የትምህርት እቅድ.

1. ድርጅታዊ ጊዜ.

2. የቁሳቁስ አቀራረብ.

3. የቤት ስራ.

4. ትምህርቱን ማጠቃለል.

በክፍሎቹ ወቅት

I. ድርጅታዊ ጊዜ.

II. የቁሳቁስ አቀራረብ.

ተነሳሽነት.

የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ መስፋፋት አዳዲስ ቁጥሮችን (ምናባዊ) ወደ እውነተኛ ቁጥሮች ማከልን ያካትታል። የእነዚህ ቁጥሮች መግቢያ በእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ውስጥ የአሉታዊ ቁጥርን ሥር ለማውጣት የማይቻል በመሆኑ ነው.

የአንድ ውስብስብ ቁጥር ጽንሰ-ሐሳብ መግቢያ.

እውነተኛ ቁጥሮችን የምንሞላባቸው ምናባዊ ቁጥሮች በቅጹ ተጽፈዋል bi፣ የት እኔምናባዊ ክፍል ነው, እና እኔ 2 = - 1.

በዚህ ላይ በመመስረት, ውስብስብ ቁጥር የሚከተለውን ፍቺ እናገኛለን.

ፍቺ. ውስብስብ ቁጥር የቅጹ መግለጫ ነው። a+bi፣ የት ሀእና ለ- እውነተኛ ቁጥሮች. በዚህ ሁኔታ, የሚከተሉት ሁኔታዎች ተሟልተዋል.

ሀ) ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች a 1 + b 1 iእና a 2 + b 2 iከሆነ እና ከሆነ ብቻ እኩል a 1 = a 2, ለ 1 = ለ 2.

ለ) ውስብስብ ቁጥሮች መጨመር በደንቡ ይወሰናል.

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

ሐ) ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት በደንቡ ይወሰናል.

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

ውስብስብ ቁጥር ያለው አልጀብራ ቅርጽ.

በቅጹ ውስጥ ውስብስብ ቁጥር መጻፍ a+biየተወሳሰበ ቁጥር አልጀብራ ተብሎ ይጠራል፣ የት ሀ- እውነተኛ ክፍል; biምናባዊው ክፍል ነው, እና ለ- እውነተኛ ቁጥር.

ውስብስብ ቁጥር a+biየእሱ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቹ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ይቆጠራል። a = b = 0

ውስብስብ ቁጥር a+biበ ለ = 0ከእውነተኛ ቁጥር ጋር ተመሳሳይ እንደሆነ ይቆጠራል ሀ: a + 0i = አ.

ውስብስብ ቁጥር a+biበ ሀ = 0ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ተብሎ ይጠራል እና ይገለጻል። bi: 0 + bi = bi.

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች z = a + biእና = ሀ - ቢ, በምናባዊው ክፍል ምልክት ላይ ብቻ የሚለያዩ, conjugate ይባላሉ.

በአልጀብራ መልክ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ክዋኔዎች.

በአልጀብራ መልክ በተወሳሰቡ ቁጥሮች ላይ የሚከተሉትን ስራዎች ማከናወን ይችላሉ።

1) መደመር።

ፍቺ. የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምር z 1 = a 1 + b 1 iእና z 2 = a 2 + b 2 iውስብስብ ቁጥር ይባላል ዝ, ትክክለኛው ክፍል ከትክክለኛዎቹ ድምር ጋር እኩል ነው z 1እና z 2, እና ምናባዊው ክፍል የቁጥሮች ምናባዊ ክፍሎች ድምር ነው z 1እና z 2, ያውና z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

ቁጥሮች z 1እና z 2ውሎች ይባላሉ.

የተወሳሰቡ ቁጥሮች መጨመር የሚከተሉትን ባህሪያት አሉት.

1º ተለዋዋጭነት፡ z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2º ተያያዥነት፡ (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3)።

3º ውስብስብ ቁጥር -አ -ቢየተወሳሰበ ቁጥር ተቃራኒ ተብሎ ይጠራል z = a + bi. ውስብስብ ቁጥር, ከተወሳሰበ ቁጥር ተቃራኒ ዝ፣ ተጠቁሟል -ዝ. የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምር ዝእና -ዝከዜሮ ጋር እኩል: z + (-z) = 0

ምሳሌ 1፡ መደመርን ያከናውኑ (3 - እኔ) + (-1 + 2i).

