አጠቃላይ መፍትሄ በጋውስ ዘዴ. የጋውስ ዘዴን በመጠቀም ተከታታይ የቁጥሮች ድምርን ለማግኘት አልጎሪዝም

ሊፈታ የሚገባው የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ይስጥ (እያንዳንዱን የስርዓቱን እኩልነት ወደ እኩልነት የሚቀይሩትን የማይታወቁ xi እሴቶችን ይፈልጉ)።

የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የሚከተሉትን ሊያደርግ እንደሚችል እናውቃለን።

1) መፍትሄ የለንም (መፍትሄ) የጋራ ያልሆነ).
2) ብዙ መፍትሄዎች አሉ ።
3) አንድ ነጠላ መፍትሄ ይኑርዎት.

እንደምናስታውሰው, የ Cramer's አገዛዝ እና የማትሪክስ ዘዴ ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች ሲኖሩት ወይም ወጥነት በሌለው ሁኔታ ተስማሚ አይደሉም. Gauss ዘዴ – ለማንኛውም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎችን ለማግኘት በጣም ኃይለኛ እና ሁለገብ መሳሪያ፣ የትኛው በእያንዳንዱ ሁኔታወደ መልሱ ይመራናል! የስልት አልጎሪዝም በራሱ በሶስቱም ሁኔታዎች ተመሳሳይ ነው የሚሰራው. የ Cramer እና ማትሪክስ ዘዴዎች የመወሰን ዕውቀትን የሚጠይቁ ከሆነ የጋውስ ዘዴን ለመተግበር የሂሳብ ስራዎችን እውቀት ብቻ ያስፈልግዎታል ፣ ይህም ለአንደኛ ደረጃ ተማሪዎች እንኳን ተደራሽ ያደርገዋል።

የተጨመሩ የማትሪክስ ለውጦች ( ይህ የስርዓቱ ማትሪክስ ነው - ከማያውቋቸው ጥምርታዎች ብቻ ያቀፈ ማትሪክስ እና የነፃ ቃላት አምድ)በጋውስ ዘዴ ውስጥ የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶች፡-

1) ጋር ትሮኪማትሪክስ ይችላል እንደገና ማስተካከልበአንዳንድ ቦታዎች.

2) በማትሪክስ ውስጥ ተመጣጣኝ (እንደ ልዩ ሁኔታ - ተመሳሳይ) ረድፎች ከታዩ (ወይም ካሉ) ፣ ከዚያ ያስፈልግዎታል ሰርዝእነዚህ ሁሉ ረድፎች ከአንድ በስተቀር ከማትሪክስ ናቸው።

3) በትራንስፎርሜሽን ጊዜ ዜሮ ረድፍ በማትሪክስ ውስጥ ከታየ እንዲሁ መሆን አለበት። ሰርዝ.

4) የማትሪክስ ረድፍ ሊሆን ይችላል ማባዛት (መከፋፈል)ከዜሮ በስተቀር ለማንኛውም ቁጥር.

5) ወደ ማትሪክስ አንድ ረድፍ ማድረግ ይችላሉ በቁጥር ተባዝቶ ሌላ ሕብረቁምፊ ጨምር, ከዜሮ የተለየ.

በጋውስ ዘዴ, የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች የእኩልታዎችን ስርዓት መፍትሄ አይለውጡም.

የ Gauss ዘዴ ሁለት ደረጃዎችን ያቀፈ ነው-

1. “በቀጥታ መንቀሳቀስ” - የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም የተራዘመውን የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ማትሪክስ ወደ “ትሪያንግል” ደረጃ ቅርፅ ያቅርቡ-የተራዘመው ማትሪክስ ንጥረ ነገሮች ከዋናው ዲያግናል በታች የሚገኙት ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው (ከላይ ወደ ታች ይንቀሳቀሳሉ)። ለምሳሌ፣ ለዚህ ​​አይነት፡-

ይህንን ለማድረግ የሚከተሉትን ደረጃዎች ያከናውኑ:

1) የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የመጀመሪያውን እኩልታ እናስብ እና የ x 1 ንፅፅር ከ K. ሁለተኛው ፣ ሦስተኛው ፣ ወዘተ. እኩልታዎችን በሚከተለው መልኩ እንለውጣለን-እያንዳንዱን እኩልታ (የማይታወቁትን ድምጾች, ነፃ ቃላትን ጨምሮ) በማይታወቅ x 1 እኩልነት እንከፋፍለን እና በ K. እናባዛለን ከዚህ በኋላ, የመጀመሪያውን ከ. ሁለተኛ እኩልታ (የማይታወቁ እና የነጻ ቃላቶች ጥምርታ)። ለ x 1 በሁለተኛው እኩልዮሽ ውስጥ Coefficient 0 እናገኛለን. ከሦስተኛው የተለወጠው እኩልታ የመጀመሪያውን እኩልታ እንቀንሳለን ከመጀመሪያው በስተቀር ሁሉም እኩልታዎች ለማይታወቅ x 1, Coefficient 0 እስኪኖራቸው ድረስ.

2) ወደ ቀጣዩ እኩልታ እንሂድ። ይህ ሁለተኛው እኩልታ እና የ x 2 መጠን ከኤም ጋር እኩል ይሁን። ከላይ እንደተገለፀው ሁሉንም “ዝቅተኛ” እኩልታዎች እንቀጥላለን። ስለዚህም “በስር” በማይታወቅ x 2 በሁሉም እኩልታዎች ውስጥ ዜሮዎች ይኖራሉ።

3) የመጨረሻው ያልታወቀ እና የተለወጠው የነፃ ቃል እስከሚቆይ ድረስ ወደ ቀጣዩ እኩልታ ይሂዱ እና ይቀጥሉ።

1. የ Gauss ዘዴ "የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ" የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ("ከታች ወደ ላይ" እንቅስቃሴ) መፍትሄ ማግኘት ነው.

ከመጨረሻው "ዝቅተኛ" እኩልታ አንድ የመጀመሪያ መፍትሄ እናገኛለን - የማይታወቅ x n. ይህንን ለማድረግ, የአንደኛ ደረጃ እኩልታ A * x n = B. ከላይ በተሰጠው ምሳሌ, x 3 = 4. የተገኘውን እሴት ወደ "የላይኛው" ቀጣይ እኩልነት እንተካለን እና ከሚቀጥለው የማይታወቅ ጋር እንፈታዋለን. ለምሳሌ, x 2 - 4 = 1, i.e. x 2 = 5. እና ስለዚህ ሁሉንም የማይታወቁ ነገሮች እስክናገኝ ድረስ.

