ሁሉም የ USE ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ቀመሮች። በሂሳብ ውስጥ በፈተና ላይ ያለው የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ

ውስጥ የገበያ አዳራሽሁለት ተመሳሳይ ማሽኖች ቡና ይሸጣሉ. ማሽኖቹ ማእከሉ ከተዘጋ በኋላ ምሽት ላይ አገልግሎት ይሰጣሉ. "በማታ ላይ የመጀመሪያው ማሽን ቡና ያልቃል" የዝግጅቱ ዕድል 0.25 መሆኑ ይታወቃል። የዝግጅቱ ዕድል "በማታ ሁለተኛው ማሽን ቡና ያበቃል" ተመሳሳይ ነው. ሁለቱም ማሽኖች እስከ ምሽት ድረስ ቡና የማለቁ እድሉ 0.15 ነው። ምሽት ላይ በሁለቱም ማሽኖች ውስጥ ቡና የሚቀርበትን ዕድል ይፈልጉ።

መፍትሄ።

ክንውኖችን አስቡ

ሀ = ቡና በመጀመሪያ ማሽን ውስጥ ያበቃል ፣

B = ቡና በሁለተኛው ማሽን ውስጥ ያበቃል.

A B = ቡና በሁለቱም ማሽኖች ውስጥ ይጠፋል.

A + B = ቡና ቢያንስ በአንድ ማሽን ውስጥ ያልቃል።

በሁኔታ P (A) = P (B) = 0.25; P (A·B) = 0.15.

ክስተቶች A እና B የጋራ ናቸው ፣ የሁለት የጋራ ክስተቶች ድምር ዕድል የእነዚህ ክስተቶች እድሎች ድምር ጋር እኩል ነው ፣በምርታቸው ዕድል ቀንሷል።

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B) = 0.25 + 0.25 - 0.15 = 0.35.

ስለዚህ, የተቃራኒው ክስተት ዕድል, ቡናው በሁለቱም ማሽኖች ውስጥ ይቆያል, 1 - 0.35 = 0.65 ነው.

መልስ፡ 0.65.

ሌላ መፍትሄ እንስጥ።

ቡናው በመጀመሪያው ማሽን ውስጥ የመቆየት እድሉ 1 - 0.25 = 0.75 ነው. ቡናው በሁለተኛው ማሽን ውስጥ የመቆየት እድሉ 1 - 0.25 = 0.75 ነው. ቡና በመጀመሪያው ወይም በሁለተኛው ማሽን ውስጥ የመቆየት እድሉ 1 - 0.15 = 0.85 ነው. ከ P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) ጀምሮ፡ 0.85 = 0.75 + 0.75 - X፣ የሚፈለገው ዕድል ከየት ይመጣል? X = 0,65.

ማስታወሻ.

ክስተቶች A እና B ገለልተኛ እንዳልሆኑ ልብ ይበሉ። በእርግጥ, የምርቱ ዕድል ገለልተኛ ክስተቶችየእነዚህ ክስተቶች እድሎች ውጤት ጋር እኩል ይሆናል: P (A·B) = 0.25 · 0.25 = 0.0625, ነገር ግን እንደ ሁኔታው, ይህ ዕድል ከ 0.15 ጋር እኩል ነው.

ኤሌና አሌክሳንድሮቭና ፖፖቫ 10.10.2018 09:57

እኔ፣ ተባባሪ ፕሮፌሰር፣ እጩ ፔዳጎጂካል ሳይንሶችለትምህርት ቤት ልጆች ጥገኛ በሆኑ ክስተቶች ላይ ተግባራትን ማካተት ሙሉ በሙሉ ደደብ እና አስቂኝ እንደሆነ እቆጥረዋለሁ። መምህራን ይህንን ክፍል አያውቁም - በመምህራን ማሰልጠኛ ኮርሶች ላይ በቲቪ ላይ ንግግሮችን እንድሰጥ ተጋበዝኩ። ይህ ክፍል በፕሮግራሙ ውስጥ የለም እና ሊሆን አይችልም. ያለምክንያት ዘዴዎችን መፍጠር አያስፈልግም። የዚህ አይነት ተግባራት በቀላሉ ሊወገዱ ይችላሉ. እራስህን ወደ ክላሲካል የፕሮባቢሊቲዎች ፍቺ ገድብ። አዎ፣ እና ከዚያ መጀመሪያ አጥኑት። የትምህርት ቤት መጻሕፍት- ደራሲዎቹ ስለዚህ ጉዳይ የጻፉትን ይመልከቱ። የዙባሬቫን 5ኛ ክፍል ተመልከት። እሷም ምልክቶችን እንኳን አታውቅም እና እድልን እንደ መቶኛ ትሰጣለች። ከእንደዚህ አይነት የመማሪያ መጽሐፍት ከተማሩ በኋላ፣ ተማሪዎች አሁንም የመቻል እድል መቶኛ እንደሆነ ያምናሉ። ብዙ ነገር አስደሳች ተግባራትላይ ክላሲክ ትርጉምዕድሎች. የትምህርት ቤት ልጆች መጠየቅ ያለባቸው ይህ ነው። እንደዚህ አይነት ስራዎችን ለማስተዋወቅ በእናንተ ሞኝነት የዩኒቨርሲቲ መምህራን ቁጣ ገደብ የለውም።

በሴራሚክ ሰድላ ፋብሪካ ውስጥ 5% የሚሆኑት ጡቦች ጉድለት አለባቸው. በምርት ጥራት ቁጥጥር ወቅት የተበላሹ ሰቆች 40% ብቻ ተገኝተዋል። የተቀሩት ሰቆች ለሽያጭ ይላካሉ. የተመረጠውን ዕድል ይፈልጉ በዘፈቀደሲገዙ, ሰድሮች ምንም እንከን አይኖራቸውም. መልስህን ወደ መቶኛው ቅርብ።

መፍትሄ አሳይ

መፍትሄ

በምርት ጥራት ቁጥጥር ወቅት 40% የተበላሹ ንጣፎች ተለይተው ይታወቃሉ, ይህም ከተመረተው 5% የሚሆነውን ንጣፍ ይይዛሉ እና ለሽያጭ አይሄዱም. ይህ ማለት ከተመረቱት ሰቆች 0.4 · 5% = 2% አይሸጥም ማለት ነው። የተቀሩት ሰቆች - 100% - 2% = 98% - ለሽያጭ ይቀርባሉ.

