የተጠቆሙትን ያልተወሰነ ውህዶችን ያግኙ። ውህደቶች ለዳሚዎች-እንዴት እንደሚፈቱ, ስሌት ደንቦች, ማብራሪያ

ውህደቶችን መፍታት ቀላል ስራ ነው, ግን ለተመረጡት ጥቂቶች ብቻ ነው. ይህ ጽሑፍ የተዋሃዱ ነገሮችን ለመረዳት ለመማር ለሚፈልጉ ነው, ነገር ግን ስለእነሱ ምንም አያውቁም ወይም ምንም ማለት ይቻላል. የተቀናጀ... ለምን ያስፈልጋል? እንዴት ማስላት ይቻላል? የተወሰነ እና ያልተገደቡ ውህዶች ምንድን ናቸው? ለግንባታ የሚያውቁት ብቸኛው ጥቅም ለመድረስ አስቸጋሪ ከሆኑ ቦታዎች ጠቃሚ ነገር ለማግኘት እንደ አይነተኛ አዶ ቅርጽ ያለው የክርን መንጠቆ መጠቀም ከሆነ እንኳን ደህና መጡ! ውህደቶችን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ እና ለምን ያለሱ ማድረግ እንደማይችሉ ይወቁ።

"የተዋሃደ" ጽንሰ-ሐሳብን እናጠናለን.

ውህደት በጥንቷ ግብፅ ይታወቅ ነበር። በእርግጥ, በዘመናዊው መልክ አይደለም, ግን አሁንም. ከዚያን ጊዜ ጀምሮ, በዚህ ርዕስ ላይ የሂሳብ ሊቃውንት ብዙ መጽሃፎችን ጽፈዋል. በተለይ ተለይተዋል። ኒውተን እና ሊብኒዝ ነገር ግን የነገሮች ይዘት አልተለወጠም። ውህደቶችን ከባዶ እንዴት መረዳት ይቻላል? በጭራሽ! ይህንን ርዕስ ለመረዳት አሁንም የሂሳብ ትንተና መሰረታዊ እውቀት ያስፈልግዎታል. በብሎጋችን ላይ የሚያገኙት ይህ መሰረታዊ መረጃ ነው።

ያልተወሰነ ውህደት

የተወሰነ ተግባር ይኑረን ረ(x) .

ያልተወሰነ የተዋሃደ ተግባር ረ(x) ይህ ተግባር ይባላል ረ(x) , የማን ተወላጅ ከተግባሩ ጋር እኩል ነው ረ(x) .

በሌላ አገላለጽ፣ ውህደቱ በተገላቢጦሽ ወይም ፀረ-ተውጣጣይ ነው። በነገራችን ላይ ስለ ጽሑፋችን እንዴት ያንብቡ.

ለሁሉም ተከታታይ ተግባራት ፀረ-ተውጣጣይ አለ. እንዲሁም የማያቋርጥ ምልክት ብዙውን ጊዜ በፀረ-ተውሳክ ውስጥ ይታከላል ፣ ምክንያቱም በቋሚ በአጋጣሚ የሚለያዩት የተግባር አመጣጥ። ውህደቱን የማግኘት ሂደት ውህደት ይባላል።

ቀላል ምሳሌ፡-

የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ፀረ-ተውሳኮችን በተከታታይ ላለማሰላሰል ፣ በጠረጴዛ ውስጥ ለማስቀመጥ እና ዝግጁ የሆኑ እሴቶችን ለመጠቀም ምቹ ነው ።

የተወሰነ ውህደት

ከተዋሃዱ ጽንሰ-ሀሳብ ጋር ስንገናኝ፣ ከማይቆጠሩ መጠኖች ጋር እየተገናኘን ነው። ውህደቱ የአንድን ምስል ስፋት፣ አንድ ወጥ ያልሆነ አካል ብዛት፣ ባልተስተካከለ እንቅስቃሴ ወቅት የተጓዘውን ርቀት እና ሌሎችንም ለማስላት ይረዳል። ውህደቱ እጅግ በጣም ብዙ ቁጥር የሌላቸው ማለቂያ የሌላቸው ቃላት ድምር እንደሆነ መታወስ አለበት።

እንደ ምሳሌ፣ የአንዳንድ ተግባራትን ግራፍ አስብ። በአንድ ተግባር ግራፍ የታሰረውን የሥዕል ቦታ እንዴት ማግኘት ይቻላል?

ውስጠ-ህዋስ መጠቀም! በአስተባባሪ ዘንጎች እና በተግባሩ ግራፍ የተገደበውን curvilinear trapezoid ወደ ማለቂያ ወደሌለው ክፍል እንከፋፍል። በዚህ መንገድ ምስሉ ወደ ቀጭን ዓምዶች ይከፈላል. የአምዶች አከባቢዎች ድምር የ trapezoid አካባቢ ይሆናል. ነገር ግን እንዲህ ዓይነቱ ስሌት ግምታዊ ውጤት እንደሚሰጥ ያስታውሱ. ሆኖም ግን, ትናንሽ እና ጠባብ ክፍሎቹ, ስሌቱ የበለጠ ትክክለኛ ይሆናል. ርዝመታቸው ወደ ዜሮ እንዲሄድ ከቀነስናቸው, የክፍሎቹ አጠቃላይ ድምር ወደ ስዕሉ ስፋት ይሆናል. ይህ የተረጋገጠ ውህደት ነው፣ እሱም እንደሚከተለው ተጽፏል፡-

ነጥቦች ሀ እና ለ የውህደት ገደቦች ይባላሉ።

ባሪ አሊባሶቭ እና ቡድን "ውህደት"

በነገራችን ላይ! ለአንባቢዎቻችን አሁን የ10% ቅናሽ አለ።

ለዳሚዎች ውህዶችን ለማስላት ህጎች

ያልተወሰነ ውህደት ባህሪያት

ያልተወሰነ ውህደትን እንዴት መፍታት ይቻላል? እዚህ ላይ ምሳሌዎችን በሚፈታበት ጊዜ ጠቃሚ የሚሆነውን ያልተወሰነ ውህደት ባህሪያትን እንመለከታለን.

የመዋሃዱ አመጣጥ ከተዋሃዱ ጋር እኩል ነው፡-

ቋሚው ከዋናው ምልክት ስር ሊወጣ ይችላል-

የመደመር ውህድ ከቅንብሮች ድምር ጋር እኩል ነው. ይህ ለልዩነቱም እውነት ነው፡-

የአንድ የተወሰነ ውህደት ባህሪዎች

መስመራዊነት፡

የውህደት ወሰኖች ከተቀያየሩ የመዋሃዱ ምልክት ይለወጣል፡-

በ ማንኛውምነጥቦች ሀ, ለእና ጋር:

የተወሰነ ውህደት የአንድ ድምር ገደብ መሆኑን አስቀድመን አውቀናል. ግን አንድ ምሳሌ ሲፈታ አንድ የተወሰነ እሴት እንዴት ማግኘት ይቻላል? ለዚህም የኒውተን-ላይብኒዝ ቀመር አለ፡-

ውህዶችን የመፍታት ምሳሌዎች

ከዚህ በታች ያልተወሰነ ውህዶችን ለማግኘት ብዙ ምሳሌዎችን እንመለከታለን። የመፍትሄውን ውስብስብነት እራስዎ እንዲያውቁ እንጋብዝዎታለን, እና የሆነ ነገር ግልጽ ካልሆነ በአስተያየቶቹ ውስጥ ጥያቄዎችን ይጠይቁ.

