የሂሳብ እድገቶች መጨመር. የአርቲሜቲክ እድገት ውሎች ድምር

ትኩረት!
ተጨማሪዎች አሉ።
ቁሳቁሶች በልዩ ክፍል 555.
በጣም "በጣም አይደለም..." ላልሆኑ.
እና “በጣም…” ለሚሉት)

የሂሳብ ግስጋሴ እያንዳንዱ ቁጥር ከቀዳሚው ተመሳሳይ መጠን የሚበልጥ (ወይም ያነሰ) ተከታታይ ቁጥሮች ነው።

ይህ ርዕስ ብዙውን ጊዜ ውስብስብ እና ለመረዳት የማይቻል ይመስላል. የፊደሎቹ ኢንዴክሶች፣ የዕድገቱ n ኛ ቃል፣ የሂደቱ ልዩነት - ይህ ሁሉ በሆነ መንገድ ግራ የሚያጋባ ነው፣ አዎ... የሒሳብ ግስጋሴውን ትርጉም እንወቅ እና ሁሉም ነገር ወዲያውኑ የተሻለ ይሆናል።)

የሂሳብ እድገት ጽንሰ-ሀሳብ።

የአሪቲሜቲክ እድገት በጣም ቀላል እና ግልጽ ጽንሰ-ሐሳብ ነው. ጥርጣሬ አለህ? በከንቱ.) ለራስዎ ይመልከቱ.

ያልተጠናቀቁ ተከታታይ ቁጥሮች እጽፋለሁ፡-

1, 2, 3, 4, 5, ...

ይህን ተከታታይ ማራዘም ትችላለህ? ከአምስቱ በኋላ ምን ቁጥሮች ይመጣሉ? ሁሉም ሰው... እ...፣ ባጭሩ 6፣ 7፣ 8፣ 9፣ ወዘተ ቁጥሮች ቀጥሎ እንደሚመጡ ሁሉም ሰው ይገነዘባል።

ስራውን እናወሳስበው። ያልተጠናቀቁ ተከታታይ ቁጥሮች እሰጥዎታለሁ፡-

2, 5, 8, 11, 14, ...

ስርዓተ ጥለቱን ለመያዝ፣ ተከታታዩን ማራዘም እና ስም መስጠት ይችላሉ። ሰባተኛየረድፍ ቁጥር?

ይህ ቁጥር 20 መሆኑን ከተረዱ, እንኳን ደስ አለዎት! የተሰማዎት ብቻ አይደለም። የሂሳብ እድገት ቁልፍ ነጥቦች ፣ነገር ግን በተሳካ ሁኔታ በንግድ ስራ ውስጥ ተጠቀመባቸው! ካላወቁት ያንብቡት።

አሁን ቁልፍ ነጥቦቹን ከስሜቶች ወደ ሂሳብ እንተርጉማቸው።)

የመጀመሪያው ቁልፍ ነጥብ.

የአሪቲሜቲክ እድገት ተከታታይ ቁጥሮችን ይመለከታል።ይህ በመጀመሪያ ግራ የሚያጋባ ነው። እኩልታዎችን ለመፍታት, ግራፎችን እና ሁሉንም ነገር ለመፍታት እንለማመዳለን ... ግን እዚህ ተከታታዩን እናራዝማለን, የተከታታዩን ቁጥር ይፈልጉ ...

እሺ ይሁን. ግስጋሴዎች ከአዲስ የሂሳብ ቅርንጫፍ ጋር ለመጀመሪያ ጊዜ የሚያውቁት ብቻ ነው. ክፍሉ "ተከታታይ" ተብሎ የሚጠራ ሲሆን በተለይም በተከታታይ ቁጥሮች እና መግለጫዎች ይሰራል. ተለማመዱ።)

ሁለተኛ ቁልፍ ነጥብ.

በሂሳብ ግስጋሴ፣ ማንኛውም ቁጥር ከቀዳሚው የተለየ ነው። በተመሳሳይ መጠን.

በመጀመሪያው ምሳሌ, ይህ ልዩነት አንድ ነው. ምንም አይነት ቁጥር ቢወስዱ, ከቀዳሚው አንድ ይበልጣል. በሁለተኛው - ሶስት. ማንኛውም ቁጥር ከቀዳሚው በሦስት ይበልጣል። በእውነቱ፣ ስርዓተ-ጥለትን እንድንረዳ እና ተከታይ ቁጥሮችን ለማስላት እድሉን የሚሰጠን ይህ ጊዜ ነው።

ሦስተኛው ቁልፍ ነጥብ.

ይህ ጊዜ አስደናቂ አይደለም, አዎ ... ግን በጣም በጣም አስፈላጊ ነው. እነሆ እሱ፡- እያንዳንዱ የእድገት ቁጥር በእሱ ቦታ ላይ ነው.የመጀመሪያው ቁጥር አለ, ሰባተኛው አለ, አርባ አምስተኛው, ወዘተ. በዘፈቀደ ካዋሃዷቸው, ንድፉ ይጠፋል. አርቲሜቲክ እድገትም ይጠፋል። የቀረው ተከታታይ ቁጥሮች ብቻ ነው።

ዋናው ነጥብ ይሄ ነው።

በእርግጥ አዲስ ውሎች እና ስያሜዎች በአዲስ ርዕስ ውስጥ ይታያሉ። እነሱን ልታውቃቸው ይገባል። አለበለዚያ ተግባሩን አይረዱትም. ለምሳሌ፣ እንደ አንድ ነገር መወሰን አለብህ፡-

የመጀመሪያዎቹን ስድስት የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት (a n) 2 = 5፣ d = -2.5 ከሆነ ይጻፉ።

የሚያነሳሳ?) ደብዳቤዎች, አንዳንድ ኢንዴክሶች ... እና ተግባሩ, በነገራችን ላይ, ቀላል ሊሆን አይችልም. የቃላቶቹን እና ስያሜዎችን ትርጉም ብቻ መረዳት ያስፈልግዎታል። አሁን ይህንን ጉዳይ እንቆጣጠራለን እና ወደ ሥራው እንመለሳለን.

ውሎች እና ስያሜዎች.

አርቲሜቲክ እድገትእያንዳንዱ ቁጥር ከቀዳሚው የተለየበት ተከታታይ ቁጥሮች ነው። በተመሳሳይ መጠን.

ይህ መጠን ይባላል . ይህንን ጽንሰ-ሐሳብ በበለጠ ዝርዝር እንመልከት.

የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነት.

የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነትየትኛውም የእድገት ቁጥር ነው ተጨማሪቀዳሚ።

አንድ አስፈላጊ ነጥብ. እባክዎን ለቃሉ ትኩረት ይስጡ "ተጨማሪ".በሂሳብ ፣ ይህ ማለት እያንዳንዱ የእድገት ቁጥር ነው። በማከልወደ ቀዳሚው ቁጥር የሂሳብ እድገት ልዩነት።

ለማስላት, እንበል ሁለተኛየተከታታዩ ቁጥሮች, ያስፈልግዎታል አንደኛቁጥር ጨምርይህ በጣም የሂሳብ እድገት ልዩነት። ለማስላት አምስተኛ- ልዩነቱ አስፈላጊ ነው ጨምርለ አራተኛ,ደህና, ወዘተ.

የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነትምን አልባት አዎንታዊ ፣ከዚያ በተከታታይ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቁጥር እውነተኛ ይሆናል። ከቀዳሚው የበለጠ.ይህ እድገት ይባላል እየጨመረ ነው።ለምሳሌ:

8; 13; 18; 23; 28; .....

እዚህ እያንዳንዱ ቁጥር ተገኝቷል በማከልአዎንታዊ ቁጥር፣ +5 ወደ ቀዳሚው።

ልዩነቱ ሊሆን ይችላል። አሉታዊ,ከዚያም በተከታታይ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቁጥር ይሆናል ከቀዳሚው ያነሰ.ይህ እድገት ይባላል (አያምኑም!) እየቀነሰ ነው።

ለምሳሌ:

8; 3; -2; -7; -12; .....

እዚህ እያንዳንዱ ቁጥር እንዲሁ ተገኝቷል በማከልወደ ቀዳሚው, ግን ቀድሞውኑ አሉታዊ ቁጥር, -5.

በነገራችን ላይ ከእድገት ጋር ሲሰራ, ተፈጥሮውን ወዲያውኑ ለመወሰን በጣም ጠቃሚ ነው - እየጨመረ ወይም እየቀነሰ ይሄዳል. ይህ ውሳኔውን ለማሰስ፣ ስህተቶችዎን ለመለየት እና ጊዜው ከማለፉ በፊት ለማስተካከል በጣም ይረዳል።

የአሪቲሜቲክ እድገት ልዩነትብዙውን ጊዜ በደብዳቤው ይገለጻል መ.

እንዴት ማግኘት እንደሚቻል መ? በጣም ቀላል። በተከታታዩ ውስጥ ከማንኛውም ቁጥር መቀነስ አስፈላጊ ነው ቀዳሚቁጥር መቀነስ። በነገራችን ላይ የመቀነሱ ውጤት "ልዩነት" ይባላል.)

ለምሳሌ እንገልፃለን። መየሂሳብ እድገትን ለመጨመር;

2, 5, 8, 11, 14, ...

በፈለግነው ተከታታይ ውስጥ ማንኛውንም ቁጥር እንወስዳለን, ለምሳሌ, 11. ከእሱ እንቀንሳለን የቀድሞ ቁጥርእነዚያ። 8፡

ትክክለኛው መልስ ይህ ነው። ለዚህ የሂሳብ እድገት, ልዩነቱ ሶስት ነው.

ሊወስዱት ይችላሉ ማንኛውም የእድገት ቁጥር,ምክንያቱም ለአንድ የተወሰነ እድገት መ -ሁሌም አንድ አይነት ነው።ቢያንስ ቢያንስ አንድ ቦታ በረድፍ መጀመሪያ ላይ, ቢያንስ በመሃል ላይ, ቢያንስ በማንኛውም ቦታ. የመጀመሪያውን ቁጥር ብቻ መውሰድ አይችሉም። በቀላሉ ምክንያቱም በጣም የመጀመሪያው ቁጥር ቀዳሚ የለም።)

በነገራችን ላይ ያንን በማወቅ d=3, የዚህን እድገት ሰባተኛው ቁጥር ማግኘት በጣም ቀላል ነው. ወደ አምስተኛው ቁጥር 3 እንጨምር - ስድስተኛውን እናገኛለን, 17 ይሆናል. ሶስት ወደ ስድስተኛው ቁጥር እንጨምር, ሰባተኛው ቁጥር - ሀያ እናገኛለን.

እንግለጽ መለዝቅተኛ የሂሳብ እድገት;

8; 3; -2; -7; -12; .....

