ርዕስ፡ የማዕዘን ቢሴክተር ባህርያት። የሶስት ጎንዮሽ ቢሴክተር

በዚህ ትምህርት ውስጥ የነጥቦችን ባህሪያት በዝርዝር እንመለከታለን በማእዘኑ ሁለት ማዕዘን ላይ እና በፔንዲኩላር ቢሴክተር ላይ ወደ አንድ ክፍል የሚቀመጡ ነጥቦች.

ርዕስ፡ ክብ

ትምህርት፡ የማዕዘን ባለ ሁለትዮሽ እና የአንድ ክፍል ቋሚ ባለ ሁለት ክፍል ባህሪያት

በማእዘን ባለ ሁለት ክፍል ላይ የተቀመጠ ነጥብ ባህሪያትን እናስብ (ምሥል 1 ይመልከቱ)።

ሩዝ. 1

አንግል ተሰጥቷል, የእሱ bisector AL ነው, ነጥብ M በ bisector ላይ ይተኛል.

ቲዎሪ፡

ነጥብ M በአንግል ብስክሌቱ ላይ ቢተኛ ፣ ከዚያ ከማዕዘኑ ጎኖቹ እኩል ነው ፣ ማለትም ፣ ከ M እስከ AC እና እስከ BC የማዕዘን ጎኖች ርቀቶች እኩል ናቸው።

ማረጋገጫ፡-

ትሪያንግሎችን አስቡ እና . እነዚህ ትክክለኛ ትሪያንግሎች ናቸው እና እኩል ናቸው ምክንያቱም... AL የማእዘኑ ሁለትዮሽ (bisector) ስለሆነ የጋራ ሃይፖቴነስ ኤኤም አላቸው፣ እና ማዕዘኖቹ እኩል ናቸው። ስለዚህ, ትክክለኛ ትሪያንግሎች በ hypotenuse እና አጣዳፊ ማዕዘን ውስጥ እኩል ናቸው, የሚከተለው ነው, ይህም መረጋገጥ ያለበት ነው. ስለዚህ, በማእዘን ባለ ሁለት ክፍል ላይ ያለው ነጥብ ከዚያ ማዕዘን ጎኖች ጋር እኩል ነው.

የንግግር ጽንሰ-ሐሳብ እውነት ነው.

ነጥቡ ካልተሻሻለው አንግል ጎኖቹ እኩል ርቀት ላይ ከሆነ ፣ እሱ በ bisector ላይ ይተኛል።

ሩዝ. 2

ያልተገነባ አንግል ተሰጥቷል, ነጥብ M, ከእሱ እስከ አንግል ጎኖቹ ያለው ርቀት ተመሳሳይ ነው (ምሥል 2 ይመልከቱ).

ያንን ነጥብ M በማእዘኑ ሁለትዮሽ ላይ እንዳለ ያረጋግጡ።

ማረጋገጫ፡-

ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት የቋሚው ርዝመት ነው. ነጥብ M ከ MK ወደ ጎን AB እና MR ወደ ጎን AC ወደ perpendiculars.

ትሪያንግሎችን አስቡ እና . እነዚህ ትክክለኛ ትሪያንግሎች ናቸው እና እኩል ናቸው ምክንያቱም... አንድ የተለመደ ሃይፖቴነስ AM አላቸው፣ እግሮች MK እና MR በሁኔታዎች እኩል ናቸው። ስለዚህ, የቀኝ ትሪያንግሎች በ hypotenuse እና በእግር ውስጥ እኩል ናቸው. ከሦስት ማዕዘናት እኩልነት ተጓዳኝ አካላት እኩልነት ይከተላል ፣ ስለዚህ, ነጥብ M በተሰጠው አንግል ባለ ሁለት ክፍል ላይ ነው.

ቀጥተኛ እና ተቃራኒ ንድፈ ሐሳቦች ሊጣመሩ ይችላሉ.

ቲዎረም

ያልዳበረ አንግል ባለ ሁለትዮሽ ነጥብ ከተሰጠው አንግል ጎን እኩል ርቀት ያለው የነጥቦች ቦታ ነው።

ቲዎረም

ቢሴክተሮች AA 1, BB 1, СС 1 የሶስት ማዕዘኑ በአንድ ነጥብ O (ምስል 3 ይመልከቱ).

ሩዝ. 3

ማረጋገጫ፡-

በመጀመሪያ ሁለት ቢሴክተሮችን BB 1 እና CC 1 እንይ። እርስ በርስ ይገናኛሉ, የመገናኛ ነጥብ O አለ. ይህንን ለማረጋገጥ, ተቃራኒውን እንውሰድ - ምንም እንኳን እነዚህ ቢሴክተሮች ባይገናኙም, በዚህ ሁኔታ ውስጥ ትይዩ ናቸው. ከዚያ ቀጥታ መስመር BC ሴካንት ነው, እና የማዕዘኖቹ ድምር ይህ በጠቅላላው ትሪያንግል ውስጥ የማእዘኖቹ ድምር የመሆኑን እውነታ ይቃረናል.

ስለዚህ፣ የሁለት ቢሴክተሮች መገናኛ ነጥብ O አለ። ንብረቶቹን እንመልከት፡-

ነጥብ O በማእዘኑ ሁለትዮሽ ላይ ይተኛል፣ ይህም ማለት ከጎኖቹ BA እና BC እኩል ርቀት ላይ ነው። እሺ ከክርስቶስ ልደት በፊት ቀጥ ያለ ከሆነ፣ OL ወደ BA ቀጥ ያለ ነው፣ ከዚያም የእነዚህ ቋሚዎች ርዝመቶች እኩል ናቸው - . እንዲሁም ነጥቡ O በማእዘኑ ሁለትዮሽ ላይ ተኝቷል እና ከጎኖቹ CB እና CA እኩል ርቀት ላይ ይገኛል ፣ ቀጥ ያሉ ኦኤም እና እሺ እኩል ናቸው።

የሚከተሉትን እኩልነቶች አግኝተናል።

ማለትም ከ O ወደ ትሪያንግል ጎኖቹ የሚወርዱ ሦስቱም ቋሚዎች እርስ በእርስ እኩል ናቸው።

የፔንዲኩላር ኦኤል እና ኦኤም እኩልነት ላይ ፍላጎት አለን። ይህ እኩልነት ነጥብ O ከማእዘኑ ጎኖች እኩል ርቀት እንዳለው ይናገራል፣ በመቀጠልም በቢሴክተሩ AA 1 ላይ ይተኛል።

ስለዚህ, የሶስቱም የሶስት ማዕዘን ክፍሎች በአንድ ነጥብ ላይ እንደሚገናኙ አረጋግጠናል.

ወደ ክፍል, perpendicular bisector እና perpendicular bisector ላይ ይተኛል ያለውን ነጥብ ባህሪያት እንመልከት.

AB ክፍል ተሰጥቷል፣ p perpendicular bisector ነው። ይህ ማለት ቀጥተኛ መስመር p በክፍል AB መሃል በኩል ያልፋል እና ወደ እሱ ቀጥ ያለ ነው።

ቲዎረም

ሩዝ. 4

በቋሚው ቢሴክተር ላይ የሚተኛ ማንኛውም ነጥብ ከክፍሉ ጫፎች ጋር እኩል ነው (ምሥል 4 ይመልከቱ)።

ያንን አረጋግጡ

ማረጋገጫ፡-

ትሪያንግሎችን አስቡ እና . እነሱ አራት ማዕዘን እና እኩል ናቸው, ምክንያቱም. አንድ የጋራ እግር OM አላቸው፣ እና እግሮች AO እና OB በሁኔታዎች እኩል ናቸው፣ ስለዚህ፣ በሁለት እግሮች እኩል የሆኑ ሁለት ቀኝ ትሪያንግሎች አሉን። የሶስት ማዕዘኑ hypotenuses እኩል ናቸው ፣ ማለትም ፣ ለመረጋገጥ ምን ያስፈልጋል።

የ AB ክፍል ለብዙ ክበቦች የተለመደ ገመድ መሆኑን ልብ ይበሉ.