100% - 95% የሚመረቱ ጡቦች ከጉድለቶች የፀዱ ናቸው. የተገዛው ንጣፍ ጉድለት የሌለበት የመሆኑ እድሉ 95%፡ 98% = \ frac (95) (98) \ በግምት 0.97

መልስ

ሁኔታ

ባትሪው የማይሞላበት ዕድል 0.15 ነው. በአንድ ሱቅ ውስጥ ያለ ደንበኛ ከእነዚህ ውስጥ ሁለቱን ባትሪዎች የያዘ የዘፈቀደ ጥቅል ይገዛል። በዚህ ጥቅል ውስጥ ያሉት ሁለቱም ባትሪዎች እንዲሞሉ እድሉን ያግኙ።

መፍትሄ አሳይ

መፍትሄ

ባትሪው የመሙላት እድሉ 1-0.15 = 0.85 ነው። "ሁለቱም ባትሪዎች ተሞልተዋል" የሚለውን የዝግጅቱን ዕድል እንፈልግ. "የመጀመሪያው ባትሪ ተሞልቷል" እና "ሁለተኛው ባትሪ ተሞልቷል" ያሉትን ክስተቶች በ A እና B እንጥቀስ. P (A) = P (B) = 0.85 አግኝተናል. ክስተቱ "ሁለቱም ባትሪዎች ተሞልተዋል" የክስተቶች መገናኛ A \ cap B ነው, የእሱ ዕድል እኩል ነው. P (A \ cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0.85\cdot 0.85 = 0,7225.

መልስ

ምንጭ፡- “ሂሳብ። ለተባበሩት መንግስታት ፈተና 2017 ዝግጅት። የመገለጫ ደረጃ." ኢድ. ኤፍ.ኤፍ. ሊሴንኮ, ኤስ.ዩ ኩላቡኮቫ.

ሁኔታ

በዓመት ውስጥ አዲስ የልብስ ማጠቢያ ማሽን በዋስትና የመጠገን እድሉ 0.065 ነው። በአንድ የተወሰነ ከተማ ውስጥ በዓመቱ 1,200 የልብስ ማጠቢያ ማሽኖች የተሸጡ ሲሆን 72ቱ ለዋስትና አውደ ጥናት ተላልፈዋል። የ "የዋስትና ጥገና" ክስተት ክስተት አንጻራዊ ድግግሞሽ በዚህ ከተማ ውስጥ ካለው ዕድል ምን ያህል የተለየ እንደሆነ ይወስኑ?

መፍትሄ አሳይ

መፍትሄ

የዝግጅቱ ድግግሞሽ "የልብስ ማጠቢያ ማሽን በዓመት ውስጥ በዋስትና ይጠግናል" እኩል ነው \frac (72) (1200) = 0.06.በ 0.065-0.06 = 0.005 ካለው ዕድል ይለያል.

መልስ

ምንጭ፡- “ሂሳብ። ለተባበሩት መንግስታት ፈተና 2017 ዝግጅት። የመገለጫ ደረጃ." ኢድ. ኤፍ.ኤፍ. ሊሴንኮ, ኤስ.ዩ ኩላቡኮቫ.

ሁኔታ

ብዕሩ ጉድለት ያለበት የመሆኑ እድሉ 0.05 ነው። በአንድ ሱቅ ውስጥ ያለ ደንበኛ ሁለት እስክሪብቶችን የያዘ የዘፈቀደ ጥቅል ይገዛል። በዚህ ጥቅል ውስጥ ያሉት ሁለቱም እስክሪብቶች ጥሩ ሊሆኑ የሚችሉበትን ዕድል ይፈልጉ።

መፍትሄ አሳይ

መፍትሄ

እጀታው የሚሰራበት እድል 1-0.05 = 0.95 ነው. “ሁለቱም እጀታዎች እየሰሩ ናቸው” የሚለውን የዝግጅቱን ዕድል እንፈልግ። "የመጀመሪያው እጀታ እየሰራ ነው" እና "ሁለተኛው እጀታ እየሰራ" ያሉትን ክስተቶች በ A እና B እንጠቅስ. P (A) = P (B) = 0.95 አግኝተናል. ክስተቱ "ሁለቱም እጀታዎች እየሰሩ ናቸው" የክስተቶች መገናኛ A \ cap B ነው, የእሱ ዕድል እኩል ነው. P (A \ cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0.95\cdot 0.95 = 0,9025.

መልስ

ምንጭ፡- “ሂሳብ። ለተባበሩት መንግስታት ፈተና 2017 ዝግጅት። የመገለጫ ደረጃ." ኢድ. ኤፍ.ኤፍ. ሊሴንኮ, ኤስ.ዩ ኩላቡኮቫ.

ሁኔታ

ስዕሉ የላብራቶሪውን ያሳያል. ጥንዚዛው በ"መግቢያ" ነጥብ ላይ ወደ ማዝ ውስጥ ይሳባል. ያዙሩ እና ይግቡ የተገላቢጦሽ አቅጣጫጥንዚዛው አይችልም, ስለዚህ በእያንዳንዱ ሹካ ላይ እስካሁን ካልሄደባቸው መንገዶች አንዱን ይመርጣል. ምርጫው ከሆነ ጥንዚዛው ከ D ለመውጣት በምን ዕድል ነው የሚመጣው ተጨማሪ መንገድበዘፈቀደ ነው።

መፍትሄ አሳይ

መፍትሄ

ጥንዚዛው ሊንቀሳቀስ በሚችልበት አቅጣጫ በመገናኛዎች ላይ ቀስቶችን እናስቀምጥ (ሥዕሉን ይመልከቱ)።

በእያንዳንዱ መስቀለኛ መንገድ ላይ ከሁለት ሊሆኑ ከሚችሉት አንዱን አቅጣጫ እንመርጣለን እና ወደ መገናኛው ሲደርስ ጥንዚዛው ወደመረጥነው አቅጣጫ እንደሚሄድ እንገምታለን.

ጥንዚዛው ወደ D መውጣት እንዲችል በእያንዳንዱ መስቀለኛ መንገድ በጠንካራ ቀይ መስመር የተጠቆመውን አቅጣጫ መምረጥ አስፈላጊ ነው. በጠቅላላው, የአቅጣጫው ምርጫ 4 ጊዜ ነው, እያንዳንዱ ጊዜ ያለፈው ምርጫ ምንም ይሁን ምን. ጠንካራ ቀይ ቀስት በእያንዳንዱ ጊዜ የመመረጥ እድሉ ነው። \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

መልስ

ምንጭ፡- “ሂሳብ። ለተባበሩት መንግስታት ፈተና 2017 ዝግጅት። የመገለጫ ደረጃ." ኢድ. ኤፍ.ኤፍ. ሊሴንኮ, ኤስ.ዩ ኩላቡኮቫ.

ሁኔታ

በክፍሉ ውስጥ 16 አትሌቶች አሉ, ከነሱ መካከል ሁለት ጓደኞች - ኦሊያ እና ማሻ. አትሌቶች በዘፈቀደ ለ 4 እኩል ቡድኖች ይመደባሉ. ኦሊያ እና ማሻ በአንድ ቡድን ውስጥ የመጨረስ እድል ይፈልጉ።

በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ያሉ ችግሮች ከመፍትሔ ጋር

1. ጥምር

ችግር 1 . በቡድኑ ውስጥ 30 ተማሪዎች አሉ። ዋና ኃላፊ, ምክትል ኃላፊ እና የሰራተኛ ማህበር አደራጅ መምረጥ አስፈላጊ ነው. ይህንን ለማድረግ ስንት መንገዶች አሉ?