እኔ አስታውሳችኋለሁ, ምልክቶች ምንም ይሁን ምን, ለመወሰን መከማንኛውም ቁጥር ያስፈልጋቸዋል የቀደመውን ውሰድ ።ማንኛውንም የእድገት ቁጥር ይምረጡ, ለምሳሌ -7. የእሱ የቀድሞ ቁጥር -2 ነው. ከዚያም፡-

መ = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

የሂሳብ እድገት ልዩነት ማንኛውም ቁጥር ሊሆን ይችላል: ኢንቲጀር, ክፍልፋይ, ምክንያታዊ ያልሆነ, ማንኛውም ቁጥር.

ሌሎች ውሎች እና ስያሜዎች።

በተከታታይ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቁጥር ይባላል የሂሳብ እድገት አባል።

እያንዳንዱ የእድገት አባል የራሱ ቁጥር አለው።ቁጥሮቹ ያለ ምንም ማታለያዎች በጥብቅ በቅደም ተከተል ናቸው። አንደኛ፣ ሁለተኛ፣ ሦስተኛ፣ አራተኛ፣ ወዘተ. ለምሳሌ፣ በሂደቱ 2፣ 5፣ 8፣ 11፣ 14፣ ... ሁለት የመጀመሪያው ቃል ነው፣ አምስት ሁለተኛው፣ አስራ አንድ አራተኛው ነው፣ ደህና፣ ተረድተሃል...) እባክዎን በግልፅ ተረዱ - ቁጥሮች እራሳቸውሙሉ በሙሉ ማንኛውም ሊሆን ይችላል, ሙሉ, ክፍልፋይ, አሉታዊ, ማንኛውም, ነገር ግን የቁጥሮች ቁጥር- በጥብቅ በቅደም ተከተል!

በአጠቃላይ ቅፅ ውስጥ እድገትን እንዴት እንደሚፃፍ? ችግር የሌም! በተከታታይ ውስጥ ያለው እያንዳንዱ ቁጥር በደብዳቤ ይጻፋል. የሂሳብ እድገትን ለማመልከት, ደብዳቤው ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል ሀ. የአባላት ቁጥሩ ከታች በቀኝ በኩል ባለው መረጃ ጠቋሚ ይገለጻል። በነጠላ ሰረዝ (ወይም ሴሚኮሎን) የተለዩ ቃላትን እንጽፋለን፣ እንደዚህ፡-

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ......

ሀ 1- ይህ የመጀመሪያው ቁጥር ነው. ሀ 3- ሦስተኛ, ወዘተ. ምንም የሚያምር ነገር የለም። ይህ ተከታታይ ጽሑፍ በአጭሩ እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል። (ኤን).

እድገቶች ይከሰታሉ ማለቂያ የሌለው እና የማያልቅ.

የመጨረሻዕድገቱ የተወሰነ የአባላት ቁጥር አለው። አምስት፣ ሠላሳ ስምንት፣ ምንም ቢሆን። ግን የተወሰነ ቁጥር ነው።

ማለቂያ የሌለውእድገት - እርስዎ እንደሚገምቱት ማለቂያ የሌለው ቁጥር ያላቸው አባላት አሉት።)

የመጨረሻውን ሂደት በእንደዚህ አይነት ተከታታይ ፣ ሁሉንም ውሎች እና መጨረሻ ላይ አንድ ነጥብ መፃፍ ይችላሉ ።

a 1፣ a 2፣ a 3፣ a 4፣ a 5።

ወይም እንደዚህ፣ ብዙ አባላት ካሉ፡-

a 1፣ a 2፣...a 14፣ a 15

በመግቢያው ላይ የአባላቱን ቁጥር ማመልከት አለብዎት. ለምሳሌ (ለሃያ አባላት)፣ እንደዚህ፡-

(a n)፣ n = 20

በዚህ ትምህርት ውስጥ በምሳሌዎች ላይ እንደሚታየው ማለቂያ የሌለው እድገት በረድፍ መጨረሻ ላይ በኤሊፕሲስ ሊታወቅ ይችላል።

አሁን ተግባራቶቹን መፍታት ይችላሉ. ተግባሮቹ ቀላል ናቸው፣ የሒሳብ እድገትን ትርጉም ለመረዳት ብቻ።

በሂሳብ እድገት ላይ ያሉ ተግባራት ምሳሌዎች።

ከላይ የተሰጠውን ተግባር በዝርዝር እንመልከተው፡-

1. የመጀመሪያዎቹን ስድስት የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት (a n) ይጻፉ፣ 2 = 5፣ d = -2.5 ከሆነ።

ስራውን ወደ መረዳት ቋንቋ እንተረጉማለን. ማለቂያ የሌለው የሂሳብ እድገት ተሰጥቷል። የዚህ እድገት ሁለተኛ ቁጥር ይታወቃል: ሀ 2 = 5የሂደቱ ልዩነት ይታወቃል- መ = -2.5.የዚህን እድገት የመጀመሪያ, ሶስተኛ, አራተኛ, አምስተኛ እና ስድስተኛ ውሎችን ማግኘት አለብን.

ግልጽ ለማድረግ, በችግሩ ሁኔታዎች መሰረት ተከታታይ እጽፋለሁ. የመጀመሪያዎቹ ስድስት ውሎች፣ ሁለተኛው ቃል አምስት ሲሆን፡-

ሀ 1፣ 5፣ a 3፣ a 4፣ a 5፣ a 6፣....

ሀ 3 = ሀ 2 + መ

በአገላለጽ ይተኩ ሀ 2 = 5እና መ = -2.5. ስለ ቅነሳው አይርሱ!

ሀ 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

ሦስተኛው ቃል ከሁለተኛው ያነሰ ሆኖ ተገኝቷል. ሁሉም ነገር ምክንያታዊ ነው። ቁጥሩ ከቀዳሚው በላይ ከሆነ አሉታዊዋጋ, ይህም ማለት ቁጥሩ ራሱ ከቀዳሚው ያነሰ ይሆናል. ግስጋሴው እየቀነሰ ነው። እሺ፣ ከግምት ውስጥ እናስገባዋለን።) ተከታታይ አራተኛውን ቃል እንቆጥራለን፡-

ሀ 4 = ሀ 3 + መ

ሀ 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ሀ 5 = ሀ 4 + መ

ሀ 5=0+(-2,5)= - 2,5

ሀ 6 = ሀ 5 + መ

ሀ 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

ስለዚህ, ከሦስተኛው እስከ ስድስተኛው ያሉት ቃላት ተቆጥረዋል. ውጤቱም የሚከተለው ተከታታይ ነው.

ሀ 1፣ 5፣ 2.5፣ 0፣ -2.5፣ -5፣ ....

የመጀመሪያውን ቃል ለማግኘት ይቀራል ሀ 1በታዋቂው ሰከንድ መሠረት. ይህ ወደ ሌላኛው አቅጣጫ, ወደ ግራ ደረጃ ነው.) ስለዚህ, የሂሳብ እድገት ልዩነት መላይ መጨመር የለበትም ሀ 2, ኤ ተይዞ መውሰድ:

ሀ 1 = ሀ 2 - መ

ሀ 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

በቃ. የምደባ መልስ፡-

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

በማለፍ, ይህንን ተግባር እንደፈታን ልብ ማለት እፈልጋለሁ ተደጋጋሚመንገድ። ይህ አስፈሪ ቃል ማለት የሂደቱን አባል መፈለግ ብቻ ነው በቀድሞው (በአጠገብ) ቁጥር መሠረት.ከእድገት ጋር ለመስራት ሌሎች መንገዶችን ከዚህ በታች እንመለከታለን።

ከዚህ ቀላል ተግባር አንድ አስፈላጊ መደምደሚያ ሊወሰድ ይችላል.

አስታውስ፡-

ቢያንስ አንድ ቃል እና የሂሳብ ግስጋሴን ልዩነት ካወቅን, የዚህን እድገት ማንኛውንም ቃል ማግኘት እንችላለን.

ያስታዉሳሉ? ይህ ቀላል መደምደሚያ በዚህ ርዕስ ላይ የትምህርት ቤቱን ኮርስ አብዛኛዎቹን ችግሮች ለመፍታት ያስችልዎታል. ሁሉም ተግባራት በሦስት ዋና መለኪያዎች ላይ ያተኩራሉ፡- የሂሳብ እድገት አባል ፣ የእድገት ልዩነት ፣ የሂደቱ አባል ቁጥር።ሁሉም።

በእርግጥ ሁሉም የቀደመ አልጀብራ አልተሰረዙም።) አለመመጣጠኖች፣ እኩልታዎች እና ሌሎች ነገሮች ከእድገት ጋር ተያይዘዋል። ግን በእድገት እራሱ መሰረት- ሁሉም ነገር በሶስት መለኪያዎች ዙሪያ ያሽከረክራል.

እንደ ምሳሌ፣ በዚህ ርዕስ ላይ አንዳንድ ታዋቂ ተግባራትን እንመልከት።

2. n=5፣ d = 0.4 እና a 1 = 3.6 ከሆነ የመጨረሻውን የሂሳብ ግስጋሴን በተከታታይ ጻፍ።

እዚህ ሁሉም ነገር ቀላል ነው. ሁሉም ነገር አስቀድሞ ተሰጥቷል. የሂሳብ እድገት አባላት እንዴት እንደሚቆጠሩ ፣ መቁጠር እና መፃፍ እንዳለብዎ ማስታወስ ያስፈልግዎታል ። በተግባራዊ ሁኔታዎች ውስጥ ያሉትን ቃላቶች እንዳያመልጥዎት ይመከራል-“የመጨረሻ” እና “ n=5"ፊትዎ ላይ ሙሉ በሙሉ ሰማያዊ እስክትሆን ድረስ ላለመቁጠር።) በዚህ ሂደት ውስጥ 5 (አምስት) አባላት ብቻ አሉ፡-

a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4

ሀ 4 = ሀ 3 + መ = 4.4 + 0.4 = 4.8

ሀ 5 = ሀ 4 + መ = 4.8 + 0.4 = 5.2

መልሱን ለመጻፍ ይቀራል፡-

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

ሌላ ተግባር፡-

3. ቁጥር 7 የሂሳብ ግስጋሴ (a n) አባል መሆን አለመሆኑን ይወስኑ። ሀ 1 = 4.1; መ = 1.2.

እም... ማን ያውቃል? አንድ ነገር እንዴት እንደሚወሰን?

እንዴት-እንዴት... ግስጋሴውን በተከታታይ መልክ ጻፉ እና እዚያም ሰባት ይኖሩ እንደሆነ ይመልከቱ! እንቆጥራለን፡-

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

ሀ 4 = ሀ 3 + መ = 6.5 + 1.2 = 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

አሁን እኛ ሰባት ብቻ መሆናችን በግልፅ ይታያል ሾልኮ ገባበ 6.5 እና 7.7 መካከል! ሰባት በእኛ ተከታታይ ቁጥሮች ውስጥ አልገቡም, እና ስለዚህ, ሰባት የተሰጠው እድገት አባል አይሆኑም.

መልስ፡ አይ.

እና በእውነተኛው የጂአይኤ ስሪት ላይ የተመሰረተ ችግር እዚህ አለ።

4. በርካታ ተከታታይ የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት ተጽፈዋል፡-

...; 15; X; 9; 6; ...