ለምሳሌ።

አንዳንድ ደራሲዎች እንደሚመክሩት የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ።

የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናምጣው።
የላይኛውን ግራ "ደረጃ" እንመለከታለን. እዚያ አንድ ክፍል ሊኖረን ይገባል. ችግሩ በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ምንም ክፍሎች ስለሌሉ ረድፎችን እንደገና ማስተካከል ምንም ነገር አይፈታም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, ክፍሉ በአንደኛ ደረጃ ለውጥን በመጠቀም መደራጀት አለበት. ይህ አብዛኛውን ጊዜ በበርካታ መንገዶች ሊከናወን ይችላል. ይህን እናድርግ፡- 1 እርምጃ

. ወደ መጀመሪያው መስመር ሁለተኛውን መስመር እንጨምራለን, በ -1 ተባዝተናል. ማለትም ሁለተኛውን መስመር በአእምሯዊ -1 በማባዛት የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን መስመር ስንጨምር ሁለተኛው መስመር ግን አልተለወጠም።

አሁን ከላይ በግራ በኩል "አንድ ሲቀነስ" አለ, ይህም ለእኛ በጣም ተስማሚ ነው. +1 ማግኘት የሚፈልግ ማንኛውም ሰው ተጨማሪ ተግባር ማከናወን ይችላል፡ የመጀመሪያውን መስመር በ -1 ማባዛት (ምልክቱን ይቀይሩ)። . የመጀመሪያው መስመር, በ 5 ተባዝቷል, ወደ ሁለተኛው መስመር ተጨምሯል, በ 3 ተባዝቷል, ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል.

ደረጃ 3 . የመጀመሪያው መስመር በ -1 ተባዝቷል, በመርህ ደረጃ, ይህ ለውበት ነው. የሶስተኛው መስመር ምልክትም ተለወጠ እና ወደ ሁለተኛ ቦታ ተወስዷል, ስለዚህም በሁለተኛው "ደረጃ" ላይ አስፈላጊው ክፍል ነበረን.

ደረጃ 4 . ሦስተኛው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 2 ተባዝቷል.

ደረጃ 5 . ሦስተኛው መስመር በ 3 ተከፍሏል.

በስሌቶች ውስጥ ስህተትን የሚያመለክት ምልክት (በጣም አልፎ አልፎ, ትየባ) "መጥፎ" የታችኛው መስመር ነው. ይኸውም ከዚህ በታች (0 0 11 |23) የሆነ ነገር ካገኘን እና በዚሁ መሰረት 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, ከዚያም በከፍተኛ ደረጃ በአንደኛ ደረጃ ወቅት ስህተት ተሠርቷል ማለት እንችላለን. ለውጦች.

ተቃራኒውን እናድርገው ፣ በምሳሌዎች ንድፍ ውስጥ ፣ ስርዓቱ ራሱ ብዙ ጊዜ አይፃፍም ፣ ግን እኩልታዎቹ “ከተሰጠው ማትሪክስ በቀጥታ ይወሰዳሉ”። የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ, አስታውሳችኋለሁ, ከታች ወደ ላይ ይሠራል. በዚህ ምሳሌ፣ ውጤቱ ስጦታ ነበር፡-

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1፣ ስለዚህ x 1 + 3 – 1 = 1፣ x 1 = –1

መልስ: x 1 = -1 ፣ x 2 = 3 ፣ x 3 = 1 ።

የታቀደውን ስልተ ቀመር በመጠቀም ተመሳሳይ ስርዓት እንፍታ. እናገኛለን

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

ሁለተኛውን እኩልታ በ 5, እና ሶስተኛውን በ 3 ይከፋፍሉት. እኛ እናገኛለን:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

ሁለተኛውን እና ሶስተኛውን እኩልታዎች በ 4 በማባዛት እናገኛለን፡-

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

የመጀመሪያውን እኩልታ ከሁለተኛው እና ከሦስተኛው እኩልታዎች ቀንስ፣ እኛ አለን።

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

ሶስተኛውን እኩልታ በ 0.64 ይከፋፍሉት፡

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

ሶስተኛውን እኩልታ በ0.4 ማባዛት።

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

ሁለተኛውን ከሦስተኛው እኩልታ በመቀነስ “ደረጃ የተደረገ” የተራዘመ ማትሪክስ እናገኛለን፡-

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ስለዚህ, በስሌቶቹ ጊዜ የተጠራቀመ ስህተት, x 3 = 0.96 ወይም በግምት 1 እናገኛለን.

x 2 = 3 እና x 1 = -1.

በዚህ መንገድ በመፍታት, በስሌቶቹ ውስጥ በጭራሽ ግራ አይጋቡም, እና የስሌት ስህተቶች ቢኖሩም, ውጤቱን ያገኛሉ.

ይህ የመስመራዊ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓትን የመፍታት ዘዴ በቀላሉ በፕሮግራም ሊሰራ የሚችል እና ለማይታወቁት የቁጥር ባህሪያትን ከግምት ውስጥ አያስገባም ፣ ምክንያቱም በተግባር (በኢኮኖሚያዊ እና ቴክኒካል ስሌቶች) አንድ ሰው ኢንቲጀር ካልሆኑ ውህዶች ጋር መገናኘት አለበት።

ስኬት እመኛለሁ! ክፍል ውስጥ እንገናኝ! አስተማሪ ዲሚትሪ አይስትራካኖቭ.

ድህረ ገጽ፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ምንጩ የሚወስድ አገናኝ ያስፈልጋል።

የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት በጣም ቀላሉ መንገዶች አንዱ በወሳኞች ስሌት ላይ የተመሠረተ ዘዴ ነው ( የክሬመር አገዛዝ). የእሱ ጥቅም መፍትሔውን ወዲያውኑ እንዲመዘግቡ ይፈቅድልዎታል, በተለይም የስርዓቱ መመዘኛዎች ቁጥሮች ካልሆኑ, ግን አንዳንድ መመዘኛዎች ናቸው. የእሱ ጉዳቱ ብዙ ቁጥር ያላቸው እኩልታዎች በሚኖሩበት ጊዜ የስሌቶች አስቸጋሪነት ነው ፣ በተጨማሪም ፣ የ Cramer ደንብ የእኩልታዎች ብዛት ከማይታወቁት ብዛት ጋር የማይጣጣምባቸው ስርዓቶች ላይ በቀጥታ ተፈጻሚነት የለውም። በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል Gaussian ዘዴ.

