የ"A አግኝ" የቪዲዮ ኮርስ የሚያስፈልጉዎትን ሁሉንም ርዕሶች ያካትታል በተሳካ ሁኔታ ማጠናቀቅየተዋሃደ የግዛት ፈተና በሂሳብ ለ60-65 ነጥብ። ሙሉ በሙሉ ሁሉም ችግሮች 1-13 መገለጫ የተዋሃደ የግዛት ፈተናሒሳብ. መሰረታዊ የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በሂሳብ ለማለፍም ተስማሚ። የተዋሃደ የስቴት ፈተናን ከ90-100 ነጥብ ለማለፍ ከፈለጉ ክፍል 1ን በ30 ደቂቃ ውስጥ እና ያለስህተት መፍታት ያስፈልግዎታል!

ከ10-11ኛ ክፍል ለተዋሃደው የስቴት ፈተና የመሰናዶ ትምህርት እንዲሁም ለመምህራን። በሒሳብ (የመጀመሪያዎቹ 12 ችግሮች) እና ችግር 13 (ትሪጎኖሜትሪ) የተዋሃደ የስቴት ፈተና ክፍል 1ን ለመፍታት የሚያስፈልግዎ ነገር ሁሉ። እና ይህ በተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ ከ 70 ነጥብ በላይ ነው, እና አንድም ባለ 100-ነጥብ ተማሪም ሆነ የሰብአዊነት ተማሪ ያለነሱ ማድረግ አይችሉም.

ሁሉም አስፈላጊ ንድፈ ሐሳብ. ፈጣን መንገዶችየተዋሃደ የስቴት ፈተና መፍትሄዎች፣ ወጥመዶች እና ምስጢሮች። ከ FIPI ተግባር ባንክ ሁሉም ወቅታዊ የክፍል 1 ተግባራት ተተነተነዋል። ኮርሱ የተዋሃደ የስቴት ፈተና 2018 መስፈርቶችን ሙሉ በሙሉ ያሟላል።

ኮርሱ 5 ያካትታል ትላልቅ ርዕሶች, እያንዳንዳቸው 2.5 ሰዓታት. እያንዳንዱ ርዕስ ከባዶ, በቀላሉ እና በግልጽ ተሰጥቷል.

በመቶዎች የሚቆጠሩ የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ተግባራት። የቃላት ችግሮችእና ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ. ችግሮችን ለመፍታት ስልተ ቀመሮችን ለማስታወስ ቀላል እና ቀላል። ጂኦሜትሪ ንድፈ ሐሳብ, የማጣቀሻ ቁሳቁስ, ሁሉንም ዓይነት የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ተግባራት ትንተና. ስቴሪዮሜትሪ ተንኮለኛ መፍትሄዎች, ጠቃሚ የማጭበርበሪያ ወረቀቶች, እድገት የቦታ ምናብ. ትሪጎኖሜትሪ ከባዶ ወደ ችግር 13. ከመጨናነቅ ይልቅ መረዳት። ምስላዊ ማብራሪያ ውስብስብ ጽንሰ-ሐሳቦች. አልጀብራ ስሮች፣ ሃይሎች እና ሎጋሪዝም፣ ተግባር እና ተዋጽኦዎች። ለመፍትሄው መሠረት ውስብስብ ተግባራትየተዋሃደ የስቴት ፈተና 2 ክፍሎች።

ጽሑፉ በጣም አስፈላጊ የሆነውን የንድፈ ሐሳብ መረጃ እና አስፈላጊ መፍትሄዎችን ያቀርባል የተወሰኑ ተግባራትቀመሮች. አስፈላጊ መግለጫዎች እና የቁጥሮች ባህሪያት በመደርደሪያዎች ላይ ተዘርግተዋል.

ፍቺ እና ጠቃሚ እውነታዎች

ፕላኒሜትሪ የጂኦሜትሪ ቅርንጫፍ ሲሆን በጠፍጣፋ ባለ ሁለት ገጽታ ላይ ያሉትን ነገሮች ይመለከታል። አንዳንድ ተስማሚ ምሳሌዎች ሊታወቁ ይችላሉ-ካሬ, ክብ, አልማዝ.

ከሌሎች ነገሮች በተጨማሪ ነጥቡን እና ቀጥተኛውን መስመር ማጉላት ተገቢ ነው. የፕላኒሜትሪ ሁለት ዋና ጽንሰ-ሐሳቦች ናቸው.

የተቀረው ሁሉ በእነሱ ላይ ነው የተገነባው ለምሳሌ፡-

Axioms እና theorems

አክሲሞችን በበለጠ ዝርዝር እንመልከት። በፕላኒሜትሪ ይህ ነው በጣም አስፈላጊዎቹ ደንቦችሁሉም ሳይንስ የሚሰራበት። እና በውስጡ ብቻ አይደለም. A-priory፣ እያወራን ያለነውማስረጃ ስለማያስፈልጋቸው መግለጫዎች.

ከዚህ በታች የሚብራሩት axioms Euclidean ጂኦሜትሪ በሚባለው ውስጥ ተካትተዋል።

• ሁለት ነጥቦች አሉ. በእነሱ ውስጥ ሁል ጊዜ ነጠላ ቀጥታ መስመር መሳል ይችላሉ።
• መስመር ካለ በላዩ ላይ የሚተኛበት እና የማይተኛበት ነጥብ አለ።

እነዚህ 2 ዓረፍተ ነገሮች በአብዛኛው የአባልነት አክሲዮም ይባላሉ፣ እና የሚከተሉት የሥርዓት አክሲዮም ይባላሉ።

• ቀጥ ባለ መስመር ላይ ሶስት ነጥቦች ካሉ, ከመካከላቸው አንዱ የግድ በሁለቱ መካከል ይገኛል.
• አውሮፕላን በማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በሁለት ክፍሎች ይከፈላል. የአንድ ክፍል ጫፎች በግማሽ ላይ ሲተኛ ፣ ከዚያ አጠቃላይው ነገር የእሱ ነው። አለበለዚያ ዋናው መስመር እና ክፍሉ የመገናኛ ነጥብ አላቸው.

የእርምጃዎች አክሲሞች፡-

• እያንዳንዱ ክፍል ከዜሮ የተለየ ርዝመት አለው. አንድ ነጥብ ወደ ብዙ ክፍሎች ከከፈለ, ድምራቸው ከጠቅላላው የቁሱ ርዝመት ጋር እኩል ይሆናል.
• እያንዳንዱ አንግል የተወሰነ ደረጃ መለኪያ አለው, እሱም ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. በጨረር ከጣሱ, ከዚያም ዋናው ማዕዘን ይሆናል ከድምሩ ጋር እኩል ነው።የተማረ።

ትይዩነት፡

• በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥተኛ መስመር አለ. የእሱ ባልሆነ በማንኛውም ነጥብ አንድ ቀጥተኛ መስመር ብቻ ከተሰጠው ጋር ትይዩ ሊሆን ይችላል.

በፕላኒሜትሪ ውስጥ ያሉ ቲዎሬሞች ሙሉ በሙሉ መሠረታዊ መግለጫዎች አይደሉም። በአጠቃላይ ተቀባይነት አላቸው, ነገር ግን እያንዳንዳቸው ከላይ በተጠቀሱት መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች ላይ የተገነቡ ማስረጃዎች አሏቸው. ከዚህም በተጨማሪ በጣም ብዙ ናቸው. ሁሉንም ነገር ለመደርደር በጣም አስቸጋሪ ይሆናል, ነገር ግን አንዳንዶቹ በቀረበው ጽሑፍ ውስጥ ይገኛሉ.

የሚከተሉት ሁለቱ እራስዎን ቀደም ብለው ማወቅ ጠቃሚ ነው-

• ድምር ተያያዥ ማዕዘኖችከ 180 ዲግሪ ጋር እኩል ነው.
• ቋሚ ማዕዘኖች ተመሳሳይ መጠን አላቸው.

እነዚህ ሁለት ጽንሰ-ሐሳቦች በመፍታት ረገድ ጠቃሚ ሊሆኑ ይችላሉ የጂኦሜትሪክ ችግሮችከ n-gons ጋር የተያያዘ. እነሱ በጣም ቀላል እና አስተዋይ ናቸው። እነሱን ማስታወስ ተገቢ ነው.

ትሪያንግሎች

ትሪያንግል ነው። የጂኦሜትሪክ ምስል, በተከታታይ የተያያዙ ሶስት ክፍሎችን ያካተተ. በበርካታ መስፈርቶች መሰረት ይከፋፈላሉ.

በጎን በኩል (ሬሾዎቹ ከስሞች ይወጣሉ):

በማእዘኖቹ ላይ;

• አጣዳፊ-አንግል;
• አራት ማዕዘን;
• ድብርት ።

ሁለት ማዕዘኖች, ሁኔታው ​​ምንም ይሁን ምን, ሁልጊዜም አጣዳፊ ይሆናል, ሦስተኛው ደግሞ በቃሉ የመጀመሪያ ክፍል ይወሰናል. ማለትም የቀኝ ትሪያንግል ከ90 ዲግሪ ጋር እኩል የሆነ አንግል አለው።

ንብረቶች፡

• ትልቁ አንግል, ተቃራኒው ጎን ይበልጣል.
• የሁሉም ማዕዘኖች ድምር 180 ዲግሪ ነው.
• ቦታው በቀመርው ሊሰላ ይችላል፡ S = ½ ⋅ h ⋅ a፣ a ጎን በሆነበት፣ h ቁመቱ ወደ እሱ ይሳላል።
• ሁልጊዜ አንድ ክበብ በሶስት ማዕዘን ውስጥ መፃፍ ወይም በዙሪያው መግለጽ ይችላሉ.

የፕላኒሜትሪ መሰረታዊ ቀመሮች አንዱ የፓይታጎሪያን ቲዎረም ነው። የሚሠራው ለቀኝ ትሪያንግል ብቻ ነው እና እንደዚህ ይመስላል፡ የ hypotenuse ካሬ ከእግሮቹ ካሬ ድምር ጋር እኩል ነው፡ AB 2 = AC 2 + BC 2።

hypotenuse ማለት ከ 90 ዲግሪ ጎን ጎን ለጎን, እና እግሮቹ በአቅራቢያው ያሉትን ማለት ነው.