ያለ መጨረሻ እና መጀመሪያ የተጻፈ ተከታታይ ነው። ምንም የአባል ቁጥሮች, ምንም ልዩነት የለም መ. እሺ ይሁን. ችግሩን ለመፍታት, የሂሳብ እድገትን ትርጉም መረዳት በቂ ነው. እስቲ እንይ እና የሚቻለውን እንይ ማወቅከዚህ ተከታታይ? ሦስቱ ዋና መለኪያዎች ምንድን ናቸው?

የአባል ቁጥሮች? እዚህ አንድ ቁጥር የለም.

ግን ሶስት ቁጥሮች አሉ እና - ትኩረት! - ቃል "ወጥነት ያለው"በሁኔታ ላይ. ይህ ማለት ቁጥሮቹ በጥብቅ በቅደም ተከተል ናቸው, ያለ ክፍተቶች. በዚህ ረድፍ ውስጥ ሁለት አሉ? ጎረቤትየታወቁ ቁጥሮች? አዎ፣ አለኝ! እነዚህ 9 እና 6 ናቸው. ስለዚህ, የሂሳብ እድገትን ልዩነት ማስላት እንችላለን! ከስድስት ቀንስ ቀዳሚቁጥር፣ ማለትም ዘጠኝ:

ተራ ጥቃቅን ነገሮች ቀርተዋል። ለ X ቀዳሚው ቁጥር ምን ያህል ይሆናል? አስራ አምስት. ይህ ማለት X በቀላል መደመር በቀላሉ ሊገኝ ይችላል. የሂሳብ እድገትን ልዩነት ወደ 15 ያክሉ፡

ይኼው ነው. መልስ፡- x=12

የሚከተሉትን ችግሮች እራሳችን እንፈታዋለን. ማሳሰቢያ፡ እነዚህ ችግሮች በቀመር ላይ የተመሰረቱ አይደሉም። የሒሳብ ግስጋሴን ትርጉም ለመረዳት ብቻ።) ተከታታይ ቁጥሮችን እና ፊደላትን እንጽፋለን፣ እንመልከተው እና እንረዳዋለን።

5. የ 5 = -3 ከሆነ የሂሳብ እድገትን የመጀመሪያውን አወንታዊ ቃል ይፈልጉ; መ = 1.1.

6. ቁጥር 5.5 የሒሳብ እድገት (a n) አባል እንደሆነ ይታወቃል, 1 = 1.6; መ = 1.3. የዚህን አባል ቁጥር n ይወስኑ።

7. በሂሳብ እድገት 2 = 4 እንደሚታወቅ ይታወቃል; ሀ 5 = 15.1. 3 ያግኙ.

8. በርካታ ተከታታይ የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት ተጽፈዋል፡-

...; 15.6; X; 3.4; ...

በ x ፊደል የተመለከተውን የሂደቱን ቃል ይፈልጉ።

9. ባቡሩ ከጣቢያው መንቀሳቀስ ጀመረ, በደቂቃ በ 30 ሜትር ፍጥነት ይጨምራል. ከአምስት ደቂቃ በኋላ የባቡሩ ፍጥነት ምን ያህል ይሆናል? መልስዎን በኪሜ በሰዓት ይስጡ።

10. በሂሳብ እድገት 2 = 5 ይታወቃል. ሀ 6 = -5 1 ያግኙ.

መልሶች (በተዛባ): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

ሁሉም ነገር ተሳካ? የሚገርም! በሚቀጥሉት ትምህርቶች በከፍተኛ ደረጃ የሂሳብ እድገትን መቆጣጠር ይችላሉ።

ሁሉም ነገር አልተሳካም? ችግር የሌም. በልዩ ክፍል 555, እነዚህ ሁሉ ችግሮች በክፍል የተከፋፈሉ ናቸው.) እና በእርግጥ, ቀላል ተግባራዊ ቴክኒክ ይገለጻል, ወዲያውኑ ለእንደዚህ አይነት ስራዎች መፍትሄውን በግልፅ, በግልፅ, በጨረፍታ ያጎላል!

በነገራችን ላይ በባቡር እንቆቅልሽ ውስጥ ሰዎች ብዙውን ጊዜ የሚሰናከሉባቸው ሁለት ችግሮች አሉ. አንደኛው ከእድገት አንፃር ብቻ ነው፣ ሁለተኛው ደግሞ በሂሳብ ላይ ለሚታዩ ችግሮች እና ፊዚክስም አጠቃላይ ነው። ይህ የልኬቶች ትርጉም ከአንዱ ወደ ሌላው ነው። እነዚህ ችግሮች እንዴት መፈታት እንዳለባቸው ያሳያል።

በዚህ ትምህርት ውስጥ የሂሳብ እድገትን የመጀመሪያ ደረጃ ትርጉም እና ዋና መለኪያዎችን ተመልክተናል። በዚህ ርዕስ ላይ ሁሉንም ማለት ይቻላል ችግሮችን ለመፍታት ይህ በቂ ነው. አክል መወደ ቁጥሮች, ተከታታይ ጻፍ, ሁሉም ነገር መፍትሄ ያገኛል.

በዚህ ትምህርት ውስጥ በምሳሌዎች ላይ እንደሚታየው የጣት መፍትሄ በጣም አጭር ለሆኑ የረድፍ ቁርጥራጮች በደንብ ይሰራል። ተከታታዩ ረዘም ያለ ከሆነ, ስሌቶቹ ይበልጥ የተወሳሰበ ይሆናሉ. ለምሳሌ እኛ በምንተካው ጥያቄ ውስጥ በችግር 9 ውስጥ ከሆነ "አምስት ደቂቃዎች"ላይ "ሰላሳ አምስት ደቂቃ"ችግሩ በጣም የከፋ ይሆናል.)

እና በመሰረቱ ቀላል የሆኑ፣ ግን በስሌቶች ረገድ የማይረባ ተግባራትም አሉ፣ ለምሳሌ፡-

የሂሳብ እድገት (a n) ተሰጥቷል. 1 =3 እና d=1/6 ከሆነ 121 ያግኙ።

ታዲያ ምን 1/6 ብዙ እና ብዙ ጊዜ ልንጨምር ነው?! እራስዎን ማጥፋት ይችላሉ!?

ይችላሉ.) እንደዚህ አይነት ስራዎችን በአንድ ደቂቃ ውስጥ መፍታት የሚችሉበት ቀላል ቀመር ካላወቁ. ይህ ቀመር በሚቀጥለው ትምህርት ውስጥ ይሆናል. እና ይህ ችግር እዚያ ተፈትቷል. በአንድ ደቂቃ ውስጥ)

ይህን ጣቢያ ከወደዱት...

በነገራችን ላይ ለአንተ ይበልጥ አስደሳች የሆኑ ሁለት ጣቢያዎች አሉኝ።)

ምሳሌዎችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ እና ደረጃዎን ማወቅ ይችላሉ. በፈጣን ማረጋገጫ መሞከር። እንማር - በፍላጎት!)

ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

አዎ፣ አዎ፡ የሂሳብ እድገት ለእርስዎ መጫወቻ አይደለም :)

ደህና ፣ ጓደኞች ፣ ይህንን ጽሑፍ እያነበብክ ከሆነ ፣ የውስጥ ካፕ-ማስረጃው የሂሳብ እድገት ምን እንደሆነ ገና እንደማታውቅ ይነግረኛል ፣ ግን በእርግጥ (አይ ፣ እንደዚህ ያለ: SOOOOO!) ማወቅ ትፈልጋለህ። ስለዚህ በረዥም መግቢያዎች አላሰቃየህም እና በቀጥታ ወደ ነጥቡ እገባለሁ።

በመጀመሪያ ፣ ጥቂት ምሳሌዎች። በርካታ የቁጥር ስብስቦችን እንመልከት፡-

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2)፤\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

እነዚህ ሁሉ ስብስቦች ምን የሚያመሳስላቸው ነገር አለ? በመጀመሪያ ሲታይ ምንም የለም. ግን በእውነቱ የሆነ ነገር አለ. ይኸውም፡- እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው ጋር በተመሳሳይ ቁጥር ይለያያል.

ለራስህ ፍረድ። የመጀመሪያው ስብስብ በቀላሉ ተከታታይ ቁጥሮች ነው, እያንዳንዱ ቀጣይ ከቀዳሚው አንድ ይበልጣል. በሁለተኛው ሁኔታ, በአጠገብ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ቀድሞውኑ አምስት ነው, ግን ይህ ልዩነት አሁንም ቋሚ ነው. በሦስተኛው ጉዳይ ላይ ሙሉ በሙሉ ሥሮች አሉ. ሆኖም፣ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$፣እና $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$፣ማለትም። እና በዚህ ሁኔታ እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር በቀላሉ በ$\sqrt(2)$ ይጨምራል (እና ይህ ቁጥር ምክንያታዊ ያልሆነ ነው ብለው አይፍሩ)።

ስለዚህ: ሁሉም እንደዚህ ያሉ ቅደም ተከተሎች የሂሳብ እድገቶች ይባላሉ. ጥብቅ ፍቺ እንስጥ፡-

ፍቺ እያንዳንዱ ተከታይ ከቀዳሚው በትክክል ተመሳሳይ መጠን የሚለይበት የቁጥሮች ቅደም ተከተል የሂሳብ ግስጋሴ ይባላል። ቁጥሮቹ የሚለያዩበት መጠን የሂደት ልዩነት ይባላል እና ብዙ ጊዜ በ$d$ ፊደል ይገለጻል።

ማስታወሻ፡ $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$ እድገት እራሱ ነው፣$d$ ልዩነቱ ነው።

እና ጥቂት አስፈላጊ ማስታወሻዎች ብቻ። በመጀመሪያ ደረጃ, እድገትን ግምት ውስጥ ማስገባት ብቻ ነው አዘዘየቁጥሮች ቅደም ተከተል: በተፃፉበት ቅደም ተከተል በጥብቅ እንዲነበቡ ተፈቅዶላቸዋል - እና ሌላ ምንም ነገር የለም. ቁጥሮች እንደገና ሊደራጁ ወይም ሊለዋወጡ አይችሉም።

በሁለተኛ ደረጃ, ቅደም ተከተል እራሱ ማለቂያ ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል. ለምሳሌ፣ ስብስብ (1፤ 2፤ 3) ግልጽ የሆነ የመጨረሻ የሂሳብ እድገት ነው። ነገር ግን በመንፈስ የሆነ ነገር ከጻፉ (1; 2; 3; 4; ...) - ይህ አስቀድሞ ማለቂያ የሌለው እድገት ነው. ከአራቱ በኋላ ያለው ellipsis ጥቂት ተጨማሪ ቁጥሮች እንደሚመጡ የሚጠቁም ይመስላል። ማለቂያ የሌለው ብዙ፣ ለምሳሌ :)

እድገቶች እየጨመሩ ወይም እየቀነሱ ሊሄዱ እንደሚችሉ ማስተዋል እፈልጋለሁ። እየጨመሩ ያሉትን አይተናል - ተመሳሳይ ስብስብ (1; 2; 3; 4; ...). እድገቶችን የመቀነስ ምሳሌዎች እዚህ አሉ

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\\sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

እሺ፣ እሺ፡ የመጨረሻው ምሳሌ ከመጠን በላይ የተወሳሰበ ሊመስል ይችላል። የቀረው ግን የገባችሁ ይመስለኛል። ስለዚህ፣ አዳዲስ ፍቺዎችን እናስተዋውቃለን፡-

ፍቺ የሒሳብ እድገት ይባላል፡-

እያንዳንዱ ቀጣይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው የበለጠ ከሆነ መጨመር;

እየቀነሰ, በተቃራኒው, እያንዳንዱ ተከታይ ንጥረ ነገር ከቀዳሚው ያነሰ ከሆነ.