ተመሳሳይ የመፍትሄዎች ስብስብ ያላቸው የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ተጠርተዋል ተመጣጣኝ. ምንም አይነት እኩልታዎች ከተቀያየሩ ወይም ከአንዱ እኩልታዎች ውስጥ አንዱ በሆነ ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ቢባዛ ወይም አንድ እኩልታ ወደሌላው ከተጨመረ የመስመራዊ ስርዓት የመፍትሄዎች ስብስብ አይለወጥም።

Gauss ዘዴ (የማያውቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ) በኤሌሜንታሪ ትራንስፎርሜሽን እገዛ ስርዓቱ ወደ አንድ የእርምጃ አይነት ተመጣጣኝ ስርዓት ይቀንሳል። በመጀመሪያ, 1 ኛ እኩልታን በመጠቀም, እናስወግዳለን xከሁሉም የስርዓቱ እኩልታዎች 1. ከዚያም, 2 ኛውን እኩልታ በመጠቀም, እናስወግዳለን x 2 ከ 3 ኛ እና ሁሉም ተከታይ እኩልታዎች. ይህ ሂደት, ይባላል ቀጥተኛ Gaussian ዘዴበመጨረሻው እኩልታ በግራ በኩል አንድ የማይታወቅ አንድ ብቻ እስኪቀር ድረስ ይቀጥላል x n. ከዚህ በኋላ ይከናወናል የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ- የመጨረሻውን እኩልታ መፍታት, እናገኛለን x n; ከዚያ በኋላ, ይህንን እሴት በመጠቀም, ከምንሰላው የፔንታል እኩልታ x n-1, ወዘተ. የመጨረሻውን እናገኛለን x 1 ከመጀመሪያው እኩልታ.

ከራሳቸው እኩልታዎች ጋር ሳይሆን ከነሱ ቅንጅቶች ማትሪክስ ጋር ለውጦችን በማከናወን የጋውሲያን ለውጦችን ለማከናወን ምቹ ነው። ማትሪክስ አስቡበት፡-

ተብሎ ይጠራል የተራዘመ የስርዓቱ ማትሪክስ ፣ምክንያቱም ከስርአቱ ዋና ማትሪክስ በተጨማሪ የነጻ ቃላትን አምድ ያካትታል። የ Gaussian ዘዴ የስርአቱን የተራዘመ ማትሪክስ (!) የአንደኛ ደረጃ ረድፍ ለውጦችን (!) በመጠቀም የስርዓቱን ዋና ማትሪክስ ወደ ሶስት ማዕዘን ቅርፅ (ወይም አራት ማዕዘን ያልሆኑ ስርዓቶችን በተመለከተ ትራፔዞይድ ቅርፅ) በመቀነስ ላይ የተመሠረተ ነው።

ምሳሌ 5.1.የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ

መፍትሄ. የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያውን ረድፍ በመጠቀም ፣ ከዚያ በኋላ የተቀሩትን ንጥረ ነገሮች እንደገና እናስጀምራለን-

በመጀመሪያው አምድ በ 2 ኛ ፣ 3 ኛ እና 4 ኛ ረድፎች ውስጥ ዜሮዎችን እናገኛለን

አሁን ከዜሮ ጋር እኩል ለመሆን ከ 2 ኛ ረድፍ በታች ባለው በሁለተኛው አምድ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ንጥረ ነገሮች እንፈልጋለን። ይህንን ለማድረግ ሁለተኛውን መስመር በ -4/7 ማባዛት እና ወደ 3 ኛ መስመር መጨመር ይችላሉ. ነገር ግን፣ ክፍልፋዮችን ላለማስተናገድ፣ በሁለተኛው ዓምድ 2 ኛ ረድፍ ላይ አንድ ክፍል እንፍጠር እና ብቻ።

አሁን, የሶስት ማዕዘን ማትሪክስ ለማግኘት, የ 3 ኛ ረድፍ አራተኛውን ክፍል እንደገና ማስጀመር ያስፈልግዎታል, ይህንን ለማድረግ, ሶስተኛውን ረድፍ በ 8/54 ማባዛት እና ወደ አራተኛው መጨመር ይችላሉ. ሆኖም ክፍልፋዮችን ላለማስተናገድ 3 ኛ እና 4 ኛ ረድፎችን እና 3 ኛ እና 4 ኛ አምዶችን እንለዋወጣለን እና ከዚያ በኋላ የተገለጸውን አካል እንደገና እናስጀምራለን ። ዓምዶቹን በሚያስተካክሉበት ጊዜ ተጓዳኝ ተለዋዋጮች ቦታዎችን እንደሚቀይሩ ልብ ይበሉ እና ይህ መታወስ አለበት ። ሌሎች የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ከአምዶች ጋር (በቁጥር መደመር እና ማባዛት) ሊከናወኑ አይችሉም!

የመጨረሻው ቀለል ያለ ማትሪክስ ከመጀመሪያው ጋር እኩል የሆነ የእኩልታዎች ስርዓት ጋር ይዛመዳል፡

ከዚህ በመነሳት የጋውሲያን ዘዴ ተገላቢጦሽ በመጠቀም ከአራተኛው እኩልታ እናገኛለን x 3 = -1; ከሦስተኛው x 4 = -2, ከሁለተኛው x 2 = 2 እና ከመጀመሪያው እኩልታ x 1 = 1. በማትሪክስ ቅጽ, መልሱ እንደ ተጽፏል

ጉዳዩን ተመልክተናል ስርዓቱ የተወሰነ ነው, ማለትም. አንድ መፍትሄ ብቻ ሲኖር. ስርዓቱ ወጥነት የሌለው ወይም እርግጠኛ ካልሆነ ምን እንደሚሆን እንይ።

ምሳሌ 5.2.የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ያስሱ፡-

መፍትሄ. የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንጽፋለን እና እንለውጣለን

ቀለል ያለ የእኩልታዎች ስርዓት እንጽፋለን-

እዚህ ፣ በመጨረሻው እኩልታ ውስጥ 0=4 ፣ ማለትም ፣ ማለትም። ተቃርኖ በውጤቱም, ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ማለትም. እሷ የማይጣጣም. à

ምሳሌ 5.3.የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ያስሱ እና ይፍቱ፡-

መፍትሄ. የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንጽፋለን እና እንለውጣለን-

በለውጦቹ ምክንያት, የመጨረሻው መስመር ዜሮዎችን ብቻ ይይዛል. ይህ ማለት የእኩልታዎች ብዛት በአንድ ቀንሷል፡-

ስለዚህ, ከማቅለል በኋላ, ሁለት እኩልታዎች ይቀራሉ, እና አራት የማይታወቁ, ማለትም. ሁለት የማይታወቁ "ተጨማሪ". “የበለጠ” ይሁን ወይም እነሱ እንደሚሉት፣ ነጻ ተለዋዋጮች፣ ፈቃድ x 3 እና x 4. ከዚያም

