ሁኔታዊ ዕድል. የቤይስ ቲዎሬም።

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ በጣም ሰፊ የሆነ ገለልተኛ የሂሳብ ክፍል ነው። በት / ቤት ኮርስ ውስጥ ፣የይቻላል ንድፈ ሀሳብ በጣም ላይ ተብራርቷል ፣ ግን በተዋሃደ የስቴት ፈተና እና በስቴት ፈተና አካዳሚ በዚህ ርዕስ ላይ ችግሮች አሉ። ነገር ግን የት/ቤት ኮርስ ችግሮችን መፍታት ያን ያህል ከባድ አይደለም (ቢያንስ የሂሳብ ስራዎችን በተመለከተ) - እዚህ ላይ ተዋጽኦዎችን መቁጠር፣ ውህዶችን መውሰድ እና ውስብስብ ትሪግኖሜትሪክ ለውጦችን መፍታት አያስፈልግም - ዋናው ነገር ዋና ቁጥሮችን ማስተናገድ መቻል ነው። እና ክፍልፋዮች.

ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ - መሠረታዊ ቃላት

የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ዋና ቃላት ፈተና፣ ውጤት እና የዘፈቀደ ክስተት ናቸው። በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ያለው ፈተና ሙከራ ነው - ሳንቲም መጣል ፣ ካርድ መሳል ፣ ዕጣ ማውጣት - እነዚህ ሁሉ ፈተናዎች ናቸው። እንደገመቱት የፈተናው ውጤት ውጤቱ ይባላል።

የዘፈቀደ ክስተት ምንድን ነው? በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ, ፈተናው ከአንድ ጊዜ በላይ የተካሄደ እና ብዙ ውጤቶች እንዳሉ ይገመታል. የዘፈቀደ ክስተት የፈተና ውጤቶች ስብስብ ነው። ለምሳሌ, ሳንቲም ከጣሉ, ሁለት የዘፈቀደ ክስተቶች ሊከሰቱ ይችላሉ - ጭንቅላት ወይም ጅራት.

የውጤት እና የዘፈቀደ ክስተት ጽንሰ-ሀሳቦችን አያምታቱ። ውጤቱ የአንድ ሙከራ አንድ ውጤት ነው። የዘፈቀደ ክስተት ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች ስብስብ ነው። በነገራችን ላይ እንደ የማይቻል ክስተት እንደዚህ ያለ ቃል አለ. ለምሳሌ, በተለመደው ዳይስ ላይ "ቁጥር 8 ን ማንከባለል" ክስተት የማይቻል ነው.

ዕድልን እንዴት ማግኘት ይቻላል?

ሁላችንም የመቻል እድል ምን እንደሆነ በደንብ እንረዳለን፣ እና ብዙ ጊዜ ይህንን ቃል በቃላችን ውስጥ እንጠቀማለን። በተጨማሪም ፣ የአንድ የተወሰነ ክስተት እድልን በተመለከተ አንዳንድ ድምዳሜዎችን እንኳን መሳል እንችላለን ፣ ለምሳሌ ፣ ከመስኮቱ ውጭ በረዶ ካለ ፣ ምናልባት የበጋ አይደለም ማለት እንችላለን። ይሁን እንጂ ይህን ግምት በቁጥር እንዴት መግለጽ ይቻላል?

ዕድልን ለማግኘት ቀመርን ለማስተዋወቅ አንድ ተጨማሪ ፅንሰ-ሀሳብ እናስተዋውቃለን - ጥሩ ውጤት ፣ ማለትም ለአንድ የተወሰነ ክስተት ተስማሚ የሆነ ውጤት። ፍቺው በጣም አሻሚ ነው, በእርግጥ, ነገር ግን በችግሩ ሁኔታዎች መሰረት የትኛው ውጤት ተስማሚ እንደሆነ ሁልጊዜ ግልጽ ነው.

ለምሳሌ: በክፍሉ ውስጥ 25 ሰዎች አሉ, ሦስቱ ካትያ ናቸው. መምህሩ ኦሊያን እንድትሠራ መድቧታል፣ እና አጋር ያስፈልጋታል። ካትያ አጋርዎ የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?

በዚህ ምሳሌ, ጥሩው ውጤት አጋር ካትያ ነው. ይህንን ችግር ትንሽ ቆይተን እንፈታዋለን. ግን በመጀመሪያ ፣ ተጨማሪ ትርጓሜን በመጠቀም ፣ እድሉን ለማግኘት ቀመር እናስተዋውቃለን።

P = A/N ፣ P የመሆን እድሉ ፣ ሀ ምቹ ውጤቶች ብዛት ፣ N አጠቃላይ የውጤቶች ብዛት ነው።

ሁሉም የትምህርት ቤት ችግሮች የሚሽከረከሩት በዚህ ቀመር ነው፣ እና ዋናው ችግር አብዛኛውን ጊዜ ውጤቱን በማግኘት ላይ ነው። አንዳንድ ጊዜ ለማግኘት ቀላል ናቸው, አንዳንድ ጊዜ በጣም ብዙ አይደሉም.

የአቅም ችግሮችን እንዴት መፍታት ይቻላል?

ችግር 1

ስለዚህ አሁን ከላይ ያለውን ችግር እንፍታ.

ምቹ የሆኑ ውጤቶች ቁጥር (መምህሩ ካትያን ይመርጣል) ሶስት ነው, ምክንያቱም በክፍሉ ውስጥ ሶስት ካትያዎች አሉ, እና አጠቃላይ ውጤቶቹ 24 (25-1, ምክንያቱም ኦሊያ አስቀድሞ ስለተመረጠ) ነው. ከዚያም እድሉ: P = 3/24=1/8=0.125. ስለዚህ የኦሊያ አጋር ካትያ የመሆን እድሉ 12.5% ነው። አስቸጋሪ አይደለም, አይደል? ትንሽ የተወሳሰበ ነገር እንይ።

ችግር 2

ሳንቲሙ ሁለት ጊዜ ተወረወረ ፣ አንድ ጭንቅላት እና አንድ ጅራት የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው?

ስለዚህ አጠቃላይ ውጤቶቹን እናስብ። ሳንቲሞች እንዴት ማረፍ ይችላሉ - ጭንቅላት / ጭንቅላት ፣ ጅራት / ጅራት ፣ ጭንቅላት / ጅራት ፣ ጅራት / ጭንቅላት? ይህ ማለት አጠቃላይ የውጤቶች ብዛት 4. ምን ያህል ጥሩ ውጤቶች ናቸው? ሁለት - ጭንቅላቶች / ጅራት እና ጅራት / ጭንቅላት. ስለዚህ የጭንቅላት/ጭራዎች ጥምረት የማግኘት ዕድሉ፡-

P = 2/4 = 0.5 ወይም 50 በመቶ.

አሁን ይህንን ችግር እንመልከተው. ማሻ በኪሷ ውስጥ 6 ሳንቲሞች አላት፡ ሁለቱ የፊት ዋጋ 5 ሩብል እና አራት 10 ሩብል ዋጋ ያላቸው ናቸው። ማሻ 3 ሳንቲሞችን ወደ ሌላ ኪስ አንቀሳቅሷል። ባለ 5-ሩብል ሳንቲሞች በተለያዩ ኪስ ውስጥ የመጨረስ እድሉ ምን ያህል ነው?