በተጨማሪም, "ቋሚ" የሚባሉት ቅደም ተከተሎች አሉ - እነሱ ተመሳሳይ ተደጋጋሚ ቁጥር ያካተቱ ናቸው. ለምሳሌ፣ (3፤ 3፤ 3፤ ...)።

አንድ ጥያቄ ብቻ ይቀራል: እየጨመረ ያለውን እድገትን ከሚቀንስ እንዴት እንደሚለይ? እንደ እድል ሆኖ, እዚህ ሁሉም ነገር የሚወሰነው በ $ d$ ቁጥር ምልክት ላይ ብቻ ነው, ማለትም. የእድገት ልዩነቶች;

$d \gt 0$ ከሆነ እድገቱ ይጨምራል።
$d \lt 0$ ከሆነ ፣እድገቱ በግልጽ እየቀነሰ ነው።
በመጨረሻም ጉዳዩ $d=0$ አለ - በዚህ ሁኔታ አጠቃላይ እድገቱ ወደ ቋሚ ተመሳሳይ ቁጥሮች ቅደም ተከተል ይቀንሳል: (1; 1; 1; 1; ...), ወዘተ.

ከላይ ለተጠቀሱት ሦስቱ የሚቀነሱ እድገቶች የ$d$ን ልዩነት ለማስላት እንሞክር። ይህንን ለማድረግ ማንኛውንም ሁለት ተያያዥ ንጥረ ነገሮችን (ለምሳሌ የመጀመሪያው እና ሁለተኛ) መውሰድ እና በግራ በኩል ያለውን ቁጥር በቀኝ በኩል ካለው ቁጥር መቀነስ በቂ ነው. ይህን ይመስላል።

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

እንደምናየው፣ በሦስቱም ሁኔታዎች ልዩነቱ በትክክል ወደ አሉታዊነት ተለወጠ። እና አሁን ብዙ ወይም ባነሰ ትርጓሜዎችን አውጥተናል, እድገቶች እንዴት እንደሚገለጹ እና ምን ንብረቶች እንዳሉ ለማወቅ ጊዜው አሁን ነው.

የሂደት ውሎች እና የድግግሞሽ ቀመር

የእኛ ቅደም ተከተሎች አካላት ሊለዋወጡ ስለማይችሉ በቁጥር ሊቆጠሩ ይችላሉ፡-

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ$(ሀ)__(1))\ )),... \ቀኝ$\]

የዚህ ስብስብ ግለሰባዊ አካላት የእድገት አባላት ይባላሉ። በቁጥር ተጠቁመዋል፡- አንደኛ አባል፣ ሁለተኛ አባል፣ ወዘተ.

በተጨማሪም ፣ ቀደም ብለን እንደምናውቀው ፣ የእድገት ጎረቤት ውሎች በቀመሩ ይዛመዳሉ-

\[(((a)_(n)))-((a)_(n-1))=d\ቀኝ ቀስት ((a)__(n))=((a)_(n-1))+d \]

ባጭሩ የ$n$th የእድገት ጊዜን ለማግኘት የ$n-1$th ቃል እና የ$d$ ልዩነትን ማወቅ አለቦት። ይህ ቀመር ተደጋጋሚ ተብሎ ይጠራል, ምክንያቱም በእሱ እርዳታ ማንኛውንም ቁጥር ማግኘት የሚችሉት የቀደመውን (እና በእውነቱ, ሁሉም ቀዳሚዎች) በማወቅ ብቻ ነው. ይህ በጣም ምቹ አይደለም ፣ ስለሆነም ማንኛውንም ስሌቶች ወደ መጀመሪያው ቃል እና ልዩነቱን የሚቀንስ የበለጠ ተንኮለኛ ቀመር አለ-

\[(((a)__(n))=((ሀ)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ) d\]

ይህን ቀመር አስቀድመው አጋጥመውት ይሆናል። በሁሉም የማጣቀሻ መጽሃፍቶች እና የመፍትሄ መጽሃፍቶች ውስጥ መስጠት ይወዳሉ. እና በማንኛውም አስተዋይ የሂሳብ መማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ከመጀመሪያዎቹ አንዱ ነው።

ሆኖም ግን, ትንሽ እንዲለማመዱ እመክርዎታለሁ.

ተግባር ቁጥር 1 የመጀመሪያዎቹን ሶስት የሒሳብ እድገት ውሎች $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$ ከ$((a)__(1))=8,d=-5$ ይፃፉ።

መፍትሄ። ስለዚህ፣ የመጀመሪያውን ቃል $((a)__(1))=8$ እና የሂደቱን የ$d=-5$ ልዩነት እናውቃለን። አሁን የተሰጠውን ቀመር እንጠቀም እና $n=1$፣ $n=2$ እና $n=3$ እንተካ።

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ)d; \\ & (((ሀ)__(1))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(1-1 \ቀኝ) d=((ሀ)__(1))=8; \\ & ((((ሀ)__(2))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(2-1 \ቀኝ) d=((a)__(1))+d=8-5= 3; \\ & (((ሀ)__(3))=(((ሀ)__(1))+\ግራ(3-1 \ቀኝ) d=((ሀ)__(1))+2d=8-10= -2. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

መልስ፡ (8፤ 3፤ -2)

ይኼው ነው! እባክዎን ያስተውሉ፡ እድገታችን እየቀነሰ ነው።

እርግጥ ነው፣ $n=1$ ሊተካ አልቻለም - የመጀመሪያው ቃል ለእኛ አስቀድሞ ይታወቃል። ይሁን እንጂ አንድነትን በመተካት ቀመራችን ለመጀመሪያ ጊዜ እንኳን እንደሚሰራ እርግጠኛ ነበርን. በሌሎች ሁኔታዎች፣ ሁሉም ነገር ወደ ባናል አርቲሜቲክ ወርዷል።

ተግባር ቁጥር 2. ሰባተኛው ቃል ከ -40 እና አስራ ሰባተኛው ቃል ከ -50 ጋር እኩል ከሆነ የመጀመሪያዎቹን ሶስት የሒሳብ ሂደቶች ይፃፉ።

መፍትሄ። የችግሩን ሁኔታ በሚታወቁ ቃላት እንፃፍ፡-

\[(((ሀ)__(7))=-40፤\quad ((a)__(17))=-50።\]

\[\ግራ\( \ጀማሪ(አሰላለፍ)&((a)__(7))=((a)__(1))+6d \\ & (((ሀ)__(17))=((ሀ) _(1))+16d \\\መጨረሻ(አሰላለፍ) \ቀኝ\]

\[\ግራ\( \\ጀማሪ(አሰላለፍ)&((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\\መጨረሻ(align) \ቀኝ.\]

የስርዓት ምልክቱን አስቀምጫለሁ ምክንያቱም እነዚህ መስፈርቶች በአንድ ጊዜ መሟላት አለባቸው. አሁን የመጀመሪያውን ከሁለተኛው እኩልታ ከቀነስን (ይህን ለማድረግ መብት አለን ፣ ስርዓት ስላለን) ይህንን እናገኛለን ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)_(1))+16d-\ግራ(((a)__(1))+6d \ቀኝ=-50-\ግራ(-40 \ቀኝ); \\ & (((ሀ)__(1))+16d-((ሀ)__(1))) -6መ=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የሂደቱን ልዩነት ማግኘት በጣም ቀላል ነው! የቀረው ሁሉ የተገኘውን ቁጥር ወደ ማንኛውም የስርዓቱ እኩልታዎች መተካት ነው። ለምሳሌ በመጀመሪያ፡-

\[\ጀማሪ (ማትሪክስ) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ታች \\ ((ሀ)_(1)) -6=-40; \\ ((ሀ)__(1))=-40+6=-34። \\\መጨረሻ(ማትሪክስ)\]

አሁን፣ የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን በማወቅ፣ ሁለተኛውን እና ሦስተኛውን ቃል ለማግኘት ይቀራል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(2))=((ሀ)__(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ሀ)__(3))=((ሀ)__(1))+2d=-34-2=-36። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ዝግጁ! ችግሩ ተፈቷል.

መልስ፡ (-34; -35; -36)

ያገኘነውን አስደሳች የሂደት ንብረት አስተውል፡ $n$th እና $m$th ውሎችን ወስደን እርስ በእርስ ከተቀነስን የሂደቱን ልዩነት በ$n-m$ ቁጥር ተባዝቶ እናገኛለን፡

\[(((a)__(n))((a)__(m))=d\cdot \ግራ(n-m \ቀኝ)\]

በእርግጠኝነት ማወቅ ያለብዎት ቀላል ነገር ግን በጣም ጠቃሚ ንብረት - በእሱ እርዳታ ብዙ የእድገት ችግሮችን በከፍተኛ ሁኔታ ማፋጠን ይችላሉ። የዚህ ግልጽ ምሳሌ እዚህ አለ፡-

ተግባር ቁጥር 3 የሒሳብ እድገት አምስተኛው ቃል 8.4 ነው፣ እና አሥረኛው ጊዜ 14.4 ነው። የዚህን እድገት አስራ አምስተኛውን ቃል ያግኙ።

መፍትሄ። ከ$(((a)_(5))=8.4$፣ $((a)_(10))=14.4$ ጀምሮ፣ እና $(((a)_(15))$$ን ማግኘት ስላለብን የሚከተለውን እናስተውላለን፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(15))-((ሀ)__(10))=5d; \\ & ((ሀ)__(10))-((ሀ)__(5))=5መ. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ነገር ግን በሁኔታ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$፣ስለዚህ $5d=6$፣ከዚህም አለን::

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(15)) -14,4=6; \\ & ((ሀ)__(15)=6+14.4=20.4. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

መልስ፡ 20.4

ይኼው ነው! ምንም አይነት እኩልታዎችን መፍጠር እና የመጀመሪያውን ቃል እና ልዩነቱን ማስላት አያስፈልገንም - ሁሉም ነገር በሁለት መስመሮች ብቻ ተፈትቷል.