ለምሳሌ, ነጥብ M እና ራዲየስ MA እና MB ላይ አንድ ማዕከል ያለው የመጀመሪያው ክበብ; ነጥብ N ላይ መሃል ጋር ሁለተኛ ክበብ, ራዲየስ NA እና NB.

ስለዚህ, አንድ ነጥብ በአንድ ክፍል በቋሚው የቢስሴክተር ላይ ቢተኛ, ከክፍሉ ጫፎች እኩል ርቀት እንዳለው አረጋግጠናል (ምሥል 5 ይመልከቱ).

ሩዝ. 5

የንግግር ጽንሰ-ሐሳብ እውነት ነው.

ቲዎረም

አንድ የተወሰነ ነጥብ M ከአንድ ክፍል ጫፎች ጋር እኩል ከሆነ ፣ ከዚያ ወደዚህ ክፍል በቋሚው ቢሴክተር ላይ ይተኛል።

AB ክፍል ተሰጥቶታል፣ ለእሱ ቋሚ የሆነ ቢሴክተር፣ አንድ ነጥብ M ከክፍሉ ጫፎች እኩል ርቀት ያለው (ምስል 6 ይመልከቱ)።

ያንን ነጥብ M በክፍሉ ቋሚ ባለ ሁለት ክፍል ላይ መሆኑን ያረጋግጡ።

ሩዝ. 6

ማረጋገጫ፡-

ሶስት ማዕዘን አስቡበት. እንደ ሁኔታው ​​ኢሶስሴል ነው. የሶስት ማዕዘኑን መካከለኛ ግምት ውስጥ ያስገቡ፡ ነጥብ O የመሠረቱ AB መካከለኛ ነው፣ OM መካከለኛ ነው። በ isosceles triangle ንብረት መሰረት ወደ መሰረቱ የተሳለው ሚዲያን ከፍታ እና ቢሴክተር ነው። ይህን ተከትሎ ነው። ግን መስመር ፒ ደግሞ ከ AB ጋር ቀጥ ያለ ነው። እኛ ነጥብ O ላይ አንድ ነጠላ perpendicular AB ክፍል ላይ መሳል እንደሚቻል እናውቃለን, ይህም ማለት መስመሮች OM እና p sovpadaet ነው, ከዚያም ነጥቡ M ወደ ቀጥተኛ መስመር p ነው, ይህም እኛ ማረጋገጥ ያስፈልገናል ነገር ነው.

ቀጥተኛ እና ተቃራኒ ንድፈ ሐሳቦች በአጠቃላይ ሊጠቃለሉ ይችላሉ.

ቲዎረም

የአንድ ክፍል ቀጥ ያለ ቢሴክተር ከጫፎቹ እኩል ርቀት ያለው የነጥቦች ቦታ ነው።

ትሪያንግል, እንደምታውቁት, ሶስት ክፍሎችን ያቀፈ ነው, ይህም ማለት ሶስት ቋሚ ብስክሌቶች በውስጡ መሳል ይችላሉ. በአንድ ነጥብ ላይ እርስ በርስ መገናኘታቸው ተገለጠ.

የሶስት ማዕዘኑ ቀጥ ያሉ ብስክሌቶች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ።

ሶስት ማዕዘን ተሰጥቷል. ወደ ጎኖቹ ቋሚዎች፡- P 1 ወደ ጎን BC፣ P 2 ወደ ጎን AC፣ P 3 ወደ ጎን AB (ምስል 7 ይመልከቱ)።

ቋሚዎቹ P 1፣ P 2 እና P 3 በነጥብ O ላይ እንደሚገናኙ ያረጋግጡ።

የአንድ ክፍል መካከለኛ ነጥብ ምን እንደሆነ ታውቃለህ? በእርግጥ ታደርጋላችሁ። ስለ ክበቡ መሃልስ? ተመሳሳይ።

የማዕዘን መካከለኛ ነጥብ ምንድን ነው?

ይህ አይከሰትም ማለት ይችላሉ. ግን ለምን አንድ ክፍል በግማሽ ሊከፋፈል ይችላል ፣ ግን አንግል ግን አይችልም? በጣም ይቻላል - ነጥብ ብቻ ሳይሆን…. መስመር.

ቀልዱን ታስታውሳለህ፡- ቢሴክተር በማእዘኖቹ ዙሪያ የሚሮጥ አይጥ እና ጥጉን ለሁለት የሚከፍል ነው።ስለዚህ የቢሴክተር ትክክለኛ ትርጉም ከዚህ ቀልድ ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው፡-

የሶስት ጎንዮሽ ቢሴክተር- ይህ የሶስት ማዕዘን ማእዘን የቢስክተር ክፍል ሲሆን የዚህን አንግል ጫፍ በተቃራኒው በኩል ካለው ነጥብ ጋር በማገናኘት ነው.

በአንድ ወቅት የጥንት የሥነ ፈለክ ተመራማሪዎች እና የሂሳብ ሊቃውንት የቢሴክተሩን ብዙ አስደሳች ባህሪያት አግኝተዋል. ይህ እውቀት የሰዎችን ሕይወት በእጅጉ አቅልሏል።

ለዚህ የሚረዳው የመጀመሪያው እውቀት...

በነገራችን ላይ እነዚህን ሁሉ ውሎች ታስታውሳለህ? እርስ በርሳቸው እንዴት እንደሚለያዩ ታስታውሳላችሁ? አይ፧ አስፈሪ አይደለም. አሁን እንወቅበት።

• የ isosceles ትሪያንግል መሠረት- ይህ ከሌላው ጋር እኩል ያልሆነ ጎን ነው. ምስሉን ተመልከት፣ የትኛው ወገን ይመስልሃል? ልክ ነው - ይህ ጎን ነው.
• ሚዲያን ከሦስት ማዕዘን ጫፍ ላይ የተወጣ መስመር እና ተቃራኒውን ጎን (እንደገና ያ ነው) በግማሽ የሚከፍል ነው. “የአይሶስሴል ትሪያንግል ሚዲያን” እንዳንል አስተውል ። ለምን እንደሆነ ታውቃለህ፧ ምክንያቱም ከትሪያንግል ጫፍ የተሳለ ሚዲያን በማናቸውም ትሪያንግል ውስጥ በተቃራኒው በኩል ለሁለት ስለሚከፈል።
• ቁመቱ ከላይ እና ቀጥ ብሎ ወደ መሠረቱ የተዘረጋ መስመር ነው። አስተውለሃል? እንደገና እየተነጋገርን ያለነው ስለ ኢሶስሴልስ ብቻ ሳይሆን ስለማንኛውም ትሪያንግል ነው። በማንኛውም ትሪያንግል ውስጥ ያለው ቁመት ሁልጊዜ ከመሠረቱ ጋር ቀጥ ያለ ነው።

ስለዚህ ፣ ታውቃለህ? ማለት ይቻላል።

በተሻለ ሁኔታ ለመረዳት እና ለዘለአለም አንድ ቢሴክተር, መካከለኛ እና ቁመት ምን እንደሆኑ ያስታውሱ, ያስፈልጓቸዋል እርስ በርስ ማወዳደርእና እንዴት እንደሚመሳሰሉ እና እንዴት እርስ በርስ እንደሚለያዩ ይረዱ.

በተመሳሳይ ጊዜ, በተሻለ ሁኔታ ለማስታወስ, ሁሉንም ነገር "በሰው ቋንቋ" መግለጽ ይሻላል.

ከዚያ በቀላሉ በሂሳብ ቋንቋ ይሠራሉ, ነገር ግን መጀመሪያ ላይ ይህን ቋንቋ አይረዱትም እና ሁሉንም ነገር መረዳት ያስፈልግዎታል. በራስህ ቋንቋ።

ታዲያ እንዴት ይመሳሰላሉ?

ቢሴክተሩ ፣ መካከለኛው እና ከፍታው - ሁሉም ከሦስት ማዕዘኑ ጫፍ ላይ “ይወጣሉ” እና በተቃራኒው በኩል ያርፋሉ እና “አንድ ነገር ያደርጋሉ” ወይም ከወጡበት አንግል ወይም ከተቃራኒው ጎን።

ቀላል ይመስለኛል ፣ አይደለም?

እንዴት ይለያሉ?

