لا يمكن أن تظل الكرة المطاطية أو فقاعة الصابون في حالة توازن إلا إذا كان ضغط الهواء بداخلها أكبر بمقدار معين من ضغط الهواء الخارجي. دعونا نحسب فائض الضغط الداخلي على الضغط الخارجي.

دع فقاعة الصابون لها نصف قطر، واترك الضغط الزائد بداخلها على الضغط الخارجي مساويًا لـ لزيادة حجم الفقاعة بمقدار صغير للغاية، تحتاج إلى بذل شغل يؤدي إلى زيادة الطاقة الحرة لسطح الجسم. الفقاعة ويساوي حيث a هو التوتر السطحي لفيلم الصابون، وهو حجم أحد أسطح الفقاعة (للتبسيط، نهمل الفرق بين نصف قطر الأسطح الداخلية والخارجية). لذلك لدينا المعادلة

على الجانب الآخر،

بالتعويض عن التعبيرات في المعادلة أعلاه نحصل على:

وفقًا لقانون التفاعل، فإن الضغط الذي تنتجه الفقاعة على الهواء الموجود داخلها له نفس القيمة.

إذا بدلًا من الفقاعة التي تحتوي على فيلمين سطحيين، فكرنا في قطرة لها سطح واحد فقط، فسنتوصل إلى نتيجة مفادها أن الفيلم السطحي يمارس ضغطًا على الجزء الداخلي من القطرة يساوي

أين هو نصف قطر الهبوط.

بشكل عام، بسبب انحناء الطبقة السطحية للسائل، يتم إنشاء ضغط زائد: إيجابي تحت السطح المحدب وسالب تحت السطح المقعر. وهكذا، في حالة وجود انحناء، تصبح الطبقة السطحية للسائل مصدر قوة موجهة من الجانب المحدب للطبقة إلى الجانب المقعر.

أرز. 226. لشرح صيغة لابلاس.

أعطى لابلاس صيغة للضغط الزائد مناسبة للحالة التي يكون فيها سطح السائل بأي شكل تسمح به الطبيعة الفيزيائية للحالة السائلة. تحتوي صيغة لابلاس على الشكل التالي:

حيث يكون لها المعنى التالي. في مرحلة ما على سطح السائل (الشكل 226)، عليك أن تتخيل خطًا عاديًا ومن خلال هذا الوضع الطبيعي ترسم طائرتين متعامدتين متبادلتين تتقاطعان مع سطح السائل على طول المنحنيات ونصف قطر انحناء هذه المنحنيات عند النقطة يتم الإشارة إلى النقطة بواسطة

من السهل أن نرى أنه من صيغة لابلاس للسطح المستوي للسائل نحصل على سطح كروي، كما استنتجنا سابقًا.

إذا كان السطح "على شكل سرج"، فستقع المنحنيات على جوانب متقابلة من المستوى المماس

النقطة فإن نصف القطر سيكون له علامات مختلفة. ثبت في الهندسة أنه بالنسبة لما يسمى الأسطح الدنيا، أي تلك التي لديها أصغر مساحة ممكنة لخط معين، فإن المجموع يساوي الصفر في كل مكان. تتميز أفلام الصابون التي تعمل على شد الدائرة السلكية بهذه الخاصية على وجه التحديد.

الرغوة عبارة عن مجموعة من الفقاعات التي لها جدران مشتركة. إن انحناء مثل هذا الجدار (المحدد بالتعبير + يتناسب مع فرق الضغط على جانبي الجدار.

إذا تم غمر نهاية قضيب زجاجي نظيف في ماء نظيف وتم إزالة القضيب، فسنرى قطرة ماء معلقة في النهاية. ومن الواضح أن جزيئات الماء تنجذب إلى جزيئات الزجاج أكثر من بعضها البعض.

وبالمثل، يمكن رفع قطرة من الزئبق باستخدام عصا نحاسية. في مثل هذه الحالات، يقال أن المادة الصلبة مبللة بالسائل.

سيكون الأمر مختلفًا إذا غمسنا قضيبًا زجاجيًا نظيفًا في الزئبق النقي أو إذا قمنا بخفض قضيب زجاجي مغطى بالدهون في الماء: هنا القضيب المأخوذ من السائل لا يحمل قطرة واحدة من هذا الأخير. ويقال في هذه الحالات أن السائل لا يبلل المادة الصلبة.

أرز. 227. توضح الأسهم اتجاهات القوى التي تؤثر بها الطبقة السطحية على عمود السائل الموجود تحتها.

إذا غمرت أنبوبًا زجاجيًا ضيقًا ونظيفًا في الماء، فإن الماء الموجود في الأنبوب سيرتفع إلى ارتفاع معين متحديًا الجاذبية (الشكل 227، أ). تسمى الأنابيب الضيقة الشعيرات الدموية، أو الشعيرات الدموية، ومن هنا تسمى الظاهرة نفسها الشعرية. السوائل التي تبلل جدران الأنبوب الشعري تخضع للارتفاع الشعري. تخضع السوائل التي لا تبلل جدران الشعيرات الدموية (على سبيل المثال، الزئبق الموجود في أنبوب زجاجي)، كما هو موضح في الشكل. 227، ب، خفض. ارتفاع وانخفاض الشعيرات الدموية أكبر، كلما كانت الشعيرات الدموية أضيق.