አሁን ሌላ ዓይነት ችግርን እንመልከት - የእድገት አሉታዊ እና አወንታዊ ቃላትን መፈለግ። ግስጋሴው ከጨመረ እና የመጀመሪያው ቃል አሉታዊ ከሆነ ፈጥኖም ሆነ ዘግይቶ አዎንታዊ ቃላት በእሱ ውስጥ እንደሚታዩ ምስጢር አይደለም። እና በተገላቢጦሽ፡ የመቀነስ እድገት ውሎች ፈጥኖም ይሁን ዘግይቶ አሉታዊ ይሆናል።

በተመሳሳይ ጊዜ, በንጥረ ነገሮች ውስጥ በቅደም ተከተል በማለፍ ይህንን ጊዜ "በፊት" ማግኘት ሁልጊዜ አይቻልም. ብዙውን ጊዜ ችግሮች የሚጻፉት ቀመሮቹን ሳናውቅ ስሌቶቹ ብዙ ወረቀቶችን ይወስዳሉ - መልሱን ስናገኝ በቀላሉ እንተኛለን። ስለዚህ እነዚህን ችግሮች በፍጥነት ለመፍታት እንሞክር።

ተግባር ቁጥር 4. በሂሳብ እድገት ውስጥ ስንት አሉታዊ ቃላት አሉ -38.5; -35.8; ...?

መፍትሄ። ስለዚህ, $ ((a) __ (1)) = -38.5$, $((a)__(2)=-35.8$, ወዲያውኑ ልዩነቱን ካገኘንበት:

ልዩነቱ አዎንታዊ መሆኑን ልብ ይበሉ, ስለዚህ እድገቱ ይጨምራል. የመጀመሪያው ቃል አሉታዊ ነው, ስለዚህ በተወሰነ ጊዜ በአዎንታዊ ቁጥሮች ላይ እንሰናከላለን. ብቸኛው ጥያቄ ይህ የሚሆነው መቼ ነው.

የቃላቶቹ አሉታዊነት ለምን ያህል ጊዜ እንደሚቆይ (ማለትም እስከ ምን ያህል የተፈጥሮ ቁጥር $n$) እንደሚቆይ ለማወቅ እንሞክር፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n)) \lt 0\ቀኝ ቀስት ((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ) d \lt 0; \\ & -38.5+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \ left| \cdot 10 \ ትክክል። \\ & -385+27\cdot \ግራ(n-1 \ቀኝ) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\ቀኝ ቀስት ((n)__(\max))=15። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የመጨረሻው መስመር አንዳንድ ማብራሪያ ያስፈልገዋል. ስለዚህ $n \lt 15\frac(7)(27)$ መሆኑን እናውቃለን። በሌላ በኩል፣ በቁጥር ኢንቲጀር ዋጋዎች ብቻ ረክተናል (በተጨማሪም: $n\in \mathbb(N)$) ፣ ስለሆነም የሚፈቀደው ትልቁ ቁጥር በትክክል $n=15$ ነው ፣ እና በምንም ሁኔታ 16 .

ተግባር ቁጥር 5 በሂሳብ እድገት $(()__(5))=-150፣(()__(6))=-147$። የዚህን እድገት የመጀመሪያ አወንታዊ ቃል ቁጥር ያግኙ።

ይህ በትክክል ከቀዳሚው ችግር ጋር ተመሳሳይ ነው፣ ነገር ግን $((a)__(1))$ን አናውቅም። ነገር ግን የአጎራባች ቃላቶች ይታወቃሉ፡$((a)__(5))$ እና $((a)__(6))$፣ስለዚህ የሂደቱን ልዩነት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡

በተጨማሪም ፣ አምስተኛውን ቃል በአንደኛው በኩል እና ልዩነቱን መደበኛውን ቀመር በመጠቀም ለመግለጽ እንሞክር ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=((a)__(1))+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot d; \\ & (((ሀ)__(5))=((ሀ)__(1))+4d; \\ & -150=((ሀ)__(1))+4\cdot 3; \\ & ((ሀ)__(1))=-150-12=-162። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

አሁን ከቀዳሚው ተግባር ጋር በማመሳሰል እንቀጥላለን። በእኛ ቅደም ተከተል አወንታዊ ቁጥሮች በየትኛው ነጥብ ላይ እንደሚገኙ እንወቅ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(n))=-162+\ግራ(n-1 \ቀኝ)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ቀኝ ቀስት ((n)__(\min))=56. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለዚህ እኩልነት ዝቅተኛው የኢንቲጀር መፍትሔ ቁጥር 56 ነው።

እባክዎን ያስተውሉ፡ በመጨረሻው ተግባር ሁሉም ነገር ወደ ጥብቅ እኩልነት ወርዷል፣ ስለዚህ $n=55$ ያለው አማራጭ አይስማማንም።

አሁን ቀላል ችግሮችን እንዴት መፍታት እንዳለብን ተምረናል, ወደ ውስብስብ ችግሮች እንሂድ. ግን በመጀመሪያ ፣ ለወደፊቱ ብዙ ጊዜ እና እኩል ያልሆኑ ህዋሶችን የሚቆጥብ የሂሳብ እድገትን ሌላ በጣም ጠቃሚ ንብረት እናጠና። :)

አርቲሜቲክ አማካኝ እና እኩል መግባቶች

እየጨመረ ያለውን የሂሳብ ግስጋሴ በርካታ ተከታታይ ቃላትን እንመልከት $\ግራ(((a)__(n)) \ቀኝ)$። በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ለማድረግ እንሞክር፡-

በቁጥር መስመር ላይ የሒሳብ እድገት ውሎች

በተለይ የዘፈቀደ ቃላትን $((a)_(n-3))፣...፣(((a)_(n+3))$፣ እና አንዳንድ $((a)_(1))፣\ ((ሀ)__(2))፣\ ((ሀ)__(3))$፣ ወዘተ ምክንያቱም አሁን የምነግርህ ህግ ለማንኛውም "ክፍሎች" ተመሳሳይ ነው የሚሰራው.

እና ደንቡ በጣም ቀላል ነው. ተደጋጋሚውን ቀመር እናስታውስ እና ለሁሉም ምልክት የተደረገባቸው ቃላት እንፃፍ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n-2))=((a)__(n-3))+d; \\ & (((a)__(n-1))=((a)__(n-2))+d; \\ & (((a)__(n))=((ሀ)__(n-1))+d; \\ & (((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n+1))+d; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ሆኖም፣ እነዚህ እኩልነቶች በተለየ መንገድ እንደገና ሊፃፉ ይችላሉ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n-1))=(((a)__(n))) -መ; \\ & (((ሀ)__(n-2))=(((ሀ)__(n)))) -2መ; \\ & (((ሀ)__(n-3))=(((ሀ)__(n)))) -3d; \\ & (((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n))+2d; \\ & (((a)__(n+3))=(((a)__(n))+3d; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ደህና፣ ታዲያ ምን? እና $((a)_(n-1))$ እና $((a)_(n+1))$ የሚዋሹት ከ$(((a)_(n)))$ በተመሳሳይ ርቀት . እና ይህ ርቀት ከ$d$ ጋር እኩል ነው። ስለ $((a)__(n-2))$ እና $((a)__(n+2))$ ስለ ቃላቶቹ ተመሳሳይ ነገር ሊባል ይችላል - እነሱም ከ$((a)_(n) ተወግደዋል። )$ በተመሳሳይ ርቀት ከ$2d$ ጋር እኩል ነው። ማስታወቂያ infinitum ልንቀጥል እንችላለን፣ ግን ትርጉሙ በሥዕሉ በደንብ ተገልጧል

የሂደቱ ውሎች ከመሃል ላይ በተመሳሳይ ርቀት ላይ ይገኛሉ

ይህ ለእኛ ምን ማለት ነው? ይህ ማለት የአጎራባች ቁጥሮች የሚታወቁ ከሆነ $(((a)_(n))$ ሊገኝ ይችላል፡-

\[(((ሀ)__(n))=\frac((((a)__(n-1))+(((a)__(n+1))))(2)\]

በጣም ጥሩ የሆነ መግለጫ አውጥተናል፡ እያንዳንዱ የሒሳብ እድገት ቃል ከአጎራባች ቃላቶች የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው! ከዚህም በላይ፡ ከ$((a)__(n))$ ወደ ግራ እና ወደ ቀኝ በአንድ ደረጃ ሳይሆን በ$k$ ደረጃዎች መመለስ እንችላለን - እና ቀመሩ አሁንም ትክክል ይሆናል።

\[(((a)__(n))=\frac((((a)__(n-k))+(((a)__(n+k))))(2)\]

እነዚያ። $((a)__(100))$ እና $(((a)__(200))$$ ካወቅን በቀላሉ አንዳንድ $(((ሀ)_(150))$ ማግኘት እንችላለን፣ ምክንያቱም $(((ሀ)) (150))=\frac(((ሀ)__(100))+((ሀ)__(200)))(2)$ በመጀመሪያ ሲታይ, ይህ እውነታ ምንም ጠቃሚ ነገር የማይሰጠን ሊመስል ይችላል. ነገር ግን፣ በተግባር፣ ብዙ ችግሮች በተለይ የሂሳብ አማካኙን ለመጠቀም የተበጁ ናቸው። ተመልከት:

ተግባር ቁጥር 6 የ$-6((x)^(2))$፣ $x+1$ እና $14+4((x)^(2))$ ተከታታይ የውል ቃል የሆኑበትን የ$x$ ዋጋዎችን ሁሉ ያግኙ። የሂሳብ እድገት (በተጠቀሰው ቅደም ተከተል)።

መፍትሄ። እነዚህ ቁጥሮች የእድገት አባላት በመሆናቸው የሂሳብ አማካይ ሁኔታ ለእነሱ ረክቷል፡ ማዕከላዊው ንጥረ ነገር $ x+1$ በአጎራባች አካላት ሊገለጽ ይችላል፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ውጤቱ ክላሲክ ኳድራቲክ እኩልታ ነው። ሥሩ፡- $x=2$ እና $x=-3$ መልሶች ናቸው።

መልስ፡-3; 2.

ተግባር ቁጥር 7 ቁጥሮች $-1፤4-3፤(()^(2))+1$ የሂሳብ እድገትን የሚፈጥሩበት የ$$ እሴቶችን ይፈልጉ (በዚያው ቅደም ተከተል)።

መፍትሄ። እንደገና መካከለኛውን ቃል በአጎራባች ቃላቶች የሂሳብ ትርጉም እንግለጽ።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac((((x)^(2))+x)(2);\quad \ ግራ| \cdot 2 \ቀኝ.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ኳድራቲክ እኩልታ እንደገና። እና እንደገና ሁለት ሥሮች አሉ-$ x=6$ እና $x=1$።

መልስ፡ 1; 6.

ችግርን በመፍታት ሂደት ውስጥ አንዳንድ ጭካኔ የተሞላባቸው ቁጥሮች ካገኙ ወይም በተገኙት መልሶች ትክክለኛነት ላይ ሙሉ በሙሉ እርግጠኛ ካልሆኑ ታዲያ እርስዎ እንዲፈትሹ የሚያስችልዎ አስደናቂ ዘዴ አለ ችግሩን በትክክል ፈትተናል?