ማመን x 3 = 2ሀእና x 4 = ለ, እናገኛለን x 2 = 1–ሀእና x 1 = 2ለ–ሀ; ወይም በማትሪክስ መልክ

በዚህ መንገድ የተጻፈ መፍትሔ ይባላል አጠቃላይ, ምክንያቱም, መለኪያዎች መስጠት ሀእና ለየተለያዩ እሴቶች, ሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የስርዓቱ መፍትሄዎች ሊገለጹ ይችላሉ. ሀ

ከ 16 ኛው -18 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ጀምሮ ፣ የሂሳብ ሊቃውንት ተግባራትን በጥልቀት ማጥናት ጀምረዋል ፣ ለዚህም በሕይወታችን ውስጥ ብዙ ለውጦች ተለውጠዋል። ያለዚህ እውቀት የኮምፒውተር ቴክኖሎጂ በቀላሉ ሊኖር አይችልም። ውስብስብ ችግሮችን፣ የመስመር እኩልታዎችን እና ተግባራትን ለመፍታት የተለያዩ ፅንሰ-ሀሳቦች፣ ቲዎሬሞች እና የመፍትሄ ዘዴዎች ተፈጥረዋል። መስመራዊ እኩልታዎችን እና ስርዓቶቻቸውን ለመፍታት ከእንደዚህ አይነት ሁለንተናዊ እና ምክንያታዊ ዘዴዎች እና ቴክኒኮች አንዱ የጋውስ ዘዴ ነው። ማትሪክስ, ደረጃቸው, ወሳኝ - ሁሉም ነገር ውስብስብ ስራዎችን ሳይጠቀም ሊሰላ ይችላል.

SLAU ምንድን ነው?

በሂሳብ ውስጥ, SLAE ጽንሰ-ሐሳብ አለ - የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት. እሷ ምን ትመስላለች? ይህ ከሚፈለገው n የማይታወቁ መጠኖች ጋር የ m እኩልታዎች ስብስብ ነው፣ ብዙውን ጊዜ እንደ x፣ y፣ z፣ ወይም x 1፣ x 2 ... x n ወይም ሌሎች ምልክቶች ይገለጻል። የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የተሰጠውን ስርዓት መፍታት ማለት ሁሉንም ያልታወቁ የማይታወቁ ነገሮችን ማግኘት ማለት ነው. አንድ ሥርዓት የማይታወቁ እና እኩልታዎች ቁጥር ካለው፣ Nth order ሥርዓት ይባላል።

SLAE ን ለመፍታት በጣም ታዋቂው ዘዴዎች

በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ተቋማት ውስጥ እንደዚህ ያሉ ስርዓቶችን ለመፍታት የተለያዩ ዘዴዎችን ያጠናል. ብዙውን ጊዜ እነዚህ ሁለት የማይታወቁትን ያካተቱ ቀላል እኩልታዎች ናቸው ፣ ስለሆነም ለእነሱ መልስ ለማግኘት ማንኛውም ነባር ዘዴ ብዙ ጊዜ አይወስድም። ይህ እንደ የመተካት ዘዴ ሊሆን ይችላል, ሌላው ከአንድ እኩልታ ሲወጣ እና ወደ ዋናው ሲተካ. ወይም የቃል-በ-ጊዜ የመቀነስ እና የመደመር ዘዴ። ነገር ግን የጋውስ ዘዴ በጣም ቀላል እና ሁለንተናዊ እንደሆነ ይቆጠራል. ከየትኛውም የማይታወቁ ቁጥሮች ጋር እኩልታዎችን ለመፍታት ያስችላል። ይህ ልዩ ዘዴ ለምን ምክንያታዊ ነው ተብሎ ይታሰባል? ቀላል ነው። ስለ ማትሪክስ ዘዴ ጥሩው ነገር የማይታወቁ ምልክቶችን ብዙ ጊዜ እንደገና መፃፍ አያስፈልገውም ፣ በቁጥር ላይ የሂሳብ ስራዎችን ማከናወን በቂ ነው - እና አስተማማኝ ውጤት ያገኛሉ።

SLAE በተግባር ጥቅም ላይ የሚውለው የት ነው?

ለስላኤዎች መፍትሄው በተግባሮች ግራፎች ላይ የመስመሮች መገናኛ ነጥቦች ናቸው. በእኛ ከፍተኛ የቴክኖሎጂ የኮምፒዩተር ዘመን ከጨዋታዎች እና ከሌሎች ፕሮግራሞች እድገት ጋር በቅርበት የተሳሰሩ ሰዎች እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች እንዴት እንደሚፈቱ, ምን እንደሚወክሉ እና የውጤቱን ትክክለኛነት እንዴት ማረጋገጥ እንደሚችሉ ማወቅ አለባቸው. ብዙውን ጊዜ ፕሮግራመሮች ልዩ የመስመር አልጀብራ ካልኩሌተር ፕሮግራሞችን ያዘጋጃሉ ፣ ይህም የመስመር እኩልታዎችንም ያካትታል። የ Gauss ዘዴ ሁሉንም ነባር መፍትሄዎችን ለማስላት ያስችልዎታል. ሌሎች ቀለል ያሉ ቀመሮች እና ቴክኒኮችም ጥቅም ላይ ይውላሉ.

SLAU የተኳሃኝነት መስፈርት

እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት የሚስማማ ከሆነ ብቻ ሊፈታ ይችላል. ግልፅ ለማድረግ፣ SLAEን በ Ax=b መልክ እንወክል። ራንግ (A) ሬንግ (A,b) እኩል ከሆነ መፍትሄ አለው. በዚህ ሁኔታ (A,b) በነፃ ቃላት እንደገና በመጻፍ ከማትሪክስ A ሊገኝ የሚችል የተራዘመ ቅጽ ማትሪክስ ነው. የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም መስመራዊ እኩልታዎችን መፍታት በጣም ቀላል ነው።

ምናልባት አንዳንድ ምልክቶች ሙሉ በሙሉ ግልጽ አይደሉም, ስለዚህ ሁሉንም ነገር በምሳሌነት ማጤን አስፈላጊ ነው. ስርዓት አለ እንበል፡ x+y=1; 2x-3ይ=6። ሁለት እኩልታዎችን ብቻ ያቀፈ ሲሆን በውስጡም 2 የማይታወቁ ናቸው. ስርዓቱ መፍትሄ የሚኖረው የማትሪክስ ደረጃ ከተራዘመው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ነው። ደረጃ ምንድን ነው? ይህ የስርዓቱ ገለልተኛ መስመሮች ቁጥር ነው. በእኛ ሁኔታ ፣ የማትሪክስ ደረጃው 2 ነው ። ማትሪክስ A በማይታወቁ አቅራቢያ የሚገኙትን ውህዶች ያቀፈ ነው ፣ እና ከ “=” ምልክት በስተጀርባ የሚገኙት ቅንጅቶች ከተራዘመው ማትሪክስ ጋር ይጣጣማሉ።

ለምን SLAEዎች በማትሪክስ መልክ ሊወከሉ ይችላሉ?