መፍትሄ።ከ 30 ተማሪዎች መካከል ማንኛቸውም ዋና አስተዳዳሪ ሆነው ሊመረጡ ይችላሉ ፣ ከቀሩት 29 ተማሪዎች መካከል የትኛውም ምክትል ሆኖ ሊመረጥ ይችላል ፣ እና ከቀሩት 28 ተማሪዎች መካከል የትኛውም የሰራተኛ ማህበር አደራጅ ሆኖ መመረጥ ይችላል ፣ ማለትም n1=30 ፣ n2=29 ፣ n3=28. በማባዛት ደንብ መሰረት ጠቅላላ ቁጥር N አንድ መሪ ​​፣ ምክትሉ እና የሰራተኛ ማህበር መሪ የመምረጥ መንገዶች ከ N=n1′n2′n3=30′29′28=24360 ጋር እኩል ናቸው።

ችግር 2 . ሁለት ፖስተሮች 10 ደብዳቤዎችን ለ10 አድራሻዎች ማድረስ አለባቸው። ስራውን በስንት መንገድ ማሰራጨት ይችላሉ?

መፍትሄ።የመጀመሪያው ፊደል n1=2 አማራጮች አሉት - ወይ የሚያመለክተው ለአድራሻውየመጀመሪያው ፖስታ ወይም ሁለተኛው. ለሁለተኛው ፊደል ደግሞ n2=2 አማራጮች ወዘተ አሉ ማለትም n1=n2=…=n10=2። ስለዚህ, በማባዛት ደንቡ መሰረት, በሁለት ፖስተሮች መካከል ፊደላትን ለማሰራጨት አጠቃላይ መንገዶች ቁጥር እኩል ነው.

ችግር 3. በሳጥኑ ውስጥ 100 ክፍሎች አሉ, ከእነዚህ ውስጥ 30 ቱ 1 ኛ ክፍል, 50 2 ኛ ክፍል, የተቀሩት 3 ኛ ክፍል ናቸው. አንድ ክፍል 1 ወይም 2 ክፍልን ከሳጥን ለማስወገድ ስንት መንገዶች አሉ?

መፍትሄ።የ 1 ኛ ክፍል አንድ ክፍል በ n1 = 30 መንገድ ማውጣት ይቻላል, የ 2 ኛ ክፍል ክፍል በ n2 = 50 መንገዶች ሊወጣ ይችላል. በድምር ህግ መሰረት N=n1+n2=30+50=80 የ1ኛ ወይም 2ኛ ክፍል አንድ ክፍል ለማውጣት መንገዶች አሉ።

ችግር 5 . በውድድሩ ውስጥ የ 7 ተሳታፊዎች የአፈፃፀም ቅደም ተከተል የሚወሰነው በዕጣ ነው. ስንት የተለያዩ አማራጮችበዚህ ጉዳይ ላይ ዕጣ ማውጣት ይቻላል?

መፍትሄ።እያንዳንዱ የስዕሉ ልዩነት የሚለየው በውድድሩ ውስጥ በተሳታፊዎች ቅደም ተከተል ብቻ ነው ፣ ማለትም ፣ እሱ የ 7 ንጥረ ነገሮች መተላለፍ ነው። ቁጥራቸው እኩል ነው።

ችግር 6 . በውድድሩ 10 ፊልሞች በ5 እጩዎች እየተሳተፉ ነው። የሚከተሉት ህጎች ለሁሉም ምድቦች ከተቋቋሙ ለሽልማት ክፍፍል ምን ያህል አማራጮች አሉ? የተለያዩሽልማቶች?

መፍትሄ።እያንዳንዱ የሽልማት ማከፋፈያ አማራጮች ከ 10 ውስጥ 5 ፊልሞች ጥምረት ነው, ከሌሎች ውህዶች በአጻጻፍ እና በቅደም ተከተል ይለያያሉ. እያንዳንዱ ፊልም በአንድ ወይም በብዙ ምድቦች ሽልማቶችን ማግኘት ስለሚችል, ተመሳሳይ ፊልሞች ሊደገሙ ይችላሉ. ስለዚህ የእንደዚህ ዓይነቶቹ ጥምረት ብዛት ከ 5 የ 10 ንጥረ ነገሮች ድግግሞሽ ጋር የምደባ ብዛት ጋር እኩል ነው ።

ችግር 7 . በቼዝ ውድድር 16 ሰዎች ይሳተፋሉ። አንድ ጨዋታ በሁለት ተሳታፊዎች መካከል መደረግ ካለበት በውድድር ውስጥ ስንት ጨዋታዎች መደረግ አለባቸው?

መፍትሄ።እያንዳንዱ ጨዋታ ከ 16 ውስጥ በሁለት ተሳታፊዎች የሚጫወት ሲሆን ከሌሎቹ የሚለየው በተሳታፊዎች ጥንድ ቅንብር ብቻ ነው, ማለትም, 16 የ 2 ንጥረ ነገሮች ጥምረት ነው. ቁጥራቸው እኩል ነው.

ችግር 8 . በተግባሩ 6 ሁኔታዎች ለሁሉም እጩዎች ለሽልማት ስርጭት ምን ያህል አማራጮች እንዳሉ ይወስኑ ተመሳሳይሽልማቶች?

መፍትሄ።ለእያንዳንዱ እጩዎች ተመሳሳይ ሽልማቶች ከተቋቋሙ በ 5 ሽልማቶች ጥምረት ውስጥ የፊልሞች ቅደም ተከተል ለውጥ የለውም ፣ እና የአማራጮች ብዛት በ 10 የ 5 ክፍሎች ድግግሞሾች ፣ በቀመሩ የሚወሰነው

ተግባር 9. አትክልተኛው በሶስት ቀናት ውስጥ 6 ዛፎችን መትከል አለበት. በቀን ቢያንስ አንድ ዛፍ ቢተክል ስራውን በቀን ስንት መንገድ ማከፋፈል ይችላል?

መፍትሄ።አንድ አትክልተኛ በተከታታይ ዛፎችን ተክሎ ሊወስድ ይችላል እንበል የተለያዩ መፍትሄዎችበመጀመሪያው ቀን የትኛውን ዛፍ ማቆም እንዳለበት እና በሁለተኛው ላይ የትኛውን ዛፍ ማቆም እንዳለበት. ስለዚህ, አንድ ሰው ዛፎቹ በሁለት ክፍልፋዮች እንደሚለያዩ መገመት ይቻላል, እያንዳንዳቸው በ 5 ቦታዎች (በዛፎች መካከል) ሊቆሙ ይችላሉ. ክፍፍሎቹ አንድ በአንድ መሆን አለባቸው, ምክንያቱም አለበለዚያ ግን በአንድ ቀን አንድ ዛፍ አይተከልም. ስለዚህ, ከ 5 ውስጥ 2 ንጥረ ነገሮችን መምረጥ ያስፈልግዎታል (ድግግሞሾች የሉም). ስለዚህ, የመንገዶች ብዛት .

