ወደ ሁለት ቬክተር ቀጥ ያለ ቬክተር። በተሰጠ ቬክተር፣ ምሳሌዎች እና መፍትሄዎች ቀጥ ያለ ቬክተር ማግኘት

ኦህ ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ የአንድን ክፍል ጽንሰ-ሀሳብ እናስተዋውቃለን.

ፍቺ 1

በሁለቱም በኩል በነጥቦች የታሰረውን የመስመር ክፍል አንድ ክፍል እንለዋለን።

ፍቺ 2

የአንድ ክፍል ጫፎች የሚገድቡት ነጥቦች ናቸው.

የቬክተርን ፍቺ ለማስተዋወቅ ከክፍሉ ጫፎች ውስጥ አንዱን ጅማሬ ብለን እንጠራዋለን.

ፍቺ 3

ቬክተር (ቀጥተኛ ክፍል) የምንለው የድንበር ነጥቡ መነሻው የትኛው እንደሆነ የተገለፀበት ክፍል ነው።

ማስታወሻ፡- ኦቨርላይን(AB) ቬክተር AB ነው ነጥብ A ላይ ተጀምሮ በ ነጥብ B ላይ ያበቃል።

አለበለዚያ, በአንድ ትንሽ ፊደል: \ overline (a) (ምስል 1).

ፍቺ 4

የአውሮፕላኑ የሆነውን ማንኛውንም ነጥብ ዜሮ ቬክተር እንለዋለን።

ምልክት፡ \overline(0) .

አሁን የኮሊንየር ቬክተሮችን ፍቺ በቀጥታ እናስተዋውቅ።

እንዲሁም በኋላ የምንፈልገውን የስካላር ምርትን ትርጉም እናስተዋውቃለን።

ትርጉም 6

የሁለት የተሰጡ ቬክተሮች ስካላር ምርት የእነዚህ ሁለት ቬክተሮች ርዝመቶች ውጤት በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ካለው አንግል ኮሳይን ጋር እኩል የሆነ ስኬር (ወይም ቁጥር) ነው።

በሂሳብ ይህን ሊመስል ይችላል፡-

\overline (α)

የነጥብ ምርቱም የቬክተር መጋጠሚያዎችን በመጠቀም እንደሚከተለው ሊገኝ ይችላል

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

በተመጣጣኝ ሁኔታ የቋሚነት ምልክት

ቲዎሪ 1

ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች እርስ በእርሳቸው ቀጥ ብለው እንዲቆሙ፣ የእነዚህ ቬክተሮች ስኬር ምርታቸው ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው።

ማረጋገጫ።

አስፈላጊነት፡- መጋጠሚያዎች (α_1፣α_2፣α_3) እና (β_1፣β_2፣β_3) ያላቸው እና እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ ናቸው። ከዚያም የሚከተለውን እኩልነት ማረጋገጥ አለብን

ቬክተሮች \overline(α) እና \overline(β) ቀጥ ያሉ በመሆናቸው በመካከላቸው ያለው አንግል 90^0 ነው። የነዚህን ቬክተሮች scalar ምርት ከፍቺ 6 ያለውን ቀመር በመጠቀም እንፈልግ።

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

በቂነት፡ እኩልነቱ እውነት ይሁን \overline(α)\cdot \overline(β)=0. ቬክተሮች \ኦቨርላይን(α) እና \overline(β) እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ እንደሚሆኑ እናረጋግጥ።

በፍቺ 6, እኩልነት እውነት ይሆናል

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α)፣\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α)፣\overline(β))=0

∠(\overline(α)፣\overline(β))=90^\circ

ስለዚህ፣ ቬክተሮች \overline(α) እና \overline(β) እርስ በርሳቸው ቀጥ ያሉ ይሆናሉ።

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ምሳሌ 1

መጋጠሚያዎች (1፣-5፣2) እና (2፣1፣3/2) ያላቸው ቬክተሮች ቀጥ ያሉ መሆናቸውን ያረጋግጡ።

ማረጋገጫ።

ከላይ ያለውን ቀመር በመጠቀም ለእነዚህ ቬክተሮች ስካላር ምርትን እናገኝ

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

ይህ ማለት በቲዎረም 1 መሰረት እነዚህ ቬክተሮች ቀጥ ያሉ ናቸው.

የመስቀለኛ ምርትን በመጠቀም ወደ ሁለት የተሰጡ ቬክተሮች ቋሚ ቬክተር ማግኘት

በመጀመሪያ የቬክተር ምርትን ጽንሰ-ሐሳብ እናስተዋውቅ.

ፍቺ 7

የሁለት ቬክተሮች የቬክተር ምርት ከሁለቱም የተሰጡ ቬክተሮች ጋር የሚቀራረብ ቬክተር ይሆናል, እና ርዝመቱ የእነዚህ ቬክተሮች ርዝማኔዎች በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ካለው አንግል ሳይን ጋር እኩል ይሆናል, እና ደግሞ ይህ ቬክተር ከሁለት ጋር እኩል ይሆናል. የመጀመሪያዎቹ እንደ ካርቴዥያ መጋጠሚያ ሥርዓት ተመሳሳይ አቅጣጫ አላቸው።

ስያሜ፡ \overline(α) x\overline(β) x.

