3. በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1 B 1 C 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ AB እና A 1 C. መፍትሄ: የሚፈለገው ማዕዘን ከ B 1 A 1 ጋር እኩል ነው. ሐ. በሦስት ማዕዘኑ B 1 A 1 C ቁመትን ሲዲ እናስባለን 1. በቀኝ ትሪያንግል A 1 ሲዲ 1 እግር A 1 D 1 ከ 0.5 ጋር እኩል ነው; hypotenuse A 1 C እኩል ነው. ስለዚህም እ.ኤ.አ.
መፍትሄ 1. O 1 የመደበኛው ሄክሳጎን ሀ 1 ... ኤፍ መሃል ይሁን 1. ከዚያም ቀጥታ መስመር AO 1 ከቀጥታ መስመር BC 1 ጋር ትይዩ ነው, እና የሚፈለገው አንግል በ AB 1 እና BC ቀጥታ መስመሮች መካከል ነው. 1 ከማዕዘን ጋር እኩል ነው B 1 AO 1. በ isosceles triangle B 1 AO 1 ውስጥ አለን: O 1 B 1 = 1; AB 1 = AO 1 =. የኮሳይን ቲዎሬምን በመተግበር, እናገኛለን.
መፍትሔ 2. ነጥብ ሀ የመጋጠሚያዎች መነሻ፣ ነጥብ B መጋጠሚያዎች እንዲኖሩት (1፣ 0፣ 0)፣ ነጥብ A 1 መጋጠሚያዎች እንዲኖራቸው (0፣ 0፣ 1) ግምት ውስጥ በማስገባት የማስተባበር ሥርዓትን እናስተዋውቅ። ከዚያም ነጥብ C 1 መጋጠሚያዎች አሉት (1.5, 1). አንድ ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት (1፣ 0፣ 1)፣ ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት (0.5፣ 1)። በቬክተሮች መካከል ያለውን የማእዘን ኮሳይን በሚለካው ምርት እና ርዝመታቸው የሚገልጽ ቀመር እንጠቀም። እና አለነ. ስለዚህ, ቀጥታ መስመሮች AB 1 እና BC 1 መካከል ያለው የማዕዘን ኮሳይን 0.75 ነው.
መፍትሔ 2. ነጥብ ሀ የመጋጠሚያዎች መነሻ፣ ነጥብ B መጋጠሚያዎች እንዲኖሩት (1፣ 0፣ 0)፣ ነጥብ A 1 መጋጠሚያዎች እንዲኖራቸው (0፣ 0፣ 1) ግምት ውስጥ በማስገባት የማስተባበር ሥርዓትን እናስተዋውቅ። ከዚያም ነጥብ D 1 መጋጠሚያዎች አሉት (1, 1). ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት (1፣ 0፣ 1)፣ ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት (0፣ 1)። በቬክተሮች መካከል ያለውን የማእዘን ኮሳይን በሚለካው ምርት እና ርዝመታቸው የሚገልጽ ቀመር እንጠቀም። እና አለነ. ስለዚህ, ቀጥታ መስመሮች AB 1 እና BC 1 መካከል ያለው የማዕዘን ኮሳይን እኩል ነው.
መፍትሄ 1. ቀጥታ መስመሮች AB 1 እና BE 1 መካከል ያለው አንግል ከ 90 ዲግሪ ጋር እኩል መሆኑን እናረጋግጥ. ይህንን ለማድረግ የሶስት ፔንዲኩላር ቲዎሪ እንጠቀማለን. ይኸውም ወደ አውሮፕላኑ ላይ የሚሄደው ዘንበል ያለ አይሮፕላን (orthogonal projection) በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ካለው ቀጥተኛ መስመር ጋር እኩል ከሆነ፣ ያዘመመበት ራሱ በዚህ ቀጥተኛ መስመር ላይ ቀጥ ያለ ነው። በአውሮፕላኑ ላይ ያለው የ BE 1 orthogonal projection ABB 1 ቀጥተኛ መስመር A 1 B ነው፣ ከ AB 1 ጋር ቀጥ ያለ። የሚፈለገው ማዕዘን 90 ° ነው.
መፍትሄ 2. በነጥብ B ከመስመር AB 1 ጋር ትይዩ የሆነ መስመርን እናስባለን እና G 1 የመገናኛ ነጥቡን ከመስመር ሀ 1 B 1 ጋር እናሳያለን። BG 1 እኩል ነው። በቀኝ ትሪያንግል BEE 1 እግሮቹ BE እና EE 1 ከ 2 እና 1 ጋር እኩል ናቸው.ስለዚህ የ BE 1 hypotenuse እኩል ነው. በቀኝ ትሪያንግል G 1 A 1 E 1, እግሮች A 1 G 1 እና A 1 E 1 ከ 2 ጋር እኩል ናቸው እና በቅደም ተከተል. ስለዚህ, hypotenuse G 1 E 1 እኩል ነው. ስለዚህ, በሶስት ማዕዘን BE 1 G 1 ውስጥ አለን: BG 1 =, BE 1 =, G 1 E 1 =. ወደ ፒይታጎሪያን ቲዎረም በተገላቢጦሽ ቲዎሬም መሰረት, አንግል E 1 BG 1 ከ 90 ዲግሪ ጋር እኩል ነው.
መፍትሄ 3. ነጥብ ሀ የመጋጠሚያዎች መነሻ እንደሆነ፣ ነጥብ B መጋጠሚያዎች እንዲኖሩት (1፣ 0፣ 0)፣ ነጥብ A 1 መጋጠሚያዎች እንዲኖሩት (0፣ 0፣ 1)፣ ነጥብ E እንዲኖረን በማሰብ የማስተባበር ሥርዓት እናስተዋውቅ። መጋጠሚያዎች (0, 0). ከዚያም ነጥቡ E 1 መጋጠሚያዎች (0, 1), ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት (1, 0, 1), ቬክተሩ መጋጠሚያዎች አሉት (-1, 1). በቬክተሮች መካከል ያለውን የማእዘን ኮሳይን በሚለካው ምርት እና ርዝመታቸው የሚገልጽ ቀመር እንጠቀም። እኛ አለን, ስለዚህ, ቀጥታ መስመሮች AB 1 እና BE 1 መካከል ያለው አንግል ከ 90 ዲግሪ ጋር እኩል ነው.
13. በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1 B 1 C 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በአውሮፕላኖቹ ABC እና A 1 B 1 C መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ: O, O 1 የጠርዙ መካከለኛ ነጥቦች ይሁኑ. AB እና A 1 B 1. የሚፈለገው መስመራዊ ማዕዘን ማዕዘን ይሆናል OCO 1. በቀኝ ትሪያንግል OCO 1 እኛ OO 1 = 1; OC = ስለዚህ
16. በመደበኛ 6 ኛ ፕሪዝም A ... F 1, ጠርዞቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በአውሮፕላኖቹ CDF 1 እና AFD መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ 1. መልስ: መፍትሄ: ኦ የፕሪዝም ማእከል ይሁን, G, G 1 የዳርቻዎቹ መካከለኛ ነጥቦች ሲዲ እና ሲ 1 ዲ 1. የሚፈለገው ማዕዘን ከ GOG ማዕዘን ጋር እኩል ነው 1. በሶስት ማዕዘን GOG 1 ውስጥ: GG 1 = GO = G 1 O = 1. ስለዚህ, = 60 o.
Cube 1 በcube A…D 1፣ በመስመሮች AC እና BD መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ 1. መልስ። 90 o.
Cube 2 በcube A…D 1፣ በመስመሮች AB 1 እና BD 1 መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ። መልሱ። 90 o.