በችግር ቁጥር 6 ላይ መልስ አግኝተናል እንበል -3 እና 2. እነዚህ መልሶች ትክክል መሆናቸውን እንዴት ማረጋገጥ እንችላለን? ወደ መጀመሪያው ሁኔታ ብቻ እንሰካቸው እና ምን እንደሚፈጠር እንይ። ሶስት ቁጥሮች እንዳለን ላስታውስህ ($-6(()^(2))$፣ $+1$ እና $14+4()^(2))$) እነዚህም የሂሳብ እድገት መፍጠር አለባቸው። $x=-3$ እንተካ፡

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=-3\ቀኝ ቀስት \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ቁጥሮቹን አገኘን -54; -2; በ 52 የሚለየው 50 ምንም ጥርጥር የለውም የሂሳብ ግስጋሴ ነው። በ$x=2$ ተመሳሳይ ነገር ይከሰታል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & x=2\ቀኝ ቀስት \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

እንደገና እድገት, ነገር ግን ልዩነት ጋር 27. ስለዚህም, ችግሩ በትክክል ተፈትቷል. የሚፈልጉት ሁለተኛውን ችግር በራሳቸው ማረጋገጥ ይችላሉ, ነገር ግን ወዲያውኑ እናገራለሁ: እዚያም ሁሉም ነገር ትክክል ነው.

ባጠቃላይ፣ የመጨረሻዎቹን ችግሮች እየፈታን ሳለ፣ ሌላም ሊታወስ የሚገባው አንድ አስደሳች እውነታ አጋጠመን፡-

ሶስት ቁጥሮች ከሆነ ሁለተኛው የመጀመሪያው እና የመጨረሻው የሂሳብ አማካኝ ከሆነ, እነዚህ ቁጥሮች የሂሳብ እድገትን ይመሰርታሉ.

ለወደፊቱ, ይህንን መግለጫ መረዳቱ በችግሩ ሁኔታዎች ላይ በመመርኮዝ አስፈላጊ የሆኑትን እድገቶች በትክክል "እንዲገነባ" ያስችለናል. ነገር ግን በእንደዚህ ዓይነት "ግንባታ" ውስጥ ከመሳተፋችን በፊት, ለአንድ ተጨማሪ እውነታ ትኩረት መስጠት አለብን, እሱም ቀደም ሲል ከተነጋገርነው በቀጥታ ይከተላል.

አባሎችን መቧደን እና ማጠቃለል

እንደገና ወደ ቁጥር ዘንግ እንመለስ። እስቲ በርካታ የዕድገት አባላትን እናስተውል በመካከላቸው ምናልባትም። ለብዙ ሌሎች አባላት ዋጋ አለው፡-

በቁጥር መስመር ላይ ምልክት የተደረገባቸው 6 አካላት አሉ።

“የግራ ጅራትን” በ$((a)_(n))$ እና $d$፣ እና “ቀኝ ጅራት” በ$((a)_(k))$ እና $d$ ለመግለፅ እንሞክር። በጣም ቀላል ነው፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n+1))=(((a)__(n))+d; \\ & (((a)__(n+2))=(((a)__(n))+2d; \\ & (((ሀ)__(k-1))=(((ሀ)__(k)))) -d; \\ & ((ሀ)__(k-2))=(((ሀ)__(k))))) -2መ. \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

አሁን የሚከተሉት መጠኖች እኩል መሆናቸውን ልብ ይበሉ:

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(n))+((a)__(k))=S; \\ & ((((a)__(n+1)))+((((a)__(k-1)))=(((a)__(n))+d+((ሀ)__(k))) -d= ኤስ; \\ & (((((a))__(n+2)))+((((a)__(k-2)))=(((a)__(n))+2d+((ሀ)__(k))))))-2d= ኤስ. \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በቀላል አነጋገር የሂደቱን ሁለት አካላት እንደ ጅምር ከወሰድን በጠቅላላው ከአንዳንድ ቁጥር $S$ ጋር እኩል ናቸው እና ከዚያም ከእነዚህ ንጥረ ነገሮች በተቃራኒ አቅጣጫ መሄድ ከጀመርን (ወደ አንዱ ወይም በተቃራኒው ለመራቅ)። ከዚያም የምንሰናከልባቸው ንጥረ ነገሮች ድምርም እኩል ይሆናል።$S$ ይህ በጣም በግልፅ በግራፊክ ሊወከል ይችላል፡-

እኩል ውስጠቶች እኩል መጠን ይሰጣሉ

ይህንን እውነታ መረዳታችን ከላይ ከጠቀስናቸው ችግሮች በመሠረታዊ ደረጃ ከፍ ያለ ውስብስብ ችግሮችን ለመፍታት ያስችለናል። ለምሳሌ እነዚህ፡-

ተግባር ቁጥር 8 የመጀመሪያው ቃል 66 የሆነበትን የሂሳብ እድገት ልዩነት ይወስኑ ፣ እና የሁለተኛው እና የአስራ ሁለተኛው ቃላት ውጤት በጣም ትንሹ ነው።

መፍትሄ። የምናውቀውን ሁሉ እንጻፍ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(1))=66; \\&d=? \\ & (((ሀ)__(2))\cdot ((ሀ)__(12))=\min . \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ፣ የሂደቱን ልዩነት $d$ አናውቅም። ምርቱ $(((a)__(2))\cdot ((a)_(12))$$ በሚከተለው መልኩ እንደገና ሊፃፍ ስለሚችል፣ ሁሉም መፍትሄ በልዩነቱ ዙሪያ ይገነባል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(2))=((ሀ)__(1))+d=66+d; \\ & (((ሀ)__(12))=((ሀ)__(1))+11d=66+11d; \\ & ((((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\ግራ(66+d \ቀኝ)\cdot \ግራ(66+11d \ቀኝ)= \\ & =11 \cdot \ግራ(d+66 \ቀኝ)\cdot \ግራ(d+6 \ቀኝ)። \መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

በማጠራቀሚያው ውስጥ ላሉት፡- ከሁለተኛው ቅንፍ ውስጥ የ11ቱን አጠቃላይ ብዜት ወሰድኩ። ስለዚህ, የሚፈለገው ምርት ከተለዋዋጭ $d$ አንጻር አራት ማዕዘን ተግባር ነው. ስለዚህ $f\ግራ(d \right)=11\ግራ(d+66 \ቀኝ)\ግራ(d+6 \ቀኝ)$ የሚለውን ተግባር አስቡበት - ግራፉ ከቅርንጫፎች ጋር ፓራቦላ ይሆናል ፣ ምክንያቱም ቅንፎችን ከሰፋን የሚከተሉትን እናገኛለን

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & f\ግራ(መ \ቀኝ)=11\ግራ(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((((መ)^(2)) d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

እንደሚመለከቱት ፣ የከፍተኛው ጊዜ ብዛት 11 ነው - ይህ አወንታዊ ቁጥር ነው ፣ ስለሆነም እኛ በእውነቱ ወደ ላይ ቅርንጫፎች ካለው ፓራቦላ ጋር እየተገናኘን ነው ።

የኳድራቲክ ተግባር ግራፍ - ፓራቦላ
እባክዎን ያስተውሉ፡ ይህ ፓራቦላ ዝቅተኛውን እሴቱን በአከርካሪው ላይ ከ abcissa $((መ)_(0))$ ጋር ይወስዳል። እርግጥ ነው፣ ይህንን አቢሲሳ መደበኛውን እቅድ በመጠቀም ማስላት እንችላለን (ቀመር $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) አለ)፣ ነገር ግን ማስታወሱ የበለጠ ምክንያታዊ ይሆናል። የሚፈለገው ጫፍ በፓራቦላ ዘንግ ሲምሜትሪ ላይ እንደሚገኝ፣ ስለዚህ ነጥቡ $((መ)_(0))$ ከቀመር $f\ግራ(d \ቀኝ)=0$ ሥሩ ይርቃል።

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & f\ግራ(መ \ቀኝ)=0; \\ & 11\cdot \ግራ(d+66 \ቀኝ)\cdot \ግራ(d+6 \ቀኝ)=0; \\ & (((መ)__(1))=-66፤\quad ((መ)__(2))=-6። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ለዚህም ነው ቅንፎችን ለመክፈት የተለየ ቸኩሎ ያልነበረኝ፡ በመጀመሪያ መልክ ሥሮቹ በጣም በጣም ቀላል ነበሩ። ስለዚህ፣ abcissa ከቁጥር -66 እና -6 የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ነው።

\[((መ)__(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

የተገኘው ቁጥር ምን ይሰጠናል? በእሱ አማካኝነት የሚፈለገው ምርት አነስተኛውን እሴት ይይዛል (በነገራችን ላይ $((y)_(\min))$ በጭራሽ አላሰላንም - ይህ ከእኛ አይፈለግም)። በተመሳሳይ ጊዜ, ይህ ቁጥር የዋናው እድገት ልዩነት ነው, ማለትም. መልሱን አግኝተናል። :)

መልስ፡-36

ተግባር ቁጥር 9 በቁጥር $ -\frac(1)(2)$ እና $-\frac(1)(6)$ መካከል ሶስት ቁጥሮችን አስገባ ከነዚህ ቁጥሮች ጋር አንድ ላይ የሂሳብ እድገት ይመሰርታሉ።

መፍትሄ። በመሠረቱ, የአምስት ቁጥሮችን ቅደም ተከተል ማድረግ አለብን, ከመጀመሪያው እና የመጨረሻው ቁጥር አስቀድሞ ይታወቃል. የጎደሉትን ቁጥሮች በተለዋዋጭዎቹ $x$፣ $y$ እና $z$ እንጥቀስ፡-

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \ቀኝ\ )\]

$y$ ቁጥር የእኛ ቅደም ተከተል "መካከለኛ" መሆኑን ልብ ይበሉ - ከቁጥሮች $ x$ እና $z$, እና ከቁጥሮች $ -\ frac (1) (2)$ እና $ -\frac ቁጥሮች ጋር እኩል ነው. (1) (6)$ እና በአሁኑ ጊዜ $y$ን ከ $ x$ እና $z$ ቁጥሮች ማግኘት ካልቻልን ፣ ከዚያ ሁኔታው ከሂደቱ መጨረሻዎች የተለየ ነው። የሒሳብ ትርጉምን እናስታውስ፡-

አሁን፣ $y$ን በማወቅ፣ የተቀሩትን ቁጥሮች እናገኛለን። $x$ በ$ -\frac(1)(2)$ እና አሁን ባገኘነው $y=-\frac(1)(3)$ መካከል እንደሚገኝ ልብ ይበሉ። ለዛ ነው

ተመሳሳይ ምክንያትን በመጠቀም የቀረውን ቁጥር እናገኛለን፡-

ዝግጁ! ሶስቱንም ቁጥሮች አግኝተናል። በመጀመሪያዎቹ ቁጥሮች መካከል ማስገባት ያለባቸውን በቅደም ተከተል በመልሱ ውስጥ እንጽፋቸው.