በተረጋገጠው ክሮኔከር-ካፔሊ ቲዎረም መሰረት በተኳኋኝነት መስፈርት መሰረት የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት በማትሪክስ መልክ ሊወከል ይችላል። የ Gaussian cascade ዘዴን በመጠቀም ማትሪክስ መፍታት እና ለጠቅላላው ስርዓት አንድ ነጠላ አስተማማኝ መልስ ማግኘት ይችላሉ። የአንድ ተራ ማትሪክስ ደረጃ ከተራዘመው ማትሪክስ ደረጃ ጋር እኩል ከሆነ ፣ ግን ከማይታወቁት ብዛት ያነሰ ከሆነ ፣ ስርዓቱ ማለቂያ የሌላቸው መልሶች አሉት።

የማትሪክስ ለውጦች

ማትሪክቶችን ወደ መፍታት ከመቀጠልዎ በፊት በንጥረታቸው ላይ ምን አይነት ድርጊቶች ሊከናወኑ እንደሚችሉ ማወቅ ያስፈልግዎታል. በርካታ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች አሉ:

• ስርዓቱን በማትሪክስ መልክ እንደገና በመፃፍ እና በመፍታት ሁሉንም የተከታታይ ክፍሎችን በተመሳሳይ መጠን ማባዛት ይችላሉ።
• ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ ለመለወጥ, ሁለት ትይዩ ረድፎችን መቀየር ይችላሉ. ቀኖናዊው ቅርፅ የሚያመለክተው በዋናው ዲያግናል በኩል ያሉት ሁሉም የማትሪክስ አካላት አንድ ይሆናሉ ፣ የተቀሩት ደግሞ ዜሮዎች ይሆናሉ።
• የማትሪክስ ትይዩ ረድፎች ተጓዳኝ አካላት እርስ በእርስ ሊጨመሩ ይችላሉ።

የጆርዳን-ጋውስ ዘዴ

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም መስመራዊ ተመሳሳይ እና ተመሳሳይ ያልሆኑ እኩልታዎች ስርዓቶችን የመፍታት ዋናው ነገር የማይታወቁትን ቀስ በቀስ ማስወገድ ነው። ሁለት የማይታወቁበት የሁለት እኩልታዎች ስርዓት አለን እንበል። እነሱን ለማግኘት, የተኳሃኝነት ስርዓቱን ማረጋገጥ ያስፈልግዎታል. እኩልታው በጋውስ ዘዴ በጣም ቀላል ነው የሚፈታው። በማትሪክስ ቅፅ ውስጥ በእያንዳንዱ የማይታወቅ አቅራቢያ የሚገኙትን ውህዶች መፃፍ አስፈላጊ ነው. ስርዓቱን ለመፍታት, የተራዘመውን ማትሪክስ መፃፍ ያስፈልግዎታል. ከስሌቱ ውስጥ አንዱ ትንሽ የማይታወቁ ነገሮች ከያዘ፣ “0” በጠፋው ኤለመንት ቦታ መቀመጥ አለበት። ሁሉም የታወቁ የለውጥ ዘዴዎች በማትሪክስ ላይ ይተገበራሉ-ማባዛት ፣ በቁጥር መከፋፈል ፣ የተከታታይ ተጓዳኝ አካላትን እርስ በእርስ መጨመር እና ሌሎችም። በእያንዳንዱ ረድፍ ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ከ "1" እሴት ጋር መተው አስፈላጊ ነው, የተቀረው ወደ ዜሮ መዋቀር አለበት. የበለጠ ትክክለኛ ግንዛቤ ለማግኘት የጋውስ ዘዴን በምሳሌዎች ግምት ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው.

2x2 ስርዓትን የመፍታት ቀላል ምሳሌ

ለመጀመር፣ 2 ያልታወቁ ነገሮች የሚኖሩበትን ቀላል የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት እንውሰድ።

ወደ የተራዘመ ማትሪክስ እንደገና እንጽፈው።

ይህንን የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ለመፍታት ሁለት ክዋኔዎች ብቻ ያስፈልጋሉ። በዋናው ዲያግናል በኩል ያሉት እንዲኖሩ ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ ማምጣት አለብን። ስለዚህ, ከማትሪክስ ቅጹን ወደ ስርዓቱ በመመለስ, እኩልታዎችን እናገኛለን: 1x+0y=b1 እና 0x+1y=b2, የት b1 እና b2 በመፍትሔው ሂደት ውስጥ የተገኙ መልሶች ናቸው.

1. የተራዘመ ማትሪክስ በሚፈታበት ጊዜ የመጀመሪያው እርምጃ ይህ ይሆናል-የመጀመሪያው ረድፍ በ -7 ተባዝቶ በሁለተኛው ረድፍ ውስጥ የማይታወቅን ለማስወገድ በሁለተኛው ረድፍ ላይ ተጓዳኝ አካላት መጨመር አለበት.
2. የ Gauss ዘዴን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊ ቅርፅ መቀነስን ስለሚያካትት ከመጀመሪያው እኩልዮሽ ጋር ተመሳሳይ ስራዎችን ማከናወን እና ሁለተኛውን ተለዋዋጭ ማስወገድ አስፈላጊ ነው. ይህንን ለማድረግ ሁለተኛውን መስመር ከመጀመሪያው እንቀንሳለን እና አስፈላጊውን መልስ እናገኛለን - የ SLAE መፍትሄ. ወይም በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው ሁለተኛውን ረድፍ በ -1 እጥፍ እናባዛለን እና የሁለተኛው ረድፍ ንጥረ ነገሮችን ወደ መጀመሪያው ረድፍ እንጨምራለን. ተመሳሳይ ነገር ነው።

እንደምናየው, የእኛ ስርዓት በጆርዳን-ጋውስ ዘዴ ተፈትቷል. በሚፈለገው ቅጽ እንደገና እንጽፋለን: x=-5, y=7.

የ3x3 SLAE መፍትሄ ምሳሌ

የበለጠ የተወሳሰበ የመስመር እኩልታዎች ስርዓት አለን እንበል። የ Gaussian ዘዴ በጣም ግራ የሚያጋባ ለሚመስለው ስርዓት እንኳን መልሱን ለማስላት ያስችላል። ስለዚህ, ወደ ስሌት ዘዴ በጥልቀት ለመፈተሽ, ወደ ውስብስብ ምሳሌ ወደ ሶስት የማይታወቁ ነገሮች መሄድ ይችላሉ.

ልክ እንደ ቀድሞው ምሳሌ, ስርዓቱን በተራዘመ ማትሪክስ መልክ እንደገና እንጽፋለን እና ወደ ቀኖናዊው መልክ ማምጣት እንጀምራለን.