• ቢሴክተሩ የሚወጣውን አንግል በግማሽ ይከፍላል.
• መካከለኛው ተቃራኒውን ጎን በግማሽ ይከፍላል.
• ቁመቱ ሁልጊዜ ወደ ተቃራኒው ጎን ቀጥ ያለ ነው.

በቃ። ለመረዳት ቀላል ነው። እና አንዴ ከተረዱ, ማስታወስ ይችላሉ.

አሁን የሚቀጥለው ጥያቄ.

ለምን፣ በ isosceles triangle ውስጥ፣ ቢሴክተሩ መካከለኛ እና ከፍታ የሆነው?

ስዕሉን በቀላሉ ማየት እና መካከለኛው ወደ ሁለት ፍፁም እኩል ትሪያንግሎች መከፋፈሉን ማረጋገጥ ይችላሉ።

ይኼው ነው! ነገር ግን የሂሳብ ሊቃውንት ዓይኖቻቸውን ማመን አይወዱም. ሁሉንም ነገር ማረጋገጥ አለባቸው.

የሚያስፈራ ቃል?

እንደዚህ ያለ ነገር የለም - ቀላል ነው! ተመልከት: ሁለቱም እኩል ጎኖች እና በአጠቃላይ አንድ የጋራ ጎን አላቸው እና. (- bisector!) እና ስለዚህ ሁለት ትሪያንግሎች ሁለት እኩል ጎኖች እና በመካከላቸው አንድ ማዕዘን አላቸው.

የመጀመሪያውን የሶስት ማዕዘኖች እኩልነት ምልክት እናስታውሳለን (ካላስታወሱ, ርዕሱን ይመልከቱ) እና ያንን መደምደሚያ, እና ስለዚህ = እና.

ይህ ቀድሞውኑ ጥሩ ነው - ይህ ማለት ሚዲያን ሆነ ማለት ነው።

ግን ምንድን ነው?

ምስሉን እንመልከት - . እና አግኝተናል። ስለዚህ እንዲሁ! በመጨረሻ ፣ ፍጠን! እና.

ይህ ማስረጃ ትንሽ ከባድ ሆኖ አግኝተሃል? ምስሉን ተመልከት - ሁለት ተመሳሳይ ትሪያንግሎች ለራሳቸው ይናገራሉ.

በማንኛውም ሁኔታ ፣ በጥብቅ ያስታውሱ-

አሁን የበለጠ አስቸጋሪ ነው: እንቆጥራለን በማንኛውም ትሪያንግል ውስጥ በቢሴክተሮች መካከል አንግል!አትፍሩ, ያን ያህል አስቸጋሪ አይደለም. ምስሉን ይመልከቱ፥

እንቆጥረው። ያንን ታስታውሳለህ የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ድምር ነው?

ይህን አስደናቂ እውነታ እንተገብረው።

በአንድ በኩል ከ፡-

ያውና።

አሁን እስቲ እንመልከት፡-

ግን ቢሴክተሮች፣ ቢሴክተሮች!

እስቲ እናስታውስ ስለ፡-

አሁን በደብዳቤዎች በኩል

አይገርምም?

እንደሆነ ታወቀ በሁለት ማዕዘኖች መካከል ያለው አንግል በሶስተኛው ማዕዘን ላይ ብቻ ይወሰናል!

ደህና, ሁለት ባለ ሁለት ክፍልፋዮችን ተመለከትን. ሶስት ቢሆኑስ???!! ሁሉም በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ?

ወይስ እንደዚህ ይሆናል?

እንዴት ይመስላችኋል? ስለዚህ የሂሳብ ሊቃውንት አስበው እና አስበው እና አረጋግጠዋል:

በጣም ጥሩ አይደለም?

ይህ ለምን እንደሚከሰት ማወቅ ይፈልጋሉ?

ወደሚቀጥለው ደረጃ ይሂዱ - ስለ ቢሴክተሩ አዲስ የእውቀት ከፍታዎችን ለማሸነፍ ዝግጁ ነዎት!

BISECTOR. አማካይ ደረጃ

ቢሴክተር ምን እንደሆነ ታስታውሳለህ?

ቢሴክተር አንግልን ለሁለት የሚከፍል መስመር ነው።

በችግሩ ውስጥ ባለ ሁለት ክፍል አጋጥሞዎታል? ከሚከተሉት አስደናቂ ንብረቶች ውስጥ አንዱን (ወይም አንዳንድ ጊዜ ብዙ) ለመጠቀም ይሞክሩ።

1. ቢሴክተር በ isosceles triangle.

"ቲዎረም" የሚለውን ቃል አትፈራም? ከፈራህ ከንቱ ነው። የሒሳብ ሊቃውንት ንድፈ ሐሳብን (theorem) ብለው መጥራት ለምደዋል፣ ይህም በሆነ መንገድ ከሌሎች ቀላል መግለጫዎች ሊወሰድ ይችላል።

ስለዚህ, ትኩረት, ቲዎሪ!

እናረጋግጥይህ ጽንሰ-ሐሳብ ፣ ማለትም ፣ ይህ ለምን እንደሚከሰት እንረዳ? isosceles ተመልከት.

በጥንቃቄ እንያቸው። እና ከዚያ እናያለን

1. - አጠቃላይ.

እና ይህ ማለት (የሦስት ማዕዘኖችን እኩልነት የመጀመሪያ ምልክት በፍጥነት አስታውሱ!) ያ ማለት ነው።

እና ምን፧ ይህን ማለት ይፈልጋሉ? እውነታው ግን የሶስተኛውን ጎን እና የእነዚህን የሶስት ማዕዘኖች ቀሪ ማዕዘኖች እስካሁን አልተመለከትንም.

አሁን እንይ። አንዴ፣ ከዚያም በፍጹም፣ እና እንዲያውም በተጨማሪ፣ .

ስለዚህም እንደዚያ ሆነ

1. ጎኑን በግማሽ ተከፍሏል ፣ ማለትም ፣ መካከለኛው ሆነ
2. , ይህም ማለት ሁለቱም ተመሳሳይ ናቸው (በምስሉ ላይ እንደገና ይመልከቱ).

ስለዚህ ቢሴክተር እና ከፍታም ሆነ!

ሆራይ! ቲዎሪውን አረጋግጠናል. ግን ገምት ፣ ያ ብቻ አይደለም። ታማኝም ጭምር የውይይት ጭብጥ፡-

ማረጋገጫ? የምር ፍላጎት አለህ? ቀጣዩን የንድፈ ሃሳብ ደረጃ ያንብቡ!

እና ፍላጎት ከሌለዎት, ከዚያ በጥብቅ አስታውስ:

ለምን ይህን በጥብቅ አስታውስ? ይህ እንዴት ሊረዳ ይችላል? ግን አንድ ተግባር እንዳለህ አስብ፡-

የተሰጠው፡ .

አግኝ፡ .

ወዲያው ተገነዘብክ, bisector እና, እነሆ እና, እሷ ጎን በግማሽ ከፈለች! (በሁኔታ…) ይህ እንደሚከሰት በጥብቅ ካስታወሱ ብቻበ isosceles triangle ውስጥ, ከዚያም አንድ መደምደሚያ ይሳሉ, ይህም ማለት መልሱን ይጽፋሉ. በጣም ጥሩ, ትክክል? እርግጥ ነው, ሁሉም ተግባራት በጣም ቀላል አይደሉም, ግን እውቀት በእርግጠኝነት ይረዳል!

እና አሁን የሚቀጥለው ንብረት። ዝግጁ?

2. የማዕዘን ቢሴክተር ከማዕዘኑ ጎኖቹ እኩል ርቀት ያለው የነጥቦች ቦታ ነው።

ፈራ? በእውነት ትልቅ ጉዳይ አይደለም። ሰነፍ የሂሳብ ሊቃውንት አራቱን በሁለት መስመር ደበቁ። ታዲያ ምን ማለት ነው “ቢሴክተር - ነጥቦች አካባቢ"? ይህ ማለት ወዲያውኑ ይገደላሉ ማለት ነው ሁለትመግለጫዎች፡-

1. አንድ ነጥብ በቢሴክተር ላይ ቢተኛ, ከዚያ ከእሱ እስከ አንግል ጎኖች ያሉት ርቀቶች እኩል ናቸው.
2. በተወሰነ ደረጃ ወደ አንግል ጎኖቹ ርቀቶች እኩል ከሆኑ, ይህ ነጥብ የግድበ bisector ላይ ይተኛል.

