أقسام أخرى
المنطق الرياضي،
المنطق الاستنتاجي، بما في ذلك الأساليب الرياضية لدراسة طرق التفكير (الاستنتاجات)؛ النظرية الرياضية للاستدلال الاستنتاجي. يُطلق على المنطق الرياضي أيضًا اسم المنطق المستخدم في الرياضيات.
تلعب مفاهيم النظرية الاستنتاجية وحساب التفاضل والتكامل دورًا مهمًا في المنطق الرياضي.حساب التفاضل والتكامل
هي مجموعة من قواعد الاستدلال التي تسمح باعتبار بعض الصيغ قابلة للاشتقاق. تنقسم قواعد الاستدلال إلى فئتين. بعضها يؤهل بعض الصيغ بشكل مباشر على أنها مشتقة. عادة ما تسمى قواعد الاستدلال هذهالبديهيات . يسمح البعض الآخر باعتبار الصيغ قابلة للاشتقاق إذا كانت مرتبطة نحويًا بطريقة محددة مسبقًا بمجموعات محدودة من الصيغ القابلة للاستنتاج. القاعدة المستخدمة على نطاق واسع من النوع الثاني هي قاعدة modus ponens: إذا كانت الصيغ وقابلة للاستنتاج، فإن الصيغة كذلك.
يتم التعبير عن علاقة حساب التفاضل والتكامل بالدلالات من خلال مفاهيم الملاءمة الدلالية والاكتمال الدلالي لحساب التفاضل والتكامل. يُقال إن حساب التفاضل والتكامل I مناسب دلاليًا للغة I إذا كانت أي صيغة للغة يمكن استخلاصها منها صحيحة. وبالمثل، فإن حساب التفاضل والتكامل I يُقال إنه مكتمل لغويًا في اللغة I، إذا كان هناك أي صيغة صحيحة في اللغة يمكن استنتاجها في I.
يدرس المنطق الرياضي الروابط والعلاقات المنطقية الكامنة وراء الاستدلال المنطقي (الاستنتاجي) باستخدام لغة الرياضيات.
تحتوي العديد من اللغات التي تعتبر في المنطق الرياضي على حسابات كاملة وقابلة للاستخدام دلاليًا. على وجه الخصوص، من المعروف أن نتيجة K. Gödel أن ما يسمى بحساب التفاضل والتكامل المسند الكلاسيكي مكتمل لغويًا ومناسب دلاليًا للغة المنطق المسند الكلاسيكي من الدرجة الأولى. من ناحية أخرى، هناك العديد من اللغات التي من المستحيل بناء حساب التفاضل والتكامل الدلالي الكامل والمناسب لها. في هذا المجال، النتيجة الكلاسيكية هي نظرية عدم الاكتمال لجودل، والتي تؤكد على استحالة وجود حساب تفاضل وتكامل كامل دلاليًا وقابل للاستخدام دلاليًا في لغة الحساب الرسمي.
تجدر الإشارة إلى أنه في الممارسة العملية، تعد العديد من العمليات المنطقية الأولية جزءًا إلزاميًا من مجموعة التعليمات لجميع المعالجات الدقيقة الحديثة، وبالتالي يتم تضمينها في لغات البرمجة. ويعد هذا أحد أهم التطبيقات العملية لأساليب المنطق الرياضي المدروسة في كتب علوم الكمبيوتر الحديثة.
أقسام المنطق الرياضي
جبر المنطق
المنطق الاقتراحي
نظرية الأدلة
نظرية النموذج
المنطق الاقتراحي
(أو المنطق الافتراضي من المنطق الافتراضي الإنجليزي، أو حساب التفاضل والتكامل الافتراضي) هي نظرية رسمية، والهدف الرئيسي منها هو مفهوم العبارة المنطقية. من حيث التعبير، يمكن وصفه بأنه منطق الترتيب الصفري الكلاسيكي.
على الرغم من أهميته واتساع نطاق تطبيقه، إلا أن المنطق المقترح هو أبسط المنطق وله وسائل محدودة للغاية لدراسة الأحكام
جبر المنطق (جبر المقترحات) - قسم من المنطق الرياضي يتم فيه دراسة العمليات المنطقية على العبارات. يُفترض في أغلب الأحيان أن العبارات لا يمكن أن تكون إلا صحيحة أو خاطئة.
العناصر الأساسية التي يعمل عليها جبر المنطق هي البيانات. العبارات مبنية على مجموعة، يتم تحديد عناصرها ثلاث عمليات:
النفي (العملية الأحادية)،
الإقتران (ثنائي)،
انفصال (ثنائي)،
وكذلك الثوابت - المنطقية صفر 0 والمنطقية 1.
نظرية الاحتمالية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس الأحداث العشوائية وخصائصها والعمليات عليها.
في نظرية الاحتمالات، تتم دراسة تلك الأحداث العشوائية التي يمكن تكرارها تحت نفس الظروف ولها الخاصية التالية: نتيجة للتجربة، في ظل الشرط S، يمكن أن يحدث الحدث A مع احتمال معين ص.
المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات هي: الحدث، الاحتمال، الحدث العشوائي، الظاهرة العشوائية، التوقع الرياضي، التشتت، دالة التوزيع، مساحة الاحتمال.
كعلم، ظهرت نظرية الاحتمالات في منتصف القرن السابع عشر. تظهر الأعمال الأولى فيما يتعلق بحساب الاحتمالات في المقامرة. التحقيق في التنبؤ بالمكاسب عند رمي النرد،بليز باسكال وبيير فيرمااكتشفوا في مراسلاتهم عام 1654 أول القوانين الاحتمالية. على وجه الخصوص، توصلوا في هذه المراسلات إلى مفهوم التوقع الرياضي ونظريات الضرب وجمع الاحتمالات. في عام 1657، تم تقديم هذه النتائج في كتاب ه. هيغنز "حول الحسابات في المقامرة"، وهو أول أطروحة حول نظرية الاحتمالات.
حقق نجاحا كبيرا في نظرية الاحتمالاتجاكوب برنولي : أسس قانون الأعداد الكبيرة في أبسط الحالات، وصاغ العديد من مفاهيم نظرية الاحتمالات الحديثة. كتب دراسة عن نظرية الاحتمالات، نُشرت بعد وفاته عام 1713، بعنوان "فن الافتراضات".
في النصف الأول من القرن التاسع عشر، بدأ تطبيق نظرية الاحتمالات على نظرية أخطاء المراقبة. في هذا الوقت ثبتنظرية موافر لابلاس (1812) ونظرية بواسون(1837) وهي نظريات الحد الأول. قام لابلاس بتوسيع وتنظيم الأسس الرياضية لنظرية الاحتمالات. طور غاوس وليجيندر طريقة المربعات الصغرى.
في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، تم إجراء معظم الاكتشافات في نظرية الاحتمالات من قبل العلماء الروسبي إل تشيبيشيفوطلابه و A. M. Lyapunov و A. A. ماركوف.في عام 1867، صاغ تشيبيشيف قانون الأعداد الكبيرة وأثبته بكل بساطة في ظل ظروف عامة جدًا. في عام 1887، قام لأول مرة بصياغة واقتراح طريقة لحل نظرية الحد المركزي لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة. في عام 1901، أثبت ليابونوف هذه النظرية في ظل ظروف أكثر عمومية. نظر ماركوف في عام 1907 لأول مرة في مخطط اختبار متصل بسلسلة، وبالتالي وضع الأساس لنظرية سلاسل ماركوف. كما قدم مساهمات كبيرة في الأبحاث المتعلقة بنظرية الأعداد الكبيرة ونظرية الحد المركزي.
في بداية القرن العشرين، توسع نطاق تطبيقات نظرية الاحتمالات، وتم إنشاء أنظمة التبرير الرياضي الصارم وأساليب جديدة لنظرية الاحتمالات. خلال هذه الفترة، وذلك بفضل الجهودأندريه نيكولايفيتش كولموغوروفنظرية الاحتمالات تأخذ شكلا حديثا.
في عام 1926، كطالب دراسات عليا، حصل كولموغوروف على الشروط الضرورية والكافية التي بموجبها ينطبق قانون الأعداد الكبيرة. في عام 1933، في عمله "المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالية"، قدم كولموغوروف بديهيات نظرية الاحتمالات، والتي تعتبر الأفضل بشكل عام.
يستخدم الجهاز الرياضي لنظرية الاحتمالات على نطاق واسع في العلوم والتكنولوجيا. على وجه الخصوص، في علم الفلك، يتم استخدام طريقة المربعات الصغرى لحساب مدارات المذنبات. في الطب، يتم استخدام نظرية الاحتمالية أيضًا عند تقييم فعالية طرق العلاج.
/
الرياضيات /
المستقطع
هل تتذكر كيف تحدث شيرلوك هولمز باستمرار عن قدراته الاستنتاجية؟ إذن ما هو الخصم؟
الخصم (خصم - خصم)-
هذا الشكل من التفكير عندما يتم استنتاج فكرة جديدة بطريقة منطقية بحتةمن الأفكار السابقة. يسمى تسلسل الأفكار هذا بالاستنتاج، وكل عنصر من عناصر هذا الاستنتاج هو إما فكرة مثبتة مسبقًا، أو بديهية، أو فرضية. الفكرة الأخيرة في نتيجة معينة تسمى الاستنتاج.
إن الاستدلال الاستنباطي، وهو موضوع المنطق التقليدي، يستخدم من قبلنا عندما نحتاج إلى النظر في ظاهرة ما بناء على موقف عام معروف لنا بالفعل واستخلاص الاستنتاج اللازم بشأن هذه الظاهرة. نحن نعرف، على سبيل المثال، الحقيقة الملموسة التالية - "مستوى معين يتقاطع مع كرة" والقاعدة العامة المتعلقة بجميع المستويات المتقاطعة مع الكرة - "كل جزء من الكرة بجوار المستوى هو دائرة". وبتطبيق هذه القاعدة العامة على حقيقة محددة، فإن كل إنسان سليم التفكير سيصل بالضرورة إلى نفس النتيجة: "هذا يعني أن هذا المستوى دائرة".
بنية الاستدلال الاستنتاجي والطبيعة القسرية لقواعدهيصور العلاقات الأكثر شيوعا بين كائنات العالم المادي: العلاقات بين الجنس والأنواع والفرد، أي عامة وخاصة وفردية: ما هو متأصل في جميع أنواع جنس معين، متأصل أيضا في أي نوع؛ ما هو متأصل في جميع أفراد الجنس متأصل أيضًا في كل فرد.
تم تطوير نظرية الاستنباط لأول مرة بالتفصيل على يد أرسطو. وأوضح المتطلبات التي يجب أن تلبيها الأفكار الفردية التي تشكل الاستدلال الاستنباطي، وحدد معنى المصطلحات، وكشف قواعد أنواع معينة من الاستدلال الاستنباطي. الجانب الإيجابي لمذهب أرسطو في الاستنباط هو أنه يعكس القوانين الحقيقية للعالم الموضوعي.
ويعني مصطلح "الخصم" بالمعنى الضيق للكلمة أيضًا ما يلي:
1) يتكون منهج البحث مما يلي: من أجل للحصول على معرفة جديدة حول كائن ما أو مجموعة من الكائنات المتجانسة، من الضروري، أولاً، العثور على أقرب جنس تنتمي إليه هذه الكائنات، وثانيًا، تطبيق القانون المقابل المتأصل في جنس الكائنات بأكمله.
تلعب الطريقة الاستنتاجية دورًا كبيرًا في الرياضيات. ومن المعروف أن جميع النظريات يتم اشتقاقها منطقيا عن طريق الاستنباط من عدد صغير محدود من المبادئ الأولية تسمى البديهيات.
2) شكل عرض المادة في كتاب أو محاضرة أو تقرير أو محادثة عند انتقالها من الأحكام والقواعد والقوانين العامة إلى الأحكام والقواعد والقوانين الأقل عمومية.
تتيح لك هذه الطريقة ضبط النظريات البديهية الرسمية.
2. تحديد البديهيات فقط
في هذه الحالة، تعتبر قواعد الاستدلال معروفة بشكل عام، لذلك يتم تحديد البديهيات فقط. لذلك، مع هذا البناء للنظريات، يقولون ذلك النظرية البديهية شبه الرسمية.
3. تحديد قواعد الاستدلال فقط
تعتمد هذه الطريقة في بناء النظريات على تحديد قواعد الاستدلال فقط، حيث أن مجموعة البديهيات فارغة. وبناء على ذلك، فإن النظرية المعرفة بهذه الطريقة هي حالة خاصة من النظرية الصورية. في وقت لاحق أصبح هذا التنوع معروفًا باسم نظرية الاستدلال الطبيعي.
الخصائص الرئيسية للنظريات الاستنتاجية تشمل:
1. الجدل
النظرية التي تغطي فيها مجموعة النظريات مجموعة الصيغ بأكملها تسمى متناقضة.
2. الاكتمال
تسمى النظرية كاملة، حيث تكون F قابلة للاستنتاج أيضًا لأي صيغة F، أو نفيها -F.
3. استقلال البديهيات
عندما لا يمكن استنتاج بديهية معينة من البديهيات الأخرى، يطلق عليها اسم مستقل. يُسمى نظام البديهيات مستقلاً فقط إذا كانت كل بديهية فيه مستقلة.
4. القابلية للحل
عندما تحتوي النظرية على خوارزمية فعالة تسمح للشخص بتحديد عدد الخطوات لإثبات النظرية، يتم استدعاء النظرية قابل للتقرير.
على سبيل المثال، المنطق الافتراضي، المنطق من الدرجة الأولى (حساب التفاضل والتكامل المسند)، الحساب الرسمي (النظرية س).
نموذج رياضي حديث للمنطق الرسمي كعلم الاستدلال الصحيح. وبحسب التعبير المناسب للمنطق الروسي بوريتسكي، فإن المنطق الرياضي هو المنطق في موضوعه والرياضيات في أسلوبه في حل مشاكله. بدأ التطوير المنهجي للمنطق الرياضي مع أعمال بولزانو، فريجه، راسل وفيتجنشتاين. جوهر هذا المنطق هو اعتبار معظم الفئات المنطقية (المفهوم، المسند، الحكم، الاستدلال، الاستنتاج، الإثبات) كوظائف منطقية، نطاقها هو قيم الحقيقة. كيف يتم تفسير الوظائف المنطقية وجميع العوامل المنطقية (المصطلحات "الكل"، "موجود"، "بعض"، "واحد"، "لا شيء"، "و"، "أو"، "إذا، إذن"، "متماثل"، ""ربما""، ""ضروري"، إلخ، إلخ). يتم تحديد جميع الوظائف المنطقية في نهاية المطاف بطريقة جدولية باستخدام جميع المجموعات الممكنة لعدد قيم الحقيقة المدخلة عند "الإدخال" و"الإخراج" لهذه الوظائف. على سبيل المثال، تم تصميم العلاقة المنطقية "إذا، إذن..." باستخدام الدالة =، والتي تسمى التضمين المادي.