ይህንን ስርዓት ለመፍታት ከቀዳሚው ምሳሌ የበለጠ ብዙ እርምጃዎችን ማከናወን ያስፈልግዎታል።

1. በመጀመሪያ የመጀመሪያውን አምድ አንድ አሃድ ኤለመንት እና የተቀሩትን ዜሮዎች ማድረግ ያስፈልግዎታል. ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን እኩልታ በ -1 ማባዛት እና ሁለተኛውን እኩልነት በእሱ ላይ ይጨምሩ. የመጀመሪያውን መስመር በቀድሞው መልክ, እና ሁለተኛውን በተሻሻለው ቅፅ እንደገና እንደጻፍን ማስታወስ አስፈላጊ ነው.
2. በመቀጠል፣ ይህንኑ የመጀመሪያውን ያልታወቀ ከሶስተኛው እኩልታ እናስወግደዋለን። ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን ረድፍ ንጥረ ነገሮች በ -2 በማባዛት ወደ ሶስተኛው ረድፍ ይጨምሩ. አሁን የመጀመሪያዎቹ እና ሁለተኛው መስመሮች በቀድሞው መልክ ተጽፈዋል, እና ሦስተኛው - ከለውጦች ጋር. ከውጤቱ እንደሚመለከቱት, በማትሪክስ ዋናው ዲያግናል መጀመሪያ ላይ የመጀመሪያውን እና የተቀሩትን ዜሮዎች አግኝተናል. ጥቂት ተጨማሪ ደረጃዎች, እና በ Gaussian ዘዴ የእኩልታዎች ስርዓት በአስተማማኝ ሁኔታ ይፈታል.
3. አሁን በሌሎች የረድፎች አካላት ላይ ክዋኔዎችን ማከናወን ያስፈልግዎታል. ሦስተኛው እና አራተኛው ድርጊቶች ወደ አንድ ሊጣመሩ ይችላሉ. በዲያግናል ላይ ያሉትን ተቀናሾች ለማስወገድ ሁለተኛውን እና ሦስተኛውን መስመር በ -1 መከፋፈል አለብን። ሶስተኛውን መስመር ወደሚፈለገው ቅጽ አስቀድመን አምጥተናል።
4. በመቀጠል ሁለተኛውን መስመር ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ እናመጣለን. ይህንን ለማድረግ, የሶስተኛው ረድፍ ክፍሎችን በ -3 እናባዛለን እና ወደ ማትሪክስ ሁለተኛ ረድፍ እንጨምራለን. ከውጤቱ መረዳት እንደሚቻለው ሁለተኛው መስመር ደግሞ ወደምንፈልገው ፎርም ይቀንሳል. ጥቂት ተጨማሪ ስራዎችን ለመስራት እና የማይታወቁትን ውህደቶች ከመጀመሪያው መስመር ለማስወገድ ይቀራል።
5. ከአንድ ረድፍ ሁለተኛ ክፍል 0 ለማድረግ, ሶስተኛውን ረድፍ በ -3 ማባዛት እና ወደ መጀመሪያው ረድፍ መጨመር ያስፈልግዎታል.
6. የሚቀጥለው ወሳኝ እርምጃ የሁለተኛው ረድፍ አስፈላጊ ንጥረ ነገሮችን ወደ መጀመሪያው ረድፍ መጨመር ይሆናል. በዚህ መንገድ የማትሪክስ ቀኖናዊውን ቅርፅ እናገኛለን, እና, በዚህ መሰረት, መልሱ.

እንደሚመለከቱት ፣ የ Gauss ዘዴን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት በጣም ቀላል ነው።

4x4 የእኩልታዎች ስርዓት የመፍታት ምሳሌ

የኮምፒተር ፕሮግራሞችን በመጠቀም የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም አንዳንድ ተጨማሪ ውስብስብ የእኩልታዎች ስርዓቶች ሊፈቱ ይችላሉ። ለማይታወቁት ኮርፖሬሽኖች አሁን ባሉት ባዶ ሴሎች ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው, እና መርሃግብሩ ራሱ አስፈላጊውን ውጤት ደረጃ በደረጃ ያሰላል, እያንዳንዱን ድርጊት በዝርዝር ይገልፃል.

እንዲህ ዓይነቱን ምሳሌ ለመፍታት የደረጃ በደረጃ መመሪያዎች ከዚህ በታች ተብራርተዋል.

በመጀመርያው ደረጃ፣ ለማይታወቁ የነጻ ቁጥሮች እና ቁጥሮች ወደ ባዶ ህዋሶች ገብተዋል። ስለዚህ, በእጅ የምንጽፈውን ተመሳሳይ የተራዘመ ማትሪክስ እናገኛለን.

እና የተራዘመውን ማትሪክስ ወደ ቀኖናዊው ቅርፅ ለማምጣት ሁሉም አስፈላጊ የሂሳብ ስራዎች ይከናወናሉ. ለእኩልታዎች ስርዓት መልሱ ሁልጊዜ ኢንቲጀር እንዳልሆነ መረዳት ያስፈልጋል። አንዳንድ ጊዜ መፍትሔው ከክፍልፋይ ቁጥሮች ሊሆን ይችላል.

የመፍትሄውን ትክክለኛነት ማረጋገጥ

የጆርዳን-ጋውስ ዘዴ የውጤቱን ትክክለኛነት ለማረጋገጥ ያቀርባል. ውህደቶቹ በትክክል የተቆጠሩ መሆናቸውን ለማወቅ ውጤቱን ወደ መጀመሪያው የእኩልታዎች ስርዓት መተካት ብቻ ያስፈልግዎታል። የእኩልታው ግራ ጎን ከእኩል ምልክት በስተጀርባ ካለው የቀኝ ጎን ጋር መመሳሰል አለበት። ምላሾቹ የማይዛመዱ ከሆነ ስርዓቱን እንደገና ማስላት ያስፈልግዎታል ወይም ሌላ እርስዎ የሚያውቁትን SLAEዎችን የመፍታት ዘዴ ለምሳሌ መተካት ወይም በጊዜ-ጊዜ መቀነስ እና መደመር በእሱ ላይ ተግባራዊ ለማድረግ ይሞክሩ። ደግሞም ፣ ሂሳብ እጅግ በጣም ብዙ የተለያዩ የመፍትሄ ዘዴዎች ያለው ሳይንስ ነው። ግን ያስታውሱ: ምንም አይነት የመፍትሄ ዘዴ ቢጠቀሙ ውጤቱ ሁልጊዜ አንድ አይነት መሆን አለበት.