ቁሳቁሱን ለማጠናከር, ውህደቶች በተግባር እንዴት እንደሚፈቱ ቪዲዮ ይመልከቱ. ዋናው ነገር ወዲያውኑ ካልተሰጠ ተስፋ አትቁረጥ። ይጠይቁ እና ስለ ውህደቶች ስሌት የሚያውቁትን ሁሉ ይነግሩዎታል። በእኛ እገዛ፣ በተዘጋ ወለል ላይ ያለ ማንኛውም የሶስትዮሽ ወይም የከርቪላይንየር ውህደት በእርስዎ ኃይል ውስጥ ይሆናል።

በሳይንስ ውስጥ የሂሳብ ውህዶችን የመፍታት ሂደት ውህደት ይባላል። ውህደትን በመጠቀም አንዳንድ አካላዊ መጠኖችን ማግኘት ይችላሉ፡ አካባቢ፣ መጠን፣ የሰውነት ብዛት እና ሌሎችም።

ውህደቶች ያልተወሰነ ወይም የተወሰነ ሊሆኑ ይችላሉ። የፍጹም ውህደትን ቅርፅ እናስብ እና አካላዊ ትርጉሙን ለመረዳት እንሞክር። በዚህ ቅጽ ነው የሚወከለው፡$$ \int ^a _b f(x) dx $$። ላልተወሰነ ውህደቱ የተወሰነ ውህደትን የመፃፍ ልዩ ባህሪ የውህደት ሀ እና ለ ገደቦች መኖራቸው ነው። አሁን ለምን እንደሚያስፈልጋቸው እና ምን ማለት እንደሆነ እንገነዘባለን. በጂኦሜትሪክ አገባብ፣ እንዲህ ዓይነቱ ውህደት ከርቭ f(x) ፣ በመስመር a እና b እና በኦክስ ዘንግ የታሰረው የምስሉ ስፋት ጋር እኩል ነው።

ከሥዕሉ 1 ላይ ግልጽ የሆነ ውህደት በግራጫ ቀለም የተሸፈነው ተመሳሳይ ቦታ እንደሆነ ግልጽ ነው. ይህንን በቀላል ምሳሌ እንፈትሽ። ውህደትን በመጠቀም የምስሉን ስፋት ከዚህ በታች ባለው ምስል ላይ እናገኝ እና ርዝመቱን በስፋት ለማባዛት በተለመደው መንገድ እናሰላው።

ከስእል 2 ግልጽ ነው $ y = f (x) = 3 $, $ a=1, b=2 $. አሁን እነሱን ወደ ውህደት ፍቺ እንተካቸዋለን፣ $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$$$ =(3x) \Big|_1 ^2 እናገኛለን። ==(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$$=6-3=3 \text(units)^2$$ ቼኩን በተለመደው መንገድ እናድርግ። በእኛ ሁኔታ, ርዝመት = 3, የምስሉ ስፋት = 1. $$ S = \ጽሑፍ (ርዝመት) \cdot \text (ስፋት) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ በተቻለዎት መጠን ተመልከት ፣ ሁሉም ነገር በትክክል ይዛመዳል።

ጥያቄው የሚነሳው-ያልተወሰነ ውህደትን እንዴት መፍታት እንደሚቻል እና ትርጉማቸው ምንድ ነው? እንደነዚህ ያሉ ውህዶችን መፍታት የፀረ-ተውጣጣ ተግባራትን ማግኘት ነው. ይህ ሂደት ተዋጽኦውን ከማግኘት ተቃራኒ ነው። ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት በሂሳብ ውስጥ ያሉ ችግሮችን ለመፍታት የእኛን እርዳታ መጠቀም ይችላሉ, ወይም በተናጥል የተዋሃዱ ባህሪያትን እና በጣም ቀላል የሆኑትን የአንደኛ ደረጃ ተግባራትን የማዋሃድ ሰንጠረዥን ማስታወስ ያስፈልግዎታል. ግኝቱ ይህን ይመስላል፡$$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(where) F(x) $ የ$ f(x) ፀረ-ተወላጅ ነው፣ C = const $።

ውህደቱን ለመፍታት፣ $ f(x) $ ተግባሩን በተለዋዋጭ ላይ ማዋሃድ ያስፈልግዎታል። ተግባሩ በሰንጠረዥ ከሆነ, መልሱ በተገቢው ቅጽ ተጽፏል. ካልሆነ፣ ሂደቱ ከ$ f(x) $ ተግባር የሠንጠረዥ ተግባርን በአስቸጋሪ የሂሳብ ለውጦች ለማግኘት ይወርዳል። ለእዚህ የተለያዩ ዘዴዎች እና ባህሪያት አሉ, የበለጠ እንመለከታለን.

ስለዚህ ፣ አሁን ለዲሚዎች ውህዶችን ለመፍታት ስልተ ቀመር እንፍጠር?

ውህዶችን ለማስላት ስልተ ቀመር

ውሱን ውህደቱን እንወቅ ወይም አይሁን።
ካልተገለጸ፣ $ f(x) $ የተዋሃደውን $ f(x) $ ፀረ-ተመጣጣኝ ተግባር ማግኘት አለቦት የሒሳብ ትራንስፎርሜሽን ወደ ተግባር ሠንጠረዡ ቅርፅ $ f(x) $።
ከተገለጸ፣ ደረጃ 2ን ማከናወን ያስፈልግዎታል፣ እና $ a $ እና $ b$ን ወደ ፀረ-ተውጣጣ ተግባር $ F(x) $ ይተኩ። ይህንን ለማድረግ ምን ዓይነት ቀመር እንደሚጠቀሙበት "ኒውተን-ሌብኒዝ ፎርሙላ" በሚለው ጽሑፍ ውስጥ ያገኛሉ.

የመፍትሄዎች ምሳሌዎች

ስለዚህ ፣ ለዳሚዎች ውህዶችን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ ተምረዋል ፣ የመፍትሄ አካላት ምሳሌዎች ተስተካክለዋል ። አካላዊ እና ጂኦሜትሪክ ትርጉማቸውን ተምረናል። የመፍትሄ ዘዴዎች በሌሎች ጽሑፎች ውስጥ ይብራራሉ.

ያልተወሰነ ውህደትን ማግኘት (የፀረ-ተውሳኮች ስብስብ ወይም "አንቲዲሪቫቲቭ") ማለት አንድን ተግባር ከሚታወቀው የዚህ ተግባር አመጣጥ እንደገና መገንባት ማለት ነው. የተመለሰ የፀረ-ተውሳኮች ስብስብ ኤፍ(x) + ጋር ለተግባር ረ(x) የውህደት ቋሚውን ግምት ውስጥ ያስገባል ሲ. የቁሳቁስ ነጥብ (የመነሻ) የመንቀሳቀስ ፍጥነት ላይ በመመስረት, የዚህ ነጥብ እንቅስቃሴ ህግ (አንቲዲሪቭቲቭ) ወደነበረበት ሊመለስ ይችላል; እንደ የነጥብ እንቅስቃሴ መፋጠን - ፍጥነቱ እና የእንቅስቃሴ ህግ። እንደምታየው ውህደት የፊዚክስ ሼርሎክ ሆልምሴስ እንቅስቃሴዎች ሰፊ መስክ ነው። እና በኢኮኖሚክስ ውስጥ ብዙ ፅንሰ-ሀሳቦች በተግባሮች እና በመነሻዎቻቸው ይወከላሉ, እና ስለዚህ, ለምሳሌ, በተወሰነ ጊዜ (የተዋቀረው) የሰው ኃይል ምርታማነትን በመጠቀም የተመረቱ ምርቶችን መጠን ወደነበረበት መመለስ ይቻላል.

ያልተወሰነ ውህድ ለማግኘት በጣም ትንሽ ቁጥር ያላቸው መሰረታዊ የውህደት ቀመሮችን ይፈልጋል። ነገር ግን የማግኘት ሂደት እነዚህን ቀመሮች ከመተግበር የበለጠ አስቸጋሪ ነው. ሁሉም ውስብስብነት ከመዋሃድ ጋር የተያያዘ አይደለም, ነገር ግን የተዋሃደውን አገላለጽ ወደ ፎርሙ በማምጣት ከላይ የተጠቀሱትን መሰረታዊ ቀመሮች በመጠቀም ያልተወሰነ ውህደትን ለማግኘት ያስችላል. ይህ ማለት ውህደትን መለማመድ ለመጀመር በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ያገኙትን የንግግር ለውጥ ችሎታ ማግበር ያስፈልግዎታል ማለት ነው።

በመጠቀም ውህዶችን ለማግኘት እንማራለን። ባህሪያት እና ያልተወሰነ ውህዶች ሰንጠረዥየዚህን ርዕሰ ጉዳይ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች ከትምህርት (በአዲስ መስኮት ውስጥ ይከፈታል).

ዋናውን ለማግኘት ብዙ ዘዴዎች አሉ, ከእነዚህ ውስጥ ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴእና በክፍሎች ዘዴ ውህደት- ከፍተኛ የሂሳብ ትምህርትን በተሳካ ሁኔታ ላለፉ ሁሉ የግዴታ የዋህ ስብስብ። ሆኖም ግን ፣በሚቀጥሉት ሁለት ንድፈ ሀሳቦች ላይ በመመርኮዝ የማስፋፊያ ዘዴን በመጠቀም ውህደቱን መቆጣጠር መጀመር የበለጠ ጠቃሚ እና አስደሳች ነው ፣ ይህም ላልተወሰነ ውህድነት ባህሪያት እዚህ እንደግመዋለን ።

ቲዎሪ 3.በተዋሃዱ ውስጥ ያለው ቋሚ ምክንያት ከማይታወቅ ውህደት ምልክት ሊወጣ ይችላል, ማለትም.