በአረፍተ ነገሮች 1 እና 2 መካከል ያለውን ልዩነት አይተሃል? በጣም ካልሆነ ፣ “የበላሁትን አይቻለሁ” እና “ያየሁትን እበላለሁ” ተመሳሳይ ነገር እንደሆኑ ፣ “ከአሊስ ኢን ድንቅላንድ” የመጣውን ሃተር አስታውሱ ።

ስለዚህ መግለጫዎችን 1 እና 2 እና በመቀጠል መግለጫውን ማረጋገጥ አለብን፡- "ቢሴክተር ከማዕዘን ጎኖች እኩል ርቀት ያለው የነጥቦች ቦታ ነው" ይመሰክራል!

ለምን 1 እውነት ነው?

በቢሴክተሩ ላይ ማንኛውንም ነጥብ እንይ እና ይደውሉለት .

ከዚህ ነጥብ ወደ አንግል ጎኖቹ ቀጥ ብለን እንጥል ።

እና አሁን ... የቀኝ ትሪያንግሎች የእኩልነት ምልክቶችን ለማስታወስ ይዘጋጁ! ከረሷቸው, ከዚያም ክፍሉን ይመልከቱ.

ስለዚህ ... ሁለት ትክክለኛ ትሪያንግሎች: እና. አላቸው፥

• አጠቃላይ hypotenuse.
• (ቢሴክተር ስለሆነ!)

ይህ ማለት - በማእዘን እና hypotenuse. ስለዚህ, የእነዚህ ትሪያንግሎች ተጓዳኝ እግሮች እኩል ናቸው! ያውና።

ነጥቡ ከማዕዘን ጎኖቹ እኩል (ወይም እኩል) ርቀት መሆኑን አረጋግጠናል. ነጥብ 1 ተይዟል. አሁን ወደ ነጥብ 2 እንሂድ።

ለምን 2 እውነት ነው?

እና ነጥቦቹን እናገናኛለን እና.

ይህ ማለት በቢሴክተሩ ላይ ይተኛል!

ይኼው ነው!

ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ይህ ሁሉ እንዴት ሊተገበር ይችላል? ለምሳሌ, በችግሮች ውስጥ ብዙውን ጊዜ የሚከተለው ሐረግ አለ: "ክበብ የማዕዘን ጎኖቹን ይነካል ...". ደህና, የሆነ ነገር ማግኘት አለብዎት.

ከዚያ በፍጥነት ያንን ይገነዘባሉ

እና እኩልነትን መጠቀም ይችላሉ.

3. በሶስት ማዕዘን ውስጥ ያሉ ሶስት ብስክሌቶች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ

ከቢሴክተር ንብረት ከአንግል ጎኖች እኩል ርቀት ያለው የነጥቦች ቦታ ለመሆን የሚከተለው መግለጫ ይከተላል።

በትክክል እንዴት ይወጣል? ግን ተመልከት: ሁለት ባለ ሁለት ክፍሎች በእርግጠኝነት ይገናኛሉ, አይደል?

እና ሦስተኛው ቢሴክተር እንደዚህ ሊሄድ ይችላል-

ግን በእውነቱ, ሁሉም ነገር በጣም የተሻለ ነው!

የሁለት ቢሴክተሮች መገናኛ ነጥብን እንመልከት። እንበለው .

እዚህ ሁለቱንም ጊዜ ምን ተጠቀምን? አዎ አንቀጽ 1፣ እርግጥ ነው! አንድ ነጥብ በቢሴክተር ላይ ቢተኛ, ከዚያም ከማእዘኑ ጎኖች እኩል ርቀት ላይ ነው.

እንዲህም ሆነ።

ግን እነዚህን ሁለት እኩልነቶች በጥንቃቄ ይመልከቱ! ከሁሉም በኋላ, ከነሱ ይከተላል እና, ስለዚህ, .

እና አሁን ወደ ጨዋታ ይመጣል ነጥብ 2: ወደ አንግል ጎኖች ያሉት ርቀቶች እኩል ከሆኑ ነጥቡ በቢሴክተሩ ላይ ነው ... ምን አንግል? ምስሉን እንደገና ተመልከት፡-

እና ወደ ማእዘኑ ጎኖቹ ርቀቶች ናቸው, እና እኩል ናቸው, ይህም ማለት ነጥቡ በማእዘኑ ላይ ባለው የቢስክላር ላይ ነው. ሦስተኛው ቢሴክተር በተመሳሳይ ነጥብ አልፏል! ሦስቱም ቢሴክተሮች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ! እና እንደ ተጨማሪ ስጦታ -

ራዲዮ የተቀረጸውክበቦች.

(በእርግጠኝነት, ሌላ ርዕስ ተመልከት).

ደህና፣ አሁን መቼም አትረሳውም፦

የሶስት ማዕዘኑ የቢስክተሮች መገናኛ ነጥብ በእሱ ውስጥ የተቀረጸው የክበብ ማእከል ነው.

ወደሚቀጥለው ንብረት እንሂድ... ዋው፣ ቢሴክተሩ ብዙ ንብረቶች አሉት፣ አይደል? እና ይሄ በጣም ጥሩ ነው, ምክንያቱም ብዙ ንብረቶች, የሁለትዮሽ ችግሮችን ለመፍታት ብዙ መሳሪያዎች.

4. ቢሴክተር እና ትይዩነት, የአጎራባች ማዕዘኖች ቢሴክተሮች

ቢሴክተሩ በአንዳንድ ሁኔታዎች ማዕዘኑን በግማሽ መከፋፈል ሙሉ በሙሉ ያልተጠበቁ ውጤቶች ያስከትላል. ለምሳሌ፣

ጉዳይ 1

በጣም ጥሩ, ትክክል? ይህ ለምን እንደሆነ እንረዳ።

በአንድ በኩል, ቢሴክተር እንሳልለን!

ነገር ግን፣ በሌላ በኩል፣ በአቋራጭ መንገድ የሚዋሹ ማዕዘኖች አሉ (ጭብጡን አስታውስ)።

እና አሁን እንደ ሆነ; መሀል አውጣው:! - isosceles!

ጉዳይ 2

አንድ ሶስት ማዕዘን በዓይነ ሕሊናህ ይታይህ (ወይም ምስሉን ተመልከት)

ከነጥቡ ባሻገር ያለውን ጎን እንቀጥል። አሁን ሁለት ማዕዘኖች አሉን:

• - ውስጣዊ ማዕዘን
• - ውጫዊው ጥግ ውጭ ነው ፣ አይደል?

ስለዚህ, አሁን አንድ ሰው አንድ ሳይሆን ሁለት ቢሴክተሮችን በአንድ ጊዜ ለመሳል ፈልጎ ነበር: ለሁለቱም እና ለ. ምን ይሆናል?

ይሳካለት ይሆን? አራት ማዕዘን!

የሚገርመው, ይህ በትክክል ነው.

እስቲ እንገምተው።

መጠኑ ምን ይመስልሃል?

እርግጥ ነው, - ከሁሉም በኋላ, ሁሉም አንድ ላይ ሆነው እንዲህ ዓይነቱን ማዕዘን ወደ ቀጥታ መስመር ይለውጣሉ.

አሁን ያንን ያስታውሱ እና bisectors ናቸው እና በማእዘኑ ውስጥ በትክክል እንዳለ ይመልከቱ ግማሽከአራቱም ማዕዘናት ድምር: እና - ማለትም, በትክክል. እንዲሁም እንደ ቀመር ሊጽፉት ይችላሉ፡-

ስለዚህ፣ የማይታመን ግን እውነት፡-

የሶስት ማዕዘን ውስጣዊ እና ውጫዊ ማዕዘኖች በቢሴክተሮች መካከል ያለው አንግል እኩል ነው.

ጉዳይ 3

እዚህ ሁሉም ነገር ከውስጣዊ እና ውጫዊ ማዕዘኖች ጋር አንድ አይነት መሆኑን ታያለህ?