Cube 3 በcube A…D 1፣ በመስመሮች DA 1 እና BD 1 መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ። መልስ። 90 o.
ኩብ 4 በዩኒት ኪዩብ A...D 1 በመስመሮች AE እና BE 1 መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ያግኙ፣ E እና E 1 እንደቅደም ተከተላቸው የጠርዝ BC እና B 1 C 1 መካከለኛ ነጥቦች ናቸው መፍትሄ። ነጥብ A በኩል መስመር AF 1 ከ BE 1 ጋር እናስባለን. የሚፈለገው አንግል ከ EAF አንግል ጋር እኩል ነው 1. በሶስት ማዕዘን AEF 1 AE = AF 1 =, EF 1 =. የኮሳይን ቲዎረምን በመጠቀም መልሱን እናገኛለን.
Cube 5 በcube A...D 1፣ በመስመሮች AE እና BF 1 መካከል ያለውን አንግል ያግኙ፣ E እና F 1 እንደቅደም ተከተላቸው የጠርዝ BC እና C 1 D 1 መካከለኛ ነጥቦች ናቸው። ከ F 1 ነጥብ 1 ፐርፔንዲኩላር F 1 F ወደ ቀጥታ መስመር ሲዲ ዝቅ እናደርጋለን. መስመር AE ከ BF ጋር ቀጥ ያለ ነው፣ ስለዚህ ከ BF ጋር ቀጥ ያለ ነው 1. መልስ። 90 o.
ፒራሚድ 1 በመደበኛ tetrahedron ABCD፣ በመስመሮች AD እና BC መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ። መልስ፡ 90 o.
ፒራሚድ 1 በመደበኛ tetrahedron ABCD፣ ነጥቦች E፣ F፣ G የጠርዝ AB፣ BD፣ CD መካከለኛ ነጥቦች ናቸው። አንግል EFG ያግኙ. መፍትሄ። መስመሮች EF እና FG ከመስመሮች AD እና BC ጋር ትይዩ ናቸው፣ እነሱም ቀጥ ያሉ ናቸው። ስለዚህ, በመካከላቸው ያለው አንግል 90 ዲግሪ ነው. መልስ፡ 90 o.
ፒራሚድ 2 በመደበኛ ፒራሚድ SABCD ውስጥ ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው ፣ ነጥብ ኢ የጠርዝ አ.ማ መሃል ነው። በመስመሮች SA እና BE መካከል ያለውን አንግል ታንጀንት ያግኙ። መፍትሄ። በ ነጥብ ኢ በኩል ከኤስኤ ጋር ትይዩ የሆነ መስመር እንሳልለን። መሰረቱን በነጥብ O ያቋርጣል። የሚፈለገው አንግል ከ OEB አንግል ጋር እኩል ነው። በቀኝ ትሪያንግል OEB አለን: OB = መልስ:, OE =. ስለዚህም እ.ኤ.አ.
ፒራሚድ 3 በመደበኛ ፒራሚድ ኤስኤቢሲዲ ውስጥ ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው ፣ ነጥቦች E ፣ F የ SB እና SC መካከለኛ ነጥቦች ናቸው። በመስመሮች AE እና BF መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ። መፍትሄ። G የጠርዝ AD መካከለኛ ነጥብን ያመልክት። መስመር GF ከ AE ጋር ትይዩ ነው. የሚፈለገው አንግል ከ BFG አንግል ጋር እኩል ነው። በሶስት ማዕዘን BFG ውስጥ እኛ አለን: BF = GF =, BG =. የኮሳይን ቲዎረምን በመጠቀም መልሱን እናገኛለን፡-
ፒራሚድ 4 በመደበኛ ፒራሚድ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል እና የጎን ጠርዝ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮች SA እና BF መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ. መልስ፡ 90 o.
ፒራሚድ 5 በመደበኛ ፒራሚድ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞች ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, ነጥብ G የጠርዝ አ.ማ. በመስመሮች SA እና BG መካከል ያለውን አንግል ታንጀንት ያግኙ። መፍትሄ። H የክፍሉን AC መካከለኛ ነጥብ ያመልክት። መስመር GH ከ SA ጋር ትይዩ ነው። የሚፈለገው አንግል ከ BGH አንግል ጋር እኩል ነው። በሶስት ማዕዘን BGH ውስጥ አለን፡ BH = 0, 5, GH = 1. መልስ፡-
ፕሪዝም 1 በመደበኛ ባለሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1 B 1 C 1 ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በ AB 1 እና BC መካከል ያለውን ማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ. . AD 1 ን ከBC ጋር ትይዩ እናድርገው 1 የሚፈለገው አንግል ከ B 1 AD 1. በሶስት ማዕዘን AB 1 D 1 የኮሳይን ቲዎረም በመጠቀም እናገኛለን።
ፕሪዝም 2 በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1 B 1 C 1 ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ነጥቦች D, E የጠርዝ መካከለኛ ነጥቦች A 1 B 1 እና B 1 C 1. በመስመሮች መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ. AD እና BE. መፍትሄ። F የ AC ክፍል መካከለኛ ነጥብን ያመልክት። መስመር EF ከ AD ጋር ትይዩ ነው. የሚፈለገው አንግል ከ BEF አንግል ጋር እኩል ነው። በሶስት ማዕዘን BGH ውስጥ አለን፡ የኮሳይንስ ህግን በመጠቀም መልሱን እናገኛለን።
ፕሪዝም 3 በመደበኛ 6ኛ ፕሪዝም ሀ…F 1 ፣ ጫፎቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው ፣ ቀጥታ መስመር AA 1 እና BD 1 መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ። ትሪያንግል B 1 BD 1 B 1 D 1 =; B 1 B = 1; ቢዲ 1=2 ስለዚህ, የሚፈለገው ማዕዘን 60 ° ነው. መልስ። 60 o.
ፕሪዝም 4 በመደበኛ 6 ኛ ፕሪዝም A ... F 1, ጠርዞቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በቀጥተኛ መስመሮች መካከል ያለውን የማዕዘን ታንጀንት ይፈልጉ AA 1 እና BE 1. መፍትሄ: የሚፈለገው ማዕዘን ከ B 1 BE ጋር እኩል ነው. 1. በቀኝ ትሪያንግል B 1 BE 1 እግር B 1 E 1 ከ 2 ጋር እኩል ነው; ጎን B 1 B ከ 1 ጋር እኩል ነው. ስለዚህ, መልስ. 2.
ፕሪዝም 5 በመደበኛ 6ኛ ፕሪዝም A…F 1፣ ጫፎቹ ከ1 ጋር እኩል ሲሆኑ፣ በ AC 1 እና BE መካከል ያለውን አንግል ያግኙ። መልስ። 90 o.
ፕሪዝም 6 በመደበኛው 6ኛ ፕሪዝም A…F 1፣ ጫፎቹ ከ1 ጋር እኩል ሲሆኑ፣ ቀጥታ መስመሮች AD 1 እና BF መካከል ያለውን አንግል ያግኙ። መልስ። 90 o.
ፕሪዝም 7 በመደበኛ 6ኛ ፕሪዝም A…F 1፣ ጫፎቹ ከ1 ጋር እኩል ሲሆኑ፣ በ AB 1 እና BE 1 መካከል ያለውን አንግል ያግኙ። 90 o.
ፕሪዝም 8 በመደበኛው 6 ኛ ፕሪዝም A...F 1 ፣ ጫፎቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው ፣ በቀጥታ መስመሮች BA 1 እና FC 1 መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ። ቀጥ ያለ መስመር ይሳሉ PP 1, ከ BA 1 ጋር ትይዩ. የሚፈለገው ማዕዘን ከ POC አንግል ጋር እኩል ነው 1. በሶስት ማዕዘን POC 1 ውስጥ አለን: PO =; OC 1= PC 1= ስለዚህ መልሱ። .
