መልስ: ተከታታይ ይለያያሉ.
ምሳሌ ቁጥር 3
የተከታታይ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ድምርን አግኝ።
የማጠቃለያው ዝቅተኛ ወሰን 1 ስለሆነ የተከታታዩ የጋራ ቃል በድምር ምልክት፡ $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ይጻፋል። የተከታታዩን ኒተኛውን ከፊል ድምር እናድርገው፣ ማለትም. የአንድ የተወሰነ ተከታታይ ቁጥር የመጀመሪያዎቹን $n$ ውሎች እናጠቃልል።
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))። $$
ለምን በትክክል $\frac(2)(3\cdot 5)$ን እፅፋለሁ እና $\frac(2)(15)$ ሳይሆን ፣ከቀጣዩ ትረካ ግልፅ ይሆናል። ነገር ግን፣ ከፊል መጠን መፃፍ አንድ ኢኦታ ወደ ግባችን አላቀረብንም። $\lim_(n\to\infty)S_n$ን ማግኘት አለብን፣ ነገር ግን ዝም ብለን ከጻፍን፦
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\ግራ(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\ቀኝ)፣ $$
እንግዲያውስ ይህ መዝገብ፣ ፍጹም ትክክለኛ በሆነ መልኩ፣ በመሰረቱ ምንም አይሰጠንም። ገደቡን ለማግኘት የከፊል ድምር አገላለጽ መጀመሪያ ማቅለል አለበት።
ለዚህ መደበኛ ለውጥ አለ፣ እሱም ክፍልፋይ $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$፣ የተከታታዩን አጠቃላይ ቃል ወደ አንደኛ ደረጃ ክፍልፋዮች መበስበስን ያካትታል። የተለየ ርዕስ የተመደበው ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ወደ አንደኛ ደረጃ መበስበስ ጉዳይ ነው (ለምሳሌ በዚህ ገጽ ላይ ለምሳሌ ቁጥር 3 ይመልከቱ)። ክፍልፋዩን $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ወደ አንደኛ ደረጃ ክፍልፋዮች በማስፋፋት እኛ ይኖረናል፡
$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3))። $$
በውጤቱ እኩልነት በግራ እና በቀኝ በኩል ያሉትን ክፍልፋዮች ቁጥሮችን እናነፃፅራለን-
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)። $$
የ$A$ እና $B$ እሴቶችን ለማግኘት ሁለት መንገዶች አሉ። ቅንፎችን መክፈት እና ውሎቹን ማስተካከል ይችላሉ፣ ወይም በቀላሉ ከ$n$ ይልቅ አንዳንድ ተስማሚ እሴቶችን መተካት ይችላሉ። ለልዩነት ብቻ ፣ በዚህ ምሳሌ ውስጥ የመጀመሪያውን መንገድ እንሄዳለን ፣ እና በሚቀጥለው ውስጥ የግል እሴቶችን $ n$ እንተካለን። ቅንፎችን በመክፈት እና ውሎችን እንደገና በማስተካከል የሚከተሉትን እናገኛለን
$$ 2=2An+3A+2Bn+B፤\\ 2=(2A+2B)n+3A+B። $$
በእኩልነት በግራ በኩል፣ $n$ በዜሮ ይቀድማል። ከፈለግክ፣ ግልፅ ለማድረግ፣ የእኩልነት ግራ ጎን እንደ $0\cdot n+ 2$ ሊወከል ይችላል። በግራ በኩል በ $ n$ እኩልነት በዜሮ ስለሚቀድም እና በ $ n$ በቀኝ በኩል $ 2A+2B$ ይቀድማል, የመጀመሪያው እኩልታ አለን: $2A+2B=0$. ወዲያውኑ የዚህን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ 2 እንከፋፍል, ከዚያ በኋላ $ A+B=0$ እናገኛለን.
በእኩልነት በግራ በኩል የነፃው ቃል ከ 2 ጋር እኩል ስለሆነ እና በቀኝ በኩል ደግሞ የነፃው ቃል $ 3A + B$, ከዚያም $ 3A + B=2$ እኩል ነው. ስለዚ፡ ስርዓት አለን፡
$$ \ግራ\(\ጀማሪ(የተሰለፈ) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \መጨረሻ(የተስተካከለ)\ቀኝ። $$
የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴን በመጠቀም ማረጋገጫውን እናከናውናለን. በመጀመሪያ ደረጃ፣ እየተረጋገጠ ያለው እኩልነት $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ በ$n=1$ መሆኑን ማረጋገጥ አለቦት። $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ መሆኑን እናውቃለን፣ነገር ግን $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ የሚለው አገላለፅ $\frac() ይሰጣል። 2 )(15)$፣ በእሱ ውስጥ $n=1$ ብንተካው? እስቲ እንፈትሽ፡
$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15)። $$
ስለዚህ፣ ለ$n=1$ የ$S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ እኩልነት ረክቷል። ይህ የማቲማቲካል ኢንዳክሽን ዘዴን የመጀመሪያ ደረጃ ያጠናቅቃል.
ለ$n=k$ እኩልነት እንደረካ እናስብ፣ ማለትም። $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$። ተመሳሳዩ እኩልነት በ$n=k+1$ እንደሚሟላ እናረጋግጥ። ይህንን ለማድረግ፣ $S_(k+1)$ን አስቡበት፡-
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)። $$
ከ$u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$፣ከዚያ $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 -\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$። ከ$S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ በላይ በተሰራው ግምት መሰረት፣ ስለዚህ ቀመር $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ ቅጹን ይወስዳል፡-
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3)። $$
ማጠቃለያ፡ ቀመር $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ለ$n=k+1$ ትክክል ነው። ስለዚህ፣ በሂሳብ ኢንዳክሽን ዘዴ መሰረት፣ ቀመር $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ለማንኛውም $n\n በN$ ውስጥ እውነት ነው። እኩልነት ተረጋግጧል።
በከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት መደበኛ ኮርስ፣ ምንም አይነት ማረጋገጫ ሳያስፈልጋቸው ብዙውን ጊዜ “በማቋረጥ” ቃላቶችን በመሰረዝ ይረካሉ። ስለዚህ፣ የ nኛው ከፊል ድምር አገላለጽ አግኝተናል፡ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$። የ$\lim_(n\to\infty)S_n$: ዋጋን እናገኝ
ማጠቃለያ፡ የተሰጠው ተከታታዮች ይሰበሰባሉ እና ድምሩ $S=\frac(1)(3)$ ነው።
ለከፊል ድምር ቀመርን ለማቃለል ሁለተኛው መንገድ.