ወይም ደግሞ ይህ ለምን እንደሚሆን እንደገና እናስብ?

እንደገና ፣ እንደ አጎራባች ማዕዘኖች ፣

(እንደ ትይዩ መሠረቶች)።

እና እንደገና, እነሱ ይዋቀራሉ በትክክል ግማሽከ ድምር

ማጠቃለያ፡-ችግሩ ቢሴክተሮችን ከያዘ አጎራባችማዕዘኖች ወይም ቢሴክተሮች ተዛማጅትይዩአሎግራም ወይም ትራፔዞይድ ማዕዘኖች, ከዚያም በዚህ ችግር ውስጥ በእርግጠኝነትየቀኝ ትሪያንግል ወይም ምናልባትም ሙሉ አራት ማእዘን ይሳተፋል።

5. ቢሴክተር እና ተቃራኒው ጎን

የሶስት ማዕዘን አንግል ባለ ሁለት ማእዘን ተቃራኒውን ጎን በተወሰነ መንገድ ብቻ ሳይሆን ልዩ እና በጣም አስደሳች በሆነ መንገድ ይከፍላል-

ያውና፥

የሚገርም ሀቅ ነው አይደል?

አሁን ይህንን እውነታ እናረጋግጣለን, ነገር ግን ተዘጋጁ: ከበፊቱ የበለጠ ትንሽ አስቸጋሪ ይሆናል.

እንደገና - ወደ "ቦታ" ውጣ - ተጨማሪ ምስረታ!

ቀጥ ብለን እንሂድ።

ለምንድነው፧ አሁን እናያለን።

ከመስመሩ ጋር እስኪያቋርጥ ድረስ ቢሴክተሩን እንቀጥል።

ይህ የተለመደ ምስል ነው? አዎ ፣ አዎ ፣ አዎ ፣ ልክ እንደ ነጥብ 4 ፣ ጉዳይ 1 - እሱ (- bisector)

አቋራጭ መዋሸት

ስለዚህ, እንዲሁ.

አሁን ሶስት ማዕዘኖቹን እናያለን.

ስለእነሱ ምን ማለት ይችላሉ?

ተመሳሳይ ናቸው። ደህና, አዎ, ማዕዘኖቻቸው እንደ ቋሚዎች እኩል ናቸው. ስለዚህ, በሁለት ማዕዘኖች ውስጥ.

አሁን የሚመለከታቸውን አካላት ግንኙነት የመጻፍ መብት አለን።

እና አሁን በአጭሩ፡-

ኦ! የሆነ ነገር ያስታውሰኛል አይደል? ለማረጋገጥ የፈለግነው ይህ አይደለምን? አዎ ፣ አዎ ፣ በትክክል!

“የጠፈር መራመዱ” ምን ያህል ታላቅ እንደሆነ ታያለህ - ተጨማሪ ቀጥተኛ መስመር ግንባታ - ያለ እሱ ምንም ነገር ባልተፈጠረ ነበር! እና ስለዚህ, ያንን አረጋግጠናል

አሁን በደህና ሊጠቀሙበት ይችላሉ! የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች የቢሴክተሮች አንድ ተጨማሪ ንብረትን እንመልከት - አትደንግጡ, አሁን በጣም አስቸጋሪው ነገር አልፏል - ቀላል ይሆናል.

ያንን እናገኛለን

ቲዎሪ 1፡

ቲዎሪ 2፡

ቲዎሪ 3፡

ቲዎሪ 4፡

ቲዎሪ 5፡

ቲዎሪ 6፡

እንግዲህ ርዕሱ አልቋል። እነዚህን መስመሮች እያነበብክ ከሆነ, በጣም አሪፍ ነህ ማለት ነው.

ምክንያቱም ሰዎች 5% ብቻ አንድን ነገር በራሳቸው መቆጣጠር ይችላሉ. እና እስከ መጨረሻው ካነበቡ, በዚህ 5% ውስጥ ነዎት!

አሁን በጣም አስፈላጊው ነገር.

በዚህ ርዕስ ላይ ያለውን ንድፈ ሐሳብ ተረድተሃል. እና፣ እደግመዋለሁ፣ ይሄ... ይሄ ብቻ የላቀ ነው! እርስዎ ቀድሞውንም ከብዙዎቹ እኩዮችዎ የተሻሉ ነዎት።

ችግሩ ይህ በቂ ላይሆን ይችላል ...

ለምንድነው፧

የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በተሳካ ሁኔታ ለማለፍ፡ በበጀት ኮሌጅ ለመግባት እና ከሁሉም በላይ አስፈላጊ ለህይወት።

ምንም አላሳምንህም፣ አንድ ነገር ብቻ እናገራለሁ...

ጥሩ ትምህርት የተማሩ ሰዎች ካልተማሩት የበለጠ ገቢ ያገኛሉ። ይህ ስታቲስቲክስ ነው።

ግን ይህ ዋናው ነገር አይደለም.

ዋናው ነገር እነሱ የበለጠ ደስተኛ ናቸው (እንዲህ ያሉ ጥናቶች አሉ). ምናልባት ብዙ ተጨማሪ እድሎች በፊታቸው ስለሚከፈቱ እና ህይወት የበለጠ ብሩህ ስለሚሆን? አላውቅም...

ግን ለራስህ አስብ...

በተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ ከሌሎች የተሻሉ ለመሆን እና በመጨረሻም ደስተኛ ለመሆን... የበለጠ ደስተኛ ለመሆን ምን ያስፈልጋል?

በዚህ ርዕስ ላይ ችግሮችን በመፍታት እጅዎን ያግኙ።

በፈተና ወቅት ንድፈ ሃሳብ አይጠየቁም።

ያስፈልግዎታል ችግሮችን በጊዜ መፍታት.

እና, ካልፈታሃቸው (ብዙ!), በእርግጠኝነት የሆነ ቦታ ላይ ሞኝ ስህተት ትሰራለህ ወይም በቀላሉ ጊዜ አይኖርህም.

ልክ እንደ ስፖርት ነው - በእርግጠኝነት ለማሸነፍ ብዙ ጊዜ መድገም ያስፈልግዎታል።

ስብስቡን በፈለጉበት ቦታ ያግኙት፣ የግድ ከመፍትሄዎች ጋር, ዝርዝር ትንታኔእና ይወስኑ ፣ ይወስኑ ፣ ይወስኑ!

ተግባሮቻችንን መጠቀም ይችላሉ (አማራጭ) እና እኛ በእርግጥ እንመክራለን።

ተግባሮቻችንን በተሻለ መንገድ ለመጠቀም፣ አሁን እያነበቡት ያለውን የዩክሌቨር መማሪያ መጽሐፍ እድሜ ለማራዘም መርዳት አለቦት።

እንዴት፧ ሁለት አማራጮች አሉ፡-

1. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ሁሉንም የተደበቁ ተግባራትን ይክፈቱ -
2. በሁሉም 99 የመማሪያ መጣጥፎች ውስጥ የሁሉም የተደበቁ ተግባራት መዳረሻን ይክፈቱ - የመማሪያ መጽሐፍ ይግዙ - 899 RUR

አዎን፣ በመማሪያ መጽሐፋችን ውስጥ 99 እንደዚህ ያሉ ጽሑፎች አሉን እና ሁሉንም ተግባራት ማግኘት እና በውስጣቸው ያሉ ሁሉም የተደበቁ ጽሑፎች ወዲያውኑ ሊከፈቱ ይችላሉ።

የሁሉም የተደበቁ ተግባራት መዳረሻ ለጣቢያው በሙሉ ህይወት ይሰጣል።

በማጠቃለል...

ተግባሮቻችንን ካልወደዱ ሌሎችን ያግኙ። በቲዎሪ ብቻ አታቁሙ።

"ተረድቻለሁ" እና "መፍታት እችላለሁ" ፍጹም የተለያዩ ችሎታዎች ናቸው. ሁለቱንም ያስፈልግዎታል.

ችግሮችን ይፈልጉ እና ይፍቱ!