የጋውስ ዘዴ፡ SLAEዎችን በሚፈታበት ጊዜ በጣም የተለመዱ ስህተቶች

የእኩልታዎች መስመራዊ ስርዓቶችን በሚፈቱበት ጊዜ ስህተቶች ብዙ ጊዜ ይከሰታሉ ለምሳሌ የተሳሳተ የቁጥር መጠን ወደ ማትሪክስ መልክ ማስተላለፍ። ከአንዱ እኩልታዎች ውስጥ አንዳንድ የማይታወቁ የጠፉባቸው ስርዓቶች አሉ ፣ ከዚያ ወደ የተራዘመ ማትሪክስ መረጃ ሲያስተላልፉ ሊጠፉ ይችላሉ። በውጤቱም, ይህንን ስርዓት በሚፈታበት ጊዜ, ውጤቱ ከትክክለኛው ጋር ላይጣጣም ይችላል.

ሌላው ትልቅ ስህተት የመጨረሻውን ውጤት በስህተት መጻፍ ሊሆን ይችላል. የመጀመሪያው ኮፊሸን ከስርአቱ የመጀመሪያው የማይታወቅ, ሁለተኛው - ወደ ሁለተኛው, ወዘተ ጋር እንደሚዛመድ በግልጽ መረዳት ያስፈልጋል.

የጋውስ ዘዴ የመስመር እኩልታዎችን መፍትሄ በዝርዝር ይገልጻል። ለእሱ ምስጋና ይግባውና አስፈላጊ የሆኑትን ስራዎች ለማከናወን እና ትክክለኛውን ውጤት ለማግኘት ቀላል ነው. በተጨማሪም, ይህ ለማንኛውም ውስብስብነት እኩልታዎች አስተማማኝ መልስ ለማግኘት ሁለንተናዊ መሳሪያ ነው. SLAE ን በሚፈታበት ጊዜ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ የሚውለው ለዚህ ሊሆን ይችላል።

እዚህ የመስመር እኩልታዎች ስርዓትን በነፃ መፍታት ይችላሉ። Gauss ዘዴ መስመር ላይትላልቅ መጠኖች ውስብስብ ቁጥሮች በጣም ዝርዝር የሆነ መፍትሄ. የእኛ ካልኩሌተር በጋውስ ዘዴ ያልተገደበ የመፍትሄዎች ብዛት ያለውን ሁለቱንም የተለመዱ የተረጋገጠ እና ያልተወሰነ የመስመር ላይ እኩልታዎች ስርዓቶችን በመስመር ላይ መፍታት ይችላል። በዚህ ሁኔታ, በመልሱ ውስጥ የአንዳንድ ተለዋዋጮች ጥገኝነት በሌሎች, በነፃዎች በኩል ይቀበላሉ. እንዲሁም የ Gaussian መፍትሄን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት ወጥነት በመስመር ላይ ማረጋገጥ ይችላሉ።

የማትሪክስ መጠን፡ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 3 4 3 4 3 4 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 8 8 8 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3 4 3 4 3 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 8 8 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

ስለ ዘዴው

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም የመስመር ላይ እኩልታዎች ስርዓትን በመስመር ላይ ሲፈቱ, የሚከተሉት እርምጃዎች ይከናወናሉ.

1. የተራዘመውን ማትሪክስ እንጽፋለን.
2. እንደ እውነቱ ከሆነ, መፍትሄው የጋውሲያን ዘዴ ወደ ፊት እና ወደ ኋላ ደረጃዎች ይከፈላል. የጋውሲያን ዘዴ ቀጥተኛ አቀራረብ አንድ ማትሪክስ ወደ አንድ ደረጃ መንገድ መቀነስ ነው. የ Gaussian ዘዴ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ወደ ልዩ ደረጃ በደረጃ ቅርጽ መቀነስ ነው. ነገር ግን በተግባር ግን በጥያቄ ውስጥ ካለው ንጥረ ነገር በላይ እና በታች ያለውን ነገር ወዲያውኑ ዜሮ ማድረግ የበለጠ ምቹ ነው። የእኛ ካልኩሌተር በትክክል ይህንን አካሄድ ይጠቀማል።
3. የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም መፍትሄ በሚሰጥበት ጊዜ ቢያንስ አንድ ዜሮ ረድፍ ከዜሮ-ዜሮ የቀኝ ጎን (የነፃ ቃላት አምድ) ማትሪክስ ውስጥ መገኘቱ የስርዓቱን አለመጣጣም እንደሚያመለክት ልብ ሊባል ይገባል። በዚህ ሁኔታ, የመስመራዊ ስርዓቱ መፍትሄ የለም.

የ Gaussian ስልተ ቀመር በመስመር ላይ እንዴት እንደሚሰራ የበለጠ ለመረዳት ማንኛውንም ምሳሌ ያስገቡ ፣ “በጣም ዝርዝር መፍትሄ” ን ​​ይምረጡ እና መፍትሄውን በመስመር ላይ ይመልከቱ።

የመስመር አልጀብራ ስርዓቶችን ለመፍታት ከአለም አቀፍ እና ውጤታማ ዘዴዎች አንዱ ነው። Gaussian ዘዴ ያልታወቁትን በቅደም ተከተል ማስወገድን ያካትታል.

ሁለቱ ስርዓቶች እንደሚጠሩ አስታውስ ተመጣጣኝ (ተመጣጣኝ) የመፍትሄዎቻቸው ስብስቦች ከተገጣጠሙ. በሌላ አገላለጽ, ስርዓቶች እያንዳንዳቸው የአንደኛው መፍትሄ የሌላኛው እና በተቃራኒው መፍትሄ ከሆነ እኩል ናቸው. ተመጣጣኝ ስርዓቶች ሲገኙ ያገኛሉ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች የስርዓቱ እኩልታዎች;

የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች ከዜሮ ሌላ ቁጥር ማባዛት;

ወደ አንዳንድ እኩልዮሽ መጨመር የሌላ እኩልታ ተጓዳኝ ክፍሎችን, ከዜሮ በተለየ ቁጥር ተባዝቷል;

ሁለት እኩልታዎችን እንደገና ማስተካከል.

የእኩልታዎች ስርዓት ይስጥ

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ይህንን ስርዓት የመፍታት ሂደት ሁለት ደረጃዎችን ያካትታል. በመጀመሪያ ደረጃ (በቀጥታ እንቅስቃሴ) ስርዓቱ, የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም, ወደ ይቀንሳል ደረጃ በደረጃ , ወይም ሦስት ማዕዘን ቅፅ, እና በሁለተኛው ደረጃ (በተቃራኒው) ከመጨረሻው ተለዋዋጭ ቁጥር ጀምሮ, ከተፈጠረው የእርምጃ ስርዓት የማይታወቁትን መወሰን, ቅደም ተከተል አለ.