አራት ማዕዘን

በዚህ ርዕስ ላይ እጅግ በጣም ብዙ መረጃ አለ. ከታች ያሉት በጣም አስፈላጊዎቹ ብቻ ናቸው.

አንዳንድ ዝርያዎች:

1. Parallelogram - ተቃራኒ ጎኖች በጥንድ ውስጥ እኩል እና ትይዩ ናቸው.
2. rhombus ጎኖቹ ያሉት ትይዩ ነው። ተመሳሳይ ርዝመት.
3. አራት ማዕዘን - ትይዩ ከአራት ቀኝ ማዕዘኖች ጋር
4. ካሬ ሁለቱም ራምቡስ እና አራት ማዕዘን ናቸው.
5. ትራፔዞይድ - ሁለት ተቃራኒ ጎኖች ብቻ ትይዩ ናቸው.

ንብረቶች፡

• ሱማ ውስጣዊ ማዕዘኖችከ 360 ዲግሪ ጋር እኩል ነው.
• አካባቢው ሁል ጊዜ በቀመርው ሊሰላ ይችላል፡ S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)፣ p የፔሚሜትር ግማሽ ሲሆን፣ a, b, c, d የስዕሉ ጎኖች ናቸው።
• ክብ በአራት ማዕዘን ዙሪያ ሊገለጽ የሚችል ከሆነ, እኔ ኮንቬክስ, ካልሆነ, ኮንቬክስ ያልሆነ እጠራለሁ.

ይህ ገጽ የሒሳብ ሞግዚት ብቁ ተማሪን ለከባድ ፈተና በማዘጋጀት ሊጠቀምባቸው የሚችላቸውን የፕላኒሜትሪ ቲዎሬሞችን ይዟል፡ ኦሎምፒያድ ወይም በሞስኮ ስቴት ዩኒቨርሲቲ ፈተና (በሞስኮ ስቴት ዩኒቨርሲቲ ሜካኒክስ እና ሒሳብ ዝግጅት፣ ቪኤምሲ)፣ ለኦሎምፒያድ በ ከፍተኛ ትምህርት ቤትኢኮኖሚክስ, ለኦሎምፒክ የፋይናንስ አካዳሚእና በ MIPT. የእነዚህ እውነታዎች እውቀት አስተማሪው የውድድር ችግሮችን ለመቅረጽ ታላቅ እድሎችን ይከፍታል። ከተጠቀሰው ቲዎሪ የተወሰኑትን በቁጥሮች ላይ "መጫወት" ወይም የእሱን ንጥረ ነገሮች ከሌሎች ጋር በቀላል ግንኙነቶች ማሟላት በቂ ነው የሂሳብ ዕቃዎች, እና ቆንጆ ጨዋ የኦሎምፒያድ ችግር ያጋጥምዎታል. ብዙ ንብረቶች በጠንካራ ውስጥ ይገኛሉ የትምህርት ቤት መማሪያዎችእንደ ተግባራት ለማረጋገጫ እና በተለይም በአንቀጾች ርእሶች እና ክፍሎች ውስጥ አልተካተቱም። ይህንን ጉድለት ለማስተካከል ሞከርኩ።

ሒሳብ እጅግ በጣም ብዙ ርዕሰ ጉዳይ ነው፣ እና እንደ ንድፈ ሃሳቦች ሊታወቁ የሚችሉ እውነታዎች ብዛት ማለቂያ የለውም። የሂሳብ ሞግዚት ሁሉንም ነገር በአካል ማወቅ እና ማስታወስ አይችልም. ስለዚህ ፣ አንዳንድ አስቸጋሪ ግንኙነቶች የጂኦሜትሪክ እቃዎችለአስተማሪው በተገለጹ ቁጥር። ሁሉንም በአንድ ገጽ ላይ በአንድ ጊዜ መሰብሰብ በአካል የማይቻል ነው. ስለዚህ, በትምህርቶቼ ውስጥ ቲዎሪዎቹን ስጠቀም ገፁን ቀስ በቀስ እሞላዋለሁ.

ጀማሪ የሂሳብ አስተማሪዎች ተጨማሪ ሲጠቀሙ ጥንቃቄ እንዲያደርጉ እመክራለሁ። የማጣቀሻ እቃዎችየትምህርት ቤት ልጆች አብዛኛዎቹን እነዚህን እውነታዎች ስለማያውቁ ነው።

የሂሳብ አስተማሪ ስለ ጂኦሜትሪክ ቅርጾች ባህሪያት

1) ወደ ትሪያንግል ጎን ያለው ቀጥ ያለ ቢሴክተር በዙሪያው ባለው ክበብ ላይ ካለው የማዕዘን ተቃራኒው ጋር ይገናኛል ። የተሰጠው ሶስት ማዕዘን. ይህ ቀጥ ያለ ብስክሌቱ የታችኛውን ቅስት የሚከፋፍልበት ከቅስቶች እኩልነት እና በክበብ ውስጥ ስለ ተቀረጸው አንግል ካለው ጽንሰ-ሀሳብ ይከተላል።

2)ቢሴክተር ለ ፣ መካከለኛው ሜትር እና ቁመት h በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ ከአንድ ጫፍ ከተሳሉ ፣ ከዚያ bisector በሁለት ሌሎች ክፍሎች መካከል ይተኛል ፣ እና የሁሉም ክፍሎች ርዝመት ድርብ አለመመጣጠን ይታዘዛል።

3) ውስጥ የዘፈቀደ ትሪያንግልከማንኛውም ጫፎች እስከ ኦርቶሴንተር (የቁመቶች መገናኛ ነጥብ) ያለው ርቀት 2 ጊዜ ነው. ተጨማሪ ርቀትበዚህ ትሪያንግል ዙሪያ የተከበበው ከክበቡ መሃከል ወደ ጎን ከዚህ ወርድ ተቃራኒ ነው። ይህንን ለማረጋገጥ, ከቁመቱ ጋር ትይዩ ባለው የሶስት ማዕዘን ጫፎች በኩል ቀጥታ መስመሮችን መሳል ይችላሉ. ከዚያም የመጀመሪያውን እና የውጤቱን ትሪያንግል ተመሳሳይነት ይጠቀሙ.

4) የሜዲያን መገናኛ ነጥብ የየትኛውም ትሪያንግል (የስበት ማእከሉ) ከትሪያንግል ኤች ኦርቶሴንተር እና ከዙሪያው መሃል (ነጥብ O) ጋር በተመሳሳይ ፕሪማ ላይ ይተኛሉ እና . ይህ ከቀድሞው ንብረት እና ከመገናኛዎች መገናኛ ነጥብ ንብረት ይከተላል.

5) የሁለት የተጠላለፉ ክበቦች የጋራ ገመድ ማራዘም የጋራ ታንጀራቸውን ክፍል ወደ ሁለት እኩል ክፍሎችን ይከፍላል. የዚህ መስቀለኛ መንገድ ምንም ይሁን ምን ይህ ንብረት እውነት ነው (ይህም የክበቦች ማዕከሎች መገኛ)። ይህንን ለማረጋገጥ የታንጀንት ክፍል ካሬውን ንብረት መጠቀም ይችላሉ.

6) ትሪያንግል የማዕዘን ቢሴክተር ከያዘ፣ ካሬው በማዕዘኑ ጎኖቹ ምርቶች እና ቢሴክተሩ ተቃራኒውን ጎን የሚከፋፍልባቸው ክፍሎች መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው።

ይኸውም የሚከተለው እኩልነት አለው።

7) ከቁመቱ ከፍታ ወደ hypotenuse በሚስብበት ጊዜ ሁኔታውን ያውቁታል? ቀኝ ማዕዘን? በእርግጠኝነት. ሁሉም የተፈጠሩት ትሪያንግሎች ተመሳሳይ መሆናቸውን ታውቃለህ? በእርግጠኝነት ታውቃለህ. ከዚያም የእነዚህ ትሪያንግሎች ማናቸውም ተጓዳኝ አካላት የፒታጎሪያን ቲዎረምን የሚደግም እኩልነት እንደሚፈጥሩ አታውቁም ፣ ማለትም ፣ ለምሳሌ ፣ የት እና የት እና የትናንሽ ትሪያንግሎች ውስጥ የተቀረጹ ክበቦች ራዲየስ ፣ እና የአንድ ክበብ ራዲየስ የተቀረፀው ነው በትልቅ ትሪያንግል.

8)ከሁሉም ጋር በአጋጣሚ አራት እጥፍ ካጋጠመህ የታወቁ ፓርቲዎች a፣ b፣ c እና d፣ ከዚያ አካባቢው የሄሮንን ቀመር የሚያስታውስ ቀመር በመጠቀም በቀላሉ ሊሰላ ይችላል።
x የሁለቱ ድምር ሲሆን ተቃራኒ ማዕዘኖችአራት ማዕዘን. የተሰጠው ባለአራት ጎን በክበብ ውስጥ ከተቀረጸ ቀመሩ ቅጹን ይወስዳል፡-
እና ይባላል የብራህማጉፕታ ቀመር

9)የእርስዎ ባለአራት ጎን በክበብ የተከበበ ከሆነ (ማለትም ክበቡ በውስጡ የተፃፈ ነው) ፣ ከዚያ የአራት ጎን ስፋት በቀመር ይሰላል።

አማካይ ደረጃ

የፕላኒሜትሪ መሰረታዊ axioms. አጠቃላይ መመሪያ (2019)

1. የፕላኒሜትሪ መሰረታዊ ጽንሰ-ሐሳቦች

ለምንድነው ሁሉም ነገር በስዕሎች ውስጥ እና ያለ ቃላት? ቃላት ያስፈልጋሉ? መጀመሪያ ላይ በጣም አስፈላጊ እንዳልሆኑ ለእኔ ይመስላል. እንደ እውነቱ ከሆነ, የሂሳብ ሊቃውንት, ሁሉንም ነገር በቃላት እንዴት እንደሚገልጹ ያውቃሉ, እና እንደዚህ አይነት መግለጫዎችን በሚከተሉት የንድፈ ሃሳቦች ደረጃዎች ውስጥ ማግኘት ይችላሉ, አሁን ግን በስዕሎች እንቀጥል.