ቲዎሪ 4.የተግባር ብዛት ያለው የአልጀብራ ድምር ያልተወሰነ ውህደት የእነዚህ ተግባራት ላልተወሰነ ውስጠቶች አልጀብራዊ ድምር እኩል ነው፣ ማለትም.

(2)

በተጨማሪም ፣ የሚከተለው ደንብ በመዋሃድ ውስጥ ጠቃሚ ሊሆን ይችላል-የተዋሃዱ አገላለጽ ቋሚ ምክንያት ካለው ፣ የፀረ-ተውጣጣው አገላለጽ በቋሚው ሁኔታ ተገላቢጦሽ ተባዝቷል ፣ ማለትም ፣

(3)

ይህ የውህደት ችግሮችን ለመፍታት የመግቢያ ትምህርት ስለሆነ መጀመሪያ ላይ ወይም ትንሽ ቆይቶ ሊያስገርሙ የሚችሉ ሁለት ነገሮችን ልብ ማለት ያስፈልጋል። የሚያስደንቀው ነገር ውህደት የልዩነት ተገላቢጦሽ ኦፕሬሽን ስለሆነ እና ያልተወሰነ ውህደት በትክክል "አንቲዳይቭቲቭ" ተብሎ ሊጠራ ስለሚችል ነው.

ሲዋሃዱ ሊደነቁ የማይገባዎት የመጀመሪያው ነገር።በመዋሃድ ሠንጠረዥ ውስጥ ከመነሻ ሠንጠረዥ ቀመሮች መካከል ምንም አናሎግ የሌላቸው ቀመሮች አሉ። . እነዚህ የሚከተሉት ቀመሮች ናቸው።

ነገር ግን፣ በእነዚህ ቀመሮች በቀኝ በኩል ያሉት የገለፃዎቹ መነሻዎች ከተዛማጅ ውህደቶች ጋር መገናኘታቸውን ማረጋገጥ ይችላሉ።

ሲዋሃዱ ሊያስደንቅ የማይገባው ሁለተኛው ነገር. ምንም እንኳን የማንኛውም የመጀመሪያ ደረጃ ተግባር መነሻው የመጀመሪያ ደረጃ ተግባር ቢሆንም ፣ የአንዳንድ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት ያልተወሰነ ውህዶች ከአሁን በኋላ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት አይደሉም . የእንደዚህ አይነት ውህዶች ምሳሌዎች የሚከተሉት ሊሆኑ ይችላሉ-

የውህደት ቴክኒኮችን ለማዳበር የሚከተሉት ችሎታዎች ጠቃሚ ይሆናሉ፡ ክፍልፋዮችን መቀነስ፣ ክፍልፋዮችን በቁጥር ክፍልፋዮች ውስጥ በአንድ ክፍልፋይ መለያየት (ያልተወሰነ ውህደቶችን ድምር ለማግኘት)፣ ሥሩን ወደ ሃይል መለወጥ፣ ሞኖሚል በ ሀ ማባዛት። ፖሊኖሚል, ወደ ኃይል ማሳደግ. እነዚህ ችሎታዎች ለውህደት ለውጦች ያስፈልጋሉ ፣ ይህም በተዋሃዱ ሠንጠረዥ ውስጥ የሚገኙትን ውህደቶች ድምር ውጤት ማምጣት አለበት።

ያልተገደቡ ውህዶችን አንድ ላይ ማግኘት

ምሳሌ 1.ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ

መፍትሄ። x ስኩዌር በሆነበት ውህደት እና ፖሊኖሚል መለያ ላይ እናያለን። ይህ ሰንጠረዥ integral 21 (በአርክታንጀንት በውጤቱ) መተግበር እንደሚችሉ እርግጠኛ ምልክት ነው። ፋክተር-ሁለትን ከአካፋው ውስጥ እናወጣለን (የተዋሃዱ እንደዚህ ያለ ንብረት አለ - ቋሚው ሁኔታ ከዋናው ምልክት በላይ ሊወጣ ይችላል ፣ ከላይ እንደ ቲዎረም 3 ተጠቅሷል)። የዚህ ሁሉ ውጤት፡-

አሁን መለያው የካሬዎች ድምር ነው, ይህም ማለት የተጠቀሰውን ሰንጠረዥ ሙሉ በሙሉ መተግበር እንችላለን. በመጨረሻም መልሱን እናገኛለን፡-

ምሳሌ 2.ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ

መፍትሄ። እንደገና እንተገብራለን Theorem 3 - የመዋሃዱ ንብረት ፣ በዚህ መሠረት ቋሚው ሁኔታ ከዋናው ምልክት ሊወጣ ይችላል ።

ቀመር 7ን ከመዋሃድ ሠንጠረዥ (ለሀይል የሚለዋወጥ) ወደ ውህደት ተግባር እንተገብራለን፡

የተገኙትን ክፍልፋዮች እንቀንሳለን እና የመጨረሻውን መልስ አግኝተናል-

ምሳሌ 3.ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ

መፍትሄ። በመጀመሪያ ቲዎረም 4 እና በመቀጠል Theorem 3ን በንብረቶች ላይ በመተግበር፣ ይህንን ዋና የሶስት ውህደቶች ድምር ሆኖ እናገኘዋለን።

ሦስቱም የተገኙ ውህዶች በሰንጠረዥ ናቸው። ፎርሙላውን (7) ከመዋሃድ ሰንጠረዥ እንጠቀማለን። n = 1/2, n= 2 እና n= 1/5, እና ከዚያ

ሦስቱን ውስጠ-ቁራጮች ሲፈልጉ የተዋወቁትን ሶስቱን የዘፈቀደ ቋሚዎች ያጣምራል። ስለዚህ, በተመሳሳይ ሁኔታዎች, አንድ የዘፈቀደ ውህደት ቋሚ ብቻ መተዋወቅ አለበት.

ምሳሌ 4.ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ

መፍትሄ። የማጠቃለያው አካፋይ ሞኖሚል ሲይዝ፣ አሃዛዊውን በዲኖሚነተር ቃል በቃላት ልንከፍለው እንችላለን። የመጀመሪያው ውህደት ወደ ሁለት ውህዶች ድምር ተለወጠ።

የሰንጠረዡን ውህደት ለመተግበር ሥሮቹን ወደ ኃይል እንለውጣለን እና የመጨረሻው መልስ እዚህ አለ

እኛ አንድ ላይ ያልተወሰነ ውህዶችን ማግኘታችንን እንቀጥላለን

ምሳሌ 7.ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ

መፍትሄ። ውህደቱን ከቀየርነው ሁለትዮሽ አሃዛዊውን በማጣመር እና አሃዛዊውን በዲኖሚነተር ቃል በተርጓሚ ከፋፍለን ኦሪጅናል ኢንተግራል የሶስት አካላት ድምር ይሆናል።