የዚህን ሥርዓት ቅንጅት እንውሰድ
, አለበለዚያ በሲስተሙ ውስጥ የመጀመሪያው ረድፍ ከሌላው ረድፍ ጋር ሊለዋወጥ ስለሚችል ኮፊቲፊሽኑ በ ከዜሮ የተለየ ነበር።

ያልታወቀን በማስወገድ ስርአቱን እንለውጥ ከመጀመሪያው በስተቀር በሁሉም እኩልታዎች. ይህንን ለማድረግ, የመጀመሪያውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ እና ከስርአቱ ሁለተኛ እኩልታ ጋር ቃል በቃል ይጨምሩ። ከዚያም የመጀመሪያውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ እና ወደ ስርዓቱ ሶስተኛው እኩልታ ይጨምሩ. ይህንን ሂደት በመቀጠል, ተመጣጣኝ ስርዓቱን እናገኛለን

እዚህ
- ከመጀመሪያው እርምጃ በኋላ የተገኙ አዲስ የቁጥር እና የነፃ ቃላት እሴቶች።

በተመሳሳይም ዋናውን አካል ግምት ውስጥ ማስገባት
, ያልታወቀን አስወግድ ከመጀመሪያው እና ከሁለተኛው በስተቀር ከሁሉም የስርዓቱ እኩልታዎች. በተቻለ መጠን ይህንን ሂደት እንቀጥል, እና በውጤቱም ደረጃ በደረጃ ስርዓት እናገኛለን

,

የት ,
,…,- የስርዓቱ ዋና ዋና ነገሮች
.

ስርዓቱን ወደ ደረጃ በደረጃ በመቀነስ ሂደት ውስጥ, እኩልታዎች ይታያሉ, ማለትም, የቅጹ እኩልነት.
, በማንኛውም የቁጥሮች ስብስብ ስለረኩ ይጣላሉ
.
ከሆነ

ምንም መፍትሄዎች ከሌለው የቅጹ እኩልታ ከታየ ይህ የስርዓቱን አለመጣጣም ያሳያል። በተገላቢጦሽ ስትሮክ ወቅት፣ የመጀመሪያው ያልታወቀ ከተለወጠው የእርምጃ ስርዓት የመጨረሻ እኩልታ ይገለጻል።
በሌሎች ያልታወቁ ነገሮች ሁሉ የሚባሉት . ፍርይ ከዚያም ተለዋዋጭ አገላለጽ
ከስርአቱ የመጨረሻ እኩልታ ወደ ፔነልቲሜት እኩልነት ተተካ እና ተለዋዋጭው ከእሱ ይገለጻል.
. ተለዋዋጮች በተመሳሳይ መንገድ በቅደም ተከተል ይገለፃሉ
. ተለዋዋጮች , በነፃ ተለዋዋጮች ይገለጻል, ይባላሉ መሰረታዊ

(ጥገኛ)። ውጤቱም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ ነው. ለማግኘት የግል መፍትሄ
ስርዓቶች, ነጻ ያልታወቀ
.

በአጠቃላይ መፍትሄ የዘፈቀደ ዋጋዎች ተመድበዋል እና የተለዋዋጮች እሴቶች ይሰላሉ

.

የስርአቱ እኩልታዎችን ሳይሆን የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ ለአንደኛ ደረጃ ለውጦች መገዛት በቴክኒካዊ የበለጠ ምቹ ነው።
የ Gauss ዘዴ አራት ማዕዘን ብቻ ሳይሆን የማይታወቁ ቁጥር ያላቸውን አራት ማዕዘን ቅርጾችን ለመፍታት የሚያስችል ሁለንተናዊ ዘዴ ነው.
.

የዚህ ዘዴ ጠቀሜታ የተራዘመውን ማትሪክስ ከሰጠን በመፍታት ሂደት ውስጥ ስርዓቱን ለተኳሃኝነት በተመሳሳይ ጊዜ እንመረምራለን ።
ደረጃ በደረጃ ቅፅ, የማትሪክስ ደረጃዎችን ለመወሰን ቀላል ነው እና የተራዘመ ማትሪክስ
እና ያመልክቱ Kronecker-Capelli ቲዎረም .

ምሳሌ 2.1የ Gauss ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ

መፍትሄ. የእኩልታዎች ብዛት
እና ያልታወቁት ቁጥር
.

በማትሪክስ በስተቀኝ ያለውን ቅንጅቶችን በመመደብ የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፍጠር ነጻ አባላት አምድ .

ማትሪክስ እናቅርብ ወደ ሦስት ማዕዘን እይታ; ይህንን ለማድረግ የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም በዋናው ዲያግናል ላይ ከሚገኙት ንጥረ ነገሮች በታች "0" እናገኛለን.

በመጀመሪያው ዓምድ ሁለተኛ ቦታ ላይ "0" ለማግኘት, የመጀመሪያውን ረድፍ በ (-1) በማባዛት እና በሁለተኛው ረድፍ ላይ ይጨምሩ.

ይህንን ለውጥ ከመጀመሪያው መስመር በተቃራኒ ቁጥር (-1) እንጽፋለን እና ከመጀመሪያው መስመር ወደ ሁለተኛው መስመር በሚሄድ ቀስት እናሳያለን.

በመጀመሪያው ረድፍ በሦስተኛው ቦታ ላይ "0" ለማግኘት የመጀመሪያውን ረድፍ በ (-3) በማባዛት ወደ ሦስተኛው ረድፍ መጨመር; ከመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው የሚሄድ ቀስት በመጠቀም ይህን ድርጊት እናሳየው.

.

በውጤቱ ማትሪክስ ውስጥ, በማትሪክስ ሰንሰለት ውስጥ ሁለተኛ የተጻፈው, በሦስተኛው ቦታ ላይ በሁለተኛው አምድ ውስጥ "0" እናገኛለን. ይህንን ለማድረግ, ሁለተኛውን መስመር በ (-4) በማባዛት ወደ ሶስተኛው ጨምረናል. በውጤቱ ማትሪክስ ውስጥ ሁለተኛውን ረድፍ በ (-1) ማባዛት እና ሶስተኛውን በ (-8) ይከፋፍሉት. ሁሉም የዚህ ማትሪክስ አካላት ከዲያግናል አካላት በታች ያሉት ዜሮዎች ናቸው።

ምክንያቱም , ስርዓቱ የጋራ እና የተገለጸ ነው.

ከመጨረሻው ማትሪክስ ጋር የሚዛመደው የእኩልታ ስርዓት ሦስት ማዕዘን ቅርጽ አለው፡

ከመጨረሻው (ሦስተኛው) እኩልነት
. በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ ይተኩ እና ያግኙ
.

እንተኩ
እና
ወደ መጀመሪያው እኩልታ, እናገኛለን


.