ሌላስ? ኦህ አዎ፣ ክፍሎችን እና ማዕዘኖችን እንዴት መለካት እንዳለብን መማር አለብን።

እያንዳንዱ ክፍል ርዝመት አለው - ለዚህ ክፍል የተመደበ ቁጥር (ለሆነ ምክንያት ...). ርዝመቱ ብዙውን ጊዜ የሚለካው ... በአንድ ገዥ እርግጥ ነው, በሴንቲሜትር, ሚሊሜትር, ሜትሮች እና እንዲያውም ኪሎሜትሮች.

እና አሁን የመለኪያ ማዕዘኖች. በሆነ ምክንያት, ማዕዘኖች ብዙውን ጊዜ በዲግሪዎች ይለካሉ. ለምን? ለዛ የሆነ ነገር አለ። ታሪካዊ ምክንያቶችአሁን ግን ከታሪክ ጋር አንገናኝም። ስለዚህ የሚከተለውን ስምምነት እንደ ቀላል ነገር መውሰድ አለብን።

ባደገው የዲግሪዎች አንግል።

በአጭሩ እንዲህ ብለው ይጽፋሉ። በዚህ ሁኔታ, በእርግጥ, የሌሎቹ ማዕዘኖች መጠን ምን ያህል የማይታጠፍ አንግል የተሰጠው አንግል እንደሆነ በማወቅ ሊገኝ ይችላል. ማዕዘኖችን ለመለካት መሳሪያ ፕሮትራክተር ይባላል። በህይወትዎ ውስጥ ከአንድ ጊዜ በላይ ያዩት ይመስለኛል።

2. ስለ ማዕዘኖች ሁለት መሠረታዊ እውነታዎች

I. ተያያዥ ማዕዘኖች ይጨምራሉ.

ይህ ሙሉ በሙሉ ተፈጥሯዊ ነው, አይደለም? ደግሞም ፣ ተጓዳኝ ማዕዘኖች አንድ ላይ ተገላቢጦሽ ማዕዘን ይሠራሉ!

II. ቋሚ ማዕዘኖች እኩል ናቸው.

ለምን? እና ተመልከት:

አሁን ምን? ደህና ፣ በእርግጥ ፣ ያንን ይከተላል። (ለምሳሌ ሁለተኛውን ከመጀመሪያው እኩልነት መቀነስ በቂ ነው. ግን በእውነቱ, ምስሉን ብቻ ማየት ይችላሉ).

የቀኝ አንግል መጠን ስንት ነው?

ደህና ፣ በእርግጥ ፣! ከሁሉም በኋላ.

4. አጣዳፊ እና ግልጽ ያልሆነ አንግል.

ለመጀመር ማወቅ ያለብዎት በመሠረቱ ያ ብቻ ነው። ስለ አክሲዮስ ለምን አንድ ቃል አልተናገርንም?

Axioms ከፕላኒሜትሪ መሰረታዊ ነገሮች ጋር የተግባር ደንቦች ናቸው, ስለ ነጥቦች እና መስመሮች በጣም የመጀመሪያ መግለጫዎች. እነዚህ መግለጫዎች እንደ መሰረት ይወሰዳሉ እንጂ የተረጋገጡ አይደሉም።

አሁንም ለምን አንቀርጻቸውም እና አንወያይባቸውም? አየህ፣ የፕላኒሜትሪ አክሲሞች፣ በአንድ መልኩ፣ በቀላሉ የሚታወቅ ግልጽ ግንኙነቶችን በረዥም የሂሳብ ቋንቋ ይገልፃሉ። የጂኦሜትሪክ ፅንሰ-ሀሳቦችን በጋራ ማስተዋል ደረጃ ሲለማመዱ ስለ axiomatics ግልጽ የሆነ ግንዛቤ ትንሽ ቆይቶ አስፈላጊ ነው። ከዚያ - እንኳን ደህና መጡ - እዚያ ስለ አክሲዮሞች በጣም ቆንጆ ዝርዝር ውይይት አለ። እስከዚያው ድረስ እንደ ጥንታዊ ግሪኮች ለመስራት ይሞክሩ ፣ ከዩክሊድ ጊዜ በፊት - ችግሮችን በመጠቀም ብቻ ይፍቱ ትክክለኛ. አረጋግጣለሁ ፣ ብዙ ተግባራት ለእርስዎ ይሆኑልዎታል!

አማካይ ደረጃ

በድንገት ራስህን በሌላ ፕላኔት ላይ ወይም... በኮምፒውተር ጨዋታ ውስጥ እንዳገኛችሁ አስብ።

ከፊት ለፊትዎ የማይታወቁ ምርቶች ስብስብ ነው, እና የእርስዎ ተግባር ከዚህ ስብስብ በተቻለ መጠን ብዙ ጣፋጭ ምግቦችን ማዘጋጀት ነው. ምን ያስፈልግዎታል? እርግጥ ነው, ደንቦች, መመሪያዎች - በተወሰኑ ምርቶች ምን ሊደረግ ይችላል. በጥሬው ብቻ የሚበላ ነገር በድንገት ቢያበስሉ ወይም በተቃራኒው በእርግጠኝነት መቀቀል ወይም መጥበስ ያለበትን ነገር ሰላጣ ውስጥ ቢያስገቡስ? ስለዚህ, ያለ መመሪያ - የትም!

እሺ፣ ግን ለምን እንደዚህ አይነት መግቢያ? ጂኦሜትሪ ከእሱ ጋር ምን ግንኙነት አለው? አየህ፣ በጂኦሜትሪ ውስጥ ስላሉ ሁሉም ዓይነት አኃዞች እጅግ በጣም ብዙ መግለጫዎች ለማብሰል መማር ያለብን በጣም ብዙ “ምግብ” ናቸው። ግን ከምን? ከጂኦሜትሪ መሰረታዊ ነገሮች! ነገር ግን ለ "አጠቃቀም" መመሪያው ተጠርቷል በጥበብ ቃላት "የአክሲየም ስርዓት".

ስለዚህ, ትኩረት ይስጡ!

የፕላኒሜትሪ መሰረታዊ ነገሮች እና axioms.

ነጥብ እና መስመር

እነዚህ በጣም አስፈላጊዎቹ የፕላኒሜትሪ ጽንሰ-ሐሳቦች ናቸው. የሂሳብ ሊቃውንት እነዚህ “የማይገለጹ ጽንሰ-ሐሳቦች” ናቸው ይላሉ። እንዴት እና? ግን ስለዚህ, የሆነ ቦታ መጀመር አለብዎት.

አሁን ነጥቦችን እና መስመሮችን ለመቆጣጠር የመጀመሪያዎቹ ደንቦች. እነዚህ የሂሳብ ደንቦች ይባላሉ "አክሲየም"- እንደ መሠረት የተወሰዱ መግለጫዎች ፣ ከዚያ ሁሉም መሠረታዊ ነገሮች የሚቀነሱ ናቸው (ጂኦሜትሪ “ማብሰያ” ለማድረግ ትልቅ የምግብ ዝግጅት ተልእኮ እንዳለን ያስታውሱ?) ስለዚህ, የመጀመሪያው ተከታታይ አክሲየም ይባላል

I. የባለቤትነት Axioms.

እባክዎ ልብ ይበሉ, ይህ axiom እንደዚህ ለመሳል ያስችልዎታል:

እንደዚህ: ሁለት ነጥቦች ነበሩ.

እና ከዚያ ቀጥ ያለ መስመር ተገኝቷል-

ሌላኛው ግን አይደለም!

ይህ ሁሉ ለእርስዎ በጣም ግልጽ ሆኖ ከታየ ፣ እርስዎ በሌላ ፕላኔት ላይ እንዳሉ እና አሁንም በእቃዎች ምን እንደሚሠሩ በጭራሽ እንደማያውቁ ያስታውሱ። "ነጥብ"እና "ቀጥታ".

ሬይ ፣ ክፍል ፣ አንግል።

አሁን በመስመሮች ላይ ነጥቦችን ማስቀመጥ እና መስመሮችን በነጥቦች መሳል ተምረናል, ስለዚህ አስቀድመን የመጀመሪያውን ቀላል "ምግብ" ማዘጋጀት እንችላለን -, የመስመር ክፍል,ጥግ.

1) BEAM

እነሆ እሱ፣

2) ቆርጠህ

አሁን ነገሮችን በቅደም ተከተል እናስቀምጥ። ቀጣዩ ተከታታይ አክሲዮሞች ይባላሉ፡-

II. የሥርዓት አክሲሞች።

አሁን - ቀጣዩ ደረጃ. መመሪያ እንፈልጋለን መለኪያክፍሎች እና ማዕዘኖች. እነዚህ axioms ይባላሉ

III. ለክፍሎች እና ማዕዘኖች የመለኪያዎች Axioms.

እና አሁን ሙሉ ለሙሉ እንግዳ ነው.

IV. ከተሰጠው ጋር እኩል የሆነ ትሪያንግል መኖሩን Axioms.

የዚህ axiom ሁለት ማያያዣዎች የበለጠ ግልጽ ናቸው፡-

ደህና, የመጨረሻው አፈ ታሪክ ነው ትይዩ axiom!

ግን መጀመሪያ ትርጉም:

V. ትይዩዎች Axiom.

እሺ አልቋል የፕላኒሜትሪ axioms! በጣም ብዙ ናቸው? ግን አስቡት, ሁሉም ያስፈልጋሉ. ለእያንዳንዳቸው ተንኮለኛ ፣ ተንኮለኛ አስተሳሰብ አለ ፣ ይህ የሚያሳየው ይህንን አክሱም ካስወገዱ ፣ ከዚያ አጠቃላይ የጂኦሜትሪ ህንፃ ይፈርሳል! ደህና፣ ወይም ከለመድነው ፈጽሞ የተለየ ነገር ይቀራል።

አሁን ስለ ማዕዘኖች ሁለት መሠረታዊ እውነታዎች!

ተያያዥ እና ቀጥ ያሉ ማዕዘኖች.

አንግል የሚፈጥሩት ጨረሮች የማዕዘን ጎኖች ይባላሉ እና የእነሱ አጠቃላይ ጅምር- ከላይ

ይህ ሙሉ በሙሉ ነው። ቀላል ቲዎሪ, እውነት?