تعريف ممتاز
تعريف غير كامل ↓
المنطق الرياضي
المنطق، الذي تطور إلى علم دقيق باستخدام الرياضيات. الأساليب، أو، وفقا ل P. S. Poretsky، المنطق حسب الموضوع، الرياضيات بالطرق. فكرة بناء M. l. تم التعبير عنها لأول مرة بواسطة لايبنتز. ولكن فقط في القرن التاسع عشر. في المرجع. بدأ "التحليل الرياضي للمنطق" لبول (G.Boole، "التحليل الرياضي للمنطق"، 1847) في التطوير المنهجي لهذا العلم. تم تحفيز التطوير الإضافي للمنطق الرياضي إلى حد كبير من خلال احتياجات الرياضيات، التي طرحت مشاكل منطقية للحلول التي كانت الوسائل القديمة للمنطق الرسمي الكلاسيكي غير مناسبة لها. إحدى هذه المشاكل كانت مشكلة عدم إمكانية إثبات مسلمة إقليدس الخامسة في الهندسة. ترتبط هذه المشكلة بالطريقة البديهية، وهي الطريقة الأكثر شيوعًا للتنظيم المنطقي للمنطق الرسمي. الرياضيات. إنها تتطلب صياغة دقيقة للأساسيات، المقبولة دون إثبات لأحكام النظرية المتقدمة - ما يسمى بالبديهيات، والتي منها يتم استنتاج كل محتواها الإضافي منطقيا. النظريات الرياضية التي تم تطويرها بهذه الطريقة تسمى البديهيات الشطرنج. النموذج الكلاسيكي لمثل هذا البناء للنظرية الرياضية هو البناء الإقليدي للهندسة. فيما يتعلق بأي نظرية بديهية، ينشأ عدد من المشاكل المنطقية بشكل طبيعي. على وجه الخصوص، مشكلة الاستقلال المنطقي لبديهيات نظرية معينة، والتي يتمثل في إثبات أنه لا يمكن استنتاج أي من بديهيات النظرية بشكل منطقي بحت من البديهيات المتبقية. بالنسبة للهندسة الإقليدية، ظلت مسألة المنطق المنطقي مفتوحة لمدة ألفي عام. استقلال مسلمة إقليدس الخامسة. تم إجراء العديد من المحاولات العبثية لاستخلاصها من البديهيات المتبقية للهندسة الإقليدية، حتى النهاية، في أعمال N. I. Lobachevsky، تم التعبير بوضوح لأول مرة عن الإدانة بأن مثل هذا الاستنتاج مستحيل. وقد تم تعزيز هذه القناعة من خلال بناء لوباتشوف لهندسة جديدة تختلف جذريًا عن الهندسة الإقليدية. لم تكن هناك تناقضات في هندسة Lobachevsky، التي طورها خالقها بعناية؛ وقد ألهمت هذه الثقة بأن التناقضات لا يمكن أن تنشأ على الإطلاق، بغض النظر عن مدى التقدم في استخلاص النتائج من بديهيات الهندسة الجديدة. تبعًا أثبت عالم الرياضيات ف. كلاين أن التناقضات لا يمكن أن تنشأ في هندسة لوباتشيفسكي إذا لم يكن من الممكن أن تنشأ في الهندسة الإقليدية (انظر الطريقة البديهية). هذه هي الطريقة التي نشأت بها المشاكل الأولى تاريخياً المتمثلة في "عدم القدرة على الإثبات" والاتساق في البديهيات وتم حلها جزئيًا. نظريات. إن الصياغة الدقيقة لمثل هذه المسائل واعتبارها مسائل رياضية تتطلب توضيح مفهوم الإثبات. أي شيء رياضي. يتكون الدليل من التطبيق المتسق لبعض المبادئ المنطقية. يعني إلى المواقف الأصلية. لكن منطقي. الوسائل لا تمثل شيئًا مطلقًا، تم تأسيسه مرة واحدة وإلى الأبد. لقد تم تطويرها عبر قرون من الممارسة البشرية؛ "... كان ينبغي للنشاط العملي للإنسان مليارات المرات أن يقود وعي الإنسان إلى تكرار مختلف الأشكال المنطقية، حتى تتمكن هذه الأشكال من الحصول على معنى البديهية" (لينين السادس، المؤلفات، المجلد 38، ص 181- 82). ومع ذلك، فإن الممارسة الإنسانية موجودة في كل تاريخ. المرحلة محدودة، ولكن حجمها ينمو طوال الوقت. منطقي يعني أن التفكير البشري المنعكس بشكل مرض في مرحلة معينة أو في منطقة معينة قد لا يكون مناسبًا للمستقبل. المرحلة أو في مجالات أخرى. ثم، اعتمادا على التغيير في محتوى الموضوع قيد النظر، فإن طريقة النظر فيه تتغير أيضا - يتغير المنطق المنطقي. مرافق. وينطبق هذا بشكل خاص على الرياضيات بتجريداتها بعيدة المدى ومتعددة الدرجات. ليس من المنطقي الحديث عن المنطق هنا. يعني كشيء معطى في مجمله، كشيء مطلق. ولكن من المنطقي النظر في المنطق. الوسائل المستخدمة في نفس الحالة أو في موقف محدد آخر موجود في الرياضيات. تأسيسهم لk.-l. بديهي النظرية وتشكل التوضيح المطلوب لمفهوم الإثبات لهذه النظرية. وقد أصبحت أهمية هذا التوضيح في تطور الرياضيات واضحة خاصة في الآونة الأخيرة. أثناء تطوير نظرية المجموعات، واجه العلماء عددًا من المشكلات الصعبة، لا سيما مشكلة قوة الاستمرارية التي طرحها ج. كانتور (1883)، والتي لم تكن مرضية حتى عام 1939. اقتراب. دكتور. وقد تمت مواجهة المشكلات التي كانت تقاوم الحل بشكل عنيد في النظرية الوصفية للمجموعات التي طورها السوفييت. علماء الرياضيات. أصبح من الواضح تدريجيًا أن صعوبة هذه المشكلات منطقية، وأنها مرتبطة بالتحديد غير الكامل للمنطق المستخدم. الوسائل والبديهيات وما هو فريد. طريقة التغلب عليها هي توضيح كليهما. لذلك اتضح أن حل هذه المشكلات يتطلب إشراك الرياضيات، وهي بالتالي علم ضروري لتطوير الرياضيات. حالياً وقت الأمل الموضوع على M. l. فيما يتعلق بهذه المشاكل، فقد برروا أنفسهم بالفعل. فيما يتعلق بمشكلة الاستمرارية، تم الحصول على نتيجة مهمة جدًا بواسطة K. Gödel (1939)، الذي أثبت اتساق فرضية الاستمرارية المعممة لكانتور مع بديهيات نظرية المجموعات، بشرط أن تكون هذه الأخيرة متسقة. فيما يتعلق بعدد من المشاكل الصعبة في نظرية المجموعات الوصفية، تم الحصول على نتائج مهمة بواسطة P. S. Novikov (1951). توضيح مفاهيم الإثبات في البديهيات. النظرية هي مرحلة مهمة في تطورها. النظريات التي مرت بهذه المرحلة أي. بديهي النظريات ذات المنطق الراسخ. تسمى الوسائل بالنظريات الاستنتاجية. بالنسبة لهم فقط يمكن السماح بالصياغة الدقيقة لمشاكل الإثبات والاتساق في البديهيات التي تهم علماء الرياضيات. نظريات. لحل هذه المشاكل في العصر الحديث. م. ل. يتم استخدام طريقة إضفاء الطابع الرسمي على الأدلة. إن فكرة طريقة إضفاء الطابع الرسمي على البراهين تعود إليه. عالم الرياضيات د. هيلبرت. أصبح تنفيذ هذه الفكرة ممكنًا بفضل التطوير السابق لـ M. l. بول، بوريتسكي، شرودر، فريجه، بيانو وغيرهم في الوقت الحاضر. في الوقت الحاضر، تعد طريقة إضفاء الطابع الرسمي على البراهين أداة بحث قوية في مشاكل إثبات الرياضيات. عادة ما يرتبط استخدام طريقة إضفاء الطابع الرسمي باختيار منطقي. أجزاء من النظرية الاستنتاجية قيد النظر. هذا منطقي جزء رسمي، مثل النظرية بأكملها، في شكل حساب التفاضل والتكامل معين، أي. يمكن اعتبار نظام البديهيات الرسمية وقواعد الاستدلال الرسمية كلًا مستقلاً. أبسط المنطقية. الحسابات هي حسابات التفاضل والتكامل المقترحة، الكلاسيكية والبناءة. يعكس الاختلاف الشكلي بين الحسابين الافتراضيين اختلافًا عميقًا في تفسيراتهما فيما يتعلق بمعنى المتغيرات الافتراضية والمتغيرات المنطقية. الروابط (انظر الحدس، حساب التفاضل والتكامل، المنطق المقترح). الأكثر استخدامًا في بناء الرياضيات الاستنتاجية. النظريات موجودة في الوقت الحاضر. الوقت كلاسيكي حساب التفاضل والتكامل المسند، وهو تطوير وصقل الكلاسيكية. نظرية أرسطو في الحكم وفي نفس الوقت نظرية المجموعة المقابلة. نظام التجريد. حساب التفاضل والتكامل المسند البناء هو حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي. حساب التفاضل والتكامل المسند بنفس طريقة حساب التفاضل والتكامل البناء المقترح إلى الكلاسيكية. حساب التفاضل والتكامل المقترح. ويرتبط الفرق الأكثر أهمية بين هذين الحسابين المسندين بتفسير أحكام معينة أو وجودية فيهما. بينما في حساب التفاضل والتكامل المسند البناء يتم تفسير هذه الأحكام على أنها بيانات حول إمكانية التعريف. الهياكل وتعتبر مثبتة فقط عند الإشارة إلى هذه الهياكل في الكلاسيكية. في حساب التفاضل والتكامل المسند، عادة ما يتم تفسير الأحكام الوجودية بمعزل عن الاحتمالات البناءة باعتبارها بعض البيانات “الخالصة” حول الوجود (انظر: 1). الاتجاه البناء). التفسير الأكثر إرضاءً للأحكام الوجودية هو تفسير كلاسيكي. حساب التفاضل والتكامل المسند، وربط التعاريف. وهكذا، تم اكتشاف حساب التفاضل والتكامل هذا مع حساب التفاضل والتكامل البناء للمسندات من قبل A. N. Kolmogorov في عام 1925. في الرياضيات، منطقي. يتم استخدام حساب التفاضل والتكامل في تركيبة مع محددة. بديهيات النظريات الاستنتاجية المنتشرة. على سبيل المثال، يمكن بناء نظرية الأعداد الطبيعية من خلال الجمع بين بديهيات بيانو في الحساب مع حساب التفاضل والتكامل المسند (الكلاسيكي أو البناء). التركيبة المنطقية المستخدمة في هذه الحالة. الرمزية مع الرياضيات لا تسمح لك فقط بالتصميم الرياضي. النظرية في شكل حساب التفاضل والتكامل، ولكن يمكن أيضًا أن تكون المفتاح لتوضيح معنى الرياضيات. اقتراحات. حالياً وقت البومة عالم الرياضيات N. A. طور شانين قواعد دقيقة للتفسير البناء للرياضيات. الأحكام التي تغطي مجالات واسعة من الرياضيات. ولا يصبح تطبيق هذه القواعد ممكنا إلا بعد تدوين الحكم المعني بلغة رياضية منطقية دقيقة بشكل مناسب. لغة. ونتيجة لتطبيق قواعد التفسير، قد يتم الكشف عن مهمة بناءة مرتبطة بحكم معين. لكن هذا لا يحدث دائمًا: ليس مع كل عالم رياضيات. يرتبط الاقتراح بالضرورة بمهمة بناءة. ترتبط المفاهيم والأفكار التالية بحساب التفاضل والتكامل. يُقال إن حساب التفاضل والتكامل متسق إذا لم تكن هناك صيغة من الصيغة U يمكن استنتاجها مع الصيغة U (حيث توجد علامة النفي). تعد مشكلة إثبات اتساق حساب التفاضل والتكامل المستخدم في الرياضيات أحد الفصول. مشاكل م.ل. حالياً ولم يتم حل هذه المشكلة إلا في فترة زمنية محدودة للغاية. مقدار. يتم استخدام أنواع مختلفة. مفاهيم اكتمال حساب التفاضل والتكامل. مع الأخذ في الاعتبار تغطية منطقة أو أخرى من مجالات الرياضيات المحددة المحتوى، يعتبر حساب التفاضل والتكامل مكتملا فيما يتعلق بهذا المجال إذا كانت كل صيغة تعبر عن عبارة حقيقية من هذه المنطقة قابلة للاستنتاج فيها. يرتبط مفهوم آخر لاكتمال حساب التفاضل والتكامل بشرط تقديم دليل أو دحض لأي اقتراح تمت صياغته في حساب التفاضل والتكامل. من الأهمية الأساسية فيما يتعلق بهذه المفاهيم هي نظرية جودل-روسر، التي تؤكد على عدم التوافق بين متطلبات الاكتمال ومتطلبات الاتساق لفئة واسعة جدًا من الحسابات. وفقًا لنظرية جودل-روسر، لا يمكن أن يكون أي حساب تفاضل وتكامل متسق من هذا الفصل مكتملًا فيما يتعلق بالحساب: بالنسبة لأي حساب من هذا القبيل، يمكن بناء حساب صحيح. بيان تم إضفاء الطابع الرسمي عليه ولكن لا يمكن استنتاجه في حساب التفاضل والتكامل هذا (انظر ما وراء النظرية). هذه النظرية، دون تقليل قيمة M. l. باعتبارها أداة تنظيمية قوية في العلوم، تقتل بشكل جذري الآمال في هذا التخصص كشيء قادر على تحقيق التغطية الشاملة للرياضيات في إطار نظرية استنتاجية واحدة. وقد أعرب الكثيرون عن آمال من هذا النوع. العلماء، بما في ذلك هيلبرت - الممثل الرئيسي للشكلية في الرياضيات - وهو الاتجاه الذي حاول اختزال جميع الرياضيات في التلاعب بالصيغ وفقًا لقواعد معينة تم تحديدها مرة واحدة وإلى الأبد. وقد وجهت نتيجة جودل وروسر ضربة ساحقة لهذا الاتجاه. وبموجب نظريتهم، حتى هذا الجزء الأولي نسبيًا من الرياضيات مثل حساب الأعداد الطبيعية لا يمكن تغطيته بنظرية استنتاجية واحدة. م. ل. ترتبط عضويًا بعلم التحكم الآلي، ولا سيما بنظرية دوائر التتابع والأتمتة، والرياضيات الآلية واللغويات الرياضية. تطبيقات م. ل. يعتمد ترحيل دوائر الاتصال على حقيقة أن أي دائرة اتصال مرحل ثنائية القطب تتبعها. بمعنى أنه نماذج معينة من صيغة U الكلاسيكية. حساب التفاضل والتكامل المقترح. إذا تم التحكم في الدائرة بواسطة n مرحلات، فإن U تحتوي على نفس العدد من المتغيرات الفرضية المختلفة، وإذا أشرنا بـ bi الحكم "رقم المرحل الذي عملت"، فسيتم إغلاق الدائرة إذا وحينها فقط عندما تظهر نتيجة الاستبدال الأحكام ب1، ... صحيحة، ب بدلًا من الأحكام المنطقية المقابلة. المتغيرات في U. تبين أن بناء مثل هذه الصيغة المحاكاة التي تصف "ظروف التشغيل" للدائرة بسيط بشكل خاص لما يسمى. ?-الدوائر التي تم الحصول عليها من دوائر الاتصال الفردية الأولية من خلال التوصيلات المتوازية والتسلسلية. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن التوصيلات المتوازية والمتسلسلة للدوائر تمثل، على التوالي، انفصال الأحكام وربطها. في الواقع، الدائرة التي يتم الحصول عليها عن طريق التوصيل المتوازي (التسلسلي) للدوائر C1 وC2 تكون مغلقة فقط إذا كانت الدائرة C1 مغلقة و/أو الدائرة C2 مغلقة. لقد فتح تطبيق حساب التفاضل والتكامل المقترح على دوائر السلم نهجًا مثمرًا لحل المشكلات المهمة في العلوم الحديثة. تكنولوجيا. وفي الوقت نفسه، أدى هذا الارتباط بين النظرية والتطبيق إلى صياغة صيغة الجمع وحلها جزئيًا. مشاكل جديدة وصعبة لـ M. l. والتي تشمل في المقام الأول ما يسمى ب. مشكلة التصغير، والتي تتمثل في إيجاد طرق فعالة لإيجاد أبسط صيغة مكافئة لصيغة معينة. دوائر الاتصال التتابعية هي حالة خاصة من دوائر التحكم المستخدمة في التكنولوجيا الحديثة. آلات البيع دوائر التحكم من الأنواع الأخرى، على وجه الخصوص، الدوائر المصنوعة من الأنابيب المفرغة أو عناصر أشباه الموصلات، والتي تتمتع بقدر أكبر من التطبيق العملي. يمكن أيضًا تطوير القيمة باستخدام M. l.، الذي يوفر أدوات كافية لتحليل وتوليف هذه المخططات. اللغة م. ل. تبين أنه قابل للتطبيق أيضًا في نظرية البرمجة التي تم إنشاؤها في يومنا هذا. الوقت فيما يتعلق بتطور الرياضيات الآلية. أخيرًا، تم إنشاؤه في M. l. تبين أن جهاز حساب التفاضل والتكامل قابل للتطبيق في اللغويات الرياضية التي تدرس لغة الرياضيات. طُرق. أحد الأمور المهمة ومشكلة هذا العلم هي الصياغة الدقيقة لقواعد النحو في اللغة المعنية، أي: تعريف دقيق لما هو المقصود بـ "عبارة صحيحة نحويًا لتلك اللغة". كما عامر. العالم تشومسكي، هناك كل الأسباب للبحث عن حل لهذه المشكلة بالشكل التالي: يتم بناء حساب التفاضل والتكامل معين، ويتم الإعلان عن التعبيرات المكونة من حروف الأبجدية للغة معينة والمشتقة من هذا الحساب في عبارات صحيحة نحويا . ويستمر العمل في هذا الاتجاه. انظر أيضًا جبر المنطق، المنطق البنائي، المنطق التوافقي، منطق الفصل، حساب التفاضل والتكامل المنطقي، المنطق المشروط ومضاء. مع هذه المقالات. أ. ماركوف. موسكو.
وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي
المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي
"جامعة ليبيتسك التربوية الحكومية"
كلية الفيزياء والرياضيات وعلوم الحاسوب
قسم الرياضيات
اختبار حول الموضوع:
"تاريخ تطور المنطق الرياضي"
إجراء:
طالب في السنة الثانية
مجموعة MF-2
بوناماريفا فيكتوريا سيرجيفنا
المستشار العلمي:
دكتوراه. دكتوراه، أستاذ مشارك
إرشوفا ألكسندرا ألكسيفنا
ليبيتسك، 2014
مقدمة
§1. تاريخ ظهور المنطق الرياضي
§2. تطبيق المنطق الرياضي
§3. المنطق الرياضي في التكنولوجيا
§4. المنطق الرياضي في التشفير
§5. المنطق الرياضي في البرمجة
خاتمة
فهرس
البرمجة المنطقية للتشفير والتدوين الرياضي
مقدمة
المنطق<#"center">§1. تاريخ ظهور المنطق الرياضي
يرتبط المنطق الرياضي ارتباطًا وثيقًا بالمنطق ويعود ظهوره إليه. أسس المنطق، علم قوانين وأشكال التفكير البشري (وبالتالي أحد أسمائه - المنطق الرسمي)، تم وضعها من قبل أعظم الفيلسوف اليوناني القديم أرسطو (384-322 قبل الميلاد)، الذي درس في أطروحاته بدقة المصطلحات المنطق، قام بتحليل نظرية الاستدلالات والأدلة بالتفصيل، ووصف عددًا من العمليات المنطقية، وصياغة القوانين الأساسية للتفكير، بما في ذلك قوانين التناقض واستبعاد الثالث. إن مساهمة أرسطو في المنطق عظيمة جدًا، وليس من دون سبب أن يطلق عليه منطق أرسطو. لاحظ أرسطو نفسه أن العلم الذي ابتكره والرياضيات (التي كانت تسمى آنذاك الحساب) بينهما الكثير من القواسم المشتركة. وقد حاول الجمع بين هذين العلمين، أي اختزال التأمل، أو بالأحرى الاستدلال، إلى الحساب المبني على المبادئ الأولية. في إحدى أطروحاته، اقترب أرسطو من أحد فروع المنطق الرياضي - نظرية الأدلة.
بعد ذلك، طور العديد من الفلاسفة وعلماء الرياضيات أحكامًا فردية للمنطق وأحيانًا حددوا الخطوط العريضة لحساب التفاضل والتكامل المقترح الحديث، لكن الأقرب إلى إنشاء المنطق الرياضي جاء بالفعل في النصف الثاني من القرن السابع عشر، العالم الألماني البارز جوتفريد فيلهلم ليبنيز ( (1646 - 1716) الذي أظهر الطريق لترجمة المنطق "من المملكة اللفظية المليئة بالشكوك إلى مملكة الرياضيات، حيث يتم تحديد العلاقات بين الأشياء أو البيانات بدقة تامة." حتى أن لايبنتز كان يأمل أن يقوم الفلاسفة في المستقبل، بدلاً من الجدال العقيم، بأخذ الورق ومعرفة أي منهم كان على حق. في الوقت نفسه، تطرق لايبنتز أيضًا في أعماله إلى نظام الأرقام الثنائية.
وتجدر الإشارة إلى أن فكرة استخدام حرفين لتشفير المعلومات قديمة جدًا. كان السكان الأصليون الأستراليون يعدون اثنين، كما استخدمت بعض قبائل الصيد وجمع الثمار في غينيا الجديدة وأمريكا الجنوبية نظام العد الثنائي. تقوم بعض القبائل الأفريقية بنقل الرسائل باستخدام الطبول على شكل مجموعات من الرنين والدقات الباهتة. من الأمثلة المألوفة للتشفير المكون من حرفين هو رمز مورس، حيث يتم تمثيل حروف الأبجدية بمجموعات معينة من النقاط والشرطات.
بعد لايبنتز، أجرى العديد من العلماء المتميزين أبحاثًا في هذا المجال، لكن النجاح الحقيقي جاء هنا لعالم الرياضيات الإنجليزي العصامي جورج بول (1815-1864)، الذي لم يكن تصميمه يعرف الحدود. الوضع المالي لوالدي جورج (الذي كان والده صانع أحذية) سمح له بالتخرج من المدرسة الابتدائية للفقراء فقط. بعد مرور بعض الوقت، افتتح بوهل، بعد أن قام بتغيير العديد من المهن، مدرسة صغيرة حيث كان يدرس. لقد كرس الكثير من الوقت للتعليم الذاتي وسرعان ما أصبح مهتمًا بأفكار المنطق الرمزي. في عام 1847، نشر بول مقالة “التحليل الرياضي للمنطق، أو الخبرة في حساب التفاضل والتكامل للاستدلالات الاستنتاجية”، وفي عام 1854 عمله الرئيسي “دراسة لقوانين التفكير التي تقوم عليها النظريات الرياضية للمنطق والاحتمالات”. ظهر.
اخترع بول نوعًا من الجبر، وهو نظام من الرموز والقواعد التي تنطبق على جميع أنواع الكائنات، من الأرقام والحروف إلى الجمل. باستخدام هذا النظام، يمكنه تشفير العبارات (العبارات التي تحتاج إلى إثبات صحتها أو خطأها) باستخدام رموز لغته، ثم التلاعب بها، مثلما يتم التلاعب بالأرقام في الرياضيات. العمليات الأساسية للجبر البوليني هي الاقتران (AND)، والانفصال (OR)، والنفي (NOT).
وبعد مرور بعض الوقت، أصبح من الواضح أن نظام بول كان مناسبًا تمامًا لوصف دوائر التبديل الكهربائية. يمكن للتيار في الدائرة أن يتدفق أو لا يتدفق، تمامًا كما يمكن أن تكون العبارة صحيحة أو خاطئة. وبعد بضعة عقود، في القرن العشرين، قام العلماء بدمج الجهاز الرياضي الذي أنشأه جورج بول مع نظام الأرقام الثنائية، وبالتالي وضع الأساس لتطوير الكمبيوتر الإلكتروني الرقمي.
تم التطرق إلى بعض أحكام عمل بول بدرجة أو بأخرى قبل وبعده من قبل علماء الرياضيات وعلماء المنطق الآخرين. ومع ذلك، اليوم في هذا المجال تعتبر أعمال جورج بول من بين الكلاسيكيات الرياضية، ويعتبر هو نفسه بحق مؤسس المنطق الرياضي، والأكثر من ذلك، أهم أقسامه - جبر المنطق (الجبر البوليني) ) وجبر المقترحات.
كما قدم العلماء الروس P.S أيضًا مساهمة كبيرة في تطوير المنطق. بوريتسكي (1846-1907)، آي. زيجالكين (1869-1947).
في القرن العشرين، لعب D. Hilbert (1862-1943) دورا كبيرا في تطوير المنطق الرياضي، الذي اقترح برنامجا لإضفاء الطابع الرسمي على الرياضيات المرتبطة بتطوير أسس الرياضيات نفسها. أخيرًا، في العقود الأخيرة من القرن العشرين، كان التطور السريع للمنطق الرياضي يرجع إلى تطور نظرية الخوارزميات واللغات الخوارزمية، ونظرية الأتمتة، ونظرية الرسم البياني (S.K. Kleene، A. Church، A.A Markov، P.S. نوفيكوف وهيجل وغيرهم الكثير).
تحدث هيغل (1770-1831) بسخرية شديدة عن قانون التناقض وقانون الوسط المستبعد. وقد قدم الأخير، على وجه الخصوص، بالصورة التالية: «الروح خضراء أو ليست خضراء»، وطرح سؤالاً «صعباً»: أي القولين صحيح؟ لكن الإجابة على هذا السؤال ليست صعبة. ليس أي من العبارتين: "الروح خضراء" و"الروح ليست خضراء" صحيحًا، لأن كليهما لا معنى لهما. ينطبق قانون الوسط المستبعد فقط على البيانات ذات المعنى. فقط هم يمكن أن يكونوا صادقين أو كاذبين. ما لا معنى له ليس صحيحا ولا كاذبا. لقد ارتكز نقد هيجل للقوانين المنطقية، كما هو الحال غالبًا، على إعطائها معنى ليس لها، ونسب إليها وظائف لا علاقة لها بها. وحالة انتقاد قانون الوسط المستبعد هي أحد الأمثلة على هذا النهج. أدى انتقاد قانون الوسط المستبعد (L. Bauer) إلى إنشاء اتجاه جديد في المنطق - المنطق الحدسي. وفي الأخير، لا يتم قبول هذا القانون ويتم تجاهل جميع طرق التفكير المرتبطة به. ومن بين المرفوضين، على سبيل المثال، الدليل الذي يؤدي إلى التناقض، أو السخافة.
أود أن ألفت الانتباه إلى جوهر أي انتقاد لقوانين المنطق الرسمي: جميع مؤيدي مفهوم "امتداد" المنطق الرسمي يحولون مركز ثقل البحث المنطقي من دراسة طرق الاستدلال الصحيحة إلى التطوير. لأية مشاكل محددة: نظريات المعرفة، والسببية، والاستقراء، وما إلى ذلك. يتم تقديم موضوعات في المنطق مثيرة للاهتمام ومهمة في حد ذاتها، ولكن ليس لها علاقة بالمنطق الرسمي نفسه، كمجموعة من تقنيات التفكير الصحيح. إن قانون الوسط المستبعد، دون النظر إلى التناقضات نفسها، يمنع الاعتراف بقضيتين متناقضتين على أنهما صحيحتان أو كاذبتان في نفس الوقت. هذا هو معناها.
الخلاصة: لا يمكن للمرء أن يخجل من الاعتراف بصحة أحد القولين المتناقضين والبحث عن شيء ثالث بينهما.
نتيجة التطبيق: تحقيق تفكير منطقي لا لبس فيه.
القانون الرابع هو قانون السبب الكافي.
الصياغة: كل فكرة صحيحة لها أساس كاف.
التعليق: ينص هذا القانون بشكل أساسي على أن جميع الأفكار التي يمكن تفسيرها تعتبر صحيحة، وتلك التي لا يمكن تفسيرها تعتبر خاطئة. في المنطق القضوي، ليس لهذا القانون صيغة، لأنه ذو طابع موضوعي. يجدر الخوض في هذا بمزيد من التفاصيل:
يمكن أن يكون الممارسة الفردية كافية، أي أساس حقيقي وغير خيالي لأفكارنا. في الواقع، يتم التأكد من صحة بعض الأحكام من خلال مقارنتها المباشرة مع حقائق الواقع (مثال: "[صحيح أن] السماء تمطر"، "[إنها كذبة] كنت في أكابولكو"). لكن الخبرة الشخصية محدودة. لذلك، في الأنشطة الحقيقية، عليك دائمًا الاعتماد على تجربة الأشخاص الآخرين. بفضل تطور المعرفة العلمية، يستخدم الموضوع كأساس لأفكاره تجربة أسلافه، المنصوص عليها في قوانين وبديهيات العلم، في المبادئ والأحكام الموجودة في أي مجال من مجالات النشاط البشري. لتأكيد أي حالة معينة، ليست هناك حاجة للجوء إلى التحقق العملي منها أو تبريرها بمساعدة التجربة الشخصية. على سبيل المثال، إذا كنت أعرف مبدأ أرخميدس، فلن أحتاج بالضرورة إلى البحث عن حمام من الماء لوضع جسم هناك لمعرفة مقدار الوزن الذي فقده. سيكون قانون أرخميدس أساسًا كافيًا لتأكيد هذه الحالة بالذات.
إن غرض العلم ليس فقط اكتساب المعرفة، بل نقلها أيضًا. ولهذا السبب لا يُسمح بأي عيوب منطقية في العرض الرسمي للمعرفة المكتسبة بالفعل. وبالتالي، يجب التحكم في المعرفة منطقيا. وهذا هو بالضبط ما هو الأمثل لحفظها ونقلها وتطويرها. ولهذا السبب فإن المعرفة العلمية، باعتبارها مجموعة من الافتراضات المنطقية المثبتة بالفعل، يمكن أن تكون بمثابة الأساس للاستدلال الإثباتي اللاحق.
يتلخص قانون العقل الكافي في الواقع في الشرط التالي: "يجب تبرير كل حكم قبل قبوله كحقيقة". وبالتالي، يترتب على هذا القانون أنه مع التفكير الصحيح، لا ينبغي أن يؤخذ أي شيء ببساطة على الإيمان. وفي كل حالة من كل عبارة، يجب ذكر الأسباب التي يعتقد أنها صحيحة. كما نرى، فإن قانون السبب الكافي يعمل في البداية كمبدأ منهجي يضمن قدرة التفكير على توفير أسس للاستدلال اللاحق. بعد كل شيء، كل ما تم إثبات صحته بالفعل، يمكن استخدامه كأساس للأدلة اللاحقة.
الخلاصة: يمكن أن يكون الأساس الكافي لأي فكرة هو أي فكرة أخرى تم اختبارها بالفعل والاعتراف بها على أنها صحيحة، والتي تتبع منها حقيقة الفكرة المعنية.
نتيجة التطبيق: القانون يضمن صحة التفكير. في جميع الحالات عندما نؤكد على شيء ما، فإننا ملزمون بإثبات أننا على حق، أي. تقديم أسباب كافية لدعم حقيقة أفكارنا.
§2. تطبيق المنطق الرياضي
كان الجمع بين النهج الرياضي المنطقي مع الأساليب الرياضية الأخرى، في المقام الأول مع الأفكار والأساليب الإحصائية الاحتمالية - على خلفية الاهتمام العميق بأجهزة الحوسبة - حاسما إلى حد كبير في تشكيل مفهوم علم التحكم الآلي باعتباره اتجاها علميا معقدا مع العمليات كموضوع لها.