يحدث ارتفاع وانخفاض الشعيرات الدموية بسبب الضغط الزائد الذي ينشأ بسبب انحناء سطح السائل. في الواقع، في الأنبوب الذي يتم ترطيبه بسائل، يشكل السائل هلالة مقعرة. بحسب ما قيل

في الفقرة السابقة، سيتطور على سطح هذا الغضروف المفصلي قوة موجهة من الأسفل إلى الأعلى، وستدعم هذه القوة عمودًا من السائل في الأنبوب على الرغم من تأثير الجاذبية. على العكس من ذلك، في الأنبوب الذي لا يبلل بالسائل، سوف ينتج هلالة محدبة؛ سيعطي قوة هبوطية، وبالتالي خفض مستوى السائل،

دعونا نستنتج العلاقة بين التوتر السطحي للسائل وكثافته ونصف قطر الأنبوب وارتفاع العمود الصاعد في الأنبوب. دع السائل "يبلل تمامًا" جدران الأنبوب (مثل الماء في أنبوب زجاجي)، بحيث يكون سطح السائل مماسًا لسطح الأنبوب عند نقطة التقاء الأنبوب. يحدث هذا التلامس على طول كفاف يبلغ طوله بسبب التوتر السطحي، سيولد الكفاف قوة وهذه القوة المطبقة على العمود ستوازن قوة جاذبيته، حيث تساوي تسارع الجاذبية.

هكذا،

أي أن ارتفاع الارتفاع الشعري يتناسب مع التوتر السطحي ويتناسب عكسيا مع نصف قطر الأنبوب وكثافة السائل.

يمكن الحصول على نفس الصيغة (11) لارتفاع الشعيرات الدموية نتيجة لصيغة لابلاس (10) أو (في حالة السطح المتماثل قيد النظر) الصيغة (9). يمكن للمرء أن يفكر على النحو التالي: في السائل تحت سطح مقعر، يتم تقليل الضغط بمقدار، لذلك، في حالة توازن، عندما يكون الضغط على مستوى السطح الحر للسائل المسكوب في الوعاء مساويا للضغط؛ السائل الموجود في الشعيرات الدموية عند نفس المستوى، يجب أن يكون لعمود السائل في الشعيرات الدموية ارتفاع بحيث يوازن الضغط عجز الضغط الناتج عن تقعر سطح الهلالة. ومن هنا جاءت الصيغة (11).

وبمنطق مماثل، نحن مقتنعون بأنه عندما "لا يبلل السائل على الإطلاق" جدران الشعيرات الدموية، فإنه في حالة التوازن سيكون في الشعيرات الدموية عند مستوى منخفض بارتفاع تحدده نفس الصيغة (11).

يعد قياس الارتفاع الشعري أحد الطرق البسيطة لتحديد قيمة أ.

في التين. يوضح الشكل 228 الارتفاع الشعري للسائل بين لوحين مما يشكل زاوية ثنائية السطوح. ليس من الصعب أن نتصور أن السائل المتصاعد سيكون محدودا في الأعلى

مقارنة مبالغ فيها؛ ستكون الخطوط المقاربة لهذا القطع الزائد هي حواف الزاوية ثنائية السطوح والخط الواقع على مستوى السائل في الوعاء.

دعونا نفكر في ظروف توازن السائل الملامس لجدار صلب (الشكل 229). دعونا نشير إلى الطاقة الحرة الزائدة لكل سنتيمتر مربع من سطح جسم صلب 3 يحد الفراغ أو الغاز 2 بواسطة عندما تنتشر فوقه طبقة من أي سائل، تبلل سطح جسم صلب، فإن الواجهة الصلبة والغازية يتم استبدالها بالواجهة الصلبة والسائلة، وستكون الطاقة الحرة لهذا السطح الجديد مختلفة، ومن الواضح أن النقصان في الطاقة الحرة لكل سنتيمتر مربع من سطح الجسم الصلب يساوي عمل القوى تحت التأثير. يتحرك منها 1 سم من محيط الفيلم السائل مسافة 1 سم في الاتجاه العمودي على محيط الفيلم. ولذلك، يمكن اعتبار الفرق كقوة مطبقة على 1 سم من محيط الفيلم السائل، وتؤثر بشكل عرضي على سطح المادة الصلبة وتتسبب في تحرك السائل على طول سطح المادة الصلبة. ومع ذلك، فإن انتشار السائل فوق سطح الجسم الصلب يكون مصحوبًا بزيادة في السطح بين السائل 1 والفراغ أو الغاز 2، وهو ما يمنعه التوتر السطحي للسائل في الحالة العامة، عندما يكون الجسم صلبًا لا يتم ترطيب الجسم بالكامل بالسائل، ويتم توجيه القوة (كما هو موضح في الشكل 229، أ) تحت زاوية معينة إلى سطح الجسم الصلب؛ وتسمى هذه الزاوية زاوية الاتصال. ومن ثم نرى أن السائل المجاور لجسم صلب سيكون في حالة توازن عندما

ومن هذا نجد أن زاوية التلامس التي يلتقي عندها السطح الحر للسائل مع السطح في حالة التوازن

أرز. 228. الارتفاع الشعري للسائل بين الصفائح يشكل زاوية ثنائية السطوح.

أرز. 229. السائل يبلل جدارًا صلبًا (أ)؛ لا يبلل الجدار الصلب

الجسم الصلب، يتم تحديده بواسطة الصيغة

ومن معنى اشتقاق الصيغة (12)، يتضح أن هذه الصيغة تظل صالحة للحالة التي لا يبلل فيها السائل المادة الصلبة (شكل 229، ب)؛ عندها ستكون زاوية التلامس منفرجة؛ يعني غياب الترطيب أن (أي أن الطاقة الحرة لجسم صلب عند تفاعله مع الفراغ أو الغاز أقل منها عند اتصال نفس الجسم بالسائل؛ وبعبارة أخرى، في هذه الحالة، عندما يتحرك السائل على طول سطح الجسم الصلب، لن يكون هناك أي عمل يتم تنفيذه، ولكن على العكس من ذلك، يجب بذل العمل من أجل تنفيذ مثل هذه الحركة للسوائل).

مع التبلل الكامل، تعتمد زاوية التلامس ومع الغياب التام للتبلل، على طبيعة المواد الملامسة وعلى درجة الحرارة. إذا قمت بإمالة جدار الوعاء، فإن زاوية التلامس لا تتغير.

تشرح الصيغة (12) شكل القطرة الموجودة على مستوى أفقي. على دعامة صلبة مبللة بسائل، تأخذ القطرة الشكل الموضح في الشكل. 230؛ إذا لم يتم ترطيب الدعامة، فسيتم الحصول على شكل القطرة الموضح في الشكل. 231، حيث زاوية الاتصال منفرجة.