ከሁሉም በኋላ የጋራ ጎንአጎራባች ማዕዘኖች በቀላሉ ቀጥ ያለ አንግል ወደ ሁለት ማዕዘኖች ይከፍላሉ እና ስለዚህ (ትኩረት፡ Axiom 3.2 ይሰራል!)የአጎራባች ማዕዘኖች ድምር ከተዘረጋው መጠን ጋር እኩል ነው, ማለትም.

ከመግለጽ ይልቅ ለመሳል ቀላል ነው - ምስሉን ይመልከቱ.

ይህ ደግሞ ቀላል ቲዎሪ ነው. እርግጠኛ ይሁኑ:

አጣዳፊ እና ግልጽ ያልሆነ አንግል።

አጭር መግለጫ እና መሰረታዊ ቀመሮች

የባለቤትነት አክሲሞች፡-

• አክሲዮም 1. መስመሩ ምንም ይሁን ምን, የዚህ መስመር የሆኑ ነጥቦች እና የእሱ ያልሆኑ ነጥቦች አሉ.
• Axiom 2. በማንኛውም ሁለት ነጥቦች ቀጥተኛ መስመር መሳል ይችላሉ, እና አንድ ብቻ.

የትዕዛዝ አክሲሞች፡-

• አክሲዮም 3. በአንድ መስመር ላይ ካሉት ሶስት ነጥቦች አንዱ እና አንድ ብቻ በሁለቱ መካከል ይገኛሉ።
• Axiom 4. በአውሮፕላን ውስጥ የተኛ ቀጥተኛ መስመር ይህንን አውሮፕላን ለሁለት ግማሽ አውሮፕላኖች ይከፍላል. የአንድ ክፍል ጫፎች ከተመሳሳይ የግማሽ አውሮፕላን ውስጥ ከሆኑ, ክፍሉ መስመሩን አያቋርጥም. የአንድ ክፍል ጫፎች የተለያዩ የግማሽ አውሮፕላኖች ከሆኑ ክፍሉ መስመርን ያቋርጣል።

የክፍሎች እና ማዕዘኖች መለኪያዎች

• Axiom 5. እያንዳንዱ ክፍል የተወሰነ ርዝመት አለው, ከዜሮ ይበልጣል. የአንድ ክፍል ርዝመት በማናቸውም ነጥቦቹ የተከፋፈለባቸው ክፍሎች ርዝመቶች ድምር ጋር እኩል ነው.
• Axiom 6. እያንዳንዱ አንግል ከዜሮ የሚበልጥ የተወሰነ ዲግሪ መለኪያ አለው። ቀጥ ያለ ማዕዘን እኩል ነው. የማዕዘን የዲግሪ ልኬት በጎኖቹ መካከል በሚያልፉ ማናቸውም ጨረሮች የተከፋፈሉበት የማዕዘኖቹ የዲግሪ መለኪያዎች ድምር ጋር እኩል ነው።

ከተሰጠው ጋር እኩል የሆነ የሶስት ማዕዘን መኖር አክሲዮኖች፡-

ትይዩ አክሲዮም፡

• Axiom 8. በአውሮፕላን ላይ፣ በተሰጠው መስመር ላይ በማይተኛ ነጥብ፣ ቢበዛ ከተሰጠው ጋር ትይዩ የሆነ አንድ ቀጥተኛ መስመር መሳል ይችላሉ።

ስለ ማዕዘኖች መሰረታዊ እውነታዎች፡-

• ቲዎረም. የአጎራባች ማዕዘኖች ድምር እኩል ነው።

እንግዲህ ርዕሱ አልቋል። እነዚህን መስመሮች እያነበብክ ከሆነ, በጣም አሪፍ ነህ ማለት ነው.

ምክንያቱም ሰዎች 5% ብቻ አንድን ነገር በራሳቸው መቆጣጠር ይችላሉ. እና እስከ መጨረሻው ካነበቡ, በዚህ 5% ውስጥ ነዎት!

አሁን በጣም አስፈላጊው ነገር.

በዚህ ርዕስ ላይ ያለውን ንድፈ ሐሳብ ተረድተሃል. እና፣ እደግመዋለሁ፣ ይሄ... ይሄ ብቻ የላቀ ነው! እርስዎ ቀድሞውንም ከብዙዎቹ እኩዮችዎ የተሻሉ ነዎት።

ችግሩ ይህ በቂ ላይሆን ይችላል ...

ለምንድነው?

ለስኬት የተዋሃደ የስቴት ፈተናን ማለፍበበጀት ወደ ኮሌጅ ለመግባት እና ከሁሉም በላይ ደግሞ ለህይወት።

ምንም አላሳምንህም፣ አንድ ነገር ብቻ እናገራለሁ...

የተቀበሉ ሰዎች ጥሩ ትምህርት, ካልተቀበሉት የበለጠ ገቢ ያገኛሉ. ይህ ስታቲስቲክስ ነው።

ግን ይህ ዋናው ነገር አይደለም.

ዋናው ነገር እነሱ የበለጠ ደስተኛ ናቸው (እንዲህ ያሉ ጥናቶች አሉ). ምናልባት በፊታቸው ብዙ ክፍት ስላለ ነው። ተጨማሪ እድሎችእና ሕይወት ብሩህ ይሆናል? አላውቅም...

ግን ለራስህ አስብ...

በተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ ከሌሎች የተሻሉ ለመሆን እና በመጨረሻም ደስተኛ ለመሆን... የበለጠ ደስተኛ ለመሆን ምን ያስፈልጋል?

በዚህ ርዕስ ላይ ችግሮችን በመፍታት እጅዎን ያግኙ።

በፈተና ወቅት ንድፈ ሃሳብ አይጠየቁም።

ያስፈልግዎታል ችግሮችን በጊዜ መፍታት.

እና, ካልፈታሃቸው (ብዙ!), በእርግጠኝነት የሆነ ቦታ ላይ ሞኝ ስህተት ትሰራለህ ወይም በቀላሉ ጊዜ አይኖርህም.

ልክ እንደ ስፖርት ነው - በእርግጠኝነት ለማሸነፍ ብዙ ጊዜ መድገም ያስፈልግዎታል።

ስብስቡን በፈለጉበት ቦታ ያግኙት፣ ከመፍትሔዎች ጋር የግድ ዝርዝር ትንታኔ እና ይወስኑ ፣ ይወስኑ ፣ ይወስኑ!

ተግባሮቻችንን መጠቀም ይችላሉ (አማራጭ) እና እኛ በእርግጥ እንመክራለን።

ተግባሮቻችንን በተሻለ መንገድ ለመጠቀም፣ አሁን እያነበብከው ያለውን የዩክሌቨር መማሪያ መጽሐፍ እድሜ ለማራዘም መርዳት አለብህ።

እንዴት? ሁለት አማራጮች አሉ፡-

1. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ሁሉንም የተደበቁ ተግባራትን ይክፈቱ - 299 ሩብልስ.
2. በሁሉም 99 የመማሪያ መጣጥፎች ውስጥ የሁሉም የተደበቁ ተግባራት መዳረሻን ይክፈቱ - 999 ሩብልስ.

አዎን፣ በመማሪያ መጽሐፋችን ውስጥ 99 እንደዚህ ያሉ ጽሑፎች አሉን እና ሁሉንም ተግባራት ማግኘት እና በውስጣቸው ያሉ ሁሉም የተደበቁ ጽሑፎች ወዲያውኑ ሊከፈቱ ይችላሉ።

በሁለተኛው ጉዳይ እንሰጥሃለን። simulator "6000 ችግሮች መፍትሄዎች እና መልሶች, ለእያንዳንዱ ርዕስ, በሁሉም ውስብስብነት ደረጃዎች." በማንኛውም ርዕሰ ጉዳይ ላይ ችግሮችን ለመፍታት እጆችዎን ለማግኘት በእርግጠኝነት በቂ ይሆናል.

በእውነቱ ፣ እሱ ከማስመሰያው የበለጠ ነው - ሙሉ ፕሮግራምአዘገጃጀት. አስፈላጊ ከሆነም በነጻ ሊጠቀሙበት ይችላሉ።

የሁሉም ጽሑፎች እና ፕሮግራሞች መዳረሻ ለጣቢያው ሕልውና በሙሉ ጊዜ ተሰጥቷል።

በማጠቃለል...

ተግባሮቻችንን ካልወደዱ ሌሎችን ያግኙ። በቲዎሪ ብቻ አታቁሙ።

"ተረድቻለሁ" እና "መፍታት እችላለሁ" ፍጹም የተለያዩ ችሎታዎች ናቸው. ሁለቱንም ያስፈልግዎታል.

ችግሮችን ይፈልጉ እና ይፍቱ!

ነገር ግን ከዚያ ተማሪው በሶስት ማዕዘን ውስጥ ያሉት ማዕዘኖች ድምር 180 ° መሆኑን እንዲያረጋግጥ ተጠይቋል። ተማሪው የትይዩ መስመሮችን ባህሪያት ጠቅሷል። ነገር ግን በትይዩ መስመሮች ምልክቶች ላይ በመመርኮዝ የትይዩ መስመሮችን ባህሪያት ማረጋገጥ ጀመረ. ክበቡ ተዘግቷል. ስለዚህ, ጽንሰ-ሐሳቡን ሲደግሙ, ወጥነት ያለው እና በትኩረት ይከታተሉ. የቲዎሪውን ማረጋገጫ ሲያነቡ ልዩ ትኩረትየንድፈ-ሀሳቡ ሁኔታዎች በማረጋገጫው ውስጥ የት ጥቅም ላይ እንደሚውሉ እና ቀደም ሲል የተረጋገጡ ንድፈ ሐሳቦች ጥቅም ላይ እንደዋሉ ትኩረት ይስጡ.
በዚህ ክፍል ውስጥ የንድፈ ሃሳቦች ቀመሮች በ A.V. Pogorelov "ጂኦሜትሪ" በሚለው የመማሪያ መጽሀፍ መሰረት ይሰጣሉ. 7-9 ክፍሎች.

የፕላኒሜትሪ መሰረታዊ ንድፈ ሃሳቦች እና ከነሱ የሚመጡ ውጤቶች

1. በመስመሮች ላይ ያሉ ንድፈ ሃሳቦች (በአውሮፕላኑ ላይ ትይዩ እና ቀጥተኛነት)

ትይዩ መስመሮች ባህሪያት.
ከሶስተኛው ጋር ትይዩ የሆኑ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው (ምሥል 57).
(a||c, b||c)? ሀ||ለ.