ፕሪዝም 9 በመደበኛው 6 ኛ ፕሪዝም A ... F 1, ጠርዞቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በቀጥተኛ መስመሮች AB 1 እና BC መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ 1. መፍትሄ: O 1 የመደበኛ 6 ኛ መሃል ይሁን. ፕሪዝም A 1 ... F 1. ከዚያም AO 1 ትይዩ ነው BC 1, እና የሚፈለገው ማዕዘን ከ B 1 AO ጋር እኩል ነው 1. በ isosceles triangle B 1 AO 1 O 1 B 1=1; AB 1=AO 1= የኮሳይን ቲዎሬምን በመተግበር እናገኛለን
ፕሪዝም 10 በመደበኛው 6 ኛ ፕሪዝም A ... F 1, ጠርዞቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በቀጥተኛ መስመሮች AB 1 እና BD 1 መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ. 1 AE 1. በሶስት ማዕዘን B 1 AE 1 AB 1=; B 1 E 1 = AE 1 = 2. ስለዚህ,
ፕሪዝም 11 በመደበኛ 6 ኛ ፕሪዝም A ... F 1, ጠርዞቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በቀጥተኛ መስመሮች AB 1 እና BF መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ 1. መፍትሄ: O, O 1 የማዕከሎች ማዕከሎች ይሁኑ. የፕሪዝም መሰረቶች. በፕሪዝም ዘንግ ላይ O 1 O 2 = OO 1. ከዚያም F 1 O 2 ከ AB 1 ጋር ትይዩ ይሆናል, እና የሚፈለገው ማዕዘን ከ BF 1 O 2 ጋር እኩል ይሆናል. በሶስት ማዕዘን BF 1 O 2 ውስጥ. BO 2 = BF 1 = 2; F 1 O 2 = በኮሳይን ቲዎሬም, እኛ አለን
ፕሪዝም 12 በመደበኛው 6ኛ ፕሪዝም A…F 1 ፣ ጫፎቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው ፣ በቀጥተኛ መስመሮች AB 1 እና በሲዲ መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ። በሶስት ማዕዘን ሲዲ 1 ኢ ሲዲ 1 = ED 1 =; CE = በኮሳይን ቲዎሪ፣ አለን።
ፕሪዝም 13 በመደበኛው 6ኛ ፕሪዝም A...F 1፣ ጫፎቹ ከ 1 ጋር እኩል ሲሆኑ፣ በቀጥተኛ መስመሮች AB 1 እና CE መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ። ስለዚህ, የሚፈለገው አንግል በ AB 1 እና BF 1 መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ነው, እሱም ቀደም ብሎ ተገኝቷል. ይኸውም፣
ፕሪዝም 14 በመደበኛ 6 ኛ ፕሪዝም A ... F 1, ጠርዞቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ቀጥታ መስመሮች AB 1 እና CF 1 መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ. የፕሪዝም መሰረቶች. በፕሪዝም ዘንግ ላይ O 1 O 2 = OO 1. ከዚያም F 1 O 2 ከ AB 1 ጋር ትይዩ ይሆናል, እና የሚፈለገው ማዕዘን ከ CF 1 O 2 ጋር እኩል ይሆናል. በሶስት ማዕዘን CF 1 O 2 ውስጥ. CO 2= CF 1 = F 1 O 2 = ከዚያም
ፕሪዝም 15 በመደበኛው 6 ኛ ፕሪዝም A ... F 1, ጠርዞቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በቀጥተኛ መስመሮች AB 1 እና CA 1 መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ. B 1 B 2 = BB 1. ከዚያም A 1 B 2 ከ AB 1 ጋር ትይዩ ይሆናል, እና የሚፈለገው ማዕዘን ከ CA 1 B 2 ጋር እኩል ይሆናል. በሶስት ማዕዘን CA 1 B 2 CA 1= 2; CB 2 = A 1 B 2 = ከዚያም
ፕሪዝም 16 በመደበኛው 6ኛ ፕሪዝም A...F 1፣ ጫፎቹ ከ 1 ጋር እኩል ሲሆኑ፣ በቀጥተኛ መስመሮች AB 1 እና DF መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ። ስለዚህ, የሚፈለገው ማዕዘን ቀደም ብሎ የተገኘው በ AB 1 እና CA 1 መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ነው. ይኸውም፣
ፕሪዝም 17 በመደበኛው 6 ኛ ፕሪዝም A ... F 1, ጠርዞቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ቀጥታ መስመሮች AB 1 እና DA 1 መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ . = BB 1. ከዚያም A 1 B 2 ትይዩ ይሆናል AB 1, እና የሚፈለገው ማዕዘን ከ DA 1 B 2 ጋር እኩል ይሆናል. በሶስት ማዕዘን DA 1 B 2 DA 1= DB 2 = A 1 B 2 = ስለዚህ. የሚፈለገው ማዕዘን 90 o.
ፕሪዝም 18 በመደበኛ 6 ኛ ፕሪዝም A...F 1 ፣ ጫፎቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው ፣ በቀጥተኛ መስመሮች AB 1 እና ዲሲ መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ 1. መፍትሄ፡ O የመሠረቱ መሃል ይሁን ፕሪዝም ክፍሎቹ OC 1 እና OB 1 ከ AB 1 እና DC 1 ክፍል ጋር እኩል እና ትይዩ ይሆናሉ። የሚፈለገው ማዕዘን ከ B 1 OC ጋር እኩል ይሆናል 1. በሶስት ማዕዘን B 1 OC 1 OB 1 = OC 1 =; B 1 C 1 = 1. ከዚያም በኮሳይን ቲዎሬም
ፕሪዝም 19 በመደበኛው 6ኛ ፕሪዝም A...F 1፣ ጫፎቹ ከ 1 ጋር እኩል ሲሆኑ፣ በመስመሮች AC 1 እና BD 1 መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ። , የሚፈለገው ማዕዘን ከ C 1 AE 1 ጋር እኩል ነው በሶስት ማዕዘን C 1 AE 1 AC 1 = AE 1 = 2; C 1 E 1 = በኮሳይን ቲዎሬም, እኛ አለን
ፕሪዝም 20 በመደበኛው 6ኛ ፕሪዝም ሀ...ኤፍ 1 ፣ ጫፎቹ ከ 1 ጋር እኩል ናቸው ፣ በመስመሮች AC 1 እና BE 1 መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ይፈልጉ ። መፍትሄ: GG 1 ክፍል በመካከለኛው ነጥቦች መካከል እንደሚያልፍ ልብ ይበሉ ። ጠርዞቹ AF እና C 1 D 1 ትይዩ ናቸው እና ከክፍል AC ጋር እኩል ናቸው 1. የሚፈለገው ማዕዘን ከማዕዘን ጋር እኩል ነው G 1 OE 1. በሶስት ማዕዘን G 1 OE 1 OG 1 = 1; OE 1 =; G 1 E 1 = በኮሳይን ቲዎሬም, አለን።
የተዋሃደ የስቴት ፈተና 2010. ሒሳብ
ችግር C2
የሥራ መጽሐፍ
በ እና ተስተካክሏል
ማተሚያ ቤት MCNMO
2010
መግቢያ
ይህ ማኑዋል የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በሂሳብ ስራ C2 ለማጠናቀቅ እርስዎን ለማዘጋጀት የታሰበ ነው። ግቦቹ፡-
- በተዋሃደ የግዛት ፈተና ይዘት ውስጥ የተካተቱትን የጂኦሜትሪክ ችግሮች ግምታዊ ርዕሶችን እና የችግር ደረጃን ማሳየት;
- በጂኦሜትሪ ውስጥ የተማሪዎችን ዕውቀት እና ችሎታዎች ጥራት ፣ የተዋሃደ የስቴት ፈተናን ለመውሰድ ያላቸውን ዝግጁነት ማረጋገጥ ፣
- ስለ መሰረታዊ የጂኦሜትሪክ ምስሎች እና ንብረቶቻቸው የተማሪዎችን ሀሳቦች ማዳበር ፣ ከሥዕሎች ጋር አብሮ የመስራት ችሎታ እና ተጨማሪ ግንባታዎችን የማከናወን ችሎታ;
- የተማሪዎችን የኮምፒዩተር ባህል ማሻሻል።
መመሪያው በጠፈር, ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን, ሁለት አውሮፕላኖች መካከል ባሉ ቀጥታ መስመሮች መካከል ማዕዘኖችን የማግኘት ችግሮችን ይዟል; ርቀቶችን ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር, ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን, በሁለት መስመሮች መካከል ያለውን ርቀት ማግኘት. የስዕሎች መገኘት የችግሮቹን ሁኔታ የበለጠ ለመረዳት, ተጓዳኝ የጂኦሜትሪክ ሁኔታን መገመት, የመፍትሄ እቅድን መዘርዘር እና ተጨማሪ ግንባታዎችን እና ስሌቶችን ለማካሄድ ይረዳል.