أرز. 230. قطرة من السائل المبلّل.

أرز. 231. قطرة من سائل غير مبلّل.

يتم ترطيب الزجاج النظيف تمامًا بالماء والكحول الإيثيلي وكحول الميثيل والكلوروفورم والبنزين. بالنسبة للزئبق على الزجاج النظيف، تكون زاوية التلامس 52 درجة (للقطرة الطازجة 41 درجة)، للتربنتين 17 درجة، للأثير 16 درجة.

عندما يبلل السائل الحامل تمامًا، لا تظهر أي قطرات، ولكن ينتشر السائل على السطح بأكمله. يحدث هذا، على سبيل المثال، مع قطرة ماء على طبق زجاجي نظيف تمامًا. لكن عادة ما تكون اللوحة الزجاجية متسخة إلى حد ما، مما يمنع القطرة من الانتشار ويخلق زاوية اتصال قابلة للقياس.

أرز. 232. قطرة الزيت على الماء

يمكن أيضًا تطبيق الاعتبارات التي تم على أساسها اشتقاق الصيغة على الحالة عندما يكون لدينا سائل ثانٍ بدلاً من الجسم الصلب، على سبيل المثال، عندما تطفو قطرة زيت على سطح الماء (الشكل 232). لكن في هذه الحالة لم تعد اتجاهات القوى متعارضة؛ عندما يتلامس السائل مع مادة صلبة، فإن المكون الطبيعي للسطح

تتم موازنة التوتر بمقاومة الجدار الصلب، ولكن هذا لا يحدث عندما تتلامس السوائل؛ لذلك، في هذه الحالة، يجب كتابة شرط التوازن بشكل مختلف، أي تساوي القوة الكلية والمجموع الهندسي (مأخوذ بالإشارة المعاكسة) للقوى

على سبيل المثال، إذا طفا زيت الزيتون على الماء، فإن din/cm وdin/cm وdan/cm. وبالتالي، هنا يكون التوتر السطحي عند واجهة الهواء والماء أكبر من مجموع التوترات السطحية التي يمتلكها الزيت بالنسبة لكل من الهواء والماء؛ وبالتالي سيكون لدينا انتشار غير محدود للانخفاض. ويصل سمك طبقة الزيت إلى حجم جزيء واحد (حوالي سم)، ومن ثم تبدأ الطبقة بالتفكك. لكن إذا تلوثت المياه، يصبح التوتر السطحي لها أقل، ومن ثم قد تبقى قطرة كبيرة من الزيت على السطح بعد انتشار طبقة رقيقة جدًا من الزيت عبر الماء.

السائل الذي يخترق، بسبب عمل القوى الجزيئية، في فجوة رقيقة بين سطحين من المواد الصلبة له تأثير إسفين على هذه الأسطح. تم إثبات تأثير الإسفين لطبقات رقيقة من السائل تجريبياً من خلال التجارب الماهرة التي أجراها البروفيسور. B. V. Deryagin، الذي طور أيضًا نظرية هذه الظاهرة وشرح تأثير Rehbinder على أساس عمل إسفين السائل (§ 46).

دعونا نحل المشكلة التالية (مشكلة باناخ). يحمل شخص صندوقين من أعواد الثقاب (60 عود كبريت لكل منهما) في جيبه، وكلما احتاج إلى عود كبريت، يأخذ الصندوق بشكل عشوائي ويخرج عود ثقاب. ما هو احتمال أنه عندما يكون الصندوق الأول فارغًا، سيظل هناك 20 تطابقًا متبقيًا في الصندوق الثاني؟ يمكن اعتبار اختيار الصندوق بمثابة تجربة مستقلة يتم فيها اختيار المربع الأول مع الاحتمالية. إجمالي التجارب التي تم إجراؤها ن= 60+40=100، وفي هذه المائة تجربة يجب اختيار المربع الأول 60 مرة. احتمال هذا هو:

.

من السجل يتضح أنه كبير نمن الصعب استخدام صيغة برنولي بسبب الحسابات المعقدة. هناك صيغ تقريبية خاصة تسمح لك بإيجاد الاحتمالات
، لو نعظيم. يتم إعطاء إحدى هذه الصيغ من خلال النظرية التالية.

نظرية 2.1. (لابلاس المحلية ). إذا كان في مخطط برنولي
، ثم احتمال وقوع الحدث أسوف يأتي بالضبط كمرات، يرضي لكبيرة ننسبة

أين
.

للراحة، نقدم الوظيفة
هي دالة لابلاس المحلية، والتي يمكن من خلالها كتابة نظرية لابلاس على النحو التالي:

هناك جداول وظائف خاصة
، والتي بموجبها لأي قيمة:
يمكنك العثور على قيمة الوظيفة المقابلة. تم الحصول على هذه الجداول من خلال توسيع الوظيفة
في صف واحد.

هندسيا، هذه النتيجة تعني أنه بالنسبة للكبير نيتناسب مضلع التوزيع جيدًا مع الرسم البياني للدالة الموجودة على اليمين في الصيغة (الشكل 2.3) وبدلاً من قيمة الاحتمال الحقيقية
ممكن للجميع كخذ قيمة الدالة عند نقطة ما ك.

أرز. 2.3. وظيفة لابلاس المحلية

دعنا نعود الآن إلى المشكلة. وباستخدام الصيغة (2.1) نجد:

,

أين هي القيمة
تحدد من الجدول.

2.2.2. نظرية لابلاس التكاملية

نظرية 2.2(تكامل لابلاس) . احتمال أن في الدائرة ناختبارات مستقلة سيحدث منها الحدث ك 1 قبل ك 2 مرات متساوية تقريباً

ص ن (ك 1
ك 2 )
,

– دالة لابلاس التكاملية والتي تم تجميع الجداول الخاصة بها. وظيفة و(خ)غريب: Ф(-x)=-Ф(x)و F(X 4)=0,5.