ችግር 10. ስንት ባለአራት አሃዝ ቁጥሮች (ምናልባትም ከዜሮ የሚጀምሩ) አሃዞች እስከ 5 ሲደመር ስንት አሉ?

መፍትሄ።ቁጥር 5ን እንደ ተከታታይ ድምር አድርገን እናስብ፣ በቡድን በክፍፍል ተከፋፍሎ (እያንዳንዱ ቡድን በአጠቃላይ የቁጥሩን ቀጣይ አሃዝ ይመሰርታል)። 3 እንደዚህ ዓይነት ክፍልፋዮች እንደሚያስፈልጉ ግልጽ ነው 6 ቦታዎች ለክፍሎች (ከሁሉም ክፍሎች በፊት, በመካከላቸው እና በኋላ). እያንዳንዱ ቦታ በአንድ ወይም በብዙ ክፍልፋዮች (በ የመጨረሻው ጉዳይበመካከላቸው ምንም ክፍሎች የሉም, እና ተዛማጅ ድምር ዜሮ ነው). እነዚህን ቦታዎች እንደ ስብስብ አካል እንይ። ስለዚህ, ከ 6 (ከድግግሞሽ ጋር) 3 ንጥረ ነገሮችን መምረጥ ያስፈልግዎታል. ስለዚህ, የሚፈለገው የቁጥሮች ብዛት

ችግር 11 . በስንት መንገድ የ25 ተማሪዎች ቡድን በሶስት ንዑስ ቡድን A፣ B እና C የ6፣ 9 እና 10 ሰዎች መከፋፈል ይቻላል?

መፍትሄ።እዚህ n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10..gif" width="160" height="41">

ችግር 1 . በሳጥን ውስጥ 5 ብርቱካን እና 4 ፖም አለ. 3 ፍሬዎች በዘፈቀደ ይመረጣሉ. ሦስቱም ፍራፍሬዎች ብርቱካን የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ. እዚህ ያሉት የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች 3 ፍሬዎችን ያካተቱ ስብስቦች ናቸው. የፍራፍሬዎቹ ቅደም ተከተል ግድየለሾች ስለሆኑ ምርጫቸውን ያልታዘዙ (እና የማይደጋገሙ) እንደሆኑ እንቆጥረዋለን። ካሉት 5 3 ብርቱካን ለመምረጥ መንገዶች ብዛት፣ i.e. gif" width="161 height=83" height="83">።

ችግር 2 . መምህሩ እያንዳንዱን ሶስት ተማሪ ከ 1 እስከ 10 ያለውን ቁጥር እንዲያስቡ ይጠይቃቸዋል ። የእያንዳንዱ ተማሪ የማንኛውም ቁጥር ምርጫ እኩል ሊሆን ይችላል ብለው ካሰቡ ፣ ከመካከላቸው አንዱ ተመሳሳይ ቁጥር ሊኖረው እንደሚችል ይፈልጉ።

መፍትሄ።በመጀመሪያ, አጠቃላይ የውጤቶችን ብዛት እናሰላለን. የመጀመሪያው ተማሪ ከ10 ቁጥሮች አንዱን ይመርጣል እና n1=10 እድሎች አሉት፣ ሁለተኛው ደግሞ n2=10 እድሎች አሉት፣ በመጨረሻም፣ ሶስተኛው ደግሞ n3=10 እድሎች አሉት። በማባዛት ደንቡ መሰረት፣ አጠቃላይ የመንገዶች ብዛት፡ n= n1′n2′n3=103 = 1000 እኩል ነው፣ ማለትም አጠቃላይ ቦታው 1000 የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶችን ይይዛል። የክስተት ሀ እድልን ለማስላት ወደ ተቃራኒው ክስተት ለመሄድ ምቹ ነው, ማለትም, ሦስቱም ተማሪዎች በሚያስቡበት ጊዜ የጉዳዮቹን ብዛት ይቁጠሩ. የተለያዩ ቁጥሮች. የመጀመሪያው አሁንም ቁጥርን ለመምረጥ m1=10 መንገዶች አሉት። ሁለተኛው ተማሪ ቁጥራቸው ከመጀመሪያው ተማሪ ከታሰበው ቁጥር ጋር እንዳይገናኝ መጠንቀቅ ስላለበት አሁን m2=9 እድሎች አሉት። ሦስተኛው ተማሪ በምርጫው የበለጠ የተገደበ ነው - እሱ m3=8 አማራጮች ብቻ ነው ያለው። ስለዚህ፣ ምንም ተዛማጆች የሌሉበት የተፀነሱ ቁጥሮች አጠቃላይ የጥምረቶች ብዛት m=10×9×8=720 ነው። ግጥሚያዎች ያሉባቸው 280 ጉዳዮች አሉ።ስለዚህ የሚፈለገው ዕድል P = 280/1000 = 0.28 ነው።

ችግር 3 . በ 8 አሃዝ ቁጥር በትክክል 4 አሃዞች ተመሳሳይ እና የተቀሩት የተለያዩ የመሆኑን እድል ይፈልጉ።

መፍትሄ. ክስተት A=(ባለ ስምንት አሃዝ ቁጥር 4 ይይዛል ተመሳሳይ ቁጥሮች). ከችግሩ ሁኔታዎች ውስጥ ቁጥሩ አምስት የተለያዩ አሃዞችን ይይዛል, ከመካከላቸው አንዱ ይደጋገማል. እሱን ለመምረጥ መንገዶች ቁጥር አንድ አሃዝ ከ 10 አሃዞች ለመምረጥ መንገዶች ቁጥር ጋር እኩል ነው..gif" width="21" height="25 src="> . ከዚያም የተመቻቹ ውጤቶች ብዛት ጠቅላላ ቁጥር. ባለ 8-አሃዝ ቁጥሮችን የመፃፍ መንገዶች |W|=108 የሚፈለገው እድል እኩል ነው።

ችግር 4 . ስድስት ደንበኞች በዘፈቀደ 5 ኩባንያዎችን ያነጋግሩ። ማንም ሰው ቢያንስ አንድ ኩባንያ የማያነጋግርበትን ዕድል ይፈልጉ።

መፍትሄ።ተቃራኒውን ክስተት ግምት ውስጥ ያስገቡ https://pandia.ru/text/78/307/images/image020_10.gif" width="195" height="41">በ5 ኩባንያዎች ውስጥ 6 ደንበኞችን ለማከፋፈል አጠቃላይ መንገዶች። . ስለዚህም .