እንደ እውነቱ ከሆነ ይህንን ዘዴ እራሴ እመርጣለሁ :) ከፊል መጠኑን በአህጽሮተ ቃል እንጽፈው፡-
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))። $$
ቀደም ብለን $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$፣ስለዚህ፡-
$$ S_n=\ ድምር\liits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\ ድምር \ ገደብ_(k=1)^(n)\ግራ (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\ቀኝ)። $$
የ$S_n$ ድምር ውሱን የቃላት ብዛት ይዟል፣ስለዚህ እንደፈለግን እንደገና ልናስተካክላቸው እንችላለን። በመጀመሪያ ሁሉንም የቅጹን ውሎች $\frac(1)(2k+1)$ ማከል እፈልጋለሁ፣ እና ከዚያ በኋላ ብቻ ወደ $\frac(1)(2k+3)$ ቅፅ ውሎች መቀጠል እፈልጋለሁ። ይህም ከፊል መጠኑን እንደሚከተለው እናቀርባለን።
$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) -\ግራ(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\ቀኝ)። $$
እርግጥ ነው፣ የተስፋፋው ማስታወሻ እጅግ በጣም ምቹ አይደለም፣ ስለዚህ ከላይ ያለው እኩልነት ይበልጥ በተጨባጭ ሊጻፍ ይችላል፡-
$$ S_n=\ ድምር \liits_(k=1)^(n)\ግራ(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\ right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)። $$
አሁን $\frac(1)(2k+1)$ እና $\frac(1)(2k+3)$ን ወደ አንድ ቅፅ እንቀይር። እኔ እንደማስበው ወደ ትልቅ ክፍልፋይ መልክ ለመቀነስ አመቺ ነው (ምንም እንኳን ትንሽ መጠቀም ቢቻልም, ይህ የጣዕም ጉዳይ ነው). ከ$\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$(ተከፋፋዩ ትልቁ፣ ክፍልፋዩ ትንሽ ከሆነ) ክፍልፋይ $\frac(1)(2k+) እንሰጠዋለን። 3) $ ወደ $\frac(1)(2k+1)$ ቅፅ።
አገላለጹን በክፍልፋይ $\frac(1)(2k+3)$ አካፋይ ውስጥ እንደሚከተለው አቀርባለሁ።
$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1)። $$
እና ድምር $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ አሁን እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል።
$$ \ ድምር \ ሊሚትስ_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\ ድምር\ ገደብ_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ))+1)=\ ድምር \ ገደብ_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)። $$
እኩልነት $\ ድምር \u003c(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+) ከሆነ 1) $ ምንም አይነት ጥያቄ አያነሳም፣ እንግዲያውስ እንቀጥል። ማንኛውም ጥያቄ ካለዎት እባክዎን ማስታወሻውን ያስፋፉ።
የተቀየረውን መጠን እንዴት አገኘን? አሳይ\ደብቅ
ተከታታይ $\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(2) ነበረን። k+1)+1)$ ከ$k+1$ ይልቅ አዲስ ተለዋዋጭ እናስተዋውቅ - ለምሳሌ $t$። ስለዚህ $t=k+1$።
የድሮው ተለዋዋጭ $k$ እንዴት ተለወጠ? እና ከ1 ወደ $n$ ተቀይሯል። አዲሱ ተለዋዋጭ $t$ እንዴት እንደሚቀየር እንወቅ። $k=1$ ከሆነ፣ ከዚያ $t=1+1=2$። $k=n$ ከሆነ፣ ከዚያ $t=n+1$። ስለዚህ $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ የሚለው አገላለጽ አሁን፡ $\sum\limits_(t=2)^(n) ይሆናል። +1)\frac(1)(2t+1)$።
$$ \ ድምር \ ሊሚትስ_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) (2ቲ+1) $$
ድምር $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ አለን። ጥያቄ፡ በዚህ መጠን ውስጥ የትኛው ፊደል ጥቅም ላይ እንደሚውል ምንም ለውጥ የለውም? :) ከ$t$ ይልቅ $k$ን ብቻ በመጻፍ የሚከተለውን እናገኛለን።
$$ \ ድምር \ ሊሚትስ_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\ ድምር\ ገደብ_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1) $$
እኩልነትን የምናገኘው በዚህ መንገድ ነው $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$
ስለዚህ, ከፊል ድምር እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል.
$$ S_n=\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\ ድምር \ ገደብ_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\ sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$
ልብ ይበሉ $\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ እና $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) )(2k+1)$ የሚለያየው በማጠቃለያ ገደቦች ብቻ ነው። እነዚህን ገደቦች አንድ አይነት እናድርጋቸው። የመጀመሪያውን ንጥረ ነገር ከ$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ ድምር ላይ "ማንሳት" ይኖረናል፡-
$$ \ ድምር \ ገደብ_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)። $$
የመጨረሻውን ንጥረ ነገር ከ$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ ድምርን በማውጣት፣ የሚከተለውን እናገኛለን፡-
$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\ ድምር\ ገደብ_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3) )$$
ከዚያ የከፊል ድምር መግለጫው ቅጹን ይወስዳል-
$$ S_n=\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\ግራ(\ ድምር\ሊሚትስ_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\ቀኝ)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n) \ frac (1) (2k+1)-\ ድምር \ ገደብ_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac (1) (3)-\frac (1) (2n+3)። $$
ሁሉንም ማብራሪያዎች ከዘለሉ ለ nth ከፊል ድምር አጭር ቀመር የማግኘት ሂደት የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል።
$$ S_n=\ sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\ግራ(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k) =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\ግራ(\ sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\ቀኝ)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)። $$
እስቲ ላስታውስህ የ$\frac(1)(2k+3)$ን ክፍል ወደ $\frac(1)(2k+1)$ ቅፅ የቀነስነው። እርግጥ ነው, ተቃራኒውን ማድረግ ይችላሉ, ማለትም. ክፍልፋይ $\frac(1)(2k+1)$ እንደ $\frac(1)(2k+3)$ ይወክላል። የከፊል ድምር የመጨረሻው አገላለጽ አይለወጥም. በዚህ ሁኔታ, በማስታወሻ ስር ያለውን ከፊል መጠን የማግኘት ሂደቱን እደብቃለሁ.
ወደ ሌላ ክፍልፋይ ከተለወጠ $S_n$ን እንዴት ማግኘት ይቻላል? አሳይ\ደብቅ
$$ S_n =\ ድምር \ ገደብ_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) ) =\ ድምር \ሊሚትስ_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\ sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\ግራ(\sum\limits_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\ቀኝ) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3) ). $$
ስለዚህ፣ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$። ገደቡን ከ$\lim_(n\to\infty)S_n$ ያግኙ።
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\ግራ(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1) (3)-0=\frac(1)(3)። $$
የተሰጠው ተከታታይ ድምር $S=\frac(1)(3)$።
መልስ: $S=\frac(1)(3)$።
የተከታታይ ድምርን የማግኘት ርዕስ ቀጣይነት በሁለተኛው እና በሦስተኛው ክፍል ውስጥ ይብራራል.
መሰረታዊ ትርጓሜዎች
ፍቺ ማለቂያ የሌለው የቁጥር ቅደም ተከተል ውሎች ድምር የቁጥር ተከታታይ ይባላል።
በዚህ ሁኔታ, የተከታታዩን ቁጥሮች አባላት እንጠራዋለን, እና un - የተከታታዩ የጋራ ቃል.
ፍቺ ድምር፣ n = 1፣ 2፣ ... የተከታታዩ የግል (ከፊል) ድምር ይባላሉ።
ስለዚህም የተከታታይ S1፣ S2፣…፣ Sn፣…
ፍቺ ተከታታይ የከፊል ድምሮቹ ቅደም ተከተል ከተጣመረ convergent ይባላል። የአንድ ተከታታይ ድምር ድምር ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ገደብ ነው።
ፍቺ የተከታታይ ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ቢለያይ፣ ማለትም። ገደብ የለውም፣ ወይም ገደብ የለሽ ገደብ አለው፣ ከዚያም ተከታታዩ የተለያዩ ተብለው ይጠራሉ እና ምንም ድምር አልተመደበም።
የረድፍ ባህሪያት
1) የተከታታዩን ተከታታይ ውሎች ከቀየሩ፣ ካስወገዱ ወይም ከጨመሩ የተከታታዩ ውህደት ወይም ልዩነት አይጣስም።
2) ሁለት ተከታታዮችን ተመልከት እና C ቋሚ ቁጥር ባለበት.
ቲዎረም. ተከታታይ ከተጣመረ እና ድምሩ ከኤስ ጋር እኩል ከሆነ፣ ተከታታዩ እንዲሁ ይሰበሰባል እና ድምሩ ከCS ጋር እኩል ነው። (ሲ 0)
3) ሁለት ረድፎችን አስቡ እና. የእነዚህ ተከታታዮች ድምር ወይም ልዩነት ተመሳሳይ ቁጥሮች ያላቸው የመጀመሪያዎቹ ንጥረ ነገሮች በመደመር (መቀነስ) ምክንያት ንጥረ ነገሮቹ የተገኙበት ተከታታይ ተብሎ ይጠራል.
ቲዎረም. ተከታታዩ እና ተሰባስበው እና ድምራቸው ከS ጋር እኩል ከሆኑ እና እንደቅደም ተከተላቸው፣ተከታታዩም እንዲሁ ይሰበሰባሉ እና ድምሩ ከS + ጋር እኩል ነው።
የሁለት ተከታታይ ተከታታይ ልዩነት እንዲሁ የተጣመረ ተከታታይ ይሆናል.