የታቀዱትን ችግሮች ለመፍታት የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ትርጓሜዎች ዕውቀት ፣ የሶስት ማዕዘን አካላትን ለማግኘት ቀመሮች ፣ የፓይታጎሪያን ቲዎረም ፣ የኮሳይን ቲዎረም ፣ ተጨማሪ ግንባታዎችን የማከናወን ችሎታ እና የጂኦሜትሪ አስተባባሪ እና የቬክተር ዘዴዎችን ማወቅ ያስፈልጋል ። .
እያንዳንዱ ተግባር በሁለት ነጥቦች ላይ የተመሰረተ ነው. የሚፈለገውን አንግል ወይም ርቀት በትክክል በመገንባት ወይም በመግለጽ አንድ ነጥብ ተሸልሟል። እንዲሁም አንድ ነጥብ በትክክል ለተከናወኑ ስሌቶች እና ለትክክለኛው መልስ ይሰጣል.
በመጀመሪያ, ለተለያዩ የ polyhedra ማዕዘኖች እና ርቀቶች ለመፈለግ የምርመራ ስራ ቀርቧል. ለታቀዱት ችግሮች የመፍትሄ ሃሳቦችን ትክክለኛነት ለማረጋገጥ ወይም የተቀበለው መልስ ትክክል መሆኑን ለማረጋገጥ ለሚፈልጉ, ለችግሮች መፍትሄዎች ብዙውን ጊዜ በሁለት የተለያዩ መንገዶች ይሰጣሉ, እና መልሶች ይሰጣሉ. ከዚያም ችግሮችን ለመፍታት የታሰቡትን ዘዴዎች ለማጠናከር የሥልጠና ሥራ በምርመራ ሥራ ውስጥ ለሚታሰቡት ለእያንዳንዱ የአኃዝ ዓይነቶች ማዕዘኖችን እና ርቀቶችን ለማግኘት ቀርቧል ።
እነዚህ ተግባራት በተሳካ ሁኔታ ከተፈቱ, የተለያዩ አይነት ስራዎችን የያዘ የመጨረሻውን የምርመራ ስራ ወደ ማከናወን መሄድ ይችላሉ.
በመመሪያው መጨረሻ ላይ ለችግሮች ሁሉ መልሶች ተሰጥተዋል.
ለተባበሩት መንግስታት ፈተና በጂኦሜትሪ ለመዘጋጀት ምርጡ መንገድ በጂኦሜትሪ የመማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ስልታዊ በሆነ መንገድ ማጥናት መሆኑን ልብ ይበሉ። ይህ ማኑዋል የመማሪያ መጽሐፍን አይተካም። እንደ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል ተጨማሪ ስብስብከ10-11ኛ ክፍል ጂኦሜትሪ ሲያጠና፣ እንዲሁም አጠቃላይ ድግግሞሽ ወይም ገለልተኛ የጂኦሜትሪ ጥናቶችን ሲያደራጅ ተግባራት።
የምርመራ ሥራ
1.1. በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ 1 በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ AB 1 እና B.C. 1.
1.2.
በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ 1 በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ ዲ.ኤ. 1 እና BD 1.
1.3 . ABCA 1ለ 1ሲ ዓ.ም 1 እና ሲ.ኢ. 1, የት ዲ 1 እና ኢ 1 - በቅደም ተከተል, የጎድን አጥንቶች መሃከል ሀ 1ሲ 1 እና ለ 1ሲ 1.
2.1. ሀ…ኤፍ ኤ.ኤፍ.እና አውሮፕላን
2.2.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሩ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ ሲ.ሲ 1 እና አውሮፕላን
2.3
. ሳቢሲዲ BEእና አውሮፕላን መከፋት.፣ የት ኢ- የጎድን አጥንት መሃል አ.ማ..
3.1.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ
ኤኤፍኤፍ 1 እና ዲኢ 1.
3.2. በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ
አክል 1 እና ቢዲሲ 1.
3.3.
በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1ዲ 1 ኤሲቢ 1 እና ቢ.ኤ. 1ሲ 1.
4.1. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ ሀወደ ቀጥታ መስመር ዲ 1ኤፍ 1.
4.2.
በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ ሀወደ ቀጥታ መስመር BD 1.
4.3. ሳቢሲዲኤፍ ኤፍወደ ቀጥታ መስመር ቢ.ጂ.፣ የት ጂ- የጎድን አጥንት መሃል አ.ማ..
5.1. በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ 1 ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ ሀወደ አውሮፕላን ቢዲኤ 1.
5.2.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ. ሀወደ አውሮፕላን ኤስ.ቢ.ሲ.
5.3.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ሀወደ አውሮፕላን B.F.E. 1.
6.1.
በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲ ኤስ.ኤ.እና B.C..
6.2. በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ AB 1 እና B.C. 1.
6.3.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ አ.አ. 1 እና ሲኤፍ 1.
ለችግሮች መፍትሄዎች 1.1 - 1.3 የምርመራ ሥራ
1.1.
የመጀመሪያው መፍትሄ. ቀጥታ ዓ.ም 1 ከመስመሩ ጋር ትይዩ ነው። B.C. 1 እና ስለዚህ በመስመሮቹ መካከል ያለው አንግል AB 1 እና B.C. 1 እኩል አንግል ለ 1ዓ.ም 1. ትሪያንግል ለ 1ዓ.ም 1 ተመጣጣኝ እና ስለዚህ አንግል ለ 1ዓ.ም 1 60o ጋር እኩል ነው።
ሁለተኛው መፍትሄ ሀ, መጥረቢያዎችን ያስተባብራሉ - ቀጥታ መስመሮች AB, ዓ.ም, አ.አ. 1. ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት (1፣ 0፣ 1)። ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት (0, 1, 1). በቬክተር መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ለማግኘት ቀመሩን እንጠቀም እና . እኛ እናገኛለን እና, ስለዚህ, አንግል 60 ° ነው. ስለዚህ, በመስመሮቹ መካከል የሚፈለገው ማዕዘን AB 1 እና B.C. 1 60o ጋር እኩል ነው።
መልስ። 60 o.