ችግር 5 . በሽንት ውስጥ N ኳሶች ይኑር፣ ከነሱም M ነጭ እና N–M ጥቁር ናቸው። n ኳሶች ከሽንት ውስጥ ይሳሉ. ከነሱ መካከል በትክክል ሜ ነጭ ኳሶች ሊኖሩ እንደሚችሉ ይፈልጉ ።

መፍትሄ።የንጥረ ነገሮች ቅደም ተከተል እዚህ አስፈላጊ ስላልሆነ ፣ ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የቁጥር ስብስቦች ብዛት n የ N ንጥረ ነገሮች ብዛት ከ m ነጭ ኳሶች ፣ n-m ጥቁር ጥንብሮች ጋር እኩል ነው ፣ እና ስለሆነም የሚፈለገው ዕድል እኩል ነው። P(A) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image031_2.gif" width="167" height="44">።

ችግር 7 (የስብሰባ ችግር) . ሁለት ሰዎች ሀ እና ለ ለመገናኘት ተስማምተዋል። የተወሰነ ቦታበ 12 እና 1 ፒኤም መካከል. የመጀመርያው ሰው ሌላውን ለ20 ደቂቃ ጠብቀው ይሄዳል። የእያንዳንዳቸው መምጣት በተጠቀሰው ሰዓት ውስጥ በዘፈቀደ ሊከሰት የሚችል ከሆነ እና የመድረሻ ጊዜዎች ነፃ ከሆኑ በሰዎች ሀ እና ለ መካከል የመገናኘት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ።ሰው A በ x እና ሰው B በ y የሚደርስበትን ጊዜ እንጥቀስ። ስብሰባው እንዲካሄድ፣ x-yô £20 አስፈላጊ እና በቂ ነው። x እና yን በአውሮፕላኑ ላይ እንደ መጋጠሚያዎች እናሳይ እና ደቂቃውን እንደ መለኪያ አሃድ በመምረጥ። ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች በ 60 ጎን በካሬው ነጥቦች ይወከላሉ, እና ለስብሰባው ተስማሚ የሆኑት በጥላ ቦታ ውስጥ ይገኛሉ. የሚፈለገው ዕድል ከጥላው ምስል ስፋት (ምስል 2.1) እና ከጠቅላላው ካሬ ስፋት ጋር እኩል ነው-P (A) = (602-402) / 602 = 5/9።

3. የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ቀመሮች

ችግር 1 . በሳጥኑ ውስጥ 10 ቀይ እና 5 ሰማያዊ ቁልፎች አሉ. ሁለት አዝራሮች በዘፈቀደ ይነሳሉ. አዝራሮቹ ተመሳሳይ ቀለም የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው? ?

መፍትሄ. ክስተቱ A=(ተመሳሳይ ቀለም ያላቸው አዝራሮች ተወስደዋል) እንደ ድምር ሊወከል ይችላል , ክስተቶቹ እና ማለት የአዝራሮች ምርጫ ቀይ እና ማለት ነው. ሰማያዊ ቀለም ያለውበቅደም ተከተል. ሁለት ቀይ ቁልፎችን የማውጣት እድሉ እኩል ነው ፣ እና ሁለት ሰማያዊ ቁልፎችን የማውጣት እድሉ https://pandia.ru/text/78/307/images/image034_2.gif" width="19 height=23" height= "23">.gif" ስፋት = "249" ቁመት = " 83 "

ችግር 2 . ከኩባንያው ሰራተኞች መካከል 28% ያውቃሉ የእንግሊዘኛ ቋንቋ, 30% - ጀርመንኛ, 42% - ፈረንሳይኛ; እንግሊዝኛ እና ጀርመን - 8% ፣ እንግሊዝኛ እና ፈረንሳይኛ - 10% ፣ ጀርመንኛ እና ፈረንሳይኛ - 5% ፣ ሁሉም ሶስት ቋንቋዎች - 3%. በዘፈቀደ የተመረጠ የኩባንያው ሠራተኛ፡ ሀ) እንግሊዝኛ ወይም ጀርመንኛ የሚያውቅበትን ዕድል ይፈልጉ፤ ለ) እንግሊዝኛ, ጀርመንኛ ወይም ፈረንሳይኛ ያውቃል; ሐ) ከተዘረዘሩት ቋንቋዎች አንዱንም አያውቅም።

መፍትሄ።በA፣ B እና C በዘፈቀደ የተመረጠ የኩባንያው ሰራተኛ እንደቅደም ተከተላቸው እንግሊዘኛ፣ ጀርመንኛ ወይም ፈረንሳይኛ የሚናገርባቸውን ሁነቶች እንጥቀስ። አንዳንድ ቋንቋዎችን የሚናገሩ የኩባንያው ሠራተኞች ድርሻ የእነዚህን ክስተቶች እድሎች እንደሚወስን ግልጽ ነው። እናገኛለን፡-

ሀ) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0.28+0.3-0.08=0.5;

ለ) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0.28+0፣ 3+ 0.42-

-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;

ሐ) 1-P(AÈBÈC)=0.2.

ችግር 3 . ቤተሰቡ ሁለት ልጆች አሉት. ቤተሰቡ የሁለቱም ጾታ ልጆች እንዳሉት ከታወቀ ትልቁ ልጅ ወንድ የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ። A=(የመጀመሪያው ልጅ ወንድ ነው)፣ B=(ቤተሰቡ የሁለቱም ጾታ ልጆች አሉት)። ወንድ ልጅ መወለድ እና የሴት ልጅ መወለድ እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች እንደሆኑ እናስብ. የወንድ ልጅ መወለድ በደብዳቤ M ፣ እና የሴት ልጅ መወለድ በዲ ከተገለፀ ፣ የሁሉም የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ቦታ አራት ጥንዶችን ያጠቃልላል። በዚህ ቦታ፣ ሁለት ውጤቶች ብቻ (ኤምዲ እና ዲኤም) ከክስተት B ጋር ይዛመዳሉ። Event AB ማለት ቤተሰቡ የሁለቱም ጾታ ልጆች አሉት ማለት ነው። ትልቁ ልጅ ወንድ ነው, ስለዚህ ሁለተኛው (ትንሹ) ልጅ ሴት ናት. ይህ ክስተት AB ከአንድ ውጤት ጋር ይዛመዳል - MD. ስለዚህም |AB=1, |B=2 እና

ችግር 4 . ጌታው, 10 ክፍሎች ያሉት, 3ቱ መደበኛ ያልሆኑ ናቸው, መደበኛውን እስኪያገኝ ድረስ ክፍሎቹን አንድ በአንድ ያጣራል. በትክክል ሁለት ዝርዝሮችን የማጣራት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ።ክስተት A=(ጌታው በትክክል ሁለት ክፍሎችን አረጋግጧል) ማለት በእንደዚህ አይነት ቼክ ወቅት የመጀመሪያው ክፍል መደበኛ ያልሆነ ሲሆን ሁለተኛው ደግሞ መደበኛ ነበር. ይህ ማለት የት = (የመጀመሪያው ክፍል መደበኛ ያልሆነ ሆኖ ተገኝቷል) እና = (ሁለተኛው ክፍል መደበኛ ነበር). በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የክስተት A1 ዕድልም እኩል ነው። , ሁለተኛውን ክፍል ከመውሰዱ በፊት ጌታው 9 ክፍሎች ቀርተዋል, ከነዚህም ውስጥ 2 ብቻ መደበኛ ያልሆኑ እና 7ቱ መደበኛ ናቸው. በማባዛት ቲዎሪ