የተቀናጀ እና ተለዋዋጭ ተከታታይ ድምር የተለያየ ተከታታይ ነው።
ስለ ሁለት የተለያዩ ተከታታይ ድምር አጠቃላይ መግለጫ መስጠት አይቻልም።
ተከታታይን በሚያጠኑበት ጊዜ በዋናነት ሁለት ችግሮችን ይፈታሉ፡ መገጣጠምን ማጥናት እና የተከታታይ ድምርን ማግኘት።
ጎበዝ መስፈርት።
(ለተከታታዩ ውህደት አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታዎች)
ቅደም ተከተላቸው የተጣመረ እንዲሆን ለማንም ቁጥር N መኖሩ አስፈላጊ እና በቂ ነው, ለ n > N እና ለማንኛውም p > 0, p ኢንቲጀር ከሆነ, እኩልነት ሊኖር ይችላል:
ማረጋገጫ። (አስፈላጊነት)
እንግዲያውስ ለማንኛውም ቁጥር ቁጥር N እንደዚህ ያለ እኩልነት አለ
የሚሞላው n>N ሲሆን ነው። ለ n>N እና ለማንኛውም ኢንቲጀር p>0 እኩልነትም አለው። ሁለቱንም እኩልነቶች ከግምት ውስጥ በማስገባት የሚከተሉትን እናገኛለን-
ፍላጎቱ ተረጋግጧል. የብቃት ማረጋገጫውን አንመለከትም።
ለተከታታይ የCauchy መስፈርት እንቅረፅ።
ተከታታዩ እርስ በርስ እንዲጣመሩ፣ ለማንኛውም N ቁጥር መኖሩ አስፈላጊ እና በቂ ነው ፣ ይህም ለ n>N እና ለማንኛውም p>0 እኩልነት ሊኖር ይችላል
ነገር ግን, በተግባር, የ Cauchy መስፈርትን በቀጥታ መጠቀም በጣም ምቹ አይደለም. ስለዚህ ፣ እንደ አንድ ደንብ ፣ ቀለል ያሉ የመገጣጠም ሙከራዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ
1) ተከታታዮቹ ከተጣመሩ ዩኒ የሚለው የተለመደ ቃል ወደ ዜሮ መያዙ አስፈላጊ ነው። ይሁን እንጂ ይህ ሁኔታ በቂ አይደለም. እኛ ማለት የምንችለው የተለመደው ቃል ወደ ዜሮ የማይሄድ ከሆነ ፣ ተከታታይ በእርግጠኝነት ይለያያል። ለምሳሌ፣ ሃርሞኒክ ተከታታይ እየተባለ የሚጠራው የተለያየ ነው፣ ምንም እንኳን የተለመደው ቃሉ ወደ ዜሮ የሚሄድ ቢሆንም።
ተከታታይ ቁጥር ከሌላ ቅደም ተከተል ጋር አብሮ የሚታሰበው ቅደም ተከተል ነው (የከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ተብሎም ይጠራል)። ተመሳሳይ ጽንሰ-ሀሳቦች በሂሳብ እና ውስብስብ ትንታኔ ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ.
የቁጥር ተከታታይ ድምር የ SERIES.SUM ተግባርን በመጠቀም በ Excel ውስጥ በቀላሉ ሊሰላ ይችላል። ይህ ተግባር እንዴት እንደሚሰራ የሚያሳይ ምሳሌ እንመልከት እና ከዚያ የተግባሮቹን ግራፍ እንገንባ። የካፒታል እድገትን ስናሰላ የቁጥር ተከታታይን በተግባር እንዴት እንደምንጠቀም እንማር። ግን በመጀመሪያ, ትንሽ ንድፈ ሃሳብ.
የቁጥር ተከታታይ ድምር
የቁጥር ተከታታዮች እንደ የቁጥሮች መጠገኛ ስርዓት ሊወሰዱ ይችላሉ። እሱን ለመሰየም፣ ቀመሩን ይጠቀሙ፡-
በተከታታዩ ውስጥ ያሉት የቁጥሮች የመጀመሪያ ቅደም ተከተል እና የማጠቃለያ ደንብ ይኸውና፡
- ∑ - ድምር የሂሳብ ምልክት;
- a i - አጠቃላይ ክርክር;
- እኔ ተለዋዋጭ ነው, እያንዳንዱን ተከታይ ክርክር ለመለወጥ ደንብ;
- ∞ ማለቂያ የሌለው ምልክት፣ ማጠቃለያው የሚፈጸምበት “ገደብ” ነው።
መግለጫው ማለት፡- ከ1 እስከ “ፕላስ ኢንፊኒቲ” ያሉ የተፈጥሮ ቁጥሮች ተደምረዋል። ከ i = 1 ጀምሮ የድምሩ ስሌት ከአንድ ይጀምራል. እዚህ ሌላ ቁጥር ካለ (ለምሳሌ 2፣ 3) ከሱ ማጠቃለል እንጀምራለን (ከ2፣3)።
በተለዋዋጭ i መሠረት፣ ተከታታዩ ሊሰፋ ይችላል፡-
A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (እስከ “ፕላስ ኢንፊኒቲ”)።
የአንድ ተከታታይ ቁጥር ድምር ትርጓሜ የሚሰጠው በ "ከፊል ድምር" ነው. በሂሳብ ውስጥ ኤስ.ኤን. የኛን ተከታታይ ቁጥር በከፊል ድምር መልክ እንፃፍ፡-
S 2 = a 1 + a 2
S 3 = a 1 + a 2 + a 3
S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4
የአንድ ተከታታይ ቁጥር ድምር የከፊል ድምሮች ገደብ ነው S n . ገደቡ ውሱን ከሆነ ስለ "ተለዋዋጭ" ተከታታይ እንናገራለን. ማለቂያ የሌለው - ስለ “የተለያዩ”።
በመጀመሪያ፣ የተከታታይ ቁጥር ድምርን እንፈልግ፡-
አሁን በ Excel ውስጥ የተከታታይ አባላትን የእሴት ሰንጠረዥ እንገንባ፡-
ከቀመር አጠቃላይ የመጀመሪያውን ክርክር እንወስዳለን፡ i=3.
ቀመሩን በመጠቀም የሚከተሉትን ሁሉንም የ i እሴቶች እናገኛለን: = B4+$B$1. ጠቋሚውን በሴል B5 ታችኛው ቀኝ ጥግ ላይ ያስቀምጡ እና ቀመሩን ያባዙት።
እሴቶቹን እንፈልግ። ሕዋስ C4 ገባሪ ያድርጉት እና ቀመሩን ያስገቡ፡ = SUM(2*B4+1)። ሕዋስ C4 ወደተገለጸው ክልል ቅዳ።
የነጋሪዎቹ ድምር ዋጋ የሚገኘው ተግባሩን በመጠቀም ነው፡ = SUM(C4፡C11)። የ Hotkey ጥምር ALT+“+” (በተጨማሪም በቁልፍ ሰሌዳው ላይ)።
ROW.SUM ተግባር በ Excel ውስጥ
የቁጥር ተከታታዮች ድምርን በ Excel ውስጥ ለማግኘት፣ የሒሳብ ተግባሩን SERIES.SUM ይጠቀሙ። ፕሮግራሙ የሚከተለውን ቀመር ይጠቀማል.
የተግባር ክርክሮች፡-
- x - ተለዋዋጭ እሴት;
- n - ለመጀመሪያው ክርክር ዲግሪ;
- m ለእያንዳንዱ ቀጣይ ጊዜ ዲግሪው የሚጨምርበት ደረጃ ነው;
- a ለተዛማጅ የ x.
ተግባሩ እንዲሠራ አስፈላጊ ሁኔታዎች:
- ሁሉም ክርክሮች ያስፈልጋሉ (ይህም ሁሉም መሞላት አለባቸው);
- ሁሉም ነጋሪ እሴቶች NUMERIC ናቸው;
- የቬክተር ኦፍ ኮፊሸንስ ቋሚ ርዝመት አለው (የ "ኢንፌክሽን" ወሰን አይሰራም);
- የ"coefficients" ቁጥር = የክርክር ብዛት.
በ Excel ውስጥ የተከታታይ ድምርን በማስላት ላይ
ተመሳሳዩ SERIES.SUM ተግባር ከኃይል ተከታታይ (ከተግባራዊ ተከታታይ ልዩነቶች አንዱ) ጋር ይሰራል. ከቁጥሮች በተለየ, ክርክራቸው ተግባራት ናቸው.