دعونا ننظر في بيان آخر دون دليل.

انحراف التردد النسبي من الاحتمال صالخامس نالاختبارات المستقلة تساوي

(

.

تعليق.سيتم مناقشة الأساس المنطقي لهذه الحقائق بشكل أكبر في القسم 7 (الأقسام 7.2 و7.3). تسمى نظريات لابلاس أحيانًا بنظريات موافر-لابلاس.

مثال 2.3.

احتمال وقوع حدث في كل تجربة من التجارب المستقلة الـ 900 هو 0.5. 1) ابحث عن احتمال وقوع الحدث من 400 إلى 500 مرة، 2) ابحث عن احتمال أن ينحرف التكرار النسبي لحدوث الحدث عن احتماله بالقيمة المطلقة بما لا يزيد عن 0.02.

حل

1) ر 900 (400<ك<500)=
=

2)

=

2.3. صيغة بواسون

إذا ثبتنا عدد التجارب نواحتمال وقوع حدث في تجربة واحدة رالتغيير، فإن مضلع التوزيع سيكون له مظهر مختلف اعتمادًا على القيمة ر(الشكل 2.4). بالقيم ص، بالقرب من 1/2، يكون المضلع متماثلًا تقريبًا ويتناسب بشكل جيد مع الرسم البياني المتماثل لدالة لابلاس. ولذلك، فإن صيغة لابلاس التقريبية تعطي دقة جيدة.

للصغار ر(في الممارسة العملية أقل ) التقريب ضعيف بسبب عدم تناسق مضلع التوزيع. لذلك، تنشأ مهمة إيجاد صيغة تقريبية لحساب الاحتمالات
في حالة كبيرة نوصغيرة ر. الجواب على هذا السؤال يأتي من صيغة بواسون.

لذلك، دعونا نفكر في مخطط اختبار مستقل فيه نكبير (كلما كان ذلك أفضل)، و رالقليل (كلما كان ذلك أفضل). دعونا نشير نر=λ . إذن، وفقًا لصيغة برنولي، لدينا

.

المساواة الأخيرة صحيحة لأن
(الحد الثاني الملحوظ). عند الحصول على صيغة الحدث الأكثر احتمالية ك 0 تم أخذ نسبة الأرجحية بعين الاعتبار. ويترتب على ذلك أن

وهكذا متى كالعديد منها أصغر نلدينا علاقة تكرارية

.

ل ك=0 لنأخذ في الاعتبار النتيجة التي تم الحصول عليها سابقًا:
، ثم

………………

لذا، إذا كانت n كبيرة في تصميم اختبار مستقل، و رقليلا، ثم يحدث صيغة بواسون

ر ن (ل)
، حيث π = نر.

يُسمى قانون بواسون أيضًا بقانون الأحداث النادرة.

مثال 2.4.

احتمال إنتاج جزء معيب هو 0.02. الأجزاء معبأة في صناديق من 100 قطعة. ما هو احتمال أن أ) لا توجد أجزاء معيبة في الصندوق، ب) يوجد أكثر من قطعتين معيبتين في الصندوق؟

حل

أ) لأن نكبيرة و رالقليل، لدينا ; ر 100 (0)
;

ب)ر 100 (ك>2)= 1-ر 1-

وهكذا، في تصميم تجربة مستقلة لحساب الاحتمال ر ن (ك) ينبغي استخدام صيغة برنولي إذا نصغيرة، ولكن إذا نكبير، ثم حسب الحجم ريتم استخدام إحدى صيغ لابلاس التقريبية أو صيغة بواسون.

يكون الضغط الموجود مباشرة أسفل السطح المحدب للسائل أكبر من الضغط الموجود أسفل السطح المستوي للسائل، ويكون الضغط الموجود أسفل السطح المقعر للسائل أقل من الضغط الموجود أسفل السطح المستوي.

حساب الضغط تحت سطح سائل كروي

إنها طبقة رقيقة من الماء لها سطحان محددان: داخلي وخارجي. يمكن اعتبار نصف قطر انحناء هذه الأسطح هو نفسه، لأن سمك الفيلم أصغر بآلاف المرات من نصف قطر الفقاعة. يتم تصريف الماء تدريجياً من هذه الطبقة، وتصبح الطبقة أرق وتنكسر في النهاية. لذلك لا تطفو الفقاعات على الماء لفترة طويلة: من جزء من الثانية إلى عشرات الثواني. تجدر الإشارة إلى أنه مع ترقق طبقة الماء، يظل حجم الفقاعة دون تغيير تقريبًا.

دعونا نحسب الضغط الزائد في مثل هذه الفقاعة. للتبسيط، نعتبر نصف الكرة الأرضية أحادي الطبقة نصف قطره r يقع على سطح أفقي؛ وسنفترض أيضًا أنه لا يوجد هواء بالخارج. يتم تثبيت الفيلم على السطح المظلل عن طريق الترطيب (الشكل 2.3). في هذه الحالة، على طول حدود التلامس مع السطح، تعمل عليه قوة توتر سطحي مساوية

أين هو معامل التوتر السطحي للسائل،

طول واجهة سطح الفيلم يساوي .

أي أنه لدينا:

.

يتم توجيه هذه القوة المؤثرة على الفيلم، ومن خلاله على الهواء، بشكل عمودي على السطح (انظر الشكل 2.3). لذلك يمكن حساب ضغط الهواء على السطح وبالتالي داخل الفقاعة على النحو التالي:

حيث F هي قوة التوتر السطحي، وتساوي،

س - مساحة السطح : .

بالتعويض عن قيمة القوة F والمساحة S في صيغة حساب الضغط، نحصل على:

وأخيرا.

في مثالنا مع فقاعة هواء على سطح الماء، يكون الغشاء مزدوجًا، وبالتالي فإن الضغط الزائد يساوي .

يوضح الشكل 2.4 أمثلة على الأسطح الكروية أحادية الطبقة التي يمكن أن تتشكل على سطح السائل. يوجد فوق السائل غاز عند الضغط.