በዚህ ትምህርት የማዕዘን ቢሴክተር ፅንሰ-ሀሳብን እናስታውሳለን፣ ስለ አንግል ቢሴክተር ባህሪያት ቀጥተኛ እና ተገላቢጦሽ ንድፈ ሃሳቦችን እንቀርፃለን እና እናረጋግጣለን። ስለ ቢሴክተሩ ካሉት እውነታዎች በተጨማሪ ሌሎች የጂኦሜትሪክ እውነታዎችን ተግባራዊ የምናደርግበትን ችግር እንፍታ።

ርዕስ፡ ክብ

ትምህርት: የማዕዘን ቢሴክተር ባህሪያት. ተግባራት

ትሪያንግል የጂኦሜትሪ ሁሉ ማዕከላዊ ምስል ሲሆን እንደ አቶም የማይጠፋ ነው ተብሎ በቀልድ ይነገራል። የእሱ ባህሪያት ብዙ, አስደሳች, አዝናኝ ናቸው. ከእነዚህ ንብረቶች ውስጥ አንዳንዶቹን እንመለከታለን.

ማንኛውም ትሪያንግል በመጀመሪያ ደረጃ, ሶስት ማዕዘኖች እና ሶስት ክፍሎች (ምስል 1 ይመልከቱ).

ሩዝ. 1

ከቬርቴክ A እና ከጎን B እና C - አንግል ያለው አንግል አስቡበት።

በማንኛውም ማዕዘን, የሶስት ማዕዘን ማዕዘንን ጨምሮ, ቢሴክተር መሳል ይችላሉ - ማለትም, ማዕዘኑን በግማሽ የሚከፍል ቀጥተኛ መስመር (ምስል 2 ይመልከቱ).

ሩዝ. 2

በማእዘን ባለ ሁለት ክፍል ላይ የተቀመጠ ነጥብ ባህሪያትን እናስብ (ምሥል 3 ይመልከቱ)።

ነጥቡን M በማእዘኑ ሁለትዮሽ ላይ ተኝቶ ይመልከቱ።

ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት ከዚህ ነጥብ ወደ መስመር የተዘረጋው ቀጥተኛ ርዝመት መሆኑን አስታውስ.

ሩዝ. 3

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, በቢስክሌት ላይ የማይተኛ ነጥብ ከወሰድን, ከዚያ ከዚህ ነጥብ እስከ አንግል ጎኖች ያሉት ርቀቶች የተለያዩ ይሆናሉ. ከ M ነጥብ እስከ አንግል ጎኖች ያለው ርቀት ተመሳሳይ ነው.

ቲዎረም

እያንዳንዱ ያልዳበረ አንግል የቢሴክተር ነጥብ ከማዕዘኑ ጎኖቹ ጋር እኩል ነው ፣ ማለትም ፣ ከ M እስከ AC እና እስከ BC የማዕዘን ጎኖች ርቀቶች እኩል ናቸው።

አንግል ተሰጥቷል, የእሱ ቢሴክተር AL ነው, ነጥብ M በ bisector ላይ ይተኛል (ምሥል 4 ይመልከቱ).

መሆኑን አረጋግጡ።

ሩዝ. 4

ማረጋገጫ፡-

ትሪያንግሎችን አስቡ እና . እነዚህ ትክክለኛ ትሪያንግሎች ናቸው, እና እኩል ናቸው, ምክንያቱም የጋራ hypotenuse AM ስላላቸው እና ማዕዘኖቹ እኩል ናቸው, AL የማዕዘን ባለ ሁለት ክፍል ነው. ስለዚህ, የቀኝ ትሪያንግሎች በ hypotenuse እና አጣዳፊ ማዕዘን ውስጥ እኩል ናቸው, የሚከተለው ነው, ይህም መረጋገጥ ያለበት ነው. ስለዚህ, በማእዘን ባለ ሁለት ክፍል ላይ ያለው ነጥብ ከዚያ ማዕዘን ጎኖች እኩል ነው.

የንግግር ጽንሰ-ሐሳብ እውነት ነው.

ቲዎረም

ነጥቡ ካልተሻሻለው አንግል ጎኖቹ እኩል ርቀት ላይ ከሆነ ፣ እሱ በ bisector ላይ ይተኛል።

ያልተገነባ አንግል ተሰጥቷል, ነጥብ M, ከእሱ እስከ አንግል ጎኖቹ ያለው ርቀት ተመሳሳይ ነው.

ያንን ነጥብ M በማእዘኑ ሁለትዮሽ ላይ እንዳለ ያረጋግጡ (ምሥል 5 ይመልከቱ)።

ሩዝ. 5

ማረጋገጫ፡-

ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት የቋሚው ርዝመት ነው. ነጥብ M ከ MK ወደ ጎን AB እና MR ወደ ጎን AC ወደ perpendiculars.

ትሪያንግሎችን አስቡ እና . እነዚህ ትክክለኛ ትሪያንግሎች ናቸው, እና እኩል ናቸው, ምክንያቱም የጋራ hypotenuse AM ስላላቸው, እግሮች MK እና MR በሁኔታዎች እኩል ናቸው. ስለዚህ, የቀኝ ትሪያንግሎች በ hypotenuse እና በእግር ውስጥ እኩል ናቸው. ከሦስት ማዕዘናት እኩልነት ተጓዳኝ አካላት እኩልነት ይከተላል ፣ ስለዚህ, ነጥብ M በተሰጠው አንግል ባለ ሁለት ክፍል ላይ ነው.

አንዳንድ ጊዜ ቀጥተኛ እና ተቃራኒ ንድፈ ሐሳቦች እንደሚከተለው ይጣመራሉ.

ቲዎረም

በዚህ አንግል ባለ ሁለት ክፍል ላይ የሚተኛ ከሆነ አንድ ነጥብ ከአንግል ጎኖቹ እኩል ነው።

ከተለያዩ ችግሮች ውስጥ የቢሴክተር ነጥቦችን ከአንግል ጎኖች እኩልነት በስፋት ጥቅም ላይ ይውላል.

ችግር ቁጥር ፮፻፹፬ከአታናስያን የመማሪያ መጽሐፍ፣ ጂኦሜትሪ፣ 7-9ኛ ክፍል፡

ላልተገነባ አንግል የቢስክተር ነጥብ M ፣ ቀጥ ያሉ ኤምኤ እና ሜባ ወደዚህ አንግል ጎኖች ይሳላሉ (ምሥል 6 ይመልከቱ)። መሆኑን አረጋግጡ።

የተሰጠው: አንግል, bisector OM, perpendiculars MA እና MB ወደ አንግል ጎኖች.

ሩዝ. 6

ያንን አረጋግጥ፡-

ማረጋገጫ፡-

እንደ ቀጥታ ንድፈ ሃሳብ, ነጥብ M ከማዕዘኑ ጎኖች እኩል ነው, ምክንያቱም በሁኔታው በቢሴክተሩ ላይ ስለሚተኛ. .

የቀኝ ሶስት ማዕዘኖችን አስቡ እና (ምሥል 7 ይመልከቱ). ቀደም ሲል እንዳረጋገጥነው አንድ የተለመደ hypotenuse OM አላቸው, እግሮች MA እና MB እኩል ናቸው. ስለዚህ, ሁለት አራት ማዕዘን

ሩዝ. 7

ትሪያንግሎች በእግር እና በ hypotenuse እኩል ናቸው. ከሶስት ማዕዘኖች እኩልነት የእነሱ ተጓዳኝ ንጥረ ነገሮች እኩልነት ይከተላል, ስለዚህም የማዕዘን እኩልነት እና የሌሎች እግሮች እኩልነት.

ከእግሮች እኩልነት OA እና OB የሚከተለው ትሪያንግል ኢሶሴሌስ ነው ፣ እና AB የእሱ መሠረት ነው። ቀጥተኛ መስመር OM የሶስት ማዕዘን ባለ ሁለትዮሽ ነው. በ isosceles triangle ንብረት መሰረት, ይህ ቢሴክተርም ከፍታ ነው, ይህም ማለት መስመሮች OM እና AB በትክክለኛ ማዕዘኖች ይገናኛሉ, ይህም ማረጋገጥ የሚያስፈልገው ነው.