ተግባራዊ ተከታታይ ብዙውን ጊዜ በፋይናንስ እና ኢኮኖሚያዊ ሉል ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ። ይህ የማመልከቻ ቦታቸው ነው ማለት ይችላሉ።
ለምሳሌ የተወሰነ መጠን ያለው ገንዘብ (ሀ) በባንክ ውስጥ ለተወሰነ ጊዜ (n) አስቀምጠዋል። ዓመታዊ x በመቶ ክፍያ አለን። በመጀመሪያው ክፍለ ጊዜ መጨረሻ ላይ የተጠራቀመውን መጠን ለማስላት ቀመሩ ጥቅም ላይ ይውላል፡-
S 1 = a (1 + x)
በሁለተኛው እና በሚቀጥሉት ክፍለ-ጊዜዎች መጨረሻ ላይ የአገላለጾች ቅርፅ እንደሚከተለው ነው-
S 2 = a (1 + x) 2; S 3 = a (1 + x) 2፣ ወዘተ.
ጠቅላላውን ለማግኘት፡-
S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n
በ Excel ውስጥ ከፊል ድምሮች የ BS() ተግባርን በመጠቀም ሊገኙ ይችላሉ።
ለሥልጠና ተግባር የመጀመሪያ መለኪያዎች
መደበኛ የሂሳብ ተግባርን በመጠቀም, በቃሉ መጨረሻ ላይ የተጠራቀመውን መጠን እናገኛለን. ይህንን ለማድረግ በሴል D2 ውስጥ ቀመርን እንጠቀማለን: = B2 * DEGREE (1 + B3; 4)
አሁን በሴል ዲ 3 ውስጥ አብሮ የተሰራውን የ Excel ተግባርን በመጠቀም ተመሳሳይ ችግር እንፈታዋለን: = BS (B3; B1;; - B2)
ውጤቶቹ ተመሳሳይ ናቸው, ልክ መሆን እንዳለበት.
የቢኤስ() ተግባር ነጋሪ እሴቶችን እንዴት መሙላት እንደሚቻል፡-
- "ተመን" ተቀማጭ የተደረገበት የወለድ መጠን ነው. የመቶኛ ቅርፀቱ በሴል B3 ውስጥ ስለተዘጋጀ፣ በክርክር መስኩ ላይ በቀላሉ ወደዚህ ሕዋስ የሚወስደውን አገናኝ ገልፀናል። ቁጥሩ ከተገለፀ መቶኛ (20/100) ተብሎ ይጻፋል።
- "Nper" ለወለድ ክፍያ የክፍለ ጊዜዎች ብዛት ነው. በእኛ ምሳሌ - 4 ዓመታት.
- "Plt" - ወቅታዊ ክፍያዎች. በእኛ ሁኔታ ምንም የለም. ስለዚህ, የክርክር መስኩን አንሞላም.
- "Ps" - "የአሁኑ ዋጋ", የተቀማጩ መጠን. ከዚህ ገንዘብ ጋር ለተወሰነ ጊዜ ስለምንለያይ, መለኪያውን በ "-" ምልክት እንጠቁማለን.
ስለዚህ፣ የቢኤስ ተግባር የተግባር ተከታታዮቹን ድምር እንድናገኝ ረድቶናል።
ኤክሴል የተለያዩ መለኪያዎችን ለማግኘት ሌሎች አብሮ የተሰሩ ተግባራት አሉት። በተለምዶ እነዚህ ከኢንቨስትመንት ፕሮጀክቶች, ዋስትናዎች እና የዋጋ ቅነሳ ክፍያዎች ጋር ለመስራት ተግባራት ናቸው.
የአንድ ተከታታይ ቁጥር ድምር ሴራ ተግባራት
የካፒታል እድገትን የሚያንፀባርቅ የተግባር ግራፍ እንገንባ። ይህንን ለማድረግ, የተገነባው ተከታታይ ድምር የሆነውን የአንድ ተግባር ግራፍ መገንባት ያስፈልገናል. እንደ ምሳሌ፣ በተቀማጭ ገንዘቡ ላይ ተመሳሳይ ውሂብ እንውሰድ፡-
የመጀመሪያው መስመር ከአንድ አመት በኋላ የተጠራቀመውን መጠን ያሳያል. በሁለተኛው - በሁለት. እናም ይቀጥላል.
ትርፉን የምናንፀባርቅበት ሌላ አምድ እንፍጠር፡-
እኛ እንዳሰብነው - በቀመር አሞሌ ውስጥ.
በተገኘው መረጃ መሰረት, የተግባርን ግራፍ እንገነባለን.
2 ክልሎችን እንምረጥ፡ A5፡A9 እና C5፡C9። ወደ "አስገባ" ትር - "ስዕላዊ መግለጫዎች" መሳሪያ ይሂዱ. የመጀመሪያውን ገበታ ይምረጡ፡-
ችግሩን የበለጠ “የተተገበረ” እናድርገው። በምሳሌው ውስጥ የተዋሃዱ ወለድ ተጠቀምን. በቀድሞው ጊዜ ውስጥ በተጠራቀመው መጠን ላይ የተከማቹ ናቸው.
ለማነፃፀር ቀላል ፍላጎትን እንውሰድ. ቀላል የፍላጎት ቀመር በ Excel፡=$B$2*(1+A6*B6)
የተገኙትን እሴቶች ወደ "ካፒታል ዕድገት" ገበታ እንጨምር።
ባለሀብቱ ምን መደምደሚያ ላይ እንደሚደርስ ግልጽ ነው.
የተግባር ተከታታዮች ከፊል ድምር የሂሳብ ቀመር (ከቀላል ወለድ ጋር)፡ S n = a (1+ x*n)፣ ሀ የመጀመሪያ የተቀማጭ ገንዘብ ከሆነ፣ x ወለድ፣ n ጊዜ ነው።
ስለዚህ የተከታታይ ድምርን አስላ, የረድፍ አባሎችን በተሰጠ ቁጥር ብቻ ማከል ያስፈልግዎታል. ለምሳሌ:
ከላይ በምሳሌው ላይ፣ ይህ የተፈፀመው በጣም ቀላል ነው፣ ምክንያቱም እሱ ብዙ ጊዜ መደመር ነበረበት። ነገር ግን የማጠቃለያው የላይኛው ገደብ ማለቂያ የሌለው ከሆነስ? ለምሳሌ፣ የሚከተለውን ተከታታይ ድምር ማግኘት ከፈለግን፡-
ከቀዳሚው ምሳሌ ጋር በማነፃፀር ይህንን መጠን እንደሚከተለው መጻፍ እንችላለን-
ግን ቀጥሎ ምን ይደረግ?! በዚህ ደረጃ ላይ ጽንሰ-ሐሳቡን ማስተዋወቅ አስፈላጊ ነው የተከታታዩ ከፊል ድምር. ስለዚህ፣ የተከታታዩ ከፊል ድምር(የተጠቆመው S n) የተከታታዩ የመጀመሪያ n ውሎች ድምር ነው። እነዚያ። በእኛ ሁኔታ፡-
ከዚያ የዋናው ተከታታዮች ድምር እንደ ከፊል ድምር ወሰን ሊሰላ ይችላል።
ስለዚህም ለ ተከታታይ ድምርን በማስላት ላይ፣ ለተከታታዩ ከፊል ድምር (S n) በሆነ መንገድ አገላለጽ ማግኘት ያስፈልጋል። በእኛ ሁኔታ፣ ተከታታዩ ከ1/3 መለያ ጋር እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ነው። እንደሚያውቁት፣ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ የመጀመሪያ n ንጥረ ነገሮች ድምር በቀመር ይሰላል፡-
እዚህ b 1 የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ የመጀመሪያ አካል ነው (በእኛ ሁኔታ 1 ነው) እና q የእድገት መለያ ነው (በእኛ ሁኔታ 1/3)። ስለዚህ፣ ለ ተከታታዮቻችን ከፊል ድምር S n እኩል ነው፡-
ከዚያም የኛ ተከታታዮች (S) ድምር ከላይ በተገለጸው ፍቺ መሠረት እኩል ነው።
ከላይ የተገለጹት ምሳሌዎች በጣም ቀላል ናቸው. ብዙውን ጊዜ የተከታታይ ድምርን ማስላት በጣም ከባድ ነው እና ትልቁ ችግር የተከታታዩን ከፊል ድምር ማግኘት ላይ ነው። በ Wolfram Alpha ስርዓት ላይ የተፈጠረው ከዚህ በታች የቀረበው የመስመር ላይ ካልኩሌተር በጣም ውስብስብ የሆኑትን ተከታታይ ድምርን ለማስላት ያስችልዎታል። ከዚህም በላይ ካልኩሌተሩ የተከታታይ ድምርን ማግኘት ካልቻለ ምናልባት ተከታታዩ የተለያዩ ሊሆኑ ይችላሉ (በዚህ ሁኔታ ካልኩሌተሩ እንደ “sum diverges”) መልእክት ያሳያል፣ ማለትም። ይህ ካልኩሌተር በተዘዋዋሪም የተከታታዩን መገጣጠም ሀሳብ ለማግኘት ይረዳል።
የእርስዎን ተከታታዮች ድምር ለማግኘት፣ የተከታታዩን ተለዋዋጭ፣ የማጠቃለያውን የታችኛው እና የላይኛው ወሰን፣ እንዲሁም የተከታታዩን n ኛ ቃል አገላለጽ (ማለትም ለተከታታዩ ራሱ ትክክለኛው አገላለጽ) መግለጽ ያስፈልግዎታል። .