الشعرية (من اللاتينية الشعرية - الشعر)، التأثير الشعري هو ظاهرة فيزيائية تتكون من قدرة السوائل على تغيير المستوى في الأنابيب، والقنوات الضيقة ذات الشكل التعسفي، والأجسام المسامية. يحدث ارتفاع السائل في الحالات التي تكون فيها القنوات مبللة بالسوائل، مثلا الماء في الأنابيب الزجاجية والرمل والتربة وغيرها. ويحدث انخفاض السائل في الأنابيب والقنوات التي لا تبلل بالسوائل، مثلا الزئبق في أنبوب زجاجي.

يعتمد النشاط الحيوي للحيوانات والنباتات والتقنيات الكيميائية والظواهر اليومية (على سبيل المثال، رفع الكيروسين على فتيل مصباح الكيروسين، ومسح الأيدي بمنشفة) على الشعيرية. يتم تحديد قدرة التربة الشعرية على معدل ارتفاع الماء في التربة ويعتمد على حجم الفراغات بين جزيئات التربة.

صيغة لابلاس

دعونا نفكر في فيلم سائل رقيق يمكن إهمال سمكه. وفي محاولة لتقليل طاقته الحرة، يخلق الفيلم فرقًا في الضغط من جوانب مختلفة. وهذا ما يفسر وجود فقاعات الصابون: حيث يتم ضغط الفيلم حتى يتجاوز الضغط داخل الفقاعة الضغط الجوي بمقدار الضغط الإضافي للفيلم. يعتمد الضغط الإضافي عند نقطة ما على السطح على متوسط ​​الانحناء عند هذه النقطة ويُعطى بواسطة صيغة لابلاس:

هنا R 1,2 هي أنصاف أقطار الانحناءات الرئيسية عند هذه النقطة. لديهم نفس الإشارة إذا كانت مراكز الانحناء المقابلة تقع على نفس الجانب من مستوى المماس عند نقطة ما، وإشارة مختلفة إذا كانت على جوانب مختلفة. على سبيل المثال، بالنسبة للكرة، فإن مراكز الانحناء عند أي نقطة على السطح تتطابق مع مركز الكرة، وبالتالي

بالنسبة لحالة سطح أسطوانة دائرية نصف قطرها R لدينا

احتمال أنه في n من التجارب المستقلة، في كل منها يكون احتمال وقوع حدث هو p(0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
جدول قيم الوظائف φ(x); بالنسبة للقيم السالبة لـ x، استخدم نفس الجدول (الدالة φ (x) زوجية: φ(-x) = φ(x)).

قد يقع الحدث مرة واحدة. احتمال وقوع هذا الحدث يساوي . أوجد احتمال وقوع الحدث:
تأتي مرة واحدة؛
أقل مرة واحدة؛
لا اقل مرة واحدة؛
أكثر مرة واحدة؛
لا أكثر مرة واحدة؛
لا اقل وليس أكثر مرة واحدة؛
سيحدث مرة واحدة على الأقل.
مخرجات التقرير:
الرقم الأرجح؛
احتمال أن ينحرف التكرار النسبي لحدوث حدث ما عن احتماليته بالقيمة المطلقة بما لا يزيد عن .

المثال رقم 1. في كل تجربة من 700 تجربة مستقلة، يقع الحدث A باحتمال ثابت قدره 0.35. أوجد احتمال وقوع الحدث A: أ) بالضبط 270 مرة؛ ب) أقل من 270 وأكثر من 230 مرة؛ ج) أكثر من 270 مرة.
حل.وبما أن عدد التجارب n = 700 كبير جدًا، فإننا نستخدم صيغ لابلاس.
أ) بالنظر إلى: n = 700، p = 0.35، k = 270.
دعونا نجد ص 700 (270). نحن نستخدم نظرية لابلاس المحلية.
نجد:

نجد قيمة الدالة φ(x) من الجدول:

ب) بالنظر إلى: ن = 700، ع = 0.35، أ = 230، ب = 270.
لنجد ص 700 (230< k < 270).
نستخدم نظرية لابلاس التكاملية (23)، (24). نجد:

نجد قيمة الدالة Ф(x) من الجدول:

ج) بالنظر إلى: ن = 700، ع = 0.35، أ = 270، ب = 700.
لنجد P 700 (ك > 270).
لدينا:

المثال رقم 2. في عملية تكنولوجية مستقرة في مصنع النسيج، تحدث 10 فواصل للخيوط لكل 100 مغزل في الساعة. تحديد: أ) احتمال حدوث 7 انقطاعات في الخيط على 80 مغزلًا خلال ساعة واحدة؛ ب) العدد الأكثر احتمالا لانكسار الخيط على 80 مغزل خلال ساعة.
حل.الاحتمال الإحصائي لكسر الخيط خلال ساعة هو p = 10/100 = 0.1، وبالتالي، q = 1 - 0.1 = 0.9؛ ن = 80؛ ك = 7.
وبما أن n كبيرة، يتم استخدام نظرية لابلاس المحلية (23). نحسب:

دعونا نستخدم الخاصية φ(-x) = φ(x)، ونجد φ(0.37) ≈ 0.3726، ثم نحسب الاحتمال المطلوب:

وبالتالي، فإن احتمال حدوث 7 فواصل للخيوط على 80 مغزلًا خلال ساعة هو 0.139 تقريبًا.
سيتم تحديد العدد الأكثر احتمالاً k 0 لوقوع حدث ما أثناء الاختبارات المتكررة بالصيغة (14). نجد: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.

المثال رقم 3. احتمال أن يكون الجزء من الدرجة الأولى هو 0.4. تم تصنيع 150 قطعة. أوجد احتمال وجود ٦٨ جزءًا من الدرجة الأولى بينها.

المثال رقم 4. احتمال وقوع حدث في كل من التجارب المستقلة هو p.
أوجد احتمال وقوع الحدث n مرات إذا تم إجراء اختبارات m.
قدم إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.
ص=0.75، ن=87، م=120

خصائص الحالة السائلة. طبقة سطحية. التوتر السطحي. ترطيب. صيغة لابلاس. الظواهر الشعرية.