መተግበሪያ

የሸፈኑትን ይዘት ለማጠናከር ለተማሪዎች እና ለትምህርት ቤት ልጆች በጣቢያው ላይ በመስመር ላይ ይዋሃዳሉ። እና ተግባራዊ ችሎታዎችዎን ያሠለጥኑ። በመስመር ላይ ለርስዎ የሚሆን የተሟላ የመዋሃድ መፍትሄ በአጭር ጊዜ ውስጥ ሁሉንም የሂደቱን ደረጃዎች ለመወሰን ይረዳዎታል።በኢንተርኔት ላይ ያለውን ውስጠ-ግንኙነት መፍታት በሚጀምሩበት ጊዜ ሁሉ የእሱን አይነት መለየት ያስፈልግዎታል ይህ ከሌለ በስተቀር አንድ ዘዴ መጠቀም አይችሉም። ዋናውን እንደ ሠንጠረዥ አድርገው ይቆጥሩታል። ከተጠቀሰው ምሳሌ እያንዳንዱ የጠረጴዛ ውህደት በግልጽ አይታይም ፣ አንዳንድ ጊዜ ፀረ-ተውሳሽውን ለማግኘት የመጀመሪያውን ተግባር መለወጥ ያስፈልግዎታል። በተግባር ውህደቶችን መፍታት ዋናውን የማግኘት ችግርን ወደ መተርጎም ይወርዳል ፣ ማለትም ፣ ማለቂያ ከሌለው የተግባር ቤተሰብ ፀረ-ተመጣጣኝ ፣ ግን የውህደት ወሰን ከተሰጠ ፣ ታዲያ በኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር መሠረት አንድ ነጠላ ተግባር ብቻ አለ ። ስሌቶችን ለመተግበር ግራ. የመስመር ላይ ውህደቶች - በመስመር ላይ ያልተወሰነ ውህደት እና የመስመር ላይ የተወሰነ ውህደት። በመስመር ላይ የአንድ ተግባር ዋና አካል ለውህደታቸው የታሰቡ የማንኛውም ቁጥሮች ድምር ነው። ስለዚህ, መደበኛ ባልሆነ መልኩ, የመስመር ላይ የተወሰነ ውህደት በተግባሩ ግራፍ እና በ x-ዘንግ መካከል ባለው ውህደት መካከል ያለው ቦታ ነው. በመገጣጠሚያዎች ላይ ችግሮችን የመፍታት ምሳሌዎች. በአንድ ተለዋዋጭ ላይ ውስብስብ ውህደትን እንገመግመው እና መልሱን ለችግሩ ተጨማሪ መፍትሄ እናዛምደው። እነሱ እንደሚሉት, የመዋሃዱን ዋና አካል በቀጥታ ማግኘት ይቻላል. ማንኛውም ውህደት በመስመሮች የታሰረውን የምስሉን ስፋት በከፍተኛ ትክክለኛነት ይወስናል። ይህ ከጂኦሜትሪክ ትርጉሞቹ አንዱ ነው። ይህ ዘዴ ለተማሪዎች ነገሮችን ቀላል ያደርገዋል. ብዙ ደረጃዎች, በእውነቱ, በቬክተር ትንተና ላይ ብዙ ተጽእኖ አይኖራቸውም. በመስመር ላይ የአንድ ተግባር ዋና አካል የመዋሃድ ካልኩለስ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳብ ነው። ያልተወሰነ ውህደቶችን መፍታት። እንደ ዋናው የትንተና ንድፈ ሐሳብ, ውህደት የልዩነት ተገላቢጦሽ አሠራር ነው, ይህም የልዩነት እኩልታዎችን ለመፍታት ይረዳል. በቴክኒካዊ ዝርዝሮች ውስጥ የተለያዩ የመዋሃድ አሠራር የተለያዩ ትርጓሜዎች አሉ። ሆኖም ግን, ሁሉም ተስማሚ ናቸው, ማለትም, ማንኛውም ሁለት የመዋሃድ ዘዴዎች, በአንድ ተግባር ላይ ሊተገበሩ የሚችሉ ከሆነ, ተመሳሳይ ውጤት ይሰጣሉ. በጣም ቀላሉ የ Riemann ውህድ ነው - የተወሰነ ውህደት ወይም ያልተወሰነ ውህደት። መደበኛ ባልሆነ መልኩ የአንድ ተለዋዋጭ ተግባር ዋና አካል በግራፉ ስር ባለው ቦታ (በተግባሩ ግራፍ እና በ x-ዘንግ መካከል ያለው ምስል) ማስተዋወቅ ይቻላል ። ማንኛውም እንደዚህ ያለ ንዑስ ችግር በአስፈላጊ አቀራረብ መጀመሪያ ላይ ውህደቱን ማስላት እጅግ በጣም አስፈላጊ መሆኑን ሊያረጋግጥ ይችላል። ይህን አትርሳ! ይህንን አካባቢ ለማግኘት በመሞከር ፣ የተወሰኑ ቀጥ ያሉ አራት ማዕዘኖችን ያቀፈ አሃዞችን ከግምት ውስጥ ማስገባት እንችላለን ፣ መሠረቱም አንድ ላይ የመዋሃድ ክፍል ይመሰርታሉ እና ክፍሉን በተገቢው ትናንሽ ክፍሎች በመከፋፈል የተገኙ ናቸው። ውህደቶችን በመስመር ላይ መፍታት። ውህደቶችን በመስመር ላይ መፍታት፡ በመስመር ላይ ያልተወሰነ ውህድ እና የመስመር ላይ የተወሰነ ውህደት። ካልኩሌተሩ ከድርጊቶቹ ዝርዝር መግለጫ ጋር ውህደቶችን ይፈታል እና በነጻ! የመስመር ላይ ላልተወሰነ ተግባር ለአንድ ተግባር የሁሉም ፀረ ተዋጽኦዎች ስብስብ ነው። አንድ ተግባር በተወሰነ የጊዜ ልዩነት ውስጥ ከተገለጸ እና ከቀጠለ፣ ለእሱ የፀረ-ተውሳሽ ተግባር (ወይም የፀረ-ተውሳኮች ቤተሰብ) አለ። ማጠቃለያው አንድን አገላለጽ ብቻ ይገልፃል፣ እንደዚህ አይነት ፍላጎት ሲከሰት እርስዎ የተቀመጡባቸው ሁኔታዎች። ይህንን ጉዳይ በጥንቃቄ መቅረብ እና በተሰራው ስራ ውስጣዊ እርካታን ማግኘት የተሻለ ነው. ነገር ግን ከጥንታዊው የተለየ ዘዴን በመጠቀም ውህደቱን ማስላት አንዳንድ ጊዜ ወደ ያልተጠበቁ ውጤቶች ይመራል እና በዚህ ሊደነቅ አይገባም። ይህ እውነታ እየተከሰተ ባለው ነገር ላይ አዎንታዊ ድምጽ ስለሚኖረው ደስተኛ ነኝ. የተሟላ ዝርዝር ደረጃ በደረጃ መፍትሄ ያላቸው የተወሰኑ ውህደቶች እና ላልተወሰነ ውህደቶች ዝርዝር። በመስመር ላይ ዝርዝር መፍትሄዎች ያሉት ሁሉም ውህደቶች። ያልተወሰነ ውህደት. ላልተወሰነ ጊዜ በመስመር ላይ ማግኘት በከፍተኛ ሂሳብ እና በሌሎች የሳይንስ ቴክኒካል ዘርፎች ውስጥ በጣም የተለመደ ችግር ነው። የመዋሃድ መሰረታዊ ዘዴዎች. የተዋሃደ ፣ የተረጋገጠ እና ያልተወሰነ ውህደት ፣ የመዋሃድ ሰንጠረዥ ፣ የኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር ትርጉም። እንደገና ፣ የተዋሃዱ መግለጫዎችን ሰንጠረዥ በመጠቀም ዋናዎን ማግኘት ይችላሉ ፣ ግን ይህ አሁንም መከናወን አለበት ፣ ምክንያቱም ሁሉም ነገር በመጀመሪያ እይታ ላይ እንደሚመስለው ቀላል ስላልሆነ። ስህተቶች ከመገኘታቸው በፊት ስለ የተጠናቀቁ ሕንፃዎች ያስቡ. ለእሱ ስሌት የተወሰነ ውህደት እና ዘዴዎች። የመስመር ላይ የተወሰነ ውህደት ከተለዋዋጭ ከፍተኛ ገደብ ጋር። በመስመር ላይ ውህደቶችን መፍታት። የሰንጠረዥ ቀመሮችን በመጠቀም ውህደቱን ለማስላት የሚረዳ ማንኛውም ምሳሌ ለማንኛውም የስልጠና ደረጃ ተማሪዎች ለተግባር ጠቃሚ መመሪያ ይሆናል። ወደ ትክክለኛው መልስ በጣም አስፈላጊው እርምጃ .. Integrals online. ገላጭ እና ሎጋሪዝም ተግባራትን የያዙ ያልተወሰነ ውህዶች። በመስመር ላይ ውህዶችን መፍታት - ለተለያዩ የመዋሃድ ዓይነቶች ዝርዝር መፍትሄ ያገኛሉ-ያልተወሰነ ፣ ግልጽ ፣ ተገቢ ያልሆነ። የተወሰነው ኢንቴግራል ካልኩሌተር የቁጥር ውህደትን በመጠቀም የአንድን ተግባር የተወሰነ ውህደት በመስመር ላይ ያሰላል። የአንድ ተግባር ዋና አካል የአንድ ተከታታይ ድምር አናሎግ ነው። መደበኛ ባልሆነ አነጋገር ፣ የተወሰነ ውህደት የአንድ ተግባር ግራፍ ክፍል ስፋት ነው። ዋናውን በመስመር ላይ በመፍታት ላይ. ብዙውን ጊዜ እንዲህ ዓይነቱ ውህደት አንድ አካል ከእሱ ጋር ሲወዳደር ተመሳሳይ መጠን ያለው አካል ምን ያህል ክብደት እንዳለው ይወስናል, እና ምንም አይነት ቅርጽ ቢኖረውም ምንም ለውጥ አያመጣም, ምክንያቱም ውጫዊው ውሃ አይወስድም. ውህደቶችን በመስመር ላይ መፍታት. እያንዳንዱ ጁኒየር ተማሪ ዋናውን በመስመር ላይ እንዴት ማግኘት እንዳለበት ያውቃል። በት / ቤት ሥርዓተ-ትምህርት መሰረት, ይህ የሂሳብ ክፍልም እንዲሁ የተጠና ነው, ነገር ግን በዝርዝር አይደለም, ነገር ግን የእንደዚህ አይነት ውስብስብ እና አስፈላጊ ርዕሰ ጉዳዮች መሰረታዊ ነገሮች ብቻ ናቸው. በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች፣ ተማሪዎች integralsን በሰፊ ንድፈ ሃሳብ ማጥናት ይጀምራሉ፣ እሱም በተጨማሪ አስፈላጊ በሆኑ ርዕሰ ጉዳዮች፣ እንደ ተዋጽኦዎች እና ወደ ገደብ ማለፍ - እነሱም ገደቦች ናቸው። ውህደቶችን መፍታት ቀስ በቀስ በቀላል ተግባራት በጣም የመጀመሪያ ደረጃ ምሳሌዎች ይጀምራል, እና ባለፈው ክፍለ ዘመን እና እንዲያውም በጣም ቀደም ብሎ የታቀዱ ብዙ አቀራረቦችን እና