መሰረታዊ ትርጓሜዎች.
ፍቺ ማለቂያ የሌለው የቁጥር ቅደም ተከተል ውሎች ድምር ተጠርቷል። ተከታታይ ቁጥር.
በተመሳሳይ ጊዜ, ቁጥሮች 
የተከታታይ አባላት ብለን እንጠራቸዋለን፣ እና ዩ n- የተከታታዩ የጋራ አባል.
ፍቺ
መጠኖች 
,n
= 1, 2, …
ተብለው ይጠራሉ የግል (ከፊል) መጠኖችረድፍ.
ስለዚህ, የተከታታይ ክፍሎችን ከፊል ድምር ቅደም ተከተሎችን ግምት ውስጥ ማስገባት ይቻላል ኤስ 1 , ኤስ 2 , …, ኤስ n , …
ፍቺ
ረድፍ 
ተብሎ ይጠራል convergent, የእሱ ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ከተጣመረ. የተቀናጀ ተከታታይ ድምርየእሱ ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ገደብ ነው.
ፍቺ የተከታታይ ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ቢለያይ፣ ማለትም። ገደብ የለውም, ወይም ገደብ የለሽ ገደብ አለው, ከዚያም ተከታታዮቹ ተጠርተዋል የተለያዩእና ምንም መጠን አልተመደበለትም.
የረድፎች ባህሪያት.
1) የተከታታዩን ተከታታይ ውሎች ከቀየሩ፣ ካስወገዱ ወይም ከጨመሩ የተከታታዩ ውህደት ወይም ልዩነት አይጣስም።
2) ሁለት ረድፎችን ተመልከት 
እና 
, C ቋሚ ቁጥር ባለበት.
ቲዎረም.
ረድፉ ከሆነ 
ይሰበሰባል እና ድምር እኩል ነው።ኤስ, ከዚያም ተከታታይ 
እንዲሁም ይሰበሰባል፣ እና ድምሩ ከ C ጋር እኩል ነው።ኤስ.
(ሲ
0)
3) ሁለት ረድፎችን ተመልከት 
እና 
.መጠንወይም ልዩነትከእነዚህ ተከታታይ ውስጥ ተከታታይ ተብለው ይጠራሉ 
, ንጥረ ነገሮቹ ተመሳሳይ ቁጥሮች ያላቸውን ኦርጂናል ንጥረ ነገሮች በመጨመር (በመቀነስ) የተገኙበት.
ቲዎረም.
ረድፎች ከሆነ 
እና 
መሰብሰብ እና ድምርዎቻቸው በቅደም ተከተል እኩል ናቸውኤስእና
, ከዚያም ተከታታይ 
እንዲሁም ይሰበሰባል እና ድምሩ እኩል ነውኤስ
+
.
የሁለት ተከታታይ ተከታታይ ልዩነት እንዲሁ የተጣመረ ተከታታይ ይሆናል.
የተቀናጀ እና ተለዋዋጭ ተከታታይ ድምር የተለያየ ተከታታይ ነው።
ስለ ሁለት የተለያዩ ተከታታይ ድምር አጠቃላይ መግለጫ መስጠት አይቻልም።
ተከታታይን በሚያጠኑበት ጊዜ በዋናነት ሁለት ችግሮችን ይፈታሉ፡ መገጣጠምን ማጥናት እና የተከታታይ ድምርን ማግኘት።
ጎበዝ መስፈርት።
(ለተከታታዩ ውህደት አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታዎች)
በቅደም ተከተል 
የተጠናከረ ነበር ፣ ለማንኛውም አስፈላጊ እና በቂ ነው። 
እንደዚህ ያለ ቁጥር ነበርኤን፣ ያ በn
>
ኤንእና ማንኛውምገጽ> 0፣ p ኢንቲጀር ከሆነ፣ የሚከተለው አለመመጣጠን ይይዛል፡
.
ማረጋገጫ። (አስፈላጊነት)
ፍቀድ 
, ከዚያ ለማንኛውም ቁጥር
አንድ ቁጥር N አለ እኩልነት
የሚሞላው n>N ሲሆን ነው። ለ n>N እና ለማንኛውም ኢንቲጀር p>0 እኩልነትም አለው። 
. ሁለቱንም እኩልነቶች ከግምት ውስጥ በማስገባት የሚከተሉትን እናገኛለን-
ፍላጎቱ ተረጋግጧል. የብቃት ማረጋገጫውን አንመለከትም።
ለተከታታይ የCauchy መስፈርት እንቅረፅ።
ለተከታታይ ቅደም ተከተል 
የተጠናከረ ነበር ፣ ለማንኛውም አስፈላጊ እና በቂ ነው። 
ቁጥር ነበረኤንእንደዚህ በn>
ኤንእና ማንኛውምገጽ> 0 አለመመጣጠን ይቀጥላል
.
ነገር ግን, በተግባር, የ Cauchy መስፈርትን በቀጥታ መጠቀም በጣም ምቹ አይደለም. ስለዚህ ፣ እንደ አንድ ደንብ ፣ ቀለል ያሉ የመገጣጠም ሙከራዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ
1) ረድፉ ከሆነ
ይሰበሰባል, ከዚያም የተለመደው ቃል አስፈላጊ ነው ዩ nወደ ዜሮ ያዘነበለ. ይሁን እንጂ ይህ ሁኔታ በቂ አይደለም. እኛ ማለት የምንችለው የተለመደው ቃል ወደ ዜሮ የማይሄድ ከሆነ ፣ ተከታታይ በእርግጠኝነት ይለያያል። ለምሳሌ, ሃርሞኒክ ተከታታይ የሚባሉት 
ምንም እንኳን የጋራ ቃሉ ወደ ዜሮ የሚሄድ ቢሆንም የተለያየ ነው።
ለምሳሌ.የተከታታዩን መገጣጠም መርምር 
እናገኛለን 
- ለመገጣጠም አስፈላጊው መስፈርት አልረካም ፣ ይህ ማለት ተከታታዩ ይለያያሉ።
2) ተከታታይ ከተጣመረ ፣ ከዚያ የከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል የታሰረ ነው።
ሆኖም, ይህ ምልክት እንዲሁ በቂ አይደለም.
ለምሳሌ፣ ተከታታይ 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… ይለያያሉ፣ ምክንያቱም በእሱ ምክንያት የከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ይለያያሉ
ሆኖም ግን, የከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል ውስን ነው, ምክንያቱም 
በማንኛውም n.
ተከታታይ አሉታዊ ያልሆኑ ቃላት።
ተከታታይ ቋሚ ምልክቶችን ስናጠና ራሳችንን እንወስናለን ተከታታይ አሉታዊ ያልሆኑ ቃላትን ግምት ውስጥ በማስገባት ነው። ከእነዚህ ተከታታይ ውስጥ በቀላሉ በ-1 ማባዛት ተከታታይ አሉታዊ ቃላትን ሊያመጣ ይችላል።
ቲዎረም.