1.2. የመጀመሪያው መፍትሄ. የኦርቶጎን ትንበያን ግምት ውስጥ ያስገቡ ዓ.ም 1 ቀጥ ያለ BDበአውሮፕላን 1 አክል 1. ቀጥታ ዓ.ም 1 እና ዲ.ኤ. 1 ቀጥ ያሉ ናቸው። ከንድፈ ሀሳቡ ወደ ሶስት ቀጥ ያሉ ቀጥ ያሉ መስመሮችን ይከተላል ዲ.ኤ. 1 እና BD 1 እንዲሁ ቀጥ ያሉ ናቸው ፣ ማለትም ፣ በቀጥታ መስመሮች መካከል የሚፈለገው አንግል ዲ.ኤ. 1 እና BD 1 ከ90 o ጋር እኩል ነው።
ሁለተኛው መፍትሄ. ነጥቡን እንደ መጋጠሚያዎች አመጣጥ በመቁጠር የተቀናጀ ስርዓትን እናስተዋውቅ ሀ, መጥረቢያዎችን ያስተባብራሉ - ቀጥታ መስመሮች AB, ዓ.ም, አ.አ. 1. ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት (0, -1, 1). ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት (-1, 1, 1). የእነዚህ ቬክተሮች ስካላር ምርት ከዜሮ ጋር እኩል ነው, ስለዚህም በመስመሮቹ መካከል የሚፈለገው ማዕዘን ዲ.ኤ. 1 እና BD 1 ከ90 o ጋር እኩል ነው።
መልስ። 90 o.
1.3 . የመጀመሪያው መፍትሄ. እንጥቀስ ዲእና ኤፍ 1 በቅደም ተከተል የጎድን አጥንት መሃከል አ.ሲ.እና ሀ 1ለ 1.
ቀጥታ ዲሲ 1 እና ዲኤፍ 1 በቅደም ተከተል ከቀጥታ መስመሮች ጋር ትይዩ ይሆናል ዓ.ም 1 እና ሲ.ኢ. 1. ስለዚህ, በመስመሮቹ መካከል ያለው አንግል ዓ.ም 1 እና ሲ.ኢ. 1 ከማዕዘን ጋር እኩል ይሆናል ሲ 1ዲኤፍ 1. ትሪያንግል ሲ 1ዲኤፍ 1 isosceles; ዲሲ 1 = ዲኤፍ 1 = , ሲ 1ኤፍ 1 = . የኮሳይን ቲዎሬምን በመጠቀም, እናገኛለን 
.
ሁለተኛው መፍትሄ. ነጥቡን እንደ መጋጠሚያዎች አመጣጥ በመቁጠር የተቀናጀ ስርዓትን እናስተዋውቅ ሀበሥዕሉ ላይ እንደሚታየው. ነጥብ ሲመጋጠሚያዎች, ነጥብ አለው ዲ 1 መጋጠሚያዎች፣ ነጥብ አለው። ኢ 1 መጋጠሚያዎች አሉት። ቬክተሩ መጋጠሚያዎች አሉት. ቬክተሩ መጋጠሚያዎች አሉት 
. በመስመሮች መካከል ያለው አንግል ኮሳይን ዓ.ም 1 እና ሲ.ኢ. 1 በቬክተሮች መካከል ካለው አንግል ኮሳይን ጋር እኩል ነው። በቬክተር መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ለማግኘት ቀመሩን እንጠቀም። እናገኘዋለን።
መልስ። 0.7.
የስልጠና ሥራ 1. ቀጥ ባሉ መስመሮች መካከል አንግል
1.
ኩብ ሀ…ዲ 1 በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ ABእና ሲ.ኤ. 1.
2. በመደበኛ tetrahedron ውስጥ ኤ ቢ ሲ ዲነጥብ ኢ- የጎድን አጥንት መሃል ሲዲ. በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ B.C.እና አ.ኢ..
3. በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ ABእና ሲ.ኤ. 1.
4.
በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲ ኢ- የጎድን አጥንት መሃል ኤስዲ ኤስ.ቢ.እና አ.ኢ..
5.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ ABእና ኤፍ.ኢ. 1.
6. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ AB 1 እና B.C. 1.
7. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ ኤስ.ቢ.እና አ.ኢ..
8. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ያግኙ. ኤስ.ቢ.እና ዓ.ም.
ለችግሮች መፍትሄዎች 2.1 - 2.3 የምርመራ ሥራ
2.1. መፍትሄ።ፍቀድ ኦ- የታችኛው የፕሪዝም መሠረት መሃል። ቀጥታ ቢ.ኦ.ትይዩ ኤ.ኤፍ.. ከአውሮፕላኑ ጀምሮ ኢቢሲእና ቢሲሲ 1 ቀጥ ያሉ ናቸው, ከዚያም አስፈላጊው ማዕዘን ማዕዘን ይሆናል ኦቢሲ. ከሶስት ማዕዘኑ ጀምሮ ኦቢሲተመጣጣኝ, ከዚያ ይህ አንግል ከ 60 ° ጋር እኩል ይሆናል.
መልስ። 60 o.
2.2.
መፍትሄ. በቀጥታ ጀምሮ ቢቢ 1 እና ሲ.ሲ 1 ትይዩ ናቸው, ከዚያም የሚፈለገው ማዕዘን ቀጥታ መስመር መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ይሆናል ቢቢ 1 እና አውሮፕላን BDE 1. ቀጥታ BD, አውሮፕላኑ የሚያልፍበት BDE 1, በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ኤቢቢ 1 እና, ስለዚህ, አውሮፕላን BDE 1 በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ኤቢቢ 1. ስለዚህ, የሚፈለገው ማዕዘን ከማዕዘን ጋር እኩል ይሆናል ሀ 1ቢቢ 1, ማለትም ከ 45o ጋር እኩል ነው.
መልስ። 45 o.
2.3. መፍትሄ. ከላይ በኩል ኤስከመስመሩ ጋር ትይዩ የሆነ መስመር ይሳሉ AB, እና በላዩ ላይ አንድ ክፍል ያቅዱ ኤስ.ኤፍ, ከክፍሉ ጋር እኩል ነው AB. በ tetrahedron ውስጥ ኤስ.ቢ.ሲ.ኤፍሁሉም ጠርዞች ከ 1 እና ከአውሮፕላኑ ጋር እኩል ናቸው ቢሲኤፍከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ መከፋት.. ቀጥ ያለ ኢ.ህ.፣ ከነጥቡ ወረደ ኢወደ አውሮፕላኑ ቢሲኤፍ, ከ tetrahedron ግማሽ ቁመት ጋር እኩል ነው, ማለትም እኩል ነው. ቀጥታ መስመር መካከል አንግል BEእና አውሮፕላን መከፋት.ከማዕዘን ጋር እኩል ነው ኢቢኤችየማን ሳይን እኩል ነው .
መልስ። .
የሥልጠና ሥራ 2. ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን መካከል አንግል
1.
ኩብ ሀ…ዲ 1 በመስመሩ መካከል ያለውን አንግል ታንጀንት ያግኙ አ.ሲ. 1 እና አውሮፕላን
2.
ኩብ ሀ…ዲ ABእና አውሮፕላን
ሲ.ቢ. 1ዲ 1.
3.
በመደበኛ tetrahedron ውስጥ ኤ ቢ ሲ ዲነጥብ ኢ- የጎድን አጥንት መሃል BD. በመስመሩ መካከል ያለውን አንግል ሳይን ይፈልጉ አ.ኢ.እና አውሮፕላን
4. በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሩ መካከል ያለውን አንግል ታንጀንት ያግኙ ቢቢ 1 እና አውሮፕላን
AB 1ሲ 1.
5. በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲ, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሩ መካከል ያለውን አንግል ሳይን ያግኙ BDእና አውሮፕላን
6.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ B.C.እና አውሮፕላን
7. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሩ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ አ.አ. 1 እና አውሮፕላን
8. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ B.C. 1 እና አውሮፕላን
ለችግሮች መፍትሄዎች 3.1 - 3.3 የምርመራ ሥራ
3.1.
የመጀመሪያው መፍትሄ. ከአውሮፕላኑ ጀምሮ ኤፍ.ሲ.ሲ 1 ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ዲኢ ኤኤፍኤፍ 1 እና ኤፍ.ሲ.ሲ 1. ከአውሮፕላኑ ጀምሮ ኤኤፍኤፍ 1 እና ኤፍ.ሲ.ሲ 1 በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ኢቢሲ አ.ኤፍ.ሲ., ይህም ከ 60 o ጋር እኩል ነው.
ሁለተኛው መፍትሄ. ከአውሮፕላኑ ጀምሮ ኤኤፍኤፍ 1 ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ቢኢ 1, ከዚያም የሚፈለገው ማዕዘን በአውሮፕላኖቹ መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ነው ቢኢ 1 እና ዲኢ 1. ከአውሮፕላኑ ጀምሮ ቢኢ 1 እና ዲኢ 1 በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ኢቢሲ, ከዚያም ተጓዳኝ መስመራዊ ማዕዘን ማዕዘን ይሆናል BED, ይህም ከ 60 o ጋር እኩል ነው.
መልስ። 60 o.
3.2.
መፍትሄ. ከአውሮፕላኑ ጀምሮ አክል 1 ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ቢሲሲ 1, ከዚያም የሚፈለገው ማዕዘን በአውሮፕላኖቹ መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ነው ቢሲሲ 1 እና ቢዲሲ 1. ይሁን ኢ- የክፍሉ መሃል B.C. 1. ከዚያም ቀጥታ ሲ.ኢ.እና ዲ.ኢወደ መስመሩ ቀጥ ያለ ይሆናል። B.C. 1 እና ስለዚህ አንግል ሲኢዲበአውሮፕላኖቹ መካከል ያለው ቀጥተኛ ማዕዘን ይሆናል ቢሲሲ 1 እና ቢዲሲ 1. ትሪያንግል ሲኢዲአራት ማዕዘን, እግር ሲዲእኩል 1, እግር ሲ.ኢ.እኩል ይሆናል . ስለዚህም እ.ኤ.አ. 
.
3.3. ፍቀድ ዲ.ኢ- የእነዚህ አውሮፕላኖች መገናኛ መስመር; ኤፍ- የክፍሉ መሃል ዲ.ኢ, ጂ- የክፍሉ መሃል ሀ 1ሲ 1. አንግል ጂኤፍቢ 1 በእነዚህ አውሮፕላኖች መካከል ያለው ቀጥተኛ ማዕዘን ነው. በሶስት ማዕዘን ውስጥ ጂኤፍቢ 1 አለን: ኤፍ.ጂ =
ኤፍ.ቢ 1 = , ጂ.ቢ. 1 = . የምናገኘውን የኮሳይን ቲዎሪ በመጠቀም 
.
መልስ። .
የስልጠና ሥራ 3. በሁለት አውሮፕላኖች መካከል አንግል
1.
ኩብ ሀ…ዲ 1 በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ታንጀንት ያግኙ
ኢቢሲእና ሲ.ቢ. 1ዲ 1.
2.
ኩብ ሀ…ዲ ለ
ሀ 1ሲ 1 እና AB 1ዲ 1.
3.
በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ
ኢቢሲእና ሲ.ኤ. 1ለ 1.
4. በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲ, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ያግኙ ኤስ
ዓ.ምእና ኤስ.ቢ.ሲ.
5. በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲ, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በፊቶች የተሰራውን የዲይድራል አንግል ኮሳይን ያግኙ.
ኤስ.ቢ.ሲእና ኤስ.ዲ.
6.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ
ኤስ.ቢ.ሲእና ኤስ.ኢ.ኤፍ..
7. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ያግኙ.
SAFእና ኤስ.ቢ.ሲ.
8. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ… ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል ታንጀንት ያግኙ
ኢቢሲእና ዲ.ቢ. 1ኤፍ 1.
ለችግሮች መፍትሄዎች 4.1 - 4.3 የምርመራ ሥራ
4.1. መፍትሄ።ቀጥተኛ ስለሆነ ዲ 1ኤፍ 1 በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ኤኤፍኤፍ 1, ከዚያም ክፍል ኤ.ኤፍ. 1 የሚፈለገው ቀጥ ያለ ከነጥቡ ይወርዳል ሀበቀጥታ ዲ 1ኤፍ 1. ርዝመቱ ነው.
4.2. የመጀመሪያው መፍትሄ አ.ህ.የቀኝ ሶስት ማዕዘን ኤቢዲ 1, በየትኛው ውስጥ AB = 1, ዓ.ም 1 = BD 1 = . ለአካባቢ ኤስ . ከየት ነው የምናገኘው? አ.ህ. = .
ሁለተኛው መፍትሄ. የሚፈለገው ቀጥ ያለ ቁመት ነው አ.ህ.የቀኝ ሶስት ማዕዘን ኤቢዲ 1, በየትኛው ውስጥ AB = 1, ዓ.ም 1 = BD 1 = . ትሪያንግሎች መጥፎ 1 እና ቢ.ኤች.ኤ. ዓ.ም 1:BD 1 = አ.ህ.:AB. ከየት ነው የምናገኘው? አ.ህ. = .
ሦስተኛው መፍትሔ. የሚፈለገው ቀጥ ያለ ቁመት ነው አ.ህ.የቀኝ ሶስት ማዕዘን ኤቢዲ 1, በየትኛው ውስጥ AB = 1, ዓ.ም 1 = BD 1 = . የት 
እና ስለዚህ 
መልስ። .
4.3. ከነጥቡ የሚፈለገው ርቀት ኤፍወደ ቀጥታ መስመር ቢ.ጂ.ቁመት ጋር እኩል ነው ኤፍ.ኤችትሪያንግል ኤፍ.ቢ.ጂ, የትኛው ውስጥ ኤፍ.ቢ = ኤፍ.ጂ = , ቢ.ጂ.= . የፓይታጎሪያን ቲዎሬምን በመጠቀም እናገኛለን ኤፍ.ኤች = .
የስልጠና ስራ 4. ከነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት
1.
በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ 1 ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ ለወደ ቀጥታ መስመር ዲ.ኤ. 1.
2.
በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ለወደ ቀጥታ መስመር አ.ሲ. 1.
3. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ. ኤስወደ ቀጥታ መስመር ቢ.ኤፍ..
4.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ. ለወደ ቀጥታ መስመር ኤስ.ኤ..
5.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ለወደ ቀጥታ መስመር ሀ 1ኤፍ 1.
6. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ለወደ ቀጥታ መስመር ሀ 1ዲ 1.
7.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ለወደ ቀጥታ መስመር ኤፍ.ኢ. 1.
8. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ለወደ ቀጥታ መስመር ዓ.ም 1.
ለችግሮች መፍትሄዎች 5.1 - 5.3 የምርመራ ሥራ
5.1.
የመጀመሪያው መፍትሄ. ፍቀድ ኦ- የክፍሉ መሃል BD. ቀጥታ BDወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ብሎ አኦአ 1. ስለዚህ, አውሮፕላኖች ቢዲኤ 1 እና አኦአ ሀወደ አውሮፕላኑ ቢዲኤ 1, ቁመት ነው አ.ህ.የቀኝ ሶስት ማዕዘን አኦአ 1, በየትኛው ውስጥ አ.አ. 1 = 1, አ.ኦ. = , ኦ.ኤ. 1 = . ለአካባቢ ኤስየዚህ ትሪያንግል እኩልነት ይይዛሉ . ከየት ነው የምናገኘው? አ.ህ. = .