ለቀላልነት, ሳንቲሞችን በቁጥር - 1,2 - አምስት ሩብል ሳንቲሞች, 3,4,5,6 - አሥር ሩብል ሳንቲሞችን እንጥቀስ. ስለዚህ, ሳንቲሞች በኪስዎ ውስጥ እንዴት ሊሆኑ ይችላሉ? በጠቅላላው 20 ጥምረት አለ.

123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

በቅድመ-እይታ, አንዳንድ ጥምሮች የሚጎድሉ ሊመስሉ ይችላሉ, ለምሳሌ, 231, ግን በእኛ ሁኔታ, ጥምሮች 123, 231 እና 321 እኩል ናቸው.

አሁን ምን ያህል ጥሩ ውጤቶች እንዳሉን እንቆጥራለን. ለእነሱ ቁጥር 1 ወይም ቁጥር 2 የያዙትን ጥምሮች እንወስዳለን: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. ከእነዚህ ውስጥ 12 ናቸው ዕድል ከሚከተሉት ጋር እኩል ነው

P = 12/20 = 0.6 ወይም 60%.

እዚህ ላይ የቀረቡት የይሆናልነት ችግሮች በጣም ቀላል ናቸው፣ ግን የመቻል እድል ቀላል የሂሳብ ክፍል ነው ብለው አያስቡ። በዩኒቨርሲቲ ውስጥ ትምህርታችሁን ለመቀጠል ከወሰኑ (ከሰብአዊነት በስተቀር) በእርግጠኝነት በከፍተኛ የሂሳብ ትምህርቶች ውስጥ ትምህርቶች ይኖሩዎታል ፣ በዚህ ፅንሰ-ሀሳብ ውስጥ ይበልጥ ውስብስብ ከሆኑ ቃላት ጋር የሚተዋወቁበት እና እዚያ ያሉት ተግባራት የበለጠ ከባድ ይሆናሉ ። .

ወደድንም ጠላንም ሕይወታችን በሁሉም ዓይነት አደጋዎች የተሞላ ነው፣ ሁለቱም አስደሳች እና አስደሳች አይደሉም። ስለዚህ፣ የአንድ የተወሰነ ክስተት ዕድል እንዴት ማግኘት እንደምንችል ማወቃችን እያንዳንዳችን አይጎዳም። ይህ እርግጠኛ አለመሆንን በሚያካትቱ ሁኔታዎች ውስጥ ትክክለኛ ውሳኔዎችን ለማድረግ ይረዳዎታል። ለምሳሌ, እንዲህ ዓይነቱ እውቀት የኢንቨስትመንት አማራጮችን በሚመርጡበት ጊዜ በጣም ጠቃሚ ይሆናል, አክሲዮን ወይም ሎተሪ የማሸነፍ እድልን መገምገም, የግል ግቦችን ማሳካት እውነታውን መወሰን, ወዘተ, ወዘተ.

ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ቀመር

በመርህ ደረጃ, ይህንን ርዕስ ማጥናት ብዙ ጊዜ አይፈጅም. ለጥያቄው መልስ ለማግኘት "የክስተቱን እድል እንዴት ማግኘት እንደሚቻል?" ቁልፍ ጽንሰ-ሐሳቦችን መረዳት እና ስሌቱ የተመሰረተበትን መሰረታዊ መርሆችን ማስታወስ ያስፈልግዎታል. ስለዚህ, በስታቲስቲክስ መሰረት, በጥናት ላይ ያሉ ክስተቶች በ A1, A2,..., An. እያንዳንዳቸው ሁለቱም ጥሩ ውጤቶች (ሜ) እና አጠቃላይ የአንደኛ ደረጃ ውጤቶች አሏቸው። ለምሳሌ፣ በኩቤው የላይኛው ክፍል ላይ እኩል ቁጥር ያላቸው ነጥቦች ሊኖሩ የሚችሉበትን ዕድል እንዴት ማግኘት እንደምንችል ፍላጎት አለን። ከዚያም A ጥቅል m ነው - 2, 4 ወይም 6 ነጥቦችን (ሦስት ምቹ አማራጮችን) ማውጣት, እና n ሁሉም ስድስት ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮች ናቸው.

የስሌቱ ቀመር ራሱ እንደሚከተለው ነው-

በአንድ ውጤት ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው. ግን ክስተቶች እርስ በእርሳቸው ከተከሰቱ እድሉን እንዴት ማግኘት ይቻላል? ይህንን ምሳሌ አስቡበት፡ አንድ ካርድ ከካርድ መደርደሪያ (36 ቁርጥራጮች) ይታያል፣ ከዚያም ወደ መርከቡ ተመልሶ ተደብቋል፣ እና ከተቀየረ በኋላ የሚቀጥለው ተስቦ ይወጣል። ቢያንስ በአንድ ጉዳይ ላይ የስፔድስ ንግሥት መሳል የመቻል እድልን እንዴት ማግኘት ይቻላል? የሚከተለው ህግ አለ: ውስብስብ ክስተት ከግምት ውስጥ ከገባ, ወደ ብዙ የማይጣጣሙ ቀላል ክስተቶች ሊከፋፈል ይችላል, ከዚያም በመጀመሪያ ለእያንዳንዳቸው ውጤቱን ማስላት እና ከዚያም አንድ ላይ መጨመር ይችላሉ. በእኛ ሁኔታ ይህ ይመስላል: 1/36 + 1/36 = 1/18. ግን ብዙዎቹ በአንድ ጊዜ ሲከሰቱ ምን ይሆናል? ከዚያም ውጤቱን እናባዛለን! ለምሳሌ፣ ሁለት ሳንቲሞች በአንድ ጊዜ ሲጣሉ፣ ሁለት ጭንቅላት የመታየቱ ዕድል፡ ½ * ½ = 0.25 እኩል ይሆናል።

አሁን የበለጠ ውስብስብ ምሳሌ እንውሰድ። ከሰላሳ ትኬቶች አስሩ የሚያሸንፉበት የመጽሐፍ ሎተሪ ገባን እንበል። መወሰን አለብህ፡-

ሁለቱም አሸናፊዎች የመሆን እድሉ.
ከመካከላቸው ቢያንስ አንዱ ሽልማት ያመጣል.
ሁለቱም ተሸናፊዎች ይሆናሉ።

ስለዚህ የመጀመሪያውን ጉዳይ እናስብ። በሁለት ክስተቶች ሊከፋፈል ይችላል-የመጀመሪያው ትኬት እድለኛ ይሆናል, ሁለተኛው ደግሞ እድለኛ ይሆናል. እያንዳንዱ ካወጣ በኋላ አጠቃላይ የአማራጮች ብዛት ስለሚቀንስ ክስተቶቹ ጥገኛ መሆናቸውን እናስብ። እናገኛለን፡-

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

በሁለተኛው ጉዳይ ላይ ትኬት የማጣት እድልን መወሰን እና የመጀመሪያው ወይም ሁለተኛው ሊሆን እንደሚችል ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልግዎታል-10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0.4598.

በመጨረሻም ፣ ሦስተኛው ጉዳይ ፣ ከሎተሪ አንድ መጽሐፍ እንኳን ማግኘት በማይችሉበት ጊዜ: 20/30 * 19/29 = 0.4368።

ሁሉም ሰው የስፖርት ዝግጅቱ እንዴት እንደሚቆም፣ ማን እንደሚያሸንፍ እና ማን እንደሚሸነፍ አስቀድሞ ማወቅ እንደሚፈልግ ተረድቻለሁ። በዚህ መረጃ ያለ ፍርሃት በስፖርት ዝግጅቶች ላይ መወራረድ ይችላሉ። ግን እንኳን ይቻላል ፣ እና ከሆነ ፣ የአንድን ክስተት ዕድል እንዴት ማስላት ይቻላል?