ሁለት ትይዩ መስመሮች በሦስተኛው መስመር ከተጠለፉ, ውስጣዊ ተሻጋሪ ማዕዘኖች እኩል ናቸው, እና የውስጣዊው አንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር 180 ° (ምስል 58) ነው.
ሀ||b? ? = ?
? + ? = 180 °.

ትይዩ መስመሮች ምልክቶች.
ሁለት ቀጥ ያሉ መስመሮች አንድ ሦስተኛውን ሲያቋርጡ፣ የተጠላለፉት የውስጥ ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ፣ ቀጥ ያሉ መስመሮች ትይዩ ናቸው (ምሥል 59)።
እርስ በእርሳቸው የተጋደሉ ውስጣዊ ማዕዘኖች እኩል ናቸው? ሀ||ለ.

ሁለት ቀጥ ያሉ መስመሮች አንድ ሦስተኛውን ሲያቋርጡ በውጤቱ ውስጥ ያሉት የአንድ-ጎን ማዕዘኖች ድምር ከ180° ጋር እኩል ከሆነ፣ ቀጥ ያሉ መስመሮች ትይዩ ናቸው (ምሥል 60)።
ሀ||ለ.

ሁለት ቀጥ ያሉ መስመሮች አንድ ሦስተኛውን ሲያቋርጡ፣ የሚመጡት ተጓዳኝ ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ፣ ቀጥ ያሉ መስመሮች ትይዩ ናቸው (ምሥል 61)።
ሀ||ለ.

በአንድ መስመር ላይ ቀጥ ያለ ህልውና እና ልዩነት ላይ ያሉ ንድፈ ሃሳቦች። በእያንዳንዱ መስመር ነጥብ ወደ እሱ ቀጥ ያለ መስመር መሳል ይችላሉ ፣ እና አንድ ብቻ (ምስል 62)።

ከየትኛውም ነጥብ በተሰጠው መስመር ላይ አለመዋሸት, በዚህ መስመር ላይ አንድ perpendicular ዝቅ ማድረግ ይችላሉ, እና አንድ ብቻ (ምስል 63).

መስመር ለ በ ነጥብ A በኩል የሚያልፍ ብቸኛው መስመር ከ ሀ.

ትይዩ እና perpendicularity መካከል ያለው ግንኙነት.
ከሦስተኛው ጋር ቀጥ ያሉ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው (ምሥል 64).
(a? c, b? c)? ሀ||ለ.

አንድ መስመር ከአንዱ ትይዩ መስመሮች ጋር ቀጥ ያለ ከሆነ፣ እሱ ደግሞ ከሌላው ጋር ቀጥ ያለ ነው (ምስል 65)።
(a? b, b||c)? አ? ጋር።

ሩዝ. 65.

2 ስለ ማዕዘኖች ጽንሰ-ሐሳቦች. በሶስት ማዕዘን ውስጥ ያሉ ማዕዘኖች. በክበብ ውስጥ የተቀረጹ ማዕዘኖች

ንብረት ቋሚ ማዕዘኖች.
ቋሚ ማዕዘኖች እኩል ናቸው (ምስል 66)
? = ?.

የማዕዘን ንብረት isosceles triangle. በ isosceles triangle ውስጥ, የመሠረት ማዕዘኖች እኩል ናቸው. የተቃራኒው ቲዎሬም እውነት ነው፡ በሦስት ማዕዘን ውስጥ ያሉት ሁለት ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ ኢሶሴልስ ነው (ምስል 67)።
AB = ዓ.ዓ? ?አ = ?ሲ.

በሶስት ማዕዘን ውስጥ በማእዘኖች ድምር ላይ ቲዎሪ.
የሶስት ማዕዘን የውስጥ ማዕዘኖች ድምር 180° ነው (ምስል 68)።
? + ? + ? = 180 °.

በኮንቬክስ n-ጎን ውስጥ በማእዘኖች ድምር ላይ ቲዮረም.
የማዕዘን ድምር convex n-gonከ180° ጋር እኩል ነው?(n - 2) (ምስል 69)።

ምሳሌ፡ ?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°።

በሶስት ማዕዘን ውጫዊ ማዕዘን ላይ ያለው ቲዮረም.
የሶስት ማዕዘን ውጫዊ አንግል ከእሱ አጠገብ ከሌሉት የሁለት ውስጣዊ ማዕዘኖች ድምር ጋር እኩል ነው (ምስል 70)
? = ? + ?.

በክበብ ውስጥ በተቀረጸው የማዕዘን መጠን ላይ ቲዎሪ.
በክበብ ውስጥ የተቀረጸ አንግል ከግማሽ ጋር እኩል ነውተዛማጅ q ማዕከላዊ ማዕዘን(ምስል 71)

ሩዝ. 71.

3. ስለ ትሪያንግል መሰረታዊ ንድፈ ሃሳቦች

የሶስት ማዕዘን እኩልነት ምልክቶች. ሁለት ጎኖች እና የአንድ ትሪያንግል በመካከላቸው ያለው አንግል በቅደም ተከተል ወደ ሁለት ጎኖች እና በሌላ ትሪያንግል መካከል ያለው አንግል እኩል ከሆኑ እንደዚህ ያሉ ሶስት ማዕዘኖች አንድ ላይ ናቸው (ምሥል 72)።

ABC = ?A1B1C1 ምክንያቱም AB = A1B1, AC = A1C1 እና?A =?A1.
የአንድ ትሪያንግል ጎን እና አጎራባች ማዕዘኖች እንደ ቅደም ተከተላቸው, ወደ ጎን እና ከሌላው የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ጋር እኩል ከሆኑ, እንደዚህ ያሉ ሶስት ማዕዘኖች አንድ ላይ ናቸው (ምሥል 73).

ABC = ?A1B1C1 ምክንያቱም AC = A1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.

የአንድ ትሪያንግል ሶስት ጎኖች በቅደም ተከተል ወደ ሌላ ትሪያንግል ሶስት ጎን እኩል ከሆኑ, እንደዚህ ያሉ ሶስት ማዕዘኖች አንድ ላይ ናቸው (ምሥል 74).

ABC = ?A1B1C1 ምክንያቱም AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1.

የእኩልነት ምልክቶች የቀኝ ትሪያንግሎች.
የአንድ ትሪያንግል hypotenuse እና እግር ከሌላው ትሪያንግል hypotenuse እና እግር ጋር እኩል ከሆኑ እንደዚህ ያሉ ትሪያንግሎች አንድ ላይ ናቸው (ምስል 75)።

ABC = ?A1B1C1 ምክንያቱም ?A = ?A1 = 90 °; BC = B1C1; AB = A1B1.
የአንድ ትሪያንግል hypotenuse እና አጣዳፊ አንግል ከ hypotenuse እና ጋር እኩል ከሆኑ ሹል ጥግሌላ ትሪያንግል, ከዚያም እንደዚህ ያሉ ሶስት ማዕዘኖች እኩል ናቸው (ምሥል 76).

ABC =?A1B1C1፣ምክንያቱም AB = A1B1፣?A =?A1 a?C =?C1 = 90°።

የ isosceles ትሪያንግል ሚዲያን ንብረት።
በ isosceles triangle ውስጥ, ወደ መሰረቱ የሚቀርበው ሚዲያን ቢሴክተር እና ቁመቱ (ምስል 77) ነው.

(AB = BC, AM = MS)? (?AVM = ?MVS፣ ?AMV =?BMC = 90°)።

ንብረት መካከለኛ መስመርትሪያንግል.
የሶስት ማዕዘኑ መካከለኛ መስመር, የእነዚህ ሁለት ጎኖች መካከለኛ ነጥቦችን በማገናኘት, ከሦስተኛው ጎን እና ከግማሽ ጋር እኩል ነው (ምሥል 78).

EF||AC፣ EF = 1/2AC፣ ከ AE = EB እና BF = FC ጀምሮ።

የሳይንስ ቲዎሪ.
የሶስት ማዕዘኑ ጎኖች ከተቃራኒ ማዕዘኖች (ስዕል 79) ኃጢአቶች ጋር ተመጣጣኝ ናቸው.

ሩዝ. 79.

ኮሳይን ቲዎረም.
የሶስት ማዕዘኑ የየትኛውም ጎን ካሬ የእነዚህ ሁለት ጎኖች ውጤት ከሌለው ከሌሎቹ ሁለት ጎኖች ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው (ምስል 80)።

A2= b2+ c2– 2bc cos?.
የፓይታጎሪያን ቲዎረም ( ልዩ ጉዳይኮሳይን ቲዎረም).
በትክክለኛው ትሪያንግል ውስጥ, የ hypotenuse ስኩዌር ከእግሮቹ ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው (ምሥል 81).

C2= a2+ b2

4. በአውሮፕላን ላይ ተመጣጣኝ እና ተመሳሳይነት

የቴልስ ቲዎሪ.
የማዕዘን ጎኖቹን የሚያቋርጡ ትይዩ መስመሮች በአንድ በኩል ከተቆረጡ እኩል ክፍሎች, ከዚያም በሌላኛው በኩል እኩል ክፍሎችን ቆርጠዋል (ምሥል 82).

(AB = BC, AA1||BB1||CC1)? A1B1 = В1С1, q እና р - አንግል የሚፈጥሩ ጨረሮች?.
a, b, c - የማዕዘን ጎኖቹን የሚያቋርጡ ቀጥታ መስመሮች.

ቲዎሪ ስለ ተመጣጣኝ ክፍሎች(የታልስ ቲዎሬም አጠቃላይ).
የማዕዘን ጎኖቹን የሚያቋርጡ ትይዩ ቀጥታ መስመሮች ከማዕዘኑ ጎኖቹ ተመጣጣኝ ክፍሎችን ቆርጠዋል (ምሥል 83).

ሩዝ. 83.