ለተከታታዩ ውህደት 
ከተከታታዩ ከፊል ድምሮች ለመገደብ ከአሉታዊ ያልሆኑ ቃላት ጋር አስፈላጊ እና በቂ ነው.
ተከታታይን ከአሉታዊ ቃላት ጋር ለማነጻጸር ምልክት።
ሁለት ረድፎችን ይስጡ
እና 
በ ዩ n ,
ቁ n
0
.
ቲዎረም.
ከሆነ ዩ n
ቁ nበማንኛውም n, ከዚያም ከተከታታዩ ውህደት 
ተከታታይ ይሰበሰባል
, እና ከተከታታዩ ልዩነቶች
ተከታታይ ይለያያሉ
.
ማረጋገጫ።
በ እንጥቀስ ኤስ n
እና
nተከታታይ ከፊል ድምሮች
እና 
. ምክንያቱም በቲዎሬም ሁኔታዎች መሰረት, ተከታታይ 
ይሰበሰባል፣ ከዚያ የእሱ ከፊል ድምሮች የታሰሩ ናቸው፣ ማለትም. በሁሉም ሰው ፊት n n ኤም፣ M የተወሰነ ቁጥር የሆነበት። ግን ምክንያቱም ዩ n
ቁ n፣ ያ ኤስ n
nከዚያም የተከታታዩ ከፊል ድምር
እንዲሁም ውስን ናቸው, እና ይህ ለመገጣጠም በቂ ነው.
ለምሳሌ.ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ 
ምክንያቱም 
, እና harmonic ተከታታይ 
ይለያያሉ, ከዚያም ተከታታዮቹ ይለያያሉ 
.
ለምሳሌ.
ምክንያቱም 
, እና ተከታታይ 
ይሰበሰባል (እንደ እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ), ከዚያም ተከታታይ 
እንዲሁም ይሰበሰባል.
የሚከተለው የመገጣጠም ምልክትም ጥቅም ላይ ይውላል።
ቲዎረም.
ከሆነ 
እና ገደብ አለ 
፣ የትሸ- ከዜሮ ሌላ ቁጥር, ከዚያም ተከታታይ 
እና 
ከመገጣጠም አንፃር ተመሳሳይ ባህሪን ያሳዩ።
የD'Alembert ምልክት።
(ዣን ሌሮን ዲ አልምበርት (1717 - 1783) - ፈረንሳዊ የሂሳብ ሊቅ)
ለተከታታይ ከሆነ 
በአዎንታዊ ቃላት እንደዚህ ያለ ቁጥር አለቅ<1,
что для всех достаточно больших
nእኩልነት ይይዛል
ከዚያም ተከታታይ 
ይሰበሰባል ፣ ለሁሉም በቂ ትልቅ ከሆነnሁኔታ ተሟልቷል
ከዚያም ተከታታይ 
ይለያያል።
የD'Alembert ገደብ ምልክት።
የD'Alembert መገደብ መስፈርት ከላይ ያለው የD'Alembert መስፈርት ውጤት ነው።
ገደብ ካለ 
፣ ከዚያ መቼ
< 1 ряд сходится, а при
> 1 - ይለያያሉ. ከሆነ
= 1, ከዚያ የመገጣጠም ጥያቄ ሊመለስ አይችልም.
ለምሳሌ.የተከታታዩን መገጣጠም ይወስኑ 
.
ማጠቃለያ፡ ተከታታዩ ይሰበሰባሉ.
ለምሳሌ.የተከታታዩን መገጣጠም ይወስኑ 
ማጠቃለያ፡ ተከታታዩ ይሰበሰባሉ.
የ Cauchy ምልክት. (አክራሪ ምልክት)
ለተከታታይ ከሆነ 
ከአሉታዊ ያልሆኑ ቃላት ጋር እንደዚህ ያለ ቁጥር አለቅ<1,
что для всех достаточно больших
nእኩልነት ይይዛል
,
ከዚያም ተከታታይ 
ይሰበሰባል ፣ ለሁሉም በቂ ትልቅ ከሆነnእኩልነት ይይዛል
ከዚያም ተከታታይ 
ይለያያል።
መዘዝ።
ገደብ ካለ 
፣ ከዚያ መቼ<1
ряд сходится, а при >ረድፍ 1 ይለያያል።
ለምሳሌ.የተከታታዩን መገጣጠም ይወስኑ 
.
ማጠቃለያ፡ ተከታታዩ ይሰበሰባሉ.
ለምሳሌ.የተከታታዩን መገጣጠም ይወስኑ 
.
እነዚያ። የ Cauchy ፈተና የተከታታይ ውህደት ጥያቄን አይመልስም። አስፈላጊዎቹ የመገጣጠም ሁኔታዎች መሟላታቸውን እንፈትሽ። ከላይ እንደተጠቀሰው, ተከታታይ ከተጣመረ, የተከታታዩ የጋራ ቃል ወደ ዜሮ ይቀየራል.
,
ስለዚህ, ለመገጣጠም አስፈላጊው ሁኔታ አልረካም, ይህም ማለት ተከታታይ ይለያያል.
የተቀናጀ Cauchy ሙከራ.
ከሆነ
(x) በጊዜ ክፍተት እየቀነሰ ያለ ቀጣይነት ያለው አዎንታዊ ተግባር ነው።እና 
ከዚያም integrals 
እና 
ከመገጣጠም አንፃር ተመሳሳይ ባህሪን ያሳዩ።
ተለዋጭ ተከታታይ።
ተለዋጭ ረድፎች.
ተለዋጭ ተከታታይ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡-
የት 
የሊብኒዝ ምልክት።
የተለዋጭ ረድፍ ምልክት ከሆነ
ፍጹም እሴቶችዩ እኔ እየቀነሱ ናቸው። 
እና የተለመደው ቃል ወደ ዜሮ ይቀየራል 
, ከዚያም ተከታታዩ ይሰበሰባሉ.
የተከታታይ ፍፁም እና ሁኔታዊ ውህደት።
አንዳንድ ተለዋጭ ተከታታዮችን እንመልከት (ከዘፈቀደ ምልክቶች ጋር)።
(1)
እና ተከታታይ (1) አባላት ፍጹም እሴቶችን ያቀፈ ነው።
(2)
ቲዎረም. ከተከታታይ (2) ውህደት የተከታታይ (1) ውህደት ይከተላል።
ማረጋገጫ። ተከታታይ (2) አሉታዊ ያልሆኑ ቃላት ያሉት ተከታታይ ነው። ተከታታዮች (2) ከተጣመሩ፣ በ Cauchy መስፈርት ለማንኛውም >0 ቁጥር N አለ ለ n>N እና ለማንኛውም ኢንቲጀር p>0 የሚከተለው አለመመጣጠን እውነት ነው።
በፍፁም እሴቶች ንብረት መሰረት፡-
ያም ማለት በካውቺ መስፈርት መሰረት ከተከታታይ (2) ተከታታይ ውህደት (1) ይከተላል.
ፍቺ
ረድፍ 
ተብሎ ይጠራል ፍፁም የተቀናጀ, ተከታታይ ከተጣመረ 
.
ለተከታታይ ቋሚ ምልክት የመሰብሰብ እና የፍፁም ውህደት ፅንሰ-ሀሳቦች እንደሚገጣጠሙ ግልፅ ነው።
ፍቺ
ረድፍ 
ተብሎ ይጠራል ሁኔታዊ ተያያዥነት ያለው, ከተጣመረ እና ተከታታይ 
ይለያያል።
የD'Alembert's እና Cauchy's ሙከራዎች ለተለዋጭ ተከታታይ።
ፍቀድ 
- ተለዋጭ ተከታታይ.
የD'Alembert ምልክት።
ገደብ ካለ 
፣ ከዚያ መቼ<1
ряд
ፍፁም የተጣመረ ይሆናል፣ እና መቼ>
የ Cauchy ምልክት.
ገደብ ካለ 
፣ ከዚያ መቼ<1
ряд
ፍፁም የተጣመረ ይሆናል፣ እና >1 ከሆነ ተከታታዩ የተለያዩ ይሆናሉ። =1 ሲሆን ምልክቱ ስለ ተከታታዩ ውህደት መልስ አይሰጥም።
ፍጹም የተጣመሩ ተከታታይ ባህሪዎች።
1)
ቲዎረም.