(3 - እኔ) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) መቀነስ።

ፍቺከተወሳሰበ ቁጥር ቀንስ z 1ውስብስብ ቁጥር z 2 z፣ምንድን z + z 2 = z 1.

ቲዎረም. በውስብስብ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት አለ እና ልዩ ነው።

ምሳሌ 2፡ መቀነስ አከናውን። (4 - 2ይ) - (-3 + 2i).

(4 - 2ይ) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.

3) ማባዛት.

ፍቺ. ውስብስብ ቁጥሮች ምርት z 1 =a 1 +b 1 iእና z 2 =a 2 +b 2 iውስብስብ ቁጥር ይባላል ዝበእኩልነት የተገለጸው፡- z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.

ቁጥሮች z 1እና z 2ምክንያቶች ተብለው ይጠራሉ.

ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት የሚከተሉት ባህሪያት አሉት.

1º ተለዋዋጭነት፡ z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º ተያያዥነት፡ (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º ከመደመር አንጻር የማባዛት ስርጭት፡-

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4º z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2- እውነተኛ ቁጥር.

በተግባር ፣ ውስብስብ ቁጥሮችን ማባዛት የሚከናወነው ድምርን በድምር ማባዛት እና እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችን በመለየት ደንብ መሠረት ነው።

በሚከተለው ምሳሌ, ውስብስብ ቁጥሮችን በሁለት መንገድ ማባዛትን እንመለከታለን-በደንብ እና ድምርን በማባዛት.

ምሳሌ 3፡ ማባዛቱን ያድርጉ (2 + 3i) (5 - 7i).

1 መንገድ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) ) i = 31 + i.

ዘዴ 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) ክፍል.

ፍቺ. ውስብስብ ቁጥር ይከፋፍሉ z 1ወደ ውስብስብ ቁጥር z 2, እንደዚህ ያለ ውስብስብ ቁጥር ማግኘት ማለት ነው ዝ, ምንድን z z 2 = z 1.

ቲዎረም.የተወሳሰቡ ቁጥሮች ብዛት አለ እና ልዩ ከሆነ z 2 ≠ 0 + 0i.

በተግባራዊ ሁኔታ, የተወሳሰቡ ቁጥሮች ብዛት የሚገኘው በቁጥር ማያያዣው አሃዛዊ እና ተከሳሹን በማባዛት ነው.

ፍቀድ z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, ከዚያም

.

በሚከተለው ምሳሌ ቀመሩን እና የማባዛት ደንቡን ከቁጥር ጋር በማጣመር ማካፈልን እናከናውናለን።

ምሳሌ 4. ጥቅሱን ያግኙ .

5) ወደ አወንታዊ አጠቃላይ ኃይል ማሳደግ.

ሀ) የምናባዊው ክፍል ኃይሎች።

የእኩልነት ተጠቃሚነትን መጠቀም እኔ 2 = -1, ምናባዊ አሃድ ማንኛውንም አዎንታዊ ኢንቲጀር ኃይል ለመግለጽ ቀላል ነው. እና አለነ:

እኔ 3 = i 2 i = -i,

እኔ 4 = i 2 i 2 = 1፣

እኔ 5 = i 4 i = i,

እኔ 6 = i 4 i 2 = -1፣

እኔ 7 = i 5 i 2 = -i፣

እኔ 8 = i 6 i 2 = 1ወዘተ.

ይህ የዲግሪውን ዋጋ ያሳያል እኔ n፣ የት n- አወንታዊ ኢንቲጀር ፣ ጠቋሚው እየጨመረ ሲሄድ በየጊዜው ይደገማል 4 .

ስለዚህ, ቁጥሩን ለመጨመር እኔለአዎንታዊ አጠቃላይ ኃይል ፣ አርቢውን በ መከፋፈል አለብን 4 እና መገንባት እኔገላጭነቱ ከቀሪው ክፍል ጋር እኩል የሆነ ኃይል.

ምሳሌ 5፡ አስላ፡ (i 36 + i 17) i 23.