መልስ፡- $ -\frac(5)(12)፤\ -\frac(1)(3)፤

ተግባር ቁጥር 10 በቁጥር 2 እና 42 መካከል የገቡት ቁጥሮች የመጀመሪያ ፣ ሁለተኛ እና የመጨረሻ ድምር 56 መሆኑን ካወቁ ፣ ከእነዚህ ቁጥሮች ጋር ፣ የሂሳብ እድገትን የሚፈጥሩ ብዙ ቁጥሮችን ያስገቡ።

መፍትሄ። ይበልጥ ውስብስብ የሆነ ችግር, ሆኖም ግን, እንደ ቀድሞዎቹ ተመሳሳይ መርሃግብር - በሂሳብ ስሌት. ችግሩ ምን ያህል ቁጥሮች ማስገባት እንዳለብን በትክክል አለማወቃችን ነው። ስለዚህ ፣ ሁሉንም ነገር ከገባን በኋላ በትክክል $n$ ቁጥሮች እንደሚኖሩ እንገምት ፣ እና የመጀመሪያው 2 ፣ እና የመጨረሻው 42 ነው ። በዚህ ሁኔታ ፣ የሚፈለገው የሂሳብ እድገት በቅጹ ውስጥ ሊወከል ይችላል ።

\[\ግራ(((a)_(n)) \ቀኝ)=\ግራ$ 2;((ሀ)__(2));((ሀ)__(3));...;(( ሀ)_(n-1));42 \ቀኝ$\]

\[((ሀ)__(2))+((ሀ)__(3))+((ሀ)__(n-1))=56\]

ነገር ግን $((a)__(2))$ እና $((a)__(n-1))$ ቁጥሮች ከቁጥር 2 እና 42 ከዳርቻው በአንድ እርምጃ እርስበርስ እንደሚገኙ አስተውል። ማለትም. ወደ ቅደም ተከተል መሃል. እና ይሄ ማለት ነው።

\[((ሀ)__(2))+((ሀ)__(n-1))=2+42=44\]

ግን ከዚያ በላይ የተጻፈው አገላለጽ እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(2))+((ሀ)__(3))+((ሀ)__(n-1))=56; \\ & \ግራ(((ሀ)__(2))+((ሀ)__(n-1)) \ቀኝ)+((ሀ)__(3))=56; \\ & 44+((ሀ)__(3))=56; \\ & ((ሀ)__(3))=56-44=12። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

$((a)__(3))$ እና $((a)__(1))$ን በማወቅ የሂደቱን ልዩነት በቀላሉ ማግኘት እንችላለን፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(3))-((ሀ)__(1))=12-2=10; \\ & (((ሀ)__(3))-((ሀ)__(1))=\ግራ(3-1 \ቀኝ)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ቀኝ ቀስት d=5። \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

የቀረውን ቀሪ ውሎችን ማግኘት ብቻ ነው፡-

\[\ጀምር (አሰላለፍ) & ((ሀ)__(1))=2; \\ & ((ሀ)__(2))=2+5=7; \\ & ((ሀ)__(3))=12; \\ & (((ሀ)__(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & (((ሀ)__(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & (((ሀ)__(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & (((ሀ)__(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & (((ሀ)__(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & (((ሀ)__(9))=2+8\cdot 5=42; \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]

ስለዚህ, ቀድሞውኑ በ 9 ኛው ደረጃ በቅደም ተከተል በግራ በኩል እንደርሳለን - ቁጥር 42. በአጠቃላይ, 7 ቁጥሮች ብቻ ማስገባት ነበረባቸው: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

መልስ፡ 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

የቃል ችግሮች በእድገት

ለማጠቃለል ያህል በአንጻራዊነት ቀላል የሆኑ ሁለት ችግሮችን ግምት ውስጥ ማስገባት እፈልጋለሁ. ደህና፣ እንደዛ ቀላል፣ በትምህርት ቤት ውስጥ የሂሳብ ትምህርት ለሚማሩ እና ከላይ የተጻፈውን ያላነበቡ አብዛኞቹ ተማሪዎች፣ እነዚህ ችግሮች ከባድ ሊመስሉ ይችላሉ። ቢሆንም፣ እነዚህ በ OGE እና በሒሳብ የተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ የሚታዩት የችግሮች አይነት ናቸው፣ ስለዚህ እራስዎን በደንብ እንዲያውቁዋቸው እመክራለሁ።

ተግባር ቁጥር 11. ቡድኑ በጥር ወር 62 ክፍሎችን ያመረተ ሲሆን በየቀጣዩ ወር ካለፈው ወር 14 ተጨማሪ ክፍሎችን አምርቷል። ቡድኑ በህዳር ምን ያህል ክፍሎች አመረተ?

መፍትሄ። በወር የተዘረዘሩ ክፍሎች ቁጥር እየጨመረ የሚሄደውን የሂሳብ እድገትን እንደሚወክል ግልጽ ነው። ከዚህም በላይ፡-

\[\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)__(1))=62;\quad d=14; \\ & (((a)_(n))=62+\ግራ(n-1 \በቀኝ)\cdot 14. \\\መጨረሻ(align)\]

ህዳር የአመቱ 11ኛው ወር ነው፣ስለዚህ $((a)__(11))$ ማግኘት አለብን::

\[((ሀ)__(11))=62+10\cdot 14=202\]

ስለዚህ በህዳር ወር 202 ክፍሎች ይመረታሉ.

ተግባር ቁጥር 12. የመጽሃፍ ማሰሪያው አውደ ጥናት በጥር ወር 216 መጽሃፎችን ያሰረ ሲሆን በእያንዳንዱ ወር ውስጥ ካለፈው ወር የበለጠ 4 መጽሃፎችን አስሯል። ወርክሾፑ በታህሳስ ወር ስንት መጽሃፎችን አሳሰረ?

መፍትሄ። ሁሉም ተመሳሳይ:

$\ጀማሪ (አሰላለፍ) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & (((a)__(n))=216+\ግራ(n-1 \በቀኝ)\cdot 4. \\\መጨረሻ(align)$

ዲሴምበር የዓመቱ የመጨረሻ፣ 12ኛው ወር ነው፣ ስለዚህ እኛ የምንፈልገው $((a)__(12))$፡

\[((ሀ)__(12))=216+11\cdot 4=260\]

መልሱ ይህ ነው - በታህሳስ ወር 260 መጽሐፍት ይታሰራሉ።

ደህና፣ ይህን እስካሁን ካነበብክ፣ እንኳን ደስ ለማለት ቸኩያለሁ፡ በሂሳብ እድገቶች ውስጥ "የወጣቱን ተዋጊ ኮርስ" በተሳካ ሁኔታ አጠናቅቀሃል። ወደ ቀጣዩ ትምህርት በደህና መሄድ ይችላሉ, ለእድገት ድምር ቀመር, እንዲሁም ከእሱ ጠቃሚ እና በጣም ጠቃሚ ውጤቶችን እናጠናለን.

በርዕሱ ላይ ትምህርት እና የዝግጅት አቀራረብ: "የቁጥር ቅደም ተከተሎች. አርቲሜቲክ እድገት"

ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ! ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.

ለ 9 ኛ ክፍል የመማሪያ መጽሐፍት በመስመር ላይ መደብር ውስጥ የትምህርት መርጃዎች "Integral".
ማካሪቼቫ ዩ.ኤን. አሊሞቫ ሸ.ኤ. ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ. ሙራቪና ጂ.ኬ.

ስለዚህ የሂሳብ እድገት ምንድን ነው?

ከሁለተኛው ጀምሮ እያንዳንዱ ቃል ከቀዳሚው ድምር ጋር እኩል የሆነበት እና የተወሰነ ቋሚ ቁጥር የሂሳብ እድገት ተብሎ የሚጠራበት የቁጥር ቅደም ተከተል።

የሂሳብ ግስጋሴ በተደጋጋሚ የተገለጸ የቁጥር እድገት ነው።

ተደጋጋሚ ቅጹን እንፃፍ፡- $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$፣ ቁጥር d - የሂደት ልዩነት። a እና d የተወሰኑ የተሰጡ ቁጥሮች ናቸው።

ለምሳሌ. 1,4,7,10,13,16... የሂሳብ እድገት በ$a=1፣ d=3$።

ለምሳሌ. 3፣0፣-3፣-6፣-9... በ$a=3፣ d=-3$ የሂሳብ እድገት።

ለምሳሌ. 5፣5፣5፣5፣5... የሂሳብ እድገት በ$a=5፣ d=0$።

የሒሳብ ግስጋሴ የነጠላነት ባህሪያት አሉት፡ የሂደቱ ልዩነት ከዜሮ በላይ ከሆነ ቅደም ተከተል እየጨመረ ይሄዳል, የሂደቱ ልዩነት ከዜሮ ያነሰ ከሆነ, ቅደም ተከተል እየቀነሰ ይሄዳል.

የሒሳብ ግስጋሴ የተወሰነ ቁጥር ያለው ንጥረ ነገር ካለው፣ እድገቱ ውሱን የሂሳብ ግስጋሴ ይባላል።

ቅደም ተከተል $a_(n)$ ከተሰጠ፣ እና እሱ የሂሳብ ግስጋሴ ከሆነ፡- $a_(1)፣ a_(2)፣ …፣ a_(n)፣ …$ን ማመላከት የተለመደ ነው።

ለ 1 ኛ ጊዜ የሂሳብ እድገት ቀመር

የሂሳብ ግስጋሴም በትንታኔ መልክ ሊገለጽ ይችላል። ይህን እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እንይ፡-
$a_(1)=a_(1)$
$a_(2)=a_(1)+d$።
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$።
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$።
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$።
ስርዓተ-ጥለትን በቀላሉ እናስተውላለን፡ $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$።
የኛ ቀመር የ nth ቃል የሂሳብ እድገት ቀመር ይባላል።

ወደ ምሳሌዎቻችን እንመለስና ለእያንዳንዱ ምሳሌ ቀመራችንን እንፃፍ።

ለምሳሌ. 1፣4፣7፣10፣13፣16... አርቲሜቲክ ግስጋሴ፣ በዚህ ውስጥ a=1፣ d=3። $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$።

ለምሳሌ. 3፣0፣-3፣-6፣-9... አርቲሜቲክ ግስጋሴ፣ ለዚህም a=3፣ d=-3። $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$።

ለምሳሌ. ከሒሳብ እድገት አንጻር፡ $a_(1)፣ a_(2)፣ …፣ a_(n)፣ …$።
ሀ) እንደሚታወቀው $a_(1)=5$፣$d=3$። $a_(23)$ ያግኙ።
ለ) እንደሚታወቀው $a_(1)=4$፣$d=5$፣$a_(n)=109$። ን ያግኙ.
ሐ) $d=-1$፣$a_(22)=15$ መሆኑ ይታወቃል። $a_(1)$ ያግኙ።
መ) እንደሚታወቀው $a_(1)=-3$፣ $a_(10)=24$። አግኝ መ.
መፍትሄ።
ሀ) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$።
ለ) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$።
$5n=110=>n=22$።
ሐ) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$።
መ) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>መ=3$።