የቬክተር ምርቱን ለማግኘት, ቀመሩን እንጠቀማለን

\overline(α)х\overline(β)=\ጀማሪ(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3 \\ β_1&β_2&β_3\መጨረሻ(vmatrix) x

የሁለት ቬክተሮች የመስቀለኛ ምርት ቬክተር ከሁለቱም ቬክተሮች ጋር የሚጣጣም ስለሆነ, እሱ ቬክተር ይሆናል. ማለትም፣ በሁለት ቬክተሮች ቀጥ ያለ ቬክተር ለማግኘት፣ የቬክተር ምርታቸውን ማግኘት ብቻ ያስፈልግዎታል።

ምሳሌ 2

\overline(α)=(1,2,3) እና \overline(β)=(-1,0,3) ጋር መጋጠሚያዎች ያሉት ቬክተር ከቬክተር ጋር ቀጥ ብሎ ፈልግ።

የእነዚህን ቬክተሮች የቬክተር ምርትን እንፈልግ።

\overline(α)х\overline(β)=\ጀማሪ(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) = (6,6,2) x

ይህ ጽሑፍ በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ውስጥ በአውሮፕላን ላይ የሁለት ቬክተሮች perpendicularity ትርጉም እና የአንድ ወይም ሙሉ ጥንድ ቬክተር ቀጥ ያለ የቬክተር መጋጠሚያዎችን መፈለግን ያሳያል። ርዕሱ የመስመሮች እና የአውሮፕላን እኩልታዎችን በሚያካትቱ ችግሮች ላይ ተፈጻሚ ይሆናል።

ለሁለቱ ቬክተሮች ቋሚነት አስፈላጊውን እና በቂ ሁኔታን እንመለከታለን፣ ከተሰጠን ጋር ቀጥ ያለ ቬክተር የመፈለጊያ ዘዴን እንፈታለን እና በሁለት ቬክተር ላይ ቀጥ ያለ ቬክተር የማግኘት ሁኔታዎችን እንነካለን።

Yandex.RTB R-A-339285-1

ለሁለት ቬክተሮች ቋሚነት አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ

በአውሮፕላኑ ላይ እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ ስለ perpendicular vectors ደንቡን እንተገብረው።

ፍቺ 1

በሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ከ90 ° (π 2 ራዲያን) ጋር እኩል ከሆነ ይባላል። ቀጥ ያለ.

ይህ ምን ማለት ነው, እና በየትኞቹ ሁኔታዎች ውስጥ ስለ ቋሚነታቸው ማወቅ አስፈላጊ ነው?

በሥዕሉ በኩል perpendicularity መመስረት ይቻላል. ከተሰጡት ነጥቦች በአውሮፕላን ላይ ቬክተር ሲያቅዱ በመካከላቸው ያለውን አንግል በጂኦሜትሪ መለካት ይችላሉ። የቬክተሮች ቋሚነት ቢመሰረትም ሙሉ በሙሉ ትክክል አይሆንም. ብዙውን ጊዜ እነዚህ ተግባራት ፕሮትራክተርን በመጠቀም ይህንን እንዲያደርጉ አይፈቅዱም, ስለዚህ ይህ ዘዴ ተግባራዊ የሚሆነው ስለ ቬክተሮች ምንም ነገር በማይታወቅበት ጊዜ ብቻ ነው.

በአውሮፕላኑ ላይ ወይም በህዋ ላይ የሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮችን ቀጥተኛነት የማረጋገጥ አብዛኛዎቹ ጉዳዮች የሚከናወኑት በመጠቀም ነው። ለሁለት ቬክተሮች ቋሚነት አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ.

ቲዎሪ 1

እኩልነትን ለማርካት የሁለት ዜሮ ያልሆኑ ቬክተሮች a → እና b → ከዜሮ ጋር እኩል የሆነ a → , b → = 0 ለቀጣይነታቸው በቂ ነው።

ማስረጃ 1

የተሰጡት ቬክተሮች a → እና b → ቀጥ ያሉ ይሁኑ፣ ከዚያ እኩልነቱን እናረጋግጣለን a ⇀ , b → = 0 .

ከ ትርጉሙ የቬክተሮች ነጥብ ውጤትእኩል እንደሆነ እናውቃለን የተሰጡ ቬክተሮች ርዝማኔዎች እና በመካከላቸው ያለው አንግል ኮሳይን ምርት. እንደ ሁኔታው, a → እና b → ቀጥ ያሉ ናቸው, ይህም ማለት በትርጉሙ ላይ በመመስረት, በመካከላቸው ያለው አንግል 90 ° ነው. ከዚያም →፣ b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 አለን።

የማረጋገጫው ሁለተኛ ክፍል

ሀ ⇀፣ b → = 0፣ የ → እና b →ን ቋሚነት ካረጋገጡ።

እንደ እውነቱ ከሆነ, ማስረጃው ከቀዳሚው ተቃራኒ ነው. እንደሚታወቀው a → እና b → ዜሮ ያልሆኑ ናቸው ይህም ማለት ከእኩልነት a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ ኮሳይን እናገኛለን። ከዚያም cos (a →, b →) ^ = (a →, b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 እናገኛለን. ኮሳይን ዜሮ ስለሆነ፣ የቬክተሮች a →፣ b → ^ አንግል a → እና b → ከ90 ° ጋር እኩል ነው ብለን መደምደም እንችላለን። በትርጉም, ይህ አስፈላጊ እና በቂ ንብረት ነው.