ሁለተኛው መፍትሄ. ፍቀድ ኦ- የክፍሉ መሃል BD. ቀጥታ BDወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ብሎ አኦአ 1. ስለዚህ, አውሮፕላኖች ቢዲኤ 1 እና አኦአ 1 ቀጥ ያሉ ናቸው። የሚፈለገው ቀጥ ያለ ከነጥቡ ወድቋል ሀወደ አውሮፕላኑ ቢዲኤ 1, ቁመት ነው አ.ህ.የቀኝ ሶስት ማዕዘን አኦአ 1, በየትኛው ውስጥ አ.አ. 1 = 1, አ.ኦ. = , ኦ.ኤ. 1 = . ትሪያንግሎች አኦአ 1 እና HOAበሶስት ማዕዘኖች ተመሳሳይ. ስለዚህም እ.ኤ.አ. አ.አ. 1:ኦ.ኤ. 1 = አ.ህ.:አ.ኦ.. ከየት ነው የምናገኘው? አ.ህ. = .
ሦስተኛው መፍትሔ. ፍቀድ ኦ- የክፍሉ መሃል BD. ቀጥታ BDወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ብሎ አኦአ 1. ስለዚህ, አውሮፕላኖች ቢዲኤ 1 እና አኦአ 1 ቀጥ ያሉ ናቸው። የሚፈለገው ቀጥ ያለ ከነጥቡ ወድቋል ሀወደ አውሮፕላኑ ቢዲኤ 1, ቁመት ነው አ.ህ.የቀኝ ሶስት ማዕዘን አኦአ 1, በየትኛው ውስጥ አ.አ. 1 = 1, አ.ኦ. = , ኦ.ኤ. 1 = . የት 
እና ስለዚህ 
መልስ። .
5.2.
የመጀመሪያው መፍትሄ. ፍቀድ ኦ አ.ኦ.ከመስመሩ ጋር ትይዩ B.C. ኤስ.ቢ.ሲ ኦወደ አውሮፕላን ኤስ.ቢ.ሲ. ፍቀድ ጂ- የክፍሉ መሃል B.C.. ከዚያ ቀጥታ ኦ.ጂ.ቀጥ ያለ B.C. ኦወደ አውሮፕላኑ ኤስ.ቢ.ሲ, ቁመት ነው ኦህየቀኝ ሶስት ማዕዘን SOG. በዚህ ሶስት ማዕዘን ውስጥ ኦ.ጂ. = , ኤስ.ጂ. = , ሶ= . ለአካባቢ ኤስየዚህ ትሪያንግል እኩልነት ይይዛሉ . ከየት ነው የምናገኘው? ኦህ = .
ሁለተኛው መፍትሄ. ፍቀድ ኦ- የፒራሚዱ መሠረት መሃል። ቀጥታ አ.ኦ.ከመስመሩ ጋር ትይዩ B.C.እና ስለዚህ ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ኤስ.ቢ.ሲ. ስለዚህ, የሚፈለገው ርቀት ከቦታው ርቀት ጋር እኩል ነው ኦወደ አውሮፕላን ኤስ.ቢ.ሲ. ፍቀድ ጂ- የክፍሉ መሃል B.C.. ከዚያ ቀጥታ ኦ.ጂ.ቀጥ ያለ B.C.እና የተፈለገውን perpendicular ነጥብ ከ ወደቀ ኦወደ አውሮፕላኑ ኤስ.ቢ.ሲ, ቁመት ነው ኦህየቀኝ ሶስት ማዕዘን SOG. በዚህ ሶስት ማዕዘን ውስጥ ኦ.ጂ. = , ኤስ.ጂ. = , ሶ= . ትሪያንግሎች SOGእና ኦኤችጂበሶስት ማዕዘኖች ተመሳሳይ. ስለዚህም እ.ኤ.አ. ሶ:ኤስ.ጂ. = ኦህ:ኦ.ጂ.. ከየት ነው የምናገኘው? ኦህ = .
መልስ። .
5.3. የመጀመሪያው መፍትሄ. ፍቀድ ኦእና ኦ 1 - የፕሪዝም መሰረቶች ማዕከሎች. ቀጥታ አ.ኦ. 1 ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ B.F.E. 1 እና ስለዚህ ከነጥቡ ርቀት ሀወደ አውሮፕላን B.F.E. 1 ከመስመሩ ርቀት ጋር እኩል ነው አ.ኦ. 1 ወደ አውሮፕላን B.F.E. 1. አውሮፕላን አኦ 1 በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ B.F.E. 1 እና ስለዚህ ከቀጥታ መስመር ርቀት አ.ኦ. 1 ወደ አውሮፕላን B.F.E. 1 ከመስመሩ ርቀት ጋር እኩል ነው አ.ኦ. 1 ወደ መገናኛው መስመር ጂጂ 1 አውሮፕላኖች አኦ 1 እና B.F.E. 1. ትሪያንግል አኦ 1 አራት ማዕዘን, አ.ኦ. =
ኦ.ኦ. 1 = 1, ጂጂ 1 - መካከለኛ መስመር. ስለዚህ, በመስመሮቹ መካከል ያለው ርቀት አ.ኦ. 1 እና ጂጂ 1 ቁመቱ በግማሽ እኩል ነው ኦህትሪያንግል አኦ 1፣ ማለትም እኩል ነው።
ሁለተኛው መፍትሄ. ፍቀድ ጂ- የመስመሮች መገናኛ ነጥብ ዓ.ምእና ቢ.ኤፍ.. ቀጥታ መስመር መካከል አንግል ዓ.ምእና አውሮፕላን B.F.E. 1 በመስመሮቹ መካከል ካለው አንግል ጋር እኩል ነው። B.C.እና B.C. 1 እና 45o ጋር እኩል ነው። ቀጥ ያለ አ.ህ.፣ ከነጥቡ ወረደ ሀወደ አውሮፕላኑ B.F.E. 1፣ እኩል ነው። ምክንያቱም አ.ጂ. = 0.5, ከዚያም አ.ህ. = .
መልስ። .
የስልጠና ሥራ 5. ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት
1.
በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ 1 ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ ሀወደ አውሮፕላን ሲ.ቢ. 1ዲ 1.
2.
በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ 1 ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ ሀወደ አውሮፕላን ቢዲሲ 1.
3.
በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ሀወደ አውሮፕላን B.C.A. 1.
4.
በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ሀወደ አውሮፕላን ሲ.ኤ. 1ለ 1.
5. በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲ, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ ሀወደ አውሮፕላን ኤስ.ዲ.
6. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ. ሀወደ አውሮፕላን SDE.
7. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ሀወደ አውሮፕላን ዲ.ኢ.ኤ. 1.
8. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ሀወደ አውሮፕላን DEF 1.
ለችግሮች መፍትሄዎች 6.1 - 6.3 የምርመራ ሥራ
6.1. መፍትሄ።ቀጥታ B.C.ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ መከፋት.ቀጥተኛ መስመር የያዘው ኤስ.ኤ.. ስለዚህ, በመስመሮቹ መካከል ያለው ርቀት ኤስ.ኤ.እና B.C.ከቀጥታ መስመር ርቀት ጋር እኩል ነው B.C.ወደ አውሮፕላን መከፋት..