ፕሮባቢሊቲ አንጻራዊ እሴት ነው, ስለዚህ ስለማንኛውም ክስተት በእርግጠኝነት መናገር አይችልም. ይህ ዋጋ በአንድ የተወሰነ ውድድር ላይ ውርርድ የማድረግን አስፈላጊነት ለመተንተን እና ለመገምገም ያስችልዎታል። ፕሮባቢሊቲዎችን መወሰን ጥንቃቄ የተሞላበት ጥናት እና ግንዛቤን የሚጠይቅ ሙሉ ሳይንስ ነው።

በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ የፕሮባቢሊቲ ኮፊሸን

በስፖርት ውርርድ ውስጥ ለውድድሩ ውጤት ብዙ አማራጮች አሉ።

የመጀመሪያ ቡድን ድል;
የሁለተኛው ቡድን ድል;
መሳል;
ጠቅላላ

እያንዳንዱ የውድድር ውጤት የራሱ የሆነ ዕድል እና ድግግሞሽ አለው, ይህ ክስተት የመነሻ ባህሪያት ተጠብቆ ይቆያል. ቀደም ሲል እንደተናገርነው የማንኛውም ክስተት ዕድል በትክክል ለማስላት የማይቻል ነው - ምናልባት ሊገጣጠምም ላይሆንም ይችላል። ስለዚህ የእርስዎ ውርርድ ማሸነፍም ሆነ መሸነፍ ይችላል።

ብዙ ምክንያቶች በጨዋታው ውጤት ላይ ተጽዕኖ ስለሚያሳድሩ የውድድሩን ውጤት መቶ በመቶ ትክክለኛ ትንበያ ሊኖር አይችልም። በተፈጥሮ መጽሐፍ ሰሪዎች የግጥሚያውን ውጤት አስቀድመው አያውቁም እና ውጤቱን ብቻ ይገምታሉ ፣ የትንታኔ ስርዓታቸውን በመጠቀም እና ለውርርድ የተወሰኑ ዕድሎችን ይሰጣሉ ።

የአንድ ክስተት ዕድል እንዴት ማስላት ይቻላል?

የመፅሃፍ ሰሪው ዕድል 2.1/2 ነው ብለን እናስብ - 50% እናገኛለን. 2 Coefficient 2 ከ 50% ዕድል ጋር እኩል ነው. ተመሳሳዩን መርሆ በመጠቀም፣ እረፍት-እንኳን የመሆን ፕሮባቢሊቲ ኮፊሸን - 1/መቻልን ማግኘት ይችላሉ።

ብዙ ተጫዋቾች ከበርካታ ተደጋጋሚ ሽንፈቶች በኋላ አሸናፊነት በእርግጠኝነት ይከሰታል ብለው ያስባሉ - ይህ የተሳሳተ አስተያየት ነው። ውርርድ የማሸነፍ እድሉ በኪሳራዎች ብዛት ላይ የተመካ አይደለም። በሳንቲም ጨዋታ ውስጥ ብዙ ራሶችን በተከታታይ ብታገላብጡም፣ ጅራት የመገልበጥ እድሉ ተመሳሳይ ነው - 50%.

በአጋጣሚዎች ላይ በመመስረት የክስተት እድልን እንዴት መገመት እንደሚቻል ማወቅ ትክክለኛውን ውርርድ ለመምረጥ አስፈላጊ ነው። የመፅሃፍ ሰሪ ዕድልን ወደ ፕሮባቢሊቲነት እንዴት እንደሚቀይሩ ካልተረዱ፣የመፃህፍቱ ዕድሎች ከክስተቱ ትክክለኛ ዕድሎች ጋር እንዴት እንደሚነፃፀሩ በጭራሽ ማወቅ አይችሉም። በመፅሃፍ ሰሪዎች መሰረት የአንድ ክስተት እድል በራስዎ ስሪት መሰረት ከተመሳሳይ ክስተት እድሉ ያነሰ ከሆነ በዚህ ክስተት ላይ ውርርድ ጠቃሚ እንደሚሆን መረዳት አለብዎት። በ Odds.ru ድር ጣቢያ ላይ ዕድሎችን ለተለያዩ ክስተቶች ማወዳደር ይችላሉ።

1.1. የእድል ዓይነቶች

ቡክ ሰሪዎች ብዙውን ጊዜ ሶስት ዓይነት ዕድሎችን ይሰጣሉ - አስርዮሽ ፣ ክፍልፋይ እና አሜሪካ። እያንዳንዱን ዝርያ እንይ.

1.2. የአስርዮሽ ዕድሎች

በውርርድ መጠን ሲባዙ የአስርዮሽ ዕድሎች ካሸነፉ በእጅዎ የሚቀበሉትን ጠቅላላ መጠን ለማስላት ያስችልዎታል። ለምሳሌ፡- በ1.80 ዕድሉ 1 ዶላር ቢያሸንፉ 1.80 ዶላር ይቀበላሉ (1 የተመለሰው ውርርድ መጠን፣ 0.80 በውርርድ ላይ ያለው አሸናፊነት ነው፣ ይህም የእርስዎ የተጣራ ትርፍ ነው)።

ያም ማለት የውጤት እድል, እንደ መጽሐፍ ሰሪዎች ገለጻ, 55% ነው.

1.3. ክፍልፋይ ዕድሎች

ክፍልፋይ ዕድሎች በጣም ባህላዊ የዕድል ዓይነቶች ናቸው። አሃዛዊው እምቅ የተጣራ አሸናፊዎችን ያሳያል. መለያው ይህንን አሸናፊነት ለማግኘት መደረግ ያለበት የውርርድ መጠን ነው። ለምሳሌ፣ የ7/2 ዕድሎች ማለት 7 ዶላር ለማሸነፍ፣ 2 ዶላር መወራረድ ያስፈልግዎታል ማለት ነው።

በአስርዮሽ ኮፊሸን ላይ በመመስረት የአንድ ክስተት እድልን ለማስላት ቀላል ስሌቶችን ማካሄድ አለብዎት - መለያውን በቁጥር እና በቁጥር ድምር ይከፋፍሉት። ከላይ ላሉት የ7/2 ዕድሎች፣ ስሌቱ እንደሚከተለው ይሆናል።

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

ያም ማለት የውጤት እድል, እንደ መጽሐፍ ሰሪዎች ገለጻ, 22% ነው.