በተቀናጀ አውሮፕላኑ ላይ የፐርፔንዲኩላር ሁኔታ

ምዕራፍ መጋጠሚያዎች ውስጥ scalar ምርትእኩልነትን ያሳያል (a → , b →) = a x · b x + a y · b , ለቬክተሮች መጋጠሚያዎች a → = (a x , a y) እና b → = (b x , b y), በአውሮፕላኑ ላይ እና (a →,) b → ) = a x · b x + a y · b y ለ vectors a → = (a x , a y , a z) እና b → = (b x , b y, b z) በህዋ ላይ። በመጋጠሚያ አውሮፕላን ውስጥ ለሁለት ቬክተሮች ቋሚነት አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ x · b x + a y · b y = 0, ለባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ነው.

ወደ ተግባር እናውለው እና ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 1

የሁለት ቬክተር ቋሚነት ንብረቱን ያረጋግጡ a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

መፍትሄ

ይህንን ችግር ለመፍታት የ scalar ምርትን ማግኘት አለብዎት. እንደ ሁኔታው ​​ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ, እነሱ ቀጥ ያሉ ናቸው.

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . ሁኔታው ተሟልቷል, ይህም ማለት የተሰጡት ቬክተሮች በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያሉ ናቸው.

መልስ፡-አዎ፣ የተሰጡት ቬክተሮች a → እና b → ቀጥ ያሉ ናቸው።

ምሳሌ 2

አስተባባሪ ቬክተር i → , j → , k → ተሰጥቷል. ቬክተሮች i → - j → እና i → + 2 · j → + 2 · k → ቀጥ ያሉ ሊሆኑ እንደሚችሉ ያረጋግጡ።

መፍትሄ

የቬክተር መጋጠሚያዎች እንዴት እንደሚወሰኑ ለማስታወስ, ስለ ጽሑፉ ማንበብ ያስፈልግዎታል የቬክተር መጋጠሚያዎች በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት.ስለዚህ, የተሰጡት ቬክተሮች i → - j → እና i → + 2 · j → + 2 · k → ተጓዳኝ መጋጠሚያዎች (1, - 1, 0) እና (1, 2, 2) እንዳላቸው እናገኛለን. የቁጥር እሴቶቹን በመተካት: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 እናገኛለን።

አገላለጹ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, ይህም ማለት ቬክተሮች i → - j → እና i → + 2 j → + 2 k → ማለት ነው. ሁኔታው ስላልተሟላ, ቀጥ ያሉ አይደሉም.

መልስ፡-አይደለም፣ ቬክተሮች i → - j → እና i → + 2 · j → + 2 · k → ቀጥ ያሉ አይደሉም።

ምሳሌ 3

የተሰጡ ቬክተሮች a → = (1, 0, - 2) እና b → = (λ, 5, 1). እነዚህ ቬክተሮች ቀጥ ያሉበትን λ ዋጋ ያግኙ።

መፍትሄ

በካሬ ቅርጽ ውስጥ የሁለት ቬክተሮችን የ perpendicularity ሁኔታን እንጠቀማለን, ከዚያም እናገኛለን

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

መልስ፡-ቬክተሮች በዋጋው λ = 2 ላይ ቀጥ ያሉ ናቸው።

የ perpendicularity ጥያቄ አስፈላጊ እና በቂ በሆነ ሁኔታ ውስጥ እንኳን የማይቻል በሚሆንበት ጊዜ ሁኔታዎች አሉ. በሁለት ቬክተሮች ላይ ባለ ሶስት ጎን በሶስት ጎን ላይ ያለውን የታወቀው መረጃን ማግኘት ይቻላል በቬክተሮች መካከል አንግልእና ይመልከቱት።

ምሳሌ 4

ትሪያንግል A B C ከጎኖቹ A B = 8, A C = 6, B C = 10 ሴ.ሜ. ተሰጥቷል ለ perpendicularity ቬክተሮች A B → እና A C → ያረጋግጡ.

መፍትሄ

ቬክተሮች A B → እና A C → ቀጥ ያሉ ከሆኑ፣ ትሪያንግል A B C አራት ማዕዘን እንደሆነ ይቆጠራል። ከዚያም የፒታጎሪያን ቲዎረምን እንተገብራለን, B C የሶስት ማዕዘን (hypotenuse) ነው. እኩልነት B C 2 = A B 2 + A C 2 እውነት መሆን አለበት። በመቀጠልም 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 ነው። ይህ ማለት A B እና A C የሶስት ማዕዘን A B C እግሮች ናቸው, ስለዚህ, A B → እና A C → ቀጥ ያሉ ናቸው.

የቬክተርን መጋጠሚያዎች ከተሰጠው አንጻር እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ መማር አስፈላጊ ነው። ይህ በአውሮፕላኑ ውስጥ እና በህዋ ላይ ሊሆን ይችላል, ቬክተሮች ቀጥ ያሉ ናቸው.

በአውሮፕላኑ ውስጥ ለተሰጠ ቀጥ ያለ ቬክተር ማግኘት።

ዜሮ ያልሆነ ቬክተር a → በአውሮፕላኑ ላይ ወሰን የለሽ ቁጥር ያላቸው ቋሚ ቬክተሮች ሊኖሩት ይችላል። ይህንን በማስተባበር መስመር ላይ እናሳይ።

ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ሀ → ቀጥታ መስመር ላይ ተኝቷል ሀ. ከዚያም የተሰጠው b → በማንኛውም መስመር ላይ በቋሚ ሀ ላይ የሚገኝ፣ ወደ → ቀጥ ያለ ይሆናል። ቬክተር i → ከቬክተር j → ወይም ከማንኛዉም ቬክተር λ · j → ከ λ ጋር ከዜሮ ሌላ ትክክለኛ ቁጥር ጋር እኩል ከሆነ የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ማግኘት b → በ → = (a x , a y) ቀጥ ያለ መጋጠሚያዎችን ማግኘት. ) ወደ ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ስብስብ ይቀንሳል. ነገር ግን የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ከ → = (a x, a y) ጋር ቀጥ ብሎ መፈለግ አስፈላጊ ነው. ይህንን ለማድረግ የቬክተሮችን የ perpendicularity ሁኔታ በሚከተለው ቅጽ መፃፍ አስፈላጊ ነው-a x · b x + a y · b y = 0. እኛ b x እና b y አሉን ፣ እነሱም የሚፈለጉት የቋሚ ቬክተር መጋጠሚያዎች ናቸው። አንድ x ≠ 0፣ የ b y ዋጋ ዜሮ ካልሆነ፣ እና b x ከእኩልነት መቁጠር ይቻላል a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x። ለ x = 0 እና a y ≠ 0 ከዜሮ በስተቀር b x ማንኛውንም እሴት እንመድባለን እና b y ከሚለው አገላለጽ b y = - a x · b x a y እናገኛለን።

ምሳሌ 5

መጋጠሚያዎች ያለው ቬክተር ተሰጥቷል a → = (- 2 , 2) . ከዚህ ጋር ቀጥ ያለ ቬክተር ያግኙ።

መፍትሄ

የተፈለገውን ቬክተር እንደ b → (b x , b y) እንጥቀስ. የእሱ መጋጠሚያዎች ሊገኙ የሚችሉት ቬክተሮች a → እና b → ቀጥ ያሉ ናቸው ከሚለው ሁኔታ ነው። ከዚያም እናገኛለን: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . ለ b y = 1 እንመድበው እና ተተኪ፡ - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . ስለዚህም ከቀመርው b x = - 2 - 2 = 1 2 እናገኛለን። ይህ ማለት ቬክተር b → = (1 2, 1) ከ → ቀጥ ያለ ቬክተር ነው.

መልስ፡- b → = (1 2, 1) .

ጥያቄው ስለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ከተነሳ, ችግሩ በተመሳሳይ መርህ መሰረት ይፈታል. ለተሰጠው ቬክተር a → = (a x , a y, a z) ማለቂያ የሌለው ቋሚ ቬክተር አለ. ይህንን ባለ ሶስት አቅጣጫዊ አስተባባሪ አውሮፕላን ያስተካክላል። የተሰጠው → በመስመር ላይ መዋሸት ሀ. አውሮፕላኑ ቀጥታ ወደ ቀጥታ a በ α ይገለጻል። በዚህ ሁኔታ, ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር b → ከአውሮፕላኑ α ወደ → ቀጥ ያለ ነው.

የ b → ዜሮ ላልሆነው ቬክተር a → = (a x , a y , a z) መጋጠሚያዎችን መፈለግ አስፈላጊ ነው.

ለ → ከመጋጠሚያዎች b x ፣ b y እና b z ጋር ይስጥ። እነሱን ለማግኘት, ሁለት ቬክተሮች perpendicularity ሁኔታ ፍቺ ተግባራዊ ማድረግ አስፈላጊ ነው. እኩልነት a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 መሟላት አለበት። ከሁኔታው a → ዜሮ ያልሆነ ነው, ይህም ማለት ከመጋጠሚያዎቹ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ዋጋ አለው. እስቲ አንድ x ≠ 0፣ (a y ≠ 0 ወይም a z ≠ 0) እናስብ። ስለዚህ አጠቃላይ እኩልነትን a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 በዚህ አስተባባሪ የመከፋፈል መብት አለን። + a z · b z a x. ለ መጋጠሚያዎች ማንኛውንም እሴት እንመድባለን b y እና b x , በቀመር ላይ በመመስረት የ b x ዋጋን እናሰላለን, b x = - a y · b y + a z · b z a x. የሚፈለገው ቋሚ ቬክተር እሴት a → = (a x, a y, a z) ይኖረዋል.

ማስረጃውን በምሳሌ እንየው።

ምሳሌ 6

መጋጠሚያዎች ያለው ቬክተር የተሰጠው a → = (1፣ 2፣ 3) ። ከተሰጠው ጋር ቀጥ ያለ ቬክተር ያግኙ።

መፍትሄ

የተፈለገውን ቬክተር በ b → = (b x , b y, b z) እንጥቀስ. ቬክተሮቹ ቀጥ ብለው በሚገኙበት ሁኔታ ላይ በመመስረት, የስክላር ምርቱ ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለበት.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

የ b y = 1 ፣ b z = 1 ፣ ከዚያ b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5 ከሆነ። የቬክተር b → (- 5, 1, 1) መጋጠሚያዎች እንደሚከተለው ነው. ቬክተር b → ከተሰጡት ቬክተሮች መካከል አንዱ ነው.

መልስ፡- b → = (- 5 ፣ 1 ፣ 1) ።

በሁለት የተሰጡ ቬክተሮች ላይ የቬክተር መጋጠሚያዎችን መፈለግ

ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ማግኘት አለብን. እሱ ወደ ኮላይኔር ካልሆኑ ቬክተሮች አ → (a x , a y, a z) እና b → = (b x, b y, b z) ቀጥ ያለ ነው. ቬክተሮች a → እና b → ኮሊንየር ከሆኑ በችግሩ ውስጥ ከ → ወይም b → ጋር ቀጥ ያለ ቬክተር ማግኘት በቂ ይሆናል።

በሚፈታበት ጊዜ የቬክተሮች የቬክተር ምርት ጽንሰ-ሐሳብ ጥቅም ላይ ይውላል.