ደንቦችን በመጠቀም ያበቃል. የተቀናጀ ካልኩለስ ለትምህርት ዓላማዎች በሊሲየም እና ትምህርት ቤቶች ማለትም በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ተቋማት ውስጥ ነው. የእኛ ድረ-ገጽ ሁል ጊዜ ይረዳዎታል እና በመስመር ላይ ውህደቶችን መፍታት ለእርስዎ የተለመደ ነገር ይሆናል ፣ እና ከሁሉም በላይ ፣ ለመረዳት የሚቻል ተግባር። በዚህ ግብአት ላይ በመመስረት በዚህ የሂሳብ ክፍል ውስጥ ፍጽምናን በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ። ደንቦቹን በመረዳት ደረጃ በደረጃ እያጠኑ ነው, ለምሳሌ, በክፍል ውህደት ወይም የ Chebyshev ዘዴ አተገባበር, ማንኛውንም ፈተና ለከፍተኛው የነጥብ ብዛት በቀላሉ መፍታት ይችላሉ. ስለዚህ አሁንም ቢሆን በጣም የታወቀውን የመገጣጠሚያዎች ሰንጠረዥ በመጠቀም ውስጠ-ቁራጩን እንዴት ማስላት እንችላለን, ነገር ግን መፍትሄው ትክክለኛ, ትክክለኛ እና በጣም ትክክለኛ መልስ በሚሰጥበት መንገድ? ይህንን እንዴት መማር እንደሚቻል እና አንድ ተራ የመጀመሪያ ሰው በአጭር ጊዜ ውስጥ ማድረግ ይቻላል? ይህንን ጥያቄ በአዎንታዊ መልኩ እንመልስ - ትችላለህ! በተመሳሳይ ጊዜ ማንኛውንም ምሳሌ መፍታት ብቻ ሳይሆን ከፍተኛ ብቃት ያለው መሐንዲስ ደረጃ ላይ መድረስም ይችላሉ. ሚስጥሩ ከመቼውም ጊዜ በበለጠ ቀላል ነው - ከፍተኛ ጥረት ማድረግ እና ለራስ-ዝግጅት አስፈላጊውን ጊዜ መስጠት ያስፈልግዎታል. እንደ አለመታደል ሆኖ እስካሁን ማንም ሌላ መንገድ አላመጣም! ነገር ግን በመጀመሪያ እይታ ላይ እንደሚመስለው ሁሉም ነገር ደመናማ አይደለም. በዚህ ጥያቄ የኛን አገልግሎት ጣቢያ ካነጋገሩ ህይወትዎን ቀላል እናደርጋለን ምክንያቱም ጣቢያችን በመስመር ላይ ውስጠቶችን በዝርዝር, በከፍተኛ ፍጥነት እና ፍጹም በሆነ ትክክለኛ መልስ ማስላት ይችላል. በዋና ውስጥ, ውህደቱ የክርክር ሬሾው በአጠቃላይ የስርዓቱን መረጋጋት እንዴት እንደሚጎዳ አይወስንም. ሁሉም ነገር ሚዛናዊ በሆነ ነበር። የዚህን የሂሳብ ርዕስ መሰረታዊ ነገሮች እየተማሩ ሳለ፣ አገልግሎቱ በአንደኛ ደረጃ ተግባራት ውስጥ ሊፈታ ከቻለ የማንኛውም ውህደቱን ዋና አካል ሊያገኝ ይችላል። አለበለዚያ, በአንደኛ ደረጃ ተግባራት ውስጥ ላልተወሰዱ ውህዶች, በተግባር ግን መልሱን በትንታኔ ወይም በሌላ አነጋገር ግልጽ በሆነ መልኩ ማግኘት አያስፈልግም. ሁሉም የማዋሃድ ስሌቶች የአንድ የተወሰነ ውህደት ፀረ-ተመጣጣኝ ተግባርን ለመወሰን ይወርዳሉ። ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ በመስመር ላይ በሁሉም የሂሳብ ህጎች መሰረት ያልተወሰነውን ስብስብ ያሰሉ. ከዚያ አስፈላጊ ከሆነ የዋናውን የላይኛው እና የታችኛውን እሴት ይተኩ ። ላልተወሰነው ውህደት የቁጥር እሴትን ለመወሰን ወይም ለማስላት አስፈላጊ ካልሆነ ቋሚ ወደ ተፈጠረ ፀረ-ተግባር ተጨምሯል, በዚህም የጸረ-ተውጣጣ ተግባራትን ቤተሰብ ይገልፃል. ውህደት በሳይንስ እና በአጠቃላይ በማንኛውም የምህንድስና ዘርፍ ቀጣይነት ያለው ሜካኒክስን ጨምሮ ልዩ ቦታ አለው፤ አጠቃላይ የሜካኒካል ስርአቶችን፣ እንቅስቃሴዎቻቸውን እና ሌሎችንም ይገልፃል። በብዙ አጋጣሚዎች፣ የተጠናቀረው ውህደት የቁሳቁስ ነጥብ የመንቀሳቀስ ህግን ይወስናል። በተግባራዊ ሳይንስ ጥናት ውስጥ በጣም አስፈላጊ መሳሪያ ነው. በዚህ መሠረት አንድ ሰው የሜካኒካል ስርዓቶችን የሕልውና ህጎችን እና ባህሪን ለመወሰን መጠነ ሰፊ ስሌቶችን ከመጥቀስ በቀር ሊረዳ አይችልም. በድረ-ገጹ ላይ ውህደቶችን ለመፍታት የመስመር ላይ ካልኩሌተር ለሙያዊ መሐንዲሶች ኃይለኛ መሳሪያ ነው። ይህንን በእርግጠኝነት ለእርስዎ ዋስትና እንሰጥዎታለን፣ ነገር ግን የእርስዎን ውህደት ማስላት የምንችለው ትክክለኛውን አገላለጽ ወደ ውህደቱ ጎራ ውስጥ ካስገቡ በኋላ ነው። ስህተቶችን ለመስራት አትፍሩ, በዚህ ጉዳይ ላይ ሁሉም ነገር ሊስተካከል ይችላል! አብዛኛውን ጊዜ ውህዶችን መፍታት ከታዋቂ የመማሪያ መጽሃፍት ወይም ኢንሳይክሎፔዲያዎች የሰንጠረዥ ተግባራትን በመጠቀም ላይ ይደርሳል። ልክ እንደሌላው ያልተወሰነ ውህድ፣ ምንም አይነት ትልቅ ትችት ሳይኖር መደበኛውን ቀመር በመጠቀም ይሰላል። የአንደኛ ዓመት ተማሪዎች በቀላሉ እና በተፈጥሮ ያጠኑትን ነገር በቦታው ይገነዘባሉ፣ እና ለእነሱ ጠቃሚ ነገር ማግኘት አንዳንድ ጊዜ ከሁለት ደቂቃ ያልበለጠ ጊዜ ይወስዳል። እና አንድ ተማሪ የመዋሃድ ሰንጠረዥን ከተማሩ, በአጠቃላይ መልሱን በራሱ ውስጥ መወሰን ይችላል. ተግባራትን ከወለል በላይ በተለዋዋጭ ማስፋፋት መጀመሪያ ላይ በተወሰነ የአብሲሳ ነጥብ ላይ ትክክለኛው የቬክተር አቅጣጫ ማለት ነው። የገጸ-ገጽታ መስመሮች ያልተጠበቀ ባህሪ የሂሳብ ተግባራትን ምላሽ ምንጭ እንደ መሰረት አድርጎ የተወሰኑ ውህዶችን ይወስዳል። በአውሮፕላኑ ውስጥ የተቆረጠውን ከተመለከቱ የኳሱ ግራ ጠርዝ ክቡ የተቀረጸበትን ሲሊንደር አይነካውም. በመቶዎች በሚቆጠሩ ተከታታይ ተግባራት የተከፋፈሉ የትናንሽ አካባቢዎች ድምር የአንድ የተወሰነ ተግባር የመስመር ላይ አካል ነው። የመዋሃዱ ሜካኒካል ትርጉሙ በብዙ የተተገበሩ ችግሮች ውስጥ ነው፣ ለምሳሌ የአካልን መጠን መወሰን እና የሰውነትን ብዛት ማስላት። በእነዚህ ስሌቶች ውስጥ ሶስት እና ድርብ ማያያዣዎች ይሳተፋሉ. እኛ በመስመር ላይ የመዋሃድ መፍትሄ የሚከናወነው ልምድ ባላቸው አስተማሪዎች ቁጥጥር እና በብዙ ቼኮች ብቻ ነው ። ብዙ ጊዜ ስለ ንግግሮች የማይገኙ ተማሪዎች አፈፃፀም ፣ ያለምክንያት መዝለል እና እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ እንጠይቃለን ። ዋናው እራሳቸው. ተማሪዎች ነፃ ሰዎች ናቸው እና በውጪ ለመማር፣ ለፈተና ወይም ለፈተና በቤታቸው ምቾት ለመዘጋጀት የሚችሉ ናቸው ብለን እንመልሳለን። በሰከንዶች ጊዜ ውስጥ፣ አገልግሎታችን ማንኛውም ሰው በተለዋዋጭ ላይ ያለውን ማንኛውንም የተግባር ዋና አካል ለማስላት ይረዳዋል። የተገኘው ውጤት የፀረ-ተህዋሲያን ተግባር ውፅዓት በመውሰድ መፈተሽ አለበት። በዚህ ሁኔታ, ከተዋሃዱ መፍትሄው ቋሚው ዜሮ ይሆናል. ይህ ደንብ በግልጽ ለሁሉም ሰው ይሠራል። ባለብዙ አቅጣጫዊ ክንዋኔዎች ትክክለኛ እንደመሆናቸው መጠን ያልተወሰነ ውህደት ብዙውን ጊዜ ጎራውን ወደ ትናንሽ ክፍሎች ለመከፋፈል ይቀንሳል። ነገር ግን፣ አንዳንድ ተማሪዎች እና የትምህርት ቤት ልጆች ይህንን መስፈርት ችላ ይላሉ። እንደ ሁልጊዜው, የመስመር ላይ ቅንጅቶች በአገልግሎታችን ድረ-ገጽ ላይ በዝርዝር ሊፈቱ ይችላሉ እና በጥያቄዎች ብዛት ላይ ምንም ገደቦች የሉም, ሁሉም ነገር ነፃ እና ለሁሉም ሰው ይገኛል. በጥቂት ሴኮንዶች ውስጥ ደረጃ በደረጃ መልስ የሚሰጡ ብዙ ጣቢያዎች የሉም, እና ከሁሉም በላይ ደግሞ በከፍተኛ ትክክለኛነት እና ምቹ በሆነ መልኩ. በመጨረሻው ምሳሌ, በቤት ስራው አምስተኛ ገጽ ላይ, ዋናውን ደረጃ በደረጃ ማስላት አስፈላጊ መሆኑን የሚያሳይ አንድ ነበር. ነገር ግን በመስመር ላይ በሺዎች በሚቆጠሩ የተፈቱ ምሳሌዎች ላይ በጊዜ የተፈተነ እና የተፈተነ ዝግጁ የሆነ አገልግሎትን በመጠቀም ውህደቱን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል መዘንጋት የለብንም ። እንዲህ ዓይነቱ ውህደት የስርዓቱን እንቅስቃሴ እንዴት እንደሚወስን በዚህ የእኩልታዎች ስርዓት በተገለጸው የቪስኮስ ፈሳሽ እንቅስቃሴ ባህሪ በግልፅ እና በግልፅ ታይቷል ።

