلخ.
نظرية
1. مساحة السطح الجانبي للمنشور تساوي ناتج محيط القاعدة وارتفاع المنشور.
مساحة السطح الجانبية هي مجموع مساحات الوجوه الجانبية للمنشور.
2. حجم المنشور يساوي المنتجمساحة القاعدة لكل ارتفاع المنشور: \
التعريف: متوازي
متوازي الأضلاعهو منشور ذو متوازي أضلاع في قاعدته.
جميع وجوه متوازي الأضلاع (يوجد \(6\) منها: \(4\) وجوه جانبية و\(2\) قواعد) هي متوازيات أضلاع، والأوجه المقابلة لها ( صديق موازيصديق) متوازيات أضلاع متساوية (الشكل 2).
قطري متوازي السطوحهو القطعة التي تصل بين رأسين لمتوازي سطوح لا يقعان على وجه واحد (يوجد منها \(8\)): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)إلخ.).
مستطيلة متوازيةهو متوازي سطوح قائم وفي قاعدته مستطيل.
لأن وبما أن هذا متوازي سطوح قائم، فإن الأوجه الجانبية مستطيلة. وهذا يعني أن جميع وجوه متوازي السطوح المستطيل هي بشكل عام مستطيلات.
جميع أقطار متوازي السطوح المستطيل متساوية (وهذا يتبع من مساواة المثلثات \(\مثلث ACC_1=\مثلث AA_1C=\مثلث BDD_1=\مثلث BB_1D\)إلخ.).
تعليق
وبالتالي، فإن متوازي السطوح لديه كل خصائص المنشور.
نظرية
مساحة السطح الجانبية لمتوازي السطوح المستطيل هي \
مربع سطح كاملمتوازي مستطيلات يساوي \
نظرية
حجم المكعب يساوي حاصل ضرب حوافه الثلاثة الخارجة من قمة واحدة (ثلاثة أبعاد للمكعب): \
دليل
لأن في متوازي السطوح المستطيل، تكون الحواف الجانبية متعامدة مع القاعدة، فهي أيضًا ارتفاعاتها، أي \(h=AA_1=c\) لأن القاعدة مستطيلة إذن \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). ومن هنا تأتي هذه الصيغة.
نظرية
تم إيجاد القطر \(d\) لمتوازي السطوح المستطيل باستخدام الصيغة (حيث \(a,b,c\) هي أبعاد متوازي السطوح) \
دليل
دعونا ننظر إلى الشكل. 3. لأن القاعدة مستطيلة، إذن \(\triangle ABD\) مستطيلة، وبالتالي، وفقًا لنظرية فيثاغورس \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
لأن جميع الحواف الجانبية متعامدة مع القواعد \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)عمودي على أي خط مستقيم في هذا المستوى، أي. \(BB_1\perp BD\) . وهذا يعني أن \(\المثلث BB_1D\) مستطيل. ثم بنظرية فيثاغورس \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\)، ث.
التعريف: مكعب
مكعبهو مستطيل متوازي الأضلاع، جميع وجوهه مربعات متساوية.
وبالتالي فإن الأبعاد الثلاثة متساوية مع بعضها البعض: \(a=b=c\) . لذا فإن ما يلي صحيح
نظريات
1. حجم المكعب ذو الحافة \(a\) يساوي \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. تم العثور على قطري المكعب باستخدام الصيغة \(d=a\sqrt3\) .
3. إجمالي مساحة سطح المكعب \(S_(\text(مكعب كامل))=6a^2\).
متوازي السطوح هو الشكل الهندسي، جميع وجوهها الستة متوازية الأضلاع.
اعتمادا على نوع هذه متوازيات الأضلاع هناك الأنواع التاليةمتوازي السطوح:
- مستقيم؛
- يميل؛
- مستطيلي.
متوازي السطوح الأيمن هو منشور رباعي الزوايا تشكل حوافه زاوية قياسها 90 درجة مع مستوى القاعدة.
متوازي السطوح المستطيل هو منشور رباعي الزوايا، جميع أوجهه مستطيلة. المكعب هو مجموعة متنوعة المنشور الرباعيحيث تكون جميع الوجوه والحواف متساوية مع بعضها البعض.
ملامح الشكل تحدد خصائصه مسبقًا. وتشمل هذه البيانات الأربعة التالية:
من السهل تذكر جميع الخصائص المعطاة، كما أنها سهلة الفهم ومشتقة منطقيًا بناءً على النوع والميزات جسم هندسي. ومع ذلك، يمكن أن تكون العبارات البسيطة مفيدة بشكل لا يصدق في اتخاذ القرار المهام النموذجيةامتحان الدولة الموحد وسيوفر الوقت اللازم لاجتياز الاختبار.