ወይም

የሶስት ማዕዘን ባለ ሁለት ማዕዘን ንብረት.
የሶስት ማዕዘኑ ባለ ሁለት ጎን ጎን ለጎን ከሌሎቹ ሁለት ጎኖች ጋር ተመጣጣኝ በሆነ ክፍልፋዮች ይከፍላል (ምሥል 84)።

ከሆነስ? =? እንግዲህ

ወይም

የሶስት ማዕዘን ተመሳሳይነት ምልክቶች.
የአንድ ትሪያንግል ሁለት ማዕዘኖች ከሌላ ትሪያንግል ሁለት ማዕዘኖች ጋር እኩል ከሆኑ እንደዚህ ያሉ ሶስት ማዕዘኖች ተመሳሳይ ናቸው (ምስል 85)።

ትሪያንግሎች ABC እና A1B1C1 ተመሳሳይ ናቸው ምክንያቱም? =?1 እና? =?1.
የአንድ ትሪያንግል ሁለት ጎኖች ከሌላው ትሪያንግል ሁለት ጎኖች ጋር ተመጣጣኝ ከሆኑ እና በእነዚህ ጎኖች የተሠሩት ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ ሶስት ማዕዘኖቹ ተመሳሳይ ናቸው (ምስል 86)።

ትሪያንግሎች ABC እና A1B1C1 ተመሳሳይ ናቸው ምክንያቱም

እና? =?1.
የአንድ ትሪያንግል ጎኖች ከሌላው ትሪያንግል ጎን ጋር ተመጣጣኝ ከሆኑ, እንደዚህ ያሉ ሶስት ማዕዘኖች ተመሳሳይ ናቸው (ምሥል 87).

ትሪያንግሎች ABC እና A1B1C1 ተመሳሳይ ናቸው፣ ምክንያቱም

5. መሰረታዊ የጂኦሜትሪክ እኩልነት

የተዘበራረቀ እና ቀጥ ያለ ርዝመት ያለው ጥምርታ።
ቀጥ ያለ እና ዘንበል ያሉ መስመሮች ከአንድ ነጥብ ወደ ቀጥታ መስመር ከተሳቡ ማንኛውም መስመር ከቋሚው የበለጠ ነው ፣ እኩል የሆነ መስመር አላቸው ። እኩል ትንበያዎች፣ ከሁለቱ ዘንበል ካሉት ፣ ትልቅ ትንበያ ያለው ትልቅ ነው (ምስል 88)
አአ"< АВ < АС; если А"С >A"B፣ ከዚያ AC > AB።

የሶስት ማዕዘን አለመመጣጠን.
ሦስቱ ነጥቦች ምንም ቢሆኑም፣ በእነዚህ ሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት አይደለም። ከመጠኑ በላይከነሱ እስከ ሦስተኛው ነጥብ ድረስ ያለው ርቀት. በማናቸውም ትሪያንግል ውስጥ እያንዳንዱ ጎን ከሌሎቹ ሁለት ጎኖች ድምር ያነሰ ነው (ምስል 89)።
ኤሲ< АВ + ВС.

በጎኖቹ መጠኖች እና በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ ባሉ ማዕዘኖች መጠኖች መካከል ያለው ግንኙነት።
በሶስት ማዕዘን ውስጥ, ከትልቁ አንግል ተቃራኒ ነው ትልቅ ጎንትልቁ አንግል ከትልቁ ጎን ተቃራኒ ነው (ምሥል 90)።
(ቢ.ሲ.< AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).

ሩዝ. 90.

6. በአውሮፕላኑ ላይ የነጥቦች መሰረታዊ የጂኦሜትሪክ ቦታዎች

ጂኦሜትሪክ ቦታየአውሮፕላኑ እኩል ርቀት ከማዕዘኑ ጎኖች ጎን ለጎን የሚሄድ ነጥብ ይሆናል የተሰጠው ማዕዘን(ምስል 91).

AK = AT, A በ bisector ላይ ማንኛውም ነጥብ ነው የት.
የነጥቦች ጂኦሜትሪክ ቦታ ከሁለት ከተሰጡ ነጥቦች እኩል የሆነ ቦታ እነዚህን ነጥቦች በማገናኘት እና በመሃል በኩል በሚያልፈው ክፍል ቀጥ ያለ መስመር ይሆናል (ምሥል 92)።

ኤምኤ = ሜባ፣ M በክፍል AB ቋሚ ባይሴክተር ላይ የዘፈቀደ ነጥብ ነው።
በአውሮፕላኑ ውስጥ ያለው የጂኦሜትሪክ የቦታ አቀማመጥ ከ የተሰጠው ነጥብ, በዚህ ቦታ መሃከል ያለው ክበብ ይኖራል (ምሥል 93).

ነጥብ O ከክበቡ ነጥቦች ጋር እኩል ነው።

የሶስት ማዕዘኑ ክብ መሃከል የሚገኝበት ቦታ.
በሦስት ማዕዘኑ ዙሪያ የተከበበው የክበብ መሃከል በእነዚህ ጎኖች መካከለኛ ነጥቦች በኩል ወደ ተሳለው የሶስት ማዕዘኑ የጎን ቋሚዎች መገናኛ ነጥብ ነው (ምሥል 94)።

A, B, C በክበቡ ላይ የተኛ የሶስት ማዕዘን ጫፎች ናቸው.
AM = MV እና AK = KS.
ነጥቦች M እና K እንደየቅደም ተከተላቸው AB እና AC ወደ ጎን የፔንዲኩላር መሠረቶች ናቸው።

በሶስት ማዕዘን ውስጥ የተቀረጸው የክበብ ማእከል ቦታ.
በሶስት ማዕዘን ውስጥ የተቀረጸው የክበብ መሃል የቢስክተሮች መገናኛ ነጥብ ነው (ምሥል 95).

በኤቢሲ፣ AT እና SC ክፍሎቹ ባለ ሁለት ክፍል ናቸው።

7. ስለ አራት ማዕዘናት ጽንሰ-ሐሳቦች

ትይዩዎች ባህሪያት.
ትይዩ ተቃራኒ ጎኖች ያሉት እኩል ነው። በትይዩ, ተቃራኒ ማዕዘኖች እኩል ናቸው.
የፓራሌሎግራም ዲያግራኖች እርስ በርስ ይገናኛሉ እና በመገናኛ ነጥብ ላይ በግማሽ ይከፈላሉ (ምሥል 96).

AB = CD፣ BC = AD፣ ?BAD =?BCD፣ ?ABC = ?ADC፣ AO = OC፣ BO = OD.

የትይዩ ምልክቶች.
አንድ አራት ማዕዘን ሁለት ጎን ትይዩ እና እኩል ከሆነ, ከዚያም ትይዩ ነው (ምሥል 97).

ዓ.ዓ|| AD፣ BC = AD? ABCD ትይዩ ነው።

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያላቸው ዲያግራኖች እርስ በርስ ከተገናኙ እና በመገናኛ ነጥብ በግማሽ ከተከፋፈሉ, ይህ አራት ማዕዘን ትይዩ (ምስል 98) ነው.

AO = OS፣ VO = OD? ABCD ትይዩ ነው።

የአራት ማዕዘን ባህሪያት.
ሬክታንግል የአንድ ትይዩ ባህሪያቶች አሉት (አራት ማዕዘን እኩል ተቃራኒ ጎኖች አሉት፣ አራት ማዕዘኑ እኩል ተቃራኒ ማዕዘኖች አሉት (90°)፣ የሬክታንግል ዲያግራናሎች እርስ በእርስ ይገናኛሉ እና በመገናኛ ነጥቡ በሁለት ይከፈላሉ)።
የአራት ማዕዘኑ ዲያግራኖች እኩል ናቸው (ምስል 99)።
AC = ቢዲ

አራት ማዕዘን ምልክት.
አንድ ትይዩ ሁሉም እኩል ማዕዘኖች ካሉት አራት ማዕዘን ነው።

የ rhombus ባህሪያት.
rhombus በሁሉም ትይዩ ባህሪያት ይገለጻል ( rhombus ተቃራኒ ጎኖች እኩል ናቸው - በአጠቃላይ ሁሉም ጎኖች በትርጉሙ እኩል ናቸው ፣ ራምቡስ ተቃራኒ ማዕዘኖች እኩል ናቸው ፣ የ rhombus ዲያግራኖች እርስ በእርስ ይገናኛሉ እና በመገናኛው በግማሽ ይከፈላሉ ። ነጥብ)።
የ rhombus ዲያግራኖች በቀኝ ማዕዘኖች ይገናኛሉ።
የ rhombus ዲያግራኖች የማዕዘኖቹ ሁለት ክፍሎች ናቸው (ምሥል 100)።

ኤሲ? ቢዲ፣ ?አቢዲ = ?ዲቢሲ = ?ሲዲቢ = ?ቢዲኤ፣ ?BAC =?CAD = ?BCA = ?ዲሲ

የአልማዝ ምልክት.
አንድ ትይዩ ዲያግኖል (ፔንዲኩላር ዲያግናልስ) ካለው፣ ይህ rhombus ነው።

የአንድ ካሬ ባህሪያት.
አንድ ካሬ አራት ማዕዘን እና ራምቡስ ባህሪያት አሉት.

የካሬ ምልክት.
የሬክታንግል ዲያግራኖች በቀኝ ማዕዘኖች ከተገናኙ ፣ ከዚያ ካሬ ነው።

የአንድ ትራፔዞይድ መካከለኛ መስመር ንብረት።
የ trapezoid መካከለኛ መስመር ከመሠረቱ ጋር ትይዩ እና ከግማሽ ድምራቸው ጋር እኩል ነው (ምሥል 101).

ሩዝ. 101.

የተቀረጹ እና የተከበቡ አራት ማዕዘናት መስፈርቶች።
አንድ ክበብ በአራት ማዕዘን ዙሪያ ሊገለጽ የሚችል ከሆነ, የእሱ ተቃራኒ ማዕዘኖች ድምር ከ 180 ° (ምስል 102) ጋር እኩል ነው.
?A + ?C = ?B + ?D = 180°።

አንድ ክበብ በአራት ማዕዘን ውስጥ ሊቀረጽ የሚችል ከሆነ, ከዚያም ድምሮቹ ተቃራኒ ጎኖችእኩል ናቸው (ምስል 103).
AB + ሲዲ = AD + ዓክልበ.

ሩዝ. 103.

8. የክበብ ጽንሰ-ሐሳቦች

የኮርዶች እና ሴክተሮች ንብረት።
AB እና የክበብ ሲዲ በነጥብ S ላይ ከተገናኙ AS? BS = CS? DS (ምስል 104).