የቬክተሮች የቬክተር ምርት a → እና b → ከሁለቱም a → እና b → ጋር በአንድ ጊዜ ቀጥ ያለ ቬክተር ነው። ይህንን ችግር ለመፍታት የቬክተር ምርት a → × b → ጥቅም ላይ ይውላል. ለባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ሀ → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z ቅፅ አለው

ምሳሌ ችግርን በመጠቀም የቬክተር ምርቱን በበለጠ ዝርዝር እንመልከት።

ምሳሌ 7

ቬክተሮች b → = (0, 2, 3) እና a → = (2, 1, 0) ተሰጥተዋል. የማንኛውም ቬክተር መጋጠሚያዎችን ከመረጃው ጋር በአንድ ጊዜ ያግኙ።

መፍትሄ

ለመፍታት, የቬክተሮችን የቬክተር ምርት ማግኘት አለብዎት. (እባክዎ ወደ አንቀጽ ይመልከቱ የማትሪክስ ወሳኙን በማስላት ላይቬክተሩን ለማግኘት). እናገኛለን፡-

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 እኔ → + (- 6) j → + 4 ኪ →

መልስ፡- (3 , - 6 , 4) - ከተሰጡት → እና b → ጋር በአንድ ጊዜ ቀጥ ያለ የቬክተር መጋጠሚያዎች።

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

በጥያቄው ክፍል ውስጥ በጸሐፊው በተሰጡ ሁለት ቬክተሮች ላይ አንድ ቬክተር ያግኙ አና አፍናስዬቫከሁሉ የተሻለው መልስ፡- ቬክተር ከሁለቱ ትይዩ ያልሆኑ ቬክተሮች በቬክተር ምርታቸው xb ሆኖ ተገኝቷል፣ እሱን ለማግኘት ወሳኙን ማቀናበር ያስፈልግዎታል፣ የመጀመሪያው መስመር ክፍል ቬክተሮችን I፣ j፣ k፣ ሁለተኛ ከቬክተር ሀ, ሦስተኛው ከቬክተር ለ መጋጠሚያዎች. ወሳኙ በመጀመሪያው መስመር ላይ እንደ መስፋፋት ይቆጠራል፣ በእርስዎ ጉዳይ ላይ akhv=20i-10k፣ ወይም ahv=(20,0,-10) ያገኛሉ።

መልስ ከ 22 መልሶች[ጉሩ]

ሀሎ! ለጥያቄዎ መልስ ያላቸው የርእሶች ምርጫ እዚህ አለ፡ በሁለት የተሰጡ ቬክተሮች ላይ ቀጥ ያለ ቬክተር ያግኙ

መልስ ከ እዘረጋለሁ[አዲስ ሰው]
ወደ ሁለት ትይዩ ያልሆኑ ቬክተሮች ቀጥ ያለ አንድ ቬክተር እንደ የቬክተር ምርታቸው xb ይገኛል፣ እሱን ለማግኘት ወሳኙን ማቀናበር ያስፈልግዎታል፣ የመጀመሪያው መስመር የዩኒት ቬክተሮችን I፣ j፣ k፣ ሁለተኛውን ያካትታል - ከመጋጠሚያዎቹ። የቬክተር ሀ, ሦስተኛው - ከቬክተር መጋጠሚያዎች ለ. ወሳኙ በመጀመሪያው መስመር ላይ እንደ መስፋፋት ይቆጠራል፣ በእርስዎ ጉዳይ ላይ akhv=20i-10k፣ ወይም ahv=(20,0,-10) ያገኛሉ።

መልስ ከ ሃይካ[ጉሩ]
በግምት እንደዚህ ይፍቱ; መጀመሪያ ግን ሁሉንም ነገር ራስህ አንብብ!! !
የቬክተር መ scalar ምርት አስላ እና r ከሆነ d=-c+a+2b; r=-b+2a
የቬክተር a ሞጁል 4 ነው፣ የቬክተር ለ ሞጁል 6. በቬክተር a እና b መካከል ያለው አንግል 60 ዲግሪ ነው፣ ቬክተር ሐ ከቬክተር ሀ እና ለ ጋር ቀጥ ያለ ነው።
ነጥቦች E እና F በ AD እና BC በትይዩአሎግራም ABCD፣ AE = ED፣ BF: FC = 4: 3. ሀ) ቬክተር ኢኤፍን በቬክተር m = vector AB እና vector n = vector AD ይግለጹ። ለ) የእኩልነት ቬክተር EF = x በቬክተር ሲዲ ተባዝቶ ለማንኛውም የ x እሴት መያዝ ይችላል? .

መመሪያዎች

ዋናው ቬክተር በሥዕሉ ላይ አራት ማዕዘን ቅርጽ ባለው ባለ ሁለት አቅጣጫዊ አስተባባሪ ሥርዓት ውስጥ ከተገለጸ እና አንድ ቋሚ እዚያ መገንባት ካስፈለገ በአውሮፕላን ውስጥ የቬክተሮችን ቀጥተኛነት ፍቺ ይቀጥሉ. በእንደዚህ አይነት ጥንድ ቀጥተኛ ክፍሎች መካከል ያለው አንግል ከ 90 ° ጋር እኩል መሆን እንዳለበት ይገልጻል. የዚህ አይነት ቬክተር ማለቂያ የሌለው ቁጥር መገንባት ይቻላል. ስለዚህ በአውሮፕላኑ ውስጥ በማንኛውም ምቹ ቦታ ላይ ከዋናው ቬክተር ጋር ቀጥ ያለ መሳል ይሳሉ ፣ በላዩ ላይ ከተሰጡት የታዘዙ ጥንድ ነጥቦች ርዝመት ጋር እኩል የሆነ ክፍል ያኑሩ እና አንዱን ጫፎቹን እንደ ቋሚ ቬክተር መጀመሪያ ይመድቡ። ይህንን ፕሮትራክተር እና ገዢ በመጠቀም ያድርጉ.