የተቀናጀ ስሌት.

ፀረ-ተውጣጣ ተግባር.

ፍቺ፡ ተግባር F(x) ይባላል ፀረ-ተውጣጣ ተግባርበዚህ ክፍል በማንኛውም ነጥብ ላይ እኩልነት እውነት ከሆነ ተግባር f(x) በክፍሉ ላይ፡-

ለተመሳሳይ ተግባር ማለቂያ የሌላቸው ፀረ-ተውሳኮች ሊኖሩ እንደሚችሉ ልብ ሊባል ይገባል. በተወሰነ ቋሚ ቁጥር እርስ በርሳቸው ይለያያሉ.

F 1 (x) = F 2 (x) + ሲ.

ያልተወሰነ ውህደት.

ፍቺ፡ ያልተወሰነ ውህደት functionf(x) በግንኙነቱ የሚገለጽ የፀረ-ተግባር ስብስብ ነው።

ጹፍ መጻፍ:

በተወሰነ ክፍል ላይ ያልተወሰነ ውህደት የመኖሩ ሁኔታ በዚህ ክፍል ላይ ያለው ተግባር ቀጣይነት ነው.

ንብረቶች፡

ለምሳሌ:

ላልተወሰነ ውህድ እሴት ማግኘት በዋናነት የተግባርን ፀረ-ተውሳሽ ከማግኘት ጋር የተያያዘ ነው። ለአንዳንድ ተግባራት ይህ በጣም ከባድ ስራ ነው። ከዚህ በታች ለዋና ዋናዎቹ የተግባር ክፍሎች - ምክንያታዊ ፣ ምክንያታዊ ያልሆነ ፣ ትሪግኖሜትሪክ ፣ ገላጭ ፣ ወዘተ - ያልተወሰነ ውህዶችን ለማግኘት ዘዴዎችን እንመለከታለን።

ለመመቻቸት ፣ የአብዛኛዎቹ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት ያልተወሰነ ውህደቶች እሴቶች በልዩ የመገጣጠሚያዎች ጠረጴዛዎች ውስጥ ይሰበሰባሉ ፣ አንዳንድ ጊዜ በጣም ብዙ ናቸው። የተለያዩ የተለመዱ የተግባር ውህዶችን ያካትታሉ። ነገር ግን በእነዚህ ሰንጠረዦች ውስጥ የቀረቡት አብዛኛዎቹ ቀመሮች እርስ በእርሳቸው የሚዛመዱ ውጤቶች ናቸው, ስለዚህ ከዚህ በታች የመሠረታዊ ውህዶች ሰንጠረዥ እናቀርባለን, በእሱ እርዳታ የተለያዩ ተግባራትን ያልተወሰነ ውህዶች እሴቶችን ማግኘት ይችላሉ.

የተዋሃደ	ትርጉም	የተዋሃደ	ትርጉም

	ln sinx+ ሲ



	ln

የመዋሃድ ዘዴዎች.

ሶስት ዋና ዋና የመዋሃድ ዘዴዎችን እንመልከት።

ቀጥተኛ ውህደት.

የቀጥታ ውህደት ዘዴው የፀረ-ተውጣጣ ተግባር ሊኖር የሚችለውን እሴት ግምት ውስጥ በማስገባት ይህንን እሴት በልዩነት በማረጋገጥ ላይ ነው. በአጠቃላይ, ልዩነት የውህደት ውጤቶችን ለመፈተሽ ኃይለኛ መሳሪያ መሆኑን እናስተውላለን.