1.4. የአሜሪካ ዕድሎች

ይህ ዓይነቱ ዕድል በሰሜን አሜሪካ ታዋቂ ነው። በመጀመሪያ ሲታይ እነሱ በጣም ውስብስብ እና ለመረዳት የማይችሉ ይመስላሉ ፣ ግን አይፍሩ። የአሜሪካን ዕድሎች መረዳት ጠቃሚ ሊሆን ይችላል, ለምሳሌ, በአሜሪካ ካሲኖዎች ውስጥ ሲጫወቱ, በሰሜን አሜሪካ የስፖርት ስርጭቶች ላይ የሚታዩትን ጥቅሶች ለመረዳት. በአሜሪካ ዕድሎች ላይ የተመሰረተ የውጤት እድል እንዴት እንደሚገመት እንመልከት።

በመጀመሪያ ደረጃ, የአሜሪካ ዕድሎች አወንታዊ እና አሉታዊ ሊሆኑ እንደሚችሉ መረዳት አለብዎት. አሉታዊ የአሜሪካ ኮፊሸን ሁልጊዜ በቅርጸት ይመጣል, ለምሳሌ, "-150". ይህ ማለት 100 ዶላር የተጣራ ትርፍ (ማሸነፍ) ለማግኘት 150 ዶላር መወራረድ አለቦት።

አወንታዊው የአሜሪካ ጥምርነት በተቃራኒው ይሰላል። ለምሳሌ፣ የ"+120" ቅንጅት አለን። ይህ ማለት 120 ዶላር የተጣራ ትርፍ (ማሸነፍ) ለማግኘት 100 ዶላር መወራረድ አለቦት።

በአሉታዊ የአሜሪካ ዕድሎች ላይ የተመሰረተው የይሆናል ስሌት የሚከናወነው የሚከተለውን ቀመር በመጠቀም ነው።

( ( (አሉታዊ የአሜሪካ ኮፊፊሸን)) / (( (((((ኔጌቲቭ አሜሪካን)))) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

ያም ማለት የ "-150" አሉታዊ የአሜሪካ ኮፊሸንት የተሰጠበት ክስተት እድል 60% ነው.

አሁን ለአዎንታዊ የአሜሪካ ኮፊሸን ተመሳሳይ ስሌቶችን አስቡበት። በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው ዕድል የሚከተለው ቀመር በመጠቀም ይሰላል.

100 / (አዎንታዊ የአሜሪካ ኮፊሸን + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

ማለትም፣ የ"+120" አወንታዊ የአሜሪካን ጥምርታ የተሰጠበት ክስተት የመከሰት እድሉ 45% ነው።

1.5. ዕድሎችን ከአንድ ቅርጸት ወደ ሌላ እንዴት መለወጥ እንደሚቻል?

ዕድሎችን ከአንድ ቅርጸት ወደ ሌላ የመቀየር ችሎታ በኋላ ላይ በጥሩ ሁኔታ ሊያገለግልዎት ይችላል። በሚገርም ሁኔታ አሁንም ዕድሉ ያልተቀየረባቸው እና በአንድ ፎርማት ብቻ የሚታዩባቸው ቢሮዎች አሉ ይህም ለእኛ ያልተለመደ ነው። ይህንን እንዴት ማድረግ እንደሚቻል ምሳሌዎችን እንመልከት። በመጀመሪያ ግን በተሰጠን ኮፊፊሸን ላይ በመመስረት የውጤቱን እድል እንዴት ማስላት እንዳለብን መማር አለብን።

1.6. በአቅም ላይ በመመስረት የአስርዮሽ ዕድሎችን እንዴት ማስላት ይቻላል?

እዚህ ሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው. በክስተቱ ዕድል 100 ን እንደ መቶኛ መከፋፈል አስፈላጊ ነው. ማለትም፣ የአንድ ክስተት ግምታዊ እድል 60% ከሆነ፣ የሚከተሉትን ማድረግ አለብዎት:

በግምት 60% ክስተት የመሆን እድሉ፣ የአስርዮሽ ዕድሎች 1.66 ይሆናሉ።

1.7. በአቅም ላይ በመመስረት ክፍልፋይ ዕድሎችን እንዴት ማስላት ይቻላል?

በዚህ ሁኔታ 100 ን በክስተቱ እድል መከፋፈል እና ከተገኘው ውጤት አንዱን መቀነስ ያስፈልግዎታል. ለምሳሌ፣ የአንድ ክስተት ዕድል 40% ነው።

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

ማለትም ፣ 1.5/1 ክፍልፋይ ኮፊሸን እናገኛለን ወይም ለቀላል ስሌት 3/2።

1.8. በሚሆነው ውጤት ላይ በመመስረት የአሜሪካን ዕድሎች እንዴት ማስላት ይቻላል?

እዚህ ፣ ብዙ የሚወሰነው በክስተቱ ዕድል ላይ ነው - ከ 50% በላይ ወይም ከዚያ በታች። የአንድ ክስተት ዕድል ከ 50% በላይ ከሆነ ፣ ስሌቱ የሚከናወነው በሚከተለው ቀመር ነው ።

- ((ይቻላል) / (100 - ዕድል)) * 100

ለምሳሌ፣ የአንድ ክስተት ዕድል 80% ከሆነ፣ ከዚያ፡-

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

በግምት 80% ክስተት የመሆን እድሉ፣ የአሜሪካን አሉታዊ የ "-400" መጠን አግኝተናል።

የአንድ ክስተት ዕድል ከ50 በመቶ በታች ከሆነ፣ ቀመሩ የሚከተለው ይሆናል፡-

((100 - ፕሮባቢሊቲ) / ፕሮባቢሊቲ) * 100

ለምሳሌ፣ የአንድ ክስተት ዕድል 40% ከሆነ፣ ከዚያ፡-

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

በግምት 40% ክስተት የመሆን እድሉ፣ የአሜሪካን አዎንታዊ የ"+150" መጠን አግኝተናል።

እነዚህ ስሌቶች የውርርድ እና የዕድል ጽንሰ-ሀሳብን በተሻለ ሁኔታ እንዲረዱ እና የአንድ የተወሰነ ውርርድ ትክክለኛ ዋጋ እንዴት እንደሚገመግሙ ይረዱዎታል።

ብዙ ወይም ያነሰ በዘፈቀደ የሆኑ ክስተቶችን ማስላት ይቻል እንደሆነ ብዙ ሰዎች ያስባሉ ብሎ ማሰብ የማይመስል ነገር ነው። በቀላል አነጋገር፣ የኩቤው ጎን ቀጥሎ እንደሚመጣ ማወቅ ይቻላል? ይህንን ጥያቄ ነበር ሁለት ታላላቅ ሳይንቲስቶች እራሳቸውን የጠየቁት ፣ ለእንደዚህ ዓይነቱ ሳይንስ እንደ ፕሮባቢሊቲ ፅንሰ-ሀሳብ መሠረት የጣሉት ፣ ይህም የአንድ ክስተት ዕድል በሰፊው የተጠና ነው።

መነሻ

እንዲህ ዓይነቱን ጽንሰ-ሐሳብ እንደ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ለመግለጽ ከሞከሩ, የሚከተለውን ያገኛሉ-ይህ የዘፈቀደ ክስተቶችን ቋሚነት የሚያጠኑ የሂሳብ ቅርንጫፎች አንዱ ነው. በእርግጥ ይህ ጽንሰ-ሐሳብ ሙሉውን ይዘት በትክክል አይገልጽም, ስለዚህ በበለጠ ዝርዝር ውስጥ ማጤን አስፈላጊ ነው.