السوائل هي مواد تكون في حالة مكثفة، وهي حالة وسطية بين الحالة البلورية الصلبة والحالة الغازية.

وتقتصر منطقة تواجد السوائل من جهة الحرارة العالية بانتقالها إلى الحالة الغازية، ومن جهة درجة الحرارة المنخفضة بانتقالها إلى الحالة الصلبة.

في السوائل، تكون المسافة بين الجزيئات أصغر بكثير منها في الغازات (كثافة السوائل أكبر بحوالي 6000 مرة من كثافة البخار المشبع البعيد عن درجة الحرارة الحرجة) (الشكل 1).

رسم بياني 1. بخار الماء (1) والماء (2). يتم تكبير جزيئات الماء حوالي 5 10 7 مرات

وبالتالي فإن قوى التفاعل بين الجزيئات في السوائل، على عكس الغازات، هي العامل الرئيسي الذي يحدد خصائص السوائل. ولذلك، فإن السوائل، مثل المواد الصلبة، تحتفظ بحجمها ولها سطح حر. تتميز السوائل، مثل المواد الصلبة، بانضغاطية منخفضة للغاية ومقاومة للتمدد.

ومع ذلك، فإن قوى الترابط بين جزيئات السائل ليست قوية بحيث تمنع طبقات السائل من الانزلاق بالنسبة لبعضها البعض. ولذلك، فإن السوائل، مثل الغازات، لها سيولة. وفي مجال الجاذبية تأخذ السوائل شكل الوعاء الذي تصب فيه.

يتم تحديد خصائص المواد من خلال حركة وتفاعل الجزيئات التي تتكون منها.

في الغازات، تتضمن الاصطدامات بشكل رئيسي جزيئين. وبالتالي فإن نظرية الغازات تختزل إلى حل مسألة الجسمين التي يمكن حلها بالضبط. في المواد الصلبة، تخضع الجزيئات لحركة اهتزازية عند عقد الشبكة البلورية في مجال دوري أنشأته جزيئات أخرى. يمكن أيضًا حل مشكلة سلوك الجسيمات في المجال الدوري بدقة.

في السوائل، كل جزيء محاط بعدة جزيئات أخرى. ومشكلة من هذا النوع (مشكلة الأجسام المتعددة)، بشكل عام، بغض النظر عن طبيعة الجزيئات وطبيعة ترتيبها، لم يتم حلها بعد بشكل دقيق.

ساعدت التجارب على حيود الأشعة السينية والنيوترونات والإلكترونات في تحديد بنية السوائل. على عكس البلورات، التي يتم فيها ملاحظة ترتيب بعيد المدى (ترتيب منتظم للجزيئات بكميات كبيرة)، في السوائل الموجودة على مسافات تتراوح بين 3-4 أقطار جزيئية، يتم انتهاك ترتيب ترتيب الجزيئات. وبالتالي، يوجد في السوائل ما يسمى بالترتيب قصير المدى في ترتيب الجزيئات (الشكل 2):

الصورة 2. مثال على الترتيب قصير المدى للجزيئات السائلة والترتيب بعيد المدى لجزيئات المادة البلورية: 1 - الماء؛ 2 – الجليد

في السوائل، تخضع الجزيئات لاهتزازات صغيرة ضمن حدود محدودة بالمسافات بين الجزيئات. ومع ذلك، من وقت لآخر، ونتيجة للتقلبات، يمكن للجزيء أن يتلقى طاقة من الجزيئات المجاورة تكفي للانتقال إلى موضع توازن جديد. سيبقى الجزيء في وضع التوازن الجديد لبعض الوقت حتى يتلقى مرة أخرى، نتيجة للتقلبات، الطاقة اللازمة للقفز. يقفز الجزيء على مسافة مماثلة لحجم الجزيء. تمثل الاهتزازات التي تفسح المجال للقفزات الحركة الحرارية للجزيئات السائلة.

ويسمى متوسط ​​الوقت الذي يكون فيه الجزيء في حالة توازن وقت الاسترخاء. مع ارتفاع درجة الحرارة، تزداد طاقة الجزيئات، وبالتالي يزيد احتمال التقلبات، بينما يقل زمن الاسترخاء:

(1)

أين τ - وقت الاسترخاء، ب- معامل له معنى فترة اهتزاز الجزيء، دبليو – طاقة التفعيلالجزيئات، أي. الطاقة اللازمة لتحقيق قفزة جزيئية.

يحدث الاحتكاك الداخلي في السوائل، كما في الغازات، عندما تتحرك طبقات السائل بسبب انتقال الزخم في الاتجاه الطبيعي إلى اتجاه حركة طبقات السائل. ويحدث أيضًا انتقال الزخم من طبقة إلى أخرى أثناء القفزات الجزيئية. ومع ذلك، يتم نقل الزخم بشكل أساسي بسبب تفاعل (جاذبية) جزيئات الطبقات المجاورة.

وفقًا لآلية الحركة الحرارية للجزيئات السائلة، فإن اعتماد معامل اللزوجة على درجة الحرارة له الشكل:

(2)

أين أ- معامل يعتمد على مسافة قفز الجزيء، وتكرار اهتزازاته ودرجة حرارته، دبليو – طاقة التفعيل.

المعادلة (2) - صيغة فرنكل-أندرادي. يتم تحديد الاعتماد على درجة الحرارة لمعامل اللزوجة بشكل أساسي من خلال العامل الأسي.

تسمى القيمة المتبادلة للزوجة بالسيولة. مع انخفاض درجة الحرارة، تزداد لزوجة بعض السوائل لدرجة أنها تتوقف عمليًا عن التدفق، وتشكل أجسامًا غير متبلورة (الزجاج والبلاستيك والراتنجات وما إلى ذلك).