ዋናው ቬክተር በሁለት-ልኬት መጋጠሚያዎች ā = (X₁; Y₁) ከተሰጠ፣ የአንድ ጥንድ ቋሚ ቬክተሮች scalar ምርት ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለበት ብለው ያስቡ። ይህ ማለት ለሚፈልጉት ቬክተር ō = (X₂,Y₂) እኩልነት (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 የሚይዝ መጋጠሚያዎች መምረጥ ያስፈልግዎታል። ለX₂ መጋጠሚያ ዜሮ ያልሆነ እሴት፣ እና የY₂ መጋጠሚያን ቀመር Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ በመጠቀም ያሰሉ። ለምሳሌ፣ ለቬክተር ā = (15;5) ቬክተር ō ይኖራል፣ abcissa ከአንዱ ጋር እኩል እና ሬንጁ -(15*1)/5 = -3፣ i.e. ō = (1;-3)።

ለሶስት-ልኬት እና ለሌላ ማንኛውም orthogonal መጋጠሚያ ስርዓት ፣ ለ vectors perpendicularity ተመሳሳይ አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ እውነት ነው - የእነሱ scalar ምርት ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለበት። ስለዚህ፣ የመጀመርያው የተመራው ክፍል በመጋጠሚያዎች ā = (X₁, Y₁, Z₁) ከተሰጠ፣ ለታዘዙት ጥንድ ነጥቦች ō = (X₂, Y₂, Z₂) በእሱ ላይ ቀጥ ያለ ሁኔታን የሚያሟሉ መጋጠሚያዎችን ይምረጡ (ā,ō) ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. ቀላሉ መንገድ ነጠላ እሴቶችን ለX₂ እና Y₂ መመደብ እና Z₂ን ከተቃለለው እኩልነት Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* ማስላት ነው። 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ ዜድ. ለምሳሌ, ለቬክተር ā = (3,5,4) ይህ የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. ከዚያም abcissa እና ordinate of the perpendicular vector እንደ አንድ, እና በዚህ ሁኔታ ውስጥ -(3+5)/4 = -2 ጋር እኩል ይሆናል.

ምንጮች፡-

• ቀጥ ያለ ከሆነ ቬክተሩን ያግኙ

እነሱ ቀጥ ብለው ይጠራሉ ቬክተርበመካከላቸው ያለው አንግል 90º ነው። ቀጥ ያለ ቬክተሮች የሚሠሩት የስዕል መሳርያዎችን በመጠቀም ነው። መጋጠሚያዎቻቸው የሚታወቁ ከሆነ, የቬክተሩን perpendicularity መፈተሽ ወይም የትንታኔ ዘዴዎችን በመጠቀም ሊገኝ ይችላል.

ያስፈልግዎታል

• - ፕሮትራክተር;
• - ኮምፓስ;
• - ገዥ.

መመሪያዎች

ከተሰጠው ጋር ቀጥ ያለ ቬክተር ይገንቡ። ይህንን ለማድረግ, የቬክተሩ መጀመሪያ በሆነበት ቦታ ላይ, ወደ እሱ ቀጥ ያለ አቀማመጥ ይመልሱ. ይህ 90º አንግል በማዘጋጀት ፕሮትራክተር በመጠቀም ሊከናወን ይችላል። ፕሮትራክተር ከሌልዎት ለማድረግ ኮምፓስ ይጠቀሙ።

ወደ ቬክተሩ መነሻ ነጥብ ያዘጋጁት. በዘፈቀደ ራዲየስ ክበብ ይሳሉ። ከዚያም የመጀመሪያው ክበብ ቬክተር የተኛበትን መስመር በሚያቋርጥባቸው ቦታዎች ላይ ሁለቱን ማዕከሎች ይገንቡ። የእነዚህ ክበቦች ራዲየስ እርስ በርስ እኩል መሆን እና ከተሰራው የመጀመሪያው ክበብ የበለጠ መሆን አለበት. በክበቦቹ መጋጠሚያ ቦታዎች ላይ፣ በመነሻው ላይ ከመጀመሪያው ቬክተር ጋር የሚመጣጠን ቀጥ ያለ መስመር ይገንቡ እና በላዩ ላይ ቀጥ ያለ ቬክተር ያቅዱ።

አሃዱ ቬክተር:, የት ነው - የቬክተር ሞጁል.

መልስ፡-
.

ማስታወሻ.የንጥል ቬክተር መጋጠሚያዎች ከአንድ በላይ መሆን የለባቸውም.

6.3. የአንድ ቬክተር ርዝመት እና አቅጣጫ ኮሲኖችን ያግኙ . ባለፈው አንቀፅ ውስጥ ካለው መልስ ጋር አወዳድር። መደምደሚያዎችን ይሳሉ።

የቬክተር ርዝመት ሞጁሉ ነው፡-

እና ቬክተርን ለመጥቀስ አንደኛውን መንገድ ቀመር በመጠቀም አቅጣጫውን ኮሳይን ማግኘት እንችላለን፡-

ከዚህ የምንረዳው አቅጣጫ ኮሳይኖች የዩኒት ቬክተር መጋጠሚያዎች መሆናቸውን ነው።

መልስ፡-
,
,
,
.