በንድፈ ሃሳቡ ፈጣሪዎች መጀመር እፈልጋለሁ። ከላይ እንደተጠቀሰው, ሁለቱ ነበሩ, እና ቀመሮችን እና የሂሳብ ስሌቶችን በመጠቀም የዚህን ወይም የዚያ ክስተትን ውጤት ለማስላት ከመጀመሪያዎቹ አንዱ ነበሩ. በአጠቃላይ, የዚህ ሳይንስ ጅማሬ በመካከለኛው ዘመን ታየ. በዚያን ጊዜ የተለያዩ አሳቢዎች እና ሳይንቲስቶች እንደ ሩሌት፣ craps እና የመሳሰሉትን የቁማር ጨዋታዎችን ለመተንተን ሞክረው ነበር፣ በዚህም የአንድ የተወሰነ ቁጥር ዘይቤ እና መቶኛ መውደቅ ችለዋል። መሰረቱ በአስራ ሰባተኛው ክፍለ ዘመን ከላይ በተጠቀሱት ሳይንቲስቶች ተጥሏል።

መጀመሪያ ላይ ሥራዎቻቸው በዚህ መስክ ውስጥ እንደ ትልቅ ስኬት ሊቆጠሩ አይችሉም, ምክንያቱም ያደረጓቸው ነገሮች ሁሉ በቀላሉ ተጨባጭ እውነታዎች ነበሩ, እና ሙከራዎች ቀመሮችን ሳይጠቀሙ በእይታ ተካሂደዋል. ከጊዜ በኋላ, የዳይስ መወርወርን በመመልከት ምክንያት የታዩትን ጥሩ ውጤቶችን ማግኘት ተችሏል. የመጀመሪያዎቹን ለመረዳት የሚረዱ ቀመሮችን ለማግኘት የረዳው ይህ መሣሪያ ነበር።

ተመሳሳይ አስተሳሰብ ያላቸው ሰዎች

"የመሆኑን ጽንሰ-ሀሳብ" (የአንድ ክስተት እድል በዚህ ሳይንስ ውስጥ በትክክል ተሸፍኗል) የሚለውን ርዕስ በማጥናት ሂደት ውስጥ እንደ ክሪስቲያን ሁይገንስ ያለ ሰው መጥቀስ አይቻልም። ይህ ሰው በጣም የሚስብ ነው። እሱ፣ ልክ ከላይ እንደተገለጹት ሳይንቲስቶች፣ የዘፈቀደ ክስተቶችን ዘይቤ በሒሳብ ቀመር ለማውጣት ሞክሯል። ከፓስካል እና ፌርማት ጋር አንድ ላይ አላደረገም ፣ ማለትም ፣ ሁሉም ሥራዎቹ ከእነዚህ አእምሮዎች ጋር እንዳልተጣመሩ ልብ ሊባል የሚገባው ነው። Huygens ተቀንሷል

አንድ የሚያስደንቀው እውነታ ሥራው የወጣው ከግኝተኞቹ ሥራ ውጤት ከረጅም ጊዜ በፊት ነው ፣ ወይም ይልቁንም ፣ ከሃያ ዓመታት በፊት። ከተገለጹት ጽንሰ-ሐሳቦች መካከል በጣም ታዋቂዎቹ የሚከተሉት ናቸው-

የአጋጣሚ ነገር ጽንሰ-ሐሳብ እንደ ዕድል ዋጋ;
ለተለዩ ጉዳዮች የሂሳብ መጠበቅ;
የመባዛት እና የመጨመር ጽንሰ-ሀሳቦች.

እንዲሁም ለችግሩ ጥናት ከፍተኛ አስተዋጽኦ ያደረገው ማን እንደሆነ ማስታወስ አይቻልም. የራሱን ፈተናዎች በማካሄድ, ከማንም ነጻ ሆኖ, የብዙ ቁጥር ህግን የሚያረጋግጥ ማስረጃ ማቅረብ ችሏል. በተራው በአሥራ ዘጠነኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ የሠሩት ሳይንቲስቶች ፖይሰን እና ላፕላስ የመጀመሪያዎቹን ንድፈ ሃሳቦች ማረጋገጥ ችለዋል. የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ በአስተያየቶች ውስጥ ስህተቶችን ለመተንተን ጥቅም ላይ መዋል የጀመረው ከዚህ ጊዜ ጀምሮ ነበር። የሩሲያ ሳይንቲስቶች, ወይም ይልቁንም ማርኮቭ, Chebyshev እና Dyapunov, ይህን ሳይንስ ችላ ማለት አልቻሉም. በታላላቅ ሊቃውንት በተሰራው ስራ ላይ በመመስረት, ይህንን ርዕሰ ጉዳይ እንደ የሂሳብ ክፍል አቋቋሙ. እነዚህ አኃዞች ቀድሞውኑ በአሥራ ዘጠነኛው ክፍለ ዘመን መገባደጃ ላይ ሠርተዋል ፣ እና ለአስተዋጽኦቸው ምስጋና ይግባቸው ፣ የሚከተሉት ክስተቶች ተረጋግጠዋል ።

የትላልቅ ቁጥሮች ህግ;
የማርኮቭ ሰንሰለት ንድፈ ሐሳብ;
ማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪ.

ስለዚህ, በሳይንስ መወለድ ታሪክ እና በእሱ ላይ ተጽእኖ ካደረጉ ዋና ዋና ሰዎች ጋር, ሁሉም ነገር የበለጠ ወይም ያነሰ ግልጽ ነው. አሁን ሁሉንም እውነታዎች ለማብራራት ጊዜው ደርሷል.

መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች

ህጎችን እና ንድፈ ሀሳቦችን ከመንካትዎ በፊት ፣የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦችን ማጥናት ጠቃሚ ነው። ዝግጅቱ የመሪነቱን ሚና ይጫወታል። ይህ ርዕስ በጣም ብዙ ነው, ነገር ግን ያለ እሱ ሁሉንም ነገር መረዳት አይቻልም.

በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ያለ ክስተት ማንኛውም የሙከራ ውጤቶች ስብስብ ነው። የዚህ ክስተት በጣም ጥቂት ጽንሰ-ሐሳቦች አሉ. ስለዚህ በዚህ አካባቢ የሚሠራው ሳይንቲስት ሎጥማን በዚህ ጉዳይ ላይ የምንናገረው ስለ “ተከሰተው ነገር ባይሆንም” እንደሆነ ተናግሯል።

የዘፈቀደ ክስተቶች (የይቻላል ጽንሰ-ሀሳብ ልዩ ትኩረት ይሰጣቸዋል) የመከሰት እድል ያለው ማንኛውንም ክስተት ሙሉ በሙሉ የሚያመለክት ጽንሰ-ሀሳብ ነው። ወይም፣ በተቃራኒው፣ ብዙ ሁኔታዎች ከተሟሉ ይህ ሁኔታ ላይሆን ይችላል። እንዲሁም የተከሰቱትን ክስተቶች አጠቃላይ መጠን የሚይዘው በዘፈቀደ ክስተቶች መሆኑን ማወቅ ተገቢ ነው። የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሃሳብ የሚያመለክተው ሁሉም ሁኔታዎች ያለማቋረጥ ሊደገሙ እንደሚችሉ ነው. ምግባራቸው ነው “ልምድ” ወይም “ፈተና” የሚባለው።

አስተማማኝ ክስተት በተሰጠው ፈተና ውስጥ መቶ በመቶ የመከሰት እድል ያለው ክስተት ነው። በዚህ መሠረት, የማይቻል ክስተት የማይከሰት ነው.