ፍቀድ ኢእና ኤፍበቅደም ተከተል የጎድን አጥንት መሃከል ዓ.ምእና B.C.. ከዚያም የሚፈለገው ቀጥ ያለ ቁመት ይሆናል ኤፍ.ኤችትሪያንግል ኤስ.ኢ.ኤፍ.. በሶስት ማዕዘን ውስጥ ኤስ.ኢ.ኤፍ.እና አለነ: ኢ.ኤፍ. = 1, ኤስ.ኢ. = ኤስ.ኤፍ=, ቁመት ሶእኩል ይሆናል . ለአካባቢ ኤስትሪያንግል ኤስ.ኢ.ኤፍ.እኩልነት ይያዛል, ከየትኛው እናገኛለን.
6.2.
መፍትሄ. አውሮፕላኖች AB 1ዲ 1 እና ቢዲሲ 1, እነዚህ መስመሮች የተቀመጡበት, ትይዩ ናቸው. ስለዚህ, በእነዚህ ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት በተዛማጅ አውሮፕላኖች መካከል ካለው ርቀት ጋር እኩል ነው.
ሰያፍ ሲ.ኤ. 1 ኪዩብ ከእነዚህ አውሮፕላኖች ጋር ቀጥ ያለ ነው። እንጥቀስ ኢእና ኤፍሰያፍ መገናኛ ነጥቦች ሲ.ኤ. 1 ከአውሮፕላኖች ጋር በቅደም ተከተል AB 1ዲ 1 እና ቢዲሲ 1. የክፍሉ ርዝመት ኢ.ኤፍ.በመስመሮቹ መካከል ካለው ርቀት ጋር እኩል ይሆናል AB 1 እና B.C. 1. ይሁን ኦእና ኦ 1 በቅደም ተከተል, የፊት ማዕከሎች ኤ ቢ ሲ ዲእና ሀ 1ለ 1ሲ 1ዲ 1 ኪዩብ. በሶስት ማዕዘን ውስጥ ACEየመስመር ክፍል የትይዩ አ.ኢ.እና በመሃል በኩል ያልፋል አ.ሲ.. ስለዚህም እ.ኤ.አ. የ ACEእና, ስለዚህ, ኢ.ኤፍ. = ኤፍ.ሲ.. በተመሳሳይ ሁኔታም ተረጋግጧል ኦ 1ኢ- የሶስት ማዕዘን መካከለኛ መስመር ሀ 1ሲ 1ኤፍእና, ስለዚህ, ሀ 1ኢ = ኢ.ኤፍ.. ስለዚህም ኢ.ኤፍ.የዲያግኖል አንድ ሶስተኛ ነው። ሲ.ኤ. 1፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ኢ.ኤፍ. = .
መልስ። .
6.3. መፍትሄ. በመስመሮች መካከል ያለው ርቀት አ.አ. 1 እና ሲኤፍ 1 በትይዩ አውሮፕላኖች መካከል ካለው ርቀት ጋር እኩል ነው ኤቢቢ 1 እና ሲኤፍኤፍ 1 እነዚህ መስመሮች የተቀመጡበት. እኩል ነው።
የስልጠና ሥራ 6. በሁለት ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው ርቀት
1.
በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ 1 በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ ቢ.ኤ. 1 እና ዲ.ቢ. 1.
2.
በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ ሲ.ሲ 1 እና AB.
3.
በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ ABእና ሲ.ቢ. 1.
4.
በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲ, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ ኤስ.ቢ.እና አ.ሲ..
5.
በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲ, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ ኤስ.ኤ.እና ሲዲ.
6.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ ኤስ.ቢ.እና ኤ.ኤፍ..
7.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ. ኤስ.ቢ.እና አ.ኢ..
8.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ ቢቢ 1 እና ኢ.ኤፍ. 1.
የምርመራ ሥራ 1
1. ኩብ ሀ…ዲ 1 በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ ቢ.ኤ. 1 እና ለ 1ዲ 1.
2. በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ AB 1 እና B.C. 1.
3.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ AB 1 እና ዲሲ 1.
4. ኩብ ሀ…ዲ 1 በመስመሩ መካከል ያለውን አንግል ኃጢያት ይፈልጉ ሀ 1 ዲ 1 እና አውሮፕላን
5. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሩ መካከል ያለውን የማዕዘን ዘንበል ይፈልጉ. ABእና አውሮፕላን
6.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሩ መካከል ያለውን የማዕዘን ሳይን ያግኙ ኤ.ኤፍ. 1 እና አውሮፕላን
7. በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲ, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ያግኙ
ኢቢሲእና ኤስ.ዲ.
8.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ
ኤኤፍኤፍ 1 እና ቢሲሲ 1.
9. ኩብ ሀ…ዲ 1 በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ
AB 1ዲ 1 እና ሲ.ቢ. 1ዲ 1.
10. በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ 1 ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ ለወደ ቀጥታ መስመር ዲ.ኤ. 1.
11. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ሀወደ ቀጥታ መስመር ኢ.ቢ. 1.
12.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ. ሀወደ ቀጥታ መስመር ኤስዲ.
13. በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ 1 ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ ለወደ አውሮፕላን ዲ.ኤ. 1ሲ 1.
14. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ሀወደ አውሮፕላን ቢ.ኤፍ.ኤ. 1.
15.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ. ሀወደ አውሮፕላን ኤስ.ሲ.ኢ..
16.
በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ አ.አ. 1 እና B.C..
17. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ ቢቢ 1 እና ሲዲ 1.
18. በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ 1 በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ AB 1 እና BD 1.
የምርመራ ሥራ 2
1. ኩብ ሀ…ዲ 1 በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ AB 1 እና BD 1.
2. በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲ, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ነጥብ ኢ- የጎድን አጥንት መሃል ኤስ.ቢ.. በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ታንጀንት ይፈልጉ ኤስ.ኤ.እና BE.
3. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን አንግል ኮሳይን ያግኙ AB 1 እና BD 1.
4. ኩብ ሀ…ዲ 1 በመስመሩ መካከል ያለውን አንግል ኃጢያት ይፈልጉ ዲ.ዲ 1 እና አውሮፕላን
5. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሩ መካከል ያለውን የማዕዘን ዘንበል ይፈልጉ. ኤ.ኤፍ.እና አውሮፕላን
6. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሩ መካከል ያለውን የማዕዘን ሳይን ያግኙ B.C. 1 እና አውሮፕላን
7.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ያግኙ.
ኢቢሲእና ኤስ.ኢ.ኤፍ..
8.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1 በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል ያግኙ
ኤኤፍኤፍ 1 እና ቢዲዲ 1.
9. ኩብ ሀ…ዲ 1 በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ታንጀንት ያግኙ
ኢቢሲእና ዲ.ኤ. 1ሲ 1.
10.
በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ሀወደ ቀጥታ መስመር ሲ.ቢ. 1.
11.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ … ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ሀወደ ቀጥታ መስመር BE 1.
12. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ. ሀወደ ቀጥታ መስመር አ.ማ..
13.
በአንድ ክፍል ኪዩብ ውስጥ ሀ…ዲ 1 ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ ለወደ አውሮፕላን AB 1ዲ 1.
14.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀቱን ያግኙ ሀወደ አውሮፕላን ሲኢኤፍ 1.
15.
በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፒራሚድ ውስጥ ሳቢሲዲኤፍ, የመሠረቱ ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው እና የጎን ጠርዞቹ ከ 2 ጋር እኩል ናቸው, ከነጥቡ ርቀትን ያግኙ. ሀወደ አውሮፕላን ኤስ.ቢ.ኤፍ.
16.
በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፕሪዝም ABCA 1ለ 1ሲ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ አ.አ. 1 እና B.C. 1.
17. በመደበኛ ባለ ስድስት ጎን ፕሪዝም ሀ…ኤፍ 1, ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው, በመስመሮቹ መካከል ያለውን ርቀት ይፈልጉ ቢቢ 1 እና ኤፍ.ኢ. 1.