እኔ 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1፣

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

ለ) ውስብስብ ቁጥርን ወደ አወንታዊ ኢንቲጀር ኃይል ማሳደግ የሚከናወነው ተመሳሳይ ውስብስብ ምክንያቶችን የማባዛት ልዩ ሁኔታ ስለሆነ ሁለትዮሽ ወደ ተጓዳኝ ኃይል ለማሳደግ በሚወጣው ደንብ መሠረት ይከናወናል።

ምሳሌ 6፡ አስላ፡ (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

ውስብስብ ቁጥሮች የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ቅጥያ ናቸው፣ አብዛኛውን ጊዜ የሚገለጹት። ማንኛውም ውስብስብ ቁጥር እንደ መደበኛ ድምር ሊወከል ይችላል , የት እና እውነተኛ ቁጥሮች እና ምናባዊ አሃድ ነው.

ውስብስብ ቁጥርን በቅጹ ላይ መጻፍ፣ ውስብስብ ቁጥር ያለው አልጀብራ ይባላል።

ውስብስብ ቁጥሮች ባህሪያት. የአንድ ውስብስብ ቁጥር ጂኦሜትሪክ ትርጉም.

በአልጀብራ መልክ የተሰጡ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ያሉ ድርጊቶች፡-

ውስብስብ በሆኑ ቁጥሮች ላይ የሂሳብ ስራዎች የሚከናወኑባቸውን ደንቦች እናስብ.

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች α = a + bi እና β = c + di ከተሰጡ፣ እንግዲህ

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + ሐ) + (b + መ) i፣

α - β = (a + bi) - (c + di) = (a - ሐ) + (b - መ) i. (አስራ አንድ)

ይህ በሁለት የታዘዙ የእውነተኛ ቁጥሮች ጥንድ የመደመር እና የመቀነስ አሠራሮች ትርጓሜ (ቀመር (1) እና (3) ይመልከቱ)። ውስብስብ ቁጥሮችን የመደመር እና የመቀነስ ደንቦችን ተቀብለናል-ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችን ለመጨመር, የእነሱን እውነተኛ ክፍሎቻቸውን እና, በዚህ መሠረት, ምናባዊ ክፍሎቻቸውን ለየብቻ መጨመር አለብን; ሌላውን ከአንድ ውስብስብ ቁጥር ለመቀነስ, ትክክለኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸውን በቅደም ተከተል መቀነስ አስፈላጊ ነው.

ቁጥሩ - α = - a - bi ከቁጥር α = a + bi ተቃራኒ ይባላል። የእነዚህ ሁለት ቁጥሮች ድምር ዜሮ ነው፡- α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0።

ውስብስብ ቁጥሮችን ለማባዛት ደንቡን ለማግኘት, ቀመር (6) እንጠቀማለን, ማለትም i2 = -1. ይህንን ግንኙነት ከግምት ውስጥ በማስገባት (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc) i – bd፣ i.e.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ማስታወቂያ + bc) i . (12)

ይህ ቀመር ከቀመር (2) ጋር ይዛመዳል፣ እሱም የታዘዙ የእውነተኛ ቁጥሮች ጥንድ ማባዛትን ይወስናል።

የሁለት ውስብስብ conjugate ቁጥሮች ድምር እና ምርት እውነተኛ ቁጥሮች መሆናቸውን ልብ ይበሉ። በእርግጥ፣ α = a + bi፣ = a – bi፣ ከዚያ α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2፣ α + = (a + bi) + (a - bi) ከሆነ። = ( a + a) + (b - b)i= 2a፣ ማለትም እ.ኤ.አ.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

ሁለት የተወሳሰቡ ቁጥሮችን በአልጀብራ ሲከፋፍሉ፣ አንድ ሰው ቁጥሩ በተመሳሳይ ዓይነት ቁጥር እንደሚገለጽ መጠበቅ አለበት፣ ማለትም α/β = u + vi፣ where u, v R. ውስብስብ ቁጥሮችን ለመከፋፈል ደንቡን እናውጣ። . ቁጥሮቹ α = a + bi, β = c + di, እና β ≠ 0, ማለትም c2 + d2 ≠ 0. የመጨረሻው እኩልነት ማለት c እና d በአንድ ጊዜ አይጠፉም (ጉዳዩ ሲ = 0 አይካተትም). ፣ d = 0)። ቀመር (12) እና ሁለተኛው የእኩልነት (13) መተግበር፡-