ችግር 5 . አንድ ሳጥን 3 ነጭ እና 5 ጥቁር ኳሶችን ይዟል, ሌላኛው ሳጥን ደግሞ 6 ነጭ እና 4 ጥቁር ኳሶችን ይዟል. ከእያንዳንዱ ሳጥን አንድ ኳስ ከተሳለ ነጭ ኳስ ቢያንስ ከአንድ ሳጥን ውስጥ የመሳብ እድሉን ይፈልጉ።

መፍትሄ. ክስተቱ A=(ነጭ ኳስ ቢያንስ ከአንድ ሳጥን ውስጥ ይወሰዳል) እንደ ድምር ሊወከል ይችላል፣ ይህም ክስተቶች ማለት ክስተት ማለት ነው ነጭ ኳስከመጀመሪያው እና ከሁለተኛው ሳጥን, በቅደም ተከተል..gif" width="91" height="23">..gif" width="20" height="23 src=">.gif" width="480" height= "23"

ችግር 6 . ሶስት ፈታኞች በአንድ ዓይነት ትምህርት ከ 30 ሰዎች ቡድን ውስጥ ፈተና ይወስዳሉ, በመጀመሪያ ደረጃ 6 ተማሪዎች, ሁለተኛ - 3 ተማሪዎች, እና ሦስተኛው - 21 ተማሪዎች (ተማሪዎች ከዝርዝር ውስጥ በዘፈቀደ ይመረጣሉ). የሶስቱ ፈታኞች በደንብ ባልተዘጋጁት ላይ ያላቸው አመለካከት የተለየ ነው፡ እንደዚህ አይነት ተማሪዎች ፈተናውን ከመጀመሪያው መምህር ጋር የማለፍ እድሉ 40%፣ ሁለተኛው - 10% ብቻ እና ከሦስተኛው - 70% ነው። በደንብ ያልተዘጋጀ ተማሪ ፈተናውን የማለፍ እድሉን ያግኙ .

መፍትሄ።በደንብ ያልተዘጋጀው ተማሪ አንደኛ፣ ሁለተኛ እና ሶስተኛ ፈታኝ በቅደም ተከተል እንደመለሰ በሚሉት መላምቶች እናሳይ። እንደ ችግሩ ሁኔታዎች

, , .

ክስተት A=(በደንብ የተዘጋጀ ተማሪ ፈተናውን አለፈ)። ከዚያም በድጋሚ, በችግሩ ሁኔታዎች ምክንያት

, , .

በቀመርው መሰረት ሙሉ ዕድልእናገኛለን:

ችግር 7 . ኩባንያው ሶስት የአቅርቦት ምንጮች አሉት - ኩባንያዎች A, B, C. ኩባንያ A ከጠቅላላው አቅርቦት 50%, B - 30% እና C - 20%. በተግባር እንደሚታወቀው በኩባንያው A ከሚቀርቡት ክፍሎች መካከል 10% ጉድለት ያለባቸው, በኩባንያው B - 5% እና በኩባንያው C - 6%. በዘፈቀደ የሚወሰደው ክፍል ተስማሚ የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ።ክስተት G ተስማሚ ክፍል መልክ ይሁን. ክፍሉ በኩባንያዎች A, B, C የቀረበው የመላምት ዕድሎች በቅደም ተከተል P (A) = 0.5, P (B)=0.3, P (C)=0.2 እኩል ናቸው. የአንድ ጥሩ ክፍል ገጽታ ሁኔታዊ እድሎች P(G|A)=0.9፣ P(G|B)=0.95፣ P(G|C)=0.94 (እንደ ተቃራኒ ክስተቶች የመታየት ዕድሎች) እኩል ናቸው። ጉድለት ያለበት አካል)። ጠቅላላውን የይሁንታ ቀመር በመጠቀም እናገኛለን፡-

ፒ(ጂ)=0.5×0.9+0.3×0.95+0.2×0.94=0.923።

ችግር 8 (ተግባር 6 ይመልከቱ). ተማሪው ፈተናውን እንዳላለፈ ይታወቅ, ማለትም "አጥጋቢ ያልሆነ" ክፍል አግኝቷል. ከሦስቱ መምህራን መካከል በጣም የሚመልስለት የትኛው ነው? ?

መፍትሄ።“ውድቀት” የማግኘት እድሉ ከ ጋር እኩል ነው። ሁኔታዊ እድሎችን ማስላት ያስፈልግዎታል። የቤይስ ቀመሮችን በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን

https://pandia.ru/text/78/307/images/image059_0.gif" width="183" ቁመት = "44 src=">, .

ከዚህ በመነሳት ምናልባትም ብዙም ያልተዘጋጀው ተማሪ ፈተናውን ለሶስተኛ ፈታኝ ወሰደ።

4. ተደጋጋሚ ገለልተኛ ሙከራዎች. የቤርኑሊ ቲዎሪ

ችግር 1 . ዳይስ 6 ጊዜ ተጣለ. ስድስቱ በትክክል 3 ጊዜ የመንከባለል እድሉን ይፈልጉ።

መፍትሄ።ዳይ ስድስት ጊዜ ማንከባለል እንደ ቅደም ተከተል ሊታሰብ ይችላል። ገለልተኛ ሙከራዎችከ 1/6 ጋር እኩል የሆነ የስኬት እድል ("ስድስት") እና የ 5/6 ውድቀት ዕድል. ቀመሩን በመጠቀም አስፈላጊውን ዕድል እናሰላለን .

ችግር 2 . ሳንቲም 6 ጊዜ ይጣላል. የክንድ ቀሚስ ከ 2 ጊዜ ያልበለጠ የመታየት እድል ይፈልጉ.

መፍትሄ።የሚፈለገው እድል ከሶስት ክስተቶች እድሎች ድምር ጋር እኩል ነው ፣ ይህም የጦር ቀሚስ አንድ ወይም አንድ ወይም ሁለት ጊዜ እንኳን የማይታይ መሆኑን ያካትታል ።

P(A) = P6(0) + P6(1) + P6(2) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image063.gif" width="445 height=24" height= "24"

ችግር 4 . ሳንቲም 3 ጊዜ ይጣላል. በጣም ሊሆኑ የሚችሉ የስኬቶች ብዛት (የእጅ ኮት) ያግኙ።

መፍትሄ። ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶችከግምት ውስጥ ባሉት ሦስት ሙከራዎች ውስጥ ለስኬቶች ብዛት m = 0, 1, 2 ወይም 3. የጦር ቀሚስ በሦስት ሳንቲም ውርወራዎች ውስጥ m ጊዜ የሚታይበት ክስተት ይሁን. የቤርኑሊ ቀመር በመጠቀም የ Am ክስተቶችን እድሎች ማግኘት ቀላል ነው (ሰንጠረዡን ይመልከቱ)

ከዚህ ሰንጠረዥ ውስጥ በጣም ሊሆኑ የሚችሉ እሴቶች ቁጥሮች 1 እና 2 ናቸው (የእነሱ ዕድል 3/8 ነው) ማየት ይቻላል ። ተመሳሳይ ውጤት ከ Theorem 2. በእርግጥ, n=3, p=1/2, q=1/2. ከዚያም

, ማለትም.