ለተከታታዩ ፍፁም ውህደት 
አስፈላጊ እና በቂ ነው እንደ ሁለት convergent ተከታታይ ልዩነት አሉታዊ ያልሆኑ ቃላት ጋር መወከል ይቻላል..
መዘዝ። በሁኔታዊ የተጣመሩ ተከታታይ የሁለት የተለያዩ ተከታታዮች ልዩነት ነው አሉታዊ ያልሆኑ ቃላት ወደ ዜሮ የሚመሩ።
2) በተከታታዩ ተከታታይ ውስጥ ማንኛውም የተከታታዩ ውሎች መቧደን ቅደም ተከተላቸውን የማይለውጥ የተከታታዩን ውህደት እና መጠን ይጠብቃል።
3) ተከታታይ ፍፁም ከተዋሃደ፣ ከሱ የተገኘው ተከታታይ በማንኛውም የቃላት ፍቺ እንዲሁ በፍፁም ተሰብስቦ ተመሳሳይ ድምር አለው።
በሁኔታዊ የተጣመሩ ተከታታይ ውሎችን በማስተካከል ማንኛውም አስቀድሞ የተወሰነ ድምር ያለው፣ እና እንዲያውም የተለያየ ተከታታይ ያለው በሁኔታዊ የተጣመረ ተከታታይ ማግኘት ይችላል።
4) ቲዎረም. ለማንኛውም የፍፁም የተጠናከረ ተከታታይ አባላት ስብስብ (በዚህ ሁኔታ የቡድኖች ብዛት የተገደበ ወይም ያልተገደበ ሊሆን ይችላል ፣ እና በቡድን ውስጥ ያሉ የአባላቶች ብዛት ውሱን ወይም ማለቂያ የሌለው ሊሆን ይችላል) ፣ ተከታታይ ተከታታይ ተገኝቷል ፣ ድምር። ከዋናው ተከታታይ ድምር ጋር እኩል ነው።.
5) ረድፎች ከሆነ 
እና 
ሙሉ በሙሉ ይቀላቀሉ እና ድምርዎቻቸው በቅደም ተከተል እኩል ናቸው ኤስ
እና ፣ ከዚያም ተከታታይ ሁሉንም የቅጹ ምርቶች ያቀፈ 
በማንኛውም ቅደም ተከተል የተወሰደ ፣ እንዲሁም ሙሉ በሙሉ ይሰበሰባል እና ድምሩ እኩል ነው። ኤስ
- የተባዛው ተከታታይ ድምር ውጤት።
ሁኔታዊ convergent ተከታታዮችን ካባዛችሁ፣ በውጤቱም የተለያየ ተከታታይ ልታገኙ ትችላላችሁ።
ተግባራዊ ቅደም ተከተሎች.
ፍቺ የተከታታዩ አባላት ቁጥሮች ካልሆኑ, ግን ተግባራት X, ከዚያም ተከታታይ ይባላል ተግባራዊ.
የተግባር ተከታታይ ውህደት ጥናት ከቁጥር ተከታታይ ጥናት የበለጠ የተወሳሰበ ነው. ከተመሳሳዩ ተለዋዋጭ እሴቶች ጋር ተመሳሳይ ተግባራዊ ተከታታይ ይችላል። Xመሰብሰብ, እና ከሌሎች ጋር - ልዩነት. ስለዚህ የተግባር ተከታታዮች መገጣጠም ጥያቄው እነዚያን የተለዋዋጭ እሴቶችን ለመወሰን ይወርዳል X, ተከታታይ በሚሰበሰብበት.
የእነዚህ እሴቶች ስብስብ ይባላል የመገጣጠም አካባቢ.
በተከታታዩ የመሰብሰቢያ ክልል ውስጥ የተካተተው የእያንዳንዱ ተግባር ወሰን የተወሰነ ቁጥር ስለሆነ የተግባር ቅደም ተከተል ወሰን የተወሰነ ተግባር ይሆናል።
ፍቺ ተከታይ ( ረ n (x) } ይሰበሰባልለመስራት ረ(x) በክፍሉ ላይ ለማንኛውም ቁጥር >0 እና ማንኛውም ነጥብ ከሆነ Xከግምት ውስጥ ካለው ክፍል N = N (, x) ቁጥር አለ, ይህም እኩልነት
የሚሞላው n>N ሲሆን ነው።
በተመረጠው እሴት >0, እያንዳንዱ የክፍሉ ነጥብ የራሱ ቁጥር አለው, እና ስለዚህ, ከክፍሉ ሁሉም ነጥቦች ጋር የሚዛመድ ቁጥር የሌላቸው ቁጥሮች ይኖራሉ. ከእነዚህ ሁሉ ቁጥሮች ውስጥ ትልቁን ከመረጡ, ይህ ቁጥር ለሁሉም የክፍሉ ነጥቦች ተስማሚ ይሆናል, ማለትም. ለሁሉም ነጥቦች የተለመደ ይሆናል.
ፍቺ ተከታይ ( ረ n (x) } ወጥ በሆነ መልኩ ይሰበሰባልለመስራት ረ(x) በክፍሉ ላይ ፣ ለማንኛውም ቁጥር >0 ቁጥር ካለ N = N () እንደዚህ ያለ እኩልነት
ለሁሉም የክፍሉ ነጥቦች ለ n>N ተሟልቷል።
ለምሳሌ.ቅደም ተከተል አስብ 
ይህ ቅደም ተከተል በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ ወደ ተግባሩ ይሰበሰባል ረ(x)=0 , ምክንያቱም
የዚህን ቅደም ተከተል ግራፎች እንገንባ፡-
six 
እንደሚታየው, እየጨመረ በሄደ ቁጥር nቅደም ተከተል ግራፉ ወደ ዘንግ ቀርቧል X.
ተግባራዊ ተከታታይ.
ፍቺ
የግል (ከፊል) መጠኖችተግባራዊ ክልል 
ተግባራት ተጠርተዋል 
ፍቺ
ተግባራዊ ክልል 
ተብሎ ይጠራል convergentነጥብ ላይ ( x=x 0
), የእሱ ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል በዚህ ነጥብ ላይ ከተጣመረ. የቅደም ተከተል ገደብ 
ተብሎ ይጠራል መጠንረድፍ 
ነጥብ ላይ X 0
.
ፍቺ
የሁሉም እሴቶች ስብስብ X, ተከታታይ የሚሰበሰብበት 
ተብሎ ይጠራል የመገጣጠም አካባቢረድፍ.
ፍቺ
ረድፍ 
ተብሎ ይጠራል ወጥ የሆነ የተጣጣመየዚህ ተከታታዮች ከፊል ድምሮች ቅደም ተከተል በዚህ ክፍተት ላይ አንድ ወጥ በሆነ መልኩ ከተጣመረ በጊዜ መካከል።
ቲዎረም. (ለተከታታይ ወጥነት ያለው መገጣጠም የሚታወቅ መስፈርት)
ለተከታታዩ ወጥ የሆነ ውህደት 
ለማንኛውም ቁጥር አስፈላጊ እና በቂ ነው
> 0 እንደዚህ ያለ ቁጥር ነበረኤን(
)) በn>
ኤንእና ማንኛውም ሙሉገጽ> 0 አለመመጣጠን
በጊዜ ክፍተት ላይ ለሁሉም x ይቆያል [ሀ, ለ].
ቲዎረም. (የWeierstrass ፈተና ለአንድ ወጥ ውህደት)
(ካርል ቴዎዶር ዊልሄልም ዌይርስትራስስ (1815 - 1897) - የጀርመን የሂሳብ ሊቅ)
ረድፍ 
በእኩል እና በፍፁም በክፍለ ጊዜ ውስጥ ይሰበሰባል [ሀ,
ለ]፣ በተመሳሳይ ክፍል ላይ ያሉት የውል ቃላቱ ከአዎንታዊ ቃላት ጋር ከተያያዙት ተከታታይ ቁጥር ቃላቶች የማይበልጡ ከሆነ፡-
እነዚያ። እኩልነት አለ;
.