الصيغ المتوازية
للعثور على إجابات للمشكلة، لا يكفي أن نعرف فقط خصائص الشكل. قد تحتاج أيضًا إلى بعض الصيغ لإيجاد مساحة وحجم الجسم الهندسي.
يتم العثور على مساحة القواعد بنفس طريقة تحديد المؤشر المقابل لمتوازي الأضلاع أو المستطيل. يمكنك اختيار قاعدة متوازي الأضلاع بنفسك. كقاعدة عامة، عند حل المشكلات، يكون من الأسهل العمل باستخدام منشور قاعدته مستطيل.
قد تكون هناك حاجة أيضًا إلى صيغة العثور على السطح الجانبي لمتوازي السطوح في مهام الاختبار.
أمثلة على حل مهام امتحان الدولة الموحدة النموذجية
التمرين 1.
منح: متوازي مستطيلات بأبعاد 3، 4، 12 سم.
ضروريأوجد طول أحد الأقطار الرئيسية لهذا الشكل.
حل: اي حل مشكلة هندسيةيجب أن تبدأ ببناء رسم صحيح وواضح، حيث سيتم الإشارة إلى "المعطى" والقيمة المطلوبة. الصورة أدناه توضح مثالا التصميم الصحيحشروط المهمة.
بعد فحص الرسم الذي تم إجراؤه وتذكر جميع خصائص الجسم الهندسي، نأتي إلى الوحيد الطريق الصحيححلول. وبتطبيق الخاصية الرابعة لمتوازي السطوح نحصل على التعبير التالي:
وبعد عمليات حسابية بسيطة نحصل على التعبير b2=169، وبالتالي b=13. تم العثور على إجابة المهمة، ولا تحتاج إلى قضاء أكثر من 5 دقائق في البحث عنها ورسمها.
تعليمات
الطريقة الثانية. لنفترض أن متوازي السطوح المستطيل هو مكعب. المكعب هو متوازي مستطيلات، كل وجه يمثله مربع. وبالتالي فإن جميع أضلاعه متساوية. ثم لحساب طول قطرها سيتم التعبير عنها على النحو التالي:
مصادر:
- صيغة قطرية مستطيلة
متوازي السطوح - حالة خاصةمنشور تكون فيه الوجوه الستة متوازية الأضلاع أو مستطيلة. متوازي مع حواف مستطيلةوتسمى أيضا مستطيلة. متوازي السطوح له أربعة أقطار متقاطعة. إذا تم إعطاء ثلاث حواف أ، ب، ج، فيمكنك العثور على جميع أقطار متوازي المستطيلات عن طريق إجراء إنشاءات إضافية.
تعليمات
أوجد قطري متوازي السطوح. للقيام بذلك، ابحث عن الوتر المجهول في a، n، m: m² = n² + a². بديل القيم المعروفة، ثم احسب الجذر التربيعي. ستكون النتيجة التي تم الحصول عليها هي القطر الأول لمتوازي السطوح م.
بنفس الطريقة، ارسم بالتتابع جميع الأقطار الثلاثة الأخرى لمتوازي السطوح. أيضًا، يتم تنفيذ بناء إضافي لأقطار الوجوه المجاورة لكل واحد منهم. النظر في تشكيلها المثلثات الصحيحةوباستخدام نظرية فيثاغورس، أوجد قيم الأقطار المتبقية.
فيديو حول الموضوع
مصادر:
- العثور على متوازي
الوتر هو الجانب المقابل زاوية مستقيمة. الأرجل هي جوانب المثلث المجاور للزاوية القائمة. تنطبق على مثلثات ABCو ACD: AB و BC، AD و DC–، AC هو الوتر المشترك لكلا المثلثين (المطلوب قطري). ولذلك، AC = مربع AB + مربع BC أو AC ب = مربع AD + مربع DC. استبدل أطوال الجوانب مستطيلفي الصيغة أعلاه وحساب طول الوتر (قطري مستطيل).
على سبيل المثال، الجانبين مستطيل ABCD تساوي القيم التالية: AB = 5 سم وBC = 7 سم. مربع القطر AC لمعطى مستطيلوفقًا لنظرية فيثاغورس: AC تربيع = المربع AB + المربع BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 سم مربع. استخدم الآلة الحاسبة لحساب القيمة الجذر التربيعي 74. يجب أن تحصل على 8.6 سم (قيمة مدورة). يرجى ملاحظة أنه وفقا لأحد الخصائص مستطيل، أقطارها متساوية. وبالتالي فإن طول القطر الثاني BD مستطيل ABCD يساوي طول القطر AC. على سبيل المثال أعلاه، هذه القيمة
أ، باتجاه قاعدة PP؛
مع ارتفاعه.