ጥንድ ድርጊቶች (በሁኔታዊ ሁኔታ, ጉዳይ A እና ጉዳይ B) ጥምረት በአንድ ጊዜ የሚከሰት ክስተት ነው. እንደ AB ተመድበዋል።

የክስተት ጥንዶች ሀ እና ቢ በሌላ አነጋገር ከመካከላቸው ቢያንስ አንዱ ከተከሰተ (A ወይም B) ፣ ከዚያ C የተገለጸው ክስተት ቀመር እንደሚከተለው ተጽፏል ለ.

በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ የማይጣጣሙ ክስተቶች ሁለት ጉዳዮች እርስ በርስ የሚጣረሱ መሆናቸውን ያመለክታሉ። በምንም አይነት ሁኔታ በተመሳሳይ ጊዜ ሊከሰቱ አይችሉም. በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ያሉ የጋራ ክንውኖች የእነርሱ መከላከያ ናቸው። እዚህ ላይ ምን ማለት ነው ሀ ከተከሰተ በምንም መልኩ ቢን አይከላከልም.

ተቃራኒ ክስተቶች (የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ በጥልቀት ይመለከቷቸዋል) ለመረዳት ቀላል ናቸው. እነሱን ለመረዳት ከሁሉ የተሻለው መንገድ በንፅፅር ነው. በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ከማይጣጣሙ ክስተቶች ጋር ተመሳሳይ ናቸው። ነገር ግን የእነሱ ልዩነት ከብዙ ክስተቶች ውስጥ አንዱ በማንኛውም ሁኔታ መከሰት አለበት በሚለው እውነታ ላይ ነው.

እኩል ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች እኩል የመድገም እድል ያላቸው ድርጊቶች ናቸው። የበለጠ ግልጽ ለማድረግ, ሳንቲም መወርወርን መገመት ትችላላችሁ: የአንዱ ጎኖቹ መጥፋት ከሌላው እኩል የመውደቅ ዕድሉ ከፍተኛ ነው.

በምሳሌ አንድን መልካም ክስተት ማጤን ቀላል ነው። ክፍል ለ እና ክፍል ሀ አለ እንበል።የመጀመሪያው የዳይስ ጥቅልል ያልተለመደ ቁጥር የታየበት ሲሆን ሁለተኛው በዳይ ላይ ያለው የአምስት ቁጥር መልክ ነው። ከዚያም ኤ ሞገስ ለ.

በፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ውስጥ ያሉ ገለልተኛ ክስተቶች በሁለት ወይም ከዚያ በላይ በሆኑ ጉዳዮች ላይ ብቻ የሚተነተኑ እና የማንኛውንም ድርጊት ከሌላው ነጻ መሆናቸውን ያመለክታሉ። ለምሳሌ ሀ ሳንቲም ሲወረውሩ የጭንቅላት መጥፋት ሲሆን B ደግሞ ከመርከቧ ላይ የጃክ መሳል ነው። በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ራሳቸውን የቻሉ ክስተቶች ናቸው። በዚህ ጊዜ ይበልጥ ግልጽ ሆነ.

በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ያሉ ጥገኛ ክስተቶች እንዲሁ የሚፈቀዱት ለነሱ ስብስብ ብቻ ነው። እነሱ የአንዱን ጥገኝነት ያመለክታሉ ፣ ማለትም ፣ ክስተት B ሊከሰት የሚችለው ሀ አስቀድሞ ከተከሰተ ወይም በተቃራኒው ካልተከሰተ ብቻ ነው ፣ ይህ ለ B ዋና ሁኔታ ነው።

አንድ አካልን ያካተተ የዘፈቀደ ሙከራ ውጤት የመጀመሪያ ደረጃ ክስተቶች ነው። ይህ አንድ ጊዜ ብቻ የተከሰተ ክስተት መሆኑን የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሃሳብ ያብራራል።

መሰረታዊ ቀመሮች

ስለዚህ, የ "ክስተት" እና "የመሆኑን ጽንሰ-ሀሳብ" ጽንሰ-ሐሳቦች ከላይ ተብራርተዋል, የዚህ ሳይንስ መሠረታዊ ቃላት ፍቺም ተሰጥቷል. ከአስፈላጊ ቀመሮች ጋር በቀጥታ ለመተዋወቅ ጊዜው አሁን ነው። እነዚህ አገላለጾች እንደ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ባሉ ውስብስብ ርዕሰ ጉዳዮች ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ዋና ፅንሰ ሀሳቦች በሂሳብ ያረጋግጣሉ። የክስተቱ ዕድል እዚህም ትልቅ ሚና ይጫወታል።

ከመሠረታዊዎቹ ጋር መጀመር ይሻላል እና ከእነሱ ጋር ከመጀመርዎ በፊት ምን እንደሆኑ ግምት ውስጥ ማስገባት ጠቃሚ ነው.

Combinatorics በዋነኛነት የሒሳብ ክፍል ነው;, ይህ በጣም ብዙ ቁጥር ኢንቲጀር ጥናት, እንዲሁም የቁጥሮች ራሳቸው እና ንጥረ ነገሮች, የተለያዩ ውሂብ, ወዘተ የተለያዩ permutations ጋር የተያያዘ ነው, ይህም ጥምረት በርካታ መልክ ይመራል. ከፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ በተጨማሪ፣ ይህ ቅርንጫፍ ለስታቲስቲክስ፣ ለኮምፒዩተር ሳይንስ እና ለስክሪፕቶግራፊ አስፈላጊ ነው።

ስለዚህ፣ አሁን ቀመሮቹን እራሳቸው እና ፍቺቸውን ወደማቅረብ መሄድ እንችላለን።

ከመካከላቸው የመጀመሪያው የመተላለፊያዎች ብዛት መግለጫ ይሆናል ፣ ይህ ይመስላል

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

እኩልታው የሚተገበረው ንጥረ ነገሮቹ በዝግጅታቸው ቅደም ተከተል ብቻ የሚለያዩ ከሆነ ብቻ ነው።

አሁን የአቀማመጥ ቀመር ግምት ውስጥ ይገባል, ይህን ይመስላል:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - ሜትር)!

ይህ አገላለጽ በንጥሉ አቀማመጥ ቅደም ተከተል ላይ ብቻ ሳይሆን በአጻጻፉ ላይም ይሠራል.

ሦስተኛው እኩልታ ከተዋሃዱ እና እሱ ደግሞ የመጨረሻው ነው ፣ የጥምረቶች ብዛት ቀመር ይባላል።

C_n^m = n! : ((n - ሜትር))! :ኤም!

ውህደቱ ያልታዘዙትን ምርጫዎች ያመለክታል, ይህ ህግ በእነሱ ላይ ይሠራል.

የማጣመጃ ቀመሮችን ለመረዳት ቀላል ነበር; ይህ አገላለጽ ይህን ይመስላል።

በዚህ ቀመር ውስጥ m ለክስተት A ተስማሚ የሆኑ ሁኔታዎች ቁጥር ነው, እና n ፍጹም ሁሉም እኩል ሊሆኑ የሚችሉ እና የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ቁጥር ነው.

ብዙ ቁጥር ያላቸው አገላለጾች አሉ;

P (A + B) = P (A) + P (B) - ይህ ጽንሰ-ሐሳብ የማይጣጣሙ ክስተቶችን ብቻ ለመጨመር ነው;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - እና ይህ የሚጣጣሙትን ብቻ ለመጨመር ነው.