6.4. አግኝ
.

ቬክተርን በቁጥር, በመደመር እና በሞጁል የማባዛት ድርጊቶችን ማከናወን አስፈላጊ ነው.

የቬክተሮችን መጋጠሚያዎች በቁጥር ቃል እናባዛለን.

የቬክተሮችን መጋጠሚያዎች በጊዜ ቃል እንጨምራለን.

የቬክተሩን ሞጁል ማግኘት.

መልስ፡-

6.5. የቬክተር መጋጠሚያዎችን ይወስኑ
, ኮሊንየር ወደ ቬክተር , ያንን በማወቅ
እና ወደ ቬክተር በተቃራኒ አቅጣጫ ይመራል .

ቬክተር ኮሊንየር ወደ ቬክተር , ይህም ማለት የእሱ አሃድ ቬክተር ከአሃዱ ቬክተር ጋር እኩል ነው በመቀነስ ምልክት ብቻ, ምክንያቱም በተቃራኒ አቅጣጫ ተመርቷል.

የንጥል ቬክተር ከ 1 ጋር እኩል የሆነ ርዝመት አለው, ይህም ማለት በ 5 ካባዙት, ከዚያም ርዝመቱ ከአምስት ጋር እኩል ይሆናል.

እናገኛለን

መልስ፡-

6.6. የነጥብ ምርቶችን አስላ
እና
. ቬክተሮች ቀጥ ያሉ ናቸው? እና ,እና በራሳቸው መካከል?

የቬክተሮችን scalar ምርት እናድርግ።

ቬክተሮቹ ቀጥ ያሉ ከሆኑ, የ scalar ምርታቸው ዜሮ ነው.

በእኛ ሁኔታ ቬክተሮችን እናያለን እና ቀጥ ያለ።

መልስ፡-
,
, ቬክተሮቹ ቀጥ ያሉ አይደሉም.

ማስታወሻ.የስክላር ምርት ጂኦሜትሪክ ትርጉም በተግባር ብዙም ጥቅም የለውም ነገር ግን አሁንም አለ። የእንደዚህ አይነት ድርጊት ውጤት በጂኦሜትሪ ሊገለጽ እና ሊሰላ ይችላል.

6.7. ኃይል በሚተገበርበት በቁሳዊ ነጥብ የተሰራውን ስራ ያግኙ
, ከ ነጥብ B ወደ ነጥብ C ሲንቀሳቀስ.

የስክላር ምርት አካላዊ ትርጉሙ ሥራ ነው። የኃይል ቬክተር እዚህ አለ ፣ የመፈናቀሉ ቬክተር ነው።
. እና የእነዚህ ቬክተሮች ምርት አስፈላጊው ስራ ይሆናል.

ሥራ ማግኘት

6.8. የውስጠኛውን አንግል በወርድ ላይ ያግኙ ሀ እና ውጫዊ የወርድ አንግል ሲ ትሪያንግል ኢቢሲ .

የቬክተሮች scalar ምርት ፍቺ ላይ, እኛ ማዕዘን ለማግኘት ቀመር ማግኘት.

ውስጥ
በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል ከአንድ ነጥብ የሚመነጨው የውስጠኛውን ማዕዘን እንፈልጋለን።

ውጫዊውን አንግል ለማግኘት ከአንድ ነጥብ ላይ እንዲወጡ ቬክተሮችን ማዋሃድ ያስፈልግዎታል. ምስሉ ይህንን ያብራራል.

መሆኑን ልብ ሊባል የሚገባው ጉዳይ ነው።
፣ ልክ የተለያዩ የመጀመሪያ መጋጠሚያዎች ይኑርዎት።

አስፈላጊዎቹን ቬክተሮች እና ማዕዘኖች ማግኘት

መልስ፡ ውስጣዊ አንግል በ vertex A = , ውጫዊ አንግል በ vertex B = .

6.9. የቬክተሮችን ትንበያ ይፈልጉ: እና

የቬክተር ቬክተሮችን እናስታውስ፡-
,
,
.

ትንበያው የሚገኘው ከስካላር ምርት ነው።

- ፕሮጀክት ለላይ ሀ.

ቀደም ሲል የተገኙ ቬክተሮች

,
,

ትንበያውን ማግኘት

ሁለተኛውን ትንበያ ማግኘት

መልስ፡-
,

ማስታወሻ.ትንበያ ሲያገኝ የመቀነስ ምልክት ማለት ትንበያው ወደ ቬክተሩ በራሱ ላይ አይወርድም, ነገር ግን በተቃራኒው አቅጣጫ, ይህ ቬክተር ወደተተኛበት መስመር.

6.10. አስላ
.

የቬክተሮችን የቬክተር ምርት እናድርግ

ሞጁሉን እንፈልግ

በቬክተሮች መካከል ያለውን የማዕዘን ኃጢያት ከቬክተር የቬክተር ምርት ፍቺ እናገኛለን

መልስ፡-
,
,
.

6.11. የሶስት ማዕዘን ቦታን ያግኙ ኢቢሲ እና የቁመቱ ርዝመት ከ ነጥብ ሐ ወርዷል.

የቬክተር ምርት ሞጁል ጂኦሜትሪክ ትርጉሙ በእነዚህ ቬክተሮች የተቋቋመው ትይዩ አካባቢ ነው። እና የሶስት ማዕዘን ቦታ ከትይዩው ግማሽ ስፋት ጋር እኩል ነው.