- ماذا نحتاج إلى معرفته، ما هي البيانات التي لدينا؟
- ما هي خصائص متوازي السطوح المستطيل؟
- هل تنطبق نظرية فيثاغورس هنا؟ كيف؟
- هل هناك بيانات كافية لتطبيق نظرية فيثاغورس، أم أن هناك حاجة إلى بعض الحسابات الأخرى؟
مربع قطري، متوازي السطوح المربع (انظر خصائص متوازي السطوح المربع) يساوي مجموع مربعات ثلاثة أضعافه جوانب مختلفة(العرض، الارتفاع، السمك)، وبالتالي فإن قطر متوازي السطوح المربع يساوي جذر هذا المجموع.
أتذكر المناهج الدراسية في الهندسة، يمكننا أن نقول هذا: قطري متوازي السطوح يساوي الجذر التربيعي الذي تم الحصول عليه من مجموع جوانبه الثلاثة (يشار إليها بأحرف صغيرة أ، ب، ج).
طول قطر متوازي المستطيلات يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات أضلاعه.
بقدر ما أعرف منذ ذلك الحين المنهج المدرسي، الفئة 9 إذا لم أكن مخطئًا، وإذا أسعفتني الذاكرة، فإن قطري متوازي السطوح المستطيل يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات الجوانب الثلاثة.
مربع القطر يساوي مجموع مربعات العرض والارتفاع والطول، وبناءً على هذه الصيغة نحصل على الجواب، القطر يساوي الجذر التربيعي لمجموع أضلاعه الثلاثة أبعاد مختلفة، يعينون الحروف nсz abc
متوازي السطوح المستطيل (PP) ليس أكثر من منشور، قاعدته مستطيلة. بالنسبة لـ PP، جميع الأقطار متساوية، مما يعني أنه يتم حساب أي من أقطارها باستخدام الصيغة:
يمكن إعطاء تعريف آخر من خلال النظر في الديكارتي نظام مستطيلالإحداثيات:
القطر PP هو متجه نصف القطر لأي نقطة في الفضاء، تعطى بواسطة الإحداثياتس، ص و ض في النظام الديكارتيالإحداثيات يتم رسم متجه نصف القطر هذا إلى النقطة من الأصل. وستكون إحداثيات النقطة هي إسقاطات ناقل نصف القطر (أقطار PP). محاور الإحداثيات. تتزامن الإسقاطات مع رؤوس متوازي السطوح هذا.
متوازي السطوح المستطيل هو نوع من متعددات السطوح يتكون من 6 وجوه، في قاعدتها مستطيل. القطر هو قطعة الخط التي تتصل القمم المعاكسةمتوازي الاضلاع.
صيغة إيجاد طول القطر هي أن مربع القطر يساوي مجموع مربعات الأبعاد الثلاثة لمتوازي الأضلاع.
لقد وجدت جدولًا تخطيطيًا جيدًا على الإنترنت يحتوي على قائمة كاملة بكل ما هو موجود في متوازي السطوح. توجد صيغة للعثور على القطر، والذي يُشار إليه بالرمز d.
هناك صورة للحافة والرأس وأشياء أخرى مهمة لمتوازي السطوح.
إذا كان الطول والارتفاع والعرض (أ، ب، ج) لمتوازي المستطيلات معروفًا، فستبدو صيغة حساب القطر كما يلي:
عادة، لا يقدم المعلمون لطلابهم صيغة مجردة، ولكنهم يبذلون الجهود حتى يتمكنوا من استخلاصها بأنفسهم عن طريق طرح الأسئلة التوجيهية:
عادة، بعد الإجابة على الأسئلة المطروحة، يمكن للطلاب بسهولة استخلاص هذه الصيغة بأنفسهم.
أقطار متوازي الأضلاع المستطيلة متساوية. وكذلك أقطار وجوهها المقابلة. ويمكن حساب طول القطر من خلال معرفة طول حواف متوازي الأضلاع الخارجة من قمة واحدة. وهذا الطول يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات أطوال حوافه.
المكعب هو أحد ما يسمى متعددات الوجوه، ويتكون من 6 وجوه، كل وجه منها مستطيل. القطر هو القطعة التي تربط القمم المتقابلة لمتوازي الأضلاع. إذا كان الطول والعرض والارتفاع لمتوازي المستطيلات هو a، b، c، على التوالي، فستبدو صيغة قطره (D) كما يلي: D^2=a^2+b^2+c ^2.
قطري متوازي المستطيلاتهو الجزء الذي يربط القمم المقابلة له. اذا لدينا مكعباني شبيه بالمكعبمع قطري د والجوانب أ، ب، ج. إحدى خصائص متوازي السطوح هو أنه مربع طول قطريد يساوي مجموع مربعات أبعاده الثلاثة أ، ب، ج. ومن هنا الاستنتاج هو ذلك طول قطرييمكن حسابها بسهولة باستخدام الصيغة التالية:
