የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት። ነጠላ ክፍፍል እቅድ

የእኩልታዎች ስርዓት ሲፈታ

የ Gaussian ዘዴ በጣም ቀላሉ ስሪት ትልቅ ስህተቶችን ያስከትላል. ምክንያቱ የትላልቅ መጠኖች (coefficients) ገጽታ ነው, ክብደታቸው ትልቅ ፍፁም ስህተትን ያስከትላል D ~ 0.5. በምላሹ, ትላልቅ መጠኖች በትንሽ መሪ ኮፊሸን ከተከፋፈሉ በኋላ ይገኛሉ .

ማጠቃለያ፡-የማጠጋጋት ስህተቶችን ተፅእኖ ለመቀነስ ከ 0 የተለየ ብቻ ሳይሆን በቂ መጠን ያለው መሪ አካል መምረጥ ያስፈልግዎታል።

የጋውስ ዘዴ የመጀመሪያ ለውጥ- በሕብረቁምፊዎች ይፈልጉ። በአልጎሪዝም ውስጥ መሪው አካል ከሁኔታው መመረጥ አለበት.

የማሻሻያ እጥረት. x i ከ D ስህተት ጋር ተገኝቶ እንበል። ከዚያም ማንኛውንም x s ሲፈልጉ በተገላቢጦሽ ቀመር መሰረት ማባዛት ያስፈልጋል። በዚህ ሁኔታ, ስህተቱ D በ ተባዝቷል. እሴቱ ትልቅ ከሆነ ስህተቱ ይጨምራል.

ማጠቃለያ፡-መሪው አካል ትልቅ ብቻ ሳይሆን በመስመሩ ውስጥ ትልቁ ሞዱሎ መሆኑን ማረጋገጥ ያስፈልጋል። ከዚያ ፣ መሪውን መስመር መደበኛ በሚያደርጉበት ጊዜ ፣ ሁሉም ሌሎች ቅንጅቶች ፣ በቀመር (5) መሠረት ፣ በፍፁም ዋጋ ከ 1 ያነሱ ይሆናሉ ፣ እና ስህተቶቹ ይሆናሉ መቀነስ.

የ Gauss ዘዴ ሁለተኛ ማሻሻያ- በአምዶች መፈለግ. የማይታወቁ x i በዘፈቀደ ቅደም ተከተል ከተገለሉ እና መሪው መስመር ከተፈለገ ይህ መስፈርት ሊሟላ ይችላል። ይህ ቀጣዩ መሪ አካል ይሆናል። መሪውን አካል ከወሰኑ በኋላ k-th እና r-thን ይቀይሩ አምዶች.

ትኩረት.በእንደዚህ ዓይነት ምትክ, የማያውቁት x i ቁጥር ይቀየራል. እንደዚህ አይነት መተኪያን ለማረጋገጥ በፕሮግራም ጊዜ ድርድር p 1,…p n ከማይታወቁ ትክክለኛ ቁጥሮች ጋር ማስገባት አስፈላጊ ነው. ወደፊት ስትሮክ መጀመሪያ ላይ፣ ሁሉም p i = i የተለመደው ቁጥር ነው። ዋናውን አካል ካገኙ በኋላ p k እና p r ን ይቀይሩ. በተገላቢጦሽ ስትሮክ ወቅት፣ እንደገና የተቆጠሩት x i የሚሰላው በቀመር (7) ነው። ሁሉንም ያልታወቁትን ካሰላሰልን በኋላ, ማስቀመጥ አለብን y]:= x[i]፣ እና ድርድር y[i]ለችግሩ የመጨረሻው መፍትሄ ይሆናል.

ሦስተኛው የ Gauss ዘዴ ማሻሻያ- ሙሉ ፍለጋ. የማስረከቢያው አካል እንደ መሪ ተመርጧል. በዚህ ሁኔታ, k-th እና r-th አምዶች, p k እና p r, እንዲሁም m-th እና k-th ረድፎች ይለዋወጣሉ. ይህ ማሻሻያ ከፍተኛውን ትክክለኛነት ያቀርባል, ግን በጣም ውስብስብ ነው.

የተለያዩ የመስመራዊ አልጀብራ ችግሮችን ለመፍታት የ Gauss ዘዴን መተግበር

1. ማትሪክስ ተገላቢጦሽ.የካሬው ማትሪክስ ተገላቢጦሽ ማትሪክስ ለማስላት አስፈላጊ ይሁን A. X = A -1 ን እንጥቀስ. እንደሚያውቁት፣ AX = I፣ የመታወቂያ ማትሪክስ እኔ ነኝ፣ በዚህ ውስጥ 1 ዎች በዲያግናል በኩል የሚገኙበት፣ የተቀሩት ንጥረ ነገሮች ደግሞ 0 ናቸው። በሌላ አነጋገር፣ የማትሪክስ I-th አምድ እኩል ነው።

(1 በ i-th ቦታ ላይ ነው). x (i) የማትሪክስ X i-th አምድ ይሁን ከዚያም በማትሪክስ ማባዛት ደንብ (ረድፉ በአምዱ ተባዝቷል) አ x (i) = e (i) አለን። ይህ ማለት ማትሪክስን ለመገልበጥ መፍታት ያስፈልገናል nተመሳሳይ ማትሪክስ እና የተለያዩ የቀኝ እጆች ያሉት የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች

ኦ = ሠ (1) ; ኦ = ሠ (2) ; …; ኦ = ሠ (n) . (2.1)

እነዚህን ስርዓቶች ከፈታን፣ የተገኙት መፍትሄዎች x (1)፣ x (2)፣...፣ x (n) የማትሪክስ A –1 አምዶች ሆነው አግኝተናል።

2. የመወሰኛዎች ስሌት.የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ማትሪክስ ሀ ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ በመቀየር ሂደት ውስጥ የሚከተሉትን ተግባራት አከናውነናል-

1) በስልቱ ማሻሻያ ላይ በመመስረት እንደገና የተደረደሩ ረድፎች ወይም አምዶች;

2) መሪውን መስመር ዜሮ ባልሆነ መሪ አካል መከፋፈል;

3) በተወሰነ ቁጥር የተባዛ መሪ ረድፍ ወደ ማትሪክስ ረድፎች ተጨምሯል።

እንደሚታወቀው, በእንደዚህ አይነት ለውጦች ወቅት የማትሪክስ ወሳኙ ተጓዳኝ ለውጦችን ያደርጋል.

1) ለውጦች ምልክት;

2) በተመሳሳይ አካል ይከፈላል;

3) አይለወጥም.

ወደፊት ከተራመዱ በኋላ፣ ማትሪክስ A በዋናው ዲያግናል ላይ ካለው ወደ ላይኛው የሶስት ማዕዘን ቅርፅ ይቀንሳል። የእንደዚህ አይነት ማትሪክስ ወሳኙ በግልጽ ከ 1 ጋር እኩል ነው. የማትሪክስ A ወሳኙ በለውጥ ሂደቱ ውስጥ ያደረጋቸውን ለውጦች ከግምት ውስጥ በማስገባት የሚከተለው ቀመር አለን.

det A = (–1) ሰ × a 11 × a 22 ×…× a n n፣

አንድ j j የሚመራው ኤለመንቶችን በሚይዝበት ቦታ፣ s መሪ ክፍሎችን ሲፈልጉ የረድፎች እና/ወይም አምዶች የዝውውር ብዛት ነው።

ጥያቄዎችን እና ተግባሮችን ሞክር

1. በእጅለተወሰነ የእኩልታዎች ስርዓት የጋውሲያን ዘዴን ይተግብሩ (በረድፎች ፣ ዓምዶች ፣ በጠቅላላው ማትሪክስ - በተግባሩ አማራጭ ላይ በመመስረት)

እና የሚከተሉትን ተግባራት ያጠናቅቁ

1) ይህንን የእኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ

2) የዚህን ስርዓት ማትሪክስ ወሳኙን አስላ ( Gaussian ዘዴ- ገጽ ይመልከቱ 2 ).

3) የዚህን ስርዓት ማትሪክስ ይገለበጡ ( Gaussian ዘዴ- ገጽ ይመልከቱ 1 ).

ለወደፊቱ, ይህንን ችግር ለመፍታት ውጤቱን እንደ የሙከራ ምሳሌ ይጠቀሙ.

2. የጋውሲያን ዘዴን በመጠቀም መስመራዊ ስርዓትን ለመፍታት ፕሮግራም ይፍጠሩ (በረድፎች ፣ ዓምዶች ፣ በመላው ማትሪክስ ፍለጋ - እንደ ተግባሩ ስሪት) እና ይህንን ፕሮግራም በመጠቀም ማትሪክስ ግልበጣን ያከናውኑ።

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ማጤን እንቀጥላለን። ይህ ትምህርት በርዕሱ ላይ ሦስተኛው ነው. በአጠቃላይ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ምን እንደሆነ ግልጽ ያልሆነ ሀሳብ ካሎት ፣ እንደ ሻይ ከተሰማዎት ፣ በመቀጠል በገጹ ላይ ካሉት መሰረታዊ ነገሮች እንዲጀምሩ እመክራለሁ ፣ ትምህርቱን ማጥናት ጠቃሚ ነው።

የ Gaussian ዘዴ ቀላል ነው!ለምን? ታዋቂው ጀርመናዊ የሒሳብ ሊቅ ዮሃን ካርል ፍሬድሪች ጋውስ በህይወት ዘመናቸው የዘመኑ ታላቅ የሒሳብ ሊቅ፣ ሊቅ እና እንዲያውም “የሒሳብ ንጉሥ” የሚል ቅጽል ስም አግኝተዋል። እና ሁሉም ብልህ ፣ እርስዎ እንደሚያውቁት ፣ ቀላል ነው!በነገራችን ላይ ጠጪዎች ገንዘብ ብቻ ሳይሆን ብልሃተኞችም ጭምር - የጋውስ ሥዕል በ 10 Deutschmark banknote ላይ ነበር (ከዩሮ መግቢያ በፊት) እና ጋውስ አሁንም ከተለመዱ የፖስታ ቴምብሮች ጀርመናውያንን በሚስጥር ፈገግ ይላል።

የጋውስ ዘዴ ቀላል ነው የአምስተኛ ክፍል ተማሪ እውቀት እሱን ለመቆጣጠር በቂ ነው። እንዴት መደመር እና ማባዛት እንዳለቦት ማወቅ አለቦት!በትምህርት ቤት ሒሳብ ምርጫዎች ውስጥ መምህራን የማያውቁትን በቅደም ተከተል የማግለል ዘዴን የሚመለከቱት በአጋጣሚ አይደለም። ይህ አያዎ (ፓራዶክስ) ነው, ነገር ግን ተማሪዎች የ Gaussian ዘዴን በጣም አስቸጋሪ አድርገው ያገኙታል. ምንም የሚያስደንቅ ነገር የለም - ሁሉም ስለ ዘዴው ነው, እና ስለ ዘዴው ስልተ ቀመር በተደራሽነት ለመናገር እሞክራለሁ.

በመጀመሪያ፣ ስለ መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ትንሽ እውቀትን እናውጅ። የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የሚከተሉትን ማድረግ ይችላል:

1) ልዩ መፍትሄ ይኑርዎት. 2) ብዙ መፍትሄዎች አሉ. 3) መፍትሄ የለንም (ይሁን የጋራ ያልሆነ).

የ Gauss ዘዴ መፍትሔ ለማግኘት በጣም ኃይለኛ እና ሁሉን አቀፍ መሳሪያ ነው ማንኛውምየመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች. እንደምናስታውሰው፣ የክሬመር ደንብ እና ማትሪክስ ዘዴስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች ሲኖሩት ወይም ወጥነት በሌለው ሁኔታ ውስጥ ተስማሚ አይደሉም። እና የማይታወቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ለማንኛውምወደ መልሱ ይመራናል! በዚህ ትምህርት, የ Gauss ዘዴን ለጉዳይ ቁጥር 1 (የስርዓቱ ብቸኛው መፍትሄ) እንደገና እንመለከታለን, አንድ ጽሑፍ በነጥቦች ቁጥር 2-3 ላይ ያተኮረ ነው. የስልቱ ስልተ ቀመር በራሱ በሶስቱም ጉዳዮች ላይ ተመሳሳይ እንደሚሰራ አስተውያለሁ።

ከትምህርቱ ወደ ቀላሉ ስርዓት እንመለስ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እንዴት እንደሚፈታ?እና የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም መፍታት.

የመጀመሪያው እርምጃ መጻፍ ነው የተራዘመ የስርዓት ማትሪክስ. እኔ እንደማስበው ፣ ሁሉም ሰው ውህዶች በየትኛው መርህ እንደተፃፉ ማየት ይችላል። በማትሪክስ ውስጥ ያለው ቀጥ ያለ መስመር ምንም ዓይነት የሂሳብ ትርጉም የለውም - በቀላሉ ለንድፍ ቀላልነት ምልክት ነው።

ማጣቀሻ : እንድታስታውስ እመክራለሁ። ውሎች መስመራዊ አልጀብራ. የስርዓት ማትሪክስ ለማይታወቁ ጥምርታዎች ብቻ የተዋቀረ ማትሪክስ ነው፣ በዚህ ምሳሌ የስርዓቱ ማትሪክስ፡- . የተራዘመ የስርዓት ማትሪክስ - ይህ የስርዓቱ ተመሳሳይ ማትሪክስ እና የነፃ ቃላት አምድ ነው ፣ በዚህ ሁኔታ: . በአጭሩ ማንኛውም ማትሪክስ በቀላሉ ማትሪክስ ተብሎ ሊጠራ ይችላል።

የተራዘመው የስርዓት ማትሪክስ ከተፃፈ በኋላ አንዳንድ ድርጊቶችን ከእሱ ጋር ማከናወን አስፈላጊ ነው, እነሱም ይጠራሉ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች.

የሚከተሉት የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች አሉ:

1) ሕብረቁምፊዎችማትሪክስ ይችላል እንደገና ማስተካከልበአንዳንድ ቦታዎች. ለምሳሌ ፣ ከግምት ውስጥ ባለው ማትሪክስ ውስጥ ፣ የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን ያለምንም ህመም እንደገና ማስተካከል ይችላሉ-

2) በማትሪክስ ውስጥ ተመጣጣኝ (እንደ ልዩ ሁኔታ - ተመሳሳይ) ረድፎች ካሉ (ወይም ከታዩ) ፣ ከዚያ ያስፈልግዎታል ሰርዝከማትሪክስ እነዚህ ሁሉ ረድፎች ከአንዱ በስተቀር። ለምሳሌ ማትሪክስን አስቡበት . በዚህ ማትሪክስ ውስጥ የመጨረሻዎቹ ሶስት ረድፎች ተመጣጣኝ ናቸው ፣ ስለሆነም ከመካከላቸው አንዱን ብቻ መተው በቂ ነው- .

3) በትራንስፎርሜሽን ጊዜ ዜሮ ረድፍ በማትሪክስ ውስጥ ከታየ እንዲሁ መሆን አለበት። ሰርዝ. እኔ አልሳልም, በእርግጥ, ዜሮ መስመር በውስጡ መስመር ነው ሁሉም ዜሮዎች.

4) የማትሪክስ ረድፍ ሊሆን ይችላል ማባዛት (መከፋፈል)ለማንኛውም ቁጥር ዜሮ ያልሆነ. ለምሳሌ ማትሪክስን አስቡበት . እዚህ የመጀመሪያውን መስመር በ -3 መከፋፈል እና ሁለተኛውን መስመር በ 2 ማባዛት ጥሩ ነው. . ይህ እርምጃ የማትሪክስ ተጨማሪ ለውጦችን ስለሚያቃልል በጣም ጠቃሚ ነው.

5) ይህ ለውጥ በጣም ችግሮችን ያስከትላል, ግን በእውነቱ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም. ወደ ማትሪክስ ረድፍ ማድረግ ይችላሉ። በቁጥር ተባዝቶ ሌላ ሕብረቁምፊ ጨምር, ከዜሮ የተለየ. የእኛን ማትሪክስ ከተግባራዊ ምሳሌ እንመልከተው፡. በመጀመሪያ ለውጡን በሰፊው እገልጻለሁ። የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ማባዛት; , እና ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ተባዝተን እንጨምራለን: . አሁን የመጀመሪያው መስመር "ተመለስ" በ -2: ሊከፋፈል ይችላል. እንደሚመለከቱት ፣ የታከለው መስመር ኤል.አይ – አልተለወጠም. ሁሌምየታከለው መስመር ይለወጣል ዩቲ.

በተግባር ፣ በእርግጥ ፣ በእንደዚህ ዓይነት ዝርዝር ውስጥ አይጽፉም ፣ ግን በአጭሩ ይፃፉ- አንዴ በድጋሚ: ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር ተጨምሯል -2 ተባዝቷል።. አንድ መስመር ብዙውን ጊዜ የሚባዛው በቃል ወይም በረቂቅ ላይ ነው፣ የአዕምሮ ስሌት ሂደቱ እንደዚህ ይመስላል፡-

"ማትሪክስ እንደገና ጻፍኩ እና የመጀመሪያውን መስመር እንደገና ጻፍኩት፡- »

"የመጀመሪያው አምድ። ከታች ዜሮ ማግኘት አለብኝ. ስለዚህ, ከላይ ያለውን በ -2: በማባዛት, እና የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: 2 + (-2) = 0. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. »

"አሁን ሁለተኛው ዓምድ። ከላይ, እኔ -1 በ -2 ማባዛት:. የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: 1 + 2 = 3. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. »

"እና ሦስተኛው ዓምድ. ከላይ -5 በ -2 እባዛለሁ: የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: -7 + 10 = 3. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. »

እባክዎን ይህንን ምሳሌ በጥንቃቄ ይረዱ እና ተከታታይ ስሌት ስልተ-ቀመር ይረዱ ፣ ይህንን ከተረዱት የ Gaussian ዘዴ በኪስዎ ውስጥ በትክክል አለ። ግን በእርግጥ በዚህ ለውጥ ላይ አሁንም እንሰራለን።

የአንደኛ ደረጃ ለውጦች የእኩልታዎችን ስርዓት መፍትሄ አይለውጡም።

! ትኩረት: እንደ ማጭበርበር ይቆጠራል መጠቀም አይቻልምማትሪክስ “በራሳቸው” የተሰጡበት ተግባር ከቀረበልዎ። ለምሳሌ፣ ከ “ክላሲካል” ጋር ማትሪክስ ጋር ክወናዎችበምንም አይነት ሁኔታ በማትሪክስ ውስጥ ማንኛውንም ነገር እንደገና ማስተካከል የለብዎትም! ወደ ስርዓታችን እንመለስ። በተግባር ወደ ቁርጥራጮች ይወሰዳል.

የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ላይ እንቀንስ በደረጃ እይታ:

(1) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. እና በድጋሚ: ለምን የመጀመሪያውን መስመር በ -2 እናባዛለን? ከታች ዜሮ ለማግኘት, ይህም ማለት በሁለተኛው መስመር ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ማስወገድ ማለት ነው.

(2) ሁለተኛውን መስመር በ 3 ይከፋፍሉት.

የአንደኛ ደረጃ ለውጦች ዓላማ – ማትሪክስ ወደ ደረጃ በደረጃ ቅፅ ይቀንሱ . በስራው ንድፍ ውስጥ "ደረጃዎችን" በቀላል እርሳስ ብቻ ምልክት ያደርጉታል, እና እንዲሁም በ "ደረጃዎች" ላይ የሚገኙትን ቁጥሮች ያከብራሉ. “የእርምጃ እይታ” የሚለው ቃል ራሱ ሙሉ በሙሉ ንድፈ ሐሳብ አይደለም፤ በሳይንሳዊ እና ትምህርታዊ ጽሑፎች ውስጥ ብዙ ጊዜ ይባላል ትራፔዞይድ እይታወይም የሶስት ማዕዘን እይታ.

በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት, አገኘን ተመጣጣኝኦሪጅናል የእኩልታዎች ስርዓት;

አሁን ስርዓቱ በተቃራኒው አቅጣጫ "መቀልበስ" ያስፈልጋል - ከታች ወደ ላይ ይህ ሂደት ይባላል የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ.

በዝቅተኛ ስሌት ውስጥ እኛ ቀድሞውኑ ዝግጁ የሆነ ውጤት አለን:

የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ እናስብ እና ቀደም ሲል የሚታወቀውን የ“y” እሴት በእሱ ውስጥ እንተካው።

የ Gaussian ዘዴ የሶስት መስመር እኩልታዎችን ከሶስት የማይታወቁ ጋር መፍታት ሲፈልግ በጣም የተለመደውን ሁኔታ እናስብ።

ምሳሌ 1

የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ፡-

የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፃፍ፡-

አሁን በመፍትሔው ጊዜ የምንመጣበትን ውጤት ወዲያውኑ እሳለሁ- እና እደግመዋለሁ ፣ ግባችን የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ማትሪክስ ወደ ደረጃ አቅጣጫ ማምጣት ነው። የት መጀመር?

መጀመሪያ ከላይ በግራ በኩል ያለውን ቁጥር ይመልከቱ፡- ሁልጊዜ ማለት ይቻላል እዚህ መሆን አለበት። ክፍል. በአጠቃላይ፣ -1 (እና አንዳንድ ጊዜ ሌሎች ቁጥሮች) ይሰራሉ፣ ግን በሆነ መንገድ አንድ ሰው ብዙውን ጊዜ እዚያ እንደሚቀመጥ በተለምዶ ተከሰተ። ክፍልን እንዴት ማደራጀት ይቻላል? የመጀመሪያውን አምድ እንመለከታለን - የተጠናቀቀ ክፍል አለን! ትራንስፎርሜሽን አንድ፡ የመጀመሪያውን እና ሶስተኛውን መስመር ይቀያይሩ፡

አሁን የመጀመሪያው መስመር እስከ መፍትሄው መጨረሻ ድረስ ሳይለወጥ ይቆያል. አሁን ደህና።

በላይኛው ግራ ጥግ ላይ ያለው ክፍል ተደራጅቷል. አሁን በእነዚህ ቦታዎች ላይ ዜሮዎችን ማግኘት አለብዎት:

"አስቸጋሪ" ለውጥን በመጠቀም ዜሮዎችን እናገኛለን. በመጀመሪያ ከሁለተኛው መስመር (2, -1, 3, 13) ጋር እንገናኛለን. በመጀመሪያ ቦታ ዜሮ ለማግኘት ምን መደረግ አለበት? ያስፈልጋል ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ተባዝቶ ይጨምሩ. በአስተሳሰብ ወይም በረቂቅ ላይ የመጀመሪያውን መስመር በ -2: (–2, -4, 2, -18) ማባዛት. እና በተከታታይ (በድጋሚ በአእምሮ ወይም በረቂቅ) መደመርን እናከናውናለን ፣ ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር እንጨምራለን, ቀድሞውኑ በ -2 ተባዝተናል:

ውጤቱን በሁለተኛው መስመር ውስጥ እንጽፋለን-

ሶስተኛውን መስመር በተመሳሳይ መንገድ (3, 2, -5, -1) እንሰራለን. በመጀመሪያው ቦታ ላይ ዜሮ ለማግኘት, ያስፈልግዎታል ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝቶ ይጨምሩ. በአስተሳሰብ ወይም በረቂቅ ላይ የመጀመሪያውን መስመር በ -3: (–3, -6, 3, -27) ማባዛት. እና ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝተን እንጨምራለን:

ውጤቱን በሶስተኛው መስመር እንጽፋለን-

በተግባር እነዚህ ድርጊቶች በአብዛኛው የሚከናወኑት በቃል እና በአንድ ደረጃ ነው፡-

ሁሉንም ነገር በአንድ ጊዜ እና በተመሳሳይ ጊዜ መቁጠር አያስፈልግም. የስሌቶች ቅደም ተከተል እና ውጤቱን "በመፃፍ". ወጥነት ያለውእና ብዙውን ጊዜ እንደዚህ ነው-መጀመሪያ የመጀመሪያውን መስመር እንደገና እንጽፋለን ፣ እና ቀስ በቀስ እራሳችንን እንመካለን - ያለማቋረጥ እና በትኩረት:
እና ቀደም ሲል ስለ ስሌቶቹ እራሳቸው ስለ አእምሮአዊ ሂደት ተወያይቻለሁ.

በዚህ ምሳሌ, ይህን ማድረግ ቀላል ነው, ሁለተኛውን መስመር በ -5 እንከፍላለን (ሁሉም ቁጥሮች ሳይቀሩ በ 5 ይከፈላሉ). በተመሳሳይ ጊዜ, ሶስተኛውን መስመር በ -2 እንከፍላለን, ምክንያቱም ትናንሽ ቁጥሮች, መፍትሄው ቀላል ይሆናል.

በአንደኛ ደረጃ ለውጦች የመጨረሻ ደረጃ ላይ ፣ እዚህ ሌላ ዜሮ ማግኘት ያስፈልግዎታል

ለዚህ ወደ ሦስተኛው መስመር ሁለተኛውን መስመር በ -2 ተባዝተን እንጨምራለን:
ይህንን ድርጊት እራስዎ ለማወቅ ይሞክሩ - በአእምሮ ሁለተኛውን መስመር በ -2 በማባዛት እና ተጨማሪውን ያከናውኑ።

የመጨረሻው የተከናወነው ተግባር የውጤቱ የፀጉር አሠራር ነው, ሶስተኛውን መስመር በ 3 ይከፋፍሉት.

በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት ተመጣጣኝ የመስመሮች እኩልታዎች ስርዓት ተገኝቷል- ጥሩ.

አሁን የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ ወደ ጨዋታ ይመጣል። እኩልታዎቹ ከታች ወደ ላይ "ይቀልጣሉ".

በሦስተኛው እኩልታ ውስጥ ቀድሞውኑ ዝግጁ የሆነ ውጤት አለን-

ሁለተኛውን እኩልታ እንመልከት፡- . የ"zet" ትርጉም አስቀድሞ ይታወቃል፣ ስለዚህም፡-

እና በመጨረሻም, የመጀመሪያው እኩልታ:. “ኢግሬክ” እና “ዜት” ይታወቃሉ፣ የትንሽ ነገሮች ጉዳይ ብቻ ነው።

መልስ:

ቀደም ሲል በተደጋጋሚ እንደተገለጸው, ለማንኛውም የእኩልታዎች ስርዓት የተገኘውን መፍትሄ ማረጋገጥ ይቻላል እና አስፈላጊ ነው, እንደ እድል ሆኖ, ይህ ቀላል እና ፈጣን ነው.

ምሳሌ 2

ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ, የመጨረሻው ንድፍ ናሙና እና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መልስ ነው.

የእርስዎ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል የውሳኔው ሂደትከውሳኔዬ ጋር ላይስማማ ይችላል ፣ እና ይህ የጋውስ ዘዴ ባህሪ ነው. ግን መልሱ አንድ መሆን አለበት!

ምሳሌ 3

የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ

የላይኛውን ግራ "ደረጃ" እንመለከታለን. እዚያ ሊኖረን ይገባል. ችግሩ በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ምንም ክፍሎች ስለሌሉ ረድፎችን ማስተካከል ምንም ነገር አይፈታም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, ክፍሉ በአንደኛ ደረጃ ለውጥን በመጠቀም መደራጀት አለበት. ይህ አብዛኛውን ጊዜ በበርካታ መንገዶች ሊከናወን ይችላል. ይህን አደረግሁ፡ (1) ወደ መጀመሪያው መስመር ሁለተኛውን መስመር እንጨምራለን, በ -1 ተባዝተናል. ማለትም ሁለተኛውን መስመር በ-1 በማባዛት የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ስንጨምር ሁለተኛው መስመር ግን አልተለወጠም።

አሁን ከላይ በግራ በኩል "አንድ ሲቀነስ" አለ, ይህም ለእኛ በጣም ተስማሚ ነው. +1 ማግኘት የሚፈልግ ማንኛውም ሰው ተጨማሪ እንቅስቃሴ ማድረግ ይችላል፡ የመጀመሪያውን መስመር በ -1 ማባዛት (ምልክቱን ይቀይሩ)።

(2) የመጀመሪያው መስመር በ 5 ተባዝቶ በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል ።

(3) የመጀመሪያው መስመር በ -1 ተባዝቷል, በመርህ ደረጃ, ይህ ለውበት ነው. የሶስተኛው መስመር ምልክትም ተለወጠ እና ወደ ሁለተኛ ቦታ ተወስዷል, ስለዚህም በሁለተኛው "ደረጃ" ላይ አስፈላጊው ክፍል ነበረን.

(4) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 2 ተባዝቷል.

(5) ሦስተኛው መስመር በ 3 ተከፍሏል.

በስሌቶች ውስጥ ስህተትን የሚያመለክት መጥፎ ምልክት (በጣም አልፎ አልፎ, ትየባ) "መጥፎ" የታችኛው መስመር ነው. ማለትም፣ እንደ ከታች፣ እና፣ በዚህ መሰረት፣ , ከዚያም በከፍተኛ ደረጃ ዕድል በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ወቅት ስህተት ተፈጥሯል ማለት እንችላለን.

ተቃራኒውን እናስከፍላለን ፣ በምሳሌዎች ንድፍ ውስጥ ብዙውን ጊዜ ስርዓቱን እንደገና አይጽፉም ፣ ግን እኩልታዎቹ “ከተሰጠው ማትሪክስ በቀጥታ የተወሰዱ ናቸው። የተገላቢጦሽ ምት, አስታውሳችኋለሁ, ከታች ወደ ላይ ይሠራል. አዎ ስጦታ ይኸውና፡-

መልስ: .

ምሳሌ 4

የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ

ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው, በተወሰነ ደረጃ የተወሳሰበ ነው. አንድ ሰው ግራ ቢገባ ችግር የለውም። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና ናሙና ንድፍ. የእርስዎ መፍትሔ ከእኔ መፍትሔ የተለየ ሊሆን ይችላል.

በመጨረሻው ክፍል የ Gaussian አልጎሪዝም አንዳንድ ባህሪያትን እንመለከታለን. የመጀመሪያው ባህሪ አንዳንድ ጊዜ አንዳንድ ተለዋዋጮች ከስርዓት እኩልታዎች ይጎድላሉ፣ ለምሳሌ፡- የተራዘመውን የስርዓት ማትሪክስ እንዴት በትክክል መጻፍ እንደሚቻል? በክፍል ውስጥ ስለዚህ ጉዳይ አስቀድሜ ተናግሬያለሁ. የክሬመር አገዛዝ. ማትሪክስ ዘዴ. በተዘረጋው የስርዓቱ ማትሪክስ ውስጥ፣ የጎደሉትን ተለዋዋጮች ምትክ ዜሮዎችን እናስቀምጣለን። በነገራችን ላይ ይህ በጣም ቀላል ምሳሌ ነው ፣ ምክንያቱም የመጀመሪያው አምድ ቀድሞውኑ አንድ ዜሮ ስላለው እና ለማከናወን ጥቂት የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች አሉ።

ሁለተኛው ባህሪ ይህ ነው. በተጠቀሱት ሁሉም ምሳሌዎች ውስጥ -1 ወይም +1 በ "ደረጃዎች" ላይ አስቀምጠናል. እዚያ ሌሎች ቁጥሮች ሊኖሩ ይችላሉ? በአንዳንድ ሁኔታዎች ይችላሉ. ስርዓቱን አስቡበት፡- .

እዚህ በላይኛው ግራ "እርምጃ" ላይ ሁለት አለን. ነገር ግን በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ያሉት ሁሉም ቁጥሮች ያለቀሪ በ 2 የሚካፈሉ መሆናቸውን እናስተውላለን - ሌላኛው ደግሞ ሁለት እና ስድስት ነው። እና ከላይ በግራ በኩል ያሉት ሁለቱ ተስማሚ ይሆናሉ! በመጀመሪያው ደረጃ, የሚከተሉትን ለውጦች ማከናወን ያስፈልግዎታል: የመጀመሪያውን መስመር በ -1 ተባዝቶ ወደ ሁለተኛው መስመር ይጨምሩ; ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝቶ ይጨምሩ። በዚህ መንገድ በመጀመሪያው አምድ ውስጥ አስፈላጊዎቹን ዜሮዎች እናገኛለን.

ወይም ሌላ የተለመደ ምሳሌ: . እዚህ በሁለተኛው “እርምጃ” ላይ ያሉት ሦስቱ እኛንም ይስማማናል ምክንያቱም 12 (ዜሮ የምናገኝበት ቦታ) ያለቀሪ በ 3 ይከፈላል ። የሚከተለውን ለውጥ ማካሄድ አስፈላጊ ነው-ሁለተኛውን መስመር ወደ ሶስተኛው መስመር ይጨምሩ, በ -4 ተባዝተዋል, በዚህም ምክንያት የምንፈልገው ዜሮ ይገኛል.

የጋውስ ዘዴ ሁለንተናዊ ነው, ግን አንድ የተለየ ነገር አለ. ሌሎች ዘዴዎችን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት በልበ ሙሉነት መማር ይችላሉ (Cramer's method, matrix method) በጥሬው ለመጀመሪያ ጊዜ - በጣም ጥብቅ ስልተ-ቀመር አላቸው. ነገር ግን በጋውሲያን ዘዴ በራስ የመተማመን ስሜት እንዲሰማዎት "ጥርስዎን ወደ ውስጥ ማስገባት" እና ቢያንስ 5-10 አስር ስርዓቶችን መፍታት አለብዎት. ስለዚህ, መጀመሪያ ላይ በስሌቶች ውስጥ ግራ መጋባት እና ስህተቶች ሊኖሩ ይችላሉ, እና በዚህ ውስጥ ምንም ያልተለመደ ወይም አሳዛኝ ነገር የለም.

ዝናባማ የበልግ የአየር ሁኔታ ከመስኮቱ ውጭ .... ስለዚህ ፣ የበለጠ ውስብስብ ምሳሌ ለሚፈልጉ ሁሉ በራሳቸው ለመፍታት-

ምሳሌ 5

የ Gauss ዘዴን በመጠቀም ከአራት የማይታወቁ ጋር የ 4 መስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ።

እንዲህ ዓይነቱ ተግባር በተግባር እምብዛም አይደለም. እኔ ይህን ገጽ በደንብ ያጠና የሻይ ማንኪያ እንኳን እንዲህ ዓይነቱን ስርዓት ለመፍታት ስልተ ቀመሩን የሚረዳው ይመስለኛል። በመሠረቱ, ሁሉም ነገር አንድ ነው - ተጨማሪ ድርጊቶች ብቻ አሉ.

ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች ሳይኖረው (ወጥነት የሌለው) ወይም ብዙ መፍትሄዎች ያሉት ጉዳዮች በትምህርቱ ውስጥ ተብራርተዋል ከጋራ መፍትሄ ጋር የማይጣጣሙ ስርዓቶች እና ስርዓቶች. እዚያ የታሰበውን የ Gaussian ዘዴ ስልተ ቀመር ማስተካከል ይችላሉ።

ስኬት እመኛለሁ!

መፍትሄዎች እና መልሶች:

ምሳሌ 2፡ መፍትሄ : የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና, የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም, ወደ ደረጃ መሄጃ ቅፅ እናምጣው.
የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ተከናውነዋል፡- (1) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -1 ተባዝቷል. ትኩረት! እዚህ የመጀመሪያውን ከሶስተኛው መስመር ለመቀነስ ትፈተኑ ይሆናል ። እንዳይቀንስ በጣም እመክራለሁ - የስህተት አደጋ በጣም ይጨምራል። ብቻ አጣጥፈው! (2) የሁለተኛው መስመር ምልክት ተለወጠ (በ -1 ተባዝቷል)። ሁለተኛውና ሦስተኛው መስመር ተለዋውጧል። ማስታወሻ , በ "እርምጃዎች" ላይ አንድ ብቻ ሳይሆን በ -1 ረክተናል, ይህም የበለጠ ምቹ ነው. (3) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 5 ተባዝቷል. (4) የሁለተኛው መስመር ምልክት ተለወጠ (በ -1 ተባዝቷል)። ሦስተኛው መስመር በ 14 ተከፍሏል.

ተገላቢጦሽ፡

መልስ : .

ምሳሌ 4፡ መፍትሄ : የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናምጣው።

የተደረጉ ልወጣዎች፡- (1) ሁለተኛው መስመር በመጀመሪያው መስመር ላይ ተጨምሯል. ስለዚህ, የሚፈለገው ክፍል ከላይ በግራ "እርምጃ" ላይ ይደራጃል. (2) የመጀመሪያው መስመር በ 7 ተባዝቶ በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል ።

በሁለተኛው "እርምጃ" ሁሉም ነገር እየባሰ ይሄዳል , ለእሱ "እጩዎች" ቁጥሮች 17 እና 23 ናቸው, እና አንድ ወይም -1 ያስፈልገናል. ትራንስፎርሜሽን (3) እና (4) የሚፈለገውን ክፍል ለማግኘት ያለመ ይሆናል። (3) ሁለተኛው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል ፣ ተባዝቷል -1። (4) ሦስተኛው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል. በሁለተኛው ደረጃ ላይ አስፈላጊው ነገር ደርሷል. . (5) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 6 ተባዝቷል. (6) ሁለተኛው መስመር በ -1 ተባዝቷል ፣ ሦስተኛው መስመር በ -83 ተከፍሏል።

ተገላቢጦሽ፡

መልስ :

ምሳሌ 5፡ መፍትሄ : የስርአቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ ቅደም ተከተል እናምጣው።

የተደረጉ ልወጣዎች፡- (1) የመጀመሪያው እና ሁለተኛው መስመሮች ተለዋውጠዋል. (2) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ አራተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል. (3) ሁለተኛው መስመር በሦስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 4 ተባዝቷል. (4) የሁለተኛው መስመር ምልክት ተለውጧል. አራተኛው መስመር በ 3 ተከፍሎ በሶስተኛው መስመር ቦታ ላይ ተቀምጧል. (5) ሦስተኛው መስመር በአራተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -5 ተባዝቷል.

ተገላቢጦሽ፡

መልስ :

Gauss ዘዴየመስመራዊ አልጀብራዊ እኩልታዎችን (SLAEs) ስርዓቶችን ለመፍታት ፍጹም ነው። ከሌሎች ዘዴዎች ጋር ሲወዳደር በርካታ ጥቅሞች አሉት-

በመጀመሪያ ፣ ወጥነት እንዲኖረው በመጀመሪያ የእኩልታዎችን ስርዓት መመርመር አያስፈልግም ።
በሁለተኛ ደረጃ ፣ የ Gauss ዘዴ የስሌቶች ብዛት ከማይታወቁ ተለዋዋጮች ብዛት ጋር የሚገጣጠምባቸውን እና የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ ነጠላ ያልሆኑትን SLAE ዎችን ብቻ ሳይሆን የእኩልታዎች ብዛት የማይገጣጠሙበትን የእኩልታዎች ስርዓቶችንም ሊፈታ ይችላል። የማይታወቁ ተለዋዋጮች ብዛት ወይም የዋናው ማትሪክስ መወሰኛ ከዜሮ ጋር እኩል ነው ፣
በሶስተኛ ደረጃ, የጋውሲያን ዘዴ በአንጻራዊ ሁኔታ አነስተኛ ቁጥር ያላቸው የሂሳብ ስራዎች ወደ ውጤት ይመራል.

የጽሁፉ አጭር መግለጫ።

በመጀመሪያ, አስፈላጊ የሆኑትን ፍቺዎች እንሰጣለን እና ማስታወሻዎችን እናስተዋውቃለን.

በመቀጠል የጋውስ ዘዴን ስልተ ቀመር ለቀላል ጉዳይ እንገልፃለን ፣ ማለትም ፣ ለመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶች ፣ ከማይታወቁ ተለዋዋጮች ብዛት ጋር የሚገጣጠም እና የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ የሚወስነው የእኩልታዎች ብዛት ነው። ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. እንደነዚህ ያሉትን የእኩልታዎች ስርዓቶች ሲፈቱ, የጋውስ ዘዴ ምንነት በግልጽ ይታያል, ይህም የማይታወቁ ተለዋዋጭዎችን በቅደም ተከተል ማስወገድ ነው. ስለዚህ የጋውሲያን ዘዴ የማይታወቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ተብሎም ይጠራል. የበርካታ ምሳሌዎች ዝርዝር መፍትሄዎችን እናሳያለን.

በማጠቃለያው መፍትሄውን በ Gauss ዘዴ የመስመር ላይ የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን እንመለከታለን, ዋናው ማትሪክስ አራት ማዕዘን ወይም ነጠላ ነው. ለእንደዚህ አይነት ስርዓቶች መፍትሄው አንዳንድ ባህሪያት አሉት, ምሳሌዎችን በመጠቀም በዝርዝር እንመረምራለን.

የገጽ አሰሳ።

መሰረታዊ ትርጓሜዎች እና መግለጫዎች።

n ያልታወቁ (p ከ n ጋር እኩል ሊሆን ይችላል) ያለው የፒ መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን አስቡበት፡

የማይታወቁ ተለዋዋጮች ያሉበት፣ ቁጥሮች (እውነተኛ ወይም ውስብስብ) ሲሆኑ፣ እና ነፃ ቃላት ናቸው።

ከሆነ , ከዚያም የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ይባላል ተመሳሳይነት ያለውአለበለዚያ - የተለያዩ.

ሁሉም የስርዓቱ እኩልታዎች መለያ የሚሆኑባቸው ያልታወቁ ተለዋዋጮች የእሴቶች ስብስብ ተጠርቷል። የ SLAU ውሳኔ.

ለመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ቢያንስ አንድ መፍትሄ ካለ፣ ከዚያም ይባላል መገጣጠሚያአለበለዚያ - የጋራ ያልሆነ.

SLAE ልዩ መፍትሄ ካለው, ከዚያም ይባላል የተወሰነ. ከአንድ በላይ መፍትሄዎች ካሉ, ስርዓቱ ይባላል እርግጠኛ ያልሆነ.

ስርአቱ የተፃፈ ነው ይላሉ የማስተባበር ቅጽ, ቅጹ ካለው
.

ይህ ስርዓት በ ማትሪክስ ቅጽመዝገቦች ቅጽ አላቸው ፣ የት - የ SLAE ዋና ማትሪክስ ፣ - የማይታወቁ ተለዋዋጮች አምድ ማትሪክስ ፣ - የነፃ ቃላት ማትሪክስ።

ማትሪክስ-አምድ የነጻ ቃላትን ወደ ማትሪክስ A እንደ (n+1) ኛ አምድ ከጨመርን የሚባለውን እናገኛለን። የተራዘመ ማትሪክስየመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች. በተለምዶ ፣ የተራዘመ ማትሪክስ በ T ፊደል ይገለጻል ፣ እና የነፃ ቃላት አምድ ከቀሪዎቹ አምዶች በአቀባዊ መስመር ይለያል ፣ ማለትም ፣

ካሬ ማትሪክስ A ይባላል የተበላሸ፣ የሚወስነው ዜሮ ከሆነ። ከሆነ፣ ማትሪክስ A ይባላል ያልተበላሸ.

የሚከተለው ነጥብ መታወቅ አለበት.

በመስመራዊ የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የሚከተሉትን ድርጊቶች ከፈጸሙ

ሁለት እኩልታዎችን መለዋወጥ,
የማንኛውንም እኩልታ ሁለቱንም ወገኖች በዘፈቀደ እና ዜሮ ባልሆነ እውነተኛ (ወይም ውስብስብ) ቁጥር ማባዛት፣ k፣
በማንኛዉም እኩልታ በሁለቱም በኩል የሌላ እኩልታ ተጓዳኝ ክፍሎችን በዘፈቀደ ቁጥር ተባዝቶ ይጨምሩ k

ከዚያ ተመሳሳይ መፍትሄዎች ያሉት (ወይም ልክ እንደ መጀመሪያው, ምንም መፍትሄዎች የሉትም) ተመጣጣኝ ስርዓት ያገኛሉ.

ለተራዘመ ማትሪክስ የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት፣ እነዚህ ድርጊቶች የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን ከረድፎች ጋር ማከናወን ማለት ነው፡-

ሁለት መስመሮችን መለዋወጥ,
የማንኛውንም ረድፍ ማትሪክስ ቲ ሁሉንም ንጥረ ነገሮች በዜሮ ባልሆነ ቁጥር ማባዛት ፣ k ፣
በማትሪክስ የማንኛውንም ረድፍ አካላት ላይ የሌላ ረድፍ ተጓዳኝ አካላትን በመጨመር በዘፈቀደ ቁጥር ተባዝቷል።

አሁን ወደ Gauss ዘዴ መግለጫ መቀጠል እንችላለን.

የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎች ቁጥር ከማይታወቁት ብዛት ጋር እኩል የሆነ እና የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ ነጠላ ያልሆኑትን የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት።

የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ የማግኘት ተግባር ቢሰጠን በትምህርት ቤት ምን እናደርጋለን? .

አንዳንዶች ያንን ያደርጉ ነበር።

የመጀመርያውን የግራ ጎን በሁለተኛው እኩልታ በግራ በኩል እና በቀኝ በኩል በቀኝ በኩል በማከል ያልታወቁትን ተለዋዋጭ x 2 እና x 3 ማስወገድ እና ወዲያውኑ x 1 ን ማግኘት እንደሚችሉ ልብ ይበሉ:

የተገኘውን እሴት x 1 = 1 ወደ ስርዓቱ የመጀመሪያ እና ሶስተኛ እኩልታዎች እንተካለን።

የስርዓቱን የሶስተኛውን እኩልዮሽ ሁለቱንም ጎኖች በ -1 ብናባዛው እና ወደ መጀመሪያው እኩልዮሽ ተጓዳኝ ክፍሎች ካከልን የማናውቀውን x 3ን እናስወግዳለን እና x 2 ን እናገኛለን፡-

የተገኘውን እሴት x 2 = 2 ወደ ሶስተኛው እኩልነት በመተካት የቀረውን ያልታወቀ ተለዋዋጭ x 3 እናገኛለን፡

ሌሎች በተለየ መንገድ ያደርጉ ነበር።

ከማይታወቅ ተለዋዋጭ x 1 አንጻር የስርዓቱን የመጀመሪያ እኩልታ እንፈታ እና ይህንን ተለዋዋጭ ከነሱ ለማግለል የተገኘውን አገላለጽ በሁለተኛው እና በሦስተኛው የስርዓቱ እኩልታዎች እንተካው።

አሁን የስርዓቱን ሁለተኛ እኩልታ ለ x 2 እንፍታ እና የተገኘውን ውጤት በሶስተኛው እኩልታ በመተካት የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 2ን ከእሱ ለማስወገድ:

ከስርአቱ ሶስተኛው እኩልታ x 3 =3 መሆኑ ግልጽ ነው። ከሁለተኛው እኩልታ እናገኛለን , እና ከመጀመሪያው እኩልታ እናገኛለን.

የተለመዱ መፍትሄዎች, አይደል?

እዚህ ላይ በጣም የሚያስደስት ነገር ሁለተኛው የመፍትሄ ዘዴ በመሠረቱ የማይታወቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ነው, ማለትም, የጋውስ ዘዴ. ያልታወቁ ተለዋዋጮችን ስንገልጽ (በመጀመሪያ x 1፣ በሚቀጥለው ደረጃ x 2) እና በቀሩት የስርአቱ እኩልታዎች ውስጥ ስንተካ፣ በዚህም አስቀርናቸው። በመጨረሻው እኩልታ ውስጥ አንድ የማይታወቅ ተለዋዋጭ ብቻ እስኪቀር ድረስ ማስወገድን አደረግን። የማይታወቁ ነገሮችን በቅደም ተከተል የማስወገድ ሂደት ይባላል ቀጥተኛ Gaussian ዘዴ. ወደፊት የሚደረገውን እንቅስቃሴ ከጨረስን በኋላ, በመጨረሻው እኩልታ ውስጥ የተገኘውን የማይታወቅ ተለዋዋጭ ለማስላት እድሉ አለን. በእሱ እርዳታ የሚቀጥለውን የማይታወቅ ተለዋዋጭ ከፔነልቲሜት እኩልነት ወዘተ እናገኛለን. ከመጨረሻው እኩልታ ወደ መጀመሪያው በሚንቀሳቀስበት ጊዜ የማይታወቁ ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል የማግኘት ሂደት ይባላል የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ.

በመጀመሪያ እኩልታ x 1ን በ x 2 እና x 3 ስንገልፅ እና ውጤቱን ወደ ሁለተኛው እና ሶስተኛ እኩልታ ስንተካ የሚከተሉት ድርጊቶች ወደ ተመሳሳይ ውጤት እንደሚመሩ ልብ ሊባል ይገባል።

በእርግጥ እንዲህ ዓይነቱ አሰራር የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 1ን ከስርዓቱ ሁለተኛ እና ሶስተኛ እኩልታዎች ለማስወገድ ያስችላል።

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የማይታወቁ ተለዋዋጮችን የማስወገድ ልዩነቶች የስርዓቱ እኩልታዎች አንዳንድ ተለዋዋጮችን በማይይዙበት ጊዜ ይነሳሉ ።

ለምሳሌ, በ SLAU በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ ምንም የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 1 የለም (በሌላ አነጋገር በፊቱ ያለው ቅንጅት ዜሮ ነው)። ስለዚህ, ይህንን የማይታወቅ ተለዋዋጭ ከቀሪዎቹ እኩልታዎች ለማስወገድ የስርዓቱን የመጀመሪያ እኩልታ ለ x 1 መፍታት አንችልም. ከዚህ ሁኔታ መውጫው የስርዓቱን እኩልታዎች መለዋወጥ ነው. የዋና ማትሪክስ ወሳኙ ከዜሮ የሚለዩትን የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን እያሰብን ስለሆነ ሁል ጊዜ የምንፈልገው ተለዋዋጭ የሚገኝበት እኩልታ አለ እና ይህንን እኩልነት ወደምንፈልገው ቦታ ማስተካከል እንችላለን። እንደ ምሳሌአችን, የስርዓቱን የመጀመሪያ እና ሁለተኛ እኩልታዎች መለዋወጥ በቂ ነው , ከዚያም የመጀመሪያውን እኩልታ ለ x 1 መፍታት እና ከተቀሩት የስርዓቱ እኩልታዎች ውስጥ ማስወጣት ይችላሉ (ምንም እንኳን x 1 በሁለተኛው እኩልነት ውስጥ ባይኖርም).

ዋናውን ነገር እንደምታገኝ ተስፋ እናደርጋለን።

እንግለጽ የ Gaussian ዘዴ አልጎሪዝም.

የ n መስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓትን ከ n ያልታወቁ የቅጹ ተለዋዋጮች ጋር መፍታት ያስፈልገናል እንበል እና የዋናው ማትሪክስ ወሳኙ ከዜሮ የተለየ ይሁን።

የስርዓቱን እኩልታዎች በማስተካከል ሁልጊዜ ይህንን ማሳካት ስለምንችል እንደዚያ እንገምታለን። የማይታወቀውን ተለዋዋጭ x 1ን ከሁሉም የስርዓቱ እኩልታዎች እናስወግድ፣ ከሁለተኛው ጀምሮ። ይህንን ለማድረግ ወደ ሁለተኛው የስርዓት እኩልታ የመጀመሪያውን እንጨምራለን ፣ ተባዝተናል ፣ ወደ ሦስተኛው እኩልታ የመጀመሪያውን እንጨምራለን ፣ ተባዝተናል ፣ እና በ nth እኩልነት የመጀመሪያውን እንጨምራለን ፣ ተባዝተናል። ከእንደዚህ አይነት ለውጦች በኋላ የእኩልታዎች ስርዓት ቅጹን ይወስዳል

የት እና .

በስርአቱ የመጀመሪያ እኩልታ ላይ x 1ን ከሌሎች ያልታወቁ ተለዋዋጮች አንፃር ብንገልጽ እና የተገኘውን አገላለጽ ወደ ሌሎች እኩልታዎች ብተካው ተመሳሳይ ውጤት ላይ በደረስን ነበር። ስለዚህ, ተለዋዋጭ x 1 ከሁለተኛው ጀምሮ ከሁሉም እኩልታዎች የተገለለ ነው.

በመቀጠል, በተመሳሳይ መንገድ እንቀጥላለን, ነገር ግን በስዕሉ ላይ ምልክት የተደረገበት የውጤት ስርዓት አካል ብቻ ነው

ይህንን ለማድረግ ወደ ስርዓቱ ሶስተኛው እኩልዮሽ ሁለተኛውን እንጨምራለን, በማባዛት, ወደ አራተኛው እኩልታ ሁለተኛውን እንጨምራለን, በማባዛት እና በመሳሰሉት, ወደ nth እኩልነት ሁለተኛውን እንጨምራለን, በማባዛት. ከእንደዚህ አይነት ለውጦች በኋላ የእኩልታዎች ስርዓት ቅጹን ይወስዳል

የት እና . ስለዚህ, ተለዋዋጭ x 2 ከሦስተኛው ጀምሮ ከሁሉም እኩልታዎች የተገለለ ነው.

በመቀጠል, የማይታወቅ x 3ን ማስወገድ እንቀጥላለን, በሥዕሉ ላይ ምልክት ከተደረገበት የስርዓቱ ክፍል ጋር ተመሳሳይ በሆነ መልኩ እንሰራለን.

ስለዚህ ስርዓቱ ቅጹን እስኪያገኝ ድረስ የ Gaussian ዘዴን ቀጥተኛ እድገት እንቀጥላለን

ከዚህ ቅጽበት ጀምሮ የጋውሲያን ዘዴ ተቃራኒውን እንጀምራለን-x nን ከመጨረሻው እኩልታ እናሰላለን ፣ የተገኘውን የ x n እሴት በመጠቀም x n-1ን ከፔነልቲሜት እኩልታ እናገኛለን ፣ እና በመቀጠል ፣ ከመጀመሪያው እኩልታ x 1 እናገኛለን። .

ምሳሌን በመጠቀም አልጎሪዝምን እንመልከት።

ለምሳሌ.

Gauss ዘዴ.

መፍትሄ።

የ 11 ጥምርታ ዜሮ አይደለም, ስለዚህ ወደ ጋውሲያን ዘዴ ቀጥተኛ እድገት እንቀጥል, ማለትም, ከመጀመሪያው በስተቀር ከሁሉም የስርዓቱ እኩልታዎች ውስጥ የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 1 ን ለማስወገድ. ይህንን ለማድረግ በሁለተኛው ፣ በሦስተኛው እና በአራተኛው እኩልታዎች ግራ እና ቀኝ በኩል ፣ በቅደም ተከተል በማባዛት የመጀመሪያውን እኩልታ ግራ እና ቀኝ ይጨምሩ። እና:

የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 1 ተወግዷል, ወደ x 2 ን ለማስወገድ እንሂድ. በሦስተኛው እና በአራተኛው የስርዓቱ እኩልታዎች ግራ እና ቀኝ በኩል የሁለተኛውን እኩልታ ግራ እና ቀኝ እንጨምራለን ፣ በቅደም ተከተል ተባዝተናል። እና :

የ Gaussian ዘዴን ወደፊት ለመጨረስ, የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 3ን ከስርዓቱ የመጨረሻ እኩልነት ማስወገድ አለብን. ወደ አራተኛው እኩልዮሽ ግራ እና ቀኝ ጎን እንጨምር፣ በቅደም ተከተል፣ የሶስተኛው እኩልታ ግራ እና ቀኝ ጎን፣ ተባዝተን እንጨምር። :

የ Gaussian ዘዴን በተቃራኒው መጀመር ይችላሉ.

ካለፈው እኩልታ አለን። ,
ከሦስተኛው እኩልታ እናገኛለን
ከሁለተኛው,
ከመጀመሪያው.

ለመፈተሽ ፣ የተገኙትን የማይታወቁ ተለዋዋጮች እሴቶችን ወደ መጀመሪያው የእኩልታዎች ስርዓት መተካት ይችላሉ። ሁሉም እኩልታዎች ወደ ማንነቶች ይለወጣሉ, ይህም የጋውስ ዘዴን በመጠቀም መፍትሄው በትክክል እንደተገኘ ያመለክታል.

መልስ፡-

አሁን በማትሪክስ ማስታወሻ ውስጥ የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ለተመሳሳይ ምሳሌ መፍትሄ እንሰጣለን.

ለምሳሌ.

የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ይፈልጉ Gauss ዘዴ.

መፍትሄ።

የስርዓቱ የተራዘመ ማትሪክስ ቅጹ አለው . በእያንዳንዱ አምድ አናት ላይ ከማትሪክስ አካላት ጋር የሚዛመዱ የማይታወቁ ተለዋዋጮች አሉ።

የጋውሲያን ዘዴ ቀጥተኛ አቀራረብ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ ወደ ትራፔዞይድ ቅርጽ መቀነስ ያካትታል. ይህ ሂደት ከስርአቱ ጋር በቅንጅት መልክ ካደረግነው የማይታወቁ ተለዋዋጮችን ከማስወገድ ጋር ተመሳሳይ ነው። አሁን ይህንን ያያሉ.

በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ያሉት ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከሁለተኛው ጀምሮ ዜሮ እንዲሆኑ ማትሪክስ እንለውጠው። ይህንን ለማድረግ በሁለተኛው ፣ በሦስተኛው እና በአራተኛው መስመር አካላት ላይ የመጀመሪያውን መስመር ተጓዳኝ አካላትን እንጨምራለን ፣ እና በዚህ መሠረት፡-

በመቀጠልም የተገኘውን ማትሪክስ እንለውጣለን ስለዚህም በሁለተኛው ዓምድ ውስጥ ሁሉም ንጥረ ነገሮች ከሦስተኛው ጀምሮ ዜሮ ይሆናሉ. ይህ የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 2ን ከማስወገድ ጋር ይዛመዳል። ይህንን ለማድረግ በሦስተኛው እና በአራተኛው ረድፎች አካላት ላይ የማትሪክስ የመጀመሪያ ረድፍ ተጓዳኝ አካላትን እንጨምራለን ፣ በቅደም ተከተል ተባዝተዋል። እና :

የማይታወቅ ተለዋዋጭ x 3ን ከስርዓቱ የመጨረሻ እኩልታ ለማግለል ይቀራል። ይህንን ለማድረግ በመጨረሻው ረድፍ ላይ ባለው የውጤት ማትሪክስ አካላት ላይ የፔነልቲሜትሩን ተጓዳኝ አካላት እንጨምራለን ፣ ተባዝተናል። :

ይህ ማትሪክስ ከመስመር እኩልታዎች ስርዓት ጋር እንደሚዛመድ ልብ ሊባል ይገባል።

ወደ ፊት ከተጓዘ በኋላ ቀደም ብሎ የተገኘው.

ወደ ኋላ ለመመለስ ጊዜው አሁን ነው። በማትሪክስ ማስታወሻ ውስጥ የጋውሲያን ዘዴ ተገላቢጦሽ የተገኘውን ማትሪክስ በስዕሉ ላይ ምልክት የተደረገበት ማትሪክስ መለወጥን ያካትታል ።

ሰያፍ ሆነ፣ ማለትም፣ ቅጹን ወሰደ

አንዳንድ ቁጥሮች የት አሉ።

እነዚህ ለውጦች ከጋውሲያን ዘዴ ወደፊት ከሚደረጉ ለውጦች ጋር ተመሳሳይ ናቸው, ነገር ግን ከመጀመሪያው መስመር ወደ መጨረሻው ሳይሆን ከመጨረሻው ወደ መጀመሪያው ይከናወናሉ.

ወደ ሦስተኛው ፣ ሁለተኛ እና የመጀመሪያ መስመር አካላት የመጨረሻው መስመር ተጓዳኝ አካላትን ይጨምሩ ፣ ተባዝተዋል። ፣ ላይ እና ላይ በቅደም ተከተል፡-

አሁን ወደ ሁለተኛው እና የመጀመሪያው መስመር አካላት የሶስተኛው መስመር ተጓዳኝ አካላትን በቅደም ተከተል በማባዛት ይጨምሩ።

በተገላቢጦሽ Gaussian ዘዴ የመጨረሻ ደረጃ ላይ ፣ በመጀመሪያው ረድፍ አካላት ላይ የሁለተኛው ረድፍ ተጓዳኝ አካላትን እንጨምራለን ፣ ተባዝቷል-

የተገኘው ማትሪክስ ከእኩልታዎች ስርዓት ጋር ይዛመዳል ያልታወቁ ተለዋዋጮችን ከምንገኝበት።

መልስ፡-

ማስታወሻ.

የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት የጋውስ ዘዴን ሲጠቀሙ ግምታዊ ስሌቶች መወገድ አለባቸው ፣ ይህ ወደ ሙሉ በሙሉ የተሳሳተ ውጤት ሊያመራ ይችላል። አስርዮሽ እንዳይጠጋ እንመክራለን። ከአስርዮሽ ክፍልፋዮች ወደ ተራ ክፍልፋዮች መሄድ ይሻላል።

ለምሳሌ.

የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የሶስት እኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ .

መፍትሄ።

በዚህ ምሳሌ ውስጥ የማይታወቁ ተለዋዋጮች የተለየ ስያሜ እንዳላቸው ልብ ይበሉ (x 1, x 2, x 3, ግን x, y, z). ወደ ተራ ክፍልፋዮች እንሂድ፡-

ከስርአቱ ሁለተኛ እና ሶስተኛ እኩልታዎች ያልታወቀ x እናስወግድ፡-

በውጤቱ ስርዓት ውስጥ ፣ የማይታወቅ ተለዋዋጭ y በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ የለም ፣ ግን y በሶስተኛው እኩልታ ውስጥ አለ ፣ ስለሆነም ፣ ሁለተኛውን እና ሶስተኛውን እኩልታዎች እንለዋወጥ።

ይህ የጋውስ ዘዴን ቀጥተኛ እድገት ያጠናቅቃል (ይህ የማይታወቅ ተለዋዋጭ ከአሁን በኋላ ስለሌለ yን ከሦስተኛው እኩልታ ማስወጣት አያስፈልግም)።

የተገላቢጦሹን እንቅስቃሴ እንጀምር።

ከመጨረሻው እኩልታ እናገኛለን ,
ከቅጣት

እኛ ካለን የመጀመሪያው እኩልታ

መልስ፡-

X = 10, y = 5, z = -20.

የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎች ብዛት ከማያውቁት ቁጥር ጋር የማይገጣጠም ወይም የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ ነጠላ የሆነባቸው የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት።

የእኩልታዎች ስርዓቶች፣ ዋናው ማትሪክስ አራት ማዕዘን ወይም ካሬ ነጠላ፣ ምንም መፍትሄዎች ላይኖረው ይችላል፣ አንድ ነጠላ መፍትሄ ሊኖረው ይችላል፣ ወይም ያልተገደበ የመፍትሄዎች ቁጥር ሊኖረው ይችላል።

አሁን የ Gauss ዘዴ የመስመር እኩልታዎች ስርዓትን ተኳሃኝነት ወይም አለመጣጣም ለመመስረት እንዴት እንደሚፈቅድ እንረዳለን ፣ እና በተመጣጣኝ ሁኔታ ውስጥ ሁሉንም መፍትሄዎች (ወይም አንድ ነጠላ መፍትሄ) እንወስናለን።

በመርህ ደረጃ, እንደዚህ ባሉ SLAEዎች ውስጥ የማይታወቁ ተለዋዋጭዎችን የማስወገድ ሂደት ተመሳሳይ ነው. ሆኖም ግን, ሊፈጠሩ ስለሚችሉ አንዳንድ ሁኔታዎች በዝርዝር መሄድ ጠቃሚ ነው.

ወደ በጣም አስፈላጊው ደረጃ እንሂድ.

እንግዲያው የጋውስ ዘዴን ወደፊት እድገት ካጠናቀቀ በኋላ የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ቅጹን እንደወሰደ እናስብ። እና አንድም እኩልነት አልተቀነሰም (በዚህ ሁኔታ ስርዓቱ ተኳሃኝ አይደለም ብለን እንወስዳለን). ምክንያታዊ ጥያቄ ይነሳል: "ከዚህ በኋላ ምን ማድረግ አለበት"?

በሁሉም የውጤት ስርዓት እኩልታዎች ውስጥ መጀመሪያ የሚመጡትን ያልታወቁ ተለዋዋጮችን እንፃፍ።

በእኛ ምሳሌ እነዚህ x 1፣ x 4 እና x 5 ናቸው። በስርዓቱ እኩልታዎች በግራ በኩል የተፃፉትን ያልታወቁ ተለዋዋጮች x 1 ፣ x 4 እና x 5 የያዙትን ቃላት ብቻ እንተዋለን ፣ የተቀሩት ቃላቶች በተቃራኒው ምልክት ወደ እኩልታዎች በቀኝ በኩል ይተላለፋሉ።

በቀኝ በኩል የሚገኙትን ያልታወቁ ተለዋዋጮች በዘፈቀደ እሴቶች እኩል እንስጥ - የዘፈቀደ ቁጥሮች;

ከዚህ በኋላ፣ የኛ SLAE እኩልታዎች የቀኝ እጅ ቁጥሮችን ይይዛሉ እና ወደ ጋውሲያን ዘዴ ወደ ተቃራኒው መቀጠል እንችላለን።

ካለን የስርአቱ የመጨረሻ እኩልታ፣ ከምናገኘው ከፔንልቲሜት እኩልታ፣ ከመጀመሪያው እኩልታ እናገኛለን።

የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄው የማይታወቁ ተለዋዋጮች እሴቶች ስብስብ ነው።

ቁጥሮች መስጠት የተለያዩ እሴቶች, ለእኩልታዎች ስርዓት የተለያዩ መፍትሄዎችን እናገኛለን. ይኸውም፣ የእኛ የእኩልታዎች ስርዓት ማለቂያ የሌላቸው ብዙ መፍትሄዎች አሉት።

መልስ፡-

የት - የዘፈቀደ ቁጥሮች.

ቁሳቁሱን ለማጠናከር, የበርካታ ተጨማሪ ምሳሌዎችን መፍትሄዎች በዝርዝር እንመረምራለን.

ለምሳሌ.

አንድ ወጥ የሆነ የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ Gauss ዘዴ.

መፍትሄ።

የማይታወቀውን ተለዋዋጭ x ከስርዓቱ ሁለተኛ እና ሶስተኛ እኩልታዎች እናስወግድ። ይህንን ለማድረግ በሁለተኛው እኩልዮሽ ግራ እና ቀኝ በኩል በቅደም ተከተል የመጀመሪያውን እኩልታ ግራ እና ቀኝ እንጨምራለን, ተባዝቷል, እና በሶስተኛው እኩልታ ግራ እና ቀኝ በኩል በግራ እና በቀኝ እንጨምራለን. የመጀመሪያው እኩልታ ቀኝ ጎኖች፣ ተባዝተው፡-

አሁን yን ከሚመጣው የእኩልታዎች ስርዓት ከሦስተኛው እኩልታ እናስወግድ፡-

የተገኘው SLAE ከስርዓቱ ጋር እኩል ነው። .

በስርአቱ እኩልታዎች በግራ በኩል ያልታወቁ ተለዋዋጮች x እና y የያዙ ቃላትን ብቻ እንተወዋለን እና ከማይታወቅ ተለዋዋጭ z ጋር ቃላቶቹን ወደ ቀኝ በኩል እናንቀሳቅሳለን።

የማያውቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ተብሎም የሚጠራው የጋውሲያን ዘዴ እንደሚከተለው ነው። የአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽንን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ወደ እንደዚህ ዓይነት ቅርፅ ቀርቧል የቁጥር ማትሪክስ ማትሪክስ ወደ ሆነ። ትራፔዞይድ (ከሶስት ማዕዘን ወይም ደረጃ ጋር ተመሳሳይ) ወይም ወደ trapezoidal ቅርብ (የ Gaussian ዘዴ ቀጥተኛ ምት, ከዚህ በኋላ - በቀላሉ ቀጥ ያለ ምት). የእንደዚህ አይነት ስርዓት ምሳሌ እና መፍትሄው ከላይ ባለው ስእል ላይ ነው.

በእንደዚህ አይነት ስርዓት, የመጨረሻው እኩልታ አንድ ተለዋዋጭ ብቻ ይይዛል እና እሴቱ በማያሻማ ሁኔታ ሊገኝ ይችላል. የዚህ ተለዋዋጭ እሴት ወደ ቀድሞው እኩልዮሽ ይተካል ( የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ , ከዚያ በተቃራኒው ብቻ), ቀዳሚው ተለዋዋጭ የሚገኝበት, ወዘተ.

በ trapezoidal (triangular) ስርዓት፣ እንደምናየው፣ ሶስተኛው እኩልታ ከአሁን በኋላ ተለዋዋጮችን አያካትትም። yእና x, እና ሁለተኛው እኩልታ ተለዋዋጭ ነው x .

የስርዓቱ ማትሪክስ ትራፔዞይድ ቅርጽ ከወሰደ በኋላ የስርዓቱን ተኳሃኝነት ጉዳይ ለመረዳት, የመፍትሄዎችን ብዛት ለመወሰን እና መፍትሄዎችን እራሳቸው መፈለግ አስቸጋሪ አይደለም.

ዘዴው ጥቅሞች:

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ከሶስት በላይ እኩልታዎች እና የማይታወቁ ሲፈቱ የጋውስ ዘዴ እንደ ክሬመር ዘዴ አስቸጋሪ አይደለም ፣ ምክንያቱም በጋውስ ዘዴ መፍታት ጥቂት ስሌቶችን ይፈልጋል ።
የ Gauss ዘዴ ያልተገደቡ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት ይችላል ፣ ማለትም ፣ አጠቃላይ መፍትሄ ያላቸውን (እና በዚህ ትምህርት እንመረምራቸዋለን) እና የ Cramer ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱ ያልተወሰነ መሆኑን መግለጽ እንችላለን ።
የማይታወቁ ቁጥሮች ከቁጥሮች ብዛት ጋር እኩል ያልሆኑትን የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት ይችላሉ (በዚህ ትምህርት ውስጥ እንመረምራለን) ።
ዘዴው በአንደኛ ደረጃ (ትምህርት ቤት) ዘዴዎች ላይ የተመሰረተ ነው - የማይታወቁትን የመተካት ዘዴ እና እኩልታዎችን የመጨመር ዘዴ, በተዛማጅ መጣጥፍ ውስጥ የነካነው.

ሁሉም ሰው ትራፔዞይድ (ባለሶስት ማዕዘን, ደረጃ) የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች የሚፈቱበትን ቀላልነት ለመረዳት እንዲቻል, በተቃራኒው እንቅስቃሴን በመጠቀም ለእንደዚህ አይነት ስርዓት መፍትሄ እናቀርባለን. የዚህ ስርዓት ፈጣን መፍትሄ በሥዕሉ ላይ በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ ታይቷል.

ምሳሌ 1.የተገላቢጦሽ በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ፡-

መፍትሄ። በዚህ trapezoidal ሥርዓት ውስጥ ተለዋዋጭ ዝከሦስተኛው እኩልታ በተለየ ሁኔታ ሊገኝ ይችላል. እሴቱን ወደ ሁለተኛው እኩልነት እንተካለን እና የተለዋዋጭውን ዋጋ እናገኛለን y:

አሁን የሁለት ተለዋዋጮችን እሴቶች እናውቃለን - ዝእና y. ወደ መጀመሪያው እኩልነት እንተካቸዋለን እና የተለዋዋጭውን ዋጋ እናገኛለን x:

ከቀደምት ደረጃዎች ወደ የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ እንጽፋለን-

እኛ በጣም በቀላል የፈታነውን እንዲህ ዓይነቱን ትራፔዞይዳል የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ለማግኘት ፣ ከመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ጋር የተቆራኘ ወደፊት ምት መጠቀም አስፈላጊ ነው። እንዲሁም በጣም አስቸጋሪ አይደለም.

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች

የስርዓተ-ፆታ እኩልታዎችን በአልጀብራ የመጨመር የት/ቤት ዘዴን መድገም፣ ከስርአቱ እኩልታዎች በአንዱ ላይ የስርዓቱን እኩልታ ማከል እንደምንችል እና እያንዳንዱ እኩልታዎች በተወሰኑ ቁጥሮች ሊባዙ እንደሚችሉ ደርሰንበታል። በውጤቱም, ከዚህ ጋር እኩል የሆነ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን. በእሱ ውስጥ, አንድ እኩልታ ቀድሞውኑ አንድ ተለዋዋጭ ብቻ ይዟል, እሴቱን ወደ ሌሎች እኩልታዎች በመተካት, ወደ መፍትሄ እንመጣለን. እንዲህ ዓይነቱ መደመር ከስርአቱ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጥ ዓይነቶች አንዱ ነው. የ Gaussian ዘዴን ስንጠቀም, ብዙ አይነት ለውጦችን መጠቀም እንችላለን.

ከላይ ያለው አኒሜሽን የእኩልታዎች ስርዓት ቀስ በቀስ ወደ ትራፔዞይድል እንዴት እንደሚቀየር ያሳያል። ማለትም ፣ በመጀመሪያ አኒሜሽን ውስጥ ያዩት እና ሁሉንም የማይታወቁ እሴቶች ከእሱ ማግኘት ቀላል እንደሆነ እራስዎን አሳምነው። እንዲህ ዓይነቱን ለውጥ እንዴት ማከናወን እንደሚቻል እና በእርግጥ ምሳሌዎች የበለጠ ይብራራሉ ።

በመስመራዊ እኩልታዎች ውስጥ ከማንኛውም እኩልታዎች እና የማይታወቁ ስርዓቶች እና በስርዓቱ የተራዘመ ማትሪክስ ውስጥ ሲፈቱ ይችላል:

መስመሮችን እንደገና ማስተካከል (ይህ በዚህ ጽሑፍ መጀመሪያ ላይ ተጠቅሷል);
ሌሎች ለውጦች እኩል ወይም ተመጣጣኝ ረድፎችን ካገኙ ከአንድ በስተቀር ሊሰረዙ ይችላሉ.
ሁሉም ጥምርታዎች ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑበት "ዜሮ" ረድፎችን ያስወግዱ;
ማባዛት ወይም ማካፈል ማንኛውንም ሕብረቁምፊ በተወሰነ ቁጥር;
በማንኛውም መስመር ላይ በተወሰነ ቁጥር ተባዝቶ ሌላ መስመር ጨምር።

በለውጦቹ ምክንያት፣ ከዚህ ጋር እኩል የሆነ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን።

ስልተ ቀመር እና የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ከአንድ ካሬ ማትሪክስ ጋር የመፍታት ምሳሌዎች

በመጀመሪያ ደረጃ የማያውቁት ቁጥር ከእኩልታዎች ብዛት ጋር እኩል የሆነ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶችን መፍታት እንመልከት። የእንደዚህ አይነት ስርዓት ማትሪክስ ካሬ ነው, ማለትም, በውስጡ ያሉት የረድፎች ብዛት ከአምዶች ቁጥር ጋር እኩል ነው.

ምሳሌ 2.የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ

የት/ቤት ዘዴዎችን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶችን ስንፈታ፣ ከእኩልታዎች አንዱን ቃል በተወሰነ ቁጥር እናባዛዋለን፣ ስለዚህም በሁለቱ እኩልታዎች ውስጥ ያለው የመጀመሪያው ተለዋዋጭ ቅንጅቶች ተቃራኒ ቁጥሮች ነበሩ። እኩልታዎችን ሲጨምሩ ይህ ተለዋዋጭ ይወገዳል. የ Gauss ዘዴ በተመሳሳይ መልኩ ይሰራል.

የመፍትሄውን ገጽታ ለማቃለል የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፍጠር:

በዚህ ማትሪክስ ውስጥ, የማያውቁት ውህዶች ከቋሚው መስመር በፊት በግራ በኩል ይገኛሉ, እና ነፃ ቃላቶች ከቋሚው መስመር በኋላ በቀኝ በኩል ይገኛሉ.

ለተለዋዋጮች አሃዞችን ለመከፋፈል ምቾት (በአንድነት መከፋፈልን ለማግኘት) የስርዓት ማትሪክስ የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ረድፎችን እንለዋወጥ. በመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ውስጥ እኩልታዎች ሊለዋወጡ ስለሚችሉ ከዚህ ጋር እኩል የሆነ ስርዓት እናገኛለን፡-

አዲሱን የመጀመሪያ እኩልታ በመጠቀም ተለዋዋጭውን ያስወግዱ xከሁለተኛው እና ሁሉም ተከታይ እኩልታዎች. ይህንን ለማድረግ በማትሪክስ ሁለተኛ ረድፍ ላይ የመጀመሪያውን ረድፍ እንጨምራለን, በማባዛት (በእኛ ሁኔታ, በ), በሦስተኛው ረድፍ - የመጀመሪያው ረድፍ, በ (በእኛ ሁኔታ, በ).

ይህ ሊሆን የቻለው

በስርዓታችን ውስጥ ከሦስት በላይ እኩልታዎች ካሉ ፣በሚቀጥሉት እኩልታዎች ሁሉ ላይ የመጀመርያው መስመር በተመጣጣኝ ውህደቶች ጥምርታ ተባዝቶ በመቀነስ ምልክት መወሰድ አለብን።

በውጤቱም ፣ ከሁለተኛው ጀምሮ ሁሉም እኩልታዎች ያሉበትን አዲስ የእኩልታዎች ስርዓት ከዚህ ስርዓት ጋር የሚመጣጠን ማትሪክስ እናገኛለን። ተለዋዋጭ አያካትቱ x :

የውጤቱን ስርዓት ሁለተኛውን መስመር ለማቃለል ከዚህ ስርዓት ጋር ተመጣጣኝ የሆነ የእኩልታ ስርዓት ማትሪክስ በማባዛት እና እንደገና ያግኙ።

አሁን, የውጤቱ ስርዓት የመጀመሪያውን እኩልታ ሳይለወጥ በመቆየት, ሁለተኛውን እኩልታ በመጠቀም ተለዋዋጭውን እናስወግዳለን y ከሁሉም ተከታይ እኩልታዎች. ይህንን ለማድረግ በሲስተሙ ማትሪክስ ሶስተኛው ረድፍ ላይ ሁለተኛውን ረድፍ እንጨምራለን, በማባዛት (በእኛ ሁኔታ በ).

በስርዓታችን ውስጥ ከሶስት በላይ እኩልታዎች ካሉ፣ ከዚያ በኋላ ባሉት ሁሉም እኩልታዎች ላይ ሁለተኛ መስመርን ማከል አለብን፣ ይህም በተቀነሰ ምልክት በተወሰዱት ተጓዳኝ መጠኖች ጥምርታ ተባዝቷል።

በውጤቱም ፣ ከዚህ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ጋር የሚመጣጠን የስርዓት ማትሪክስ እንደገና እናገኛለን።

ተመጣጣኝ ትራፔዞይድ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት አግኝተናል፡-

የእኩልታዎች እና ተለዋዋጮች ብዛት ከኛ ምሳሌ የሚበልጥ ከሆነ፣ እንደእኛ ማሳያ ምሳሌ እንደሚታየው የስርዓት ማትሪክስ ትራፔዞይድ እስኪሆን ድረስ ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል የማስወገድ ሂደት ይቀጥላል።

መፍትሄውን "ከመጨረሻው" እናገኛለን - የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ. ለዚህ ከመጨረሻው እኩልታ እንወስናለን ዝ:
.
ይህንን እሴት ወደ ቀዳሚው እኩልታ በመተካት ፣ እናገኛለን y:

ከመጀመሪያው እኩልታ እናገኛለን x:

መልስ፡ የዚህ የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ነው። .

: በዚህ ሁኔታ ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ ካለው ተመሳሳይ መልስ ይሰጣል. ስርዓቱ ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች ካሉት, ይህ መልስ ይሆናል, እና ይህ የዚህ ትምህርት አምስተኛ ክፍል ርዕሰ ጉዳይ ነው.

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት እራስዎ ይፍቱ እና መፍትሄውን ይመልከቱ

እዚህ እንደገና ወጥነት ያለው እና ግልጽ የሆነ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌ አለን ፣ በዚህ ውስጥ የእኩልታዎች ብዛት ከማይታወቁ ቁጥሮች ጋር እኩል ነው። የእኛ የማሳያ ምሳሌ ከአልጎሪዝም የሚለየው ቀድሞውኑ አራት እኩልታዎች እና አራት ያልታወቁ መኖራቸው ነው።

ምሳሌ 4.የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ፡-

አሁን ተለዋዋጭውን ከተከታይ እኩልታዎች ለማስወገድ ሁለተኛውን እኩልታ መጠቀም ያስፈልግዎታል. የዝግጅት ስራውን እናከናውን. ከዋጋዎች ጥምርታ ጋር የበለጠ ምቹ ለማድረግ በሁለተኛው ረድፍ ሁለተኛ ረድፍ ውስጥ አንዱን ማግኘት ያስፈልግዎታል። ይህንን ለማድረግ, ሶስተኛውን ከሁለተኛው መስመር ይቀንሱ እና የተገኘውን ሁለተኛ መስመር በ -1 ያባዙ.

አሁን ከሦስተኛው እና ከአራተኛው እኩልታዎች የተለዋዋጭውን ትክክለኛ መወገድን እናከናውን. ይህንን ለማድረግ, ሁለተኛውን መስመር, ተባዝቶ, ወደ ሶስተኛው መስመር, እና ሁለተኛው, ተባዝቶ, ወደ አራተኛው መስመር ይጨምሩ.

አሁን, ሶስተኛውን እኩልታ በመጠቀም, ተለዋዋጭውን ከአራተኛው እኩልታ እናስወግዳለን. ይህንን ለማድረግ, ሶስተኛውን መስመር ወደ አራተኛው መስመር ይጨምሩ, ተባዝተዋል. የተራዘመ trapezoidal ማትሪክስ እናገኛለን.

የተሰጠው ስርዓት ተመጣጣኝ የሆነ የእኩልታዎች ስርዓት አግኝተናል-

በውጤቱም, የተገኙት እና የተሰጡ ስርዓቶች ተስማሚ እና የተረጋገጡ ናቸው. የመጨረሻውን መፍትሄ "ከመጨረሻው" እናገኛለን. ከአራተኛው እኩልታ በቀጥታ የተለዋዋጭውን “x-አራት” እሴት መግለጽ እንችላለን፡-

ይህንን እሴት ወደ ስርዓቱ ሶስተኛው እኩልታ እንተካው እና እናገኛለን

በመጨረሻም, እሴት መተካት

የመጀመሪያው እኩልታ ይሰጣል

“x መጀመሪያ” የት እናገኛለን

መልስ፡ ይህ የእኩልታዎች ስርዓት ልዩ መፍትሄ አለው። .

የ Cramer ዘዴን በመጠቀም የስርዓቱን መፍትሄ በካልኩሌተር ላይ ማረጋገጥ ይችላሉ-በዚህ ጉዳይ ላይ ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ ካለው ተመሳሳይ መልስ ይሰጣል.

በአሎይክስ ላይ የችግር ምሳሌን በመጠቀም የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የተተገበሩ ችግሮችን መፍታት

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች በአካላዊው ዓለም ውስጥ እውነተኛ ነገሮችን ለመቅረጽ ያገለግላሉ። ከእነዚህ ችግሮች ውስጥ አንዱን እንፍታ - alloys. ተመሳሳይ ችግሮች በድብልቅ ላይ ያሉ ችግሮች፣ የነጠላ እቃዎች ዋጋ ወይም ድርሻ በቡድን እና በመሳሰሉት ላይ ናቸው።

ምሳሌ 5.ሶስት ቁርጥራጭ ቅይጥ በአጠቃላይ 150 ኪ.ግ. የመጀመሪያው ቅይጥ 60% መዳብ, ሁለተኛው - 30%, ሦስተኛው - 10% ይዟል. በተጨማሪም በሁለተኛውና በሦስተኛው ውህድ ውስጥ አንድ ላይ ሲወሰዱ ከመጀመሪያው ቅይጥ 28.4 ኪ.ግ ያነሰ የመዳብ መጠን ያለው ሲሆን በሦስተኛው ቅይጥ ደግሞ ከሁለተኛው 6.2 ኪሎ ግራም ያነሰ መዳብ አለ. የእያንዲንደ ቅይጥ ቁርጥራጭ ብዛትን ያግኙ.

መፍትሄ። የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እንፈጥራለን፡-

ሁለተኛውን እና ሶስተኛውን እኩልታዎች በ 10 እናባዛለን ፣ ተመጣጣኝ የመስመሮች እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን

የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፈጥራለን-

ትኩረት ፣ በቀጥታ ወደ ፊት። በማከል (በእኛ ሁኔታ ፣ በመቀነስ) አንድ ረድፍ በቁጥር ተባዝቶ (ሁለት ጊዜ እንተገብራለን) ፣ የሚከተሉት ለውጦች ከስርዓቱ የተራዘመ ማትሪክስ ጋር ይከሰታሉ።

ቀጥተኛ እንቅስቃሴው አልቋል። የተስፋፋ ትራፔዞይድ ማትሪክስ አግኝተናል.

የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴን እንተገብራለን. መፍትሄውን ከመጨረሻው እናገኛለን. ያንን እናያለን.

ከሁለተኛው እኩልታ እናገኛለን

ከሦስተኛው እኩልታ -

የጋውስ ዘዴ ቀላልነት ጀርመናዊውን የሂሳብ ሊቅ ካርል ፍሬድሪች ጋውስን ለመፈልሰፍ 15 ደቂቃ ብቻ የፈጀበት መሆኑ ነው። በእሱ ስም ከተሰየመው ዘዴ በተጨማሪ ፣ “ለእኛ አስገራሚ እና ተፈጥሮአዊ ያልሆነ የሚመስለውን ፈጽሞ የማይቻል ከሆነው ጋር ግራ መጋባት የለብንም” የሚለው አባባል ከጋውስ ስራዎች ይታወቃል - ግኝቶችን ለማድረግ አጭር መመሪያ።

በብዙ የተተገበሩ ችግሮች ሶስተኛው ገደብ ላይኖር ይችላል፣ ማለትም፣ ሶስተኛ እኩልታ፣ ከዚያ የጋውሲያን ዘዴን በመጠቀም የሁለት እኩልታዎች ስርዓት ከሶስት የማይታወቁ ጋር መፍታት አለቦት፣ ወይም በተቃራኒው፣ ከስሌቶች ያነሱ ያልታወቁ ነገሮች አሉ። አሁን እንደነዚህ ያሉትን የእኩልታዎች ስርዓቶች መፍታት እንጀምራለን.

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም, ማንኛውም ስርዓት ተኳሃኝ ወይም የማይጣጣም መሆኑን መወሰን ይችላሉ nጋር መስመራዊ እኩልታዎች nተለዋዋጮች.

የጋውስ ዘዴ እና የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ማለቂያ ከሌላቸው የመፍትሄዎች ብዛት ጋር

የሚቀጥለው ምሳሌ ወጥ የሆነ ነገር ግን ያልተወሰነ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ነው፣ ማለትም፣ ማለቂያ የለሽ የመፍትሄዎች ብዛት ያለው።

በስርዓቱ የተራዘመ ማትሪክስ ውስጥ ለውጦችን ካደረጉ በኋላ (ረድፎችን ማስተካከል ፣ ረድፎችን በተወሰነ ቁጥር ማባዛት እና ማካፈል ፣ ሌላ ወደ አንድ ረድፍ ማከል) ፣ የቅጹ ረድፎች ሊታዩ ይችላሉ።

በሁሉም እኩልታዎች ውስጥ ቅጹ ካለው

ነፃ ቃላቶች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው, ይህ ማለት ስርዓቱ ያልተወሰነ ነው, ማለትም, ያልተገደበ የመፍትሄዎች ቁጥር አለው, እና የዚህ አይነት እኩልታዎች "ከእጅግ በላይ" ናቸው እና ከስርዓቱ ውስጥ እናስወግዳቸዋለን.

ምሳሌ 6.

መፍትሄ። የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፍጠር። ከዚያም የመጀመሪያውን እኩልታ በመጠቀም ተለዋዋጭውን ከሚቀጥሉት እኩልታዎች እናስወግዳለን. ይህንን ለማድረግ ወደ ሁለተኛው ፣ ሦስተኛው እና አራተኛው መስመር የመጀመሪያውን ያክሉ ፣ ተባዝቷል-

አሁን ሁለተኛውን መስመር ወደ ሦስተኛው እና አራተኛው እንጨምር.

በውጤቱም, ስርዓቱ ላይ ደርሰናል

የመጨረሻዎቹ ሁለት እኩልታዎች ወደ ቅጹ እኩልታዎች ተለውጠዋል። እነዚህ እኩልታዎች ለማንኛውም ለማይታወቁት ዋጋ ረክተዋል እና ሊጣሉ ይችላሉ።

ሁለተኛውን እኩልታ ለማርካት የዘፈቀደ እሴቶችን ለ እና መምረጥ እንችላለን፣ ከዚያ ለ እሴት በልዩ ሁኔታ ይወሰናል፡ . ከመጀመሪያው እኩልነት እሴቱ እንዲሁ በልዩ ሁኔታ ይገኛል፡- .

ሁለቱም የተሰጡት እና የመጨረሻዎቹ ስርዓቶች ወጥነት ያላቸው, ግን እርግጠኛ ያልሆኑ እና ቀመሮቹ ናቸው

በዘፈቀደ እና ለሁሉም የተሰጠ ስርዓት መፍትሄዎችን ይስጡን።

የጋውስ ዘዴ እና የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ያለ መፍትሄዎች

የሚቀጥለው ምሳሌ የማይጣጣም የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ነው, ማለትም, መፍትሄ የሌለው. ለእንደዚህ አይነት ችግሮች መልሱ በዚህ መንገድ ተዘጋጅቷል-ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች የሉትም.

ከመጀመሪያው ምሳሌ ጋር በተያያዘ ቀደም ሲል እንደተገለፀው ለውጦችን ካደረጉ በኋላ የቅጹ ረድፎች በተዘረጋው የስርዓቱ ማትሪክስ ውስጥ ሊታዩ ይችላሉ

ከቅጹ እኩልነት ጋር የሚዛመድ

ከነሱ መካከል ቢያንስ አንድ እኩልታ ከሌለ ዜሮ ነፃ ቃል (ማለትም) ካለ ይህ የእኩልታዎች ስርዓት ወጥነት የለውም ማለትም መፍትሄዎች የሉትም እና መፍትሄው የተሟላ ነው።

ምሳሌ 7.የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ፡-

መፍትሄ። የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንሰራለን. የመጀመሪያውን እኩልታ በመጠቀም, ተለዋዋጭውን ከሚቀጥሉት እኩልታዎች እናስወግዳለን. ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን መስመር በሁለተኛው መስመር ተባዝቶ, የመጀመሪያው መስመር በሦስተኛው መስመር እና በአራተኛው መስመር ተባዝቷል.

አሁን ተለዋዋጭውን ከተከታይ እኩልታዎች ለማስወገድ ሁለተኛውን እኩልታ መጠቀም ያስፈልግዎታል. የቁጥር ኢንቲጀር ሬሾን ለማግኘት የስርዓቱን የተዘረጋውን ማትሪክስ ሁለተኛ እና ሶስተኛ ረድፎችን እንለዋወጣለን።

ሶስተኛውን እና አራተኛውን እኩልታ ለማስቀረት፣ ሁለተኛውን ተባዝቶ፣ ወደ ሶስተኛው መስመር፣ እና ሁለተኛው ተባዝቶ፣ ወደ አራተኛው መስመር ይጨምሩ።

አሁን, ሶስተኛውን እኩልታ በመጠቀም, ተለዋዋጭውን ከአራተኛው እኩልታ እናስወግዳለን. ይህንን ለማድረግ, ሶስተኛውን መስመር ወደ አራተኛው መስመር ይጨምሩ, ተባዝተዋል.

ስለዚህ የተሰጠው ስርዓት ከሚከተሉት ጋር እኩል ነው.

የመጨረሻው ስሌት በማናቸውም በማይታወቁ እሴቶች ሊረካ ስለማይችል የተፈጠረው ስርዓት ወጥነት የለውም። ስለዚህ, ይህ ስርዓት ምንም መፍትሄዎች የሉትም.

2. የጋውስ ዘዴ ማሻሻያዎች

የ Gaussian ዘዴ ከዋናው ንጥረ ነገር ምርጫ ጋር። የጋውስ ዘዴ ዋናው ገደብ በእያንዳንዱ ወደፊት ደረጃ ላይ የሚከናወኑ ሁሉም ክፍሎች ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም የሚል ግምት ነው. እነዚህ ንጥረ ነገሮች ዋና አካል ተብለው ይጠራሉ እና በማትሪክስ A ዋና ዲያግናል ላይ ይገኛሉ።

በተወሰነ ደረጃ ወደፊት እንቅስቃሴ ዋናው ኤለመንት = 0 ከሆነ, ተጨማሪ የስርዓቱ መፍትሄ የማይቻል ነው. ዋናው ንጥረ ነገር ትንሽ እሴት ካለው, ወደ ዜሮ የቀረበ ከሆነ, ከፍተኛ የስህተት መጨመር የሚቻለው በመከፋፈል ምክንያት በተገኘው የፍፁም እሴት ከፍተኛ ጭማሪ ምክንያት ነው. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ የጋውሲያን ዘዴ ያልተረጋጋ ይሆናል.

የ Gauss ዘዴ ከዋናው ንጥረ ነገር ምርጫ ጋር የእንደዚህ አይነት ጉዳዮችን ክስተት ለማስወገድ ያስችለናል.

የዚህ ዘዴ ሀሳብ እንደሚከተለው ነው. አንዳንድ kth ወደፊት እንቅስቃሴ ደረጃ ላይ፣ ከሂሳቦቹ የተገለለው ቀጣዩ ቁጥር ያለው ተለዋዋጭ x k አይደለም፣ ነገር ግን የፍፁም እሴቱ ከፍተኛው የቁጥር መጠን ያለው ተለዋዋጭ ነው። ይህ በዜሮ መከፋፈል አለመኖሩን እና ዘዴው የተረጋጋ መሆኑን ያረጋግጣል.

በ kth ደረጃ ¹ እንደ ዋና አካል ከተመረጠ በማትሪክስ A ረድፎች k እና p ቁጥሮች እና k እና q ቁጥሮች ያላቸው አምዶች መቀያየር አለባቸው።

ረድፎችን ማስተካከል በሲስተሙ ውስጥ ያሉትን እኩልታዎች ከመቀየር ጋር ስለሚዛመድ መፍትሄውን አይጎዳውም ፣ ግን ዓምዶቹን እንደገና ማስተካከል ማለት የተለዋዋጮችን ቁጥር መለወጥ ማለት ነው ። ስለዚህ የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴው ከተጠናቀቀ በኋላ የተለዋዋጮች የመጀመሪያ ቁጥር ወደነበረበት እንዲመለስ ስለ ሁሉም እንደገና የተደራጁ አምዶች መረጃ መቀመጥ አለበት።

የ Gauss ዘዴ ሁለት ቀላል ማሻሻያዎች አሉ፡

ዋናውን ንጥረ ነገር በአምድ በመምረጥ;

ዋናውን ንጥረ ነገር በመስመር በመምረጥ።

በመጀመሪያው ሁኔታ፣ በ kth ረድፍ ፍፁም እሴት ውስጥ ያለው ትልቁ ኤለመንት (በኤለመንቶች መካከል፣ i =) እንደ ዋናው አካል ይመረጣል። በሁለተኛው - በ kth አምድ ፍፁም እሴት ውስጥ ትልቁ ኤለመንት (በኤለመንቶች መካከል, i =). የመጀመሪያው አቀራረብ በጣም የተስፋፋ ነው, ምክንያቱም የተለዋዋጮች ቁጥር እዚህ አይቀየርም.

እነዚህ ማሻሻያዎች የጋውሲያን ዘዴን ወደ ፊት እንቅስቃሴ ብቻ እንደሚተገበሩ ልብ ሊባል ይገባል. የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴው ያለ ለውጦች ይከናወናል, ነገር ግን መፍትሄ ካገኘ በኋላ, የተለዋዋጮችን የመጀመሪያውን ቁጥር መመለስ አስፈላጊ ሊሆን ይችላል.

LU መበስበስ. በዘመናዊ የኮምፒዩተር ሶፍትዌሮች ውስጥ የጋውሲያን ዘዴ የሚተገበረው LU መበስበስን በመጠቀም ነው ፣ይህም ኮፊፊቲቭ ማትሪክስ A እንደ ምርት A = LU የሁለት ማትሪክስ L እና U ፣ L የታችኛው የሶስትዮሽ ማትሪክስ ፣ U የላይኛው የሶስት ማዕዘን ማትሪክስ ነው ።

የ LU ማስፋፊያው ከተገኘ ፣የመጀመሪያው የእኩልታዎች ስርዓት (2) መፍትሄ ወደ የሚከተሉት ሁለት ስርዓቶች በቅደም ተከተል መፍትሄ ከሦስት ማዕዘናት ኮፊሸን ማትሪክስ ጋር ይቀንሳል።

መስመራዊ አልጀብራ እኩልታ ቁጥራዊ

የት Y = የረዳት ተለዋዋጮች ቬክተር ነው።

ይህ አቀራረብ ከተለያዩ የቀኝ እጆች ጋር የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶችን በተደጋጋሚ ለመፍታት ያስችልዎታል. ይህ አሰራር ከጋውሲያን ዘዴ ወደፊት ሩጫ ጋር ይዛመዳል እና የ O(n 3) ውስብስብ ግምት አለው። የእኩልታዎች (6) እና (7) ስርዓቶች ተጨማሪ መፍትሄዎች ብዙ ጊዜ ሊከናወኑ ይችላሉ (ለተለያዩ ቢ) ፣ እና የእያንዳንዳቸው መፍትሄ ከጋውሲያን ዘዴ ተቃራኒ ጋር ይዛመዳል እና የ O (n 2) ስሌት ውስብስብነት ግምት አለው። ).

የ LU መበስበስን ለማግኘት, የሚከተለውን ስልተ ቀመር መጠቀም ይችላሉ.

1. ለዋናው ስርዓት (1) ፣ የጋውሲያን ዘዴን ወደፊት መሻሻል ያከናውኑ እና የሶስት ማዕዘን እኩልታዎችን (5) ስርዓት ያግኙ።

2. እንደ ደንቡ የማትሪክስ U ንጥረ ነገሮችን ይወስኑ

u ij = C ij (i =; j =)

3. እንደ ደንቦቹ የማትሪክስ L ንጥረ ነገሮችን ያሰሉ

የመፍትሄ ስርዓት (6) ስሌት ቀመሮች የሚከተለው ቅፅ አላቸው።

y 1 = b 1 / l 11;

የመፍትሄ ስርዓት ስሌት (7)

(i = n - 1, n - 2, …, 1).

በተመሳሳይ ጊዜ ፣ የተገላቢጦሹን ማትሪክስ መፈለግ በጣም አድካሚ ሂደት ነው እና ፕሮግራሞቹ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባር ተብሎ ሊጠራ አይችልም። ስለዚህ, በተግባር, የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶች ለመፍታት የቁጥር ዘዴዎች ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ. የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት የቁጥር ዘዴዎች የሚከተሉትን ያካትታሉ-የጋውስ ዘዴ ፣ ክሬመር ዘዴ ፣ የመድገም ዘዴዎች። በጋውስ ዘዴ ለምሳሌ በ... ላይ ይሰራሉ።

35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35455 የተለያዩ ዘዴዎች እና ኮምፓየር የተለያዩ ዘዴዎች። ውህደት 5.1 የቁጥር ልዩነት ዘዴዎች 5.1. 1 የመግለጫ ዘዴ በነጥብ xi ሰፈር ውስጥ የ F (x) ተግባር በቂ ብዛት ያለው ልዩነት እንዳለው እናስብ። ...

በቱርቦ ፓስካል 7.0 ቀላል የመድገም ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎችን ለመፍታት። 1.2 የችግሩ ሒሳብ አጻጻፍ ሀ ነጠላ ያልሆነ ማትሪክስ ይሁን እና የማትሪክስ A ዲያግናል ኤለመንቶች ዜሮ ያልሆኑበትን ሥርዓት መፍታት አለብን። 1.3 ችግሩን ለመፍታት የነባር አሃዛዊ ዘዴዎችን መገምገም የጋውሲያን ዘዴ በ Gaussian ዘዴ፣ SLAE ማትሪክስ አቻን በመጠቀም...

ቁጥሮች). በመቀጠል፣ ቀመሮችን በመጠቀም (2)፣ xn-1፣ xn-2፣...፣ x1 ለ i=n-1፣ n-2፣...፣1፣ በቅደም ተከተል ይገኛሉ። ስለዚህ፣ የአይነት (1) እኩልታዎች መፍትሔው ጠረግ ዘዴ በሚባለው ዘዴ ይገለጻል፣ እሱም ወደ ስሌት የሚቀነሰው ሶስት ቀላል ቀመሮችን በመጠቀም፡- የሚባሉትን ጠረግ ኮፊፊሸንስ ማግኘት δi፣ λi ቀመሮችን (3) ለ i=1 በመጠቀም ነው። ,2,…,n (በቀጥታ መጥረግ) እና ከዚያ ያልታወቀ xi በ...