يتفاعل كل جزيء سائل مع الجزيئات المجاورة التي تقع ضمن نطاق قواه الجزيئية. نتائج هذا التفاعل ليست واحدة بالنسبة للجزيئات الموجودة داخل السائل وعلى سطح السائل. يتفاعل الجزيء الموجود داخل السائل مع الجزيئات المجاورة المحيطة به وتكون القوة المحصلة المؤثرة عليه صفرًا (الشكل 3).

تين. 3. القوى المؤثرة على الجزيئات السائلة

جزيئات الطبقة السطحية تحت ظروف مختلفة. كثافة البخار فوق السائل أقل بكثير من كثافة السائل. لذلك، يتم التأثير على كل جزيء من الطبقة السطحية بواسطة قوة محصلة موجهة بشكل طبيعي إلى السائل (الشكل 3). تمارس الطبقة السطحية ضغطًا على بقية السائل مثل طبقة مرنة. تنجذب أيضًا الجزيئات الموجودة في هذه الطبقة إلى بعضها البعض (الشكل 4).

الشكل 4. تفاعل جزيئات الطبقة السطحية

يخلق هذا التفاعل قوى موجهة بشكل عرضي على سطح السائل وتميل إلى تقليل سطح السائل.

إذا تم رسم خط عشوائي على سطح السائل، فإن قوى التوتر السطحي سوف تؤثر على طول الخط العمودي على الخط والمماس للسطح. ويتناسب حجم هذه القوى مع عدد الجزيئات الموجودة على طول هذا الخط، وبالتالي يتناسب مع طول الخط:

(3)

أين σ - معامل التناسب، وهو ما يسمى معامل التوتر السطحي:

(4)

معامل التوتر السطحي يساوي عدديًا قوة التوتر السطحي المؤثرة على وحدة طول الكفاف الذي يحدد سطح السائل.

يتم قياس معامل التوتر السطحي بـ N/m. ضخامة σ ويعتمد ذلك على نوع السائل ودرجة الحرارة ووجود الشوائب. تسمى المواد التي تقلل التوتر السطحي نشط بشكل سطحي(الكحول والصابون ومسحوق الغسيل وغيرها).

لزيادة مساحة سطح السائل، يجب بذل الشغل ضد قوى التوتر السطحي. دعونا نحدد مقدار هذا العمل. يجب أن يكون هناك إطار به فيلم سائل (على سبيل المثال، صابون) وعارضة متحركة (الشكل 5).

الشكل 5. يكون الجانب المتحرك للإطار السلكي في حالة توازن تحت تأثير القوة الخارجية F ext وقوى التوتر السطحي الناتجة F n

لنقم بتمديد الفيلم بقوة F dx. بوضوح:

أين Fن = σL– قوة التوتر السطحي . ثم:

أين دي إس = إل دي إكس- زيادة مساحة سطح الفيلم. من المعادلة الأخيرة:

(5)

وبحسب (5) فإن معامل التوتر السطحي يساوي عددياً الشغل المطلوب لزيادة مساحة السطح بمقدار وحدة واحدة عند درجة حرارة ثابتة. من (5) يتضح أنه يمكن قياس σ بـ J/m 2.

إذا كان السائل يحد سائلًا أو مادة صلبة أخرى، فنظرًا لحقيقة أن كثافات المواد المتلامسة قابلة للمقارنة، لا يمكن تجاهل تفاعل جزيئات السائل مع جزيئات المواد المتاخمة له.

إذا كان التفاعل بين جزيئاتهما عند التلامس بين السائل والصلب أقوى من التفاعل بين جزيئات السائل نفسه، فإن السائل يميل إلى زيادة سطح التلامس وينتشر على سطح المادة الصلبة. في هذه الحالة السائل يبلل المادة الصلبة. إذا كان التفاعل بين جزيئات السائل أقوى من التفاعل بين جزيئات السائل والصلب، فإن السائل يقلل من سطح التلامس. في هذه الحالة السائل لا تبلل المواد الصلبة. على سبيل المثال: الماء يبلل الزجاج، لكنه لا يبلل البارافين؛ والزئبق يبلل الأسطح المعدنية، لكنه لا يبلل الزجاج.

الشكل 6. أشكال مختلفة للقطرة على سطح المادة الصلبة لحالات السوائل غير المبللة (أ) والمبللة (ب)

خذ بعين الاعتبار قطرة سائل على سطح مادة صلبة (الشكل 7):

الشكل 7. مخططات حساب اتزان القطرة على سطح جسم صلب لحالتي السوائل غير المبللة (أ) والمبللة (ب): 1 - غازية، 2 - سائلة، 3 - صلبة

يتم تحديد شكل القطرة من خلال تفاعل ثلاث وسائط: الغاز - 1، السائل - 2، والصلب - 3. كل هذه الوسائط لها حدود مشتركة - دائرة تحيط بالقطرة. طول كل عنصر دلفي هذا الكفاف، ستعمل قوى التوتر السطحي على: F 12 = σ 12 دل- بين الغاز والسائل، F 13 = σ 13 دل- بين الغاز والصلب، F 23 = σ 23 دل- بين السائل والصلب. لو دل= 1 م إذن F 12 = σ 12 , F 13 = σ 13 , F 23 = σ 23. دعونا نفكر في الحالة عندما:

هذا يعني انه<θ = π (الشكل 7، أ). الدائرة التي تحدد مكان تلامس السائل مع الجسم الصلب ستتقلص إلى نقطة ويأخذ القطر شكلاً إهليلجياً أو كروياً. هذه حالة عدم التبول الكامل. ويلاحظ أيضًا عدم التبول الكامل في حالة: σ 23 > σ 12 + σ 13 .

ستحدث حالة حافة أخرى إذا:

هذا يعني انه<θ = 0 (الشكل 7ب)، ويلاحظ التبول الكامل. سيتم أيضًا ملاحظة الترطيب الكامل في الحالة عندما: σ 13 > σ 12 + σ 23. في هذه الحالة، لن يكون هناك توازن، في أي قيم زاوية θ ، وسوف ينتشر السائل على سطح المادة الصلبة حتى الطبقة الأحادية الجزيئية.