የመከሰቱ አጋጣሚ:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - ይህ ቲዎሬም ለገለልተኛ ክስተቶች ነው;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A)፤ P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - እና ይህ ለጥገኛ ነው።

የክስተቶች ዝርዝር በክስተቶች ቀመር ይጠናቀቃል. ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ ይህን ይመስላል ስለ ቤይስ ቲዎሬም ይነግረናል፡-

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1፣...፣ n

በዚህ ቀመር, H 1, H 2, ..., H n የተሟላ መላምቶች ስብስብ ነው.

ምሳሌዎች

የትኛውንም የሒሳብ ክፍል በጥንቃቄ ካጠኑ፣ ያለ ልምምዶች እና የመፍትሔ ናሙናዎች የተሟላ አይደለም። የይሆናልነት ጽንሰ-ሐሳብም እንዲሁ ነው፡ ክስተቶች እና ምሳሌዎች እዚህ ላይ ሳይንሳዊ ስሌቶችን የሚያረጋግጥ ዋና አካል ናቸው።

ለቀዶ ጥገናዎች ብዛት ቀመር

በአንድ እሴት ጀምሮ በካርዶች ውስጥ ሠላሳ ካርዶች አሉ እንበል። ቀጣይ ጥያቄ። ዋጋ አንድ እና ሁለት ያላቸው ካርዶች እርስ በእርሳቸው አጠገብ እንዳይሆኑ የመርከቧን መደርደር ስንት መንገዶች አሉ?

ስራው ተዘጋጅቷል, አሁን ወደ መፍትሄው እንሂድ. በመጀመሪያ የሠላሳ ንጥረ ነገሮችን ብዛት መወሰን ያስፈልግዎታል ፣ ለዚህም ከዚህ በላይ የቀረበውን ቀመር እንወስዳለን ፣ P_30 = 30!

በዚህ ደንብ ላይ በመመስረት, የመርከቧን በተለያየ መንገድ ለማጠፍ ምን ያህል አማራጮች እንዳሉ እናገኛለን, ነገር ግን የመጀመሪያዎቹ እና ሁለተኛ ካርዶች እርስ በእርሳቸው የሚቀራረቡበትን ከእነሱ መቀነስ ያስፈልገናል. ይህንን ለማድረግ, የመጀመሪያው ከሁለተኛው በላይ በሚሆንበት ጊዜ በምርጫው እንጀምር. የመጀመሪያው ካርድ ሃያ ዘጠኝ ቦታዎችን ሊወስድ ይችላል - ከመጀመሪያው እስከ ሃያ ዘጠነኛው ፣ እና ሁለተኛው ካርድ ከሁለተኛው እስከ ሠላሳኛው ድረስ ፣ ለአንድ ጥንድ ካርዶች አጠቃላይ ሃያ ዘጠኝ ቦታዎችን ያደርጋል። በተራው, ቀሪው ሃያ ስምንት ቦታዎችን እና በማንኛውም ቅደም ተከተል መቀበል ይችላል. ማለትም፣ ሃያ ስምንት ካርዶችን ለማስተካከል፣ ሃያ ስምንት አማራጮች አሉ P_28 = 28!

በውጤቱም, የመጀመሪያው ካርድ ከሁለተኛው በላይ በሚሆንበት ጊዜ መፍትሄውን ካጤንነው, 29 ⋅ 28 ተጨማሪ አማራጮች ሊኖሩ ይችላሉ! = 29!

ተመሳሳዩን ዘዴ በመጠቀም, የመጀመሪያው ካርድ በሁለተኛው ስር በሚሆንበት ጊዜ ለጉዳዩ ተጨማሪ አማራጮችን ቁጥር ማስላት ያስፈልግዎታል. እንዲሁም 29 ⋅ 28 ሆኖ ተገኝቷል! = 29!

ከዚህ በመነሳት 2 ⋅ 29 ተጨማሪ አማራጮች አሉ! ፣ የመርከቧን የመገጣጠም አስፈላጊ መንገዶች 30 ናቸው! - 2⋅ 29! የቀረው መቁጠር ብቻ ነው።

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

አሁን ሁሉንም ቁጥሮች ከአንድ ወደ ሃያ ዘጠኝ ማባዛት ያስፈልግዎታል, እና በመጨረሻ ሁሉንም ነገር በ 28 ማባዛት, መልሱ 2.4757335 ⋅〖10〗^32 ነው.

ምሳሌ መፍትሄ. ለምደባ ቁጥር ቀመር

በዚህ ችግር ውስጥ አስራ አምስት ጥራዞችን በአንድ መደርደሪያ ላይ ለማስቀመጥ ምን ያህል መንገዶች እንዳሉ ማወቅ አለብዎት, ነገር ግን በአጠቃላይ ሠላሳ ጥራዞች እስካሉ ድረስ.

የዚህ ችግር መፍትሄ ከቀዳሚው ትንሽ ቀላል ነው. ቀደም ሲል የታወቀውን ቀመር በመጠቀም የአስራ አምስት ሠላሳ ጥራዞች አጠቃላይ የዝግጅት ብዛት ማስላት አስፈላጊ ነው.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 72006

በዚህ መሠረት መልሱ ከ 202,843,204,931,727,360,000 ጋር እኩል ይሆናል.

አሁን ትንሽ የበለጠ ከባድ ስራ እንውሰድ። አንድ መደርደሪያ አሥራ አምስት ጥራዞችን ብቻ መያዝ ስለሚችል በሁለት የመጽሐፍ መደርደሪያ ላይ ሠላሳ መጻሕፍትን ለማዘጋጀት ምን ያህል መንገዶች እንዳሉ ማወቅ ያስፈልግዎታል.

መፍትሄውን ከመጀመራቸው በፊት, አንዳንድ ችግሮች በበርካታ መንገዶች ሊፈቱ እንደሚችሉ ግልጽ ማድረግ እፈልጋለሁ, እና ይህ ሁለት ዘዴዎች አሉት, ግን ሁለቱም አንድ አይነት ቀመር ይጠቀማሉ.

በዚህ ችግር ውስጥ, መልሱን ከቀዳሚው መውሰድ ይችላሉ, ምክንያቱም እዚያ ውስጥ መደርደሪያን በአሥራ አምስት መጻሕፍት በተለያየ መንገድ ምን ያህል ጊዜ መሙላት እንደሚችሉ እናሰላለን. A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16 ሆነ።

የፔርሙቴሽን ፎርሙላውን በመጠቀም ሁለተኛውን መደርደሪያ እናሰላለን, ምክንያቱም በውስጡ አሥራ አምስት መጻሕፍት ሊቀመጡ ስለሚችሉ አሥራ አምስት ብቻ ይቀራሉ. ቀመር P_15 = 15 !

በጠቅላላው A_30^15 ⋅ P_15 መንገዶች ይሆናል ፣ ግን ከዚህ በተጨማሪ ፣ ከሰላሳ እስከ አስራ ስድስት ያሉት የሁሉም ቁጥሮች ምርት ከአንድ እስከ አስራ አምስት ባለው ቁጥሮች ማባዛት ያስፈልግዎታል ፣ በመጨረሻ እርስዎ የሁሉንም ቁጥሮች ውጤት ከአንድ እስከ ሠላሳ ያገኛል ፣ ማለትም ፣ መልሱ 30 እኩል ነው!