ሁለት ሴክተሮች ከ ነጥብ S ወደ ክበብ ከተሳሉ ፣ ክብውን በ A ፣ B እና C ፣ D ፣ በቅደም ተከተል ፣ ከዚያም AS? BS = CS? DS (ምስል 105).

ቁጥር?.
የክበብ ክብ እና የዲያሜትር ጥምርታ በክበቡ ራዲየስ ላይ የተመካ አይደለም, ማለትም, ለማንኛውም ሁለት ክበቦች ተመሳሳይ ነው. ይህ ቁጥር እኩል ነው? (ምስል 106).

ሩዝ. 106.

9. ቬክተሮች

ከመሠረት ጋር በተያያዘ የቬክተር መበስበስ ላይ ቲዮረም.
በአውሮፕላኑ ውስጥ ሁለት ኮሊኔር ያልሆኑ ቬክተሮች ሀ እና ለ እና ሌላ ማንኛውም ቬክተር ሲ ከተሰጡ፣ ከዚያም አሉ ነጠላ ቁጥሮች n እና m, እንደ c = na + mb (ምስል 107).
የት

በቬክተሮች scalar ምርት ላይ ቲዮረም.
የቬክተሮች ስኬር ምርት ፍፁም q እሴቶቻቸው (ርዝመቶች) በመካከላቸው ባለው አንግል ኮሳይን (ምስል 108) ጋር እኩል ነው።
ኦአ? OB = ኦአ? ኦ.ቢ.? cos?.

ሩዝ. 108.

መሰረታዊ የፕላኒሜትሪ ቀመሮች

ለሦስት ማዕዘን (ምስል 109)፡-

ሩዝ. 109.

a, b, c የሶስት ማዕዘን ጎኖች ሲሆኑ;
?፣ ?፣ ? - ከእነሱ ጋር ተቃራኒ ማዕዘኖች;
r እና R የተቀረጹ እና የተከበቡ ክበቦች ራዲየስ ናቸው;
ha, ma, la - ቁመት, ሚዲያን እና bisector ወደ ጎን ተስሏል a;
ኤስ - የሶስት ማዕዘን አካባቢ;

- የሶስት ማዕዘን ሴሚፔሪሜትር.
በሶስት ማዕዘን ውስጥ ያሉት ሚድያኖች በ 2: 1 ጥምርታ ውስጥ በመገናኛ ነጥብ የተከፋፈሉ ናቸው, ከጫፍ መቁጠር (ምስል 110).

ሩዝ. 110.

ለአራት ጎኖች፡-

የት a, b የመሠረቶቹ ርዝማኔዎች ናቸው;
h - የ trapezoid ቁመት.

ከጎን ሀ ፣ ለ እና አንግል ያለው የትይዩ ሎግራም አካባቢ? በመካከላቸው በቀመር S = ab sin?. ቀመሩንም መጠቀም ይችላሉ፡-

d1, d2 የዲያግኖች ርዝመቶች የት አሉ? - በመካከላቸው ያለው አንግል (ወይም S = አሃ, የት ha ቁመቱ ነው).
ለዘፈቀደ ኮንቬክስ አራት ማዕዘን(ምስል 111)

ለመደበኛ n-gon፡-

(R እና r የተከበቡ እና የተቀረጹ ክበቦች ራዲየስ ናቸው, аn የመደበኛ n-gon ጎን ርዝመት ነው).
ለክበብ እና ለክብ (ምስል 112)፡-

ሩዝ. 112.

እና 1\2R2?፣ ከሆነ? በራዲያን ውስጥ ተገልጿል.
ክፍል = ሴክተር - ስትሪያንግል.

የትንታኔ ፕላኒሜትሪ ቀመሮች

ነጥቦች A(x1; y1) እና B(x2; y2) ከተሰጡ፣ እንግዲህ

የመስመር AB እኩልታ;

በቀላሉ ወደ ቅጹ መጥረቢያ + በ + c = 0 ይቀንሳል፣ ቬክተር n = (a, b) ከመስመሩ ጋር ቀጥ ያለ ነው።
ከ ነጥብ A (x1; y1) ወደ ቀጥታ መስመር መጥረቢያ + በ + c = 0 ያለው ርቀት ነው

በትይዩ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት መጥረቢያ + በ + c1 = 0 እና ax + በ + c2 = 0 ነው

በመስመሮች a1x + Blу + c1 = 0 እና a2x + b2y + c2 = 0 መካከል ያለው አንግል በቀመር ይሰላል፡-

በነጥብ O(x0፣ y0) እና ራዲየስ R:(x - xo)2+ (y - yo)2= R2 ላይ መሃል ያለው የክበብ እኩልታ።

3.2. ራስን የመፈተሽ ጥያቄዎች

1. ሀ) የቁመት ማዕዘኖች ምን ንብረት ያውቃሉ? (1)
2. ሀ) በሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል የሶስት ማዕዘኖች እኩልነት መስፈርት ያዘጋጁ። (1)
3. ሀ) በአንድ ጎን እና በሁለት ማዕዘኖች ላይ የሶስት ማዕዘኖች እኩልነት መስፈርት ማዘጋጀት. (1)
ለ) ይህንን ምልክት ያረጋግጡ. (1)
4. ሀ) የ isosceles triangle ዋና ዋና ባህሪያትን ይዘርዝሩ። (1)
ሐ) ለ isosceles triangle ፈተናውን ያረጋግጡ። (1)
5. ሀ) በሶስት ጎን ለጎን የሶስት ማዕዘን እኩልነት መስፈርት ማዘጋጀት. (1)
ለ) ይህንን ምልክት ያረጋግጡ. (1)
6. ከሶስተኛ ጋር ትይዩ የሆኑ ሁለት መስመሮች ትይዩ መሆናቸውን ያረጋግጡ። (2)
7. ሀ) የመስመሮች ትይዩ ምልክቶችን መቅረጽ። (1)
ሐ) ተቃራኒ ጽንሰ-ሐሳቦችን ያረጋግጡ. (1)
8. ስለ ትሪያንግል ማዕዘኖች ድምር ንድፈ ሃሳቡን ያረጋግጡ። (1)
9. ያንን አረጋግጥ ውጫዊ ጥግየሶስት ማዕዘን ቅርጽ ከእሱ አጠገብ ከሌሉት የሁለት ውስጣዊ ድምር ጋር እኩል ነው. (1)
10. ሀ) የቀኝ ትሪያንግሎች እኩልነት መስፈርቶችን ማዘጋጀት. (1)
ለ) በ hypotenuse እና እግር ላይ የቀኝ ትሪያንግል እኩልነት መስፈርቶችን ማረጋገጥ; በ hypotenuse እና አጣዳፊ ማዕዘን. (1)
11. ሀ) በተወሰነ መስመር ላይ ካልተኛበት ነጥብ አንድ ነጠላ ቀጥ ያለ መስመር በዚህ መስመር ላይ ሊወርድ እንደሚችል ያረጋግጡ። (1)
ለ) በተሰጠው መስመር ላይ በተቀመጠ ነጥብ በኩል በተጠቀሰው መስመር ላይ ልዩ የሆነ መስመር መሳል እንደሚቻል ያረጋግጡ። (1)
12. ሀ) የተከበበው የሶስት ማዕዘኑ መሃል የት አለ? (1)
13. ሀ) በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ የተቀረጸው ክበብ መሃል የት አለ? (1)
ለ) ተጓዳኝ ቲዎሪውን ያረጋግጡ. (1)
14. የታንጀንት ንብረቱን በክበብ ላይ ያረጋግጡ. (1)
15. ሀ) ትይዩ ምን አይነት ባህሪያትን ያውቃሉ? (1)
ለ) እነዚህን ንብረቶች ያረጋግጡ. (1)
16. ሀ) የትይዩ ምልክቶችን ያውቃሉ? (1)
ለ) እነዚህን ምልክቶች ያረጋግጡ. (1)
17. ሀ) የአራት ማዕዘን ባህሪያት እና ባህሪያት ምን ያውቃሉ? (1)
18. ሀ) የ rhombus ባህሪያት እና ምልክቶች ምን ያውቃሉ? (1)
ለ) እነዚህን ባህሪያት እና ምልክቶች ያረጋግጡ. (1)
19. ሀ) የአደባባይ ባህሪያት እና ምልክቶች ምን ያውቃሉ? (1)
ለ) እነዚህን ባህሪያት እና ምልክቶች ያረጋግጡ. (1)
20. ሀ) የስቴት ታልስ ቲዎሬም. (1)
ለ) ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ ያረጋግጡ. (1)
21. ሀ) አጠቃላይ የታሌስ ቲዎረም (ቲዎሬም በተመጣጣኝ ክፍሎች) ይቀርፃል። (1)
ለ) ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ ያረጋግጡ. (2)
22. ሀ) የሶስት ማዕዘን መካከለኛ መስመር ምን ባህሪያት ያውቃሉ? (1)
ለ) እነዚህን ንብረቶች ያረጋግጡ. (1)
23. ሀ) ስለ ትራፔዞይድ መካከለኛ መስመር ምን ባህሪያት ያውቃሉ? (1)
ለ) እነዚህን ንብረቶች ያረጋግጡ. (1)
24. ሀ) የፓይታጎሪያን ቲዎረምን ይግለጹ። (1)
ለ) የፓይታጎሪያን ቲዎሬምን ያረጋግጡ። (1)
ሐ) የውይይት ንድፈ ሐሳብን መቅረጽ እና ማረጋገጥ. (2)
25. ማንኛውም oblique ከ perpendicular የሚበልጥ መሆኑን ያረጋግጡ, እና ሁለት obliques, ትልቁ ትንበያ ያለው አንድ ትልቅ ነው. (1)
26. ሀ) የሶስት ማዕዘኑ አለመመጣጠን. (1)
ለ) የሶስት ማዕዘን አለመመጣጠን ያረጋግጡ. (2)
27. የነጥቦች A (x1; y1) እና B (x2; y2) መጋጠሚያዎች ተሰጥተዋል.
ሀ) የ AB ክፍልን ርዝመት ለማስላት ምን ዓይነት ቀመር ጥቅም ላይ ይውላል? (1)
ለ) ይህን ቀመር ያውጡ. (1)
28. የክበብ እኩልታ ከመሃል A(x0; y0) እና ራዲየስ R. (1) ጋር ያውጡ።
29. ማንኛውም መስመር ውስጥ መሆኑን ያረጋግጡ የካርቴሲያን መጋጠሚያዎች x፣ y የቅርጽ መጥረቢያ + በ + c = 0 እኩልታ አለው። (2)
30. በ A(x1; y1) እና B(x2; y2) በኩል የሚያልፈውን የቀጥታ መስመር እኩልታ ይፃፉ። መልስ፡ አጽድቀው። (2)
31. በቀጥታ መስመር y = kx + b እኩልነት ውስጥ ፣ ቁጥሩ k የቀጥተኛው መስመር አቅጣጫ ወደ x-ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ ያለው ታንጀንት መሆኑን ያረጋግጡ። (2)
32. ሀ) ምን ዓይነት የመንቀሳቀስ ባህሪያት ያውቃሉ? (2)
ለ) እነዚህን ንብረቶች ያረጋግጡ. (3)
33. አረጋግጡ።
ሀ) ስለ አንድ ነጥብ ሲሜትሪ መለወጥ እንቅስቃሴ ነው ፣ (3)
ለ) ስለ ቀጥተኛ መስመር የሲሜትሪ ለውጥ እንቅስቃሴ ነው; (3)
ሐ) ትይዩ ትርጉም እንቅስቃሴ ነው። (3)
34. የህልውና እና የልዩነት ንድፈ ሃሳብ ያረጋግጡ ትይዩ ማስተላለፍ. (3)
35. ያንን አረጋግጥ ፍጹም ዋጋ vector ka |k| ጋር እኩል ነው። ? |a|፣ የቬክተር ካ አቅጣጫ እያለ? O ከቬክተር a if k > 0 አቅጣጫ ጋር ይጣጣማል፣ እና ከቬክተር a if k ተቃራኒ ነው።< 0. (1)
36. ማንኛውም ቬክተር ሀ ወደ ቬክተር ለ እና ሐ ሊሰፋ እንደሚችል ያረጋግጡ (ሦስቱም ቬክተሮች በአንድ አውሮፕላን ላይ ይተኛሉ)። (1)
37. የተሰጡ ቬክተር a = (a1; a2) እና b = (BL; b2). ያንን አረጋግጡ