ምሳሌን በመጠቀም የዚህን ዘዴ አተገባበር እንመልከት፡-

የአጠቃላዩን ዋጋ መፈለግ አለብን . በሚታወቀው የልዩነት ቀመር መሰረት
የተፈለገው ውህደት እኩል ነው ብለን መደምደም እንችላለን
C የተወሰነ ቋሚ ቁጥር የሆነበት። ሆኖም ግን, በሌላ በኩል
. ስለዚህ ፣ በመጨረሻ መደምደም እንችላለን-

ከተለያየ ልዩነት በተቃራኒ ግልጽ ቴክኒኮች እና ዘዴዎች ጥቅም ላይ ከዋሉበት ውህደቱን ለማግኘት የሚረዱ ደንቦች እና በመጨረሻም የመነጩ ፍቺው እንደዚህ አይነት ዘዴዎች ለመዋሃድ እንደማይገኙ ልብ ይበሉ. ተዋጽኦውን በምናገኝበት ጊዜ፣ ለመናገር፣ ገንቢ ዘዴዎችን ከተጠቀምን በኋላ፣ በተወሰኑ ሕጎች ላይ በመመስረት ውጤቱን አስገኝተናል፣ ከዚያም ፀረ-ተህዋሲያንን በምናገኝበት ጊዜ በዋነኝነት በተዋጽኦዎች እና ፀረ-ተህዋስያን ሰንጠረዦች እውቀት ላይ መታመን አለብን።

የቀጥታ ውህደት ዘዴን በተመለከተ, ለአንዳንድ በጣም የተገደቡ የስራ መደቦች ብቻ ተፈጻሚ ይሆናል. ወዲያውኑ ፀረ-ተውጣጣ ማግኘት የሚችሉባቸው በጣም ጥቂት ተግባራት አሉ. ስለዚህ, በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች, ከዚህ በታች የተገለጹት ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ.

የመተካት ዘዴ (ተለዋዋጮችን መተካት).

ቲዎሪ፡ ዋናውን ማግኘት ከፈለጉ
ነገር ግን ፀረ-ተውሳሽውን ለማግኘት አስቸጋሪ ነው, ከዚያም ምትክ x =  (t) እና dx =  (t) dt በመጠቀም ይሆናል፡-

ማረጋገጫ : የታቀደውን እኩልነት እንለይ፡-

ከላይ በተገለፀው ላልተወሰነው ውህደት በንብረት ቁጥር 2 መሠረት፡-

ረ(x) dx = ረ[  (ቲ)]  (ቲ) ዲ.ቲ

የገባውን ማስታወሻ ግምት ውስጥ በማስገባት የመጀመርያው ግምት ነው። ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

ለምሳሌ.ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ
.

ምትክ እንሥራ ቲ = six, ዲ.ቲ = cosxdt.

ለምሳሌ.

መተካት
እናገኛለን፡-

ከዚህ በታች ለተለያዩ የሥራ ዓይነቶች የመተካት ዘዴን ስለመጠቀም ሌሎች ምሳሌዎችን እንመለከታለን።

በክፍሎች ውህደት.

ዘዴው ለምርት አመጣጥ በሚታወቀው ቀመር ላይ የተመሠረተ ነው-

(uv)=uv+vu

uиv አንዳንድ የ x ተግባራት ባሉበት።

በልዩ ሁኔታ፡ d(uv) =udv+vdu

በማዋሃድ, እኛ እናገኛለን:
, እና ከላይ በተጠቀሱት የላልተወሰነ ውህደት ባህሪያት መሰረት:

ወይም
;

የበርካታ አንደኛ ደረጃ ተግባራትን ውህደቶች ለማግኘት የሚያስችለንን በክፍሎች ለማዋሃድ ቀመር አግኝተናል።

ለምሳሌ.

እንደሚመለከቱት ፣ ውህደቱን በክፍል ቀመሮች ወጥነት ያለው አተገባበር ቀስ በቀስ ተግባሩን ለማቅለል እና ውስጠ-ግንኙነቱን ወደ ጠረጴዛ ለማምጣት ያስችልዎታል።

ለምሳሌ.

በተደጋጋሚ የመዋሃድ ክፍሎችን በመተግበሩ ምክንያት ተግባሩን ወደ ሠንጠረዥ ቅርጽ ማቃለል እንዳልቻለ ማየት ይቻላል. ሆኖም ግን, የተገኘው የመጨረሻው ውህደት ከመጀመሪያው የተለየ አይደለም. ስለዚህ, ወደ እኩልነት በግራ በኩል እናንቀሳቅሳለን.

ስለዚህ, ውስጠ-ቁራጩ ምንም አይነት የጠረጴዛዎች ጠረጴዛዎችን ሳይጠቀም ተገኝቷል.

የተለያዩ የተግባር ክፍሎችን የማዋሃድ ዘዴዎችን በዝርዝር ከማሰብዎ በፊት ፣ ያልተገደቡ ውህዶችን ወደ ሠንጠረዥ በመቀነስ ብዙ ተጨማሪ ምሳሌዎችን እንሰጣለን ።

ለምሳሌ.

የአንደኛ ደረጃ ክፍልፋዮች ውህደት.

ፍቺ፡ የመጀመሪያ ደረጃየሚከተሉት አራት ዓይነት ክፍልፋዮች ይባላሉ፡-

አይ.
III.

II.
IV.

m, n - የተፈጥሮ ቁጥሮች (m2, n2) እና b 2 - 4ac<0.

የመጀመሪያዎቹ ሁለት የአንደኛ ደረጃ ክፍልፋዮች ውህዶች t=ax+b በመተካት በቀላሉ ወደ ጠረጴዛዎች ሊቀርቡ ይችላሉ።

የ III ዓይነት አንደኛ ደረጃ ክፍልፋዮችን የማዋሃድ ዘዴን እንመልከት ።

የ III ዓይነት ክፍልፋይ ዋና አካል እንደሚከተለው ሊወከል ይችላል፡-

እዚህ ፣ በአጠቃላይ ፣ የ III ዓይነት ክፍልፋይ ውህደት ወደ ሁለት የሠንጠረዥ ቅንጅቶች መቀነስ ይታያል።

ምሳሌዎችን በመጠቀም ከላይ ያለውን ቀመር አተገባበርን እንመልከት።

ለምሳሌ.

በአጠቃላይ፣ ባለሶስትዮማዊ አክስ 2 + bx+c አገላለጽ b 2 – 4ac>0 ካለው፣ ክፍልፋዩ በትርጉሙ፣ አንደኛ ደረጃ አይደለም፣ ሆኖም ግን፣ ከላይ በተጠቀሰው መንገድ ሊጣመር ይችላል።

ለምሳሌ.

አሁን የ IV ዓይነት ቀላል ክፍልፋዮችን የማዋሃድ ዘዴዎችን እንመልከት.

በመጀመሪያ፣ M = 0፣ N = 1 ያለውን ልዩ ጉዳይ እንመልከት።

ከዚያም የቅጹ ዋና አካል
በዲኖሚነሩ ውስጥ ሙሉውን ካሬ በመምረጥ በቅጹ ውስጥ መወከል ይቻላል
. የሚከተለውን ለውጥ እናድርግ፡-

በዚህ እኩልነት ውስጥ የተካተተውን ሁለተኛውን ክፍል በክፍሎች እንወስዳለን.

እንጥቀስ፡

ለዋናው ውህደት የሚከተሉትን እናገኛለን

የተገኘው ቀመር ይባላል ተደጋጋሚ። n-1 ጊዜ ከተጠቀሙበት, የጠረጴዛ ውህደት ያገኛሉ
.

አሁን በአጠቃላይ ሁኔታ ወደ IV ዓይነት የአንደኛ ደረጃ ክፍልፋይ ዋና አካል እንመለስ.

በተፈጠረው እኩልነት, ምትክን በመጠቀም የመጀመሪያው ውህደት ቲ = ዩ 2 + ኤስወደ ሰንጠረዥ ተቀንሷል , እና ከላይ የተብራራው የድግግሞሽ ቀመር በሁለተኛው ውህደት ላይ ይተገበራል.

የአራተኛ ዓይነት ክፍልፋዮችን የማዋሃድ ውስብስብነት ቢመስልም ፣ በተግባር ግን በትንሽ ዲግሪ ላሉ ክፍልፋዮች መጠቀም በጣም ቀላል ነው ። n, እና የአቀራረብ ሁለንተናዊ እና አጠቃላይነት የዚህን ዘዴ በኮምፒዩተር ላይ በጣም ቀላል ተግባራዊ ለማድረግ ያስችላል.

ለምሳሌ:

ምክንያታዊ ተግባራት ውህደት.

ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን በማዋሃድ ላይ።

ምክንያታዊ ክፍልፋይን ለማዋሃድ, ወደ አንደኛ ደረጃ ክፍልፋዮች መበስበስ አስፈላጊ ነው.