ስለዚህ፣ በማእዘን ባለ ሁለት ክፍል ላይ ስለሚተኛ ነጥብ ቀጥተኛ እና ተቃራኒ ንድፈ ሃሳቦችን መርምረናል፣ ጠቅለል አድርገን እና ይህንን ቲዎሬም ጨምሮ የተለያዩ የጂኦሜትሪክ እውነታዎችን በመጠቀም ችግሩን ፈታን።

መጽሃፍ ቅዱስ

1. አሌክሳንድሮቭ ኤ.ዲ. እና ሌሎች ጂኦሜትሪ, 8 ኛ ክፍል. - ኤም.: ትምህርት, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. ጂኦሜትሪ ፣ 8 ኛ ክፍል። - ኤም.: ትምህርት, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. ጂኦሜትሪ ፣ 8 ኛ ክፍል። - ኤም.: ቬንታና-ግራፍ, 2009.

1. Bymath.net ()
2. Oldskola1.narod.ru ().

የቤት ስራ

1. አታናስያን ኤል.ኤስ., ቡቱዞቭ ቪ.ኤፍ., ካዶምትሴቭ ኤስ.ቢ. እና ሌሎች ጂኦሜትሪ, 7-9, ቁጥር 676-678, Art. 180.

የሶስት ጎንዮሽ ቢሴክተር - የሶስት ማዕዘኑ የቢስሴክተር ክፍል ፣ በሦስት ማዕዘኑ ወርድ እና ከእሱ ተቃራኒው ጎን መካከል ተዘግቷል።

የቢስክሌት ባህሪያት

1. የሶስት ማዕዘኑ ቢሴክተር ማዕዘኑን ለሁለት ይከፍታል።

2. የሶስት ማዕዘን አንግል ባለ ሁለት ጎን ከሁለቱ ተያያዥ ጎኖች ጥምርታ ጋር እኩል በሆነ ሬሾ ውስጥ ተቃራኒውን ጎን ይከፍላል ()

3. የሶስት ማዕዘን ማዕዘን የቢሴክተር ነጥቦች ከዚያ አንግል ጎኖች ጋር እኩል ናቸው.

4. የሶስት ማዕዘን ውስጣዊ ማዕዘኖች ብስክሌቶች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ - በዚህ ሶስት ማዕዘን ውስጥ የተቀረጸው የክበብ መሃል.

ከሶስት ማዕዘን ባለ ሁለት ክፍል ጋር የሚዛመዱ አንዳንድ ቀመሮች

(የቀመር ማረጋገጫ -)
፣ የት
- በጎን በኩል የተዘረጋው የቢስክሌት ርዝመት;
- ከጫፎቹ ተቃራኒ የሶስት ማዕዘን ጎኖች ፣ በቅደም ተከተል ፣
- ቢሴክተሩ በጎን በኩል የሚከፋፍልባቸው ክፍሎች ርዝማኔ;

እንድትመለከቱ እጋብዛችኋለሁ የቪዲዮ አጋዥ ስልጠና, ይህም ከላይ የተጠቀሱትን የቢስሴክተሮች ባህሪያት በሙሉ መተግበሩን ያሳያል.

በቪዲዮው ውስጥ የተሸፈኑ ተግባራት፡-
1. በሶስት ማዕዘን ኤቢሲ ከጎኖቹ AB = 2 ሴ.ሜ, BC = 3 ሴ.ሜ, AC = 3 ሴ.ሜ, የቢሴክተር ቪኤም ይሳባል. የ AM እና MC ክፍሎችን ርዝማኔ ያግኙ
2. የውስጠኛው አንግል በቬርቴክስ ሀ ላይ ያለው ቢሴክተር እና የሶስት ማዕዘኑ ABC በቬርቴክስ C ላይ ያለው ባለ ሁለት ማእዘን ነጥብ M ላይ ይገናኛሉ ። አንግል B 40 ዲግሪ ከሆነ ፣ አንግል ሐ 80 ዲግሪ ነው ።
3. ከ 1 ጋር እኩል የሆኑ የካሬ ሴሎችን ጎኖች ግምት ውስጥ በማስገባት በሶስት ማዕዘን ውስጥ የተቀረጸውን የክበብ ራዲየስ ያግኙ.

እንዲሁም ከቢሴክተሩ ባህሪያት ውስጥ አንዱ የሚተገበርበት አጭር የቪዲዮ አጋዥ ስልጠና ሊፈልጉ ይችላሉ።

ዛሬ በጣም ቀላል ትምህርት ይሆናል. አንድ ነገር ብቻ እንመለከታለን - የማዕዘን ቢሴክተር - እና በጣም አስፈላጊ የሆነውን ንብረቱን እናረጋግጣለን, ይህም ለወደፊቱ በጣም ጠቃሚ ይሆናል.

ዝም ብለህ አትዝናና፡ አንዳንድ ጊዜ በተመሳሳዩ የተዋሃደ የስቴት ፈተና ወይም የተዋሃደ ስቴት ፈተና ከፍተኛ ነጥብ ለማግኘት የሚፈልጉ ተማሪዎች በመጀመሪያው ትምህርት የሁለትዮሽ ፍቺን በትክክል ማዘጋጀት አይችሉም።

እና በጣም አስደሳች ስራዎችን ከማድረግ ይልቅ በእንደዚህ አይነት ቀላል ነገሮች ላይ ጊዜን እናጠፋለን. ስለዚህ አንብብ፣ ተመልከተው እና ተጠቀምበት :)

ለመጀመር, ትንሽ እንግዳ ጥያቄ: አንግል ምንድን ነው? ልክ ነው፡ አንግል በቀላሉ ከአንድ ነጥብ የሚወጡ ሁለት ጨረሮች ነው። ለምሳሌ፥

የማእዘኖች ምሳሌዎች፡ አጣዳፊ፣ ግልጽ ያልሆነ እና ቀኝ

በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው ማዕዘኖች አጣዳፊ ፣ ግልጽ ያልሆኑ ፣ ቀጥ ያሉ ሊሆኑ ይችላሉ - አሁን ምንም አይደለም ። ብዙውን ጊዜ, ለመመቻቸት, በእያንዳንዱ ጨረሮች ላይ አንድ ተጨማሪ ነጥብ ምልክት ይደረግበታል እና ከፊት ለፊታችን $ AOB$ (በ $\angle AOB$ የተጻፈ) አንግል ነው ይላሉ.

ካፒቴን ግልጽነት ከ$OA$ እና $OB$ ጨረሮች በተጨማሪ ሁልጊዜ ከ$O$ ብዙ ጨረሮችን መሳል እንደሚቻል የሚጠቁም ይመስላል። ነገር ግን ከነሱ መካከል አንድ ልዩ ይሆናል - እሱ ቢሴክተር ይባላል.

ፍቺ የማዕዘን ቢሴክተር ከዛ አንግል ጫፍ የሚወጣና አንግልውን በሁለት የሚከፍል ጨረሮች ነው።

ከላይ ላሉት ማዕዘኖች፣ ቢሴክተሮች ይህን ይመስላል።

ለአጣዳፊ፣ ግልጽ ያልሆነ እና የቀኝ ማዕዘኖች የቢሴክተሮች ምሳሌዎች

በእውነተኛ ስዕሎች ውስጥ አንድ የተወሰነ ጨረር (በእኛ ሁኔታ $ OM$ ሬይ ነው) የመጀመሪያውን አንግል ለሁለት እኩል እንደሚከፍለው ሁል ጊዜ ግልፅ ስላልሆነ ፣ በጂኦሜትሪ ውስጥ እኩል ማዕዘኖችን በተመሳሳይ የአርኮች ብዛት ምልክት ማድረግ የተለመደ ነው። በእኛ ስእል ውስጥ ይህ 1 ቅስት ለአጣዳፊ አንግል ፣ ሁለት ለ obtuse ፣ ሶስት ለቀጥታ) ነው።

እሺ፣ ፍቺውን አስተካክለናል። አሁን ቢሴክተሩ ምን ዓይነት ንብረቶች እንዳሉት መረዳት ያስፈልግዎታል.