ስለዚህ የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ብዛት በቀመር ይወሰናል፡-

ከቀመር (4) ጋር የሚዛመድ።

ለቁጥር β = c + di የተገኘውን ቀመር በመጠቀም የተገላቢጦሹን ቁጥር β-1 = 1/β ማግኘት ይችላሉ። በቀመር (14) ውስጥ a = 1, b = 0 ብለን ካሰብን, እናገኛለን

ይህ ቀመር ከዜሮ ሌላ የተሰጠውን ውስብስብ ቁጥር ተገላቢጦሽ ይወስናል። ይህ ቁጥርም ውስብስብ ነው።

ለምሳሌ፡ (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 - 4i) (8 - 9i) = 4 - 77i;

በአልጀብራ መልክ ውስብስብ ቁጥሮች ላይ ክዋኔዎች.

55. ውስብስብ ቁጥር ያለው ክርክር. ትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ ውስብስብ ቁጥር (መነሻ) የመፃፍ።

Arg.com. ቁጥሮች. - በእውነተኛው የ X ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ እና የተሰጠውን ቁጥር በሚወክል ቬክተር መካከል።

ትሪጎን ቀመር. ቁጥሮች:,

ፍቺ

የውስብስብ ቁጥር አልጀብራዊ ቅርፅ ውስብስብ ቁጥር \(\z\) በ \(\z=x+i y \) ቅጽ \(\x\) እና \(\y\) እውነተኛ ቁጥሮች በሆኑበት መፃፍ ነው ። ፣ \ (\i \ ) - ግንኙነቱን የሚያረካ ምናባዊ ክፍል \(\i^(2)=-1 \)

ቁጥር \(\ x \) የተወሳሰቡ ቁጥር እውነተኛ ክፍል ይባላል \(\ z \) እና በ \(\ x=\ኦፕሬተር ስም (Re) z \) ይገለጻል ።

ቁጥር \(\y \) የተወሳሰቡ ቁጥር ምናባዊ ክፍል ይባላል \ (\ z \) እና በ \ (\y=\ኦፕሬተር ስም (ኢም) z \) ይገለጻል ።

ለምሳሌ:

ውስብስብ ቁጥር \(\ z=3-2 i \) እና ተጓዳኝ ቁጥሩ \(\\overline(z)=3+2 i \) በአልጀብራ መልክ ተጽፈዋል።

ምናባዊው ብዛት \(\ z=5 i \) የተፃፈው በአልጀብራ መልክ ነው።

በተጨማሪም, እርስዎ እየፈቱት ባለው ችግር ላይ በመመስረት, ውስብስብ ቁጥርን ወደ ትሪግኖሜትሪክ ወይም ገላጭ ቁጥር መቀየር ይችላሉ.

ተግባር

ቁጥሩን \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) በአልጀብራ መልክ ፃፉ፣ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቹን እንዲሁም የተዋሃዱ ቁጥሩን ያግኙ።

መፍትሄ።

ክፍልፋዮችን መከፋፈል የሚለውን ቃል እና ክፍልፋዮችን የመደመር ደንቡን በመጠቀም፣ እናገኛለን፡-

\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1) (4) i \)

ስለዚህ የቁጥር ውስብስብ ቁጥር ትክክለኛው ክፍል \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) ቁጥር ​​\(\ x=\ኦፕሬተር ስም(Re) z= ነው። \frac(59) (4) \) ፣ ምናባዊው ክፍል ቁጥር \(\ y=\ኦፕሬተር ስም (ኢም) z=-\frac(1)(4) \) ነው።

የማጣመጃ ቁጥር፡- \(\ \ overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

መልስ

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \)፣ \(\ \ኦፕሬተር ስም(ዳግም) z=\frac(59)(4) \) ፣ \(\ \ኦፕሬተር ስም(ኢም) z=-\frac(1)(4) \) ፣ \(\\ overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

በአልጀብራ ቅፅ ንፅፅር ውስጥ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድርጊቶች

ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) እኩል ናቸው ይባላል \(\ x_(1)=x_(2) \) \(\ y_(1) = y_(2) \) ማለትም እ.ኤ.አ. እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸው እኩል ናቸው.