إذا كان الهبوط في حالة اتزان، فإن محصلة جميع القوى المؤثرة على عنصر طول الكفاف تكون صفرًا. شرط التوازن في هذه الحالة هو:

الزاوية بين مماسات سطح المادة الصلبة وسطح السائل، والتي تقاس داخل السائل,تسمى زاوية الاتصال.

ويتم تحديد قيمته من (6):

(7)

لو σ 13 > σ 23، ثم كوس θ > 0، الزاوية θ حاد - يحدث ترطيب جزئي إذا σ 13 < σ 23، ثم كوس θ < 0 – угол θ حادة - يحدث عدم ترطيب جزئي. وبالتالي فإن زاوية التلامس هي قيمة تميز درجة ترطيب أو عدم ترطيب السائل

يؤدي انحناء سطح السائل إلى ضغط إضافي يعمل على السائل الموجود أسفل هذا السطح. دعونا نحدد مقدار الضغط الإضافي تحت السطح المنحني للسائل. دعونا نختار عنصر المساحة ∆ على سطح عشوائي من السائل س(الشكل 8):

الشكل 8. لحساب مقدار الضغط الإضافي

يا′ يا– طبيعي على السطح عند نقطة ما يا. دعونا نحدد قوى التوتر السطحي المؤثرة على العناصر الكنتورية أ.بو قرص مضغوط. قوى التوتر السطحي Fو F"، والتي تعمل على أ.بو قرص مضغوط، عمودي أ.بو قرص مضغوطوموجهة بشكل عرضي إلى السطح ∆ س. دعونا نحدد حجم القوة F:

دعونا نحلل القوة Fإلى عنصرين F 1 و و'. قوة F 1 موازية يا′ ياوتوجيهها إلى السائل. تعمل هذه القوة على زيادة الضغط على المناطق الداخلية للسائل (المكون الثاني يمد السطح ولا يؤثر على مقدار الضغط).

دعونا نرسم مستوىً عموديًا على ∆ سمن خلال النقاط م, ياو ن. ثم ر 1 – نصف قطر انحناء السطح في اتجاه هذا المستوى . دعونا نرسم مستوىً عموديًا على ∆ سوالطائرة الأولى. ثم ر 2 – نصف قطر انحناء السطح في اتجاه هذا المستوى . على العموم ر 1 ≠ ر 2. دعونا نحدد المكون F 1 . من الصورة يمكنك أن ترى:

دعونا نأخذ في الاعتبار أن:

(8)

قوة F′ دعونا نتحلل إلى نفس المكونين ونحدد المكون بالمثل F 2 (غير موضح في الشكل):

(9)

وبالاستدلال بالمثل، سنحدد مكونات القوى المؤثرة على العناصر مكيف الهواءو دينار بحريني، معتبرا ذلك بدلا من ذلك ر 1 سيكون ر 2:

(10)

دعونا نجد مجموع القوى الأربع المؤثرة على الكفاف اي بي دي سيوممارسة ضغط إضافي على المناطق الداخلية للسائل:

دعونا نحدد مقدار الضغط الإضافي:

لذلك:

(11)

تسمى المعادلة (11). صيغة لابلاس. يسمى الضغط الإضافي الذي يمارسه السطح المنحني للسائل على المناطق الداخلية للسائل ضغط لابلاس.

ومن الواضح أن ضغط لابلاس موجه نحو مركز انحناء السطح. لذلك، في حالة السطح المحدب، يتم توجيهه إلى داخل السائل ويضاف إلى الضغط الطبيعي للسائل. في حالة السطح المقعر، يكون السائل تحت ضغط أقل من السائل الموجود تحت سطح مستو، لأن يتم توجيه ضغط لابلاس إلى خارج السائل.

إذا كان السطح كروياً فإن: ر 1 = ر 2 = ر:

إذا كان السطح أسطوانياً فإن: ر 1 = ر, ر 2 = ∞:

إذا كان السطح مسطحا: ر 1 = ∞, ر 2 = ∞:

إذا كان هناك سطحين، على سبيل المثال، فقاعة صابون، فإن ضغط لابلاس يتضاعف.

ويرتبط بظاهرة التبول وعدم التبول ما يسمى ب الظواهر الشعرية. إذا تم إنزال أنبوب شعري (أنبوب ذو قطر صغير) في سائل، فإن سطح السائل في الشعرية يأخذ شكلاً مقعراً، قريباً من الكروي في حالة البلل، ومحدباً في حالة عدم البلل. تسمى هذه الأسطح هلالة.

الشعيرات الدموية هي تلك الأنابيب التي يكون نصف قطر الغضروف المفصلي فيها مساويًا تقريبًا لنصف قطر الأنبوب.

أرز. 9. الشعيرات الدموية في السوائل المبللة (أ) وغير المبللة (ب).

الشكل 10. ارتفاع السائل في الشعيرات الدموية في حالة البلل

في حالة الغضروف المفصلي المقعر، يتم توجيه الضغط الإضافي نحو مركز الانحناء خارج السائل. ولذلك فإن الضغط تحت الغضروف المفصلي أقل من الضغط تحت السطح المستوي للسائل في الوعاء بمقدار ضغط لابلاس:

ر- نصف قطر الغضروف المفصلي، ص- نصف قطر الأنبوب الشعري.

ونتيجة لذلك، فإن ضغط لابلاس سيؤدي إلى ارتفاع السائل في الشعيرات الدموية إلى هذا الارتفاع ح(الشكل 9) حتى يوازن الضغط الهيدروستاتيكي للعمود السائل ضغط لابلاس:

من المعادلة الأخيرة:

(12)

تسمى المعادلة (12). صيغة جورين. إذا لم يبلل السائل جدران الشعيرات الدموية، يكون الغضروف المفصلي محدبًا θ < 0, то жидкость в этом случае опускается ниже уровня жидкости в сосуде на такую же глубину ححسب الصيغة (12) (الشكل 9).