في بعض الحالات، يتم استخدام الجهاز الفني للمنطق الرياضي (توليف دوائر اتصال التتابع)؛ بالإضافة إلى ذلك، ما هو مهم بشكل خاص، هو أن أفكار المنطق الرياضي، بالطبع، في نظرية الخوارزميات، ولكن أيضًا في كل العلوم ككل وأسلوب التفكير المميز لها، كان لها ولا يزال لها تأثير كبير جدًا على تلك المجالات الفريدة من النشاط، والتي يتمثل محتواها في المعالجة التلقائية للمعلومات (علوم الكمبيوتر)، واستخدامها في التشفير وأتمتة عمليات التحكم (علم التحكم الآلي).
علوم الكمبيوتر هو العلم الذي يدرس الكمبيوتر، وكذلك تفاعل الكمبيوتر مع الشخص.
يعد بناء الآلات المنطقية فصلاً مثيرًا للاهتمام في تاريخ المنطق وعلم التحكم الآلي. إنه يصور المشاريع الأولى لإنشاء الذكاء الاصطناعي والمناقشات الأولى حول إمكانية ذلك. ظهرت فكرة الآلات المنطقية في القرن الثالث عشر مع الأكاديمي الإسباني ريمون لول، ثم تناولها لايبنتز وحظيت بتطوير جديد في القرن التاسع عشر، بعد ظهور المنطق الرياضي. في عام 1870، بنى الفيلسوف والاقتصادي الإنجليزي ويليام ستانلي جيفونز مدينة مانشستر البيانو المنطقي ، والتي استخرجت النتائج من المباني المكتوبة جبريًا، وسلطت الضوء على مجموعات مقبولة من المصطلحات. وهذا ما يسمى أيضًا تحليل البيانات إلى مكونات. من المهم ملاحظة إمكانية الاستخدام العملي للآلة المنطقية لحل المشكلات المنطقية المعقدة.
أجهزة الكمبيوتر العالمية الحديثة هي أيضًا آلات منطقية. لقد كان إدخال العمليات المنطقية هو ما جعلها مرنة للغاية؛ كما يسمح لهم بنمذجة المنطق. وهكذا الفرع الحسابي أتمتة ذكية مرتبطة بالمنطقية. ومع ذلك، في عشرينيات القرن العشرين، بدا المنطق الرسمي مجردًا وميتافيزيقيًا للغاية بحيث لا يمكن تطبيقه على الحياة. وفي الوقت نفسه، حتى ذلك الحين كان من الممكن التنبؤ بإدخال حساب التفاضل والتكامل المنطقي في التكنولوجيا.
المنطق الرياضي يسهل ميكنة العمل العقلي. تؤدي آلات اليوم عمليات منطقية أكثر تعقيدًا بكثير من نماذجها الأولية المتواضعة التي تعود إلى مطلع القرن العشرين.
مشكلة الذكاء الاصطناعي معقدة ومتعددة الأوجه. ربما لن نخطئ إذا قلنا أن الحدود النهائية لميكنة الفكر لا يمكن تحديدها إلا بشكل تجريبي. دعونا نلاحظ أيضًا أنه في علم التحكم الآلي الحديث تتم مناقشة إمكانية نمذجة ليس فقط عمليات التفكير الرسمية، ولكن أيضًا عمليات التفكير ذات المغزى.
§3.رياضيالمنطقالخامستكنولوجيا
لقد زاد دور المعالجة المنطقية للبيانات الثنائية في المرحلة الحالية من تطور تكنولوجيا الكمبيوتر بشكل ملحوظ. ويرجع ذلك في المقام الأول إلى إنشاء الأنظمة التقنية. تنفيذ تقنيات الحصول على المعرفة وتجميعها بشكل أو بآخر، ونمذجة الوظائف الفكرية الفردية للشخص. جوهر هذه الأنظمة هو أجهزة الكمبيوتر وأنظمة الحوسبة القوية. بالإضافة إلى ذلك، هناك فئة كبيرة من المشكلات التطبيقية التي يمكن اختزالها في حل المشكلات المنطقية، على سبيل المثال، معالجة الصور وتركيبها، ومسائل النقل. يتم تحقيق الأداء المطلوب لأدوات الحوسبة من خلال موازنة عمليات الحوسبة وتوجيهها. ويتم تنفيذ ذلك، كقاعدة عامة، على أساس الدوائر المتكاملة واسعة النطاق (VLSI). ومع ذلك، تفرض تقنية VLSI وبنيتها عددًا من المتطلبات المحددة على الخوارزميات، وهي: الانتظام، وتنظيم التدفق المتوازي للحسابات، والتعقيد التشغيلي الفائق الخطي (الاستخدام المتعدد لكل عنصر من عناصر بيانات الإدخال)، ومحلية اتصالات الحساب، وثنائية- أبعاد مساحة تنفيذ العمليات الحسابية. هذه المتطلبات تجعل من الضروري حل مشكلة فعالة الغطس الخوارزمية في بيئة الحوسبة، أو، كما يقال عادة، تعيين الخوارزمية في بنية مرافق الحوسبة. في الوقت الحالي، ثبت خطأ وجهات النظر التي كانت سائدة على نطاق واسع سابقًا، وهي أن الانتقال إلى بنيات الكمبيوتر المتوازية لن يتطلب سوى تعديلات طفيفة على الخوارزميات المعروفة. اتضح أن التوازي وخطوط الأنابيب للعمليات الحسابية يتطلب تطوير خوارزميات جديدة حتى لتلك المهام التي كانت هناك طرق وخوارزميات مدروسة ومختبرة جيدًا لحلها، ولكنها ركزت على مبدأ التنفيذ المتسلسل. وفقا للخبراء، ينبغي لنا أن نتوقع في العقد المقبل ظهور مفاهيم جديدة لبناء أدوات الحوسبة. وتستند التوقعات إلى نتائج الأبحاث المتقدمة المستمرة، وخاصة في مجال الرقائق الحيوية وعناصر التبديل العضوية. تهدف بعض المناطق إلى إنشاء دوائر على شكل طبقات من الجزيئات العضوية والأغشية ذات بنية متطورة للغاية. وهذا سيسمح، وفقا للباحثين، ينمو تعتمد أجهزة الكمبيوتر على الهندسة الوراثية وتقوي التشابه بين عناصر الأنظمة التقنية وخلايا الدماغ. وهكذا، فإن أجهزة الكمبيوتر العصبية التي تحاكي الوظائف الفكرية للأشياء البيولوجية، بما في ذلك البشر، تأخذ شكلاً حقيقيًا. من الواضح أن الإلكترونيات الجزيئية ستصبح الأساس لإنشاء أجهزة كمبيوتر من الجيل السادس. كل هذا يحدد بشكل موضوعي العمل المكثف على طرق تجميع خوارزميات معالجة البيانات المنطقية وغمرها الفعال في بيئة تشغيل العناصر الثنائية. من الواضح أن العناصر الثنائية والبيانات الثنائية تتوافق تمامًا مع بعضها البعض من حيث تمثيل ومعالجة الأخيرة على هذه العناصر، إذا نظرنا إليها بشكل منفصل. في الواقع، لنفترض أن جبر المنطق على الأعداد (0،1) يتم تنفيذه على عنصر ثنائي باستخدام موارده التشغيلية إلى أقصى حد. بمعنى آخر، يُطرح السؤال حول مدى فعالية، وأحيانًا حتى إمكانية تنفيذ خوارزمية معينة على مثل هذه الشبكة (الهيكل). هذا هو جوهر غمر الخوارزمية في الهيكل.
§4. المنطق الرياضي في التشفير
يدرس علم التشفير طرق إرسال رسائل مقنعة بحيث لا يتمكن سوى المستلمين المقصودين من المرسل من إزالة التنكر وقراءة الرسالة. يعرض الشكل 2 المخطط العام لحماية المعلومات. وتعتمد مرحلة تشفير الأخطاء على إدخال فائض من المعلومات في الرسالة المرسلة، وهو ما يكفي للتغلب على التداخل على خط الاتصال. على سبيل المثال، لنفترض سلسلة من الأحرف مثل 0و 1. وفي الوقت نفسه، قد تحدث أخطاء في استقبال الإشارة مع بعض الاحتمالات في شبكة الاتصال 0 بدلاً من الإشارة 1أو العكس، فيقوم المشفر بإرسال 00000 في خمس نبضات لكل رمز رسالة ai إذا ai -0 والعكس صحيح. عند الطرف المستقبل، ينقسم تسلسل النبضات المستقبلة إلى خمس نبضات، تسمى الكتل. وإذا كانت الفدرة المستقبلة تحتوي على نبضتين أو أقل من 0، فسيتم اتخاذ قرار بإرسال الرمز ai-1. بهذه الطريقة، سيتم تقليل احتمال الخطأ الأولي بشكل كبير. طرق تشفير أكثر أناقة، والتي تتمتع بموثوقية كافية، تسمح لك بإدخال كمية كبيرة من المعلومات. للتعبير عنها بالمعلومات، من الضروري إدخال أبجدية معينة ستتكون منها الرسالة (مجموعات مرتبة محدودة من هذه الرموز). دعونا نشير بـ A إلى قوة الأبجدية المختارة. سنفترض أيضًا أن كل مجموعات المعلومات، أو مجموعة كل الرسائل الممكنة، هي مجموعة محدودة. كمقياس للمعلومات في رسالة ذات طول معين، يمكننا أخذ السجل 2من عدد الرسائل المختلفة بالطبع. ثم كمية المعلومات التي تقع على حرف واحد من الحروف الأبجدية X=log 2أ. بعد ذلك نتعامل مع كلمات بطول S، فيكون العدد الإجمالي لهذه الكلمات N=AS (الدرجة الديكارتية S للأبجدية)، وبالتالي كمية المعلومات في الكلمة Y=Log 2ن = سجل 2ك=SX. تتكون حصة الأسد من تحليل الشفرات من أساليب تعتمد على التحليل الاحتمالي للتشفير واللغة المصدر المقترحة. وبما أن كل لغة عادية لديها فائض من المعلومات، وموزعة بشكل غير متساو في الكلمات، فإن حروف الأبجدية في هذه اللغة يمكن أن يكون لها خصائص معينة مستقرة. على سبيل المثال، في اللغة الإنجليزية هو حرف متكرر بشكل متكرر ه بالإضافة إلى ذلك، يمكن أن تكون مجموعات الحروف ومجموعاتها خصائص ترددية. يظهر الشكل 3 الرسم التخطيطي العام لنظام التشفير باستخدام المفتاح السري. هنا X هو النص العادي، Y هو تشفير النص، K هو مفتاح التشفير، R هو التسلسل العشوائي.
§5.رياضيالمنطقالخامسبرمجة
دالة إحدى الوسيطات هي قاعدة تطابق أي قيمة تقع في نطاق هذه الوسيطة (والتي ستكون أيضًا مجال تعريف هذه الوظيفة) مع قيمة أخرى تقع في نطاق قيم الدالة.
تم نقل مفهوم الوظيفة إلى لغات البرمجة. تحتوي لغة البرمجة عادةً على عدد من الوظائف المضمنة، مثل sin وcos وsqrt وما إلى ذلك. بالإضافة إلى ذلك، لدى المبرمج القدرة على تحديد وظائفه الخاصة. يمكنهم العمل ليس فقط مع الأرقام الحقيقية، ولكن أيضًا مع أنواع البيانات المختلفة، بما في ذلك عادةً عدد صحيح وحقيقي ومنطقي. يمكنهم أيضًا العمل مع الهياكل. في اللغات Pascal وAlgol=68 وPL/1 يوجد على سبيل المثال أنواع السجلات (records)، والمصفوفات (arrays)، والقوائم (lists)، وملفات السجلات (ملفات تتكون من سجلات)، وقيم الوظائف يمكن أن تكون مؤشرات لهذه الهياكل. كل هذا يتوافق مع مفهوم مجال التعريف الذي لا يتم تعريف الوظيفة خارجه. في لغات البرمجة، عادة ما يتم تحديد هذه المنطقة عن طريق تحديد نوع البيانات، وهو عبارة عن مجموعة معينة من القيم. وبالتالي، في باسكال، يجب على المترجم التأكد من عدم تطبيق أي وظيفة على قيمة من النوع الخاطئ الذي قد يقع خارج نطاق الوظيفة.
وظيفة العديد من الحجج. الآن نحن بحاجة إلى تعميم التعريف لتغطية وظائف العديد من الحجج. للقيام بذلك، سنقوم بتجميع الوسيطات n في مجموعة مرتبة، والتي سنعتبرها وسيطة واحدة. لنأخذ دالة الطرح diff(x.y). يتم تفسيره على أنه عرض للأزواج<х,у>إلى الأعداد الصحيحة. وفي صورة مجموعة من الأزواج المرتبة يمكن كتابتها بالشكل التالي: diff = (<<5,3>, 2>. <<6,3>, 3>, <<4,5>، -1>...) بدلاً من ذلك، إذا كانت لدينا دالة مكونة من أربع وسائط h(x,y,z,w)، فسنستخدم التعيين المحدد على أربع
خاتمة
ساهم المنطق الرياضي كثيرًا في التطور السريع لتكنولوجيا المعلومات في القرن العشرين، لكن مفهوم "الحكم" الذي ظهر في المنطق في أيام أرسطو والذي يرتكز عليه الأساس المنطقي للغة الطبيعية ، وخرج عن مجال رؤيته. لم يساهم مثل هذا الإغفال على الإطلاق في تطوير الثقافة المنطقية في المجتمع بل وأدى إلى ظهور الوهم بين الكثيرين بأن أجهزة الكمبيوتر غير قادرة على التفكير بشكل أسوأ من البشر أنفسهم. لا يشعر الكثيرون بالحرج من حقيقة أنه على خلفية الحوسبة العامة عشية الألفية الثالثة، أصبحت السخافات المنطقية داخل العلم نفسه (ناهيك عن السياسة وسن القوانين والعلوم الزائفة) أكثر شيوعًا مما كانت عليه في نهاية القرن التاسع عشر. . ومن أجل فهم جوهر هذه السخافات، ليست هناك حاجة للجوء إلى الهياكل الرياضية المعقدة ذات العلاقات متعددة الأماكن والوظائف العودية المستخدمة في المنطق الرياضي. اتضح أنه لفهم هذه السخافات وتحليلها، يكفي تطبيق بنية حكم رياضية أبسط بكثير، والتي لا تتعارض مع الأسس الرياضية للمنطق الحديث فحسب، بل تكملها وتوسعها بطريقة ما.
فهرس
1. إيغوشين، ف.آي. المنطق الرياضي ونظرية الخوارزميات [النص] / ف. إيغوشين. - م: الأكاديمية، 2008. - 448 ص؛ مع المرض.
ستيازكين، ن. تشكيل المنطق الرياضي [النص] / ن. ستيازكين. - م: نوكا، 1967. - 508 ص؛ مع المرض.
ماركوف، أ.أ. عناصر المنطق الرياضي [نص] / أ.أ. ماركوف. - م: جامعة ولاية ميشيغان، 2004. - 310 ص؛ مع المرض.
كاري، ه.ب. أسس المنطق الرياضي [النص]/Kh.B. كاري. - م: مير، 1969. - 568 ص؛ مع المرض.
التدريس
هل تحتاج إلى مساعدة في دراسة موضوع ما؟
سيقوم المتخصصون لدينا بتقديم المشورة أو تقديم خدمات التدريس حول الموضوعات التي تهمك.
تقديم طلبكمع الإشارة إلى الموضوع الآن للتعرف على إمكانية الحصول على استشارة.
وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي
جامعة موسكو
هندسة الآلات وعلوم المعلومات
القسم: "الفلسفة"
الانضباط: "المنطق"
الموضوع رقم 31: "المنطق الرياضي: الموضوع والبنية والمبادئ الأساسية للعمليات"
مكتمل:
طالب في السنة الأولى
أعضاء هيئة التدريس بدوام كامل IT-7
رمز التسجيل 120177IT
بريتكوف يوري سيرجيفيتش
التحقق:
أستاذ مشارك، دكتوراه.