ተግባር

ለየትኛው x እና y ሁለቱ ውስብስብ ቁጥሮች \(\ z_(1)=13+y i \) እና \(\ z_(2)=x+5 i \) እኩል እንደሆኑ ይወስኑ።

መፍትሄ

በትርጉም, ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ትክክለኛ እና ምናባዊ ክፍሎቻቸው እኩል ከሆኑ እኩል ናቸው, ማለትም. \(\x=13\)፣ \(\y=5\)።

መልስ \(\x=13\) \(\y=5\)

መደመር

የተወሳሰቡ ቁጥሮች \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) መጨመር እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችን በቀጥታ በማጠቃለል ነው።

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\ግራ(x_(1)+x_(2)\ቀኝ) +i\ግራ(y_(1)+y_(2)\ቀኝ) \)

ተግባር

የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምርን ይፈልጉ \(\ z_(1)=-7+5 i \) ፣ \(\ z_(2)=13-4 i \)

መፍትሄ።

የውስብስብ ቁጥር እውነተኛው ክፍል \(\ z_(1)=-7+5 i \) ቁጥር ​​\(\ x_(1)=\ኦፕሬተር ስም(ዳግም) z_(1)=-7 \) ፣ምናባዊው ነው። ክፍል ቁጥር \( \ y_(1)=\mathrm(ኢም) \) ፣ \(\ z_(1)=5 \) ነው። የውስብስብ ቁጥሩ እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች \(\ z_(2)=13-4 i \) \(\ x_(2)=\ኦፕሬተር ስም(ዳግም) z_(2)=13 \) እና \() እኩል ናቸው። \ y_(2) በቅደም ተከተል )=\ኦፕሬተር ስም(ኢም) z_(2)=-4 \)።

ስለዚህ ፣ የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምር የሚከተለው ነው-

\(\ z_(1)+z_(2)=\ግራ(x_(1)+x_(2)\ቀኝ)+i\ግራ(y_(1)+y_(2)\ቀኝ)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)

መልስ

\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)

በተለየ ጽሑፍ ውስጥ ስለ ውስብስብ ቁጥሮች ተጨማሪ ያንብቡ: ውስብስብ ቁጥሮችን መጨመር.

መቀነስ

ውስብስብ ቁጥሮች \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) እና \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) መቀነስ የሚከናወነው በቀጥታ በመቀነስ ነው። እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\ግራ(x_(2)+i _(2)\ቀኝ)=x_(1)-x_(2) +\ግራ(i y_(1)-i y_(2)\ቀኝ)=\ግራ(x_(1)-x_(2)\ቀኝ)+i\ግራ(y_(1)-y_(2)\ቀኝ ) \)

ተግባር

የተወሳሰቡ ቁጥሮች ልዩነት ይፈልጉ \(\ z_(1)=17-35 i \) ፣ \(\ z_(2)=15+5 i \)

መፍትሄ።

የተወሳሰቡ ቁጥሮች እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎችን ይፈልጉ \(\ z_(1)=17-35 i \) ፣ \(\ z_(2)=15+5 i \)፡

\(\ x_(1)=\ኦፕሬተር ስም(ዳግም) z_(1)=17፣ x_(2)=\ኦፕሬተር ስም(ዳግም) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\ኦፕሬተር ስም(ኢም) z_(1)=-35፣ y_(2)=\ኦፕሬተር ስም(ኢም) z_(2)=5 \)

ስለዚህ, ውስብስብ ቁጥሮች ልዩነት:

\(\z_(1)-z_(2)=\ግራ(x_(1)-x_(2)\ቀኝ)+i\ግራ(y_(1)-y_(2)\ቀኝ)=(17-15) )+i(-35-5)=2-40 i \)

መልስ

\(\ z_(1) -z_(2)=2-40 i \) ማባዛት።

የተወሳሰቡ ቁጥሮች ማባዛት \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) እና \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) በቀጥታ በመፍጠር ይከናወናል። ቁጥሮች በአልጀብራ መልክ የምናባዊውን ክፍል ንብረት ግምት ውስጥ በማስገባት \(\i^(2)=-1\)፡

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\ግራ(x_(1)+i y_(1)\ቀኝ) \cdot\ግራ(x_(2)+i y_(2)\ቀኝ)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\ግራ(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\ቀኝ)=\)

\(\ =\ግራ(x_(1) \cdot x_(2))-y_(1) \cdot y_(2)\ቀኝ)+i\ግራ(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\ቀኝ) \)