ተግባር 5. በእያንዳንዱ ጉብኝት ምክንያት የኢንሹራንስ ወኪልኮንትራቱ በፕሮባቢሊቲ 0.1 ይጠናቀቃል. ከ 25 ጉብኝቶች በኋላ የተጠናቀቁ ኮንትራቶችን ብዛት ይፈልጉ ።

መፍትሄ። n=10፣ p=0.1፣q=0.9 አለን። በጣም ሊከሰት ለሚችለው የስኬቶች ብዛት አለመመጣጠን የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል፡ 25×0.1–0.9£m*£25×0.1+0.1 ወይም 1.6£m*£2.6። ይህ አለመመጣጠን አንድ የኢንቲጀር መፍትሄ ብቻ ነው ያለው፣ ማለትም m*=2።

ችግር 6 . የአንድ የተወሰነ ክፍል ጉድለት መጠን 0.5% እንደሆነ ይታወቃል. ተቆጣጣሪው 1000 ክፍሎችን ይፈትሻል. በትክክል ሦስት የተበላሹ ክፍሎችን የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው? ቢያንስ ሦስት የተበላሹ ክፍሎችን የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ።"የስኬት" p=0.005 የመሆን እድል ያላቸው 1000 Bernoulli ሙከራዎች አሉን። የPoisson ግምታዊውን በλ=np=5 በመተግበር እናገኛለን

2) P1000(m³3)=1-P1000(ሜ<3)=1-»1-,

እና P1000 (3)"0.14; Р1000(m³3)»0.875.

ችግር 7 . አንድ ደንበኛ ሱቅ ሲጎበኝ የግዢ እድሉ p=0.75 ነው። በ 100 ጉብኝቶች ደንበኛው በትክክል 80 ጊዜ መግዛት የሚችልበትን ዕድል ይፈልጉ።

መፍትሄ. በዚህ ሁኔታ, n = 100, m=80, p=0.75, q=0.25. እናገኛለን , እና j(x) = 0.2036ን ይወስኑ፣ ከዚያ የሚፈለገው ዕድል ከ Р100(80) ጋር እኩል ነው። .

ተግባር 8. የኢንሹራንስ ኩባንያው 40,000 ውሎችን ጨርሷል. በዓመቱ ውስጥ ለእያንዳንዳቸው የመድን ዋስትና ክስተት ዕድል 2% ነው። እንደዚህ ያሉ ጉዳዮች ከ 870 የማይበልጡ ሊሆኑ የሚችሉበትን ዕድል ይፈልጉ።

መፍትሄ።በተግባሩ ሁኔታዎች መሰረት, n = 40000, p=0.02. np = 800, እናገኛለን. P(m £ 870)ን ለማስላት የሞኢቭር-ላፕላስ አጠቃላይ ንድፈ ሃሳብን እንጠቀማለን፡-

ፒ(0 .

ከላፕላስ ተግባር የእሴቶች ሰንጠረዥ ውስጥ እናገኛለን-

ፒ(0

ችግር 9 . በእያንዳንዱ 400 ገለልተኛ ሙከራዎች ውስጥ የመከሰት እድሉ 0.8 ነው። አወንታዊ ቁጥር ያግኙ ሠ እንደዚህ ፣ በ 0.99 ፣ 0.99 ፣ የአንድ ክስተት ክስተት አንጻራዊ ድግግሞሽ ከእድሉ መዘዋወሩ ፍፁም እሴት ከ ሠ አይበልጥም።

መፍትሄ።በችግሩ ሁኔታዎች መሰረት p=0.8, n=400. ከሞኢቭር-ላፕላስ አጠቃላይ ንድፈ ሐሳብ ማብራሪያ እንጠቀማለን፡- . ስለዚህም እ.ኤ.አ. ..gif" ስፋት = "587" ቁመት = " 41 "

5. ልዩ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች

ችግር 1 . በ 3 ቁልፎች ስብስብ ውስጥ አንድ ቁልፍ ብቻ ከበሩ ጋር ይጣጣማል. ተስማሚ ቁልፍ እስኪገኝ ድረስ ቁልፎቹ ይፈለጋሉ. የስርጭት ህግ ይገንቡ ለ የዘፈቀደ ተለዋዋጭ x - የተሞከሩ ቁልፎች ብዛት .

መፍትሄ።የተሞከሩት ቁልፎች ቁጥር 1, 2 ወይም 3 ሊሆን ይችላል. አንድ ቁልፍ ብቻ ከተሞከረ, ይህ ማለት የመጀመሪያው ቁልፍ ወዲያውኑ ከበሩ ጋር ይዛመዳል, እና የዚህ ዓይነቱ ክስተት ዕድል 1/3 ነው. ስለዚህ, በመቀጠል, 2 የተሞከሩ ቁልፎች ካሉ, ማለትም x=2, ይህ ማለት የመጀመሪያው ቁልፍ አልሰራም, ሁለተኛው ግን ሰራ ማለት ነው. የዚህ ክስተት ዕድል 2/3×1/2=1/3..gif" width="100" height="21">ውጤቱ የሚከተለው የስርጭት ተከታታይ ነው።

ችግር 2 . ለነሲብ ተለዋዋጭ x ከችግር 1 የማከፋፈያ ተግባሩን Fx(x) ይገንቡ።

መፍትሄ።የዘፈቀደ ተለዋዋጭ x ሶስት እሴቶች አሉት 1, 2, 3, ይህም ሙሉውን የቁጥር ዘንግ በአራት ክፍተቶች ይከፍላል. x ከሆነ<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0.

1£x ከሆነ<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3.

2£x ከሆነ<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x

እና በመጨረሻ፣ በ x³3 ጉዳይ ላይ የ x£x እኩልነት ለሁሉም የዘፈቀደ ተለዋዋጭ x እሴቶች ይይዛል ፣ ስለዚህ P(x)

ስለዚህ የሚከተለውን ተግባር አግኝተናል-

ችግር 3. የዘፈቀደ ተለዋዋጮች x እና h የጋራ ስርጭት ህግ በሰንጠረዡ ተጠቅሟል

የክፍል መጠኖች x እና h የተወሰኑ የማከፋፈያ ህጎችን አስሉ። ጥገኛ መሆናቸውን ይወስኑ..gif" width = "423" ቁመት = "23 src=">;

https://pandia.ru/text/78/307/images/image086.gif" width = "376" ቁመት = "23 src = ">.