بلازكو نيكولاي إيليتش
موسكو - 2012
مقدمة
المنطق الرياضي
موضوع المنطق الرياضي
المبادئ الأساسية للعمليات
النفي
اِقتِران
انفصال
يتضمن
التكافؤ
بيان الكمي
الكمي مع الكمي العالمي
الكمي مع الكمي الوجودي
الطريقة البديهية
خاتمة
مقدمة
نشأ المنطق في ثقافة اليونان القديمة. أول عمل عن المنطق وصل إلينا هو "التحليلات" لأرسطو (384-322 قبل الميلاد). المنطق الرسمي موجود دون تغييرات كبيرة لأكثر من عشرين قرنا. بول أو بول، وأيضا بول، جورج (1815-1864) - عالم رياضيات إنجليزي يعتبر مؤسس المنطق الرياضي.
كشف تطور الرياضيات عن قصور المنطق الأرسطي وتطلب المزيد من التطوير. تطور المنطق البوذي بشكل مستقل، لكنه لم يصبح ملكًا للعلم الأوروبي إلا مؤخرًا، لذا فإن المنطق الرياضي ينشأ من منطق أرسطو. المنطق الرياضي هو علم قوانين التفكير الرياضي. موضوع المنطق الرياضي هو النظريات الرياضية بشكل عام، والتي تتم دراستها باستخدام اللغات الرياضية. في الوقت نفسه، فإنهم مهتمون في المقام الأول بمسائل اتساق النظريات الرياضية واستقلالها واكتمالها.
يتميز المنطق الرياضي بأنه يستخدم لغة الرموز الرياضية والمنطقية، بناءً على حقيقة أنها، من حيث المبدأ، يمكنها أن تحل محل كلمات اللغة العادية تمامًا وطرق دمج الكلمات في جمل مقبولة في اللغات الحية العادية. يتم تفسير سمات التفكير الرياضي من خلال سمات التجريدات الرياضية وتنوع علاقاتها. تنعكس في التنظيم المنطقي للرياضيات، في إثبات النظريات الرياضية. وفي هذا الصدد، يعرف المنطق الرياضي الحديث بأنه فرع من فروع الرياضيات مخصص لدراسة البراهين الرياضية ومسائل أسس الرياضيات.
المنطق الرياضي
في البناء البديهي للنظرية الرياضية، يتم تحديد نظام معين من المفاهيم غير المحددة والعلاقات بينها بشكل مبدئي. وتسمى هذه المفاهيم والعلاقات الأساسية. علاوة على ذلك، يتم قبول الأحكام الرئيسية للنظرية قيد النظر - البديهيات - دون دليل. كل المحتوى الإضافي للنظرية مشتق منطقيًا من البديهيات. لأول مرة، قام إقليدس بالبناء البديهي للنظرية الرياضية في بناء الهندسة. عرض هذه النظرية في البدايات لا تشوبه شائبة. ويحاول إقليدس هنا تحديد المفاهيم الأولية (النقطة، الخط المستقيم، المستوى). في إثبات النظريات، يتم استخدام الأحكام التي لم يتم صياغتها بشكل صريح وتعتبر واضحة. وبالتالي فإن هذا البناء يفتقر إلى الدقة المنطقية اللازمة، على الرغم من أن حقيقة جميع أحكام النظرية لا شك فيها.
دعونا نلاحظ أن هذا النهج في البناء البديهي للنظرية ظل هو النهج الوحيد حتى القرن التاسع عشر. لعبت أعمال N. I. Lobachevsky (1792-1856) دورًا رئيسيًا في تغيير هذا النهج. كان لوباتشيفسكي أول من عبر صراحة عن اعتقاده باستحالة إثبات مسلمة إقليدس الخامسة، وعزز هذا الاعتقاد بخلق هندسة جديدة. وفي وقت لاحق، أثبت عالم الرياضيات الألماني ف. كلاين (1849-1925) اتساق هندسة لوباتشيفسكي، مما أثبت في الواقع استحالة إثبات مسلمة إقليدس الخامسة. هكذا نشأت مشاكل استحالة الإثبات والاتساق في النظرية البديهية وتم حلها في أعمال N. I. Lobachevsky و F. Klein لأول مرة في تاريخ الرياضيات. يعد اتساق النظرية البديهية أحد المتطلبات الرئيسية لنظام بديهيات هذه النظرية. وهذا يعني أنه من المستحيل من خلال هذا النظام من البديهيات أن نستنتج منطقيا عبارتين متناقضتين.
يمكن إثبات اتساق النظريات البديهية باستخدام طرق مختلفة. واحد منهم هو طريقة النمذجة أو التفسير. وهنا يتم اختيار عناصر مجموعة معينة والعلاقات بينها باعتبارها المفاهيم والعلاقات الرئيسية، ومن ثم يتم التحقق مما إذا كانت بديهيات نظرية معينة ستفي بالمفاهيم والعلاقات المختارة، أي نموذج لهذه النظرية مبني. وبالتالي فإن الهندسة التحليلية هي تفسير حسابي لهندسة إقليدس. ومن الواضح أن طريقة النمذجة تقلل من مسألة اتساق نظرية ما إلى مشكلة اتساق نظرية أخرى. تعتمد معظم تفسيرات النظريات الرياضية (وخاصة الرياضيات) على نظرية المجموعات. ومع ذلك، في نهاية القرن التاسع عشر، تم اكتشاف تناقضات في نظرية المجموعات (مفارقات نظرية المجموعات). ومن الأمثلة الصارخة على مثل هذه المفارقة مفارقة ب. راسل. دعونا نقسم كل المجموعات التي يمكن تصورها إلى فئتين. دعنا نسمي المجموعة طبيعي ، إذا لم يحتوي على نفسه كعنصره و غير طبيعي خلاف ذلك. على سبيل المثال، مجموعة جميع الكتب - طبيعي التعدد، وتعدد كل الأشياء التي يمكن تصورها - غير طبيعي مجموعة من. دع L يكون مجموعة الكل طبيعي مجموعات. إلى أي فئة تنتمي المجموعة L؟ إذا إل - طبيعي تعيين، ثم L Î كذب. الموجودة في الفصل الدراسي طبيعي مجموعات، ولكنها تحتوي بعد ذلك على نفسها كعنصر لها، وبالتالي غير طبيعي . إذا إل - غير طبيعي تعيين، ثم L Ï كذب. غير مدرجة ضمن طبيعي مجموعات، ولكن L لا تحتوي على نفسها كعنصر لها، وبالتالي فهي بخير . وهكذا المفهوم طبيعي مجموعة تؤدي إلى التناقض.
أدت محاولات إزالة التناقضات في نظرية المجموعات إلى قيام ZERMELO بالحاجة إلى بناء نظرية مجموعات بديهية. أدت التعديلات والتحسينات اللاحقة لهذه النظرية إلى إنشاء نظرية المجموعات الحديثة. ومع ذلك، فإن وسائل هذه النظرية البديهية لا تسمح لنا بإثبات اتساقها. تم تطوير طرق أخرى لإثبات الرياضيات بواسطة د. جيلبرت (1862-1943) ومدرسته. وهي تعتمد على بناء النظريات الرياضية كنظريات نحوية، حيث تتم كتابة جميع البديهيات بواسطة صيغ بأبجدية معينة ويتم الإشارة بدقة إلى قواعد استخلاص بعض الصيغ من غيرها، أي. تتضمن النظرية المنطق الرياضي كجزء لا يتجزأ.
وهكذا، فإن النظرية الرياضية التي يلزم إثبات اتساقها أصبحت موضوعًا لنظرية رياضية أخرى، أطلق عليها جيلبرت اسم الميثاماتيماتيكس، أو نظرية الإثبات. في هذا الصدد، تنشأ مهمة بناء النحوي، أي. النظرية البديهية الرسمية للمنطق الرياضي نفسه. ومن خلال اختيار أنظمة مختلفة من البديهيات والقواعد لاستخلاص بعض الصيغ من غيرها، نحصل على نظريات منطقية نحوية مختلفة. ويسمى كل واحد منهم حساب التفاضل والتكامل المنطقي.
موضوع المنطق الرياضي
الفكرة الرئيسية للمنطق الرياضي هي إضفاء الطابع الرسمي على المعرفة والتفكير. من المعروف أن المعرفة الأكثر سهولة في إضفاء الطابع الرسمي هي المعرفة الرياضية. وهكذا فإن المنطق الرياضي، في جوهره، هو علم الرياضيات، أو ما وراء الرياضيات. المفهوم المركزي للمنطق الرياضي هو "الدليل الرياضي". وفي الواقع، فإن الاستدلال "الدليلي" (بمعنى آخر، الاستنتاجي) هو النوع الوحيد من الاستدلال المعترف به في الرياضيات. تتم دراسة الاستدلال في المنطق الرياضي من وجهة نظر الشكل وليس المعنى. في الأساس، يتم تصميم الاستدلال من خلال عملية "ميكانيكية" بحتة لإعادة كتابة النص (الصيغ). وتسمى هذه العملية الاستدلال. ويقولون أيضًا أن المنطق الرياضي يعمل فقط مع المفاهيم النحوية. ومع ذلك، عادة ما يظل من المهم كيفية ارتباط المنطق بالواقع (أو بأفكارنا). ولذلك، لا يزال يتعين على المرء أن يضع في اعتباره بعض معاني الصيغ والاستنتاجات. في هذه الحالة، يتم استخدام مصطلح علم الدلالة (مرادف لكلمة "المعنى") ويفصل بوضوح بين النحو والدلالة. عندما يكون الناس مهتمين فقط ببناء الجملة، غالبًا ما يستخدم مصطلح "النظام الرسمي". سوف نستخدم مرادفًا لهذا المصطلح - "حساب التفاضل والتكامل" (يتم استخدام مصطلحي "النظرية الرسمية" و"البديهيات" أيضًا). هدف الأنظمة الرسمية هو سطور النص (تسلسلات الأحرف) التي تُكتب بها الصيغ.
يتم تعريف النظام الرسمي إذا:
يتم تحديد الأبجدية (مجموعة من الرموز المستخدمة لبناء الصيغ).
هناك العديد من الصيغ تسمى البديهيات. هذه هي نقاط البداية في الاستنتاجات.
يتم تحديد مجموعة من قواعد الاستدلال التي تسمح للشخص بالحصول على صيغة جديدة من صيغة معينة (أو مجموعة من الصيغ).
المبادئ الأساسية للعمليات
النفي
نفي العبارة المنطقية هو عبارة منطقية تأخذ القيمة "صحيح" إذا كانت العبارة الأصلية خاطئة، والعكس صحيح. هذه عملية منطقية خاصة. اعتمادًا على الموقع، يتم التمييز بين النفي الخارجي والداخلي، حيث تختلف خصائصهما وأدوارهما بشكل كبير.
يعمل النفي الخارجي (الافتراضي) على تكوين عبارة معقدة من عبارة أخرى (ليست بالضرورة بسيطة). ويؤكد غياب الحالة الموصوفة في البيان المنفي. تقليديا، تعتبر العبارة السلبية صحيحة إذا، وفقط إذا كانت العبارة المنفية خاطئة. في اللغة الطبيعية، يتم التعبير عن النفي عادة بعبارة "ليس صحيحا أن" متبوعة بالبيان المنفي.
في لغات النظريات الصورية، النفي هو عبارة عن وصلة افتراضية أحادية خاصة تستخدم لتكوين صيغة إلى صيغة أخرى أكثر تعقيدا. للدلالة على النفي، عادةً ما يتم استخدام الرموز "\negation" أو "-" أو "-1". في المنطق الافتراضي الكلاسيكي، تكون الصيغة -A صحيحة إذا كانت الصيغة A خاطئة فقط.
ومع ذلك، في المنطق غير الكلاسيكي، قد لا يتمتع النفي بجميع خصائص النفي الكلاسيكي. في هذا الصدد، يطرح سؤال منطقي تمامًا حول الحد الأدنى من مجموعة الخصائص التي يجب أن تستوفيها بعض العمليات الأحادية حتى يتم اعتبارها نفيًا، وكذلك حول مبادئ تصنيف النفي المختلفة في النظريات الشكلية غير الكلاسيكية (انظر: Dunn J.M. وهارديجري جي إم الطرق الجبرية في المنطق الفلسفي (أكسفورد، 2001).
في الواقع، يمكن التعبير عن الفهم التقليدي المذكور أعلاه للنفي الخارجي (الافتراضي) من خلال نظام من المتطلبات التالية: (I) إذا كان A صحيحًا (خاطئًا)، فإن ليس A خطأ (صحيح)؛ (٢) إذا لم يكن A صحيحًا (خطأ)، فإن A خطأ (صحيح). من الناحية الشكلية، يمكن التعبير عن المتطلبات (I) و (II) من خلال الشرط (1) A p-iB => B (= -، A، يسمى "التناقض البناء". عادة ما يسمى النفي الذي يحقق الشرط (1) بـ ومع ذلك، فقد تبين أن الشرط (1) يمكن أن يتحلل إلى شرطين أضعف: (2) A (= B => -,B p-Au(3)A(= - 1 - A، المعروف، على التوالي، كـ "المعارضة" و"إدخال النفي المزدوج". ونتيجة لذلك، يصبح من الممكن تحديد نفي دون الحد الأدنى الذي يحقق الشرط (2)، لكنه لا يحقق الشرط (3). ومن الطبيعي صياغة شرط عكسي لـ ( 3) ويشكل مبدأ "إزالة النفي المزدوج": (4) -. - أ = أ. النفي الأدنى (أي استيفاء الشرط (1) أو الشرطين (2) و (3) معا)، الذي له الشرط ( 4) محقق ويسمى نفي دي مورغان الحد الأدنى للنفي الذي يلبي الخاصية الإضافية (5 ): إذا أ - B، إذن بالنسبة لأي C فمن الصحيح أن A p C ("خاصية العبثية") - تسمى النفي الحدسي. يمكننا صياغة المبدأ (6)، وهو ثنائي لمبدأ العبثية: إذا كان B |=Au-S p A، فبالنسبة لأي C يكون صحيحًا أن C p A. يفي بمبدأ النفي هذا. هو نوع من النفي في المنطق المتناقض. أخيرًا، يُطلق على نفي دي مورغان (الخصائص (2)، (3)، (4))، والتي تنطبق عليها (5) أو (6)، اسم النفي التقويمي. إذا كانت في حساب التفاضل والتكامل المقابل بديهية التوزيع للاقتران و يتم قبول الانفصال، ثم يسمى النفي أورثو نفي بول، أو النفي الكلاسيكي.
النفي الداخلي هو جزء من عبارة بسيطة. يتم التمييز بين النفي كجزء من الجماع (الجماع السلبي) ومصطلح النفي.
يتم التعبير عن النفي كجزء من الجماع باستخدام الجسيم "لا" الذي يقف قبل الفعل الرابط (إذا كان هناك واحد) أو قبل الفعل الدلالي. إنه يستخدم للتعبير عن الأحكام حول غياب بعض العلاقات ("إيفان لا يعرف بيتر")، أو لتشكيل رابط مسندي سلبي كجزء من الأحكام المنسوبة الفئوية.
يستخدم مصطلح النفي لتشكيل مصطلحات سلبية. ويتم التعبير عنها من خلال البادئة "لا" أو ما شابه ذلك في المعنى ("كل التفاح غير الناضج أخضر").