ግን ይህ ችግር በሌላ መንገድ ሊፈታ ይችላል - ቀላል. ይህንን ለማድረግ ለሠላሳ መጻሕፍት አንድ መደርደሪያ እንዳለ መገመት ይችላሉ. ሁሉም በዚህ አውሮፕላን ላይ ተቀምጠዋል, ነገር ግን ሁኔታው ሁለት መደርደሪያዎች እንዲኖሩ ስለሚያስፈልግ, አንድ ረዥም በግማሽ አይተናል, ስለዚህ ከአስራ አምስት ውስጥ ሁለቱን እናገኛለን. ከዚህ በመነሳት ለዝግጅት P_30 = 30 አማራጮች ሊኖሩ ይችላሉ!

ምሳሌ መፍትሄ. ለጥምር ቁጥር ቀመር

አሁን የሶስተኛውን ችግር ከኮሚኒቶሪክስ ስሪት እንመለከታለን. ከሠላሳ ፍፁም ተመሳሳይ የሆኑትን መምረጥ ካስፈለገዎት አሥራ አምስት መጻሕፍትን ለማዘጋጀት ምን ያህል መንገዶች እንዳሉ ማወቅ ያስፈልጋል።

ለመፍታት, በእርግጥ, የጥምረቶች ብዛት ቀመር ተግባራዊ ይሆናል. ከሁኔታው መረዳት እንደሚቻለው ተመሳሳይ የአስራ አምስት መጻሕፍት ቅደም ተከተል አስፈላጊ እንዳልሆነ ግልጽ ይሆናል. ስለዚህ ፣ መጀመሪያ ላይ የአስራ አምስት ሰላሳ መጽሐፍትን አጠቃላይ የጥምረቶች ብዛት ማወቅ ያስፈልግዎታል።

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

ይኼው ነው. ይህንን ቀመር በመጠቀም ይህንን ችግር በተቻለ መጠን በአጭር ጊዜ ውስጥ መፍታት ችለናል, በዚህ መሠረት መልሱ 155,117,520 ነው.

ምሳሌ መፍትሄ. ክላሲክ የይቻላል ትርጉም

ከላይ ያለውን ቀመር በመጠቀም ለቀላል ችግር መልስ ማግኘት ይችላሉ. ነገር ግን ይህ የእርምጃዎችን ሂደት በግልፅ ለማየት እና ለመከታተል ይረዳል.

ችግሩ በሽንት ውስጥ አስር ፍጹም ተመሳሳይ ኳሶች እንዳሉ ይገልጻል። ከእነዚህ ውስጥ አራቱ ቢጫ እና ስድስቱ ሰማያዊ ናቸው. አንድ ኳስ ከሽንት ውስጥ ይወሰዳል. ሰማያዊ የማግኘት እድልን ማወቅ ያስፈልግዎታል.

ችግሩን ለመፍታት ሰማያዊውን ኳስ ማግኘት እንደ ክስተት መመደብ አስፈላጊ ነው ሀ ይህ ሙከራ አሥር ውጤቶች ሊኖሩት ይችላል, ይህም በተራው, አንደኛ ደረጃ እና እኩል ሊሆን ይችላል. በተመሳሳይ ጊዜ፣ ከአስር፣ ስድስቱ ለክስተቱ ሀ ተስማሚ ናቸው። ቀመርን በመጠቀም እንፈታዋለን፡-

P (A) = 6: 10 = 0.6

ይህንን ቀመር በመተግበር, ሰማያዊውን ኳስ የማግኘት እድሉ 0.6 መሆኑን ተምረናል.

ምሳሌ መፍትሄ. የክስተቶች ድምር ዕድል

የክስተት ድምር ዕድል ቀመርን በመጠቀም የሚፈታ አማራጭ አሁን ይቀርባል። ስለዚህ, ሁኔታው ሁለት ሳጥኖች እንዳሉ ተሰጥቷል, የመጀመሪያው አንድ ግራጫ እና አምስት ነጭ ኳሶችን ይይዛል, ሁለተኛው ደግሞ ስምንት ግራጫ እና አራት ነጭ ኳሶችን ይይዛል. በውጤቱም, ከአንደኛው እና ከሁለተኛው ሳጥኖች ውስጥ አንዱን ወስደዋል. የሚያገኟቸው ኳሶች ግራጫ እና ነጭ ሊሆኑ የሚችሉበት እድል ምን እንደሆነ ማወቅ ያስፈልግዎታል.

ይህንን ችግር ለመፍታት ክስተቶችን መለየት አስፈላጊ ነው.

ስለዚህ, A - ከመጀመሪያው ሳጥን ውስጥ ግራጫ ኳስ ወሰደ: P (A) = 1/6.
A’ - ከመጀመሪያው ሣጥንም ነጭ ኳስ ወሰደ፡ P(A) = 5/6።
ቢ - ከሁለተኛው ሳጥን ውስጥ ግራጫ ኳስ ተወግዷል: P (B) = 2/3.
B' - ከሁለተኛው ሳጥን ውስጥ ግራጫ ኳስ ወሰደ: P (B") = 1/3.

እንደ የችግሩ ሁኔታዎች, ለአንዱ ክስተት አስፈላጊ ነው: AB' ወይም A'B. ቀመሩን በመጠቀም, P (AB) = 1/18, P (A"B) = 10/18 እናገኛለን.

አሁን እድሉን የማባዛት ቀመር ጥቅም ላይ ውሏል. በመቀጠል, መልሱን ለማግኘት, የመደመርዎቻቸውን እኩልነት መተግበር ያስፈልግዎታል:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

ቀመሩን በመጠቀም ተመሳሳይ ችግሮችን መፍታት የሚችሉት በዚህ መንገድ ነው።

በመጨረሻ

ጽሑፉ የአንድ ክስተት ዕድል ወሳኝ ሚና በሚጫወትበት "የይሆናልነት ቲዎሪ" ርዕስ ላይ መረጃን አቅርቧል. እርግጥ ነው, ሁሉም ነገር ግምት ውስጥ አልገባም, ነገር ግን, በቀረበው ጽሑፍ ላይ በመመስረት, በዚህ የሂሳብ ክፍል እራስዎን በንድፈ ሀሳብ ማወቅ ይችላሉ. በጥያቄ ውስጥ ያለው ሳይንስ በሙያዊ ጉዳዮች ላይ ብቻ ሳይሆን በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥም ጠቃሚ ሊሆን ይችላል. በእሱ እርዳታ የማንኛውንም ክስተት እድል ማስላት ይችላሉ.

ጽሑፉ እንደ ሳይንስ የመሆን ፅንሰ-ሀሳብ ምስረታ ታሪክ ውስጥ ጉልህ ቀኖችን እና ስራቸው በእሱ ላይ መዋዕለ ንዋይ የተደረገባቸውን ሰዎች ስም ጠቅሷል። የሰዎች የማወቅ ጉጉት ሰዎች የዘፈቀደ ክስተቶችን እንኳን ማስላት እንዲማሩ ያደረገው በዚህ መንገድ ነው። በአንድ ወቅት በቀላሉ በዚህ ጉዳይ ላይ ፍላጎት ነበራቸው, ግን ዛሬ ሁሉም ሰው ስለ እሱ አስቀድሞ ያውቃል. እና ማንም ወደፊት ምን እንደሚጠብቀን አይናገርም, ከግምት ውስጥ ካለው ንድፈ ሐሳብ ጋር የተያያዙ ሌሎች ድንቅ ግኝቶች ምን ይሆናሉ. ግን አንድ ነገር እርግጠኛ ነው - ምርምር አሁንም አልቆመም!