ተግባር

የተወሳሰቡ ቁጥሮችን ምርት ያግኙ \(\ z_(1)=1-5 i \)

መፍትሄ።

ውስብስብ ቁጥሮች;

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\ግራ(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\ቀኝ)+i\ግራ(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\ቀኝ)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 = 15-23 እኔ \)

መልስ

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) ክፍፍል

የተወሳሰቡ ቁጥሮች ምክንያት \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) እና \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) በማባዛት ይወሰናል። አሃዛዊው እና አካፋው ከተቆራኙ ቁጥር ጋር፡-

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\ግራ) (x_(1)+i y_(1)\ቀኝ)\ግራ(x_(2)-i y_(2)\ቀኝ))(\ግራ(x_(2)+i y_(2)\ቀኝ)\ግራ (x_(2)-i y_(2)\ቀኝ))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2))

ተግባር

ቁጥር 1ን በውስብስብ ቁጥር \(\z=1+2 i\) ለመከፋፈል።

መፍትሄ።

የእውነተኛው ቁጥር 1 ምናባዊ ክፍል ዜሮ ስለሆነ ፣ምክንያቱ፡-

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^(1) 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)

መልስ

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

ውስብስብ ቁጥሮች

ምናባዊ እና ውስብስብ ቁጥሮች. Abscissa እና ordinate

ውስብስብ ቁጥር. ውስብስብ ቁጥሮችን ያጣምሩ.

ውስብስብ ቁጥሮች ያላቸው ክዋኔዎች. ጂኦሜትሪክ

ውስብስብ ቁጥሮች ውክልና. ውስብስብ አውሮፕላን.

ሞዱሉስ እና የተወሳሰበ ቁጥር ክርክር። ትሪግኖሜትሪክ

ውስብስብ ቁጥር ቅጽ. ውስብስብ ጋር ክወናዎች

ቁጥሮች በትሪግኖሜትሪክ ቅርፅ። የሞኢቭር ቀመር.

ስለ መሰረታዊ መረጃ ምናባዊ እና ውስብስብ ቁጥሮች "ምናባዊ እና ውስብስብ ቁጥሮች" በሚለው ክፍል ውስጥ ተሰጥቷል. ለጉዳዩ ኳድራቲክ እኩልታዎችን ሲፈታ የእነዚህ አዲስ ዓይነት ቁጥሮች አስፈላጊነት ተነሳዲ< 0 (здесь ዲ- የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ)። ለረጅም ጊዜ እነዚህ ቁጥሮች አካላዊ አተገባበርን አላገኙም, ለዚህም ነው "ምናባዊ" ቁጥሮች ይባላሉ. አሁን ግን በተለያዩ የፊዚክስ ዘርፎች በስፋት ጥቅም ላይ ይውላሉ

እና ቴክኖሎጂ፡ ኤሌክትሪካል ኢንጂነሪንግ፣ ሃይድሮ-እና ኤሮዳይናሚክስ፣ የመለጠጥ ቲዎሪ፣ ወዘተ.

ውስብስብ ቁጥሮች በቅጹ ተጽፈዋል፡-a+bi. እዚህ ሀእና ለ – እውነተኛ ቁጥሮች , ኤ እኔ – ምናባዊ አሃድ፣ ማለትምሠ. እኔ 2 = –1. ቁጥር ሀተብሎ ይጠራል abcissa,አ ለ - ማስተባበርውስብስብ ቁጥርa + bi .ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችa+biእና አ–ቢ ተብለው ይጠራሉ conjugateውስብስብ ቁጥሮች.

ዋና ዋና ስምምነቶች፡-

1. እውነተኛ ቁጥርሀእንዲሁም በቅጹ ላይ ሊጻፍ ይችላልውስብስብ ቁጥር:ሀ + 0 እኔወይም ሀ - 0 እኔ. ለምሳሌ፣ መዛግብት 5+0እኔእና 5-0 እኔተመሳሳይ ቁጥር ማለት ነው 5 .

2. ውስብስብ ቁጥር 0 + biተብሎ ይጠራል ብቻ ምናባዊ ቁጥር. መዝገብbiከ0 ጋር ተመሳሳይ ማለት ነው። + bi.

3. ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችa+bi እናሐ + ዲከሆነ እኩል ይቆጠራሉ።ሀ = ሐእና b = መ. አለበለዚያ ውስብስብ ቁጥሮች እኩል አይደሉም.