ለ h ከፊል ስርጭት በተመሳሳይ መንገድ ይገኛል-

https://pandia.ru/text/78/307/images/image088.gif" width = "229" ቁመት = "23 src = ">.

የተገኙት እድሎች ከተዛማጅ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች እሴቶች በተቃራኒ በተመሳሳይ ሠንጠረዥ ውስጥ ሊፃፉ ይችላሉ-

አሁን በዚህ ሕዋስ ውስጥ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች x እና h..gif" width="108" height="25 src="> ነፃነትን በተመለከተ ለሚለው ጥያቄ መልስ እንስጥ። ለምሳሌ በሕዋስ ውስጥ ለዋጋ x=-1 እና h=1 የ1/16 ዕድል አለ፣ እና ተዛማጅ ከፊል ፕሮባቢሊቲዎች 1/4×1/4 ምርት ከ1/16 ጋር እኩል ነው፣ ማለትም ከ ጋር ይገጣጠማል። የጋራ ዕድል. ይህ ሁኔታ በቀሪዎቹ አምስት ሴሎች ውስጥም ይሞከራል, እና በሁሉም ውስጥ እውነት ሆኖ ተገኝቷል. ስለዚህ፣ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች x እና h ራሳቸውን የቻሉ ናቸው።

የእኛ ሁኔታ ቢያንስ በአንድ ሕዋስ ውስጥ ከተጣሰ መጠኑ እንደ ጥገኛ መታወቅ እንዳለበት ልብ ይበሉ።

ዕድሉን ለማስላት ሁኔታው ያለባቸውን ሴሎች ምልክት እናድርግ https://pandia.ru/text/78/307/images/image092.gif" width="574" height="23 src=">

ችግር 4 . የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ξ የሚከተለው የስርጭት ህግ ይኑረው፡

አስላ የሚጠበቀው ዋጋማክስ፣ መበታተን Dx እና አማካይ ስታንዳርድ ደቪአትዖንኤስ.

መፍትሄ. በትርጉም ፣ የ x የሂሳብ ግምት እኩል ነው።

መደበኛ መዛባት https://pandia.ru/text/78/307/images/image097.gif" width="51" height="21">።

መፍትሄ።ቀመሩን እንጠቀም . ማለትም በእያንዳንዱ የሠንጠረዡ ሕዋስ ውስጥ ተጓዳኝ እሴቶችን እናባዛለን እና ውጤቱን በፕሮቢሊቲ ፒጂ እናባዛለን እና ሁሉንም የሰንጠረዡን ህዋሶች እናጠቃልላለን። በውጤቱም እኛ እናገኛለን:

ችግር 6 . ከችግር 3 ለተወሰኑ የዘፈቀደ ተለዋዋጮች ጥንድ ኮቫሪያንስ ኮቭ(x፣ h) ያሰሉ።

መፍትሄ።ውስጥ ቀዳሚ ተግባርየሂሳብ ጥበቃው አስቀድሞ ተቆጥሯል . ለማስላት ይቀራል እና . ችግር 3 ን ለመፍታት የተገኘውን ከፊል ስርጭት ህጎችን በመጠቀም እናገኛለን

; ;

እና ማለት ነው።

በዘፈቀደ ተለዋዋጮች ነፃነት ምክንያት የሚጠበቅ ነበር።

ተግባር 7. የዘፈቀደ ቬክተር (x, h) እሴቶችን (0,0), (1,0), (-1,0), (0,1) እና (0,-1) እኩል ይሆናል. የነሲብ ተለዋዋጮች x እና h ጥምርነት አስላ። ጥገኛ መሆናቸውን አሳይ።

መፍትሄ. ከ P(x=0)=3/5፣ P(x=1)=1/5፣ P(x=-1)=1/5; Р(h=0)=3/5፣ P(h=1)=1/5፣ P(h=–1)=1/5፣ በመቀጠል Мx=3/5′0+1/5′1+1 /5'(-1)=0 እና Мh=0;

ኤም(xh)=0'0'1/5+1'0'1/5-1'0'1/5+0'1'1/5-0'1'1/5=0።

cov(x, h)=М(xh)–МxМh=0 እናገኛለን፣ እና የዘፈቀደ ተለዋዋጮች አልተጣመሩም። ሆኖም ግን, ጥገኛ ናቸው. እንግዲያው x=1 ይሁን ሁኔታዊ ዕድልክስተት (h=0) ከ Р(h=0|x=1)=1 ጋር እኩል ነው እና ከቅድመ-ሁኔታ-አልባ Р(h=0)=3/5፣ ወይም ፕሮባቢሊቲው (ξ=0,η=0) ጋር እኩል አይደለም። ) ከፕሮባቢሊቲዎች ምርት ጋር እኩል አይደለም፡ Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/25። ስለዚህ, x እና h ጥገኛ ናቸው.

ችግር 8 . በቀን x እና h የሁለት ኩባንያዎች የአክሲዮን ዋጋ ላይ የዘፈቀደ ጭማሪ የጋራ ስርጭትበሠንጠረዡ ተሰጥቷል፡-

የማዛመጃውን ቅንጅት ያግኙ።

መፍትሄ።በመጀመሪያ ደረጃ, Mxh = 0.3-0.2-0.1+0.4=0.4 እናሰላለን. በመቀጠል፣ ልዩ የ x እና h ስርጭት ህጎችን እናገኛለን፡-

Mx = 0.5-0.5 = 0 እንገልፃለን; Mh=0.6-0.4=0.2; Dx=1; ዲህ=1–0.22=0.96; ኮቭ(x, h)=0.4. እናገኛለን

.

ተግባር 9. የነሲብ ጭማሪዎች በቀን የሁለት ኩባንያዎች የአክሲዮን ዋጋ Dx=1 እና Dh=2 ልዩነቶች አሏቸው እና የእነሱ ተዛማጅነት r=0.7። የመጀመሪያው ኩባንያ 5 አክሲዮኖች እና የሁለተኛው ኩባንያ 3 አክሲዮኖች ፖርትፎሊዮ የዋጋ ጭማሪ ልዩነት ይፈልጉ።

መፍትሄ. የስርጭት ፣የጋራነት እና የተዛማጅ ቅንጅት ፍቺን በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

ችግር 10 . የሁለት-ልኬት የዘፈቀደ ተለዋዋጭ ስርጭት በሠንጠረዥ ተሰጥቷል-

ሁኔታዊ ስርጭትን እና ሁኔታዊ ጥበቃን በ x=1 ያግኙ።

መፍትሄ።ሁኔታዊው የሂሳብ ጥበቃው ነው።

ከችግሩ ሁኔታዎች ውስጥ ክፍሎችን h እና x (የመጨረሻው አምድ እና የመጨረሻው መስመርጠረጴዛዎች).