اِقتِران
إن اقتران عبارتين منطقيتين هو عبارة منطقية تكون صحيحة فقط عندما تكون صحيحة في نفس الوقت (من الوصلة اللاتينية - الاتحاد، الاتصال)، بالمعنى الواسع - عبارة معقدة تشكلت بمساعدة أداة الاقتران "و". من حيث المبدأ، من الممكن التحدث عن اقتران عدد لا حصر له من البيانات (على سبيل المثال، حول اقتران جميع الجمل الحقيقية للرياضيات). في المنطق، أداة الاقتران هي أداة ربط منطقية (عملية، وظيفة؛ يُشار إليها بـ: &،)؛ إن العبارة المعقدة التي يتم تشكيلها بمساعدتها تكون صحيحة فقط إذا كانت مكوناتها صحيحة على حد سواء. في المنطق الافتراضي الكلاسيكي، يشكل الاقتران مع النفي نظامًا وظيفيًا كاملاً من الروابط الافتراضية. وهذا يعني أنه يمكن تعريف أي رابط مقترح آخر من خلالهم. إحدى خصائص الاقتران هي التبادلية (أي تكافؤ A & B وB & A). ومع ذلك، في بعض الأحيان يتحدثون عن اقتران غير تبادلي، أي اقتران مرتب (مثال على عبارة مع مثل هذا الاقتران سيكون: "صفير السائق وركضت الخيول").
انفصال
الفصل بين عبارتين منطقيتين - عبارة منطقية تكون صحيحة فقط إذا كان أحدهما صحيحًا على الأقل
(من الانفصال اللاتيني - الانفصال والعزلة)، بالمعنى الواسع - عبارة معقدة تتكون من جملتين أو أكثر باستخدام أداة العطف "أو" للتعبير عن البديل أو الاختيار.
في المنطق الرمزي، الانفصال هو رابط منطقي (عملية، وظيفة) يشكل من الجملتين A وB بيانًا معقدًا، يُشار إليه عادةً بـ A V B، وهو صحيح إذا كان أحد العضوين المنفصلين على الأقل صحيحًا: <#"justify">يتضمن
إن الآثار المترتبة على عبارتين منطقيتين A و B عبارة عن عبارة منطقية تكون خاطئة فقط عندما تكون B خاطئة و A صحيحة (من الكلمة اللاتينية implicatio - متشابكة، من ضمنية - متصلة بشكل وثيق) - رابط منطقي يتوافق مع البناء النحوي "إذا ..، إذًا. .."، والتي يتم من خلالها تكوين عبارة معقدة من عبارتين بسيطتين. في الجملة الضمنية، يوجد سابق (أساس) - عبارة تأتي بعد كلمة "إذا"، ومترتبة (نتيجة) - عبارة تأتي بعد كلمة "ثم". إن العبارة الضمنية تمثل في لغة المنطق عبارة شرطية في اللغة العادية. ويلعب الأخير دورًا خاصًا في كل من الاستدلال اليومي والعلمي، وتتمثل وظيفته الرئيسية في تبرير شيء ما بالإشارة إلى شيء آخر.
من الصعب وصف العلاقة بين الأساس والمرتكز المعبر عنها ببيان شرطي بعبارات عامة، وفي بعض الأحيان فقط تكون طبيعتها واضحة نسبيًا. قد يكون هذا الارتباط، على وجه الخصوص، ارتباطًا بالنتيجة المنطقية التي تحدث بين المقدمات واستنتاج الاستدلال الصحيح ("إذا كانت جميع الكائنات الحية متعددة الخلايا فانية وكان قنديل البحر مثل هذا المخلوق، فهو فانٍ"). قد يكون الارتباط قانونًا من قوانين الطبيعة ("إذا تعرض جسم للاحتكاك، فسوف يبدأ في التسخين") أو علاقة سببية ("إذا كان القمر في عقدة مداره عند قمر جديد، يحدث كسوف للشمس" يحدث"). قد يكون للاتصال قيد النظر أيضًا طبيعة النمط الاجتماعي أو القاعدة أو التقاليد وما إلى ذلك. ("إذا تغير الاقتصاد، تتغير السياسة أيضًا"، "إذا تم الوعد، فيجب الوفاء به").
إن الارتباط المعبر عنه بالعبارة الشرطية يفترض مسبقًا أن ما يترتب على ذلك "يتبع" بالضرورة من السابق وأن هناك قانونًا عامًا ما، بعد أن تمكنا من صياغته، يمكننا أن نستنتج منطقيًا ما يترتب على السابق. على سبيل المثال، العبارة الشرطية "إذا كان البزموت معدنًا، فهو مطاوع" تفترض مسبقًا القانون العام "جميع المعادن قابلة للسحب"، مما يجعل نتيجة هذه العبارة نتيجة منطقية لسابقتها.
سواء في اللغة العادية أو في لغة العلم، يمكن للبيان الشرطي، بالإضافة إلى وظيفة التبرير، أن يؤدي أيضًا عددًا من المهام الأخرى. يمكنه صياغة شرط لا علاقة له بـ s.l. قانون أو قاعدة عامة ضمنية ("إذا أردت، سأقطع عباءتي")، أصلح بعض التسلسل ("إذا كان الصيف الماضي جافًا، فسيكون الطقس ممطرًا هذا العام")، عبر عن عدم التصديق بشكل غريب (" إذا قمت بحل المشكلة، فسوف أثبت نظرية فيرما العظيمة")، والتباين ("إذا نما الملفوف في الحديقة، فإن شجرة التفاح تنمو في الحديقة")، وما إلى ذلك. إن تعدد وظائف العبارة الشرطية وعدم تجانسها يؤدي إلى تعقيد تحليلها بشكل كبير.
في الأنظمة المنطقية، يتم تجريدها من ميزات الاستخدام المعتاد للبيان الشرطي، الأمر الذي يؤدي إلى آثار مختلفة. وأشهرها التضمين المادي والتضمين الصارم والتضمين ذي الصلة.
يعد التضمين المادي أحد الروابط الرئيسية للمنطق الكلاسيكي. ويعرف على النحو التالي: لا يكون المضمون باطلاً إلا إذا كان المقدم صحيحاً واللاحق كاذباً، وصحيحاً في سائر الأحوال. العبارة الشرطية "إذا كان A، ثم B" تفترض وجود علاقة حقيقية بين ما يقال في A و B؛ وعبارة "أ تعني ضمنيا ماديا ب" لا تعني ضمنا مثل هذا الارتباط.
يتم تعريف التضمين الصارم من خلال المفهوم النموذجي للاستحالة (المنطقية): "أ تعني بشكل صارم ب" تعني "من المستحيل أن يكون أ صحيحًا وأن يكون ب خطأ".
في المنطق ذي الصلة، يُفهم التضمين على أنه ارتباط مشروط بمعناه العادي. في حالة التضمين ذي الصلة، لا يمكن القول أنه يمكن تبرير العبارة الحقيقية بالإشارة إلى أي عبارة، وأن أي عبارة يمكن تبريرها بالإشارة إلى عبارة كاذبة.
التكافؤ
إن تكافؤ عبارتين منطقيتين هو عبارة منطقية تكون صحيحة فقط عندما تكون صحيحة أو خاطئة في نفس الوقت (من معادلات لاتينية متأخرة - مكافئ) - اسم عام لجميع أنواع العلاقات مثل المساواة، أي. العلاقات الثنائية الانعكاسية والمتماثلة والمتعدية. أمثلة: تكافؤ القوى (الصدفة في المعنى والأهمية والمحتوى والقدرات التعبيرية و (أو) الاستنتاجية بين المفاهيم أو المفاهيم أو النظريات العلمية أو الأنظمة الرسمية التي تضفي عليها طابعًا رسميًا) التطابق أو التشابه في الهندسة والأشكال؛ التماثل. إن تكافؤ المجموعات والتكافؤ الآخر لأي كائنات يعني مساواتها (الهوية) في بعض النواحي
(على سبيل المثال، لا يمكن تمييز المجموعات المتماثلة في "بنيتها"، إذا كنا نعني بكلمة "بنية" مجمل تلك الخصائص التي تكون هذه المجموعات متماثلة بالنسبة لها). تولد أي علاقة تكافؤ قسمًا من المجموعة التي يتم تعريفها إلى "فئات تكافؤ" منفصلة زوجية تتضمن عناصر من مجموعة معينة تعادل بعضها البعض في فئة واحدة.
يعد اعتبار فئات التكافؤ ككائنات جديدة إحدى الطرق الرئيسية لتوليد (إدخال) مفاهيم مجردة في النظريات المنطقية الرياضية (وفي العلوم الطبيعية بشكل عام). وبالتالي، مع الأخذ في الاعتبار الكسور a/b وc/d ذات البسط الصحيحة والمقامات المكافئة، إذا كانت ad=bc، يتم إدخال الأرقام المنطقية في الاعتبار كفئات من الكسور المتكافئة؛ بالنظر إلى المجموعات على أنها متكافئة، والتي يمكن من خلالها إنشاء مراسلات فردية، يتم تقديم مفهوم العدد الأساسي (الرقم الأساسي) للمجموعة (كفئة من المجموعات المكافئة لبعضها البعض)؛ فإذا نظرنا إلى قطعتين من مادة مكافئة، تدخلان في تفاعلات كيميائية متطابقة في ظل ظروف متساوية، نصل إلى المفهوم المجرد للتركيب الكيميائي، وما إلى ذلك.
غالبًا ما يستخدم مصطلح "التكافؤ" ليس (فقط) كمصطلح عام، ولكن كمرادف لبعض معانيه الخاصة ("تكافؤ النظريات" بدلاً من "التكافؤ"، "تكافؤ المجموعات" بدلاً من "التكافؤ"، "تكافؤ الكلمات" في الجبر المجرد بدلا من "الهوية" "وهكذا.).
بيان الكمي
محدد الكمي مع محدد الكمي العالمي.
العبارة المنطقية للمُحدِّد الكمي ذات المُحدِّد الكمي العالمي ("xA(x)") هي عبارة منطقية تكون صحيحة فقط إذا كانت العبارة A(x) صحيحة لكل كائن x من مجموعة سكانية معينة.
الكمي مع وجود الكمي.
عبارة منطقية محددة الكمية مع محدد كمية وجودية ($xA(x)) هي عبارة منطقية صحيحة فقط إذا كان هناك كائن x في مجموعة معينة بحيث تكون العبارة A(x) صحيحة.
هيكل المنطق الرياضي
يتكون قسم “المنطق الرياضي” من ثلاثة أجزاء: على الطريقة البديهية غير الرسمية، على المنطق الافتراضي وعلى المنطق المسند (الترتيب الأول). طريقة البناء البديهية هي الخطوة الأولى نحو إضفاء الطابع الرسمي على النظرية. تتكون معظم المشكلات التي يتم النظر فيها في المنطق الرياضي من إثبات بعض العبارات. المنطق الرياضي له تشعبات عديدة. ويستخدم البناء الجدولي للمنطق الافتراضي، ويستخدم لغة رمزية خاصة وصيغ المنطق الافتراضي.
الطريقة البديهية غير الرسمية
طريقة بديهية لا تعمل على تثبيت اللغة المطبقة بشكل صارم وبالتالي لا تحدد حدود الفهم الهادف للموضوع، ولكنها تتطلب تعريفًا بديهيًا لجميع المفاهيم الخاصة بموضوع الدراسة المحدد. هذا المصطلح ليس له تفسير مقبول بشكل عام.
يتميز تاريخ تطور الطريقة البديهية بدرجة متزايدة من إضفاء الطابع الرسمي. الطريقة البديهية غير الرسمية هي خطوة معينة في هذه العملية.
تميز البناء البديهي الأصلي للهندسة، الذي قدمه إقليدس، بالطبيعة الاستنتاجية لعرضه، الذي كان يعتمد على التعريفات (التفسيرات) والبديهيات (البيانات الواضحة). ومنهم، على أساس الفطرة السليمة والأدلة، تم استخلاص العواقب. وفي الوقت نفسه، استخدم الاستنتاج أحيانًا ضمنيًا افتراضات للهندسة والشخصية لم تكن ثابتة في البديهيات، خاصة تلك المتعلقة بالحركة في الفضاء والموقع النسبي للخطوط والنقاط. وبعد ذلك تم تحديد الهندسة والمفاهيم والبديهيات المنظمة لاستخدامها، والتي استخدمها ضمنيًا إقليدس وأتباعه. وفي الوقت نفسه، نشأ السؤال: هل تم تحديد جميع البديهيات بالفعل؟ صاغ د. هيلبرت المبدأ التوجيهي لحل هذه المشكلة: "يجب التأكد من أننا نستطيع التحدث بشكل جيد عن الطاولات والكراسي وأكواب البيرة بدلاً من النقاط والخطوط والطائرات". إذا لم يفقد الدليل قوته الإثباتية بعد هذا الاستبدال، فإن جميع الافتراضات الخاصة المستخدمة في هذا الدليل ثابتة في البديهيات. تمثل درجة إضفاء الطابع الرسمي التي تم تحقيقها باستخدام هذا النهج مستوى إضفاء الطابع الرسمي المميز للطريقة البديهية غير الرسمية. يمكن أن يكون المعيار هنا هو العمل الكلاسيكي لـ D. Hilbert "أسس الهندسة".
يتم استخدام الطريقة البديهية غير الرسمية ليس فقط لإعطاء بعض الاكتمال للنظرية الملموسة المعلنة بديهيًا. إنها أداة فعالة للبحث الرياضي. نظرًا لأنه عند دراسة نظام من الكائنات باستخدام هذه الطريقة، لا يتم استخدام خصوصيتها أو "طبيعتها"، يتم نقل البيانات المثبتة إلى أي نظام من الكائنات يرضي البديهيات قيد النظر. وفقًا للطريقة البديهية غير الرسمية، فإن البديهيات هي تعريفات ضمنية للمفاهيم الأصلية (وليست حقائق واضحة). لا يهم ما هي الأشياء التي تتم دراستها. كل ما تحتاج لمعرفته عنهم تمت صياغته في البديهيات. موضوع دراسة النظرية البديهية هو أي تفسير لها.
الطريقة البديهية غير الرسمية، بالإضافة إلى التعريف البديهي الذي لا غنى عنه لجميع المفاهيم الخاصة، لها ميزة مميزة أخرى. إنه الاستخدام الحر وغير المنضبط والقائم على المحتوى للأفكار والمفاهيم التي يمكن تطبيقها على أي تفسير يمكن تصوره، بغض النظر عن محتواه. على وجه الخصوص، يتم استخدام المفاهيم والمبادئ النظرية والمنطقية على نطاق واسع، وكذلك المفاهيم المتعلقة بفكرة العد، وما إلى ذلك. الاختراق في الطريقة البديهية للاستدلال على أساس الفهم الهادف والفطرة السليمة، وليس على البديهيات ، لا يتم تفسيره بالطبيعة الثابتة للغة، التي يتم من خلالها صياغة وإثبات خصائص نظام معين من الكائنات بديهيًا. يؤدي إصلاح اللغة إلى مفهوم النظام البديهي الرسمي ويخلق أساسًا ماديًا لتحديد المبادئ المنطقية المقبولة ووصفها بوضوح، للاستخدام المتحكم فيه للمفاهيم النظرية وغيرها من المفاهيم العامة أو غير المحددة للمجال قيد الدراسة. إذا لم يكن لدى اللغة الوسائل (الكلمات) لنقل المفاهيم النظرية، فسيتم حذف جميع الأدلة المستندة إلى استخدام هذه الوسائل. إذا كانت اللغة لديها وسيلة للتعبير عن بعض المفاهيم النظرية، فإن استخدامها في البراهين يمكن أن يكون محدودًا بقواعد أو بديهيات معينة.