መደመር። የተወሳሰቡ ቁጥሮች ድምርa+biእና ሐ + ዲውስብስብ ቁጥር ይባላል (አ+ሐ ) + (b+d ) እኔ.ስለዚህም ሲደመር ውስብስብ ቁጥሮች ፣ አቢሲሳዎቻቸው እና ordinates ለየብቻ ተጨምረዋል።

ይህ ፍቺ ከተራ ፖሊኖሚሎች ጋር ለሚሰሩ ስራዎች ደንቦች ጋር ይዛመዳል.

መቀነስ። የሁለት ውስብስብ ቁጥሮች ልዩነትa+bi(የተቀነሰ) እና ሐ + ዲ( subtrahend ) ውስብስብ ቁጥር ይባላል (ሀ–ሐ ) + (ለ–መ ) እኔ.

ስለዚህም ሁለት ውስብስብ ቁጥሮችን ሲቀንሱ, አቢሲሳዎቻቸው እና ordinates ለየብቻ ይቀነሳሉ.

ማባዛት። ውስብስብ ቁጥሮች ምርትa+biእና ሐ + ዲ ውስብስብ ቁጥር ይባላል፡-

(ac–bd ) + (ማስታወቂያ+bc ) እኔ.ይህ ፍቺ ከሁለት መስፈርቶች ይከተላል።

1) ቁጥሮች a+biእና ሐ + ዲእንደ አልጀብራ መባዛት አለበት።ሁለትዮሽ,

2) ቁጥር እኔዋናው ንብረት አለው:እኔ 2 = – 1.

ለምሳሌ ( a+ bi )(አ–ቢ) = ሀ 2 +ለ 2 . ስለዚህም እ.ኤ.አ. ሥራ

ሁለት የተዋሃዱ ውስብስብ ቁጥሮች ከእውነተኛው ጋር እኩል ናቸው።

አዎንታዊ ቁጥር.

ክፍፍል ውስብስብ ቁጥር ይከፋፍሉa+bi (የሚከፋፈል) በሌላሐ + ዲ(አከፋፋይ) - ሦስተኛውን ቁጥር ማግኘት ማለት ነውሠ + f i(ቻት)፣ እሱም በአከፋፋይ ሲባዛሐ + ዲ, ክፍፍልን ያስከትላልa + bi .

አካፋዩ ዜሮ ካልሆነ, መከፋፈል ሁልጊዜ ይቻላል.

ለምሳሌ አግኝ (8+እኔ ) : (2 – 3 እኔ) .

መፍትሄው ይህንን ሬሾ እንደ ክፍልፋይ እንጽፈው፡-

አሃዛዊውን እና መለያውን በ2 + 3 በማባዛት።እኔ

እና ሁሉንም ለውጦች ካደረግን በኋላ የሚከተሉትን እናገኛለን

ውስብስብ ቁጥሮች ጂኦሜትሪክ ውክልና. እውነተኛ ቁጥሮች በቁጥር መስመር ላይ ባሉ ነጥቦች ይወከላሉ፡-

ነጥቡ ይኸው ነው። ሀቁጥር ማለት -3, ነጥብለ- ቁጥር 2 እና ኦ- ዜሮ. በተቃራኒው, ውስብስብ ቁጥሮች በአስተባባሪ አውሮፕላን ላይ ባሉ ነጥቦች ይወከላሉ. ለዚሁ ዓላማ, በሁለቱም መጥረቢያዎች ላይ ተመሳሳይ ሚዛን ያላቸው አራት ማዕዘን (ካርቴሲያን) መጋጠሚያዎችን እንመርጣለን. ከዚያም ውስብስብ ቁጥርa+bi በነጥብ ይወከላል ፒ ከ abscissa ጋር a እና ordinate ለ (ሥዕሉን ይመልከቱ). ይህ የማስተባበር ሥርዓት ይባላል ውስብስብ አውሮፕላን .

ሞጁል ውስብስብ ቁጥር የቬክተር ርዝመት ነውኦ.ፒበመጋጠሚያው ላይ ውስብስብ ቁጥርን የሚወክል ( ሁሉን አቀፍ) አውሮፕላን. ውስብስብ ቁጥር ያለው ሞዱልa+biየተገለጸው በ | a+bi| ወይም ደብዳቤ አር