በተጨማሪም በዚህ ሁኔታ ውስጥ ተግባራዊ ተከታታይ ናቸው ይላሉ 
በከፍተኛ ደረጃ የተደራጀ ነው።ተከታታይ ቁጥር 
.
ለምሳሌ.ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ 
.
ምክንያቱም 
ሁልጊዜ ግልጽ ነው 
.
ከዚህም በላይ የአጠቃላይ harmonic ተከታታይ እንደሆነ ይታወቃል 
መቼ=3>1 ሲገጣጠም፣ በWeierstrass ፈተና መሰረት፣ በጥናት ላይ ያሉት ተከታታይ ክፍሎች አንድ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰባሰባሉ እና በተጨማሪም፣ በማንኛውም ጊዜ።
ለምሳሌ.ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ 
.
በክፍተቱ [-1,1] ላይ እኩልነት ይይዛል 
እነዚያ። በWeierstrass መስፈርት መሰረት፣ በጥናት ላይ ያሉት ተከታታይ ክፍሎች በዚህ ክፍል ላይ ይጣመራሉ፣ ነገር ግን በየእረፍቱ (-, -1) (1, ) ይለያያሉ።
ወጥ የሆነ convergent ተከታታይ ባህሪያት.
1) ተከታታይ ድምር ቀጣይነት ላይ ያለው ቲዎሪ።
የተከታታዩ አባላት ከሆኑ 
- በክፍል ላይ ቀጣይነት ያለው;ሀ,
ለ] ተግባር እና ተከታታዩ አንድ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰበሰባሉ፣ ከዚያም ድምርኤስ(x) በጊዜ መካከል ቀጣይነት ያለው ተግባር ነው.ሀ,
ለ].
2) ተከታታይ ጊዜ-በ-ጊዜ ውህደት ላይ ቲዎሬም.
በክፍሉ ላይ ወጥ በሆነ ሁኔታ መገጣጠም [ሀ, ለ] ተከታታይ ቃላቶች ያሉት በዚህ የጊዜ ክፍተት ላይ ቃል በቃል ሊዋሃድ ይችላል፣ ማለትም. በክፍሉ ላይ ካለው የውል ውህዶች የተዋቀረ ተከታታይ [ሀ, ለ] ፣ በዚህ ክፍል ላይ ካለው የተከታታይ ድምር ውህደት ጋር ይገናኛል።.
3) ተከታታይ የቃል-ጊዜ ልዩነት ላይ ያለው ቲዎሪ.
የተከታታዩ አባላት ከሆኑ 
በክፍል ላይ መገናኘት [ሀ,
ለ] ተከታታይ ተዋጽኦዎች እና ተከታታይ በእነዚህ ተዋጽኦዎች የተዋቀሩ ተከታታይ ተግባራትን ይወክላሉ 
በዚህ ክፍል ላይ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰበሰባል፣ ከዚያ ይህ ተከታታይ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰበሰባል እና በቃሉ ሊለያይ ይችላል።
የተከታታዩ ድምር የተለዋዋጭ አንዳንድ ተግባር ነው በሚለው እውነታ ላይ በመመስረት X, አንድ ተግባርን በተከታታይ መልክ (ተግባርን ወደ ተከታታይ ማስፋፋት) የመወከል ስራን ማከናወን ይችላሉ, ይህም በስፋት ውህደት, ልዩነት እና ሌሎች ተግባራት ከተግባራት ጋር ጥቅም ላይ ይውላል.
በተግባር, የኃይል ተከታታይ ተግባራትን ማስፋፋት ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.
የኃይል ተከታታይ.
ፍቺ የኃይል ተከታታይየቅጹ ተከታታይ ይባላል
.
የኃይል ተከታታዮችን መገጣጠም ለማጥናት የD'Alembert ፈተናን ለመጠቀም ምቹ ነው።
ለምሳሌ.ተከታታዩን ለመገጣጠም ይመርምሩ 
የአሌምበርትን ምልክት እንተገብራለን፡-
.
ይህ ተከታታይ በ ላይ እንደሚሰበሰብ እናያለን። 
እና በ ላይ ይለያያል 
.
አሁን በወሰን ነጥቦች 1 እና -1 ላይ ያለውን መጋጠሚያ እንወስናለን.
ለ x = 1፡ 
ተከታታዩ በሊብኒዝ መስፈርት መሰረት ይሰበሰባሉ (ተመልከት የሊብኒዝ ምልክት።).
በ x = -1፡ 
ተከታታይ ይለያያል (ሃርሞኒክ ተከታታይ).
የአቤል ጽንሰ-ሐሳቦች.
(ኒልስ ሄንሪክ አቤል (1802 - 1829) - የኖርዌይ የሂሳብ ሊቅ)
ቲዎረም.
የኃይል ተከታታይ ከሆነ 
ላይ ይሰበሰባልx
=
x 1
, ከዚያም ይሰበሰባል እና በተጨማሪም, ለሁሉም ሰው 
.
ማረጋገጫ። በንድፈ-ሀሳቡ ሁኔታዎች መሰረት, የተከታታዩ ውሎች የተገደቡ ስለሆኑ, ከዚያ
የት ክ- የተወሰነ ቋሚ ቁጥር. የሚከተለው አለመመጣጠን እውነት ነው።
ከዚህ አለመመጣጠን ግልጽ የሚሆነው መቼ ነው x<
x 1
የእኛ ተከታታዮች የቃላት አሃዛዊ እሴቶች ከዚህ በላይ በተፃፈው እኩልነት በቀኝ በኩል ካሉት ተከታታይ ተጓዳኝ ቃላቶች ያነሱ (ቢያንስ የበለጠ) ይሆናሉ ፣ ይህም የጂኦሜትሪክ እድገትን ይመሰርታል። የዚህ እድገት መነሻ 
እንደ ንድፈ-ሀሳቡ ሁኔታዎች, ከአንድ ያነሰ ነው, ስለዚህ, ይህ እድገት ተከታታይ ተከታታይ ነው.
ስለዚህ, በንፅፅር መስፈርት ላይ በመመስረት, ተከታታዮቹን እንጨርሳለን 
ይሰበሰባል, ይህም ማለት ተከታታይ ማለት ነው 
ሙሉ በሙሉ ይሰበሰባል.
ስለዚህም, የኃይል ተከታታይ ከሆነ 
በአንድ ነጥብ ላይ ይሰበሰባል X 1
, ከዚያም በ 2 ርዝማኔ ክፍተት ውስጥ በማንኛውም ቦታ ላይ በፍጹም ይገናኛል 
በአንድ ነጥብ ላይ ያተኮረ X
= 0.
መዘዝ።
ከሆነ x = x 1
ተከታታዩ ይለያያሉ, ከዚያም ለሁሉም ሰው ይለያያል 
.
ስለዚህ, ለእያንዳንዱ የኃይል ተከታታይ አዎንታዊ ቁጥር R አለ ይህም ለሁሉም Xለምሳሌ 
ተከታታዩ ፍፁም የተዋሃደ ነው፣ እና ለሁሉም 
ረድፉ ይለያያል. በዚህ ሁኔታ, ቁጥር R ይባላል የመገጣጠም ራዲየስ. ክፍተቱ (-R, R) ይባላል የመገጣጠም ክፍተት.
ይህ ክፍተት በአንድ ወይም በሁለቱም በኩል ሊዘጋ ወይም ሊዘጋ እንደማይችል ልብ ይበሉ.
የመገጣጠም ራዲየስ ቀመሩን በመጠቀም ሊገኝ ይችላል-
ለምሳሌ.የተከታታዩን መጋጠሚያ ቦታ ይፈልጉ 
የመገጣጠም ራዲየስ ማግኘት 
.
ስለዚህ, ይህ ተከታታይ ለማንኛውም እሴት ይሰበሰባል X. የዚህ ተከታታይ የጋራ ቃል ወደ ዜሮ ያዛባል።
ቲዎረም.
የኃይል ተከታታይ ከሆነ 
ለአዎንታዊ እሴት ይሰበሰባል x=x 1
, ከዚያም በውስጡ በማንኛውም ክፍተት ውስጥ አንድ ወጥ በሆነ መልኩ ይሰበሰባል 
.
ከኃይል ተከታታይ ጋር እርምጃዎች.