من خلال تثبيت اللغة بطرق مختلفة، يتم الحصول على نظريات مختلفة للموضوع الرئيسي للنظر فيه. على سبيل المثال، بالنظر إلى لغة حساب التفاضل والتكامل المسند الضيق لنظرية المجموعة، يحصل المرء على نظرية المجموعة الأولية التي من المستحيل فيها صياغة أي بيانات حول المجموعات الفرعية. إذا انتقلنا إلى لغة حساب التفاضل والتكامل المسند للمرحلة الثانية، يصبح من الممكن النظر في الخصائص التي يظهر فيها مفهوم المجموعة الفرعية. إن إضفاء الطابع الرسمي على الطريقة البديهية غير الرسمية في نظرية المجموعة هو الانتقال إلى لغة نظام Zermelo-Frenkel مع بديهياته.
الطريقة البديهية
الطريقة البديهية هي طريقة لبناء نظرية علمية، تعتمد فيها على مواقف أولية معينة (أحكام) - بديهيات، أو مسلمات، والتي يجب استنتاج جميع العبارات الأخرى لهذه النظرية منها بطريقة منطقية بحتة، من خلال الأدلة. عادة ما يسمى بناء العلم على أساس الطريقة البديهية بالاستنتاجي. يتم تقديم جميع مفاهيم النظرية الاستنباطية (باستثناء عدد محدد من المفاهيم الأولية) من خلال تعريفات تعبر عنها من خلال مفاهيم تم تقديمها مسبقًا. إلى حد ما، يتم استخدام البراهين الاستنتاجية المميزة للطريقة البديهية في العديد من العلوم، ولكن المجال الرئيسي لتطبيقها هو الرياضيات والمنطق وبعض فروع الفيزياء.
تم التعبير عن فكرة الطريقة البديهية لأول مرة فيما يتعلق ببناء الهندسة في اليونان القديمة (فيثاغورس، أفلاطون، أرسطو، إقليدس). وتتميز المرحلة الحديثة من تطور الطريقة البديهية بمفهوم الطريقة البديهية الشكلية التي طرحها هيلبرت، والتي تطرح مهمة الوصف الدقيق للوسائل المنطقية لاستخلاص النظريات من البديهيات. فكرة هيلبرت الرئيسية هي إضفاء الطابع الرسمي الكامل على لغة العلم، حيث تعتبر أحكامها بمثابة تسلسل من العلامات (الصيغ) التي تكتسب معنى فقط مع بعض التفسيرات المحددة. لاستخلاص النظريات من البديهيات (وبشكل عام بعض الصيغ من غيرها)، يتم صياغة صيغ خاصة. قواعد الاستدلال. والدليل في مثل هذه النظرية (حساب التفاضل والتكامل، أو النظام الرسمي) هو تسلسل معين من الصيغ، كل منها إما بديهية أو يتم الحصول عليها من الصيغ السابقة في التسلسل وفقا لبعض قواعد الاستدلال. وعلى النقيض من هذه البراهين الشكلية، تتم دراسة خصائص النظام الصوري نفسه ككل. عن طريق ما وراء النظرية. المتطلبات الرئيسية للأنظمة الرسمية البديهية هي اتساق البديهيات واكتمالها واستقلالها. تبين أن برنامج هيلبرت، الذي افترض إمكانية إثبات اتساق واكتمال جميع الرياضيات الكلاسيكية، غير ممكن بشكل عام. في عام 1931، أثبت جودل استحالة البديهية الكاملة للنظريات العلمية المتطورة بما فيه الكفاية (على سبيل المثال، حساب الأعداد الطبيعية)، مما يشير إلى القيود المفروضة على الطريقة البديهية. تم انتقاد المبادئ الأساسية للأساليب البديهية من قبل أنصار الحدس والتوجيه البناء.
خاتمة
المنطق الرياضي هو علم قوانين التفكير الرياضي. إن تطبيق الرياضيات على المنطق جعل من الممكن تقديم النظريات المنطقية في شكل مناسب جديد وتطبيق جهاز الحوسبة لحل المشكلات التي يتعذر على التفكير البشري الوصول إليها، وهذا بالطبع وسع مجال البحث المنطقي. نطاق تطبيق المنطق الرياضي واسع جدًا. في كل عام يتزايد الاختراق العميق لأفكار وأساليب المنطق الرياضي في علوم الكمبيوتر والرياضيات الحسابية واللغويات والفلسفة. كان ظهور أجهزة الكمبيوتر الإلكترونية بمثابة قوة دافعة قوية لتطوير وتوسيع مجال تطبيق المنطق الرياضي. اتضح أنه في إطار المنطق الرياضي يوجد بالفعل جهاز جاهز لتصميم تكنولوجيا الكمبيوتر. إن أساليب ومفاهيم المنطق الرياضي هي الأساس وجوهر نظم المعلومات الذكية. أصبحت أدوات المنطق الرياضي أداة عمل فعالة للمتخصصين في العديد من مجالات العلوم والتكنولوجيا. يحتاج جميع المتخصصين إلى معرفة المنطق الرياضي، بغض النظر عن البيئة التي يعملون فيها (سواء كان مهندسًا أو مدرسًا أو محاميًا أو مجرد طبيب).
فهرس
بيان المنطق الرياضي بالاقتران
مصدر الإنترنت: #"justify">1.
التدريس
هل تحتاج إلى مساعدة في دراسة موضوع ما؟
سيقوم المتخصصون لدينا بتقديم المشورة أو تقديم خدمات التدريس حول الموضوعات التي تهمك.
تقديم طلبكمع الإشارة إلى الموضوع الآن للتعرف على إمكانية الحصول على استشارة.
سيتم تخصيصه لأساسيات المنطق الرياضي، الذي لا يعد فرعًا منفصلاً من الرياضيات فحسب، بل له أيضًا أهمية كبيرة في دراسة البرج بأكمله (وليس الأبراج فقط). "يوجد ويوجد فقط"، "من هذا يتبع هذا"، "شرط ضروري"، "الكفاية"، "عندها وعندها فقط" - هذه عبارات مألوفة، أليس كذلك؟ وهذه ليست مجرد كليشيهات "قياسية" يمكن تجاهلها - إنها تعبيرات مستقرة حدس مباشروالتي سوف نتعرف عليها في هذا المقال. بالإضافة إلى ذلك، ستكون المادة مفيدة للمبتدئين في دراسة المنطق الرياضي مباشرة - سأفكر في أساسها: البيانات والأفعال عليها، والصيغ، والقوانين الأساسية + بعض المشاكل العملية. وبالطبع، سوف تتعلم اختلافًا مهمًا جدًا، وفي بعض الأماكن مضحكًا جدًا، بين المنطق الرياضي ومنطقنا "العادي". لنبدأ في وضع الأساس:
أقوال وأشكال معبرة
إفادة- هذا اقتراح يمكن قوله حقيقيهو أو خطأ شنيع. عادة ما يتم الإشارة إلى البيانات بأحرف لاتينية صغيرة، وحقيقتها/خطأها بواحد وصفر، على التوالي:
- هذا الإدخال (يجب عدم الخلط بينه وبين وحدة!)
يخبرنا أن البيان حقيقي;
- وهذا الإدخال يدور حول حقيقة البيان خطأ شنيع.
على سبيل المثال:
- السلاحف لا تطير؛
- القمر مربع؛
- اثنان اثنان اثنان؛
- خمسة أكثر من ثلاثة.
ومن الواضح تماما أن التصريحات و صحيحة: ,
والتصريحات و - خطأ شنيع:
وبطبيعة الحال، ليست كل الجمل هي البيانات. وتشمل هذه على وجه الخصوص الجمل الاستفهامية والتحفيزية:
هل يمكن أن تخبرني كيف أصل إلى مكتبة?
دعنا نذهب إلى الحمام!
من الواضح أنه لا يوجد سؤال عن الحقيقة أو الأكاذيب هنا. كما لا حديث عنهم في حالة عدم اليقين أو عدم اكتمال المعلومات:
غدا ستأخذ بيتيا الامتحان– حتى لو تعلم كل شيء، فليس حقيقة أنه سينجح؛ والعكس صحيح - إذا كان لا يعرف شيئا، فيمكنه تمرير "الكرة".
...حسنًا، بيتيا، لا تقلق - سوف تنجح =)
- وهنا لا نعرف ما يساوي "en"، لذلك هذا أيضًا ليس بيانًا.
ومع ذلك، يمكن تمديد الجملة الأخيرة إلى بيان، أو بالأحرى، إلى شكل معبر، وتوفير معلومات إضافية حول "en". كقاعدة عامة، يتم كتابة النماذج التعبيرية مع ما يسمى محددو الكمية. هناك اثنان منهم:
– محدد الكمي العام (حرف معكوسأ- من اللغة الإنجليزية.الجميع)يُفهم ويُقرأ على أنه "للجميع" و"لأي (أشخاص)" ؛
– مقياس الوجود (الرسالة الموسعةهـ – من الإنجليزية.يخرج)يُفهم ويُقرأ على أنه "موجود".
- لأي احد عدد طبيعيعدم المساواة راضية. هذا الشكل التعبيري خطأ شنيعلأنه من الواضح أنه لا يتوافق مع الأعداد الطبيعية.
- ولكن هذا شكل معبر حقيقي، كيف حقيقيوعلى سبيل المثال هذا البيان:
...حسنًا، هل يوجد حقًا عدد طبيعي أقل من -10؟
وأنا أحذرك من الاستخدام المتهور لهذا المقياس الكمي، لأن عبارة "لأي شخص" قد يتبين في الواقع أنها "ليس للجميع".
انتباه! إذا لم تفهم شيئا ما في التدوين، يرجى العودة إلى الدرس حول مجموعات.
- موجود عدد طبيعي، وهو أكبر من اثنين. حقيقي...والأهم من ذلك أنك لا تستطيع الجدال =)
– كذب
في كثير من الأحيان "تعمل أجهزة القياس جنبًا إلى جنب":
- لأي احد المتجههناك ناقل معاكس. الأحرف الكبيرة حقيقي، أو بالأحرى بديهية (القول مقبول بدون دليل)مساحة المتجهات.
لاحظ أن محدد الكمية يعني ضمنا الحقيقة نفسهاوجود كائن (واحد على الأقل) يلبي خصائص معينة. قد يكون هناك غراب أبيض واحد فقط في العالم، لكنه لا يزال موجودًا. علاوة على ذلك، في الرياضيات (سواء المدرسية أو العليا) تم إثبات عدد كبير من النظريات وجودو فقط التفردأي شئ. يتكون إثبات هذه النظرية من جزأين:
1) وجود كائن يستوفي معايير معينة. هذا الجزء يؤكد حقيقة وجوده.
2) تفرد هذا الكائن. عادة ما يتم إثبات هذه النقطة بالتناقض، أي. فمن المفترض أن هناك كائنًا ثانيًا له نفس الخصائص تمامًا ومن ثم يتم دحض هذا الافتراض.
ومع ذلك، يحاول تلاميذ المدارس ألا يخافوا من مثل هذه المصطلحات، وغالبا ما يتم تقديم النظرية في شكل محجوب، على سبيل المثال:
في أي مثلث يمكنك كتابة دائرة، وعلاوة على ذلك، واحدة فقط
بالمناسبة، ما هي النظرية على أي حال؟ وسنتعرف على الجوهر المنطقي لهذه الكلمة الرهيبة قريبا جدا...
العمليات المنطقية (الإجراءات على البيانات)
تمامًا كما يمكنك إجراء العمليات الحسابية باستخدام الأرقام (الجمع والضرب وما إلى ذلك)، يمكن أيضًا تطبيق العمليات الخاصة بك على البيانات. هناك ثلاث عمليات منطقية أساسية:
النفيصياغات؛
اِقتِرانأو الضرب المنطقي للبيانات؛
انفصالأو إضافة منطقية للبيانات.
مرتب:
1) نفي البيان
لاوالرمز
إنكارالبيان يسمى بيان (اقرأ "ليس أ")، أيّ خطأ شنيع، إذا كان صحيحا، و حقيقي– إذا كاذبة: 
لذلك، على سبيل المثال، البيان - السلاحف لا تطيرحقيقي: ،
و نفيه السلاحف تطير إذا ركلتها جيدًا- خطأ شنيع: ؛
إفادة - مرتين اثنان اثنانخطأ شنيع:
,
وإنكاره – ليس صحيحا أن اثنين زائد اثنين يساوي اثنين- حقيقي: .
بالمناسبة، لا داعي للضحك على مثال السلاحف؛) الساديون
النموذج المادي الجيد لهذه العملية هو المصباح الكهربائي العادي والمفتاح:
الضوء مضاء - منطقي أو حقيقي،
تم إطفاء الضوء - صفر منطقي أو خطأ.
2) الاقتران (الضرب المنطقي للبيانات)
تتوافق هذه العملية مع الاتصال المنطقي ووالرمز إما
اِقتِران (اقرأ "أ ويكون")، وهو صحيح إذا وفقط إذا كان صحيحا كلاهماالبيانات و: 
تحدث هذه العملية أيضًا طوال الوقت. دعنا نعود إلى بطلنا من المكتب الأول: لنفترض أن بيتيا يحصل على القبول في امتحان الرياضيات العليا إذا اجتاز الدورات الدراسية وتقرير عن الموضوع. خذ بعين الاعتبار العبارات التالية:
– اجتاز بيتيا دوراته الدراسية;
- اجتازت بيتيا الاختبار.
لاحظ أنه على النقيض من الصياغة "بيتيا سوف تمر غدا"هنا في أي وقت يمكنك أن تقول ما إذا كان هذا صحيحًا أم خطأ.
إفادة (الجوهر - يتم قبول بيتيا في الامتحان)سيكون صحيحا إذا وفقط إذا اجتاز الدورات الدراسية والائتمان ل. إذا لم يتم تسليم شيء على الأقل (انظر الأسطر الثلاثة السفلية من الجدول)، فإن الاقتران كاذب.
وفي الوقت المناسب جدًا خطر في ذهني مثال رياضي ممتاز: علامة النظام تربط المعادلات/المتباينات المضمنة فيه تمامًا وفقًا للقاعدة و. على سبيل المثال، كتابة معادلتين خطيتين نظاميعني أنه يجب علينا العثور على مثل هذه الجذور (إذا كانت موجودة)وهو ما يرضي الأولين والمعادلة الثانية .
تمتد العملية المنطقية قيد النظر إلى عدد أكبر من البيانات. نسبيًا، إذا كان هناك 5 معادلات في النظام، فإن جذوره ( إذا كانت موجودة)يجب أن يرضي الأول والثاني والثالث والرابع والمعادلة الخامسة لهذا النظام.
ولاختتام هذه النقطة، دعونا ننتقل مرة أخرى إلى الهندسة الكهربائية المحلية: تمثل قاعدة الوصل جيدًا المفتاح الموجود في الغرفة والمفتاح الموجود على اللوحة الكهربائية في المدخل (توصيل تسلسلي). دعونا نلقي نظرة على التصريحات:
– المفتاح في الغرفة قيد التشغيل;
– المفتاح في المدخل قيد التشغيل.
ربما يكون الجميع قد فهم بالفعل أنه يمكن قراءة أداة الاقتران بالطريقة الأكثر طبيعية:
- المفتاح في الغرفة قيد التشغيل وتم تشغيل المفتاح الموجود في المدخل.
ومن الواضح، إذا وفقط إذا. وفي ثلاث حالات أخرى (تحليل أي منها)ستفتح الدائرة وسينطفئ الضوء: .
دعنا نضيف عبارة أخرى:
– يتم تشغيل المفتاح في المحطة الفرعية.
وبالمثل: يكون الاقتران صحيحًا إذا وفقط إذا 
. هنا، بالمناسبة، سيكون هناك بالفعل 7 خيارات مختلفة لكسر السلسلة.
3) الانفصال (الإضافة المنطقية للبيانات)
تتوافق هذه العملية مع الاتصال المنطقي أووالرمز
انفصالالبيانات والدعوة إلى البيان (اقرأ "أ أو باي")، وهو خطأ إذا وفقط إذا كانت كلتا العبارتين كاذبة: 
لنفترض أن هناك سؤالين في ورقة الامتحان في الرياضيات العليا وأن الطالب ينجح في الامتحان إذا أجاب مرة على الأقلسؤال. خذ بعين الاعتبار العبارات التالية:
– أجاب بيتيا على السؤال الأول;
– أجاب بيتيا على السؤال الثاني.