ለምሳሌ. የሒሳብ ግስጋሴ ዘጠነኛውን ቃል በሁለተኛው ቃል ሲከፋፈለው ሒሳቡ 7 ይቀራል፣ ዘጠነኛውን ቃል በአምስተኛው ሲካፈል ነጥቡ 2 ሲሆን ቀሪው 5 ነው። የሂደቱን ሠላሳኛው ቃል ይፈልጉ።
መፍትሄ።
የእድገታችንን ቀመሮች 2፣5 እና 9 ቅደም ተከተሎች እንፃፍ።
$a_(2)=a_(1)+d$።
$a_(5)=a_(1)+4d$።
$a_(9)=a_(1)+8d$።
እኛም ከሁኔታው እናውቃለን፡-
$a_(9)=7a_(2)$
$a_(9)=2a_(5)+5$።
ወይም፡-
$a_(1)+8d=7(a_(1)+መ)$።
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4መ)+5$።
የእኩልታዎች ስርዓት እንፍጠር፡-
$\ጀማሪ(ጉዳይ)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\መጨረሻ(ጉዳይ)$።
$\ጀማሪ (ጉዳይ) d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\መጨረሻ(ጉዳይ)$።
ስርዓቱን ከፈታን በኋላ: $d=6, a_(1)=1$.
$a_(30)$ን እናገኝ።
$a_(30)=a_(1)+29d=175$።

የመጨረሻ የሂሳብ እድገት ድምር

ውሱን የሆነ የሂሳብ እድገት ይኑረን። ጥያቄው የሚነሳው የሁሉንም አባላት ድምር ማስላት ይቻላል?
ይህንን ጉዳይ ለመረዳት እንሞክር.
የተወሰነ የሂሳብ እድገት ይስጥ፡$a_(1)፣a_(2)፣…a_(n-1)፣a_(n)$።
ለቃላቶቹ ድምር ማስታወሻውን እናስተዋውቀው፡ $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$።
መጠኑ ምን ያህል እንደሚመጣጠን አንድ የተወሰነ ምሳሌ እንመልከት።

የሒሳብ እድገት 1፣2፣3፣4፣5...100 ይሰጠን።
የአባላቱን ድምር እንደሚከተለው እናቅርብ።
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
ግን ተመሳሳይ ቀመር ለማንኛውም የሂሳብ እድገት ተግባራዊ ይሆናል፡
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$።
ቀመራችንን በአጠቃላይ ሁኔታ እንፃፍ፡- $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$፣ የት $k<1$.
የሒሳብ ግስጋሴ ቃላት ድምርን ለማስላት ቀመር እናውጣ፣ ቀመሩን በተለያየ ቅደም ተከተል ሁለት ጊዜ ጻፍ፡-
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$።
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$።
እነዚህን ቀመሮች አንድ ላይ እንጨምር፡-
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_) (n)+a_(1))$
በእኩልነታችን በቀኝ በኩል n ውሎች አሉ፣ እና እያንዳንዳቸው ከ$a_(1)+a_(n)$ ጋር እኩል መሆናቸውን እናውቃለን።
ከዚያም፡-
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n))))(2)$።
የእኛ ቀመር እንዲሁ በቅጹ እንደገና ሊፃፍ ይችላል፡ ከ$a_(n)=a_(1)+(n-1)d$፣ ጀምሮ
ከዚያ $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$።
ብዙውን ጊዜ ይህንን ልዩ ቀመር ለመጠቀም የበለጠ አመቺ ነው, ስለዚህ እሱን ማስታወስ ጥሩ ነው!

ለምሳሌ. የተወሰነ የሂሳብ እድገት ተሰጥቷል።
አግኝ፡
ሀ) $s_(22)፣ a_(1)=7 ከሆነ፣ d=2$።
b) d,$a_(1)=9$፣$s_(8)=144$ ከሆነ።
መፍትሄ።
ሀ) ሁለተኛውን ድምር ቀመር $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) እንጠቀም። *22 = 616 ዶላር
ለ) በዚህ ምሳሌ ውስጥ የመጀመሪያውን ቀመር $ S_(8)=\frac (8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$ እንጠቀማለን።
$144=36+4a_(8)$
$a_(8)=27$
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$።
$d=2\frac(4)(7)$

ለምሳሌ. ሁሉንም ያልተለመዱ ባለ ሁለት አሃዞች ድምር ያግኙ።
መፍትሄ።
የእድገታችን ውሎች፡- $a_(1)=11$፣ $a_(2)=13$፣ …፣ $a_(n)=99$ ናቸው።
የሂደቱን የመጨረሻ ቃል ቁጥር እንፈልግ፡-
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$።
$99=11+2(n-1)$
$n=45$
አሁን ድምሩን እንፈልግ፡ $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=2475$።

ለምሳሌ. ሰዎቹ በእግር ጉዞ ሄዱ። በመጀመሪያ ሰዓት 500 ሜትር በእግር መሄዳቸው የሚታወቅ ሲሆን ከዚያ በኋላ ከመጀመሪያው ሰዓት 25 ሜትር ያነሰ የእግር ጉዞ ማድረግ እንደጀመሩ ይታወቃል። 2975 ሜትር ለመሸፈን ምን ያህል ሰአት ይፈጅባቸዋል?
መፍትሄ።
በእያንዳንዱ ሰአት የተጓዘው መንገድ እንደ የሂሳብ እድገት ሊወከል ይችላል፡-
$a_(1)=500$፣ $a_(2)=475$፣ $a_(3)=450…$።
የሒሳብ ዕድገት ልዩነት $d=-25$ ነው።
በ 2975 ሜትር ውስጥ የተሸፈነው ርቀት የሒሳብ ግስጋሴ ውሎች ድምር ነው.
$S_(n)=2975$፣ በጉዞ ላይ የሚያጠፉት ሰዓቶች የት ነው።
ከዚያም፡-
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$፣ $n=2975$።
$1000n-25(n-1)n=$5950።
ሁለቱንም ጎኖች በ 25 ይከፋፍሏቸው.
$40n-(n-1) n=$238።
$n^2-41n+238=0$።
$n_(1)=7$፣ $n_(2)=34$።
$n=7$ን መምረጥ የበለጠ ምክንያታዊ እንደሆነ ግልጽ ነው።
መልስ። ሰዎቹ ለ 7 ሰዓታት በመንገድ ላይ ነበሩ.

የሒሳብ እድገት የባህሪ ባህሪ

ጓዶች፣ የሂሳብ ግስጋሴ ከተሰጠን፣ የዘፈቀደ ሶስት ተከታታይ የሂደቱን ቃላት እናስብ፡$a_(n-1)$፣ $a_(n)$፣ $a_(n+1)$።
ያንን እናውቃለን፡-
$a_(n-1)=a_(n)-d$።
$a_(n+1)=a_(n)+d$።
አባባሎቻችንን አንድ ላይ እናድርግ፡-
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$።
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$።

ግስጋሴው ውሱን ከሆነ፣ ይህ እኩልነት ከመጀመሪያው እና ከመጨረሻው በስተቀር ለሁሉም ውሎች ይቆያል።
ቅደም ተከተል ምን ዓይነት ቅርጽ እንዳለው አስቀድሞ ካልታወቀ ነገር ግን እንደሚታወቀው፡ $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$።
ከዚያ ይህ የሂሳብ እድገት ነው ብለን በእርግጠኝነት መናገር እንችላለን።

የቁጥር ቅደም ተከተል የሒሳብ ግስጋሴ ሲሆን እያንዳንዱ የዚህ ግስጋሴ አባል ከሁለቱ ጎረቤት የእድገታችን አባላት የሂሳብ አማካኝ ጋር እኩል ሲሆን (ለተወሰነ እድገት ይህ ሁኔታ ለእድገቱ የመጀመሪያ እና የመጨረሻ አባል እንደማይረካ አይርሱ) .

ለምሳሌ. እንደ $3x+2$ x ፈልግ; $ x-1$; $4x+3$ - የሶስት ተከታታይ የሂሳብ እድገት ውሎች።
መፍትሄ። የእኛን ቀመር እንጠቀም፡-
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$።
$2x-2=7x+5$።
$-5x=7$
$x=-1\frac(2)(5)=-1.4$።
እንፈትሽ፣ አገላለጾቻችን ቅጹን ይወስዳሉ፡ -2,2; -2.4; -2.6.
በግልጽ እንደሚታየው እነዚህ የሂሳብ እድገት ውሎች እና $d=-0.2$ ናቸው።

በተናጥል ለመፍታት ችግሮች

1. የሃያ አንደኛውን የሒሳብ ግስጋሴ ቃል ያግኙ 38፤30፤22…
2. የአስራ አምስተኛውን የሒሳብ ሂደት ፈልግ 10፣21፣32...
3. እንደሚታወቀው $a_(1)=7$፣$d=8$። $a_(31)$ ያግኙ።
4. እንደሚታወቀው $a_(1)=8$፣$d=-2$፣$a_(n)=-54$። ን ያግኙ.
5. የመጀመሪያዎቹን አስራ ሰባት የአርቲሜቲክ ሂደቶች ድምርን ያግኙ 3;12;21….
6. x እንዲህ ያለውን $2x-1$ ፈልግ; $3x+1$; $5x-7$ - የሶስት ተከታታይ የሂሳብ እድገት ውሎች።

አርቲሜቲክ እድገትየቁጥሮችን ቅደም ተከተል ሰይም (የእድገት ውሎች)

በዚህ ውስጥ እያንዳንዱ ቀጣይ ቃል ከቀዳሚው የተለየ በአዲስ ቃል ፣ እሱም እንዲሁ ተብሎ ይጠራል የእርምጃ ወይም የእድገት ልዩነት.

ስለዚህ ፣ የሂደቱን ደረጃ እና የመጀመሪያ ቃሉን በመግለጽ ፣ ቀመሩን በመጠቀም ማንኛውንም ንጥረ ነገሮቹን ማግኘት ይችላሉ።

የሂሳብ እድገት ባህሪዎች

1) እያንዳንዱ የሂሳብ ግስጋሴ አባል ከሁለተኛው ቁጥር ጀምሮ የቀደሙት እና ቀጣይ የሂደቱ አባላት የሂሳብ አማካኝ ነው።

ንግግሩም እውነት ነው። ከጎን ያሉት ጎዶሎ (እንዲያውም) የእድገት ቃላቶች በመካከላቸው ካለው ቃል ጋር እኩል ከሆነ ይህ የቁጥር ቅደም ተከተል የሂሳብ ግስጋሴ ነው። ይህንን መግለጫ በመጠቀም, ማንኛውንም ቅደም ተከተል ማረጋገጥ በጣም ቀላል ነው.

እንዲሁም፣ በሒሳብ ዕድገት ንብረት፣ ከላይ ያለው ቀመር ወደሚከተለው ሊጠቃለል ይችላል።