የሶስት ማዕዘን ቦታም የቁመቱ ውጤት እና መሰረቱ በሁለት ይከፈላል, ቁመቱን ለማግኘት ቀመር ሊገኝ ይችላል.

ስለዚህ, ቁመቱን እናገኛለን

መልስ፡-
,
.

6.12. ወደ ቬክተሮች ቀጥ ብሎ ያለውን ክፍል ይፈልጉ እና .

የነጥብ ምርቱ ውጤት ከሁለቱ ኦሪጅናል ጋር ቀጥ ያለ ቬክተር ነው። ዩኒት ቬክተር ደግሞ በርዝመቱ የተከፋፈለ ቬክተር ነው።

ከዚህ በፊት አግኝተናል፡-

,

መልስ፡-
.

6.13. የግዳጅ ጊዜ መጠኑን እና አቅጣጫውን ይወስኑ
፣ ከ ነጥብ ሐ አንፃር ተተግብሯል።

የቬክተር ምርት አካላዊ ትርጉሙ የጉልበት ጊዜ ነው። ለዚህ ተግባር ምሳሌ እንስጥ።

የኃይል ጊዜን ማግኘት

መልስ፡-
.

6.14. ቬክተሮች ይዋሻሉ ,እና በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ? እነዚህ ቬክተሮች የቦታ መሠረት ሊፈጥሩ ይችላሉ? ለምን? ከቻሉ ቬክተሩን ወደዚህ መሠረት አስፋፉ
.

ቬክተሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ መዋሸትን ለመፈተሽ የእነዚህን ቬክተሮች ድብልቅ ምርት ማከናወን አስፈላጊ ነው.

የተቀላቀለው ምርት ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም, ስለዚህ, ቬክተሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ አይዋሹም (ኮፕላላር ሳይሆን) እና መሰረት ሊፈጥሩ ይችላሉ. እንበሰብስ በዚህ መሠረት.

እኩልታውን በመፍታት በመሠረት እንሰፋ

መልስ: ቬክተሮች ,እና በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ አይዋሹ.
.

6.15. አግኝ
. ቁመታቸው A፣ B፣ C፣ D ያለው የፒራሚዱ መጠን ምን ያህል ነው እና ቁመቱ ከ A ወደ BCD ግርጌ ዝቅ ብሏል።

ጂ የተቀላቀለው ምርት ጂኦሜትሪክ ትርጉሙ በነዚህ ቬክተሮች የተሰሩ ትይዩዎች መጠን ነው.

የፒራሚዱ መጠን ከትይዩ ስድስት እጥፍ ያነሰ ነው.

የፒራሚዱ መጠን እንዲሁ እንደሚከተለው ሊገኝ ይችላል-

ቁመቱን ለማግኘት ቀመር እናገኛለን

ቁመቱን ማግኘት

መልስ፡ ድምጽ = 2.5, ቁመት = .

6.16. አስላ
እና
.

- ስለዚህ ተግባር እራስዎ እንዲያስቡ እንጋብዝዎታለን.

- ስራውን እናከናውን.

ከዚህ ቀደም ተቀብለዋል

መልስ፡-
.

6.17. አስላ

ደረጃዎቹን በክፍሎች እናድርግ

3)

የተገኙትን እሴቶች እናጠቃልል።

መልስ፡-
.

6.18. ቬክተር ያግኙ
, ወደ ቬክተሮች ቀጥ ያለ መሆኑን በማወቅ እና እና በቬክተሩ ላይ ያለው ትንበያ እኩል 5.

ይህንን ተግባር በሁለት ንዑስ ተግባራት እንከፋፍል።

1) ከቬክተሮች ጋር ቀጥ ያለ ቬክተር ያግኙ እና የዘፈቀደ ርዝመት.

በቬክተር ምርት ምክንያት ቀጥተኛውን ቬክተር እናገኛለን

ከዚህ በፊት አግኝተናል፡-

የሚፈለገው ቬክተር ከተቀበለው ርዝመት ጋር ብቻ ይለያያል

2) እንፈልግ በቀመር በኩል

6.19. ቬክተር ያግኙ
, ሁኔታዎችን ማሟላት
,
,
.

እነዚህን ሁኔታዎች በበለጠ ዝርዝር እንመልከት.

ይህ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ነው። ይህን ሥርዓት እንጽፈው እና እንፍታው።

መልስ፡-

6.20. የቬክተር መጋጠሚያዎችን ይወስኑ
, ኮፕላላር ከቬክተሮች ጋር እና , እና ወደ ቬክተር ቀጥ ያለ
.

በዚህ ተግባር ውስጥ ሁለት ሁኔታዎች አሉ-የ vectors እና perpendicularity coplanarity, በመጀመሪያ የመጀመሪያውን ሁኔታ እናሟላለን, ከዚያም ሁለተኛው.

1) ቬክተሮች ኮፕላላር ከሆኑ, ድብልቅ ምርታቸው ከዜሮ ጋር እኩል ነው.

ከዚህ የቬክተር መጋጠሚያዎች ጥገኝነት እናገኛለን

ቬክተሩን እንፈልግ .

2) ቬክተሮቹ ቀጥ ያሉ ከሆኑ ስኬር ምርታቸው ዜሮ ነው።

የተፈለገውን የቬክተር መጋጠሚያዎች ሁለተኛውን ጥገኝነት አግኝተናል

ለማንኛውም ዋጋ ቬክተሩ ሁኔታዎችን ያሟላል. እንተኩ
.

መልስ፡-
.

የትንታኔ ጂኦሜትሪ