የት ነው? - በቬክተሮች መካከል አንግል.
38. ሀ) ምን ዓይነት ንብረቶች ያውቃሉ? ነጥብ ምርትቬክተሮች? (1)
ለ) እነዚህን ንብረቶች ያረጋግጡ. (2)
39. ግብረ ሰዶማዊነት ተመሳሳይነት ያለው ለውጥ መሆኑን ያረጋግጡ. (1)
40. ሀ) የመመሳሰል ለውጥ ባህሪያት ምን ያውቃሉ? (1)
ለ) ተመሳሳይነት ለውጥ በጨረሮች መካከል ያሉትን ማዕዘኖች እንደሚጠብቅ ያረጋግጡ። (2)
41. ሀ) በሁለት ማዕዘኖች ላይ የሶስት ማዕዘኖች ተመሳሳይነት ፈተናን ያዘጋጁ። (1)
42. ሀ) በሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለውን አንግል መሰረት በማድረግ የሶስት ማዕዘኖች ተመሳሳይነት መስፈርት ማዘጋጀት። (1)
ለ) ይህንን ምልክት ያረጋግጡ. (1)
43. ሀ) በሶስት ጎን የሶስት ማዕዘኖች ተመሳሳይነት መስፈርት ማዘጋጀት። (1)
ለ) ይህንን ምልክት ያረጋግጡ. (2)
44. ሀ) የሶስት ጎንዮሽ ባለ ሁለት ማዕዘን ንብረትን ይግለጹ. (1)
ለ) የሶስት ማዕዘኑ ቢሴክተር መከፋፈሉን ያረጋግጡ በተቃራኒው በኩልከሌሎቹ ሁለት ጎኖች ጋር ተመጣጣኝ ወደ ክፍልፋዮች. (1)
45. ሀ) በክበብ ውስጥ የተቀረጸውን የማዕዘን ንብረት ይግለጹ. (1)
ለ) ይህንን ንብረት ያረጋግጡ. (1)
46. ​​ሀ) የአንድ ክበብ ኮሮች AB እና ሲዲ በ S ነጥብ ላይ ቢገናኙ ፣ ከዚያ AS? BS = CS? ዲ.ኤስ. (1)
ለ) ሁለት ሴክተሮች ከ ነጥብ S ወደ ክበብ ከተሳሉ ፣ ክበቡን በ A ፣ B እና C ፣ D ፣ በቅደም ተከተል ፣ ከዚያ AS? BS = CS? ዲ.ኤስ. (1)
47. ሀ) የኮሳይን ቲዎሬምን ለሦስት ማዕዘን ይግለጹ። (1)
ለ) ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ ያረጋግጡ. (1)
48. ሀ) የሳይንስ ጽንሰ-ሐሳብን ይግለጹ. (1)
ለ) ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ ያረጋግጡ. (1)
ሐ) በሳይንስ ጽንሰ-ሀሳብ ውስጥ እያንዳንዱ ሶስት ግንኙነቶች መሆናቸውን ያረጋግጡ።

ከ 2R ጋር እኩል ነው፣ R በሦስት ማዕዘኑ ዙሪያ የተከበበው የክበብ ራዲየስ ነው። (1)
49. በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ, ትልቁ አንግል ከትልቁ ጎን በተቃራኒው እንደሚተኛ ያረጋግጡ, እና ትልቁ ጎን ከትልቁ አንግል በተቃራኒው ይተኛል. (2)
50. ሀ) የኮንቬክስ n-ጎን ማዕዘኖች ድምር ስንት ነው? (1)
ለ) የኮንቬክስ n-ጎን ማዕዘኖች ድምር ቀመር ያውጡ። (1)
51. ሀ) ክበብ በመደበኛ ፖሊጎን ውስጥ ሊቀረጽ እንደሚችል ያረጋግጡ። (1)
ለ) ስለዚያ ያረጋግጡ መደበኛ ፖሊጎንክብ መግለጽ ይችላል። (1)
52. ዳን መደበኛ n-gonከጎን ሀ. ቀመሮቹን አውጡ፡-
ሀ) የተቀረጹ እና የተከበቡ ክበቦች ራዲየስ; (1)
ለ) የ n-gon አካባቢ; (1)
ሐ) የወርድ አንግል. (1)
53. የአንድ ክበብ ክብ እና ዲያሜትሩ ጥምርታ በክበቡ መጠን ላይ እንደማይመሰረት ያረጋግጡ. (3)
54. እንዴት ማዕዘኖችን ከ የዲግሪ መለኪያወደ ራዲያን እና በተቃራኒው? (1)
55. የሬክታንግል ስፋት ከአራት ማዕዘኑ ርዝመት እና ስፋቱ ጋር እኩል መሆኑን ያረጋግጡ። (3)
56. ሀ) የትይዩውን ቦታ ለማስላት ምን ዓይነት ቀመር ጥቅም ላይ ይውላል? (1)
ለ) ይህን ቀመር ያውጡ. (1)
57. ሀ) የሶስት ማዕዘን ቦታን ለማስላት ምን ዓይነት ቀመር ጥቅም ላይ ይውላል? (በመሠረቱ እና ቁመት). (1)
ለ) ይህን ቀመር ያውጡ. (1)
ሐ) የሄሮን ቀመር ያውጡ። (1)
58. ሀ) ትራፔዞይድ አካባቢን ለማስላት ምን ዓይነት ቀመር ጥቅም ላይ ይውላል? (1)
ለ) ይህን ቀመር ያውጡ. (1)
59. ቀመሮቹን አውጡ፡-

የት a, b, c የሶስት ማዕዘን ጎኖች ርዝመቶች ሲሆኑ;
ኤስ - አካባቢው;
R እና r የተከበቡ እና የተቀረጹ ክበቦች ራዲየስ ናቸው. (1)
60. F1 እና F2 ሁለት ይሁኑ ተመሳሳይ አሃዞችከተመሳሳይነት Coefficient k. የእነዚህ አኃዞች አካባቢዎች እንዴት ይዛመዳሉ? መልስ፡ አጽድቀው። (1)
61. ሀ) የክበብ ቦታን ለማስላት ምን ዓይነት ቀመር ጥቅም ላይ ይውላል? (1)
ለ) ይህን ቀመር ያውጡ. (3)
62. የክበብ ሴክተር አካባቢ ቀመር ያውጡ. (2)
63. የክበብ ክፍልን አካባቢ ቀመር ያውጡ። (2)
64. ሀ) የሶስት ማዕዘኑ ቢሴክተሮች በአንድ ነጥብ ላይ እንደሚገናኙ ያረጋግጡ. (2)
ለ) የሶስት ማዕዘን መገናኛዎች በአንድ ነጥብ ላይ እንደሚገናኙ ያረጋግጡ. (2)
ሐ) የሶስት ማዕዘኑ ከፍታዎች (ወይም ማራዘሚያዎቻቸው) በአንድ ነጥብ ላይ እንደሚገናኙ ያረጋግጡ. (2)
መ) ወደ ትሪያንግል ጎኖች ያሉት ቀጥ ያሉ ብስክሌቶች በአንድ ነጥብ ላይ እንደሚገናኙ ያረጋግጡ ። (1)
65. የሶስት ማዕዘኑ ስፋት ከሁለቱ ጎኖቹ ግማሽ ምርት እና በመካከላቸው ካለው አንግል ኃጢአት ጋር እኩል መሆኑን ያረጋግጡ። (1)
66. ሀ) የስቴት ሴቫ ቲዎሪ. (3)
ለ) ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ ያረጋግጡ. (3)
67. ሀ) የስቴት ምንላይ ጽንሰ-ሐሳብ. (3)
ለ) ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ ያረጋግጡ. (3)
ሐ) የውይይት ንድፈ ሐሳብን መቅረጽ እና ማረጋገጥ. (3)
68. ሀ) የአንዱ አንግል ጎኖች ከሌላው አንግል ጎኖች ጋር ትይዩ ከሆኑ እንደዚህ ያሉ ማዕዘኖች እኩል ወይም 180 ° መሆናቸውን ያረጋግጡ። (2)