የማዕዘን ቢሴክተር ዋና ንብረት

እንደ እውነቱ ከሆነ, ቢሴክተሩ ብዙ ንብረቶች አሉት. እና በሚቀጥለው ትምህርት በእርግጠኝነት እንመለከታቸዋለን. ግን አሁን ሊረዱት የሚገባ አንድ ብልሃት አለ፡-

ቲዎረም. የማዕዘን ቢሴክተር ከተሰጠው አንግል ጎኖች እኩል ርቀት ያለው የነጥቦች ቦታ ነው።

ከሂሳብ ወደ ሩሲያኛ ሲተረጎም ይህ በአንድ ጊዜ ሁለት እውነታዎች ማለት ነው-

1. በአንድ የተወሰነ ማዕዘን ላይ ባለው ቢሴክተር ላይ የሚተኛ ማንኛውም ነጥብ ከዚህ አንግል ጎኖች ተመሳሳይ ርቀት ላይ ነው.
2. እና በተገላቢጦሽ: አንድ ነጥብ ከተሰጠው ማዕዘን ጎን በተመሳሳይ ርቀት ላይ ቢተኛ, በዚህ አንግል ባለ ሁለት ክፍል ላይ መዋሸት የተረጋገጠ ነው.

እነዚህን መግለጫዎች ከማረጋገጡ በፊት አንድ ነጥብ እናብራራለን-ከአንድ ነጥብ እስከ አንግል ጎን ያለው ርቀት ምን ይባላል? እዚህ ከነጥብ እስከ መስመር ያለው ርቀት ጥሩ አሮጌ ውሳኔ ይረዳናል፡

ፍቺ ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት ከተጠቀሰው ነጥብ ወደዚህ መስመር የተዘረጋው ቀጥ ያለ ርዝመት ነው.

ለምሳሌ፣ በዚህ መስመር ላይ የማይዋሸውን $l$ እና ነጥብ $A$ን አስቡበት። ቀጥ አድርገን ወደ $AH$ እንሳል፣ እዚያም $H በ l$። ከዚያ የዚህ ቀጥተኛ ርዝመት ከ $ A$ ወደ ቀጥታ መስመር $ l$ ያለው ርቀት ይሆናል.

ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት ግራፊክ ውክልና

አንግል በቀላሉ ሁለት ጨረሮች ስለሆነ እና እያንዳንዱ ጨረሮች የቀጥታ መስመር ቁራጭ ስለሆኑ ከአንድ ነጥብ እስከ አንግል ጎኖቹ ያለውን ርቀት ለማወቅ ቀላል ነው። እነዚህ ሁለት ቋሚዎች ብቻ ናቸው፡-

ከነጥቡ እስከ አንግል ጎኖቹ ድረስ ያለውን ርቀት ይወስኑ

ይኼው ነው! አሁን ርቀት ምን እንደሆነ እና ቢሴክተር ምን እንደሆነ እናውቃለን. ስለዚህ, ዋናውን ንብረት ማረጋገጥ እንችላለን.

ቃል በገባነው መሰረት ማስረጃውን በሁለት ክፍሎች እንከፍላለን፡-

1. በቢሴክተሩ ላይ ካለው ነጥብ አንስቶ እስከ አንግል ጎኖቹ ድረስ ያለው ርቀት ተመሳሳይ ነው

የዘፈቀደ አንግል ከወርድ $O$ እና ባለሁለት $OM$ ጋር አስቡበት፡

ይህ ነጥብ $M$ ከማዕዘን ጎኖቹ ተመሳሳይ ርቀት ላይ መሆኑን እናረጋግጥ።

ማረጋገጫ። ከ $ M$ ነጥብ ወደ አንግል ጎኖቹ ቀጥ ያሉ ቅርጾችን እንሳል። $M((H)__(1))$ እና $M((H)__(2))$ ብለን እንጥራቸዋለን።

ወደ አንግል ጎኖቹ ቀጥ ያሉ ቅርጾችን ይሳሉ

ሁለት ትክክለኛ ትሪያንግል አግኝተናል፡$\vartriangle OM((H)__(1))$ እና $\vartriangle OM((H)__(2))$. የጋራ ሃይፖቴኑዝ $OM$ እና እኩል ማዕዘኖች አሏቸው፡-

1. $\ አንግል MO ((H) _(1))=\ማዕዘን MO((H)__(2))$ በሁኔታ ($ OM$ bisector ስለሆነ);
2. $\angle M ((H)_(1))O=\angle M((H)__(2))O=90()^\circ $ በግንባታ;
3. $\ማዕዘን OM((H)__(1))=\ማዕዘን OM((H)__(2))=90()^\circ -\ አንግል MO((H)__(1))$ ፣ከ ድምር የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ ማዕዘኖች ሁል ጊዜ 90 ዲግሪዎች ናቸው።

በዚህ ምክንያት ትሪያንግሎቹ በጎን እና ሁለት ተያያዥ ማዕዘኖች እኩል ናቸው (የሶስት ማዕዘኖች እኩልነት ምልክቶችን ይመልከቱ)። ስለዚህ፣ በተለይ፣ $M((H)__(2))=M((H)__(1))$፣ i.e. ከ $O$ እስከ አንግል ጎኖች ያሉት ርቀቶች በእርግጥ እኩል ናቸው። Q.E.D.:)

2. ርቀቶቹ እኩል ከሆኑ, ነጥቡ በቢሴክተሩ ላይ ነው

አሁን ሁኔታው ​​ተቀይሯል። ከዚህ አንግል ጎን $O$ አንግል እና ነጥብ $M$ እኩል ይስጥ፡

ጨረሩ $OM$ ባለ ሁለትዮሽ መሆኑን እናረጋግጥ፣ i.e. $\ማዕዘን MO((H)__(1))=\ማዕዘን MO((H)__(2))$.

ማረጋገጫ። በመጀመሪያ፣ ይህን በጣም ጨረራ $OM$ እንሳበው፣ አለበለዚያ ምንም የሚያረጋግጥ ነገር አይኖርም፡-

በማዕዘኑ ውስጥ የ$OM$ ጨረር ተካሂዷል

እንደገና ሁለት ትክክለኛ ትሪያንግሎች እናገኛለን: $\vartriangle OM((H)__(1))$ እና $\vartriangle OM((H)__(2))$. በግልጽ እኩል ናቸው ምክንያቱም:

1. Hypotenuse $ OM$ - አጠቃላይ;
2. እግሮች $M ((H) __(1)=M((H)__(2))$ በሁኔታ (ከሁሉም በላይ፣ ነጥቡ $M$ ከማዕዘኑ ጎኖቹ እኩል ነው)።
3. የተቀሩት እግሮችም እኩል ናቸው, ምክንያቱም በፓይታጎሪያዊ ቲዎሬም $ OH_ (1) ^ (2) = OH_ (2) ^ (2) = ኦ ((ኤም) ^ (2))-MH_(1) ^ (2) $.

ስለዚህ ትሪያንግል $\vartriangle OM((H)__(1))$ እና $\vartriangle OM((H)_(2))$ በሶስት ጎን። በተለይም ማዕዘኖቻቸው እኩል ናቸው-$\angle MO((H)__(1))=\ማዕዘን MO((H)__(2))$. እና ይሄ ማለት $OM$ ባለ ሁለትዮሽ ነው ማለት ነው።

ማስረጃውን ለመደምደም፣ የተገኙትን እኩል ማዕዘኖች በቀይ ቅስቶች ምልክት እናደርጋለን፡-

ቢሴክተሩ $\ አንግል ((H)__(1))O((H)__(2))$ን ወደ ሁለት እኩል ይከፍላል

እንደሚመለከቱት, ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም. የማዕዘን ባለሁለት ነጥብ ከዚህ አንግል ጎን እኩል ርቀት ያለው ቦታ መሆኑን አረጋግጠናል :)

አሁን ብዙ ወይም ባነሰ የቃላት አጠቃቀም ላይ ወስነናል፣ ወደሚቀጥለው ደረጃ የምንሸጋገርበት ጊዜ ነው። በሚቀጥለው ትምህርት የቢሴክተሩን የበለጠ ውስብስብ ባህሪያት እንመለከታለን እና እውነተኛ ችግሮችን ለመፍታት እንዴት እንደሚተገበሩ እንማራለን.