يقرأ الإدخال المنفصل ببساطة ووضوح: أجاب بيتيا على الأول أوالسؤال الثانيويعني ثلاث نتائج حقيقية (انظر الجدول). في الوقت نفسه، لن يجتاز بيتر الامتحان في الحالة الوحيدة - إذا أخطأ في كلا السؤالين: 
تجدر الإشارة إلى أننا في كثير من الأحيان نفهم حرف العطف "أو" على أنه "حصري أو"، علاوة على ذلك، غالبًا ما يجب فهمه بهذه الطريقة! من نفس العبارة حول اجتياز الامتحان، من المرجح أن يستنتج الشخص أن بيتيا أجاب فقط على السؤال الأول أو الثاني فقط. ومع ذلك، فإن OR المعني ليس "أو" شائعًا.
تنطبق عملية الإضافة المنطقية أيضًا على ثلاثة عبارات أو أكثر. يطرح بعض المعلمين المخلصين ما بين 10 إلى 15 سؤالًا ويجرون اختبارًا إذا كان الطالب يعرف شيئًا على الأقل =) بمعنى آخر، منطقي OR يخفي رابطًا "على الأقل لواحد"(وهذا لا يعني على الإطلاق أنها واحدة تمامًا!).
حسنًا، لنأخذ استراحة من الكهرباء المنزلية: الغالبية العظمى من مواقع الإنترنت موجودة على خوادم احترافية، والتي يتم تزويدها عادةً بمصدري طاقة. في الهندسة الكهربائية، يُسمى هذا بالاتصال المتوازي، والذي يمثل بدقة قاعدة OR - يعمل الخادم إذا كان يعمل بشكل صحيح مرة على الأقلوحدة الطاقة. بالمناسبة ، الجهاز يدعم الاستبدال "الساخن" ، أي. يمكن استبدال مصدر الطاقة المحترق دون إيقاف تشغيل الخادم. نفس القصة مع محركات الأقراص الثابتة - يتم تكرارها فيما يسمى ب مجموعة RAIDعلاوة على ذلك، فإن مركز البيانات نفسه، حيث توجد الخوادم، عادة ما يتم تشغيله بواسطة خطين كهرباء مستقلين + مولد ديزل، فقط في حالة. تتيح لك هذه الإجراءات ضمان الحد الأقصى لوقت تشغيل موقع الويب.
وبما أننا نتحدث عن أجهزة الكمبيوتر، فهي... تقوم على العمليات المنطقية المعتبرة! يبدو هذا أمرًا لا يصدق، ولكن دعونا نفكر في الأمر - ما الذي يمكن أن "تفهمه" هذه "الأجهزة"؟ ويمكنهم فهم ما يلي:
هناك تيار في السلك - هذا وحدة منطقية;
تم إلغاء تنشيط السلك - هذا هو الصفر المنطقي.
وهذه الحقيقة هي السبب الرئيسي في أن قوة الاثنين هي الأساس لقياس حجم المعلومات:
إلخ.
أبسط "كمبيوتر" هو... مفتاح عادي - يقوم بتخزين المعلومات في 1 بت (صحيح أو خطأ بالمعنى أعلاه). المعالج المركزي للكمبيوتر الحديث لديه مئات الملايين (!)الترانزستورات، وأكثر البرامج تعقيدًا، "اللعبة الأكثر تعقيدًا" تتحلل إلى العديد من الأصفار والواحدات، والتي تتم معالجتها باستخدام العمليات المنطقية الأولية!
والعمليتين التاليتين اللتين سنتناولهما هما غير مستقلأي يمكن التعبير عنها بالنفي والوصل والانفصال:
التضمين والنتيجة المنطقية.
شرط ضروري. شرط كاف
المنعطفات المألوفة بشكل مؤلم للعبارة: "لذلك"، "من هذا يتبع هذا"، "إذا، إذاً"، إلخ.
ضمناصياغات (طَرد)و (عاقبة)فإنهم يسمون القول الذي هو باطل في الحالة الوحيدة - عندما يكون صحيحا - و - كاذبا: 
المعنى الأساسي للعملية هو هذا (اقرأ وانظر في الجدول من الأعلى إلى الأسفل):
الحقيقة وحدها يمكن أن تتبع الحقيقةولا يستطيع أن يتبع الكذب;
أي شيء يمكن أن يتبع من كذبة (أسفل السطرين)، حيث:
حقيقة الفرضية هي شرط كافلحقيقة الاستنتاج،
وحقيقة الاستنتاج هي شرط ضروريلحقيقة الفرضية.
دعونا نلقي نظرة على مثال محدد:
دعونا نجعل من التصريحات دلالة - انها تمطرو - الجو رطب بالخارج:
فإذا كان كلا القولين صحيحا، فإن المعنى الضمني صحيح أيضا. 
– إذا كانت السماء تمطر بالخارج، فهذا يعني أن الجو رطب بالخارج. وفي الوقت نفسه لا يمكن أن يكون الأمر كذلك كانت تمطر، أ كان الجو جافًا في الخارج :
لو ليس هناك أمطار، الذي - التي يمكن أن يكون جافًا في الخارج :
رطبة جدا :
(على سبيل المثال، لأن الثلج قد ذاب).
والآن دعونا نتأمل هذه الكلمات "المختومة". ضروريو قدرة:
المطر هو كافٍشرط أن تكون رطبة في الخارج، ومن ناحية أخرى، رطبة في الخارج ضروريللإشارة إلى أنها أمطرت (لأنه إذا كان جافًا، فهو بالتأكيد لم يمطر).
النتيجة العكسية غير قانونية: – لا تزال هناك رطوبة في الشارع ليس كافيلتبرير حقيقة المطر، وبالإضافة إلى ذلك، المطر ليس سببا ضروريا للرطوبة (لأن البرد مثلاً قد يمر ويذوب).
يبدو أن الأمر يجب أن يكون واضحًا، ولكن في حالة وجود بعض الأمثلة الإضافية:
- التعرف على كيفية الأداء العمليات مع المصفوفات, ضروريتكون قادرة على إضافة وضرب الأرقام. ولكن هذا، كما تتوقع بشكل صحيح، ليس كافي.
- التعرف على كيفية إجراء العمليات الحسابية كافٍإنهاء الصف التاسع. ولكن هذا ليس كذلك حالة ضروري"حتى جدتك يمكنها أن تعلمك كيفية العد، حتى في روضة الأطفال."
- للعثور على مساحة المثلث كافٍمعرفة جانبها والارتفاع المرسوم على هذا الجانب. ومع ذلك، مرة أخرى، هذا ليس كذلك ضروري، يمكن أيضًا إيجاد مساحة المثلث باستخدام ثلاثة أضلاع (صيغة هيرون) أو على سبيل المثال باستخدام منتج ناقلات.
– للقبول في الامتحان في الرياضيات العليا بيت ضروريتقرير عن الدورات الدراسية. لكن هذا ليس كافي- لأنك لا تزال بحاجة إلى اجتياز الاختبار.
- لكي تحصل المجموعة بأكملها على الائتمان كافٍإحضار علبة كونياك إلى المعلم. وهنا، كما هو سهل الافتراض، يختفي ضروريتعلم شيئًا ما =) ولكن، يرجى ملاحظة أن التحضير ليس ممنوعًا على الإطلاق؛)
وهل هناك شروط ضرورية وفي نفس الوقت كافية؟ بالتأكيد! وقريبا جدا سوف نصل إليهم. والآن عن مبدأ مهم في الرياضيات:
المنطق الرياضي رسمي
إنها مهتمة بصدق أو زيف البيانات، ولكن ليس محتواها! لذلك، إذا جعلنا المعنى إذا كانت السلاحف لا تطير، فإن اثنين واثنان يساوي أربعة.، ثم سيكون صحيحا! وبعبارة أخرى، يمكن تبرير أي بيان صحيح بأي حقيقة (السطر الأول من الجدول)ومن وجهة نظر المنطق الرسمي سيكون صحيحا!
لكن الوضع مع فرضية خاطئة هو أكثر إثارة للاهتمام: أي كذبة يمكن أن تبرر أي شيء - الحقيقة والباطل:
– إذا كان القمر مربعا، إذن؛
- إذا كانت طيور البطريق ترتدي أحذية من اللباد، فإن السلاحف ترتدي النعال.
و ماذا؟ - حسب الجدول كلا العبارتين صحيحتين!
وتسمى هذه الحقائق مفارقة ضمناولكن في الواقع، بالطبع، نحن نفكر في أمثلة منطقية من وجهة نظر منطق المحتوى الخاص بنا.
ونقطة أخرى مهمة للغاية: غالبًا ما تتم الإشارة إلى التضمين بواسطة رمز (اقرأ أيضًا "لذلك" "يترتب على هذا")، والتي نستخدمها أيضًا عند حل المشكلات وإثبات النظريات وما إلى ذلك. و هنا نحن نتحدث عن مصادفة التسميات- ما نستخدمه في الحسابات الرياضية "العادية"، بالمعنى الدقيق للكلمة، ليس ضمنا. ماهو الفرق؟ عندما نحل مشكلة ونكتب ذلك ("من يلي يكون")، ثم نفترض البيان معروف أنه صحيحبل ونستنتج منه حقيقة أخرى. في المنطق الرياضي يسمى هذا نتيجة منطقية. عادةً ما تخضع النتيجة للتبرير، وبالتالي، عند إعداد العمل، حاول دائمًا شرح البديهيات والنظريات والمسائل التي تم حلها وما إلى ذلك. الذي استخدمته لهذا الإخراج أو ذاك.
النظرية، في جوهرها، هي أيضًا نتيجة منطقية: تعتمد حالتها على حقيقيالطرود 
(البديهيات والنظريات المثبتة مسبقًا وما إلى ذلك). فالبرهان يثبت حقيقة النتيجة، ولا يمكن استخدام الاستدلال الخاطئ في هذه العملية.
تسمى نظرية غير مثبتة فرضية، وهناك خياران: إما أن يستنتج الحقيقة من الحقيقة ويمثل نظرية، أو أن الفرضية غير صحيحة، أي. من العديد من المقدمات الحقيقية 
تليها "لا يكون": . وفي حالة التفنيد، استنتاج تافه مثل " فرضية إيفان بيتروف غير صحيحة"ولكن في بعض الأحيان يكون هذا أيضًا مكلفًا للغاية - أذهب خلفها، القراء الأعزاء!
دعونا نعتبر كمثال، بالطبع، ليس نظرية ضخمة، ولكن بيان يتطلب، وإن كان بسيطا، تبريرا. على الرغم من أنه لن يكون هناك أيضًا =) =):
- العدد يقبل القسمة على 4;
- العدد يقبل القسمة على 2.
ومن الواضح أن النتيجة حقيقيأي أنه من حقيقة أن الرقم يقبل القسمة على 4، فإنه يتبع أنه يقبل القسمة على 2. وبناء على ذلك، فإن الاستنتاج المعاكس هو كذبة:
وفي الوقت نفسه، أود أن ألفت انتباهكم مرة أخرى إلى حقيقة أن الفرضية تم افتراضها في البداية على أنها حقيقة (على عكس التضمين، حيث يمكن أن يكون كاذبا).
للحصول على نتائج منطقية، يتم استخدام المفاهيم أيضًا ضروريو الاكتفاء، سأقوم بنسخ سطرين من الأعلى:
حقيقة الفرضية هي شرط كافلحقيقة الاستنتاج،
حقيقة الاستنتاج هي شرط ضروريلحقيقة الفرضية.
في حالتنا هذه:
قابلية قسمة العدد على 4 هي كافٍشرط أن يكون قابلاً للقسمة على 2. ومن ناحية أخرى، فإن قابلية القسمة على 2 هي ضروريشرط قابلية القسمة على 4
وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن أيضًا كتابة المثال المدروس في شكل تضمين:
(باستخدام الجدول، قم بتحليل جميع التخطيطات بنفسك)
لكن بشكل عام، "نقل المفهوم" غير صحيح! أي أننا إذا كنا نتحدث عن حقيقة أن هذا لا يعني أن المعنى الضمني سيكون صحيحا. وسأقدم مثل هذا المثال في الفقرة الأخيرة. وتحتاج إلى اجتياز 3 اختبارات (وإلا لن يتم تمرير الجلسة)وفي نفس الوقت هذا كافٍ (لأنك لا تحتاج إلى القيام بأي شيء آخر).
خصوصية التكافؤ هو أن إما كلاهما، أو لا شئ، على سبيل المثال:
ترفع بيتيا الحديد إذا رقصت ماشا على الطاولة فقط
هذا يعني أن بيتيا هي التي ترفع الأثقال وأن ماشا ترقص على الطاولة، أو أنهما مستلقيان على الأريكة، بيتر، أنت تستحق ذلك! =) بيتيا وماشا ودودان للغاية. الآن يبدو أن هناك عبارة مماثلة بدون "ثم وبعد ذلك فقط":
ترفع بيتيا الأثقال بينما ترقص ماشا على الطاولة
لكن المعنى تغير إلى حد ما: هنا يمكننا أن نفترض أن بيتيا ترفع أحيانًا الحديد بدون ماشا، ومن ناحية أخرى، ماشا "لا تهتم" بما إذا كانت بيتيا تتأرجح أثناء رقصها.
هذه هي قوة الشرط الضروري والكافي! - يوحد وينظم =)
...كنت أرغب في توزيع الأدوار بالعكس من أجل المتعة، ولكن بعد ذلك غيرت رأيي... ومع ذلك، لا يمكنك الترويج لشيء كهذا =)
عند الحديث عن الانضباط، فإن النهج العقلاني يفترض الضرورة والكفاية - عندما يفعل الشخص بالضبط ما هو ضروري وليس أكثر لتحقيق الهدف. هذا، بالطبع، يمكن أن يكون مملاً في الحياة اليومية، لكنه مرحب به للغاية في التفكير الرياضي، الذي سئمنا منه بالفعل:
يكون المثلث متساوي الأضلاع إذا وفقط إذا كانت زواياه متساوية
صياغات - مثلث متساوي الاضلاعو - لها زوايا متساويةيمكن ربطها بما يعادلها، ولكن من الناحية العملية فإننا نربطها دائمًا تقريبًا برمز ذو حدين النتيجة المنطقية تسمى الوتر
هذه النقطة هي في الواقع نظرية فيثاغورس، وصياغتها مألوفة لنا من المدرسة: "إذا كان المثلث قائم الزاوية، إذن".
2) في الخطوة الثانية له ما يبرره قدرة:
- وهنا لا بد من إثبات صحة المساواة كافٍبحيث يكون المثلث مستطيلاً.
مرة أخرى، لا يتم تخويف الطلاب بمثل هذه الكلمات، ويتم صياغة النقطة الثانية في شكل نظرية فيثاغورس العكسية: "إذا كان المثلث قائم الزاوية".
هناك الكثير من روابط "إذا وفقط إذا" في الرياضيات، ولقد قدمت للتو مخططًا قياسيًا لإثباتها. وبالطبع، قم دائمًا بتحليل ما يقصدونه "ضروري"
أنا في انتظاركم في الجزء الثاني من درسنا المثير، حيث سنتعرف على أهمها الصيغ والقوانين المنطقية، وكذلك حل المشكلات العملية. لحل المشكلات، ستحتاج إلى خمسة أقراص من هذه الصفحة، لذا أوصي بنسخها فورًا على قطعة من الورق حتى تكون أمام عينيك.
بالإضافة إلى ذلك، سأخبرك بسر دراسة المنطق الرياضي بنجاح؛)