ቲዎሪ፡ ከሆነ
- ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ፣ መለያው P(x) እንደ የመስመር እና ባለአራት ምክንያቶች ውጤት ነው የሚወከለው (ማንኛውም ብዙ ቁጥር ያላቸው እውነተኛ ውህዶች ያሉት በዚህ ቅጽ ሊወከል እንደሚችል ልብ ይበሉ) ፒ(x) = (x - ሀ)  …(x - ለ)  (x 2 + px + ቅ)  …(x 2 + rx + ኤስ)  ), ከዚያም ይህ ክፍልፋይ በሚከተለው እቅድ መሰረት ወደ አንደኛ ደረጃ ሊከፋፈል ይችላል.

የት A i፣B i፣M i፣N i፣R i፣S የተወሰኑ ቋሚ መጠኖች ናቸው።

ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ሲያዋህዱ ዋናውን ክፍልፋይ ወደ አንደኛ ደረጃ መበስበስ ይሞክራሉ። መጠኖችን ለማግኘት A i , B i , M i , N i , R i , S i , የሚባሉት. ያልተረጋገጡ ቅንጅቶች ዘዴ, ዋናው ይዘት ሁለት ፖሊኖሚሎች በተመሳሳይ መልኩ እኩል እንዲሆኑ, አስፈላጊ እና በቂ ነው በተመሳሳይ የ x ኃይሎች ውስጥ ያሉ ጥምርታዎች እኩል መሆን አለባቸው.

አንድ የተወሰነ ምሳሌ በመጠቀም የዚህን ዘዴ አጠቃቀም እንመልከት.

ለምሳሌ.

ወደ አንድ የጋራ መለያ በመቀነስ እና ተዛማጅ ቁጥሮችን በማመሳሰል የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

ለምሳሌ.

ምክንያቱም ክፍልፋዩ ትክክል ካልሆነ በመጀመሪያ ሙሉውን ክፍል መምረጥ አለብዎት:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x– 7 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

የውጤቱን ክፍልፋይ መለያን እናድርገው። በ x = 3 የክፍልፋይ መለያ ወደ ዜሮ ሲቀየር ማየት ይቻላል። ከዚያም፡-

3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6x- 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x- 2

ስለዚህም 3x 3 – 4x 2 – 17x+ 6 = (x– 3) (3x 2 + 5x– 2) = (x– 3) (x+ 2) (3x– 1)። ከዚያም፡-

እርግጠኛ ያልሆኑ ቅንፎችን ሲያገኙ የእኩልታዎችን ስርዓት መቧደን እና መፍታትን ለማስወገድ (በአንዳንድ ሁኔታዎች በጣም ትልቅ ሊሆኑ ይችላሉ) የዘፈቀደ ዋጋ ዘዴ. የስልቱ ፍሬ ነገር በርካታ (ያልተወሰኑ አሃዞች ብዛት) የ x የዘፈቀደ እሴቶች ከላይ ባለው አገላለጽ ውስጥ መተካታቸው ነው። ስሌቶችን ለማቃለል ፣የክፍልፋይ መለያው ከዜሮ ጋር እኩል የሆነበትን የዘፈቀደ እሴቶች ነጥቦችን መውሰድ የተለመደ ነው ፣ ማለትም ፣ ማለትም። በእኛ ሁኔታ - 3, -2, 1/3. እናገኛለን፡-

በመጨረሻም እኛ እናገኛለን:

ለምሳሌ.

ያልተወሰኑትን ውህደቶች እንፈልግ፡-

ከዚያ የተሰጠው ውህደት ዋጋ፡-

የአንዳንድ ትሪግኖሜትሪክስ ውህደት

ተግባራት.

ከትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ውስጥ ማለቂያ የሌላቸው ውህዶች ቁጥር ሊኖር ይችላል። አብዛኛዎቹ እነዚህ ውህዶች በትንታኔ ሊሰሉ አይችሉም፣ ስለዚህ ሁል ጊዜ ሊዋሃዱ የሚችሉ አንዳንድ በጣም አስፈላጊ የሆኑትን የተግባር ዓይነቶች እንመለከታለን።

የቅጹ ውህደት
.

እዚህ R የተለዋዋጮች six እና cosx አንዳንድ ምክንያታዊ ተግባር ስያሜ ነው።

የዚህ አይነት ውህደቶች ምትክን በመጠቀም ይሰላሉ
. ይህ ምትክ ትሪግኖሜትሪክ ተግባርን ወደ ምክንያታዊነት እንዲቀይሩ ያስችልዎታል።

ከዚያም

ስለዚህም፡-

ከላይ የተገለጸው ለውጥ ይባላል ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተካት.

ለምሳሌ.

የዚህ ምትክ የማያጠራጥር ጥቅም በእሱ እርዳታ ሁልጊዜ ትሪግኖሜትሪክ ተግባርን ወደ ምክንያታዊነት መለወጥ እና ተጓዳኝ ውህደቱን ማስላት ይችላሉ። ጉዳቶቹ የሚያጠቃልሉት ትራንስፎርሜሽኑ ውስብስብ የሆነ ምክንያታዊ ተግባርን ሊያስከትል ይችላል, ይህም ውህደት ብዙ ጊዜ እና ጥረት ይጠይቃል.

ነገር ግን, ተለዋዋጭውን የበለጠ ምክንያታዊ ምትክ ለመተግበር የማይቻል ከሆነ, ይህ ዘዴ ብቸኛው ውጤታማ ነው.

ለምሳሌ.

የቅጹ ውህደት
ከሆነ

ተግባርአርኮስክስ.

ሁለንተናዊ ትሪግኖሜትሪክ መተኪያን በመጠቀም እንዲህ ዓይነቱን ውህድ የማስላት እድል ቢኖረውም, መተኪያውን መጠቀም የበለጠ ምክንያታዊ ነው. ቲ = six.

ተግባር
ኮስክስን በኃይል ብቻ ሊይዝ ይችላል፣ እና ስለዚህ ከ six ጋር ወደ ምክንያታዊ ተግባር ሊቀየር ይችላል።

ለምሳሌ.

በአጠቃላይ ይህንን ዘዴ ተግባራዊ ለማድረግ ከኮሳይን አንፃር ያለው የተግባር እንግዳ ነገር ብቻ አስፈላጊ ነው፣ እና በስራው ውስጥ የተካተተው የሲን ደረጃ ማንኛውም ኢንቲጀር እና ክፍልፋይ ሊሆን ይችላል።

የቅጹ ውህደት
ከሆነ

ተግባርአርጋር አንጻራዊ ነው።six.

ከላይ ከተጠቀሰው ጉዳይ ጋር በማነፃፀር, መተካቱ ይከናወናል ቲ = ኮስክስ.

ለምሳሌ.

የቅጹ ውህደት

ተግባርአርበአንጻራዊ ሁኔታ እንኳንsixእናኮስክስ.

ተግባሩን R ወደ ምክንያታዊነት ለመለወጥ, መተኪያውን ይጠቀሙ

t = tgx

ለምሳሌ.

የሳይንስ እና ኮሳይን ምርት ውህደት

የተለያዩ ክርክሮች.

እንደ ሥራው ዓይነት ከሦስቱ ቀመሮች ውስጥ አንዱ ይተገበራል-

ለምሳሌ.

አንዳንድ ጊዜ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን በማዋሃድ የተግባርን ቅደም ተከተል ለመቀነስ የታወቁ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን ለመጠቀም ምቹ ነው.

ለምሳሌ.

አንዳንድ ጊዜ አንዳንድ መደበኛ ያልሆኑ ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ.

ለምሳሌ.

አንዳንድ ምክንያታዊ ያልሆኑ ተግባራት ውህደት.

እያንዳንዱ ምክንያታዊ ያልሆነ ተግባር በአንደኛ ደረጃ ተግባራት መገለጽ የሚችል አካል ሊኖረው አይችልም። ምክንያታዊ ያልሆነ ተግባርን ለማግኘት, ተግባሩን ወደ ምክንያታዊነት ለመለወጥ የሚያስችልዎትን ምትክ መጠቀም አለብዎት, ሁልጊዜም እንደሚታወቀው ዋናው አካል ሁልጊዜም ሊገኝ ይችላል.

የተለያዩ አይነት ምክንያታዊ ያልሆኑ ተግባራትን ለማዋሃድ አንዳንድ ቴክኒኮችን እንመልከት።

የቅጹ ውህደት
የትn- የተፈጥሮ ቁጥር.